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• Judith Roldán

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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO ECUACIONES DIFERENCIALES I

PRESENTA: HERLINDA LOPEZ BAEZ

PROFESOR: MARCO VINICIO LLANES RUEDA

MATRICULA: ES1822023810 UNIDAD 2

Teorema de Existencia y Unicidad “Para una ecuación diferencial y’(x) = f(x,y) con condición inicial y(a) = b,  existe al menos una solución en una región rectangular del plano XY que contiene al punto (a,b), si f(x,y) es continua en dicha región. Y si la derivada parcial de f respecto de y: g = ∂f/ ∂y es continua en esa misma región rectangular, entonces la solución es única en un entorno del del punto (a,b) contenido en la región de continuidad de f y g.”[ CITATION Cod95 \l 2058 ]

La utilidad de este teorema radica primero en conocer cuáles son las regiones del plano XY en las que puede existir una solución y además, saber si la solución encontrada es la única posible o si existen otras. 

Para este teorema se conocen dos demostraciones posibles, una de ellas es la demostración de Charles Émile Picard (1856-1941) y la otra se debe a Giuseppe Peano (1858-1932) basado en los trabajos de Augustin Louis Cauchy (17891857).[ CITATION Cau \l 2058 ]

Es de notar que en la demostración de este teorema participaron las mentes matemáticas más brillantes del siglo XIX, por lo que se puede intuir que ninguna de las dos es sencilla.

Para demostrar formalmente el teorema se requiere establecer primero una serie de conceptos de matemáticas más avanzadas, como funciones tipo Lipschitz, espacios de Banach, teorema de existencia de Carathéodory y varios más, que escapan del propósito del artículo.[ CITATION Lin94 \l 2058 ]

Una gran parte de las ecuaciones diferenciales que se manejan en física tratan con  funciones continuas en las regiones de interés, por lo tanto nos limitaremos a

mostrar la forma en que se aplica el teorema en ecuaciones sencillas[ CITATION Zil86 \l 2058 ]

 Ejemplo 1 Consideremos la siguiente ecuación diferencial con una condición inicial:

y’(x) = – y; con y(1) =3

¿Existe una solución para este problema? ¿Es la única solución posible?

Respuesta En primer lugar se evalúa la existencia de la solución de la ecuación diferencial y que además que cumpla la condición inicial. 

En este ejemplo f(x,y) = – y la condición de existencia requiere saber si  f(x,y) es continua en una región del plano XY que contenga al punto de coordenadas x=1, y=3.

Pero f(x,y)=-y es la función afín, que es continua en el dominio de los números reales y existe en todo el rango de los números reales.

Por lo

tanto

se concluye que

f(x,y) es continua

en R2, por lo que

el teorema garantiza la existencia de al menos una solución.

Sabiendo esto, toca evaluar si la solución es única o si por el contrario hay más de una. Para esto es necesario calcular la derivada parcial de f respecto de la variable y:

∂f/∂y = ∂(-y)/∂y = -1

Entonces g(x,y) = -1 que es una función constante, que también está definida para todo  R2 y además es continua allí. Se sigue que el teorema de existencia y unicidad garantiza que este problema de valor inicial sí tiene una solución única, aunque no nos dice cuál es.

Bibliografía Cauchy-Lipschitz. (s.f.). Encyclopedia of Mathematics. Obtenido de encyclopediaofmath.org Coddington, E. A., & Levinson, N. (1995). Teorema de existencia y unicidad: demostración. Obtenido de https://www.lifeder.com/teorema-existencia-unicidad/ Lindelöf. (Vol. 116, 1894,). Sur l’application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences. Obtenido de gallica.bnf.fr. Zill. (D.1986). Ecuaciones diferenciales elementales con Aplicaciones. En P. Hall.