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• Lenin Patiño

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR MODELADO DE CADENAS DESLIZANTES Teniendo un sistema de poleas con masa significativa dispuesto en la siguiente forma:

Observamos que la cadena de longitud L esta inicialmente equilibrada pero al correr un extremo en una cantidad X, el sistema se desequilibra y empieza a moverse. Nuestro objetivo es predecir este movimiento. Para esto usamos lo siguiente: 1. Determinamos la cantidad o longitud de cadena que origina el desequilibrio. Ejm: (

)

(

)

Longitud desequilibradora

2. Calculamos el peso mediante la suposición de una carga uniformemente distribuida. Fuerza neta desequilibradora en Newtons 3. Basándonos en la Segunda Ley de Newton podemos establecer el modelo.

Ejemplo #1 Una cadena colocada sobre una clavija pulida pende 8 dm de un lado y 10 dm del otro. Si la fuerza de rozamiento es igual al peso de 1 dm de cadena, hallar el tiempo que tarda la cadena en resbalarse.

Segmento desequilibrador: (10 + x) – (8 – x) = 2+ 2 x Entonces [

]

√ Operadores anuladores )=0

Entonces, √

Cuando t = 0, x = 0

√

(

)

Cuando t = 0, v = 0 -√

√

√

√

+

Entonces, la cadena cae cuando x = 8 dm [

(√

[

(√

√

-

)])]-

(√

)

√

√

EJEMPLO #2 Una cadena de 6 dm de largo empieza a moverse colgando 1 dm sobre el borde. Despreciando el rozamiento, calcular el tiempo necesario para que se resbale por completo.

Fuerza desequilibradora Entonces

Operadores Anuladores 𝐷 ( 𝑔) 6 6

A=-1

6

6 √

6

√

√

Ahora la caída se da cuando x=5 (√

6

)

(√ √ √

6

)

6

6

√

Ejemplo 3 Se ha colocado una cadena sobre una

√ 6

√

Segundos

3.

clavija pulida, colgando de un lado, 8 m y del otro 12 m. Hallar la distancia a) A los 0.5 segundos b) Al segundo

(12  x)  (8  x)  4  2 x mg  F .Desequilibrio 20 d 2 x 4 g 2 gx d 2x 1 1    0  2  gx  g 2 dt 20 20 dt 10 5 Entonces

(4  2 x)

n

g 10

x(t )  C1e

g t 10

 C2 e



g t 10

2

Para t  0, x  0 0  C1  C 2  2  C 2  2  C1 Para t  0, x' (0) g 0 C1e 10

g t 10

 g  C2 e 10

g g C1  C2 10 10 C1  1, C 2  1 0

x(t )  e

g t 10

e



g t 10

2

g t 10

Cuando t  0.5 x(t )  0.24m Cuando t 1 x(t )  1m