• Author / Uploaded
• gbosquezl

Citation preview

INTRODUCCIÓN A LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO Transformación de las componentes de esfuerzos Esfuerzos y direcciones principales Circulo de Mohr en Esfuerzos BOSQUEZ LOPEZ GENARO UNIVERSIDAD VERACRUZANA

DR. FRANCISCO ESPINOZA ARENAL Coatzacoalcos, Ver a 15 de Julio del 2010.

-ESFUERZOS Y DIRECCIONES

PRINCIPALES -CIRCULO DE MOHR EN ESFUERZOS

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL (METODO GRAFICO y ANALITICO)

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL

El estado de tensión en un plano referido a los ejes 0, x1, x2 y x3, está dado el tensor T=

Determinar: Los componentes del vector tensión en el plano cuyo vector normal unitario es:^ n= 1/3î1 + 2/3î2 + 2/3î3

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL

Determinación de la ecuación característica por medio de invariantes: II=-5+(-6)+1=-10

III=-((-5)(-6)+(-6)(1)+(1)(-5))+(-12)(-12) III=-( 30 -6 -5 )+144 III=125 IIII=

= (-5)(-6)+0+0-0-0-(-12)(-12)(-5) = 30 + 720 = 750

λ3-(-10) λ2-(125) λ(750)=0 Ecuación característica:

λ3 + 10λ2 - 125 λ -750=0

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL

λ3 + 10λ2 - 125 λ -750=0 Resolviendo la Ec. Característica tenemos los esfuerzos principales: λ1=10 λ2=-5 λ3=-15

Esfuerzos Principales

Determinación de los planos principales: Para σ=10

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL

Por lo tanto: n1=0 n2+3/4n3=0 n2=-3/4n3

02+(-3/4n3)2+n32=1 0 + 9/16n32 + n32=1 25/16n32=1

n3= 4/5 ^ n=-3/5î2 + 4/5î3

n2=-3/4n3 n2=3/4(4/5) n2=-3/5

Para

σ=-5

Por lo tanto: n2 + 12n3=0 n2 -1/2n3=0 n2 =1/2n3 n2 + 12n3=0 1/2n3 + 12n3=0 12.5 n3=0 n3=0 n2=0

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL

n12=1 n1= +/- 1

^ +/- î1 n2=

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL

Determinación del signo del plano 2: = 16/25 î + 0 + 0 - 0 – (-9/25î) – 0 =25/25 î = î ^ î1 Signo (+) n2= Determinación del vector normal unitario asociado a los planes principales: ^ n=[a] [n] =

= 3x3

3x1

^

n= 1/3î1 + 2/3î2 + 2/3î3

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL

Determinación del vector tracción: ^ t*= [T] [n] =

= t*= 10/3ê1 - 10/3ê2 - 10ê3

DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS NORMAL Y TANGENCIAL -(ANALÍTICAMENTE) σn= t* ^• n (10/3ê = 1 - 10/3ê2 - 10ê3) • (1/3î1 + 2/3î2 + 3) -20/3 = -70/9 σn = 10/9 –2/3î 20/9 σn = -7.78 Mpa

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL

Γn =

Γn = Γn = 7.80 Mpa

(-7.78)

DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL (GRAFICAMENTE ) CIRCULO DE MOHR ESFUERZOS PRINCIPALES:

σ1=10 σ2=-5 σ3=-15

σ2 β

VECTOR NORMAL UNITARIO:

α

^ n= 1/3î1 + 2/3î2 + 2/3î3

α

Γ Γ

α=cos-1 (1/3) = 70.5 ⁰ β=cos-1 (2/3) = 48.2 ⁰ Γ= cos-1 (2/3) = 48.2 ⁰

β

σ3

σ1

Γn

16 15 14 13 12 1 1 1 0 9

P

8 7 6 5 4 3 2

-15 5

-14 6

-13

-12 7

-11 8

2α=141⁰

2α=141⁰ 1 2Γ=96.4⁰

2β=96.4⁰ 9

-10 -9 10

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

σn