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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN - TARAPOTO FACULTAD DE ECOLOGÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA SANITARIA

INFORME: “CÍRCULO DE MOHR”

ASESOR: Ing Civil. Russell Calama Torres ESTUDIANTES: Alexander Muñoz Díaz Richard Padilla Rodríguez Luz Mery Guevara Díaz Allisson Bartra Lozano

Moyobamba- Perú 2019

ÍNDICE 1.

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................3

2.

OBJETIVOS ......................................................................................................................4



Objetivo general ........................................................................................................................................... 4



Objetivos específicos .................................................................................................................................... 4

3.

JUSTIFICACION ..............................................................................................................4

4.

ANTECEDENTES .............................................................................................................4

5.

MARCO TEÓRICO ..........................................................................................................5

I.

CÍRCULO DE MOHR. ................................................................................................................................ 5

II.

MOMENTOS DE INERCIA PARA UN AREA CON RESPECTO A EJE INCLINADOS ...................... 5

III. A. B.

CÍRCULO DE MORH PARA ESFUERZOS.......................................................................................... 6 CASO BIDIMENSIONAL....................................................................................................................... 6 CASO TRIDIMENSIONAL .................................................................................................................. 10

IV.

CÍRCULO DE MOHR PARA LA TRACCIÓN SIMPLE. ................................................................... 12

V. VI.

6.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA ................................................... 13 PROCEDIMIENTO DE CONSTRUCCION DEL CIRCULO DE MOHR ......................................... 15

EJEMPLOS: .................................................................................................................... 16

EJEMPLOS N° 01:............................................................................................................................................. 16 EJEMPLO N° 02: .............................................................................................................................................. 18

7.

CONCLUSIONES ............................................................................................................ 20

8.

BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................. 22

1. INTRODUCCIÓN El círculo de Mohr es una de las pocas construcciones graficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y las computadoras. La razón para que este en vigencia se encuentra en la información, simultáneamente general y detallado que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas en ingeniería. Es un desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte son nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones. Las aplicaciones de esta construcción gráfica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a la que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Una de sus características más importantes es que aunque se trata de una solución gráfica, su construcción no exige en la mayoría de las aplicaciones, medidas a escala; tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios de la resistencia de materiales y de la mecánica de los suelos. El diagrama de Mohr es el método más común para representar los resultados de los ensayos de corte en suelos. El círculo de Mohr representa un ensayo triaxial y la envolvente de los círculos de Mohr representa el estado de esfuerzos en el momento de una falla al cortante. En un análisis en dos dimensiones, los esfuerzos en un punto pueden ser representados por un elemento infinitamente pequeño sometido a los esfuerzos x, y, y xy.

2. OBJETIVOS  Objetivo general Indagar, analizar y asimilar conocimientos sobre el método grafico del Círculo de Mohr.  Objetivos específicos Dar a conocer casos en los cuales se puede utilizar el círculo de Mohr. Indicar el procedimiento a seguir para la adecuada construcción del círculo de Mohr. Señalar y reconocer las propiedades del método gráfico del círculo de Mohr. 3. JUSTIFICACION La construcción del Círculo de Mohr es de una importancia fundamental porque aplica cantidades tensoriales (bidimensionales) (por ejemplo, fuerzas lineales, esfuerzo, deformación, momento de inercia). Sin embargo un Círculo de Mohr, no representa completamente el estado de esfuerzo en un punto. El estado de esfuerzo es tridimensional; por tanto se requieren tres círculos de Mohr. El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3 ) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, entre otros). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. 4. ANTECEDENTES Christian Mohr fue un gran ingeniero civil que hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras. El más conocido y útil aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnológicos es el método para determinar los esfuerzos máximos y mínimos de compresión y tensión además de los esfuerzos cortantes el cual se llama Circulo de Mohr este método fue desarrollado cerca del 1882 El método de Mohr consiste en representar el estado plano completo de esfuerzo mediante el dibujo de un círculo en el plano sT. El círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante (T) marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal en el eje horizontal.

5. MARCO TEÓRICO I. CÍRCULO DE MOHR. Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte son nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones II.

MOMENTOS DE INERCIA PARA UN AREA CON RESPECTO A EJE INCLINADOS En el diseño estructural y mecánico, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia 𝐼𝑢 , 𝐼𝑣 e 𝐼𝑢𝑣 para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados 𝑢 y 𝑣 cuando se conocen los valores para 𝜃, 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 e 𝐼𝑥𝑦 . Para hacer esto usaremos ecuaciones de transformación, las cuales relacionan las coordenadas 𝑥, 𝑦 y 𝑢, 𝑣. A partir de la figura 1, estas ecuaciones son:

𝑢 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃 𝑣 = 𝑦 cos 𝜃 − 𝑥 sin 𝜃 Con estas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de 𝑑𝐴 con respecto a los ejes 𝑢 y 𝑣 se convierten. 𝑑𝐼𝑢 = 𝑣 2 𝑑𝐴 = (𝑦 cos 𝜃 − 𝑥 sin 𝜃 )2 𝑑𝐴 𝑑𝐼𝑣 = 𝑢2 𝑑𝐴 = (𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃)2 𝑑𝐴 𝑑𝐼𝑢𝑣 = 𝑢𝑣𝑑𝐴 = (𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃 )(𝑦 cos 𝜃 − 𝑥 sin 𝜃 )𝑑𝐴

Al desarrollar cada expresión e integrarlas, así como tener presente que 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴, 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 e 𝐼𝑥𝑦 = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝐴, obtenemos 𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝐼𝑦 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 2𝐼𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 𝐼𝑣 = 𝐼𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝐼𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 2𝐼𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 sin 𝜃 cos 𝜃 − 𝐼𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 + 𝐼𝑥𝑦 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) Estas ecuaciones pueden simplificarse mediante las identidades trigonométricas, en cuyo caso

𝐼𝑢 =

𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 + cos 2𝜃 − 𝐼𝑥𝑦 sin 2𝜃 2 2

𝐼𝑣 =

𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 − cos 2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦 sin 2𝜃 2 2

𝐼𝑢𝑣 =

𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 sin 2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦 cos 2𝜃 2

Observe que si se suman la primera y la segunda ecuaciones, podemos mostrar que el momento de inercia polar con respecto al eje z que pasa a través del punto O es, como se esperaba, independiente de la orientación de los ejes 𝑢 y 𝑣; es decir 𝐽𝑂 = 𝐼𝑢 + 𝐼𝑣 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦

III.

CÍRCULO DE MORH PARA ESFUERZOS A. CASO BIDIMENSIONAL  Esfuerzo plano El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir biaxial, también se conoce como esfuerzo plano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal sea igual a cero. Esta situación es común en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascarón delgado pueden también tener un estado de esfuerzos plano lejos de sus bordes o de sus puntos de sujeción. Estos casos se pueden tratar con el procedimiento más sencillo de las ecuaciones.  Deformación plana Hay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las deformaciones principales (digamos ε3) es igual a cero, y las

deformaciones restantes son independientes de la dimensión a lo largo de su eje principal, n3, éste se conocerá como deformación plana. Esta situación ocurre en geometrías particulares. Por ejemplo, si una barra larga, sólida, prismática está cargada únicamente en la dirección transversal, aquellas regiones dentro de ella que estén lejos de cualquier restricción en sus extremos tendrán en esencia una deformación igual a cero en la dirección a lo largo del eje de la barra, y se tratará de una deformación plana. (Sin embargo, el esfuerzo no es igual a cero en la dirección de deformación igual a cero.)  Circulo de Mohr en dos dimensiones En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º: Medida 1

(𝝈𝒙 , − 𝝉)

Medida 2

(𝝈𝒚 , 𝝉)

Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal (𝝈) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (𝝉) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:  Centro del círculo de Mohr: 𝑪 ∶= 𝝈𝒎𝒆𝒅 , 𝟎) = (

𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 , 𝟎) 𝟐

 Radio de la circunferencia de Mohr:

𝒓 ∶= √(

𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝟐 ) + 𝒓𝟐𝒙𝒚 𝟐

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por: 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝒎𝒆𝒅 + 𝒓

𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝒎𝒆𝒅 + 𝒓

Estos valores se pueden obtener también calculando propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

los

valores

𝝈𝐱 𝐓|𝐱 ,𝐲 = [ 𝛕

𝛕 𝝈𝐲 ]

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ respectivamente. Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax, Ay y Aᶱ. Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:

Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:

Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:

Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:

Y considerando las relaciones trigonométricas:

Se llega a:

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ: Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son más que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene: 22.

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma

Y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.

Figura n°2 Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado. El estudio hecho hasta aquí es similar al que haremos para un estado tridimensional de tensiones. B. CASO TRIDIMENSIONAL El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes. T|x ,y ,z

𝜎x = [τyx τxz

τxy 𝜎y τyz

τxz τyz ] 𝜎z

En el caso general, las tensiones normal (𝝈) y tangencial (𝛕), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (𝝈, 𝛕) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una

única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (𝝈, 𝛕) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr. Supongamos que elegimos los ejes coordenados de modo que estos son los principales (ejes principales: aquellos en donde la tensión normal de las caras es máxima o nula y el corte nulo). El tensor de tensiones en ese caso para un elemento cúbico será:

Si queremos conocer el versor ν de un cierto plano, conociendo su estado tensional y recordando (d), (e) y que la suma de las componentes cartesianas al cuadrado del versor ν es un ecuaciones:

se obtienen las siguientes

Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Suponga que las tensiones principales tienen magnitudes tal que: I II III σ>σ>σ . Las incógnitas de este sistema son:

Como los cuadrados de los cosenos son mayores a cero, entonces evaluando los signos de los denominadores de las ecuaciones 1,2 y 3, los numeradores de los mismos deben cumplir

Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano y son las ecuaciones que definen los círculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones, las circunferencias son simétricas respecto del eje de ordenadas y las tensiones principales se ubican en el eje de ordenadas. Las desigualdades de esta indican el conjunto de estados tensionales posibles en ese punto para distintos planos, con distintas inclinaciones. Una gráfica a modo de ejemplo se presenta a continuación:

Figura n°3

IV.

CÍRCULO DE MOHR PARA LA TRACCIÓN SIMPLE. El círculo de Mohr es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro,

entre otros.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma: Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr. Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario. Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles: -

-

V.

El sentido de giro del ángulo en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad. El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario. El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos: 

Centro de la circunferencia:



Radio de la circunferencia:

Una vez conocidos los momentos de inercia respecto a unos ejes, así como el producto de inercia (IOX, IOY y PXY) se elige un eje horizontal para momentos de inercia y un eje vertical para productos de inercia. Suponiendo IOX>IOY se dibuja el punto A de coordenadas (IOX, PXY) y el punto B de coordenadas (IOY, -PXY). Se une A con B y se dibuja un círculo de forma que la línea AB es el diámetro de ese círculo.

Figura n°4 La línea AB se corta el eje horizontal en un punto C que se encuentra del origen a una distancia:

, Se construye una circunferencia de radio R=CA.

Los puntos de corte de la circunferencia con el eje horizontal corresponden con los momentos de inercia máximo y mínimo.

VI.

PROCEDIMIENTO DE CONSTRUCCION DEL CIRCULO DE MOHR Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. A continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la figura.

Figura n°5 Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr. Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario. Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:  El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.  El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.  El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes. EL SIGNO DEL ANGULO EN EL CIRCULO DE MOHR Regla General: Cuando los ángulos se miden con vértice en el centro del círculo de Mohr el sentido del giro del elemento es igual al sentido del giro en el círculo de Mohr, el que a su vez duplica el valor del ángulo rotado: Es decir

Figura n°6 6. EJEMPLOS: EJEMPLOS N° 01: Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con el círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes: a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜏𝑚á𝑥 , 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 . b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el eje x hacia el eje 𝜎1 y el eje 𝜏𝑚á𝑥 . d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial. DATOS: 𝜎𝑥 = −840 𝐾𝑃𝑎 𝜎𝑦 = −35 𝐾𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 = 650 𝐾𝑃𝑎 𝑆𝐴𝐻 El lado inferior del triángulo: 𝑎= 𝑎=

1 (𝜎 − 𝜎𝑦 ) 2 𝑥

1 (−840 − (−35)) 2 = −402,5 𝐾𝑃𝑎

El centro O del circulo está en 𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎 : 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =

1 (𝜎 + 𝜎𝑦 ) 2 𝑥

1 (−840 + (−35)) 2 = −437,5 𝐾𝑃𝑎

El radio del circulo:

El lado vertical del triangulo

𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2

𝑏 = 𝜏𝑥𝑦 = 650 𝐾𝑃𝑎

𝑅 = √(−402,5)2 + (650)2 = 764,53 𝐾𝑃𝑎

Esfuerzo cortante máximo = 764,53 KPa

𝜎1 = 𝑂 + 𝑅

𝑂 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚

𝜎1 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 + 𝑅

𝜎2 = 𝑂 − 𝑅

𝜎1 = −437,5 + 764,53 = 327,03 𝐾𝑃𝑎

𝜎2 = −437,5 − 769,84 = −1202,03 𝐾𝑃𝑎

Ángulos: 2∅′ = 90º − 2∅ 2∅′ = 90º − (−58,23) = 148,23º ∅′ =

148,23º = 74,11º 2

𝑏 2∅ = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) 𝑎 2∅ = 𝑡𝑎𝑛−1 (

∅=

650 ) = 58,23º −402,5

58,23º = 29,11º 2

EJEMPLO N° 02: Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con el círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes: a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜏𝑚á𝑥 , 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 . b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el eje x hacia el eje 𝜎1 y el eje 𝜏𝑚á𝑥 . d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial. DATOS: 𝜎𝑥 = 775 𝐾𝑃𝑎 𝜎𝑦 = −145 𝐾𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 = 0 𝐾𝑃𝑎 El lado inferior del triángulo: 𝑎=

1 (𝜎 − 𝜎𝑦 ) 2 𝑥

1 𝑎 = (775 − (−145)) = 460 𝐾𝑃𝑎 2 El radio del circulo:

El centro O del circulo esta en 𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎 : 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =

1 (𝜎 + 𝜎𝑦 ) 2 𝑥

1 (775 + (−145)) 2 = 315 𝐾𝑃𝑎

El lado vertical del triangulo

𝑏 = 𝜏𝑥𝑦 = 0 𝐾𝑃𝑎 𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2

𝑅 = √(460)2 + (0)2 = 460 𝐾𝑃𝑎

Esfuerzo cortante máximo = 460 KPa

𝜎1 = 𝑂 + 𝑅

𝑂 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚

𝜎1 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 + 𝑅

𝜎2 = 𝑂 − 𝑅 𝜎2 = 315 − 460 = −145 𝐾𝑃𝑎

𝜎1 = 315 + 460 = 775 𝐾𝑃𝑎 Ángulos: 2∅′ = 90º − 2∅ 2∅′ = 90º − 0 = 90º ∅′ =

90º = 45º 2

𝑏 2∅ = tan−1 ( ) 𝑎 2∅ = tan−1 ( ∅=

0 ) = 0º 460

0 = 0º 2

7. CONCLUSIONES El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un método simple que opta las mismas características de un círculo (radio, centro, entre otros). Tan solo es necesario aplicar las formulas trigonométricas para obtener ecuaciones que nos interesan para la resolución de problemas de resistencia de materiales.

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un método simple que opta las mismas características de un círculo (radio, centro, entre otros). Con este método también es posible el cálculo rápido y exacto de los esfuerzos principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo, los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.

8. BIBLIOGRAFIA BECARRY, F., 2007 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en: http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/ VALLECILLA, C., 2010 “Circulo de Mohr Fundamentos y aplicaciones” ANTICO,F., 2010 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en: http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mo hr.pdf BECARRY, F., 2007 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en: http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/ LUNA, A., 2011 “Circulo de Mohr y Columnas”. Libro en Línea. Disponible en: http://es.scribd.com/doc/49369439/Mecanica-deMateriales-Circulo-de-Mohr-y-Columnas. CASTRO, C., 2009 “Esfuerzos principales y el Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en: http://es.scribd.com/doc/13955724/Esfuerzosprincipales-y-el-Circulo-de-Mohr LEÓN, D., 2006 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr