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Nombre: Zenaida Morocho Lata Curso: 4-26 C.P.A.

MOMENTOS Si X1,X2,…Xn son los N valores de la variable X, se define la cantidad

=

+…..+

=

Llamada el r-ésimo momento. El primer momento con r=1 corresponde a la media aritmética. El r-ésimo momento, respecto a la media, se define como:

=

=

El r-ésimo momento respecto de cualquier origen A o media conjeturada se define como:

=

=

=

Donde d=X-A ,es decir, las desviaciones de X respecto de A.

MOMENTOS PARA DATOS AGRUPADOS Si X1,X2,…,Xk ocurren con las frecuencias f1,f2, …,fk, respectivamente, los momentos anteriores están dados por:

=

+…..+

=

=

=

=

=

=

Nombre: Zenaida Morocho Lata Curso: 4-26 C.P.A.

=

Donde N=

=

.

RELACIONES ENTRE MOMENTOS Existen las siguientes relaciones entre momentos con respecto a la media momentos en cuanto a un origen arbitrario m1

0

m2

-

m3

-3

m4

-4

EJEMPLO 1 Calcule los tres primeros momentos de la siguiente serie de datos: 2, 3, 7, 8, 10. Solución: -

El primer momento o media aritmética es:

-

El segundo momento o cuadrado de la desviación típica es:

-

El tercer momento es:

y

Nombre: Zenaida Morocho Lata Curso: 4-26 C.P.A.

EJEMPLO 2 De la siguiente distribución de datos:

m1

X

u

d

f

61

-2

-6

5

-10

64

-1

-3

18

67

0

0

70

1

73

2

f

f

20

-40

80

-18

18

-18

18

42

0

0

0

0

3

27

27

27

27

27

6

8

16

32

64

128

Nombre: Zenaida Morocho Lata Curso: 4-26 C.P.A.

m2

8.73-

m3

8.91-3

m4

204.93-4

8.5275

-2.6932

199.3759

SESGO O ASIMETRIA Con frecuencia una distribución no es simétrica con respecto a un máximo sino que tiene una "cola" más larga que la otra. Si la cola más larga se extiende a la derecha, se dice que la distribución está sesgada a la derecha o es de asimetría positiva, mientras que si la cola más larga se extiende a la izquierda, se dice que eslá sesgada a la izquierda o es de asimetría negativa. Las medidas que describen esta simetría se denominan los coeficientes de sesgo o sencillamente sesgo. Una medida de la asimetría esta dada por la diferencia: media –moda. Esta puede hacerse adimiensional si se divide entre una medida de dispersión tal como la desviación estándar, lo que lleva a la siguiente formula:

Asimetría Primer coeficiente de asimetría de pearson Para evitar utilizar la moda:

Asimetría Segundo coeficiente de asimetría de pearson Otras medidas de la asimetría, definidas en términos de cuartiles y percentiles, son las siguientes:

Coeficiente de asimetría cuartilar EJEMPLO

Nombre: Zenaida Morocho Lata Curso: 4-26 C.P.A.

Sean la media =279.76, mediana= 279.06, moda=277.5 y desviación estándar s=15.6. Determinar primer y segundo coeficiente de asimetría.

primer coeficiente de asimetría =

=0.1448

Segundo coeficiente de asimetría =

=0.1346

CURTOSIS La curtosis mide que tan puntiaguda es una distribución, por lo general, comparada con una distribución normal. Una distribución con un pico relativamente alto se le denomina leptocurtica, mientras que una que es achatada, recibe el nombre de platocurtica. Aquella que no es muy picuda ni muy achatada, se define como mesocurtica. A continuación se presentan las graficas de lo mencionado anteriormente.

Leptocúrtica

Platicúrtica

Mesocúrtica Una medida de la curtosis utiliza el cuarto momento con respecto a la media, expresado en forma adimensional y esta dado por:

Nombre: Zenaida Morocho Lata Curso: 4-26 C.P.A.

k

Donde Q

es el rango semiintercuartil. Se define a k como el

coeficiente percentilar de curtosis. En una distribución normal, k es igual a 0.263.

EJEMPLO Encuentre el coeficiente momento de curtosis

=

=

para la distribución del ejemplo 2.

2.7418