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• Nicolas Cruz Swaneck

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Probabilidades y Estadística

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Unidad 4: Modelos Probabilísticos 1 Antecedentes Generales En la unidad anterior se presentaron los conceptos básicos relacionados con las variables aleatorias, las cuales pueden utilizarse para trabajar con los resultados de experimentos aleatorios. En esta unidad se verán algunas distribuciones de probabilidad, o modelos probabilísticos especiales, asociados a experimentos aleatorios específicos. Dichas distribuciones pueden expresarse como fórmulas matemáticas, las que involucran ciertas constantes, llamadas parámetros. Estas distribuciones son conocidas por su amplia aplicación en la resolución de problemas prácticos en diferentes áreas del conocimiento. 2

Distribuciones Discretas

Distribución Bernoulli Suponer que se tiene un experimento aleatorio con dos resultados posibles. Por ejemplo: (Cara, sello), (Encendido, Apagado), (Defectuoso, No defectuoso), (Verdadero, Falso), etc... Para este experimento aleatorio, se define un espacio muestral S, y un evento A ⊂ S , con P ( A) = p, 0 < p < 1 . Si se define la variable aleatoria X, con parámetro, de la siguiente forma:

1; si s ∈ A X ( s) =  0; si s ∉ A Se dice que la variable aleatoria X se distribuye Bernoulli, con parámetro p, y se denota X ∼ Bernoulli ( p ) , cuya función de probabilidad es la siguiente:

p , x =1 p X ( x ) = P ( X = x) =  1 − p , x = 0 Por lo tanto, la función anterior se puede escribir como p X ( x ) = p x (1 − p )1− x Definiendo q = 1 − p , se puede probar además que, para una variable aleatoria Bernoulli:

E [ X ] = p y Var [ X ] = pq

Ejemplo:

Se lanza un dado y se observa si sale 1 P(éxito)=1/6

E[X ] = 1

P(fracaso)=5/6

6

y Var [ X ] = 1 ⋅ 5 = 5

6

6

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Distribución Binomial Suponga que se tiene un experimento aleatorio, el cual consiste en n ensayos Bernoulli independientes, cada uno de ellos con probabilidad de éxito p. Si se define una variable aleatoria X, la cual cuenta el número total de éxitos en los n ensayos, entonces X se conoce como variable aleatoria Binomial, con parámetros n y p. Es decir:

X ∼ b(n, p) y RX = {0,1,..., n}

Si X es una variable que se define como binomial, entonces ella cumple las siguientes características:
x es el número de veces que sucede el éxito en n repeticiones.
En cada repetición se miden dos resultados: éxito o fracaso.
El rango de x varía entre cero y n, ya que puede suceder que en las n repeticiones no ocurra nunca el éxito o por el contrario, en las n repeticiones ocurre el éxito la totalidad de las veces.
La probabilidad de que suceda éxito es constante en cada repetición.
Los ensayos son independientes. Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel

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La función de probabilidad está definida por:

n p X ( x) =   p x q n − x ; x = 0,1,..., n, q = 1 − p  x Se puede demostrar además que E [ X ] = np y Var [ X ] = npq Ejemplo: Un competidor de tiro al platillo tiene una probabilidad de acertar un disparo igual a 0.8. a) ¿Cuál es la probabilidad de acertar 3 veces si realiza 4 disparos? b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar 3 o más veces si realiza 4 disparos? Desarrollo: Se trata de un experimento en que el tirador realiza 4 disparo, cada uno de ellos con probabilidad de 0,8 de acertar un disparo, e independientes. En otras palabras, se tienen 4 ensayos Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito igual a 0,8. Se define una variable aleatoria X, que cuenta el número de tiros acertados, de un total de 4 intentos. Entonces, X se distribuye binomial con parámetros n=4 y p=0,8. Su función de probabilidad es:

4 p X ( x) =   (0,8) x (0, 2) 4− x ; x = 0,1,..., 4  x (a) ¿Cuál es la probabilidad de acertar 3 veces si realiza 4 disparos?

 4 P ( X = 3) = p X (3) =   (0,8)3 (0, 2)1 = 0, 4096 3 (b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar 3 o más veces si realiza 4 disparos?

 4 4 P ( X ≥ 3) = p X (3) + p X (4) =   (0,8)3 (0, 2)1 +   (0,8) 4 (0, 2)0 = 0, 4096 + 0, 4096 = 0,8192 3 4 Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean niñas?

n P ( X = x) =   p x ( 1 − p)n − x  x p = 0.5; n = 4; x = 2  4 P ( X = 2) =   ( 0.5 )2 ( 1 - 0.5 )4- 2 = 0.375  2 Ejercicio: Para el ejemplo anterior, verifique si se obtienen las probabilidades que se indican en el cuadro siguiente: x P(X=x) P(X≤x) 0,0625 0 0,0625 1 0,2500 0,3125 0,3750 2 0,6875 3 0,2500 0,9375 0,0625 4 1,0000 Ejemplo: Si una décima parte de las personas tiene cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo?

Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel

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n P ( X = x) =   p x ( 1 − p)n − x  x p = 0.1; n = 100; x = 8 100  8 92 P ( X = 8) =   ( 0.1 ) ( 1 - 0.1 ) 8   Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener al menos dos seis al lanzar un dado cuatro veces. Desarrollo: p = 1/6, q = 5/6, n = 4 Al menos dos seis, implica que salen x = 2, 3, 4, entonces P(X=2) + P(X=3) + P (X=4) 2 2 3 4 4 1   5  4 1   5  4 1  P ( X ≥ 2) =       +       +     2 6   6  3 6   6  4 6   1   25   1   25  1 = 6   + 4  +  36   36   36   36  1 171 = 4 (6 ⋅ 25 + 4 ⋅ 5 + 1) = = 0.132 6 1296

Distribución Geométrica Suponer que un experimento aleatorio consiste en ir realizando ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito p en cada ensayo. Se define una variable aleatoria X, que denota el número de ensayos hasta obtener el primer éxito. X se conoce como variable aleatoria Geométrica, con parámetro p. Es decir:

X ∼ G ( p) Se puede verificar que la función de probabilidad de X está definida por:

p X ( x) = q x −1 p ; x = 1, 2,...

Notar que el recorrido de esta variable es infinito numerable, es decir RX = {1, 2,...} Se pueden obtener las siguientes expresiones para la esperanza y Varianza de esta variable:

E[X ] =

1 p

y Var [ X ] =

q p2

Ejemplo: Un competidor de tiro al platillo tiene una probabilidad de acertar un disparo igual a 0.8. Suponga que el tirador realiza disparos hasta que logra acertar en el blanco. Calcule la probabilidad de que le basten no más de dos intentos hasta que logre acertar en el blanco. Desarrollo: Se define una variable aleatoria X, que denota el número de intentos hasta que consigue acertar en el blanco. Entonces, X se distribuye Geométrica con parámetro p=0,8. Lo que se pide calcular es la probabilidad de que le basten no más de dos intentos hasta que logre acertar en el blanco, es decir:

P ( X ≤ 2) = p X (1) + p X (2) = (0, 2)0 (0,8) + (0, 2) (0,8) = 0, 96 Por lo tanto, la probabilidad es de 0,96.

Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel

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Distribución Hipergeométrica La distribución binomial se basa en el supuesto de que la población es infinita y de que la probabilidad de éxito permanece constante, lo cual se consigue en tales poblaciones o cuando se toman muestras con reemplazo en poblaciones finitas. Cuando se tiene un experimento similar al Binomial pero con una población finita y bajo un muestreo sin reemplazo, la probabilidad cambiará para cada nueva observación, teniendo en este caso un experimento de tipo hipergeométrico, basado en los siguientes supuestos:
La población o conjunto donde deba hacerse el muestreo es una población finita compuesta por N elementos.
Cada elemento de la población puede ser caracterizado como un éxito o un fracaso.
En la población hay M éxitos.
Se elige una muestra sin reemplazo de n individuos, de tal forma que sea igualmente probable seleccionar cada subconjunto de tamaño n. Consideremos el siguiente ejemplo. Suponer que en una caja hay N Fichas, de las cuales M son blancas, y el resto (N-M) son azules. Se selecciona una muestra al azar de n fichas, sin reemplazo. Se define una variable aleatoria X, que denota el número de fichas blancas que hay en la muestra seleccionada. Entonces, se dice que X tiene distribución Hipergeométrica, con parámetros M, N, y n. (Notar que RX = {0,1,..., n} ) La función de probabilidad de X es:

 M  N − M     x n−x  P ( X = x ) = p X ( x) =    ; x = 0,1,..., n; n ≤ M ≤ N N   n  Se puede demostrar que:

E[X ] =

nM N

;

Var [ X ] =

nM N

 N − M  N − n      N  N − 1 

Notar que M/N es la proporción de los éxitos de la población, de tal manera que si se reemplaza k/N por p en la esperanza y varianza se tiene que:

E ( X ) = np

 N −n V (X ) =   np (1 − p )  N −1 

Es claro que la esperanza binomial e hipergeométrica son iguales, mientras que las varianzas de las dos variables difieren por el factor (N − n)/(N−1), llamado factor de corrección por población finita. Este factor es menor que 1, así que la variable hipergeométrica tiene menor varianza que la de la binomial. El factor de corrección se puede escribir como (1−n/N)/(1 − 1/N), que es aproximadamente 1 cuando la población tiene un tamaño muy grande (N → ∞). Una regla de uso muy frecuente establece que el factor de corrección se puede pasar por alto cuando n/N ≤ 0, 05, es decir, cuando la muestra contiene menos del 5% de los elementos de la población. Cuando esto sucede, las distribuciones binomial e hipergeométrica coinciden. Ejemplo: En una planta química se utilizan 24 tanques para almacenar el producto final. Se escogen 4 tanques al azar, sin reemplazo. Suponga que 6 tanques contienen material en el que la viscosidad excede los requerimientos del cliente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un tanque de la muestra contenga material con viscosidad alta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un tanque de la muestra contenga material con viscosidad alta?

Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel

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Desarrollo Claramente, el problema se puede abordar definiendo una variable aleatoria Hipergeométrica, con parámetros

N = 24; M = 6; n = 4

Entonces, para la pregunta (a), se pide:

 6  24 − 6     1  4 − 1   P ( X = 1) = p X (1) = = 0, 4608  24    4  Es decir, la probabilidad de que exactamente un tanque de la muestra contenga material con viscosidad alta es de 0,4608. Ahora, para la pregunta (b), se pide:

 6   24 − 6     0 4 − 0   P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X < 1) = 1 − P( X = 0) = 1 − p X (0) = 1 − = 0, 7120  24    4  Por lo tanto, la probabilidad de que al menos un tanque de la muestra contenga material con viscosidad alta es de 0,7120. Ejemplo: Seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene 10 bolas, tres de las cuales son azules. Considerando el muestreo con y sin reemplazo, encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria, X = Número de bolas azules en cada elección. Desarrollo N = 10, M = 3, N - M = 7, n = 2 Con reemplazo: x

2− x

 2 3   7  P ( X = x) =       x   10   10  P ( X = 0) = 0.49, P ( X = 1) = 0.42, P( X = 2) = 0.09 Sin reemplazo:

 3  7   x  2 − x   P ( X = x) =   10  2   P ( X = 0) = P( X = 1) =

21 3 ≈ 0.47 , P( X = 2) = ≈ 0.07 45 45

Ejemplo: Un partido político tiene 52 delegados de la Región del Bío Bío para la convención nacional. 30 de estos delegados apoyan al candidato A y el resto al candidato B. Si cinco de estos delegados son seleccionados aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos apoyen al candidato A?

Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel

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N = 52; M = 30; N − M = 22; n = 5   30  22   30   22    30  22            x  5 − x  0  5 − 0   1   5 − 1     P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X < 2) = 1 − ∑ = 1− +    52   52   52  x =0         5 5 5   1

245784  26334 + 219450  P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X < 2) = 1 −  = 1− = 1 − 0.09 = 0.91  2598960 2598960  

Distribución Poisson En ocasiones, interesa asignar probabilidades al número de ocurrencias de un evento en un periodo de tiempo fijo, o en una región determinada. Por ejemplo:
Número de averías de una máquina por jornada de trabajo.
Número de errores tipográficos en una revista.
Número de llamadas a una central telefónica en una hora.
Número de automóviles que llegan a una plaza de peaje en un día.
Número de clientes que llegan a un banco por hora.
Número de partículas emitidas por cierta sustancia radioactiva en un determinado lapso de tiempo.
Número de accidentes de tráfico que ocurren en un día en un cruce.
Número de llamadas que llegan a una central telefónica en cierto intervalo de tiempo.
Número de órdenes de devolución de piezas que recibe una empresa en una semana.
Número de niños nacidos con un problema en el corazón en una cita grande durante un año.
Número de saques “no respondidos” por un tenista famoso durante su carrera.
Número de veces que falla una pieza de un equipo durante un período de tres meses.
Número de nuevas infecciones por una enfermedad contagiosa en una población durante un mes. Situaciones como las mencionadas anteriormente, pueden modelarse a través de lo que se conoce como un Proceso de Poisson de parámetro λ , la cual es la tasa del proceso. Los procesos de Poisson cumplen con los siguientes supuestos: a) En intervalos de longitud suficientemente cortos ∆t , el evento ocurre a lo más una vez (es imposible dos o más ocurrencias). b) La probabilidad de que el evento ocurra exactamente una vez en el intervalo ∆t es proporcional a la longitud del intervalo, λ∆t , con λ > 0 . c) La ocurrencia del evento en un intervalo de longitud ∆t no tiene efecto en la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo de igual longitud. (independencia estocástica). Si se tiene un proceso de Poisson de parámetro λ , y se define una variable aleatoria X, que denota el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de longitud t , entonces X se distribuye Poisson, con parámetro λt . Haciendo λ t = µ , la función de probabilidad de X se define:

p X ( x) =

e− µ ( µ )

x

x! Se puede verificar además que: E[ X ] = µ y Var[ X ] = µ

; x = 0,1, 2,...

Ejemplo: Si el número de accidentes que ocurren en una carretera diariamente se distribuye Poisson con parámetro λ = 1 , calcular la probabilidad de que no ocurran accidentes hoy. Respuesta: Se define una variable X, que se distribuye Poisson con parámetro µ = λt = 1 ⋅1 = 1 . Entonces:

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P ( X = 0) = p X (0) =

e −1 (1) 0!

0

= e−1 ≈ 0,3679

Ejemplo: Suponer que llegan clientes a una cola de espera a una tasa de 4 por minuto. Asumiendo que el arribo ocurre de acuerdo a un Proceso Poisson, determinar la probabilidad de que al menos una persona llegue a la cola en un intervalo de ½ minuto. Desarrollo Se define una variable X, que se distribuye Poisson con parámetro µ = λt = 4 ⋅

P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X < 1) = 1 − P( X = 0) = 1 − p X (0) = 1 −

1 = 2 . Entonces: 2

e −2 ( 2 ) 0!

0

= 1 − e−2 ≈ 0,8647

Ejemplo: El número promedio de partículas radioactivas que pasan a través de contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. ¿Cuál es la probabilidad de en un milisegundo entren 6 partículas? Desarrollo:

λ =4 x=6 P ( X = 6) =

e −4 46 = 0.1041 6!

Ejemplo: Los fines de semana, los clientes que entran a una pequeña tienda del Mall lo hacen a una tasa esperada de 0,50 por minuto. Encuentre la probabilidad de que el número de clientes que entran en un intervalo específico de 10 minutos es 3 y, a lo más 3. Desarrollo:

λ = 0.50

λt = 0,50 ⋅10 = 5

e −5 53 0,84 = = 0.14 3! 6 P ( X ≤ 3) = P( X = 0) + P ( X = 1) + P ( x = 2) + P( X = 3) P ( X = 3) =

1 −5 0 1 −5 1 1 −5 2 e−5 53 = e 5 + e 5 + e 5 + = 0, 265 0! 1! 2! 3!

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