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Matrices y Determinantes U.T.N - Facultad Regional Santa Fe -

Matrices y Determinantes El siguiente material de estudio fue extraído del cuaderno N° 2 de la cátedra “Álgebra y Geometría Analítica”. Redactado por el Ing. Elio Pascual y modificado por el Ing. Alberto R. Goncebatt.

MATRICES 1. Suma de matrices: las matrices a sumar deben ser del mismo orden, es decir deben ser conformables. Propiedades:

2.

A+B=B+A

Conmutativa

(A + B) + C =A + (B + C)

Asociativa

! A* + A = A  A* = 0

Existencia de la matriz nula

! A* + A = 0  A* = -A

Existencia de la matriz opuesta

Producto de una matriz por un escalar: ().A= .(.A)= .(.A)

Asociativa

( + ).A= .A + .A

Distributiva con respecto a la suma de escalares

(A + B).=.A. + B.

Distributiva con respecto a la suma de matrices

3. Producto de matrices: las matrices deben ser conformables para el producto: esto ocurre cuando “el número de columnas del primer factor es igual al número de filas del segundo factor”. 𝑎𝑖𝑗

𝑚 ×𝑛

∙ 𝑏𝑖𝑗

𝑛×𝑝

= 𝑐𝑖𝑗

𝑚 ×𝑝

Propiedades: (A.B) .C =A.(B.C)

Asociativa

A.(B + C)= A.B + A.C

Distributiva

.(B.C) = (.B).C= B.(.C)

Asociativa con respecto a un escalar

4. Matriz adjunta: es la matriz transpuesta de la matriz que resulta de sustituir en la matriz dada cada elemento por su adjunto correspondiente. El producto de una matriz por su adjunta es conmutativo e igual al producto del determinante de la matriz dada por la matriz identidad.

Autor: Julián Aldecova, Tutor de AGA

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Matrices y Determinantes U.T.N - Facultad Regional Santa Fe -

𝐴 ∙ 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝐴𝑑𝑗 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐼 5. Matriz inversa: la matriz inversa de la matriz A se simboliza con A-1 y cumple con la siguiente condición: 𝑨 ∙ 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏 ∙ 𝑨 = 𝑰 “La condición necesaria y suficiente para que una matriz admita inversa es que sea una matriz cuadrada y su determinante sea distinto de cero.” Definición de inversa: A−1 =

Adj A A

Regla práctica para el cálculo de la matriz inversa de una matriz de orden 2: 𝑎 𝑐

𝐴=

𝑏 𝑑

Entonces:

𝐴−1 =

𝑑 𝐴 −𝑐 𝐴

−𝑏 𝐴 𝑎/ 𝐴

Propiedades de la inversa y de la transpuesta: 1.

𝑨−𝟏

−𝟏

2.

𝑨𝒏

3.

𝒌∙𝑨

−𝟏

4.

𝑨𝑻

=𝑨

5.

𝑨+𝑩

6.

𝒌∙𝑨

𝑻

= 𝒌 ∙ 𝑨𝑻

7.

𝑨∙𝑩

𝑻

= 𝑩𝑻 ∙ 𝑨𝑻

8.

𝑨𝑻

−𝟏

𝑻

−𝟏

=𝑨

= 𝑨−𝟏

𝑻

𝒏

= 𝟏 𝒌 ⋅ 𝑨−𝟏 Con k 0 = 𝑨𝑻 + 𝑩𝑻

= 𝑨−𝟏

Siendo k cualquier escalar

𝑻

DETERMINANTES Definiciones importantes: 1. Adjunto o cofactor: el adjunto o cofactor de un elemento aij de una matriz cuadrada es igual a su menor precedido por un signo más o menos de acuerdo a la suma de los subíndices del elemento considerado. 𝑨𝒊𝒋 = −𝟏

Autor: Julián Aldecova, Tutor de AGA

𝒊+𝒋

∙ 𝑴𝒊𝒋

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Matrices y Determinantes U.T.N - Facultad Regional Santa Fe -

2. Todo determinante de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una cualquiera de sus líneas (fila o columna) previamente multiplicados por su adjunto o cofactores correspondientes. Propiedades de los determinantes 𝐀 = 𝐀𝐓 𝑨. 𝑩 = 𝑨 𝑩 𝐤 ∙ 𝐀 = 𝐤𝐧 ∙ 𝐀 𝑨−𝟏 =

𝟏 𝑨

𝑨𝒅𝒋 𝑨 = 𝑨 𝒏−𝟏 𝑨+𝑩 ≠ 𝑨 + 𝑩 Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una de sus líneas nulos su determinante es cero. Si una matriz tiene dos de sus líneas paralelas iguales su determinante es nulo. Si una matriz tiene dos de sus líneas proporcionales, entonces su determinante es nulo. Si una matriz de orden n tiene una línea que es combinación lineal de las restantes líneas paralelas a ella, su determinante es nulo. Si en una matriz se intercambian entre sí dos líneas paralelas (filas o columnas), su determinante mantiene su valor absoluto pero cambia de signo. Si dos matrices de orden n tienen n-1 líneas comunes (filas o columnas), la suma de sus determinantes es igual a otro determinante compuesto por las n-1 líneas comunes y la restante formada por la suma de los elementos correspondientes de las líneas diferentes. Dada una matriz cuadrada A de orden n, si a los elementos de una de sus líneas se le suman correspondientemente los elementos de otra línea paralela a ella previamente multiplicados por una constante se obtiene una nueva matriz A*, cuyo determinante es igual al determinante de la matriz A. En toda matriz, la suma de los productos de los elementos de cualquiera de sus líneas por los adjuntos de los elementos de otra línea paralela a ella, siempre es igual a cero.

Autor: Julián Aldecova, Tutor de AGA

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