• Author / Uploaded
• mayra sotelo

Citation preview

Instituto Tecnol´ ogico de Sonora Departamento de Matem´ aticas Probabilidad y Estad´ıstica

Ejercicios Unidad II Variables Aleatorias Discretas

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

Ejercicios 1. (B) Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una l´ınea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: Calcular: (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? (0.0746) (b) ¿Y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? (0.9885) (c) ¿Cu´al es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? (0.4013) 2. (P) Una empresa electr´onica observa que el n´ umero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el n´ umero promedio de estos fallos es ocho. Calcular: (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? (0.2707) (b) ¿Y de que fallen no m´as de dos componentes en 50 horas? (0.2381) (c) ¿Cu´al es la probabilidad de que fallen diez en 125 horas? (0.1251) 3. (H) Sup´ongase que la producci´on de un d´ıa de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote seis piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X igual al n´ umero de piezas de la muestra que no cumplen. Calcular: (a) ¿Cu´al es la probabilidad de encontrar ninguna pieza defectuosa? (0.6943) (b) ¿Cu´al es la probabilidad de encontrar al menos dos piezas defectuosas? (0.0437)

1

Felipe Castro, Mucio Osorio

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

4. (B) Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una mol´ecula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la mol´ecula rara. Calcular: (a) Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la mol´ecula rara. (0.2835) 5. (H) Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tuber´ıa local y 200 unidades de un proveedor de tuber´ıa del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo. Calcular (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? (0.0119) (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que dos o m´as piezas de la muestra sean del proveedor local? (0.4074) (c) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? (0.8045) 6. (P) Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribuci´on de Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto. Calcular (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora? (0.062) (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en media hora? (0.4232) 7. (P) El n´ umero de pinchazos en los neum´aticos de cierto veh´ıculo industrial tiene una distribuci´on de Poisson con media 0.3 por cada 50000 kil´ometros .Si el vehiculo recorre 100000 km, se pide: Calcular (a) Probabilidad de que no tenga pinchazos. (0.5488) 2

Felipe Castro, Mucio Osorio

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

(b) Probabilidad de que tenga menos de tres pinchazos. (0.9769) 8. (B) La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento g´astrico es 0.8. Sup´ongase que 20 personas han contra´ıdo tal afecci´on. ¿Cu´al es la probabilidad de que: Calcular (a) Sobrevivan 14? (0.1090) (b) Al menos 10 sobrevivan? (0.999) (c) Al menos 14 pero no m´as de 18 sobrevivan? (0.844) (d) A lo m´as 16 sobrevivan? (0.589) 9. (P) Una planta procesadora y enlatadora de alimentos tiene 20 m´aquinas enlatadoras autom´aticas en operaci´on constante. La probabilidad de que la m´aquina se descomponga en un determinado d´ıa es 0.05. Calcular (a) Encuentre la probabilidad de que en un d´ıa determinado fallen dos m´aquinas enlatadoras? (0.184) 10. (P) Un fabricante de podadoras de c´esped adquiere del proveedor motores de dos tiempos de 1 caballo de fuerza, en lotes de 1000. En cada podadora se instala uno de estos motores. La experiencia indica que la probabilidad de que un motor este defectuoso es 0.001. En un env´ıo de 1000 motores. Calcular (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que ninguno este defectuoso? (0.368) (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que uno este defectuoso? (0.368) (c) ¿ Cu´al es la probabilidad de que dos esten defectuosos? (0.184) (d) ¿ Cu´al es la probabilidad de que tres esten defectuosos? (0.061) (e) ¿ Cu´al es la probabilidad de que cuatro esten defectuosos? ( 0.015) 11. (P) En un almac´en en particular los clientes llegan al mostrador de caja, conforme una distribuci´on de Poisson con un promedio de siete por hora. En una hora dada, ¿cu´al es la probabilidad de que: Calcular 3

Felipe Castro, Mucio Osorio

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

(a) lleguen no m´as de tres clientes? (0.0818) (b) Lleguen al menos dos clientes? (0.9927) (c) lleguen exactamente cinco clientes? (0.1277) 12. (P) El n´ umero de errores tipogr´aficos cometidos por una mecan´ografa en particular tiene una distribuci´on de Poisson con una media de cuatro errores por p´agina. Si una p´agina dada tiene m´as de cuatro errores, la mecan´ografa tendr´a que repetir la p´agina entera. Calcular (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que no se tenga que repetir cierta p´agina? (0.6288) 13. (P) Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada I de acuerdo con una distribuci´on de Poisson con una media de tres por hora y a la entrada II de acuerdo con una distribuci´on Poisson con una media de cuatro por hora. Calcular (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que tres coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (0.0521) (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que m´aximo tres coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (0.08176) 14. (VAD) Suponga que X representa el n´ umero de fallas mec´anicas diarias que ocurren en una planta procesadora de alimentos. Suponga adem´as, que la distribuci´on de probabilidad de X es la siguiente: x 0 1 2 3 4 5 p(x) 0.28 0.37 0.17 0.12 0.05 0.01 Calcular (a) Encuentre el valor esperado de X. (E(x) = µ = 1.32) (b) Construya una gr´afica de la distribuci´on de probabilidad e identifique aµ (c) ¿Cu´al es la probabilidad de encontrar dos fallas mec´anicas en un d´ıa? (0.17) 4

Felipe Castro, Mucio Osorio

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

(d) ¿Cu´al es la probabilidad de encontrar al menos una falla menc´anica en un d´ıa? (0.72) (e) ¿Cu´al es la probabilidad de encontrar m´aximo una falla menc´anica en un d´ıa? (0.65) 15. (VAD) Una compa˜ n´ıa fabrica paquetes de clips. El numero de clips por paquete varia, como se indica en la tabla adjunta. 47 48 49 50 51 52 53 N´ umero de clips Proporci´ on de paquetes 0.04 0.13 0.21 0.29 0.20 0.10 0.03 Calcular (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un paquete elegido aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clip (ambos inclusive)? (0.7) (b) Calcular la media del n´ umero de clips. (49.9) (c) Calcular la varianza del n´ umero de clips. (1.95) 16. (VAD) Una f´abrica embarca su producto en dos camiones de carga con dimensiones de 8 x 10 x 30 y 8 x 10 x 40 respectivamente. El 30% de sus embarques se hacen en el cami´on de 30 pies y el 70% se hacen en el cami´on de 40 pies. Calcular (a) Encuentre la media por cami´on del volumen embarcado (se supone que los camiones siempre van llenos). (2960) (b) Encuentre la varianza por cami´on de volumen embarcado (se supone que los camiones siempre van llenos). 17. (VAD) Una tienda de electr´onica vende un modelo particular de computadoras port´atil. Hay s´olo cuatro computadoras en existencia y la gerente se pregunta cu´al ser´a la demanda de hoy para este modelo en particular. Ella se entera en el departamento de marketing de que la distribuci´on de probabilidad para x, la demanda diaria para laptop, es como se muestra en la tabla. 0 1 2 3 4 5 x p(x) 0.10 0.40 0.20 0.15 0.10 0.05 Calcular 5

Felipe Castro, Mucio Osorio

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

(a) Encuentre la media de x. (1.9) (b) Encentre la varianza y la desviaci´on est´andar de x. (1.79, 1.34) (c) ¿Es probable que cinco o m´as clientes deseen comprar una laptop hoy? (No) 18. (P) Supongamos que el n´ umero de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribuci´on Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por mil´ımetro. Calcular (a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un mil´ımetro de alambre. (0.265) (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mil´ımetros de alambre. (0.113) (c) Determine la probabilidad de al menos una imperfecci´on en 2mm de alambre. (0.9899) 19. (P) De las personas que pasan a trav´es de un detector de metales en un aeropuerto, el 0.5% lo activan; sea X, el n´ umero entre un grupo de 500 seleccionado al azar que activen el detector. Calcular (a) Calcule P(X=5) (0.06688) (b) Calcule P(5≤ X) (0.108) 20. (P) La contaminaci´on constituye un problema en la fabricaci´on de discos de almacenamiento o´ptico. El n´ umero de part´ıculas de contaminaci´on que ocurre en un disco o´ptico tiene una distribuci´on de Poisson y el n´ umero promedio de part´ıculas por cent´ımetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El ´area de un disco bajo estudio es 100 cent´ımetros cuadrados. Calcular (a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 part´ıculas en el a´rea del disco bajo estudio. (0.09478)

6

Felipe Castro, Mucio Osorio

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

(b) La probabilidad de que ocurran cero part´ıculas en el ´area del disco bajo estudio. (0.0000454) 21. (H) En el Curso de una hora, una m´aquina espec´ıfica llena 1000 botellas de cerveza. En cada uno de sus intervalos, se selecciona aleatoriamente una muestra de 20 botellas y se verifica el volumen del contenido en cada una. Sea X el n´ umero de botellas seleccionadas con contenido insuficiente. Suponga que en una hora espec´ıfica se producen 100 botellas llenadas de forma deficiente. Calcular (a) Calcule la probabilidad de que al menos tres botellas con contenido deficiente se incluyan en las muestreadas. (0.3224) (b) Calcule la probabilidad de que exactamente 8 botellas con contenido deficiente se incluyan en las muestras. (0.0003002) 22. (H) Un distribuidor de software desea obtener retroalimentaci´on de los clientes acerca de su m´as reciente paquete. Han adquirido el producto 3000 clientes. Suponga que 600 de ellos est´an insatisfechos con el producto. Se realiza un muestreo aleatorio e interrogativo de 20 clientes acerca del paquete. Sea X el n´ umero de clientes muestreados que est´an insatisfecho. Calcular (a) Calcule la probabilidad de P(X ≤ 3). (0.4114) 23. (H) Sea x una variable aleatoria Hipergeom´etrica con N=15, n=3 y M=4. Calcular (a) (b) (c) (d)

P(X=0). P(X=1). P(X=2). P(X=3).

(0.36) (0.48) (0.15) (0.01)

24. (H) En un recipiente hay 12 botellas de vino, 3 de las cuales contienen vino que se ha echado a perder. Una muestra de 4 botellas se seleccionan al azar de entre la caja. 7

Felipe Castro, Mucio Osorio

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

Calcular (a) Encuentre la probabilidad P(X≤ 1). (0.7636) (b) P(X=3). (0.0182) 25. (H) Se tienen en existencia 20 chips de computadora. Tres de ellos presentan errores de grabaci´on que no se pueden identificar a simple vista. Se seleccionan cinco de los chips en equipos. Calcular (a) Calcule la probabilidad de que no se seleccione alg´ un chip con error de grabaci´on. (0.3991) (b) Calcule la probabilidad de se elija por lo menos un chip con error. (0.6009) 26. (B) Se prob´o el r´egimen formado por una dosis diaria de vitamina C para determinar su efectividad para prevenir el resfriado com´ un. Diez personas que estuvieron siguiendo el r´egimen prescrito fueron observadas durante un a˜ no. Ocho pasaron el invierno sin resfriado. Suponga que la probabilidad de pasar el invierno sin resfriado es 0.5 cuando no se sigue el r´egimen de vitamina C. ¿Cu´al es la probabilidad de que?: Calcular (a) ¿Al menos 8 sobrevivan dado que el r´egimen es ineficiente para aumentar la resistencia al resfriado? (0.0547) (b) ¿Al menos 6 pero no m´as de 9 sobrevivan? (0.3760) 27. (P) En un almac´en en particular los clientes llegan al mostrador de caja, conforme una distribuci´on de Poisson con un promedio de 6.5 por hora. En una hora dada, ¿cu´al es la probabilidad de que: Calcular (a) ¿Lleguen al menos dos clientes? (0.9887) (b) ¿Lleguen exactamente cinco clientes? (0.1454) 28. (H)Se tienen en existencia 200 chips de computadora. Doce de ellos presentan errores de grabaci´on que no se pueden identificar a simple vista. Se seleccionan diez de los chips en equipos. 8

Felipe Castro, Mucio Osorio

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables Aleatorias Discretas

Ejercicios Unidad II

Calcular (a) Calcule la probabilidad de que al menos se seleccione un chip con error de grabaci´on. (0.4693) (b) Calcule la probabilidad de se elijan 5 chips con error. (0.0001) 29. (P) Se sabe que una sustancia radioactiva emite, en promedio, 2.5 part´ıculas por segundo. Se desea encontrar la probabilidad de que: Calcular (a) Se emita a lo m´aximo una part´ıcula en un segundo. (0.2873) (b) Se emita en 3 segundos una part´ıcula. ( 0.00415) (c) Se emitan desde 3 hasta 6 part´ıculas en 2 segundos. (0.6375) 30. (VAD) Sea X una variable aleatoria binomial con la siguiente distribuci´on de probabilidad: 0 1 2 3 X p(x) 0.2746 0.4436 0.2389 0.0429 Calcular (a) Calcular P (X >= 2). (0.2818) (b) Calcular P (X