• Categories
• Matriz (Matemáticas)
• Ecuaciones
• Análisis numérico
• Matemática aplicada
• Objetos matemáticos

Citation preview

“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU” UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

Il UNIDAD

PROFESORA

:

Poemape Rojas Gloria Irene

CURSO

:

Métodos Numéricos

ESCUELA

:

CICLO INTEGRANTES:

Ingeniería Industrial

:

Vl Ballena Moncada, Jose Carlos Castillo Chavarry, Hector Cotrina Duque, Gerson Poémape Chirinos, José Ricardo Sanchez Pineda, Luisfer Urbina Chaves, Luis David

GUADALUPE – 2016

Práctica de la segunda unidad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

1. Resolver el siguiente sistema: Resolver por el Metido de Gauss, hacer programa en MATLAB 3x+ 2y =-2 x+y+ u = -3 3x -2y –u = -7 4x + 5y + 6z + 3u =11

Solución El sistema de ecuaciones nos quedaría así:

(

3 2 0 1 1 0 3 −2 0 4 5 6

)( ) ( )

0 1 −1 3

x −2 y −3 = z −7 u 11

En matriz aumentada:

(

3 2 0 1 1 0 3 −2 0 4 5 6

0 −2 1 −3 −1 −7 3 11

)

Resolviendo por el método de Gauss en MATLAB:

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

2. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo: • El primero de 25 g de oro, 34 g de3plata y 45 g de cobre.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD • El segundo de 15 g de oro, 40 g de plata y 60 g de cobre. • El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 95 g de cobre. Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 26 g de oro, 42 g de plata y 70 g de cobre. Resolver por el método de Gauss:  Primero establecemos las incógnitas: - x es el % del primer lingote que usaremos para el nuevo lingote. - y es el % del segundo lingote que usaremos para el nuevo lingote. - z es el % del tercer lingote que usaremos para el nuevo lingote.  Planteamos las ecuaciones: - Para el oro del nuevo lingote → 25 x+15 y+40 z = 26 - Para la plata del nuevo lingote → 34 x+40 y+50 z = 42 - Para el cobre del nuevo lingote → 45 x+60 y+95 z = 70 Solución El sistema nos quedaría de tres ecuaciones con tres incógnitas:

[

25 x 15 y 40 z 26 34 x 40 y 50 z 42 45 x 60 y 95 x 70

]

Resolviendo por el método de Gauss:

[

][

25 x 15 y 40 z 26 25Fx1 34 x 40 y 50 z 42 0 45 x 60 y 95 x 70 0 F1

[

(

)

15 y +F 3 40 z 26 ( −45 25 5)y −22 /5 z 166 /25 98/ 33 y 95 z −34 +F 2 25

( )

−33 40 z 26 F 2 25 x +15F y3 98/5 0 98/5 y −22/5 z 166/25 0 0 1490/49 z 589/49

] 4

116 /5

]

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD Hallamos las variables:

1490 589 z= 49 49

98 166 22 589 y= + 5 25 5 1490

(

)

25 x=26−40

589 637 ( 1490 )−15( 1490 )

Z = Respuesta La masa total del primer lingote es 104g, por lo que su 15.10% es 15.704g. La masa del segundo lingote es igual a 115g, por lo que su 42.75% es 49.163g. La masa del tercer lingote es 185g, y su 39.53% es 73.131g. Sumando 15.704g + 49.163g + 73.131g obtenemos los 138g del nuevo lingote.

5

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD MATLAB:

6

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD 3. Una empresa que fabrica jarrones recibe un encargo para un día

determinado. Al planificar la producción se dan cuenta de que si fabrican 250 jarrones al día, faltarían 150 al concluir el plazo que tienen. Si fabrican 260 jarrones diarios entonces les sobrarían 80. ¿Cuántos días tienen de plazo y cuántos jarrones les encargaron? Resolver por Gauss Jordan, hacer su programa. PRODUCEN PRODUCCION

DIAS TOTAL

FALTANTESoSOBRANTES

250 u

x

150

T

260 u

x

-80

T

-

250 x+150=T

250 x−T =−150

260 X−80=T

260 x−T =80

Usando método de Gauss Jordán

250 −1 −150 260 −1 80

250 −1 −150 0 1 /25 236

T =5900

x=23

Rpta: Tienen 23 días de plazo y les encargaron 5900 jarrones 7

1 0 23 0 1 5900

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD Codificación

8

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

4. Calcule las corrientes que fluyen en cada ramal del circuito. Resolver por Jacobi (4 interaciones) y un programa que encuentre la solución con una tolerancia de 0.001. 9

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

SOLUCIÓN: Gráfica:



1ª LAZO:

V F +V R 1 +V R 2 +V R 3 =0 10

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

−10+ (1 ) ( I 1 ) +25 ( I 1 −I 2 ) +50 ( I 1−I 3 )=0 76 I 1−25 I 2−50 I 3=10 >>> Primera ecuación



2ª LAZO:

V R 2+V R 4 +V R 6=0 25 ( I 2 −I 1 ) +30 ( I 2 ) +1 ( I 2−I 3 )=0 −25 I 1+ 56 I 2−I 3=0



>>> Segunda ecuación

3ª LAZO:

V R 3+V R 6 +V R 5=0 50 ( I 3 −I 1 ) +1 ( I 3−I 2) +55 I 3=0 −50 I 1−I 2+106 I 3=0

>>> Tercera ecuación

MÉTODO DE JACOBI:

Despejando en función a I 1 , I 2 y I 3 : I1 =

50 I 3+ 25 I 2 +10 76

;

I2 =

25 I 1+ I 3 56

;

I3 =

I 1 o =0 ; I 2 o =0 ; I 3 o =0

11

50 I 1+ I 2 ; 106

donde:

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

N

I1

I2

I3

error

0 1 2 3 4

0 0.1316 0.1316 0.1917 0.1924

0 0 0.0587 0.0598 0.0867

0 0 0.0621 0.0626 0.0909

---------0.1316 0.0854 0.0601 0.0391

-

MATLAB:

-

SOLUCIÓN CON TOLERANCIA DE 0.001:

12

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

5. En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisa que llamaremos 1,2, 3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas tipo 1 se necesitan 50 minutos para cortarlas, 40 min para coserlas y 20 minutos para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 30 minutos para cortar, 60 min para coser y 30 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 15 min para cortar, 10 min para coser y 30 min para planchar y empaquetar.¿ Cuantos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar? Resolver por Gauss Seidel (4 iteraciones) y un programa que encuentre la solución con 3 dígitos significativos. SOLUCIÓN:  # DE LOTES CAMISA1 = X  # DE LOTES CAMISA2 =Y  # DE LOTES CAMISA3 =Z

8

h∗60 min =480 min 1h

-

PROCESO CORTADO:

50 x+30 y +15 z=480

-

PROCESO COSIDO:

40 x +60 y+ 10 z =480

-

PROCESO PLANCHADO

20 x+30 y +30 x=480

Y EMPAQUETADO: 13

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

Despejando en función a x , y , z : x=

480−30 y −15 z 50

;y

¿

480−40 x−10 z 60

;

z=

480−20 x −30 y 30

donde:

x o=0 ; y o =0 ; z o=0

N 0 1 2 3 4

MATLAB:

x 0 9.6 6.24 5.2960 4.9851

y 0 1.6 2.5066 2.91376 3.084

14

z 0 8 9.3334 9.5556 9.5926

error ---------12.5984 3.7268 2.9619 0.3564

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

Observamos que divergen las ecuaciones, pero se debe a mal condicionamiento del problema, el cual afecta al computador ya que manualmente no tuvimos problemas en hallar las variables. 15

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

6. Hacer un programa para un sistema de ecuaciones lineales n variables, por el método de Gauss que incluya la técnica del pivoteo parcial. -

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

2 x −3 y+ z =7 x+ 3 y −2 z =1

−2 x=7 -

Programa en Matlab:

clc, clear n=input('¿De cuantas ecuaciones se compone el sistema?:'); %Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. M = zeros(n,n); Y = zeros(n,1); X = Y; %Lectura de la matriz de coeficientes. disp('Lectura de la matriz de coeficientes.') for i=1:n for j=1:n fprintf('Ingrese un valor para M(%d, %d): ', i, j) M(i, j)=input(''); end 16

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD end disp('Lectura del vector columna Y') for i=1:n fprintf('Ingrese un valor para Y(%d): ',i) Y(i)=input(''); end %Formamos la matriz ampliada. A=[M,Y]; %Eliminacion hacia adelante. for j=1:n-1 %Seleccionando al mayor pivote posible. indiceF=j; %Indice fila del mayor. for i=j+1:n if(abs(A(i,j)) > abs(A(indiceF,j))) indiceF=i; end end %Intercambiamos si es necesario. if (j ~= indiceF) vectorTemporal=A(j,:); A(j,:)=A(indiceF,:); A(indiceF,:)=vectorTemporal; end for i=j+1:n A(i,:)=A(i,:)+A(j,:)*(-A(i,j)/A(j,j)); end end

TECNICA DE PIVOTEO PARCIAL

%Sustitucion hacia atras. for i=n:-1:1 X(i)=A(i,n+1); for j=i+1:n X(i)=X(i)-X(j)*A(i,j); end X(i)=X(i)/A(i,i); end disp('Se ha encontrado el valor de las incognitas: ') X X es la Matriz de Solución.

17

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

LA SOLUCION ES:

x=-3.5

, y = -10.833, z=-18.5

7. Hacer un programa para un sistema de ecuaciones lineales n variables, por el método de Gauss-Jordan. -

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

2 x −3 y+ z =7 x+ 3 y −2 z =1

−2 x=7

clc, clear

Programa en Matlab: 18

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD n=input('¿De cuantas ecuaciones se compone el sistema?:'); %Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. M = zeros(n,n); Y = zeros(n,1); X = Y; %Lectura de la matriz de coeficientes. disp('Lectura de la matriz de coeficientes.') for i=1:n for j=1:n fprintf('Ingrese un valor para M(%d, %d): ', i, j) M(i, j)=input(''); end end disp('Lectura del vector columna Y') for i=1:n fprintf('Ingrese un valor para Y(%d): ',i) Y(i)=input(''); end %Formamos la matriz ampliada. A=[M,Y]; %Eliminacion hacia adelante. for j=1:n-1 for i=j+1:n A(i,:)=A(i,:)+A(j,:)*(-A(i,j)/A(j,j)); end end %Sustitucion hacia atras. for i=n:-1:1 X(i)=A(i,n+1); for j=i+1:n X(i)=X(i)-X(j)*A(i,j); end X(i)=X(i)/A(i,i); end disp('Se ha encontrado el valor de las incognitas: ') X X es la Matriz de Solución.

19

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

LA SOLUCION ES:

x=-3.5

, y = -10.833, z=-18.5

8. Hacer una rutina de programación que ingrese un sistema de ecuaciones lineales n variables, y determine si está bien o mal condicionado. -

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

2 x −3 y+ z =7 x+ 3 y −2 z =1

−2 x=7

-Programa en Matlab: %Gauss con Condicionamiento clc, clear

20

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD n=input('¿De cuantas ecuaciones se compone el sistema?:'); %Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. M = zeros(n,n); Y = zeros(n,1); X = Y; %Lectura de la matriz de coeficientes. disp('Lectura de la matriz de coeficientes.') for i=1:n for j=1:n fprintf('Ingrese un valor para M(%d, %d): ', i, j) M(i, j)=input(''); end end disp('Lectura del vector columna Y') for i=1:n fprintf('Ingrese un valor para Y(%d): ',i) Y(i)=input(''); end %Formamos la matriz ampliada. A=[M,Y]; %Escalamos la matriz de coeficientes. %Nos aseguramos de que no tenga un determinate muy pequeño. T=M; %Matriz auxiliar para no afectar la original. mayor=abs(T(1,1)); for i=1:n for j=1:n if(abs(T(i,j))>mayor) mayor=abs(T(i,j)); end end end for i=1:n T(i,:)=T(i,:)/mayor; end if(abs(det(T))d debajo de la superficie ,puede aproximarse mediante una ecuación de la forma: P=k1*exp (k2*r)+k3*r……………………… (1) Donde k1, k2, y k3 son constantes que, con k2>0, dependen de d y la consistencia del terreno, pero no del radio de la lámina. Encuentre los valores de k1, k2 y k3, si se supone que una lámina de radio de 1 pulgada requiere una presión de 10 lb/pulg2 para sumergirse un pie en el terreno lodoso; una lámina de radio 2 pulgadas, requiere una presión de 12 lb/pulg2 para sumergirse 1 pie; y una lámina de radio 3 pulgadas requiere una presión de 15 lb/pulg2 (suponiendo que el lodo tiene una profundidad mayor que 1 pie). Usar el método que crea conveniente con tol=0.001  Reconociendo las ecuaciones y las variables:

10=k1*exp (k2)+k3 …… (a) 12=k1*exp (2k2)+2k3…. (b) 15=k1*exp (3k2)+3k3.... (c)

 Resolviendo por el Método de NEWTON RAHPSON:

f 1=k 1∗exp ( k 2 ) +k 3−10=0 f 2=k 1∗exp ( 2 k 2 ) +2 k 3−12=0 f 3=k 1∗exp ( 3 k 2 ) +3 k 3−15=0 Valores Iniciales (k10, k20, k30) K1=500, k2=1, k3=1 Veamos la programación en MATLAB 30

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

Haciendo cambio de variable:

K1=x; k2=y; k3=z Las ecuaciones nos quedarían de la siguiente manera: y

f 1=x e + z−10=0 f 2=x e 2 y + 2 z−12=0 f 3=x e 3 y +3 y−15=0

31

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD Resultados: Los valores de las constantes: K1=8.7713, K2=0.2597, K3=-1.3723 Comprobando: En (a):

k1*exp (k2)+k3 = 8.7713 (e0.2597) – 1.3723 = 10 comprobado

En (b):

k1*exp (2k2)+2k3 = 8.7713 (e2*0.2597) – 2*1.3723 = 12 Comprobado

k1*exp (3k2)+3k3 = 8.7713 (e3*0.2597) – 3*1.3723 = 15 Comprobado

La ecuación de la Presión quedaría de la siguiente manera:

P=8.7713 e

( 0.2597 r )

−1.3723 r

32

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD 11. Explique con ejemplos, dada una matriz de tercer orden, como determinar si es positiva definida o negativa definida.  Dada la siguiente matriz de 3x3:

A=

[

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

]

 Matriz Positiva Definida Si: det

( a11 )

det

(

det

(A)

a 11 a12 a 21 a22

>0

)

>0

>0

 Matriz Negativa Definida Si: det

( a11 )

det

(

det

(A)

a 11 a12 a 21 a22

0

Por lo tanto, X es Definida Positiva

34

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

II)

[

Y=

11 3 8 0 1 −2 0 0 3

]

Solución

Y 1=( 11 )

; det (

(

)

Y 2= 11 3 0 1 Y 3=Y

; det (

Y 1 ) = 11

; det (

Y 2 ) = 11(1) – 0(3)= 11

Y 3 ) = 11(1(3) – 0(-2)) – 3(0(3) – 0(-2)) + 8(0(0) – 0(1)) = 33

Si: det (

Y1 ) < 0

det (

Y2 ) < 0

det (

Y3 ) < 0

Por lo tanto, Y es Definida Negativa

35

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

12. Haga una iteración del método de Newton Raphson para hallar el punto extremo de: f(x)= 8x-x 2 -12y-2y2+2xy-2z2 -2xz+yz+28z Usar x0=1 y y0=1 z0=1 como valores iniciales ¿el punto extremo será un máximo o un mínimo? Dada la siguiente función: f(x)= 8x-x 2 -12y-2y2+2xy-2z2 -2xz+yz+28z

[ ][

∂f ∂x 8 −2 x 2 y −2 z 1 ∇ F= ∂ f = −12 −4 y 12 x z ; X 0= 1 ∂y −4 z −2 x y 28 1 ∂f ∂z

] []

[ ]

6 ∇ F (1,1,1 ) = −13 23

36

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

[

−2 2 −2 H= 2 −4 1 −2 1 −4

]

[

−1 −2 2 −2 1 0 0 1 −1 1 −1 H−1= 2 −4 1 0 1 0 F 1 → 2 −4 1 2 2 0 −2 1 −4 0 0 1 −2 1 −4 0

[

[

−1 1 −1 1 2 2 −4 1 0 0 −3 −3 0

[

−1 1 −1 1 2 0 −3 −3 0 0 −2 −1 1

[ [

−1 2

1 −1 1 0 1 1 0 0 0 1 1

]

( )

] [

−1 1 −1 1 F 3 ↔ F 2 0 −3 −3 2 1 0 0 2 −4 1 1 1 0 0 0

[

−1 0 0 −1 1 −1 1 2 F2 0 1 1 3 0 1 1 0 −2 −1 1 0 1

]

0 −1 3 1 3

0

( )

] [

−1 2

1 0 2 −1 F 2 (1 )+ F 1 0 1 1 0 3 0 0 1 −2 1 3

1 0 0 −5/2 −1 1 0 1 0 −1 −2/ 3 1/3 0 0 1 1 1/3 −2/3

] 37

]

0 0 1 1 1 0

0 −1 3 1

−1 3 −1 3 1 3

0 0 1 0 0 1

]

F 1 (−2 ) + F 3

0

]

−1 F 2 (2 )+ F 3 3 0

−1 3 −1 3 −2 3

]

F 3 (−2 )+ F 1 F 3 (−1 ) + F 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

[

−5/2 −1 1 −1 H = −1 −2/3 1 /3 1 1/3 −2/3

[][

] ][ ] [ ]

1 −5 /2 −1 1 6 X 1= 1 − −1 −2 /3 1/ 3 −13 1 1 1/3 −2/3 23

∂ f (x , y , z) =¿ ∂ x2

-2 < 0

∂ f ( x , y , z) =¿ ∂ y2

4 < 0

∂ f ( x , y , z) =¿ ∂ z2

-4 < 0

=

−20 −28 /3 44 /3

Por lo tanto, H es Negativa Definida y promete convergencia a un Máximo Local.

13. Resolver usando el método que estime conveniente: Sea el siguiente conjunto de reacciones:

2 A+ B ↔ C

A + D ↔C 38

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD Calcule las concentraciones de equilibrio de cada una de las especies si inicialmente se introduce una concentración de:

CA , 0=40 CB , 0=15

CC , 0=0 CD , 0=10 Datos:

K 1=

CC 2

C A ∗C B

=5∗10−4

;

K 2=

CC =4∗10−2 C A∗C B

SOLUCIÓN

2 A+ B ↔ C -2x

A + D ↔C -x -y

Entonces:

Ao−2 x− y=C A Bo−x=C B Do− y=C D Co+ x+ y=CC

Reemplazando valores iniciales en Ao, Bo, Co, Do:

40−2 x − y=C A 15−x=C B 10− y =C D 39

-y

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

x+ y=C C

Reemplazando en

K 1=

K1 y K2 :

( x+ y ) ( 40−2 x− y )2(15−x)

5∗10−4=

;

( x+ y) ( 40−2 x− y )2 (15−x )

Igualando a 0 para encontrar

K 2=

( x+ y) (40−2 x− y )(15−x )

;

4∗10−2 =

(x+ y) (40−2 x − y)(15−x)

F1 ( x , y ) ; F 2 ( x , y ) :

F1 ( x , y )=

(x+ y) −5∗10−4 2 ( 40−2 x− y ) (15−x )

F2 ( x , y )=

(x + y) −4∗10−2 (40−2 x− y )(15−x)

*) HALLANDO VALORES INICIALES en una sola ecuación:

F1 ( x , y )=

(x+ y) −5∗10−4 2 ( 40−2 x− y ) (15−x )

Tabulación para hallar el cambio de signo: 40 CAMBIO DE SIGNO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD x

y

F1 ( x , y )

0

0

-0.005

4

5

0.000 62

Valores iniciales [4,5]

-

Hallando derivadas: 3

2

2

2

3

2

d y + 8 x y +16 x y +2800 y−125 y −440 xy + 8 x −220 x +24000 F 1 ( x , y )= dx (−x+15 )2(−2 x− y +40)4

d −x +40 F ( x , y )= 2 dy 2 (−x +15)(−2 x− y + 40)

Aplicando Método Newton Rapson: x 1=x 0−

y 1= y 0−

F 1( 4,5 ) d F ( 4,5 ) dx 1

=4−

0.0006 =2.461 0.00039

=5−

−0.0097 =7.1652 0.00448

F2 ( 4,5) d F ( 4,5 ) dy 2

41

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

14. Resolver el siguiente sistema

f 1=

-

2

( x− y ) x =2.6 ( 2−x− y )

f 2=

(2 y ) =3.1 (2−x− y )(x− y )

Graficar y hallar los valores iniciales, positivos y adecuados.

42

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

Los puntos iniciales positivos y adecuados son:

x 0=0.8 y 0=0.45

Resolver con tol 0.01:

a) Método de punto fijo multivariable con desplazamientos sucesivos. x 0=0.8

y 0=0.45

2 ( x− y ) x (2 y) f 1= =2.6 f 2= =3.1 ( 2−x− y ) ( 2−x− y )(x− y )

-

Despejando X en f1 y Y en f2 :

(1,6 x 2+ 3,6 xy +5,2−2,6 y) x= 7,8

43

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD 2

y=

2

(−0,9 y −3,1 x +6,2 x) 6,2

-

Aplicando desplazamientos sucesivos

n 0 1 2

x 0,8000 0,8141 0,8218

y 0,4500 0,4533 0,4543

44

error -0,0145 0,0078

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD b) Método de Newton Raphson

f 1=

2 ( x− y ) x (2 y) =2.6 f 2= =3.1 ( 2−x− y ) ( 2−x− y )(x− y )

∂f 1 ∂x ∂f 2 ∂x

-

∂f1 ∂y ∂f2 ∂y

−f 1( x , y ) −f 2( x , y )

δ1 δ2

1era Iteración

δ1 δ2

−3.2 x−3.6 y +7.8 2.6−3.6 x 6.2 x−6.2 1.8 y +6.2

( x− y ) x −2.6 ( 2−x− y ) ( 1−x ) ¿( x , y ) ¿ 2 y ¿2−3.1 ( 2−x− y )( x− y ) ¿(x , y ) ¿ ¿ −¿ 0

0

181 50 −31 25

0

0

−7 25 701 100

Por eliminación gaussiana

δ1 δ2

δ1

y

δ2 : 45

1 11 3 800

0

0

0

0

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

δ 1=0.0308 y δ 2=0.006

x 1=0.8+0.0304=0.8304 y 1=0.45+0.006=0.456

0.456−0.45 ¿2 ¿ 0.8308−0.8 ¿2+ ¿ ¿ error=√ ¿

-

Ahora:

2da Iteración

x 0=0.8304 , y 0=0.456

δ1 δ2

−3.2 x−3.6 y +7.8 2.6−3.6 x 6.2 x−6.2 1.8 y +6.2

( x− y ) x −2.6 ( 2−x− y ) ( 1−x ) ¿( x , y ) ¿ 2 y ¿2−3.1 ( 2−x− y )( x− y ) ¿(x , y ) ¿ ¿ −¿ 0

0

0

0

46

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

88 25 3286 3125

−1217 3125 701 100

Por eliminación gaussiana

δ1

1 80 31 1000

δ1 δ2

y

δ2 :

δ 1=0.0010 y δ 2=0.0004

x 1=0.8304+0.0035=0.8314 y 1=0.456+0.0004=0.4564

2

0.4564−0.456 ¿ ¿ 0.8314−0.8304 ¿2 +¿ ¿ error= √ ¿ c)

47

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD d) Método de Newton Raphson modificado. 2 ( x− y ) x (2 y) f 1= =2.6 f 2= =3.1 ( 2−x− y ) ( 2−x− y )(x− y )

∂f 1 =−3.2 x−3.6 y +7.8 ∂x

-

∂f 2 =1.8 y −6.2 ∂y

1era Iteración

x 1=x 0−

f 1( 0.8;0.45) (−0.11) =0.8− =0.8304 ∂f1 3.62 ( 0.8; 0.45 ) ∂x

y 1= y 0−

f 2 ( 0.830;0.45 ) −0.0043 =0.45− =0.456 ∂f 2 −5.39 ( 0.830 ; 0.45 ) ∂y 2

0.456−0.456 ¿ ¿ 2 0.8304−0.8 ¿ +¿ ¿ error= √ ¿

-

2da Iteración

x 1=x 0−

f 1 (0.8304 ;0.456) ∂f1 ( 0.8304 ; 0.456 ) ∂x

=0.8304−

48

−0.00377 =0.8314 3.5011

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

y 1= y 0−

f 2 (0.8314; 0.456) ∂f 2 ( 0.8314 ; 0.456 ) ∂y

ll UNIDAD

=0.456−

0.00246 =0.4564 −5.3792

2

0.4564−0.456 ¿ ¿ 2 0.8314−0.8304 ¿ +¿ ¿ error= √ ¿

15. Se desea encontrar el volumen más grande posible de un tanque de agua de forma de un cilindro circular recto, el cual se encuentra alojado dentro de una cámara en forma conoidal si se sabe que el radio de la cámara es de 3 metros y tiene una altura de 8metros ¿Cuál será la cantidad de agua que podrá alojar el tanque? clc, clear v = '(8/3)*pi*(3*r^2-r^3)'; syms r; dv=diff(v,r); ddv=diff(dv,r); h='(8/3)*(3-r)'; v=inline(v) dv=inline(dv) ddv=inline(ddv) h=inline(h) r0=2; error=10;tol=0.001;c=0; disp('N°iter raiz error abs') while(error>tol) r1=r0-dv(r0)/ddv(r0); error=abs(r1-r0); r0=r1; c=c+1; fprintf('%3d %10.7f %10.7f \n',c,r1,error) end vmax=pi*r1^2*h(r1)

49

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA ACADEMICO-PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ll UNIDAD

50