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• Darwin Dario Uscacchi Valencia

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FIEE-UNMSM. Herrera, Pérez. Modelado

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Modelado Herrera Menor, Eduardo Victor y Pérez Huallanca, Carlos Enrique Junior. [email protected], [email protected]

Facultad de Ingeniería Electrónica y Eléctrica - UNMSM Resumen– En el siguiente informe resumiremos lo realizado en el laboratorio. Mediante el uso de MATLAB, se buscó la familiarización con el modelado matemático de sistemas físicos, para poder encontrar sus funciones matemáticas para luego poder establecer su ley de control. Palabras claves– Identificación de sistemas, modelado, función transferencia.

B. Esquemas La figura 1 representa un sistema eléctrico conformado por una fuente de tensión, una resistencia R y un capacitor C conectados en serie. La entrada u(t) es la tensión generada por la fuente de tensión, mientras que la salida y(t) es la caída de tensión en el condensador de salida.

Abstract– In the following report we will summarize what was done in the laboratory. Through the use of MATLAB, we sought familiarization with the mathematical modeling of physical systems, in order to find their mathematical functions and then establish their control law. Key words– Identification of systems, modeling, transfer function. I. INTRODUCCIÓN Se puede definir el modelado de un determinado proceso como la obtención de un conjunto de funciones que permiten representar, lo más aproximada posible, el comportamiento de las variables de mayor interés del sistema bajo estudio. Para diseñar un modelo de un sistema se debe empezar a partir de una predicción de su funcionamiento antes que el sistema pueda diseñarse en detalle. Está predicción se basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. A esta descripción matemática se le llama modelado matemático. Normalmente el modelado matemático se trata de una serie de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema (modelo teórico). II. MATERIALES Y MÉTODOS A. Equipos ,materiales y herramientas utilizados         

Software MATLAB-SIMULINK 2017 Resistencias Capacitores Protoboard Generador de señales Osciloscopio Cables coaxiales Puntas de prueba Fuente de alimentación

Informe final de laboratorio N° 3

Figura 1: Circuito eléctrico en serie

La figura 2 representa un circuito de orden superior conformado por amplificadores operacionales (OPAM´s), resistencias y capacitores. La entrada del sistema es Vin y la salida está representada por Vout.

Figura 2: Circuito de orden superior

C. Procedimiento Para el desarrollo de la guía deberá fijar un determinado valor de R, R1, R2, C y L. Parte 1: Circuito R-C. De forma analítica, halle la función de transferencia del circuito R-C de la figura 1, considerando la salida el voltaje en el condensador y la señal de entrada al voltaje aplicado. ii. Defina la función de transferencia en Matlab y obtenga su respuesta temporal ante una entrada escalón e impulso unitario. Realice comentarios. iii. Implemente el circuito propuesto en la figura 1 y con un osciloscopio observe y documente su respuesta temporal. Compárela con la obtenida en el punto ii. ¿Es la respuesta esperada? Justifique su respuesta y realice comentarios. i.

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En base, también, al circuito de la figura 1, defina de forma analítica una función de transferencia que considera como señal de entrada el voltaje aplicado y como señal al voltaje en la resistencia. v. Realice los pasos ii y iii para esta nueva función de transferencia. vi. Documente y describa la implementación y los resultados obtenidos. iv.

Parte 2: Circuitos de orden superior i. Halle de forma analítica la función de transferencia del circuito de la figura 2, tomando como señal de entrada Vin y como señal de salida Vout. ii. Defina la función de transferencia en Matlab/Simulink y obtenga su respuesta temporal ante una entrada escalón e impulso unitario. Realice comentarios. iii. Implemente el circuito propuesto en la figura 1 y con un osciloscopio observe y documente su respuesta temporal. Compárela con la obtenida en el punto ii. ¿Es la respuesta esperada? Justifique su respuesta y realice comentarios. Documente y describa la implementación y los resultados obtenidos. III.

RESULTADOS

La guía se dividió en 2 partes, las cuales se detallarán a continuación. Parte 1: Circuito R-C. i. Lo primero que nos piden es determinar la función transferencia del circuito R-C tomando como la salida al voltaje del condensador y la señal de entrada al voltaje aplicado. Primero aplicaremos ley de voltajes en el circuito R-C: 𝑢(𝑡) = 𝑉𝑅 (𝑡) + 𝑉𝑐 (𝑡) = 0 … … . (1)

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Reemplazando (2) y (3) en (1), se obtiene: 𝑢(𝑡) = 𝑖(𝑡) ∗ 𝑅 +

1 ∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 … … . (4) 𝐶

Aplicando la transformada de Laplace a (4): 𝑈(𝑠) = 𝐼(𝑠) ∙ 𝑅 +

1 1 ∙ ∙ 𝐼(𝑠) … … . (5) 𝐶 𝑠

En el enunciado nos dicen que la señal de salida es el voltaje en el condensador: 𝑦(𝑡) = 𝑉𝑐 (𝑡) … … . (6) Aplicando la transformada de Laplace en (6): 𝑌(𝑠) =

1 1 ∙ ∙ 𝐼(𝑠) … … . (7) 𝐶 𝑠

A partir de (5) y (7) obtendremos la función transferencia: 1 1 ∙ ∙ 𝐼(𝑠) 𝑌(𝑆) 𝐶 𝑠 = 𝑈(𝑠) 𝐼(𝑠) ∙ 𝑅 + 1 ∙ 1 ∙ 𝐼(𝑠) 𝐶 𝑠 𝑌(𝑆) 1 = 𝑈(𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1 𝟏 𝒀(𝑺) 𝑹𝑪 = … … . (8) 𝑼(𝒔) 𝒔 + 𝟏 𝑹𝑪 Así (9) se convierte en nuestra función transferencia de del circuito R-C con salida en el voltaje del capacitor. ii. Ahora definiremos la función transferencia del circuito de la figura 1 en MATLAB: En la figura 3 se definió a la función transferencia y para la simulación se le asignó valores a R=20x103 y C=10x10-6.

Donde 𝑉𝑅 (𝑡) es el voltaje en la resistencia R y 𝑉𝑐 (𝑡) es el voltaje en el capacitor C. Luego aplicamos ley de Ohm en la resistencia: 𝑉𝑅 (𝑡) = 𝑖(𝑡) ∗ 𝑅 … … . (2) Del circuito, en el capacitor, observamos que: 𝑉𝑐 (𝑡) =

1 ∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 … … . (3) 𝐶

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Figura 3.

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En la figura 4 tenemos la respuesta temporal ante una entrada escalón.

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En la figura 7 obtenemos la respuesta al escalón unitario.

Figura 7: Respuesta al escalón unitario.

Figura 4: Respuesta temporal al escalón

Ahora en la figura 8 tendremos al mismo circuito RC, pero esta vez con una señal de entrada de impulso unitario.

En la figura 5 tenemos la respuesta temporal ante una entrada impulso unitario.

Figura 8: Circuito RC con entrada al impulso unitario. De la misma manera tendremos la gráfica de la respuesta al impulso en la figura 9.

Figura 5: Respuesta temporal al impulso iii. Mediante una simulación hecha en PROTEUS buscamos comparar las respuestas obtenidas en las figuras 4 y 5. En la figura 6 tenemos al circuito RC con entrada escalón unitario. Figura 9: Respuesta al impulso unitario iv. En base a la figura 1, definiremos analíticamente una función transferencia que considera como señal de entrada el voltaje aplicado y como señal de salida al voltaje en la resistencia. Tomando en cuenta que la señal de salida es el voltaje en la resistencia: Figura 6: Circuito RC con entrada al escalón unitario. Informe final de laboratorio N° 3

𝑦(𝑡) = 𝑉𝑅 (𝑡) … … . (9)

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Aplicando la transformada de Laplace en (9): 𝑌(𝑠) = 𝐼(𝑠). 𝑅 … … . (10) Como el modelado de la señal de entrada se trata del mismo en este caso, tomaremos a (5). A partir de (5) y (10) obtendremos la función transferencia: 𝑌(𝑆) 𝐼(𝑠). 𝑅 = 𝑈(𝑠) 𝐼(𝑠) ∙ 𝑅 + 1 ∙ 1 ∙ 𝐼(𝑠) 𝐶 𝑠 𝑌(𝑆) 𝑅𝐶𝑠 = 𝑈(𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1 𝒀(𝑺) 𝒔 = … … . (11) 𝑼(𝒔) 𝒔 + 𝟏 𝑹𝑪

Figura 11: Respuesta temporal al escalón En la figura 12 tenemos la respuesta temporal ante una entrada impulso unitario.

Así (11) se convierte en nuestra función transferencia de del circuito R-C con salida en el voltaje de la resistencia. v. Repetiremos lo hecho en (ii) y (iii) para la función de transferencia (11). Definiremos (11) en MATLAB: En la figura 10 se definió a la función transferencia y para la simulación se le asignó valores a R=20x103 y C=10x10-6.

Figura 12: Respuesta temporal al impulso Ahora haciendo uso del simulador PROTEUS, se comparará las respuestas obtenidas en las figuras 10 y 11. En la figura 13 tenemos al circuito RC con entrada escalón unitario.

Figura 10. En la figura 11 tenemos la respuesta temporal ante una entrada escalón. Figura 13: Circuito RC con entrada al escalón unitario.

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En la figura 14 tenemos al circuito RC con entrada escalón unitario.

5 2

i2

i1

V2

4

3 V3

V1 1

V3

V4

i3

V4

Teniendo en cuenta que: i1 = i2 = i3 = 0 En el nodo 1:

Figura 14: Respuesta al escalón unitario. Ahora en la figura 15 tendremos al mismo circuito RC, pero esta vez con una señal de entrada de impulso unitario.

𝑉𝑖𝑛 − 𝑉1 𝑉1 𝑅4 = → 𝑉1 = 𝑉𝑖𝑛 ( ) … . (12) 𝑅3 𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 En el nodo 2: 𝑉𝑜𝑢𝑡 − 𝑉1 𝑉1 − 𝑉2 𝑅1 + 𝑅2 𝑉2 𝑅1 = → 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝑉1 ( )− … (13) 𝑅1 𝑅2 𝑅2 𝑅2

En el nodo 3: 𝑉2 − 𝑉3 𝑉3 𝑆𝐶1 = → 𝑉2 = 𝑉3 (1 + 𝑆𝐶1 𝑅5 ) … . . (14) 𝑅5 1

En el nodo 4:

Figura 15: Circuito RC con entrada al impulso unitario. De la misma manera tendremos la gráfica de la respuesta al impulso en la figura 16.

𝑉3 − 𝑉4 𝑉4 𝑆𝐶2 = → 𝑉3 = 𝑉4 (1 + 𝑆𝐶2 𝑅7 ) … . (15) 𝑅7 1

En el nodo 5: 𝑉4 𝑉𝑜𝑢𝑡 − 𝑉1 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅10 = → 𝑉4 = … . (16) 𝑅10 𝑅11 𝑅10 + 𝑅1 Si reemplazamos (16) en (15), (15) en (14), (14) en (13) y (13) en (12): 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝑉𝑖𝑛 (

𝑅4 𝑅1 + 𝑅2 𝑅1 𝑅10 )( ) − (1 + 𝑆𝐶1𝑅5 )(1 + 𝑆𝐶2𝑅7 ) ( )𝑉 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 𝑅2 𝑅10 + 𝑅11 𝑜𝑢𝑡

𝑉𝑜𝑢𝑡 = (1 +

𝑅1 𝑅10 𝐶2𝑅7𝐶1𝑅5 1 1 𝑅4 𝑅1 + 𝑅2 ( ) (𝑆 + ) (𝑆 + )) = 𝑉𝑖𝑛 ( )( ) 𝑅2 𝑅10 + 𝑅11 𝐶1𝑅2 𝐶2𝑅7 𝑅4 + 𝑅3 𝑅2

“X”

Donde: Figura 16: Respuesta al impulso unitario Parte 2: Circuito de orden superior. i. Hallaremos de forma analítica la función de transferencia del circuito de la figura 2, tomando como señal de entrada Vin y como señal de salida Vout.

X = 9.72x10-7 Reemplazando X en la ecuación anterior: 𝑉𝑜𝑢𝑡 = (1 + 𝑋 (𝑆 +

“Y”

Donde: Y=1 Informe final de laboratorio N° 3

1 1 𝑅4 𝑅1 + 𝑅2 ) (𝑆 + )) = 𝑉𝑖𝑛 ( )( ) 𝐶1𝑅5 𝐶2𝑅7 𝑅4 + 𝑅3 𝑅2

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Sabiendo eso valores, llegamos a la siguiente ecuación:

En la figura 19 tenemos la respuesta temporal ante una entrada impulso unitario.

𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑦 = … . (17) 1 1 1 1 𝑉𝑖𝑛 𝑥 (𝑆 2 + ( + )𝑆 + + ) 𝐶1 𝑅5 𝐶2 𝑅7 𝐶1 𝐶2 𝑅5 𝑅7 𝑋 “W”

“Z”

Donde: Z = 1122334 W = 946 Así que reemplazando las variables Z y W en (17): 𝑉𝑜𝑢𝑡 1028806 = 2 … … . (18) 𝑉𝑖𝑛 𝑆 + 946𝑆 + 1122334 Así (18) se convierte en nuestra función transferencia de del circuito orden superior. ii. Definiremos la función de transferencia en Matlab/Simulink y obtenga su respuesta temporal ante una entrada escalón e impulso unitario.

Figura 18: Respuesta temporal al escalón iii. Con la ayuda del simulador PROTEUS procederemos a comparar las señales de salidas con las obtenidas en Simulink. En la figura 19 tenemos al circuito de orden superior con entrada escalón unitario.

Definiremos (18) en MATLAB: En la figura 17 se definió a la función transferencia con los valores ya antes mencionados

Figura 19: Circuito de orden superior con entrada escalón unitario. En la figura 20 obtenemos la respuesta al escalón unitario.

Figura 17. En la figura 18 tenemos la respuesta temporal ante una entrada escalón.

Figura 20: Respuesta al escalón unitario. Ahora en la figura 21 tendremos al mismo circuito de orden superior, pero esta vez con una señal de entrada de impulso unitario.

Figura 18: Respuesta temporal al escalón Informe final de laboratorio N° 3

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Figura 21: Circuito de orden superior con entrada impulso unitario. En la figura 22 obtenemos la respuesta al escalón unitario.

Figura 22: Respuesta al impulso unitario. IV.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

 Una buena identificación de las funciones transferencia nos simplificará los problemas.  El buen manejo de Matlab-Simulink nos ayudó para obtener las representaciones gráficas de las respuestas al escalón e impulso unitario.  Debido a que no se pudo obtener los datos deseados en la implementación de circuitos se optó por usar simulación de Proteus.  Hubiera sido conveniente poder comparar nuestras respuestas obtenidas en Matlab-Simulink con una implementación real.

REFERENCIAS [1]. Ingeniería de Control Moderna-Katsuhik Ogata 5ta edición. [2]. Documentación de (https://es.mathworks.com/help/matlab/)

Matlab

[3]. Material proporcionado en la clase de teoría (PPT)

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