• Author / Uploaded
• Judith Roldán

Citation preview

ACTIVIDAD 2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA López Báez Herlinda

Profesora: Hermelinda Hernández de la cruz

1. 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛 2

 

Paso 1: demuestre que la ecuaciónes válida cuando n=1

Cuando n=1 , tenemos(2(1)−1)=1 2 , por lo que la afirmación es válida para n=1. Paso 2: Suponga que la ecuaciónes verdadera para n , y pruebe que la ecuación es verdadera para n+1. Suponga:1+3+5+ 7 ...+(2 n−1)=n2 Probar :1+3+5+7. ..+(2(n+1)−1)=(n+1)2 Prueba :1+ 3+5+7 ...+(2(n+1)−1) ¿ 1+3+5+7 ...+(2n−1)+(2 n+2−1) ¿ n 2+(2n+2−1)( por supuesto) ¿ n 2+2 n+1 ¿( n+1) 2 Entonces , por inducción , para cada entero positivo n , 1+3+5+7. ..+(2 n−1)=n 2. 2. 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

Caso base :n=1 2=1( 1+1)=2 Asumir cierto para n=k 2+ 4+6+ 8 .. .+2 k=k (k +1) Mostrar verdad para n=k +1 2+ 4+6+ 8 .. .+2 k +2(k+ 1)=k (k + 1)+2( k +1)=(k + 1)(k +2)=( k +1)(k +1+1) Por lo tanto ,2+ 4+6+ .. .+2 n=n n(2+2 n) 2 n(1+ n) = =n (n+1) 2 2

3. 1 + 4 + 7 + ⋯ + (3𝑛 − 2) =

n(3 n−1) 2

asumiendo la hipótesis de inducción y probando .  Entonces: n + 1

¿ 1+4+7+...+3n−2+3(n+1)−2=n(3 n−1)+ 2 ¿3(n+1)−2

=

n ( 3 n−1 ) 2(3 (n+1)−2) + 2 2

2 = 3 n −n+6 n+6−4 2 2 = 3 n + 5 n+2 2

=

(n+1)(3 n+2) 2

=

(n+1)(3( n+1)−1) 2

d) 1+2+22 +23 +⋯+ 2n=2n+1 – 1 Suponga que la afirmación es verdadera para n = k, es decir 1 + 2 + 2 2 +2 3 + ... + 2 k-1 = 2 k - 1 ecuación 1 Necesito demostrar que la afirmación es verdadera para n = k + 1, es decir, necesito demostrar que 1 + 2 + 2 2 +2 3 + ... + 2 (k + 1) -1 = 2 k + 1 - 1 ecuación 2 El lado izquierdo de la ecuación 2 es 1 + 2 + 2 2 +2 3 + ... + 2 (k + 1) -1 = 1 + 2 + 2 2 +2 3 + ... + 2 k  El siguiente al último término en esta suma es 2 k-1 y, por lo tanto, puedo escribir el lado izquierdo de la ecuación 2 como 1 + 2 + 2 2 +2 3 + ... + 2 k-1 + 2 k Pero sé que 1 + 2 + 2 2 +2 3 + ... + 2 k-1 = 2 k - 1 (esta es la ecuación 1), por lo que el lado izquierdo de la ecuación 2 es 1 + 2 + 2 2 +2 3 + ... + 2 k-1 + 2 k = 2 k - 1 + 2 k = 2 (2 k ) - 1 = 2 k + 1 - 1 Por lo tanto, hemos demostrado que el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación 2 son iguales. Esto completa el paso inductivo y, por lo tanto, por inducción, he demostrado que 1 + 2 + 2 2 +2 3 + ... + 2 n-1 = 2 n - 1 para n = 1, 2, 3, ...

e) 8 divide a 32 n−1 para todo n natural

Para n=1 se cumple, ya que 3^(2·1) - 1 = 9 - 1 = 8 supongamos que se cumple para n y veamos que se cumple para n+1 3^(2n) - 1 = 8k con k€N 3^[2(n+1)] - 1 = 3^(2n +2) - 1 = 3^(2n)·3^2 - 1 = (8k+1)·9 - 1 = 72k + 9 -1 = 72k + 8 = 8(9k+1) luego 3^[2(n+1)] - 1 es múltiplo de 8 y se cumple para n+1. Con esto queda demostrada la inducción

f)9 divide a 4 n + 15𝑛 − 1 para todo n natural Según la hipótesis inductiva, 4n+15n-1≡0,  entonces 4n≡1-15n  y, por lo tanto,4n+1+15(n+1)-1=4⋅4n+15n+14≡4 ⋅(1-15n)+15n+14=18-45n≡0 ya que tanto18 como45 son divisibles por 9. g)

n(n  1)(n  2) 3 1 2  3 1  2  2  3  3  4  ...  n  ( n  1)  1  2   2 es verdadero 3 k ( k  1)(k  2) 1  2  2  3  3  4  ...  k  ( k  1)  3 (k  1)(k  2)(k  3) 1  2  2  3  3  4  ...  ( k  1)  ( k  1)  ( k  2)  3 k (k  1)(k  2) 1  2  2  3  3  4  ...  k  ( k  1)  ( k  1)  (k  2)   (k  1)  (k  2) 3 k (k  1)(k  2) (k  1)(k  2)(k  3)  ( k  1)  (k  2)  3 3 y es verdadero 1x 2  2*3  *4  ...  nx( n  1) 

h) la suma de los primeros n números naturales es

n(n+1) 2

(1) ρ(1) : 1 = 1(1 + 1)/2 , lo cual es verdadero. (2) Sea η ∈Ν , debemos probar que ρ(η) ρ(η + 1) es verdadero. Nótese que si ρ(η) es falsa la implicación es verdadera, de modo que hay que hacer la demostración suponiendo que ρ(η) es verdadera. (Esto es lo que se llama hipótesis inductiva). Supongamos entonces que ρ(η) es verdadera, es decir, que 1 +2 +3 + ... + η = η(η+1)/2 es verdadera. Como ρ(η+1) : 1 +2 +3 + ... + (η+1) = (η+1) [ (η+1) + 1 ] /2 , ρ(η+1) debe poder formarse de ρ(η) sumando η+1 a ambos miembros de la igualdad (de la hipótesis inductiva) : 1 +2 + 3 + … + η+ (η+1) = η(η+1)/2 + (η+1) = (η+1) [η /2+1] = (η+1) (η+2) /2 Hemos confirmado nuestras sospechas, lo que, en lenguaje formal, significa que hemos deducido que ρ(η+1) es verdadera, suponiendo que ρ(η) lo es. Así, hemos probado que ∀η∈Ν : ρ(η) ρ(η+1) es verdadera. Luego, ∀η∈Ν : 1 +2 + 3 + … + η = η (η+1) /2 es una fórmula correcta.