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• Carlos Andrés Díaz Valderrama

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Fuerza de Lorentz

Trayectoria bajo la fuerza de Lorentz de una partícula cargada en uncampo magnético constante, según el signo de la carga eléctrica.

Fuerza sobre una partícula cargada.

Fuerza sobre una corriente.

En física, la fuerza de Lorentz es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica. Índice [mostrar]

Forma clásica[editar] Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz sobre esa partícula viene dada por:

donde

es la velocidad de la carga,

es el vector intensidad de campo eléctrico y

es el

vector inducción magnética. La expresión siguiente está relacionada con la fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor por el que circula corriente:

donde

es la longitud del conductor,

es la intensidad de corriente y

la inducción

magnética. A pesar de ser una consecuencia directa de ella, esta última expresión históricamente se encontró antes que la anterior, debido a que las corrientes eléctricas se manejaban antes de que estuviese claro si la carga eléctrica era un fluido continuo o estaba constituida por pequeñas cargas discretas.

Formas alternativas[editar] Forma integral[editar] Si los campos eléctrico

y magnético

no son modificados por la presencia de la densidad

de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente

, y las dos últimas no son modificadas por

dichos campos, la fuerza de Lorentz se puede expresar como:

Como en general esto no es cierto, la resolución de las fuerzas resultantes requiere el uso de consideraciones energéticas y la resolución de ecuaciones diferenciales derivadas de las ecuaciones de Maxwell.

Forma tensorial[editar] En teoría de la relatividad conviene escribir las leyes físicas en forma explícitamente tensorial. Eso implica que las magnitudes que se transforman vectorialmente como, por ejemplo, la velocidad o la densidad de corriente, deben ser representadas por cuadrivectores. La fuerza de Lorentz escrita en forma explícitamente tensorial es:

(expresión tensorial relativista) Donde: son las componentes del cuadrivector fuerza. son las componentes

del cuadrivelocidad, siendo

el factor de Lorentz.

son las componentes del tensor de campo electromagnético cuyas componentes se relacionan con la parte eléctrica y magnética del campo así:

Fuerza de Lorentz y tercera ley de Newton[editar] La fuerza magnética que se ejercen dos partículas en movimiento no satisface el principio de acción-reacción o tercera ley de Newton, es decir, la fuerza ejercida por la primera partícula sobre la segunda no es igual a la fuerza ejercida por la segunda partícula sobre la primera1 . Esto se puede comprobar por cálculo directo considerando dos cargas puntuales. La fuerza de la partícula 1 sobre la partícula 2 es, utilizando la Ley de Biot-Savart:

Donde los

son los valores de posición respectivos,

las velocidades lineales

respectivas, qi las cargas respectivas, d la distancia entre las dos partículas y los campos magnéticos. Análogamente la fuerza de la partícula 2 sobre la partícula 1 es:

Empleando la identidad

puede verse

que la primera fuerza está en el plano formado por fuerza está en el plano formado por

y

y .

que la segunda

Véase también[editar]

Fuerza de Lorentz FUERZA de LORENTZ Cuando una carga eléctrica en movimiento, se desplaza en una zona donde existe un campo magnético, además de los efectos regidos por la ley de Coulomb, se ve sometida a la acción de una fuerza. Supongamos que una carga Q, que se desplaza a una velocidad v, en el interior de un campo magnético B. Este campo genera que aparezca una fuerza F, que actúa sobre la carga Q, de manera que podemos evaluar dicha fuerza por la expresión:

Como la fuerza es el resultado de un producto vectorial, será perpendicular a los factores, es decir, a la velocidad y al campo magnético. Al ser perpendicular a la velocidad de la carga, también lo es a su trayectoria, por lo cuál dicha fuerza no realiza trabajo sobre la carga, lo que supone que no hay cambio de energía cinética, o lo que es lo mismo, no cambia el módulo de la velocidad. La única acción que se origina, cuando la partícula entra en el campo magnético, es una variación de la dirección de la velocidad, manteniéndose constante el módulo.

Este cambio de dirección es debido a que la fuerza que aparece va a actuar como fuerza centrípeta, originando un movimiento de rotación de la partícula en el interior del campo magnético. En el gráfico que vemos al lado, observamos la fuerza producida, que es la que originará ese cambio de dirección. B representa al campo, cuyo sentido es hacia el interior de la página. F es la fuerza, que, como vemos, tiene dirección radial, es decir, actúa como fuerza central y, v es la velocidad de la carga.

Existe una regla muy sencilla para obtener la dirección, obvia por ser el resultado de un producto vectorial, y el sentido de la fuerza que actúa sobre la carga. Se conoce con el nombre de la "Regla de la mano izquierda". Tal y como vemos en la figura, si colocamos

los dedos de la mano izquierda pulgar, índice y medio, abiertos y perpendiculares entre sí, cada uno de ellos señala uno de los vectores:

Para visualizar la fuerza de lorentz pulsa el siguiente botón:

Fuerza magnética sobre una carga eléctrica Es conocido que un conductor por el que circula una corriente sufre una fuerza en presencia de un campo magnético. Puesto que la corriente está constituída por cargas eléctricas en movimiento, empezaremos por estudiar la fuerza sobre una única carga. Fuerza de Lorentz Al observar experimentalmente cómo es la fuerza que un campo B ejerce sobre una carga eléctrica q se cumple que: 

Si la carga está en reposo, el campo B no ejerce ninguna fuerza sobre ella.



La fuerza es máxima cuando la velocidad de la carga v y el campo B son perpendiculares y es nula cuando son paralelos.



La fuerza es perpendicular al plano formado por v y B.



La fuerza es proporcional al valor de la carga q y a la velocidad v.



Si la carga cambia de signo, la fuerza cambia de sentido

Resumiendo todos estos hechos, se concluye que la fuerza que un campo Bejerce sobre una carga eléctrica q que se mueve con una velocidad v viene dada por la expresión:

La fuerza electrostática es tangente en cada punto a las líneas de campo eléctrico, sin embargo, para el campo magnético se cumple que: .

La fuerza magnética es perpendicular a las líneas de campo B

Si la carga q se encuentra además bajo la acción de un campo eléctrico E, la fuerza resultante que actúa sobre ella es:

conocida como la fuerza de Lorentz.

Movimiento de una carga en un B uniforme: ciclotrón Supongamos que en una región del espacio existe un campo B uniforme y una carga q se desplaza con una velocidad v perpendicular al campo. Como se ha visto, la fuerza que actúa sobre la carga es siempre perpendicular a la velocidad, luego provoca una aceleración normal que hace que se curve la trayectoria y se genera un movimiento circular en el que la fuerza magnética actúa de fuerza normal o centrípeta y en el que el módulo de la velocidad permanece constante, por no existir ninguna fuerza tangencial.

Expresamos la segunda ley de Newton en la dirección normal:

Como la velocidad v y el campo B son perpendiculares, el módulo de F será igual a qvB, por lo que el radio de la trayectoria circular es:

Se puede también calcular el periodo T del movimiento:

Un dispositivo experimental basado en este fenómeno se denomina ciclotrón, su aplicación más importante es la de acelerador de partículas cargadas para bombardear

núcleos atómicos y provocar reacciones nucleares. Para ello se debe combinar el campo magnético con un campo eléctrico. Otra aplicación del movimiento de una carga en un campo magnético es el espectrómetro de masas, (en la sección sabías que... de esta página encontrarás más información). Fuerza Magnética

El campo magnético B se define de la ley de la Fuerza de Lorentz, y específicamente de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento:

Índice Fuerza Electromagn ética Conceptos sobre Campo Magnético

Las impliacciones de esta expresión incluyen: 1. La fuerza es perpendicular a ambas, a la velocidad v de la carga y al campo magnético B. 2. La magnitud de la fuerza es F = qvB senθ donde θ es el ángulo < 180 grados entre la velocidad y el campo magnético. Esto implica que la fuerza magnética sobre una carga estacionaria o una carga moviéndose paralela al campo magnético es cero. 3. La dirección de la fuerza está dada por la regla de la mano derecha. La fórmula de la fuerza de arriba está en forma de producto vectorial.

Cuando se aplica la fórmula de la fuerza magnética a un cable portador de corriente, se debe usar la regla de la mano derecha, para determinar la dirección de la fuerza sobre el

cable. De la fórmula de la fuerza de arriba se puede deducir que las unidades de campo magnético son los Newtons segundo / (Culombios metro) o Newtons por Amperio metro. Esta unidad se llama Tesla. Es una unidad grande y para pequeños campos como el campo magnético de la Tierra, se usa una unidad mas pequeña llamada Gauss. 1 Tesla es 10.000 Gauss. El campo magnético de la Tierra en su superficie es del orden de medio Gauss. Interacciones Magnéticas con la Carga Aplicaciones de Fuerzas Magnéticas

HyperPhysics*****Electricidad y Magnetismo

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Ley de la Fuerza de Lorentz

De la ley de Lorentz, se pueden definir ambos, el campo eléctrico y el campo magnético:

Índice Fuerza Electromagn ética Fuerza Magnética Conceptos sobre Campo Magnético

La fuerza eléctrica es simplemente recta y en la dirección del campo si se trata de una carga positiva, pero la dirección de la parte magnética de la fuerza está dada por la regla de la mano derecha.

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Regla de la Mano Derecha

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La regla de la mano derecha es una regla mnemotécnica útil, para visualizar la dirección de una fuerza magnética dada por la ley de la fuerza de Lorentz. El diagrama de arriba muestra dos de las formas que se usan, para visualizar la fuerza sobre una carga positiva en movimiento. La fuerza estaría en la dirección opuesta para una carga negativa moviéndose en la dirección mostrada. Un factor a tener en cuenta es que, la fuerza magnética es perpendicular a ambos el campo magnético y la velocidad de la carga, pero eso nos da dos posibilidades. La regla de la mano derecha sólo nos ayuda a precisar cuál de las dos direcciones se aplica. Para cables portadores de corriente, la dirección de la corriente eléctrica convencional, se puede sustituir por la velocidad de la carga v del diagrama de arriba.

Fuerza Magnética como Producto Vectorial https://www.fisicalab.com/apartado/ley-de-lorentz#contenidos En apartados anteriores hemos estudiado como las cargas en movimiento, ya sea de forma individual o en conjunto (corrientes eléctricas) son capaces de crear un campo magnético. En esta ocasión estudiaremos el caso contrario; ¿Qué les ocurren a las cargas eléctricas cuando se introducen en el seno de un campo magnético? Vamos a ello.

Fuerza de Lorentz Al contrario que en los campos eléctricos, una partícula cargada que se encuente en reposo en el interior de un campo magnético no sufre la acción de ninguna fuerza. Otra caso bien distinto se produce cuando la partícula se encuentre en movimiento, ya que por el contrario, en este caso, la partícula si que experimentará la acción de una fuerza magnética que recibe el nombre de fuerza de Lorentz.

Por tanto, los campos magnéticos son generados por cargas en movimiento y sólo ejercen una acción sobre cargas eléctricas que se encuentran en movimiento. La ley de Lorentz establece que una partícula cargada q que circula a una velocidad v⃗ por un punto en el que existe una intensidad de campo magnético B⃗ , sufrirá la acción de una fuerza F⃗ denominada fuerza de Lorentz cuyo valor es proporcional al valor de q, B⃗ y v⃗ se obtiene por medio de la siguiente expresión:

F⃗ =q⋅v⃗ ×B⃗ De la ecuación anterior podemos extraer las siguientes conclusiones: 

Su módulo es F=|q|⋅v⋅B⋅sin

α, donde α es el angulo formado entre v⃗ y B⃗ .



Su dirección es perpendicular al plano que forman v⃗ y B⃗ (debido al producto vectorial entre ambos vectores).



Su sentido será el de v⃗

×B⃗ si q es positivo y el contrario si es negativo.

De una forma gráfica es posible determinar la dirección y sentido de la fuerza de Lorentz aplicando la regla de la mano derecha. Para ello sitúa tu mano derecha de tal forma que tu dedo índice coincida con la dirección y sentido del vector velocidad, el medio (o corazón) coincida con la dirección y sentido del campo magnético. Si la carga es positiva,

tu dedo pulgar estará indicando la dirección y sentido de dicha fuerza. Si es negativa estará indicando su dirección aunque el sentido será el contrario del que marca tu pulgar.

En resumen, según la expresión de la ley de Lorentz la fuerza de Lorentz será: 

Nula o

Si la partícula no posee carga. q = 0 -> F = 0.

o

Si la partícula está en reposo. v = 0 -> F = 0.

o

Si la velocidad de la partícula es paralela al campo. F = |q|·v·B·sen 0 -> F =0



Máxima. Si v y B son perpendiculares ( α = 90º ) entonces F = |q|·v·B·sin 90 = | q|·v·B.

El trabajo y la aceleración en la Fuerza de Lorentz

Imagina la trayectoría de una partícula cargada que se encuentra en el interior de un campo magnético. Por definición, el vector velocidad de cualquier partícula es siempre tangente a la trayectoria que describe. Adicionalmente sabemos que la fuerza de Lorentz es siempre perpendicular a v, por tanto independientemente de que el campo magnético sea uniforme o no, la fuerza de Lorentz es siempre normal a la trayectoria. De este razonamiento podemos extraer que si únicamente actúa la fuerza de Lorentz: 

La partícula no posee aceleración tangencial, únicamente aceleración normal. Esto implica que el módulo del vector velocidad no cambia (no se ve alterada la celeridad o rapidez de la partícula) pero si lo puede hacer su dirección.



Dado que la fuerza es perpendicular al desplazamiento que se produce en la trayectoria, el trabajo de la fuerza de Lorentz es nulo. Por tanto, en los campos magnéticos la energía cinética de una partícula permanece constante.

Una partícula cargada que se encuentra en el interior de un campo magnético sufre una fuerza magnética (fuerza de Lorentz) normal a la trayectoria que le provoca cambios en la dirección de su vector velocidad aunque no en su módulo, provocando que su energía cinética permanezca constante.

¿Qué es un Tesla?. Definición. La relación que establece la ley de Lorentz es utilizada para definir la unidad de intensidad de los campos magnéticos en el Sistema Internacional S.I.. Como ya habrás podido comprobar en apartados anteriores dicha unidad recibe el nombre de Tesla, en honor al físico yugoslavo Nikola Tesla (1856-1943). Y aunque la hemos utilizado con anterioridad, no podíamos definirla hasta conocer esta ley. Un tesla es la intensidad de un campo magnético que provoca una fuerza de un newton a una partícula cargada de un culombio que se mueve a una velocidad de un metro por segundo perpendicularmente a dicho campo magnético. Para que te hagas una idea, el campo magnético terrestre a nivel del mar oscila entre los 3·10-5 y 5·10-5 T. Una barra de imán normal puede oscilar entre los 0.2 o 0.3 T y los campos magnéticos más intensos jamás obtenidos pueden alcanzar a lo sumo los 1000 T. Como puedes comprobar, el tesla se trata de unidad extremadamente grande para la mayor

parte de los campos magnéticos, por lo que suele utilizarse una unidad menor denominada gauss (G). El tesla y el gauss se relacionan de la siguiente manera:

1 G = 10−4 T

Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme En los campos magnéticos uniformes, las partículas cargadas en movimiento describen trayectorias muy características que merecen ser estudiadas. En concreto podemos encontrar dos tipos de movimientos, el que se produce cuando el vector velocidad de la partícula es o no es perpendicular a las líneas de campo magnético uniforme que atraviesa.

Velocidad perpendicular a las líneas de campo Tal y como hemos comentado anteriormente, cuando v⃗ y B⃗ son perpendiculares la partícula sufrirá una fuerza F perpendicular a ambos vectores que además será máxima. Al ser perpendicular a la velocidad o lo que es lo mismo, perpendicular a su trayectoria, dicha fuerza provocará únicamente una aceleración normal o centrípeta lo que produce asimismo, una variación en la dirección de la velocidad, pero no en su módulo.

F⃗ =m⋅a⃗ −→−F⃗ ⊥v⃗ F=m⋅anF⃗ =q⋅v⃗ ×B⃗ −→B⃗ ⊥v⃗ F=|q|⋅v⋅B⎫⎭⎬ an=|q|⋅v⋅Bm Dado que la única aceleración existente es la normal y además es constante, la partícula cargada describirá un movimiento circular uniforme.

Una partícula cargada que atraviesa una campo magnético uniforme en dirección perpendicular a dicho campo describe un movimiento circular uniforme cuyo sentido dependerá del signo de la partícula cargada. A partir de la expresión de la aceleración normal calculada anteriormente, podemos obtener el resto de magnitudes características de los m.c.u.: Radio

an=v2R=|q|⋅v⋅Bm⇒R=m⋅v|q|⋅B Esta expresión tiene una importancia especial, ya que por de manifiesto que a mayor carga de las partículas, menor será el radio del m.c.u. Esto es el fundamento de determinados dispositivos que estudiaremos a continuación como por ejemplo el espectrómetro de masas. Velocidad Angular

ω=vR⇒ω=|q|⋅Bm Período

ω=2⋅πT⇒T=2⋅π⋅m|q|⋅B

Velocidad no perpendicular a las líneas de campo Cuando una partícula intenta atravesar oblícuamente un campo magnético uniforme, es decir, su velocidad no es perpendicular a las líneas de campo, esta se puede descomponer en dos componentes vx y vy. La primera de ellas en la dirección del campo y la segunda perpendicular al campo. Esto provocará que al ser vx paralela al campo se mantendrá constante su velocidad en esa dirección ya que la fuerza en esa componente será nula. Sin embargo, debido a vy si que aparecerá una fuerza que provocará un movimiento circular uniforme en la dirección perpendicular al campo. En resumen, tendremos dos tipos de movimiento: 

Un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección del campo.



Un movimiento circular uniforme en la dirección paralela al campo.

Una partícula cargada que se introduce oblicuamente en un campo magnético uniforme comienza a describir un movimiento helicoidal como resultado de la composición de un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento circular uniforme.

Algunas de las magnitudes propias de este movimiento helicoidal son las siguientes: Radio

R=m⋅vy|q|⋅B Paso de hélice

d=vx⋅T Periodo

T=2⋅π⋅m|q|⋅B

Fuerza de Lorentz Generalizada Los campos eléctricos y magnéticos están tan relacionados que es normal que una partícula cargada entre en una región del espacio en el que convivan al mismo tiempo ambos tipos de campo. Esto implicará que dicha partícula se encuentra sometida a dos fuerzas:

1. Una fuerza en la dirección del campo eléctrico.

Fe−→=q⋅E⃗ 2. Una fuerza perpendicular al campo magnético.

Fm−→=q⋅v⃗ ×B⃗ Si tenemos en cuenta el principio de superposición de fuerzas, la fuerza total que actúa sobre una partícula cargada inmersa simultáneamente en un campo eléctrico y un campo magnético recibe el nombre de fuerza de Lorentz generalizada.

F⃗ =q⋅(E⃗ +v⃗ ×B⃗ )

Aplicaciones de la Ley de Lorentz La aplicación de la ley de Lorentz ha servido para construir distintos tipos de dispositivos que han sido esenciales para comprender la naturaleza de la materia, e incluso para nuestros momentos de ocio. Entre ellos, podemos destacar el selector de velocidades, el espectrómetro de masas o el ciclotrón.

Selector de velocidades Como su propio nombre indica, el selector de velocidades se trata de un dispositivo basado en la ley de Lorentz que permite la entrada de partículas cargadas dejando pasar unicamante aquellas que posean una determinada velocidad. Principalmente se compone de dos láminas cargadas paralelas (una en frente de la otra) en el que actúan de manera conjunta un campo magnético y un campo eléctrico perpendiculares entre sí. En el comienzo y final de las dos placas se disponen unas rendijas por las que se permite la entrada (A) y salida (B) respectivamente de las partículas. Cualquier partícula que entre por la rendija A se verá sometida por una fuerza eléctrica y una fuerza magnética con la misma dirección aunque sentidos opuestos, cuyos modulos son:

Fe=|q|⋅EFm=|q|⋅v⋅B

Para que cualquiera de ellas pueda salir por la rendija B debe seguir una trayectoria recta, lo que implica que la fuerza neta que actúe sobre la partícula debe ser nula, o lo que es lo mismo que Fe=Fm.

|q|⋅E=|q|⋅v⋅B ⇒v=EB Esto implica que fijando unos valores de E y B podemos determinar una cierta velocidad y aquellas partículas que la posean atravesarán en línea recta el dispositivo saliendo por la rendija B, el resto sufrirán desviaciones en el sentido de la fuerza eléctrica o la magnética. Observa que la velocidad es independiente de la masa.

Espectrómetro de masas Otro dispositivo insteresante para el estudio de la naturaleza de la materia se trata del espectrómetro o espectrógrafo de masas. Se trata de un selector de velocidades por el que se hace pasar isótopos ionizados unidos a una región que posee un campo magnétido perpendicular a la trayectoria de los isótopos. Al salir del selector de velocidades, debido al campo magnético las partículas describen una trayectoria de radio R:

R=m⋅v|q|⋅B Dado que la carga, velocidad y campo magnético es el mismo para cada una de ellas, el radio de la circunferencia dependerá de la masa de los isótopos. Para determinar el radio se las deja impactar contra una placa fotográfica donde dejará un registro gráfico.

Dependiendo de la distancia donde se encuentre el impacto podemos deducir el radio y con este la masa del isótopo que impactó allí.

El ciclotrón Dado que no podemos preguntar a nadie sobre la composición de las partículas subatómicas, la mejor manera de conocer su composición consiste en hacerlas colisionar para "romperlas" y "ver que contienen". Esta es la misión del ciclotrón, un acelerador de partículas basado en el uso de campos magnéticos que fué inventado en 1932 por el físico norteamericano Ernest O. Lawrence (191-1958). La idea de este dispositivo es la de acelerar protones hasta obtener velocidades muy elevadas con la finalidad de bombardear otros núcleos atómicos y provocar reacciones nucleares que nos proporcionen información sobre la estructura de dichos núcleos. En la actualidad existen enormes aceleradores de partículas de varios kilometros construidos bajo tierra. En concreto en Europa se encuentran el LEP (Large Electron

positron collider) actualmente sustituido por el LHC (Large Hadron Collider) o el SPS (Super Sincrotrón de Protones) del CERN (Conseil Européen por la Recherche Nucléaire) en Suiza, mientras que en Estados Unidos se encuentran otros como el FermiLab (en honor al físico Enrico Fermi) y SLAC (Stanford Linear Accelerator Center).

Consta de de dos regiones metálicas huecas con forma de "D" donde se ha practicado el vacío conectadas cada una de ellas a los bornes de un generador de corriente alterna y separadas una cierta distancia, lo que provoca un campo eléctrico en dicha separación. Todo ello se encuentra sometido a la acción de un campo magnético uniforme perpendicular a cada "D" por medio de un electroimán. Al situar en su centro un protón este se verá atraido por la "D" con potencial negativo. Al entrar en ella, debido al campo magnético describirá una semicircunferencia en su interior llegando nuevamente a la separación. Durante ese tiempo el potencial de las "D" a cambiado gracias al generador de corriente alterna y ahora se verá acelerada hacia la otra "D" cuyo potencial ahora es negativo, volviendo a repetir todo el proceso. De esta forma, alternando el potencial eléctrico de las "D" el protón se va acelerando cada vez que cruza la separación aumentando así su velocidad. Una característica importante es que aunque en cada semicircunferencia el protón aumenta la velocidad, también lo hace el espacio que debe recorrer ya que cada vez el radio es más grande, lo que implica que finalmente el tiempo que tarda en recorrer cada semicircunferencia y por tanto el tiempo en el que el generador debe invertir los potenciales es siempre es el mismo:

t=T2=π⋅m|q|⋅B El radio de la última semicircunferencia coincide con el radio de las "D", por tanto:

R=m⋅v|q|⋅B Esto implica que el protón saldrá del ciclotrón con una velocidad máxima equivalente a:

v=q⋅B⋅Rm y por tanto con una energía cinética máxima cuya expresión es:

Ec(max)=q2⋅B2⋅R22m Es decir, cuanto mayor sea el radio y el campo magnético del ciclotrón mayor será la velocidad y energía cinética máxima de salida. Sin embargo, a grandes velocidades se producen efectos relativistas, que aumentan la masa de la partícula aumentando el periodo del movimiento, lo que provoca que el cambio de potencial se produzca cuando el protón no está en la separación. Esto puede dar lugar a un proceso de frenado, en vez de aceleración. Este fué un problema con el que tuvieron que enfrentarse los primeros ciclotrones, hasta que en 1950 surgieron los primerosciclotrones sincronizados, también conocidos como sincrotrones.