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• Carlo Serpas

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1.0 MEDIA GEOMETRICA. Si consideramos dos valores positivos: X1, X2, se define su media geométrica que representaremos por Mg de la siguiente manera: Mg = √ La definición se extiende a n valores positivos de la siguiente manera: Mg = √ Tomando logaritmos en la formula anterior, resulta: Log Mg =

∑

Para el cálculo de la media geométrica se suele hacer uso de la anterior propiedad, calculando los logaritmos de los valores de la variable de las que se calcula la media aritmética, cuyo antilogaritmo será la media geométrica buscada. Pueden disponerse así los cálculos: Punto medio

. . .

Frecuencia Log Log Log . . . Log

. . .

(log (log (log

) ) ) . . .

(log

)

n ∑

∑ Mg = antilog

n

1

Ejemplo: Punto medio

Frecuencia

70 80 90 100 110

4 11 20 9 6

TOTAL

50

Log 1.84510 1.90309 1.95424 2.00000 2.04139

(log ) 7.38040 20.93399 39.08480 18.00000 12.24834 97.64753

LOG Mg = 97.64753 = 1.95295 50 Mg = 89.73 (antilogaritmo) La media geométrica presenta el inconveniente de que si uno de los valores es cero, la media resulta igualmente cero. Tampoco se puede calcular cuando existen valores negativos. Un caso típico es el siguiente: Un país, tiene, en 1967, una población de 6.5 millones de habitantes, la cual sube, en 1977, a 8 millones de habitantes. Se pregunta por la población media del periodo y por la tasa anual de crecimiento. Se puede contestar la primera pregunta aplicando la media geométrica a ambos valores extremos: Mg = √

=√

= 7.21 millones

Para determinar la tasa anual de crecimiento, basta aplicar la fórmula del crecimiento acumulativo: M= Al reemplazar las cifras en la formula, se obtiene sucesivamente lo siguiente: 8 = 6.5 = 1.2308 = Aplicando logaritmos: 0.09018 = 10 log (1 + ) 0.00902 = 1 + 1.021 = = 2.1 %

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La media geométrica se usa especialmente en los casos en que existe una tasa de crecimiento relativamente constante (población, montos medios de capitales sujetos a intereses compuestos, etc.) o simplemente, cuando se desea un porcentaje medio de crecimiento o de baja, según corresponda. Por ejemplo las ventas de una compañía en expansión han aumentado de 2 millones de colones en 1982 a 4 millones de colones en 1983 y a 6 millones de colones en 1984. Para obtener la proporción promedio de aumento en las ventas deberá utilizarse la media geométrica. Como las ventas en 1983 fueron el doble que las de 1982, y las de 1984 fueron 1.5 veces las de 1983. La media geométrica de los valores 2.0 y 1.5 es: Mg = √

= √ = 1.732

La porción promedio de crecimiento de ventas es por tanto el 73.2 % por año en el periodo de 2 años.

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2.0 MEDIA ARMONICA Si la representamos por Ma, se le puede definir así: = Es decir, la inversa de la mediana armónica de una variable positiva es igual a la media aritmética de la variable inversa de “x” o sea:

∑

De donde:

En el caso de una distribución de frecuencia, llamada a los puntos medios ( = 1,2,…m) y a las frecuencias respectivas ( = 1,2,…m).

∑

El cálculo se dispone de la siguiente manera:

.

/ / / . / /

. n Ma =

n

∑

4

Calculo de la media armónica:

70 80 90 100 110

4 11 20 9 6

/ 0.0571 0.1375 0.2222 0.0900 0.0545

TOTAL

50

0.5613

Ma = 50 = 89.08 0.5613 Calculo de la tasa media El siguiente cuadro se presenta con datos hipotéticos sobre el número de personas afectadas con diversas enfermedades y fallecidas a causa de las mismas. La tasa general se obtiene del cociente correspondiente: Suma de fallecidos Suma de enfermos Para cada enfermedad se ha calculado también la correspondiente tasa específica. Si se desea calcular la tasa general a base de las específicas (parciales), se comprueba que se obtiene como el promedio armónico de ellas.

Enfermedad A B C D TOTAL

N° de enfermos (a)

N° de fallecidos (b)

Tasa T=

20,000 30,000 40,000 36,000

200 600 500 900 2,200

0.0100 0.0200 0.0125 0.0250 0.0175

T=

= 0.0175

Otra utilización de la media armónica es cuando las observaciones se expresan inversamente a como se expresa el promedio buscado. Ejemplo: supóngase que con un colón se compran 5 kilos de azúcar u 8 kilos de harina o 3 kilos de fideos, ¿Cuántos kilos de se pueden adquirir en promedio con un colón? El precio promedio de los tres artículos es: 1/5 + 1/8 + 1/3 = 0.2194 5

3 Luego, la cantidad media de kilos que pueden adquirirse con un colón es:

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

Que es la media armónica de 5, 8 y 3. También se aplica en el cálculo de velocidades medias, cuando los datos son diversos espacios recorridos a diferentes velocidades. Sabemos que S = vt, donde s = espacio, v = velocidad y t = tiempo. (1) = (2) = sumando (1) + (2) (Dividiendo por

)

El segundo miembro es una velocidad media (Vm). En las ecuaciones (1) y (2) se puede despejar = / y = / y sustituyendo en el primer miembro de la ecuación anterior:

En donde el segundo miembro es un promedio armónico de las velocidades. Por ejemplo si una persona manejo los primeros 50 km a 60 km por hora, y los siguientes 50 km a 50 km por hora, ¿Cuál es la velocidad media? = 54.54 km/h

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3.0 MEDIA CUADRATICA Si los valores observados se elevan al cuadrado, se obtendrá un nuevo promedio llamado media cuadrática que simbolizaremos como . Si se trata de datos originales , la media cuadrática será:

√∑

Si los datos están agrupados en clases y frecuencias y a los puntos medios les llamamos y a las frecuencias respectivas , la media cuadrática será: ∑ √

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4.0 CENTRO RECORRIDO La amplitud, rango o recorrido no es más que la diferencia entre el x mayor y el x menor. Se llama centro recorrido el punto medio del rango o amplitud y se representa por:

En una distribución simétrica, el centro recorrido coincide con la mediana y la moda. Por quedar aceptado por los valores extremos, en general, el centro recorrido no es buen promedio para medir la tendencia central.

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5.0 Ejercicio resuelto En la siguiente distribución de frecuencia calcule: A) B) C) D)

Media geométrica. Media armónica Centro recorrido Media cuadrática Intervalos 115 < 123 123 < 131 131 < 139 139 < 147 147 < 155

Punto medio ( ) 119 127 135 143 151

Frecuencia absoluta ( ) 3 10 19 13 5

A) Media geométrica

119 127 135 143 151 TOTAL

3 10 19 13 5 50

2.075547 2.103804 2.130334 2.155336 2.178977

6.226641 21.038040 40.476346 28.019368 10.894885 106.655280

B) Media armónica

119 127 135 143 151 TOTAL

3 10 19 13 5 50

0.02521 0.07874 0.14074 0.09091 0.03311 0.36871

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C) Centro recorrido

D) Media cuadrática

119 127 135 143 151 TOTAL

3 10 19 13 5 50

42.483 161.290 346.275 265.837 114.005 929.890

√∑

√ Debe observarse que cualquiera que sea la distribución, la media armónica es menor que la media geométrica y esta menor que la aritmética y esta menor que la cuadrática, o sea que:

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