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Universidad abierta y a distancia de México CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES 1. UNIDAD 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Actividad 3. FORO Presenta: López Báez Herlinda

Docente: María de la Luz Pérez Limón Matricula: ES1822023810 Diferenciabilidad :una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden . Relaciones entre derivadas direccionales y diferenciabilidad f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2

1. f diferenciable en (a, b) ⇒ f continua en (a, b).

Propiedad que se verifica en general

f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2

1. f diferenciable en (a, b) ⇒ f continua en (a, b). Propiedad que se verifica en general.

2. La continuidad de f en (a, b) NO implica la diferenciabilidad de f en (a, b). Ejemplo: f(x, y) = px2 + y2 es continua pero no es diferenciable en (0, 0)

f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2

3. Condici´on suficiente de diferenciabilidad ∂f ∂f ∃ ∂x, ∂y en un entorno de (a, b), ⇒ f diferenciable en (a, b) siendo alguna continua en (a, b)

f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2

3. Condici´on suficiente de diferenciabilidad ∂f ∂f ∃ ∂x, ∂y en un entorno de (a, b), ⇒ f diferenciable en (a, b) siendo alguna continua en (a, b)   Ejemplo: f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0)

1 x2 y2 sin x2 + y2

,

(x, y) = (0, 0)

f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2

4. f diferenciable en (a, b) ⇒ f admite derivadas direccionales en (a, b). Propiedad que se verifica en general. - Las derivadas direccionales se pueden calcular usando el gradiente

f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2

5. La existencia de derivadas direccionales no implica la diferenciabilidad.

f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2

5. La existencia de derivadas direccionales no implica la diferenciabilidad. Ejemplo: f(x, y) = x2y , (x, y) = (0, 0) x4 + y2 0, (x, y) = (0, 0) admite todas las derivadas direccionales en (0, 0), pero no es diferenciable en (0, 0).

f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2

5. La existencia de derivadas direccionales no implica la diferenciabilidad. No se cumple ni siquiera cuando f es continua:  2 3 3 x y − 2 x , (x, y) = (0, 0) x2 + y4 Ejemplo: f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0) es continua en R2, admite todas las derivadas direccionales en (0, 0), pero no es diferenciable en (0, 0).

f : R2 → R,

(a, b) ∈ R2