• Author / Uploaded
• Mao Cristhian Pinto Cruz

• Categories
• Ecuaciones
• Fórmula
• Objetos matemáticos
• Ingeniería mecánica
• Física y matemáticas

Citation preview

METODO DE FUERZAS METODO DE LAS FUERZAS Este método es muy utilizado para el cálculo de estructuras hiperestáticas, como vigas continuas, pórticos, armaduras y arcos. Para ello, se debe inicialmente determinar el grado de indeterminación del sistema estructural. VIGAS: El grado de indeterminación de una viga hiperestática, se determina por la fórmula:

Donde:

Se dice, que una articulación o rótula es simple, si une a dos barras. ARMADURAS: Para el caso de armaduras, el grado de indeterminación se calcula por la expresión: Donde:

PORTICOS: El grado de indeterminación de pórticos hiperestáticos, se determina por la fórmula:

Donde:

El grado de indeterminación nos indica el número de conexiones a eliminar, eligiendo el denominado sistema principal, el cual es isostático.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS Luego, se plantea el sistema de ecuaciones canónicas, que para una estructura con grado de indeterminación "n" y sometido a cargas externas, tendrá la siguiente forma:

Donde:

Donde:

y los miembros de carga ∆ sistema De esta manera, para determinar los coeficientes de ecuaciones canónicas, será necesario analizar los denominados estados de carga unitaria y carga externa del sistema principal.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS El estado de carga externa del sistema principal, es aquel por el cual la estructura está sometida solo a las cargas externas. El estado de carga unitaria "i" del sistema principal, es aquella que surge debido a la acción de la fuerza Xi= 1, aplicado en la estructura. Esta fuerza se aplica en el punto de acción y en la dirección de la fuerza desconocida Xi. El número de estados unitarios de carga es igual al número de incógnitas "n". En los estados de cargas externas y unitarias del sistema principal, será necesario determinar las reacciones en los apoyos y graficar los diagramas de momento flector Mp (de carga externa) y Mi (i =l, 2,..., n) (de carga unitaria). El sistema de ecuaciones algebraicas lineales de la fórmula 1 cuyos coeficientes se calculan por la fórmula 7.8, contiene en su diagonal principal miembros positivos, esto es .Los coeficientes ubicados simétricamente a la diagonal principal son iguales, esto es , fundamentándose en la ley de reciprocidad de desplazamientos. Consecuentemente, la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones canónicas del método de las fuerzas, siempre será simétrica. La solución del sistema de ecuaciones canónicas del método de las fuerzas, permite calcular las magnitudes de las fuerzas en las conexiones eliminadas del pórtico y de esta manera graficar los diagramas finales de fuerzas internas en la estructura hiperestática. Los diagramas finales de fuerzas internas se determinan por las siguientes fórmulas: Donde:

Para vigas, pórticos y arcos, la sumatoria de diagramas de la fórmula anterior se aplica solo a momentos flectores, debido a que el diagrama de fuerza cortante V se obtiene a partir del diagrama M, a través de la dependencia diferencial de la fórmula siguiente:

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS Las fuerzas normales o axiales se determinarán a partir de la condición de equilibrio de los nudos del pórtico. A dichos nudos del pórtico se le aplicarán las cargas externas existentes, fuerzas cortantes calculadas anteriormente y las fuerzas axiales desconocidas. Después de ello, se elaborarán para estos nudos las ecuaciones de equilibrio y a partir de ellas se encontrarán las fuerzas axiales en las barras del pórtico. El equilibrio de los nudos se debe analizar de tal manera que en cada nudo no existan más de dos fuerzas axiales desconocidas. A partir de los diagramas finales M, V, N se determinarán las reacciones en los apoyos y se comprobarán las ecuaciones generales de equilibrio, donde “k” es cualquier punto del pórtico.

Otra de las formas de graficar los diagramas finales, es volver a analizar el equilibrio de la estructura, sometida a las cargas externas y considerando los valores de las reacciones en las conexiones eliminadas calculadas anteriormente, determinando las otras reacciones en los demás apoyos y graficamos los diagramas de acuerdo a los principios de la estática.

PROBLEMAS

PROBLEMA 1. Resolver la viga mostrada en la figura.

Solución: DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS Calculamos el grado de indeterminación de la viga: G.I. = 4-3 = 1 La viga es una vez hiperestática, razón por la cual eliminamos su apoyo intermedio y analizamos dos vigas, una sometida a la carga unitaria en dicho punto y otra sometida a las cargas reales, siendo el desplazamiento real en dicho apoyo igual a cero, por lo tanto resolveremos la ecuación:

Donde:

Los diagramas de momento flector M1 y MP se muestran en las figuras 7.32 y 7.33

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

Aplicamos el método de Vereschaguin o de Simpson-Kornoujov para la multiplicación de diagramas, obteniendo:

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS Con este resultado, determinamos las otras reacciones y graficamos los diagramas finales.

PROBLEMA 2 Resolver la viga mostrada en 1=1800plg 4 I2=1000plg4 y E = 29.106lb/plg2.

DARWIN MARX TURPO CAYO

la figura 7.35, considerando

I

METODO DE FUERZAS Solución: Como tendremos que utilizar las rigideces, las calculamos para cada tramo de la viga.

Para evitar el excesivo cálculo con el denominador, asumimos:

Determinamos el grado de indeterminación de la viga:

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

Posteriormente, graficamos los diagramas de momento flector M, y Mp, tal como se muestran en la figura.

Con este resultado, determinamos las reacciones en el empotramiento y graficamos los diagramas finales, que se muestran en la figura.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

PROBLEMA 3 Resolver la viga mostrada en la figura, considerando que es de sección constante.

Solución: Determinamos el grado de indeterminación de la viga:

Como la viga es dos veces hiperestática, entonces eliminamos los apoyos movibles C y D y los reemplazamos por cargas unitarias, graficando sus diagramas, uno ante las cargas reales, otro ante la carga unitaria en C y el otro ante la carga unitaria en D, los cuales se muestran en la figura. Para ello, debemos de resolver el sistema de ecuaciones canónicas:

Donde:

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

Luego, reemplazamos los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones canónicas, quedando de la siguiente manera:

De donde:

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

En base a los resultados obtenidos, graficamos los diagramas finales de fuerza cortante, momento flector y refuerzo, los cuales se muestran en la figura.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

PROBLEMA 4 Resolver el pórtico mostrado en la figura , considerando que es de sección constante.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS Solución: Determinamos el grado de indeterminación del pórtico, a través de la fórmula 7.3 G.I. = 3(1) - 2 = 1 El pórtico es una vez hiperestático, por ello, eliminamos la reacción horizontal en el apoyo D y lo convertimos en isostático, graficando los diagramas de momento flector del pórtico ante las cargas reales y el pórtico ante la carga unitaria aplicada en la dirección de la conexión eliminada, cuyos gráficos se muestran respectivamente en las figuras:

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS La ecuación canónica será:

Siendo:

De donde:

Reemplazamos esta reacción y calculamos las otras, graficando el diagrama final de momento flector, el cual se muestra en la figura.

PROBLEMA 5. Resolver el pórtico mostrado en la figura, sabiendo que es de sección constante.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS Solución: Determinamos el grado de indeterminación del sistema:

El pórtico es dos veces hiperestático, debiendo de eliminarse dos conexiones adicionales, que son la reacción vertical y la reacción horizontal en el apoyo A, convirtiendo a la estructura en isostática, graficando los diagramas de momento flector para la carga real y cargas unitarias, los cuales se muestran respectivamente en las figuras.

Posteriormente, resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones canónicas: DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

Calculamos las otras reacciones y graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector, los cuales se muestran en la figura.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS PROBLEMA 7.10 Resolver el pórtico mostrado en la figura, sabiendo que es de sección constante.

Solución: Determinamos el grado de indeterminación del pórtico:

El pórtico es tres veces hiperestático y debemos de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Eliminamos las reacciones en el apoyo B, convirtiendo al pórtico en isostático y graficamos sus diagramas de momento flector ante la acción de la carga real y las cargas unitarias vertical, horizontal y momento unitario, tal como se muestran en las figuras.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

Ahora, calculamos los coeficientes del sistema de ecuaciones canónicas.

Luego, reemplazamos los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones canónicas:

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS A partir de los valores obtenidos en la figura 7.55, graficamos los diagramas finales de fuerza axial o normal, fuerza cortante y momento flector para el pórtico indicado, los cuales se muestran en la figura. PROBLEMA 7. Resolver la armadura mostrada en la figura y determinar las fuerzas internas en todas las barras, sabiendo que las áreas de las barras AB, BD, AC y CD es 3000mm2 y de la barra BC es 2000mm2.

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

DARWIN MARX TURPO CAYO

METODO DE FUERZAS

DARWIN MARX TURPO CAYO