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• Jean Kristofer Salazar Arizanca

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UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FÍSICAS Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

CURSO: METODOS COMPUTACIONALES GRUPO: 3 TRABAJO PRESENTADO POR: PACHECO REVILLA ALEXANDER ANDREI PROFESOR A CARGO MONTESINOS MURILLO, ANGEL FELIPE FECHA DE PRESENTACIÓN: 22 DE NOVIEMBRE DEL 2017 TRABAJO A PRESENTAR: TRABAJO FINAL – METODO DE EULER MODIFICADO AREQUIPA – PERU 2017

MÉTODO DE [MEJORAS DEL METODO DE EULER] ............................................................. 3 1.

Introducción .................................................................................................................................. 3

2. a) b)

Conceptos...................................................................................................................................... 3 Concepto1 ........................................................................................ Error! Bookmark not defined. Concepto2 ........................................................................................ Error! Bookmark not defined.

3.

Formulas ....................................................................................................................................... 5

4.

Error de aproximación ................................................................................................................... 6

5. a) b)

Algoritmo ...................................................................................................................................... 6 Diagrama de flujo ............................................................................................................................ 6 Pseudocódigo .................................................................................................................................. 8

6.

Código ........................................................................................................................................... 8 a) Diseño de la clase ............................................................................................................................ 8 b) Diseño de la interfaz ........................................................................................................................ 9

7.

Ejemplos de aplicación .................................................................................................................. 9 a) Ejemplo N° 1 .................................................................................................................................... 9 b) Ejemplo N° 2 .................................................................................................................................. 10 c) Ejemplo N° 3 .................................................................................................................................. 10 d) Ejemplo N° 4 .................................................................................................................................. 10

8.

CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 10

9.

RESUMEN .................................................................................................................................... 10

10.

bibliografía .............................................................................................................................. 11

MEJORAS DEL MÉTODO DE EULER

1.

INTRODUCCIÓN Tanto la matemática como la computación requieren diferentes métodos de integración numérica que ayudan en la resolución de ecuaciones diferenciales. En esta ocasión explicare el método mejorado de Euler (llamado así en honor de Leonhard Euler), el cual es empleado para resolver dichas ecuaciones a partir de un valor inicial dado. Podemos decir que, las ecuaciones diferenciales nos ayudan a modelar o simular alguna situación de la vida real donde exista alguna razón de cambio de una o varias funciones que son desconocidas con respecto a las variables independientes. El método de Euler es aplicado en base de dos valores inicial y final y a su vez trabaja con numero de segmentos de aproximación, teniendo estos valores iniciales se formula la ecuación de Euler y una vez obtenido los resultados se procesó se vuelve a realizar iterativamente hasta encontrar el valor de

𝑥.

Teniendo en cuenta el párrafo anterior podemos decir que el motivo fundamental de error en el método de Euler es suponer que la derivada al inicio del intervalo es la misma durante todo el intervalo. Para un desarrollo más amplio y adecuado se planteó dos métodos simples los cuales permitirán aplicar el método Euler pero de una manera más completa y a su vez con el desarrollo correcto del error presentado anterior mente. Los métodos implicados en la mejora del método de Euler son:

2.

CONCEPTOS a)

METODO DE HEUN

Este método es empleado para mejorar la estimación de la pendiente empleando la determinación de dos derivadas en un solo intervalo, es decir, aplicarlas tanto en el punto inicial como final. Ambas derivadas pasan a ser promediadas con la finalidad de obtener una mejor estimación de la pendiente en todo el intervalo. La representamos con la siguiente gráfica:

Figura N°1: Representacion grafica del metodo de Heun a) Predictor b) Corrector

b)

METODO DEL PUNTO MEDIO O POLIGONO MEJORADO Esta técnica usa el método de Euler para predecir un valor de y en el punto

medio del intervalo, también se aplica para calcular una pendiente en dicho punto, que vendría siendo una aproximación valida de la pendiente promedio en todo el intervalo. …………………………… (Ecuación N°1)

Dicha pendiente es utilizada después para extrapolar linealmente desde xi hasta xi+1. 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 (𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1 ) ℎ …………. (Ecuación N°2) 2

2

Figura N° 2: representación grafica del punto medio a) ecuacion 1 b)ecuacion 2

3.

FORMULAS Formulas del método de Euler Mejorado

𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛 ) + 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1 ) 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ. [ ] 2

𝑗

|𝜀𝑡 | = |

𝑗−1

𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖+1 𝑗 𝑦𝑖+1

| 100%

𝑥𝑖+1

∫

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 (𝑥

Formula N° 2

1) 2

Formula N°3

1 𝑦 1) ℎ 𝑖+ , 𝑖+ 2 2

Formula N°4

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≡ ℎ𝑓 (𝑥

𝑥𝑖

Fórmula N° 1

𝑖+

4.

ERROR DE APROXIMACIÓN Explicación y fórmula del error de aproximación.

5.

ALGORITMO Explicación del proceso iterativo que halla el resultado del método.

a)

DIAGRAMA DE FLUJO

Figura N° 3: Diagrama N/S del metodo de Euler Mejorado

Figura N° 3: Diagrama de Flujo del Metodo de Euler Mejorado

b)

PSEUDOCÓDIGO

Figura N° 4: pseudocodigo del metodo de Euler Mejorado en PSEINT

6.

CÓDIGO Programa diseñado en clases(POO).

a)

DISEÑO DE LA CLASE

b) DE

LA

DISEÑO

INTERFAZ

(a) Imagen de la ventana.

7.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN a)

EJEMPLO N° 1 Ejemplos de aplicación del método aplicados y resueltos paso a paso con operaciones completas

b)

EJEMPLO N° 2

Tabla N° 1

8.

c)

EJEMPLO N° 3

d)

EJEMPLO N° 4

CONCLUSIONES Escribir las conclusiones sobre la formulación del método, la aplicación y las soluciones que puede aportar el método al ser utilizado.

9.

RESUMEN El presente trabajo presenta el diseño de un software, el cual servirá como herramienta para resolver problemas de integración de funciones asi como resolución de ecuaciones diferenciales. En el cual explicamos uno de los principales métodos para la resolución de estas mismas. Al mejorar el método de Euler desarrollamos nuevas técnicas de segundo orden. Incluso estas requieren de diversos cálculos para determinar la pendiente, la respectiva reducción donde se obtiene el error que nos permitirá concluir una mejor exactitud en una próxima sección. Estas técnicas pueden ser aplicadas como ventajas , los métodos estudiados son aplicados como una ventaja y pueden ser aplicados siempre y cuando cumplan con los objetivos de los problemas planteados. Cabe mencionar que los métodos aplicados son indicios al método Runge - Kutta, que es otro método para estudiar y aplicar el desarrollo de una ecuación diferencial.

10.

BIBLIOGRAFÍA [1] [2] [3]

Carrasco Venegas Luis, “Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería”, Editorial San Marcos, Lima, 2008. Steven C. Chapra, Raymond P. Canale ,”METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS”, 5ta edición, Mc. Graw Hill, Mexico D.F, 2007. Carrasco Venegas, Luis, ”Nakamura Métodos Numéricos”, Editorial América, Lima Perú, 1ra edición, 2002.