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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) Existen fenómenos en la naturaleza que se repiten con las mismas características en lapsos de tiempos iguales. Por ejemplo, el día o la noche, las olas que se acercan o se alejan de la playa o las estaciones. De manera similar, algunos objetos describen movimientos que se repiten, como el péndulo de un reloj o un disco compacto girando, que cada cierto tiempo ocupan las mismas posiciones. Todos estos movimientos se pueden denominar como periódicos. El M.A.S es también un tipo de movimiento periódico.

1. MOVIMIENTO OSCILATORIO Definimos el período como el tiempo que un cuerpo emplea en regresar al lugar de donde partió, después de pasar por todas las posibles posiciones de la trayectoria. Por ejemplo, el segundero de un reloj describe un movimiento periódico cuyo periodo es de un minuto. Un caso particular del movimiento oscilatorio que ocurre cuando un cuerpo ocupa sucesivamente posiciones simétricas respecto a una posición determinada recibe el nombre de posición de equilibrio. En la figura se muestra una regla que vibra. Observe que el extremo de la regla describe un movimiento, donde la posición de equilibrio es el punto O y los extremos de la trayectoria, los puntos P y P’.

En la figura se muestra un objeto que oscila atado a un resorte. Durante el movimiento, el cuerpo oscila entre las posiciones A y A’, pasando por el punto O, que corresponde a la posición de equilibrio.

Para describir el movimiento oscilatorio es necesario tener en cuenta los siguientes elementos: Oscar Potes Zambrano Docente de Física

1. Oscilación: se completa cuando a partir de determinada posición, el objeto regresa a ella, después de ocupar todas las posibles posiciones de la trayectoria. En el caso del objeto sujeto al resorte, se completa una oscilación cuando el objeto describe una trayectoria AOA’OA. 2. Periodo: es el tiempo que emplea el objeto en hacer una oscilación. Se mide en segundos y se representa por T. 3. Frecuencia: es el número de oscilaciones que efectúa el objeto en cada unidad de tiempo. La frecuencia se expresa en oscilaciones sobre segundo (osc/s), que usualmente se representa por s-1 o en hertz (hz), en honor a Heinrich hertz. Al igual que en el movimiento circular uniforme, para el movimiento oscilatorio la frecuencia y el periodo se relacionan mediante la fórmula: La frecuencia es inversamente proporcional al período. 4. Punto de equilibrio: es el punto de la trayectoria en el cual, la fuerza recuperadora es nula, en el ejemplo es el punto O. 5. Punto de retorno: son los dos puntos extremos de la trayectoria en los cuales el movimiento cambia de sentido. 6. Elongación: es la posición del objeto en cualquier punto con respecto a la posición de equilibrio. En la siguiente figura se representan diferentes elongaciones, una de ellas x=4 cm, para un objeto que oscila entre dos posiciones extremas: x=-10cm y x=10cm

7. Amplitud: es la máxima distancia que el cuerpo alcanza con respecto a la posición de equilibrio. Es decir, es la longitud de la máxima elongación. En la gráfica anterior, la amplitud es A=10cm.

Ejemplo Una esfera se suelta en el punto A y sigue la trayectoria que se muestra en la figura.

Oscar Potes Zambrano Docente de Física

Resolver: a) Se considera que hay fricción, describir la trayectoria del movimiento. b) Describir la trayectoria del movimiento suponiendo que no hay fricción. c) Si se desprecia la fricción y la esfera en su movimiento oscilatorio pasa 36 veces por el punto B durante 10 segundos, ¿Cuál es el periodo de oscilación? d) ¿Cuál es el valor de la frecuencia?

Problema propuesto Un objeto, atado a un resorte, oscila entre las posiciones A y B indicadas en la figura. Si en 10 segundos llega 15 veces al punto A, determine: a. El periodo de oscilación. b. La frecuencia de oscilación. c. La amplitud.

2. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE El movimiento de una partícula en oscilaciones depende de la fuerza de restauración producida. Una fuerza tal es la fuerza del resorte, descrita por la ley de Hooke, F = -kx En donde k es la constante del resorte. El signo menos indica que la fuerza está siempre en dirección opuesta al desplazamiento, es decir, que tiende siempre a regresar el resorte a su posición de equilibrio. Supóngase que una masa sobre una superficie horizontal, sin fricción, se fija a un resorte como se muestra en la figura. Cuando la masa es desplazada a un lado de su posición de equilibrio, se mueve hacia atrás y hacia adelante vibra u oscila. Es decir, la fuerza recuperadora del resorte lo lleva hacia su posición de equilibrio, pero debido a la inercia, la masa no se detiene en ese punto, si no que continúa moviéndose realizando un movimiento periódico representado por una ley sinusoidal.

Oscar Potes Zambrano Docente de Física

1. ENERGÍA EN EL M.A.S. La energía potencial en un resorte almacenada en un resorte estirado o comprimido está dado por:

La ecuación se obtiene de , vemos que la fuerza no es constante sino que aumenta linealmente a medida que el desplazamiento lo hace de la misma forma, como la figura que se obtiene es un triángulo el área esta dada por en este caso como entonces

, remplazando tenemos

Como

y como

,

entonces

. , luego

, Esto es el trabajo hecho por el resorte. Una masa m que oscila en un resorte tiene energía cinética. Así las energías cinética y potencial juntas dan la energía mecánica total del sistema: . Cuando la masa está en uno de sus desplazamientos máximos, +A 0 –A, está instantáneamente en reposo (v=0). Así toda la energía es energía potencial en ese momento; es decir: , en donde A es la magnitud del desplazamiento máximo o amplitud. Oscar Potes Zambrano Docente de Física

Podemos expresar la velocidad como una función de la posición así: ( √

(

)

)

En donde el signo indica la dirección. Observe que para x = A, la velocidad es cero y la masa está en reposo instantáneamente en las posiciones máximas de su desplazamiento. También cuando la masa que oscila pasa a través del origen, o por la posición de equilibrio (x=0), la energía potencial es cero. En ese instante, toda la energía es cinética y la masa se mueve a su velocidad máxima, vmax. Esto es: Vmax

√

2. MOVIMIENTO EN EL M.A.S. Decimos que la ecuación de movimiento para un objeto o una partícula es la ecuación que nos da su posición como una función del tiempo. La ecuación de movimiento para un objeto en M.A.S se puede derivar mediante una relación entre los movimientos armónicos simples y circular uniforme. El M.A.S se puede simular por un componente en un movimiento circular uniforme como se muestra en la figura siguiente. Observe que a medida que el cuerpo iluminado se mueve con movimiento circular uniforme (con rapidez angular w constante) en el plano horizontal, su sombra se mueve hacia adelante y hacia atrás, siguiendo la misma trayectoria que la masa en el resorte, que está en M.A.S. dado que la masa y la sombra tienen la misma posición en cualquier tiempo se deduce que la ecuación del movimiento horizontal para el objeto en movimiento circular es la misma que la ecuación de movimiento para una masa que oscila horizontalmente en el resorte

A partir del círculo de referencia, la coordenada x (posición) del objeto está dada por:

Pero el objeto se mueve con una velocidad angular constante con una magnitud w, en términos de la distancia angular  tenemos  = wt, así: Oscar Potes Zambrano Docente de Física

La rapidez angular (en rad/s) algunas veces se conoce como frecuencia angular, dado que w=2f, en donde f es la frecuencia de revoluciones o rotación. Así:



 3. VELOCIDAD EN UN M.A.S.

La partícula Q que posee un movimiento circular uniforme lleva una velocidad tangencial constante en magnitud, pero variable en dirección.

Descomponiendo la v en las direcciones horizontal y vertical donde



,

se observa que vx tiene sentido negativo en esta posición, por lo tanto  el signo negativo lo introducimos para indicar el sentido de la velocidad.



Como

entonces queda que

y como r = A entonces:

. Cuando la velocidad es máxima la velocidad se calcula:

4. ACELERACION EN UN M.A.S. La aceleración que experimenta la partícula Q va siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria y por esta razón se llama aceleración centrípeta; es la encargada de variar la dirección de la velocidad tangencial. La descomponemos en sus dos ejes, vertical y horizontal y aplicamos la relación trigonométrica coseno:

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

, la aceleración en el eje horizontal tiene sentido contrario a la elongación que

consideramos positiva, por tanto ac = w2r de donde se concluye que ax = -w2rcoswt o sea:

Cuando la aceleración es máxima tenemos:

5. PERIODO DE UNA MASA QUE OSCILA SUSPENDIDA DE UN RESORTE Para obtener su ecuación analizaremos el comportamiento de la velocidad de la masa en su punto de equilibrio. En x=0, la velocidad es máxima, por lo tanto el ángulo es 90º y el sen90º=1, entonces , ya que el valor máximo que puede tomar senwt = ±1. Si consideramos energéticamente la situación vemos en este punto la energía potencial es nula y su energía es igual a la total, por tanto: , donde , porque Al remplazar

obtenemos: , tenemos

, luego

√ Oscar Potes Zambrano Docente de Física



Como 

√

, obtenemos

De donde se concluye que

√

6. EL PENDULO SIMPLE Está constituido por un cuerpo, generalmente regular, que oscila suspendido de un hilo cuya masa se asume como despreciable. En la figura se muestra un péndulo en la posición de equilibrio, en reposo, donde la tensión T del hilo se anula con el peso, w, del cuerpo. Una vez puesto en movimiento el cuerpo pasa periódicamente por el punto de equilibrio.

Observe la siguiente figura donde se muestra la fuerza de restitución, F, que hace que el péndulo vaya hacia la posición de equilibrio. Esta fuerza es la componente del peso, tangencial a la trayectoria cuyo valor es:

Luego Para ángulos menores de 10º, expresados en radianes, el seno del ángulo tiene la propiedad de ser prácticamente igual a la medida de dicho ángulo. Por lo tanto para ángulos pequeños tenemos que De ahí que la expresión, Oscar Potes Zambrano Docente de Física

es equivalente a:

.

Como la longitud x del arco, el radio l y el ángulo α se relacionan mediante Entonces: Puesto que para un movimiento armónico simple

igualando los resultados

Obtenemos Igualmente, como en un M.A.S, Encontramos que

√

reemplazando k por el valor anterior,

√

√

siendo T el periodo del péndulo

simple.

Ejemplo 1 Un bloque con masa de 0.25kg que descansa sobre una superficie sin fricción está conectado a un resorte que tiene una constante de 180N/m. si el bloque se desplaza 15cm de su posición de equilibrio y luego se libera. Hallar: a) La energía total del sistema b) La velocidad máxima del bloque c) La velocidad del bloque cuando está a 10cm de la posición de equilibrio

Ejemplo 2 Cuando una masa de 0.5kg se suspende de un resorte, el resorte se estira 10cm. La masa se jala hacia abajo otros 5cm y se libera. ¿Cuál es la energía total del sistema en oscilación?

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Ejemplo 3 Un cuerpo que oscila con M.A.S de 10cm de amplitud; posee un periodo de 2 segundos. Calcular la elongación, velocidad, y aceleración cuando ha transcurrido un sexto de periodo. Ejemplo 4 Calcular la velocidad y aceleración máxima de un cuerpo que posee M.A.S de 8cm de amplitud y 4 segundos de periodo Solución. Calculo de la velocidad máxima.



(

)( )

Calculo de la aceleración máxima

(

)(



)

Ejemplo 5 ¿Qué tiempo mínimo debe transcurrir para que una partícula que oscila con M.A.S de 12cm de amplitud y 4 segundos de periodo alcance una elongación de 8cm? ¿Qué velocidad lleva en dicho instante? Ejemplo 6 Una masa fija a un resorte oscila horizontalmente en una superficie sin fricción con una amplitud de 15cm, con una frecuencia de 0.2hz. ¿Cuál es el desplazamiento de la masa en t = 3.1s? ¿Cuántas oscilaciones hace en ese tiempo? Ejemplo 7 ¿Cuál es el periodo de oscilación de un cuerpo de 1kg de masa, sujeta a un resorte de 0.5N/m de constante elasticidad? Ejemplo 8 Que masa debe suspenderse de un resorte con constante elasticidad 1N/m para que este oscile con periodo de 1s?

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Ejemplo 9 Una masa de 0.5kg, se sujeta a un resorte que posee M.A.S de 0.8s de periodo. Si su energía total es de 10J calcular la amplitud de oscilación Ejemplo 10 Calcular el periodo de oscilación de un péndulo de 1m de longitud Ejemplo11 Que longitud debe tener un péndulo para que su periodo sea 1s Ejemplo 12 En la construcción de un péndulo que se quería tuviera un periodo de 0.5s, se comete un error y su longitud se hace 1cm mas grande. ¿Cuánto se atrasa este péndulo en un minuto?

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