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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERIA

PROYECTO CURRICULAR INGENIERIA ELECTRONICA

ANALISIS DE FOURIER CONTINUO Y DISCRETO NOTAS DE CLASE

MATEMATICAS ESPECIALES I

Por

JOSE HUMBERTO SERRANO DEVIA

Universidad Distrital Distrital Francisco José De Caldas

Bogotá, Bogotá, Diciembre de 2010

2

CONTENIDO

INTRODUCCION AL ANALISIS ANALISIS DE FOURIER ………….

1. SERIES DE FOURIER……………………………………………….. .

2. INTEGRALES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER………….. 3. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER FOURIER …………………...

REFERENCIAS…………………………………………………………….

José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

3

Introducción al análisis de Fourier

Muchos fenómenos naturales, tales como, el acústico y el óptico, son de carácter periódico. periódico Por ejemplo, se sabe que un sonido musical se compone de oscilaciones regulares, particularmente de un tono fundamental con una cierta frecuencia 8, y armónicos con frecuencias 28 , 38 , 48, ….La razón de la intensidad del tono fundamental con respecto a los armónicos es decisiva en nuestra impresión del sonido. Los sonidos, exentos de armónicos existen, por ejemplo, en la música electrónica, denominados tonos sinusoidales puros. En un oscilador electrónico, se genera una corriente cuya intensidad en el tiempo t varía de acuerdo a la fórmula =>?@ABC D E FG

= es la amplitud de la oscilación;

BC es la frecuencia angular, BC I 2J8 veces la frecuencia;

F es una constante que define el estado en el tiempo D I 0

En un altavoz, las variaciones de corriente son convertidas en variaciones de presión de aire que, bajo condiciones ideales, son descritas por la misma función. En la práctica, sin embargo, siempre existe una cierta distorsión, produciéndose los armónicos. Las variaciones de presión de aire que el oído puede soportar, desde este punto de vista, puede ser descrita como una suma de la forma M

K =L >?@A@BC D E FL G A1G

LNO

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La descomposición de un fenómeno periódico en un tono fundamental y armónicos permea no solo la acústica, sino también otras áreas. Esto está relacionado con un importante, teorema matemático, dado inicialmente por Fourier. De acuerdo con este teorema, una función 8ADG periódica con periodo 2J/BC puede, bajo ciertas condiciones, ser expandida en una serie de la forma A1G Auna función Ao señalG tiene periodo R si 8AD E RG I 8ADG, para todo DG. Una formulación más precisa se dará más adelante. Una expansión de la forma A1G puede expresarse en muchas formas equivalentes. Si definimos SL I =L >?@FL y TL I =L UV>FL

Entonces usando la formula de adición para la función seno podemos escribir M

SC E K SL cosA@BC DG E TL >?@A@BC DG 8 AD G I 2 LNO

donde SL W TL son constantes reales. Otra forma, la cual a menudo es más conveniente, puede obtenerse con la ayuda de la formula de Euler, ?XYZ[\ ] I UV>\ E [>?@\

De aquí se deduce que O

UV>\ I A?XYZ[\] E ?XYZ_[\ ]G, >?@\ I ^

Entonces

O

^`

M

A?XYZ[\ ] _ ?XYZ_[\ ]G

8ADG I K UL ?XYZ[@BC D] A2G LNaM

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donde

UC I SC , O

UL I ASL _ [TL G,

UaL I ULb I

^

1 AS E [TL G. @ I 1,2, … 2 L

Desde ese momento se usa el término series de Fourier para denotar una expansión de la forma (2). Llamaremos las sumas parciales de éstas, series de polinomios trigonométricos. trigonométricos Algunas veces el termino análisis espectral es usado para describir los métodos de arriba.

Las series de Fourier son valiosas en el estudio de fenómenos periódicos en el tiempo (vibraciones, sonido, luz, corriente alterna, etc.) o en el espacio (ondas, estructuras de cristal, etc.). Un área muy importante de aplicación ocurre con las señales digitales y el procesamiento de imágenes, las cuales son usadas en la interpretación de señales sonar y de radar. Otra son las series de tiempo, usadas en teoría de comunicaciones, teoría de control y el estudio de turbulencia. Para el analista numérico, el análisis de Fourier es particularmente una tarea computacional común e importante ayuda en el análisis de propiedades de métodos numéricos. Las formulas básicas y teoremas son deducidos en la sección ( ), las cuales dependen de la amplia teoría de la sección( ). Modificaciones de los métodos de Fourier son usados como un medio para analizar fenómenos no periódicos; ver, por ejemplo, sección ( ) continuación periódica de funciones) y la sección( ) José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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(Transformada de Fourier). La aproximación de la transformada de Fourier usando datos muestreados y la transformada discreta de Fourier son tratadas en la sección A G. Los algoritmos FFT ATransformada rápida de FourierG han tenido un enorme impacto y han causado un completo cambio de actitud de lo que puede realizarse usando métodos discretos de Fourier. La sección A G trata los aspectos computacionales de los algoritmos FFT básicos.

Series de Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), matemático e ingeniero Francés. El 21 de diciembre de 1807 Fourier presento ante la academia Francesa su famoso teorema.: una “función arbitraria” 8 (X ) podía ser representada como una serie infinita de senos y cosenos. Lo expuso en el primer capítulo de su libro The analytic theory of heat (teoría analítica del calor), las ideas de Fourier eran polémicas y tuvo problemas para publicar su tratado, pues sus colegas entre ellos Lagrange pensaban que el resultado no tenía sentido que era absurdo . Sea 8 definida en el intervalo _j k X k j y supongamos por un momento que 8 es integrable en el intervalo l– j, jn . Queremos encontrar escalares SC , SO , S^ , … TO , T^ , .. tales que aC @JX @JX 8AX G I E K pSL UV>( ) E TL >?@( )q (1) 2 j j M

para _ j k X k j.

rNO

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Coeficientes Coeficientes de Fourier

Es de esperar que los coeficientes SL , W TL estén estrechamente relacionados con 8 , para determinarlos, supongamos que la igualdad (1) se verifica, y que la serie (1) converge uniformemente. Por lo tanto, la función 8 debe ser continua (y por lo tanto puede ser integrada) .Igualmente, la serie puede integrarse termino a término. Integrando ambos miembros de (1) entre – j y j, obtenemos u

SC j I s 8(X )tX au

ya que,

u @JX @JX s UV> v w tX I s >?@ v w tX I 0, j j au au u

Relaciones de Ortogonalidad

@ I 1,2, . .

Utilizando las identidades trigonométricas producto- suma >?@=UV>x I

>?@=>?@x I

1 Z>?@(= E x) E >?@(= _ x)] 2 1 ZUV> (= _ x) _ UV>(= E x)] 2

1 UV>=UV>x I ZUV>(= E x ) E UV>(= _ x)] 2

Se sigue que:

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8

@JX yJX 0, s UV> v w UV> v w tX I z j, j j au u

u

s UV> v au

y { @| yI@

yJX @JX w >?@ v w tX I 0 j j

@JX yJX 0, s >?@ v w >?@ v w tX I z j, j j au u

y { @| yI@

Ahora, multiplicamos por UV>(yJX/j) ambos lados de (1) e integrando entre – j y j, obtenemos u

S} j I s 8 (X )UV>(yJX/j )tX au

De modo similar multiplicamos por UV>(yJX/j) ambos lados

de (1) e integrando entre – j y j, obtenemos u

T} j I s 8(X )UV>(yJX/j)tX au

Cambiando y por @ obtenemos

1 u yJX SL I s 8(X )UV> v w tX , @ I 0,1,2 … j au j 1 u yJX TL I s 8(X )>?@ v w tX , @ I 1,2 … j au j

Una expresión en serie para el numero ~ (Ejercicio )

Ejemplos resueltos y comentarios de convergencia puntual José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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( Simetrías ) Funciones par e impar

Si la función 8 tiene algún tipo de simetría en el intervalo _j k X k j el cálculo de sus coeficientes de Fourier se simplifica:

a) Si 8 es una función par, es decir 8(_X ) I 8(X) para todo X en el intervalo j k X k j. Entonces TL I 0 para todo entero positivo @. a) Si 8 es una función impar, es decir 8 (_X ) I _8(X) ) para todo X en el intervalo _j k X k j. Entonces SL I 0 para todo entero no negativo @. Series de Fourier de Funciones pares e impares

En algunos casos la serie de Fourier de una función 8 en el intervalo j k X k j se reduce a una serie con términos sólo de cosenos de la forma M

@JX SC E K SL cos( ) 2 j LNO

o bien a una serie únicamente de senos de la forma M

K TL >?@(

LNO

@JX ) j

Tales casos aparecen cuando la función 8 es par o impar

€‚ƒ‚„‚…ƒ 1. Se dice que una función 8 es par si 8(_X ) I 8(X).La grafica de una función par es simétrica con respecto al eje vertical.

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Ejemplo 1 La función 8 (X ) I X † es par ya que

8(_X ) I (_X)† I X † I 8(X) L‡ˆ

Ejemplo 2 La función 8 (X ) I cos v 8(_X ) I cos (_

u

w es par, ya que

@JX @JX ) I cos ( ) I 8(X) j j

€‚ƒ‚„‚…ƒ 2. Se dice que una función 8 es impar si 8(_X ) I _8(X). La grafica de una función impar es simétrica respecto al origen. Nótese que en particular 8 (_0) I _8(0). Entonces 8(0) I 0. Ejemplo 1 La función 8 (X ) I X ‰ es impar, ya que 8(_X ) I _X ‰ I _8(X)

Ejemplo 2 La función 8 (X ) I >?@ ( 8(_X ) I >? @ v

L‡ˆ u

) es impar, ya que

_@JX @JX w I _>?@ v w I _8(X) j j

Ejemplo 3. 3 Demostrar que si 8 (_X ) I 8(X) y 8 (_X ) I _8(X). Entonces 8(X ) I 0 para todo X ( trivial)

Ejemplo 4 Demostrar que cualquier función definida en un intervalo simétricamente localizado puede expresarse como la suma de una función par y una función impar. La función 8(X ) puede escribirse como 8(X ) I

1 1 1 1 8(X ) E 8(_X ) E 8(X ) _ 8(_X ) 2 2 2 2

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1 1 8(X ) I Z8(X ) E 8(_X )] E Z8 (X ) _ 8(_X)] 2 2

Denotemos por

8Š (X ) I 8‹ (X ) I

1 Z8 (X ) E 8 (_X )] 2

1 Z8 (X ) _ 8(_X )] 2

Entonces 8Š (X ) es una función par y 8‹ (X ) es impar, ya que 1 1 8Š (_X ) I Z8(_X ) E 8(X )] I Z8 (X ) E 8 (_X )] I 8Š (X ) 2 2

1 1 8‹ (_X ) I Z8 (_X ) _ 8(X )] I _ Z8 (X ) _ 8 (_X )] I _8‹ (X ) 2 2

Las funciones pares e impares satisfacen las siguientes propiedades de adición y multiplicación ( también se puede pensar en composición ) 1) La suma de dos funciones pares es una función par.

par EparI par

La suma de dos funciones impares es una función impar . Comentario:

impar EimparIimpar EimparI?? par EimparI

2G El producto de dos funciones pares es una función par .

par.parIpar

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3) El producto de dos funciones impares es una función par . impar. imparIpar

4) El producto de una función par por una función impar es una

función impar .

impar.parIpar.imparIimpar

Las demostraciones son muy directamente de la definición.

sencillas

y

se

deducen

Por ejemplo, sean 8 y  funciones impares y sea ŽAXG I 8AX GAXG . Esta función resulta par, ya que ŽA_X G I 8A_X G. A_X G I Z_8AXG]. Z_AXG] I 8AX G. AX G I ŽAXG

Propiedades respecto a la integración u

5G au 8AX GtX I 0 si 8 es impar u

u

6G au 8AX GtX I 2 C 8AX GtX si 8 es par

En A5G y A6G , se supone que 8 es una función integrable en Z_j, j] Demostración de A6G Basta observar que u

y

C

u

s 8AX GtX I s 8AXG tX E s 8AXG tX au

au

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C

13 u

C

u

s 8(X )tX I _ s 8(_W) tW I s 8(W) tW au

u

C

donde se hizo la sustitución W I _X, para obtener la segunda integral y se uso el hecho de que 8 es par para obtener la tercera integral. De modo similar se demuestra A5G Lema 2

Si 8 es una función integrable en Z_j, j]. Entonces

a) La serie de Fourier de una función par contiene únicamente términos en cosenos.

b) La serie de Fourier de una función impar contiene únicamente términos en senos Conclusión

a) Si 8 es par, par la serie de Fourier de 8 en Z_j, j] es M

@JX SC E K SL cos( ) 8(X ) I 2 j en donde

y

LNO

2 u @JX SL I s 8(X )cos ( )tX , @ I 0, 1, 2, ‘ j C j TL I 0,

YS’S @ I 1,2, ‘

b) Si 8 es impar, impar la serie de Fourier de 8 en Z_j, j] es José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

14 M

8(X ) I K TL >?@( LNO

en donde

@JX ) j

SL I 0 , @ I 0, 1,2, ‘

2 u @JX TL I s 8(X )sen A GtX YS’S @ I 1,2, ‘ j C j

Ejemplo 6 Sea

M

@JX @JX SC E K SL cosA G E TL >?@A G , _j k X k j 8 AX G I 2 j j LNO

Si 8Š AX G y 8‹ AX G son la parte par e impar de 8 AX G. Entonces las

series de Fourier de 8Š AX G y 8‹ AX G son respectivamente M

M

LNO

LNO

SC @JX @JX 8Š AX G I E K SL cosA G y 8‹ AX G I K TL >?@A G 2 j j Ejercicio 1

Demostrar que el valor de la media cuadrática de 8 AX G es igual a la suma de las medias cuadráticas de su parte par e impar es decir 1 u 1 u 1 u ^ ^ s Z8AXG] tX I s Z8Š AXG] tX E s Z8‹ AXG]^ tX 2j au 2j au 2j au

Ejercicio 2

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Sea 8 (X ) I 8Š (X ) E 8‹ (X), donde 8Š (X ) y 8‹ (X ) son componente par e impar de 8 (X ). Entonces

la

1 u s 8(X )8(X _ D) tX 2j au 1 u 1 u I s 8 (X)8Š (X _ D) tX E s 8 (X )8‹ (X _ D)tX 2j au ‹ 2j au Š

Series de Fourier en cosenos y senos “Una función 8 en el intervalo Z0, j] puede ser representada por mas de una serie de Fourier”

En todas las series de Fourier calculadas anteriormente la función 8 estaba definida en el intevalo _j k X k j. Ahora veremos como escribir una serie de Fourier de 8 en el intervalo Z0, j] que contenga solamente cosenos o solamente senos según se elija Teorema 2. Sean 8 y 8 ´ continuas por tramos en el intervalo Z0, j]. Entonces 8(X ) puede ser desarrollada en el intervalo 0 k X k j en una serie de cosenos solamente. M

SC @JX E K SL UV>( ) 2 j LNO

o bien en una serie de senos solamente M

K TL >?@(

LNO

@JX ) j

según se elija. José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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En el primer caso, los coeficientes SL están dados por las expresiones: 2 u @JX SL I s 8(X )cos A GtX , @ I 0, 1, 2, ‘ j C j

Mientras que en el segundo caso, los coeficientes TL están dados por las expresiones 2 u @JX TL I s 8AX Gsen A GtX YS’S @ I 1,2, ‘ j C j Demostración: Definimos la función 8 AX G, ” AX G I • 8A_X G,

0kXkj | _j k X – 0

(Describir la grafica de ”AXG)

” es una función par, es decir, ” A_X G I ”AXG (por esta razón se dice que — es la extensión par de G . Por lo tanto, por el lema 2 la serie de Fourier de ” en Z_j, j] es M

@JX 1 u @JX SC ” AX G I E K SL cos v w , SL I s ” AX Gcos A GtX , 2 j j au j LNO

L‡ˆ

La paridad de la función ” AX G cos v

u

w implica que

2 u @JX 2 u @JX SL I s ” AX Gcos A GtX I s 8 AX Gcos A GtX j C j j C j

Finalmente, dado que ” AX G I 8AXG para 0 k X k j, se tiene que José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

17 M

SC @JX 8 AX G I E K SL cosA G,0 k X k j j 2 LNO

Obsérvese también que la serie converge en X I 0 a 8A0EG y en X I j a 8Aj_G

Para demostrar que se puede desarrollar 8AXG en una serie de senos solamente, para lo cual , definimos la función 8AX G, ˜ AX G I • _8A_X G,

0kXkj | _j k X – 0

(Describir la grafica de GAXG )

˜ es una función impar (por esta razón, ˜ se denomina (extensión impar de G . Por lo tanto , por el lema 2 la serie de Fourier de ˜ en Z_j, j] es M

˜ AX G I K TL >?@A LNO

@JX G j

donde , 1 u @JX 2 u @JX TL I s ˜ AX Gsen A GtX I s ˜ AX Gsen A GtX j au j j C j

2 u @JX 2 u @JX s ˜ AX Gsen A GtX I s 8AX Gsen A GtX j C j j C j

Finalmente dado que ˜ AX G I 8AXG, 0 – X – j se concluye que M

8AX G I K TL >?@ v LNO

@JX w,0 – X – j j

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La serie de Fourier en senos de 8 converge a cero en X I 0 y XIj Ejemplo 1 Desarrollar la función 8AX G I 1 en una serie de senos en el intervalo A0, JG

Solución Por el teorema 3 M

8AX G I K TL >?@A LNO

@JX G j

donde

0, 2 ‡ 2 L A1 _ A_1G G I ™ 4 TL I s >?@ A@X GtX I J C @J , @J

@ YS’

@ šyYS’

|

Por lo tanto 1I

4 >?@AXG >?@A3XG >?@A5XG E E E ‘œ, › J 1 3 5

0–X–J

Ejemplo 2 Desarrollar la función 8AX G I ? ˆ en una serie de cosenos en el intervalo Z0, 1]

Solución Por el teorema 3, M

SC @JX 8AXG I E K SL cosA G 2 j LNO

donde José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

19 O

SC I 2 C ? ˆ tX I 2A? _ 1G y O

O

SL I 2 s ? UV> A@JX GtX I 2? žs ? ˆ ? `L‡ˆ tX Ÿ C

ˆ

O

C

I 2? •C ? AO `L‡Gˆ tX¡ ?O `L‡ _ 1 I 2? ž Ÿ 1 E [@J

?¢cosA@JG E [>?@A@JG£ _ 1 I 2? ž Ÿ 1 E [@J ?UV>A@JG _ 1 I 2? • ¡ 1 E [@J

A?UV>A@JG _ 1GA1 _ [@JG I 2? ž Ÿ 1 E @^ J ^ I

Por lo tanto ∞

? ˆ I 2A? _ 1G E 2 K

LNO

2A?UV>A@JG _ 1G 1 E @^ J ^

?UV>A@JG _ 1 cosA@JX G , 1 E @^ J ^

0kXk1

Ejemplo 3 Desarrollar la función 8AX G I X en una serie de senos en el intervalo Z0, J] José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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A_1GL O X I2K >?@A@X G , 0 – X – J @ ∞

LNO

Ejemplo 4 Desarrollar la función 8AX G I X en una serie de cosenos en el intervalo Z0, J] 1 J 4 XI _ K UV>¢A2¤ _ 1GX£ , 0 k X k J A2¤ _ 1G^ 2 J ∞

LNO

Ejemplo 5 Desarrollar la función 8AX G I X en una serie de senos y cosenos en el intervalo Z0, J] Definimos la función

8 AX G, ¥AX G I • 0

(Describir la grafica de HAXG)

0kXkj | _j k X – 0

¥ no es par ni impar, ( H es otra extensión de G . Por lo tanto, por el lema 2 la serie de Fourier de ¥ en Z_j, j] es M

SC @JX @JX ¥ AX G I E K SL cosA G E TL >?@A G 2 j j LNO

1 u @JX 1 u @JX SL I s ¥AX Gcos A GtX I s 8AX Gcos A GtX j au j j C j

1 u @JX 1 u @JX TL I s ¥AX Gsen A GtX I s 8AX Gsen A GtX j au j j C j

Por lo tanto la serie de Fourier de 8AX G I X en senos y cosenos en el intervalo Z0, J] es José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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A_1GL O J 2 1 _ K UV>¢A2¤ _ 1GX£ E K >?@A@X G A2¤ _ 1G^ @ 4 J ∞

∞

¦NO

LNO

Luego A_1GL O 1 J 2 XI _ K UV>¢A2¤ _ 1GX£ E K >?@A@X G A2¤ _ 1G^ 4 J @ ∞

∞

¦NO

LNO

para 0 k X k J. Observese que esta expresión se puede obtener sumando las dos series de los ejemplos 3) y 4) y dividiendo por 2.

Teoremas de convergencia de series de Fourier en cosenos y series de Fourier en senos Sea 8 continua por tramos en el intervalo Z0, j]

1) si 0 – X – j .Entonces la serie de Fourier en cosenos y la serie de Fourier en senos de 8 en Z0, j] converge en X a

Esto es

1 Z8 AX EG E 8AX_G] 2 M

1 SC @JX Z8 AX EG E 8AX_G] I E K SL UV>A G,0 – X – j 2 2 j LNO

M

1 @JX Z8 AX EG E 8AX_G] I K TL >?@A G,0 – X – j 2 j LNO

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22

2) Si 8 ´ A0G y 8a´ A0G existen entonces la serie de Fourier en cosenos de 8 en Z0, j] converge en cero a 8A0EG y converge en j a 8Aj_G M

SC 8A0G I E K SL 2 LNO

M

SC 8Aj_G I E K SL A_1Gr 2 LNO

3) La serie de Fourier en senos de 8 en Z0, j] converge a cero en los extremos del intervalo.

Derivacion e integracion de series de Fourier La serie de Fourier de la función 8AXG I X en el intervalo

_j k X k j es

A_1GL O 2j @JX K >?@A G @ J j ∞

LNO

La derivación termino termino da ∞

2 K A_1GL O UV>A LNO

@JX G j

Como el @-esimo termino de esta serie no tiende a cero , la serie no converge para ningún valor de X. Es decir en este caso la derivación termino a termino destruye la convergencia.

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Derivacion de series de Fourier

Supongamos que 8 es continua en el intervalo _j k X k j

y que 8AjG I 8A_jG. Supongamos tambien que 8 ´ es continua por tramos en Z_j, j].Entonces para cualquier X § A_j, jG en donde 8 ´ es continua, se tiene que J @JX @JX 8 ´ AXG I K p_@SL >?@ v w E @TL UV> v wq j j j ∞

LNO

Esta es precisamente la serie que se obtiene derivando la serie de Fourier de 8 termino a a termino.

Taller Integracion de series de Fourier

Supongamos que 8 es continua por tramos en el intervalo _j k X k j con serie de Fourier M

aC @JX @JX E K pSL UV>A G E TL >?@A Gq 2 j j LNO

Entonces para cualquier X § Z_j, j] M

ˆ ˆ aC @JD @JD s 8ADGtD I E K SL s UV> ¨ © tD E TL s >?@A GtD j j 2 C C C ˆ

LNO

Esta es precisamente la serie que se obtiene integrando la serie de Fourier de 8 termino a a termino desde 0 hasta X José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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Dos identidades importantes

Demostraremos que si ª no es múltiplo entero de 2J, es decir ª { 2yJ ( y entero). Entonces 1 ª >?@ pv« E w ªq _ >?@ v w 2 2 K cosA@ª G I ª 2>?@ v w LNO 2 ¬

A1G

De aquí se deduce que

1 >?@ pv« E w ªq 1 2 K cosA@ª G I _ ª 2 2>?@ v w LNO 2 ¬

Por lo tanto,

1 ¬ >?@ pv« E w ªq 1 2 E K cosA@ª G I ª 2 2>?@ v w LNO 2 O

Haciendo = E x I v« E w ª W = _ x I

= I A« E 1G ¬

­

^

WxI

¬­ ^

K cosA@ª G I

LNO

^

­

^

, obtenemos que

. Luego >?@ v

ª «ª w UV> ›A« E 1G œ 2 2 A2G ª >?@ v w 2

De manera similar se demuestra que

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25

ª 1 UV> v w _ UV> pv« E w ªq 2 2 K senA@ª G I A3G ª 2>?@ v w LNO 2 ¬

«ª ª >?@ v w >?@ ›A« E 1G œ 2 2 K senA@ª G I A4G ª >?@ v w LNO 2 ¬

Demostración de (1) y (2)

De las identidades producto- suma sabemos que

1 1 1 ª >?@ ¨ © cosA@ª G I ¨>?@ ›¨@ E © ªœ _ >?@ ›¨@ _ © ªœ© 2 2 2 2

Haciendo @ I 1, 2, ‘ , « sumando estas « igualdades y utilizando las propiedades de las sumas telescópicas obtenemos que si ª no es múltiplo entero de 2J, es decir ª { 2yJ ( y entero). Entonces ¬

K cosA@ª G I

LNO

1

¬

1 1 K •>?@ ›¨@ E © ªœ _ >?@ ¨@ _ © ª¡ ª 2 2 2>?@ v w LNO 2

1 ª >?@ pv« E w ªq _ >?@ v w 2 2 I ª 2>?@ v w 2

De manera similar podemos demostrar (3), y por lo tanto (4) La sugerencia en este caso es considerar la identidad productosuma

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26

ª 1 1 1 >?@ ¨ © senA@ª G I ¨UV> ›¨@ _ © ªœ _ UV> ›¨@ E © ªœ© 2 2 2 2

Aplicar la propiedad de las sumas telescópicas finitas

El siguiente teorema genera rápidamente las identidades (2) y (4). Antes recordamos la identidad de Euler ?XYZ[\ ] I UV>\ E [>?@\

1 A?XYZ[\ ] E ?XYZ_[\ ]G W 2 1 >?@\ I A?XYZ[\ ] _ ?XYZ_[\ ]G 2[

UV>\ I

1.1 Teorema. Si ª no es múltiplo entero de 2J, es decir ª { 2yJ ( y entero). Entonces se cumple la identidad compleja ¬

K ?XYZ[@ª ] I

LNO

>?@A«ª/2G ?XYZ[A« E 1Gª/2G] >?@Aª/2G

Demostración Si ’ { 1 recordamos que la expresión para una suma geométrica finita es ¬

’¬ _ 1 K’ I’ ’_1

LNO

L

Haciendo ’ I ?XYZ[ª ] en esta expresión y como ª { 2yJ, tenemos que ’ I ?XYZ[ª ] { 1, obtenemos ¬

K ?XYZ[@ª ] I ?XYZ[ª ]

LNO

?XYZ[«ª ] _ 1 ?XYZ[ª ] _ 1

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27

I ?XYZ[ª ]

?XYZ[«ª/2]®?XYZ[«ª/2] _ ?XYZ_[«ª/2]¯ ?XYZ[ª/2]®?XYZ[ª/2] _ ?XYZ_[ª/2]¯

I ?XYZ[ª/2]?XYZ[«ª/2] I

?XYZ[«ª/2] _ ?XYZ_[«ª/2] ?XYZ[ª/2] _ ?XYZ_[ª/2]

?XYZ[«ª/2] _ ?XYZ_[«ª/2] ?XYZ[A« E 1Gª/2] ?XYZ[ª/2] _ ?XYZ_[ª/2] I

>?@A«ª/2G ?XYZ[A« E 1Gª/2] >?@Aª/2G

Ahora, en virtud de la formula de Euler ¬

¬

LNO

LNO

K ?XYZ[@ª ] I K UV>A@ª G E [>?@A@ª G ¬

¬

LNO

LNO

I K UV> A@ª G E [ K >?@A@ª G ¬

¬

LNO

LNO

K UV>A@ª G E [ K >?@A@ª G I

I

>?@A«ª/2G ?XYZ[A« E 1Gª/2] >?@Aª/2G

>?@A«ª/2G ¢UV>AA« E 1Gª/2G E [>?@AA« E 1Gª/2G£ >?@Aª/2G

Igualando partes reales e imaginarias , obtenemos (2) y (4) ¬

K cosA@ª G I

LNO

>?@A«ª/2GUV>ZA« E 1Gª/2] W >?@Aª/2G

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28 ¬

K senA@ª G I

LNO

>?@A«ª/2G>?@ZA« E 1Gª/2] >?@Aª/2G

Las formulas (2) y (4) son de mucha utilidad en la demostración del teorema de convergencia de Fourier, en el análisis del fenómeno de Gibbs y en general en el análisis de Fourier.

Análisis del fenómeno de Gibbs

Para analizar la relación entre la serie de Fourier de una función 8en el intervalo Z_j, j] y la función 8 es útil dibujar la grafica de la « _esima suma parcial de la serie de Fourier para distintos valores de «, es decir las graficas de las funciones ¬

SC °¬ AX G I E K SL UV>A@JX/jG E TL >?@A@JX/jG, _j k X k j 2 LNO

Observar el comportamiento de rizado de las sumas parciales de la serie de Fourier cerca de los puntos de discontinuidad de salto para diferentes valores de «. Esta observación fue realizada por primera vez en 1899 por el físico matemático de Yale, Josiah Willard Gibbs. Para ilustrar el fenómeno de Gibbs consideremos una situación donde se presenta. Sea

_³ 8AX G I ™ 0, ³,

_j k X – 0 XI0 | 0kXkj

La serie de Fourier de 8 en el intervalo Z_j, j] es José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

29 M

4³ 1 K >?@ZA2@ _ 1GJX/j] 2@ _ 1 J LNO

Según el teorema de convergencia de Fourier esta serie converge a _³ ™ 0, ³,

_j – X – 0 X I 0, X I ´j| 0–X–j

M _³ 4³ 1 K >?@ZA2@ _ 1GJX/j] I ™ 0, J 2@ _ 1 ³, LNO

_j – X – 0 X I 0, X I ´j| 0–X–j

La serie converge a cero en X I 0, X I ´j ya que

1 1 Z8 A0 EG E 8A0 _G] I Z³ E A_³G] I 0 2 2

La « _esima suma parcial de la serie de Fourier es ¬

4³ 1 °¬ (X ) I K >?@ZA2@ _ 1GJX/j] J 2@ _ 1 LNO

Se sugiere al lector utilizar el programa MATLAB, para graficar °† (X ), °µ (X ), W °O‰ (X ) en el intervaloZ0, j]. Las graficas muestran que cuando « crece la aproximación se hace mucho mejor hacia la grafica de la función en el intervalo A0, jG, es decir la grafica de la suma parcial aproxima a 8(X), mientras los picos mantienen aproximadamente la misma altura, independiente del numero de términos que se utilicen para aproximar la función, los picos se mueven cada vez más hacia el eje vertical. José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

30

Este comportamiento es el fenómeno de Gibbs ocurre en las sumas parciales de la serie de Fourier de toda señal que tenga discontinuidad de salto, verificaremos que el valor del rizado es aproximadamente un 9% mayor que la amplitud del salto en el punto de discontinuidad. Los matemáticos creyeron que cuando « · ∞ el comportamiento mejoraría, pero no fue así!!

Primero encontremos los puntos en el intervalo Z0, j] donde ocurren los máximos y mínimos de las sumas parciales: ¬

t°¬ AX G 4³ I K UV>ZA2@ _ 1GJX/j] I 0 tX j LNO

UV>ZA2@ _ 1GJX/j] I cos A2@JX/j _ JX/jG ¬

¬

LNO

LNO

JX 2@JX UV> AJX/jG K UV>A2@JX/jG E >?@A G K >?@A G j j

Haciendo

Obtenemos

WI

2JX j

¬

¬

LNO

LNO

UV>AW/2G K UV>A@WG E >?@AW/2G K >?@AWG I 0 utilizando las identidades A2G y A4G

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31

cos AW/2G

>?@A«W/2GUV>ZA« E 1GW/2] >?@AW/2G >?@A«W/2G>?@ZA« E 1GW/2] E >?@AW/2G I0 >?@AW/2G

Factorizando >?@A«W/2G obtenemos

>?@A«W/2G lcos AW/2GUV>ZA« E 1GW/2] >?@AW/2G E >?@AW/2G>?@ZA« E 1GW/2]n I 0

>?@A«W/2G >?@A«W/2G UV>ZA« E 1GW/2 _ W/2] I UV>A«W/2G I 0 >?@AW/2G >?@AW/2G >?@A«WG I0 2>?@AW/2G

Por lo tanto

>?@A«WG I 0 implica que «W I ¤J A ¤ entero G, luego «W I «

XI

2JX I ¤J j

¤j , tV@t? ¤ I 1,2, ‘ , 2« _ 1, 2« 2«

Demostraremos que los valores máximos de °¬ AX Gen el intervalo 0 k X k j ocurren en j/2« W A2« _ 1Gj/2«

Veamos que la derivada

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32

t°¬ AX G º 0 YS’S 0 – X – j/2« tX

>?@A«WG >?@A2«JX/jG I º 0 YS’S 0 – X – j/2« 2>?@AW/2G 2>?@AJX/jG

De manera similar, se demuestra que

t°¬ AX G – 0 YS’S j/2« – X – 2j/2« tX

A continuación se presenta una tabla donde se analiza el comportamiento de los picos, donde hemos tomado ³ I 100 W j I J « 1 2 3 4 5 6

Máximo valor de °¬ AX G 127.3240 120.0421 118.8357 118.4225 1182328 118.1302

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El valor máximo ocurre en J/2 J/ 4 y 3J/4 J/ 6 y 5J/6 J/ 8 y 3J/8 J/ 10 y 9J/10 J/12 y 11J/12

33

Taller No 1 . MATEMATICAS ESPECIALES I

1) Usar la serie de Fourier de la función definida por cos(»X ), en

el intervalo _J k X k J, donde » { 0, para demostrar que cuando » no es un entero se tiene que M 1 1 2» cot(»J) I ¼ _ K ¨ ^ ©½, J » @ _ »^ LNO

SOLUCION: Primero calculamos los coeficientes de Fourier de la función dada en el intervalo dado Como8 (X ) I) cos(»X ) es una función par, entonces TL I 0, @ I 1,2, … ‡

2 ‡ 2 >?@(»X ) 2>?@(»J) SC I s cos(»X ) tX I ¾ ¿ I J C J » »J C

2 ‡ SL I s cos(»X ) cos(@X)tX J C 2 ‡1 I s (cos(»X E @X ) E cos (»X _ @X))tX J C 2 1 ‡ 1 ‡ SL I s cosZ(» E @)X ]tX E s cos Z(» _ @)X]tX J C J C ‡

1 >?@Z(» E @)X ] >?@Z(» _ @)X] SL I ¾ E ¿ J »E@ »_@ C

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34

SL I

1 >?@ZA» E @GJ] >?@ZA» _ @GJ] ¾ E ¿ J »E@ »_@ 1 >?@ZA» E @G0] >?@ZA» _ @G0] _ ¾ E ¿ J »E@ »_@

1 >?@ZA» E @GJ] >?@ZA» _ @GJ] SL I ¾ E ¿ J »E@ »_@

1 >?@A»JG cosA@JG E >?@A@JG cosA»JG SL I ¾ J »E@ >?@A»JG cosA@JG _ >?@A@JG cosA»JG œ E »_@ 1 >?@A»JG cosA@JG >?@A»JG cosA@JG ¾ E ¿ J »E@ »_@ 1 >?@A»JGA_1GL >?@A»JGA_1GL E ¿ SL I ¾ J »E@ »_@

SL I

SL I

1 1 1 E ©œ ›>?@A»JGA_1GL ¨ J »E@ »_@

SL I

1 2» Z>?@A»JGA_1GL ]¿ ¾ ^ ^ J » _@

2» >?@(»J) (_1GL SL I ¨ ^ © ^ » _@ J

La serie de Fourier de cosA»X G, en el intervalo _J k X k J es

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35 M

>?@A»JG 2» >?@A»JG E K ¾¨ ^ © cosA@X G A_1GL ¿ ^ »J » _@ J LNO

Por el teorema de convergencia de Fourier tenemos que para Z_J, J] M

>?@A»JG 2» >?@A»JG cosA»X G I E K ¾¨ ^ © cosA@X G A_1GL ¿ ^ »J » _@ J

Si X I J tenemos:

LNO

M

2» >?@A»JG >?@A»JG E K ¾¨ ^ © cosA@JG A_1GL ¿ cosA»JG I ^ » _@ J »J LNO

M

>?@A»JG 2» >?@A»JG A_1GL A_1GL ¿ cosA»J G I E K ¾¨ ^ © ^ »J » _@ J LNO

M

>?@A»JG >?@A»JG 2» cosA»J G I EK¾ ¨ ^ ©¿ »J J » _ @^ LNO

M

>?@A»JG 1 2» A G ¼ EK¨ ^ ©½ cos »J I J » » _ @^ LNO M

>?@A»JG 1 2» cosA»JG I ¼ _K¨ ^ ©½ J » @ _ »^ LNO

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36 M

cosA»JG 1 1 2» I ¼ _K¨ ^ ©½ >?@A»JG J » @ _ »^ LNO

M

1 1 2» cotA»JG I ¼ _ K ¨ ^ ©½ @ _ »^ J » LNO

2) a) ¿Cuales son las relaciones entre los coeficientes de Fourier de 8AX) en l– j, jn y los de la función gAX ) I 8AX ) E ¤) en l– j, jn

b). ¿Cuales son las relaciones entre los coeficientes de Fourier de las funciones AX ) W 8AX) en l– j, jn con los de »8 AX ) E ÁAX ), donde » y Á son constantes ? SOLUCION:

a). Los coeficientes de 8AX) en l– j, jn son: 1 u SC I s 8AX )tX j au

1 u @JX SL I s 8AX ) cos v w tX j au j

1 u @JX TL I s 8 AX ) sen v w tX j au j

Los coeficientes de AX) en l– j, jn son:

1 u 1 u »C I s AX )tX I s A8AX ) E ¤)tX I SC E 2¤ j au j au

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37

1 u @JX 1 u @JX »L I s AX G cos v w tX I s A8AX G E ¤G cos v w tX j au j j au j 1 u @JX 1 u @JX w tX E s ¤ cos v w tX »L I s 8AX G cos v j au j j au j »L I SL E ¨

¤ ¤ >?@(@J) _ >?@(_@J)© I SL @J @J

1 u @JX 1 u @JX ÁL I s AX G sen v w tX I s A8AX G E ¤G sen v w tX j au j j au j 1 u @JX 1 u @JX w tX E s ¤ sen v w tX ÁL I s 8 AX G sen v j au j j au j

La segunda integral es 0, pues la función es impar, entonces: 1 u @JX ÁL I s 8AX G sen v w tX I TL j au j

bG. Los coeficientes de 8AXG en l– j, jn son: 1 u SC I s 8AX GtX j au

1 u @JX w tX SL I s 8AX G cos v j au j

1 u @JX TL I s 8 AX G sen v w tX j au j

Los coeficientes de AXG en l– j, jn son

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38

S

S T

b

b

L

L

b

C

1 u I s AX GtX j au

1 u @JX I s AX G cos v w tX j au j

1 u @JX I s AX G sen v w tX j au j

Los coeficientes de »8 AX G E ÁAX G son:

1 u » u Á u »C I s ¢»8 AX G E ÁAX G£tX I s 8AX GtX E s AX GtX j au j au j au »C I »SC E ÁSb C

1 u @JX »L I s ¢»8 AX G E ÁAX G£ cos v w tX j au j » u @JX Á u @JX I s 8 AX G cos v w tX E s AX G cos v w tX j au j j au j »L I »SL E ÁS b L

1 u @JX ÁL I s ¢»8AX G E ÁAX G£ sen v w tX j au j » u @JX Á u @JX I s 8AX G sen v w tX E s AX G sen v w tX j au j j au j ÁL I »TL E ÁT b L

CONCLUSIÓN: José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

39

aG.

»C I SC E 2¤

»L I SL , @ I 1,2, ..

ÁL I TL , @ I 1,2, …

bG.

»C I »SC E ÁSb C

»L I »SL E ÁS b L ,

ÁL I »TL E ÁT b L ,

@ I 1,2, …

@ I 1,2, …

3G Encontrar el valor de la suma de la serie: M

(_1GL K ^ 4@ _ 1

LNO

Sugerencia: Desarrollar >?@(X) en una serie de Fourier en cosenos en Z0, J] y elejir un valor apropiado de X SOLUCION:

La serie de serie de Fourier en cosenos de 8(X ) I >?@(X ) en Z0, J] es: ‡

2 ‡ _ 2cos(X ) 4 SC I s >?@(X )tX I ¾ ¿ I J C J J C

2 ‡ SL I s >?@AX Gcos (@X)tX J C 2 ‡1 I s ¢>?@AX E @X G E >?@AX _ @X G£tX J C 2

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40

1 ‡ SL I s ¢>?@AZ1 E @]X G E >?@AZ1 _ @]X G£tX J C ‡

1 cosZA1 E @GX ] cosZA1 _ @GX ] SL I ¾_ _ ¿ 1E@ 1_@ J C SL I

@ { 1, @ I 2,3, …

1 cosZA1 E @GJ] cosZA1 _ @GJ] 1 1 ¾_ _ E E ¿ 1E@ 1_@ J 1E@ 1_@ { 1, @ I 2,3, …

SL I

SL I

1 cosAJG cosA@JG _ >?@AJG>?@A@JG ¾_ 1E@ J cosAJG cosA@JG E >?@AJG>?@A@JG 2 œ _ E 1_@ 1 _ @^ 1 cosAJG cosA@JG cosAJG cosA@JG 2 ¾_ _ E ¿ , J 1E@ 1_@ 1 _ @^ @ { 1, @ I 2,3, …

1 cosA@JG cosA@JG 2 SL I ¾ E E ¿ , @ { 1, @ I 2,3, … J 1E@ 1_@ 1 _ @^ 1 A_1Gr A_1Gr 2 E E ¿ , @ { 1, @ I 2,3, … SL I ¾ J 1E@ 1 _ @ 1 _ @^

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@

41

SL I SL I

1 1 1 2 E ©E ›A_1Gr ¨ œ , @ { 1, @ I 2,3, … J 1E@ 1_@ 1 _ @^

1 2 2 1 2 ZA_1Gr E 1]¿ , @ © E I ¾ ›A_1Gr ¨ œ ^ ^ ^ J 1_@ 1_@ J 1_@ { 1, @ I 2,3, … 0 UÃS@tV @ I 2¤ _ 1, ¤ I 1,2, … | 1 SL I ™ 4 ¨ © UÃS@tV @ I 2¤, ¤ I 1,2, … J 1 _ @^ 4 1 4 |I © S^¦ I | ¨ J 1 _ A2¤G^ JA1 _ 4¤ ^ G 1 ‡ SO I s >?@AX G cosAX G tX I 0. J a‡

Entonces la serie de Fourier es M

2 4 EK› cos A2@XGœ , YS’S Z0, J] JA1 _ 4@^ G J LNO

Por el teorema de convergencia de Fourier tenemos que: José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

42

M

2 4 >?@AXG I E K › cos A2@XGœ J JA1 _ 4@^ G LNO

, YS’S Z0, J]

M

4 2 cos A2@XGœ , YS’S Z0, J] >?@AX G I _ K › J JA4@^ _ 1G

Si X I

‡ ^

LNO

tenemos:

M

2 4 @J J cos v2 wœ >?@ v w I _ K › J JA4@^ _ 1G 2 2 LNO

M

2 4 A_1GL œ 1I _K› ^ J JA4@ _ 1G LNO

M

K›

LNO

M

_4 2 L A G _1 I 1 _ œ JA4@^ _ 1G J M

A_1GL 4 2 _ K¾ ¿ I 1 _ A4@^ _ 1G J J LNO

A_1GL J 2 J 2_J 1 J K ^ I ¨ _ 1© I ¨ ©I _ 4@ _ 1 4 J 4 J 2 4

LNO

M

A_1GL 1 J K ^ I v1 _ w 4@ _ 1 2 2

LNO

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43

4). Desarrollar UV> Ä (D) en serie de Fourier en el intervalo l– π, πn SOLUCION:

A) Primera forma (Usando exponenciales complejas y la formula de Euler )

UV> Ä (D) I

UV> Ä ADG I UV> Ä ADG I

Ä

? `Ç E ? a`Ç Ä( ) È UV> D I Æ 2

1 Ä`Ç ¢? E 5? †`Ç ? a`Ç E 10? ‰`Ç ? a^`Ç E 10? ^`Ç ? a‰`Ç 32 E 5? `Ç ? a†`Ç E ? aÄ`Ç G

1 Ä`Ç ¢? E 5? ‰`Ç E 10? `Ç E 10? a`Ç E 5? a‰`Ç E ? aÄ`Ç £ 32

1 ¢A? Ä`Ç E ? aÄ`Ç G E 5A? ‰`Ç E ? a‰`Ç G E 10A? `Ç E ? a`Ç G£ 32

UV> Ä ADG I

1 Z2 UV>A5DG E 5A2 UV> A3DGG E 10A2 UV>ADGG] 32

UV> Ä ADG I

1 A2 UV>A5DG E 10 UV>A3DG E 20 UV> ADGG 32

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44

UV> Ä ADG I

1 5 5 UV> A5DG E UV> A3DG E UV>ADG 16 16 8

La serie de Fourier es UV> Ä ADG I

5 1 5 UV>ADG E UV>A3DG E UV>A5DG RS’S Z– J, J] 8 16 16

BG. Segunda Forma AidentidadesG: UV> Ä ADG I UV> ^ ADG UV> ‰ ADG 1 1 3 1 UV> Ä ADG I ¨ E UV> A2DG© ¨ UV>ADG E UV> A3DG© 4 4 2 2 3 1 3 UV> Ä ADG I UV>ADG E UV> A3DG E UV>A2DG UV>AD G 8 8 8 1 E UV>A2DG UV> A3DG 8 3 1 3 UV>A3DG E UV> ADG UV> Ä AD G I UV>ADG E UV>A3DG E Æ È 8 8 8 2 1 UV> A5DG E UV> A_DG E Æ È 2 8

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45

3 1 3 3 UV> Ä ADG I UV>ADG E UV> A3DG E UV>A3DG E UV>ADG 8 8 16 16 1 1 E UV>A5DG E UV> A_DG 16 16

Si aplicamos la propiedad cosA_DG I cosADG tenemos:

1 3 3 3 UV>A3DG E UV>ADG UV> Ä ADG I UV>ADG E UV> A3DG E 8 16 16 8 1 1 E UV>A5DG E UV> ADG 16 16 3 3 1 1 3 UV> Ä ADG I ¨ E E © UV> ADG E ¨ E © UV>A3DG 8 16 16 8 16 1 UV> A5DG E 16 5 5 1 UV> Ä ADG I UV>ADG E UV>A3DG E UV>A5DG 8 16 16

La serie de Fourier es UV> Ä ADG I

5 5 1 UV>ADG E UV>A3DG E UV>A5DG RS’S Z– J, J] 8 16 16

CG. Tercera Forma AIntegrandoG: Como cos Ä AtG es una función par, entonces br I 0, n I 1,2, …

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46 Ä

2 ‡ ? `Ç E ? a`Ç 2 ‡ ÄA G SC I s UV> D tD I s Æ È tD J C J C 2

En el inciso (A) de este punto demostramos que: Ä

? `Ç E ? a`Ç 5 5 1 Æ È I UV>(D) E UV> A3DG E UV>A5DG 2 8 16 16 2 ‡ 5 5 1 SC I s ¨ UV> ADG E UV>A3DG E UV>A5DG© tD J C 8 16 16

2 ‡5 2 ‡ 5 2 ‡ 1 SC I s UV>AD G tD E s UV>A3DG tD E s UV>A5DG tD J C 8 J C 16 J C 16 ‡ 2 1 5 5 SC I ¨ >?@A5DG E >?@A3DG E >?@ADG© J 80 48 8 C 2 1 5 5 I ¨ >?@A5JG E >?@A3JG E >?@AJG© I 0 J 80 48 8

2 ‡ SL I s UV> Ä ADGUV> A@DGtD J C 2 ‡ 5 5 I s ¨ UV>ADG E UV> A3DG J C 8 16 1 E UV> A5DG© UV> A@DGtD 16

2 ‡5 2 ‡ 5 SC I s UV>ADGUV> A@DG tD E s UV>A3DG UV> A@DG tD J C 8 J C 16 2 ‡ 1 E s UV>A5DGUV> A@DG tD J C 16 José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

47

Por las relaciones de ortogonalidad tenemos:

10 ‡ 0 >š @ { 1 | s UV>ADG UV> A@DG tD I • 5⁄8 >š @ I 1 8J C

5 ‡ 0 >š @ { 3 | s UV>A3DGUV> A@DG tD I • 5⁄16 >š @ I 3 8J C 1 ‡ 0 >š @ { 5 | s UV>A5DGUV> A@DG tD I • 1⁄16 >š @ I 5 8J C

La serie de Fourier es

UV> Ä (D) I

5 5 1 UV>(D) E UV>A3DG E UV>A5DG RS’S Z– J, J] 16 16 8

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48

Similitudes entre el espacio ÊË y las series de Fourier

Funciones Ortogonales

En esta sección mostraremos la forma en que los conceptos vectoriales de producto interno, o producto escalar, y el de ortogonalidad de vectores pueden extenderse fácilmente a espacios de funciones. Es decir, una función se considerara como una generalización de vector.

Preliminares de algebra lineal

aG Producto interno interno: no Si F I AFO , F^ , F‰ G y Ì I AÌO , Ì^ , ̉ G son vectores de ʉ , definimos su producto punto, producto interno o producto escalar como ‰

F. Ì I FO ÌO E F^ Ì^ E F‰ ̉ I K F¦ ̦ ¦NO

El producto punto a veces se escribe ÍF, ÌÎ

Recordemos que el producto interno o producto escalar tiene las siguientes propiedades: 1) ÍÃ, F Î I Í F, ÃÎ

2) Í»Ã, FÎ I »Íà , FÎ, » Ï Ê f3) Íà , ÃÎ º 0 si à { 0

Íà , ÃÎ I 0 >š W >VÐV >š à I 0

4) ÍÃ E F , ÌÎ I ÍÃ , FÎ E Í Ã, Ì Î

¿ Por que el producto interno es un concepto clave ?

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bG Vectores ortogonales: ortogonales Dos vectores diferentes de cero son perpendiculares u ortogonales, si y sólo si ÍF, Ì Î I 0 c)La La norma o longitud de un vector : La longitud de un vector F esta dada por ÑFÑ I √F. F

d)Angulo Angulo entre dos vectores El ángulo θ entre dos vectores F y Ì esta dado por UV>\ I

F. Ì ÑFÑÑÌÑ

Una de las grandes ideas de los matemáticos del siglo XX fue dotar otros espacios diferentes de ÊL de un producto interno de tal manera que fuera posible una geometría en dicho espacio. e) Espacio Vectorial: Vectorial Decimos que un conjunto no vacio Õ es un espacio vectorial si Õ esta provisto de:

i) Una operación de suma: La cual es conmutativa, asociativa, existe elemento neutro e inverso aditivo únicos. ii) Una operación de multiplicación por escalar que cumple las siguientes propiedades para 8,  § Õ y α, β números reales arbitrarios: »(8 E ) I »8 E » (» E Á)8 I »8 E Á8 (»Á )8 I »(Á8) 18 I 8

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50

Ejemplo 1

El espacio Õ I Ø ZS, T] I ®8: ZS, T] · Ê; 8 ?> UV@Dš@ÃS ¯ es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de funciones y multiplicación por escalar

f) Decimos que Õ se encuentra equipado de un producto interno que representamos por Í , Î , si existe una función tal que

Í ,Î Ù Õ Ú Õ · Ê

1) Í8,  Î I Í , 8Î

2) Í»8, Î I »Í8 , Î, » Ï Ê 3G Í8 , 8Î º 0, 8 { 0

Í8 , 8Î I 0 >š W >VÐV >š 8 I 0

4) Í8 E  , ŽÎ I Í8 , ŽÎ E Í , ŽÎ

g) Norma :El producto interno da origen al concepto de longitud o norma ( la norma inducida por el producto interno ) definida por Ñ8Ñ I ÛÍ8, 8Î

La norma Ñ8Ñ tiene las siguientes propiedades:

1) Ñ8Ñ Ü 0 y Ñ8Ñ I 0 si y solo si 8 I 0 2) Ñ»8Ñ I |» |Ñ8Ñ

3) (Desigualdad triangular ) Ñ8 E Ñ k Ñ8Ñ E ÑÑ José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

51

En este caso se dice Ñ. Ñ es una norma y que Õ es un espacio ectorial normado. h) Propiedades del producto interno y la norma

Sea Õ un espacio vectorial y Í , Î un producto interno en dicho espacio. Sea Ñ Ñ la norma inducida por Í , Î

h1) Desigualdad de Cauchy – Schwarz- Bunyakovski: Si 8,  § Õ , entonces |Í8, Î| k Ñ8Ñ ÑÑ

h2) Desigualdad triangular: triangular Si 8,  § Õ , entonces Ñ8 E Ñ k Ñ8Ñ E ÑÑ Demostracion de h2

Ñ8 E Ñ^ I Í8 E , 8 E Î

I Í8, 8Î E Í8, Î E ͍, 8Î E ͍, Î

I Ñ8Ñ^ E 2Í8, Î E эÑ^

kÑ8Ñ^ E 2Ñ8Ñ ÑÑ E эÑ^ I (Ñ8Ñ E ÑÑ )^

Producto interno entre funciones Sea Õ I Ø ZS, T] definamos un producto interno en este espacio por à

ÍÃ, FÎ I á Ã(X )F (X )tX ,

para cualquier 8,  § Õ

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52

i) Funciones ortogonales Dos funciones à y F son ortogonales en à

un intervalo ZS, T] si y sólo si ÍÃ, FÎ I á Ã(X )F(X )tX I 0

Ejemplo 2 Las funciones 8 (X ) I X ^ y g(X ) I X ‰ son ortogonales en el intervalo Z_1,1], ya que O

O

Í8, Î I s X X tX I s X Ä tX I 0

Ñ8Ñ^

I

ÑX ^ Ñ^

Ñ8Ñ I â

2 5

O

aO

^ ‰

aO

O

I s X X tX I s X † tX I aO

^ ^

aO

2 5

j) Angulo entre dos funciones: funciones El ángulo θ entre dos funciones 8 y g está dado por UV>\ I

Í8, Î Ñ8ÑэÑ

k) Norma La longitud o norma (la norma inducida por el producto interno) de un elemento 8 § Õ esta dada por Ñ8Ñ I ÛÍ8, 8Î

En el caso del ejemplo 2, la norma inducida es : à

El espacio ãä

O/^

Ñ8Ñ I ÛÍ8, 8Î I Æs Z8(X)]^ tXÈ á

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53

En el estudio de las series de Fourier, el espacio con producto interno mas importante es el se denomina j^ (Z_j, j]G. Este es el espacio de funciones definidas en el intervalo l– j, jn tales que u

s Z8AXG]^ tX – ∞ au

Es decir el conjunto de las funciones definidas en el intervalo l– j, jn de cuadrado integrable en l– j, jn

El producto interno en este espacio es obviamente u

ÍÃ, FÎ I s ÃAX GF AX GtX au

La desigualdad de Cauchy – Schwarz- Bunyakovski en j^ : >i 8,  § j^ , entonces à

à

ås 8(X )(X )tX å k (s Z8(X á

Notese

á

que en virtud de la

)]^

tX)

O/^

à

(s Z(X )]^ tX)O/^ á

desigualdad anterior, u

si

8,

 § j^ Z_j, j] entonces la integral au 8(X )(X )tX existe y es finita ( luego el producto interior esta bien definido )

Otro espacio vectorial ( espacio de Hilbert ) muy importante en el análisis de Fourier discreto es el espacio Ð^

El espacio æä

^ Ejemplo 4 Sea Õ I Ð^ I ç®XL ¯; XL ÏÊ , ∑M LNO|XL | UV@F?’? é

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54

Õ es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de sucesiones y multiplicación por escalar. Definimos el producto interno como M

ÍXL , WL Î I K XL WL LNO

Conjuntos Ortogonales de funciones

Un conjunto de funciones ®êL (X)¯M LNC definidas en el intervalo (S, T) se denomina ortogonal en dicho intervalo cuando à

y

Íêë , êì Î I s êë (X)êì (X)tX , YS’S ’ { > á

Íê} , ê} Î I Ñê}

Conjuntos ortonormales

Ñ^

à

I s Zê} (X)]^ tX º 0 á

Un conjunto ortogonal de funciones ®êL (X)¯M LNC definidas en el intervalo (S, T) se denomina ortonormal en el intervalo cuando ÑêL (X)Ñ I 1, para @ I 0,1,2, ‘Es decir ÑêL (X)Ñ I íá ZêL (X)]^ tX I 1 à

Cualquier conjunto î I ®êL (X)¯M LNC ortogonal de funciones diferentes de la función cero puede normalizarse dividiendo cada función de î entre su norma . José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

55

Es decir, un conjunto de funciones îb I ®ïL (X)¯M LNC se dice que es ortonormal en un intervalo (S, T) cuando

1) î b es un conjunto de funciones mutuamente ortogonales en (S, TG y 2G

ÑïL AXGÑ I 1,

Escriba aquí la ecuación.

En este caso

Ejercicios

ïL AX ) I

para

toda

ï § îb y

para

todo

êL AX ) , YS’S UStS @ I 1,2, … ÑêL AX )Ñ

1) a) Demostrar que el conjunto de funciones î I ®êC AX)¯ ð ®êL AX), ïL AX)¯M LNO @JX w , @ I 0,1,2, . .. j @JX ïL AX ) I >?@ v w , @ I 1,2, … j

êL AX ) I cos v

@JX @JX M î I ®1¯ ð zUV> v w , >?@ v wñ j j LNO

1, UV> v

JX JX 2JX 2JX 3JX 3JX w , >?@ v w , UV> ¨ © , >?@ ¨ © , UV> ¨ © , >?@ ¨ ©,‘ j j j j j j

Forma un conjunto ortogonal en el intervalo l– j, jn. Este conjunto ortogonal fue introducido por Fourier en 1822 en su obra “ THEORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR ”

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56

(Sugerencia: Utilizar las identidades trigonométricas producto – suma ) Las normas son: ÑêL

Ñ^

ÑêC Ñ^ I Ñ1Ñ^ I 2j,

@JX ^ I òUV> v wò I j, j

ÑïL

Ñ^

@JX ^ I ò>?@ v wò I j j

Para determinar las correspondientes constantes de normalización del conjunto dado en a) dividimos cada elemento del conjunto î por su correspondiente norma, de modo que el conjunto sea ortonormal en ¢– j, j£. 1

,

1

√2j √j

UV> v

JX 1 JX 1 2JX 1 2JX w, >?@ v w , UV> ¨ ©, >?@ ¨ ©,‘ j √j j √j j j √j

Ejercicio: a) Demostrar que el conjunto de funciones ®1, UV>AX G, UV> A2X G, UV>A3X G, ‘ ¯

Forma un conjunto ortogonal en el intervalo l– J, Jn . Encontrar la norma de cada función en el conjunto.

bG Determinar las correspondientes constantes de normalización del conjunto dado en a), de modo que el conjunto sea ortonormal en l– J, Jn.

Una analogía entre vectores vectores y funciones

Sea î I çFO, , F^, , F‰, é un conjunto de tres vectores diferentes de cero y mutuamente ortogonales en ÊË . Luego î es una base José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

57

para ÊË . Esto es, cualquier vector à § ÊË se puede expresar como combinación lineal de los elementos de la base î à I UO FO E U^ F^ E U‰ F‰

Donde los U¦ , ¤ I 1, 2, 3 son escalares reales llamados componentes del vector

Formando el producto interior de cada miembro de la expresión anterior con FO y aplicando propiedades del producto interior , obtenemos ÍÃ, FO Î I ÍUO FO E U^ F^ E U‰ F‰ , FO Î

ÍÃ, FO Î I UO ÍFO , FO Î E UO ÍF^ , FO Î E U‰ ÍF‰ , FO Î

Ahora, puesto que ÍF^ , FO Î I ÍF‰ , FO Î I 0 y ÍFO , FO Î I ÑFO Ñ^ Tenemos que

UO I De manera analoga U^ I Por lo tanto

ÍÃ, FO Î ÍÃ, FO Î I ÍFO , FO Î ÑFO Ñ^

ÍÃ, F^ Î ÍÃ, F^ Î ÍÃ, F‰ Î ÍÃ, F‰ Î I W U I I ‰ ÍF^ , F^ Î ÑF^ Ñ^ ÍF‰ , F‰ Î ÑF‰ Ñ^ ‰

ÍÃ, F^ Î ÍÃ, F‰ Î ÍÃ, F¦ Î ÍÃ, F^ Î ÃI F E F E F I K F ÑF^ Ñ^ O ÑF^ Ñ^ ^ ÑF‰ Ñ^ ‰ ÑF¦ Ñ^ ¦ ¦NO

En Particular si î es una base ortonormal, cada U¦ I ÍÃ, F¦ Î. Luego

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58 ‰

à I K ÍÃ, F¦ ÎF¦ ¦NO

En general si î I çFO, , F^, , … , FL, é es una base ortogonal de ʃ . Cualquier à § ʃ esta escrito como combinación lineal de los elementos de la base. L

à I UO FO E U^ F^ E … E UL FL I K U¦ F¦ ¦NO

Entoces sus componentes relativas a la base son U¦ I

ÍÃ, F¦ Î ÍÃ, F¦ Î I , ¤ I 1, 2, … , @ ÍF¦ , F¦ Î ÑF¦ Ñ^ L

à I UO FO E U^ F^ E … E UL FL I K

¦NO

ÍÃ, F¦ Î F ÑF¦ Ñ^ ¦

En particular si si î es una base ortonormal, cada U¦ I ÍÃ, F¦ Î. Luego

L

à I K ÍÃ, F¦ ÎF¦ ¦NO

Serie generalizada de Fourier

Sea î I ®êL (X)¯M mutuamente LNC un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo ZS, T]. Si W I 8AXG es una función de cuadrado integrable definida en ZS, T] ¿ Existen escalares UC , UO , U^ , … , U} , .. tales que José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

59 M

8AX G I UC êC AX G E UO êO AX G E … E U} ê} AX G E ‘ K U} ê} AX G? }NC

Demostrar , que si ∑M }NO U} ê} (X) converge uniformemente a 8(X ) en (S, T). Entonces Í8AXG, êL AXG Î UL I , @ I 1,2, ‘ ÑêL Ñ^

En efecto:

Multiplicando ambos miembros de M

8 AX G I K UL êL AXG LNC

Por êL AXG e integrando de S a T, obtenemos M

à

à

s 8 AX GêL AX G tX I K UL s ê} AXG êL AXGtX á

}NC

á

Donde el intercambio de integración y sumatoria se justifica porque la serie de funciones converge uniformemente a 8AXG. Ahora , como las funciones del conjunto î son mutuamente ortogonales en el intervalo AS, T G, se tiene que 0, y{@ | s ê} AXGêL AX GtX I • Ñê} Ñ^ , yI@ á à

Por lo tanto

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60 à

o bien

s 8 AX GêL AX G tX I UL ÑêL Ñ^ á

Í8, êL Î I UC ÍêC , êL Î E UO ÍêO , êL Î E U^ Íê^ , êL Î E ‘ E U} Íê} , êL Î E‘ Puesto que ®êL (X)¯M LNC es un conjunto ortogonal Íê} , êL Î I 0 >š y { @ Esto implica que Luego La serie

Í8 (X ), êL (X )Î I UL ÍêL , êL Î I UL ÑêL Ñ^ UL I

Í8(X), êL (X) Î , @ I 0, 1,2, ‘ ÑêL Ñ^ M

8(X ) I K

LNC

Í8(X), êL (X) Î êL (X) ÑêL Ñ^

Es la serie generalizada de Fourier de 8(X) respecto al conjunto ortogonal î I ®êL (X)¯M LNO en el intervalo ZS, T ].

Si el conjunto î I ®êL (X)¯M LNO es ortonormal en (S, T ). Entonces UL I Í8(X), êL (X) Î, @ I 0, 1,2, ‘

En este caso la serie generalizada de Fourier de 8(X) respecto al conjunto ortonormal óI ®êL (X)¯M LNO es M

8(X ) I K Í8(X), êL (X) Î êL (X) LNC

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61

Ejemplo. El conjunto

®êC AXG¯ ð ®êL AXG, ïL AXG¯M LNO êC (X ) I 1

@JX êL (X) I UV> v w j @JX ïL (X) I >?@ v w j

Es ortogonal en el intervalo l– j, jn. ÑêL Ñ^ I òUV> v

ÑêC Ñ^ I Ñ1Ñ^ I 2j,

@JX ^ wò I j, j

Supongamos que

@JX ^ ÑïL Ñ^ I ò>?@ v wò I j j

M

yJX yJX aC G E T} >?@A Gq 8(X ) I E K pS} UV>A j j 2 ôNO

M

SC Í8, êL Î I ÍêC , êC Î E K ZS} Íê} , êL Î E T} Íï} , êL ÎG] 2 }NO

Utilizando las relaciones de ortogonalidad Obtenemos que

SL I

Í8(X), êL (X) Î , @ I 0, 1,2, ‘ ÑêL Ñ^

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62

TL I Luego

Í8AXG, ïL AXG Î , @ I 1,2, ‘ ÑïL Ñ^

1 u yJX SL I s 8AX GUV> v w tX , @ I 0,1,2 … j au j 1 u yJX TL I s 8AX G>?@ v w tX , @ I 1,2 … j au j

Conjuntos ortogonales y función peso

En el espacio vectorial Õ I Ø ZS, T] definimos el producto interior: à

Í8, Î I á ÌAXG8AX GAX GtX ,

donde ÌAX G es una función positiva fija en Ø ZS, T]. La función Ì se denomina función peso. El conjunto

@JX @JX M ®1¯ ð zUV> v w , >?@ v wñ j j LNO

Es ortogonal respecto a la función peso Ì AX G I 1.

Ortogonalidad respecto a una función peso

Un conjunto de funciones ®êL AXG¯M LNC definidas en el intervalo AS, TG se denomina ortogonal respecto a una función de peso ÌAX G en el intervalo AS, TG cuando

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63 à

Íêë , êì Î I s ÌAXGêë AXGêì AXGtX , YS’S ’ { > y

á

à

Íê} , ê} Î I Ñê} Ñ^ I á Ì AX GZê} AXG]^ tX º 0

Sea ®êL AXG¯M LNC un conjunto de funciones definidas que son mutuamente ortogonales respecto a la función peso ÌAX G en el intervalo AS, TG. Podemos demostrar fácilmente que si

∑M LNC UL êL AXG converge uniformemente a 8 AX G en AS, T G, entonces UL I

à

á 8 AX GÌ AX GêL AX GtX à

á Ì AX GZêL AXG]^ tX

I

Í8AXG, êL AXG Î , @ I 0, 1,2, ‘ ÑêL Ñ^

Conjuntos ortogonales completos

Para desarrollar 8 en una serie de funciones ortogonales, es necesario suponer que 8 no es ortogonal a cada elemento del conjunto ortogonal î I ®êL AXG¯M LNC . Si fuera así , entonces Í8AXG, êL AXG Î I 0 implica que UL I 0 para n=0,1,2,…y 8 = 0. Para evitar esta dificultad suponemos que el conjunto es completo Sea î = ®êL AXG¯M LNC un conjunto ortogonal de funciones definidas en el intevalo AS, TG se denomina completo si la única función de Ø ZS, T] ortogonal a cada función del conjunto î es la función cero. Definicion José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

64

Un sistema ortonormal î I ®êL (X)¯M LNC es completo si para cualquier 8 § j^ Z_j, j ] tal que Í8, êL Î I 0 entonces 8 I 0

(Nota: obsérvese nuevamente que si 8 es ortogonal a cada êL . entonces UL I 0)

Ejemplo Ejemplo

î I ®êL (X)¯M LNO donde êL (X ) I >?@(@X) es ortogonal en el intervalo l– J, Jn pero no es completo Ejercicios

1) Sea ®êL (X)¯M LNO un conjunto ortonormal en (S, T ). Demostrar que ^

¬

à

s õ8AX G _ K UL êL AXGö tX á

LNC

à

Es un mínimo cuando UL I á 8AX GêL AX G tX

2) Si 8(X) es aproximada por la suma de los « primeros términos de una serie de Fourier ¬

°¬ (X ) I K UL êL (X) LNC

Donde las funciones ®êL (X)¯M LNO son ortonormales en (S, T ) a) Demostrar que à

à

¬

s Z8(X ) _ °¬ (X )]^ tX I s Z8(X)]^ tX _ K UL ^ á

á

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LNO

65

b) Tomando

à 1 ÷¬ I s Z8 AX G _ °¬ AX G]^ tX T_S á

Como el error cuadrático medio. Establecer la desigualdad de Bessel M

à

K UL k s Z8AXG]^ tX ^

LNC

á

cG Demostrar que si UL son los coeficientes de Fourier de 8AX G respecto al conjunto ortonormal ®êL AXG¯M LNO , entonces M

à

s Z8AXG]^ tX I K UL ^ á

LNC

Este resultado se conoce como formula o identidad de Parseval

Conjuntos Ortogonales de funciones complejas Un conjunto de funciones de valores complejos ®êL ADG¯M LNaM definidas en el intervalo A0, ø G se denomina ortogonal en dicho intervalo si ù

b A G ÍêL , ê} Î I s êL ADGê} D tD , YS’S @ { y C

y ù

÷} I Íê} , ê} Î I Ñê} Ñ^ I C |ê} ADG|^ tD º 0

Conjuntos ortonormales de funciones complejas José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

66

Un conjunto ortogonal de funciones de valores complejos ®êL ADG¯M LNaM definidas en el intervalo A0, ø G se denomina ortonormal en dicho intervalo cuando ÑêL ADGÑ I 1, para @ I 0, ´1, ´2, ‘ ?s decir ù

ÑêL ADGÑ I íC |êL ADG|^ tD I 1

Cualquier conjunto î I ®êL ADG¯M LNaM ortogonal de funciones complejas diferentes de la función cero puede normalizarse. Para funciones (o señales ) periódicas es conveniente escoger como base ortogonal el conjunto de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Esta elección es adecuada ya que las exponenciales complejas ?XYZ[@BC D ] son funciones periódicas de periodo ø.

Veamos que el conjunto de funciones complejas êL ADG I ?XYZ[@BC D] para @ I 0, 1, ´ 2, … forma un conjunto ortogonal en el intervalo A0, øG s

ù

C

b A G êL ADGê} D tD

ù

I s ?XYZ[@BC D]?XYZ_[yBC D] I C

Iz

ø, 0,

@ I y| @{y

Por lo tanto, el conjunto ç1/√ø ?XYZ[@BC D] é donde @ I 0, ´1, ´2, …forma un conjunto ortonormal en el intervalo A0, øG. Los conjuntos ortonormales son de utilidad ya que los desarrollos en serie de Fourier son más sencillos. José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

67

Podemos utilizar la ortogonalidad del conjunto de exponenciales complejas armónicamente relacionadas ®?XYZ[@BC D]¯ para determinar los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de exponenciales complejas: Sea XADG una señal periódica con periodo T, y sea el desarrollo en serie de Fourier en exponenciales complejas M

X ADG I K UL ?XYZ[@BC D] LNaM

donde BC I

2J ø

Multiplicando ambos lados por ?XYZ_[yBC D], e integrando en el intervalo A0, øG, obtenemos ù

s X ADG?XYZ_[yBC D]tD C

M

ù

I K UL s ?XYZ[@BC D] ?XYZ_[yBC D]tD LNaM

C

I U} ø

Por lo tanto, 1 ù UL I s X ADG?XYZ_[yBC D]tD ø C Debido a la periodicidad el intervalo de integración A0, ø G en esta ecuación puede sustituirse por ÍøÎ, donde ÍøÎ representa cualquier intervalo de longitud ø. José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

68

El producto interno de dos funciones 8 y  de periodo 2J y de valor complejo se define en la siguiente forma ( donde la barra sobre  indica conjugación compleja ) ‡

Í8, Î I a‡ 8(X )ú (X )tX , ( „ûü… „…ƒý‚ƒþ… )

Debido a la periodicidad el valor del producto interno no cambia si usamos un intervalo de longitud 2J en la integral.

Con frecuencia la función 8 se conoce solo en los puntos equidistantes X
I 2J»/« , » I 0, 1, 2, … , « _ 1. En este caso definimos ¬aO

Í8, Î I K 8AX
Gú AX
G, X
I
NC

2J» ( „ûü… ‚ü„€ý…) «

Como la norma usual de la función 8 esta definida por Ñ8Ñ I ÛÍ8, 8Î

Se pueden hacer cálculos con este producto interno en la misma forma como con el producto interno definido en ÊL , con ciertas obvias modificaciones. Nótese especialmente que en el caso continuo tenemos que Í8, Î I  ͍, 8Î

͍, 8Î es el complejo conjugado de Í8, Î. En particular Donde  Í8, »Î I  Í», 8Î I »  ͍, 8Î I » Í8, Î

Relaciones de ortogonalidad ortogonalidad para las exponenciales complejas armónicamente relacionadas José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

69

êL AX G: I ?XYZ[@X ] , @ I 0, ´1, ´ 2, …

Caso continuo:

ÍêL , ê} Î I z

Caso discreto

ÍêL , ê} Î I •

Demostracion

«, 0,

2J, 0,

@ I y| @{y

A@ _ yG/« ?> Ã@ ?@D?’V | ?@ US>V UV@D’S’šV

En el caso continuo , si @ { y se tiene que ÍêL , ê} Î I s

‡

a‡

b ( ) X tD êL (X )ê}

‡

I s ?XYZ[@X ]?XYZ_[yX ] tX I a‡

(_1GLa} _ A_1GLa} exp ([(@ _ y)X) ¿ I I 0, ¾ [(@ _ y) [A@ _ yG a‡ ‡

con lo cual la ortogonalidad esta probada. Ahora, para @ I y ÍêL , êL Î I s

‡

a‡

êL AX GêLb AX GtD

‡

I s ?XYZ[@X ]?XYZ_[@X ] tX I 2J a‡

En el caso discreto, discreto sea Ž I 2J/« , luego X
I Ž», ¬aO

¬aO


NC


NC

b A G ÍêL , ê} Î I K êL AX
Gê} X
I K ?XYZ[@X
]?XYZ_[yX
]

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70 ¬aO

¬aO


NC


NC

K ?XYZ[A@ _ yGX
] I K ?XYZ[A@ _ yGŽ»]

Esta es una suma geométrica finita con razón  I ?XYZ[A@ _ yGŽ]. Si A@ _ yG/« es un entero. Entonces  I 1 y la suma es igual a «. De otra forma si  { 1 . Entonces ¬ I ?XYZ[A@ _ yG2J] I 1. Aplicando la fórmula para la suma de un serie geométrica finita tenemos que A1 _ ¬ G ÍêL , ê} Î I I0 A1 _ G

Si sabemos que la función 8AXG tiene una expansión de la forma à

8 I K UL êL LNá

Donde S I _∞ , T I ∞ en el caso continuo y S I 0 , T I « _ 1 en el caso discreto. Entonces formalmente se sigue que à

Í8, ê} Î I K UL ÍêL , ê} Î I U} Íê} , ê} Î , LNá

akykT

Como ÍêL , ê} Î I 0 para @ { y. Por lo tanto, cambiando y por @, tenemos Caso continuo

Í8, êL Î 1 ‡ UL I I s 8(X G?XYZ_[@X] tX ÍêL , êL Î 2J a‡

Caso discreto

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71 ¬aO

Í8, êL Î 1 UL I I K 8AX
G ?XYZ_[@X
] ÍêL , êL Î «
NC

Estos coeficientes se denominan coeficientes de Fourier. Fourier El tratamiento puramente formal se puede justificar fácilmente en el caso discreto. Para caso continuo, se requieren métodos avanzados que se escapan del objetivo de este curso.

“ Las matematicas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo”

Formulas de Fourier

Si una función 8(DG tiene periodo ø. Entonces la sustitución X I 2JD/ø transforma la función 8(DG a una función de X con periodo 2J. Por lo tanto estudiaremos solamente funciones de periodo 2J. Es decir, la función 8(DG en ¢– ø/2, ø/2G£ se transforma en una nueva función 8(X G I 8 ¨

ø X© , _J k X k J 2J

Suponemos que la función puede tener valores complejos, puesto que la función exponencial compleja es conveniente para manipulaciones

Analisis de Fourier . Caso continuo

Un resultado importante en el caso continuo es que L

8 _ K ¤} ê}  , }NaL

@–∞

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72

es minimo si se escoge Por otra parte,

¤} I U},

SL I 2?®UL ¯ I UL E UaL , W

_ @ k y k @. TL I _2 y®UL ¯ I [AUL _ UaL G

Entonces con SC I 2UC , tenemos que

1 ‡ 1 ‡ SL I s 8 AX G cosA@X G tX , TL I s 8AX G senA@X G tX, J a‡ J a‡

A1G

¬

K UL ?XYZ[@X ] I

LNa¬

¬

I UC E K¢UL AcosA@X G E >?@A@X G E UaL Acos A@XG _ >?@A@X G£ LNO

¬

SC I E KASL cosA@X G E TL >?@A@XGG 2 LNO

Una función 8 continua por tramos y periodica con periodo 2J puede ser asociada con una serie de Fourier en las siguientes formas M

SC E KASL cosA@X G E TL >?@A@XGG 2 LNO

M

K UL ?XYZ[@X ]

LNaM

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Los coeficientes SL , TL W UL se pueden calcular usando (2) en el primer caso y (1) en el segundo caso. Si 8 y su primera derivada son continuas . Entonces la serie de Fourier converge a 8(X), es decir al valor de la función en cada punto X. Si 8 y 8 ´ tiene un numero finito de discontinuidades de salto en cada periodo. Entonces la serie de Fourier converge a 1 (8 (X E) E 8(X_)) 2

Si 8 es discontinua en X. Las sumas parciales de las expansiones dan la mejor aproximación posible a 8AXG por polinomios trigonométricos, en el sentido del cuadrado medio.

Nota: Una función es la mas regular, la serie de Fourier converge mas rápidamente

Teorema de acotación para los coeficientes de Fourier

Si una función periodica 8 tiene derivadas continuas hasta de orden ¤ inclusive y derivadas continua por tramos de orden ¤ E 1 . Entonces existe una constante x, que depende solo de 8 y ¤ tal que donde

|UL | k

x I 8

1

@¦ O

(¦ O)

x I @a(¦ O) 8 (¦ O) M ‡

M I s 8 (¦ O) (X) tX a‡

Este resultado se obtiene relativamente fácil integrando por partes ¤ E 1 veces.

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Teorema

aG Si 8 es una función par , es decir 8A_X G I 8AXG, para todo X Entonces TL I 0 para todo entero positivo @.

aG Si 8 es una función impar , es decir 8A_X G I _8AXG, para todo X Entonces SL I 0 para todo entero no negativo @. La demostracion es trivial.

Funciones periódicas Definición Se dice que una función 8 es periódica de periodo ø si esta definida para toda X, y si 8AX E øG I 8AXG, para todo X

Ejemplo 1: ø I 4J es un periodo de 8AX G I >?@AXG, ya que 8AX E 4JG I >?@AX E 4JG I >?@AX G I 8AXG.

Ejemplo 2: La función 8 AX G I X _ ZX ], donde ZX ] representa el mayor entero k X, es periódica de periodo ø I 1

El valor más pequeño (positivo) de ø para el que 8AX E øG I 8AXG es valida se denomina periodo fundamental de 8. Por ejemplo el periodo fundamental 8AX G I >?@AXG, es 2J ya que 8AX E 2JG I >?@AX E 2JG I >?@AX G I 8AXG. José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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Ejemplos de funciones periódicas sin periodo fundamental son 1) 8AX G I UV@>DS@D?

0, 2) 8AX G I • 1,

X § | X

La grafica de una función periódica se obtiene mediante la repetición periódica de su propia grafica comprendida en cualquier intervalo de longitud ø.

Si ø es un periodo para una función 8 .Entonces 2ø también es un periodo ya que 8AX E 2ø G I 8AX E ø E øG I 8 AX E øG I 8AXG, para todo X

En general, @ø es un periodo, donde @ es un entero. es decir, si @ es un entero cualquiera. Entonces

8AX E @øG I 8AXG, para todo X

De donde se deduce que ´ø, ´2ø, ´3ø, ´4ø, … también son periodos de 8 . En conclusión cualquier múltiplo entero de un periodo ø es también un periodo de 8AXG

¿ cuál es el periodo de la función 8ADG I =|>?@ABC DG| ?

Teorema 1 Si 8AXG es una función periódica de periodo ø. Entonces la función AX G I 8A¤XG, donde ¤ es una constante positiva es una función periódica de periodo ø/¤.( La función  es un escalado de la función 8 por el factor ¤ ) Demostracion José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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AX E ø/¤G I 8A¤AX E ø/¤GG I 8A¤X E øG I 8A¤X G I AX G.

Teorema 2 Si 8 y  son funciones periódicas de periodo ø, entonces su producto 8 y cualquier combinación lineal α8 E Á es también periodica de periodo ø Demostración Sea ” AX G I »8 AX G E ÁAXG. Entonces para cualquier X

” AX E øG I »8 AX E øG E ÁAX E øG I »8 AX G E ÁAX G I ”AXG . Además, es fácil extender este resultado a la suma de un número finito, o incluso la suma de una serie infinita convergente, de funciones periódicas de periodo ø es también paródica de periodo ø. En particular cada una de las funciones del conjunto

yJX yJX M î I ®1¯ ð zUV> v w , >?@ v wñ I j j }NO

JX JX 2JX 2JX 3JX 3JX | •1, UV> v w , >?@ v w , UV> ¨ © , >?@ ¨ © , UV> ¨ © , >?@ ¨ ©,‘ j j j j j j Es periódica de periodo ø I 2j/y, y I 1,2, …

Para ver esto recordemos que cosAX G y >?@AX G son periódicas de periodo fundamental 2J Entonces según el teorema 1 cosA»X G y >?@A»X G tienen periodo fundamental 2J/». Si hacemos »: I yJ/j. Entonces el periodo denotado ø de êL AX G I UV> AyJX/jG W ï} AX G I >?@ v

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yJX w j

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es igual a 2j/y. Nótese ahora que como cada múltiplo entero positivo de un periodo es también un periodo, cada una de las funciones del conjunto @JX @JX M î I ®1¯ ð zUV> v w , >?@ v wñ j j LNO

tiene periodo común 2j.

Otra forma de encontrar el periodo fundamental ø de cada una de las funciones yJX ï} AX G I >?@ v w j

es argumentando de la siguiente manera. Debemos tener que yJX yJAX E øG w , YS’S DVtV X >?@ › œ I >?@ v j j yJX yJø yJX yJø yJX >?@ v w UV> ¨ © E UV> v w >?@ ¨ © I >?@ v w j j j j j Para X I j/2y obtenemos

J yJø J >?@ v w UV> ¨ © I >?@ v w I 1 2 j 2

Lo que implica que UV> ¨

yJø ©I1 j

De aquí, usando la identidad >?@^ \ E UV> ^ \ I 1, obtenemos

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>?@ ¨

yJø ©I0 j

Como estamos interesados en el menor valor positivo que satisfaga simultáneamente UV> ¨

yJø yJø © I 1 W >?@ ¨ ©I0 j j

obtenemos que yJø I 2J j

Luego el periodo fundamental de la función ï} AX G es 2j/y

El periodo fundamental de êL AX G I UV> AyJX/jG es también 2j/y. Nótese nuevamente que como cada múltiplo entero positivo de un periodo es también un periodo, entonces cada una de las funciones perteneciente al conjunto î tiene periodo común 2j. Ejercicios ¿Cual es el periodo fundamental de cada una de las siguientes funciones (o señales) ? 1) 8AX G I cos A2JXG

2) 8AX G I sen A4X/jG

3) 8AX G I >? @AX G E >?@A2XG

4) 8AX G I >? @A2X G E cos A4XG

5) 8AX G I >? @A3X G E cos A2XG.

6)

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aC @JX @JX ” AX G I E K pSL UV>A G E TL >?@A Gq j j 2 M

rNO

En consecuencia el lado derecho de 6) tiene periodo 2j; de hecho 2j es el periodo fundamental de la suma Concluimos que una serie de Fourier no solo representa la función en el intervalo _j – X – j sino que proporciona la extensión periódica de 

fuera del intervalo l– j, jn .

Podemos aplicar el teorema de convergencia a la extensión periódica de 8

Periodicidad de la serie de Fourier Ya vimos que cada una de las funciones del conjunto @JX @JX M ®1¯ ð zUV> v w , >?@ v wñ j j LNO

tiene periodo común 2j. Es decir las funciones repiten sus valores en intervalos de longitud 2j, ya que

y

@J @JX @JX cos p AX E 2jGq I cos v E 2@Jw I cos v w j j j

@J @JX @JX sen p AX E 2jGq I sen v E 2@Jw I sen v w j j j

Por lo tanto, la serie de Fourier

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M

SC @JX @JX E K pvSL cosA G E TL sinA wq j j 2 LNO

Converge para todo X a una función periódica ”AXG. Esta función se denomina extensión periódica de AG y esta definida por las siguientes expresiones ” AX G I 8AX G , _ j – X – j

 ” AX G I ^ Z8 Aj _G E 8A_j EG] , X I ´j| O

” AX E 2jG I ”AXG

Ejercicio 1) Dibujar la grafica de la extensión periódica de 8AX G I X, j k Xkj 2) Dibujar la grafica de la |X |, _j k X k j

extensión periódica de

8AX G I

La suma de dos funciones periódicas de periodos diferentes puede ser no periódica. Por ejemplo, la función 8AX G I >?@AX G E UV>AJX G no es periódica. Nos preguntamos ¿es la función 8AX G I >?@ASX G E >?@ATXG periodica? En el siguiente teorema veremos que la respuesta es afirmativa y si y solo si S/T es un numero racional .

Teorema 3 Si 8 y  son funciones periódicas con periodos fundamentales øO y ø^ respectivamente con øO { ø^ y si existen enteros y y @ tales que yøO I @ø^ Entonces ” AX G I »8AXG E ÁAXG es periodica de periodo ø I yøO I @ø^ José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

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Demostración

RÃ?>DV Ã? 8AXG Es periódica de periodo øO . Entonces 8 AX E yøO G I 8AXG, para todo X

Análogamente, AX E @ø^ G I AXG, para todo X, donde y y @ son enteros .Luego ” AX G I »8AX E yøO G E ÁAX E @ø^ G

Para que ”AXG sea periodica de periodo ø es necesario que se cumpla que ” AX E øG I ” AX G, YS’S DVtV X

»8 AX E yøO G E ÁAX E @ø^ G I »8AX E øG E ÁAX E øG or lo tanto debemos tener que ø I yøO I @ø^ o lo que es lo mismo øO @ I ø^ y Luego la combinación lineal de dos funciones periódicas es periódica si y solo si el cociente de sus respectivos periodos es un numero racional.

Ejercicio Determinar cuál de las siguientes funciones es periódica. 1) XO AtG I senA2πt/3G 2) x^ AtG I senA2πt/5Gcos A4πt/3G

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3) x‰ AtG I senA3tG 4) x† AtG I xO AtG _ x‰ AtG 5) xÄ AtG I cosAt/3G E cos At/4G 6) x AtG I cosA10tG E cos A10 E πG 7) x AtG I A10cos AtGG^

Integracion y diferenciacion de funciones periodicas

1) Supongamos que 8 es una función periodica con periodo ø e integrable en cualquier intervalo a) si 0 – S – ø . Entonces C 8ADGtD I á ù

á ù

Sugerencia: Demostrar primero que á

á ù

s 8AD GtD I s C

ù

8ADGtD

8AD GtD

y considerar el cambio de variable D I  _ ø en la segunda integral) En efecto: Si hacemos la sustitución D I  _ ø , obtenemos á ù

s

Por lo tanto

ù

á

á

8 ADGtD I s 8A E øGtD I s 8 ADGtD C

ù

C

á

ù

s 8ADGtD I s 8 ADGtD E s 8ADGtD C

C

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á

83

Is

á ù

ù

8 ADGtD E s 8ADGtD

á ù

Is

C

ù

á

8ADGtD

b) Demostrar que para cualquier valor de S, no necesariamente entre 0 y ø, se tiene que ù

á ù

s 8ADGtD I s C

á

En efecto: Ç ù

Definimos la función ADG I Ç

8ADGtD

8AGt para todo D. En virtud

del teorema fundamental del calculo, se sigue que t I 8AD E øG _ 8ADG I 0 tD

Lo cual implica que ADG I UV@>DS@D?. Luego ASG I A0G. Es decir s

á ù

á

ù

8ADGtD I s 8ADGtD C

c) Demostrar que para cualquier valor de » y Á se tiene que s


 ù




 ù

8ADGtD I s



8 ADGtD

En efecto: Como la función ADG es una función constante José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

84

Se tiene que

Luego s


 ù




d) Demostrar que

 A» G I  AÁ G .

 ù

8ADGtD I s





 ù

s 8AD GtD I s En efecto:  ù

s


 ù






8ADGtD I s


 ù

 ù

8ADGtD E s

Según el resultado anterior  ù

s


 ù



8ADGtD I s


 ù


 ù




 ù

8ADGtD E s




8 ADGtD

8ADGtD

8 ADGtD 

8ADGtD I s 8 ADGtD


2) Si 8 es diferenciable y periodica de periodo ø. Entonces la función derivada 8 ´ ADG es también periodica de periodo ø ( es decir, tiene el mismo periodo de 8 ) 3) Demostrar que la función 8ADG I >?@ASDG E >?@ATDG es periodica si y solo si S/T es un numero racional .

En efecto Sea ø el periodo de la función 8, es decir

8AD E øG I 8ADG, para todo D

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85

Luego 8AøG I 8A0G I 0. La segunda derivada

8 ´´ ADG I _S^ >?@ASDG _ T ^ >?@ATDG

Es periodica de periodo ø ya que 8 lo es.

8 ´´ AD E øG I 8 ´´ ADG, para todo D 8 ´´ AøG I 8 ´´ A0G

Luego >?@ASøG E >?@ATøG I 0 y S^ >?@ASøG E T ^ >?@ATøG I 0 Lo que implica que AS^ _ T ^ G>?@ASøG I 0 Lo que implica que >?@ASøG I >?@ATøG I 0, para S { T

Sø I @J y Tø I yJ, donde y y @ son enteros. øI

@J yJ I S T

O bien

S @ I § T y 4) Sea 8 es periodica de periodo ø . Demostrar que la función ” ADG I C 8AGt es periodica ( de periodo ø) si y solo si Ç

C 8AGt I 0. ù

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En efecto: Ç ù

” AD E øG I s

C

8AGt I s 8AGt E s Ç

Ç ù

C

Ç

8AGt

I s 8AGt E ADG I s 8AGt E A0G Ç

Ç

C

C

Por lo tanto s 8AGt E s 8 AGt I ” ADG I s 8AGt Ç

C

ù

Ç

C

C

Esto implica que s 8AGt I 0 ù

C

Comentario

ADG I A0G I A_ø/2G

5) Sea 8 es periodica de periodo ø . determinar la constante = tal que la función ” ADG I s 8AGt _ =D Ç

sea periodica de periodo ø.

C

En efecto: Ç ù

” AD E ø G I s

C

8AGt _ =AD E øG I ” ADG

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87 Ç ù

s

C

8AGt _ =AD E øG I s 8AGt _ =D Ç

C

Esto implica que

AD G _ =ø I 0

Luego

1 1 ù 1 = I ADG I A0G I s 8 AGt I SC ø ø C ø

Expansion Expansion en serie Fourier de una onda rectangular

Sea

8 (X ) I z

_1, 1,

y 8 AX E 2JG I 8AXG para todo X

_J – X – 0 | 0–X–J

La función es impar , luego SL I 0 para @ I 0,1,2, …

2 ‡ 2 A1 _ cosA@JGG TL I s senA@X G tX I J C @J

Por lo tanto TL I 0 si @ es par, y TL I 4/@J si @ es impar, y

4 >?@3X >?@5X (>?@X E E E‘G J 3 5 Notese que los coeficientes decrecen como @aO como lo afirma el teorema de acotación. La suma de la serie es cero en los puntos donde 8 tiene una discontinuidad de salto. 8 (X ) I

Identidad de Parseval

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88 M

2J K |UL LNaM

|^

I Ñ8

Ñ^

‡

I s |8AXG|^ tX a‡

La identidad de Parseval es de gran importancia en muchas aplicaciones de análisis de Fourier. La integral se puede interpretar como la “energía ” de la función 8AXG

Analisis de Fourier discreto

Aunque los datos tratados en el análisis de Fourier son continuos en el dominio del tiempo o espacio, para propósitos computacionales estos datos deben estar usualmente representados en términos de una secuencia discreta . Por ejemplo, una función 8ADG del tiempo , que se registra a intervalos de tiempo igualmente espaciados , tales datos pueden ser analizados por análisis de Fourier discreto.

Espectros de frecuencias discretas o espectros de líneas Al representar una señal periódica XADG mediante exponenciales complejas estamos descomponiendo la señal en sus componentes armónicas o de frecuencia. Si la señal XADG es periódica de periodo ø entonces sus componentes de frecuencia son BL I

2@J I @BC , @ I 0, ´1, ´2, .. ø

La grafica de de la magnitud de los coeficientes complejos en la serie de Fourier |UL | versus la frecuencia discreta B I @BC se José Humberto Serrano D Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas

89

denomina espectro de amplitud de la señal periódica X ADG. La unión de las puntas de las líneas de amplitud se denomina envolvente del espectro de amplitud, análogamente, la representación del angulo de fase L de UL versus B I @BC se denomina espectro de fase de XADG. Para señales reales ( no complejas ) 1 ù b UL I Æ s X ADG?XYZ_[@BC D]tDÈ ø C

b

1 ù I s X ADG?XYZ_[A_@GBC D]tD I UaL ø C Por lo tanto |UaL | I |UL |

y

S’UaL I _S’UL

Lo que implica que el espectro de amplitud tiene simetría par y la fase simetría impar

De la serie compleja a la serie trigonométrica aO

M

}NaM

}NO

X ADG I UC E K U} ?XYZ[yBC D] E K UL ?XYZ[yBC D] M

M

LNO

LNO

I UC E K UaL ?XYZ[A_@GBC D] E K UL ?XYZ[@BC D]

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90 M

I UC E KAUaL ?XYZ_[@BC D] E UL ?XYZ[@BC D]G LNO

I UC E ∑M LNO 2? ®UL ?XYZ[@BC D ]¯ M

I UC E KA2?®UL ¯ UV>A@BC DG LNO

_ 2 y®UL ¯>?@A@BC DGG

De acá que esta ecuación se escriba como M

SC X ADG I E KASL UV>A@BC DG E TL >?@A@BC DGG 2 LNO

Esta expresión se denomina forma trigonométrica de la serie de Fourier para la señal periódica XADG. Los coeficientes están dados por SC 1 ù I UC I s X ADGtD 2 ø C

2 ù SL I 2? ®UL ¯ I s X ADGUV>A@BC DGtD ø C

2 ù TL I _2 y®UL ¯ I s X ADG>?@A@BC DGtD ø C

En términos del modulo y la fase de UL la señal XADG se puede expresar como M

X AD G I UC E K 2?®UL ?XYZ[@BC D]¯ LNO

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