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• Jaime Ignacio Palma Figueroa

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CIENCIA Y SOCIEDAD VolumenXIX, Número3, Julio-Septiembre, 1994 VolumenXIX, Número4, Octubre-Diciembre. 1994

METODO SIMPLIFICADOPARA EL CALCULO DE DEFORMACIONESEN LOSASARMADAS EN DOSDIRECCIONES Ing. FernandoA. Perdomo*

Resumen: Seproponeun métodoaltemativoparacalculardeformaciones en losasarmadas endosdirecciones. El métodocumpleconlascondicionesdeservicibilidad y rcsistencia queexigecl Reglamento ACI 318-89. Sepresentan lasecuacioncs parael cálculodelos factores dedistribución clecargay se considerala secciónagrietada, ilustrandoen un ejemplo.Un listadodelprogramapara Lotus123completa el trabajo.

PalabrasClaves: Losasamradas. defomraciones, teoíadeMarkus.factores dedistribuciónde carga.esfuerzo rotura. de

* ProlesorArea IngenieríaCivil, INTEC.

20r

ACI 318-89,Pán"¿fo 9.5,lasdeformacionesde Segrinel Reglamento sometidosa flexión debenestardentrode los elementosestructurales bajocargas ciertoslfmitesparaasegurarsuservicibilidady resistencia permitidos para las deformaciones de servicio.Los valoresmáximos calculadasestándadosen la tabla9.5(b)del Reglamento. presenta lasecuaciones conociEn el pánafo9.5.3.1el Reglamento mfnimosdelosasarmadas daspor todosparael cálculodelosespesores por quenospermitencontrolarlas deformaciones en dosdirecciones, mediodel controlde la rigidezdel elementoestructural.Sin embargo, menores nospermiteusarespesores enel pánafo9.5.3.4el Reglamento quelos obtenidospor mediode dichasfórmulas,siemprey cuandose condiciones: cumplanlas siguientes losvaloresde nodebensobrepasar calculadas a)Lasdeformaciones la tabla9.5(b) tomandoen cuentael debensercalculadas b) Las deformaciones de apoyoy la naturaleza tÍrmañoy la formadela losa,lascondiciones enlos bordes. de los empotramientos en delhormigónEc seráel especificado c) El módulodeelasticidad la Sec.8.5.1(Ec=15000!T-c). enlaEc.(9-7). deinerciaefectivoseráelespecificado d) El momento de acuerdocon calcularse a largoplazodeberán e) Lasdeflexiones la sección 9.5.2.5. un procedimientoaproximadoque En este trabajo presentamos cumplecondichascondiciones. por Markuspara sebasaen la teoríadesanollada El procedimiento conla que enlosasarmadas endosdirecciones, el cálculodemomentos loscoeficientes delastablasparadiseñodelosasdel fueroncalculados libro de B. Lóser.Presuponeque las losasse apoyansobreapoyos queesel casonormaldelosasapoyadas sobremurosde indeformables, bloques. 202

,1Ñ

l,4l \

tAt\ tAl

-1'.. . \ .-. \ I \i\

v\fr

I

v)t I 0t/

,.t

uv qy

lq, X

La teorfadeMarkusparael cálculodemomentos enlosassebasaen el análisisdedosfranjasdelosa,unaencadadirección, lascualestienen la mismaflechaen su puntode intersección. Igualando las flechasde ambasfranjassedetermina la cargaquedebetenercadafranja. l. Cálculode losfactoresde distribucióndecarga: Igualandolasflechasen ambasfraniastendremos:

6.=6, W^ . q^ . l^4

W, . gr. lro

3 9 4. E . I

3 8 4 .E . I

H a c i e n d oe = l r l l ^ y W = W ' A V , : W.€a 'Q=kr'Q

Q^=

l +W.ea 9r=(l-k.)'q

= kr.Q

203

Dondeq es la cargasobrela losaparala cual se deseacalcularla flecha,y q, y qv sonlas cargasque'actúansobrelas franjassegúnx y segúny, respectivamente. serán Al no considerarlarigidezala torsióndela losa,losresultados del ladode la seguridad. conservadores, parael cálculode las En la figurasiguientesedanlos coeficientes (.1.") y los momentos de (W, los trarnos los momentos en flechas "), perfecto(ms*." paralos tres ca5osde apoyode cada empotramidírto ) franja(x,y). 1 24 l2

2.08 14.22 I

5 8

w xy

mfry MS

Ref.2, pag.8.7): 2. SecciónAgrietada(Seg¡rn b. h3

B_

l = I

n . As

t2

B b'ko' Icr =

rmf{

nlr-l lo l l o , l' - - - L v-'

2 . d .8+1-1 ko=

*-----1 b

3

3. MomentodeInerciaefectivo: Mc r , I"= (-).I_+[-( M

M ) 3 1 .q 1< IE "

Donde:M- =

fr . I 8

"

f.= 2 '^F2U

( E c . 9 . 7A C I )

A

(Ec.9-8 ACD. Momento deagrietamiento

t

Esfuerzo deroturapornaccióndelhormigón.

M" = Máximomomento enla zonadondesecalculala deformación y, = distanciadesdeel centrodegravedadde la secciónal extremo traccionado. Enel casodevigasconextremos continuos, el reglamento ACI 319_ 89 recomienda el usodel valorpromediode los momentos de inercia efectivosen el tramoy en los extremos continuos. Vigasconun extremocontfnuo: I" prom.= 0.50I"m+ 0.50I"1 Vigasconambosextremos contínuos: I"prom.= 0.50I.m+ 0.25(I.l + I"2) DondeI"m serefierealazonademomentopositivo,y I"l, I"2 a las zonassobrelos apoyos. En el casode las losas,tendremos dos franjas,cadauna con su momentode inerciaefectivopromedio. como el cálculodela distribución de las cargasse basóen que ambasfranjastendrlanel mismo momentode inercia,sedebecalcularun momentode inerciaefectivo común a ambasfranjas,que llamaremosI"p: Momentode Inercia EfectivoPonderado. En el casode unalosaconunarelacióndeluceslmax/lminmucho mayorquedos(2),laluz cortaresistirá el IOOVo dela carga,porlo que la rigidezde la losadeberáserla rigidezdela luz corta.En general,la rigidezde la losadeberáserproporcional a los factores dedistribución decargas, o seamultiplicando losvaloresIe prom.decadafranjaporlos respectivos factores de distribución decarga\ y k". IB = k, . I", prom.* k, . I", prom.+ k, . I., prom

205

ConestevalorI-, y conlosfactoresdedistribucióndecargas\ y k , podremoscalcularlas flechasen ambasfranjas,las cualesdeberánser de la losa. iguales,y seránla flechaaproximada

6los. = 6r = 4.

Wr.kr.q.lro

- 6r=

3 8 4. E . I ?

Wr.kr.q.ly4

384.8 . I.e

Ejemplodecálculo: ¿c_ -

x Y s i

T l l l l

l l

h l

*-

ffi Verificar si el espesorde la losa apoyadasobremurosde bloques de flechasdel ACI: cumpleconlos requisitos Solicitaciones: Cargaviva: Cargamuertaadicional:

L=200 kg/mt Dl= 120kglm'

ll cm Espesorlosa: Materiales: f'c = Zl}kglcm2 Ec = 217371kglcm2 fr = 29 kglcm2 fy = 2800kg/cm2 Es = 2E+O6kglcm2 n = 9.66 Sección: hllcm d=9cm d'=2cm Ig= llWZ cma/m yt= 5.5cm As= 2.20 cmz/m = Asmin= 2.20cm2lm 206

Solicitaciones: m=z&küm,

Dl= 120kgtmz tFZWkg/m,

Sistema: lx= 4.00m

ly= 5.00m e= l.2S

- articulada Franjasegúnx: empotrada Franjasegúny: simplementeapoyada Distribucióndecargas: mfx= 14.22 mfy= 8

msx=-8 msy= 0

Wx= 2.08 Kx= 0.8544 Wy= 5 Ky= 0.1456

SecciónAgrietada: B= 4.705 Icp 1297cma/m

kd= Mcp

1.755cm 584kg.m/m

Momentode inerciaEfecüvo: N= 264küm2 Dl= 120kg/m, L= Zffi kgmt Tramo: Max= 5ól kg.m/m lex= 11092cmalm May= 266kg.mlm ley- ll}92cmalm Enrp.:

Max= -998kg.m/m lex= 3265cmalm May= 0 kg.m/n ley= - cma/m

honedios: Iex=7178cma/m ley= 11092cma/m Pronredioponderado:Iep= 7748cma/m

207

Flechamáximainmediatapor cargaviva: DG= 0 kdmt Dl= 0 kg/m, L= 2ú kglmt fx= 0.1407cm fy= 0.1407cm

I 360= l'l I I cm -=:::: l===1t=lti===t1n Flechafinal máximapor cargatotal: Factorparadeformaciónretardada:2.W (Ec.9-10,t>5años) Dl= l2Ok9m' L=2}0kdm' N=z6/kglm' fx= 0.6810cm fy= 0.ó810cm

= 0'833 cm:i:= I 480 l===i=u=19===tln 5.

Conclusiones:

Con ayudade un sencilloprograma(ver listado anexodel programaparaLotus123)sepuedetenera disposiciónunaherramienta endosdireccioenlosasarmadas prácticaparacalculardeformaciones podrfanjustificar que se conla la seccionagrietada, nes,considerando delosasmenoresquelos requeridospor las en algunoscasosespesores (9-10)y (9-l l) del reglamento. ecuaciones 6.

Bibliografía:

for 1. AmericanConcreteInstitute:Building Code Requirements (ACI 3 I 8-89)Eevised1992)andCommentary, ReinforcedConcrete 1994. Noteson ACI 318-89BuildingCode 2. PortlandCementAssociation: for ReinforcedConcrete,Fifth edition,1990. Requirements 3. HormigónArmado B. Lóser.8vaEdicion.l97l.El Ateneo. 208

LISTADO DEL PROGRAMA PARA LOTUS 123 A I: . LOSASARMADASEN DOSDIRECCIONES Gl:'(Alpham>2) A2: ' CALCULODE DEFORMACIONES CONSIDERANDO LA SECCIONAGRIETADA 83: '(Reglamenro ACI3lg-99,$ 9 . 5 . 2 . 3I ) A5:'PROYECTO: C5: 'Ejemplo A7: 'Materiales: 88: "f'c= C 8 :2 1 0 D8: 'kg/cn¡z E8:"Ec= Ftt: 15000*@SQRT(C8) Gll: 'kg/cm2 89: "li= C9:2*@SQRT(C8) D9: 'kg/cm2 B l0: "fy= Cl0: 2800 Dl0: 'kg/cm2 El0:"Es= FlO:21000ü) Gl0: 'kg/cm'? Hl0:"n= Il0:+Fl0/F8 Al2:'Seccion: Bl3:"h= C l 3 :l I Dl3:'cm El3:"d= F l 3 :+ C l 3 - I l 3 G l 3 :' c m H l 3 :" d ' = ll3:2 209

J 1 3: ' c m B14:"Ig= C14:100*C13^3112 Dl4:'cma/m El4:."y1= Fl4: +Cl3l2 G14:'cm B15:"As= C 1 5 :+ F l 5 D15:'cmz/m 815:"Asmin Fl5: +C13* 100*@MAX(@IF(CI 0