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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGÍA

LABORATORIO DE METODOS NUMERICOS

PRÁCTICA # 04 BUSQUEDA DE RAICES CON EL MÉTODO DE BISECCIÓN PROFESORES TITULARES: Ortiz Juárez Juan Claudio Zamora Justo José Alberto GRUPO: 4FV3

INTEGRANTES  López Maceda Iván Ramses  Tapia Báez Moisés

Fecha de Entrega: 14/Febrero/ 2019

PRÁCTICA No. 4 BUSQUEDA DE RAICES CON EL MÉTODO DE BISECCIÓN

OBJETIVOS: Identificar y desarrollar los pasos del algoritmo de bisección para la solución de ecuaciones no lineales de una variable Calcular el error en el algoritmo de bisección para la solución de ecuaciones no lineales de una variable Introducción Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear. El algoritmo empleado se esquematiza en la figura (3). Inicialmente, es necesario suministrar al programa el número máximo de iteraciones MaxIter, la tolerancia , que representa las cifras significativas con las que queremos obtener la solución y dos valores de la variable independiente, x0 y x1, tales que cumplan la relación f(x0)f(x1) < 0. Una vez que se comprueba que el intervalo de partida es adecuado, lo dividimos en dos subintervalos tales que y y determinamos en qué subintervalo se encuentra la raíz (comprobando de nuevo el producto de las funciones). Repetimos el proceso hasta alcanzar la convergencia (hasta que ) o bien hasta que se excede el número de iteraciones permitidas (Iter > MaxIter), en cuyo caso es necesario imprimir un mensaje de error indicando que el método no converge. Dos operaciones representadas en el esquema de la figura (3) requieren una explicación adicional:

El punto medio del intervalo se calcula como

en

lugar de emplear . Se sigue de este modo una estrategia general al efectuar cálculos numéricos que indica que es mejor calcular una cantidad añadiendo un pequeño término de corrección a una aproximación obtenida previamente. Por ejemplo, en un computador de precisión limitada, existen valores de x0 y x1 para

los cuales xm calculado mediante intervalo [x0,x1]. La convergencia (

se sale del

) se calcula mediante la

expresión . De este modo, el término representa el número de cifras significativas con las que obtenemos el resultado.

,

Paso 2. Escójase los valores iníciales a y b que corresponden a un intervalo de amplitud 0.5 y que sabemos que contiene una raíz por ejemplo (-2.2, -1.7) Paso 3. Se verifica que existe raíz porque 1.8709*1.853=-3.4667 Em , por lo que se repite el proceso a partir del paso 4 Paso 4’. La siguiente aproximación se determina como: c=(-2.2+(1.95))/2=-2.075 que define los subintervalos (-2.2, -2.075) y (2.075, -1.95) ¿En cuál sub-intervalo queda la raíz? Paso 5’ Evaluando f(-2.2)*f(-2.075)=-1.8709*-0.6021=1.1264, cómo es positivo, la raíz se encuentra en el intervalo (-2.075, -1.95) entonces ahora a=-2.075. el nuevo intervalo (a, b) es (-2.075, 1.95) Paso 6’ El error máximo aproximado se calcula como: Ea=(-1.95-(2.2))/2=0.125, el error máximo aún no se cumple porque Ea > Em , por lo que se vuelve a repetir el proceso a partir del paso 4 Para saber cuántas iteraciones se debe realizar para cumplir con el error máximo especificado.

# ite 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a -2.2 -2.2 -2.075 -2.0125 -2.0125 -2.0125 -2.0125 -2.00859 -2.00664 -2.00566

B -1.7 -1.95 -1.95 -1.95 -1.98125 -1.99688 -2.00469 -2.00469 -2.00469 -2.00469

c -1.95 -2.075 -2.0125 -1.98125 -1.99688 -2.00469 -2.00859 -2.00664 -2.00566 -2.00518

fa*fc -0.8007 1.1264 0.0352 -0.0112 -3.99x10-3 -3.15x10-4 1.54x10-3 2.77x10-4 2.66x10-5 3.63x10-6

Ea 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.01563 0.00781 0.00391 0.00195 0.00098 0.00049

La raíz es= -2.0057 en 9 iteraciones

Contesta con tus propias palabras las siguientes preguntas: Explique brevemente como identifica el método de bisección si en un intervalo hay una raíz En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(x)=0.

Explica brevemente en qué consiste el método de bisección Este método consiste en obtener una mejor aproximación de la raíz a partir de un intervalo inicial (a,b) en el cual hay un cambio de signo en la función, es decir: f(a)f(b)

Para la

log(𝑑/𝐸) log(2)

función f(x)= sen x2-x

Escribe los comandos de MATLAB y muestra el esbozo de la gráfica en el intervalo [-2, 2] Comandos de MATLAB clc clear x=-2:0.01:2 y=sin((x).^2)-x z=zeros(size(x)) plot (x,y) grid on hold on plot(x,z,'r')

Forma de la gráfica

Determina cuantas raíces reales tiene la función en el intervalo [-2, 2] Solo pasa una raíz cercan en 0

Determina un intervalo (valores iniciales) de amplitud 0.01 que contenga a la primera raíz no trivial (la más cercana a cero). -0.025 y 0.05

Aplicando el método de bisección, determina el valor de la primera raíz no trivial con una precisión de 0.01 (Llena la tabla de iteraciones sucesivas) # ite 0

a -0.025

B 0.05

c 0.0125

fa*fc

Ea 0.0375

-0.00031631 1

-0.025

0.0125

-0.00625

0.00016116

0.01875

2

-0.00625

0.0125

0.00313

-1.9592

0.00938

3

-0.00625

0.00313

-0.00156

9.842

.00469

4

-0.00156

0.00313

0.00078

-1.2217

0.00234

5

-0.00156

0.00078

-0.00039

6.1154

0.00117

6

-0.00039

0.00078

0.0002

-7.6309

0.00059

7

-0.00039

0.0002

-0.0001

3.8166

0.00029

8

-0.0001

0.0002

0.00005

-4.7686

0.00015

9

-0.0001

0.0002

0.00005

-4.7686

0.00015

10

-0.0001

0.0002

0.00005

-4.7686

0.00015

11

-0.0001

0.0002

0.00005

-4.7686

0.00015

Reporta el número de iteraciones realizado para cumplir con la tolerancia, la aproximación de la raíz y el error obtenido 𝑏−𝑎 ( ℰ )

0.05 + 0.025 ( ) 0.01 𝑁+1 > = = 10.82 = 11 ln(2) ln(2) Cuántas iteraciones se requieren para cumplir con una tolerancia de 0.00001 para un intervalo de amplitud 0.1 (aplicar fórmula para determinar el número de iteraciones) 𝑏−𝑎 0.05 + 0.025 ( ) ( ) ℰ 0.1 𝑁+1> = = 1.08 ln(2) ln(2) Realiza el diagrama de flujo del programa del algoritmo de bisección.

Codifica el programa que corresponde al algoritmo de bisección

Ejecuta el programa de bisección, para la 9x4 + 45x3 - 88x2 +82.3x -26

función f(x)= 0.065x5 -

0.065*x.^5 - 9*x.^4 + 45*x.^3 - 88*x.^2 +82.3*x -26

Determina un intervalo (valores iniciales) de amplitud 0.001 que contenga a la raíz más grande.

Determina el valor de la raíz más grande con una precisión de 0.00001, por el método de bisección. 0.2288 Reporta el número de iteraciones realizado para cumplir, la tolerancia, la aproximación de la raíz y el error obtenido 18.033

Cuántas iteraciones se requieren para cumplir con una tolerancia de 0.00001 para un intervalo de amplitud 0.01 (desarrollar y aplicar fórmula para determinar el número de iteraciones) 𝑏−𝑎 ( ℰ )

0.75 + 0.5 ( 0.01 ) 𝑁+1> = = 180.33 ln(2) ln(2)

Conclusión

Podemos concluir que cada vez que se aplique el método de bisección, el intervalo se reduce progresivamente,el método de bisección fue realmente útil para resolver el problema en cuestión esto indica que los métodos numéricos y otras técnicas son realmente útiles para resolver casos con un esfuerzo mínimo. Cuando se plantean problemas se sabe el número de multiplicidad, si este número es impar no es difícil de resolver y podría resolverse con diferentes métodos, mientras que si el número de multiplicidad es par es necesario el uso de métodos más complejos y su análisis es más difícil. Se debe manejar correctamente las definiciones de límite, continuidad y diferenciabilidad de funciones. Conocer las técnicas de redondeo,debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]