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IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO STREETER-PHELPS EN AGUAS RESIDUALES GENERALIDADES El agua hoy y siempre ha sido considerada como uno de los elementos esenciales para el desarrollo de la vida tal como la conocemos. Por otra parte, el alto crecimiento de la población en el planeta lleva consigo un incremento proporcional en la demanda de este elemento; razón por la cual día tras día el hombre centra su preocupación en la procura de garantizar el suministro del preciado líquido a las diferentes comunidades. A la hora de garantizar el suministro de este recurso, además de requerirse en unas cantidades apropiadas, se deben considerar unas condiciones mínimas de calidad, dependiendo del uso que se le pueda dar al recurso. A pesar de que el agua residual generada es sometida a tratamiento, el vertimiento introduce una carga contaminante que podría afectar la calidad del agua del cuerpo receptor. En este sentido, como parte de los requerimientos exigidos para solicitar un permiso de vertimiento, es necesario realizar una modelación donde se permita conocer la capacidad de asimilación de la carga doméstica y/o industrial vertida en el cuerpo de agua. INTRODUCCIÓN En los diferentes países, se cuenta con entidades encargadas de regular y emitir políticas orientadas hacia la regulación de la calidad del recurso; para ello se debe estudiar con antelación las diferentes variables que hacen parte de la calidad del agua, lo que implica la realización de campañas de muestreo, que permitan conocer la concentración de los diferentes contaminantes o compuestos analizados en una corriente dada. La realización de campañas de calidad no siempre se constituye en la medida más apropiada puesto que las condiciones altamente cambiantes de la composición del agua hacen poco operativa esta alternativa. Es esta una razón por la cual se recurre a modelos matemáticos, los cuales permiten evaluar de forma adecuada el comportamiento de la calidad del agua en una corriente natural. Adicionalmente los modelos permiten la creación de escenarios a futuro, fundamentales para la planeación y gestión apropiada de los recursos naturales. El siguiente trabajo entrega la descripción de la modelación generalizada realizada a la purificación de un río. Para llevar a cabo este trabajo se empleó el Modelo de Streeter y Phelps, que fue desarrollado en 1925 con base en estudios sobre el río Ohio. Este modelo, también denominado Modelo de Disminución de Oxígeno, predice los efectos

de la descarga de material orgánico biodegradable sobre el oxígeno disuelto de un río o corriente de agua. OBJETIVOS Objetivo General Estimar de manera objetiva y cuantitativa la capacidad que tiene los cuerpos de agua de asimilar los vertimientos de aguas residuales tratadas mediante vertido; bajo unas condiciones climáticas, de estructura hídrica específica y bajo diferentes condiciones de caudal sobre los cuerpos de agua receptores y de carga del vertimiento en forma puntual. Objetivos Específicos  Seleccionar los indicadores de la calidad del agua a considerar en el proceso de modelación.  Definir el modelo matemático a emplear en el proceso de modelación de los indicadores de calidad.  Determinar la capacidad de autodepuración de la corriente modelada e indicar los impactos en el uso y calidad del agua que generan los vertimientos de agua residual en las fuentes receptoras. ANTECEDENTES DEL PROCESO Vertido de agua residual en curso de agua; Cuando se produce un vertido de agua residual en un río se puede observar variaciones de los niveles de algunos parámetros químicos y especies biológicas aguas abajo del punto de vertido. Los niveles de sólidos en suspensión y DBO son elevados en las cercanías del punto de vertido y el nivel de oxígeno desciende rápidamente. Los niveles de amonio y fosfatos son elevados en el lugar de vertido pero a medida que se descompone la materia orgánica van variando sus concentraciones y transformándose en otras especies. Estas variaciones están relacionadas con los cambios en los microorganismos y macro organismos de un río. La abundancia de bacterias y hongos en las aguas residuales es elevada en las cercanías del punto de vertido y produce un impacto significativo en el nivel de oxígeno. Esta reducción de oxígeno provoca el declive de la diversidad de macro invertebrados de aguas limpias. Las especies más tolerantes (ejemplo, gusanos tubiformes) sobreviven y predominan cerca del punto de entrada del efluente y reaparecen progresivamente formas de aguas más limpias a medida que la calidad del agua mejora río abajo. Algunos de los efectos de los contaminantes sobre un río o curso de agua se mencionan a continuación.

Microorganismos patógenos de las aguas residuales Son las que contaminan directamente el curso de agua al que son vertidas las aguas residuales, restándoles seguridad para el consumo, riego e incluso para otras actividades. Descomposición de la materia orgánica inestable Son las que provoca la remoción de oxígeno del agua, lo que provoca que una diversidad de especies aerobias se reduzca. Ácidos, aceites, y otros materiales tóxicos Son productos que interfieren negativamente sobre el ecosistema acuático del lecho contaminándolo (medio biótico y abiótico). Putrefacción de las materias orgánicas Son los que producen olores y condiciones desagradables, incluso provocando alteraciones en las propiedades del agua. A partir de las variaciones de flujo y los efectos del vertido de aguas residuales, se puede identificar cuatro zonas de influencia. Impacto ocasionado por el aumento de la DBO y de los sólidos sedimentables en una corriente con capacidad de asimilación limitada

1.- Zona de degradación: zona donde es incorporado el flujo de aguas contaminadas al curso de agua (río), y por ende, donde se registran las mayores concentraciones de contaminantes. 2.- Zona de descomposición activa: el oxígeno desciende a los niveles mínimos, pudiendo llegar a cero, efecto causado por la degradación de la materia orgánica. 3.- Zona de recuperación: aumento de oxígeno disuelto, agua más clara, reaparición de la vida acuática macroscópica, disminución de hongos y aparición de algas.

4.- Zona de agua limpia: condiciones de corriente natural. El oxígeno disuelto está cerca de la saturación. Quedan bacterias patógenas y compuestos metálicos no alterados por procesos bioquímicos existentes.

MODELACIÓN DE AGUAS RESIDUALES VERTIDAS EN RÍO Para intentar estudiar la evolución de los contaminantes a partir del punto de vertido se han ido generado diferentes modelos, más o menos simplificados, que se utilizan en la gestión de la calidad de las aguas. La mayoría de estas expresiones se basa en la ecuación de continuidad para un componente A que, considerando constante la densidad del fluido (ρ) y el coeficiente de dispersión (DL), tiene la siguiente forma: Ecuación de continuidad

𝜕𝐶𝐴 𝜕𝐶𝐴 𝜕𝐶𝐴 𝜕𝐶𝐴 𝜕 2 𝐶𝐴 𝜕 2 𝐶𝐴 𝜕 2 𝐶𝐴 = − (𝑈𝑥 + 𝑈𝑦 + ) + 𝐷𝐿 ( + + ) + ∑ 𝑟𝑖 + 𝑆 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

𝐶𝐴 = Concentración del componente 𝐴,

[𝑀/𝐿3 ]

𝑇 = Tiempo, [𝑇] 𝑈𝑥 ′ 𝑈𝑦 ′ 𝑈𝑧 = Velocidad del agua en direcciones 𝑥, 𝑦, 𝑧, respectivamente, [𝐿/𝑇] 𝑟𝑖 = Velocidad de producción del componente 𝐴 según el proceso de transformación 𝑖,

[𝑀/𝑇𝐿3 ] 𝑆 = Fuentes externas /sumideros, [𝑀/𝑇𝐿3 ]

La ecuación de conservación de materia o ecuación de continuidad es la base de, prácticamente, la totalidad de los modelos de calidad de aguas de ríos. Es una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden, cuya resolución requiere, normalmente, el empleo de técnicas numéricas. Sin embargo, se pueden realizar numerosas simplificaciones para las cuales sí existe una solución analítica. MODELO DE STREETER Y PHELPS El Modelo de Streeter y Phelps, o también llamado Modelo de Disminución de Oxígeno, predice los cambios en el déficit de oxígeno como una función de la DBO ejercida y de la re aireación de la corriente. Cuando el agua que contiene materia orgánica biodegradable está expuesta al aire, absorbe oxígeno de la atmósfera para reemplazar el oxígeno disuelto que se consume en satisfacer la DBO. Los procesos de

desoxigenación y re oxigenación ocurren simultáneamente. Si la velocidad de desoxigenación es más rápida que la velocidad de re oxigenación, se incrementa el déficit de oxígeno. Si el contenido de oxígeno es cero, no se pueden mantener condiciones aerobias y se presentarán condiciones sépticas, lo que se condice con el aumento de la velocidad de degradación de la materia orgánica. En el Modelo Streeter y Phelps, la concentración del contaminante orgánico en el curso de agua se evalúa en función de la tasa de flujo de entrada 𝑓𝐵𝑂𝐷 [𝐾𝑔/𝑚3 𝑆] y la velocidad de degradación 𝐾1 [1/𝑆]. Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias definen el comportamiento del sistema en términos de la degradación.

(EDO) DBO en función del tiempo 𝝏𝑪𝑩𝑶𝑫 = 𝒇𝑩𝑶𝑫 − 𝑲𝟏 𝑪𝑩𝑶𝑫 𝝏𝒕 (EDO) DO en función del tiempo 𝝏𝑪𝑫𝑶 = 𝑲𝟐 (𝑪𝑫𝑶,𝒔𝒂𝒕 − 𝑪𝑫𝑶 ) − 𝑲𝟏 𝑪𝑩𝑶𝑫 𝝏𝒕 El 𝐶𝐷𝑂 corresponde a la concentración de oxígeno y está determinada por el proceso de re aireación, mencionado anteriormente. La re aireación trae oxígeno en el agua; muchos procesos aportan a la re aireación, en particular el contacto con el aire atmosférico. Si el tiempo de contacto es lo suficientemente largo, se establece el equilibrio entre la presión parcial de oxígeno en el aire, 𝑃02′ y 𝐶𝐷𝑂 . La ley de Henry es fundamental para comprender la relación de concentración del componente específico disuelto en el agua y su presión parcial. Como en la atmósfera terrestre P02 es aproximadamente 0,21 atm y CDO puede alcanzar un valor de 12.9mg/l46, que es el límite de saturación de oxígeno en el agua. Sin embargo, el límite de saturación en un río natural puede ser algo menor, como resultado de otros procesos que influyen en el equilibrio de oxígeno. Las plantas acuáticas producen oxígeno, la fauna acuática consume oxígeno. Además, bacterias del medio utilizan el oxígeno para degradar la materia orgánica contenida en el curso de agua y principalmente en el fondo del lecho. Respecto a lo anterior, se puede concluir que el límite de saturación de oxígeno CDO, depende directamente de las circunstancias locales.

CASO DE ESTUDIO La simulación a realizar considerará como valores de entrada, los del ejemplo, expuesto en el libro guía Environmental Modeling, Using MATLAB. A su vez, estos valores fueron obtenidos de Deaton y Winebrake (2000). 

Coeficientes desoxigenación y re aireación tipo se dan en [1 /día].



Entrada de DBO en [mg /(L*día)]



Todas las concentraciones están en [mg /L]



El estado de equilibrio está dado por:

𝐶𝐵𝑂𝐷 =

𝐶𝐷𝑂 = 𝐶𝐷𝑂,

𝑓𝐵𝑂𝐷 = 3.33 [𝑚𝑔/𝐿] 𝐾1

𝑆𝐴𝑇

−

𝑓𝐵𝑂𝐷 = 8.5 [𝑚𝑔/𝐿] 𝐾2

IMPLEMENTACIÓN DEL CÓDIGO MATLAB A partir de las ecuaciones (EDO) DBO en función del tiempo y (EDO) DO en función del tiempo, es posible desarrollar un sistema lineal de ecuaciones, simple en su resolución. La primera ecuación contiene sólo una variable dependiente (DBO) y tiene una función exponencial como solución analítica. Con esta solución se puede considerar la segunda ecuación como una ecuación diferencial para la CDO. Los códigos implementados en el la función Streeter y Phelps, y las variables consideradas en su desarrollo, son presentados a continuación. function

StreeterPhelps

T = 25;

% Tiempo máximo [T]

k1 = 0.3;

% Coeficiente de velocidad de desoxigenación [1/T]

k2 = 0.4;

% Coeficiente de velocidad de reaireación [1/T]

DOsat = 11;

% DO de saturación [M/L^3]

BODin = 7.33; % BOD inicial [M/L^3] DOin = 8.5;

% DO concentración inicial [M/L^3]

fBOD = 1;

% flujo natural de BOD [M/L^3/T]

N = 60; % BOD

=

% discretizacion del tiempo y(1),

DO = y(2)

options = odeset('AbsTol',1e-20); [t,y] = ode15s(@SP,[0 T],[BODin; DOin],options,k1,k2,DOsat,fBOD); plot(t,y); legend ('BOD','DO'); xlabel ('tiempo de viaje'); ylabel ('concentración'); grid; function dydt = SP(t,y,k1,k2,DOsat,fBOD) dydt = zeros(2,1); dydt(1) = fBOD-k1*y(1); dydt(2) = k2*(DOsat-y(2))-k1*y(1);

SIMULACIÓN El Gráfico 1 presenta el perfil de concentraciones de BOD y DO desarrollado a lo largo de 25 días. CBOD = 7,33 [mg/L] es valor de entrada de BOD, cuya concentración decrece aproximadamente hasta el día 15. El contenido de oxígeno (DO) disminuye los primeros tres días, de modo que se puede concluir que la degradación supera re aireación durante ese tiempo. Luego, sigue un segundo período en el que re aireación nuevamente domina el proceso, lo que permite una recuperación gradual del nivel de oxígeno, hasta lograr el nivel de equilibrio en estado natural.

Perfil de concentraciones de BOD y DO

RESULTADOS La simulación realizada describe el comportamiento de un río que es afectado por un flujo vertido en su cauce. Para lograr conocer los efectos provocados en el curso de agua, se realizó la modelación de la Demanda Bioquímica de Oxígeno (demanda biodegradable de oxígeno) y de Oxígeno Disuelto, a través del tiempo. Con este perfil realizado, fue posible conocer una aproximación, con una precisión adecuada, del comportamiento del cauce. Se estimó que la DO disminuyó los tres primero días y, posterior a ello, comenzó a crecer hasta llegar a un valor de equilibrio natural (8,5 [mg/L] aproximadamente), de lo que se desprende que hubo degradación activa hasta el tercer día, luego comenzó la recuperación hasta estar nuevamente en estado normal. El Modelo de Streeter y Phelps, o también llamado Modelo de Disminución de Oxígeno, predice los cambios en el déficit de oxígeno como una función de la DBO ejercida y de la re aireación de la corriente. El modelo se basa en una serie de condiciones y suposiciones que permiten desarrollar un modelo simple que se aproxime a condiciones reales. Para ello se consideró una descripción según Lagrange, donde no son contempladas variables que influyen en otras direcciones, como la advección (transporte de las propiedades de una masa de un fluido (agua, aire, por ejemplo) producido por el campo de velocidades del medio). Del mismo modo, los procesos de difusión y dispersión se descuidan. No hay distinción de las concentraciones dentro de

la sección transversal del río, sólo se considera un perfil unidireccional, a lo largo de la trayectoria del flujo. Hay otros modelos de descripción euleriana que logran describir los fenómenos que el modelo de Streeter-Phelps no considera. Se basa en la concepción de un espacio fijo y entrega las siguientes ecuaciones:

𝜕𝐶𝐵𝑂𝐷 = ∇ ∗ 𝑗(𝐶𝐵𝑂𝐷 ) + 𝑓𝐵𝑂𝐷 − 𝐾1 𝐶𝐵𝑂𝐷 𝜕𝑡 𝜕𝐶𝐷𝑂 = ∇ ∗ 𝑗(𝐶𝐷𝑂 ) + 𝐾2 (𝐶𝐷𝑂, 𝜕𝑡

𝑠𝑎𝑡

− 𝐶𝐷𝑂 ) − 𝐾1 𝐶𝐵𝑂𝐷

Aunque su resolución suele ser más complicada, los resultados obtenidos, podrían mejorar en precisión respecto al de Streeter-Phelps.

CONCLUSIONES La utilización de un modelo de simulación representa un avance respecto a la aplicación de nuevas metodologías para el diagnóstico y la prevención de la contaminación del agua de los ríos. El modelo representa adecuadamente los procesos fisicoquímicos y biológicos en el tramo de río considerado. En las condiciones actuales, los valores de oxígeno disuelto y demanda biológica de oxígeno se encuentran dentro de valores adecuados. No se observa contaminación en los cuerpos de agua existiendo una autodepuración natural producto de las características hidráulicas del mismo. El modelo de simulación constituye en una herramienta muy apropiada para la programación y reprogramación de un plan de monitoreo dado que la continuidad espacial de sus resultados puede advertirnos puntos críticos que no necesariamente el plan de monitoreo puede indicar.

REFERENCIAS La información utilizada para la elaboración del presente trabajo fue obtenida a partir de las siguientes fuentes:



Environmental Modeling, Using MATLAB ®. Ekkehard Holzbecher, 1ra Edición.



Matlab Programming, MATLAB ®.



Ingeniería de los sistemas de tratamiento y disposición de aguas residuales. Enrique cesar Valdez, Alba B. Vazquez González, Publicación Fundación ICA, México.