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• Juan Manuel Ortiz Vargas

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91 


   2 | |      

   2 | |      




   2| |      




          

Esta expresión se denomina forma de Angulo fase (o forma armónica) de la serie de Fourier.

Integral de Fourier y espectros continuos Las series de Fourier son una herramienta útil para representar señales periódicas., para el análisis de sistemas LTI con entradas periódicas y para resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales. En esta sección se generaliza el método de las series de Fourier con el fin de incluir señales no periódicas. ¿Cual es la herramienta para el análisis señales no periódicas? En esta sección nos proponemos deducir (no rigurosamente) una forma de representar cierto tipo de funciones no periódicas que estén definidas en un intervalo infinito ∞, ∞ o en un intervalo sema-infinito 0, ∞ José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

92

De la serie de Fourier a la integral de Fourier Como motivación se consideran dos ejemplos de funciones periódicas #$ , de periodo %, y se observa que sucede si % & ∞. Luego se considera la serie de Fourier de una función periódica arbitraria #$  de periodo %, y se hace que % & ∞. Ejemplo 1

Considerar el tren de pulsos rectangulares periódico definido por 0 #$ 
'. 0

()* ()* ()*

%/2 ,  , 1 –1 ,  , 1 0 1 ,  , %/2

Y #$   %
#$  , que tiene periodo % 1 2, 2
2. Si se hace que % & ∞ se obtiene una función # que ya no es periódica: #
lim #$ 
6

Ejemplo 2

$&

. 0

– 1 ,  , 10  7 8

Considerar la función #$  periódica de periodo % definida por:

#$ 
 || , para %/2 ,  , %/2 y #$   %
#$ 

Si se hace que % & ∞ se obtiene nuevamente una función # que no es periódica # 
lim #$ 
 || $&

Ahora consideremos cualquier función periódica #$  de periodo % que pueda representarse mediante una serie de José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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Fourier (que satisfaga las condiciones para la convergencia). Utilizamos la notación abreviada 


29 
  %

Entonces podemos escribir esta representación en serie de Fourier como 

) #$ 
 ) cos    = sin   2 

Se desea ver qué sucede si se hace que % & ∞.

Se introducen las definiciones de los coeficientes ) ? = denotando la variable de integración por @. Entonces la serie de Fourier de la función #$  es 1 $/B #$ 
A # @*@ % C$/B $ 

$/B 2  A #$ @ cos @ *@ cos   % C$/B  $/B

 A

#$ @ sen @ *@ sen  

C$/B

Ahora bien, E  
Y se hace

2  19 29 29 
% % %

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∆
E  


29 %

Entonces 2/%
∆/9 y puede escribirse esta serie de Fourier en la forma



1 $/B #$ 
A #$ @*@ % C$/B

$/B 1  A #$ @ cos @ *@ cos   9 C$/B  $ B

 A #$ @ sen @ *@  sen  ∆ C

$ B

Esta representación es válida para cualquier % fijo arbitrariamnete grande, pero finito

Ahora se hace que % & ∞ y se supone que la función no periodica resultante # 
lim #$  $&

Es absolutamente integrable sobre el eje , es decir que la integral 

A |#@| *@ , ∞ C

Entonces 1/% & 0 y por lo tanto 1 $/B A # @*@ & 0 % C$/B $ José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

95

También ∆
29/% & 0 y el limite de la suma se convierte en una integral de 0 a∞, que representa a #  1  #
A GA #@ cos@ *@ cos 9  C 

 A # @ sen@ *@ H * C

Si se introducen las notaciones abreviadas

 
IC # @ cos@ *@ Y J  
IC #@ sen@ *@ 



Entonces #  puede escribirse en la forma

1  #
A  cos  J* 9 

Integral de Fourier

La integral de Fourier de una función # definida en el intervalo ∞, ∞ esta dada por 1  #
A  cos  J* 9 

Donde




A #@ cos@ *@ C 

J
A #@ sen@ *@ C

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Convergencia de la integral de Fourier Teorema 1 (Condiciones para la convergencia)

1 1  #    #  
A   cos  J  * 2 9 

Ejemplo 3 Pulso rectangular de duración 2 ser

Encontrar la representación como integral de Fourier de la función

B 
8⁄2
L Solución



1 | | , 1 0 0 | | 1 1 


A 8@⁄2 cos@ *@
A cos@ *@
C



C

J
A sen@ *@
0 C

2 

Sustituyendo estos coeficientes, obtenemos que la integral de Fourier de la función sea 2  cos  #  
A * 9  

Esta integral converge a

1 M1 N 2 0

()* ()* ()*

|| , 1 | |
1 0 | | 1 1

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9N2 cos  A *
M9 N 4   0 

En particular para 
0, obtenemos que 

A



()* ()* ()*

| | , 1 | |
1 0 | | 1 1

 9 *
2 

Esta integral es el límite de la llamada función seno -integral definida por Cuando ? & ∞

PQ ?
A

R



 * 

2. Anotaciones acerca de la función seno integral

R  PQ ?
A *
A P) *    R

La función seno integral tiene las siguientes propiedades

a) Dado que la función P)  es una función par, entonces PQ? es una función impar, es decir PQ ?
PQ?

b) Cuando ?
0, se tiene que PQ 0
0

c) PQ∞ & 9/2 cuando ? & ∞ y PQ ∞ & 9/2 cuando ? & ∞. Ademas por el teorema fundamental del calculo tenemos que *PQ  * S   
A *
* *  

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Luego

*PQ 
0 * Cuando sea un múltiplo entero de 9, es decir
9,  entero T0

d) Para
0 se tiene que la pendiente de la recta tangente en este punto es igual a 1.

e) El valor del máximo obtenido en
9 es aproximadamente 1.189/2

Ejercicio No 1. Escribir un programa en Matlab para graficar la función seno integral En el caso de las series de Fourier, las graficas de las sumas parciales obtenidas remplazando ∞ por N son curvas de aproximación a la curva de la función periodica representada por la serie. De manera análoga, en el caso de la integral de Fourier se obtienen aproximaciones al reemplazar ∞ por ). La integral definida por 2 W cos  * #W 
A 9  

Se aproxima a la integral

2  cos  A * 9  

Y por lo tanto a # en los puntos de continuidad. #
lim #W  W&

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Ejercicio No 2. Escribir un programa en Matlab para graficar las funciones #W   en diferentes planos para )
8, )
16, )
32 y )
64. En los puntos de discontinuidad de la señal, es decir en t
Z1 se presenta nuevamente el fenómeno de Gibbs que no desaparece aun cuando ) & ∞.

Para graficar las curvas #W  es conveniente expresar la integral en términos de funciones seno integral: 2 W cos  A * 9   1 W    1 W   
A *  A * 9   9  

Hacemos el cambio de variable
1  , en la primera integral y obtenemos *
1  * y el intervalo de integración 0 [  [ ) se transforma en 0 [ [   1) . Análogamente se procede para la segunda integral.

2 W cos  A * 9   1 E\W   1 \CW  
A *  A * 9  9 

Por lo tanto

2 W cos  #W 
A *  9  1 1
PQ 1  )  PQ   1) 9 9

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100

Integrales de Fourier seno y coseno

Cuando # es una función par en el intervalo ∞, ∞, entonces J  
0, por lo que  2  # 
A ]A #@ cos@ *@ ^ cos * 9  

De manera análoga, cuando # es una función impar en el intervalo ∞, ∞, entonces A 
0, por lo que

 2  #
A ]A #@ sen@ *@ ^ sen * 9  

Definición

1) La integral de Fourier de una función par en el intervalo ∞, ∞ es la integral coseno

Donde

2  #
A  cos * 9  


A #@ cos@ *@ 

2) La integral de Fourier de una función impar en el intervalo ∞, ∞ es la integral seno

donde

2  #
A J sen * 9 

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101 

J
A # @ sen@ *@ 

Nota importante: Estas integrales pueden utilizarse cuando la función no es par ni impar y definidas en el semi-infinito .En este caso 2  #
A  cos * 9 

Representa la función # en el intervalo 0, ∞ y a su extensión par . Análogamente,

2  #
A J sen * 9 

Representa la función # en el intervalo 0, ∞ y a su extensión impar.

Integrales de Laplace ( Representaciones mediante las integrales seno y coseno ) Ejemplo 4

Representar #
expa,  1 0

a) mediante una integral coseno b) mediante una integral seno . Solución a)

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102 


A exp a@ cos@ *@


Por lo tanto, la integral coseno de # es

a aB  B

2a  cos expa
A * 9  aB  B 

A Solución b )



cos 9 *
exp a 2a aB  B



J
A exp a@ sen@ *@


Por lo tanto, la integral seno de # es

 aB  B

2  ωsen * expa
A 9  aB  B

A





ωsen 9 *
exp a aB  B 2

5. Forma compleja de la integral de Fourier. Transformada de Fourier. 1 1   #   #
A A # @ cos@  *@ * 2 9  C 1 1  
A A #@ exp @    exp @ 2 9  C  *@ *

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103

1   A A #@ exp @  *@* 29  C 1   A A #@ exp  @  *@*  29  C

Haciendo 
c en la primera integral , obtenemos 1   A A #@ exp c @  *@*c 29 C C 1   A A #@ exp  @  *@*  29  C

Ahora escribimos nuevamente la variable de integración como  redonda y combinamos estas dos integrales para obtener 1 1   d#   # e
A A #@ exp @  *@* 2 29 C C

Esta es la representación en integral de Fourier compleja de # en la recta real. Si hacemos



f 
A #@ exp@ *@ Entonces la integral es

C

1 1  d#   #  e
A f exp * 29 C 2

Llamamos a f al coeficiente de la integral de Fourier compleja. José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

104

Otra presentación de la integral de Fourier compleja Si # es real , entonces

1   # 
A A #@cos@ cos  9  C  @ *@ *

1  
A GA #@ cos  @ *@ H * 9  C

1  
A A #@ cos  @*@ * 9  C

La integral de ∞ a ∞ es una función par de  por lo tanto  1  A GA # @ cos  @*@ H * #
29 C C

Analogamente ,

   A GA #@ sen  @*@H *
0 29 C C

ya que el integrando es una función impar de .

Sumando obtenemos

1   #
A A # @  @    @*@ * 29 C C 1   #
A A # @exp    @*@ * 29 C C

Esta es la llamada forma compleja de la integral de Fourier José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

105  1  # 
A ]A #@ exp@ *@ ^ exp * 29 C C

Esta integral puede escribirse como

1 
A f exp * 29 C

Donde



f 
A # @ exp@ *@ C

# se llama transformada inversa de Fourier de f , y f   es la transformada de Fourier de #

Transformadas de Fourier

Suponiendo que # es absolutamente integrable. La integral de Fourier da origen a tres transformadas integrales que motivan a definir los siguientes pares de transformación de Fourier. Transformada de Fourier:

g #
IC # exp *
h) 

Transformada inversa de Fourier: g

1  h
A h  exp  *
# 29 C

C 

Transformada seno de Fourier 

gi # 
A #*
hi  

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106

Transformada seno inversa de Fourier: giC h

2 
A hi  *
# 9 

Transformada coseno de Fourier: 

gj #
A #cos *
hj  

Transformada coseno inversa de Fourier: gjC h

2 
A hj cos *
# 9 

7. Existencia de la transformada de Fourier

La condición para que exista X generalmente esta dada por 

A | | * , ∞ C

Esta es una condición suficiente para la existencia de la transformada de Fourier de la señal .

Ejemplos de transformadas de Fourier en tiempo continuo 8.1. Encontrar la Transformada de Fourier del pulso rectangular definido por 
8 ⁄ )
L

Demostración

1 || , )/20 0 || 1 )/2

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107 

k 
A  exp  * C


A







W/B

exp  *

CW/B

1 ) ) exp m n  exp m n l 2 2

2 ) ) ) sin o p
2P) 
2Q   2 2 29

W 
8 ⁄ ) q

) 2 sin o p  2

8.2. Considerar el pulso triangular ∆ N 2 definido por 1  ||/2, 
∆ ⁄ 2
L 0,

| | , 2 0 | | 1 2

Calculemos la transformada de Fourier k para esta señal 

k
A ∆ ⁄ 2 exp * C

r  
A 1  exp *  A 1  exp * 2 2 Cr  

r  
A 1  exp *  A 1  exp  * 2 2   r

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108


2 A 1  * 2  r

2 2
2P)B 29 2 2 ∆ ⁄ 2 q 2P)B 2

g 
2Q B

8.3. L a transformada de Fourier de la señal exponencial unilateral

es


 s(,

s10



k
A  s(exp  * C




A  s   * 




1 s  

 s( q

1 s  

8.4 La transformada de Fourier de la señal exponencial bilateral definida por

es


 s||, 

s10

k
A  s ||exp  * C

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109 




A  sexp *  A  sexp  * C




C

1 1 
s   s  


2s sB  B

 s|| q

2s sB  B

8.5. 4 La transformada de Fourier de la señal Gaussiana definida por 
 s B ,

es

s10





k
A  s B exp * C




A  s  *
A  s B  /s* B

C

C

“Completando cuadrado” obtenemos

  B  B
A  Gs ]   m n ^  m n H * s 2s 2s C 

B

B    B B
 G H A  Gs ]   m n ^H * 4s C s 2s B   B  G H A  G L√s  u H * 4s C 2s

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110

Introducimos una nueva variable de integración ?, mediante el cambio de variable ?
√s v  Luego

 w 2s

*?
√s*

 B 1  √9 A  G L√s  u H *
A exp ? B *?
2s √s √s C C 

Puesto que



x
A exp ? B *?
√9 C

El “ truco” utilizado para evaluar esta integral es considerar el cuadrado de esta integral, denotada x B 



x
A exp  * A exp ? B *? B

C 



B

C


A A   B  ? B  * *? C C

Introducimos coordenadas polares para evaluar esta integral doble:
8y,

?
8y

Luego el elemento de área * *? se transforma en 8*8*y. Ahora, como y ? varían de ∞ a ∞ , se tiene que 8 varía entre 0 y∞, mientras y varia entre 0 y 29. Luego José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

111 Bz

x
A B



Por lo tanto



A 8 8 B /2 *8*y
√9 

k
g  s  s

B

B 

9 B
{ exp   s 4s

9 B q { exp   s 4s

¿Existe una señal  cuya transformada de Fourier sea  ?

Recordamos que la forma compleja de la integral de Fourier es

Donde

 
g

1  A k exp  * k
29 C

C 



k
g 
A  exp  * C

La función k
g  es en general compleja, por lo tanto tiene una parte real y una parte imaginaria que dependen de la variable  k
   x 
|k| 

La representación del modulo de k función de , es decir de |k| , se denomina espectro de amplitud de , y |k|B se denomina energía espectral. La representación de la fase de k  en función de  se denomina espectro de fase.

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112

Algunos resultado útiles a cerca de la transformada de Fourier

a) Si  es una señal real entonces las partes real e imaginaria de k son 


A * C 

x 
A *

De aquí se deduce que

C




x  
x

k
    x  
   x 
k |  k
k | 

b) Si  es una señal imaginaria pura, es decir 
? , donde ?  es real entonces las partes real e imaginaria de k son 


A y* C 

x  
A y*

De aquí se deduce que

C

 


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113

x  
x

k
    x  
   x 
k |  k 
k | 

¿Cuales son las partes real e imaginaria de 
    B ? tienen algún tipo de simetría?

El siguiente resultado caracteriza las señales reales b)  es una señal real, si y solo si k
k |  Demostración

Si  es una señal real entonces ya vimos que k
k |  Ahora supongamos que

k
k | 

Veamos que  debe ser real.

1  
    B 
A k exp  * 29 C

1 
A    x   * 29 C

1 
A     x * 29 C 1    A    x * 29 C

En consecuencia

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114

Como

1   
A     x * 29 C

1  B   
A     x * 29 C

k
k |  Esto implica que la parte real es una función par como función de  y la parte imaginaria x  es una función impar como función de  . Luego B 
0 y  es una señal real.

Propiedades de la función espectro de amplitud y espectro de fase Si  es una señal real, entonces

a) El espectro de amplitud es una función par de , es decir, |k|
|k|

b) El espectro de fase una función impar de , es decir,  


Demostración Si expresamos k en forma polar, obtenemos k
|k| 

Tomando el complejo conjugado k | 
|k| 

Sustituyendo  por –  en la expresión polar de la transformada, tenemos José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

115

k
|k| 

Como  es real, se cumple que k
k |  Luego

|k| 
|k|  Por lo tanto |k|
|k|, φω
φω Nota: Si  es una señal real entonces

1  A k    * 
29 C 1 
A |k|      * 29 C

1  A |k|   exp * 29 C 1   A |k|  exp  * 29 

1  A |k|         *
29 C 1  A 2|k| cosdωt  φωe dω 29 

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116

Esta ecuación se puede interpretar como una representación Angulo -fase de la integral de Fourier análoga a la de la serie de Fourier. c) Demostrar que si la transformada de Fourier de una señal real  es real, entonces  es una señal par de , y si la transformada de Fourier de una señal real  es imaginaria pura, entonces  es una señal impar de . Demostración Si x 
0 entonces

1  
A    x * 29 C 1 
A   * 9 

Es obvio que 


Análogamente se demuestra si la transformada de Fourier es imaginaria pura. Nota: Si  es una señal real. Entonces 
‚   ƒ , donde ‚  es la parte par de la señal y ƒ  es la parte impar ‚  


ƒ 


   2

    2

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117

1 1 1 1 g ‚ 
k  k 
k  k | 
 2 2 2 2 Análogamente 1 1 1 1 g ƒ 
k  k 
k   k | 
x 2 2 2 2

Propiedades de la transformada de Fourier Como la transformada de Fourier da la descripción de una señal en el dominio de la frecuencia, podemos escribir g 
k

Para la transformada de Fourier de la señal  y utilizamos la notación  q k para referirnos al par transformado  
g y

1  A k exp  * k
29 C

C 



k 
g ω
A  exp * C

Linealidad Si   q k  y B  q kB  entonces s    „ B  q sk   „kB , siendo s y „ constantes arbitrarias.

Simetría Si  es una señal real y  q k Entonces k
k | 

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118

Esta simetría se denomina simetría conjugada

Conjugacion Si  q k ,entonces

|  q k | 

Desplazamiento temporal Si  q k ,entonces     q k      Análogamente

Desplazamiento en la frecuencia Si  q k entonces

   q k   

La forma polar del teorema de desplazamiento en el tiempo establece que g    
|k|     Nótese que un desplazamiento en el tiempo no altera el espectro de amplitud de la señal. Su único efecto es que introduce un desplazamiento de fase de la transformada .

Escalado temporal (cambio de escala en el tiempo) Si  q k , entonces s q

1 k/s |s |

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119

Donde s es una constante real s T 0 En particular,  q k

Ejemplo 1. Si k
g  entonces

1 1 g  
g L       u 2 2 1
k      k    2

Ejemplo 2. Encontrar la transformada de Fourier de la señal 8  ⁄*    (coseno de duración finita igual a *)

Dualidad

Si  q k

k q 29 

entonces

Demostración

Según la fórmula de inversión de la transformada tenemos que 

A k exp  *
2π  C

Sustituyendo  por –  obtenemos 

2π 
A k  exp * C

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120 


A kτ exp2 *2 C

Si ahora sustituimos  por  y 2 por  obtenemos 

29 
A k   *
g k C

Ejemplo 3 Consideremos la señal 
P) ‘  ⁄2
Q‘ ⁄2 9

Solución

2 ‘ ⁄2  *”
? ?   ‘ C 

g “P)‘ ⁄2
A

Esta integral es muy difícil de calcular directamente. Sin embargo utilizando la propiedad de dualidad de la transformada se deduce que Como

Entonces

8⁄* q *P)*⁄2 *P)* ⁄2 q 298 ⁄* 

Tomando *
‘

P)‘ ⁄2 q

29 8⁄‘  ‘

Diferenciación en el dominio del tiempo

Si  q k y  & 0 cuando || & ∞ entonces José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

121

*  q k *

Demostración

Integrando por partes obtenemos

 *   *  g“ ”  
A  * * * C


 exp

 C



  A   *
k C

Esta propiedad se puede extender con condiciones de decrecimiento a cero de las derivadas anteriores, de la siguiente manera *   q  k *

Integración en el dominio del tiempo 

Si  q k ,  T 0 y IC 2*2
k0
0 entonces \

g GA 2*2H
Demostracion Sea

C

1 1 k  
g    

\

?
A 2*2 C

Entonces por el teorema fundamental del calculo José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

122

*?
 *

Ahora

∞

lim ?
A 2*2
k0
0

\&

∞

Por lo tanto, podemos aplicar el teorema de diferenciación en el tiempo a esta función *?

g  
g v

*



w
g ?
g GA 2*2H ∞

¿ Que pasa si k0 T 0 ?

Diferenciaciacion en el dominio de la frecuencia Si  q k entonces

Demostración Puesto que

  q

*k *



k 
A  e  * Tenemos que

C

*k * 
A   exp * * * C

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123  *k ¢
A   * * ¢ C 


A   *
g   C

Esta propiedad puede extenderse de la siguiente manera Si  q k entonces

*  k   q *  

Nota:

Algunos autores prefieren escribir esta propiedad así Si  q k entonces * k   q  *  





Donde se supone que IC|  |* , ∞

Energia de señales no periodicas

Es posible encontrar la energía de una señal no periodica utilizando la transformada de Fourier. La energía de una señal  se define por: 



§
A |  *
A  | * C

|B

C

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124  1
A   GA k |  *H * 29 C C   1 GA k |   *H *
A   29 C C 

Intercambiando el orden de integración , tenemos

 1  | §
A k  GA  *H * 29 C C  1 A |k|B
29 C

Por lo tanto podemos escribir

1  §
A |  *
A |k|B 29 C C 

|B

Esta ecuación es la relación de Parseval para señales no periódicas e indica que la energía de una señal no periódica se puede calcular en e l dominio de la frecuencia.

Convolucion en el dominio del tiempo

Como vimos anteriormente, la convolucion juega un papel importante en el estudio de los sistemas LTI y sus aplicaciones Si  q k y ¨ q © entonces,

 | ¨ q k©

Vemos que la convolucion en el tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia  | ¨ q k© José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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? q ª  

ª 
k© Ejemplo Un sistema LTI tiene como respuesta al impulso ¨
 )( y como salida ?
 =     (

Encontrar la entrada 

(Sugerencia: Utilizar el teorema de convolución )

Convolucion en el dominio de la frecuencia Modulación 

Si  q k y ¬ q ­ entonces,

donde

¬  q

1 k | ©  29

1  1 k  | ©
A k®©  ®*® 29 29 C

La función delta de Dirá  Función impulso

Es un pulso de magnitud infinita que tiene duración infinitamente corta 1 (   )  (  ) 2)

1 (  )  (  ) W& 2)

° 
lim

g (   )  (  )
g  BW 
g 8/2) José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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g 8/2)
2)P) )
2

) 

1 (  )  (  )u W& 2)

g °
g Llim

Suponiendo que podemos intercambiar este límite con la transformada de Fourier se obtiene g ° 
lim W&

Por lo tanto

g ° 
1 ° q 1

Ahora Y

1 ) g (  )  (  )
lim W& 2) )

g °  | 
g °  g 
1. g 
g  g  | ° 
g g ° 
g  . 1
g 

Esto sugiere que

°  | 
 | ° 


La función delta también tiene una propiedad filtrante :

Si g   existe y  es continua en  , un cálculo de rutina pero necesario muestra que 

 
A ° 2   2*2 C

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Si  tiene una discontinuidad de salto en  , esta propiedad filtrante dedbe modificarse, Suponiendo que la señal  tiene derivada izquierda y derecha en  , obtenemos  1      
A ° 2   2*2 2 C

Por la propiedad de desplazamiento aplicada a la función delta se obtiene g °    
g °   
  

Puesto que

° q 1

Por la propiedad de dualidad obtenemos Por lo tanto

g 1
29° 
29°

g   
29°   

De aquí se deduce fácilmente que

g cos  
9°      °   

g sen  
9 °      °   

Aplicaciones de la Transformada de Fourier

Modulacion de Amplitud

Multicanalizacion Multicanalizacion o multiplexacion El teorema de muestreo

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