• Categories
• Probabilidad
• Probabilidad y estadística
• Matemática
• Ciencia filosófica
• Ciencia

Citation preview

Probabilidad (Ejercicios resueltos) Matemática · Probabilidad 1. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve. Solución a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN } b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de espacio muestral) Oservemos que en el caso a) el experimento es con repetición. 2. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde. Solución a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos. E: espacio muestral, de 20 elementos. P(A) = 8/20 = 2/5 (definición de probabilidad). b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos c B : extraer uba bola al azar que NO sea verde. c

P(B ) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5) 3. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) con reemplazo, b) sin reemplazo Solución: R: extraer bola roja E = { RR, RB, BR, BB }

B: extraer bola blanca

a) Con reemplazo RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) = (3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento). RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) = (3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente del B cuando hay reemplazamiento). BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) = (7/10)(3/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente del R cuando hay reemplazamiento). BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) = (7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente de el mismo cuando hay reemplazamiento). b) Sin reemplazo RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) = (3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento). RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) = (3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente del R cuando NO hay reemplazamiento). BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) = (7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente del B cuando NO hay reemplazamiento).

BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) = (7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente de el mismo cuando NO hay reemplazamiento). 4. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? Solución R: extraer bola roja

B: extraer bola blanca

R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son mutuamente excluyentes o incompatibles) c

c

B : NO extraer bola blanca, P(B ) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5) 5. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio. Solución H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3 M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3 P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H y M) 6. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? Solución a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5 (eventos compatibles) b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad condicionada) c)

P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24

7. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b)Describe los sucesos: A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C : "Menor que 6" c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.

escribiendo todos sus elementos.

Solución a) b)

Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}. B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}. C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}

c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10 B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10

8. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro. Solución a) A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A) = P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada) b) B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 - 0 =1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no tienen elementos comunes) c) P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156 =29/52. d) P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes) Los cálculos anteriores son bajo el supuesto de que la baraja española de 40 cartas tienen 10 oros y 10 copas, más información sobre la baraja española en la página: http://www.salonhogar.net/Enciclopedia/Baraja_espanola/Indice.htm 9. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. - A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele? b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer? Solución A: les gusta ver la tele B: les gusta leer P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120 a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos complementarios) b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada) c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad) 10. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? Solución Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5. (Definición de Probablidad). Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4 11. Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número? Solución Del mismo modo que en el ejercicio 10, hay 125 formas posibles: (1,1,1); (1,1,2) ... (5,5,4); (5,5,5); de las cuales 5 son favorables, por tanto la probabilidad de que las tres personas elijan el mismo número es 5/125 = 1/25. (Definición de Probabilidad)

Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4 12. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento. Solución a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P (por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P = 1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7. b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7. 13. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 7? Solución 2 El espacio muestral tiene 6 = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 6/36 = 1/6. 14. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que: a) Salga 6 en todos. b) Las caras obtenidas sumen 7. Solución a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces: P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216. 3 b) El espacio muestral tiene 6 = 216 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72. 15. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. Solución El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4. A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)} B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)} P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2 porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común). 16. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres papeletas. Solución Sea Ai el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y B j el suceso de sacar "j" papeletas blancas. P(A1) = 1 - P(B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5. P(A2) = 1 - P(B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.

P(A3) = 1 - P(B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57. 17. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen Solución P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5. 18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. Solución Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla) Hombre

Mujer

Total

Ojos castaños

5

10

15

Total

10

20

30

Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños. P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3. 19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer? Solución Hombre

Mujer

Total

Casados

35

45

80

Solteros

20

20

40

Total

55

65

120

a) P(hs) = 20/120 = 1/6. b) P(m/c) = 45/80 = 9/16. 20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular: a) El porcentaje de los que acuden por la tarde. b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. Solución Electricidad Mecánica

Chapa

Total

Mañana

3

8

3

14

Tarde

2

3

1

6

Total

5

11

4

20

a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%

b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55% c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6. 21. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. Solución P(al menos un tema) = 1 - P(ningún tema) = 1 - (10/25)(9/24) = 1 - 3/20 = 17/20. 22. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie francés? Solución a) Sea A el suceso de elegir un chico y B el suceso de elegir estudiante de francés. P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/20 + 10/20 - 5/20 = 15/20 = 3/4 (A y B son sucesos compatibles) b) En la gráfica se observa que la intersección entre el conjunto "alumnas" y el conjunto "no francés" tiene 5 elementos, entonces P(chica y no francés) = 5/20 = 1/4. 23. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: a) juegue sólo fútbol, b) juegue sólo baloncesto, c) Practique uno solo de los deportes, d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto. Solucióna a) P = 0,3

b) P = 0,2

c) P = 0,3 + 0,2 = 0,5

d) P = 0,4

24. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? Solución Pelo castaño

Pelo no castaño

Total

Ojos castaños

15

10

25

Ojos no castaños

25

50

75

Total

40

60

100

a) P(ojos castaños/pelo castaño) = 15/40 = 3/8 b) P(pelo no castaño/ojos castaño) = 10/25 = 2/5 c) P(pelo no castaño y ojos no castaño) = 50/100 = 1/2. 25. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas; si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

Solución Gafas

Sin gafas

Total

Hombres

15

25

40

Mujeres

15

45

60

Total

30

70

100

a) P(mujer y sin gafas) = 45/100 = 9/20 b) P(hombres/sin gafas) = 25/70.



mónica (sábado, 25 febrero 2012 21:36) El problema n°10 tiene un error en la respuesta: Hay 25 formas posibles de elección para los dos participantes (1;1)(1;2); ...(5;4) y (5;5). De las cuales 5 son favorables La probabilidad de dos números iguales es 5/25=1/5. O de otra forma: A puede elegir cualquiera de los 5, la probabilidad que B elija el mismo es 1/5 En el problema 11 se arrastra el error



#5

Fray Luis (domingo, 26 febrero 2012 11:25) Tienes razón mónica, se aplica es la definición de Probabilidad y no la propiedad 4 de eventos independientes que era la que yo tenía. Muchas gracias por el aporte.