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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 34 M últiplos y divisores 1

Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números:

• • • •

2

143

12

124

364

180

31

52

13

143 y 13 124 y 31 364 y 13 364 y 52

Responde justificando tu respuesta. a) ¿Es 132 múltiplo de 11? b) ¿Es 11 divisor de 132? c) ¿Es 574 múltiplo de 14? d) ¿Es 27 divisor de 1 542? a) Sí, 132 = 12 · 11 b) Sí, 132 : 11 = 12 c) Sí, 574 = 41 · 14 d) No, 1 542 = 57 · 27 + 3 8 división con resto.

3

Calcula. a) Los cinco primeros múltiplos de 10. b) Los cinco primeros múltiplos de 13. c) Los cinco primeros múltiplos de 31. a) 10, 20, 30, 40 y 50. b) 13, 26, 39, 52 y 65. c) 31, 62, 93, 124 y 155.

4

Calcula. a) Todos los divisores de 18. b) Todos los divisores de 23. c) Todos los divisores de 32. a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18. b) 1 y 23. c) 1, 2, 4, 8, 16 y 32.

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

1

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

5

Copia estos números y selecciona: 66

71

90

103

105

156

220

315

421

708

a) Los múltiplos de 2. b) Los múltiplos de 3. c) Los múltiplos de 5. a) 66, 90, 156, 220 y 708. b) 66, 90, 105, 156 y 708. c) 90, 105, 220 y 315.

6

Copia estos números, rodea con un círculo los múltiplos de 3 y tacha los múltiplos de 9: 33 41 54 87 108 112 231 341 685 33

41 112

54 231

87 341

108 685

N úmeros primos y compuestos 7

Escribe: a) Los diez primeros números primos. b) Los números primos comprendidos entre 50 y 60. c) Los números primos comprendidos entre 80 y 100. d) Los tres primeros números primos mayores que 100. a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. b) 53 y 59. c) 83, 89 y 97. d) 101, 103 y 107.

8

Mentalmente, sin lápiz ni papel, separa los números primos de los compuestos: 4

7

10

15

17

24

31

41

51

67

• Primos: 7, 17, 31, 41 y 67. • Compuestos: 4, 10, 15, 24 y 51.

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

1

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

9

Descompón, mentalmente, en el máximo número de factores las siguientes cantidades:

• • • •

10

11

6

8

10

14

15

18

20

24

25

27

30

42

6=2·3 14 = 2 · 7 20 = 22 · 5 27 = 33

• • • •

8 = 23 15 = 3 · 5 24 = 23 · 3 30 = 2 · 3 · 5

• • • •

10 = 2 · 5 18 = 2 · 32 25 = 52 42 = 2 · 3 · 7

Descompón en factores primos. a) 48 b) 54 d) 105 e) 120 g) 180 h)200

c) 90 f ) 135 i) 250

a) 48 = 24 · 3

b) 54 = 2 · 33

c) 90 = 2 · 32 · 5

d) 105 = 3 · 5 · 7

e) 120 = 23 · 3 · 5

f ) 135 = 33 · 5

g) 180 = 22 · 32 · 5

h) 200 = 23 · 52

i) 250 = 2 · 53

Descompón en el máximo número de factores: a) 378 b) 1 144 c) 1 872 a) 378 = 2 · 33 · 7

b) 1 144 = 23 · 11 · 13

c) 1 872 = 24 · 32 · 13

M ínimo común múltiplo y máximo común divisor 12

Calcula. a) Los diez primeros múltiplos de 10. b) Los diez primeros múltiplos de 15. c) Los primeros múltiplos comunes de 10 y 15. d) El mínimo común múltiplo de 10 y 15. a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150. c) 30, 60, 90, … d) 30

13

Calcula mentalmente. a) mín.c.m. (2, 3) b) mín.c.m. (6, 9) d) mín.c.m. (6, 10) e) mín.c.m. (6, 12)

c) mín.c.m. (4, 10) f ) mín.c.m. (12, 18)

a) mín.c.m. (2, 3) = 6

b) mín.c.m. (6, 9) = 18

c) mín.c.m. (4, 10) = 20

d) mín.c.m. (6, 10) = 30

e) mín.c.m. (6, 12) = 12

f ) mín.c.m. (12, 18) = 36

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

14

15

Calcula. a) mín.c.m. (12, 15)

b) mín.c.m. (24, 60)

c) mín.c.m. (48, 54)

d) mín.c.m. (90, 150)

e) mín.c.m. (6, 10, 15)

f ) mín.c.m. (8, 12, 18)

a) mín.c.m. (12, 15) = 60

b) mín.c.m. (24, 60) = 120

c) mín.c.m. (48, 54) = 432

d) mín.c.m. (90, 150) = 450

e) mín.c.m. (6, 10, 15) = 30

f ) mín.c.m. (8, 12, 18) = 72

Escribe: a) Todos los divisores de 18. b) Todos los divisores de 24. c) Los divisores comunes de 18 y 24. d) El máximo común divisor de 18 y 24. a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18. b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. c) 1, 2, 3 y 6. d) 6

PÁGINA 35 16

17

Calcula mentalmente. a) máx.c.d. (4, 8)

b) máx.c.d. (6, 9)

c) máx.c.d. (10, 15)

d) máx.c.d. (12, 16)

e) máx.c.d. (16, 24)

f ) máx.c.d. (18, 24)

a) máx.c.d. (4, 8) = 4

b) máx.c.d. (6, 9) = 3

c) máx.c.d. (10, 15) = 5

d) máx.c.d. (12, 16) = 4

e) máx.c.d. (16, 24) = 8

f ) máx.c.d. (18, 24) = 6

Calcula. a) máx.c.d. (36, 45)

b) máx.c.d. (48, 72)

c) máx.c.d. (105, 120)

d) máx.c.d. (135, 180)

e) máx.c.d. (8, 12, 16)

f ) máx.c.d. (45, 60, 105)

a) máx.c.d. (36, 45) = 9

b) máx.c.d. (48, 72) = 24

c) máx.c.d. (105, 120) = 15

d) máx.c.d. (135, 180) = 45

e) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4

f ) máx.c.d. (45, 60, 105) = 15

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

P roblemas 18

¿De cuántas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermelada en cajas iguales? Indica, en cada caso, el número de cajas necesarias y el número de botes por caja. Los 80 botes se pueden envasar de las 10 formas distintas que corresponden a las diferentes formas de descomponer 80 en dos factores. 80 = 24 · 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 8 las descomposiciones en 2 factores son:

19

2 · 40

2 cajas de 40 botes 40 cajas de 2 botes

16 · 5

16 cajas de 5 botes 5 cajas de 16 botes

4 · 20

4 cajas de 20 botes 20 cajas de 4 botes

1 · 80

1 caja de 80 botes 80 cajas de 1 bote

8 · 10

8 cajas de 10 botes 10 cajas de 8 botes

Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su longitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en trozos de 18 m? La longitud del rollo es de 180 m. mín.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer múltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200 es 180.

20

Un agricultor riega su campo cada 10 días y lo fumiga cada 18. ¿Cada cuánto tiempo le coinciden ambos trabajos en la misma jornada? Cada 90 días. mín.c.m. (10, 18) = 90

21

De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su actividad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, y la línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada los autobuses de ambas líneas? A las 8 h 12 min. mín.c.m. (24, 36) = 72 72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min

22

Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo? Cada trozo medirá 10 metros. máx.c.d. (20, 30) = 10

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

23

Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de ancho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo que se han empleado las mayores que había en el almacén? 30 cm de lado. 12,3 m = 123 dm° ¢ 8 máx.c.d. (90, 123) = 3 9 m = 90 dm£ 3 dm = 30 cm = 0,3 m

24

Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rectangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿Cuántas piezas ha empleado? El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas. mín.c.m. (12, 18) = 36 (36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectángulo en el lado del cuadrado. (36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectángulo en el lado del cuadrado. 3 · 2 = 6 piezas

25

Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conserva de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos productos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias? ¿Cuántos botes irán en cada caja? • Se necesitan 12 cajas como mínimo. • Habrá 25 botes en cada caja. Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 o de 25 botes. Para utilizar un mínimo número de cajas envasaremos en cajas de 25 botes. 125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates ° ¢ 8 5 + 7 = 12 cajas en total 175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos £

26

En un horno de bollería se han fabricado 2 400 magdalenas y 2 640 mantecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unidades y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos mantecados se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe ser superior a 15 e inferior a 30? Se pueden poner 16, 20 ó 24 unidades por bolsa. ° Divisores comunes de 2 400 y 2 640 2 400 = 25 · 3 · 52 8 ¢ 4 2 640 = 2 · 3 · 5 · 11 £ que son mayores de 15 y menores de 30

8 24 = 16

23 · 3 = 24

22 · 5 = 20

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

P rofundiza 27

Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es la unidad. Por ejemplo: 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ° ¢ Son primos entre sí. 35 = 5 · 7 £ Escribe otras tres parejas de números primos entre sí. Por ejemplo: 2

°

• 4 y 15 ¢4 = 2 £15 = 3 · 5 °14 = 2 · 7

• 14 y 15 ¢

£15 = 3 · 5 °22 = 2 · 11

• 22 y 39 ¢

£39 = 3 · 13

28

Justifica la siguiente afirmación: Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c. b=k·b° ¢ 8 a=?·c b=h·c £ a = (k · h) · c a=k·b ° 8 a = k · b = k · (h · c) = (k · h) · c 8 a es múltiplo de c. b = h · c ¢£

29

Demuestra que si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a es divisor de c. b = a · m° ¢ 8 c=?·a c=b·n £ c = (m · n) · a b=a·m° 8 c = b · n = (a · m) · n = (m · n) · a 8 a es divisor de c. c = b · n ¢£

30

Si m es múltiplo de n, calcula: a) mín.c.m. (m, n) b) máx.c.d. (m, n) a) mín.c.m. (m, n) = m b) máx.c.d. (m, n) = n

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

PÁGINA 36 S uma y resta de números enteros 31

32

Calcula mentalmente. a) 5 – 9 b) 5 – 11 d) 22 – 30 e) 21 – 33 g) –8 – 14 h)–21 – 15 j) –13 + 18 k) –22 + 9

c) 13 – 9 f ) 46 – 52 i) –33 – 22 l) –37 + 21

a) – 4

b) –6

c) 4

d) –8

e) –12

f ) –6

g) –22

h) –36

i) –55

j) 5

k) –13

l) –16

Calcula. a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9 c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10 a) –1

33

d) –8

b) 0

c) – 6

d) – 4

c) 2

d) –2

Calcula. a) 3 – (5 + 7 – 10 – 9) b) 4 + (8 – 6 – 10) – (6 – 10 + 4) c) (7 – 11 – 4) – (9 – 6 – 13) d) –(6 – 3 – 5) – (– 4 – 7 + 15) a) 10

35

c) 0

Quita paréntesis y calcula. a) (+5) – (–3) – (+8) + (– 4) b) –(–7) – (+5) + (–6) + (+4) c) +(–9) – (+13) – (–11) + (+5) d) –(+8) + (–3) – (–15) – (+6) – (+2) a) – 4

34

b) 2

b) 10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6 d) –7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

b) – 4

Opera. a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)] b) 8 – [(6 – 9) – (7 – 13)] c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)] d) (2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)] e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)] a) 3

b) 5

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

c) –18

d) –7

e) 3

1

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

36

Quita paréntesis y calcula. a) 6 – (5 – [4 – (3 – 2)]) b) 6 – (7 – [8 – (9 – 10)]) c) 10 + (11 – [12 + (13 – 14)]) d) 10 – (9 + [8 – (7 + 6)]) e) [(3 – 8) – 5] + (–11 + [7 – (3 – 4)]) a) 4

b) 8

c) 10

d) 6

e) –13

M ultiplicación y división de números enteros 37

38

39

Opera aplicando la regla de los signos. a) (–5) · (–6) b) (–21) : (+3) c) (– 4) · (+7) d) (+42) : (–6) e) (–6) · (–8) f ) (+30) : (+5) g) (+10) · (+5) h)(–63) : (–9) i) (–9) · (–5) j) (+112) : (–14) a) 30

b) –7

c) –28

d) –7

e) 48

f) 6

g) 50

h) –8

i) 45

j) –8

Obtén el valor de x en cada caso: a) x · (–9) = +9 b) (–5) : x = –1 d) x : (– 4) = +3 e) x · (+6) = – 42

c) (–5) · x = – 45 f ) (+28) : x = –7

a) x = –1

b) x = 5

c) x = 9

d) x = –12

e) x = –7

f ) x = –4

Calcula. a) (–2) · [(+3) · (–2)] c) (+6) : [(–30) : (–15)] e) (–5) · [(–18) : (–6)] g) [(–21) : 7] · [8 : (– 4)]

b) [(+5) · (–3)] · (+2) d) [(+40) : (– 4)] : (–5) f ) [(–8) · (+3)] : (– 4) h)[6 · (–10)] : [(–5) · 6]

a) 12

b) –30

c) 3

d) 2

e) –15

f) 6

g) 6

h) 2

O peraciones combinadas con números enteros 40

Calcula. a) 5 – 4 · 3 d) 2 · 8 – 4 · 5

b) 2 · 9 – 7 e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19

c) 4 · 5 – 6 · 3 f ) 5 · 6 – 21 – 3 · 7 + 12

a) –7

b) 11

c) 2

d) – 4

e) –21

f) 0

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

41

Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica. a) 3 · (9 – 11) b) –5 · (4 – 9) c) 5 · (9 – 4) – 12 d) 1 + 4 · (6 – 10) e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) a) 3 · (9 – 11) = 3 · (–2) = – 6 b) –5 · (4 – 9) = –5 · (–5) = 25 c) 5 · (9 – 4) – 12 = 5 · 5 – 12 = 25 – 12 = 13 d) 1 + 4 · (6 – 10) = 1 + 4 · (– 4) = 1 – 16 = –15 e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) = 6 · (–4) – 3 · (–6) = –24 + 18 = –6 f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) = 4 · 5 + 3 · (–6) = 20 – 18 = 2

42

Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis. a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2 c) (–10) – 2 · (–3) d) [(–10) – 2] · (–3) e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)] a)17 – 6 · 2 = 17 – 12 = 5 b) (17 – 6) · 2 = 11 · 2 = 22 c) (–10) – 2 · (–3) = –10 + 6 = –4 d) [(–10) – 2] · (–3) = (–12) · (–3) = 36 e) (–3) · (+5) + (–2) = –15 – 2 = –17 f ) (–3) · [(+5) + (–2)] = (–3) · (+3) = –9

PÁGINA 37 43

Calcula paso a paso. a) 5 · (– 4) – 2 · (–6) + 13 b) –6 · (+4) + (–3) · 7 + 38 c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4) d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6) a) 5 · (– 4) – 2 · (–6) + 13 = –20 + 12 + 13 = –20 + 25 = 5 b) –6 · (+4) + (–3) · 7 + 38 = –24 – 21 + 38 = –45 + 38 = –7 c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4) = –16 – 30 – 36 = –82 d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6) = –2 496

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11

44

Opera. a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)] b) (– 4) · [12 + 3 · (5 – 8)] c) 6 · [18 + (– 4) · (9 – 4)] – 13 d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)] e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)] f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)] a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)] = 5 · [11 – 4 · 4] = 5 · [11 – 16] = 5 · (–5) = –25 b) (– 4) · [12 + 3 · (5 – 8)] = (–4) · [12 + 3 · (–3)] = (–4) · [12 – 9] = (–4) · 3 = –12 c) 6 · [18 + (– 4) · (9 – 4)] – 13 = 6 · [18 + (–4) · 5] – 13 = 6 · [18 – 20] – 13 = = 6 · (–2) – 13 = –12 – 13 = –25 d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)] = 4 + 2 · [–8 – 3 · (–2)] = 4 + 2 · [–8 + 6] = = 4 + 2 · [–2] = 4 – 4 = 0 e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)] = 24 + 3 · [13 – 4 – 5] = 24 + 3 · 4 = 24 + 12 = 36 f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)] = 6 · (–4) + (–5) · [5 · 6 – 4 · 5] = = –24 – 5 · [30 – 20] = –24 – 5 · 10 = –24 – 50 = –74

45

Calcula paso a paso. a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)] b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)] a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)] = 10 : [8 – 12 : 2] = 10 : [8 – 6] = 10 : 2 = 5 b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)] = 6 : (–2) – [4 : (–2) + 2] = = –3 – [–2 + 2] = –3

P otencias de números enteros 46

47

Calcula. a) (–2)1 d) (–2)4 g) (–2)7

b) (–2)2 e) (–2)5 h)(–2)8

c) (–2)3 f ) (–2)6 i) (–2)9

a) –2 d) 16 g) –128

b) 4 e) –32 h) 256

c) –8 f ) 64 i) –512

Calcula. a) (–5)4 d) (+7)3

b) (+4)5 e) (–8)2

c) (–6)3 f ) (–10)7

a) 625 d) 343

b) 1 024 e) 64

c) –216 f ) –10 000 000

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

1

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12

48

Observa… = (–2) · (–2) · (–2) = –8 –23 = –2 · 2 · 2 = –8 …y calcula. b) (+3)4 a) (–3)4

c) –34

d) +34

a) 81

c) –81

d) 81

(–2)3

49

b) 81

(+2)3 = (+2) · (+2) · (+2) = +8 +23 = +2 · 2 · 2 = +8

Expresa como potencia de un único número. a) 104 : 54 b) 127 : (– 4)7 d) 26 · 26 e) (– 4)5 · (–2)5

c) (–9)6 : 36 f ) 24 · (–5)4

a) 104 : 54 = (2 · 5)4 : 54 = (24 · 54) : 54 = 24 b) 127 : (– 4)7 = (3 · 4)7 : (– 4)7 = (37 · 47) : (–4)7 = –37 c) (–9)6 : 36 = 312 : 36 = 36 d) 26 · 26 = 212 e) (– 4)5 · (–2)5 = –(45) · (–25) = 45 · 25 = 210 · 25 = 215 f ) 24 · (–5)4 = 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104

50

51

a) x 4

Reduce a una sola potencia. · x6 c) m 8 : m 6 e) (x 2)5 g) [a 10 : a 6]2 i) (x 5 : x 2) · x 4

b) m 3 · m 4 d) x 7 : x 6 f ) (m 4)3 h)(a · a 3)3 j) (x 6 · x 4) : x 7

a) x 4 · x 6 = x 10 c) m 8 : m 6 = m 8 : m 6 = m 2 e) (x 2)5 = x 10 g) [a 10 : a 6]2 = a8 i) (x 5 : x 2) · x 4 = x 7

b) m 3 · m 4 = m 7 d) x 7 : x 6 = x f ) (m 4)3 = m 12 h) (a · a 3)3 = a12 j) (x 6 · x 4) : x 7 = x 3

Expresa como una potencia única. ·4 b) 52 · (–5)3 c) (–6)8 : (–6)5 d) 78 : (–7) e) (52 · 54) : 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6 g) (24)3 : 29 h)(– 4)7 : (42)2 i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 j) (52)5 : [(–5)3]2 a) 43

a) 43 · 4 = 44 c) (–6)8 : (–6)5 = –63 e) (52 · 54) : 53 = 53 g) (24)3 : 29 = 23 i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 = –33

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

b) 52 · (–5)3 = –55 d) 78 : (–7) = –77 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6 = 72 h) (– 4)7 : (42)2 = –43 j) (52)5 : [(–5)3]2 = 54

1

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 13

52

Opera y calcula. : (23)2] · 53 b) 102 : [(52)3 : 54] c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 d) [(62)2 · 44] : (23)4

a) [29

a) [29 : (23)2] · 53 = [29 : 26] · 53 = 23 · 53 = 103 = 1 000 b) 102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4 c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 = 63 : [2 · 3]2 = 63 : 62 = 6 d) [(62)2 · 44] : (23)4 = [64 · 44] : (23)4 = [6 · 4]4 : (23)4 = [3 · 23]4 : (23)4 = = [(3 · 23) : 23]4 = 34 = 81

R aíces de números enteros 53

Calcula. a) √49

b) √72

c) √– 49

d) √152

e) √225

f ) √–225

g) √2 500

h) √502

i) √–2 500

a) ±7

b) ±7

c) No existe.

d) ±15

e) ±15

f ) No existe.

g) ±50

h) ±50

i) No existe.

54

Calcula las raíces siguientes: a) √x 2

b) √(–x)2

c) √–x 2

d) √a 4

e) √(–a)4

f ) √–a 4

g) √m 6

h) √(–m)6

i) √–m 6

a) ±x

b) ±x

c) No existe.

d) ±a 2

e) ±a 2

f ) No existe.

g) ±m 3

h) ±m 3

i) No existe.

55

Calcula, si existen, estas raíces: a) 3√1

b) 3√–1

c) 3√64

d) 4√625

e) 4√–625

f ) 4√10 000

a) 1

b) –1

c) 4

d) ±5

e) No existe.

f ) ±10

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

1

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 14

56

57

Calcula. a) 3√a 3

b) 4√x 4

c) 5√m 5

a) a

b) ±x

c) m

Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar. • 4√x 12 = x 3, puesto que (x 3)4 = x 3 · 4 = x 12 a) 3√a 12

b) 5√m10

a) 3√a 12 = a 4, ya que (a4)3 = a4 · 3 = a12 b) 5√m10 = m 2, ya que (m 2)5 = m 2 · 5 = m 10 c) √x 10 = ±x 5, ya que (x 5)2 = x 10 y (–x 5)2 = x 10

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

c) √x 10

2

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 54 S istema de numeración decimal 1

Copia y completa. a) 5 décimas = … milésimas b) 2 milésimas = … millonésimas c) 6 cienmilésimas = … centésimas d) 8 millonésimas = … milésimas a) 5 décimas = 500 milésimas b) 2 milésimas = 2 000 millonésimas c) 6 cienmilésimas = 0,006 centésimas d) 8 millonésimas = 0,008 milésimas

2

Ordena de menor a mayor en cada caso: a) 5,1; 5,099; 4,83; 4,9; 4,99 b) 0,21; 0,03; 0,15; 0,209; 0,101; 0,121 a) 4,83 < 4,9 < 4,99 < 5,099 < 5,1 b) 0,03 < 0,101 < 0,121 < 0,15 < 0,209 < 0,21

3

Escribe el número asociado a cada letra: A

2,23

M

4

2,3

B

C D

0

N

0,1

P

R

A = 2,20

B = 2,26

C = 2,38

D = 2,40

M = –0,18

N = –0,10

P = 0,05

R = 0,20

Copia y completa la tabla. NÚMERO

)

2, 7

)

5, 29

APROXIMACIÓN A LAS UNIDADES APROXIMACIÓN A LAS DÉCIMAS APROXIMACIÓN A LAS CENTÉSIMAS APROXIMACIÓN A LAS MILÉSIMAS

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

)

4,6 51

2

Soluciones a los ejercicios y problemas )

)

)

NÚMERO

2, 7

5, 29

4,6 51

APROXIMACIÓN A LAS UNIDADES

3

5

5

APROXIMACIÓN A LAS DÉCIMAS

2,8

5,3

4,7

APROXIMACIÓN A LAS CENTÉSIMAS

2,78

5,29

4,65

APROXIMACIÓN A LAS MILÉSIMAS

2,778

5,293

4,652

O peraciones con números decimales 5

Calcula. a) 3,2 – 1,63 – 0,528 c) 3,458 – (6,7 – 4,284)

b) 0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4 d) 5,2 – (2,798 + 1,36)

a) 3,2 – 1,63 – 0,528 = 3,2 – 2,158 = 1,042 b) 0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4 = 2,08 – 1,038 = 1,042 c) 3,458 – (6,7 – 4,284) = 3,458 – 2,416 = 1,042 d) 5,2 – (2,798 + 1,36) = 5,2 – 4,158 = 1,042

6

7

8

Multiplica con la calculadora y aproxima el producto a las centésimas. a) 2,63 · 0,84 b) 4,11 · 3,13 c) 0,635 · 4,22 d) 0,27 · 0,086 a) 2,63 · 0,84 = 2,21

b) 4,11 · 3,13 = 12,86

c) 0,635 · 4,22 = 2,68

d) 0,27 · 0,086 = 0,02

Divide con la calculadora y aproxima el cociente a las milésimas. a) 62,35 : 12 b) 5,27 : 153 c) 48,542 : 2,1 d) 5,7 : 0,045 a) 62,35 : 12 = 5,196

b) 5,27 : 153 = 0,034

c) 48,542 : 2,1 = 23,115

d) 5,7 : 0,045 = 126,667

Opera. a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29)

b) (5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29 d) 5,8 – (3,2 · 1,6 – 0,29)

a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 = 5,8 – 5,12 – 0,29 = 5,8 – 5,41 = 0,39 b) (5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29 = 2,6 · 1,6 – 0,29 = 4,16 – 0,29 = 3,87 c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29) = 5,8 – 3,2 · 1,31 = 5,8 – 4,192 = 1,608 d) 5,8 – (3,2 · 1,6 – 0,29) = 5,8 – (5,12 – 0,29) = 5,8 – 4,83 = 0,97

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

Pág. 2

2

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

9

Obtén con la calculadora y aproxima el resultado a las centésimas. a) √851

b) √13,29

c) √262,3

a) √851 = 29,17

b) √13,29 = 3,65

c) √262,3 = 16,20

O peraciones en el sistema sexagesimal 10

Expresa en horas. a) 48 min

b) 66 min

c) 6 120 s

a) 48 min = (48 : 60) h = 0,8 h b) 66 min = (66 : 60) h = 1,1 h c) 6 120 s = (6 120 : 3 600) h = 1,7 h

11

Pasa a forma compleja. a) 12 639'' b) 756,25'

c) 45,15°

a) 12 639'' = 3° 30' 39'' 12 639'' 39''

60 210' 30'

60 3°

b) 756,25' = 12° 36' 15'' 756,25' 36,25'

60 12°

36,25' = 36' + (0,25 · 60)'' = 36' 15'' c) 45,15° = 45° + (0,15 · 60)' = 45° 9'

12

Pasa a horas, minutos y segundos. a) 8,42 h b) 123,45 min

c) 12 746 s

a) 8,42 h = 8 h + (0,42 · 60)min = 8 h 25,2 min = 8 h 25 min + (0,2 · 60)s = = 8 h 25 min 12 s b) 123,45 min = 2 h 3 min 27 s 123,45 min 3,45 min

60 2h

3,45 min = 3 min + (0,45 · 60)s = 3 min 27 s c) 12 746 s = 3 h 32 min 26 s 12 746 s 26 s

60 212 min 32 min

60 3h

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

2

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

13

Calcula. a) 37° 50' 18'' + 25° 39' b) 53° 27' 46'' + 39° 43' 32'' c) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s) d) (4 h 16 min 24 s) – (2 h 39 min 51 s) a) 37° 50' 18'' + 25° 39' = 62° 89' 18'' = 63° 29' 18'' b) 53° 27' 46'' + 39° 43' 32'' = 92° 70' 78'' = 93° 11' 18'' c) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s) = (2 h 72 min 50 s) – (1 h 52 min 28 s) = = 1 h 20 min 32 s d) (4 h 16 min 24 s) – (2 h 39 min 51 s) = (3 h 75 min 84 s) – (2 h 39 min 51 s) = = 1 h 36 min 33 s

14

Calcula. a) (14 min 16 s) · 8 b) (26° 52' 10'') · 5 c) (59° 46' 18'') : 6 d) (2 h 25 min 36 s) : 12 a) (14 min 16 s) · 8 = 112 min 128 s = 1 h 54 min 8 s b) (26° 52' 10'') · 5 = 130° 260' 50'' = 134° 20' 50'' c) (59° 46' 18'') : 6 = 9° 57' 43'' 59° 46' 18'' 5° | · 60 Ä8 300' 346' 4' | · 60 Ä8 240'' 258'' 0''

6 9° 57' 43''

d) (2 h 25 min 36 s) : 12 = 0 h 12 min 8 s 2h 25 min | · 60 Ä8 120 min 145 min 1 min | · 60 Ä8

36 s

12 0 h 12 min 8 s

60 s 96 s 0s

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

2

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

P ara ir más lejos 15

Continúa en tres términos cada serie: a) 2,37 - 2,16 - 1,95 - 1,74 - … b) 5 - 1 - 0,2 - 0,4 - … c) 0,24 - 1,2 - 6 - 30 - … (–0,21) a) 2,37 - 2,16 - 1,95 - 1,74 - ÄÄ8 1,53 - 1,32 - 1,11 (: 5) b) 5 - 1 - 0,2 - 0,4 - Ä8 0,008 - 0,0016 - 0,00032 (· 5) c) 0,24 - 1,2 - 6 - 30 - Ä8 150 - 750 - 3 750

16

Calcula cada resultado con un error menor que una centésima: ) ) a) 4, 6 + 6,4 8 b) 6 – 2, 29 c) 4,2864 · 0,03 d) 6,28 : 9

)

Redondeando a las centésimas el error será < 0,005:

)

)

a) 4, 6 + 6,4 8 = 4,67 + 6,49 = 11,16

)

b) 6 – 2, 29 = 6 – 2,29 = 3,71 c) 4,2864 · 0,03 = 0,13 d) 6,28 : 9 = 0,70

P roblemas con números decimales ¿Cuánto cuestan dos kilos y ochocientos gramos de manzanas a 1,65 € el

17 kilo?

Cuestan 4,62 €. 2 kg + 800 g = 2,8 kg 8 (2,8 kg) · (1,65 €/kg) = 4,62 €

PÁGINA 55 18

¿Cuánto pagaré si compro 1,083 kg de salmón a 9,75 €/kg? (Atención al redondeo). Pagaré 10,56 €. (1,083 kg) · (9,75 €/kg) = 10,55925 € 8 10,56 €

19

Una llamada telefónica a Canadá de 13,5 min ha costado 9,45 €. ¿Cuál es el precio por minuto? El precio es de 0,70 €/min. (9,45 €) : (13,5 min) = 0,70 €/min

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

2

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

20

Para fabricar 3 500 dosis de cierto medicamento, se necesitan 1,96 kg de principio activo. ¿Cuántos gramos de principio activo lleva cada dosis? Cada dosis lleva 0,56 g de principio activo. 1,96 kg = 1 960 g 8 (1 960 g) : (3 500 dosis) = 0,56 g/dosis

21

Hemos gastado 6,08 € en la compra de un trozo de queso que se vende a 12,80 €/kg. ¿Cuánto pesa la porción adquirida? Pesa 475 g. (6,08 €) : (12,80 €/kg) = 0,475 g

22

Una sandía de 2 kilos y 625 gramos ha costado 4,2 €. ¿A cómo sale el kilo? 1,6 €/kg (4,2 €) : (2,625 kg) = 1,6 €/kg

23

Para celebrar una fiesta, trece amigos adquieren: — 6 botellas de refresco a 1,65 € la botella. — 1,120 kg de jamón a 27,75 €/kg. — 5 barras de pan a 0,85 € la barra. — 350 g de cacahuetes a 9,60 €/kg. — 0,8 kg de patatas fritas a 5,80 €/kg. ¿Cuánto debe poner cada uno? Cada uno debe poner 4,10 € y sobrarán 0,07 €. — Refrescos: 6 · 1,65 € = 9,9 € — Jamón: (1,120 kg) · (27,75 €/kg) = 31,08 € — Pan: 5 · 0,85 € = 4,25 € — Cacahuetes: (0,350 kg) · (9,60 €/kg) = 3,36 € — Patatas fritas: (0,8 kg) · (5,80 €/kg) = 4,64 € Total: 53,23 € 53,23 : 13 = 4,0946… Si cada uno pone 4,09 €, el total no es suficiente 8 cada uno tiene que poner 4,10 € y sobrarán 0,07 €.

24

Una empresa inmobiliaria adquiere un terreno rectangular de 125,40 m de largo y 74,60 m de ancho por 350 000 €. Después, lo urbaniza, con un coste de 62 528,43 €. Y, por último, lo divide en parcelas y lo pone a la venta a 52,75 € el metro cuadrado. ¿Qué beneficio espera obtener? Espera obtener un beneficio de 80 939,38 €. • Paga por terrenos: 350 000 € • Paga por urbanizar: 62 528,43 € • Gana en venta: (52,75 €/m2) · (125,40 m · 74,60 m) = 493 467,81 € Beneficio = 493 467,81 € – 350 000 € – 62 528,43 € = 80 939,38 €

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

2

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

25

Una furgoneta transporta 250 docenas de huevos que cuestan 0,98 € la docena. En una curva se vuelca una caja y se rompen 60 huevos. ¿Cuánto hay que aumentar el precio de la docena para que la mercancía siga valiendo lo mismo? Hay que aumentar la docena a 1 € (o en 0,02 €). • 250 docenas · (0,98 €/docena) = 245 € • Se rompen 60 huevos = 5 docenas • Quedan 250 – 5 = 245 docenas 8 Para seguir ganando 245 € hemos de subir la docena a 1 €, es decir, aumentarla en 0,02 €.

P roblemas con amplitudes angulares y tiempos 26

Una cadena de radio inicia a las 18 h 45 min 13 s la emisión de un programa de música, pregrabado, que tiene una duración de 1 h 16 min 52 s. ¿A qué hora terminará el programa? Terminará a las 20 h 2 min 5 s. (18 h 45 min 13 s) + (1 h 16 min 52 s) = 19 h 61 min 65 s = 20 h 2 min 5 s.

27

Se ha pasado por TV una película que tiene una duración de 1 h 53 min 23 s, pero con las cuñas publicitarias la emisión ha durado 2 h 12 min 15 s. ¿Cuánto tiempo se ha dedicado a publicidad? Se han dedicado a publicidad 18 min 52 s. (2 h 12 min 15 s) – (1 h 53 min 23 s) = (1 h 71 min 75 s) – (1 h 53 min 23 s) = = 0 h 18 min 52 s.

28

Un camión ha realizado un viaje de 169,29 km en 2 h 42 min. ¿Cuál ha sido su velocidad media? La velocidad media es de 62,7 km/h. 2 h 42 min = 2 h + (42 : 60) h = 2 h + 0,7 h = 2,7 h vMEDIA = (159,29 km) : (2,7 h) = 62,7 km/h

29

Un autobús urbano da una vuelta a su recorrido cada hora y doce minutos. ¿Cuántas vueltas dará en las 12 horas que dura su servicio? Dará 10 vueltas. 1 h 12 min = 1 h + (12 : 60) h = 1 h + 0,2 h = 1,2 h 12 : 1,2 = 10 8 10 vueltas

30

Resuelto en el libro de texto.

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

2

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

31

Un ciclista ha recorrido 51 km a una velocidad media de 24 km/h. ¿Cuánto tiempo ha invertido? Habrá invertido 2 h 7 min 30 s. 51 24 3 2 h 7 min 30 s | · 60 Ä8 180 12 | · 60 Ä8 720 0

32 33

Resuelto en el libro de texto. Calcula el ángulo que forman las agujas del reloj a las: a) 2 h 24 min b) 7 h 42 min c) 13 h 18 min a) 2 h 24 min 8 72° 2 h 24 min = 2 h + (24 : 60) h = 2,4 h • aguja pequeña: a = (2,4 h) · (30°/h) = 72° ° b – a = 144° – 72° = 72° • aguja grande: b = (24 min) · (6°/min) = 144° ¢£ b) 7 h 42 min 8 21° 7 h 42 min = 7 h + (42 : 60) h = 7,7 h • aguja pequeña: a = (7,7 h) · (30°/h) = 231° ° b – a = 252° – 231° = 21° • aguja grande: b = (42 min) · (6°/min) = 252° ¢£ c) 13 h 18 min 8 69° 13 h 18 min = 1 h 18 min = 1 h + (18 : 60) h = 1,3 h • aguja pequeña: a = (1,3 h) · (30°/h) = 39° ° b – a = 108° – 39° = 69° • aguja grande: b = (18 min) · (6°/min) = 108° ¢£

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 76 A plicación de conceptos 1

El cubo pequeño está construido con dados amarillos. Para formar el cubo grande, recubrimos el anterior de dados rojos.

¿Qué fracción de los dados del cubo grande son amarillos? ¿Y rojos? 27 de los dados del cubo grande son amarillos y 98 son rojos. 125 125 • Cubo pequeño: 33 = 27 dados, todos amarillos. • Cubo grande: 53 = 125 dados en total: 27 °• 27 de 125 dados son amarillos 8 — § 125 § ¢ 98 §• resto: 125 – 27 = 98 de 125 son rojos 8 — de dados rojos § 125 £

2

3

Calcula mentalmente. a) 2 de 60 3

b) 1 de 90 10

c) 3 de 120 4

d) 2 de 35 7

e) 5 de 18 9

f ) 3 de 100 5

a) 2 de 60 = 40 3

b) 1 de 90 = 9 10

c) 3 de 120 = 90 4

d) 2 de 35 = 10 7

e) 5 de 18 = 10 9

f ) 3 de 100 = 60 5

¿Cuántos gramos son? a) 3 de kilo 4

b) 3 de kilo 5

c) 7 de kilo 20

a) 3 de kilo = 750 g 4

b) 3 de kilo = 600 g 5

c) 7 de kilo = 350 g 20

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

4

5

¿Cuántos minutos son? a) 5 de hora 6

b) 3 de hora 12

c) 4 de hora 5

a) 5 de hora = 50 min 6

b) 3 de hora = 15 min 12

c) 4 de hora = 48 min 5

¿Qué fracción de hora son? a) 5 minutos b) 24 minutos

c) 360 segundos

a) 5 min = 5 de h = 1 de hora 60 12 b) 24 min = 24 de h = 2 de hora 60 5 c) 360 s = 360 de h = 1 de hora 3 600 10

F racciones y decimales 6

Expresa en forma decimal. a) 7 b) 27 2 50

c) 13 125

d) 7 6

e) 4 9

f) 5 11

a) 7 = 3,5 2

b) 27 = 0,54 50

c) 13 = 0,104 125

) e) 4 = 0,4 9

) f ) 5 = 0,45 11

)

d) 7 = 1,16 6

7

Pasa a forma fraccionaria. a) 1,1 b) 0,13 ) ) d) 0,8 e) 1,8 ) ) g) 0,24 h)0,02 a) 1,1 = 11 10

)

d) 0,8 = 8 9

)

g) 0,24 = 24 99

Unidad 3. Las fracciones

b) 0,13 = 13 100

)

c) 0,008 ) f ) 2,8 ) i) 0,13 c) 0,008 =

8 1 000

e) 1,8 = 17 9

) f ) 2,8 = 26 9

) h) 0,02 = 1 45

) i) 0,13 = 2 15

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

E quivalencia de fracciones 8

Escribe: a) Una fracción equivalente a 4/10 que tenga por numerador 6. b) Una fracción equivalente a 15/45 que tenga por denominador 12. c) Una fracción que sea equivalente a 35/45 y tenga por numerador 91. a) 6 , ya que 6 = 3 · 2 = 2 15 15 3 · 5 5 b) 4 , ya que 4 = 4 · 1 = 1 12 12 4 · 3 3 c) 91 , ya que 91 = 13 · 7 = 7 117 117 13 · 9 9

9

10

11

Calcula x en cada caso: a) 6 = 15 b) 21 = x 22 x 49 35

c) 13 = 11 x 99

d) x = 91 78 169

a) 6 = 15 8 x = 55 22 x

b) 21 = x 8 x = 15 49 35

c) 13 = 11 8 x = 117 x 99

d) x = 91 8 x = 42 78 169

Reduce a común denominador. a) 1, 5 , 3 , 7 b) 1 , 1 , 1 , 2 6 8 12 3 5 6 15 a) 1, 5 , 3 , 7 8 24 , 20 , 9 , 14 6 8 12 24 24 24 24

b) 1 , 1 , 1 , 2 8 10 , 6 , 5 , 4 3 5 6 15 30 30 30 30

Ordena de menor a mayor. ) a) 9 ; 0,6; 3 ; 7 ; 1,1 10 2 5

b) 2 ; 3 ; 3 ; 7 3 5 2 6

) a) 0,6 < 9 < 1,1 < 7 < 3 10 5 2

(

)

(

) (

ya que 0,6 < 0,9 = 9 < 1,1 < 1,4 = 7 < 1,5 = 3 10 5 2 b) 3 < 2 < 7 < 3 5 3 6 2 ya que 3 = 18 ; 2 = 20 ; 7 = 35 ; 3 = 45 5 30 3 30 6 30 2 30

Unidad 3. Las fracciones

)

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

S uma y resta de fracciones 12

13

14

Calcula mentalmente. a) 1 – 1 b) 1 + 1 10 10

c) 1 – 1 5 10

d) 1 – 1 3

e) 1 + 1 3

f) 1 – 1 3 6

g) 1 – 1 2 3

h) 1 – 1 4 8

i) 1 + 1 4 8

a) 1 – 1 = 9 10 10

b) 1 + 1 = 11 10 10

c) 1 – 1 = 1 5 10 10

d) 1 – 1 = 2 3 3

e) 1 + 1 = 4 3 3

f) 1 – 1 = 1 3 6 6

g) 1 – 1 = 1 2 3 6

h) 1 – 1 = 1 4 8 8

i) 1 + 1 = 3 4 8 8

Calcula y simplifica. a) 1 – 1 + 1 2 5 10

b) 1 + 1 – 2 3 5 15

c) 1 – 5 + 1 6 9 2

d) 4 – 2 + 3 – 5 3 2 6

a) 1 – 1 + 1 = 4 = 2 2 5 10 10 5

b) 1 + 1 – 2 = 6 = 2 3 5 15 15 5

c) 1 – 5 + 1 = 2 = 1 6 9 2 18 9

d) 4 – 2 + 3 – 5 = 0 = 0 3 2 6 6

Calcula y simplifica. a) 11 – 5 + 4 – 7 36 12 9 24

b) 13 – 5 + 17 – 7 32 24 48 12

c) 17 – 11 + 13 – 9 40 30 20 8

d) 21 – 31 – 13 + 11 44 66 22 12

e) 2 – 1 – 4 – 2 3 5 27 15

f ) 23 – 5 + 23 – 25 78 26 78 117

a) 11 – 5 + 4 – 7 = 22 – 30 + 32 – 21 = 3 = 1 36 12 9 24 72 72 24 b) 13 – 5 + 17 – 7 = 39 – 20 + 34 – 56 = – 3 = – 1 32 24 48 12 96 96 32 c) 17 – 11 + 13 – 9 = 51 – 44 + 78 – 135 = – 50 = – 5 40 30 20 8 120 120 12

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

d) 21 – 31 – 13 + 11 = 63 – 62 – 78 + 121 = 44 = 1 44 66 22 12 132 132 3 e) 2 – 1 – 4 – 2 = 90 – 27 – 20 – 18 = 25 = 5 3 5 27 15 135 135 27 f ) 23 – 5 + 23 – 25 = 69 – 45 + 69 – 50 = 43 78 26 78 117 234 234

PÁGINA 77 15

Opera. a) 2 – 1 + 3 5

b) 1 – 3 – 2 – 5 ( ) ( 4) ( 4) c) 5 – 1 – 3 – 2 d) 3 – 1 – 3 – 3 + 1 – 7 (7 3) (7 3) ( 3 ) ( 4 5 ) (10 20) e) 7 – 2 – 3 – 1 f) 3 – 3 – 1 – 2 – 1 + 1 ( ) [ ] [ ( 4 6 )] [ ( 6 8 )] 6 2 3 g) 4 – 3 – 1 – 2 – 7 – 5 [ 3 ( 8 6 )] [ 5 ( 8 6 )] h) 7 – 13 – 1 + 8 – 17 + 1 – 23 12 [ 20 ( 5 15)] [ 30 ( 2 30)] a) 2 – 1 + 3 = 2 – 8 = 10 – 8 = 2 ( 5) 5 5 5 b) 1 – 3 – 2 – 5 = 4 – 3 – 8 – 5 = 1 – 3 = – 2 = – 1 ( 4) ( 4) 4 4 4 4 4 2 c) 5 – 1 – 3 – 2 = 15 – 7 – 9 – 14 = 8 – –5 = 8 + 5 = 13 ( 7 3 ) ( 7 3 ) 21 21 21 21 21 21 d) 3 – 1 – 3 – 3 + 1 – 7 = 8 – 3 + –5 = 160 – 9 – 15 = 136 = 34 ( 3 ) ( 4 5 ) (10 20) 3 20 20 60 60 15 e) 7 – 2 – 3 – 1 = 7 – 2 – 7 = 7 – 2 + 7 = 7 – 12 + 7 = 2 = 1 ( 2 3 )] 6 [ 6 ] 6 6 6 6 3 6 [ f ) 3 – 3 – 1 – 2 – 1 + 1 = 3 – 7 – 2 – 7 = 29 – 41 = 58 – 41 = 17 [ ( 4 6 )] [ ( 6 8 )] [ 12] [ 24] 12 24 24 24 g) 4 – 3 – 1 – 2 – 7 – 5 = 4 – 5 – 2 – 1 = 27 – 43 = [ 3 ( 8 6 )] [ 5 ( 8 6 )] [ 3 24] [ 5 24] 24 120 = 135 – 43 = 92 = 23 120 120 30

[ (

h) 7 – 13 – 1 + 8 12 20 5 15

)] – [1730 + ( 12 – 2330)] = 127 – [1320 – 1115] – [1730 + –830] =

= 7 – –5 – 9 = 7 + 5 – 9 = 22 = 11 12 60 30 12 60 30 60 30

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

M ultiplicación y división de fracciones 16

Calcula y simplifica. a) 3 · 14 7

b) 2 : 4 5

c) 7 · 4 2 (–7)

d) 3 : (–5) 11 11

e) 2 · 9 3 20

f) 4 : 2 15 5

g) 6 · (–77) 35 36

h) (– 48) : 12 55 11

i) –3 : 28 8 (–9)

a) 3 · 14 = 42 7 7

b) 2 : 4 = 2 = 1 5 20 10

c) 7 · 4 = – 4 = –2 2 (–7) 2

d) 3 : (–5) = – 3 11 11 5

e) 2 · 9 = 18 = 3 3 20 60 10

f ) 4 : 2 = 20 = 2 15 5 30 3

g) 6 · (–77) = –396 = –11 35 36 1 260 30

h) (–48) : 12 = –528 = –4 55 11 660 5

i) –3 : 28 = 27 8 (–9) 224

17

Resuelto en el libro de texto.

18

Calcula y reduce. a)

a)

19

1 1 — 6

b)

6 2 — 3

1 =1: 1 =6 6 1 — 6

1 — c) 10 1 — 5 b)

2 — d) 5 4 — 3 6 = 6 : 2 = 18 = 9 3 2 2 — 3

1 — c) 10 = 1 : 1 = 5 = 1 10 5 10 2 1 — 5

2 — d) 5 = 2 : 4 = 6 = 3 5 3 20 10 4 — 3

Opera y reduce. a) 5 · 3 · 22 11 15

b) 7 : 5 : 10 2 21

(

) c) 8 · 15 : 20 9 ( 26 13 ) a) 5 · 3 · 22 = 330 = 2 11 ( 15 ) 165 Unidad 3. Las fracciones

(

(

)

)

d) 7 : 14 · 4 20 15 9

( )

b) 7 : 5 : 10 = 7 : 105 = 70 = 1 2 21 2 10 210 3

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

(

)

c) 8 · 15 : 20 = 8 · 195 = 1 560 = 1 9 26 13 9 520 4 680 3

(

)

d) 7 : 14 · 4 = 105 · 4 = 420 = 1 20 15 9 280 9 2 520 6

O peraciones combinadas 20

21

Calcula. a) 7 – 6 · 1 3

b) 3 · 7 – 3 20 20

c) 5 – 3 · 5 4 4 6

d) 2 · 5 – 2 3 7 7

e) 3 · 8 – 2 4 15 5

f) 3 · 8 – 2 4 15 5

(

)

a) 7 – 6 · 1 = 7 – 2 = 5 3

b) 3 · 7 – 3 = 21 – 3 = 18 = 9 20 20 20 20 20 10

c) 5 – 3 · 5 = 5 – 15 = 15 = 5 4 4 6 4 24 24 8

d) 2 · 5 – 2 = 10 – 2 = 4 3 7 7 21 7 21

e) 3 · 8 – 2 = 24 – 2 = 0 4 15 5 60 5

f) 3 · 8 – 2 = 3 · 2 = 6 = 1 4 15 5 4 15 60 10

(

)

Calcula y compara los resultados de los cuatro apartados. a) 1 · 4 – 1 · 3 b) 1 · 4 – 1 · 3 2 3 6 4 2 3 6 4

(

)

c) 1 · 4 – 1 · 3 2 3 6 4

( ) d) 1 · 4 – 1 · 3 2 (3 6 4)

a) 1 · 4 – 1 · 3 = 4 – 3 = 13 2 3 6 4 6 24 24

( ) c) 1 · 4 – 1 · 3 = 4 – 1 · 3 = 3 · 3 = 3 (2 3 6) 4 (6 6) 4 6 4 8 d) 1 · 4 – 1 · 3 = 1 · 4 – 3 = 1 · 29 = 29 2 ( 3 6 4 ) 2 ( 3 24 ) 2 24 48 b) 1 · 4 – 1 · 3 = 1 · 7 · 3 = 21 = 7 2 3 6 4 2 6 4 48 16

Los resultados son diferentes. La situación de los paréntesis altera el resultado de la operación.

22

Opera y reduce. a) 1 – 5 · 2 – 3 7 5

( )( ) c) 2 – 3 · 1 + 2 (3 5) ( 3) Unidad 3. Las fracciones

( )( ) d) 3 – 1 : 1 + 2 (5 2) (4 5) b) 1 – 1 : 1 + 1 4 8

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

(

f) 1 + 2 – 1 : 1 – 2 )( ) (7 5) (4 5) g) 7 – 3 – 3 + 5 · 3 h) 1 – 1 + 3 – 2 : 7 (10 15) ( 4 8 ) 11 ( 4 3 ) ( 4 5 ) 10 a) 1 – 5 · 2 – 3 = 2 · 7 = 14 = 2 ( 7 ) ( 5 ) 7 5 35 5 b) 1 – 1 : 1 + 1 = 3 : 9 = 24 = 2 ( 4 ) ( 8 ) 4 8 36 3 c) 2 – 3 · 1 + 2 = 1 · 5 = 5 = 1 ( 3 5 ) ( 3 ) 15 3 45 9 d) 3 – 1 : 1 + 2 = 1 : 13 = 20 = 2 ( 5 2 ) ( 4 5 ) 10 20 130 13 e) 5 – 3 – 1 · 2 + 7 = 5 – –5 · 11 = 5 + 55 = 440 = 2 12 ( 11 2 ) ( 5 10 ) 12 ( 22 ) ( 10 ) 12 220 660 3 f ) 1 + 2 – 1 : 1 – 2 = 1 + 3 : –3 = 1 – 60 = 45 = 3 ( 7 5 ) ( 4 5 ) ( 35) ( 20) 105 105 7 g) 7 – 3 – 3 + 5 · 3 = 15 – 11 · 3 = 15 – 33 = 165 = 1 ( 10 15) ( 4 8 ) 11 30 8 11 30 88 1 320 8 h) 1 – 1 + 3 – 2 : 7 = – 1 + 7 : 7 = – 1 + 70 = –35 + 210 = 175 = 5 ( 4 3 ) ( 4 5 ) 10 12 20 10 12 140 420 420 12 e) 5 – 3 – 1 · 2 + 7 12 11 2 5 10

23

Resuelto en el libro de texto.

PÁGINA 78 24

Opera paso a paso. a) 4 · 1 – 1 – 1 : 3 8 2

[ ( ) ] [ ( ) ] ( )[ ( [ ( ) ] [( ) ] [ ( ) ]

[( )

]

b) 5 – 1 : 7 + 1 · 2 3 2 3

( ) [ ( ) ( )] e) 1 – 2 · 2 – 3 – 2 · 1 + 3 f) 2 – 1 – 2 : 3 – 1 : 1 – 3 [ 7 ( 4 5 ) ( 10 )] ( 2 14) 5 3 4 5) ( 7 )] c) 5 · 3 + 2 – 2 : 3 10 5 2

d) 1 + 1 · 3 – 5 – 3 : 2 – 1 3 2 5 6 4 3 4

[ [

] [ ] ] [ ] ] [ ]

a) 4 · 1 – 1 – 1 : 3 = 4 · 7 – 1 : 3 = 7 – 1 : 3 = 3 : 3 = 1 8 2 8 2 2 2 b)

5 – 1 :7+ 1 ·2= 7 :7+ 1 ·2= 1 + 1 ·2= 1 ·2=1 3 2 3 6 3 6 3 2

[

c) 5 · 3 + 2 – 2 : 3 = 5 · 7 – 2 : 3 = 7 – 2 : 3 = 3 : 3 = 1 10 5 2 10 2 2 2 2 2

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

( ) [ ( ) ( )] = 56 · [ 35 – ( 121 ) : ( 125 )] = 56 · [ 35 – 15 ] =

d) 1 + 1 · 3 – 5 – 3 : 2 – 1 3 2 5 6 4 3 4

=5·2=1 6 5 3

( ) [ ( ) ( )] = 35 · [ 23 – 207 · 107 ] = 35 · [ 23 – 12 ] =

e) 1 – 2 · 2 – 3 – 2 · 1 + 3 5 3 4 5 7

=3·1= 1 5 6 10

[ ( )(

)] (

) [ ( ) ( )] : 144 =

f ) 2 – 1 – 2 : 3 – 1 : 1 – 3 = 2 – –3 : –7 7 4 5 10 2 14 7 20 10

[

]

= 2– 3 : 4 = 1 : 4 =1 7 14 14 14 14 4

25

Resuelto en el libro de texto.

26

Opera y reduce. 3 1–— 10 a) 3 2 —–— 4 5

1 1 —–— b) 3 4 1 1–— 6

1 1 3 2 1 1 — + —) — — – —) : — ( ( c) 2 3 5 d) 5 3 5 (—12 + —14 ) —43 (—54 – —23 ) : —73

3 7 1–— — 10 = 10 = 7 : 7 = 2 a) 10 20 3 2 7 —–— — 4 5 20 1 1 1 —–— — b) 3 4 = 12 = 1 : 5 = 6 = 1 12 6 60 10 1 5 1–— — 6 6 1 1 3 5 3 — + —) — —·— ( c) 2 3 5 = 6 5 = 1/2 = 1 (—12 + —14 ) —43 —34 · —43 1 2 2 1 1 1 1 1 — – —) : — — : — — ( 5 3 5 15 5 d) = = 3 =1:1=4 (—54 – —23 ) : —73 —127 : —73 —14 3 4 3

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

P otencias y fracciones 27

Calcula el valor de estas potencias, entregando el resultado en forma de fracción o, si es el caso, de número entero: 2 2 0 b) 1 c) 3 a) 1 2 4 4

() d) 3 ( 4) a) 1 = 1 = 1 (2) 2 4 d) 3 = 4 (4) 3 –1

2

2

–1

28

() f) 1 ( 10 ) c) 3 = 1 (4) f) 1 ( 10 ) = 10

–2

–1

2

0

2

–2

–1

2

Calcula. a) 2–2

()

c) 1 2

b) (–2)–2

( )

–2

d) – 1 2

e) 2–3

()

g) 1 2

()

c) 1 2

( )

–3

h) – 1 2

–2

= 22 = 4

e) 2–3 = 13 = 1 8 2

()

g) 1 2

–2

f ) (–2)–3

a) 2–2 = 12 = 1 4 2

29

() e) 1 ( 3) b) 1 = 1 = 1 ( 4) 4 16 e) 1 = 3 = 9 (3)

–3

= 23 = 8

–3

b) (–2)–2 =

( )

d) – 1 2

–2

= (–2)2 = 4

f ) (–2)–3 =

( )

h) – 1 2

–3

1 =1 (–2)2 4

1 =–1 8 (–2)3

= (–2)3 = –8

Expresa sin usar potencias negativas. b) x –3 d) 1–2 e) 1–3 x x

c) x – 4 f ) 1–4 x

a) x –2 = 12 x

b) x –3 = 13 x

c) x – 4 = 14 x

d) 1–2 = x 2 x

e) 1–3 = x 3 x

f ) 1–4 = x 3 x

a) x –2

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11

30

Reduce a una potencia única. · a2 b) a · a2 · a3 d) x –2 · x 5 e) a2 · 1–2 a

c) x 5 · x –3 f ) 1–2 · a–3 a

g) x 3 · x –2 · x

i)

a3 · a4 a5

l)

x –1 x 2 · x –4

a) a5

j)

h)x –2 · x –2 · x –2

a · a4 a3 · a5

k)

a) a5 · a2 = a7 d) x –2 · x 5 = x 3 g) x 3 · x –2 · x = x 2 j)

31

a · a4 a5 = = a–3 a3 · a5 a8

()

3

3

3

5

3

c) x 5 · x –3 = x 2 f ) 1–2 · a–3 = a2 · a–3 = a–1 a

h) x –2 · x –2 · x –2 = x – 6

i)

a3 · a4 a7 = 5 = a2 a5 a

x 2 · x –4 x –2 = –3 = x x –3 x

l)

x –1 x –1 = =x x 2 · x –4 x –2

() e) (a ) · 1 ( a) b) x 3 : 1 x

( ) :a a) x · 1 = = x ( x ) xx c) a · b = ( b ) a b· b = a e) (a ) · 1 = = a ( a ) aa d) a b

b) a · a2 · a3 = a6 e) a2 · 1–2 = a2 · a2 = a4 a

k)

Simplifica. 5 a) x 3 · 1 x

x 2 · x –4 x–3

2 3

–2

5

4

4

4

4

4

4

2 3

7

6

–1

7

32

( ) ·b f) 1 : 1 (a ) (a )

5

c) a b 7

4

4

3

2

( ) =x ·x =x

b) x 3 : 1 x

5

3

5

3

3

8

() f) 1 : 1 = 1 : 1 = = a ( a ) ( a ) a a aa 3

d) a b

: a3 =

3

2

a3 = b –3 3 3 b ·a

9

3

3

6

9

6

Escribe con todas sus cifras estas cantidades: a) 37 · 107

b) 64 · 1011

c) 3,5 · 1013

d) 26 · 10–5

e) 5 · 10–7

f ) 2,3 · 10–8

a) 37 · 107 = 370 000 000

b) 64 · 1011 = 6 400 000 000 000

c) 3,5 · 1013 = 35 000 000 000 000

d) 26 · 10–5 = 0,00026

e) 5 · 10–7 = 0,0000005

f ) 2,3 · 10–8 = 0,000000023

Unidad 3. Las fracciones

3

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12

33

Expresa en forma abreviada como se ha hecho en los ejemplos. • 5 300 000 000 = 53 · 108 • 0,00013 = 13 · 10–5 a) 8 400 000

b) 61 000 000 000

c) 0,0007

d) 0,00000025

a) 8 400 000 = 84 · 105

b) 61 000 000 000 = 61 · 109

c) 0,0007 = 7 · 10– 4

d) 0,00000025 = 25 · 10–8

P roblemas con números fraccionarios 34

Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1 700 millas. ¿Cuántas millas le faltan todavía por recorrer? Le faltan por recorrer 1 190 millas. • Recorridas: 3 8 Faltan: 7 de 1 700 = 7 · 1 700 = 1 190 millas. 10 10 10 Por tres cuartos de kilo de cerezas hemos pagado 1,80 €. ¿A cómo está el

35 kilo?

El kilo de cerezas está a 2,40 €. 1,80 • 3 de kg son 1,80 € 8 1 de kg son = 0,60 € 3 4 4 • 1 kg = 4 de kg son 4 · 0,60 = 2,40 € 4

36

Julio ha contestado correctamente a 35 preguntas de un test, lo que supone 7/12 del total. ¿Cuántas preguntas tenía el test? El test tiene 60 preguntas. • 7 son 35 preguntas 8 1 son 35 = 5 preguntas. 12 12 7 • El total son 12 8 12 · 5 = 60 preguntas. 12

37

Amelia ha gastado 3/8 de sus ahorros en la compra de un teléfono móvil que le ha costado 90 €. ¿Cuánto dinero le queda todavía? Le quedan 150 €. 90 • 3 son 90 € 8 1 son = 30 € 3 8 8 • Le quedan 5 , que son 5 · 30 € = 150 € 8

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 13

PÁGINA 79 38

Durante un apagón de luz, se consumen tres décimas partes de una vela de cera. Si el cabo restante mide 21 cm, ¿cuál era la longitud total de la vela? La longitud de la vela era de 30 cm. • Consume 3 8 quedan 7 , que son 21 cm. 10 10 • 1 es 21 = 3 cm, y el total es 10 8 10 · 3 = 30 cm 10 7 10

39

El muelle de un resorte alcanza, estirado, 5/3 de su longitud inicial. Si estirado mide 4,5 cm, ¿cuánto mide en reposo? El resorte en reposo mide 2,7 cm. • 5 de la longitud son 4,5 cm 8 1 es 4,5 = 0,9 cm 3 3 5 • El total, 3 , es 3 · 0,9 = 2,7 cm 3

40

La tercera parte de los 240 viajeros que ocupan un avión son europeos, y 2/5, africanos. El resto son americanos. ¿Cuántos americanos viajan en el avión? Viajan 64 americanos. • Europeos y africanos: 1 + 2 = 11 de 240 pasajeros. 3 5 15 • El resto serán 4 de 240 8 4 · 240 = 64 americanos. 15 15

41

Bernardo tiene 1 500 € en su cuenta y gasta 2/5 en una cadena musical y la cuarta parte de lo que le queda en una colección de discos. ¿Qué fracción le queda del dinero que tenía? ¿Cuánto le queda? Le queda 9 del dinero, que son 675 €. 20 1 del resto, discos — 4 9 9 Quedan — de 1500 8 — · 1500 = 675 € 20 20 2 — cadena 5

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 14

42

Un granjero tiene a finales de mayo unas reservas de 2 800 kg de pienso para alimentar a su ganado. En junio gasta 3/7 de sus existencias, y en julio, 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilos de pienso tiene a primeros de agosto? Tiene 400 kg de pienso.

3 resto — 4 4 1 1 Quedan — = — del total 8 — · 2800 = 400 kg 28 7 7 3 — Julio 7

43

Dos problemas similares. a) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumido 3 kg. ¿Qué fracción queda del contenido original? b) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumidos dos kilos y tres cuartos. ¿Qué fracción queda del contenido original? a) Quedan 2 del tambor. 5 5 kg

Quedan —2 del total 5 3 del total Gasta 3 kg, — 5

b) Quedan 9 del tambor. 20

9 del total Quedan — 20

2 kg

Unidad 3. Las fracciones

3 3 — de kg 8 Gasta 2 y — kg 4 4

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 15

44

Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con un bidón que contiene tres litros y medio? Se pueden llenar 70 frascos. • 3,5 l = 3 + 1 l = 7 l en el bidón. 2 2

( )

• 7 : 1 = 70 8 70 frascos. 2 20

45

Una empresa comercializa jabón líquido en envases de plástico con una capacidad de 3/5 de litro. ¿Cuántos litros de jabón se necesitan para llenar 100 envases? Se necesitan 60 l.

(

)

• (100 envases) · 3 l cada envase = 100 · 3 = 60 l 5 5

46

La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha llenado seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro? Cada tarro contiene 3 de kg. 8

( )

• 2 kg y cuarto 8 2 + 1 kg = 9 kg 4 4

( )

• 9 kg : (6 tarros) = 9 = 3 de kg cada tarro. 4 4·6 8

47

Virginia recibe el regalo de un paquete de discos. En la primera semana escucha 2/5 de los discos, y en la segunda, 4/5 del resto. Si aún le quedan tres sin escuchar, ¿cuántos discos había en el paquete? Había 25 discos. 2 1.ª semana: — del total 5

4 del resto 2.ª semana: — 5 3 que son 3 discos 8 Había 25 discos 8 Quedan —, 25

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 16

48

Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales; el martes, 3/5 del resto, y el miércoles finaliza el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosales tiene en total en el jardín? El jardín tiene 70 rosales. 2 Lunes, — 7 3 del resto Martes, — 5 10 1 20 Miércoles, —; que son 20 rosales 8 — serán — = 2 rosales 35 35 10

8 total, 35 ; que son 35 · 2 = 70 rosales. 35

49

Una familia gasta 2/5 de su presupuesto en vivienda y 1/3 en comida. Cubiertos estos gastos, aún le quedan 400 € cada mes. ¿A cuánto ascienden sus ingresos mensuales? Los ingresos mensuales son de 1 500 €. • Vivienda y comida: 2 + 1 = 11 5 3 15 400 • Quedan 1 – 11 = 4 , que son 400 € 8 1 serán = 100 € 4 15 15 15 • El total, 15 , son 15 · 100 = 1 500 €. 15

50

Una amiga me pidió que le pasase un escrito al ordenador. El primer día pasé 1/4 del trabajo total; el segundo, 1/3 de lo restante; el tercero, 1/6 de lo que faltaba, y el cuarto lo concluí, pasando 30 folios. ¿Puedes averiguar cuántos folios tenía el escrito? El escrito tenía 72 folios. 1 2.º día, — del resto 3 1 6 1.er día, — 4

Unidad 3. Las fracciones

6

6

6

6

1 del resto 8 3.er día, — 6 30 = 6 folios cada cuadro 8 6 8 Quedan 30 folios, — 5 8 Total = 6 · 12 = 72 folios

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 17

O tros problemas 51

María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se encuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana. Después, pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le quedaban más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francisco y vuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media. Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque se ha quedado sin nada. ¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partió ninguna? Cogió 7 manzanas. Comprobamos: ° § • Sara recibe: 1 7 + 1 = 4 manzanas 8 sobran 3 § 2 2 § § 1 3 + 1 = 2 manzanas 8 sobra 1 ¢ • Rosa recibe: 2 2 § § § • Francisco recibe: 1 1 + 1 = 1 manzana 8 sobra 0 § 2 2 £

52

En el baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tres quintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando? No bailan 1 de los asistentes. 3 BAILAN (*) HOMBRES

3 de hombres bailan — 4

MUJERES

3 de mujeres bailan — 5 6 del total bailan — 9

3 =— 1 del total no bailan — 9 3

(*) Teniendo en cuenta que el n.° de hombres y mujeres que baila ha de ser igual, ya que bailan por parejas.

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 18

53

Un arriero tiene en su cuadra una mula, un burro y un caballo. Cuando lleva a trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en el caballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, pone 3/5 de la carga en el caballo y 2/5 en el burro. ¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva los tres animales y tiene que transportar una carga de 190 kg? La mula llevará 90 kg, el burro, 40 kg, y el caballo, 60 kg. • Si el burro lleva una carga de 1: — Carga del caballo, 3 carga del burro 3 = 3 · 2 8 3 2 5 2 5 2 — Carga de la mula, 3 carga del caballo 8 9 2 4

(

)

La proporción es: burro 4, caballo 6, mula 9. Total: 4 + 6 + 9 = 19 8 burro 4 , caballo 6 , mula 9 . 19 19 19 ° • Mula: 9 de la carga = 9 · 190 = 90 kg § 19 19 § § § • Caballo: 6 de la carga = 6 · 190 = 60 kg ¢ 19 19 § § § • Burro: 4 de la carga = 4 · 190 = 40 kg § 19 19 £

Unidad 3. Las fracciones

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 99 R azones y proporciones 1

Escribe: a) Tres pares de números cuya razón sea 2/3. b) Tres parejas de números que estén en relación de cinco a uno. c) Tres parejas de números que estén en razón de tres a cuatro. a) Por ejemplo: 4 y 6; 10 y 15; 18 y 27. b) Por ejemplo: 15 y 3; 20 y 4; 35 y 7. c) Por ejemplo: 15 y 20; 21 y 28; 33 y 44.

2

Escribe una proporción con cada conjunto de números: a) 3 - 6 - 10 - 5 b) 2 - 24 - 3 - 36 c) 35 - 10 - 6 - 21 d) 52 - 28 - 63 - 117 Por ejemplo: a) 3 = 5 6 10

3

b) 2 = 3 24 36

c) 35 = 10 21 6

d) 117 = 63 52 28

Calcula x en las siguientes proporciones: a) 6 = 10 9 x d) x = 4 21 28 g) 15 = 55 24 x j) x = 55 45 75

b) 6 = x 4 6 e) x = 30 39 65 h) 42 = x 54 63 k) 9 · 8 = 54 4 5 x

c) 8 = 12 x 15 f ) 14 = 49 x 42 i) 16 = 32 x 16 l) 4 · 15 = 7 20 36 x

a) x = 15 d) x = 3 g) x = 88 j) x = 33

b) x = 9 e) x = 18 h) x = 49 k) x = 15

c) x = 10 f ) x = 12 i) x = 8 l) x = 84

R elaciones de proporcionalidad 4

Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que guardan relación de proporcionalidad directa, los que guardan relación de proporcionalidad inversa y los que no guardan relación de proporcionalidad: a) El número de kilos vendidos y el dinero recaudado. b) El número de operarios que hacen un trabajo y el tiempo invertido. c) La edad de una persona y su altura.

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

d) La velocidad de un vehículo y la distancia recorrida en media hora. e) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja. f ) El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito. g) El número de páginas de un libro y su precio. a) Proporcionalidad directa. b) Proporcionalidad inversa. c) Sin relación de proporcionalidad. d) Proporcionalidad directa. e) Proporcionalidad directa. f ) Proporcionalidad inversa. g) Sin relación de proporcionalidad.

5

Observa las siguientes tablas y di si son de proporcionalidad directa, inversa o de ninguna de las dos: a)

1 1 No

2 4

b)

3 9

proporcionales

15 1

3 5

c)

5 3

Proporcionalidad

Proporcionalidad directa Constante de proporcionalidad = 15

inversa 15 · 1 = 3 · 5 = 5 · 3

6

Completa estas tablas de proporcionalidad directa: a) 1 5

a) 1 5

7

2 10

3

b) 1

7

2 5

60

2 3 7 12 10 15 35 60

3

4 10 25

b) 1

2 3 4 10 2,5 5 7,5 10 25

Completa estas tablas de proporcionalidad inversa: a) 1

2 20 10

a) 1

2 20 10

8

1 2 3 15 30 45

4

b) 1

5

2 18

2 4 5

5 4

10 2

3

b) 1

2 3 36 18 12

4 9

6

4 9

6 6

Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de proporcionalidad directa: MAGNITUD

A

MAGNITUD

B

2 10

Por ejemplo: 10 = 15 , 5 = 25 , 30 = 25 2 3 3 15 6 5

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

3 15

5 25

6 30

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

9

Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de proporcionalidad inversa: MAGNITUD

A

MAGNITUD

B

2 36

3 24

4 18

6 12

Por ejemplo: 2 = 24 , 3 = 4 , 18 = 6 3 36 18 24 12 4

10

Calcula la constante de proporcionalidad en estas tablas de valores directamente proporcionales: a) 2

3 4 5 7,5 10

a) Cte. prop. = 5 = 2,5 2

b) 5

6 7 1,5 1,8 2,1

b) Cte. prop. 3 = 0,3 10

c) 0,2 3 15 0,24 3,6 18

c) Cte. prop. = 6 = 1,2 5

P roblemas de proporcionalidad directa e inversa 11

Calcula mentalmente y contesta. a) Un tren recorre 240 km en 3 horas. ¿Qué distancia recorre en 2 horas? b) Dos kilos de manzanas cuestan 1,80 €. ¿Cuánto cuestan tres kilos? c) Cuatro obreros hacen un trabajo en 3 horas. ¿Cuánto tardarían seis obreros? d) Cinco entradas para un concierto han costado 40 euros. ¿Cuánto cuestan cuatro entradas? e) Un ciclista, a 20 km/h, recorre cierta distancia en 3 horas. ¿Cuánto tardará una moto a 60 km/h? a) Recorre 160 km. b) Cuestan 2,70 €. c) Tardarían 2 horas. d) Cuestan 32 €. e) Tardará 1 hora.

PÁGINA 100 12

Dos kilos y medio de patatas cuestan 1,75 €. ¿Cuánto cuestan tres kilos y medio? Cuestan 2,45 €. 2,5 kg 3,5 kg

8 1,75 € ° x = 3,5 · 1,75 = 2,45 € ¢ 2,5 8 x€ £

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

13

Un coche ha recorrido 30 kilómetros en 18 minutos. Si sigue a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora? Recorrerá 25 km 18 min 8 30 km ° x = 15 · 30 = 25 km. ¢ 2,5 15 min 8 x km £

14

Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían 5 operarios? Tardarán 8 horas. 4 operarios 8 10 h ° Proporcionalidad inversa 8 4 = x 8 x = 4 · 10 = 8 h ¢ 5 10 5 5 operarios 8 x h £

15

Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acera de una calle en 15 días. ¿Cuánto tardarían si trabajaran 10 horas diarias? Tardarán 12 días. 8 h/día 8 15 días ° Prop. inversa 8 8 = x 8 x = 8 · 15 = 12 días ¢ 10 15 10 10 h/día 8 x días £

16

Un paquete de 500 folios pesa 1,8 kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 folios? Pesará 3,06 kg. 500 folios 8 1,8 kg ° x = 850 · 1,8 = 3,06 kg ¢ 500 850 folios 8 x kg £

17

En una fuente, se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros? Tardará 40 segundos. 30 l 50 l

18

8 24 s ° x = 50 · 24 = 40 s ¢ 30 8 x s£

Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días. ¿Cuántas horas debería trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12 días? Debería trabajar 10 horas al día. 8 h/día 8 15 días ° Proporcionalidad inversa 8 8 = 12 8 x = 8 · 15 = 10 h/día ¢ x 15 12 x h/día 8 12 días £

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

19

Con la motobomba que extrae agua de un pozo, se han tardado 18 minutos en llenar una cisterna de 15 000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otra cisterna de 25 000 litros? Se tardará 30 minutos. 15 000 l 25 000 l

20

8 18 min ° x = 25 000 · 18 = 30 min ¢ 15 000 8 x min £

El dueño de un supermercado abona una factura de 720 euros por un pedido de 15 cajas de aceite. ¿A cuánto ascenderá la factura por otro pedido de 12 cajas? La factura será de 576 €. 15 cajas 12 cajas

21

8 720 € ° x = 12 · 720 = 576 € ¢ 15 8 x € £

Una piscina tiene tres desagües iguales. Si se abren dos, la piscina se vacía en 45 minutos. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres? Tardará 30 minutos en vaciarse. 2 desagües 8 45 min ° Prop. inversa 8 2 = x 8 x = 2 · 45 = 30 min ¢ 3 45 3 3 desagües 8 x min £

22

Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora. ¿Cuántas botellas llena en hora y media? Llena 4 500 botellas. 15 min 8 750 botellas ° x = 90 · 750 = 4 500 botellas ¢ 15 1,5 h = 90 min 8 x botellas £

23

Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo trabajo, si las jornadas fueran de 12 horas diarias? Tardaría 6 días. 8 h/día 8 9 días ° Proporcionalidad inversa 8 8 = x 8 x = 8 · 9 = 6 días ¢ 12 9 12 12 h/día 8 x días £

24

Un tractor, trabajando 8 horas al día, labra un campo en 9 días. ¿Cuántas horas diarias debe trabajar para realizar el trabajo en solo 6 días? Debe trabajar 12 horas al día. 8 h/día 8 9 días ° Proporcionalidad inversa 8 8 = 6 8 x = 8 · 9 = 12 h/día ¢ x 9 6 x h/día 8 6 días £

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

25

Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 65 vacas durante 32 días. ¿Cuánto le durarán las provisiones si compra 15 vacas más? Durarán 26 días. 65 vacas 8 32 días ° Proporcionalidad inversa 8 65 = x 8 ¢ 80 32 65 + 15 = 80 vacas 8 x días £ 8 x = 65 · 32 = 26 días. 80

26

Una merluza de dos kilos y trescientos gramos, ha costado 28,75 €. ¿Cuánto pagaré por otra más pequeña de kilo y medio? Pagaré 18,75 €. 2 kg y 300 g = 2 300 g 8 28,75 € ° x = 1 500 · 28,75 = 18,75 € ¢ 2 300 1,5 = 1 500 g 8 x € £

27

Un granjero tiene pienso en su almacén para alimentar a 2 500 gallinas durante 60 días. ¿Cuántas gallinas debe retirar si desea que el pienso le dure 80 días? Debe retirar 625 gallinas. 2 500 gallinas 8 60 días ° Proporcionalidad inversa 8 2 500 = 80 8 ¢ x 60 x gallinas 8 80 días £ 8 x = 2 500 · 60 = 1 875 80 Debe quedarse con 1 875 gallinas. Debe retirar 2 500 – 1 875 = 625 gallinas.

28

Un lingote de oro de 0,340 kilos tiene un valor de 2 142 euros. ¿Qué valor tendría una porción de 30 gramos cortada de ese lingote? Tendría un valor de 189 €. 0,340 kg = 340 g 8 2 142 € ° x = 2 142 · 30 = 189 € ¢ 340 30 g 8 x€ £

29

Un ciclista ha recorrido 6,3 km en 18 minutos. Expresa su velocidad media en kilómetros por hora. La velocidad media es de 21 km/h. 18 min 8 6,3 km ° x = 60 · 6,3 = 21 km en 1 h 8 v = 21 km/h ¢ m 18 1 h = 60 min 8 x km £

30

Una pala excavadora vacía 48 metros cúbicos de tierra en 4 horas. ¿Cuánto tardará en extraer 60 metros cúbicos? Tardará 5 horas. 48 m3 8 60 m3 8

4 h ° x = 60 · 4 = 5 h ¢ 48 x h£

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

31

Un tren de mercancías, a una velocidad media de 72 km/h, realiza el trayecto entre la ciudad A y la ciudad B en 7 horas. ¿Cuál debería ser la velocidad media para hacer el mismo viaje en solo 6 horas? La velocidad media debe ser de 84 km/h. 72 km/h 8 7 h ° Prop. inversa 8 72 = 6 8 x = 72 · 7 = 84 km/h ¢ x 7 6 x km/h 8 6 h £

32

Un negocio que abre todos los días tiene unos gastos semanales de 420 euros. ¿Qué gastos prevé para un periodo de 25 días? Los gastos serán de 1 500 €. 1 semana = 7 días 8 420 € ° x = 420 · 25 = 1 500 € ¢ 7 25 días 8 x € £

33

Un granjero necesita cada día 255 kilos de pienso para dar de comer a sus 85 vacas. ¿Cuántos kilos necesitaría si vendiera 35 vacas? Necesitaría 150 kg de pienso. 85 vacas 8 255 kg ° x = 255 · 50 = 150 kg ¢ 85 Quedan 85 – 35 = 50 vacas 8 x kg £

34

De 5 kilos de olivas se han obtenido 3,2 litros de aceite. ¿Cuántos litros se obtendrán de una tonelada y media de aceitunas? Se obtendrán 960 litros de aceite. 5 kg 8 3,2 l ° x = 1 500 · 3,2 = 960 l ¢ 5 1,5 t = 1 500 kg 8 x l £

35

Cuarenta litros de aceite pesan 36,28 kilos. ¿Cuánto pesarán 60 litros? Pesan 54,42 kg 40l 8 36,28 kg ° x = 60 · 36,28 = 54,42 kg ¢ 40 60 l 8 x kg £

PÁGINA 101 36

En una empresa que tiene 840 empleados, 5 de cada 8 utilizan diariamente el servicio de comedor. ¿Cuántas comidas se sirven en el comedor cada día? Se sirven 525 comidas. 5 de 840 empleados = 5 · 840 = 525 empleados se quedan a comer. 8 8

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

37

Una tienda rebaja todos sus artículos en la misma proporción. Si una blusa que valía 36 € se queda en 28,80 €, ¿en cuánto se quedará un vestido que costaba 80 €? Costará 64 €. ANTES

———

REBAJADO

—————

36 € 8 28,80 € 80 € 8 x €

38

° 80 · 28,80 = 64 € ¢ x= 36 £

Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa están a 35 km de distancia en la realidad. ¿Cuál es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapa distan 13 cm? La distancia real es de 91 km. MAPA

———

5 cm 8 13 cm 8

39

REALIDAD

————— 35 km ° x = 13 · 35 = 91 km ¢ 5 x km £

Un coche, a 90 km/h, tarda 20 minutos en ir de la población A a la población B. ¿Cuánto tardaría un camión, a 60 km/h? ¿Y una furgoneta, a 80 km/h? El camión tardaría 30 minutos y la furgoneta 22,5 minutos. Coche 90 km/h 8 20 min ° § Camión 60 km/h 8 x min ¢ Proporcionalidad inversa 8 § Furgoneta 80 km/h 8 y min £ 8 90 · 20 = 60 · x = 80 · y 8 x = 90 · 20 30 min; y = 90 · 20 = 22,5 min 60 80

40 41

Resuelto en el libro de texto. Un ciclista ha recorrido 25 kilómetros en hora y cuarto. A esa velocidad, ¿cuánto tardaría en recorrer una etapa de 64 kilómetros? Tardaría 3 horas y 12 minutos. 25 km 8 1,25 h ° x = 64 · 1,25 = 80 h ¢ 25 25 64 km 8 x h £ 80 h 5 Ò 60 300 min

25 3 h 12 min

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

42

Un tren, a 90 km/h, cubre un recorrido en 6 horas. ¿Cuánto tardaría a 100 km/h? Tardaría 5 h y 24 minutos. 90 km/h 8 6 h ° Proporcionalidad inversa 8 90 = x 8 x = 90 · 6 = 54 h ¢ 100 6 100 10 100 km/h 8 x h £ 54 h 4 Ò 60 240 min

43

10 5 h 24 min

Un manantial que aporta un caudal de 3,5 litros por minuto llena un depósito en una hora y media. ¿Cuánto tardaría si el caudal aumentara a 4,5 litros por minuto? Tardaría 1 h y 10 minutos. 3,5 l/min 8 1,5 h ° Proporcionalidad inversa 8 3,5 = x 8 ¢ 4,5 1,5 4,5 l/min 8 x h £ 8 x = 3,5 · 1,5 = 5,25 = 525 h 8 4,5 4,5 450

44

525 h 75 Ò 60 4 500 min

450 1 h 10 min

Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de entregar en 12 días, debe fabricar 2 000 prendas cada día. Si por una avería en las máquinas se retrasa el inicio del trabajo en dos días, ¿cuántas prendas diarias debe fabricar para cumplir a tiempo con el pedido? Debe fabricar 2 400 prendas diarias. 2 000 prendas/día 8 12 días ° Proporcionalidad inversa 8 2 000 = 10 8 ¢ x 12 x prendas/día 8 10 días £ 8 x = 2 000 · 12 8 x = 2 400 prendas/día 10

P roblemas de proporcionalidad compuesta 45

Cincuenta terneros consumen 4 200 kilos de alfalfa a la semana. a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día? b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante 15 días? c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kilos de alfalfa?

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

a) 12 kg por ternero y día.

b) 3 600 kg.

c) 5 días.

PROP. DIRECTA P. DIRECTA

DÍAS PIENSO (kg) ———— ——— ————— °§ § 50 7 4 200 § § 1 1 x ¢ § § 20 15 y § § 10 z 600 £

TERNEROS

50 7 4 200 4 200 — · — = — 8 x = — = 12 kg 1 1 x 50 · 7 50 7 4 200 4 200 · 20 · 15 — · — = — 8 y = —— = 3 600 kg 20 15 y 50 · 7 50 7 4 200 50 · 7 · 600 — · — = — 8 z = —— = 5 días 10 z 600 10 · 4 200

46

En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600 chaquetas en 10 días. a) ¿Cuántas prendas se fabricarían con 5 máquinas en 15 días? b) ¿Cuántas máquinas habría que poner en producción para fabricar 750 prendas en 15 días? c) Si se trabajara solamente con 5 máquinas, ¿cuántos días se tardaría en fabricar 750 prendas? a) 750 chaquetas.

b) 5 máquinas.

PROP. DIRECTA P. DIRECTA

MÁQUINAS

DÍAS CHAQUETAS ———— ——— ————— °§ § 6 10 600 § § 5 15 x ¢ § § y 15 750 § § 5 z 750 £

6 10 600 600 · 5 · 15 — · — = — 8 x = —— = 750 chaquetas 5 15 x 6 · 10 6 10 600 6 · 10 · 750 — · — = — 8 y = —— = 5 máquinas y 15 750 15 · 600 6 10 600 6 · 10 · 750 — · — = — 8 z = —— = 15 días 5 z 750 5 · 600

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

c) 15 días.

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11

47

Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1 000 kilos de ropa. ¿Cuántos kilos de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias? Lavará 3 000 kg de ropa. PROP. DIRECTA P. DIRECTA

H/DÍA

DÍAS

KG DE ROPA

—— ——— ————— ° 8 5 1 000 8 5 1 000 · = 8 x = 10 · 12 · 1 000 = 3 000 kg ¢ 10 12 x 8·5 10 12 x £

48

Una alfombra sintética, de 1,80 m de larga por 90 cm de ancha, ha costado 72 €. ¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3 m de larga y 1,20 m de ancha? Costará 160 €. • 1.a alfombra: 1,80 · 0,90 = 1,62 m2 a 72 € 8 cada m2 a 72 € 1,62 • 2.a alfombra: 3 · 1,20 = 3,6 m2 8 3,6 m2 · 72 €/m2 = 160 € 1,62

49

Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarían en hacer el mismo trabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas cada día? Tardarían 12 días. PROP. INVERSA P. INV.

ENCUESTADORES H/DÍA DÍAS ——————— ——— ——— 5 8 27 ° 5 8 · = x 8 x = 5 · 8 · 27 = 12 días ¢ 9 10 27 9 · 10 9 10 x £

PÁGINA 102 C álculo mental con porcentajes 50

Calcula mentalmente. a) 50% de 220 b) 50% de 4 600 d) 50% de 12 e) 25% de 800 g) 25% de 280 h)75% de 280 j) 75% de 60

c) 50% de 82 f ) 75% de 800 i) 25% de 60

a) 110

b) 2 300

c) 41

d) 6

e) 200

f ) 600

g) 70

h) 210

i) 15

j) 45

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12

51

Obtén mentalmente el valor de x en cada caso: a) 50% de x = 150 b) 50% de x = 7 c) 25% de x = 120 d) 25% de x = 6 e) 75% de x = 150 f ) 75% de x = 9 a) x = 300 d) x = 24

52

53

54

b) x = 14 e) x = 200

c) x = 480 f ) x = 12

Fíjate en los ejemplos y, después, calcula mentalmente. • 10% de 220 = 220 : 10 = 22 30% de 220 = 22 · 3 = 66 5% de 220 = 22 : 2 = 11 a) 10% de 310 b) 20% de 310 d) 5% de 480 e) 10% de 70

c) 10% de 480 f ) 30% de 70

a) 31 d) 24

c) 48 f ) 21

b) 62 e) 7

Obtén, mentalmente, el valor de x en cada caso: a) 10% de x = 31

b) 10% de x = 4

c) 20% de x = 18

d) 20% de x = 86

e) 5% de x = 35

f ) 5% de x = 2

a) x = 310 d) x = 430

b) x = 40 e) x = 700

c) x = 90 f ) x = 40

Copia y completa. a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2. b) Para calcular el 25%, dividimos entre… c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por… d) Para calcular el 10%, dividimos entre… e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por… a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2. b) Para calcular el 25%, dividimos entre 4. c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por 3. d) Para calcular el 10%, dividimos entre 10. e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por 4.

55

¿Qué fracción irreducible asocias a cada uno de estos porcentajes? a) 50%

b) 25%

c) 75%

d) 10%

e) 20%

f ) 5%

g) 30%

h)70%

i) 90%

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 13

a) 50% 8 1 2

b) 25% 8 1 4

c) 75% 8 3 4

d) 10% 8 1 10

e) 20% 8 1 5

f ) 5% 8 1 20

g) 30% 8 3 10

h) 70% 8 7 10

i) 90% 8 9 10

C álculo de porcentajes 56

Calcula. a) 15% de 160 c) 24% de 850 e) 4% de 75 g) 76% de 1 200 i) 32% de 420 k) 6% de 18 m) 3,5% de 1 000 ñ)1,7% de 2 500 a) 24 e) 3 i) 134,4 m) 35

57

b) 91 f ) 468 j) 9,1 n) 8,4

b) 13% de 700 d) 12% de 3 625 f ) 65% de 720 h)95% de 140 j) 5% de 182 l) 72% de 641 n)2,4% de 350 o) 6,2% de 85 c) 204 g) 912 k) 1,08 ñ) 42,5

d) 435 h) 133 l) 461,52 o) 5,27

Copia la tabla y completa. 23% 16% 92% 2% 0,23 0,11 0,87 0,05 0,025 23% 16% 11% 92% 87% 2% 5% 2,5% 0,23 0,16 0,11 0,92 0,87 0,02 0,05 0,025

58

Calcula como se hace en el ejemplo. • 15% de 280 = 280 · 0,15 = 42 a) 18% de 1 350 b) 57% de 2 400 c) 8% de 125 d) 6% de 40 a) 18% de 1 350 = 1 350 · 0,18 = 243 b) 57% de 2 400 = 2 400 · 0,57 = 1 368 c) 8% de 125 = 125 · 0,08 = 10 d) 6% de 40 = 40 · 0,06 = 2,4

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 14

59

Calcula x como en el ejemplo. • 15% de x = 42 8 x · 0,15 = 42 8 8 x = 42 : 0,15 = 280 a) 20% de x = 27 b) 17% de x = 595 c) 5% de x = 3,2 d) 7% de x = 17,5 a) 20% de x = 27 8 x · 0,20 = 27 8 x = 27 : 0,20 = 135 b) 17% de x = 595 8 x · 0,17 = 595 8 x = 595 : 0,17 = 3 500 c) 5% de x = 3,2 8 x · 0,05 = 3,2 8 x = 3,2 : 0,05 = 64 d) 7% de x = 17,5 8 x · 0,07 = 17,5 8 x = 17,5 : 0,07 = 250

P roblemas de porcentajes 60

Un empleado gana 1 700 euros al mes y gasta el 40% en pagar la hipoteca de su vivienda. ¿Cuánto le queda para afrontar el resto de sus gastos? Le quedan 1 020 €. Queda el 60% de 1 700 € = 1 700 · 0,6 = 1 020

61

De una clase de 35 alumnos, han ido de excursión 28. ¿Qué tanto por ciento ha faltado a la excursión? Ha faltado un 20% de la clase. 35 alumnos 8 35 – 28 = 7 han faltado ° x = 7 · 100 = 20 8 ¢ 35 100 alumnos 8 x £ 8 de cada 100 alumnos 20 han faltado 8 20%

62

Un hotel tiene 187 habitaciones ocupadas, lo que supone el 85% del total. ¿De cuántas habitaciones dispone el hotel? Dispone de 220 habitaciones. 85% de x = 187 8 0,85 · x = 187 8 x = 187 : 0,85 = 220

63

Un jugador de baloncesto ha efectuado 25 lanzamientos y ha conseguido 16 canastas. ¿Cuál es su porcentaje de aciertos? 64% de aciertos. 25 lanz. 8 16 aciertos ° x = 16 · 100 = 64 aciertos de 100 lanzamientos ¢ 25 100 lanz. 8 x £

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 15

PÁGINA 103 64

La barra de pan ha subido un 10%, y ya cuesta 0,55 €. ¿Cuánto costaba antes de la subida? Antes costaba 0,50 €. 110% 8 0,55 € ° x = 100 · 0,55 = 0,50 € ¢ 110 100% 8 x € £

65

En las últimas elecciones municipales, de un censo de 2 500 personas, el alcalde actual recibió 1 500 votos. ¿Qué tanto por ciento votó al alcalde? Votó al alcalde el 60% del censo. 1 500 votó al alcalde = 0,6 del censo votó al alcalde. 2 500 censo

66

Un embalse está al final del verano al 23% de su capacidad. Si en este momento contiene 35 decámetros cúbicos de agua, ¿cuál es la capacidad total del embalse? La capacidad del embalse es de 152,2 dam3 23% de x = 35 dam3 8 0,23 · x = 35 8 x = 35 : 0,23 = 152,2 dam3

67

Se ha caído una caja de huevos y se han contado 54 rotos, lo que supone un 15% del total. ¿Cuántos huevos había en la caja? Había 360 huevos. 15% de x = 54 8 0,15 · x = 54 8 x = 54 : 0,15 = 360

68

De 5 475 hombres encuestados, solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué tanto por ciento de los hombres reconoce saber planchar? El 1,4% de los hombres. 76 saben planchar = 0,014 8 1,4% sabe planchar. 5 475 total encuestados

69

Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que ya ha solucionado más del 65% pero menos del 70%. ¿Cuántos problemas le quedan por resolver? Le quedan por resolver 6 problemas. 65% de 18 = 0,65 · 18 = 11,7 ° ¢ Ha terminado 12 problemas 8 quedan 18 – 12 = 6 70% de 18 = 0,7 · 18 = 12,6 £

70

Un depósito de agua está al 93% de su capacidad. Si se añaden 14 000 litros, quedará completo. ¿Cuál es la capacidad del depósito? La capacidad es de 200 000 l. 100% – 93% = 7% 8 7% de x = 14 000 8 x = 14 000 : 0,07 = 200 000 l

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 16

71

Un jersey que costaba 45 € se vende en las rebajas por 36 €. ¿Qué tanto por ciento se ha rebajado? Se ha rebajado un 20%. PR. INICIAL REBAJADO ————— ————— ° 36 · 100 = 80 € 8 45 € 8 36 € ¢ x= 45 100 € 8 x £

8 de cada 100 € se pagan 80 €, es decir, se rebajan 20 €.

72

Al sacar 2 000 litros de agua de un depósito cilíndrico, que estaba lleno, el nivel ha bajado un 8%. ¿Cuál es la capacidad del depósito? La capacidad es de 25 000 l. 8% de x = 2 000 8 0,08 · x = 2 000 8 x = 2 000 : 0,08 = 25 000 l

73

Una tarta que pesa un kilo y ochocientos gramos lleva un 10% de agua, un 8% de proteínas, el doble de grasa y el resto de hidratos de carbono. ¿Cuántos gramos de hidratos de carbono hay en la tarta? 1 188 g de hidratos de carbono. Porcentaje de hidratos = 100% – 10% – 8% – 16% = 66% 66% de 1 800 g = 0,66 · 1 800 = 1 188 g de hidratos.

74

Hace cinco años compré un piso por 240 000 €. En este tiempo la vivienda ha subido un 37%. ¿Cuánto vale ahora mi piso? El piso cuesta ahora 328 800 €. 137% de 240 000 € = 1,37 · 240 000 = 328 800 €

75

Un bebé pesó al nacer, hace tres meses, 3 kilos y 600 gramos. Durante este tiempo su peso ha aumentado un 43%. ¿Cuál es su peso actual? El peso actual es de 5 kg y 148 g. 143% de 3 600 g = 1,43 · 3 600 = 5 148 g

76

Un embalse tenía, a principios de verano, 775 decámetros cúbicos de agua. Durante el estío, sus reservas han disminuido en un 68%. ¿Cuáles son las reservas actuales ahora, al final del verano? Las reservas son de 248 decámetros cúbicos. Queda: 100% – 68% = 32% de 775 dam3 = 0,32 · 775 = 248 dam3

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 17

77

Este mes ha habido en mi comunidad autónoma 120 accidentes de tráfico, lo que mejora la cifra del año pasado que fue de 160 accidentes. ¿En qué tanto por ciento han disminuido este tipo de accidentes? Han disminuido en un 25% los accidentes. ACCIDENTES

DISMINUCIÓN

————— —————— 160 160 – 120 = 40 ° 40 · 100 = 25 accidentes menos de cada 100 ¢ x= 160 100 x £

78

Un hortelano tiene un campo de 3 500 metros cuadrados y desea plantar un 45% de los mismos de pimientos. ¿Cuántas plantas pimenteras debe adquirir si coloca 9 plantas por metro cuadrado y siempre compra un 10% más, para reponer las que se estropean? Debe comprar 15 593 plantas. • 45% de 3 500 m2 = 1 575 m2 para pimientos. • 9 · 1 575 = 14 175 plantas. • 10% de 14 175 = 1 417,5 8 1 418 plantas extra. Total = 14 175 + 1 418 = 15 593 plantas.

79

En una población de 10 000 habitantes, el 15% son inmigrantes, y el 40% de los inmigrantes son ecuatorianos. a) ¿Cuántos ecuatorianos viven en esa población? b) ¿Qué porcentaje de la población es ecuatoriana? a) Viven 600 ecuatorianos. b) Un 6% de la población es ecuatoriana. • 15% de 10 000 = 1 500 inmigrantes. • 40% de 1 500 = 600 ecuatorianos. • 600 ecuatorianos de 10 000 habitantes 8 O bien: 40% del 15% = 0,4 · 15 = 6%

80

600 = 0,06 8 6% ecuatorianos. 10 000

En unos grandes almacenes, rebajan un abrigo un 20% en las primeras rebajas y, sobre ese precio, vuelven a hacer otro 20% de descuento en las segundas rebajas. ¿Qué porcentaje del precio original se ha rebajado el abrigo?

☞ Supón que el abrigo costaba inicialmente 100 euros. Se ha rebajado un 36% sobre el precio original. Rebaja 20 € 100 €

Rebaja 20% de 80 = 16 € 8 Rebaja total = 20 € + 16 € = 36 € Pago 80 € Pago 80%

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 18

81

Calcula el interés producido por un capital de 3 500 euros, colocado al 5% anual durante tres años. I = C · r · t = 3 500 · 5 · 3 = 525 € 100 100

82

Si pido un préstamo de 4 500 euros, al 6,5%, y lo devuelvo al cabo de 4 años, ¿qué intereses debo pagar? I = C · r · t = 4 500 · 6,5 · 4 = 1 170 € 100 100

83 84

Resuelto en el libro de texto. ¿Qué interés producen 800 euros al 6% durante un año? ¿Y durante un mes? ¿Y durante 7 meses? • 1 año: IAÑO = 800 · 6 · 1 = 48 € 100 • 1 mes: IMES = IAÑO : 12 = 48 : 12 = 4 € • 7 meses: I7 MESES = 4 · 7 = 28 €

85

Calcula los intereses que genera un préstamo de 6 000 euros al 4,5% durante 5 meses. Genera unos intereses de 112,5 €. I = 5 · 6 000 · 4,5 · 1 = 112,5 € 12 100

86

En un banco de las Bahamas se ingresa un capital de 35 400 dólares en una cuenta retribuida con un interés del 5% anual. Los beneficios se ingresan mensualmente en la cuenta. ¿Cuál será el saldo dentro de año y medio? El saldo será de 38 151,15 €. • Capital inicial 8 35 400 € • Al final del 1.er mes 8 35 400 + 35 400 · 5 = 35 547,5 12 · 100 • Al final del 2.° mes 8 35 547,5 + 35 547,5 · 5 = 35 695,614… 12 · 100 Así: MES

——— 3.° 4.° 5.° 6.°

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

SALDO INICIAL

—————— 35 695,61 35 844,35 35 993,70 36 143,67

SALDO FINAL

—————— 35 844,35 35 993,70 36 143,67 36 294,27

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 19 MES

——— 7.° 8.° 9.° 10.° 11.° 12.° 13.° 14.° 15.° 16.° 17.° año y medio = 18.°

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes

SALDO INICIAL

—————— 36 294,27 36 445,50 36 597,35 36 749,84 36 902,97 37 056,72 37 211,13 37 366,17 37 521,87 37 678,21 37 835,20 37 992,85

SALDO FINAL

—————— 36 445,50 36 597,35 36 749,84 36 902,97 37 056,72 37 211,13 37 366,17 37 521,87 37 678,21 37 835,20 37 992,85 38 151,15

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 119 L enguaje algebraico 1

2

Llamando x a un número cualquiera, escribe una expresión algebraica para cada uno de los siguientes enunciados: a) El triple de x. b) La mitad de su anterior. c) El resultado de sumarle tres unidades. d) La mitad de un número tres unidades mayor que x. e) El triple del número que resulta de sumar a x cinco unidades. f ) Un número cinco unidades mayor que el triple de x. a) 3x

b) x – 1 2

c) x + 3

d) x + 3 2

e) 3 · (x + 5)

f ) 3x + 5

Escribe la expresión del término enésimo en cada una de estas series: a) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - … 8 an = ? b) 3 - 5 - 7 - 9 - 11 - … 8 bn = ? c) 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - … 8 cn = ? d) 4 - 9 - 14 - 19 - 24 - … 8 dn = ? a) an = 2n

3

b) bn = 2n + 1

d) dn = 5n – 1

Copia y completa las casillas vacías. 1

1

4

c) cn = 5n

2

2

3 –22

4

3

4

5

5

… … …

10

…

3 4 5 –22 – 43 –70

… …

1 2

2 –7

1

2

3

4

5

…

1

3

6

10

15

…

n 5 – 3n2 n n(n + 1) — 2 n 5 – 3n2 n n(n + 1) — 2

El término enésimo de una serie viene dado por la expresión an = 5n – 4. Escribe los cinco primeros términos de dicha serie. an = 5n – 4 8 a1 = 1; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 16; a5 = 21

Unidad 5. Álgebra

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

5

El término enésimo de una serie viene dado por esta expresión: an = 3n – 1 2 Calcula los términos a5, a9 y a15. an = 3n – 1 8 a5 = 7; a9 = 13; a15 = 22 2

6

Sabiendo que los valores a, b y c se relacionan mediante la fórmula a = 3b + 2c 5 completa la tabla. b c

0 0

0 5

2 7

3 3

4 9

0 0 0

0 5 2

2 7 4

3 3 3

4 9 6

a

b c a

7

Llamando x al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraicamente: a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo. b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria. c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y en Navidad. a) 0,8x b) x + 0,8x 8 1,8x c) 12x + 2 · 0,8x 8 13,6x

8

Traduce a una igualdad algebraica cada uno de estos enunciados: a) Si aumentas un número, x, en 15 unidades y divides entre dos el resultado, obtienes el triple de dicho número. b) Si triplicas la edad de Jorge, x, y al resultado le sumas 5 años, obtienes la edad de su padre, que tenía 33 años cuando nació Jorge. Edad de Jorge ÄÄ8 x Edad del padre ÄÄ8 x + 33 a) x + 15 = 3x 2 b) 3x + 5 = x + 33

Unidad 5. Álgebra

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

M onomios 9

Copia y completa. MONOMIO

8a

2 —xy 3

COEFICIENTE

1

PA R T E L I T E R A L

a 3b

GRADO

10

11

2 —xy 3 2 — 3

a3b

MONOMIO

8a

COEFICIENTE

8

PA R T E L I T E R A L

a

xy

a 3b

GRADO

1

2

4

1

Opera. a) 2x + 8x c) 6a + 6a e) 3x + x g) a + 7a i) 9x + 2x

b) 7a – 5a d) 15x – 9x f ) 10a – a h)2x – 5x j) 9a – 9a

a) 2x + 8x = 10x c) 6a + 6a = 12a e) 3x + x = 4x g) a + 7a = 8a i) 9x + 2x = 11x

b) 7a – 5a = 2a d) 15x – 9x = 6x f ) 10a – a = 9a h) 2x – 5x = –3x j) 9a – 9a = 0

Reduce. a) 3x + y + 5x c) 7 – a – 5 e) 2x + 3 – 9x + 1 g) 8a – 6 – 3a – 1

b) 2a + 4 – 5a d) 3 + 2x – 7 f ) a – 6 – 2a + 7 h)5x – 2 – 6x – 1

a) 3x + y + 5x = 8x + y c) 7 – a – 5 = –a + 2 e) 2x + 3 – 9x + 1 = –7x + 4 g) 8a – 6 – 3a – 1 = 5a – 7

b) 2a + 4 – 5a = –3a + 4 d) 3 + 2x – 7 = 2x – 4 f ) a – 6 – 2a + 7 = –a + 1 h) 5x – 2 – 6x – 1 = –x – 3

Unidad 5. Álgebra

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

PÁGINA 120 12

Quita paréntesis y reduce. a) x – (x – 2) c) (5x – 1) – (2x + 1) e) (1 – 3x) – (1 – 5x) g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2)

b) 3x + (2x + 3) d) (7x – 4) + (1 – 6x) f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1) h)(x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7)

a) x – (x – 2) = 2 b) 3x + (2x + 3) = 5x + 3 c) (5x – 1) – (2x + 1) = 3x – 2 d) (7x – 4) + (1 – 6x) = x – 3 e) (1 – 3x) – (1 – 5x) = 2x f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1) = –x + 4 g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) = 3x + 3 h) (x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7) = –2x + 2

13

Opera y reduce. a) 5x · 2 c) 3x · 4x

b) 6x : 2 d) 12x : 3x

e) 2 x · 6x 3 g) x 2 · x 3 i) 3x · 5x 3 k) (–2x 2) · (–3x 4) m) 4 x 3 · (–3x 3) 3

f ) 3 x2 : 1 x 4 4 5 2 h)x : x j) 15x 6 : 5x 4 l) (–20x 8) : 5x 7 n) 2 x 2 : (–2x 3) 5

ñ) 1 x · 2 x 2 2 3

o) 3 x : 1 x 3 2 6

a) 5x · 2 = 10x c) 3x · 4x = 12x 2 e) 2 x · 6x = 4x 2 3 g) x 2 · x 3 = x 5 i) 3x · 5x 3 = 15x 4 k) (–2x 2) · (–3x 4) = 6x 6 m) 4 x 3 · (–3x 3) = – 4x 6 3 3 ñ) 1 x · 2 x 2 = x 3 2 3

b) 6x : 2 = 3x d) 12x : 3x = 4 f ) 3 x 2 : 1 x = 3x 4 4 5 2 h) x : x = x 3 j) 15x 6 : 5x 4 = 3x 2 l) (–20x 8) : 5x 7 = –4x n) 2 x 2 : (–2x 3) = – 1 5 5x o) 3 x : 1 x 3 = 92 2 6 x

Unidad 5. Álgebra

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

P olinomios 14

Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios: + 3x 2 + 2x – 6 b) 4 – 3x 2 c) 2x 5 – 4x 2 + 1 d) 7x 4 – x 3 + x 2 + 1

a) x 3

15

a) Grado 3. c) Grado 5.

b) Grado 2. d) Grado 4.

Reduce. – 6x + 1 + x 2 + 3x – 5 c) 2x 2 + 4 + x 3 – 6x + 2x 2 – 4

b) 3x – x 2 + 5x + 2x 2 – x – 1 d) 5x 3 – 1 – x + x 3 – 6x 2 – x 2 + 4

a) x 2

a) x 2 – 6x + 1 + x 2 + 3x – 5 = 2x 2 – 3x – 4 b) 3x – x 2 + 5x + 2x 2 – x – 1 = x 2 + 7x – 1 c) 2x 2 + 4 + x 3 – 6x + 2x 2 – 4 = x 3 + 4x 2 – 6x d) 5x 3 – 1 – x + x 3 – 6x 2 – x 2 + 4 = 6x 3 – 7x 2 – x + 3

16

Quita paréntesis y reduce. a) (3x 2 – 5x + 6) + (2x – 8) c) (9x 2 – 5x + 2) – (7x 2 – 3x – 7)

b) (6 – 3x + 5x 2) – (x 2 – x + 3) d) (3x 2 – 1) – (5x + 2) + (x 2 – 3x)

a) (3x 2 – 5x + 6) + (2x – 8) = 3x 2 – 3x – 2 b) (6 – 3x + 5x 2) – (x 2 – x + 3) = 4x 2 – 2x + 3 c) (9x 2 – 5x + 2) – (7x 2 – 3x – 7) = 2x 2 – 2x + 9 d) (3x 2 – 1) – (5x + 2) + (x 2 – 3x) = 4x 2 – 8x – 3

17

18

Copia y completa. 3x 2 – 5x – 5 + ■ x2 + ■ x – ■ 5x 2 – x – 6

■ x 3 – 3x 2 + ■ x – 8 + 4x 3 + ■ x 2 – 5x – ■

3x 2 – 5x – 5 + 2x 2 + 4x – 1 5x 2 – x – 6

2x 3 – 3x 2 + 4x – 8 + 4x 3 + 5x 2 – 5x – 2 6x 3 + 2x 2 – x – 10

6x 3 + 2x 2 –

Considera los polinomios siguientes: A = 3x 3 – 6x 2 + 4x – 2 B = x 3 – 3x + 1 Calcula. a) A + B b) A + B + C d) B – C e) A + B – C a) A + B = 4x 3 – 6x 2 + x – 1 c) A – B = 2x 3 – 6x 2 + 7x – 3 e) A + B – C = 4x 3 – 8x 2 – 3x + 4

Unidad 5. Álgebra

x – 10

C = 2x 2 + 4x – 5 c) A – B f) A – B – C

b) A + B + C = 4x 3 – 4x 2 + 5x – 6 d) B – C = x 3 – 2x 2 – 7x + 6 f ) A – B – C = 2x 3 – 8x 2 + 3x + 2

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

19

Opera en cada caso igual que se ha hecho en el ejemplo: · (4x 3 – 7x 2 – x + 9) = • = 4x 3 · (–x 2) – 7x 2 · (–x 2) – x · (–x 2) + 9 · (–x 2) = = – 4x 5 + 7x 4 + x 3 – 9x 2 a) 2 · (x 3 – 3x 2 + 2x + 2) b) (– 4) · (2x 2 – 5x – 1) c) x · (3x 3 – 4x 2 – 6x – 1) d) x 2 · (5x 2 + 3x + 4) e) (–2x) · (x 3 – 2x 2 + 3x + 2) (–x 2)

a) 2 · (x 3 – 3x 2 + 2x + 2) = 2x 3 – 6x 2 + 4x + 4 b) (– 4) · (2x 2 – 5x – 1) = –8x 2 + 20x + 4 c) x · (3x 3 – 4x 2 – 6x – 1) = 3x 4 – 4x 3 – 6x 2 – x d) x 2 · (5x 2 + 3x + 4) = 5x 4 + 3x 3 + 4x 2 e) (–2x) · (x 3 – 2x 2 + 3x + 2) = –2x 4 + 4x 3 – 6x 2 – 4x

20

Reduce. a) 2(3x – 1) + 3(x + 2) b) 5(x – 2) – 2(2x + 1) c) 3(x 2 – 2x – 1) – 2(x + 5) d) 4(2x 2 – 5x + 3) – 3(x 2 + x + 1) e) 6(3x 2 – 4x + 4) – 5(3x 2 – 2x + 3) a) 2(3x – 1) + 3(x + 2) = 9x + 4 b) 5(x – 2) – 2(2x + 1) = x – 12 c) 3(x 2 – 2x – 1) – 2(x + 5) = 3x 2 – 8x – 13 d) 4(2x 2 – 5x + 3) – 3(x 2 + x + 1) = 5x 2 – 23x + 9 e) 6(3x 2 – 4x + 4) – 5(3x 2 – 2x + 3) = 3x 2 – 14x + 9

21

Multiplica. a) (x – 1) · (2x – 3) b) (3x – 2) · (x – 5) c) (2x + 3) · (3x – 4) d) (x + 1) · (x 2 + x + 1) e) (2x – 1) · (2x 2 – 3x + 2) f ) (3x + 2) · (x 3 – 2x 2 + 5x + 1) g) (x 2 – 2x – 3) · (2x 3 – 5x 2 – 4x + 3) a) (x – 1) · (2x – 3) = 2x 2 – 5x + 3 b) (3x – 2) · (x – 5) = 3x 2 – 17x + 10 c) (2x + 3) · (3x – 4) = 6x 2 + x – 12 d) (x + 1) · (x 2 + x + 1) = x 3 + 2x 2 + 2x + 1 e) (2x – 1) · (2x 2 – 3x + 2) = 4x 3 – 8x 2 + 7x – 2 f ) (3x + 2) · (x 3 – 2x 2 + 5x + 1) = 3x 4 – 4x 3 + 11x 2 + 13x + 2 g) (x 2 – 2x – 3) · (2x 3 – 5x 2 – 4x + 3) = 2x 5 – 9x 4 + 26x 2 + 6x – 9

Unidad 5. Álgebra

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

PÁGINA 121 22 23

Resuelto en el libro de texto. Calcula. + 1) · (x – 2) c) (2x – 3) · (3x 3 – 2x + 2)

a) (x 2

b) (2x 2 – 1) · (x 2 + 3) d) (x 2 + 2) · (x 3 – 3x + 1)

a) (x 2 + 1) · (x – 2) = x 3 – 2x 2 + x – 2 b) (2x 2 – 1) · (x 2 + 3) = 2x 4 + 5x 2 – 3 c) (2x – 3) · (3x 3 – 2x + 2) = 6x 4 – 9x 3 – 4x 2 + 10x – 6 d) (x 2 + 2) · (x 3 – 3x + 1) = x 5 – x 3 + x 2 – 6x + 2

24

Opera como en el ejemplo. + 3) · (x 2 – 1) = x 2 · (x – 1) + 3 · (x 2 – 1) = • = x 3 – x 2 + 3x 2 – 3 = x 3 + 2x 2 – 3 a) (x + 1) · (x 2 + 4) b) (x 3 + 1) · (x 2 + 5) d) (x 3 – 3x + 5) · (2x – 1) c) (x 2 – 2) · (x + 7) (x 2

a) (x + 1) · (x 2 + 4) = x 3 + x 2 + 4x + 4 b) (x 3 + 1) · (x 2 + 5) = x 5 + 5x 3 + x 2 + 5 c) (x 2 – 2) · (x + 7) = x 3 + 7x 2 – 2x – 14 d) (x 3 – 3x + 5) · (2x – 1) = 2x 4 – x 3 – 6x 2 + 13x – 5

25

Reduce. a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x 2 + 1) b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2) c) (x 2 – 3) · (x + 1) – (x 2 + 5) · (x – 2) d) (4x + 3) · (2x – 5) – (6x 2 – 10x – 12) a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x 2 + 1) = 5x + 1 b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2) = 5x 2 + 5x – 10 c) (x 2 – 3) · (x + 1) – (x 2 + 5) · (x – 2) = 3x 2 – 8x + 7 d) (4x + 3) · (2x – 5) – (6x 2 – 10x – 12) = 2x 2 – 4x – 3

26 27

Resuelto en el libro de texto. Realiza las divisiones siguientes: a) (8x – 6) : 2 b) (20x – 5) : 5 3 2 d) (4x – 8x ) : 2x e) (4x 3 – 2x 2 + 6x) : 2x

c) (3x 2 – x) : x f ) (12x 3 + 9x 2) : 3x 2

a) (8x – 6) : 2 = 4x – 3

b) (20x – 5) : 5 = 4x – 1

c) (3x 2 – x) : x = 3x – 1

d) (4x 3 – 8x 2) : 2x = 2x 2 – 4x

e) (4x 3 – 2x 2 + 6x) : 2x = 2x 2 – x + 3

f ) (12x 3 + 9x 2) : 3x 2 = 4x + 3

Unidad 5. Álgebra

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

P roductos notables y extracción de factor común 28

Extrae factor común en cada uno de los siguientes polinomios: a) 3x + 3y + 3z b) 2x – 5xy + 3xz 2 c) a + 3a d) 3a – 6b e) 2x + 4y + 6z f ) 4x – 8x 2 + 12x 3 g) 9a + 6a 2 + 3a 3 h)2a 2 – 5a 3 + a 4 a) 3x + 3y + 3z = 3(x + y + z) b) 2x – 5xy + 3xz = x (2 – 5y + 3z) c) a 2 + 3a = a (a + 3) d) 3a – 6b = 3(a – 2b) e) 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) f ) 4x – 8x 2 + 12x 3 = 4x(1 – 2x + 3x 2) g) 9a + 6a 2 + 3a 3 = 3a(3 + 2a + a2) h) 2a 2 – 5a 3 + a 4 = a2(2 – 5a + a2)

29

Calcula sin hacer la multiplicación, utilizando las fórmulas de los productos notables. a) (x + 3)2 b) (3 + a)2 c) (2 – x)2 d) (a – 6)2 e) (2x + 1)2 f ) (5 – 3a)2 g) (x – 5) · (x + 5) h)(3x – 5) · (3x + 5) a) (x + 3)2 = x 2 + 6x + 9 c) (2 – x)2 = 4 – 4x + x 2 e) (2x + 1)2 = 4x 2 + 4x + 1 g) (x – 5) · (x + 5) = x 2 – 25

30 31

b) (3 + a)2 = 9 + 6a + a2 d) (a – 6)2 = a2 – 12a + 36 f ) (5 – 3a)2 = 25 – 30a + 9a2 h) (3x – 5) · (3x + 5) = 9x 2 – 25

Resuelto en el libro de texto. Descompón en factores. a) x 2 – 6x + 9 c) 3x 2 + 6x + 3 e) x 4 – x 2

b) x 3 – 9x d) 2x 3 – 12x 2 + 18x f ) 4x 2 + 4x + 1

a) x 2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3) · (x – 3) b) x 3 – 9x = x(x 2 – 9) = x · (x + 3) · (x – 3) c) 3x 2 + 6x + 3 = 3(x 2 + 2x + 1) = 3 · (x + 1)2 = 3 · (x + 1) · (x + 1) d) 2x 3 – 12x 2 + 18x = 2x · (x 2 – 6x + 9) = 2x · (x – 3)2 = 2x · (x – 3) · (x – 3) e) x 4 – x 2 = x 2 · (x 2 – 1) = x 2 · (x + 1) · (x – 1) f ) 4x 2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1) · (2x + 1)

Unidad 5. Álgebra

5

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

32

Saca factor común en el numerador y en el denominador y, después, simplifica. a) 2x + 2 3x + 3

b)

x2

x + 2x

2 c) 2x3 + 10x2 3x + 15x

2 d) 2x –32x 2x

a) 2x + 2 = 2(x + 1) = 2 3x + 3 3(x + 1) 3 b)

33

x2

x x = = 1 x(x + 2) x+2 + 2x

c)

2x 2 + 10x + 5) = 2 = 2x(x 2 3 2 3x (x + 5) 3x 3x + 15x

d)

2x 2 – 2x = 2x(x –3 1) = x –21 2x x 2x 3

Descompón en factores el numerador y el denominador y, después, simplifica. a)

x2 – 9 x 2 – 6x + 9

c) 3x2+ 3 3x – 3 e)

2x 2 – 6x 2x 3 – 12x 2 + 18x

a)

x2 – 9 = (x + 3)(x –2 3) = x + 3 2 x–3 (x – 3) x – 6x + 9

b)

5x + 15 = 5(x + 3) = 5 x 2 + 6x + 9 (x + 3)2 x + 3

b)

2 d) x +22x + 1 5x + 5x 2 f ) 3x +2 6x + 3 5x + 5x

3(x + 1) c) 3x2 + 3 = = 1 3x – 3 3(x + 1)(x – 1) x – 1 2 2 d) x +2 2x + 1 = (x + 1) = x + 1 5x(x + 1) 5x 5x + 5x

e)

2x 2 – 6x = 2x(x – 3)2 = 1 x–3 2x(x – 3) 2x 3 – 12x 2 + 18x

2 2 f ) 3x +2 6x + 3 = 3(x + 1) = 3(x + 1) 5x(x + 1) 5x 5x + 5x

Unidad 5. Álgebra

5x + 15 + 6x + 9

x2

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 141 E cuaciones sencillas 1

2

Resuelve mentalmente. a) x + 4 = 5 b) x – 3 = 6 d) 7 – x = 5 e) 11 = x + 5 g) 5 = 2 + x h)9 = 15 – x

c) 7 + x = 10 f) 2 = x – 9 i) 2 – x = 9

a) x = 1 d) x = 2 g) x = 3

c) x = 3 f ) x = 11 i) x = –7

b) x = 9 e) x = 6 h) x = 6

Resuelve. a) 2x + x = 5 c) x – 9x = 9 – 7 e) 6 = 12x – 2x g) 5x – 13x = 6 – 10 i) 11x + 17 – 6x = 2 k) 2x – 5 + 3x + 1 = 3x – 2 m) 6x – 1 + x = 4 – 5x + 3 ñ)5x + 4 – 6x = 7 – x – 3 a) x = 5 3

b) x = 3 4

b) 7x – 3x = 10 – 7 d) 5x – x = 3 – 5 f ) 2 – 8 = x + 2x h)2x + 4 + 5x = 18 j) 9 = 12x – 6 – 7x l) x + 7 = 12x – 3 – 8x + 1 n)x + 2x + 3x – 5 = 4x – 9 o) 4x + 2 + 7x = 10x + 3 + x c) x = – 1 4

e) x = 3 f ) x = –2 g) x = 1 5 2 i) x = –3 j) x = 3 k) x = 1 m) x = 2 n) x = –2 3 ñ) Es una identidad. Tiene infinitas soluciones. o) Incompatible. Sin solución.

3

Quita paréntesis y resuelve. a) 6(x + 1) – 4x = 5x – 9 c) 3x + 5(2x – 1) = 8 – 3(4 – 5x) e) x – 7(2x + 1) = 2(6 – 5x) – 13 g) 13x – 5(x + 2) = 4(2x – 1) + 7

h) x = 2 l) x = 3

b) 18x – 13 = 8 – 4(3x – 1) d) 5 – (4x + 6) = 3x + (7 – 4x) f ) 11 – 5(3x + 2) + 7x = 1 – 8x

a) 6x + 6 – 4x = 5x – 9 8 15 = 3x 8 x = 5 b) 18x – 13 = 8 – 12x + 4 8 30x = 25 8 x = 5 6

Unidad 6. Ecuaciones

d) x = – 1 2

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

c) 3x + 10x – 5 = 8 – 12 + 15x 8 –1 = 2x 8 x = – 1 2 d) 5 – 4x – 6 = 3x + 7 – 4x 8 –8 = 3x 8 x = – 8 3 e) x – 14x – 7 = 12 – 10x – 13 8 –6 = 3x 8 x = –2 f ) 11 – 15x – 10 + 7x = 1 – 8x 8 1 – 8x = 1 – 8x 8 8 Identidad. Infinitas soluciones. g) 13x – 5x – 10 = 8x – 4 + 7 8 8x – 10 = 8x + 3 8 8 Incompatible. No tiene solución.

E cuaciones de primer grado con denominadores 4

Quita denominadores y resuelve. a) x + 1 = x b) 5x + 1 = 5 + x 3 3 3 6 c) 3x – 1 = x – 7x – 1 d) x + 4 – x = 1 – 7x 5 4 10 5 3 15 6 10 e) 7x – 1 – x = x + 5x + 1 f) x + 1 – x = x – 2 + 5 4 8 8 2 6 3 6 3 6 a) 3x + 1 = x 8 x = – 1 2

b) 10x + 6 = 5 + 6x 8 x = – 1 4

c) 12x – 5 = 20x – 14x – 4 8 x = 1 d) 10x + 8 – 30x = 5 – 21x 8 x = –3 6 e) 14x – 8 – x = 8x + 5x + 8 8 0x = 16 8 Sin solución. f ) 3x + 1 – 2x = x – 4 + 5 8 x + 1 = x + 1 8 Identidad. Tiene infinitas soluciones.

5

Elimina los paréntesis y los denominadores y resuelve. a) 2x – 5 = 1 (x – 3) b) 5 (2x – 1) – x = x 2 2 6 6

( )

c) x – 1 = 2 x – 4 5 5

d) x – 1 = 1 (2x – 5) 3 6

a) 4x – 5 = x – 3 8 x = 2 3 b) 5(2x – 1) – 6x = x 8 10x – 5 – 6x = x 8 x = 5 3 c) x – 1 = 2x – 8 8 x – 5 = 10x – 8 8 x = 1 5 5 3 d) x – 1 = x – 5 8 6x – 2 = 2x – 5 8 x = – 3 3 3 6 4

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

6

Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 1 (2 + 5x) = 1 x – 1 b) 2(x – 3) – 1 = x – 1 (x – 1) 5 2 5 3 3

( )

c) 1 – 3x = 3 – 1 (x – 2) 8 4 2

(

) (

e) 5 x – 1 = 1 3x – 1 4 10 2 2

d) x – 3x = 1 (2x – 1) + x 4 3 6

)

f ) 1 – 3 (x + 1) = 2x – 1 7 3 7

a) 2 + x = x – 1 8 4 + 10x = 5x – 1 8 x = –1 5 2 10 b) 2x – 6 – 1 = x – x + 1 8 6x – 18 – 1 = 3x – x + 1 8 x = 5 3 3 3 c) 1 – 3x = 3 – x + 1 8 8 – 3x = 6 – 4x + 8 8 x = 6 8 4 2 d) x – 3x = 2x – 1 + x 8 12x – 9x = 8x – 4 + 2x 8 x = 4 4 3 3 6 7 e) 5x – 1 = 3x – 1 8 5x – 2 = 6x – 1 8 x = –1 4 2 2 4 f ) 21 – 9(x + 1) = 14x – 3 8 21 – 9x – 9 = 14x – 3 8 x = 15 23

7

Elimina denominadores y resuelve. a) x – x – 3 = 1 b) 1 – x + 1 = 2x – 1 5 3 3 c) 1 – 1 – x = x + 1 3 2

d) 3x – 1 = 3x + 2 2 4

e) 3x – 1 – 1 = 2x – 2 2

f ) x + 2 – 3x = x + 1 5 2

g) 2x + x – 3 = x – 3 2 4

h) 3x – 1 = x – x + 1 5 2

i) x – x + 2 = x 5 15 3

j) x – 5 + x – 2 = x – 2 3 5

k) x + 3 – x – 6 = 1 5 7

l) 1 – x – x – 1 = 3x – 1 3 12 4

a) 5x – (x – 3) = 5 8 5x – x + 3 = 5 8 x = 1 2 b) 3 – (x + 1) = 6x – 1 8 3 – x – 1 = 6x – 1 8 x = 3 7 c) 6 – 2(1 – x) = 6x + 3 8 6 – 2 + 2x = 6x + 3 8 x = 1 4 d) 6x – 4 = 3x + 2 8 x = 2

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

e) 3x – 1 – 2 = 4x – 4 8 x = 1 f ) 10x + 2(2 – 3x) = 5x + 10 8 10x + 4 – 6x = 5x + 10 8 x = –6 g) 8x + 2(x – 3) = x – 3 8 8x + 2x – 6 = x – 3 8 x = 1 3 h) 6x – 10 = 10x – 5(x + 1) 8 6x – 10 = 10x – 5x – 5 8 x = 5 i) 3x – (x + 2) = 5x 8 3x – x – 2 = 5x 8 x = – 2 3 j) 5(x – 5) + 3(x – 2) = 15(x – 2) 8 5x – 25 + 3x – 6 = 15x – 30 8 x = – 1 7 k) 7(x + 3) – 5(x – 6) = 35 8 7x + 21 – 5x + 30 = 35 8 x = –8 l) 4(1 – x) – (x – 1) = 3(3x – 1) 8 4 – 4x – x + 1 = 9x – 3 8 x = 4 7

8

Resuelve estas ecuaciones: a) 3x – 1 – 2x + 1 = 7x – 13 4 5 20

b) 2 + 2 (x + 1) = x – 2x + 3 5 5

c) 2 (1 – 3x) + 3(x – 1) = 5 (1 – x) 3 4 12

d) 3 x – 1 + 1 + x = 3 x – 2 5 3 4 3

(

)

( )

a) 5(3x – 1) – 4(2x + 1) = 7x – 13 8 15x – 5 – 8x – 4 = 7x – 13 8 8 Incompatible. No tiene solución. b) 10 + 2(x + 1) = 5x – (2x + 3) 8 10 + 2x + 2 = 5x – 2x – 3 8 x = 15 c) 8(1 – 3x) + 9(x – 1) = 5(1 – x) 8 8 – 24x + 9x – 9 = 5 – 5x 8 x = –3 5 d) x – 1 + 3 + x = 3x – 1 8 4x – 4 + 12 + 20x = 15x – 10 8 x = –2 5 5 4 2

PÁGINA 142 9 10

Resuelto en el libro de texto. Elimina denominadores, con las indicaciones que se ofrecen, y resuelve. a) 1 + 1 = 3 5 Multiplica ambos miembros por 2x. x 2 b) 1 – 1 = 2 5 Multiplica por 10x. 2 x 5 c) 3 – 1 = x 5 Multiplica por (x – 2). x–2 x–2 d) 2x + 2 = 5 5 Multiplica por (3x – 1). 3x – 1 3x – 1

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

e) 1 + 1 = 1 5 Multiplica por 2 · (x – 1). x–1 2 f ) 2x – 1 = 2 5 Multiplica por 5 · (x – 3). x–3 5 x–3 6 g) 3x + = 1 5 Multiplica por 5 · (x – 1). x – 1 5(x – 1) 5 a) 2 + x = 6x 8 x = 2 5

b) 5x – 10 = 4x 8 x = 10

c) 3 – (x – 2) = x 8 x = 5 2

d) 2x + 2(3x – 1) = 5 8 x = 7 8

e) 2 + 2(x – 1) = x – 1 8 x = –1

f ) 10x – (x – 3) = 10 8 x = 7 9

g) 15x + 6 = x – 1 8 x = – 1 2

P roblemas para resolver con ecuaciones de primer grado 11

Calcula, primero, mentalmente y, después, con la ayuda de una ecuación. a) Si a un número le sumas 12, obtienes 25. ¿De qué número se trata? b) Si a un número le restas 10, obtienes 20. ¿Qué número es? c) Un número, x, y su siguiente, x + 1, suman 13. ¿Cuáles son esos números? d) En mi clase somos 29 en total, pero hay tres chicos más que chicas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay en la clase? a) x + 12 = 25 8 x = 13 El número es 13.

b) x – 10 = 20 8 x = 30 El número es 30.

c) x + (x + 1) = 13 8 x = 6

d) Chicas 8 x ° ¢ x + (x + 3) = 29 8 x = 13 Chicos 8x + 3 £

Los números son 6 y 7.

En la clase hay 13 chicas y 16 chicos.

12

Busca un número cuyo doble más tres unidades sea igual a su triple menos cinco unidades. 2x + 3 = 3x – 5 8 x = 8 El número es 8.

13

Dividiendo un número entre tres, se obtiene el mismo resultado que restándole 16. ¿De qué número se trata? x = x – 16 8 x = 24 3 El número es 24.

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

14

Multiplicando un número por 5, se obtiene el mismo resultado que sumándole 12. ¿Cuál es ese número? 5x = x + 12 8 x = 3 El número es 3.

15

Si al triple de un número se le suman 15 y el resultado se divide entre 4, da 9. ¿Cuál es ese número? 3x + 15 = 9 8 x = 7 4 El número es 7.

16

La suma de dos números es 167, y su diferencia, 19. ¿Cuáles son esos números? Un número 8 x Otro número 8 x + 19 x + (x + 19) = 167 8 x = 74; x + 19 = 93 Los números son 74 y 93.

17

Calcula el número natural que sumado a su siguiente da 157. EL NÚMERO

8 x

SU SIGUIENTE

8 x+1

x + (x + 1) = 157 8 x = 78 El número es 78.

18

La suma de tres números consecutivos es 135. ¿Cuáles son esos números? (x – 1) + x + (x + 1) = 135 8 x = 45 Los números son 44, 45 y 46.

19

Si a la cuarta parte de un número se le restan tres unidades, se obtiene su quinta parte. Calcula dicho número. x – 3 = x 8 x = 60 4 5 El número es 60.

20

Teresa es siete años mayor que su hermano Antonio y dos años menor que su hermana Blanca. Calcula la edad de cada uno sabiendo que entre los tres suman 34 años. ANTONIO

8 x–7

TERESA

(x – 7) + x + (x + 2) = 34 8 x = 13 Antonio tiene x – 7 = 13 – 7 = 6 años. Teresa tiene 13 años. Blanca tiene x + 2 = 13 + 2 = 15 años.

Unidad 6. Ecuaciones

8 x

BLANCA

8 x+2

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

21

Una ensaimada cuesta 10 céntimos más que un cruasán. Tres cruasanes y cuatro ensaimadas han costado 6 euros. ¿Cuál es el coste de cada pieza? Cruasán 8 x Ensaimada 8 x + 10 3x + 4(x + 10) = 600 8 x = 80 Un cruasán cuesta 80 céntimos y una ensaimada 90 céntimos.

22

Narciso ha comprado en las rebajas dos pantalones y tres camisetas por 161 €. ¿Cuál era el precio de cada artículo, sabiendo que un pantalón costaba el doble que una camiseta? Camiseta 8 x Pantalón 8 2x 2 · 2x + 3x = 161 8 x = 23 Una camiseta cuesta 23 € y un pantalón 46 €

23

Reparte 280 € entre tres personas, de forma que la primera reciba el triple que la segunda, y esta, el doble que la tercera. PRIMERA PERSONA 8 6x SEGUNDA PERSONA 8 2x TERCERA PERSONA 8 x 6x + 2x + x = 280 8 x = 31,11 La tercera persona recibe 31,11 € La segunda 31,11 · 2 = 62,22 € La primera 6 · 31,11 = 186,67 €

PÁGINA 143 24

Tres agricultores reciben una indemnización de 100 000 € por la expropiación de terrenos para la construcción de una autopista. ¿Cómo han de repartirse el dinero, sabiendo que el primero ha perdido el doble de terreno que el segundo, y este, el triple de terreno que el tercero? 6x + 3x + x = 100 000 8 x = 10 000 Primer agricultor 8 60 000 € Segundo agricultor 8 30 000 € Tercer agricultor 8 10 000€

25

En la caja de un supermercado hay 1 140 euros repartidos en billetes de 5, 10, 20 y 50 euros. Sabiendo que: — Hay el doble de billetes de 5 € que de 10 €. — De 10 € hay la misma cantidad que de 20 €. — De 20 € hay seis billetes más que de 50 €. ¿Cuántos billetes de cada clase tiene la caja?

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

Billetes de 50 € 8 x Billetes de 20 € 8 x + 6 Billetes de 10 € 8 x + 6 Billetes de 5 € 8 2(x + 6) 50x + 20(x + 6) + 10(x + 6) + 5 · 2 · (x + 6) = 1 140 8 x = 10 En la caja hay 10 billetes de 50 €, 16 billetes de 20 €, 16 billetes de 10 € y 32 billetes de 5 €.

26

Se han repartido 500 litros de gasóleo, a partes iguales, en dos barriles. ¿Cuántos litros se han de pasar de uno al otro para que el segundo quede con el triple de cantidad que el primero? 3 · (250 – x) = 250 + x 8 x = 125 Se han de pasar 125 litros. Así, el primer barril quedará con 125 l y el segundo con 375 l.

27

Un hortelano siembra la mitad de su huerta de pimientos; la tercera parte, de tomates, y el resto, que son 200 m2, de patatas. ¿Cuál es la superficie total de la huerta? SUPERFICIE DE LA HUERTA 8 x PIMIENTOS 8 x/2 TOMATES 8 x/3 PATATAS 8 200 m2 x + x + 200 = x 8 x = 1 200 2 3 La huerta tiene una superficie de 1 200 m2.

28 29

Resuelto en el libro de texto. Un padre tiene 38 años, y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que el padre tenga solo el doble de edad que el hijo? HOY PA D R E HIJO

30

DENTRO DE

38 11

x

AÑOS

38 + x = 2(11 + x) 8 x = 16 Han de transcurrir 16 años.

38 + x 11 + x

La edad de doña Adela es seis veces la de su nieto Fernando, pero dentro de 8 años solo será el cuádruple. ¿Qué edad tiene cada uno? HOY ADELA FERNANDO

6x x

4(x + 8) = 6x + 8 8 x = 12 Fernando tiene 12 años y Adela, 72 años.

Unidad 6. Ecuaciones

DENTRO DE

8

6x + 8 x+8

AÑOS

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

31

Roberto tiene el triple de edad que su hija Nuria. Calcula la edad de cada uno sabiendo que dentro de 12 años la edad del padre será solamente el doble que la de la hija. HOY NURIA ROBERTO

DENTRO DE

x 3x

12

AÑOS

x + 12 3x + 12

2(x + 12) = 3x + 12 8 x = 12 Nuria tiene 12 años, y Roberto, 36.

32

Un ciclista sube un puerto a 15 km/h y, después, desciende por el mismo camino a 35 km/h. Si el paseo ha durado 30 minutos, ¿cuánto tiempo ha invertido en la subida? TIEMPO DE SUBIDA 8 x (horas) 1 – x (horas) TIEMPO DE BAJADA 8 2 DISTANCIA RECORRIDA SUBIENDO 8 15x 1 –x DISTANCIA RECORRIDA BAJANDO 8 35 2

( )

( )

15x = 35 1 – x 8 x = 7 2 20 En la subida ha invertido 7 horas. Es decir, 7 h = 21 h = 21 minutos. 20 20 60

33

Dos ciclistas parten simultáneamente; uno, de A hacia B, a la velocidad de 24 km/h, y el otro, de B hacia A, a 16 km/h. Si la distancia entre A y B es de 30 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse? TIEMPO HASTA EL ENCUENTRO 8 x (horas) DISTANCIA RECORRIDA POR EL PRIMERO 8 24x DISTANCIA RECORRIDA POR EL SEGUNDO 8 16x 24x + 16x = 30 8 x = 3 4 Tardan en encontrarse tres cuartos de hora.

34

Dos trenes se encuentran, respectivamente, en las estaciones de dos ciudades separadas entre sí 132 km. Ambos parten a la misma hora, por vías paralelas, hacia la ciudad contraria. Si el primero va a 70 km/h, y el segundo, a 95 km/h, ¿cuánto tardarán en cruzarse? 70x + 95x = 132 8 x = 4 5 Tardan en encontrarse 4 h. Es decir, 4 h = 48 h = 48 minutos. 5 5 60

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

35

Un ciclista sale de cierta población, por carretera, a la velocidad de 22 km/h. Hora y media después, sale en su búsqueda un motorista a 55 km/h. ¿Cuánto tardará en darle alcance? • Tiempo hasta el alcance 8 x • Distancia recorrida por el motorista 8 55x

( )

• Distancia recorrida por el ciclista 8 22 · x + 3 2 55x = 22 · x + 3 8 x = 1 2 La moto tarda una hora en alcanzar al ciclista.

( )

36

Un camión sale por carretera de cierta ciudad a 60 km/h. Diez minutos después sale en su persecución un coche que tarda quince minutos en darle alcance. ¿A qué velocidad iba el coche? Distancia del camión 8 60 · 25 60 Distancia del coche 8 x · 15 60 60 · 25 = x · 15 8 x = 100 60 60 La velocidad del coche era de 100 km/h.

PÁGINA 144 37

Se han pagado 66 € por una prenda que estaba rebajada un 12%. ¿Cuál era el precio sin rebaja? PRECIO ORIGINAL 8 x 12x REBAJA 8 100 ECUACIÓN

8 x – 12x = 66 100

x – 12x = 66 8 x = 75 100 El precio sin rebaja era de 75 €.

38

Laura ha comprado una falda y una blusa por 66 €. Ambas tenían el mismo precio, pero en la falda le han hecho un 20% de rebaja, y en la blusa, solo un 15%. ¿Cuánto costaba originalmente cada prenda? 0,80x + 0,85x = 66 8 x = 40 Cada prenda costaba 40 €.

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11

39

Un inversor ha obtenido un beneficio de 156 € por un capital colocado al 4% durante tres años. ¿A cuánto ascendía el capital? 156 = x · 4 · 3 8 x = 1 300 100 El capital ascendía a 1 300 €.

40

Un fabricante de queso ha mezclado cierta cantidad de leche de vaca, a 0,5 €/l, con otra cantidad de leche de oveja, a 0,80 €/l, obteniendo 300 litros de mezcla a un precio medio de 0,70 €/l. ¿Cuántos litros de cada tipo de leche empleó? CANTIDAD VA C A OVEJA MEZCLA

(l )

PRECIO

x 300 – x 300

(€ /L )

0,5 0,8 0,7

COSTE

(€ )

0,5x 0,8 · (300 – x) 0,7 · 300

0,5x + 0,8(300 – x) = 0,7 · 300 8 x = 100 Se han mezclado 100 litros de leche de vaca con 200 litros de leche de oveja.

41

¿Qué cantidad de café de 7,20 €/kg se ha de mezclar con 8 kg de otra clase superior de 9,30 €/kg para obtener una mezcla que salga a un precio medio de 8,40 €/kg? CANTIDAD CAFÉ

A

CAFÉ

B

MEZCLA

x 8 x+8

(kg)

PRECIO

(€ /kg)

7,20 9,30 8,40

PRECIO

(€ )

7,2x 8 · 9,3 8,4(x + 8)

7,2x + 8 · 9,3 = 8,4 · (x + 8) 8 x = 6 Se han de utilizar 6 kg del café más barato.

42

Para delimitar en una playa una zona rectangular, el doble de larga que de ancha, se han necesitado 84 m de cinta. ¿Cuáles son las dimensiones del sector delimitado? 2x

x + 2x + x + 2x = 84 8 x = 14 La zona medirá 14 m Ò 28 m.

43

x

La amplitud de uno de los ángulos de un triángulo es 13 grados mayor y 18 grados menor, respectivamente, que las amplitudes de los otros dos ángulos. Calcula la medida de cada ángulo. x + (x + 18) + (x – 13) = 180 8 x = 175 8 58° 20' 3 Los ángulos miden: x = 175 = 58° 20' 3 x + 18 x + 18 = 76° 20' x x – 13 x – 13 = 45° 20'

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12

44

La altura de un trapecio mide 5 cm y la base mayor es 6 cm más larga que la base menor. Calcula la longitud de cada una de esas bases sabiendo que el área del trapecio mide 65 m2. x

A=B+b·h 2

5 cm x+6

x + (x + 6) · 5 = 65 8 x = 10 2 Las bases del trapecio miden 10 cm y 16 cm, respectivamente.

45

Calcula el perímetro de esta finca, sabiendo que el área mide 100 m2. 6m

x 8m

2x

x

14 m

14x + 6x = 100 8 x = 5 m Perímetro = 14 + 5 + 8 + 5 + 6 + 10 = 48 m

46 47

Resuelto en el libro de texto. Un estanque se alimenta de dos bocas de agua. Abriendo solamente la primera, el estanque se llena en 8 horas y, abriendo ambas, en 3 horas. ¿Cuánto tarda en llenarse si se abre solamente la segunda boca? 1 + 1 = 1 8 x = 24 8 x 3 5 Si se abre solamente la segunda boca, el estanque tarda en llenarse 24 h = 4 h y 5 48 minutos.

48

Un grifo llena un depósito en 30 minutos. Si se abre a la vez un segundo grifo, el depósito se llena en 20 minutos. ¿Cuánto tardaría en llenarse solo con el segundo grifo? 1 + 1 = 1 8 x = 60 30 x 20 El segundo grifo llena el estanque en 60 min = 1 h.

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 13

PÁGINA 145 E cuaciones de segundo grado 49

50

Observa, razona y resuelve. a) x 2 = 100 c) 5x 2 = 45 e) x (x – 3) = 0 g) x (3x – 1) = 0 i) x 2 – 7x = 0 k) 3x 2 = 2x

b) x 2 = 20 d) 12x 2 = 3 f ) (x + 5)x = 0 h)3x (5x + 2) = 0 j) x 2 + 4x = 0 l) 5x 2 = x 2 – 2x

a) x = ±10

b) x = ± √20 = ±2 √5

c) x = ±3 e) x = 0; x = 3

d) x = ± 1 2 f ) x = 0; x = –5

g) x = 0; x = 1 3 i) x = 0; x = 7

h) x = 0; x = – 2 5 j) x = 0; x = –4

k) x = 0; x = 2 3

l) x = 0; x = – 1 2

Resuelve aplicando la fórmula. – 10x + 21 = 0 2 c) x + 9x + 40 = 0 e) 15x 2 – 16x + 4 = 0 g) x 2 – 10x + 25 = 0 i) 6x 2 – 5x + 2 = 0

b) x 2 + 2x – 3 = 0 d) 5x 2 + 14x – 3 = 0 f ) 14x 2 + 5x – 1 = 0 h)9x 2 + 6x + 1 = 0 j) 6x 2 – x – 5 = 0

a) x 2

a) x =

10 ± √ 100 – 84 8 x = 7; x = 3 2

b) x =

–2 ± √ 4 + 12 8 x = 1; x = –3 2

c) x =

–9 ± √ 81 – 160 8 Sin solución. 2

d) x =

–14 ± √ 196 + 60 8 x = 1 ; x = –3 10 5

e) x =

16 ± √ 256 – 240 8 x = 2; x = 2 30 3 5

f) x =

–5 ± √ 25 + 56 8 x = 1; x = – 1 28 7 2

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 14

51

g) x =

10 ± √ 100 – 100 8 x = 5; x = 5 2

h) x =

–6 ± √ 36 – 36 8 x = – 1; x = – 1 18 3 3

i) x =

5 ± √ 25 – 48 8 Sin solución. 12

j) x =

1 ± √ 1 + 120 8 x = 6; x = –5 2

Resuelve, primero, mentalmente. Después, reduce a la forma general y aplica la fórmula. a) (x – 4)2 = 0 b) (2x – 5)2 = 0 c) (x – 1) · (x – 7) = 0 d) (x + 2) · (x + 4) = 0 e) (x – 5) · (x + 7) = 0 f ) (2x – 1) · (2x + 1) = 0 a) x 2 – 8x + 16 = 0 8 x = 4; x = 4 b) 4x 2 – 20x + 25 = 0 8 x = 5 ; x = 5 2 2 c) x 2 – 8x + 7 = 0 8 x = 1; x = 7 d) x 2 + 6x + 8 = 0 8 x = –2; x = –4 e) x 2 + 2x – 35 = 0 8 x = 5; x = –7 f ) 4x 2 – 1 = 0 8 x = 1 ; x = – 1 2 2

52

Reduce a la forma general y aplica la fórmula. a) x 2 – 1 = 1 x – 1 4 5 4

( ) b) x (x + 1 ) = x (x + 2 ) 2 30 3 5 c) x (x – 1 ) = x – 1 (2x – 1 ) 2 15 3 20 2 2

2 2 d) x + x = 2x – 5 – 1 3 2

a) 20x 2 – x – 1 = 0 8 x = 1 ; x = – 1 4 5 b) 10x 2 – 7x = 0 8 x = 0; x = 7 10 c) 10x 2 – 7x + 2 = 0 8 Sin solución. d) x 2 – 6x – 16 = 0 8 x = 8; x = –2

Unidad 6. Ecuaciones

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 15

P roblemas para resolver con ecuaciones de segundo grado 53

Calcula, primero, mentalmente y, después, con una ecuación. a) ¿Qué número multiplicado por su siguiente da 12? x · (x + 1) = 12 b) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 5. ¿De qué números se trata? x 2 + (x + 1)2 = 5 a) x = 3; x = – 4. Se trata de 3 y 4 ó –4 y –3. b) x = 1; x = –2. Se trata de 1 y 2 ó –2 y –1.

54

Si un número aumentado en tres unidades se multiplica por el mismo número disminuido en otras tres, se obtiene 55. ¿De qué número se trata? (x + 3) · (x – 3) = 55 x = +8; x = –8 El número puede ser 8 ó –8.

55

Si el doble de un número se multiplica por ese mismo número disminuido en 5 unidades, da 12. ¿Qué número es? 2x (x – 5) = 12 8 x = 6; x = –1 El número puede ser 6 ó –1.

56

Los miembros del equipo vamos a hacer un regalo al entrenador que cuesta 80 €. Nos sale un poco caro, pero si fuéramos dos más, tocaríamos a dos euros menos cada uno. ¿Cuántos somos en el equipo? N.° DE COMPONENTES DEL EQUIPO CADA UNO DEBE PAGAR

8 x

8 80 x

SI FUERAN DOS MÁS, CADA UNO PAGARÍA

LO QUE PAGA CADA UNO

–2=

80 – 2 = 80 x x+2 x 2 + 2x – 80 = 0 8 x = 8; x = –10 En el equipo hay 8 jugadores.

57

Resuelto en el libro de texto.

Unidad 6. Ecuaciones

8

80 x+2

LO QUE PAGARÍA CADA UNO SI FUERAN DOS MÁS

6

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 16

58

El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m2. Calcula sus dimensiones.

600 m2 50 – x

x (50 – x) = 600 8 x = 30; x = 20 El rectángulo mide 30 m de largo y 20 m de ancho.

Unidad 6. Ecuaciones

x

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 159 S istemas de ecuaciones. Resolución gráfica °x + y = 3

1

Representa estas ecuaciones: ¢

£x – y = 1

a) Escribe las coordenadas del punto de corte. b) Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones. y=3–x X Y

y=x–1

–2 0

2

5

1 –1

3

4

X

–2 0

2

4

Y

–3 –1 1

3

y=x–1

y=3–x

a) Punto de corte: (2, 1).

b) Solución del sistema: x = 2, y = 1. °x – y = 2

2

Repite el ejercicio anterior para estas ecuaciones: ¢

£ x + 4y = 12

y = 12 – x 4

y=x–2 X Y

0

2

4

6

X

–2 0

2

4

Y

–4 0 4

3

4

8

2

1

y=x–2

12 – x y=— 4

a) Punto de corte: (4, 2).

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

b) Solución del sistema: x = 4, y = 2.

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

3

Resuelve gráficamente. °x + y = 1

° x – 2y = 4

a) ¢

b) ¢

a) y = 1 – x

y= x+5 2

£3x – y = –3

£x – 2y = –5

X Y

–5 –3 –1 1 6

4

2

0

X Y

–5 –3 –1 1 0

1

2

3

x+5 y=— 2

y=1–x

Solución del sistema: x = –1, y = 2. b) y = x – 4 2

y = 3x + 3

X

– 4 –2 0

2

Y

– 4 –3 –2 –1

X

– 4 –2 0

2

Y

–9 –3 3

9

y = 3x + 3

x–4 y=— 2

Solución del sistema: x = –2, y = –3.

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

4

Observa el gráfico y responde. x + 2y = 10

2x – 3y + 15 = 0

2x – 3y + 1 = 0

3x – y = 2

a) Escribe un sistema cuya solución sea x = 2, y = 4. b) Escribe un sistema cuya solución sea x = 0, y = 5. c) Escribe un sistema sin solución. ° x + 2y = 10 a) ¢ £3x – y = 2

° x + 2y

= 10 £ 2x – 3y + 15 = 0

b) ¢

° 2x – 3y + 15 = 0

c) ¢

£ 2x – 3y + 1 = 0

S istemas de ecuaciones. Resolución algebraica 5

Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada. °2x + 3y = 8

a) ¢

£5x – y = 3 ° x + 4y = 1

c) ¢

£2x – y = –7

° x – 2y = 7

b) ¢

£2x – 3y = 13 °5x – 2y = –5

d) ¢

a)

° y = 5x – 3 ¢ 8 x = 1; y = 2 2x + 3(5x – 3) = 8 £

b)

° x = 7 + 2y ¢ 8 y = –1; x = 5 2(7 + 2y) – 3y = 13 £

c)

° x = 1 – 4y ¢ 8 y = 1; x = –3 2(1 – 4y) – y = –7£

£4x – 3y = 3

2y – 5 ° x=— § 5 § d) ¢ 8 y = –5; x = –3 2y – 5 4 · — – 3y = 3 §§ 5 £

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

6

Resuelve por igualación. °y = 3x – 5

°x + y – 7 = 0

a) ¢

b) ¢

£y = 5x – 1

£x – y + 3 = 0

° x – 3y = 8

°5x + 2y = 1

c) ¢

£3x + 5y = 10

d) ¢

£7x + 3y = 0

a) 3x – 5 = 5x – 1 8 x = –2; y = –11 b) x = 7 – y ° ¢ 8 7 – y = y – 3 8 y = 5; x = 2 x=y–3 £ c) x = 8 + 3y ° 10 – 5y 8 y = –1; x = 5 10 – 5y § 8 8 + 3y = x = — ¢§ 3 3 £ 1 – 5x d) y = — 2 –7x y=— 3

7

° § § 1 – 5x = –7x 8 x = 3; y = –7 ¢ 8 2 3 § § £

Resuelve por reducción. °2x + y = 6

a) ¢

£5x – y = 1 °3x + 4y = 1

b) ¢

£3x – y = 11 °2x + 3y = 8

c) ¢

£4x – y = 2 °3x – 5y = 9

d) ¢

£2x – 3y = 5

a) 2x + y = 6 5x – y = 1 7x =7 8 x=1 2·1+y=6 8 y=4 c) 2x + 3y = 8 12x – 3y = 6 14x = 14 8 x = 1 2 · 1 + 3y = 8 8 y = 2

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

b) 3x + 4y = 1 –3x + y = –11 5y = –10 8 y = –2 3x + 4 · (–2) = 1 8 x = 3 d) 6x – 10y = 18 –6x + 9y = –15 –y = 3 8 y = –3 6x – 10 · (–3) = 18 8 x = –2

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

8

Resuelve por el método que te parezca más adecuado. °2y = x + 8

a) ¢

£y = 2x + 10 °3x – y = 1

d) ¢

£5x + 2y = 9

° x + y = –4

b) ¢

£2x + y = –1 °6x – 2y = 0

e) ¢

£3x – 5y = 12

°x + 2y = –5

c) ¢

£x – 3y = 5 °7x – 5y = 10

f) ¢

£2x – 3y = –5

a) Sustitución: 2(2x + 10) = x + 8 8 x = –4 y = 2 · (– 4) + 10 8 y = 2

b) Reducción: 2x + y = –1 –x – y = 4 x =3 2 · 3 + y = –1 8 y = –7

c) Sustitución: x = –5 – 2y (–5 – 2y) – 3y = 5 8 y = –2 x = –5 – 2 · (–2) 8 x = –1

d) Reducción: 6x – 2y = 2 5x + 2y = 9 11x = 11 8 x = 1 5 · 1 + 2y = 9 8 y = 2

e) Reducción:

f ) Igualación:

6x – 2y = 0 –6x + 10y = –24 8y = –24 8 y = –3 6x – 2 · (–3) = 0 8 x = –1

+ 5y °x = 10 — § 7 10 + 5y 3y – 5 § 8 = 8y=5 ¢ 3y – 5 2 7 §x = — § 2 £ x = 10 + 5 · 5 8 x = 5 7

9

Resuelto en el libro de texto.

PÁGINA 160 10

Resuelve los siguientes sistemas: °2(3x + y) + x = 4(x + 1) a) ¢ £6(x – 2) + y = 2(y – 1) + 3

°5(2x + 1) = 4(x – y) – 1 § b) ¢ x – y x + 5 §— = — 3 £ 2

°x – 4 y – 5 §— – — = 0 3 § 2 c) ¢ y §x §— + — = 2x – y 3 4 £

a)

3x + 2y = 4 ° x = 2 3x + 2y = –3 ° x = 1 3x – 2y = 2 ° x = 6 b) c) ¢8 ¢8 ¢8 6x – y = 13 £ y = –1 x – 3y = 10 £ y = –3 4x – 3y = 0 £ y = 8

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

P roblemas para resolver con sistemas de ecuaciones 11

La suma de dos números es 57, y su diferencia, 9. ¿Cuáles son esos números? °x = 33 x + y = 57 ° ¢ 8 ¢ x–y=9 £ £y = 24

Los números son 33 y 24.

12

Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 16 y que el doble del menor sobrepasa en cinco unidades al mayor. °x = 37 x – y = 16 ° ¢ 8 ¢ 2y = x + 5 £ £y = 21

Los números son 37 y 21.

13

Calcula dos números sabiendo que: — El primero sobrepasa en 4 unidades a la mitad del segundo. — El segundo sobrepasa en 7 unidades a la mitad del primero. y x=—+4 2 x y=—+7 2

° § °x = 10 § ¢ 8 ¢ § £y = 12 § £

Los números son 10 y 12.

14

La suma de dos números es 73, y al cuádruplo del menor le faltan dos unidades para alcanzar al triple del mayor. ¿Cuáles son esos números? °x = 31 x + y = 73 ° ¢ 8 ¢ 4x + 2 = 3y £ £y = 42

Los números son 31 y 42.

15

Entre Alejandro y Palmira llevan 15 euros. Si él le diera a ella 1,50 €, ella tendría el doble. ¿Cuánto lleva cada uno? Alejandro 8 x Palmira 8 y ° °x = 6,5 x + y = 15 ¢ 8 ¢ 2(x – 1,5) = y + 1,5 £ £y = 8,5

Alejandro tiene 6,50 €, y Palmira, 8,50 €.

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

16

Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino. Sabiendo que en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada y que la duración total del paseo ha sido de 87 minutos, ¿cuánto ha tardado en subir? ¿Y en bajar? Tiempo de subida 8 x Tiempo de bajada 8 y °x = 55 x + y = 87 ° ¢ 8 ¢ x = 23 + y £ £y = 32

La subida ha durado 55 minutos, y la bajada, 32 minutos.

17

En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobraron el otro día 2,70 €. Hoy hemos tomado un café y tres refrescos y nos han cobrado 4,10 €. ¿Cuánto cuesta un café? ¿Y un refresco? Coste del café 8 x Coste del refresco 8 y °x = 0,80 2x + y = 2,70 ° ¢ 8 ¢ x + 3y = 4,10 £ £y = 1,10

Un café cuesta 0,80 €, y un refresco, 1,10 €.

18

Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la unidad. Andrea se lleva 5 melones y 2 sandías, que le cuestan 13 €. Julián paga 12 € por 3 melones y cuatro sandías. ¿Cuánto cuesta un melón? ¿Y una sandía? Coste de un melón 8 x Coste de una sandía 8 y °x = 2 5x + 2y = 13 ° ¢ 8 ¢ 3x + 4y = 12 £ £y = 1,5 Un melón cuesta 2 € y una sandía 1,5 €.

19

Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes, unos de 2 kg y otros de 5 kg. ¿Cuántos envases de cada clase utiliza? Envases de 2 kg 8 x Envases de 5 kg 8 y °x = 150 x + y = 200 ° ¢ 8 ¢ 2x + 5y = 550 £ £y = 50 Utiliza 150 envases de 2 kg y 50 envases de 5 kg.

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

20

Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de cama a 70 € el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50 €, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 6 600 €. ¿Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados? Juegos sin rebaja 8 x Juegos con rebaja 8 y °x = 80 x + y = 100 ° ¢ 8 ¢ 70x + 50y = 6 600 £ £y = 20

Ha vendido 80 juegos de cama sin rebaja y 20 con rebaja.

21

Un frutero pone a la venta 80 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha vendido la mayor parte, pero considera que la mercancía restante no está en buenas condiciones y la retira. Sabiendo que por cada kilo vendido ha ganado 1 €, que por cada kilo retirado ha perdido 2 € y que la ganancia ha sido de 56 €, ¿cuántos kilos ha vendido y cuántos ha retirado? Kilos vendidos 8 x Kilos retirados 8 y °x = 72 x + y = 80 ° ¢ 8 ¢ x – 2y = 56 £ £y = 8 Ha vendido 72 kilos y ha retirado 8.

22

En el zoo, entre búfalos y avestruces hay 12 cabezas y 34 patas. ¿Cuántos búfalos son? ¿Y avestruces?

☞ Búfalos 8 x Patas de búfalo 8 4x

Avestruces 8 y Patas de avestruz 8 2y

Búfalos 8 x Avestruces 8 y °x = 5 x + y = 12 ° ¢ 8 ¢ 4x + 2y = 34 £ £y = 7 Hay 5 búfalos y 7 avestruces.

PÁGINA 161 23

En una granja, entre gallinas y conejos se cuentan 127 cabezas y 338 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja? Gallinas 8 x Conejos 8 y °x = 85 x + y = 127 ° ¢ 8 ¢ 2x + 4y = 338 £ £y = 42

Hay 85 gallinas y 42 conejos.

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

24

Rosendo tiene en el bolsillo 12 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. Si en total tiene 3,30 euros, ¿cuántas monedas de cada tipo lleva? Monedas de 20 céntimos 8 x Monedas de 50 céntimos 8 y °x = 20 x + y = 12 ° ¢ 8 ¢ 20x + 50y = 330 £ £y = 3

Tiene 9 monedas de 20 céntimos y 3 monedas de 50 céntimos.

25

Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diez años solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada una?

☞

HOY

DENTRO DE

x y

CRISTINA MARÍA

10

AÑOS

x + 10 y + 10

° °x = 30 x = 3y ¢ 8 ¢ x + 10 = 2(y + 10) £ £y = 10

Cristina tiene 30 años, y María, 10 años.

26

El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su padre. Dentro de cinco años, la edad del padre será tres veces la de Javier. ¿Cuántos años tiene hoy cada uno? EDAD HOY J AV I E R E L PA D R E

x y

EDAD DENTRO DE

5

AÑOS

x+5 y+5

y ° 2x = — § 8 °x = 10 2 ¢ ¢ £y = 40 3(x + 5) = y + 5 §£ Javier tiene 10 años, y su padre, 40.

27

La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. x y

° °x = 14,5 x–y=8 ¢ 8 ¢ x + y + x + y = 42 £ £y = 6,5

El rectángulo mide 14,5 cm Ò 6,5 cm.

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

Diferencia entre los lados: x–y=8 Perímetro: x + y + x + y = 42

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

28

Para cercar una parcela rectangular, 25 metros más larga que ancha, se han necesitado 210 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela. x

° °x = 65 x = y + 25 ¢ 8 ¢ 2x + 2y = 210 £ £y = 40

y

y x

La parcela tiene unas dimensiones de 65 m de largo Ò 40 m de ancho.

29

Un concurso televisivo está dotado de un premio de 3 000 € para repartir entre dos concursantes. El reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el primer concursante ha superado cinco pruebas, y el segundo, siete. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

☞ El primer concursante se lleva 8 x

El segundo concursante se lleva 8 y

Entre los dos se llevan 8 x + y El premio conseguido es proporcional al número de pruebas superadas 8 x/5 = y/7

x + y = 3 000 ° § 8 °x = 1 250 x y ¢ ¢ —=— § £y = 1 750 5 7 £ El primer concursante se lleva 1 250 €,y el segundo, 1 750 €.

30

¿Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a 3 €/litro, y otro de orujo, a 2 €/litro, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,40 €/litro? Aceite de oliva 8 x litros Aceite de orujo 8 y litros ° °x = 240 x + y = 600 ¢ 8 ¢ 3x + 2y = 600 · 2,40 £ £y = 360 Hay que emplear 240 litros de aceite de oliva y 360 litros de aceite de orujo.

31

Un ciclista sale de paseo y recorre un tramo de carretera, cuesta arriba, a 8 km/h. Después, sigue llaneando, a 20 km/h, hasta que llega a su destino. Si el paseo ha durado 3 h, y la velocidad media resultante ha sido de 16 km/h, ¿cuánto tiempo ha invertido en cada tramo?

☞ Tiempo de subida 8 x

Tiempo en llano 8 y Distancia en subida 8 8x Distancia en llano 8 20y Distancia total 8 16 · 3 = 48 km

Tiempo total 8 3 h

°x = 1 8x + 20y = 48 ° ¢ 8 ¢ x+ y=3 £ £y = 2

Ha subido durante una hora y ha llaneado durante dos horas.

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11

32

Dos ciudades, A y B, distan 270 km. En cierto momento, un coche parte de A hacia B a 110 km/h, y, a la vez, sale de B hacia A un camión a 70 km/h. ¿Qué distancia recorre cada uno hasta que se encuentran?

☞ La suma de las distancias es 270 8 x + y = 270 Los tiempos invertidos por el coche y el camión, hasta el encuentro, son iguales 8 x/110 = y/70

x + y = 270 x y —=— 110 70

° § 8 °x = 165 ¢ ¢ § £y = 105 £

El coche recorre 165 km, y el camión, 105 km.

33

Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después, sale un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo (t ) que tarda en alcanzarle y la distancia recorrida desde el punto de partida.

☞ COCHE CAMIÓN

D I S TA N C I A

VELOCIDAD

TIEMPO

x x

110 70

t t + 10/60

distancia = velocidad · tiempo x = 110 · t

3 ° °t = — § § 8 ¢ 4 1 x = 90 · t + — ¢§ §x = 82,5 6 £ £

( )

Le alcanza en tres cuartos de hora, tras recorrer 82,5 km.

34

Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre A y B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen? Distancia desde A del peatón 8 x Distancia desde A del ciclista 8 7 – x Tiempo 8 t 1 ° °t = — § § 3 § § ¢ 8 ¢ 4 §x = — 7 – x = t · 17 §§ § 3 £ £ x=t·4

Tardan 1 h = 20 min en encontrarse. 3 El encuentro se produce a 4 km › 1 km 333 m del punto de partida, A, del peatón. 3

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12

35

¿Cuánto cuesta el frasco de zumo? ¿Y el tarro de mermelada? ¿Y la caja de galletas? Z+M=3€

Z+G=4€

M+G=5€

Z+M=3° Z=3–M § Z + G = 4 ¢ 8 (3 – M) + G = 4 ° 8 G – M = 1 ° 8 G = 3 ¢ ¢ § M=2 G + M = 5£ M+G=5£ M+G=5 £ Z=1 El zumo cuesta 1 €, el tarro de mermelada, 2 €, y la caja de galletas, 3 €.

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 179 T eorema de Pitágoras 1

Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:

A

45 m2

60 m2

14 cm2 30 cm2

B

A = 44 cm2 B = 15 m2

2

¿Cuál es el área de los siguientes cuadrados?: 17 cm

4 cm B

A

21 dm

12 dm

A = 273 cm2 B = 585 dm2

3

Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. a) a = 15 cm, b = 10 cm, c = 11 cm b) a = 35 m, b = 12 m, c = 37 m c) a = 23 dm, b = 30 dm, c = 21 dm d) a = 15 km, b = 20 km, c = 25 km e) a = 11 millas, b = 10 milas, c = 7 millas f ) a = 21 mm, b = 42 mm, c = 21 mm g) a = 18 cm, b = 80 cm, c = 82 cm a) Obtusángulo. c) Actuángulo. e) Acutángulo. g) Rectángulo.

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

b) Rectángulo. d) Rectángulo. f ) Obtusángulo.

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

4

Calcula el lado desconocido en cada triángulo: 15 m

65 mm

A

B

16 mm

20 m

LadoA = 25 m LadoB = 63 mm Calcula el lado desconocido en cada triángulo aproximando hasta las décimas:

12 cm

16 m

A

17 m B

32 mm C

28 mm

5

12 cm

Lado A = 12 √2 cm › 17 cm Lado B = √33 m › 5,7 m Lado C = √240 mm › 15,5 mm

6

Tomando como unidad el lado del cuadradito, calcula el perímetro de la figura morada.

3 + 6 √2 + √10 cuadritos.

7

Se cae un poste de 14,5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. ¿Cuál es la altura a la que le golpea? 14,5 m 10 m

a

14,5

a = 10,5 m Golpea el edificio a una altura de 10,5 m.

10

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

8

En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de diámetro en medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué altura del suelo queda la estrella? 34 m 12 m

1m

30 m

17

8 12

17

15

1

8

15 x

√172 – 152 = 8 x = 12 – 8 – 1 = 3 La estrella está a 3 m del suelo.

30

9

Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm. a = 4,2 8 Perímetro = 16,4 cm

4

5,8

El perímetro es de 16,4 cm. a

10

Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 dam. 28 l= = 7 dam 4 La diagonal mide 7 √2 › 9,9 dam

11

Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, y el lado oblicuo mide 10 dm. Calcula la longitud de la altura. 13 10

a

a = 8 dm La longitud de la altura es de 8 dm.

19

12

Sabiendo que las bases de un trapecio isósceles miden 2,4 cm y 5,6 cm, y que la altura es de 3 cm, calcula la longitud del lado oblicuo. 2,4 a

a

3

a = 3,4 cm La longitud del lado oblicuo es de 3,4 cm

1,6 5,6

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

13

Calcula la medida de los lados de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm y 2,4 dm. 2,4 l

0,5

l = 1,3 dm

1,2

1

Los lados miden 1,3 dm

PÁGINA 180 Á reas y perímetros utilizando el teorema de Pitágoras En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

14

a)

b) 20 m 25 mm

2,9 m 18 m

25 mm

a) P = 43 m A = 39,9 m2

b) P = 85,4 mm A = 312,5 mm2

15 32,5 dm

16,5 dm

P = 89 dm

A = 462 dm2

16 22 cm 14,6 cm

P = 58,4 cm

A = 211,2 cm2

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

17 2 km

A = 10,4 km2

P = 12 km

18 18 cm 10,6 cm

A = 100,8 cm2

P = 42,4 cm

19

32 cm 13 cm

P = 86 cm

12 cm

20 cm

A = 318 cm2

20 5 cm

P = 59,7 cm

A = 28,5 cm2

21 10 m

P = 68,3 m

A = 50 m2

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

22 4 mm

A = 4 mm2

P = 9,7 mm

23 20 m

13 m

16 m

3m

A = 132 m2

P = 56 m

24 8,5 m

5m 3m

A = 21,3 m2

P = 24 m

PÁGINA 181 25

Calcula el perímetro y el área de cada una de las siguientes secciones de un cubo:

6 cm

6 cm

P = 4 √45 › 26,8 cm

P = 26,1 cm

A = 45 cm2

A = 44,8 cm2

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

26

Calcula el perímetro y el área de esta figura teniendo en cuenta que los cuatro ángulos señalados miden 45°: 6 cm

2 cm

5 cm

13 cm

P = 42,8 cm A = 111,28 cm2

27

Halla el área y el perímetro de la figura. 3 dm 8 dm 4 dm

P = 37,2 dm A = 66 dm2

28

Calcula el perímetro y el área. 5m

5m

5m

5m

P = 34 m A = 49 m2

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

3m

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

C onstrucción de figuras semejantes 29

Sobre una hoja de papel cuadriculado, realiza una copia del siguiente dibujo pero al doble de su tamaño.

Construcción:

30

Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala al doble de su tamaño proyectándola desde un punto exterior:

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

31

Copia la siguiente figura en tu cuaderno y amplíala al triple de su tamaño:

B

a) Proyectándola desde un punto interior (A). b) Proyectándola desde uno de sus vértices (B).

a)

A

B

A

b)

B

A

32

Para construir un pentágono regular de 2 cm de lado, copiamos un pentágono regular cualquiera (figura roja), alargamos dos de sus lados consecutivos hasta 2 cm y completamos una figura semejante a la roja con los lados paralelos. Calca en tu cuaderno el pentágono rojo y, procediendo como arriba, dibuja un pentágono regular de 3 cm de lado.

3 cm

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

2 cm

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

PÁGINA 182 P lanos, mapas, maquetas 33

Una pareja, que va a comprar una casa, consulta un callejero a escala 1:30 000, mide la distancia de esta al metro y resulta ser de 2 cm. ¿Cuál es la distancia real? Por otro lado, saben que la distancia de esa casa a la guardería es de 1,5 km. ¿A qué distancia se encontrarán en el callejero? 30 000 · 2 = 60 000 cm = 600 m es la distancia al metro. La casa estará a 5 cm de la guardería en el callejero.

34

En la orilla del río Sena (París) hay una réplica a escala 1:4 de la Estatua de la Libertad que mide 11,5 m. Halla la altura de la estatua de Nueva York. En Cenicero, un pueblo riojano, hay una Estatua de la Libertad de 1,2 m. ¿Cuál sería la escala de esta con respecto a la de Nueva York? 11,5 · 4 = 46 m mide la de Nueva York. 1,2 = 3 8 La escala es 3:115 46 115

35

Las medidas de un coche teledirigido de “Fórmula 1”, a escala 1:40, son: 11,75 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuáles son las dimensiones reales del coche? Las dimensiones son: — 4,7 m de largo. — 2 m de ancho. — 1,20 m de alto.

36

Averigua cuáles son las dimensiones reales del siguiente campo de fútbol. Calcula la superficie de cada área de penalti (área grande) y del círculo central.

ESCALA

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

1:1400

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11

112 m 16,8

40,6 m

9,8

70 m

ESCALA

1:1400

Área de penalti = 682,1 m2 Área del círculo central = 301,6 m2

S emejanza de triángulos 37

Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan. B

B'

51 m

40 m A'

A

51°

33° 73 m

^

B = 180° – 51° – 33° = 96°

^

B' = 96° ^

C ' = 51°

38

c' 33°

20 m b'

C'

C

b' = 73 = 36,5 m 2 c' = 51 = 25,5 m 2

Los lados de un triángulo miden 7,5 cm, 18 cm y 19,5 cm. Se construye otro semejante a él cuyo lado menor mide 5 cm. a) ¿Cuál es la razón de semejanza? b) ¿Cuánto medirán los otros dos lados del segundo triángulo? c) Sabiendo que el primer triángulo es rectángulo, ¿podemos asegurar que el segundo también lo será? Compruébalo aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos. a) 1,5 b) 12 cm y 13 cm. c) Sí, 52 + 122 = 132.

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12

39

Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual. Entre los siguientes triángulos rectángulos, hay algunos semejantes entre sí. Averigua cuáles son calculando previamente el ángulo que le falta a cada uno de ellos. 1

2

3

53° 30°

4

5

6

37°

Porque se pueden poner en la posición de Tales. Ya que, al tener un ángulo agudo igual y otro rectángulo, tienen los tres iguales. Son semejantes:

40

1 y 6

2 y 4

3 y 5

(90°, 60°, 30°)

(90°, 45°, 45°)

(90°, 53°, 37°)

Explica por qué estos dos triángulos isósceles son semejantes:

20°

20°

Por ser isósceles tienen los otros dos ángulos iguales y miden 80° cada uno. Por tanto, tienen los mismos ángulos y los podemos colocar en posición de Tales.

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 13

PÁGINA 183 A plicaciones de la semejanza 41

La altura de la puerta de la casa mide 3 m. ¿Cuál es la altura de la casa? ¿Y la de la palmera más alta?

1 cm 8 3 m 2,6 cm 8 x 2,5 8 y x = 7,8 m mide la casa. y = 7,5 m mide la palmera más alta.

42

Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 12 cm. Halla: a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo. b) El lado mayor del segundo. c) Las áreas de ambos rectángulos. a) 1,2 b) 18 cm c) El área del primero es 150 cm2, y la del segundo, 216 cm2. ¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)?

16 m

43

1,76 m 3,3 m

x = 30 m 16 1,76

3,3

x

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

La distancia entre el chico y la base de la torre es de 33,3 m.

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 14

44

Para determinar que la altura de un eucalipto es de 11 m, Carlos ha medido la sombra de este (9,6 m) y la suya propia (1,44 m), ambas proyectadas por el Sol a la misma hora. ¿Cuánto mide Carlos? 11 = x 8 x = 1,65 9,6 1,44 Carlos mide 1,65 m

45

¿A qué altura del mar se encuentra el foco del faro?

4m 4m 1m 20 m

x=5 24 = y 8 y = 18 4 3

y

3

20

46

4 x

4

El faro está a 19 m sobre el nivel del mar.

¿Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos isósceles? Tenlo en cuenta para calcular la altura a la que se encuentra el equilibrista.

45°

15 m

Los ángulos miden 45°, 45° y 90°.

45° 15

El equilibrista está a 15 m de altura.

45° 15

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 15

47

¿Cuál es la altura del siguiente circo?:

5,3 m 10 m

11 m

x

48

x = 5,3 8 x = 15,9 m 30 10 La altura del circo es de 15,9 m.

5,3 10

9m

11

9

¿Cuánto mide el alto de la estatua del dibujo?

2,1 m

1,6 m 0,9 m

4,6 m

x

x = 5,5 8 x = 3,06 m 0,5 0,9 La estatua mide 3,06 m de alto.

0,5 m 2,1 m

1,6 m 0,9

4,6

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

8

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 16

49

Halla la altura del edificio sabiendo que: • La mesa tiene 1 m de altura. • AB = 80 cm • BC = 52 cm

A

C B 48 m

h

1m

52 cm 80 cm

h = 48 8 h = 31,2 0,52 0,8 El edificio mide 32,2 m de altura.

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza

47,2 m

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 200 T ipos de cuerpos geométricos 1

Di, justificadamente, qué tipo de poliedro es cada uno de los siguientes: A

C

B

E F

D

¿Hay entre ellos algún poliedro regular? A 8 Prisma pentagonal recto. Su base es un pentágono. B 8 Pirámide pentagonal. Su base es un pentágono. C 8 Cubo. Sus caras son cuadrados. D 8 Tetraedro. Su caras son triángulos. E 8 Paralelepípedo. Su caras son paralelogramos. F 8 Tronco de pirámide regular. Sus bases son cuadrados. El cubo y el tetraedro son poliedros regulares.

2

Algunos de los siguientes poliedros no son catalogables entre los que ya conocemos (prisma, pirámide, tronco de pirámide, regular). Señálalos y cataloga los demás. A

B

C

D

A 8 Prisma cuadrangular con una pirámide cuadrangular encima. No catalogable. B 8 Pirámide. C 8 Prisma triangular recto. D 8 No catalogable.

Unidad 9. Cuerpos geométricos

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

3

¿Una pirámide cuadrangular regular es un poliedro regular? Explica por qué. No, porque no todas sus caras son polígonos regulares iguales.

4

Esta figura está formada por seis rombos idénticos: Aunque sus caras son iguales y concurren tres de ellas en cada vértice, no es un poliedro regular. Explica por qué. Porque sus caras no son polígonos regulares.

5

Este poliedro está formado por seis triángulos equiláteros iguales. Sin embargo, no es un poliedro regular. Explica por qué. Porque en algunos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro. Para que fuera regular deberían concurrir el mismo número de caras en todos los vértices.

6

¿Hay algún poliedro regular que sea prisma? ¿Hay algún poliedro regular que sea pirámide? Sí, el cubo. Sí, el tetraedro.

7

¿Cuáles de las siguientes figuras son cuerpos de revolución? Cataloga las que puedas: cilindro, cono, esfera, tronco… a)

b)

c)

d)

e)

f)

a) Es cuerpo de revolución. Tronco de cono. b) No es cuerpo de revolución. c) Es cuerpo de revolución. d) Es cuerpo de revolución. e) Es cuerpo de revolución. Cilindro. f ) Es cuerpo de revolución. Tronco de cono.

Unidad 9. Cuerpos geométricos

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

8

Al girar cada una de las siguientes figuras planas alrededor del eje que se indica, se genera una figura de revolución. Dibújala en tu cuaderno. a)

b)

c)

Relaciona cada una de las figuras que has dibujado con una del ejercicio anterior. a)

b)

c)

a) 8 apartado c) del anterior. b) 8 apartado f ) del anterior. c) 8 apartado e) del anterior.

9

10

Dibuja la figura plana y el eje alrededor del que ha de girar para generar la lámpara (apartado a) del ejercicio 7), la taza (b), suprimiéndole el asa, y el bolo (d). Lámpara

Taza

Bolo

eje

eje

eje

Dibuja el cuerpo de revolución que se engendra en cada uno de los siguientes casos:

a)

Unidad 9. Cuerpos geométricos

b)

c)

d)

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

a)

b)

c)

d)

PÁGINA 201 D esarrollo de cuerpos geométricos 11

¿Con cuáles de los siguientes desarrollos se puede completar un poliedro? Contesta razonadamente.

A

C

E

B

D

F

A 8 Es un ortoedro. B 8 Es un prisma cuadrangular. C 8 No se puede construir un poliedro. La altura del poliedro no tiene la misma longitud que el lado lateral del rectángulo de la izquierda. D 8 Es una pirámide cuadrangular regular. E 8 Es una pirámide cuadrangular con base rectangular. F 8 No se puede. Las caras laterales deberían ser iguales.

Unidad 9. Cuerpos geométricos

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

12

¿Cuáles de los siguientes desarrollos corresponden a cuerpos de revolución? Dibújalos. A

B

C

D

E

F

A: No, la circunferencia es muy pequeña. B: Es un cilindro. C: No. Las dos circunferencias deberían ser iguales. D: Es un tronco de cono. E: Es un cono. F: No, el lado en el que se apoya la circunferencia debería estar curvado. B D E

13

Dibuja el desarrollo de una pirámide hexagonal regular cuyas aristas laterales midan 6 cm, y las de la base, 4 cm. 6 cm 4 cm

Unidad 9. Cuerpos geométricos

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

Á reas sencillas Halla el área total de los siguientes cuerpos geométricos:

a)

b)

cm

6 cm

4

3 cm

a) 122 cm2

15

b) 48 + 30 + 18 + 24 = 120 cm2

a)

b)

dm

dm

3d

m

3

a) 45 dm2

2,1

6 dm

6 dm

3 dm

16

cm

8 cm

7 cm

3

14

b) 121,5 dm2

a)

b) 2,1 c m

3c

m

4 cm

11 cm

10 cm

a) 424 cm2

17

a)

b) 189 cm2

3 cm

b)

4 cm

4 cm 3 cm

Unidad 9. Cuerpos geométricos

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

c)

d)

1,5 cm

2 cm

6 cm 4 cm

a) 75,36 + 56,52 = 131,88 cm2 c) 169,56 cm2

b) 47,1 + 28,26 = 75,36 cm2 d) 50,24 cm2

PÁGINA 202 Á reas con cálculos intermedios

h = 12 cm a = √75 › 8,66 cm ABASE = 259,8 cm2 ALAT = 360 cm2

19

cm

Halla el área total de una pirámide hexagonal regular con aristas laterales de 13 cm y aristas de la base de 10 cm.

13

18

AT = 619,8 cm2

10 cm

Halla el área de un tetraedro regular de 10 cm de arista. h = √75 › 8,66 cm AT = 173,2 cm2 10

Halla el área total de un prisma recto de 15 cm de altura cuya base son rombos de diagonales 16 cm y 12 cm. AROMBO = 96 cm2 ALAT = 600 cm2

21

AT = 792 cm2

La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6 dm de lado. Su altura es de 4 dm. Halla su área total. ABASE = 36 dm2 ALAT = 60 dm2

Unidad 9. Cuerpos geométricos

h=5 AT = 96 dm2

4 dm

20

cm

6 dm

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

22

Las bases de un tronco de pirámide regular son cuadrados de 10 cm y 20 cm de lado, respectivamente. Las aristas laterales son de 13 cm. Halla su área total.

13 c m

10 cm

20 cm

h = 12 ABASES = 500 cm2

23

ALAT = 720 cm2

AT = 1 220 cm2

Halla el área total de un prisma hexagonal regular cuya arista lateral mide 4 cm, y las aristas de la base, 2 cm. ap = √3 › 1,73 cm ABASE = 20,78 cm2 ALAT = 48 cm2 AT = 68,78 cm2

24

Una pirámide regular tiene por base un pentágono regular de 2,5 m de lado. La apotema de la pirámide mide 4,2 m. ¿Cuál es su superficie lateral? ALAT = 26,25 m2

25

Dibuja el desarrollo de un tronco de pirámide cuadrada, regular, cuyas aristas midan: las de la base mayor, 4 cm; las de la menor, 2 cm, y las laterales, 5 cm. Halla su área total. (Las caras laterales son trapecios. Comprueba que su altura es 4,9 cm).

2 cm

h = √52 – 12 = 4,9 cm

( )

AT = 22 + 42 + 4 · 2 + 4 · 4,9 = 78,8 cm2 2

5 cm 4 cm

26

El desarrollo lateral de un cono es un semicírculo de radio 12 cm. Halla el radio de su base y su altura. r = 6 cm 122 = 62 + h2 8 h = √108 = 10,39 cm

Unidad 9. Cuerpos geométricos

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

27

La base de una pirámide regular es un hexágono de 10 cm de lado. Su altura es 24 cm. Se corta por un plano que pasa a 18 cm de la base. Halla el área total del tronco de pirámide que resulta.

18 cm 10 cm

an = √75 › 8,66 cm am an = 8 am = 2,165 cm 6 24 h = 19,13 cm l HEXÁGONO MENOR = 2,5 cm ABASES = 259,8 + 16,238 = 276,038 cm2 AT = 276,038 + 717,375 = 993,413 cm2

28

a) Comprueba que la altura de este triángulo rectángulo es 4,8 cm. Para ello, ten en cuenta que el producto de los dos catetos es el doble de su área.

8 cm

6 cm

10 cm

b) Halla la superficie total de las figuras engendradas por estos triángulos al girar alrededor de cada uno de sus lados. I

II

III 8

8

6 6

6

a) 10 · h = 8 · 6 8 h = 4,8 cm 2 2 b) I π · 6 · 10 + π · 62 = 301,44 II π · 8 · 10 + π · 82 = 452,16 III π · 4,8 · 8 + π · 4,8 · 6 = 211

Unidad 9. Cuerpos geométricos

8

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

29

Halla el área total de estos cuerpos: 2 cm

a)

b) 17 cm

6 cm 4,5 cm

16 cm

a) AT = π(4,5 + 2) · 6,5 + π · 22 + π · 4,52 = 208,81 cm2 b) AT = π · 8 · 17 + 82 · π = 628 cm2

PÁGINA 203 P roblemas 30

¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de medidas 0,6 m Ò 0,5 m Ò Ò 0,4 m si la madera cuesta a razón de 18 €/m2? A = 2(0,6 · 0,5 + 0,5 · 0,4 + 0,6 · 0,4) = 1,48 m2 1,48 · 18 = 26,64 € El precio es de 26,64 €.

31

¿Cuál es la suma de las longitudes de todas las aristas del cajón descrito en el ejercicio anterior (0,6 m Ò 0,5 m Ò 0,4 m)? La suma de longitudes de todas las aristas es 6 m.

32

Deseamos construir con alambres el esqueleto de todos los poliedros regulares, de modo que cada una de las aristas mida 1 dm. ¿Qué cantidad de alambre utilizaremos en cada uno de ellos?

N Ú M E R O D E A R I S TA S L O N G I T U D T O TA L

33

TETRAEDRO

CUBO

O C TA E D R O

DODECAEDRO

ICOSAEDRO

6 6 dm

12 12 dm

12 12 dm

30 30 dm

30 30 dm

Contesta a las siguientes preguntas: a) Calcula el área total de un cubo de arista 4 cm. b) Si lo partimos por la mitad como se indica en I, ¿cuál es el área de cada mitad? c) Si lo partimos por la mitad como se indica en II, ¿cuál es el área de cada mitad?

Unidad 9. Cuerpos geométricos

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11

I

II

a) 6 · 42 = 96 cm2 b) 48 + 4 · 4 √2 = 70,63 cm2 c) 48 + 42 = 64 cm2

34

Calcula el área total de un ortoedro de dimensiones 3 cm, 4 cm y 12 cm. Halla también la longitud de su diagonal. AT = 192 cm2

35

d = 13 cm

Halla las superficies del casquete esférico de 2 dm de altura y de una zona esférica de 4 dm de altura contenidos en una esfera de 10 dm de diámetro. 2 dm 4 dm

10 dm

Área del casquete 8 62,8 dm2

36

Área de la zona esférica 8 125,6 dm2

Las paredes de un pozo de 12 m de profundidad y 1,6 m de diámetro han sido cementadas. El precio es de 40 € el metro cuadrado. ¿Cuál ha sido el coste? 2πrh = 60,288 m2 8 El coste ha sido de 2 411,52 €, aproximadamente.

37

Un pintor ha cobrado 1 000 € por pintar el lateral de un depósito cilíndrico de 4 m de altura y 4 m de diámetro. ¿Cuánto deberá cobrar por pintar un depósito esférico de 2 m de radio? 2m 2m 4m

1 000 €, ya que es el cilindro que inscribe a esa esfera y el área lateral del cilindro es la misma que la de la esfera.

Unidad 9. Cuerpos geométricos

9

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12

38

Una verja se compone de 20 barrotes de hierro de 2,5 m de altura y 1,5 cm de diámetro. Hay que darles una mano de minio a razón de 24 €/m2. ¿Cuál es el coste? Barrote = 0,11775 m2 8 Total = 2,355 m2 El coste es de 56,52 €.

39

Una caja en forma de ortoedro tiene 9 dm de larga y 6 dm de ancha. Su superficie total es 228 dm2. Halla su altura y su diagonal. h = 4 dm d = √42 + 62 + 92 = √133 › 11,53 dm

40

El área total de un cubo es 150 dm2. Halla su diagonal. l = 5 dm d = 5 √3 › 8,66 dm

41

Averigua cuánto cuesta la reparación de esta casa sabiendo que hay que: 12 m — Encalar las cuatro paredes, por dentro y por fuera, 2m 2 a 2 €/m . 2m — Reparar el tejado, a 4,5 €/m2. — Poner el suelo, a 22 €/m2. 3m

x

2m

(

)

APARED = 2 · 2 · 12 + 3 · 2 + 1,32 · 3 = 63,96 m2 2 Precio 8 63,96 · 2 = 127,92 €

1,5 m

Por dentro, 127,92 €.

ATEJADO = 48 m2 8 Precio 296 € ASUELO = 36 m2 8 Precio 792 € El precio total es: PTOTAL = 1 263,84 €

42

Halla el área total de un octaedro en el que la distancia entre los vértices no contiguos es de 20 cm. Observa que la arista del octaedro es el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm.

x = √200 › 14,14 cm h

14,14 cm

h = 12,25 cm AT = 692,86 cm2

7,07 cm

Unidad 9. Cuerpos geométricos

20

cm

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 215 U nidades de volumen 1

2

3

Transforma en metros cúbicos las siguientes cantidades de volumen: b) 459 hm3 c) 45 214 dm3 a) 0,025 hm3 d) 0,015 km3 e) 23 dam3 f ) 58 000 l a) 25 000 m3

b) 459 000 000 m3

c) 45,214 m3

d) 15 000 000 m3

e) 23 000 m3

f ) 58 m3

Transforma en litros. a) 400 000 hm3 c) 6 dam3 318 m3

b) 0,000047 hm3 d) 0,32 hl

a) 400 000 000 000 000 l

b) 47 000 l

c) 6 318 000 l

d) 32 l

Copia y completa las siguientes igualdades: b) 0,36 hm3 = … dm3 a) 0,0037 km3 = … m3 c) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = … m3 d) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = … l a) 0,0037 km3 = 3 700 000 m3 b) 0,36 hm3 = 360 000 000 dm3 c) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = 15 013 432 m3 d) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = 15 013 432 000 l

4

5

Expresa las siguientes cantidades de volumen en forma compleja: a) 45 125 145 dm3 b) 0,45124568 km3 c) 451,14521 dm3 d) 183 000 dam3 a) 45 dam3 125 m3 145 dm3

b) 451 hm3 245 dam3 680 m3

c) 451 dm3 145 cm3 210 mm3

d) 183 hm3

¿Cuántas botellas de 3/4 l se pueden llenar con 0,45 dam3? 0,45 dam3 = 450 000 dm3 3 l = 0,75 dm3 4 Se pueden llenar 600 000 botellas.

6

Un pantano tiene una capacidad de 0,19 km3. Si ahora está al 28% de su capacidad, ¿cuántos litros de agua contiene? 53 200 000 000 l

Unidad 10. Medida del volumen

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

7

km2.

La cuenca fluvial cuyas aguas llegan a un pantano es de 62 En las últimas lluvias han caído 27 l por metro cuadrado. Del agua caída, se recoge en el pantano un 43%. ¿Cuántos metros cúbicos se han recogido en el pantano como consecuencia de las lluvias? 62 000 000 m2 8 1,674 · 109 l = 1,674 · 109 dm3 1,674 · 106 m3 en total, calculamos el 43%: Ha recogido 1,674 · 106 · 0,43 = 719 820 m3

8

¿Cuál es el peso de 0,0843 dam3 de agua? 84 300 dm3 8 84 300 kg

9

Un depósito vacío pesa 27 kg, y lleno de aceite, 625,5 kg. ¿Qué volumen de aceite contiene? La densidad de ese aceite es 0,95 kg/dm3. 630 dm3 = 630 l

10

Efectúa las operaciones siguientes y expresa el resultado en hectolitros: a) 0,34 dam3 + 84 m3 + 1 284 m3 b) 0,00035 km3 + 0,45 hm3 + 65 dam3 c) 0,541 dam3 – 421 m3 300 dm3 d) 4 500 m3 : 25 a) 340 + 84 + 1 284 = 1 708 m3 8 17 080 hl b) 350 + 450 + 65 = 865 dam3 8 8 650 000 hl c) 541 – 421,3 = 119,7 m3 8 1 197 hl d) 180 m3 8 1 800 hl

11

Copia y completa estas igualdades: a) 1 hm3 = … hl b) 1 dam3 = … dal c) 1 m3 = … l d) 1 dm3 = … dl e) 1 cm3 = … cl f ) 1 mm3 = … ml a) 1 hm3 = 107 hl b) 1 dam3 = 105 dal c) 1 m3 = 103 l d) 1 dm3 = 10 dl e) 1 cm3 = 10–1 cl f ) 1 mm3 = 10–3 ml

Unidad 10. Medida del volumen

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

12

Para cada uno de los recipientes que se citan a continuación, se dan tres volúmenes. Solo uno de ellos es razonable. Di, en cada caso, cuál es: a) Volumen de un pantano: 71 hm3

387 000 l

4 000 000 000 cm3

b) Un depósito de agua en una vivienda: 2 dam3

0,8 m3

45 000 l

c) Un vaso normal: 2 dm3

0,2 dm3

0,02 dm3

d) Una cuchara de café: 3 dl

3 cm3

3 mm3

e) Una habitación: 1 dam3

300 l

30 m3

f ) El cajón de una mesa: 0,3 m3

23 dm3

3 000 cm3

a) 71 hm3 b) 0,8 m3 c) 0,2 dm3 d) 3 cm3 e) 30 m3 f ) 23 dm3

C álculo de volúmenes 13

Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son: 9 dm Ò 15 dm Ò 8 dm V = 1 080 dm3 = 1,08 m3

14

¿Cuál es el volumen de un cubo de 15 cm de arista? V = 3 375 cm3 = 3,375 dm3 = 3,375 l

15

La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y 15 cm. La altura del prisma es de 2 dm. Halla su volumen. V = 1 800 cm3 = 1,8 dm3 = 1,8 l

Unidad 10. Medida del volumen

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

PÁGINA 216 16

Un paralelepípedo tiene unas bases en forma de rombo cuyas diagonales miden 40 dm y 28 dm. La altura del paralelepípedo es de 1,2 m. Halla su volumen. V = 6 720 dm3 = 6,720 m3

17

Halla el volumen de un cilindro de 10 cm de radio de la base y 20 cm de altura. 10 cm

20 cm

V = 6 280 cm3 = 6,280 dm3 = 6,28 l

18

Halla el volumen de una esfera de 12 cm de diámetro. V = 4 π 123 = 904,32 cm3 3

19

Halla el volumen de un cono de 6 dm de radio de la base y 15 cm de altura. V = 1 π 62 · 1,5 = 56,52 dm3 3

20

Halla el volumen del siguiente tronco de cono:

12 cm 16 cm 6 cm

12 16

x = 6 8 x = 4,5 12 16

x

6

Unidad 10. Medida del volumen

VTRONCO = 1 π · 62 · 16 – 1 π · 4,52 · 12 = 348,54 cm3 3 3

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

20

cm

20 cm

Comprueba que el volumen del cilindro es igual a la suma de los volúmenes de la esfera y el cono:

20 cm

21

20 cm

) )

20 cm

VESFERA = 4 186, 6 cm3 VCONO = 2 093,3 cm3 VESFERA + CONO = 6 280 cm3 VCILINDRO = 6 280 cm3 Halla los volúmenes de las siguientes figuras:

22 b)

20 dm

11 cm

a)

6 dm

5 cm 8 cm

14 dm

a) 440 cm3

b) 840 dm3

a)

b)

5 cm 12 cm

12 cm

23

3 cm

a) 339,12 cm3

Unidad 10. Medida del volumen

b) 314 cm3

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

24 b)

40° 30 cm

11 cm

a)

b) 1 · π · 4 · 153 = 1 570 cm3 9 3

a) 348,3 cm3

25 a)

b) 22 cm

6 cm 10 cm

12

8 cm

cm

13 cm

a)

10 + x = x 8 x = 30 8 6 V = 1 · π · 40 · 82 – 1 · π · 30 · 62 = 1 549,1 cm3 3 3

x

6 10 8

b) V = 1 · 12 · 5 · 22 = 220 cm3 3 2

26 BASES

3 dm

14 cm 13 cm 21 cm

ABASE =

√ 120 · (14 + 21) › 191,7 cm2 2

V = 191,7 · 30 = 5 751 cm3

Unidad 10. Medida del volumen

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

PÁGINA 217 P roblemas Halla los volúmenes de los siguientes cuerpos.

27

a)

b)

30 cm

30 cm

12 cm

12 cm

a) V = 4 · π · 123 + π · 122 · 30 = 20 799,36 cm3 3 b) V = 1 · π · 122 · 30 + 1 · 4 π · 123 = 8 138,88 cm3 3 2 3

28

a)

b)

10 cm

6 dm 15 cm 12 dm 8 cm

1m

15 cm

20 cm

a) x 6

x + 12 = x 8 x = 18 10 6

12 10

V = 4 · 1 · π · 103 + 1 · π · 102 · 30 – 1 · π · 62 · 18 = 4 555 dm3 3 2 3 3

Unidad 10. Medida del volumen

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

52

b) VCILINDRO = π ·

· 15 = 1 177,5

cm2

x 5

x+8 = x 8 x=8 10 5

8 10

VTRONCO = 1 · π · 102 · 16 – 1 · π · 52 · 8 = 1 465,3 cm3 3 3 VCONO = 1 · π · 102 · 15 = 1 570 cm3 3 VTOTAL = 4 212,8 cm3

29

a)

b)

30 cm 18 cm

30° 40 cm

a) V =

4 · 153 – —π 4 · 93 —π 3 3 2

= 11 077,92 = 5 538,96 cm3 2

b) V = 11 · 4 · π · 203 = 30 702,2 cm3 12 3

30 4m 3m 5m

VPIRÁMIDE = 1 · 32 · 4 = 12 m3 3 VPARALELEPÍPEDO = 3 · 3 · 5 = 45 m3

4m

3

4

7m 7

VTRONCO = 1 · 72 · 7 – 1 · 32 · 3 = 105,33 m3 3 3 VTOTAL = 162,3 m3

Unidad 10. Medida del volumen

x

x = x+4 8 x=3 3 7

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

31

Halla el volumen de una habitación de 2,8 m de altura, cuya planta tiene la siguiente forma y dimensiones: 10 m 4m 2m

2m

VPARALELOGRAMO GRANDE = 4 · 10 · 2,8 = 112 m3 ° § § 1 2 3 VSEMICÍRCULO = π · 3 · 2,8 = 39,6 m § 2 §V 3 ¢ TOTAL = 202,8 m 3 VPARALELOGRAMO PEQUEÑO = 2 · 6 · 2,8 = 33,6 m § § § 1 2 3 V1/4 CIRCUNF. = π · 2 · 2,8 = 17,6 m § 2 £

32

Calcula el volumen de hormigón que se ha necesitado para hacer este túnel:

8m 10 m

20 m

2 2 V = π · 5 · 20 – π · 4 · 20 = 282,6 m3 2

33

Para medir el volumen de una piedra pequeña, procedemos del siguiente modo: en un vaso cilíndrico echamos agua hasta la mitad, aproximadamente. Sumergimos la piedra y sube el nivel 22 mm. ¿Cuál es el volumen de la piedra? DATOS DEL VASO:

Diámetro exterior: 9 cm Diámetro interior: 8,4 cm Altura: 15 cm (Usa solo los datos que necesites).

( ) · π · 2,2 = 121,86 cm es el volumen de la piedra.

V = 8,4 2

2

Unidad 10. Medida del volumen

3

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

34

m2

Un sótano cuya superficie es de 208 se ha inundado. El agua llega a 1,65 m de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6 hl por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarlo? 208 · 1,65 = 343,2 m3 hay en el sótano. 3 432 hl = 572 min = 9,53) horas = 9 h 32 min 6 hl/min Se tardará en vaciarlo 9 horas y 32 minutos.

35

Queremos construir una pared de 7,5 m Ò 5,6 m y un grosor de 30 cm. ¿Cuántos ladrillos de 15 cm Ò 10 cm Ò 6 cm se necesitarán si el cemento ocupa un 15% del volumen? VPARED = 12,6 m3 8 el 15% es 1,89 m3 Tenemos que rellenar de ladrillo 10,71 m3 VLADRILLO = 900 cm3 = 0,9 dm3 = 0,0009 cm3 Necesitaremos 10,71 = 11 900 ladrillos. 0,0009

36

Una columna de basalto tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 15 cm. La altura de la columna es de 2,95 m. Halla su peso sabiendo que 1 m3 de basalto pesa 2 845 kg.

x

x › 13

15

VCOLUMNA = 15 · 6 · 13 · 295 = 172,575 cm3 2

7,5

1 m3 8 0,172575 m3 8

2 845 kg ° x = 491 kg x kg ¢£

Pesará 491 kg.

Unidad 10. Medida del volumen

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 233 R epresentación e interpretación de puntos 1

Dibuja sobre un papel cuadriculado unos ejes coordenados y representa los siguientes puntos: A (3, 2); B (3, 7); C (4, –1); D (– 4, 3); E (–6, –2); F (0, 5); G (3, 0); H (–2, 0); I (0, –5); J (0, 0) B F D A H

G J C

E I

2

Di las coordenadas de cada uno de los siguientes puntos: C B D

E

A J

H G I

F

A = (– 4, 0)

B = (–4, 4)

C = (1, 5)

D = (0, 2)

E = (3, 2)

F = (–2, –2)

G = (0, –1)

H = (1, 0)

I = (5, –2)

J = (6, 0)

Unidad 11. Funciones

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

3

Representa los puntos siguientes: A (0, 2); B (4, 7); C (4, 1); D (1, 0); E (0, 1); F (6, 1); G (6, 0). Une mediante segmentos AB, BC, CA, DE, EF, FG, GD.

B

A C

F

E G

D

4

Cada punto del diagrama siguiente representa una llamada telefónica: COSTE

(€) I

2

H G

C

1

F E

B 0,20

D

A 1

5

10

a) ¿Cuál ha sido la llamada más larga? b) ¿Cuál ha sido la llamada más corta? c) Una de las llamadas ha sido a Australia. ¿De cuál crees que se trata? d) Hay varias llamadas locales. ¿Cuáles son? a) F ha sido la llamada más larga. b) H ha sido la llamada más corta. c) H ha sido a Australia. d) A, D, E y F son locales.

Unidad 11. Funciones

TIEMPO

(min)

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

C oncepto de función 5

¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función y cuáles no? Explica por qué. 1

2

3

4

• 2 es función, pues para cada valor de x hay un único valor de y. • 1 , 3 y 4 no son funciones. Para algunos valores de x hay varios de y.

I nterpretación de gráficas 6

Representa gráficamente una carrera de 200 m entre dos corredores, con las siguientes características: A sale más rápidamente que B, y en 5 segundos le saca 10 m de ventaja. A se cae en el instante 5 segundos, y B le adelanta. Pero A se levanta en 2 segundos, y adelanta a B en la misma línea de meta. DISTANCIA

(m)

200 180 160 140 120 100 80

A

60

B

40 20 (s) 9 10

TIEMPO

1

Unidad 11. Funciones

2

3

4

5

6

7

8

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

7

Rafael y María ponen a competir, en una carrera, a sus caracoles; uno de ellos lleva una pegatina roja, y otro, una pegatina verde. DISTANCIA

100

(cm)

50 10

TIEMPO

1

5

(min)

10

El verde tarda en salir y se para antes de llegar. a) ¿Cuánto tiempo está parado en cada caso? ¿A qué distancia de la meta se para definitivamente? b) ¿Cuántos centímetros y durante cuánto tiempo marcha el rojo en dirección contraria? c) Describe la carrera. a) 3 min al salir y luego 4 min (es lo que tarda el otro caracol en llegar a la meta desde que este se paró). Quedó a 20 cm. b) 15 cm durante 1 min. c) El rojo tarda 1,5 min en alcanzar 25 cm, luego se para y a los 3 min sale el verde con velocidad constante. Justo después, el rojo anda un poco más, luego a los 4 min para y vuelve atrás hasta los 6 minutos. Entonces vuelve a retomar la dirección correcta y solo para un momento hasta el final. Mientras, el verde para a los 80 cm y no vuelve a andar.

PÁGINA 234 8

La gráfica describe la velocidad de un bólido de carreras en cada lugar de este circuito: D

VELOCIDAD (km/h)

C

A

B

200 100 1 2 A

5 B C

RECORRIDO (km)

10 D

A

Di en qué tramos la velocidad es creciente y en cuáles es decreciente. ¿A qué crees que se deben los aumentos y las disminuciones de velocidad? Señala el máximo y el mínimo de esta función.

Unidad 11. Funciones

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

• Crece en (0, 2), en (5, 10) y un poco al final, en (11m5; 12). Decrece en (2, 5) y en (10; 11,5). • En las curvas más cerradas tiene que frenar para no salirse. • El máximo está en x = 2 y vale 300 km/h. El mínimo está en x = 5 y vale 25 km/h.

9

Esta gráfica corresponde al porcentaje de personas que ven la televisión o escuchan la radio, en las distintas horas del día. 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

PORCENTAJE

TV

RADIO

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 1 2

a) Describe la curva correspondiente a la televisión: dónde es creciente, dónde es decreciente, máximos, mínimos… Relaciónala con las actividades cotidianas: levantarse, acostarse, comida, cena… b) Haz lo mismo con la curva correspondiente a la radio. c) Compara las dos curvas y relaciónalas. a) Crece desde las 8 de la mañana hasta las 3 y media de la tarde; decrece hasta las 6 y media, donde vuelve a crecer hasta las 10 y media, cuando empieza a caer hasta quedar por debajo del 5%, a partir de las 2 de la mañana. Máximo: x = 22,5, y = 42,5% Mínimo: x = 8, y = 2% El máximo se da durante la cena y hay también un buen pico durante la comida. En la hora de la siesta decrece, y por la noche la gente duerme y se alcanza el mínimo. b) La radio crece desde las 8 hasta las 11, cuando empieza a decrecer hasta las 15. Luego pasa lo mismo de 15 a 18 y de 18 a 21 y media, y de nuevo de 21 y media a 0, y de 0 a 2. Cuando más se escucha es por la mañana, de camino al trabajo y también una vez en él, después, a la hora de la merienda y antes de acostarse. Máximo: x = 11, y = 19% Mínimo: x = 2, y = 2,5% c) Por la mañana, la gente prefiere la radio a la tele. Mientras que a partir de las 13 y media la gente prefiere con gran diferencia la televisión. Cuando a medio día crecen los aficionados a la tele, bajan los que escuchan la radio. Lo contrario ocurre alrededor de las 6 de la tarde. Después baja la radio y sube la tele durante la cena. Luego crece un poco la radio antes de dormir y, después, ambas caen hasta sus mínimos.

Unidad 11. Funciones

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

10

Representa las siguientes gráficas: a) Altura de una pelota que está botando cada vez menos, hasta que se para. b) La temperatura de un plato de sopa que se queda sobre la mesa, sin consumir. c) La distancia a la Tierra de un satélite artificial que da vueltas y vueltas. d) La altura a la que se encuentra el asiento de un columpio cuando se balancea. a)

ALTURA

TIEMPO

b)

TEMPERATURA

TIEMPO

c)

KM

TIEMPO

NOTA: puede ser recta, depende si se tienen en cuenta las montañas y depresiones.

Unidad 11. Funciones

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

d)

ALTURA

TIEMPO

G ráficas punto a punto 11

Representa las siguientes funciones dando a x, en cada caso, los valores que se indican: a) y = x 2 – 4x + 5

–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

b) y = √x

0, 1, 4, 9, 16

c) y = √x – 3

3, 4, 7, 12, 19

d) y = (x – 3)2

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

e) y = 8x – x 2

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

a) y = x 2 – 4x + 5 e) y = 8x – x 2 Y

y = x2 – 4x + 5

y = 8x – x2

1 –1

Unidad 11. Funciones

X 1

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

b) y = √x

Y

y = (x – 3)2

c) y = √x – 3 d) y = (x – 3)2

— y = √x 1

— y = √x – 3 X

1

12

De una familia de rectángulos cuyo perímetro es 20 cm hemos medido su base y su área. Estos son los resultados: BASE,

en cm, x

ÁREA,

en cm 2 , y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 16 21 24 25 24 21 16 9

a) Representa la función. b) Comprueba que la ecuación de esta función es: y = 10x – x 2 a)

b) 10 · 1 – 12 = 9

ÁREA

24

10 · 2 – 22 = 16

22

10 · 3 – 32 = 21 10 · 4 – 42 = 24

20

10 · 5 – 52 = 25

18

10 · 6 – 62 = 24

16

10 · 7 – 72 = 21

14

10 · 8 – 82 = 16

12

10 · 9 – 92 = 9 Coincide.

10 8

BASE

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Unidad 11. Funciones

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

13

Se ha medido, mes a mes, la estatura de un niño desde que nace hasta que tiene un año. Estos son los resultados: EDAD

0

(meses)

E S TAT U R A

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

(cm) 54 58 62 64 67 69 71 72 74 75 77 78 80

Representa los resultados en una gráfica. 80

ESTATURA

(cm)

70

60 54

EDAD (meses)

1

14

3

5

7

9

12

Durante diez semanas seguidas, un lanzador de peso ha anotado su mejor marca obtenida durante sus entrenamientos. La tabla de la derecha recoge los resultados logrados. Representa la función en tu cuaderno. LANZAMIENTO

(m)

18

17

16

15

SEMANA

1

2

Unidad 11. Funciones

3

4

5

6

7

8

9

10

SEMANA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LANZ.

(m)

15,18 15,91 16,33 16,52 18,40 16,62 16,90 17,44 16,40 17,00

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

PÁGINA 235 F unciones lineales 15

Halla la pendiente de cada una de las siguientes rectas:

a

c b

e

f

d

i g

16

a 8 4 3 d 8 0

b 8 2 3 e 8 1

g 8 –2 3

h 8 –3

h

c 8 2 f 8 –1 i 8 –1 3

Representa las siguientes funciones: a) y = 2x

b) y = 1 x 2

c) y = –3x

d) y = 4 x 3

e) y = – 2 x 5

f) y = 3 x 4

g) y = – 1 x – 2 2

h)y = –3x + 5

i) y = – 4 x + 1 3

j) y = – 2 x + 4 5

k) y = –1

l) y = 4

m) y = 3

n)y = x

Unidad 11. Funciones

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11

a) y = 2x b) y = 1 x 2 c) y = –3x

y = 2x

4 y = —x 3

y = –3x

1 y = —x 2

d) y = 4 x 3

e) y = – 2 x 5

3 y = —x 4

f) y = 3 x 4 g) y = – 1 x – 2 2

2 y = –—x 5 1 –2 y = – —x 2

h) y = –3x + 5 i) y = – 4 x + 1 3 j) y = – 2 x + 4 5 k) y = –1

y = –3x + 5

4 +1 y = – —x 3

2 +4 y = –—x 5

y = –1

Unidad 11. Funciones

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12

l) y = 4 y=x

m) y = 3 n) y = x

y=4 y=3

17

Escribe la ecuación de cada una de las siguientes funciones: c

e b

f

d a

g

a 8 y= 1x 2 e 8 y=–3x+3 2

18

b 8y=x

c 8 y = 3x

f 8 y= 2x+1 3

g 8 y = –2

d 8 y=–3x 2

Margarita pasea alejándose de su pueblo a una velocidad de 2 km/h. En este momento se encuentra a 4 km del pueblo. a) ¿Dónde se encontrará dentro de una hora? b) ¿Dónde se encontraba hace una hora? c) Representa su distancia al pueblo en función del tiempo transcurrido a partir de ahora. d) Halla la ecuación de la función llamando x al DISTANCIA AL PUEBLO (km) tiempo e y a la distancia al pueblo. a) A 6 km del pueblo.

c)

10

b) A 2 km del pueblo.

8

d) y = 2x + 4

6 4 2 TIEMPO

1 2 3 4

Unidad 11. Funciones

(h)

11

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 13

19

Con un hilo de 20 cm cuyos extremos están atados entre sí formamos rectángulos: a) Razona que la relación entre su base, x, y su altura, y, es y = 10 – x

y x

b) Representa la gráfica de la función. c) Si multiplicamos la base, x, por la altura, 10 – x, obtenemos el área: A = x (10 – x). Completa en tu cuaderno la tabla de valores y comprueba que es la misma que la del ejercicio 12. 1 2 3 9 16

x ÁREA

4

5

6

7

8

9

a) Tenemos que el perímetro es 20 cm. Si x es la base e y la altura: 2x + 2y = 20 8 x + y = 10 8 y = 10 – x b)

10

c)

Y

x ÁREA

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 16 21 24 25 24 21 16 9

Es la misma que la del ejercicio 12.

6 4 2 X 2

20

4

6

8

10

En una cierta compañía de teléfonos móviles, la tarifa para llamadas a países de la U.E. es 1 € por establecimiento de llamada y 0,50 € por minuto de conversación. a) Pon la ecuación de la función que relaciona el coste en euros ( y) en función de la duración de la llamada en minutos (x ). b) Representa la gráfica de la función. a) y = 0,5x + 1

b)

3

COSTE

(€)

2 1 (min) 6

TIEMPO

1

Unidad 11. Funciones

2

3

4

5

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 251 P arámetros estadísticos 1

Halla la media, la mediana, el recorrido, la desviación media y los cuartiles de las siguientes distribuciones: a) 1, 3, 8, 9, 4, 1, 1, 7, 10, 10 b) 1, 3, 5, 4, 2, 8, 9, 6, 10, 6 – a) x = 5,4 b) x– = 5,4 Me = 5,5 Recorrido = 9 DM = 3,4 Q1 = 1 Q3 = 8,5

Me = 5,5 Recorrido = 9 DM = 2,4 Q1 = 2,5 Q3 = 7

2

Compara la media y la mediana de cada una de las siguientes distribuciones y relaciona el resultado con su asimetría: a) 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8 b) 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10 c) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 °x– = 5 a) ¢ Totalmente simétrica £Me = 5 °x– = 5,4615 b) ¢ Aproximadamente simétrica. £Me = 6 °x– = 6,25 c) ¢ No es simétrica. £Me = 8

3

Halla la media y la desviación media de cada una de las siguientes distribuciones. Represéntalas. a)

x f

b)

x f

a)

0 0

1 0

2 1

3 1

4 5 6 6 15 9

7 4

8 3

9 10 0 1

0 9

1 6

2 1

3 1

4 0

6 1

7 1

8 1

9 10 7 12

3 1 2,5 2,5

4 6 1,5 9

x f D I S TA N C I A

d · f

x– = 5,5 DM = 1,125

Unidad 12. Estadística

0 0 5,5 0

1 0 4,5 0

5 1 2 1 3,5 3,5

5 15 0,5 7,5

6 9 0,5 4,5

7 4 1,5 6

8 3 2,5 7,5

9 0 3,5 0

10 1 4,5 4,5

40 45

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2

b)

x f D I S TA N C I A

d · f

0 1 9 6 5,5 4,5 49,5 27

2 1 3,5 3,5

3 1 2,5 2,5

4 0 1,5 0

5 1 0,5 0,5

6 1 0,5 0,5

7 1 1,5 1,5

8 9 10 1 7 12 40 2,5 3,5 4,5 2,5 24,5 54 116,5

x– = 5,5 DM = 2,9125 a)

b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4

Halla las frecuencias acumuladas de los datos en las tablas a) y b) del ejercicio anterior. a)

VA L O R F. A C U M U L A D A

b)

VA L O R F. A C U M U L A D A

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0

1 0

2 1

3 2

4 8

5 23

6 32

7 36

8 39

9 39

10 40

0 9

1 15

2 16

3 17

4 17

5 18

6 19

7 20

8 21

9 28

10 40

El número de errores que tuvieron en un test un grupo de estudiantes fueron: 1, 1, 2, 2, 4, 5, 5, 8, 8, 9 Halla la mediana y los cuartiles primero y tercero y haz un diagrama de caja con esos datos. Me = 4,5 Q1 = 2 Q3 = 8 1

2

Q1

Unidad 12. Estadística

3

4

5

Me

6

7

8

Q3

9

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3

6

Esta tabla muestra el número de suspensos en una evaluación de los estudiantes de una clase: N .° D E S U S P E N S O S

N .° D E E S T U D I A N T E S

0

10

1

4

2

5

3

2

4

4

5

3

Representa esta distribución mediante un diagrama de caja.

7

0

1

Q1

Me

2

3

5

Q3

Los tiempos que un grupo de personas han empleado en hacer un test se distribuyen entre 0 y 50 minutos. Construye el diagrama de caja sabiendo que Q1 = 23, Me = 34 y Q3 = 39. 0

10

20

30

Q1

8

4

40

Me

50

Q3

Este diagrama de caja representa la distribución de los pesos de un grupo de alumnos y alumnas de una clase: 40

45

50

55

60

65

70

Completa estas frases observando el diagrama: a) El 50% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan … o menos. b) El 25% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan … o menos. c) El 25% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan … o más. d) El 50% de los pesos centrales varían entre … y … a) El 50% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan 56 kg o menos. b) El 25% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan 48 kg o menos. c) El 25% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan 60 kg o más. d) El 50% de los pesos centrales varían entre 48 kg y 60 kg.

Unidad 12. Estadística

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4

9

a) Compara estas distribuciones de notas obtenidas por tres grupos de alumnos y alumnas indicando cuál es la mediana y los cuartiles Q1 y Q3 en cada una de ellas: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

I

II

III

b) En la evaluación de estos grupos se hicieron estos comentarios: 1. Aprobó el 50% de la clase. 2. Las notas son muy parecidas. 3. La cuarta parte de la clase tiene notas superiores a 7. 4. Es la mejor clase, aunque también es la que tiene mayor dispersión. Indica a qué grupo corresponde cada uno de estos comentarios. °Q1 = 4 a) I §¢Me = 5 §Q = 7 £ 3 °Q1 = 4,5 § II ¢Me = 5,5 §Q = 6 £ 3 °Q1 = 3,5 § III ¢Me = 6,5 §Q = 8 £ 3

b) 1 8 I 2 8 II 3 8 I 4 8 III

Unidad 12. Estadística

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5

PÁGINA 252 G ráficas estadísticas 10

Observa este gráfico. Corresponde a los deportes que practican las chicas y los chicos de un centro escolar: 60% 40% 20%

0

20% 40% 60%

BICICLETA BALONCESTO ATLETISMO FÚTBOL AERÓBIC NATACIÓN BALONMANO BALONVOLEA PATINES TENIS ALPINISMO ARTES MARCIALES ESQUÍ OTRAS

CHICOS

CHICAS

a) Aproximadamente, ¿qué porcentaje de chicos practican fútbol? ¿Y de chicas? b) ¿Qué porcentaje de chicas, aproximadamente, practican alpinismo? ¿Y de chicos? c) ¿En qué deporte la proporción de chicas es muy superior a la de chicos? d) Di un deporte en el que la proporción de chicas y chicos es aproximadamente la misma. ¿Cuál es esa proporción? e) ¿Podemos asegurar que hay chicos y chicas que practican más de un deporte? Razona la respuesta. f ) Inventa una situación similar a esta relacionada con la lectura (prensa deportiva, prensa del corazón, novela, …) y represéntala en una gráfica similar a esta, aunque con menos apartados (4 ó 5 son suficientes). Coméntala. a) 50% de chicos. 10% de chicas. b) 8,5% de chicas. 11% de chicos. c) En aerobic. d) En bicicleta. El 40%, aproximadamente. e) Sí, porque entre los 3 primeros deportes los chicos suman más del 100% y con las chicas pasa lo mismo. f ) Respuesta libre.

Unidad 12. Estadística

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6

11

Haz un climograma como el de la página 248 con los siguientes datos: E

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

T

14 13 20 22 26 29 32 30 28 22 16 12

LL

85 93 62 120 40 50 30 45 10 24 60 90

T: temperatura en °C. LL: pluviosidad en mm de agua. LLUVIA

12

(mm) 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

TEMPERATURA

E

F M A M

J

J

A

S

O N D

(°C)

40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0

Observa estas pirámides de población: MARRUECOS 2007 Hombres

Mujeres

EDAD Ó 60 45-59 30-44 15-29 0-14

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 Población total en millones

1,5

2,0

2,5

FRANCIA 2007 Hombres

Mujeres

EDAD Ó 60 45-59 30-44 15-29 0-14

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 Población total en millones

1,5

2,0

2,5

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando las respuestas: a) La proporción de ancianos/as en Francia es mucho mayor que en Marruecos. b) Hay más ancianas que ancianos en ambos países. c) La proporción de niños/as es mayor en Marruecos que en Francia. a) Verdadero.Hay los mismos niños y el resto de grupos aumenta, incluido el de ancianos/as. b) Verdadero. Se ve simplemente mirando las gráficas. En Francia se nota más. c) Verdadero. La proporción niños/total es mayor en Francia.

Unidad 12. Estadística

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7

13

El precio de un cierto producto ha evolucionado, desde enero de 2006 a julio de 2007, como se indica en el gráfico. Abril

Mayo

Marzo

Junio

Febrero

Julio

Enero

1 € 2 € 3€

Agosto Septiembre

Diciembre

Octubre

Noviembre

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando las respuestas: a) En estos 18 meses, el precio ha subido más del 50%. b) El precio ha ido subiendo poco a poco, pero en algunos meses ha bajado. c) El precio menor, en estos meses, ha sido en enero del 2006. d) El precio máximo ha sido en julio de 2007. a) Verdadero. Costaba 2 € y ahora poco más de 3 €. b) Verdadero. Como en febrero de 2006. c) Falso. Fue en febrero de 2006. d) Falso. Fue en marzo de 2007.

PÁGINA 253 T ablas de doble entrada 14

En una clase con 36 estudiantes se realiza una encuesta con la siguiente pregunta: ¿qué prefieres ver por televisión, un partido de baloncesto (BC) o uno de fútbol (F)? Los resultados son:

CHICOS CHICAS

BC

F

3 12

13 8

T O TA L

Completa en tu cuaderno la tabla y responde: a) ¿Qué significa el 3 de la primera casilla? b) ¿Qué significa el 8?

Unidad 12. Estadística

T O TA L

36

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8

c) ¿Qué significa el 15 que hay en la columna BC? d) De un total de 16 chicos, hay 13 que prefieren F. Esto significa 13/16 = 0,8125; es decir, 81,25%. Averigua el porcentaje de las chicas que prefieren F. e) ¿Qué porcentaje de los que prefieren BC son chicas? BC

F

T O TA L

CHICAS

3 12

13 8

16 20

T O TA L

15

21

36

CHICOS

a) Significa que hay 3 chicos que prefieren ver el baloncesto. b) Significa que hay 8 chicas que prefieren ver el fútbol. c) El número de chicos y chicas que prefieren ver el baloncesto. d) 0,4 = 40%. El 40% de chicas prefiere ver el fútbol. e) 0,8 = 80%. El 80% de los que prefiere el baloncesto son chicas.

15

En una residencia de ancianos estudiamos la influencia del tabaco sobre los males del pulmón. Confeccionamos la siguiente tabla en la que se detallan los que fuman (F), los que no fuman (no F), los enfermos de pulmón (E) y los no enfermos (no E): E F NO

F

48 30

NO

E

T O TA L

32 90

T O TA L

Completa la tabla en tu cuaderno y responde: a) ¿Cuántos fuman y cuántos no fuman? b) ¿Cuántos hay enfermos y cuántos no enfermos? c) ¿Qué porcentaje de E hay entre los fumadores? d) ¿Qué porcentaje de E hay entre los no fumadores? E

NO

E

T O TA L

F

48 30

32 90

80 120

T O TA L

78

122

200

F NO

a) Fuman 80 y no fuman 120. b) Están enfermos 78 y 122 no lo están. c) Hay un 60% de enfermos entre los fumadores. d) Hay un 25% de enfermos entre los no fumadores.

Unidad 12. Estadística

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9

16

En una clase de 30 alumnos y alumnas hay 17 chicas y el resto son chicos. En total, hay 14 con gafas. Sabemos que 6 chicas tienen gafas. ¿Cuántos chicos hay sin gafas? Para responder, rellena la tabla siguiente: GAFAS

NO GAFAS

T O TA L

GAFAS

NO GAFAS

T O TA L

CHICAS

6

11

17

CHICOS

8

5

13

T O TA L

14

16

30

CHICAS CHICOS T O TA L

Hay 5 chicos sin gafas.

17

Esta tabla se refiere a los estudiantes de un curso durante el primer trimestre: ESTUDIA MENOS DE 2 H DIARIAS

ESTUDIA MÁS DE 2 H DIARIAS

SUSPENDE MÁS DE 2

16

4

SUSPENDE 0, 1 Ó 2

2

10

T O TA L

T O TA L

Averigua: a) ¿Cuántos estudiantes hay en total? b) ¿Qué proporción de los estudiantes suspende más de dos asignaturas? c) ¿Qué proporción de los que estudian más de dos horas diarias suspende más de dos asignaturas? d) ¿Qué proporción de los que suspenden más de dos asignaturas estudian más de dos horas diarias? a) Hay 32 estudiantes. b) El 62,5% suspende más de dos asignaturas. c) El 28,57% de los que estudian más de dos horas. d) El 20% estudian más de dos horas y suspenden más de dos asignaturas.

Unidad 12. Estadística

12

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10

18

Se han seleccionado al azar 100 personas de entre 25 y 30 años. Se les ha preguntado: • ¿Eres miope? (Sí/No) • ¿Seguiste estudiando después de los 18 años? (Sí/No) Estos son los resultados:

MIOPE

ESTUDIOS

SÍ NO

SÍ

NO

21 14

19

Completa la tabla en tu cuaderno y responde: a) ¿Cuántos miopes hay en total? ¿Cuál es el porcentaje de miopes? b) Entre los 35 que estudiaron más, ¿qué porcentaje de miopes hay? c) Compara el porcentaje de miopes entre los que estudiaron más años y entre los que estudiaron menos años.

MIOPE

ESTUDIOS

SÍ NO

SÍ

NO

21 14

19 46

a) Hay 40 miopes. Es el 40%. b) Hay un 60%. c) El 60% de los que estudiaron más años. El 29,23% de los que estudiaron menos años. Hay más miopes entre los que siguieron estudiando.

Unidad 12. Estadística

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 1

PÁGINA 11 1 Una máquina fabrica 5 tuercas por minuto. Trabaja de lunes a jueves de 8 a 13 y de 15 a 17 y los viernes de 8 a 14. Para atender un pedido de 25 000 tuercas comienza a trabajar el miércoles 24 de mayo a las 11 de la mañana. ¿Cuándo completará el pedido? Teniendo en cuenta que hace 5 tuercas por minuto, para hacer 25 000 tuercas necesita: 25 000 : 5 = 5 000 minutos = 83 horas 20 minutos De lunes a jueves trabaja: de 8 a 13 → 5 horas   7 horas y de 15 a 17 → 2 horas  El viernes trabaja de 8 a 14 → 6 horas La máquina debe trabajar: 24 de mayo, miércoles

25 de mayo, jueves

26 de mayo, viernes

11 a 13 4 15 a 17 horas

7 horas

6 horas

Semana del 29 de mayo al 2 de junio

TOTAL:

17 horas

34 horas

En la siguiente semana completará el tiempo que necesite. Hasta ahora, la máquina ha trabajado 51 horas. Faltan 32 horas y 20 minutos. El día 9 de junio a las 12:00 hará las 32 horas. La máquina completará el pedido el día 9 de junio a las 12:20 de la mañana.

2 Un motorista sale de su casa para acudir a una cita. Se da cuenta de que si viaja a 60 km/h llegará un cuarto de hora tarde, pero si lo hace a 100 km/h llegará un cuarto de hora antes. ¿A qué distancia está su destino?


Indicaciones: • A 60 km/h, ¿a qué distancia del lugar se encontrará a la hora de la cita? • A 100 km/h, ¿cuántos kilómetros de más recorrería si continuara a dicha velocidad? • Por tanto, ¿cuántos kilómetros más recorre yendo a 100 km/h que yendo a 60 km/h?

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 2

Si va a 60 km/h, en los 15 minutos que le faltan recorrerá 15 km. Si va a 100 km/h, en los 15 minutos que le sobran recorrerá 25 km. distancia recorrida en un tiempo t 15 km

A 60 km/h → A 100 km/h →

e

CITA

e

CITA

25 km

distancia recorrida en el mismo tiempo t

tiempo =

espacio velocidad

Yendo a 100 km/h, recorre 40 km más que si fuese a 60 km/h, en el mismo tiempo. Ese tiempo es 1 h. En 1 h, a 60 km, recorre e = 60 km. Su destino está a 60 + 15 = 75 km de la salida.

PÁGINA 13 1 Luis tiene la cuarta parte de dinero que su hermana Camila. El domingo, su abuelo les da 5 € a cada uno. Ahora Camila tiene el triple que Luis.

¿Cuánto tenía cada uno antes de que les diera dinero su abuelo? (Resolver sin usar el álgebra).


Indicación:

C

L

+5

Al principio, Luis tiene

+5

y Camilia tiene

Su abuelo les da 5 € a cada uno y… 5 es el triple de

5

Es decir: 5 =

5 5 5

Así: = 5 5 Por tanto, Luis tenía al principio 10 € y Camila, 40 €.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 3

2 En uno de los platillos de una balanza se ha colocado un queso manchego. En el otro platillo se han colocado los 3/4 de un queso igual al anterior más una pesa de 3/4 de kg. La balanza ha quedado en equilibrio. ¿Cuánto pesa el queso? 1 3 3
de queso pesa
de kg. Por tanto, el queso pesa 4 ·
kg = 3 kg. 4 4 4

PÁGINA 14 1 ¿De cuántas formas diferentes se pueden juntar 8 € utilizando solo monedas de 2 €, 1 € y 0,50 €? DE

2€

DE

4 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1

1€ 0 2 1 0 4 3 2 1 6 5 4 3

DE

0,50 € 0 0 2 4 0 2 4 6 0 2 4 6

DE

2€

DE

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1€ 2 1 0 8 7 6 5 4 3 2 1 0

DE

0,50 € 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Hay 24 formas distintas de obtener 8 € con monedas de 2 €, de 1 € y de 0,5 €.

2 Tienes en un bolsillo cuatro monedas: 2 €, 1 €, 0,50 € y 0,20 €. ¿Cuántas cantidades diferentes puedes formar? CON UNA MONEDA

CON CUATRO MONEDAS

CON DOS MONEDAS

CON TRES MONEDAS

2€ 1€ 0,5 € 0,2 €

2+1→3€ 2 + 0,5 → 2,5 € 2 + 0,2 → 2,2 € 1 + 0,5 → 1,5 € 1 + 0,2 → 1,2 € 0,5 + 0,2 → 0,7 €

2 + 1 + 0,5 → 3,5 € 2 + 1 + 0,2 → 3,2 € 2 + 0,5 + 0,2 → 2,7 € 1 + 0,5 + 0,2 → 1,7 €

2 + 1 + 0,5 + 0,2 → 3,7 €

4

6

4

1

Se pueden formar 15 cantidades diferentes con monedas de 2 €, 1 €, 0,5 € y 0,2 €.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 4

PÁGINA 15 1 Si los miembros de un grupo bailan de dos en dos, sobra uno. Si lo hacen de tres en tres, sobran dos, y si lo hacen de cinco en cinco también sobran dos. ¿Cuántas personas componen el grupo sabiendo que su número está comprendido entre 10 y 20? ¿Y si estuviera comprendido entre 30 y 50? a) Si el número está comprendido entre 10 y 20. • Si bailan de dos en dos, sobra uno. Pueden ser: 11

13

15

17

19

• Si bailan de tres en tres, sobran dos. Pueden ser: 11

13

15

17

19

• Si bailan de cinco en cinco, sobran dos. Pueden ser, solo, 17 . b) Si el número está comprendido entre 30 y 50. • Si bailan de dos en dos, sobra uno. Pueden ser: 31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

47

49

• Si bailan de tres en tres, sobran dos. Pueden ser: 31

33

35

37

39

41

43

45

• Si bailan de cinco en cinco, sobran dos. Pueden ser 47 .

2 Pasa por encima de estos nueve puntos mediante una línea quebrada de cuatro segmentos.

• • •

• • •

• • •

PÁGINA 16 Aplica algo de lo que hayas aprendido en las páginas anteriores y, sobre todo, tu ingenio para resolver los siguientes problemas.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 5

1 El yate del magnate griego Ricarchos mide 30 m más la mitad de su propia longitud. ¿Cuántos metros mide el yate? 30

MITAD DE SU LONGITUD

MITAD DE SU LONGITUD

Es claro que la mitad de su longitud son 30 metros. El yate mide 60 metros.

2 Un vendedor ambulante compra camisetas a 72 € la docena y las vende a 15 € el par. ¿Cuántas camisetas ha de vender para ganar 27 €?

Compra por 72 € una decena → 72 : 12 = 6. Compra cada camiseta por 6 €. Vende cada par a 15 € → Vende cada camiseta a 7,5 €. Gana, por tanto, en cada camiseta, 1,5 €. Para ganar 27 € tiene que vender 27 : 1,5 = 18 camisetas.

3 De un depósito lleno de agua se sacan primero dos tercios y después tres cuartos de lo que quedaba. Si aún hay 10 litros, ¿cuál es la capacidad del depósito? (Hazlo sin operar con fracciones. Utiliza una representación esquemática).

10 litros

1 1 En

de

hay 10 litros 4 3 1 En

hay 40 litros 3

En el depósito había 120 litros.

4 A Alicia le han ofrecido las dos posibilidades siguientes para pagarle un trabajo que tiene que hacer con el ordenador: a) 60 € por los 16 días que dura el trabajo. b) 0,01 € por el primer día, el doble por el segundo, el doble de lo anterior por el tercero y así sucesivamente hasta el final. ¿Qué opción aconsejarías a Alicia? Calculemos a cuánto ascenderá el pago de la opción b): El primer día → 0,01 € El segundo día → 2 · 0,01 €

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 6

El tercer día → 2 · 2 · 0,01 € = 22 · 0,01 € El cuarto día → 2 · 22 · 0,01 € = 23 · 0,01 € … El decimosexto día → 2 · 214 · 0,01 € = 215 · 0,01 € = 32 768 · 0,01 € = = 327,68 € Lo que le pagan el último día supera con creces la opción a). No es necesario sumar lo que ganará cada día. Debe elegir, sin duda alguna, la opción b).

5 Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas se puede obtener cualquier número. Por ejemplo, para obtener 6 podemos hacer: 55 : 5 – 5 = 6 Busca la manera de obtener con la mínima cantidad de cincos: a) Los veinte primeros números naturales. b) Los números 111 y 125. c) Los números 500, 1 000 y 3 000. a) 1 = 5 : 5 2 = (5 + 5) : 5 3 = (5 + 5 + 5) : 5 4 = 5 – ( 5 : 5) 5=5 6 = 5 + (5 : 5) 7 = (5 + 5) : 5 + 5 8 = 5 + 5 – (5 + 5) : 5 9 = (5 + 5) – (5 : 5) 10 = 5 + 5 11 = 55 : 5 12 = (55 + 5 ) : 5 13 = (55 + 5 + 5) : 5 14 = (5 + 5 + 5) – (5 : 5) 15 = 5 + 5 + 5 16 = (55 : 5) + 5 17 = (55 + 5) : 5 + 5 18 = (55 + 5 + 5) : 5 + 5

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 7

19 = (5 · 5) – 5 – (5 : 5) 20 = 5 · 5 – 5 b) 111 = 555 : 5 125 = 5 · 5 · 5 c) 500 = 555 – 55 1 000 = (5 + 5) · (5 + 5) · (5 + 5) 3 000 = 55 – 5 · 5 · 5

6 Cuatro vacas suizas y tres autóctonas dan tanta leche en cinco días como tres vacas suizas y cinco autóctonas en cuatro días. ¿Qué vaca es mejor lechera, la suiza o la autóctona? 4 suizas y 3 autóctonas en 5 días → 20S + 15A 3 suizas y 5 autóctonas en 4 días → 12S + 20A 20S + 15A = 12S + 20A Restamos 15A y 12S en cada miembro: 20S + 15A – 15A – 12S = 12S + 20A – 15A – 12S 8S = 5A Por tanto, las autóctonas son más lecheras que las suizas.

7 ¿Qué hora es sabiendo que la aguja pequeña del reloj tardará el triple que el minutero en llegar a la marca de las seis? Son las 5 y cuarto. El minutero tardará 15 minutos en llegar al 6. La aguja pequeña tardará 45 minutos en llegar al 6.

8 Dos CD y dos cintas tienen un precio de 40 €. Un CD y tres cintas cuestan 36 €. ¿Cuánto cuesta un CD y cuánto una cinta?

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 8

CD →

Cinta → = 40 € →

= 20 €

= 36 € →

= 16 € →

=8€

20 €

Una cinta vale 8 € y un CD, 12 €.

9 Marta cabila en la tienda: • Si me compro la camiseta y el chaleco, me gasto 53,75 €. • La camiseta y el pañuelo me cuestan 51,25 €. • Sin embargo, el chaleco y el pañuelo me salen por 60 € justos. ¿Cuál es el precio de cada uno de los tres artículos? (Hazlo sin usar el álgebra)


¿Qué significa la suma de esos tres números? CAMISETA

+ CHALECO = 53,75 €

CAMISETA

+ PAÑUELO = 51,25 €

CHALECO

+ PAÑUELO = 60 €

          

La suma de las tres cantidades es el precio de dos camisetas, dos chalecos y dos pañuelos. Luego: g 53,75 + 51,25 + 60 = 82,5 € CAMISETA + CHALECO + PAÑUELO = 2 53,75            60 €

Así,

PAÑUELO

= 82,5 – 53,75 = 28,75 €

CAMISETA

= 82,5 – 60 = 22,5 €

CHALECO

= 82,5 – 51,25 = 31,25 €

10 Una granjera fue al mercado a vender una cesta de huevos. La primera clienta compró la mitad de los huevos más medio huevo. La segunda compró la mitad de los que quedaban más medio huevo y lo mismo hizo la tercera. Con esto concluyó la venta porque ya no le quedaban más huevos. ¿Cuántos huevos tenía al principio?

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 9

A la tercera le vendió la mitad de los que tenía más medio y se quedó sin nada. Por tanto, le vendió 1 huevo, pues:

()

()

la mitad 1 más medio 1 = 1 + 1 = 1 huevo 2 2 2 2 Antes de que llegara la segunda tenía 3 huevos, pues le vendió:

()

()

la mitad 3 más medio 1 = 3 + 1 = 2 huevos 2 2 2 2 y quedó con 1 huevo, que es lo que le vendió a la tercera. Antes de que llegara la primera tenía 7 huevos, pues les vendió:

()

()

la mitad 7 más medio 1 = 7 + 1 = 8 = 4 huevos 2 2 2 2 2 y quedó con los 3 huevos que tenía cuando llegó la segunda. El proceso fue el siguiente: TENÍA

LA MITAD

+ MEDIO

=

LE VENDIÓ

LE QUEDÓ

7

3y

1 1 + 2 2

=

4

3

3

1y

1 1 + 2 2

=

2

1

=

1

0

1 1 + 2 2

1

11 Carmen tenía anteayer 13 años y sin embargo el año que viene cumplirá 16. ¿Cómo es eso posible? Es posible si estamos a 1 de enero y cumple los años el 31 de diciembre. ANTEAYER

AYER

HOY

PRÓXIMO AÑO

30 de diciembre. Tenía 13 años

31 de diciembre. Cumple 14 años

1 de enero. En este año cumplirá 15 años

Cumplirá, el 31 de diciembre, 16 años

12 Un nenúfar, en un lago, dobla su tamaño todos los días. En un mes cubre todo el lago. ¿Cuánto tiempo tardarán dos nenúfares en cubrir todo el lago?

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 10

Cada nenúfar tarda 29 días en cubrir medio lago, ya que si el día 29 cubre medio lago, como cada día dobla su tamaño, el día 30 cubrirá todo el lago. Por tanto, entre los dos necesitan 29 días para cubrir todo el lago.

PÁGINA 17 13 Busca el menor número de seis cifras cuya división entre 7 es exacta. Busca también el mayor. El menor número de seis cifras es 100 000. Si lo dividimos entre 7, obtenemos 5 de resto. Probamos con 100 002 que, efectivamente, es divisible entre 7. El mayor número de seis cifras es 999 999. Al dividirlo entre 7, obtenemos 0 de resto. Este es el número buscado. Por tanto, entre los múltiplos de 7 de seis cifras, el menor es 100 002 y el mayor 999 999.

14 Un número primo solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. ¿Qué números tienen solo tres divisores? Está claro que hemos de pensar en un producto de dos números descartando, claramente, que sean compuestos. Es decir, han de ser primos. Los divisores de a · b, siendo a y b primos, son: 1 a b a·b Tenemos cuatro divisores. La única forma de hacer desaparecer uno es hacer a = b. En este caso, los divisores serán: 1 a a·a Es decir, los números que solo tienen tres divisores son los números que son producto de un número primo por sí mismo, el cuadrado de los primos: 22 = 2 · 2 = 4

32 = 3 · 3 = 9

72 = 7 · 7 = 49

52 = 5 · 5 = 25

112 = 11 · 11 = 121 …

15 ¿Qué números tienen una cantidad impar de divisores? Los divisores de un número cualquiera se emparejan de dos en dos de modo que el producto de ellos es el número dado. Por ejemplo, 60: 1 y 60,

Resolución de problemas

2 y 30,

3 y 20,

4 y 15,

5 y 12,

6 y 10

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 11

De modo que el número de divisores de N es par, salvo que N sea cuadrado perfecto. Por ejemplo, 36: 1 y 36,

2 y 18,

3 y 12,

4 y 9,

6 y … otra vez 6

16 ¿Qué números tienen todos sus divisores, excepto el uno, pares? Son todos los números en cuya descomposición factorial aparece, exclusivamente, el número 2. Son todas las potencias de 2.

17 ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona tus respuestas. a) La suma de dos números consecutivos no es múltiplo de dos. b) La suma de dos impares consecutivos es múltiplo de cuatro. c) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de tres. a) Cierto. La suma de dos números consecutivos es:

}

n + (n + 1) = 2n + 1 que no puede ser múltiplo de 2 múltiplo de 2

b) Cierto. La suma de dos números impares consecutivos es: (2n – 1) + (2n + 1) = 2n – 1 + 2n + 1 = 4n (múltiplo de 4) c) Cierto. La suma de tres números naturales consecutivos es: (2n – 1) + (2n + 1) = 2n – 1 + 2n + 1 = 4n (múltiplo de 4) que es múltiplo de 3.

18 El número de litros de aceite que contiene un forma exacta en garrafas de 3 litros, de 5 litros o de 25 litros, pero no en garrafas de 4 litros ni de 9 litros. ¿Cuál puede ser el contenido del barril, sabiendo que está entre mil y dos mil litros? El número de litros ha de ser múltiplo de 3, de 5 y de 25. El mínimo común múltiplo de estos números es 75, y como ha de estar entre 1 000 y 2 000 litros, las posibilidades son: p 1 050 1 500

Resolución de problemas

1 125 1 575

1 200 1 650

1 275 1 725

1 350 1 800

1 425 1 875

1 950

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 12

El número de litros no puede ser múltiplo de 4. Hemos de descartar 1 200, 1 500 y 1 800. Tampoco puede ser múltiplo de 9, y hemos de descartar en este caso 1 125, 1 350 y 1 575. El resto de números son soluciones del problema: 1 050

1 275

1 425

1 650

1 725

1 875

1 950

19 El producto de las edades de tres personas es 390. ¿Cuáles son dichas edades? 390 = 1 · 2 · 3 · 5 · 13 13, 1 y 2 · 3 · 5 = 30 13, 2 y 3 · 5 = 15 13, 3 y 2 · 5 = 10 13, 5 y 2 · 3 = 6 13 · 2 = 26, 1 y 3 · 5 = 15 13 · 2 = 26, 3 y 5 13 · 3 = 39, 1 y 2 · 5 = 10 13 · 3 = 39, 2 y 5 13 · 5 = 65, 1 y 3 · 2 = 6 13 · 5 = 65, 2 y 3 13 · 2 = 78, 1 y 5 13 · 2 · 5 = 130 ¡demasiado viejo! Ya no hay más soluciones con edades razonables. Hemos encontrado, pues, 11 soluciones: 1

13

30

2

13

15

3

13

10

5

6

13

1

15

26

3

5

26

1

10

39

2

5

39

1

6

65

2

3

65

1

5

78

20

Este es un desierto cuadrado. A, B y C son las entradas de tres refugios antinucleares. Colorea de diferente color las zonas desde las que te dirigirías a cada refugio en caso de alarma nuclear.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 13

El problema consiste en determinar en qué zona del desierto está más cercano el punto A o el B o el C. Se traza el triángulo de vértices ABC. Los puntos de la mediatriz del segmento AB son equidistantes de A y de B.

A

Así, si alguien se encuentra a un lado o a otro de esa mediatriz, sabe de qué refugio está más cerca. Las zonas, por tanto, están delimitadas por las tres mediatrices del triángulo:

B

C

• La zona que está entre la mediatriz de BA y la mediatriz de BC corresponde al refugio B. • La zona que está entre la mediatriz de BA y la mediatriz de AC corresponde al refugio A. • La zona que está entre la mediatriz de AC y la mediatriz de BC corresponde al refugio C.

21 “Si tenemos veinticinco soldaditos de plomo, ¿cómo formaremos con ellos seis filas de cinco soldaditos cada una?” La solución que venía en el libro para este problema es la siguiente:

Sin embargo, Mercedes ha encontrado una forma de disponer los 25 soldados de modo que hay muchas más de 6 filas de 5 soldados.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 14

22 Situa 10 soldaditos sobre una mesa de modo que haya 5 filas de 4 soldados.

23 Situar 12 soldaditos sobre una mesa de modo que haya 6 filas de 4 soldados.

24 Trazar una línea quebrada de cinco segmentos que pase por estos trece puntos.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 15

25 Busca la manera de dibujar cada una de estas figuras sin levantar el lápiz y sin repasar ningún tramo. B

A

¿Desde cuántos puntos se puede iniciar el trazado de la figura A? ¿Desde cuántos puntos se puede iniciar el trazado de la figura B? Los puntos de una figura pueden ser: 4

3 1

2

1

Con dos ramales

2 Con tres ramales

1

3 2 Con cuatro ramales

Observamos que: • Si partimos de un punto con un número par de ramales, ese será también el punto final. 1 → 2 →

SALIR ENTRAR

3 → 4 →

3 → 4 →

SALIR

3 →

4 1

3

ENTRAR

2

SALIR

3 1

SALIR

2

ENTRAR

• Un punto con un número impar de ramales, si no es principio de trazo, es necesariamente el final. 1 → 2 →

2

ENTRAR

• Si empezamos el trazo en un punto con un número impar de ramales, ese punto no puede ser el final. 1 → 2 →

3

SALIR

• Si un punto con un número par de ramales no es el principio del trazo, tampoco es el final. 1 → ENTRAR 2 → SALIR

4 1

ENTRAR SALIR

Resolución de problemas

3 →

ENTRAR

3 1 2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 16

Teniendo en cuenta lo anterior: A

M

N

Tiene solo dos puntos impares (M y N ). Uno de ellos será el principio del trazo y el otro el final. B

Todos sus puntos son pares. Se puede empezar el trazo en cualquiera de ellos. De todo lo dicho, se deduce que las figuras que no se pueden dibujar de un solo trazo son las que tienen un punto impar, o más, de dos puntos impares.

PÁGINA 18 26 De las 5 000 familias que viven en un pueblo, el 4% tiene un vehículo todo terreno. Del resto, la tercera parte no tiene coche, otro tercio tiene un coche, y los restantes tienen dos coches. ¿Cuántos vehículos hay, como mínimo, en esta población? 4 Todo terreno → 4% de 5 000 =

· 5 000 = 200 familias 100 1 No tienen coche →

de 4 800 = 1 600 familias 3 1 Tienen un coche →

de 4 800 = 1 600 familias 3 Tienen dos coches → 5 000 – 200 – 1 600 – 1 600 = 1 600 familias Número de coches = 200 + 1 600 + 2 · 1 600 = 5 000, al menos, pues los que tienen todo terreno pueden tener otros.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 17

27 Aproximadamente el 30% de los fines de semana los pasamos en la casa de campo que han comprado mis padres. Uno de cada dos fines de semana que voy al campo, coincido con la maravillosa Marilín, que viene al chalé vecino. Pasado mañana es sábado. ¿Qué probabilidad tengo de ver a Marilín? Probabilidad de ir el sábado a la casa de campo: 30 30% =

100 Probabilidad de ver, además, a Marilín (1/2) es la mitad del 30%. Es decir: 30 30 15 1

·

=

=

100 3 200 100 Un 15%.

28 ¿Cuántos cubos componen esta figura? ¿Cuántos no ves? En la figura hay 1 + 4 + 9 + 16 = 30 cubos. Se ven 1 + 3 + 5 + 7 = 16 cubos. No se ven 30 – 16 = 14 cubos.

29 Un aizkolari tarda un cuarto de hora en cortar un tronco en tres partes. ¿Cuánto tardará en cortar otro tronco igual de grueso en seis partes? Para cortar el tronco en tres partes tiene que hacer 2 cortes. Tarda 15 minutos en hacer 2 cortes → tarda 7,5 minutos en cada corte. Para cortar un tronco en seis partes necesita hacer 5 cortes. Tardará 7,5 · 5 = 37,5 minutos en hacerlo. 37,5 minutos = 37 minutos 30 segundos.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 18

30 Se ha construido un prisma recto de base rectangular con 60 cubitos de madera de un centímetro de arista. ¿Cuál es la altura del prisma, sabiendo que el perímetro de la base mide 14 cm? Atención: Hay más de una solución. El perímetro de la base son 14 cm: P = 2a + 2b = 14 → a + b = 7 c

b a

Para que a + b = 7, como los cubitos tienen que ser enteros, existen estas opciones: a) a = 1 y b = 6 b) a = 2 y b = 5 c) a = 3 y b = 4

Examinemos cada opción: a) Si a = 1 y b = 6, en la base hay 6 cubitos. Como la construcción se ha hecho con 60 cubitos, la altura debe ser de 10 cubitos, es decir, 10 cm. b) En este caso, en la base habrá 10 cubitos y la altura, por tanto, será de 6 cm. c) En la base hay 12 cubitos y la altura del prisma será de 5 cm.

31 A la terraza de un bar acuden a merendar distintas pandillas de amigos. La dueña coloca en cada caso una hilera de mesas cuadradas, más o menos larga, según el número de personas de la pandilla. Así, por ejemplo, en una hilera de tres mesas caben 8 personas:

¿Cuántas personas pueden sentarse en una hilera de 6 mesas? ¿Y en una de 10 mesas? ¿Y en una de n mesas? En una hilera de 6 mesas pueden sentarse 14 personas (2 personas por cada mesa más 2 personas en los extremos). En una hilera de 10 mesas podrán sentarse 10 · 2 + 2 = 22 personas. Y en una hilera de n mesas podrán sentarse 2 · n + 2 = 2 (n + 1) personas.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 19

32 ¿Cuántas veces se utiliza la cifra 9 al escribir todos los números del 0 al 1 000? 9 19 … 89 99

    10 veces en las unidades   

Además, en la última decena, desde 90 hasta 99, todos empiezan por 9. Es decir, 10 veces más. Lo mismo en las demás centenas. En total, 20 veces por 10 centenas = 200 veces. Pero además, en la última centena, desde 900 hasta 999, todos empiezan por 9. Es decir, 100 veces más. Por tanto, se utiliza 300 veces.

33 ¿Cuántos capicúas existen de cuatro cifras en los que las dos cifras extremas suman lo mismo que las dos centrales? Los capicúas de cuatro cifras son de la forma ABBA. Para que las cifras extremas sumen lo mismo que las centrales, ha de ocurrir que: A+A=B+B Es decir, A = B. Existen nueve números capicúas de cuatro cifras con esta condición: 1111 / 2222 / 3333 / 4444 / 5555 / 6666 / 7777 / 8888 / 9999

34 Julio tenía en su bolsillo monedas de 1 €, de 0,50 €, de 0,20 € y de 0,10 €. Ha comprado una revista de 3 € utilizando seis monedas. ¿Qué monedas ha utilizado? Busca todas las soluciones posibles. Solo hay dos soluciones: 2 de 1 €, 1 de 0,50 €, 2 de 0,20 € y 1 de 0,10 € 6 de 0,5 €

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 20

35 ¿Cuántos tramos de carretera son necesarios para comunicar cuatro ciudades de forma que desde cada una se pueda llegar a cualquier otra sin pasar por una tercera? ¿Y para comunicar cinco ciudades? ¿Y para comunicar n ciudades? A

Para comunicar 4 ciudades son necesarios 6 tramos de carretera:

B

A D

B

CON LAS

OTRAS

3

3

C

C

CON LAS

+

2

CON

LA ÚLTIMA,

DOS QUE QUEDAN

+

1

D =6

Observamos que coincide con (no de lados de un cuadrilátero + no de sus diagonales): Para comunicar 5 ciudades son necesarios 10 tramos de A B carretera: A C

E

4

D

B

CON LAS

OTRAS

4

CON LAS

TRES QUE QUEDAN

+

3

C CON D Y CON E

CON

2

+ 1 = 10

+

D E

Vemos que coincide con (no de lados de un pentágono + no de sus diagonales). Así, para comunicar n ciudades necesitaremos: (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + … + 2 tramos También podemos expresarlo así: de lados de un + número de diagonales = ( número ) ( polígono de n lados de un polígono de n lados ) 2 2 = n + (n – 3) · n = 2n + n – 3n = n – n 2 2 2

36 Hoy es el último día de acampada y tenemos para merendar “perritos calientes”. El caso es que somos 18, todos con buen apetito, y solo nos quedan 30 perritos. A mí me ha tocado repartir. ¿Cuál es el mínimo número de cortes que necesito hacer para dar a todos lo mismo? 30 = 2 · 3 · 5 = 5 18 2 · 3 · 3 3 5 A cada uno tocan

de perrito. 3 Para hacer la mínima cantidad de cortes, habrá que dar un perrito a cada uno 2 más

de perrito. 3

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 21

A 18 de los perritos no hay que hacerle ningún corte y a los 12 que quedan, un corte a cada uno: 18 trozos de 2/3 cada uno

h Es necesario hacer 12 cortes.

PÁGINA 19 37 Anselmo va a freír tres filetes. Cada uno ha de estar en la sartén cinco minutos por cada cara. Pero en la sartén solo caben dos. ¿Cómo debe hacerlo para tardar el menor tiempo posible? Pone dos filetillos, A y B, durante 5 minutos. Saca uno de ellos, A, da la vuelta al otro, B, y pone el tercero, C, durante 5 minutos. Saca el B (ya está hecho por las dos caras), da la vuelta al C y pone el A por la cara cruda. Otros 5 minutos. Ya están los tres. Ha tardado 15 minutos.

38 Anselmo ha de tener en el horno un pollo durante 15 minutos exactamente. Pero se le ha estropeado el reloj. Dispone de dos relojes de arena que miden 7 minutos y 11 minutos, respectivamente. ¿Cómo consigue cronometrar con ellos los 15 minutos? Deja caer la arena en los dos relojes a la vez. Cuando el de 7 minutos haya terminado, en el de 11 minutos queda arena para 4 minutos. Vuelca el reloj para que no corra ni un segundo de estos 4 minutos, pone el pollo al horno y endereza el reloj. Cuando acabe la arena (4 minutos después) da la vuelta al reloj y contabiliza los 11 minutos restantes.

39 Ahora Anselmo ha de cronometrar los 45 minutos que tarda en hacerse un potaje. Para ello, dispone de dos mechas. Cada una de ellas tarda 1 h en consumirse. Pero la velocidad con que se consumen es irregular (es decir, en 1/4 de hora no tiene por qué gastarse 1/4 de la longitud de la mecha). Aún así, consigue cronometrar con ellas los 45 minutos. ¿Cómo lo hace? Si una mecha se prende simultáneamente por los dos extremos se consume en media hora. Por tanto, prendemos simultáneamente la mecha A por los dos extremos y la mecha B por uno de ellos. En el momento en que A se haya consumido, queda media hora en la mecha B. Si se prende ahora también por el otro extremo se consumirá en la mitad de tiempo: en un cuarto de hora. Por tanto, el proceso dura 45 minutos.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 22

40 Anselmo está en su casa de campo. Solo dispone de un reloj de pared que se le ha parado, pero puede ponerlo en marcha dándole cuerda. Va a casa de su amigo Carlos, que está a unos 3 km de distancia y en la que hay otro reloj como el suyo. Pasa un rato charlando con él y, a la vuelta, pone el reloj en hora con razonable precisión. Para ello, ¿qué otras cosas ha hecho que no se describen aquí? Anselmo, antes de salir, le da cuerda a su reloj y lo pone a una hora cualquiera, por ejemplo, a las 12 h, y se va inmediatamente. Cuando llega a casa de Carlos se fija en la hora que marca su reloj. Por ejemplo, las 5 h 40 min. Cuando va a salir vuelve a mirar la hora, por ejemplo 7 h 05 min. Por tanto, ha estado en casa de Carlos 1 h 25 min. Cuando llega a su casa, su reloj marca, por ejemplo, las 2 h y 55 min. Echemos cuentas: Está fuera de casa 2 h 55 min Está en casa de Carlos 1 h 25 min Está andando

1 h 30 min

Por tanto, cada tramo, ida y vuelta, le lleva 45 min. Como salió de casa de Carlos a las 7 h 05 min, cuando llega a su casa son las 7 h 50 min. Ahora puede poner su reloj en hora.

41 Un grupo de amigos va a comer a un restaurante chino. Cada dos comparten un plato de arroz, cada 3 uno de salsa y cada cuatro uno de carne. En total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántos amigos fueron a comer?

El número de amigos es múltiplo de 12 (múltiplo de 2, de 3 y de 4). Si fueran 12 amigos: 12 : 2 = 6 platos de arroz   12 : 3 = 4 platos de salsa  En total 13 platos  12 : 4 = 3 platos de carne  65 : 13 = 5. El número de platos es 5 veces el 13. Por tanto, el número de amigos será 5 veces 12, es decir, 5 · 12 = 60 amigos.

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 23

42 En un salón de té solo se sirve té y pastas. Cada té vale 1,2 € y cada pasta 2 €. Varios amigos realizan, todos ellos, la misma consumición. La cuenta asciende a 53,20 €. ¿Qué tomó cada uno? ¿Cuántos eran? Un té vale 120 céntimos y una pasta, 200 céntimos. El total pagado es 5 320 céntimos. Hemos de buscar posibles consumiciones, cuyo coste total sea divisor de 5 320. NÚMERO DE

COSTE

CONSUMICIONES

TOTAL

1

1 pasta 1 té

200 120

2

2 pastas 2 tes 1 té y 1 pasta

400 240 320

3

3 pastas 3 tes 1 té y 2 pastas 2 tes y 1 pasta

600 360 520 440

4 pastas 4 tes 1 té y 3 pastas 3 tes y 1 pasta 2 tes y 2 pastas 5 pastas 5 tes 1 té y 4 pastas 4 tes y 1 pasta 2 tes y 3 pastas 3 tes y 2 pastas

800 480 720 560 640 1 000 600 920 680 840 760

4

5

→ No es divisor de 5 320 → No es divisor de 5 320 → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → Sí es divisor de 5 320

5 320 : 760 = 7 Acudieron 7 amigos y cada uno tomó 3 tes con 2 pastas.

43 Un juego entre dos consiste en lo siguiente: cada uno de ellos dice un número, alternativamente, del 1 al 7. Los números se van sumando y gana el que llegue a 50. ¿Qué estrategia debe seguir el primer jugador para ganar con seguridad?

Resolución de problemas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 24

Para que un jugador A llegue a 50, le tienen que dejar una suma de 49 ó 48 ó 47 ó 46 ó 45 ó 44 ó 43, para lo que él tiene que dejar 42, y le tendrían que dejar 41 ó 40 ó 39 ó 38 ó 37 ó 36 ó 35, y así sucesivamente. Veámoslo gráficamente: A DICE 1, 2, …, 7 Y SUMA…

B DICE 1, 2, …, 7 Y SUMA…

50 49/48/47/46/45/44/43

+8 42 +8

41/40/39/38/37/36/35 34

+8

33/32/31/30/29/28/27 26

+8

… 2

La estrategia ganadora consiste en comenzar con 2 y, si el compañero dice un número x, contestar con 8 – x.

44 Objetivo: intercambiar las fichas rojas y azules con el mínimo número de movimientos. Reglas: • Con una ficha puede moverse a la casilla contigua vacía. • Una ficha puede saltar sobre otra de diferente color para caer en una casilla vacía. Existen varias posibilidades. Por ejemplo: 3

8

1

7 6 4

2 5

9 15

12 10

14 11 13

Resolución de problemas

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1

PÁGINA 35 EJERCICIOS DE LA UNIDAD Suma y resta de enteros

1

Calcula: a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8 b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2 c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14 a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8 = (5 + 1 + 8) – (3 + 7) = 14 – 10 = 4 b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2 = (2 + 4 + 1 + 2) – (3 + 8) = 9 – 11 = –2 c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 = (1 + 5 + 9) – (3 + 7 + 11) = 15 – 21 = –6 d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14 = (2 + 4 + 10 + 14) – (6 + 8 + 12) = 30 – 26 = 4

2

3

Quita paréntesis: a) a + (b + c)

b) a – (b + c)

c) a + (b – c)

d) a – (b – c)

a) a + (b + c) = a + b + c

b) a – (b + c) = a – b – c

c) a + (b – c) = a + b – c

d) a – (b – c) = a – b + c

Quita paréntesis y después opera: a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8)

b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1)

c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8)

d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9)

a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) = 1 – 7 + 2 + 10 – 3 + 8 = (1 + 2 + 10 + 8) – (3 + 7) = = 21 – 10 = 11 b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1) = 8 – 4 – 3 – 5 + 8 + 1 = (8 + 8 + 1) – (4 + 3 + 5) = = 17 – 12 = 5 c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) = 3 – 5 – 1 + 4 + 5 – 8 = (3 + 4 + 5) – (5 + 1 + 8) = = 12 – 14 = –2 d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9) = 3 – 5 + 8 – 11 + 4 + 13 – 9 = = (3 + 8 + 4 + 13) – (5 + 11 + 9) = 28 – 25 = 3

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 2

4

Calcula operando primero dentro de los paréntesis: a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6) b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4) c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6) a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6) = (–7) + (1) – (– 8) = –7 + 1 + 8 = 2 b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4) = (– 8) – (–1) + (15) = –8 + 1 + 15 = 8 c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6) = 15 + (–1) – (3) + (– 8) = = 15 – 1 – 3 – 8 = 3

5

Quita paréntesis y calcula: a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)] b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)]) c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)]) a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)] = 3 – [(–3) – (–3)] = 3 – [–3 + 3] = 3 b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)]) = 1 – (3 – [4 – (–2)]) = 1 – (3 – 6) = 1 + 3 = 4 c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)]) = 9 – (5 – [6 – 6]) = 9 – 5 = 4

6

7

8

Calcula: a) (–7) · (+11)

b) (–6) · (–8)

b) (+5) · (+7) · (–1)

d) (–2) · (–3) · (–4)

a) (–7) · (+11) = –77

b) (–6) · (–8) = 48

c) (+5) · (+7) · (–1) = –35

d) (–2) · (–3) · (–4) = –24

Opera: a) (– 45) : (+3)

b) (+85) : (+17)

b) (+36) : (–12)

d) (–85) : (–5)

a) (–45) : (+3) = –15

b) (+85) : (+17) = 5

c) (+36) : (–12) = –3

d) (–85) : (–5) = 17

Opera las expresiones siguientes: a) (+400) : (–40) : (–5) c) (+7) · (–20) : (+10) e) (+300) : (+30) · (–2)

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

b) (+400) : [(–40) : (–5)] d) (+7) · [(–20) : (+10)] f) (+300) : [(+30) · (–2)]

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 3

a) (+400) : (–40) : (–5) = (–10) : (–5) = 2 b) (+400) : [(–40) : (–5)] = (+400) : (+8) = 50 c) (+7) · (–20) : (+10) = –140 : 10 = –14 d) (+7) · [(–20) : (+10)] = 7 · (–2) = –14 e) (+300) : (+30) · (–2) = 10 · (–2) = –20 f ) (+300) : [(+30) · (–2)] = 300 : (–60) = –5

Operaciones combinadas

9

Calcula: a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3 b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3 c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (– 6) d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2) a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3 = 24 – 30 – 6 = –12 b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3 = 15 – 18 + 10 – 12 = –5 c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6) = –20 – 8 + 30 + 18 = 20 d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2) = 18 – 15 – 20 + 6 = –11

10

Opera estas expresiones: a) (–5) · (8 – 13) b) (2 + 3 – 6) · (–2) c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3) a) (–5) · (8 – 13) = (–5) · (–5) = 25 b) (2 + 3 – 6) · (–2) = (–1) · (–2) = 2 c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) = 4 · (–6) : (–3) = (–24) : (–3) = 8 d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3) = (–22) : (–11) = 2

11

Calcula: a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7) b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6) c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17)

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 4

a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7) = 13 – [8 – 3 – 12] : (–7) = 13 – (–7) : (–7) = = 13 – 1 = 12 b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6) = 5 · 5 – 4 · (–5) – 5 · (–5) = = 25 + 20 + 25 = 70 c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = 12 · (–2) – 8 · 5 – 4 · (–12) = = –24 – 40 + 48 = –16

12

Realiza las operaciones siguientes: a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5] a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 = 18 – 40 : 8 – 3 = 18 – 5 – 3 = 10 b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = 4 + 4 – 50 : 25 = 8 – 2 = 6 c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 48 : [15 + 8 – 17] = 48 : 6 = 8 d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5] = 12 – 15 : [12 + 4 · (–5) + 5] = = 12 – 15 : [12 – 20 + 5] = 12 – 15 : (–3) = 12 + 5 = 17

13

14

15

Calcula: a) (–2)7

b) (–3)5

c) (–5)3

d) (–10)3

e) (–1)16

f) (–1)17

a) (–2)7 = –128

b) (–3)5 = –243

c) (–5)3 = –125

d) (–10)3 = –1 000

e) (–1)16 = +1

f ) (–1)17 = –1

Expresa como una única potencia: a) (–2)4 · (–2)3

b) (+2)3 · (–2)3

c) (–3)5 : (–3)3

d) (–5)6 : (–5)3

a) (–2)4 · (–2)3 = (–2)7

b) (+2)3 · (–2)3 = (+2)3 · (–2)3 = –(23 · 23) = –26

c) (–3)5 : (–3)3 = (–3)2

d) (–5)6 : (–5)3 = (–5)3

Calcula: a) (–2)3 + (–3)3 – (–4)3 b) (–5)2 · (–2)2 + (+3)2 · (–3) c) (–2)2 · [(–5)2 – (+4)2] d) (–6)3 : (–3)3 + (–8)2 : (–4)2

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 5

a) (–2)3 + (–3)3 – (–4)3 = (–8) + (–27) – (–64) = –8 – 27 + 64 = 64 – 35 = 29 b) (–5)2 · (–2)2 + (+3)2 · (–3) = [(–5) · (–2)]2– 33 = 102 – 33 = 100 – 27 = 73 c) (–2)2 · [(–5)2 – (+4)2] = 4 · (25 – 16) = 4 · 9 = 36 d) (–6)3 : (–3)3 + (–8)2 : (–4)2 = [(–6) : (–3)]3 + [(–8) : (–4)]2 = 23 + 22 = = 8 + 4 = 12

16

Calcula, si existe:


(–6) 2 d)
 (–5)4

b)
 (–6)3

c)
 (–5)3

e)
 (–1)7

f)
 (–1)8

a)
 (–6)2 =
36  = ±6

b)
 (–6)3 =
–216  → No existe

a)

c)
 (–5)3 =
–125  → No existe d)
 (–5)4 =
625  = ±25 e)
(–1) 7 =
–1  → No existe f )
 (–1)8 =
1 = ±1

17

Calcula, si existe: (+2)2 ·  (–2)4
 c)
 83 : (–2 )5 a)

b)
 (–2)7 :  (–2)3 d)
 (–6)3 :  33

2 a)
(+2) · (–2)  4 =
26 =
64  = ±8

b)
 (–2)7 : (–2) (–2)4 =
16 3 =
  = ±4 c)
 83 : (–2 )5 =
 29 : (–2 )5 =
 –24 =
–16  → No existe d)
 (–6)3 :  33 =
 (–6 : 3 )3 =
 (–2)3 =
–8  → No existe

PÁGINA 36 Múltiplos y divisores

18

Verdadero o falso: a) 195 es múltiplo de 13. b) 13 es divisor de 195. c) 745 es múltiplo de 15. d) 18 es divisor de 258. e) 123 es divisor de 861.

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 6

a) Verdadero. 195 = 13 · 15 b) Verdadero. 195 : 13 = 15 c) Falso. d) Falso. e) Verdadero. 861 : 123 = 7.

19

Escribe los cinco primeros múltiplos de 15 por encima de 1000. 1 005, 1 020, 1 035, 1 050, 1 065

20

Escribe todos los divisores de 140. 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140

21

Verdadero o falso: a) La suma de dos múltiplos de 8 es múltiplo de 8. b) La diferencia de dos múltiplos de 6 es un múltiplo de 6. c) Si un número es múltiplo de 4 y de 3, también es múltiplo de 12. d) Si un número es múltiplo de 2 y de 4, también es múltiplo de 8. e) Si un número es múltiplo de 12, también es múltiplo de todos los divisores de 12. a) Verdadero. a · 8 + b · 8 = (a + b) · 8 b) Verdadero. a · 6 – b · 6 = (a – b) · 6 c) Verdadero. a · 4 · 3 = a · 12 d) Falso. Por ejemplo, 20 = 10 · 2 = 5 · 4 y, sin embargo, no es múltiplo de 8. e) Verdadero. a · 12 = a · 2 · 6 = a · 3 · 4…

Números primos y compuestos

22

Escribe todos los números primos comprendidos entre 80 y 100. 83, 89, 91, 97

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 7

23

Calcula cuánto debe valer a para que el número 7 1 a sea: a) Múltiplo de 2 b) Múltiplo de 3 c) Múltiplo de 5 a) a = 0, 2, 4, 6, 8 b) a = 1, 4, 7 c) a = 0, 5

24

Descompón en factores primos: a) 48

b) 54

c) 90

d) 105

e) 120

f ) 135

g) 180

h) 378

i) 700

j) 1 872

a) 48 = 24 · 3

b) 54 = 2 · 33

c) 90 = 2 · 32 · 5

d) 105 = 3 · 5 · 7

3

e) 120 = 2 · 3 · 5

f ) 135 = 33 · 5

g) 180 = 22 · 32 · 5

h) 378 = 2 · 33 · 7

i) 700 = 22 · 52 · 7

j) 1 872 = 24 · 32 · 13

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

25

Calcula: a) m.c.m. (12, 15) c) m.c.m. (48, 54) e) m.c.m. (6, 10, 15)

b) m.c.m. (24, 60) d) m.c.m. (90, 150) f ) m.c.m. (8, 12, 18)

a) 12 = 22 · 3   m.c.m. (12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60 15 = 3 · 5   b) 24 = 23 · 3  m.c.m. (24, 60) = 23 · 3 · 5 = 120 2 60 = 2 · 3 · 5 

c) 48 = 24 · 3   m.c.m. (48, 54) = 24 · 33 = 432 54 = 2 · 33 

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 8

d) 90 = 2 · 32 · 5   m.c.m. (90, 150) = 2 · 32 · 52 = 450 150 = 2 · 3 · 52  e) 6 = 2 · 3 10 = 2 · 5 15 = 3 · 5

   m.c.m. (6, 10, 15) = 2 · 3 · 5 = 30  

f ) 8 = 23   12 = 22 · 3  m.c.m. (8, 12, 18) = 23 · 32 = 72  18 = 2 · 32 

26

Calcula: a) M.C.D. (16, 24)

b) M.C.D. (48, 72)

c) M.C.D. (105, 120)

d) M.C.D. (135, 180)

e) M.C.D. (8, 12, 16)

f ) M.C.D. (45, 60, 105)

a) 16 = 24   M.C.D. (16, 24) = 23 = 8 24 = 23 · 3  b) 48 = 24 · 3   M.C.D. (48, 72) = 3 · 23 = 24 72 = 23 · 32  c) 105 = 3 · 5 · 7  M.C.D. (105, 120) = 3 · 5 = 15 120 = 23 · 3 · 5   d) 135 = 33 · 5  M.C.D. (135, 180) = 32 · 5 = 45 2 2 180 = 2 · 3 · 5 

e) 8 = 23 12 = 22 · 3 16 = 24

   M.C.D. (8, 12, 16) = 22 = 4  

f ) 45 = 32 · 5   60 = 22 · 3 · 5  M.C.D. (45, 60, 105) = 3 · 5 = 15  105 = 3 · 5 · 7 

27

Si a es múltiplo de b, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de a y b? ¿Cuál es el máximo común divisor de a y b? Si a es múltiplo de b, a = k · b m.c.m. (a, b) = m.c.m. (k · b, b) = k · b = a M.C.D. (a, b) = M.C.D. (k · b, b) = b

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 9

Para aplicar lo aprendido

28

Se dice que dos números son primos entre sí cuando no tienen ningún divisor común aparte del 1. Por ejemplo, el 15 y el 16. Busca otras parejas de números primos entre sí. Por ejemplo: 17 y 24 13 y 9

29

Se desea envasar 100 litros de aceite en recipientes iguales. ¿Cuál ha de ser la capacidad de los mismos? Busca todas las soluciones posibles, e indica, en cada caso, el número de recipientes necesarios. Las soluciones posibles son todos los divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

30

En la biblioteca de mi centro hay entre 150 y 200 libros. Averigua cuántos son exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de 18 unidades. 5=5 9 = 32 15 = 3 · 5 18 = 2 · 32

   2  m.c.m. (5, 9, 15, 18) = 2 · 3 · 5 = 90   

El número de libros ha de ser múltiplo de 5, de 9, de 15 y de 18, y el menor de ellos es 90. Los siguientes múltiplos de 90 son 180, 270… Por tanto hay 180 libros.

31

Las líneas de autobuses A y B inician su actividad a las siete de la mañana desde el mismo punto de partida. Si la línea A tiene un servicio cada 24 minutos y la línea B lo hace cada 36 minutos, ¿a qué hora, después de las siete, vuelven a coincidir las salidas? 24 = 23 · 3   m.c.m. (24, 36) = 23 · 32 = 72 36 = 22 · 32  Los autobuses coinciden cada 72 minutos. Volverán a coincidir a las 8 horas y 12 minutos de la mañana.

32

Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo más grandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo. ¿Cuánto medirá cada trozo? 20 = 22 · 5   M.C.D. (20, 30) = 2 · 5 = 10 30 = 2 · 3 · 5  Han de partirse en trozos de 10 metros cada una.

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 10

Página 37

33

En la modalidad deportiva de ciclismo de persecución en pista, uno de los corredores da una vuelta al circuito cada 54 segundos y el otro cada 72 segundos. Parten juntos de la línea de salida. a) ¿Cuánto tiempo tardarán en volverse a encontrar por primera vez en la línea de salida? b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese tiempo? a) 54 = 2 · 33   m.c.m. (54, 72) = 23 · 33 = 216 3 2 72 = 2 · 3  Volverán a encontrarse al cabo de 216 segundos, es decir, después de 3 minutos y 36 segundos. b) El primer ciclista habrá dado 216 : 54 = 4 vueltas. El segundo, 216 : 72 = 3 vueltas.

34

¿Qué medida tendrá el lado de una baldosa cuadrada que se ha utilizado para pavimentar el suelo de un garaje de 123 dm de largo por 90 dm de ancho? (Las baldosas han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna). 123 dm = 1 230 cm 90 dm = 900 cm 1 230 = 2 · 3 · 5 · 41   M.C.D. (1 230, 90) = 2 · 3 · 5 = 30 90 = 22 · 32 · 52  Cada baldosa cuadrada mide 30 cm de lado.

35

Un panadero necesita envases para colocar 250 magdalenas y 75 mantecados en cajas, lo más grandes que sea posible, pero sin mezclar ambos productos en la misma caja. ¿Cuántas unidades irán en cada caja? ¿Cuántas cajas hacen falta? 250 = 2 · 53   M.C.D. (250, 75) = 52 = 25 75 = 3 · 52  En cada caja deberán ir 25 unidades. Completará 10 cajas de magdalenas y 3 cajas de mantecados.

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 11

36

Un alumno quiere cambiar con otro cuadernos de 3,6 euros por rotuladores de 4,8 euros. ¿Cuál es el menor número de cada clase que pueden cambiar sin que ninguno de los dos pierda? ¿Cuál es el valor de lo que aporta cada uno? 3,6 € = 360 céntimos de euro 4,8 € = 480 céntimos de euro 360 = 23 · 32 · 5   m.c.m. (360, 480) = 25 · 32 · 5 = 1 440 480 = 25 · 3 · 5  1 440 : 360 = 4  1 440 : 480 = 3  Pueden intercambiar 4 cuadernos por 3 rotuladores, por un valor, cada paquete, de 14,4 €.

37

En un colegio, el número de profesoras es el doble que el número de profesores. ¿Cuál de los siguientes números será igual al total de docentes de dicho colegio?

17

20

24

26

El número total de docentes tiene que ser múltiplo de 3. El único múltiplo de 3 de los números que se dan es 24. Por tanto, el número total de docentes del colegio es 24. Si en total son 24, dos partes son profesoras y una profesores: 24 : 3 = 8 8 × 2 = 16 profesoras Hay 16 profesoras y 8 profesores.

38

El mayor de los tres hijos de una familia visita a sus padres cada 15 días, el mediano cada 10, y la menor cada 12. El día de Navidad se reúne toda la familia. ¿Qué día volverán a encontrarse los tres juntos? ¿Y el mayor con el mediano? 15 = 3 · 5   10 = 2 · 5  m.c.m. (15, 10, 12) = 22 · 3 · 5 = 60  12 = 22 · 3  Los tres hermanos volverán a encontrarse 60 días después de Navidad (25 de diciembre). Es decir, el 22 de febrero del año siguiente. m.c.m. (15, 10) = 2 · 3 · 5 = 30 El mayor y el mediano se encontrarán transcurridos 30 días, es decir, el 23 de enero del año siguiente.

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 12

PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

39 En una excursión a la montaña, organizada por un club alpino, cada tres miembros comparten una mochila, cada cuatro una brújula y cada seis un mapa. Si entre mochilas, brújulas y mapas hay 27, ¿cuántos miembros del club participan en la excursión? El número de miembros ha de ser múltiplo de 3, de 4 y de 6. m.c.m. (3, 4, 6) = 12 12 : 3 = 4 mochilas 12 : 4 = 3 brújulas 12 : 6 = 2 mapas

   4+3+2=9  

Como hay 27 objetos entre mochilas, brújulas y mapas, y 27 : 9 = 3, debe haber: 12 · 3 = 36 miembros Veamos que es cierto: 36 : 3 = 12 mochilas   36 : 4 = 9 brújulas  12 + 9 + 6 = 27  36 : 6 = 6 mapas 

40 Rosa tiene el triple de discos que Manuel. Si cada uno comprase un disco, Rosa tendría el doble. ¿Cuántos discos tiene cada uno? Rosa →

+1=2·

Manuel → +1=2 →

(

)

+1 =

+2

= 1 disco

Rosa tiene 3 discos y Manuel, 1.

41

Federico tenía la cuarta parte de dinero que Amelia. Por hacer un recado reciben una moneda de 2 € cada uno. Ahora Amelia tiene el triple que Federico. ¿Cuánto tiene ahora cada uno?


4€ ANTES AHORA

El dinero que tenían al principio entre los dos es múltiplo de 5.

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 13

                       

Un múltiplo de 5 más 4 debe ser múltiplo de 4. 20

+4

=

24

Amelia tenía 16 € y Federico, 4 €. Ahora, Amelia tiene 18 € y Federico, 6 €.

42 El número de participantes en un desfile es tal que se pueden agrupar en filas de 3 en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, pero no pueden hacerlo de 4 en 4 ni de 9 en 9. ¿Cuál es el número de participantes si sabemos que es mayor que 1 000, pero menor que 1 250? Múltiplos de 3, de 5 y de 25 → múltiplos de 75 Múltiplos de 75 comprendidos entre 1 000 y 1 250: 1 050

1 125

1 200

Descartamos 1 200 porque es múltiplo de 4, y 1 125 porque es múltiplo de 9. Así, el número de participantes es 1 050.

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1

PÁGINA 52 EJERCICIOS DE LA UNIDAD Sistema de numeración decimal

1

Escribe con cifras: a) Trece unidades y ocho milésimas → 13,008 b) Cuarenta y dos cienmilésimas → 0,00042 c) Trece millonésimas → 0,000013

2

Expresa con números decimales: a) Un cuarto de unidad → 0,25 b) Unidad y media → 1,5 c) Tres cuartos de décima → 0,075 d) Centésima y media → 0,015 e) Dos milésimas y cuarto → 0,00225

3

Copia y completa: a) 2 décimas = 2 000 diezmilésimas b) 3 milésimas = 3 000 millonésimas c) 7 cienmilésimas = 0,007 centésimas d) 4 millonésimas = 0,004 milésimas

4

Expresa en millonésimas: a) 2,45 unidades = 2 450 000 millonésimas b) 0,5 milésimas = 500 millonésimas c) 1,2 diezmilésimas = 120 millonésimas d) 0,4 cienmilésimas = 4 millonésimas

5

Copia y completa: a) 0,05 milésimas = 5 cienmilésimas b) 4,2 cienmilésimas = 0,42 diezmilésimas c) 25 diezmilésimas = 0,25 centésimas d) 1 243 millonésimas = 1,243 milésimas

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

2

Pág. 2

6

Separa: por un lado, los decimales exactos; por otro, los periódicos puros, y por otro, los periódicos mixtos: Decimales exactos: 13,7 - 1,37 - 0,137 ) ) ) Decimales periódicos puros: 13,7 - 1,37 - 0,137 ) ) ) Decimales periódicos mixtos: 1,37 - 0,137 - 0,137

7

Copia y completa la tabla:

8

2,5748

2 +
5
+
7
+
4
+
8
10 100 1 000 10 000

4,8006

4 +
8
+
6
10 10 000

0,00053

5 3

+

10 000 10 000

0,000706

7 6

+

10 000 1 000 000

Ordena de menor a mayor: 3,0010 < 3,0089 < 3,0090 < 3,0098 < 3,0100 < 3,0150

9

Coloca los signos < , > o =: 0,05 = 0,050

0,089 < 0,091

0,1 = 0,100

0,4 > 0,399

0,09 < 0,1

0,03 > 0,0298

10

Da el número decimal asociado a cada letra: 2,53

B

A

A = 2,533 7

M

B = 2,54 C = 2,545 N

K

M = 7,0005 N = 7,001 A

A = 2,9999

B

2,55

C

3

B = 2,99995

7,002

K = 7,0017 C

3,0001

C = 0,00005

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 3

11

Escribe un número decimal que esté entre: a) 5 y 6 c) 2,1 y 2,2 e) 0,009 y 0,01

b) 4,5 y 4,7 d) 0,015 y 0,016 f) 0,0425 y 0,04251

Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 5 < 5,5 < 6 b) 4,5 < 4,6 < 4,7 c) 2,1 < 2,15 < 2,2 d) 0,015 < 0,0155 < 0,016 e) 0,009 < 0,0095 < 0,01 f ) 0,0425 < 0,042505 < 0,04251

12

Copia y completa la tabla: APROXIMACIONES

1,5027 18,71894 2,0996 7,0908 7,9992

13

A LAS DÉCIMAS

A LAS CENTÉSIMAS

A LAS MILÉSIMAS

1,5 18,7 2,1 7,1 8,0

1,50 18,72 2,10 7,09 8,00

1,503 18,719 2,100 7,091 7,999

Aproxima a las diezmilésimas: a) 3,2859499 → 3,2859 b) 2,6005573 → 2,6006 c) 0,0064795 → 0,0065 d) 0,0082009 → 0,0082

14

Escribe una aproximación de cada uno de estos números con un error menor que cinco milésimas: Aproximando a las centésimas, cometeremos un error menor de cinco milésimas. a) 2,8649 → 2,86 b) 5,00932 → 5,01 c) 0,02994 → 0,03 d) 4,305186 → 4,31 ) 15 Se toma 5,329 como aproximación de 5,328 . Calcula una cota del error cometido. Se ha redondeado a las milésimas, por tanto, se ha cometido un error menor de cinco diezmilésimas.

16

Supón que para aproximar números decimales nos limitamos a suprimir todas las cifras que quedan a la derecha de las centésimas. ¿Qué puedes decir, en general, del error cometido? El error es menor de una centésima.

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 4

PÁGINA 53 OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

17

Calcula esta sumas: a) 3,24 + 2,382 + 2,7618 b) 0,98 + 0,046 + 0,326 c) 5,82 + 4,005 + 2,175 a)

18

3,24 2,382 + 2,7618 8,3838

b)

0,98 0,046 + 0,326 1,352

Calcula: a) 12 – 7,458

b) 125,6 – 15,15

c) 52,382 – 32,38

d) 829,3 – 744,46

a)

12,000 – 7,458 4,542

b)

125,60 – 15,15 110,45

c)

52,382 – 32,380 20,002

d)

829,30 – 744,46 84,84

19

Calcula: a) 8,32 + 5,26 – 3,58

b) 6,04 – 2,83 + 2,69

c) 8,8 – 2,24 – 2,14

d) 13 – 6,9 – 3,85

a)

8,32 + 5,26 13,58 – 3,58 10,00

b)

6,04 – 2,83 3,21 + 2,69 5,90

c)

8,80 – 2,24 6,56 – 2,14 4,42

d)

13,0 – 6,9 6,1 – 3,85 2,25

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

c)

5,82 4,005 + 2,175 12,000

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 5

20

Quita paréntesis y calcula: a) 4,25 – (1,2 + 0,75) + 1,06 = 4,25 – 1,95 + 1,06 = 3,36 b) (0,8 + 0,4) – (1 – 0,23) = 1,2 – 0,77 = 0,43 c) 5 – [8,2 – (3,6 + 1,9 – 2,4)] = 5 – [8,2 – 3,1] = 5 – 5,1 = –0,1

21

22

Multiplica: a) 2,28 × 4,5

b) 6,35 × 0,6

c) 3,16 × 0,25

d) 8,125 × 12

a)

2,2 8 × 4,5 1140 912 1 0,2 6 0

b)

6,3 5 × 0,6 3,810

c)

3,1 6 × 0,25 1580 632 0,7 9 0 0

d)

8,1 2 5 × 12 16250 8125 9 7,5 0 0

Multiplica y aproxima el producto a las centésimas: a) 8,625 × 3,24 = 27,945 → 27,95 b) 0,08 × 5,47 = 0,4376 → 0,44 c) 0,26 × 3,159 = 0,82134 → 0,82 d) 23,45 × 15,63 = 366,5235 → 366,52

23

Completa la tabla y observa:

× 0,5 × 0,25

8 4 2

10 5 2,5

20 10 5

30 15 7,5

100 50 25

400 200 100

Al multiplicar un número por 0,5 se reduce a la mitad (es lo mismo que dividirlo entre 2). Al multiplicar un número por 0,25 se reduce a la cuarta parte (es lo mismo que dividirlo entre 4).

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 6

24

Calcula el cociente exacto: a) 87 : 12

b) 38,5 : 1,4

c) 3,81 : 1,25

d) 4 : 0,64

e) 85,941 : 16,2

f) 14,5 : 0,464

a) 87 030 60 0

b) 38,5 105 070 00

12 7,25

87 : 12 = 7,25 c) 3,81 00600 1000 000

1,25 3,048

3,81 : 1,25 = 3,048 e) 85,941 0494 00810 000

16,2 5,305

85,941 : 16,2 = 5,305

25

1,4 27,5

38,5 : 1,4 = 27,25 d) 400 160 320 00

0,64 6,25

4 : 0,64 = 6,25 f ) 14,500 0580 1160 2320 000

0,464 31,25

14,5 : 0,464 = 31,25

Calcula los cocientes de estas divisiones con dos cifras decimales: a) 146 : 85

b) 3,2 : 13

c) 71 : 5,17

d) 24,056 : 8,6

a) 146 610 150 75

85 1,71

146 : 85
1,71 5,17 c) 71,00 1 930 13,73 3790 1710 159 71 : 5,17
13,73

b) 3,2 0 60 08

13 0,24

3,2 : 13
0,24 d) 24,056 6 85 836 62

8,6 2,79

24,056 : 8,6
2,79

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 7

26

Calcula el cociente con un error menor que cinco milésimas: Si aproximamos el cociente a las centésimas, cometeremos un error menor de cinco milésimas. a) 18 : 13  1,3846153 → 1,38 b) 83,4 : 15,9  5,245283 → 5,25 c) 16,6 : 0,42  39,523809 → 39,52 d) 4,672 : 0,24  19,4666 → 19,47

27

Completa la tabla y observa: G

: 0,5

: 0,25

3 6 12

5 10 20

7 14 28

10 20 40

15 30 60

100 200 400

Dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por dos. Dividir entre 0,25 es lo mismo que multiplicar por cuatro.

28

Reduce y calcula: a) 1,6 + 3 · (5,6 – 4,8) = 1,6 + 3 · 0,8 = 1,6 + 2,4 = 4 b) 2,48 – 3,1 · 0,4 + 2,8 · 1,7 = 2,48 – 1,24 + 4,76 = 6 c) 4,3 – 0,2 · (0,7 + 1,2 – 0,4) = 4,3 – 0,2 · 1,5 = 4,3 – 0,3 = 4

29

Copia y completa: a) Multiplicar por 0,1 es igual que dividir entre 10. b) Multiplicar por 0,2 es igual que dividir entre 5. c) Dividir entre 0,01 es igual que multiplicar por 100. d) Dividir entre 0,02 es igual que multiplicar por 50.

30

Calcula la raíz cuadrada exacta: a) 1,21 

b) 6,25 

c) 6,76 

d) 4225 

e)  42,25

f) 0,4225 

a) 1,21  = 1,1

b) 6,25  = 2,5

c) 6,76  = 2,6

4 225 = 65 d) 

e)  42,25 = 6,5

f ) 0,4225  = 0,65

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 8

31

Calcular, por tanteo, con una cifra decimal: a) 86 

b) 150 

c) 500 

d) 930 

  12 = 144 < 150 (12,2) = 148,84 < 150 → 12,2 < 150 < b) 150  

→ 


< 12,3 13 = 169 > 150 (12,3) = 151,29 > 150 22 = 484 < 500 (22,3) = 497,29 < 500 < 22,3 < 150 c) 500  

→ 


→ < 22,4 23 = 529 > 500 (22,4) = 501,76 > 500 (30,4) = 924,16 < 930 30 = 900 < 930 < 30,4 < 930 d) 930  

→ 


→ < 30,5 31 = 961 > 930 (30,5) = 930,25 > 930 (9,2)2 = 84,64 < 86 92 = 81 < 86 a) 86 → → 9,2 < 86




 < 9,3 102 = 100 > 86 (9,3)2 = 84,49 > 86 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

PÁGINA 54 EJERCICIOS PARA RESOLVER CON LA CALCULADORA

33

Opera con la calculadora y aproxima el resultado a las milésimas: a) 237,4 – 42,28 × 4,769 b) 81,4629 : (51,486 – 42,831) c) (6,36 × 2,85) : (2,85 × 0,967) d) (52,09 + 8,156) : (7,921 + 3,28) a) 237,4 – 42,28 × 4,769 = 237,4 – 201,65332 = 35,76668 → 35,767 b) 81,4629 : (51,486 – 42,831) = 81,4629 : 8,655 = 9,4122357 → 9,412 c) (6,36 × 2,85) : (2,85 × 0,967) = 6,36 : 0,967 = 6,5770423 → 6,577 d) (52,09 + 8,156) : (7,921 + 3,28) = 60,246 : 11,201 = 5,3786269 → 5,379

35

Estima mentalmente el resultado y, después, comprueba con la calculadora: a) 5,9704 × 3,0197 b) (2,456 + 3,594) : 2,9705 c) (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79) a) 5,9704 × 3,0197  6 × 3 = 18

5,9704 × 3,0197 = 18,029

b) (2,456 + 3,594) : 2,9705  6 : 3 = 2

(2,456 + 3,594) : 2,9705 = 2,037

c) (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79)  (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79) = 5 × 2 = 10 = 10,401

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 9

36

Resuelve con ayuda de la calculadora y aproxima el resultado a las milésimas: a) 58,25 

b) 263,9 

c)  1 : 0,0046 

d)  532 × 8,46 

a) 58,25   7,632

b) 263,9   16,245

c)  1 : 0,0046   14,744

d)  532 × 8,46   67,087

SISTEMA SEXAGESIMAL

37

Expresa en minutos: a) Tres horas y media

b) 1 080 s

c) 4 h 5 min 30 s

d) un día

a) Tres horas y media = 3 × 60 + 30 = 180 + 30 = 210 min b) 1 080 s = 1 080 : 60 = 18 min c) 4 h 5 min 30 s = 4 × 60 + 5 + 30 : 60 = 240 + 5 + 0,5 = 245,5 min d) un día = 24 h = 24 × 60 = 1 440 min

38

Expresa en segundos: a) 12°

b) 3° 5'

c) 8° 10' 27"

a) 12° = 12 × 3 600 = 43 200" b) 3° 5' = 3 × 3 600 + 5 × 60 = 11 100" c) 8° 10' 27" = 8 × 3 600 + 10 × 60 + 27 = 29 427"

39

Expresa en grados con un decimal: a) 13° 12'

b) 18° 36'

c) 21° 15' 54"

d) 46° 18' 36"

a) 13° 12' = 13 + 12 : 60 = 13 + 0,2 = 13,2° b) 18° 36' = 18 + 36 : 60 = 18 + 0,6 = 18,6° c) 21° 15' 54" = 21 + 15 : 60 + 54 : 3 600 = 21,265° → 21,3° d) 46° 18' 36" = 46 + 18 : 60 + 36 : 3 600 = 46,31° → 46,3°

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 10

40

Pasa a forma compleja: a) 8 564 s

b) 124,6 min

c) 1,53 h

d) 5,7 h

a) 8 564 s 2 56 164 44 s

60 142 min 60 22 min 2h

b) 0,6 min = 0,6 × 60 = 36 s 124,6 min = 120 min + 4 min + 0,6 min = = 2 h 4 min 36 s

8 564 s = 2 h 22 min 44 s c) 1,53 h = 1 h + 0,53 h = = 1 h + (0,53 × 60) min = = 1 h 31,8 min = = 1 h + 31 min + (0,8 × 60) = = 1 h 31 min 48 s

41

d) 5,7 h = 5 h + (0,7 × 60) min = = 5 h 42 min

Expresa en grados, minutos y segundos: a) 142 824"

b) 8 596,75'

c) 45,46°

d) 62,265°

a) 142 824" 22 8 4 82 0 24"

60 2 380' 60 580 39° 40'

142 824" = 39° 40' 24" b) 8 596,75' = 8 596' + 0,75' 8 596' 2 59 196 16'

60 143°

8 596,75' = 143° 16' 45" c) 45,46° = 45° + 0,46° 0,46° = 0,46 × 60 = 27,6' = 27' + 0,6' 0,6' = 0,6 × 60 = 36"



d) 62,265° = 62° + 0,265° 0,265° = 0,265 × 60 = 15,9' = 15' + 0,9' 0,9' = 0,9 × 60 = 54"

45,46° = 45° 27' 36"



Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

62,265° = 62° 15' 54"

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 11

42

Calcula estas sumas: a) 26° 8' + 85° 52' b) 47° 25' + 18° 39' 15" c) 53° 15' 28" + 13° 18' 36" a)

26° 8' + 85° 52' 111° 60' → 112°

c)

53° 15' 28" + 13° 18' 36" 66° 33' 64" → 66° 34' 4"

43

b)

47° 25' + 18° 39' 15" 65° 64' 15" → 66° 4' 15"

Halla el resultado: a) 26° 8' + 85° 52' b) 47° 25' + 18° 39' 15" c) 53° 15' 28" + 13° 18' 36" a)

1h → – 0 h 36 min 29 s

0 h 59 min 60 s – 0 h 36 min 29 s 23 min 31 s

b)

3 h 6 min → – 1 h 18 min 45 s

2 h 65 min 60 s – 1 h 18 min 45 s 1 h 47 min 15 s

c)

4 h 79 min 110 s 5 h 20 min 50 s → – 3 h 30 min 55 s – 3 h 30 min 55 s 1 h 49 min 55 s

44

Multiplica: a) (15° 23' 18") × 7

b) (25' 42") × 3

a)

15° 23' 18" ×7 105° 161' 126" → 107° 43' 6"

b)

25' 42" ×3 75' 126" → 1° 17' 6"

c)

3h

c) (3 h 28 min 16 s) × 4

28 min 16 s ×4 12 h 112 min 64 s → 13 h 53 min 4 s

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 12

45

Divide: a) 85° : 3

b) (11 h 16 min) : 6

c) (39° 42' 24") : 8

d) (4 h 23 min) : 10

a) 85° 25 1°

b) 11 h 5h

c) 39° 7°

d) 4 h

3 28° 20' F

× 60

× 60

×6

0

F

60' 00

16 min F 300 min 316 min 16 4 min

42' 420 462' 62 6'

F

6 1 h 52 min 40 s × 60

F

24"

× 60

F

240 s 00 8 4° 57' 48"

360" 384" 64 0

23 min 10 240 min 26 min 18 s 263 min 063 03 × 60 F 180 s 00

PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES

46

¿Cuánto pesa una porción de queso que nos ha costado 5,88 €, sabiendo que el queso se vende a 12,25 € el kilo? 5,88 : 12,25 = 0,48 kg = 480 g

47

Un kilo y seiscientos gramos de cerezas cuesta 6 €. ¿A cómo se vende el kilo de cerezas? 6 : 1,6 = 3,75 €/kg

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 13

48

Francisco pide en la carnicería tres filetes que, una vez cortados, pesan 708 gramos. ¿Cuánto debe pagar si un kilo de filetes cuesta 9,35 €? 9,35 × 0,708 = 6,6198

Redondeo

F

6,62

Debe pagar 6,62 €.

49

Julián tiene 13 años y mide 1,72 m. A los 8 años medía 1,57 m. ¿Cuál ha sido el crecimiento medio por año? (1,72 – 1,57) : (13 – 8) = 0,15 : 5 = 0,03 Ha crecido una media de 3 cm por año.

50

¿Cuánto cuesta la entrada al zoo de una familia que consta de los padres, dos niños y un abuelo? LISTA DE PRECIOS ADULTOS: NIÑOS:

45,35 € 23,80 €

45,35 × 3 + 23,80 × 2 = 136,05 + 47,6 = 183,65 €

PÁGINA 55 51

Un especulador compra una parcela rectangular de 62,50 m de largo y 23,80 m de ancho, a 45,5 €/m2, y un año después la vende a 59,80 €/m2. Si durante ese tiempo le ha ocasionado unos gastos de 5 327,46 €, ¿qué ganancia obtiene en el negocio? Superficie parcela → 62,50 × 23,80 = 1 487,5 m2 Diferencia (coste venta – coste compra) → 1 487,5 · (59,8 – 45,5) = 1 487,5 · · 14,3 = 21 271,25 € Ganancia = Beneficio – Gastos = 21 271,25 – 5 327,46 = 15 943,79 €

52

Roberto va al mercado con 62,81 € y compra 2,6 kg de uvas a 1,80 €/kg, 0,58 kg de plátanos a 2,15 €/kg, una merluza que pesa 850 g y está a 11,45 €/kg, y un pollo de kilo y cuarto a 5,95 €/kg. ¿Cuánto dinero le sobra? Manzanas →

2,6 · 1,80

= 4,68 €

Plátanos

→ 0,58 · 2,15

= 1,25 €

Merluza

→ 0,850 · 11,45 = 9,73 €

Pollo

→ 1,25 · 5,95

TOTAL GASTO

= 7,44 €

→ 23,10 €

Resto sobrante: 62,81 – 23,10 = 39,71 €

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 14

53

Se desea pintar una valla de 147,8 m de larga y 1,8 de altura. Un kilo de pintura cuesta 7,35 € y cubre 1,20 m2 de valla. Calcula el presupuesto para la pintura. Superficie a pintar → 147,8 · 1,8 = 266,04 m2 Kilos de pintura necesarios → 266,04 : 1,20 = 221,7 kg Coste de la pintura → 221,7 · 7,35 = 1 629,495

Redondeo

F

1 629,50 €

El presupuesto asciende a 1 629,50 €

54

Una furgoneta transporta 250 docenas de huevos que cuestan a 0,98 € la docena. En una curva se vuelca una caja y se rompen 60 huevos. ¿Cuánto hay que aumentar el precio de la docena para que la mercancía siga valiendo lo mismo? Coste de la mercancía → 250 · 0,98 = 245 € 60 huevos = 60 : 12 = 5 docenas Docenas restantes → 250 – 5 = 245 docenas Las 245 docenas restantes deben venderse por 245 €, es decir, a 1 € la docena. Por tanto, el precio de la docena se ha de aumentar en (1 – 0,98 = 0,02) dos céntimos de euro.

55

Se desea partir un círculo en siete sectores iguales. ¿Cuál debe ser el ángulo de cada sector? Cada sector tendrá una amplitud de: 360° : 7 = 51° 25' 42,8"

56

360° 10 3°

× 60

6 51° 25' 42,8" F

180' 40 5'

× 60

F

300 20 60

Un tren llega a la estación de la ciudad B a las 12 h 26 min 38 s, tras un viaje desde A que ha durado 2 h 47 min 29 s. ¿A qué hora salió de A? 12 h 26 min 38 s – 2 h 47 min 29 s

11 h 86 min 38 s → – 2 h 47 min 29 s 9 h 39 min 9 s

El tren salió a las 9 h 39 min 9 s.

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 15

57

Un ciclista inicia su entrenamiento a las 8 h 24 min, e invierte 2 h 36 min en el recorrido de ida y 1 h 56 min en el de vuelta. ¿A qué hora finaliza su ejercicio? 8 h 24 min 2 h 36 min + 1 h 56 min 11 h 116 min → 12 h 56 min

58

Disponemos de 1 hora para fabricar nueve tartas. ¿Cuánto tiempo tenemos para cada tarta? 60 min 6 × 60 F 360 s 00

59

El ciclista terminó su entrenamiento a las 12 h 56 min.

9 6 min 40 s

En cada tarta se invertirán 6 min 40 s.

Un automóvil ha recorrido 247 km a una velocidad media de 95 km/h. ¿Cuánto tiempo ha invertido en el recorrido? 247 57

× 60

F

3 420 570 00

95 2 h 36 min

El automóvil ha invertido 247 : 95 = 2 h 36 min en el recorrido.

60

Un camión ha realizado un viaje de 6 horas y 24 minutos a una velocidad media de 85 km/h. ¿Cuál ha sido la distancia recorrida? 6 h 24 min = 6 + 24 : 60 = 6 + 0,4 = 6,4 h 6,4 h · 85 km/h = 544 km El camión ha recorrido 544 km.

61

Una moto ha tardado 3 h 27 min en recorrer 276 km. ¿Cuál ha sido su velocidad media? 3 h 27 min = 3 + 27 : 60 = 3 + 0,45 = 3,45 h Velocidad media → 276 : 3,45 = 80 km/h

62

Una compañía telefónica, en las llamadas internacionales, cobra 2,35 € por la conexión y 1,25 € por minuto. ¿Cuánto costará una conferencia de 8 min 24 s? 8 min 24 seg = 8 + 24 : 60 = 8 + 0,4 = 8,4 min Coste conferencia → 2,35 + 1,25 × 8,4 = 2,35 + 10,5 = 12,85 €

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 16

63

Una fuente arroja un caudal de 0,85 l/s. ¿Cuánto tardará en llenar un pilón de 6 800 litros? 8 000 s 200 200 20 s

6 800 : 0,85 = 8 000 s = = 2 h 13 min 20 s

60 133 min 60 13 min 2 h

PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

65 Calcula el ángulo que forman las agujas de un reloj a estas horas: a) 8 h 18 min b) 9 h 36 min c) 5 h 24 min 45 s Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, que se da resuelto: a) 8 h 18 min = 8 + 18 : 60 = 8,3 h

 → 8,3 · 30° = 249° La aguja grande, en 18 min,


→ 18 · 6° = 108°  recorre un ángulo

La aguja pequeña, en 8,3 h,


recorre un ángulo

Por tanto, a las 8 h 18 min, las agujas forman un ángulo de: 249° – 108° = 141° b)

9 h 36 min = 9 + 36 : 60 = 9,6 h

 → 9,6 · 30° = 288° La aguja grande, en 36 min,


→ 36 · 6° = 216°  recorre un ángulo La aguja pequeña, en 9,6 h,


recorre un ángulo

A las 9 h 36 min, las agujas forman un ángulo de: 288° – 216° = 72° c)

5 h 24 min 45 s = 5 + 24 : 60 + 45 : 3 600 = 5,4125 h 24 min 45 s = 24 + 45 : 60 = 24,75 min

 → 5,4125 · 30° = 162,375° En 24,7 min, la aguja grande,


→ 24,75 · 6° = 148,5°  recorre un ángulo En 5,4125 h, la aguja pequeña



recorre un ángulo

162,375° – 148,5° = 13,875° = 13° + (0,875 · 60) min = = 13° 52,5 min = 13° + 52 min + (0,5 × 60) s = 13° 52' 30 s A las 5 h 24 min 45 s, las agujas forman un ángulo de: 13° 52' 30 s

Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1

PÁGINA 72 EJERCICIOS DE LA UNIDAD Concepto de fracción

1

¿Cuántos cubitos amarillos hay en cada uno de estos cubos?

¿Qué fracción representa la parte verde en cada uno? Primer cubo →






3 cubitos amarillos

24 8 Fracción que representa la parte verde:

=

27 9 18 cubitos amarillos

Segundo cubo → Fracción que representa la parte verde:
9
=
1
27 3

Tercer cubo →

2

12 cubitos amarillos

15 5 Fracción que representa la parte verde:

=

27 9

Calcula: a) 2 de 24 3

b) 3 de 100 5

c) 7 de 27 9

d) 2 de 14 7

e) 4 de 800 5

f) 7 de 480 15

Unidad 3. Fracciones

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 2

a) 2 · 24 = 24 · 2 = 16 3 3

b) 3 · 100 = 3 · 100 = 60 5 5

c) 7 · 27 = 7 · 27 = 21 9 9

d) 2 · 14 = 2 · 14 = 4 7 7

e) 4 · 800 = 4 · 800 = 640 5 5

f ) 7 · 480 = 7 · 480 = 224 15 15

3

¿Cuántos gramos son? a) 3 de kilo 4

b) 2 de kilo 5

c) 1 de kilo 8

d) 5 de kilo 8

a) 3 · 1 000 = 750 gramos 4

b) 2 · 1 000 = 400 gramos 5

c) 1 · 1 000 = 125 gramos 8

d) 5 · 1 000 = 625 gramos 8

4

¿Qué fracción de kilo son? a) 50 gramos

b) 100 gramos

c) 200 gramos

d) 250 gramos

a) 50 g =

50 kg = 1 kg 1 000 20

c) 200 g = 200 kg = 1 kg 1 000 5

5

b) 100 g = 100 kg = 1 kg 1 000 10 d) 250 g = 250 kg = 1 kg 1 000 4

Expresa en forma decimal: a) 7 10

b) 2 5

c) 3 8

d) 1 25

a) 0,7

b) 0,4

c) 0,375

d) 0,04

Unidad 3. Fracciones

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 3

6

8

Expresa en forma de fracción: a) 3 d) 0,05

b) 2,7 e) 0,001

c) 1,41 f) 0,250

3 6 a) 3 =

=

= … 1 2

27 b) 2,7 =

10

141 c) 1,41 =

100

5 1 d) 0,05 =

=

100 20

1 e) 0,001 =

1 000

25 1 f ) 0,250 =

=

100 4

Pasa a forma fraccionaria: ) ) ) a) 0,4 b) 1,4 c) 2,4 ) ) ) d) 1,6 e) 2,35 f) 1,37 ) a) 0,4 = A 10 A = 4,444… – A = 0,444… 9 A = 4,000…

) ) 4 13 b) 1,4 = 1 + 0,4 = 1 +

=

9 9 ) ) 4 22 c) 2,4 = 2 + 0,4 = 2 +

=

9 9

4 A =

9 ) d) 1,6 = D 10 D = 16,666… – D = 1,666… 9 D = 15,000… 15 5 D =

=

9 3 ) f ) 1,37

) e) 2,35 = M 100 M = 235,353535… – M = 2,353535… 99 M = 233,000000… 233 M =

99

100 K = 137,3737… – K = 1,3737… 99 K = 136,0000… 136 K =

99 Fracciones equivalentes

9

Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes: a) 2 , 3 10 15

b) 6 , 4 9 7

c) –2 , 8 3 –12

d) 14 , 16 35 40

Unidad 3. Fracciones

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 4

10

a) 2 · 15 = 3 · 10 → Sí

b) 6 · 7 ≠ 4 · 9 → No

c) (–2) · (–12) = 3 · 8 → Sí

d) 14 · 40 = 35 · 16 → Sí

Escribe. 2 a) Una fracción equivalente a

que tenga por numerador 6. 5 4 b) Una fracción equivalente a

que tenga por numerador 10. 10 9 c) Una fracción equivalente a

que tenga por numerador 16. 12 a) 2 = 6 5 15 b) 4 = 10 10 25 c) 9 = 12 12 16

11

12

Calcula el término x que falta en cada caso: a) 3 = x 5 15

b) 18 = 27 4 x

c) 3 = 15 x 20

d) x = 27 36 81

a) x = 3 · 15 = 9 5

b) x = 4 · 27 = 6 18

c) x = 3 · 20 = 4 15

d) x = 27 · 36 = 12 81

Simplifica hasta obtener una fracción irreducible: a) 30 24 c) 45 105 e) 18 66 g) 144 540

Unidad 3. Fracciones

b) 56 64 d) 40 72 f) 121 143 h) 72 306

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 5

13

a) 30 = 2 · 3 · 5 = 5 24 2 · 2 · 2 · 3 4

3 b) 56 = 23 · 73 = 7 64 2 · 2 8

c) 45 = 3 · 3 · 5 = 3 105 3·5·7 7 e) 18 = 2 · 3 · 3 = 3 66 2 · 3 · 11 11

d) 40 = 2 · 2 · 2 · 5 = 5 72 2 · 2 · 2 · 32 9 f ) 121 = 11 · 11 = 11 143 11 · 13 13

2 2 2 g) 144 = 22 · 2 ·23 = 4 540 2 · 3 · 3 · 5 15

2 2 h) 72 = 2 · 22 · 3 = 4 306 2 · 3 · 17 17

Reduce a común denominador: a) 1 , 1 , 1 2 4 8 c) 1, 5 , 3 , 7 6 8 12

b) 2 , 5 d) 1 , 3

a) m.c.m. (2, 4, 8) = 8 1 = 4 1 = 2 2 8 4 8

7 10 1, 2 6 15

1 8

b) m.c.m. (5, 4, 10) = 20 2 = 8 3 = 15 5 20 4 20

7 = 14 10 20

c) m.c.m. (6, 8, 12) = 24 5 = 20 1 = 24 24 6 24

3 = 9 8 24

d) m.c.m. (3, 5, 6, 15) = 30 1 = 10 3 = 18 3 30 5 30

14

3, 4 3, 5

1 = 5 6 30

7 = 14 12 24 2 = 4 15 30

Reduce a común denominador y después ordena de menor a mayor: a) 1, 2 , 3 , 7 5 4 10

b) 2 , 5 , 1 , 3 3 12 2 4

c) 1, 3 , 3 , 7 , 11 5 2 5 10

2 3 3 7 d)

,

,

,

3 5 2 6

Unidad 3. Fracciones

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 6

a) m.c.m. (5, 4, 10) = 20 1 = 20 20

2 = 8 5 20

3 = 15 4 20

7 = 14 10 20

2 < 7 < 3