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• Luis Miguel Peña

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CONTENIDO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME .......................................................................... 2 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI ........................................................................................................... 7 DISTRIBUCIONES DISCRETAS: BINOMIAL ....................................................................................... 9 LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD GEOMÉTRICA .................................................................... 11 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA .................................................................................................. 14 MODELO PROBABILÍSTICO DISCRETO DE POISSON ...................................................................... 22 CONCLUSIONES ..................................................................................................................................... 25 BILIOGRAFIA........................................................................................................................................ 26

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LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME Distribución Uniforme Discreta La Distribución uniforme discreta es la más simple de todas las distribuciones con probabilidad discreta. Describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos con la misma probabilidad cada uno de ellos. Esta distribución asigna igual probabilidad a todos los valores enteros consecutivos entre el límite inferior y el límite superior que definen el recorrido de la variable; se aplica a un experimento que puede ocurrir de “n” formas mutuamente excluyentes y cada una de esas formas tiene la misma probabilidad de las otras; por tanto, cada probabilidad es 1/n, la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad idéntica, es decir cada elemento tiene la misma probabilidad. Por ejemplo cuando se observa el número obtenido tras el lanzamiento de un dado perfecto, los valores posibles siguen una distribución uniforme discreta en {1, 2, 3, 4, 5, 6} y la probabilidad de cada cara es 1/6. Con idénticas probabilidades, entonces la distribución uniforme discreta ésta dada por: F(X; n)= 1/n,

X=X1, X2,..Xn

Se utiliza la notación f(x; n) para indicar que la distribución uniforme depende del parámetro “n”. “Sea la variable aleatoria X que puede asumir valores X=X1, X2,..Xn con idéntica probabilidad. Entonces la distribución uniforme discreta viene dada por:

O sea que el parámetro clave en esta distribución es n=número de valores que asume la variable aleatoria X y que sería un parámetro de conteo.

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Así por ejemplo volviendo al ejemplo anterior cuando se lanza un dado correcto, cada una de las seis caras posibles conforman el espacio muestral: Ω= {1P, 2P, 3P, 4P, 5P, 6P} La variable aleatoria X: número de puntos en la cara superior del dado tiene una distribución de probabilidad Uniforme discreta, puesto que: F(x) = P [X=x]=

para x=1, 2, 3, 4, 5, 6

F(x) = P [X=x]= 0

En otro caso

La representación gráfica de esta distribución de probabilidad puede hacerse con un histograma para variable aleatoria discreta, f(x), es en este caso la altura

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Planteemos sus características principales de tendencia central y dispersión. Media de la Distribución Uniforme discreta f(x, n) son:

Varianza de la Distribución Uniforme discreta f(x, n) son:

Caso: La Institución Educativa Privada Pierre Laplace, perteneciente a la UGEL n°1, aspira a crecer como institución, preparando sus exámenes para postular a cualquiera Universidad del país. Estas evaluaciones se realizan en el módulo de secundaria y se realizan al final de cada bimestre académico. El temario de un examen bimestral contiene 50 temas selectivos entre los cuales destacan materias de ciencia; sin embargo no todos logran aprobar satisfactoriamente el examen, he ahí el interés, en los últimos puestos; ante este sector de estudiantes la Institución ha iniciado un análisis con un examen de subsanación a pocos días de haberse llevado a cabo el examen. El temario del mencionado examen de subsanación contiene todos los temas y se llevará a cabo de manera oral y/o escrita, de los cuales se elegirá uno por sorteo en el instante, esta es una medida para promover académicamente a este sector de estudiantes. La variable que representa el número del tema seleccionado para examen sigue una distribución uniforme con parámetros a=1 y b=50. estudiante aprueba el examen si le toca un tema del 1 al 50, ¿Cuál la probabilidad que apruebe el examen? Si el estudiante no estudiado los últimos 15 temas.

el El es ha

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Solución: Para ello, realizaremos un cálculo en el programa EPIDAT 3.1, Programa desarrollado por el Servicio de Información de la Dirección de la Organización Panamericana de la Salud (OPS-OMS). De la siguiente manera:

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Con esto la Institución Educativa Pierre Laplace, ofrece un mejoramiento académico como servicio a cada uno de sus estudiantes. Por lo ejecutado en el programa podemos darnos cuenta fácilmente de la siguiente condición: Si el estudiante no ha estudiado 15 temas y aprueba con una probabilidad de 70%, es promovido como regular para nivelarlo y fortalecerlo académicamente. De no pasar este porcentaje, la Institución tomaría otra decisión como ofrecerles apoyo psicológico, reforzamiento académico, evaluar otra opción de habilidad y destreza, etc.

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DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI Introducción: Una prueba de Bernoulli tiene uno de dos resultados mutuamente exclusivos, que por lo regular se denotan (éxito y fracaso). Los resultados son exhaustivos es decir, no hay otros resultados posibles. Es considerado la base de la distribución Binomial. Distribución de Bernoulli: Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta X que toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota P (X = 1) P (X = 0)

=

= p 1 − p

Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la v.a.

PROPIEDADES Distribución de Bernoulli de parámetro p: Media

µ E(X) = P

Varianza σ2

Var (X) = P(1-P)

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Desviación Típica σ

√

CASO PRÁCTICO

En la Bodega Karla, ubicada en la Urbanización Los Cipreses K – 12, se realiza la compra semanal de frutos de un distribuidor particular. Recibe 6 cajas de Naranja, sin embargo no solo los recibe, pues tiene que verificar si el producto está en buen estado para poder quedarse con la mercadería. Se revisa una caja al azar: Si 4 a menos naranjas están mal, se considera mercadería buena y se verifican un par de cajas más. Así tenemos: En una caja vienen: 45 naranjas Entonces tendremos: La fruta buena = Probabilidad de Éxito = p La fruta mala = Probabilidad de fracaso = q Entonces de las 45 naranjas: Usualmente las naranjas buenas son 41 aprox. Para 1 naranja tendremos lo siguiente: p (x = 1) = (41/45)1 + (4/45)0 = 0.9111 P (x = 0) = (41/45)0 + (4/45)1 = 0.0889 Tendremos la varianza de: Var(x) = p(1-p) = (0.9111)(1-0.9111) = 0.0809 Desviación Típica = 0.2844

Por cada naranja que saque de la caja tendré un 91.11% de que se encuentre en buen estado.

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DISTRIBUCIONES DISCRETAS: BINOMIAL

Las distribución binomial parte de la distribución de Bernouilli: La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0 La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de veces el experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:

0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido éxitos

Ejemplo: se tira una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10

La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:

¿Alguien entiende esta fórmula? Vamos a tratar de explicarla con un ejemplo:

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LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD GEOMÉTRICA Se recordará que en un experimento binomial se tiene una serie de eventos idénticos e independientes, y que cada uno origina un “éxito” E o un “fracaso” F, con p(E) = p y p(F) = 1- p = q. Si se interesa el número x de pruebas hasta la observación del primer éxito, entonces x posee una distribución de probabilidad geométrica. Nótese que el número de pruebas podría seguir indefinidamente y que x es un ejemplo de variable aleatoria discreta que puede tomar un número infinito (pero contable) de valores. Las fórmulas para la distribución geométrica son: p(x) = pq

x-1

x = 1,2,……,8

Donde, x = número de pruebas independientes hasta la ocurrencia del primer éxito. p = probabilidad de éxito en una sola prueba, q = 1 – p. Media:

Variancia:

Desviación estándar:

La distribución de probabilidad geométrica es un modelo para el intervalo de tiempo que un jugador (o inversionista) tiene que esperar hasta ganar. Por ejemplo, si la ganancia media en una serie de apuestas idénticas en la ruleta (o en alguna otra serie de pruebas idénticas), no es una buena medida para su prospectiva de ganar, podría tener una racha de mala suerte y quedarse sin dinero antes de tener la posibilidad de recuperar sus pérdidas. La distribución de probabilidad geométrica también proporciona un modelo discreto para el lapso, digamos el número x de minutos, antes de que un consumidor en una fila o línea de espera (en un supermercado, servicio de reparaciones, hospital, etc.) reciba la atención [nótese que el lapso o intervalo de tiempo es una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad geométrica es una analogía discreta de (una aproximación para) una distribución de probabilidad continua particular, conocida como

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distribución exponencial]. Este modelo discreto para la distribución de probabilidad de tiempo de espera x se basa en la suposición de que la probabilidad de recibir el servicio durante cualquier minuto es idéntica e independiente del resultado durante cualquier otro minuto y que x se mide en minutos “enteros”, es decir, x = 1, 2, 3. Caso Práctico

La tienda “Comercial F & C”, cuya actividad es la venta de electrodomésticos, planea conocer el volumen de ventas que hace durante el día, con lo cual evalúa la posibilidad de abrir otra tienda. Según sus registros, el vendedor de la tienda tiene éxito al vender 3 producto de cada diez con consultas (30%), suponiendo que cada consulta es independiente de una venta en cualquier otro momento. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor tenga que tratar con 10 personas antes de hacer su primera venta? b) ¿Cuál es la probabilidad que la primera venta se realice antes o en la décima oportunidad? c) Según el volumen de ventas, ¿Se debería abrir otra tienda? Solución:

a) La probabilidad de realizar una venta en un solo contacto o consulta es p = 0.3 Entonces la probabilidad de que necesita exactamente x = 10 contactos antes de hacer su primera venta es: p(x) = pq

x-1

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o bien p(10) = (0.3)(0.7) = 0.012

b) La probabilidad de que se realice la primera venta antes de o en la décima entrevista, es: P(x = 10) = p(0) + p(1) + p(2) +…….+ p(10) La manera más sencilla de hallar esta probabilidad es expresarla como el complemento de una serie infinita, es decir: P(x = 10) = 1- P(x > 10)

12

Donde, P(x > 10) = p(11) + p (12) + p (13) + … = pq

10

+ pq

11

+…

La suma de una serie geométrica infinita es igual a a / (1 - r), donde a es 2

el primer término de la serie, r es la razón, común, y r < 1. Utilizando este resultado, tenemos. P(x = 10) = 1 - p(x > 10) = 1

-

= 1 – q = 1 – (0.7)10 = 0.972

Por lo tanto existe una alta probabilidad (0.972) de que el vendedor realice la primera venta antes de o en el décimo contacto. c) Puesto que las probabilidades de venta son altas dentro de las 10 consultas, es decir, es por lo menos una venta asegurada en cada 10 consultas, se decide abrir una nueva tienda.

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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Es una distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones pequeñas y en el cálculo de probabilidades de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida. La distribución hipergeométrica puede derivarse de un proceso experimental puro o de Bernouilli con las siguientes características:    

El proceso consta de “n” pruebas, separadas o separables de entre un conjunto de N pruebas posibles. Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes: A y no A. En la primera prueba las probabilidades son: P(A) = p y P(A) = q; con p + q = l. Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un resultado no A varían en las sucesivas pruebas, dependiendo de los resultados anteriores.

Consideramos un conjunto de N elementos en el que tenemos N1 elementos del tipo 1 y N - N1 elementos del tipo 2. Extraemos n sin reemplazamiento y definimos la variable aleatoria: X = número de elementos del tipo 1 en los n extraídos. El modelo de distribución que sigue esta variable aleatoria es una hipergeométrica. Definición: Se dice que una variable aleatoria discreta X sigue una distribución hipergeométrica de parámetros N, N1 y n con n ≤ N , si se verifica:

rg(X) = { max( 0, n – ( N – N1 ), …, min( n, N1) ) } Y la función de probabilidad de X es:

( )(

)

⟨ ⟩ Con:

0 ≤ k ≤ N1

Proposición: Si X

,

0 ≤ n - k ≤ N – N1 . Se denota X

H(N, N1, n)

H(N, N1, n) entonces:

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Donde, de la función de probabilidad:

(

(

)

)

(

)

( )

N: conjunto de elementos del tipo N1 y N-N1 N1: es el número de elementos del tipo 1. N – N1: es el número de elementos del tipo2. k: es el número de elementos de N1 cuya probabilidad se está calculando n: es el número de ensayos que se realiza FUNCIÓN DE CUANTÍA Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un resultado no A varían en las sucesivas pruebas, dependiendo de los resultados anteriores. Veamos:

Hay un total de

formas distintas de obtener

x resultados del tipo A y “n-x” del tipo Ā , si partimos de una población formada por Np elementos del tipo A y Nq elementos del tipo Ā.

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Por otro lado si realizamos n pruebas o extracciones hay un total de:

posibles muestras (grupos de n elementos)

Aplicando la regla de Laplace tendríamos que:

que para valores de X comprendidos entre el conjunto de enteros 0,1,…..n será la expresión de la función de cuantía de una distribución Hipergeométrica de parámetros N, n, p.

MEDIA Y VARIANZA Considerando que una variable hipergeométrica de parámetros N, n, p puede considerarse generada por la reiteración de un proceso dicotómico n veces en el que las n dicotomías NO son independientes; podemos considerar que una variable hipergeométrica es la suma de n variables dicotómicas NO independientes. Es bien sabido que la media de la suma de variables aleatorias (sean éstas independientes o no) es la suma de las medias y por tanto la media de una distribución hipergeométrica será, como en el caso de la binomial:

En cambio si las variables sumando no son independientes la varianza de la variable suma no será la suma de las varianzas. Si se evalúa el valor de la varianza para nuestro caso se obtiene que la varianza de una distribución hipergeométrica de parámetros N, n, p es:

si

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EJEMPLOS DE APLICACIÓN Ejemplo 1: En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas? Solución Definimos nuestros parámetros del modelo hipergeometrico:

N = 12;

N1 = 7;

N2 = 5;

k(x) = 3;

n=4

Aplicamos el modelo:

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.

Ejemplo 2: La empresa “CERÁMICA MENFIS”, compra grandes cantidades de cerámicas por metro cuadrado en la ciudad de Lima para su venta en la ciudad de Huacho. Las cerámicas son transportadas a su almacén, ubicada en la ciudad de Huacho en trailers u ómnibus de transporte público dependiendo de tamaño del lote de las cerámicas, en la cual hay productos en perfecto estado y algunos rotos y/o quebrados debido al mal manejo del proceso de carga, descarga y almacenamiento de las cerámicas. Para tener un conocimiento acerca de las pérdidas que se generan, la empresa “MENFIS” extraerá una muestra de 2 cajas de cerámicos de una muestra de 10 cajas. Se desea saber: a) Cuál es la probabilidad de que en la muestra examinada, no exista mermas. b) Cuál es la probabilidad de que en la muestra examinada, exista como máximo 1 caja deteriorada, ya que si fuera más de esa cantidad si estaría perdiendo la inversión.

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Solución Definimos nuestros parámetros:

N = 10 cajas n = 2 cajas (tamaño de la muestra)

a) Para el caso de que no se encontrarán cajas deterioradas, es decir k=0 tenemos: k=0 N1 = 10

( )( ) ⟨ ⟩

Por lo tanto, la probabilidad de que en una muestra de 20 cajas de un lote de 100 cajas de cerámico no exista cajas deterioradas es de 0.55 %, una probabilidad muy baja de obtener éxito.

b) Para el caso de obtener como máximo 1 cajas deterioradas, para no obtener perdidas en la inversión, tenemos: k=1 N1 = 9

( )( ) ⟨ ⟩

Por lo tanto, la probabilidad de que en una muestra de 20 cajas de un lote de 100 cajas de cerámico exista 1 caja deteriorada como máximo es de 20%, probabilidad media baja por lo que sugiere tener mayor cuidado en el proceso de carga y descarga de los productos para evitar pérdidas de la inversión.

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Ejemplo 3: Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? Solución

N = 9 + 6 = 15 tabletas;

N1 = 6;

N2 = 9; k = 3

a) P(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = P(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Otra forma de resolver: ( )

( )

(

)

Por lo tanto la probabilidad de que el viajero sea arrestado en la aduana por posesión de narcóticos será 81.5 % , una probabilidad alta. b) P(no sea arrestado por posesión de narcóticos) ( ) (

( ) )

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Por lo tanto la probabilidad de que el viajero no sea arrestado en la aduana por posesión de narcóticos será 18.4 %, una probabilidad baja.

Gráfica de la distribución hipergeométrica para el caso del viajero en la aduana.

Gráfica de la Distribución Hipergeométrica 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

1

2

3

X

SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Las semejanzas son: 1. Tanto el modelo Hipergeométrico como el Binomial surgen de la repetición de un experimento con sólo dos resultados posibles. Si el tamaño de la población es grande o si el tamaño de la muestra es muy pequeño en relación con el de la población, mediante el modelo Binomial se puede obtener una buena aproximación al modelo Hipergeométrico, aunque el muestreo se realice sin reemplazo, haciendo

Las diferencias entre ellos es que las repeticiones en un modelo Binomial son independientes, mientras que en el modelo Hipergeométrico las repeticiones no son independientes. Por ejemplo, si

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al realizar por primera vez un experimento el resultado es defectuoso (D1) y al realizar por segunda vez también es defectuoso (D2), entonces se tiene que:

P (D2 | D1) P (D2) 2. Las medias en los dos modelos son iguales, pero las variancias son diferentes. La variancia en el modelo Hipergeométrico siempre es menor que en el Binomial, salvo cuando n = 1, pero entonces las dos distribuciones se reducen al modelo de Bernoulli.

De acuerdo a lo anterior, es fácil ver las condiciones en que se debe aplicar cada distribución. Si la población es infinita o el muestreo se realiza con reemplazo, el modelo adecuado es el Binomial. Si la población es finita y el muestreo se realiza sin reemplazo, el modelo adecuado es el Hipergeométrico, salvo el caso en que se pueda realizar la aproximación mediante el modelo Binomial.

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MODELO PROBABILÍSTICO DISCRETO DE POISSON Existen varias maneras de justificar la definición de un modelo Poisson, una de ellas es considerar la observación de la ocurrencia de un cierto evento en un intervalo de duración unitaria; el número de veces que ocurre ese evento en el intervalo, también se puede considerar como una variable aleatoria Poisson. En atención a las dos maneras de justificar el modelo Poisson se dan las dos definiciones siguientes. Definición 1: El modelo Poisson es una variable aleatoria que se puede definir como un proceso de límites en un Experimento Binomial para n muy grande (n→∞) y “p” muy pequeño (p→0) tal que el producto (n*p) tiende a ser un valor finito m. Definición 2: El modelo Poisson es una variable aleatoria que se puede definir como el número de veces que ocurre un cierto evento A en un intervalo de tiempo de duración unitaria. Notas:  La variable aleatoria tomará cualquier valor entero mayor o igual a cero.  El modelo Poisson se denotará como P(m), donde m puede definirse como el producto (n*p) en términos de la Definición 1 o como la tasa de ocurrencia del evento A por unidad de tiempo, en términos de la Definición 2.  La asignación de probabilidades de cada valor de la variable está dada por la siguiente ecuación.

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CASO DE APLICACIÓN

La empresa “INVERSIONES E&C” ubicada en Av. Circunvalación 1404 INTERIOR 31 MERCADO MODELO DE FRUTAS – LA VICTORIA, se dedica a la producción de durazno en jabas. Para satisfacer las órdenes de pedido la empresa ha creado tres grupos de trabajo el primer grupo de trabajo realiza el 50% de la producción con un 1% de defecto, el segundo grupo realiza el 30% de la producción con un 2% de defecto y finalmente el tercer grupo realiza el 20% de la producción con un 3% de defecto. La empresa cliente ha establecido una tolerancia de aceptación de productos defectuosos mediante un método que consiste en analizar 100 jabas del envío total y aceptando el lote de jabas si hay cinco o menos jabas defectuosas. “INVERSIONES E&C” debe tomar la decisión de aceptar o rechazar la orden de producción ya que de aceptar y no aprobar la evaluación, el lote de productos sería rechazado.

SOLUCIÓN: Para dar solución a este problema hemos empleado el modelo probabilísticos discreto de Poisson ya que se encuentra en las condiciones debidas: Se tiene entonces que:

“n = 100”

“ p = ? ”

“

= n*p”

M1: El 1° centro de prod. Produce el 50 %



P(M1)=0.50

M2: El 2° centro de prod. Produce el 30 %



P(M2)=0.30

M3: El 3° centro de prod. Produce el 20 %



P(M3)=0.20

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D: Artículo defectuoso Entonces:

P(D/M1) = 0.01 P(D/M2) = 0.02 P(D/M3) = 0.03

Según el “Teorema Total de la Probabilidad” se tiene que: P(D) = P(M1)*P(D/M1) + P(M2)*P(D/M2) + P(M3)*P(D/M3) P(D) = (0.50)(0.01)+ (0.30)(0.02)+ (0.20)(0.03) P(D) = 0.017

Por lo tanto el valor del parámetro “p” es p = 0.017 El valor del parámetro

= n*p será

= =

(100)*(0.017) 1.7

La función de Distribución de Poisson será:

x=0,1,2,…,100

Se pide hallar

P[x>5] = 1 - P[x5] = 1 – 0.9704 P[x>5] = 0.0296

Según el estudio del caso y de la aplicación del modelo probabilístico discreto de Poisson la probabilidad de que rechacen el pedido es de 0.0296, y por consiguiente la empresa debe tomar la decisión de aceptar la orden de producción.

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CONCLUSIONES 

Los modelos probabilísticos discretos son adecuadamente aplicables en la toma de decisiones ya que los resultados ha garantizado un resultado verdadero tras la ejecución de las obras.



En la medida en que se analizan distintos tipos de experimentos aleatorios se comienza a notar que el comportamiento de muchos de ellos es bastante similar entre sí. Comienzan a repetirse características de una variable aleatoria a otra lo que conlleva a continuar la sistematización del análisis al verificar esas características comunes.

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BILIOGRAFIA 

Suitberto Cabrera Garcia Dpto de EStadistica e investigacion Operativa aplicadas y calidad



Universidad Politécnica de Valencia – España http://polimedia.upv.es/visor/?id=938c6ceb-9fc9-8141-beb7-f966c296db19



Universidad de Vigo - España Principales distribuciones discretas http://webs.uvigo.es/anapg/Tema2Discretasmodif.pdf



Universidad de Malaga Bioestadística: Metodos y Aplicaciones http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node69.htm



http://webs.uvigo.es/anapg/Tema2Discretasmodif.pdf



http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node69.htm



http://polimedia.upv.es/visor/?id=938c6ceb-9fc9-8141-beb7-f966c296db19

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