• Author / Uploaded
• Susana Esther Ecca Querevalú

Citation preview

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP MATEMATICAS

- HABILIDADES LOGICAS

SILABO DE HABILIDADES LÓGICO MATEMÁTICAS CAPACIDAD DE EMPLEABILIDAD Resuelve situaciones problemáticas de su contexto, utilizando el lenguaje proposicional, los conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente. INDICADORES  Define e identifica proposiciones  Formaliza proposiciones usando variables proposicionales y los conectivos lógicos

I UNIDAD LOGICA PROPOSICIONAL SEMANA/HORAS

PRIMERA SEMANA (03 horas)

SEGUNDA SEMANA (03 horas)

TERCERA SEMANA (03 horas) CUARTA SEMANA (03 horas.)

SESIONES/CONTENIDOS Sesión 01 Presentación de la asignatura Prueba de entrada LOGICA PROPOSICIONAL  Enunciado, proposición,  Proposición atómica, molecular  Variables proposicionales  Conectivos lógicos  Formalización o simbolización de proposiciones.  Valores de verdad para las  Elabora tablas de valores de verdad para proposiciones moleculares o proposiciones moleculares. tablas de verdad de los  Clasifica las tablas de verdad según la naturaleza de su matriz de verdad. conectivos lógicos  Tablas de verdad: Tautológica, contradictoria y contingente  

Lógica inferencial Método abreviado

 Deduce la conclusión valida de un argumento a partir del conjunto de premisas dadas  Aplica el método abreviado para determinar la validez de una inferencia

 

Reglas de inferencia Leyes lógicas de la inferencia

 Conoce las reglas de inferencia  Utiliza las reglas de inferencia para justificar la validez de un argumento

II UNIDAD TEORIA DE CONJUNTOS  QUINTA SEMANA (03 horas) SEXTA SEMANA (03 horas)



Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, diferencia y complemento, diferencia simétrica. Problemas de conjuntos

 Taller N° 2: Reforzamiento de lógica y conjuntos

SEPTIMA SEMANA (03 horas) III UNIDAD MATEMÁTICA FINANCIERA

Resuelve problemas aplicando conceptos y las operaciones entre conjuntos.  Aplica las propiedades y operaciones entre conjuntos para resolver situaciones problemáticas  Interpreta enunciados y ejecuta estrategias para resolver problemas con conjuntos

 Elabora y usa estrategias para resolver situaciones problemáticas. EXAMEN PARCIAL I

Aplica propiedades en situaciones reales de su entorno, utilizando la matemática financiera.

1

OCTAVA SEMANA (03 horas)

RELACIONES BINARIAS  Producto cartesiano  Definición y clases de relaciones  Dominio y rango  Representación tabular, gráfica y algebraica  Problemas con relaciones

   

Halla el producto cartesiano de dos conjuntos Determina el dominio y rango de una relación Representa la relación de diferentes maneras Resuelve situaciones problemáticas del quehacer diario manejando apropiadamente los conceptos de relaciones binarias

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP - HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

NOVENA SEMANA (03 horas)

DECIMA SEMANA (03 horas) DECIMA PRIMERA (03 horas)

DÉCIMA SEGUNDA (03 horas)

DECIMA TERCERA (03 horas)

FUNCIONES  Función: Definición, dominio y rango  Representación gráfica, tabular y algebraica  Problemas

 Identifica una función como caso particular de una relación binaria  Determina el dominio y rango de una función  Representa la función en las formas gráfica, tubular y algebraica  Resuelve y grafica situaciones problemáticas del quehacer diario manejando apropiadamente los conceptos de funciones.

RAZONES Y PROPORCIONES  Razón – Definición  Clases de razones  Proporción – Definición  Clases de proporciones PROMEDIOS  Promedios importantes  Ejercicios propuestos

   

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA  Regla de tres simple directa  Regla de tres simple inversa  Regla de tres compuesta  Ejercicios propuestos REGLA DE INTERES  Elementos de la regla de interés  Clases de interés

Identifica y compara razones Reconoce razones aritméticas y geométricas Infiere datos sobre razones Resuelve problemas relacionados sobre razones

 Identifica los conceptos sobre los promedios  Reconoce los promedios importantes  Resuelve problemas propuestos sobre promedios  Infiere datos sobre la regla de tres simple directa e inversa  Reconoce la regla de tres compuesta  Resuelve problemas propuestos sobre regla de tres simple y compuesta  Reconoce la clasificación de regla de interés  Evalúa problemas propuestos sobre regla de interés EXAMEN PARCIAL II Describe e interpreta las propiedades de estadística descriptiva en problemas de su contexto.

IV UNIDAD ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA  Tabla de frecuencia para datos  Identifica conceptos de estadística agrupados y no agrupados  Infiere datos sobre medidas de tendencia central DÉCIMA  Medidas de tendencia central para para datos agrupados y no agrupados CUARTA (03 datos agrupados y no  Reconoce la tabla de frecuencia para datos horas) agrupados agrupados y no agrupados.  Evalúa problemas propuestos sobre tablas  Lectura e interpretación de tablas  Describe la lectura e interpretación de tablas y y gráficos para datos agrupados y gráficos para datos agrupados y no agrupados  DECIMA QUINTA no agrupados Reconoce varianza, desviación estándar. SEMANA (03 horas)  Varianza – Desviación estándar  Resuelve problemas propuestos sobre tablas y gráficos. DECIMA SEXTA SEMANA (03 horas) DECIMA SEPTIMA SEMANA (03 horas)

 Razonamiento matemático.

 Resuelve situaciones problemáticas aplicando las diferentes técnicas operativas

EXAMEN FINAL

3

2

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

5

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

SESIÓN DE APRENDIZAJE N°1 TITULO DE LA ACTIVIDAD LOGICA PROPOSICIONAL CAPACIDAD INDICADORES Resuelve situaciones problemáticas  Define e identifica proposiciones de su contexto, utilizando el  Formaliza proposiciones usando variables lenguaje proposicional, los proposicionales y los conectivos lógicos conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente.

LECTURA: La paradoja del prisionero Un juez de sinceridad y honestidad reconocida, pronuncia su fallo ante un condenado: "Una mañana de este mes serás ejecutado, pero no lo sabrás hasta esa misma mañana, de modo que cada noche te acostarás con la duda, que presiento terrible, de si esa será tu última de vida". En ese momento el reo capta una contradicción fundamental. Si el mes tiene 30 días, es evidente que no podrá ser jamás ajusticiado el día 30, ya que el 29 por la noche tendría la certeza de que la mañana siguiente habría de morir, lo que se contrapone con los propios términos de la sentencia. Esto es irrefutable. De modo que el día 30 queda absolutamente eliminado como posible. Entender esto cabalmente es, ya, vislumbrar la paradoja. Descartado el treinta, el condenado arguye: "El 30 está vedado para el verdugo, porque violaría la letra y el espíritu del fallo condenatorio -el 29 por la noche ya no tendría yo duda alguna-, así que el último día posible es el 29. Pero entonces, el día 28 por la noche tendré la certeza de que por la mañana seré ejecutado, lo que también contradice la sentencia. Deberé descartar igualmente el 29". Si seguimos repitiendo el razonamiento para el resto de los días, el prisionero concluye triunfalmente que la condena es de ejecución imposible, y comienza a dormir aliviado, aguardando que transcurra el mes para pedir su libertad. Sin embargo, sorpresa, un día cualquiera -digamos el 13 del mes- el verdugo, con el hacha afilada en la mano, despierta al reo... La sentencia se cumplió literalmente. El planteo paradójico nos lleva a esta pregunta: ¿Dónde falló el razonamiento del prisionero?

6

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

LOGICA PROPOSICIONAL Es una parte de la lógica que tiene por objeto de estudio la proposición y la relación entre ellas, así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos, 1. ENUNCIADOS Y PROPOSICIONES 1.1. Enunciado: Es toda frase que expresamos en la vida cotidiana o mediante símbolos matemáticos. Ejemplos: a) Lima no es una ciudad del Perú b) ¡Alto! c) La Policía Nacional del Perú y la Fuerza Armada. d) ¿Cuántos años tienes? e) x+2 es un número Real 1.2. Enunciado Abierto: Son expresiones que contienen variables y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso. Ejemplos: a) x

5

b) 2x + 5 = 9 c) 6 – x ≤ 10 d) Ella es estudiante de contabilidad. e) Él está estudiando ingeniería.

1.3. Proposición: Es un enunciado que cuya propiedad fundamental es la de ser verdadero (V) o falso (F); pero no ambas simultáneamente. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad. La proposición cumple la función informativa y es expresada a través de oraciones declarativas. Ejemplos: a) Richard estudió en la UNT. b) La lógica es una ciencia formal deductiva. c) 18>13 No es necesario saber con exactitud si una proposición es verdadera o falsa, basta que tenga sentido afirmar su veracidad o falsedad Ejemplo:

7

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

Albert Einstein brindo por su descubrimiento de la relatividad con Marie Curie. Las proposiciones son siempre descripciones de la realidad, descripciones de cosas, hechos, sucesos que han existido, existen o existirán. Ejemplo: Hay vida inteligente en el planeta Saturno. Son proposiciones lógicas  Todas las formulas de la ciencia ya demostradas. Ejemplo:

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

 Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. Ejemplo: “Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro”  Los enunciados cerrados o definidos. Ejemplo: α+ β + γ = 180°; si α, β y γ = ∠s internos de un mismo triángulo. Algunas proposiciones no aparecen el sujeto, pero este queda implícito o tácito en la oración. Ejemplos: a) Estoy estudiando en la facultad de medicina de la UNT.

(Sujeto: Yo)

b) Trabajo en Chimbote. (Sujeto: Yo) c) Hacemos deporte. (Sujeto: Nosotros) Las oraciones elípticas y existenciales también son proposiciones:  Oraciones elípticas o abreviadas: son aquellas expresiones posibles de traducirlas a oraciones enunciativas, declarativas, aseverativas, informativas Ejemplos: a) “Anochece “debe traducirse como: En este momento está anocheciendo. b) “Cae la lluvia” debe traducirse como: En este momento está lloviendo.  Oraciones de existencia Ejemplos: a) Hay estudiantes debe traducirse como : Tal lugar está con estudiantes. b) Hay PROFESORES Debe traducirse como: Tal lugar está con profesores. 1.3.1. NO SON PROPOSICIONES Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamación. Ejemplos: a) ¿Qué es la geometría? b) Prohibido fumar c) ¡Hola qué tal

8

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

Las creencias, mitos o leyendas. Ejemplo: “Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol”. Las metáforas o refranes. Ejemplos: a)

“A dios rogando y con el mazo dando”

b)

“El Perú es un país enfermo”

Los proverbios.

Ejemplo: Si no quieres vivir en vano construye una casa, escribe un libro y ten un hijo (proverbio chino). Las opiniones favorables. Ejemplo: El mejor jugador de futbol es Messi. Las valoraciones sobre la moral, la belleza, la justicia. Ejemplo: La justicia es lo que siempre se desea alcanzar. Los enunciados que usan personajes ficticios. Ejemplos: a) Sarita Colonia es la santidad milagrosa b) Osiris fue un dios egipcio. c) Atenea fue una Diosa griega. Las supersticiones. Ejemplos: a) “Hoy día me irá muy mal por ser martes 13” b) “Pase por debajo de una escalera 2. PROPOSICIONES ATÓMICAS Y COMPUESTAS

2.1. PROPOSICION SIMPLE O ATOMICA Son proposiciones que carecen de conector lógico, y pueden ser: 2.1.1. Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto (utiliza el verbo SER en cualquiera de sus tiempos). Ejemplos: a) Chiclayo es una provincia calurosa.

9

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

b) Freud tenía inclinación por la matemática. c) -6 es un número natural. 2.1.2. Relacionales: Cuando se compara un sujeto con otro mediante una relación que puede ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc. Ejemplos: a) La selección peruana de futbol jugó un partido intenso con su similar de Brasil.

(Relación de acción)

b) Vallejo con Mariátegui fueron contemporáneos. (Relación de tiempo)

2.2. PROPOSICIONES

COMPUESTAS

O

MOLECULARES

(COLIGATIVAS): Son proposiciones que se caracterizan principalmente porque poseen conectores lógicos. Ejemplos: a) Lima está al sur de Chiclayo o al norte de Ica. b) n es par si y sólo si n es múltiplo de 2 c) Si: 3 x 6 = 18 entonces 6 x 3 = 18

3. VARIABLES PROPOSICIONALES: Son los símbolos que representan las

proposiciones simples, comúnmente se hace uso

de las letras minúsculas: p, q, r, s, t,…etc. Ejemplo: a) José es dentista

o

p : José es dentista

b) q: Los alumnos de la ETS PNP Puente Piedra garantizarán la seguridad ciudadana. 4. CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS: Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que ligan, juntan, unen o enlazan las proposiciones simples formando proposiciones compuestas. Los operadores o conectores básicos son: Conectivo

Símbolo

NO

~

Y O

Nombre Negación Conjunción

Ѵ

Disyunción inclusiva

10

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

O…O…

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

Disyunción exclusiva

SI….ENTONCES…

Condicional

…SI Y SOLO SI…

Bicondicional

4.1. NEGACIÓN (~): Es un conectivo singular. Se denomina proposición negativa aquella que cambia el valor de la proposición original. Se denota por: ~p, -p, ¬p

y se lee: “no p”.

Ejemplos: p: Juan es ingeniero. ~p : Juan no es ingeniero. 4.2. CONJUNCIÓN: Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultado de unir estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se denota con el símbolo: “ ”, “&” , Se escribe “p

q”, “p & q” y se lee: “p y q”.

Ejemplo: Consideremos las siguientes proposiciones: p: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque” q: “Tiene corriente la batería” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando

simbología lógica

queda indicado por: p

q: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

4.3. DISYUNCIÓN: Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q” relacionadas por el conectivo lógico “o”. Según el sentido del conectivo “o”, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva. 4.3.1. Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota por “p ∨ q”, “p + q” y se lee: “p o q”. Ejemplo: Consideremos las siguientes proposiciones privada”

p: “La Universidad Señor de Sipán es q: “La Universidad Señor de Sipán es

estatal”

11

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p ∨ q: “La Universidad Señor de Sipán es privada o en todo caso

la

Universidad Señor de Sipán es estatal” 4.3.2. Disyunción Exclusiva o Fuerte: Se denota por: “p ∆ q”, “p V q”, “p

⊕

q”, “p≡/ q”, “p ↔/ q” y se lee:

“p o q” pero no ambos Ejemplo: Consideremos: p: “viajo a España” q: “viajo a Brasil” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando Simbología lógica queda indicado por: p ∆ q: “O viajo a España o viajo a Brasil”

4.4. CONDICIONAL: Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos proposiciones simples, a través del conectivo: “Si..., entonces...” y su símbolo es: “→”, “⊃”. La notación “p→ q”, “p ⊃ q” se lee “Si p, entonces q”; la proposición “p” se llama antecedente o hipótesis y la proposición “q” se llama consecuente o conclusión. Ejemplo: consideremos: p: “Llueva” q: “Mejorarán las cosechas” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p→ q: “Siempre que llueva entonces mejoraran las cosechas” 4.5. BICONDICIONAL: Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico “... si y sólo si...”, cuyo símbolo es: “↔”, “≡”, “⇔”. La proposición compuesta se denota por: “p ↔ q”, “p ⇔ q”, “p ≡ q” y se lee: “p si y sólo si q” Ejemplo: Consideremos: p: “Los cuerpos chocan” q: “Existe una fuerza que los atrae”

12

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p ↔ q: “Los cuerpos chocan porque y solo porque existe una fuerza que los atrae”.

5. FORMALIZACION O SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES Formalizar una proposición significa abstraer su forma lógica, es decir, revelar su estructura sintáctica a través del lenguaje formalizado de la lógica. En términos más sencillos formalizar una proposición equivale a representarla simbólicamente. Toda proposición tiene su forma lógica y fórmula. La fórmula lógica de una proposición es otra equivalente a la primera con la diferencia de que en ella toda su estructura sintáctica está completamente explicitada. A partir de aquí, su fórmula no es otra cosa que la que resulta de sustituir a toda proposición atómica distinta por una variable proposicional también distinta, a toda conjunción gramatical por el operador lógico correspondiente y el adverbio “no” por el operador negativo. La técnica de formalización de proposiciones comprende los siguientes pasos: 1° Se explicita su forma lógica empleando las conjunciones “y”, “o”, “si…entonces”, “si y sólo si “y el adverbio “no” en sustitución de sus expresiones equivalentes, 2° Se halla su fórmula reemplazando cada proposición atómica por una variable proposicional, las conjunciones gramaticales por sus operadores lógicos correspondientes y el adverbio “no” por el operador negativo. 3° Los signos de agrupación se usan para establecer la jerarquía entre los operadores de una fórmula lógica, pero solo cuando su omisión la hace ambigua. Ejemplos: a) Kant es filósofo, pero Frege es lógico. Forma lógica: Kant es filósofo y Frege es lógico. Fórmula: p: Kant es filósofo

p ∧ q

q: Frege es lógico b) No iremos al teatro a menos que venga Raúl. Forma lógica:

Si Raúl viene, entonces iremos al teatro.

Fórmula: p: Raúl viene.

q:

p →q

iremos al teatro.

13

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNICA PROFESIONAL PNP

- HABILIDADES LOGICAS MATEMATICAS

c) Euclides no es médico ni físico. Forma lógica: Fórmula:

Euclides no es médico y Euclides no es físico.

p: Euclides es médico.

Euclides es físico.

q:

∼ p ∧ ∼q

d) César es profesor o es alumno, la vez.

pero no puede ser ambas cosas a

Forma lógica: César es profesor o César es alumno, y es falso que Cesar sea profesor y César sea alumno

Fórmula:

p: César es profesor.

q: César es

alumno.

(p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q) TRABAJO APLICATIVO N° 1 I. Lee con mucho cuidado las siguientes expresiones e identifica si es proposición (P), enunciado (E) o enunciado abierto (EA). 1 2

La PNP es una institución del estado ¿Eres un Sub oficial de tercera?

( (

) )

3

8