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Unidad 4. Operaciones

con fracciones

Página 69

Repartos expresados con fracciones unitarias 1. Observa el gráfico y expresa, con fracciones unitarias, el resultado de repartir cinco entre

seis.

5:6= 1 + 1 2 3 2. Reparte al estilo egipcio cuatro entre cinco y exprésalo con fracciones unitarias.

Primero, cada uno se lleva media unidad y sobra una y media, que se divide en cuartos, y cada uno se lleva un cuarto. Sobra un cuarto para repartir en cinco partes: 1 = 5 , y cada uno se 4 20 lleva una de esas pequeñas partes 1 , por lo que 4 : 5 = 1 + 1 + 1 . 2 4 20 20 3. Expresa con fracciones unitarias:

a) 2 3

b) 5 6

c) 4 7

a) 2 = 1 + 1 3 2 6

b) 5 = 1 + 1 6 2 3

c) 4 = 1 + 1 7 2 14

4. ¿Qué fracción ordinaria sustituye a cada suma de fracciones unitarias?

a) 1 + 1 3 4

b) 1 + 1 2 12

a) 1 + 1 = 7 3 4 12

b) 1 + 1 = 7 2 12 12

División de fracciones al estilo chino 5. Divide por el método chino y por el nuestro, y después, compara los resultados.

a) 1 : 1 8 4

b) 4 : 3 7 5

a) 1 : 1 = 1 : 2 = 1 8 4 8 8 2

b) 4 : 3 = 20 : 21 = 20 7 5 35 35 21

1 : 1 = 1· 4 = 4 = 1 8 4 8 ·1 8 2

4 : 3 = 4 · 5 = 20 7 5 7 · 3 21

1

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Matemáticas 2

Unidad 4.

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Operaciones con fracciones

Matemáticas 2

1 Suma y resta de fracciones Página 71 1. Escribe la fracción opuesta de:

a) 5 3

b) –2 3

c) 4 –5

a) 5 8 – 5 3 3

b) –2 8 2 3 3

c) 4 8 4 –5 5

2. Copia y completa en tu cuaderno.

a) 2 – 2 = 0 7

b) 3 + =0 4 4

c) 1 + 1 = 0 6

d) 5 – –5 = 0 8

a) 2 – 2 = 0 7 7

b) 3 + –3 = 0 4 4

c) 1 + 1 = 0 6 –6

d) 5 – –5 = 0 8 –8

3. Calcula mentalmente.

a) 1 + 1 2

b) 1 – 1 2

c) 2 + 1 2

d) 1 + 1 3

f) 2 + 1 3

g) 3 – 1 4 2

h) 3 + 1 4 2

i) 3 – 1 4 8

a) 3 2

b) 1 2

c) 5 2

d) 4 3

f) 7 3

g) 1 4

h) 5 4

i) 5 8

e) 1 – 1 3

e) 2 3

4. Calcula.

a) 1 – 3 7

b) 2 – 5 4

c) 4 – 2 3

d) 17 – 3 5

e) 13 – 1 15

f ) 11 – 2 16

a) 1 – 3 = 7 – 3 = 4 7 7 7

b) 2 – 5 = 8 – 5 = 3 4 4 4

c) 4 – 2 = 12 – 2 = 10 3 3 3

d) 17 – 3 = 17 – 15 = 2 5 5 5

e) 13 – 1 = 13 – 15 = –2 15 15 15

f ) 11 – 2 = 11 – 32 = –21 16 16 16

a) 1 + 2 4 3

b) 3 – 1 5 4

c) 5 – 5 6 9

d) 1 + 5 4 16

e) 3 – 1 11 2

f) 9 + 1 14 4

a) 3 + 8 = 11 12 12 12

b) 12 – 5 = 7 20 20 20

c) 15 – 10 = 5 18 18 18

d) 4 + 5 = 9 16 16 16

e) 6 – 11 = –5 22 22 22

f ) 18 + 7 = 25 28 28 28

5. Opera.

2

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Matemáticas 2

6. Opera y simplifica.

a) 7 + 7 6 12 d) 1 – 1 6 14

b) 1 + 3 5 10 e) 7 – 3 15 10

c) 2 – 11 7 14 f) 7 – 4 20 15

a) 14 + 7 = 21 = 7 12 12 12 4

b) 2 + 3 = 5 = 1 10 10 10 2

c) 4 – 11 = – 7 = – 1 2 14 14 14

d) 7 – 3 = 4 = 2 42 42 42 21

e) 14 – 9 = 5 = 1 30 30 30 6

f ) 21 – 16 = 5 = 1 60 60 60 12

7. Calcula, reduciendo al común denominador que se indica.

a) 1 – 2 c) 5 – 6 e) 7 – 9

1 + 3 → Denominador común: 30 3 5 3 – 3 → Denominador común: 36 9 4

b) 1 + 1 + 1 → Denominador común: 8 2 4 8 d) 1 + 1 – 1 → Denominador común: 6 2 3

4 – 1 → Denominador común: 45 15 5

a) 15 – 10 + 18 = 23 30 30 30 30 c) 30 – 36 e) 35 – 45

b) 4 + 2 + 1 = 7 8 8 8 8

12 – 27 = – 9 = – 1 36 36 36 4 12 – 9 = 14 45 45 45

d) 6 + 3 – 2 = 7 6 6 6 6

8. Calcula.

a) 5 – 7 + 1 8 12 4 a) 15 – 24 c) 7 7 – 77

c) 1 – 6 + 5 7 11

b) 3 + 4 – 3 10 5 4

d) 9 + 6 – 2 5 7

b) 6 + 16 – 15 = 7 20 20 20 20

14 + 6 = 7 24 24 24 66 + 35 = 46 77 77 77

d) 63 + 30 – 7 0 = 23 35 35 35 35

9. Calcula y simplifica los resultados.

a) 4 + 5 – 7 9 6 18

b) 3 – 2 + 27 7 5 35

c) 5 – 1 – 1 6 10 5

d) 13 – 5 – 5 12 8 6

a) 8 + 15 – 7 = 16 = 8 18 18 18 18 9

b) 35 – 14 + 27 = 28 = 4 35 35 35 35 5

c) 25 – 3 – 6 = 16 = 8 30 10 30 30 15

d) 26 – 15 – 20 = – 9 = – 3 8 24 24 24 24

10. Opera y simplifica los resultados.

a) 2 – 2 + 1 3 2

b) 2 – d 2 + 1 n 3 2

c) 3 – 1 – 1 5 4 10

d) 3 – d 1 – 1 n 5 4 10

a) 12 – 4 + 3 = 11 6 6

b) 2 – c 4 + 3 m = 2 – 7 = 12 – 7 = 5 6 6 6 6

c) 12 – 5 – 2 = 5 = 1 20 20 4

d) 3 – c 5 – 2 m = 3 – 3 = 12 – 3 = 9 5 20 5 20 20 20 3

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Operaciones con fracciones

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11. Quita paréntesis y calcula.

a) 1 – d 1 + 2 n 4 3

b) 3 + d 1 – 2 n 5 6 3

c) d 1 + 1 n – d 1 + 1 n 2 3 5 6

d) d1 – 1 n – d 9 – 1 n 7 14 2

a) 1 – 1 – 2 = 12 – 3 – 8 = 1 12 12 4 3 c) 15 + 10 – 6 – 5 = 14 = 7 30 30 15

b) 3 + 1 – 2 = 18 + 5 – 20 = 3 = 1 5 6 3 30 30 10 d) 14 – 2 – 9 + 7 = 10 = 5 14 14 7

12. Resuelve de dos formas:

— Quitando, primero, los paréntesis. — Operando, primero, dentro de cada paréntesis. a) d1 – 1 n – d1 – 5 n – d1 – 5 n 9 6 4

b) d1 – 2 n – d 4 – 1 n + d 1 – 7 n 3 5 3 5 15

a) 1 – 1 – 1 + 5 – 1 + 5 = 36 – 9 – 36 + 20 – 36 + 30 = 5 9 6 36 36 4 4 – 1 – 9 – 5 – 6 – 5 = 3 – 4 – 1 = 27 – 16 – 6 = 5 9 6 6 36 36 4 4 9 b) 1 – 2 – 4 + 1 + 1 – 7 = 15 – 10 – 12 + 5 + 3 – 7 = – 6 = – 2 3 5 3 5 15 15 15 5 3 – 2 – 12 – 5 + 3 – 7 = 1 – 7 + – 4 = 5 – 7 – 4 = – 6 = – 2 3 15 15 3 15 15 15 15 5 13. Calcula.

a) 7 – >1 – d 2 – 3 nH 12 3 4

b) d 2 – 1 n – > 7 – d 1 + 1 nH 3 5 12 3 5

c) >1 – d 2 + 3 nH – > 5 – d 1 – 1 nH 3 4 12 3 8

d) > 2 – d1 – 1 nH + > 3 – d 2 – 3 nH 5 8 5 10 4

e) >d 5 – 1n + d 2 – 1 nH – >d2 – 7 n – d 3 – 1 nH 3 5 3 6 4 3 a) 7 – 3 – d 3 – 1 nH – >2 – d 1 + 1 nH 6 8 4 6

g) > 4 – d 3 – 1 nH – > 2 – d 7 – 5 nH 3 8 6 5 8 6

h) 7 – > 13 – d 1 + 8 nH – > 17 + d 1 – 23 nH 12 20 5 15 30 2 30

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c) 8 – –5 = 8 + 5 = 13 21 21 21 21

b) 1 – 3 = – 2 = – 1 2 4 3 4 d) 8 – 3 + –5 = 160 – 9 – 15 = 34 3 20 20 15 60

e) 7 – 2 + 7 = 7 – 12 + 7 = 2 = 1 6 6 6 6 3

f ) 50 8 8 ] ] 57 19 3 [ ]< 8 0 8 20 de 8 = 160 \ ] ] ]]< 50 8 5 8 \

Como 3 → 48 , entonces 1 → 48 : 3 = 16. 160 160 La población tiene 16 · 160 = 2 560 habitantes.

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41.

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Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales, el martes 3/5 del resto y el miércoles finaliza el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosales tiene en total en el jardín? 2 Lunes, — 7 3 del resto Martes, — 5 10 que son 20 rosales 8 — 1 serán — 20 = 2 rosales Miércoles, —; 35 35 10

El jardín tiene 35 · 2 = 7 0 rosales. 42.

Una empresa de transportes trabaja con camiones de largo recorrido, furgonetas de reparto y motos de mensajería. De cada doce vehículos, siete son furgonetas y tres motos. Si los camiones son ocho, ¿cuántos vehículos tiene la empresa en total? Furgonetas → 7 12

Motos → 3 12

Camiones → 12 – c 7 + 3 m = 2 = 1 = 8 → x = 48 12 12 12 12 6 x La empresa tiene en total 48 vehículos. 43.

Un autobús cubre el recorrido entre dos ciudades, entre las que hace dos paradas intermedias. Hoy, en la primera parada, ha dejado dos quintas partes de los viajeros y han subido 12. En la segunda parada, ha dejado la tercera parte de los que llevaba en ese momento, y han subido 14. Finalmente, llega a su destino con 40 ocupantes. ¿Con cuántos viajeros salió del origen? Segunda parada

40

bajado 1 de ellos. Llegó, por tanto, a la segunda parada, con 39 via3 jeros.

14 BAJAN

1 — 3

13

26

Primera parada 39

de viajeros con los que llegó el autobús.

3 del número 5

SUBEN

12

BAJAN

27

El autobús salió del origen con 45 viajeros.

25

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Problemas “+” 44.

Un arriero tiene en su cuadra una mula, un burro y un caballo. Cuando lleva a trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en el caballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, pone 3/5 de la carga en el caballo y 2/5 en el burro. ¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva los tres animales y tiene que transportar una carga de 19 0 kg? CABALLO

BURRO

Suponemos que el burro lleva carga 1. El caballo lleva 3 del burro. 2

MULA

La mula lleva 3 de la carga del caballo; es decir, 9 . 2 4 1, 3 , 9 8 4 , 6 , 9 ; 4 + 6 + 9 = 19 2 4 4 4 4

CABALLO

Así, el burro llevará 4 de la carga = 4 · 19 0 = 40 kg. 19 19 El caballo llevará 6 de 19 0 kg = 6 · 19 0 = 60 kg. 19 19 La mula llevará 9 de 19 0 kg = 9 · 19 0 = 9 0 kg. 19 19 45.

En un rebaño hay ovejas y cabras. El pastor vende la mitad de las ovejas y la tercera parte de las cabras y, aun así, las primeras doblan a las segundas. ¿Cuántas cabezas le quedan sabiendo que ha vendido 25? 1 cabras — 3

25 cabezas

Vendió

Mitad de ovejas

Se quedó

Mitad de ovejas

5 cabezas

2 cabras — 3

Le quedan 30 cabezas.

26

Le quedan 30 cabezas

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Taller de matemáticas Página 86

Lee, comprende e interpreta La utilidad de hacer esquemas Una vela alumbra mientras se consumen tres cuartas partes de su longitud. Pero el cabo sobrante no se desaprovecha: con cuatro cabos, hacemos una vela nueva. Si cada vela dura “una velada”, ¿cuántas veladas podemos alumbrar con un paquete de 25 velas? Esquema

25

25 — 4

VELAS

24 — 4

6 — 4

6

VELAS

1 — 4

4 — 4 2 — 4

1

VELA

1 — 4 2 — 4 1 — 4

4 = — 4

1

VELA

Solución: 25 + 6 + 1 + 1 = 33 velas → Podemos alumbrar 33 veladas. Construye un esquema similar para el problema anterior, suponiendo que de cada vela se consumen solamente sus 2 . 3

25 VELAS

25 — 3

24 — 3

8

VELAS

8 — 3

1 — 3

6 — 3 2 — 3

2

VELAS

25 + 8 + 2 + 1 + 1 = 37 velas → 37 veladas

27

2 — 3 2 — 3

4 — 3

3 — 3 1 — 3

1

VELA

1 — 3 1 — 3 1 — 3

3 = — 3

1

VELA

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Matemáticas 2

Prueba y sé organizado Un juego solitario Intercambia la ficha amarilla y la ficha roja con el mínimo número de movimientos. Explica cómo hacerlo.

Para explicar la solución, inventa un código. Por ejemplo, numerando las casillas: 1

2

3

4

5

6

(3 → 2)

(3 → 2): Significa que la ficha que ocupa la casilla n.º 3, pasa a la n.º 2. Siguiendo el código que se da en el ejemplo: 3 → 2

2 → 1

3 → 2

5 → 2

6 → 3

6 → 3

3 → 2

6 → 3

4 → 5

5 → 6

5 → 6

6 → 3

5 → 6

1 → 4

4 → 5

5 → 6

1 → 4

2 → 1

1 → 4

2 → 5

2 → 1

3 → 2

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Matemáticas 2

Página 87

Entrénate resolviendo problemas ¡Echa cuentas! Con la información de las balanzas, calcula el peso de Rosa, el de Javier y el del perro.

140 kg

75 kg

45 kg

Llamamos: Rosa → R, Javier → J, Perro → P

J

+

J

↔

P

↔

2J

↔ 120 kg

J

↔

P

+ 45 kg

J

↔

P

+ 45 kg

↔

P

+ 45 kg

↓

7 5 kg

60 kg

60 kg

R

+

J

+

P

↓

+

↓

+

↓

R

+

60

+

15

P

↔

R

↔ 65 kg

15 kg

↔ 140 kg ↓ ↔ 140 kg

Hoy es el último día de acampada y tenemos para merendar perritos calientes. El caso es que somos 18, todos con buen apetito, y solo nos quedan 30 perritos. A mí me ha tocado repartir. ¿Cuál es el mínimo número de cortes que necesito hacer para dar a todos lo mismo? A cada persona le corresponde una salchicha entera y 2/3 de salchicha. Dejamos 18 salchichas enteras y quedan 12. Estas últimas las dividimos así: 2/3

1/3

Doce personas recibirán sus 2/3 de salchicha así: 2/3

Las 6 restantes las recibirán así: 1/3

1/3

En una granja, entre gallinas y conejos, hay un total de 60 0 animales. Si contáramos sus patas, obtendríamos 1 480 . ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay? Si los 600 animales fueran conejos, habría 600 · 4 = 2 400 patas. La diferencia, 2 400 – 1 48 0 = 9 20 patas, es consecuencia de que parte de esos animales son gallinas. Por cada animal que no es conejo (que es gallina) hay dos patas menos. Como en total hay 9 20 patas menos: 9 20 : 2 = 460 gallinas y 600 – 460 = 140 conejos. 29