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MODELADO DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA

Lina María Pacheco Gómez Nayibe Caterine Silva Melo Deivis Almicar Silva Gualteros Wilmer Alexander Chirivi Pinzón Michael Andrés Salamanca Montilla

NRC 3609-3767

DOCENTE Alexander Agudelo

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS – UNIMINUTO ECUACIONES DIFERENCIALES BOGOTÁ. DC 2020-2

EXPERIMENTO MODELADO DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA Resumen Para el modelado de desintegración radioactiva se lleva a cabo un experimento hecho en casa, donde se toma el modelo de la espuma de una bebida gaseosa (pony malta), que permite determinar el decaimiento radiactivo de la espuma con respecto al tiempo; en los resultados se pudo determinar la temperatura de la bebida, y utilizando las ecuaciones diferenciales se pudo determinar lo datos de la constante k con respecto a la teoría y el modo experimental, el modelado se realizó desde el programa tracker y usando excel para análisis de resultados. Abstract For the modeling of radioactive decay, a homemade experiment is carried out, where the model of the foam of a carbonated drink (pony malt) is taken, which allows determining the radioactive decay of the foam with respect to time; In the results, the temperature of the drink could be determined, and using the differential equations it was possible to determine the data of the constant k with respect to the theory and the experimental mode, the modeling was carried out from the tracker program and using excel for analysis of results. Introducción El presente proyecto explica un sencillo experimento de simulación, empleando datos, que permite reproducir una curva de decaimiento radiactivo y así determinar, ya sea la “vida media” o la actividad en función del tiempo. El modelo es muy simple y permite ser utilizado por alumnos de los ciclos de enseñanza tanto básico, medio o universitario; claro está, que el nivel de profundidad en el análisis que pueda hacerse dependerá del nivel de los estudiantes. Objetivo principal Realizar un experimento de laboratorio donde se pueda identificar y relacionar la temperatura de la bebida con la razón de cambio de la desintegración de la espuma. Objetivos específicos ៛ Determinar y analizar por medio de las características de la desintegración radioactiva el comportamiento de la espuma e interpretarlo matemáticamente realizando un experimento.

៛ Identificar las variables de la desintegración de la espuma de cada bebida gaseosa dependiendo de su temperatura y dar una explicación. ៛ Hallar la vida media con respecto al tiempo en la que se desintegra la espuma de la bebida gaseosa. MARCO TEÓRICO La desintegración radioactiva Los núcleos están compuestos por protones y neutrones, que se mantienen unidos por la denominada fuerza fuerte. Algunos núcleos tienen una combinación de protones y neutrones que no conducen a una configuración estable. Estos núcleos son inestables o radiactivos. Los núcleos inestables tienden a aproximarse a la configuración estable emitiendo ciertas partículas. Los tipos de desintegración radiactiva se clasifican de acuerdo a la clase de partículas emitidas. ៛ Desintegración alfa: El elemento radiactivo de número atómico Z, emite un núcleo de Helio (dos protones y dos neutrones), el número atómico disminuye en dos unidades y el número másico en cuatro unidades, produciéndose un nuevo elemento situado en el lugar Z-2 de la Tabla Periódica. ៛ Desintegración beta: El núcleo del elemento radiactivo emite un electrón, en consecuencia, su número atómico aumenta en una unidad, pero el número másico no se altera. El nuevo elemento producido se encuentra en el lugar Z+1 de la Tabla Periódica. ៛ Desintegración gamma: El núcleo del elemento radiactivo emite un fotón de alta energía, la masa y el número atómico no cambian, solamente ocurre un reajuste de los niveles de energía ocupados por los nucleones. El programa interactivo describe un modelo de sustancia radiactiva A que se desintegra en una sustancia estable B. Se disponen núcleos radiactivos (M) de la sustancia inestable A. Se introduce la constante de desintegración (K). A medida que transcurre el tiempo se anota el número de núcleos que permanecen sin desintegrarse. Posteriormente, se comprobará la ley exponencial decreciente a partir de los datos tomados. De la observación del proceso de desintegración podemos extraer las siguientes relaciones cualitativas: ៛ La velocidad de desintegración decrece a medida que los núcleos radiactivos se van desintegrando. ៛ No podemos predecir en que instante se desintegrará un núcleo concreto, ni qué núcleo se va a desintegrar en un determinado instante. [ CITATION Fra20 \l 9226 ]

Problema de Cauchy En ecuaciones diferenciales un problema de Cauchy (en algunos casos también llamado problema de valor inicial) consiste en resolver una ecuación diferencial sujeta a unas ciertas condiciones de frontera o valores iniciales sobre la solución cuando una de las variables que la definen, toma un determinado valor (usualmente, t=0, para modelar las condiciones del sistema en el instante inicial). Un problema de Cauchy puede ser un problema de valor inicial o un problema de condición de frontera. Experimentalmente se ha llegado al conocimiento de que, en cualquier tiempo ( t 0), la rapidez de cambio de la cantidad M (t )de material radioactivo es directamente proporcional a la cantidad de material presente. Simbólicamente esto se expresa así:

d M ( t )es la rapidez de cambio de M.(t) y el símbolo (INFINITO) denota la dt proporcionalidad existente entre la cantidad presente M (t )del material radiactivo y su rapidez de cambio. donde

Se afirma entonces que:

donde k es la llamada constante de proporcionalidad. Debido a la desintegración, la cantidad M (t )de material radiactivo va disminuyendo (decreciendo) al paso del tiempo t , d por lo tanto se tiene que M ( t )=0 , lo que nos permite concluir que k < 0 ya que M(t) P 0. dt

Integrando se tiene:

Entonces la solución uniparametrica de la ecuación diferencial es:

Es común conocer la cantidad (inicial) de material existente en ( t )=0, lo que se expresa por M ( 0 )= M 0. Con esto podemos calcular la constante C:

Entonces se tiene:

De esta última expresión observemos que se puede calcular k si se conoce la cantidad de material existente en un tiempo t 1 > 0, digamos M t 1=M 1 < M 0 :

Así concluimos que

Entonces la solución paramétrica de la ecuación diferencial es:

Vida Media La vida media representa el promedio de vida de un núcleo atómico de una muestra radiactiva, es el tiempo, calculado estadísticamente, que un núcleo radiactivo de una muestra puede permanecer sin transformarse en otro. θmedia =

1 k

La vida media es inversamente proporcional a la constante radiactiva y es una característica invariable para una determinada desintegración de cada tipo de núcleo radiactivo. Permite estudiar un fenómeno que tiene una analogía directa con la desintegración radiactiva. El experimento permite caracterizar la naturaleza aleatoria de la desintegración, las burbujas que se rompen cada una independientemente de lo que les pase a las otras. La ley de decaimiento de la espuma permite determinar la constante de desintegración (K) y el tiempo medio del decaimiento.

MONTAJE EXPERIMENTAL Materiales ● ● ● ● ● ●

Un vaso cilíndrico 2 pony maltas (una a temperatura ambiente y una a temperatura fría) Un Smartphone con una aplicación capaz de medir longitudes en la pantalla Un reloj Una regla. Programa Software (Tracker)

Montaje Pony Malta A 7°C De acuerdo a la toma de datos con la bebida a temperatura ambiente y la bebida a temperatura de 7ºC, se obtuvo los siguientes resultados:

Figura 1.: Montaje Pony Malta A 7°C, fuente propia

Condiciones Iniciales (Fluido a 7°C)

Grafica 1: Altura de la espuma en función del tiempo.

Grafica 2: Altura de la espuma en función del tiempo con ajuste exponencial

Del ajuste de los datos se determina que la función es una exponencial decreciente y de dicha ecuación se puede obtener la constante de desintegración de la espuma y su vida media. En la gráfica (Grafica 1) se observa el comportamiento de la altura de la espuma con respecto al tiempo tomado en segundos, dando como un tiempo total de desintegración de la espuma de 529.40 segundos a una altura inicial de 0,17m.

Montaje Pony Malta A Temperatura Ambiente

Figura 2.: Montaje Pony Malta A 7°C, fuente propia

Se calcula el procedimiento experimental tomando como variables principales la desintegración radioactiva con respecto al tiempo. Condiciones Iniciales (Al Clima) En la gráfica (Grafica 3) se observa el comportamiento de la altura de la espuma con respecto al tiempo tomado en segundos, dando como un tiempo total de desintegración de la espuma de 622.10 segundos a una altura inicial de 0,17m.

Grafica 3: Altura de la espuma en función del tiempo

Grafica 4: Altura de la espuma en función del tiempo con ajuste exponencial

Del ajuste de los datos se determina que la función es una exponencial decreciente y de dicha ecuación se puede obtener la constante de desintegración de la espuma y su vida media. De acuerdo a los resultados expresados por los dos experimentos se puede deducir que la desintegración molecular de la bebida a una temperatura más fría tiende a desaparecer más rápido, mientras que en el proceso de desintegración radioactiva a temperatura ambiente es más demorado.

FORMULACION MATEMATICA Determinando la ecuación diferencial dh =k∗h dt

៛ Separación De Variables dh =k∗dt dt ៛ Integrando

∫

dh =k ∫ dt h

ln ( h )=k∗t+C ៛ Utilizando Euler Para Cancelar El Logaritmo Natural

H 0=ekt∗eC H ( t ) =e kt∗C Calculando El Valor De La Constante (C) ៛

0.17=e

H 0=0.17 m k(0)

∗C

C=0.17 Calculando El Valor De La Constante (K) Para Temperatura A 7 °C ៛ t ( 529.40 ) =0.07 0.07=e (529.40 ) k∗0.17 17 (529.40 ) k =e 7 ln

( 177 )=529.40 k ៛ Despejando K

k=

ln 2.43 529.40

k =0.00168 Cálculo De Vida Media

t h=

ln 0.411 k

t h=

ln 0.411 −0.0016

t h=555.72 s

Calculando El Valor De La Constante (K) Para Temperatura Ambiente ៛ t ( 622.10 )=0.07 0.07=e (622.10 ) k∗0.17 7 =e (622.10 ) k 17 ln

7 =622.10 k 17

៛ Despejando K k=

ln 0.411 622.10

k =−0.0014

Cálculo De Vida Media

t h=

ln 0.411 k

t h=

ln 0.411 −0.0014

t h=635.11 s

CONCLUSIONES En la realización experimental se pudo observar la diferencia y el comportamiento de la desintegración de la espuma dependiendo de la temperatura inicial en las dos bebidas, con este proceso realizado en el programa tracker se llevó a cabo el modelado de la desintegración radioactiva obteniendo resultados de una función exponencial decreciente. Se identificó las características de la desintegración radioactiva interpretando matemáticamente el valor de la constante k tanto teórico como experimental y haciendo un ajuste de error, con la determinación de la ecuación diferencial se halla la constante c y seguido al valor de estos resultados se calculó el valor de la vida media con respecto al tiempo.

BIBLIOGRAFÍA Franco García, Á. (s.f.). Curso Interactivo de Física en Internet. Recuperado el Sep de 2020, de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/index.html