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1-“MODELOS MATEMATICOS EN FUNCIONES DE PRODUCCIÓN COSTO, INGRESO Y UTILIDAD” 1.1-Función de Producción: La función de producción es la relación técnica entre la cantidad máxima de producto que se puede obtener con todas y cada una de las combinaciones de factores de producción (tierra, trabajo, factor tecnología y capital) empleadas en el proceso productivo Podemos representar la función de producción mediante la formula Y = F(L,K) En donde: (Y) Tasa de producción por unidad de tiempo (L) Flujo de servicios derivados de los acervos de capital por unidad de tiempo (K) Flujo de servicios de los obreros de la empresa por unidad de tiempo. La cantidad de trabajo se determina en el mercado de trabajo, mientras que los recursos productivos se consideran fijos en corto plazo. Representación Grafica:

Y

Producción

Cantidad de Trabajo

X

La pendiente de la curva es positiva pero decreciente: a mayor volumen de trabajo ira aumentando la producción pero un porcentaje cada vez menor.

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1.2-Función de Costo Si el costo total “y” de producir y comercializar “x” unidades de un articulo se supone que están en una función de “x” solamente, entonces la función de costo se puede representar mediante la expresión y = f(x). 1.2.1 Costos Totales: Es la sumatoria del costo fijo y el costo variable. Representa el gasto monetario total mínimo para obtener cada nivel de producción. El costo total aumenta cuando aumenta la producción y esta constituidos por los costos fijos más los costos variables. El costo total lo podemos calcular mediante la siguiente formula: CT=CF + CV Donde: CT = Costo Total CF = Costo Fijo CV = Costo Variable O también podemos utilizar esta otra formula: CT = K + W1.X1 + W2.X2 CT

Y

En donde: CF ó K= Costos Fijos W1.X1 + W2.X2 = Costos Variable

Costos $ X Costos Variable Costos Fijos

Cantidad de producción (Q)

X

1.2.2-Costos Fijos: Son aquellos costos que permanecen constantes durante el proceso de producción, ya sea que el volumen de producción o de ventas varíe favorable o desfavorablemente, los costos fijos incluyen cosas tales como la renta de un edificio y el costo de la maquinaria, etc, estos costos son fijos durante un cierto periodo.

En este caso para saber cuales son los costos fijos no se hace referencia a

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ninguna formula o ecuación ya que como se menciono anteriormente estos no cambian su valor por lo tanto solo se representan por medio de la letra “K”, entonces podemos decir que: CF=K Donde K= Costos fijos. 1.2.3-Costos Variables (CV): Son aquellos costos que varían en forma proporcional al variar el volumen de la producción o de ventas, es decir, que mantienen una relación directa con las cantidades de productos generados. Incluyen los salarios que se pagan a los obreros y la adquisición de materiales para la producción, etc. CV=C=W1X1+W2X2 Donde: C = F(x) W=Costo de cada factor

X= Cantidad de cada factor.

1.2.4-Costos Medios Es la relación entre el costo total y la producción. Representa el promedio de lo que cuesta producir cada unidad, es decir, mide el costo por unidad de producción. Para poder calcular los costos medios hacemos uso de la siguiente formula: CM= CT Q Donde: CT = costo total Q = unidades producidas. El costo medio al igual que el costo total esta conformada por el costo fijo medio (CFMe) y el costo variable medio (CVMe). 1.2.5-Costos Variables Medios: Por unidad es la relación entre el costo fijo medio y el nivel de producción. Representa también la relación que entre mas produzca y venda una empresa mas se absorbe el costo fijo, pues se reparte entre un numero cada vez mayor de unidades, es decir que mide los costos fijos por unidad de producción. Matemáticamente podemos representar los costos fijos medios mediante la siguiente formula: CF Q Donde: CF = costos fijos

Q = unidades producidas.

1.3-Función de Ingreso:

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La función Y = I(x), donde x representa las unidades vendidas e Y la cantidad de dinero recibida, es conocido como función del ingreso total. Ingreso total: El ingreso total de una empresa es igual a la renta total percibida por la empresa en pago por su producto. Podemos definir esto de la siguiente manera. IT = P * Q Ingreso Total=Precio * cantidad Producida. Y Precio $ X

Ingreso

Cantidad de producción (Q)

X 1.4-Función

de

Utilidad Es la diferencia entre ingreso y costos Denotada por p(x) : P(x) = Ingreso - Costo P(x) = R(x) – C(x) En el caso de que una empresa es proveedora de un determinado producto (Monopolio), y puede fijar precios de venta que desee para su producto. Con esta condición el volumen de venta esta determinado por el precio en que se ofrece el producto, a través de la ecuación de la demanda p como una función de P = f(x) Con esta condición la función de utilidad esta dada por P(x) = Ingreso – Costo P(x) = I(x) – C(x) = p.x – c.x o bien P(x) = x. f(x) – c(x)

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2- “MODELOS MATEMÁTICOS DE FUNCIONES MARGINALES DE PRODUCCION:DE COSTOS INGRESO Y DE UTILIDAD” 2.1-Función de Producción Marginal. Producto Marginal: El incremento en la producción que resulta del incremento de la cantidad de un insumo por una unidad más de producción permaneciendo iguales las cantidades de todos los otros insumos. En términos más sencillos lo describiremos como el producto adicional que se obtiene con una unidad adicional. Productividad Marginal Si la función de producción está dada por z = f(x, y) entonces la derivada parcial de z con respecto a x (manteniéndose constante y) es la productividad marginal de x o bien, la producción marginal de x; la derivada parcial de Z con respecto a y (con x con constante La productividad marginal de y o bien a la producción marginal de y observamos que la productividad marginal de cada uno de insumos es la tasa de incremento de la producción (o producto) total a medida que crece dicho insumo suponiendo que la cantidad del otro insumo permanece constante. De ordinario, en un intervalo considerable, a productividad marginal con respecto a cualquier factor es positiva, es decir, a medida que uno de Los insumos crece (siendo constante la cantidad del insumo) también aumenta la producción. Sin embargo como un insumo crece por lo general manteniéndose constante el otro, la producción aumenta con tasa decreciente hasta alcanzar un punto en el cual no hay ningún incremento adicional de hecho, ocurre un descenso en la producción total a medida que se emplean unidades adicionales del factor productivo considerado este comportamiento característico de las funciones de producción se conoce como ley de la Productividad marginal eventualmente Ejercicio 1 Si la ecuación de producción de una empresa “X” esta constituida por la formula: 0.0002X3+10x Determinar: a) Función Marginal de producción b) Determinar la producción cuando X = 50

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Solución: a) La Función Marginal es 0.0006X2+10 b) La producción cuando x= 50 f’(x) = 0.0006(50)2+10 f’(x) = 11.5 La producción Marginal cuando la producción es x = 50 es igual a 11.5

Ejercicio 2 Si la ecuación de producción de una empresa “La Cafetalera” esta constituida por la formula: 0.10X2+110x Determinar: a) Función Marginal de producción b) Determinar la producción cuando X =72 Solución: a) La Función Marginal es 0.20x+110 b) La producción cuando x= 72 f’(x) = 0.10(72)2+110 f’(x) = 628.4 6

La producción Marginal cuando la producción es x = 72 es igual a 628.4

2.2-Función de Costo Marginal. Funciones de Costo marginal: En la economía la variación de una cantidad con respecto a otra se describe por un concepto medio o promedio, o por un concepto marginal. El concepto “ promedio “ expresa la variación de una cantidad sobre un intervalo especifico de valores de una segunda cantidad, mientras que el concepto “ marginal “ es el cambio instantáneo en la primera cantidad que resulta de un cambio muy pequeño en la segunda cantidad. Los economistas emplean el término Costo Marginal para el limite del cociente en (1) cuando Δx tiende a cero, con la condición de que exista dicho limite. Así tenemos la definición de Costo Marginal. Si C(x) es el valor o importe del costo total de la producción de x unidades de cierta mercadería, entonces el costo marginal cuando X=X1, esta dado por Ć(x1) si existe. La función Ć recibe el nombre de Función del Costo Marginal. Así otro concepto de costo marginal podría ser: Definimos el costo marginal como el valor limite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos tiende a cero. Así podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por articulo extra cuando de efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Entonces entendemos el costo marginal como la derivada de una función de costo total correspondiente.

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Interpretación. En esta definición, Ć(x1) se puede interpretar como la razón de cambio del costo cuando se producen x1 unidades multiplicado por x precio que se le asigna al artículo. EJERCICIO N° 1: Suponiendo que C(x) es él numero de dólares en el costo total de la manufactura de x juguetes. Solución: C(x) = 110 + 4x + 0.02x2 (a)

La función del costo marginal es C´ y

C´(x) = 4 + 0.04x (b)

El costo marginal cuando x = 50 esta dado por C´(50) y

C´ (50) = 4 + 0.04 (50) C´ (50) = $ 6 Por lo tanto, la intensidad de cambio del costo total, cuando se fabrican 50 juguetes, es de $ 6 por unidad. Costo de fabricación de articulo número 51 C´(51) - C´(50) C´(51) - C´(50) = 110 + 4x + 0.02x2 = [ 110 + 4(51) + 0.02(51)2] - [ 110 + 4(50) + 0.02(50)2] = 366.02 – 360 costo real

= $ 6.02

Se observa que las respuestas del costo marginal cuando x = 50 y el costo de fabricación de la unidad 51 difiere por 0.02. Esta discrepancia es debida a que el costo marginal es la tasa instantánea de variación de C(x), con respecto a una variación de una unidad de x. En consecuencia, C´ (50) es el número aproximado de dólares del costo de fabricación de la unidad 51.

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Gráficamente:

EJERCICIO N°2 Una subsidiaria de la compañía electrónica Elektra fabrica una calculadora de bolsillo programable. La gerencia determino que el costo total diario de producción de estas calculadoras ( en dólares) esta dado por: C(x) = 0.0001x3 – 0.08x2 + 40x + 5000 Donde X representa las calculadoras producidas. a. Hallar la función de costo marginal b. ¿ Cuál es el costo marginal cuando x = 200, 300, 400 y 600? c. Interpretar los resultados. Solución:

a. La función de costo marginal C´ esta dada por la derivada de la función de costo total C. Así: C(x) =0.0003x2 – 0.16x + 40

b. El costo marginal cuando x = 200, 300, 400 y600 esta dado por 9

C(x) =0.0003(200)2 – 0.16(200) + 40 = 20 C(x) =0.0003(300)2 – 0.16(300) + 40 = 19 C(x) =0.0003(400)2 – 0.16(400) + 40 = 24 C(x) =0.0003(600)2 – 0.16(600) + 40 = 52 $ 20, $ 19, $ 24, $ 52, respectivamente. c. Los resultados de (b) muestran que el costo real de producción de la calculadora 200 es de unos $ 20. el costo real de una calculadora adicional cuando el costo total es de 300 piezas es de unos $ 19, aproximadamente etcétera. Observase que cuando el nivel de producción es de 600 el costo de una unidad adicional es de $ 52, aproximadamente. El costo mayor de la producción de esta unidad adicional cuando el nivel de producción es de 600 unidades puede surgir de varios factores, entre estos gastos excesivos por el tiempo extra o más mantenimiento, fallas en la producción debidas a mayor estrés y al esfuerzo de equipo, etcétera. Gráficamente:

2.3-Función de ingreso Marginal

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Función de Ingreso Marginal: Es la variación que experimenta el ingreso cuando vendemos una unidad adicional. El ingreso marginal proporciona la tasa de cambio de los ingresos con respecto a las unidades que se venden, es decir, el ingreso aproximado por la venta de una unidad adicional. Por lo que si r(x) representa la función de ingreso total, por la venta, por la venta de “ x “ artículos La función de ingreso marginal se asocia con la función de ingreso R dada por R(x) = px A donde x son las unidades vendidas de cierto articulo y p es el precio de venta unitario, sin embargo, en general, el precio unitario p de un articulo se relaciona con la cantidad x demanda del articulo. Esta relación, p = f(x), se llama ecuación de demanda. Al despejar p en la ecuación de demanda en términos de x, se obtiene la ecuación de precio unitario f, dada por P = f(x) Así la función de ingreso R esta dada por R(x) = px = xf(x) Donde f es la función de precio unitario. La derivada R´ de la función R, llamada. Función de ingreso marginal. Mide la razón de cambio de la función de ingreso. Ahora consideramos los ingresos derivados de la venta de los productos o servicios de una empresa. Si R(x) denota el ingreso en dólares por la venta de x artículos Definimos el ingreso marginal como la derivada R´(x). Otro concepto podría ser Es la función de ingreso total la cual simboliza por R, y R(x) = px Como p y x son no negativas en circunstancias normales, también lo es R(x). Cuando X ≠ 0, de la ecuación anterior se obtiene. R(x) / X = p La cual muestra que el ingreso por unidad (ingreso promedio) y el precio por unidad es iguales. Ejercicio 1

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Suponga que la relación entre el precio unitario p en dólares y la cantidad demandada x del sistema de sonido de acrosonic esta dada mediante la ecuación. P = -0.02x + 400

( 0 ≤ x ≤ 20000 )

a. ¿ Cual es la función de ingreso de R ¿ b. ¿ Cuál es la función de ingreso marginal R´? c. Calcular R´(2000) e interpretar los resultados. Solución : a.

La función de ingreso R esta dada por. R(x) = px = x (-0.02x + 400) = -0.02x2 + 400x

b.

( 0 ≤ x ≤ 20000 )

La función de ingreso marginal R´ esta dada por R´(x) = -0.04x + 400

c.

R´(2000) = -0.04(2000) + 400

R´(2000) = -80 + 400 R´(2000) = $ 320

Interpretación. Así el ingreso real por la venta del sistema 2001 es aproximadamente $320. Ejercicio 2: 12

Supongamos que R(x) dólares es el ingreso total que se obtiene por la venta de x mesa, y R(x) = 300x – x2 / 2 a.

La función de ingreso marginal es R´ y R´(x) = 300 – x

b.

El ingreso marginal cuando x = 40 esta dado por R´(40) R´(x) = 300 – 40 = $ 260

Así la tasa de cambio del ingreso total cuando se vende cuarenta mesas se de $ 260 dólares por mesa. Ingreso real por la venta de la mesa 41 R(41) – R(40) = [300x – 1/2x2 ]- [300x – 1/2x2 ] =[300(41) – ½(41)2 ] - [300(40) – ½(40)2 ] = 11,459.50 – 11,200.00 R(41) – R(40) = $ 259.5

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2.4-Función de Utilidad Marginal Función de Utilidad Marginal: La utilidad de una empresa esta dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingresos es R(x) cuando se venden x artículos y si la función de costos es C(x) al producirse esos mismos artículos entonces la utilidad P(x) obtenida por producir y vender x artículos esta dada por. P(x) = R(x) – C(x) La derivada de P´(x) se denomina utilidad marginal representa la utilidad adicional por artículo si la producción sufre un pequeño incremento. En esta parte los ejemplos comprenden la función de ganancia donde R y C son funciones de ingreso y costo y x es el número de unidades de artículos producidas y vendidas la función de utilidad o ganancia marginal. Interpretación. P´(x) mide la razón de cambio de la función de ganancia P y proporciona una buena aproximación de ganancia o perdida real resultante de la venta de la unidad numero ( x + 1 ) de artículos ( si ha vendido la unidad x ). Ejercicio 1: Supóngase que el costo de producción de x unidades del sistema de sonido modelo F de acrosonic es C(x) = 100x + 200000 dólares a. b. c. d.

¿ Cuál es la función de ganancia de P? ¿ Cuál es la función de ganancia marginal? Calcular P´(2000) e interpretar el resultado Trazar la gráfica de la función de ganancia

Solución. a. Como en la función de ingreso marginal se determino la función de ingreso: Y para seguir con la continuidad de ese ejercicio, entonces tenemos: R(x) = -0.02x2 + 400x Así la función de ganancia requerida p esta dada por. P(x) = R(x) – C(x) = ( -0.02x2 + 400x ) – (100x + 200000) = -0.02x2 + 300x – 200000

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b. La función de ganancia marginal P´ esta dada por P(x) = -0.04x + 300 P´(2000) = -0.04(2000) + 300 = 220 Así, la ganancia real obtenida por la venta del sistema 2001 es aproximadamente $ 220

c. La gráfica sería de la siguiente manera

Ejercicio N° 2. La ecuación de demanda de cierto articulo es P + 0.1x = 80 Y la función de costo

C(x) = 5000 + 20x

Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades. Solución: La función de ingreso esta dado por R(x) = xp = x(80 – 0.1x) = 80x – 0.1x2 Por consiguiente, la utilidad generada por la producción y la venta de x artículos esta dada por P(x) = R(x) – C(x) = (80x – 0.1x2 ) – (5000 + 20x) = 60x – 0.1x2 - 5000

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La utilidad marginal es la derivada de p´(x). Dado que P(x) es una combinación de potencias, usamos la formula de las potencias a fin de Calcular su derivada; esta es P(x) = 60x – 0.1x2 – 5000 Y solo se sustituye en P´(x) = 60 – 0.2x Para obtener la utilidad marginal, si x = 150, obtenemos P´(x) = 60 – 0.2(150) =30 Así, pues cuando se producen 150 artículos la utilidad extra es de $30.

3- “ANALISIS MATEMATICOS DE VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION: MINIMIZACION DE COSTOS, MAXIMIZACION DE INGRESOS Y UTILIDADES”.

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3.1- Maximización de la Producción. Para que se pueda calcular la maximización de la producción, explicaremos las tres etapas de la producción y para ello nos apoyaremos en términos como: producto medio, producto total y producto marginal, estudiados en el punto anterior, a continuación explicaremos brevemente cada una de estas etapas. •

Etapa I: es aquella en la cual el producto físico medio del insumo variable está aumentado.

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Etapa II: el producto físico medio esta disminuyendo, así como también, el producto físico marginal, aunque este es aún positivo.

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Etapa III: el producto físico medio continúa disminuyendo y también disminuye el producto físico total porque el producto físico marginal es ahora negativo.

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Para una mayor comprensión definiremos que es insumo variable.

Insumo variable: es aquel cuya cantidad se puede variar casi al instante en que se desea variar el nivel de producción. Con esta definición se da por entendido que ningún empresario le seria conveniente producir en la etapa III, ya que ahí es definitivamente desventajoso emplear más del insumo variable. Entonces lo conveniente sería reducir la cantidad del insumo variable para obtener un mayor producto físico total. En la etapa I está aumentado el producto medio del factor variable, si la empresa se encuentra en una industria competitiva nunca producirá en esta etapa, porque al aumentar la producción puede reducir los costos y seguir recibiendo el mismo precio por cada unidad adicional vendido y esto significa que los beneficios totales vuelven a aumentar. Por lo tanto podemos ver que la maximización de la producción se da en la etapa II.

• La decisión básica de toda empresa es sobre la cantidad a producir. Esta

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dependerá del precio al que se pueda vender y del coste de producirla. Este proceso de decisión es guiado por la maximización de beneficios. Beneficios (B)= Ingresos Totales (IT) – Costes Totales (CT) 1ª condición dB/dX=0 2º condición d2B/dX2