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INTRODUCCION Materiales frágiles Se dice que un material es frágil cuando es muy poca la deformación que presentan antes de romperse. Para este tipo de materiales existen dos teorías, la teoría del máximo esfuerzo normal y el criterio de falla de Mohr-Coulomb.

La teoría de Mohr-Coulomb, o teoría de la fricción interna, es un modelo matemático que se basa en el rozamiento interno que se produce en las partículas del material, y describe la respuesta de materiales quebradizos, tales como hormigón, o agregados de partículas como el suelo, a esfuerzo cortante, así como tensión normal. En general, la teoría se aplica a los materiales para los que la resistencia a la compresión es muy superior a la resistencia a la tracción, caso de los materiales cerámicos. La teoría de Mohr Coulomb frágil se usa para materiales cuyos comportamientos en tracción y en compresión uniaxial, son diferentes, es decir, cuando la resistencia última del material a tracción, es diferente a la resistencia última del material a compresión, generalmente la resistencia última del material a compresión es mayor a la de tracción. Tal es el caso del hormigón, la fundición, las rocas, los suelos, entre otros. Otto Mohr propuso este criterio de rotura para estos materiales. Este criterio es válido para estados planos de tensiones, y precisa realizar diferentes ensayos mecánicos en el material de estudio. La teoría de Mohr Coulomb explica que el corte de un material se produce para una combinación crítica entre tensión normal y tensión tangencial, y que cuanto mayor sea la tensión normal, mayor será la tensión tangencial necesaria para cortar el material. La idea central de esta teoria de Mohr se basa en tres ensayos "simples"; tensión, compresión y cortante, a la fluencia si el material puede fluir, o a la ruptura. Implica hallar una forma de cálculo representativa para la tensión de rotura, una vez conocidos los resultados obtenidos en los ensayos de rotura a tracción, a compresión y torsión (corte puro). Con estos datos se trazan los correspondientes círculos de Mohr para cada uno de los ensayos, y se traza la envolvente a estos círculos. Esta envolvente puede ser una recta, una parábola o una curva cualquiera. Si

para un determinado material solamente se dispone de los círculos de Mohr correspondientes a los estados últimos tensionales de tracción y compresión uniaxial, la envolvente de Mohr puede aproximarse por rectas tangentes a dichos círculos. La hipótesis de Mohr consistía en usar los resultados de los ensayos de tensión, compresión y cortante a fin de elaborar tres círculos como se muestra en la figura, con objeto de definir una envolvente de falla, representada como la línea recta ABCDE en la figura, arriba del eje σ.

El argumento se basa en los tres círculos de Mohr que describen el estado de esfuerzos de un cuerpo y que crucen durante la carga hasta que uno de ellos se hace tangente a la envolvente de falla, definiendo ésta. El criterio predice que una parte del material falla si se cruza la envolvente formada por estos círculos de Mohr en tensión uniaxial y en compresión uniaxial respectivamente, es decir, que en el plano o-t, la línea tangente a los círculos de Mohr de los ensayos de tensión y compresión al momento de la fractura es la locación de la falla para un estado de esfuerzos en un elemento. En términos físicos, si un círculo de Mohr para estados particulares de esfuerzo, yace enteramente por debajo de la envolvente, el material está en condiciones estables. Si el círculo de Mohr toca la envolvente, la resistencia máxima del material ha sido alcanzada, es decir, la falla ha ocurrido en un plano determinado. Respecto al criterio de rotura en el plano de tensiones principales, se dice que un sólido sometido a un estado plano de tensiones, se rompe cuando las cargas actuantes alcanzan un valor tal que el punto representativo del estado tensional correspondiente caiga sobre el contorno definido por ABCDEFA.

Una variación de la teoría de Mohr, llamada la teoría de Mohr-Coulomb, o la teoría de la fricción interna, supone que la frontera BCD de la figura es recta. Con este supuesto sólo son necesarias las resistencias a la tensión y a la compresión. Considere el ordenamiento convencional de los esfuerzos principales como σ1≥ σ2≥ σ3. El círculo más grande conecta a σ1 y σ3 como se muestra en la figura.

Los centros de los

círculos de la figura son C1, C2 y C3.

Los triángulos OB1C1

son similares, por lo tanto: 𝐵2 𝐶2 − 𝐵1 𝐶1 𝐵3 𝐶3 − 𝐵1 𝐶1 = 𝑂𝐶2 − 𝑂𝐶1 𝑂𝐶3 − 𝑂𝐶1

o bien, 𝜎1 − 𝜎3 𝑆𝑡 𝑆𝑐 𝑆𝑡 −2 −2 2 = 2 𝑆𝑡 𝜎1 − 𝜎3 𝑆𝑐 𝑆𝑡 2− 2 2 −2 Multiplicando cruzado y simplificando se reduce esta ecuación a 𝜎1 𝜎3 − =1 𝑆𝑡 𝑆𝑐 donde pueden usarse la resistencia a la fluencia o la resistencia última.

Para el esfuerzo plano, cuando los dos esfuerzos principales diferentes de cero son σA≥ σB se tiene una situación similar a los tres casos dados para la teoría del ECM.

La falla se presentará cuando el punto determinado por los esfuerzos σ1 y σ3 se encuentran fuera del área sombreada de la figura. La línea más gruesa representa las locaciones donde se presentará la falla de acuerdo con Coulomb-Mohr, las líneas interiores más delgadas representan las locaciones de falla de acuerdo a Tresca. En el caso de ecuaciones de diseño, la incorporación del factor de seguridad n divide todas las resistencias entre n. Por ejemplo, en la ecuación 𝜎1 𝜎3 − =1 𝑆𝑡 𝑆𝑐 como una ecuación de diseño, puede escribirse como 𝜎1 𝜎3 1 − = 𝑆𝑡 𝑆𝑐 𝑛 Lo útil de esta teoría radica en que conociendo solamente las tensiones de falla por tensión y por compresión, la tensión de falla por corte se obtiene según la siguiente expresión 𝑆𝑦𝑠 =

𝑆𝑦𝑠 𝑆𝑦𝑐 𝑆𝑦𝑠 + 𝑆𝑦𝑐

EJEMPLO Un eje de 25 mm de diámetro se somete a un par de torsión estático de 230N*m. El eje está hecho de aluminio fundido 195-T6, con una resistencia a la fluencia en tensión de 160Mpa y una resistencia de fluencia en compresión de 170Mpa. El eje se maquina hasta el diámetro final. Calcule el factor de seguridad del eje El esfuerzo cortante máximo está dado por:

Los dos esfuerzos principales diferentes de cero son 75Mpa y -75Mpa, lo cual hace que los esfuerzos principales ordenados 𝜎1 = 75 𝑀𝑃𝑎, 𝜎2 = 0 𝑦 𝜎3 = −75𝑀𝑃𝑎 De la ecuación 𝜎1 𝑆𝑡

−

𝜎3 𝑆𝑐

=

se obtiene

1 𝑛 1

=

1

𝑀𝑃𝑎 𝜎1 /𝑆𝑦𝑡−𝜎3 /𝑆𝑦𝑐 75160𝑀𝑃𝑎 −(−75 𝑀𝑃𝑎)/170

⇨ 𝑛 = 1,10

En laboratorio una muestra del material se conforma como una viga en rotación a la cual se aplica un momento flector puro, de forma que el esfuerzo varía de tensión máxima a compresión máxima. Comparando la teoría del máximo esfuerzo normal con la de Mohr Coulomb frágil, es recomendable usar esta última, ya que el área libre de falla es mayor según la teoría del máximo esfuerzo normal que según la teoría de Coulomb-Mohr Frágil.