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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO ECUACIONES DIFERENCIALES I PRESENTA: HERLINDA LOPEZ BAEZ PROFESOR: MARCO VIN
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- Judith Roldán
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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO ECUACIONES DIFERENCIALES I PRESENTA: HERLINDA LOPEZ BAEZ PROFESOR: MARCO VINICIO LLANES RUEDA MATRICULA: ES1822023810 UNIDAD 2
Actividad 2. Instrucciones: Analizar la naturaleza de las raíces de la ecuación característica de una ecuación diferencial de grado 𝑛, así como resolver las ecuaciones diferenciales, por medio de la ecuación característica de una ecuación diferencial de grado 𝑛.
1. y 4 + 2y ′′ + y = 0 𝑟 4 + 2𝑟 2 + 1 = 0 (𝑟 2 + 1) = 0 𝑟2 + 1 = 0 𝑟 2 = −1 𝑟 = ±𝑖 𝑟 = 0 + 𝑖 𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
Es una raíz multiple y por eso hacemos este paso 𝑦3 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦4 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Solución general 𝑦 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐3 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐4 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 2. y 5 + 8y ′′′ = 0
𝑟5 + 8𝑟 3 = 0 𝑟 = 0, 𝑟 = 2√2𝑖 𝑟 = −2√2𝑖 3. 𝑦 ′′′ + 3𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ + 𝑦 = 0
𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 Multiplicamos por x porque es solución de multiplicidad 𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑦3 = 𝑥2 𝑒𝑥 𝑟3 + 3𝑟 2 + 3𝑟 + 1 = 0 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (𝑟 + 1)3 = 0 𝑟 + 1 = 0 𝑟 = −1 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥 2 𝑒 𝑥
Se rescribe
4. y ′′ + 2y ′ + y = 0
𝑟2 + 2𝑟 + 1 = 0 (𝑟 + 1)2 = 0 𝑟 + 1 = 0 𝑟 = −1 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙
5. y ′′ + 16y = 0
𝑟2 + 16 = 0 (𝑟 + 16)2 = 0 𝑟±4=0 𝑟 = 4𝑖 𝑟 − 4𝑖 6. y ′′ + 2y ′ − 3y = 0
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