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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA VIDA Y DE LA AGRICULTURA INGENIERIA EN BIOTECNOLOGIA

Integrantes: Jiménez Cinthya Paredes Alexandra Quimbita Jairo Tello Ricardo

Fecha: 05/ 01/ 2018 NRC: 3274

Materia: Biofísica TÍTULO: Radiological Protection against Radon Exposure Atractor de Lorentz Se han buscado mecanismos para poder predecir el clima. En recientes años apareció un intento que se conoce como el Atractor de Lorenz, este resulta del estudio de pequeñas perturbaciones que lleva a encontrar desviaciones significativas. En este trabajo se explica qué es, cómo se comporta ante variaciones pequeñas, a qué ha dado lugar y dónde se puede aplicar o utilizar, también se tratará de explicar los sistemas caóticos y su relación con el Atractor. Los científicos están descubriendo cómo la teoría del caos puede ayudarlos a emitir predicciones más confiables y, sobre todo, a mejorar su comprensión. El atractor de Lorenz es un atractor extraño que sirve para predecir el clima a través de tres ecuaciones dinámicas derivadas de las ecuaciones del sistema de navier-stokes cuyas variables son la temperatura, la humedad, y la presión barométrica (atmosférica). Para ciertos valores de los parámetros A, B y C el sistema exhibe un comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extraño. El atractor extraño en este caso es un fractal de dimensión de Hausdorff entre 2 y 3. 𝑑𝑥 = 𝑎(𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑥(𝑏 − 𝑧) − 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 𝑥𝑦 − 𝑐𝑧 𝑑𝑡

Ilustración 1 El atractor de Lorenz con parámetros A=28 B=8/3 C=10

En estas ecuaciones, a representa el número de Prandtl, que es la relación entre la viscosidad dé un fluido y su conductividad térmica, con un valor de 10. El parámetro p representa el número de Raleght, que es la diferencia de temperaturas entre la parte inferior y la superior del sistema, valor de 28. La variable b representa la relación entre la longitud y la altura de la caja, con un valor de 8/3. La x representa la razón de rotación del cilindro, y señala la diferencia entre temperaturas en los lados opuestos del cilindro, mientras que z representa la desviación del sistema de la línea vertical graficada correspondiente a la temperatura. Los sistemas caóticos aunque sean deterministas no permiten la predicción porque trayectorias que surgen juntas divergen rápidamente borrando el recuerdo de dicho inicio común. En la naturaleza ciertos fenómenos pueden ser modelados por unas estructuras matemáticas que se denominan sistemas dinámicos y cuyo estado viene definido por una serie de variables que dependen del tiempo (variables de estado) y por la dinámica. Los sistemas dinámicos son conservativos o disipativos, los sistemas disipativos suelen contar con atractores. El atractor de Lorenz es un sistema dinámico no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de navier-stockes que sirve para, según el clima de los días pasados, predecir el de los días futuros (Álvarez, Morales & Ortiz, 2013). APLICACIÓN Caos y salud en el sector económico de la salud en Colombia Se aplicó la teoría del caos y un modelo complejo de salud para establecer relaciones entre indicadores agregados de estados financieros entre compañías del sector de la salud en Colombia. Se analizaron el incremento -decremento del flujo de caja, las ganancias y pérdidas, y el activo total de los estados financieros de 75 empresas, reportados por la Superintendencia de Sociedades. Se aplicaron logaritmos naturales y las ecuaciones del atractor de Lorenz. El propósito de esta investigación fue evaluar la utilidad de la teoría del caos y de un modelo de relaciones complejas de indicadores de salud para obtener predicciones fiables entre indicadores agregados de estados financieros.

CONCLUSIÓN En esta investigación, la utilización de modelos de salud complejos y de la teoría del caos mediante el atractor de Lorenz ha sido efectiva en la predicción de indicadores financieros y en la posición de cada compañía dentro del sector de la salud en Colombia. Sin embargo, es necesario profundizar más en las implicaciones que tiene la utilización de estos modelos (Juárez, 2010).

MATLAB Con condiciones iniciales a=10; b=28; c=8/3; x0=[-100 100 5];

% Condiciones iniciales

t_inicial=0;

% Tiempo inicial

t_final=100;

% Tiempo final

t_inicial=0;

% Tiempo inicial

t_final=50;

% Tiempo final

t_inicial=0;

% Tiempo inicial

t_final=100;

% Tiempo final

Conclusión El modelo Atractor de Lorentz tiene una dependencia a una sensibilidad de las condiciones iniciales las trayectorias se acumulan a mayor temperatura de la posición inicial, estas mismas trayectorias pueden verse afectadas por diferentes factores, como la humedad, temperatura y velocidad del viento. BIBLIOGRAFÍA  

Álvarez, D., Morales, B. and Ortiz, S. (2013). Atractor de Lorenz. Centro de Integración Educativa A.C., pp.1, 13,14,15,17,18. Juárez, F. (2010). Caos y salud en el sector económico de la salud en Colombia. Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal, 3(2).

Atractor de Rossler El atractor de Rössler es un sistema de tres ecuaciones que se basó en el atractor de Lorentz en el cual buscaba simplicar el mismo. En este estudio, variamos sus parámetros y observamos su comportamiento. El atractor se convierte en un sistema caótico dependiendo el valor de sus parámetros, estos mismo nos permiten determinar cuando el sistema llega al caos. Otto Rossler estaba interesado en problemas planteados por la Cinética Química. Estudió un cierto tipo de reacciones químicas, así como los mecanismos que envuelven dos concentraciones por dos concentraciones multiplicadas juntas. Así explorando ecuaciones que contiene el producto de dos variables, encontró las ecuaciones de Rossler. Las ecuaciones viene dadas por. 𝑑𝑥 = −(𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑥 + 𝑎𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑧 𝑑𝑡

= 𝑏 + 𝑧(𝑥 − 𝑐) 𝑑𝑧 = 𝑏𝑥𝑧 − 𝑐𝑧 𝑑𝑡

Siendo x, y, z las concentraciones de sustancias en las relaciones químicas estudiadas por Rossler obtuvo. En a, b, c son parámetros establecidos por Rossler son: a=b=0.2, c= 5 y en condiciones iniciales x (0)=0, y (0)= -6.7, y z (0)= 0.02.

(Boari, 2011).

Se deduce del diagrama de bifurcación que el comportamiento del atractor depende en gran medida del valor del parámetro de bifurcación b. Por ejemplo, b = 0.45 genera un atractor con un comportamiento caótico, sin embargo, b = 1.0 genera un atractor con un comportamiento simple de 2 períodos de límite de tiempo (Lainscsek et al., 2013). APLICACIÓN Análisis de la sincronización de señales EEG usando dinámica no lineal Esta técnica es utilizada para analizar señales electroencefalográ- ficas (EEG) de grupos de sujetos sanos y grupos de pacientes epilépticos para obtener dos pará- metros que permiten cuantificar y comparar los niveles de sincronización de la actividad cerebral en ambos grupos. Estos parámetros permiten detectar un máximo de sincronización previo al inicio de una crisis epiléptica. Esta técnica puede contribuir a una mejor comprensión y diagnóstico de algunas patologías cerebrales y ayudar a la predicción de eventos epilépticos. MÉTODO Modelo de osciladores de Rössler globalmente acoplados y sujetos a ruido externo. Un oscilador de Rössler, para ciertos valores de parámetros, puede ser descrito en su estado asintótico como un atractor caótico, el cual posee geometría fractal.

Este comportamiento caótico aparece cuando divergencias exponenciales locales en la trayectoria están acompañadas de un confinamiento global de las trayectorias en el espacio de fases. Consideraremos un sistema de osciladores de Rössler globalmente acoplados, es decir, donde todos los osciladores están interactuando con todos. Adicionalmente, supondremos que cada oscilador está sujeto a los efectos de ruido externo. El modelo está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones.

El parámetro 𝜀 representa la intensidad de acoplamiento global entre los osciladores y el valor medio de las varables xi. Con a=b= 0,2 y c = 4,5. RESULTADOS

Análisis de las Señales EEG de sujetos sanos Se observa que las oscilaciones son relativamente pequeños, su valor máximo es de 0,21, indicando desincronización entre los canales. Análisis de señales EEG del grupo de pacientes epilépticos Para el análisis de las señales de estos pacientes se excluyen las zonas donde el amplificador se satura (Figura 4). La muestra para el EEG de un paciente epiléptico quien experimentó una crisis espontánea durante la consulta, cuya señal se muestra en la Figura 4. Se puede observar que el parámetro r(t) alcanza un máximo (r(t) = 0,51) dos segundos antes del inicio de la crisis, mientras que en el momento del inicio de la crisis se observa un valor de r(t) = 0,39. En diversos instantes durante la crisis epiléptica, se observan máximos del parámetro r(t). Los máximos alcanzados por r(t) en este caso son mayores que los valores de este parámetro para las señales EEG de sujetos sanos. Esto se puede interpretar como la presencia de sincronización intermitente en la actividad eléctrica del cerebro durante una crisis epiléptica (Escalona, Guillén & Coutin, 2005). MATLAB a=0.1; b=0.1; c=6; x0=[10 10 5]; % Condiciones iniciales

t_inicial=0;

% Tiempo inicial

t_final=30;

% Tiempo final

a=0.2; b=0.2; c=5;

t_final=100;

% Tiempo final

Modelo de Michaelis – Menten Los estudios sistemáticos del efecto de la concentración inical del sustrato sobre la actividad enzimática comenzaron a realizarse a finales del siglo XIX. Ya en 1882 se introdujo el concepto del complejo enzima-sustrato como intermediario del proceso de catálisis enzimática. En 1913, Leonor Michaelis y Maud Menten desarrollaron esta teoría y propusieron una ecuación de velocidad que explica el comportamiento cinético de las enzimas. Para explicar la relación observada entre la velocidad inicial (v0) y la concentración inicial de sustrato ([S]0) Michaelis y Menten propusieron que las reacciones catalizadas enzimáticamente ocurren en dos etapas: En la primera etapa se forma el complejo enzima-sustrato y en la segunda, el complejo enzima-sustrato da lugar a la formación del producto, liberando el enzima libre: 𝐾1

𝐾3

𝐸 + 𝑆 ⇔ 𝐸𝑆 → 𝐸 + 𝑃 En este esquema, k1, k2 y k3 son las constantes cinéticas individuales de cada proceso y también reciben el nombre de constantes microscópicas de velocidad. Según esto, podemos afirmar que: 𝑣1 = 𝑘1 [𝐸][𝑆] 𝑣2 = 𝑘2 [𝐸𝑆] 𝑣3 = 𝑘3 [𝐸𝑆] Se puede distinguir entre enzima libre (E) y enzima unido al sustrato (ES), de forma que la concentración total de enzima, [ET], (que es constante a lo largo de la reacción) es: [𝐸𝑇 ] = [𝐸] + [𝐸𝑇] Como [𝐸] = [𝐸𝑇] − [𝐸𝑆], resulta que: 𝑣1 = 𝑘1 [𝑆][𝐸𝑇 ] − 𝑘1 [𝑆][𝐸𝑆]

Este modelo cinético adopta la hipótesis del estado estacionario, según la cual la concentración del complejo enzima-sustrato es pequeña y constante a lo largo de la reacción (Figura de la derecha). Por tanto, la velocidad de formación del complejo enzima-sustrato (v1) es igual a la de su disociación (v2+ v3): 𝑣1 = 𝑣2 + 𝑣3 Además, como [ES] es constante, la velocidad de formación de los productos es constante: 𝑣 = 𝑣3 = 𝑘3 [𝐸𝑆] = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Como 𝑣1 = 𝑣2 + 𝑣3 , podemos decir que: 𝑘1 [𝑆][𝐸𝑇 ] − 𝑘1 [𝑆][𝐸𝑆] = 𝑘2 [𝑆] + 𝑘3 [𝑆] Despejando [ES], queda que:[𝐸𝑆] =

[𝐸𝑇 ][𝑆] 𝑘𝑚 +[𝑆]

siendo 𝑘𝑚 = ( 𝑘2 + 𝑘3 )/𝑘1 , en donde la expresión (k2+k3)/k1 se ha

sustituido por KM, o constante de Michaelis-Menten. Este enlace nos aporta una explicación sobre las razones que hacen de la KM un parámetro cinético importante. Por lo tanto, en el estado estacionario, la velocidad de formación del producto es: 𝑣 = 𝑣3 = 𝑘3 [𝐸𝑆] =

𝑘3 [𝐸𝑇 ][𝑆] 𝐾𝑀 + [𝑆]

Para cualquier reacción enzimática, [ET], k3 y KM son constantes. Vamos a considerar dos casos extremos: 



A concentraciones de sustrato pequeñas ([S] > KM), v = k3 [ET]. La velocidad de reacción es independiente de la concentración del sustrato, y por tanto, la reacción es un proceso cinético de orden cero. Además, tanto k3 como [ET] son constantes, y nos permite definir un nuevo parámetro, la velocidad máxima de la reacción (V max): Vmax = k3 [ET], que es la velocidad que se alcanzará cuando todo el enzima disponible se encuentra unido al sustrato.

Si introducimos el parámetro Vmax en la ecuación general de la velocidad, obtenemos la expresión más conocida de la ecuación de Michaelis-Menten: 𝑣=

𝑉𝑚𝑎𝑥 [𝑆] 𝐾𝑀 + [𝑆]

Hay enzimas que no obedecen la ecuación de Michaelis-Menten. Se dice que su cinética no es Michaeliana. Esto ocurre con los enzimas alostéricos, cuya gráfica v frente a [S] no es una hipérbola, sino una sigmoide (Figura de la derecha). En la cinética sigmoidea, pequeñas variaciones en la [S] en una zona crítica (cercana a la KM) se traduce en grandes variaciones en la velocidad de reacción (Biomoléculas, n.d.).

APLICACIÓN Modelo matemático de la cinética y velocidad de hidratación del grano de maíz blanco dentado durante la cocción alcalina Se reporta la cinética de hidratación del grano de maíz durante el proceso de nixtamalización, a diferentes temperaturas y tiempo de cocción, y concentraciones de Ca(OH)2. Las muestras se prepararon a un tiempo de cocción de 0 a 120 minutos, con temperaturas de cocción de 62, 72, 82, y 92 °C, y concentraciones de Ca(OH)2 de 0.0, 0.8, 1.0, y 2.0 % en relación a la masa de los granos de maíz. Cada experimento se realizó por triplicado. De acuerdo con el ajuste por la ecuación de Michaelis-Menten a los datos experimentales se obtiene un valor alto de determinación de R2 de 0.9954 a 0.9999 con P≤0.05, se puede señalar que esta ecuación es adecuada para predecir y modelar las cinéticas de hidratación de los granos de maíz durante la cocción alcalina con diferentes concentraciones de Ca(OH)2. Este modelo matemático predice adecuadamente para tiempos cortos (t→0) y tiempos largos (t→∞) la hidratación y velocidad de hidratación (a través de la primera derivada de la ecuación de Michaelis-Menten) del grano de maíz durante el proceso de nixtamalización. Además mediante este modelo propuesto, se puede predecir para tiempos cortos que la velocidad es máxima y tiende a cero para tiempos largos alcanzando la saturación del grano. Se concluye que la hidratación y la velocidad de hidratación depende significativamente de la temperatura del agua de cocción (P 1 garantiza la existencia de un estado endémico único, el cual es un atractor global para todas las soluciones positivas. Otra vez R0 tiene un papel central en el estudio de la dinámica de este modelo. En los modelos epidemiológicos clásicos C(T) es constante, por consiguiente; el teorema umbral correspondiente no depende del tamaño de la población sexualmente activa. Nuestro resultado considera los efectos de la densidad de individuos en modelos para la transmisión de enfermedades venéreas. Los resultados que hemos establecido cuando P(s) es una función arbitraria (pero biológicamente razonable) son los siguientes: el estado libre de infección es un atractor global siempre que el número reproductivo básico 𝑅0 = Ʌ 𝜇

∞

𝜆 𝐶 ( ) ∫0 𝑒 −𝜇 𝑃(𝑠)𝑑𝑠 ≤ 1. Si, por otro lado, se tiene que R0 > 1, entonces, el siguiente sistema (en el que se ignora la ecuación para A ya que esta no juega ningún papel en el análisis): 𝑑𝑠(𝑡) 𝑊(𝑡) = Ʌ𝐶(𝑇(𝑡))𝑆(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 𝑇(𝑡) 𝑡

𝐼(𝑡) = ∫ 𝜆𝐶(𝑇(𝑥))𝑆(𝑥) −∞

𝑊(𝑥) − 𝑒 −𝜇(𝑡−𝑥) 𝑃𝐼 (𝑡 − 𝑥)𝑑𝑥, 𝑇(𝑥)

tiene un estado endémico único, el cual es localmente asintóticamente estable. Varios aspectos técnicos han sido omitidos en esta sección. Los resultados para la función arbitraria P(s) correspondiente al caso R0 > 1 son locales y, por consiguiente, la región del espacio de los parámetros donde estos resultados son válidos puede ser muy reducida. Esto obliga a tomar en consideración el efecto de las condiciones iniciales y, por consiguiente, los resultados que obtenemos son válidos únicamente cuando las condiciones iniciales están “cerca” de los puntos de equilibrio del sistema límite que acabamos de describir para todo tiempo t. Por otro lado, biológicamente observamos que la infección se puede mantener en niveles endémicos si y solo si R0 > 1; por lo tanto, solo se consideran estrategias de control que pueden reducir R0 por debajo de su valor crítico. En el caso del SIDA, no es suficiente considerar una población homogénea, ya que la dinámica de la enfermedad puede ser seriamente afectada por el hecho de que grupos diferentes de individuos tienen distintos tipos de comportamientos sociales y sexuales (Brauer, 2015). APLICACIÓN Modelo Matemático de la Dinámica de Transmisión del VIH/SIDA en una Población Heterosexual Activa en el Perú con Aplicación a la Salud Pública Se presenta un modelo que explica la dinámica de transmisión de la enfermedad del Síndrome de Inmunodeficiencia Adquirida (SIDA) entre parejas heterosexualmente activas donde se considera el uso de protección por medios naturales y no naturales. Se estudia la sensibilidad del modelo con respecto a su estabilidad local, así como la introducción de una

estrategia de control para disminuir la propagación. Esto brinda un entendimiento dinámico del modelo con lo cual permitirá tomar decisiones en el área de Salud Pública teniendo en cuenta el aspecto social y económico. Resultados Las simulaciones computacionales del Modelo Matemático, nos permiten poder ver el comportamiento que tiene el modelo en un tiempo determinado, para lo cual recurriremos al cálculo numérico, y así poder aproximar la solución que tiene el Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con lo cual tener su representación gráfica generada por los parámetros que se introduce en el modelo (Pino, 2015).

Figura. Las gráficaas muestras diferentes escenarios cuando se emplea una estrategia de control (w) para frenar el contagio de los suceptibles por los infectados. MATLAB Parámetros Constante de inmigración B = 10000 Tasa de muerte natural de los susceptibles mu = 1/28 La tasa de conversión entre la infección hasta tener AIDS nu = 0.2 Proporción de HIV positivo que son infecciosos p=0.3 Tasa de muerte de los pacientes con AIDS d=1 Probabilidad de transmisión bet = 0.2 Número de parejas sexuales c = 5 Tiempo inicial t_inicial=0 Tiempo final t_final=30 Condiciones iniciales x0=[85000 15000 0 0 100000 100000 0]

Parámetros Constante de inmigración B = 15000 Tasa de muerte natural de los susceptibles mu = 1/30 La tasa de conversión entre la infección hasta tener AIDS nu = 0.1 Proporción de HIV positivo que son infecciosos p=0.4 Tasa de muerte de los pacientes con AIDS d=2 Probabilidad de transmisión bet = 0.3 Número de parejas sexuales c = 7 Tiempo inicial t_inicial=0 Tiempo final t_final=40 Condiciones iniciales x0=[85000 15000 0 0 100000 100000 0]

Parámetros Constante de inmigración B = 20000 Tasa de muerte natural de los susceptibles mu = 1/15 La tasa de conversión entre la infección hasta tener AIDS nu = 0.4 Proporción de HIV positivo que son infecciosos p=0.6 Tasa de muerte de los pacientes con AIDS d=3 Probabilidad de transmisión bet = 0.4 Número de parejas sexuales c = 7 Tiempo inicial t_inicial=0 Tiempo final t_final=50 Condiciones iniciales x0=[85000 15000 0 0 100000 100000 0]

CONCLUSIÓN Entender la dinámica del VIH/SIDA es complejo debido a la gran cantidad de variables y parámetros asociados con la enfermedad tales como: La variación de las tasas de infección que dependen de cada uno de los grupos de alto riesgo (homosexuales, heterosexuales, drogadictos, etc.); el periodo de incubación es largo antes de que se manifiesten los síntomas y la infección depende de la evolución de la enfermedad en cada individuo. Entender la dinámica de una enfermedad permite hacer un análisis para determinar los factores más sensibles de la misma, lo que conduce a tener argumentos para la elaboración de estrategias de control sobre ellos. BIBLIOGRAFÍA        

Boari, S. (2011). Simulaciones numéricas de atractores extraños. Dinámica No Lineal, Departamento de Física, FCEyN, UBA. Escalona, M., Guillén, P. and Coutin, P. (2005). Análisis de la sincronización de señales EEG usando dinámica no lineal. Scientific Journal from the Experimental Faculty of Sciences, 13(5). Información Tecnológica en la Web. (2007). Información tecnológica, 18(1). Lainscsek, C., Weyhenmeyer, J., Hernandez, M., Poizner, H. and Sejnowski, T. (2013). Non-Linear Dynamical Classification of Short Time Series of the Rössler System in High Noise Regimes. Frontiers in Neurology, 4. Biomoléculas. (s.f.). Obtenido de MODELO CINÉTICO DE MICHAELIS-MENTEN: https://www.uprm.edu/biology/profs/velez/modelo.htm Brauer, F. (2015). Modelos de la propagación de enfermedades infecciosas. Calí: Dirección de Investigaciones y Desarrollo Tecnológico. Fernandez, J. (2007). Modelo matemático de la cinética y velocidad de hidratación del grano de maíz blanco dentado durante la cocción alcalina. Superficies y Vacío, 4-6. Pino, N. (2015). Modelo Matemático de la Dinámica de Transmisión del VIH/SIDA en una Población Heterosexual Activa en el Perú con Aplicación a la Salud Pública. ReserchGate, 1.