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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN

Media geométrica y media armónica

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN

“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación” UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS E. A. P. ADMINISTRACIÓN

CURSO: ESTADÍSTICA

PROFESOR: EDGAR VICENTE ARMAS

AULA – TURNO: 206 - TARDE

TEMA: MEDIA GEOMÉTRICA Y MEDIA ARMÓNICA - EJERCICIOS

APELLIDOS Y NOMBRE: 

CAHUASCANCO CASTAÑEDA, ROCIO

201

14090242

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Dedico esta investigación a mis padres por confiar en mí y siempre apoyarme cumpliendo a cabalidad su rol de padres para lograr mis metas propuestas dentro del campo y a los docentes de esta facultad por guiarnos y enseñarnos sus conocimientos en esta formación profesional

Índice

Introducción................................................................................................... 1 1.

Capítulo I: Marco Teórico..........................................................................2 1.1.

Media Geométrica............................................................................. 2

1.1.1.

Ventajas....................................................................................... 2

1.1.2.

Desventajas................................................................................. 3

1.1.3.

Datos no agrupados....................................................................3

1.1.4.

Datos agrupados.........................................................................3

1.2.

Media Armónica................................................................................. 4

1.2.1.

Propiedades................................................................................. 4

1.2.2.

Ventajas....................................................................................... 4

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2.

1.2.3.

Desventajas................................................................................. 5

1.2.4.

Datos no agrupados....................................................................5

1.2.5.

Datos agrupados.........................................................................5

Capítulo II: Ejercicios................................................................................ 6 2.1.

Media geométrica (M.G.)...................................................................6

2.2.

Media armónica (H)........................................................................... 8

Capítulo III: Conclusiones............................................................................. 11 Capítulo IV: Recomendaciones.....................................................................12

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Introducción Usualmente al escuchar hablar de media, nos viene a la mente la media aritmética, sin embargo, existen ciertos casos en que usar la media aritmética no resulta conveniente, y aunque su uso no se encuentra tan difundido, también es importante. En el presente trabajo, tratare de presentarles y explicarles no solo una breve definición sobre la media geométrica (M.G.) y la media armónica (H), las fórmulas necesarias para hallarlas, sino también sus posibles usos, así como ejercicios de aplicación para hallarlos, tanto para datos agrupados y no agrupados, así también para las distinta variables: discreta y continua y al final del trabajo desarrollare las respectivas conclusiones y recomendaciones.

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1. Capítulo I: Marco Teórico 1.1.

Media Geométrica Se encuentra representada por el símbolo M.G. Es una medida de

tendencia central que puede utilizarse para mostrar los cambios porcentuales en una serie de números positivos. Como tal, tiene una amplia aplicación en los negocios y en la economía, debido a que con frecuencia se está interesado en establecer el cambio porcentual en las ventas en el producto interno bruto o en cualquier serie económica. Se utiliza con más frecuencia para calcular la tasa de crecimiento porcentual promedio de series de datos, a través del tiempo, y en el cual el usar la media aritmética resultaría incorrecto. La

media

geométrica de

una

cantidad

de

números

(por

decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números. Cuando los datos son bastantes o cantidades grandes, para facilitar el cálculo se lo debe simplificar pero sin alterar su naturaleza, para lo cual se puede utilizar los logaritmos de base 10. Cabe destacar que la media geométrica necesita que no haya números negativos o que estos sean un número par. Si los valores contienen un número impar de números negativos estaríamos intentando aplicar una raíz a un número negativo, no pudiendo encontrar solución entre los números reales. Existen dos usos principales de la media geométrica: -

Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas. Para determinar el incremento personal promedio en ventas, producción u otras actividades o series económicas de un período a otro.

1.1.1. Ventajas

2



Considera todos los valores de la distribución



Es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos

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1.1.2. Desventajas 1) Es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética 2) Su cálculo es más difícil 3) En ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valor entonces la media geométrica se anula y tampoco puede ser usada con valores negativos impares. 1.1.3. Datos no agrupados Para hallar la media geométrica en datos nos agrupados, la fórmula es la siguiente:

O también se la siguiente forma, aplicando logaritmos:

1.1.4. Datos agrupados o Variable discreta Para hallar la media geométrica en datos agrupados con variable discreta, se utiliza la siguiente fórmula:

o

Variable continua Para hallar la media geométrica en datos agrupados con variable continua, se usa la siguiente fórmula:

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log G=

1.2.

∑ log yi . fi n

Media Armónica Se le representa por el símbolo H. La media armónica de una serie

de números es el recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos números, entendiéndose como recíproco al número que multiplicado por este nos da la unidad. Los elementos del conjunto deben ser necesariamente no nulos. Esta media es poco sensible a los valores grandes, pero muy sensible a los valores próximos a cero, ya que los recíprocos 1/X i son muy altos. La media armónica es siempre la media más baja. Existen usos principales para la media armónica: -

Calcular la media de velocidades Calcular la media de tiempos, rendimientos, etc.

1.2.1. Propiedades -

Es un promedio que se utiliza para el cálculo del costo promedio y

-

todo tipo de variables expresadas en tasas o porcentajes. La media armónica no está definida en el caso de la existencia en

-

el conjunto de valores nulos. Cuando la unidad constante o unidad de evaluación es igual a la unidad del numerador de una razón, se usa el promedio armónico, y si es igual a la unidad del denominador se usa el promedio aritmético.

1.2.2. Ventajas -

Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

1.2.3. Desventajas -

La influencia de los valores pequeños y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a

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cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños. 1.2.4. Datos no agrupados Para hallar la media geométrica en datos no agrupados, se aplica la siguiente fórmula: Sean los números X1, X2, …….. Xn. La media armónica

O con la siguiente ecuación:

1.2.5. Datos agrupados o Variable discreta Existen 2 formas de hallar la media armónica en la variable discreta, mediante las siguientes ecuaciones:

o Variable continua La fórmula para hallar la media armónica con variable continua, es la siguiente:

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Donde: Xmi = marca de clase

2. Capítulo II: Ejercicios 2.1.

Media geométrica (M.G.)

a. Daniel Prado desea calcular el factor de crecimiento promedio de su tienda de aparatos de sonido en los últimos seis años; utilizando una media geométrica, llega a un resultado de 1.24. Los factores de crecimiento individuales de los últimos cinco años fueron 1.19, 1.35, 1.23, 1.19 y 1.30, pero Daniel perdió los registros del sexto año después de haber calculado la media geométrica. ¿Cuál era ese factor de crecimiento? -

Como ya vimos, la fórmula para hallar la media geométrica en datos no agrupados, como es el caso del ejercicio, es el siguiente:

Reemplazando, con los datos de los últimos 5 años: 1.19, 1.35, 1.23, 1.19, 1.30; queda de la siguiente manera: G=

√n X 1 . X 2 . X 3 . X 4 . X 5 . X 6 5

G = √ 1.19∗1.35∗1.23∗1.19∗. 1.30∗X 6 = 1.24

(√5 3.057∗X 6 )

5

5 = 1.24

3.057 * X 6 = 2.932 X6

= 0.959

Por lo tanto, el factor de crecimiento del sexto año es 9.059 b. Se tienen las siguiente calificaciones de 40 estudiantes de 5 de secundaria:

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8 16 18 12 20 12 18 8 20 18 8 12 12 18 12 12 18 16 16 18 16 18 16 16 16 16 18 18 20 12 20 8 20 16 20 18 20 12 20 Calcular la media geométrica -

Primero creamos la tabla de frecuencias Xi 8 12 16 18 20

-

fi 5 8 9 10 8

Para hallar la media geométrica en una variable discreta, se haces uso de la siguiente fórmula:

Nos faltan los datos: log X i * fi, la cual procedemos a hallar completando la siguiente tabla. Xi 8 12 16 18 20 Total

fi 5 8 9 10 8 40

log Xi 0.90 1.08 1.20 1.26 1.30

log Xi * fi 4.5 8.64 10.8 12.6 10.4 46.94

Reemplazando los datos hallados en la tabla, queda de la siguiente manera: log G =

46.94 40

= 1.1735

antilog 1.1735 = G G = 14.91 Por lo tanto la media geométrica es 14.91

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2.2.

Media armónica (H)

1) Un tren realiza un trayecto de 500km. La vía se encuentra en tan mal estado que no permitía correr adecuadamente. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h, los terceros a 100km/h, los cuartos a 130km/h y los últimos 100 kilómetros a 60 km/h. Para calcular el promedio de velocidades. - Como hemos señalado en el marco teórico, para hallar el -

promedio de velocidades se debe hacer uso de la media amónica. Como recordamos, la fórmula es la siguiente:

-

Reemplazando queda de la siguiente manera: 5 5 1 1 1 1 1 H= = + + + + 0.093 = 53.76 120 20 100 130 60

Por lo tanto, el promedio de las velocidades es de 53.76 2) En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en minutos que se demoran en realizar una obra, un determinado número de estudiantes. Calcular el tiempo promedio que se demora en resolver la obra un obrero promedio.

8

Tiempo

Obreros

[40-50)

2

[50-60)

8

[60-70)

10

[70-80)

9

[80-90]

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-

Como ya sabemos, la fórmula para hallar la media armónica es la siguiente:

Donde Xmi = marca de clase -

Nos faltan los datos:

fi x . mi , la cual procederemos a hallar

en la siguiente tabla.

-

Tiempo

fi

Xmi

fi x . mi

[40-50)

2

45

0.04

[50-60)

8

55

0.15

[60-70)

10

65

0.15

[70-80)

9

75

0.12

[80-90]

13

85

0.15

Total

42

0.61

Los datos obtenidos en la tabla lo reemplazamos en la ecuación: H=

40 0.61

= 65.57

Por lo tanto, el tiempo promedio que se demora un obrero en realizar su obra es de 65.57 segundos

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Capítulo III: Conclusiones 1. Luego de realizar el presente trabajo, se muestra la importancia que tiene la Estadística, así como los usos que realmente se dan en la vida real y la aplicación misma de la Estadística.

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2. La media geométrica y la media armónica deben ser usados solo en algunos casos en particular, en parte por ello su uso no es tan conocido por las personas. 3. A pesar de que no son usadas muy frecuentemente, la media armonía y geométrica son muy importantes.

Capítulo IV: Recomendaciones

1. Como ya hemos apreciado anteriormente, la media geométrica y armónica solo debe ser usada en ciertos casos, por lo tanto, la recomendación sería que nos demos cuenta y sepamos los casos específicos en los que debemos usarlos, para que así no caigamos en la equivocación o en el error.

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2. La media geométrica y la media armónica no son usados muy frecuentemente, en parte, porque no los conocemos, por lo tanto, debemos enterarnos de ellos y aprender a aplicarlos en los distintos ejercicios.

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