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• César Quevedo

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Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Tema 4 Métodos de Aproximación Numérica Ejercicios resueltos IV.4-1 Usar el método de Euler para aproximar la solución del P.V.I. dado en los puntos x = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 usando tamaño de paso h = 0.1.

a)

dy xü ï =- ï ï dx yï  ï ( ) y 0 =4ï ï ï 

b)

ü dy = x + y ïïï dx  y (0) = 1 ïïï ï

Solución

yn +1 = yn + h ⋅ f (x n , yn )

a)

b)

dy xü ï =- ï dx yï  ï y (0) = 4 ï ï ï 

x0 = 0

y0 = 4

x 1 = 0,1

æ 0ö y1 = y 0 + h ⋅ f (x 0 , y 0 ) = 4 + 0,1 ⋅ çç- ÷÷ = 4 è 4ø

x 2 = 0,2

æ 0,1ö y2 = y1 + h ⋅ f (x 1, y1 ) = 4 + 0,1 ⋅ çç- ÷÷ = 3, 9975 è 4 ø

x 3 = 0, 3

æ 0,2 ö÷ y 3 = y2 + h ⋅ f (x 2 , y2 ) = 3, 9975 + 0,1 ⋅ çç÷ = 3, 9925 çè 3, 9975 ø÷

x 4 = 0, 4

æ 0, 3 ö÷ y 4 = y 3 + h ⋅ f (x 3 , y 3 ) = 3, 9925 + 0,1 ⋅ çç÷ = 3,2411 çè 3, 9925 ø÷

x 5 = 0, 5

æ 0, 4 ö÷ y5 = y 4 + h ⋅ f (x 4 , y 4 ) = 3,2411 + 0,1 ⋅ çç÷ = 3,2288 çè 3,2411ø÷

ü dy = x + y ïïï dx  y (0) = 1 ïïï ï

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Ana Isabel Allueva Pinilla

– José Luis Alejandre Marco

Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 1

x0 = 0

y0 = 1

x 1 = 0,1

y1 = y 0 + h ⋅ f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,1 ⋅ (0 + 1) = 1,1

x 2 = 0,2

y2 = y1 + h ⋅ f (x 1, y1 ) = 1,1 + 0,1 ⋅ (0,1 + 1,1) = 1,22

x 3 = 0, 3

y 3 = y2 + h ⋅ f (x 2 , y2 ) = 1,22 + 0,1 ⋅ (0,2 + 1,22) = 1, 362

x 4 = 0, 4

y 4 = y 3 + h ⋅ f (x 3 , y 3 ) = 1, 362 + 0,1 ⋅ (0, 3 + 1, 362) = 1, 5282

x 5 = 0, 5

y5 = y 4 + h ⋅ f (x 4 , y 4 ) = 1, 5282 + 0,1 ⋅ (0, 4 + 1, 5282) = 1, 72102

IV.4-2 Usar el método de Euler para aproximar la solución del P.V.I. dado en Tomar diferentes pasos, h = 1, 0.5, 0.25.

x = 1.

ü dy ï = 1 + xsen (xy )ï ï dx  ï ï y (0) = 0 ï ï  Solución

h=1

x0 = 0

y0 = 0

x1 = 1

y1 = y 0 + h ⋅ f (x 0 , y 0 ) = 0 + 1 ⋅ (1 + 0) = 1

h = 0.5

x0 = 0

y0 = 0 y1 = y 0 + h ⋅ f (x 0 , y 0 ) = 0 + 0, 5 ⋅ (1 + 0) = 0, 5

x 1 = 0, 5

x2 = 1 y2 = y1 + h ⋅ f (x 1, y1 ) = 0, 5 + 0, 5 ⋅ (1 + 0, 5 ⋅ sen (0, 5 ⋅ 0, 5)) = 1,06185 h = 0.25

x0 = 0

y0 = 0

x 1 = 0,25

y1 = y 0 + h ⋅ f (x 0 , y 0 ) = 0 + 0,25 ⋅ (1 + 0) = 0,25

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– José Luis Alejandre Marco

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Ejercicios resueltos 2

x 2 = 0, 5 y2 = y1 + h ⋅ f (x 1, y1 ) = 0,25 + 0,25 ⋅ (1 + 0,25 ⋅ sen (0,25 ⋅ 0,25)) = 0,503904

x 3 = 0, 75 y 3 = y2 + h ⋅ f (x 2 , y2 ) = 0, 503904 + 0,25 ⋅ (1 + 0, 5 ⋅ sen (0, 5 ⋅ 0, 503904)) = 0,785066 x4 = 1 y 4 = y 3 + h ⋅ f (x 3 , y 3 ) = 0, 785066 + 0,25 ⋅ (1 + 0, 75 ⋅ sen (0, 75 ⋅ 0, 785066)) = 1,1392

IV.4-3 Usar el método de E uler mejorado con tamaño de paso h = 0.1 para aproximar la solución del P.V.I. dado en los puntos x = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5. ü dy ï = x - y2ï ï dx  ï ï y (1) = 0 ï ï  Solución

yn +1 = yn +

h é ⋅ f (x n , yn ) + f (x n + h, yn + hf (x n , yn ))ùûú 2 ëê

x0 = 1

y0 = 0

x 1 = 1,1

y1 = 0 + 0, 05 ⋅ éë1 + 1,1 - 0.12 ùû = 0.1045

x 2 = 1,2

2 y2 = 0,1045 + 0, 05 ⋅ éêë1,1 - (0,1045) + f (1,2; 0,213408)úûù

2 2 y2 = 0,1045 + 0, 05 ⋅ ëêé1,1 - (0,1045) + 1,2 - (0,213408) ûúù = 0,216677

x 3 = 1, 3

2 y 3 = 0,216677 + 0, 05 ⋅ éëê1,2 - (0,216677 ) + f (1, 3; 0,331982)ùûú

2 2 y 3 = 0,216677 + 0, 05 ⋅ êëé1,2 - (0,216677 ) + 1, 3 - (0,331982) úûù = 0,333819

x 4 = 1, 4

y 4 = 0, 333819 + 0, 05 ⋅ éêë1, 3 - (0, 333819) + f (1, 4; 0,452675)ùúû 2

2 2 y 4 = 0, 333819 + 0, 05 ⋅ ëêé1, 3 - (0, 333819) + 1, 4 - (0,452675) ûúù = 0,453002

x 5 = 1, 5

2 y5 = 0, 453002 + 0, 05 ⋅ éëê1, 4 - (0, 453002) + f (1, 5; 0, 46495)ùûú

2 2 y5 = 0, 453002 + 0, 05 ⋅ éêë1, 4 - (0, 453002) + 1, 5 - (0, 46495) ùúû = 0,465395

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Ejercicios resueltos 3

IV.4-4 Usar el algoritmo de Euler mejorado para aproximar la solución del P.V.I. dado en x = 1 con tamaño de paso 0.25. ü dy ï = 1 - y - y3ï ï dx  ï ï y (0) = 0 ï ï  Solución

yn +1 = yn +

h é ⋅ f (x n , yn ) + f (x n + h, yn + hf (x n , yn ))ùúû 2 êë

x0 = 0

y0 = 0

x 1 = 0,25 y1 = 0 + x 2 = 0, 5

y2 = 0,216797 +

y2 = 0,216797 +

x 3 = 0, 75

0,25 é ⋅ ë1 - 0, 378549 - 0, 3785493 + f (0, 75; 0,52035)ùû 2

0,25 é ⋅ 1 - 0, 378549 - 0, 3785493 + 1 - 0,52035 - 0,520353 ùû = 0,491794 2 ë

y 4 = 0, 491794 +

y 4 = 0, 491794 +

0,25 é ⋅ ë1 - 0,216797 - 0,216797 3 + f (0, 5; 0,41005)ùû 2

0,25 é ⋅ ë1 - 0,216797 - 0,216797 3 + 1 - 0,41005 - 0,410053 ùû = 0.378549 2

y 3 = 0, 378549 +

y 3 = 0, 378549 + x4 = 1

0,25 3 ⋅ [1 + f (0,25; 0,25)] = 0,125 ⋅ ëéê1 + 1 - 0,25 - (0,25) ûùú = 0,216797 2

0,25 é ⋅ 1 - 0, 491794 - 0, 491794 3 + f (1; 0,589109)ùû 2 ë

0,25 é ⋅ ë1 - 0, 491794 - 0, 491794 3 + 1 - 0,589109 - 0,5891093 ùû = 0,566257 2

IV.4-5 Determinar las fórmulas recursivas del método de Taylor de orden 2 para el P.V.I.

ü dy ï = cos (x + y )ï ï dx  ï ï y (0) = p ï ï  Solución

yn +1 = yn + h ⋅ f (x n , yn ) +

h2 hp ⋅ f2 (x n , yn ) +  + ⋅ fp (x n , yn ) p! 2!

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Ejercicios resueltos 4

f2 (x n , yn ) = y ¢¢ (x ) = (cos (x + y ))¢ = - (1 + y ¢) sen (x + y ) = = - (1 + cos (x + y )) sen (x + y ) = -sen (x + y ) - cos (x + y )sen (x + y )

yn +1

h2 = yn + h ⋅ cos (x n + yn ) - (1 + cos (x n + yn )) sen (x n + yn ) 2!

IV.4-6 Usar el método de Taylor de orden 2 con h = 0.25 para aproximar la solución del P.V.I. dado en x = 1. ü dy ï = x + 1 - yï ï dx  ï ï y (0) = 1 ï ï  Comparar esta aproximación con la solución verdadera, y = x + e -x , evaluada en x = 1. Solución

yn +1 = yn + h ⋅ f (x n , yn ) +

h2 ⋅ f2 (x n , yn ) 2!

f2 (x n , yn ) = y ¢¢ (x ) = (x + 1 - y )¢ = (1 - y ¢) = -x + y

x0 = 0

y0 = 1

x 1 = 0,25

h2 y1 = y 0 + h ⋅ f (x 0 , y 0 ) + ⋅ f2 (x 0 , y 0 ) = 1, 03125 2!

x 2 = 0, 5

y2 = y1 + h ⋅ f (x 1, y1 ) +

h2 ⋅ f2 (x 1, y1 ) = 1,11035 2!

x 3 = 0, 75

y 3 = y2 + h ⋅ f (x 2 , y2 ) +

h2 ⋅ f2 (x 2 , y2 ) = 1, 22684 2!

x4 = 1

y 4 = y 3 + h ⋅ f (x 3 , y 3 ) +

h2 ⋅ f2 (x 3 , y 3 ) = 1, 37253 2!

y = x + e -x  y (1) = 1 + e -1 = 1, 36788

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Ejercicios resueltos 5

IV.4-7 Usar el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.25 para aproximar la solución del P.V.I. dado en x = 1: ü dy ï = 2y - 6ï ï dx  ï ï y (0) = 1 ï ï  Comparar esta aproximación con la solución verdadera, y = 3 - 2e 2x , evaluada en x = 1. Solución

ïïü ï æ h k1 ÷öïïï k2 = h ⋅ f ççx n + , yn + ÷÷ï è 2 2 øïï  æ h k2 ÷öïï ç k 3 = h ⋅ f çx n + , yn + ÷÷ï è 2 2 øïï ï k 4 = h ⋅ f (x n + h, yn + k 3 ) ïïï  k1 = h ⋅ f (x n , yn )

üï ïï  1 = yn + ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 )ïï ï 6

x n +1 = x n + h yn +1

n=0 x0 = 0 n=1

x 1 = 0,25

y0 = 1 1 ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 ) = -0,296875 6 ü k1 = h ⋅ f (x 0 , y 0 ) = -1 ï ï ï ï ï æ h k ö k2 = h ⋅ f ççx 0 + , y 0 + 1 ÷÷÷ = -1, 25 ï ï ï è 2 2ø ï  ï æ h k2 ö÷ ç k 3 = h ⋅ f çx 0 + , y 0 + ÷÷ = -1, 3125 ïï ï è 2 2ø ï ï k 4 = h ⋅ f (x 0 + h, y 0 + k 3 ) = -1, 65625ïï ï  y1 = y 0 +

n=2

x 2 = 0, 5

1 ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 ) = -2, 434692 6 üï = h ⋅ f (x 1, y1 ) = -1, 6484375 ï ï ï ï æ h k1 ÷ö = h ⋅ f ççx 1 + , y1 + ÷÷ = -2, 06055ïï ï è 2 2ø ï  ï æ h k2 ÷ö ç = h ⋅ f çx 1 + , y1 + ÷÷ = -2,1636 ïï ï è 2 2ø ï ï = h ⋅ f (x 1 + h, y1 + k 3 ) = -2, 7302 ï ï ï 

y 2 = y1 +

k1 k2 k3 k4

n=3

x 3 = 0, 75

y 3 = y2 +

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1 ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 ) = -5, 95875 6 Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema 4. Métodos de Aproximación Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 6

üï ï ï ï ï æ h k1 ö÷ ç k2 = h ⋅ f çx 2 + , y2 + ÷÷ = -3, 39668ïï ï è 2 2ø ï  ï æ h k2 ö÷ k 3 = h ⋅ f ççx 2 + , y2 + ÷÷ = -3, 5665 ïï ï è 2 2ø ï ï k 4 = h ⋅ f (x 2 + h, y2 + k 3 ) = -4, 5006 ïï ï  k1 = h ⋅ f (x 2 , y2 ) = -2, 71735

n=4

x4 = 1

1 ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 ) = -11, 7679 6 ü = h ⋅ f (x 3 , y 3 ) = -4, 47938 ï ï ï ï ï æ h k1 ö÷ ç = h ⋅ f çx 3 + , y 3 + ÷÷ = -5, 5992 ïï ï è 2 2ø ï  ï æ h k2 ö÷ = h ⋅ f ççx 3 + , y 3 + ÷÷ = -5, 8792ïï ï è 2 2ø ï ï = h ⋅ f (x 3 + h, y 3 + k 3 ) = -7, 4189 ïï ï 

y4 = y3 +

k1 k2 k3 k4

y = 3 - 2e 2x  y (1) = 3 - 2e 2 = -11, 7781

IV.4-8 Usar el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.25 para aproximar la solución del P.V.I. dado en x = 1. ü dy ï = x + 1 - yï ï dx  ï ï y (0) = 1 ï ï  Solución

üï ï ï ï æ h k1 ÷öï k2 = h ⋅ f ççx n + , yn + ÷÷ïï ï è 2 2 øï  æ h k2 ÷öï k 3 = h ⋅ f ççx n + , yn + ÷÷ïï è 2 2 øï ï ï ï k 4 = h ⋅ f (x n + h, yn + k 3 ) ï ï  k1 = h ⋅ f (x n , yn )

ü ï ï ï  1 = yn + ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 )ï ï ï 6 

x n +1 = x n + h yn +1

n=0 x0 = 0

y0 = 1

n=1

x 1 = 0,25

y1 = y 0 +

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1 ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 ) = 1, 0288 6

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Ejercicios resueltos 7

ü ï ï ï ï ï æ h k1 ÷ö ç k2 = h ⋅ f çx 0 + , y 0 + ÷÷ = 0, 03125 ïï ï è 2 2ø ï  ï æ h k2 ÷ö k 3 = h ⋅ f ççx 0 + , y 0 + ÷÷ = 0, 02734ï ï ï è 2 2ø ï ï k 4 = h ⋅ f (x 0 + h, y 0 + k 3 ) = 0, 05566 ï ï ï  k1 = h ⋅ f (x 0 , y 0 ) = 0

n=2

x 2 = 0, 5

n=3

x 3 = 0, 75

n=4

x4 = 1

1 ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 ) = 1,10654 6 ü k1 = h ⋅ f (x 1, y1 ) = 0, 05529 ï ï ï ï ï æ h k1 ÷ö ç k2 = h ⋅ f çx 1 + , y1 + ÷÷ = 0, 07963 ï ï ï è 2 2ø ï  ï æ h k2 ÷ö k 3 = h ⋅ f ççx 1 + , y1 + ÷÷ = 0, 07659ï ï ï è 2 2ø ï ï k 4 = h ⋅ f (x 1 + h, y1 + k 3 ) = 0, 09864 ï ï ï  y 2 = y1 +

1 ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 ) = 1,22238 6 ü k1 = h ⋅ f (x 2 , y2 ) = 0, 098364 ï ï ï ï ï æ h k1 ÷ö ç k2 = h ⋅ f çx 2 + , y2 + ÷÷ = 0,117318 ï ï ï è 2 2ø ï  ï æ h k2 ÷ö k 3 = h ⋅ f ççx 2 + , y2 + ÷÷ = 0,114949ï ï ï è 2 2ø ï ï k 4 = h ⋅ f (x 2 + h, y2 + k 3 ) = 0,122126 ï ï ï  y 3 = y2 +

1 ⋅ (k1 + 2k2 + 2k 3 + k 4 ) = 1, 36789 6 ü k1 = h ⋅ f (x 3 , y 3 ) = 0,1319 ï ï ï ï ï æ h k1 ÷ö k2 = h ⋅ f ççx 3 + , y 3 + ÷÷ = 0,14666 ï ï ï è 2 2ø ï  ï æ h k2 ÷ö ç k 3 = h ⋅ f çx 3 + , y 3 + ÷÷ = 0,14482ï ï ï è 2 2ø ï ï k 4 = h ⋅ f (x 3 + h, y 3 + k 3 ) = 0,15819 ï ï ï  y4 = y3 +

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Ejercicios resueltos 8