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• Hernesto Figueroa

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MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). CAPÍTULO 4: FUERZAS DISTRIBUIDAS. CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Enero de 2016.

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

PRESENTACIÓN. La presente es una Guía de Ejercicios de Mecánica Vectorial para Ingenieros, dictada en las carreras de Ingeniería Mecánica, de Petróleo, Civil e Industrial de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados, su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Mecánica para Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, Venezuela, además de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, vía correo electrónico [email protected] ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo Monagas. Ing. Willians J. Medina. Prof. Matemáticas. Universidad de Oriente. Núcleo de Monagas. Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

1

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

4.1.- PLACAS COMPUESTAS. En muchos casos una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos y otras de las formas comunes mostradas en la figura 4.1. La abcisa X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abcisas x1 , x 2 ,…, x n de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los omentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Si la placa es homogénea (densidad constante) y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. El centroide puede determinarse mediante las ecuaciones:

X

 xA A

Y 

Forma

Área rectangular

 yA A Área

bh

Área triangular

1 2

Un cuarto de área circular

 r2 4

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

bh

x

y

1 2

b

1 2

h

1 3

b

1 3

h

4r 3

4r 3

2

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

Área semicircular

 r2 2

0

4r 3

Área circular

 r2

0

0

Un cuarto de área elíptica

 ab 4

4a 3

4b 3

Área semielíptica

 ab 2

0

4b 3

Área elíptica

 ab

0

0

Área semiparabólica

2ah 3

3a 8

3h 5

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

3

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

4ah 3

0

3h 5

ah 3

3a 4

3h 10

Enjuta general

ah n 1

n 1 a n2

n 1 h 4n  2

Sector circular

 r2

2 r sen  3

0

Área parabólica

Enjuta parabólica

Ejemplo 4.1 Localícese el centro de gravedad del área plana mostrada en la figura.

Solución.

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

4

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

=

+

Componentes: 1.- Triángulo rectángulo. 2.- Rectángulo. Área y centroide de cada componente: 1.- Trángulo retángulo:

Area:

AT  12 b h AT  12 (12 in) (15 in)

AT  90 in 2 Centroide: Centroide x:

Centroide y:

x  (b)  13 (b)

y  13 (h)

x  12 in  13 (12 in )

y  13 (15 in )

x  8 in

y  5 in

2.- Rectángulo:

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

5

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

Area:

AR  b h AR  (21in) (15 in) AR  315 in 2 Centroide: Centroide x:

Centroide y:

x  (12 in )  12 (21in)

y  13 (h)

x  12 in  10.5 in

y  13 (15 in )

x  22.5 in

y  5 in 2 Area, in

x , in

y , in

3 x A , in

3 y A , in

Triángulo

90

8

5

720

450

Rectángulo

315

22.5

7.5

7087.5

2362.5

7807.5

2812.5

Componente

405 Ubicación del centroide.

X  A  x A

Y A y A

X

x A A

Y 

yA A

X

7807.5 405

Y

2812.5 405

X  19.27 in

Y  6.94 in

Otra forma de resolver el mismo planteamiento:

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

6

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

Solución.

–

= Componentes: 1.- Rectángulo. 2.- Triángulo rectángulo (–). Área y centroide de cada componente: 1.- Rectángulo: Area:

AR  b h AR  (33in) (15in) AR  495 in 2 Centroide: Centroide x:

Centroide y:

x  12 (b)

y  12 (h)

x  12 (33 in )

y  12 (15 in )

x  21in

y  7.5 in

2.- Trángulo rectángulo: Area: Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

7

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

AT  12 b h AT  12 (12 in) (15 in) AT  90 in 2 Centroide: Centroide x:

Centroide y:

x  13 (b)

y  h  13 (h)

x  13 (12 in )

y  15  13 (15in )

x  4 in

y  10 in 2 Area, in

x , in

y , in

3 x A , in

3 y A , in

Rectángulo

495

16.5

7.5

8167.5

3712.5

Triángulo

–90

4

10

–360

–900

7807.5

2812.5

Componente

405 Ubicación del centroide.

X  A  x A

Y A y A

X

x A A

Y 

yA A

X

7807.5 405

Y

2812.5 405

X  19.27 in

Y  6.94 in

Ejemplo 4.1. Ejemplo 9.10 del Hibbeler. Décima Edición.

Localice el centroide del área de la placa mostrada en la figura.

Solución. Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

8

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

El área se obtiene con la suma de un rectángulo (I), un rectángulo (II) y un triángulo rectángulo (III). Urilizando los ejes coordenados mostrados, se determinan el área y las coordenadas del centroide para cada una de las áreas componentes y luego se introducen en la tabla que aparece en la parte inferior.

Componente I: Cuadrado. Área: A  a2

A  (1 pie) 2

A  1 pie 2 Centroide: Centroide x:

Centroide y:

x  2  12 (a)

y  12 (a)

x  2  12 (1)

y  12 (1)

x  2.5 pie

y  0.5 pie

Componente II: Rectángulo. Área:

A  bh A  2 pie  (1 pie  2 pie)

A  6 pie 2 Centroide: Centroide x: Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

Centroide y: 9

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

x   12 (b)

y  12 (h)

x   12 (2)

y  12 (1 pie  2 pies )

x  1 pie

y  1.5 pie

Componente III: Triángulo rectángulo. Área:

A  12 b  h A  12 (3 pie)  (1 pie  2 pie)

A  4.5 pie 2 Centroide: Centroide x:

Centroide y:

x  13 (b)

y  13 (h)

x  13 (3)

y  13 (1 pie  2 pies )

x  1 pie

y  1 pie

Componente Cuadrado Rectángulo Triángulo

A, pies2 1 6 4.5  A  11.5

y , pie 0.5 1.5 1

x , pie -2.5 -1 1

x A , pie3 -2.5 -6 4.5  x A  4

y A , pie3 0.5 9 4.5  y A  14

Coordenadas del centroide.

X 

x A A

Y 

yA A

X 

 4 pie 3 11.5 pie 2

Y 

14 pie 3 11.5 pie 2

X  0.348 pie

Y  1.22 pie

Dos configuraciones adicionales que se pueden considerar para resolver el problema son:

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

10

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

Ejemplo 4.4. Localícese el centroide del área plana mostrada en la figura.

Solución.

=

–

Componentes: Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

11

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

1.- Rectángulo. 2.- Círculo (–). Área y centroide de cada componente: 1.- Rectángulo: Area:

AR  b h

AR  (14 in) (20 in) AR  280 in 2 Centroide: Centroide x:

Centroide y:

x  12 (b)

y  12 (h)

x  12 (14 in)

y  12 (20 in )

x  7 in

y  10 in

2.- Círculo: Area: AC   r 2 AC   (4 in) 2

AC  50.26 in 2

Centroide: Centroide x:

Centroide y:

x  6 in

y  12 in

Componente

Area, in 2

x , in

y , in

x A , in 3

y A , in 3

Rectángulo

280

7

10

1960

2800

–50.26

6

12

–301.56

–603.12

1658.44

2196.88

Círculo

229.74 Ubicación del centroide. Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

12

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

X  A  x A

Centroides y centro de gravedad.

Y A y A

X

x A A

Y 

yA A

X

1658.44 229.74

Y

2196.88 229.74

X  7.22 in

Y  9.56 in

Ejemplo 4.2. Problema resuelto 5.1 del Beer-Johnston. Novena Edición. Pág. 228.

Para el área plana mostrada en la figura, determine a) los primeros momentos con respecto a los ejes x y y, y b) la ubicación de su centroide.

Solución. Ejercicios propuestos. 1. Localice el centroide del área plana que se muestra en cada figura.

(a)

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

(b)

(c)

13

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

14

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

(m)

Centroides y centro de gravedad.

(n)

(ñ)

(o) (p) (q) Respuesta: a) X  175.6 mm , Y  94.4 mm ; b) X  16.21 mm , Y  31.9 mm ; c) X  19.28 in , Y  6.94 in ; d) X  19.27 mm , Y  26.6 mm ; e) X  4.62 pulg , Y  1.00 pulg ; f) X  5.67 in , Y  5.17 in ; g) X  7.22 in , Y  9.56 in ; h) X  92.0 mm , Y  23.3 mm ; k) X  10.00 mm , Y  87.5 mm ; l) X  0 , Y  6.45 in ; m) X  9.89 mm , Y  10.67 mm ; n) X  50.5 mm , Y  19.34 mm ; o) X  3.20 in , Y  2.00 in ; p) X  Y  9.00 in .

2. Para el área mostrada, determine la relación a / b tal que x  y . Respuesta:

a 4  . b 5

4.2.- DETERMINACIÓN DE CENTROIDES POR INTEGRACIÓN. Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

15

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales x A   xd A

y A   yd A

Si el elemento de área d A es un pequeño rectángulo de lados d x y d y , la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración doble con respecto de x y y. También es necesaria una integración doble si se usan coordenadas polares para las cuales d A es un elemento de lados d r y r d  . Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible determinar las coordenadas del centroide de un área con una sola integración. Esto se logra seleccionando a d A como un rectángulo o tira delgada o como un sector circular delgado (Figura); el centroide de un rectángulo delgado está localizado en su centro y el centroide de un sector delgado está localizado a una distancia de

2 3

r a partir de su vértice (como en el caso de un triángulo).

Entonces, las coordenadas del centroide del área bajo consideración se obtienen expresando que el primer momento del área total con respecto de cada uno de los ejes coordenados es igual a la suma (o integral) de los momentos correspondientes de los elementos del área. Representando con xel y yel las coordenadas del centroide del elemento d A , se escribe Q y  x A   xel d A

xel  x y y el  2 d A  yd x Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

Q x  y A y el d A

ax x el  2 y el  y

2r cos  3 2r y el  sen  3

xel 

16

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

d A  (a  x) d y

d A

1 2 r d 2

Áreas y centroides de elementos diferenciales. Si el área A no se conoce aún, ésta también puede calcularse a partir de estos elementos. Las coordenadas xel y yel del centroide del elemento del área d A deben expresarse en términos de las coordenadas de un punto localizado sobre la curva que limita al área bajo consideración. Además, el área del elemento d A debe expresarse en términos de las coordenadas de dicho punto y de los diferenciales apropiados. Esto se ha hecho en la figura para tres tipos comunes de elementos; la porción de círculo de la parate c debe utilizarse cuando la ecuación de la curva que limita al área esté dada en coordenadas polares. Deben sustituirse las expresiones apropiadas en las fórmulas y debe utilizarse la ecuación de la curva que limita al área para expresar a una de las coordadas en términos de la otra. De esta forma, se reduce a una sola integración. Una vez que se ha determinado el área y han sido evaluadas las integrales en las ecuaciones, estas ecuaciones pueden resolverse para las coordenadas x y y del centroide del área. Ejemplo 4.3. Problema resuelto 5.1 del Beer-Johnston. Novena Edición. Pag. 240.

Determine

por

integración

directa

la

localización del centroide de una enjuta parabólica.

Solución.

Ejemplo. Ubique el centroide del área parabólica.

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

17

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

Ecuación de la curva.

y  a x2 Cálculo de a . Para x  b , y  h

h  a b2 a

h b2

y

h 2 x b2

Area. A  d A b

A   (h  y ) d x 0

b h  A    h  2 x2  d x 0 b  

 h x3  A   h x  2  3b  

b

0

hb   A   hb   3  

A

2hb 3

Primer momento con respecto a eje y . Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

18

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

Q y   xel d A a

Qy   x (h  y) d x 0 b  h  Qy   x  h  2 x 2  d x 0 b  

b h  Qy    h x  2 x3  d x 0 b  

 h x2 h x4  Q y    2  4b   2

Qy 

hb2 hb2  2 4

Qy 

hb2 4

b

0

Primer momento con respecto a eje x . Qx   yel d A b

Qx   12 (h  y) (h  y) d x 0

b

Qx  12  (h 2  y 2 ) d x 0

Qx 

b 1 2 0



 2  h 2 2  h   2 x   d x b   

b h2  Qx  12  h 2  4 x 4  d x 0 b   b

 h2 x5   Qx   h 2 x  5 b 4  0  1 2

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

19

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

 2 h 2b   Qx   h b  5   1 2

 4 h 2b   Qx  12   5  Qx 

2 h 2b 5

Centroide.

x

Qy

y

A

Qx A

hb2 x 4 2hb 3

2 h 2b y 5 2hb 3

3 x b 8

y

3 h 5

Ejercicios propuestos. 3. Determine por integración directa el centroide del área mostrada en las figuras. Exprese la respuesta en términos de a y h.

(a)

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

(b)

(c)

20

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

(d) Respuesta: a) x  23 a , y  13 h ; b) x  12 a , y  52 h ; d) x  12 a , y  53 h . 4. Determine por integración directa el centroide del área mostrada en las figuras. Exprese la respuesta en términos de a y b.

(a)

(b)

(d) (e) 3 3 1 Respuesta: a) x  4 a , y  10 b ; b) x  8 a , y  b ; c) x 

(c)

(f) 2 3 ( 4 )

a, y 

2 3 ( 4 )

b ; d) x  a ,

5 1 y  17 35 b ; e) x  8 a , y  3 b .

5. Localice el centroide del área sombreada. Exprese la respuesta en términos de b y h.

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

21

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

(a) (b) 3 3 3 3 Respuesta: a) x  8 b , y  5 h ; b) x  4 b , y  10 h . 6. Localice el centroide del área sombreada. Exprese la respuesta en términos de a, h y n.

(a) Respuesta: a) x 

n 1 2 ( n  2)

a ; b) x 

n 1 2 ( n 2)

(b) a , y  2 ( n2n11) h ; c) x 

(c) n 1 2 ( n 2)

a, y 

n 2 n 1

h.

7. Localice el centroide del área mostrada.

(a) Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

(b)

(c) 22

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

(d) Respuesta: b) x  85 a ; c) x  2 a , y  8 a ; d) x 

4 3

a, y 

4 3

b.

8. Determine por integración directa el centroide del área mostrada en la figura.

(a) Respuesta: a) x  54 L , y 

33 40

(b) a ; b) x  0.236 L , y  0.454 a .

(c)

9. Localice el centroide del área mostrada.

(a)

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

(b)

(c)

23

Capítulo 4. Fuerzas distribuidas.

Centroides y centro de gravedad.

(d) Respuesta: a) x  0 ; b) x  6.00 m ,

(e) (f) y  2.80 m ; c) x  0.45 m , y  0.45 m ; f)

y  1.33 pulg .

10.

Determine

el

centroide

del

área

mostrada en la figura cuando a = 2 in. Respuesta: 5) x  1.629 in , y  0.1853 in . 11. Determine el valor de a para que la relación

x es igual a 9. y

Respuesta: a  1.901 in ó a  3.74 in .

Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.

Figura Problemas 10 y 11.

24