• Author / Uploaded
• dario3910

Citation preview

831084 _ 0001-0006.qxd

10/5/07

11:45

Página 1

Matemàtiques 3 ESO El llibre Matemàtiques per a 3r d’ESO és una obra col·lectiva concebuda, dissenyada i creada al departament d’Edicions Educatives de Grup Promotor / Santillana, dirigit per Enric Juan Redal i M. Àngels Andrés Casamiquela.

En la realització han intervingut: M. D. Álvarez J. Hernández M. Marqués A. Y. Miranda M. R. Moreno S. Parra M. Redondo R. Redondo M. T. Sánchez T. Santos E. Serrano EDICIÓ

M. Belsa P. García C. Pérez C. Renom DIRECCIÓ DEL PROJECTE

D. Sánchez Figueroa

Grup Promotor Santillana

831084 _ 0001-0006.qxd

13/4/07

17:36

Página 2

Índex

0. Repàs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Divisibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Màxim comú divisor i mínim comú múltiple . . . . . . . . . . Nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operacions amb nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operacions combinades amb nombres enters . . . . . . . . . . Raó i proporció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polígons i circumferència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triangles i quadrilàters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordenades cartesianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9 10 11 12 13 14 15 16

1. Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operacions amb fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fraccions i nombres decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 21 23 24 27 28 30 36

2. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Potències de nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propietats de les potències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notació científica. Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximació de nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representació de nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 40 42 44 45 46 47 48 50 56

3. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operacions amb monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operacions amb polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factor comú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Igualtats notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fraccions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 59 60 62 64 65 67 68 70 74

2

4. Equacions de primer i segon grau . . . . . . . . . . . . .

75

Identitats i equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elements d’una equació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equacions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolució de problemes amb equacions . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 77 78 81 84 86 88 94

5. Sistemes d’equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mètodes de resolució de sistemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolució de problemes amb sistemes . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 97 99 103 104 106 112

6. Proporcionalitat numèrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Proporcionalitat directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proporcionalitat inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla de tres simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repartiments proporcionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proporcionalitat composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemes amb percentatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interès simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 115 116 118 120 121 123 124 126 132

⺞

⺪

⺡ 7. Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progressions aritmètiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progressions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interès compost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 136 139 143 144 146 152

831084 _ 0001-0006.qxd

10/5/07

11:45

Página 3

8. Llocs geomètrics. Figures planes . . . . . . . . . . . . . 153

11. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Llocs geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Rectes i punts notables en el triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Aplicacions el teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Àrea de figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Concepte de funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formes d’expressar una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Característiques d’una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212 213 215 222 224 228

12. Funcions de proporcionalitat . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Funció lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funció afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equacions i gràfiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equació de la recta que passa per dos punts . . . . . . . . . . . Rectes secants i paral·leles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funcions de proporcionalitat inversa . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230 231 232 233 234 236 238 240 242 246

13. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

9. Cossos geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Poliedres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classificació de poliedres. Àrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cossos de revolució. Àrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volum de cossos geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’esfera terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172 173 176 178 181 182 184 190

Conceptes bàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Freqüències i taules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gràfics estadístics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesures de centralització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesures de posició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesures de dispersió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilització de la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248 250 253 255 256 258 259 260 262 266

10. Moviments i semblances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moviments en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Translacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Girs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homotècies i semblances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicacions del teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192 193 194 195 196 198 199 200 201 202 204 210

14. Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Experiments aleatoris. Esdeveniments . . . . . . . . . . . . . . . Operacions amb esdeveniments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilitat d’un esdeveniment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Freqüència i probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propietats de la probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Experiments aleatoris compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268 270 272 273 274 275 276 278 280 284

Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 I ara ... practica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3

831084 _ 0001-0006.qxd

10/5/07

11:45

Página 4

Esquema de la unitat L’estructura de les unitats didàctiques és molt senzilla, ja que es tracta de facilitar la localització dels continguts fonamental, dels exemples resolts i dels exercicis proposats.

5 PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Reconèixer sistemes d’equacions i classificar-los en funció de les solucions. • Obtenir solucions d’un sistema mitjançant taules i a partir de la seva representació gràfica. • Calcular les solucions d’un sistema amb els mètodes de substitució, igualació i reducció.

Pàgina inicial: Mostra la importància del que estudiaràs a través d’episodis relacionats amb la història de les matemàtiques.

Sistemes d’equacions Una classe improvisada Estar convidat a la Festa de la Primavera, que cada any se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservat només als personatges més influents. Quan pujava a l’elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane, van coincidir a reconèixer que el maharajà era molt generós d’enviar el seu seguici per portar-los al palau. El jove ajudant es va passar mig camí queixant-se de les disciplines que havia d’estudiar: –Mestre, per què he d’estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural. Brahmagupta va prendre la paraula i durant l’altre meitat del camí que els faltava li va explicar al seu deixeble la utilitat de l’àlgebra: –En aquest món tot té el seu significat: l’estel al front de l’elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertany al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibuix, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat. Després d’aquestes paraules, mestre i deixeble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau.

S’acaba amb una activitat on posaràs a prova els teus coneixements previs.

Amb l’ajuda d’una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l’elefant.

• Plantejar i resoldre problemes amb sistemes d’equacions lineals.

Pàgines de continguts: Hi trobaràs 1 F F F

Cara Cada polígon que limita el poliedre.

Tetraedre Pentaedre Hexaedre Heptaedre

Aresta Costat de cada cara.

Convex Cap cara, quan la prolonguem, talla el poliedre.

G

Diagonal Segment que uneix dos vèrtexs no consecutius.

F

G

Vèrtex On concorren tres o més cares. Coincideixen amb els vèrtexs de les cares.

Anomenem desenvolupament pla d’un poliedre la figura que obtenim quan l’estenem sobre un pla, a partir del qual podem construir el poliedre.

F

1

Còncau Alguna cara, quan la prolonguem, talla el poliedre.

En tots els poliedres convexos es compleix la relació d’Euler:

C

Nre. de cares

+

V

Nre. de vèrtexs

=

A

Nre. d’arestes

+

2

EXEMPLE 2

Classifica els poliedres i comprova si es verifica la relació d’Euler.

a)

b)

PRACTICA. Són activitats perquè

a) És un poliedre convex. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2 b) És un poliedre còncau. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2

2.1 Poliedres regulars

EXEMPLE Determina el nom dels poliedres següents. Quantes cares tenen? I quantes arestes?

els continguts i els procediments bàsics amb el suport de molts exemples resolts. Al final de cada pàgina proposem exercicis classificats en tres nivells:

Classificació dels poliedres. Àrees

En funció de la forma, els poliedres poden ser còncaus o convexos.

F

F

Poliedres

Els poliedres són cossos geomètrics tancats limitats per cares planes de forma poligonal.

Els poliedres els anomenem en funció del nombre de cares:: 4 cares 5 cares 6 cares 7 cares ...

2

Un poliedre és regular quan totes les seves cares són polígons regulars iguals i, a més, en cada vèrtex s’uneix el mateix nombre de cares.

Els principals poliedres convexos són els poliedres regulars, els prismes i les piràmides.

APLICA. Són activitats en què hauràs

Només hi ha cinc poliedres regulars:

d’aplicar aquest procediment.

En tots dos casos, el nombre de cares és 5; per tant, són pentaedres. Tot i això, el primer té 8 arestes i el segon, 9. Tetraedre

PRACTICA

1

APLICA

Determina el nom dels poliedres i el nombre de cares i arestes que tenen. a)

2

b)

Fes el desenvolupament pla dels poliedres de l’exercici anterior. Indica els passos que segueixes.

REFLEXIONA

3

172

Cub

Octaedre

Dodecaedre

Icosaedre

REFLEXIONA. Un cop ja ets capaç

EXERCICIS

EXERCICIS

Dibuixa dos heptaedres que tinguin un nombre d’arestes i de vèrtexs diferent. (Fixa’t en els exemples anteriors.)

repeteixis de manera pràcticament exacta el procediment que has estudiat.

PRACTICA

4 Aquest poliedre

és un cub truncat (cada vèrtex del cub ha estat tallat formant un triangle equilàter). El poliedre és còncau o convex? Comprova si es compleix la fórmula d’Euler.

APLICA

5

Indica el poliedre regular que es pot formar amb: a) Triangles equilàters. b) Quadrats. Quantes cares coincideixen en cada vèrtex?

REFLEXIONA

6

Podries formar un poliedre regular fent servir només hexàgons regulars? I fent servir polígons regulars de més de sis costats?

173

de repetir-lo i aplicar-lo, et proposem que en facis una reflexió.

831084 _ 0001-0006.qxd

10/5/07

11:46

Página 5

L’essencial: Aquesta pàgina doble és de resum i autoavaluació.

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES

2. CÀLCUL DE L’ÀREA

Cilindres

h r

Determinem el tipus de poliedre 6 cm i les dades necessàries per calcular-ne l’àrea. Piràmide quadrangular regular: n = 4 → PBase = 4 ⋅ 6 = 24 cm En calculem l’apotema:

Cons

Piràmides

g 2πr r

a

A = πr(g + r)

g

h

V=

r

1 2 πr h 3

Esferes PBase ⋅ a 2

A = ABase +

A = 4πr2

r

A = ABase +

4 3 πr 3

V=

1 ABase ⋅ h 3

És el vocabulari matemàtic que hem treballat en aquesta unitat.

3 cm 3 cm

revolució i les dades per calcular-ne l’àrea. a) Cilindre: r = 3 cm h = 4 cm b) Con: r = 3 cm En calculem la generatriu: g 2 = 4 2 + 32 → g =

FES-HO AIXÍ. Són els procediments

4 2 + 32 = 5 cm

SEGON. Apliquem la fórmula. a) A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3 ⋅ (4 + 3) = = 131,88 cm2 b) A = πr(g + r) = π ⋅ 3 ⋅ (5 + 3) = 75,36 cm2

SEGON. Apliquem la fórmula.

a'

4 cm

PRIMER. Determinem el tipus de cos de

a2 = 52 − 32 → a = 52 − 32 = 4 cm ABase → Àrea d’un quadrat ABase = 62 = 36 cm2

a

V=

Calcula l’àrea d’aquests cossos de revolució.

5 cm a

PRIMER.

r PB

A = PBase ⋅ h + 2ABase V = ABase ⋅ h

DE REVOLUCIÓ

Calcula l’àrea d’aquest poliedre.

A = 2πr(h + r) V = πr2h

h

2πr

COMPRÈN AQUESTES PARAULES.

3. CÀLCUL DE L’ÀREA D’UN COS

D’UN POLIEDRE

h

h

4 cm

Prismes

PBase ⋅ a 24 ⋅ 4 = 36 + = 84 cm2 2 2

bàsics de la unitat. Cada procediment l’introduïm amb la resolució d’una activitat en què mostrem, pas a pas, un mètode general de resolució.

4. CÀLCUL DEL VOLUM D’UN COS GEOMÈTRIC Calcula el volum d’aquests cossos geomètrics.

a)

b)

PRIMER. Determinem el tipus de cos geomètric

DE PITÀGORES EN COSSOS GEOMÈTRICS a)

b)

c)

5 cm

b) V =

a) V = ABase ⋅ h = 19,28 ⋅ 4 = 77,12 cm3

a

4 cm

3 cm

4 cm

g 3 cm

3 cm F

2,41 cm

2 cm

SEGON. Apliquem la fórmula.

G

Calcula la dada desconeguda en aquests cossos geomètrics.

4 cm

1. APLICACIÓ DEL TEOREMA

4 cm

i les dades necessàries per calcular-ne el volum. a) Prisma octogonal regular: P⋅a (8 ⋅ 2) ⋅ 2,41 ABase = = = 19,28 cm2 h = 4 cm 2 2 b) Con: r = 3 cm h = 4 cm

FES-HO AIXÍ

1 2 1 πr h = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3 3 3

a' 6 cm

4 cm

m

52 = (a')2 + 32

a) g = 3 + 4 g=

2

2

32 + 4 2 = 5 cm

a' =

1. L’altura d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm de generatriu és:

a2 = 32 + 42

6 cm = 3 cm 2

b) 5 = (a') + 3 → (a') = 5 − 3

2

a

a) 10,91 cm

a'

3 cm

SEGON. Resolem l’equació que en resulta. 2

Aplicació del teorema de Pitàgores en cossos geomètrics

c) 5c

g2 = 32 + 42

4 cm

b) g

3 cm

a)

2

2

2

2

2

2

a=

52 − 32 = 4 cm

b) 13 cm

c) 7 cm

Càlcul de l’àrea d’un poliedre 2. L’àrea d’un prisma triangular regular de 3 cm d’aresta bàsica i 2 cm d’aresta lateral és:

c) a = 3 + 4

2

I ARA... PRACTICA. És una

I ARA... PRACTICA

PRIMER. Determinem el triangle rectangle que relaciona les dades conegudes i la dada desconeguda, i apliquem el teorema de Pitàgores.

2

32 + 4 2 = 5 cm

a) 18 cm2

b) 25,8 cm2

Càlcul de l’àrea d’un cos de revolució 3. L’àrea d’un con de 4 cm de radi i 3 cm d’altura és: a) 87,96 cm2

b) 113,04 cm2

autoavaluació les solucions de la qual apareixen al final del llibre.

c) 96,7 cm2

Càlcul del volum d’un cos geomètric 4. Quin és el volum d’un tetraedre de 2 cm d’aresta de la base i 1,63 cm d’altura? a) 2,82 cm3

b) 0,94 cm3

c) 6,52 cm3

c) 22,3 cm2

182

183

Activitats de la unitat:

Activitats FRACCIONS

FES-HO AIXÍ

36. G Expressa aquests enunciats amb una fracció. a) Han dividit una pizza en 8 parts i en Joan se n’ha menjat 2. b) D’una classe de 20 alumnes, 15 han anat d’excursió. c) D’un grup de 7 amigues, 3 són pèl-roges. d) Una de cada 5 persones té problemes d’esquena.

COM ES REPRESENTEN FRACCIONS IMPRÒPIES A LA RECTA NUMÈRICA?

37. G Escriu la fracció que representa la part pintada de cada figura. a) c)

SEGON. Dividim el tros de recta comprès entre 5 i 6 en tantes parts com indica el denominador, 3, i agafem les que assenyala el numerador, 1. Per dividir el tros de recta tracem una semirecta, amb la inclinació que vulguem, amb origen a 5 i dibuixem tres segments iguals.

b)

41. Representa a la recta numèrica la fracció

16 3 16 16 1 = 5+ → → 3 3 3 1 5 La fracció està compresa entre 5 i 6.

d)

5

38. G Representa les fraccions següents fent servir figures geomètriques: a) b)

16 . 3

PRIMER. Expressem la fracció com un nombre enter més una fracció pròpia.

3 7 5 2

39. G Pinta els

7 6 4 9

c) d)

6

Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt que representa 6 i tracem paral·leles a aquesta recta des de les altres dues divisions.

5

2 de la figura. 3

6

16 3

5

6

Exercicis i problemes organitzats per continguts. Tots els enunciats van precedits per una icona que n’indica el grau de dificultat.

42. G Representa aquests nombres racionals: a) 40. G Calcula:

2 9

b)

13 3

−7 5

c)

d)

−28 −8

43. G Quina fracció representa cada recta?

1 a) de 180 2 5 b) de 420 6 −2 c) de 40 5

4 d) de 540 9 5 e) de 320 8 3 f) − de 1.342 11

a)

A −3

b)

−2

B

1

6

90. GG Tenim una peça de filferro de 90 m. 2 1 En venem parts a 3 €/m, de la resta 3 6

a 4 €/m i els metres que falten a 2 €/m. Quant hi hem guanyat, si havíem comprat el metre de filferro a 2 €?

91. GG Tres amics es reparteixen 90 € que han guanyat a la travessa de la manera següent: el primer se’n queda una cinquena part; el segon, la tercera part del que rep el primer, i el tercer, la meitat del que rep el segon. a) Quina fracció representa el que obté cadascú? b) Quants diners es queda cada amic? c) Quants en deixen de pot?

INVESTIGA 95. GGG Calcula les diferències següents:

1−

1 2

1 1 1 1 − − 2 3 3 4 1 1 1 1 − − 4 5 5 6

1 1 1 1 1 + + + + 2 6 12 20 30 b) En vista del resultat anterior, quin creus que serà el resultat d’aquesta suma?

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL TOTAL SI EN SABEM UNA PART? 7 92. Una piscina està plena fins als de la seva 9 capacitat. Encara fan falta 880 litres perquè quedi totalment plena. Quina capacitat té la piscina? PRIMER. Calculem la fracció que representa la part buida de la piscina. 7 9 7 2 1− = − = 9 9 9 9 SEGON. Designem amb x la capacitat total de la piscina. 2 2 de x = ⋅ x = 880 9 9

Aïllem x: 2 880 ⋅ 9 7.920 = = = 3.960 9 2 2 La piscina té 3.960 litres de capacitat. x = 880 :

93. GGG D’un escalfador, primer se’n gasta la meitat de l’aigua i, després, la quarta part de la que quedava. Si encara en queden 12 litres, quina és la capacitat de l’escalfador?

7

94. GGG Uns amics fan una excursió a la muntanya. El primer dia recorren un quart del que tenien programat i el segon dia, un terç. La resta, que són 25 km, ho deixen per al tercer dia. Quina fracció representen els quilòmetres recorreguts el tercer dia? Quants quilòmetres han fet en total?

a) Amb els resultats, fes aquesta suma.

−1 2

C

c)

Investiga:

30

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + +…+ 2 6 12 20 30 42 1.001.000 96. GGG Si buidem aquests dos recipients en una gerra, quina serà la proporció d’aigua i de vinagre que hi haurà?

BARREJA

BARREJA

2 parts d’aigua

3 parts d’aigua

1 part de vinagre

1 part de vinagre

97. GG Aquesta figura conté nou quadrats, tots de costat 1. Els punts assenyalats verifiquen: 1 苶 PQ 苶=苶 QR 苶=苶 RS 苶=S 苶T 苶= 4 Una recta uneix X amb un d’aquests T S punts i divideix R la figura en dues Q P regions amb la mateixa àrea. Quina és aquesta recta? X

35

A la vida quotidiana: A la vida quotidiana 99. GGG A la Mariam li falten pocs dies per donar a llum. A la seva feina tenen el costum de fer un regal als nounats. En Robert i la Pilar, companys seus, s’han encarregat de recollir els diners. La Mariam és molt popular a l’empresa, gairebé tothom la coneix. Per això la majoria dels seus companys han participat en el regal.

100. GGG En Marcel·lí és ferrer i s’ha trobat amb força problemes al llarg de la seva trajectòria professional. Molt sovint li fan encàrrecs que són difícils de portar a terme. A la terrassa, hi tinc un tros de paret que fa 1,30 m. Vull col·locar, sobre els extrems de la paret, una barra de ferro que formi un angle recte per instal·lar-hi un tendal que faci 1,70 m de longitud.

Ahir, en Robert i la Pilar van ser en uns grans magatzems i han proposat comprar el cotxet de nadó que està d’oferta, pel qual haurien de posar uns 8 € cadascun. Com que tothom hi estava d’acord, el van anar a comprar, però va resultar que l’oferta s’havia acabat i els faltaven 4 €.

El que podem fer és posar-hi cadascun 9 € i amb els 8 € que sobren comprem una samarreta per al nen.

A vegades, no només és difícil fer la feina, sinó també interpretar què és el que vol el client. Per això, quan algú li planteja un problema com aquest, en Marcel·lí l’ha de traduir a les tasques que ell ha de fer a la seva ferreria.

El que vostè necessita és una barra de ferro que faci 1,70 m. Aquesta barra, l’hem de doblegar fins que faci un angle recte de manera que la distància entre els extrems sigui d’1,30 m.

Finalment, en Robert i la Pilar m’han dit que, dels 14 companys, hi ha una persona que no ha posat els diners per al regal de la Mariam. Creus que és cert, el que diuen?

94

Com haurà de doblegar la barra, en Marcel·lí?

L’última pàgina de la unitat la dediquem a la proposta de problemes amb dades reals. Quan els solucionis descobriràs la utilitat pràctica de tot el que has après, que et pot ajudar en la vida quotidiana.

Activitats en què hauràs d’aplicar tot el teu enginy per descobrir regularitats i propietats dels continguts que acabes d’estudiar.

831084 _ 0001-0006.qxd

13/4/07

17:36

Página 6

831084 _ 0007-0016.qxd

10/5/07

11:50

0

Página 7

Repàs En aquesta unitat repassarem alguns continguts que ja has estudiat en cursos anteriors i que ens serviran com a punt de partida per entendre els conceptes nous que estudiaràs en aquest curs de 3r d’ESO. Encara que et sembli senzill, convé que hi dediquis una mica de temps i atenció, ja que la majoria dels continguts que estudiaràs en aquest curs es basen en altres que ja has estudiat. PLA DE TREBALL

En aquesta unitat repassaràs... • Els múltiples i els divisors d’un nombre. • El càlcul del màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de diversos nombres. • Els nombres enters i les seves operacions. • La raó i la proporció entre nombres. • Els elements d’un polígon i les seves classificacions. • La representació de punts en un sistema d’eixos de coordenades.

831084 _ 0007-0016.qxd

16/4/07

11:03

Página 8

Nombres DIVISIBILITAT • Un nombre b és múltiple d’un nombre a si la divisió de b entre a és exacta. • Un nombre a és divisor d’un nombre b si la divisió de b entre a és exacta. 12 : 4 és una divisió exacta F

12 és divisible per 4 F

F

12 és múltiple de 4 El nombre 1 només té un divisor, ell mateix. No el considerem un nombre primer, però tampoc un nombre compost.

4 és divisor de 12

Nombres primers i compostos

• Un nombre a és primer si només té dos divisors, ell mateix i la unitat. Div (7) = {1, 7} → 7 és un nombre primer. • Si un nombre té més de dos divisors, direm que és un nombre compost. Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} → 12 és un nombre compost. Criteris de divisibilitat

Divisible per…

1

Si l’última xifra és 0 o parella.

3

Si la suma de les xifres és múltiple de 3.

5

Si l’última xifra és 0 o 5.

b) 10

c) 50

d) 72

b) 15

f) 450

g) 600

h) 723

c) 150

d) 190

e) 320

f) 450

g) 600

h) 725

Completa els buits amb la paraula adequada (múltiple o divisor): a) 24 és … de 6

b) 12 és … de 24

c) 125 és … de 25

4

Esbrina quins d’aquests nombres són primers o compostos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 i 6.723.

5

Busca els nombres primers compresos entre 100 i 120.

6

Completa els buits: a) Div (30) = {1, 2, 3, , , , 15, } b) Div (100) = {1, 2, , , 10, , 25, , 100}

8

e) 100

Troba dos divisors dels nombres següents: a) 25

3

2

Troba sis múltiples de cada nombre: a) 5

2

Criteri de divisibilitat

d) 51 és … de 17

c) Div (97) = {, 97} d) Div (48) = {, 2, 3, 4, 6, , , , , }

831084 _ 0007-0016.qxd

10/5/07

11:50

Página 9

Nombres MÀXIM COMÚ DIVISOR I MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE • Per calcular el màxim comú divisor de diversos nombres: 1r Descomponem els nombres en factors primers. 2n Elegim els factors comuns elevats a l’exponent més petit. 3r El producte d’aquests factors és el m.c.d. dels nombres. 12 2 30 2 15 3 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 6 2 12 = 22 ⋅ 3 3 3 5 5 1 1 m.c.d. (12, 30) = 2 ⋅ 3 = 6

Si a i b no tenen divisors comuns: m.c.d. (a, b) = 1 m.c.m. (a, b) = a · b

• Per calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres: 1r Descomponem els nombres en factors primers. 2n Elegim els factors comuns i no comuns elevats a l’exponent més gran. 3r El producte d’aquests factors és el m.c.m. dels nombres. 20 2 18 2 9 3 18 = 2 ⋅ 32 10 2 20 = 22 ⋅ 5 5 5 3 3 1 1 2 2 m.c.m. (20, 18) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180

7

Calcula el m.c.d. de cada parella de nombres: a) 6 i 14 b) 9 i 10

8

e) 76 i 85 f) 102 i 104

g) 160 i 180 h) 281 i 354

e) 61 i 49 f) 280 i 416

g) 150 i 415 h) 296 i 432

Calcula el m.c.m. d’aquests nombres: a) 7 i 14 b) 12 i 7

9

c) 5 i 15 d) 42 i 4

c) 9 i 16 d) 8 i 25

Calcula el m.c.d. i el m.c.m. de cada grup de nombres: a) 25, 50 i 100 b) 6, 7 i 8

c) 40, 42 i 48 d) 12, 18 i 20

e) 8, 10, 12 i 14 f) 2, 4, 6, 8 i 10

10 Dos vaixells mercants surten d’un port

el dia 1 de gener. El primer triga 26 dies a tornar, i el segon, 30 dies. Tots dos van i vénen constantment. Quants dies triguen els vaixells a coincidir de nou al port? 11 Tenim dos rotllos de corda que tenen 144 i 120 m de longitud,

respectivament. Quin és el nombre de trossos iguals, de mida màxima, que es pot fer amb els rotllos de corda?

9

831084 _ 0007-0016.qxd

16/4/07

11:03

Página 10

Nombres NOMBRES ENTERS Els nombres enters són nombres precedits del signe + o −, en funció de si la quantitat expressada és més gran o més petita que zero. El conjunt dels nombres enters, que designem amb Z, està format per: – Nombres enters positius: +1, +2, +3, +4 … – El nombre 0. – Nombres enters negatius: −1, −2, −3, −4 … … −5 −4 −3 −2 −1



El valor absolut de 0 és 0.

0

1

2

3

4

5

…

  

El 0 és l’únic nombre enter que no és positiu ni negatiu.

Nombres enters positius

Nombres enters negatius

Valor absolut d’un nombre

El valor absolut d’un nombre enter és igual al nombre sense el seu signe. ⏐+b⏐ = b

⏐−a⏐ = a

Oposat d’un nombre

L’oposat d’un nombre enter és aquest mateix nombre amb el signe canviat. Op (+a) = −a

Op (−a) = +a

12 Escriu tots els nombres enters:

a) Més grans que −4 i més petits que +2. b) Més petits que +3 i més grans que −5.

c) Més petits que +1 i més grans que −2. d) Més grans que −5 i més petits que +6.

13 Representa a la recta numèrica els nombres següents: −6, 0, −8, +3, −5 i +4. 14 Indica el nombre enter que correspon a cada punt marcat a la recta numèrica.

a)

A

B

C

D

b)

A

B

C

0

D 0

15 Completa amb nombres enters:

a) −3 <  <  < +1 b) +3 >  >  > −1

c) −9 <  <  < −6 d) −15 <  <  < −10

Pots col·locar més d’un nombre a cada buit? 16 Calcula:

a) ⏐+3⏐

b) ⏐−3⏐

c) ⏐−7⏐

d) ⏐−4⏐

e) ⏐+5⏐

f) ⏐−9⏐

d) −40

e) +125

f) −134

17 Troba els oposats d’aquests nombres:

a) −5

10

b) +8

c) −15

831084 _ 0007-0016.qxd

16/4/07

11:03

Página 11

Nombres OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERS Suma de nombres enters

• Per sumar dos nombres enters del mateix signe, en sumem els valors absoluts i posem el signe que tenen els sumands. (+2) + (+3) = +5 ⏐+2⏐ + ⏐+3⏐ = 5 (−1) + (−5) = −6 ⏐−1⏐ + ⏐−5⏐ = 6 Recorda la regla • Per sumar dos enters de signe diferent, en restem dels signes. els valors absoluts (el petit del gran) i posem el signe que té el sumand de valor absolut més gran. (+) : (+) = + ( + ) · (+ ) = + (-) · (-) = (-) : (-) = + + +5 = 5 →⏐ ⏐ (+5) + (−3) = +2 ⎯→ 5>3→5−3=2 (+) · (-) = (+) : (-) = ⏐−3⏐ = 3 (-) · (+) = (-) : (+) = Resta de nombres enters

Per restar dos nombres enters, sumem al primer sumand l’oposat del segon. (−5) − (+3) = (−5) + op (+3) = (−5) + (−3) = −8 Multiplicació i divisió de nombres enters

Per multiplicar o dividir dos nombres enters, en multipliquem o dividim els valors absoluts i afegim al resultat el signe + si els dos factors tenen el mateix signe i el signe − si tenen signe diferent. (−5) ⋅ (+3) = −15 (−15) : (+3) = −5

18 Calcula:

a) (−11) + (+4)

b) (+13) + (+12)

c) (−20) + (−12)

d) (+11) + (−15)

b) (+3) − (−7)

c) (−15) − (−17)

d) (+8) − (+7)

19 Fes les restes:

a) (−5) − (+5) 20 Calcula:

a) (−4) + (+5) − (−18) b) (+30) − (+7) + (−18)

c) (+20) − (−5) − (+5) d) (−12) − (+3) − (−7)

21 Completa els buits perquè les igualtats siguin certes:

a) (+13) +  = (+12)

b)  + (−20) = (−12)

c) (−15) −  = (+9)

d)  − (+8) = (+7)

b) (−40) ⋅ (+8)

c) (−40) ⋅ (−10)

d) (+2) ⋅ (+15)

b) (−21) : (+3)

c) (−18) : (−2)

d) (+40) : (−10)

22 Calcula:

a) (+4) ⋅ (−5) 23 Fes aquestes divisions:

a) (+35) : (−7)

24 Completa els buits perquè les igualtats siguin certes:

a) (+13) ⋅  = (+39)

b)  ⋅ (−6) = (−42)

c) (−15) :  = (+5)

d)  : (+8) = (+2)

11

831084 _ 0007-0016.qxd

16/4/07

11:03

Página 12

Nombres OPERACIONS COMBINADES AMB NOMBRES ENTERS Sumes i restes amb parèntesis

Signe − → Signes oposats F

F

−4 − (5 − 7) + (−2 + 3) = −4 − 5 + 7 − 2 + 3 = −11 + 10 = −1 Signe + → Mateixos signes

F

+ (+a) = +a + (-a) = -a - (+a) = -a - (-a) = +a

• Si el parèntesi està precedit pel signe +, el suprimim i mantenim els sumands de l’interior amb els signes. • Si el parèntesi està precedit pel signe −, quan el suprimim transformem el signe dels sumands de l’interior en els oposats.

F

A la pràctica:

Jerarquia de les operacions

[(−5) ⋅ 3] : [10 : (−2)] + (−6) F

F

F

F

−15 :

+ (−6)

(−5)

F

F

+ (−6)

3 F

F

−3

1r Resolem els claudàtors i els parèntesis. 2n Fem les multiplicacions i les divisions en l’ordre en què apareixen. 3r Fem les sumes i les restes en el mateix ordre.

25 Fes aquestes operacions:

a) b) c) d)

6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9)

e) f) g) h)

10 − (8 − 7) + (−9 − 3) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)

26 Calcula el valor d’aquestes expressions:

a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 b) (−12) ⋅ 7 : 3

c) 9 − 12 : 4 d) 100 − 22 ⋅ 5

e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2

27 Fes aquestes operacions:

a) (−4) − (−6) : (+3) b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9)

d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)]

28 Calcula:

a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7

c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1]

29 Completa els buits perquè es compleixin les igualtats:

a) (−6) ⋅ [(−1) + ] = −18 b) 8 ⋅ [4 − ] = 32

12

c) 3 − [ ⋅ 5] = 18 d) 1 + [3 : ] = −2

831084 _ 0007-0016.qxd

16/4/07

11:03

Página 13

Nombres RAÓ I PROPORCIÓ Una raó entre dos nombres a i b és el quocient

a . b

Una proporció és la igualtat entre dues raons. a ⎫⎪ La raó entre a i b és ⎪⎪ c b ⎪ a → a, b, c i d formen una proporció. = ⎬ Si c ⎪⎪ b d La raó entre c i d és ⎪ d ⎪⎪⎭ Si amb 5 kg de pintura pintem 4 m2 de paret, podrem pintar 6 m2 de paret amb 7,5 kg? 5 7, 5 = Sí, perquè es compleix que . 4 6 5 7, 5 La igualtat entre les raons i forma una proporció. 4 6

La proporció

5

=

7, 5

4 6 la llegim: «5 és a 4 com 7,5 és a 6.»

Percentatge

Per calcular el tant per cent, o percentatge, d’una quantitat, multipliquem aquesta quantitat pel tant per cent dividit entre 100. a a % de b = b ⋅ 100 12 120 = 18 = 180 12 % de 150 = 150 ⋅ 120 % de 150 = 150 ⋅ 100 100

30 Expressa amb una raó.

a) b) c) d)

De les 55 preguntes del test, n’he encertades 36. Teníem 68 ous i se n’han trencat 12. En el primer torn de menjar mengen 94 alumnes, i en el segon, 65. Una fruiteria té 7 caixes de tomàquets i 3 de pebrots.

31 Al menjador de l’escola posen 3 barres de pa per cada 8 alumnes. Avui hi hem menjat

124 alumnes i han posat 50 barres. S’ha mantingut la proporció? 32 Identifica les raons que formen una proporció.

a)

2 8 6 9 , , , 1 2 3 5

b)

10 50 30 20 , , , 2 10 8 5

c)

7,5 4 3 10 , , , 3 6 2 4

33 «LA POBLA DE MONTALBÍ: NOMÉS EL 8 % DELS ENQUESTATS CRITICA LA TASCA MUNICIPAL.»

Si la Pobla de Montalbí té 7.000 habitants, aproximadament quants aproven la tasca de l’alcalde? 34 A la dreta veus la composició d’un iogurt.

Calcula el pes dels seus components si pesa 125 g.

VALOR NUTRITIU Proteïnes: 3,5 % Carbohidrats: 13,4 % Greixos: 1,9 %

13

831084 _ 0007-0016.qxd

16/4/07

11:03

Página 14

Geometria POLÍGONS Un polígon és una figura plana limitada per segments. D

Els costats són els segments que limiten el polígon. La suma de les longituds dels costats n’és el perímetre.

Els vèrtexs són els punts on es tallen els costats. Els anomenem amb una lletra majúscula.

F

F

F

C

Els angles són les regions que formen els costats quan es tallen. Ho escrivim així: E$.

F

E

F

Les diagonals són els segments que uneixen dos vèrtexs no consecutius.

F

B A

El nom dels polígons està relacionat amb el nombre de costats que té. Nom

Nre. de costats

Regular

Irregular

Nom

Nre. de costats

Triangle

3

Heptàgon

7

Quadrilàter

4

Octàgon

8

Pentàgon

5

Enneàgon

9

Hexàgon

6

Decàgon

10

Arc G

Corda

F

O G

Radi Diàmetre

Longitud de la circumferència: L = 2πr

B

35 Dibuixa aquest polígon a la llibreta i assenyala’n els costats,

els vèrtexs i els angles. Traça’n les diagonals. Quantes en té? Octàgon regular 8 costats iguals i 8 angles iguals

36 Dibuixa un octàgon, un enneàgon i un decàgon

que no siguin regulars i traça’n les diagonals. 37 Contesta si és cert o és fals:

a) Un polígon pot tenir més vèrtexs que costats. b) Un polígon pot tenir més vèrtexs que angles. c) Un polígon pot tenir més vèrtexs que diagonals. 38 Dibuixa una circumferència amb un compàs. Després

traça una corda i els dos arcs que determina. 39 En aquesta circumferència, assenyala els segments

que són cordes, radis i diàmetres.

14

Irregular

A

CIRCUMFERÈNCIA

Un polígon regular és el que té tots els costats i angles iguals.

Regular

831084 _ 0007-0016.qxd

16/4/07

11:03

Página 15

Geometria TRIANGLES En funció dels costats i dels angles, els triangles es classifiquen en: C

C C

C

A

B

Equilàter Costats i angles iguals.

A B Isòsceles Dos costats i dos angles iguals.

A

B

Escalè Costats i angles desiguals.

C

A

B

Acutangle Angles aguts.

C

A B Obtusangle Un angle obtús.

A

B Rectangle Un angle recte.

QUADRILÀTERS En funció dels costats i dels angles, els quadrilàters es classifiquen en: PARAL·LELOGRAMS Costats paral·lels dos a dos. Quadrat

Rectangle

Rombe

Romboide

TRAPEZIS Dos costats paral·lels. Trapezi rectangle

Trapezi isòsceles

Trapezi escalè

TRAPEZOIDES No tenen costats paral·lels.

40 Contesta aquestes preguntes:

a) Un triangle rectangle pot ser equilàter? b) Quin és el valor dels angles d’un triangle rectangle isòsceles? c) Quant fan els angles d’un triangle rectangle amb un angle agut que fa el triple que l’altre triangle agut? C

41 Un triangle isòsceles té l’angle

desigual de 50°. Quant fan els angles iguals?

A

La suma dels angles d’un triangle és 180° i la d’un quadrilàter és 360°.

B

42 Si dibuixem un triangle rectangle, un d’isòsceles i un d’escalè,

i els tallen per una recta paral·lela a la base, quins polígons obtenim en cada cas? C D $ 43 Calcula la mida de C en aquest trapezi rectangle $ = 45°. si saps que B A

B

15

831084 _ 0007-0016.qxd

10/5/07

11:50

Página 16

Funcions Els eixos de coordenades divideixen el pla en quatre parts, que anomenem quadrants. Y Segon quadrant

Primer quadrant

COORDENADES CARTESIANES Per representar punts en el pla fem servir dues rectes numèriques perpendiculars denominades eixos de coordenades. En aquest sistema de coordenades, anomenem: Y Eix – Eix d’abscisses la recta horitzontal, d’ordenades A que representem amb X. Origen – Eix d’ordenades la recta vertical, que representem amb Y. O X Eix – Origen de coordenades el punt d’abscisses d’intersecció dels eixos, B que representem amb O. G

X Tercer quadrant

Quart quadrant

Y B(−3, 3)

3

Els punts del pla els representem amb dos números entre parèntesis que indiquen cadascuna de les coordenades: la primera la representem gràficament en l’eix X i la segona, en l’eix Y.

1 −3

1

3

X

−3 A(2, −3)

Y

44 Indica les coordenades de cada punt.

Y

A

C

C

G B

A

B

1

E 1

F

X D

E

45 Donats els punts següents: A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) i D(−2, −3):

a) Representa’ls en el pla. b) Uneix-los en ordre alfabètic i uneix també A i D. Quina figura obtens? 46 Fes el mateix amb el punts: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) i E(0, −4). 47 Representa els punts següents: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) i E(−1, 2).

a) Indica els punts que tenen la mateixa ordenada. b) Quants punts tenen la mateixa abscissa? Quins són? 48 Dibuixa els eixos de coordenades

perquè el punt sigui A(2, −1). A

16

1 D

X

1 F

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

1

Página 17

Nombres racionals La sendera dels records La sala del tron papal li semblava enorme i buida, a Silvestre II. El que fou el poderós pontífex romà havia perdut tot el poder polític, però per a qualsevol la seva presència encara imposava un respecte gairebé místic. Ja era vell i li agradava passejar pel seu passat, l’únic lloc on només ell podia arribar i on se sentia lliure. Recordava, feliç, la seva estada al monestir català de Ripoll, les visites que sovint feia a la seva biblioteca i la ciència que venia del sud.

PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Identificar i calcular fraccions equivalents. • Fer operacions amb fraccions. • Expressar fraccions amb nombres decimals i nombres decimals en forma fraccionària. • Identificar nombres racionals.

Li venien a la memòria uns quants records i se li il·luminava el rostre; per exemple, aquell àbac que va fer ell mateix amb els nombres aràbics escrits a les fitxes, l’ús del qual va descriure amb detall; o el projecte d’una màquina per fraccionar el temps que havia de substituir la campana dels monjos: matines, laudes, prima, tèrcia... Va obrir el llibre i, per atzar, es va trobar el projecte de la màquina que mesurava el temps; les primeres línies deien: Dia i nit són les dues parts en què es divideix el dia, però no són pas iguals, el primer de desembre s’han consumit tres espelmes durant el dia i sis durant la nit... De cop i volta, com el fum de les espelmes després d’un cop d’aire, el camí imaginari traçat en el temps es va esborrar quan va sentir la veu del seu secretari. L’informava de la seva pròxima audiència. Quina fracció del dia li assignaries al dia i a la nit?

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 18

1

a en què a i b són nombres enters que b anomenem numerador, a, i denominador, b. Una fracció és una expressió

Qualsevol nombre enter el podem posar en forma de fracció: 2=

2 1

=

4 2

=

8

Fraccions

Una fracció la podem interpretar com part d’una unitat, com el quocient entre dos nombres i com l’operador d’un nombre.

= ...

4 6 -3 = - = - = ... 1 2 3

EXEMPLES 1

2

Prenem 4 parts de les 5 que representen la unitat. 4 → 4 : 5 = 0,8 5 4 4 ⋅ 40 160 = = 32 € de 40 € → 5 5 5

1.1 Fraccions equivalents a c a c = , si es i , són equivalents, i ho escrivim b d b d compleix que: a ⋅ d = b ⋅ c. Dues fraccions,

EXEMPLES FIXA’T-HI

3

Comprova si aquestes fraccions són equivalents.

Dues fraccions equivalents representen el mateix quocient.

7 8 7 ⋅ 9 = 63 i →  → 63 ⫽ 32 → No són equivalents. 4 ⋅ 8 = 32 4 9

2 6 = 5 15

4 F F

Calcula el valor de x perquè les fraccions siguin equivalents. 6 2 15 ⋅ 2 = → 6 ⋅ x = 15 ⋅ 2 → x = → x=5 15 x 6

6 : 15 = 0,4 2 : 51 = 0,4

EXERCICIS PRACTICA

1

Calcula: a)

2

4 de 450 5

3

b)

3 de 350 7

Comprova si aquestes fraccions són equivalents: a)

18

APLICA

7 21 i 2 6

b)

12 10 i 60 25

Representa aquestes fraccions en un gràfic com a parts de la unitat. a)

4 10

b)

7 4

c)

5 5

d)

6 3

REFLEXIONA

4

Escriu fraccions amb aquest valor numèric: a) 2

b) −2

c) 0,5

d) 1,5

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 19

1.2 Amplificació i simplificació de fraccions Hi ha dos mètodes per obtenir fraccions equivalents a una fracció donada: • Amplificar fraccions consisteix a multiplicar el numerador i el denominador de la fracció per un mateix nombre, diferent de zero. • Simplificar fraccions consisteix a dividir el numerador i el denominador de la fracció entre un divisor comú a tots dos.

a a⋅n = b b⋅n a a:n = b b:n

EXEMPLE 15 Escriu dues fraccions equivalents a , una amb amplificació i l’altra 35 amb simplificació. 15 15 ⋅ 2 30 15 15 : 5 3 = = = = Amplificació: Simplificació: 35 35 ⋅ 2 70 35 35 : 5 7

5

1.3 Fracció irreductible La fracció irreductible d’una fracció donada és una fracció equivalent en què el numerador i el denominador no tenen divisors comuns. Per obtenir la fracció irreductible d’una fracció donada dividim el numerador i el denominador entre el seu màxim comú divisor. a a a : m.c.d. ( a, b) x x = = → és la fracció irreductible de . b b b : m.c.d. ( a, b) y y

Una fracció és irreductible quan no es pot simplificar.

EXEMPLE Calcula la fracció irreductible de

45 . 60

45 45 : 15 3 45 = 32 ⋅ 5  = =  → m.c.d. (45, 60) = 3 ⋅ 5 = 15 → 2 60 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 60 60 : 15 4

F

6

Fracció irreductible

EXERCICIS PRACTICA

5

Escriu dues fraccions equivalents a cadascuna de les següents per amplificació i dues més per simplificació. a)

6

APLICA

120 60

b)

690 360

c)

12 28

Calcula la fracció irreductible d’aquestes fraccions. a)

18 40

b)

60 75

c)

42 56

7

Busca fraccions de denominador 100 que siguin 13 39 11 equivalents a les fraccions , i . 25 50 20

REFLEXIONA

8

a és irreductible. Ho continuarà b sent si multipliquem el numerador i el denominador per 7? La fracció

19

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 20

1.4 Reducció a comú denominador Reduir a comú denominador dues o més fraccions consisteix a obtenir fraccions que en siguin equivalents que tinguin totes el mateix denominador. El denominador comú de dues o més fraccions és el m.c.m. dels denominadors.

EXEMPLE 7

7 11 i . 15 18 Calculem el mínim comú múltiple dels denominadors: 15 = 3 ⋅ 5   → m.c.m. (15, 18) = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 = 90 18 = 2 ⋅ 32  Redueix a comú denominador les fraccions

El m.c.m. serà el denominador comú de les fraccions. Per trobar el numerador de cada fracció, dividim el m.c.m. entre el denominador de cada fracció i en multipliquem el resultat pel numerador. 42 90

11 18

F

F

11 ⋅ 5 = 55

90 : 18 = 5

F

55 90 F

90 : 15 = 6

F

F

7 ⋅ 6 = 42

F

F

F

F

7 15

1.5 Comparació de fraccions Per comparar fraccions primer les reduïm a denominador comú. La fracció més gran serà la que tingui el numerador més gran. EXEMPLE 8

Ordena, de més petita a més gran, aquestes fraccions:

7 11 3 5 , , i . 15 15 5 9

Reduïm les fraccions a comú denominador:  7 =  15  m.c.m. (15, 5, 9) = 45 →   11  =  15 21 25 27 < < < Ordenem els numeradors: 45 45 45

21 45

3 27 = 5 45

5 25 333 = 45 9 45 33 7 5 3 11 → < < < . 45 15 9 5 15

EXERCICIS PRACTICA

9

Ordena de més petita a més gran: 4 1 2 11 a) , , , 9 3 5 30 b)

20

3 3 3 4 , , , 5 4 7 9

APLICA

10 Ordena de més petita a més gran:

5 −2 −3 8 6 , , , , . 9 3 4 5 7 REFLEXIONA

11 Quant ha de valer a perquè

a 7 > ? 5 5

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 21

Operacions amb fraccions

2

2.1 Suma i resta de fraccions Per sumar (o restar) fraccions amb el mateix denominador en sumem (o restem) els numeradors i deixem el mateix denominador. Per sumar (o restar) fraccions amb diferent denominador primer les reduïm a comú denominador i, després, en sumem (o restem) els numeradors. EXEMPLE 9

Fes la suma de fraccions següent: m.c.m. (6, 3, 1) = 6 F

5 7 5 7 4 5 14 24 5 + 14 − 24 −5 5 + −4 = + − = + − = = =− 6 3 6 3 1 6 6 6 6 6 6

2.2 Multiplicació de fraccions El producte de dues o més fraccions és una altra fracció que té com a numerador el producte dels numeradors i, com a denominador, el producte dels denominadors. a c e a ⋅ c ⋅…⋅ e ⋅ ⋅…⋅ = b d f b ⋅ d ⋅…⋅ f

Quan operem amb fraccions convé simplificar al màxim la fracció que obtenim com a resultat.

EXEMPLE 10 Calcula aquest producte de fraccions: Simplificant F

5 4 5⋅4 20 10 ⋅ = = = 6 9 6⋅9 54 27

Fracció irreductible

F

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

12 Calcula:

14 Fes les operacions següents:

7 3 + 8 8 7 b) 5 + 8 a)

5 4 − 3 3 8 d) 4 − 3 c)

12 7 ⋅ 5 3

7 9 5 + − 2 4 8

b) −5 −

9 3 − 4 14

REFLEXIONA

15 Completa amb una fracció:

13 Multiplica:

a)

a) −

b) (−4) ⋅

11 2

a)

1 + 3

=

1 4

b)

3 − 7

=

−1 21

21

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 22

2.3 Divisió de fraccions Per dividir dues fraccions, multipliquem la primera per la inversa de la segona. a c a d a⋅d : = ⋅ = b d b c b⋅c

Fracció inversa a La fracció inversa de b b és . a

EXEMPLE 11 Calcula aquesta divisió de fraccions: 2 6 2 11 2 ⋅ 11 22 11 : = ⋅ = = = 7 11 7 6 7⋅6 42 21

2.4 Jerarquia de les operacions Per fer operacions combinades entre fraccions hem de seguir l’ordre de prioritat entre les operacions: 1r Fem les operacions que hi ha entre parèntesis i claudàtors. 2n Fem les multiplicacions i les divisions en l’ordre en què apareixen, d’esquerra a dreta. 3r Fem les sumes i les restes en l’ordre en què apareixen. EXEMPLE 12 Fes les operacions següents: 9 3 7 5 27 42 27 84 57 ⋅ − : = − = − = 8 5 4 6 40 20 40 40 40 ⎛4 2 ⎞ ⎛8 5 ⎞ ⎛ 12 2 ⎞ ⎛8 15 ⎞ + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = b) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎝7 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 21 21 9 3 21 ⎠ ⎝ 9 9 ⎟⎠ a)

=

14 21

⎛ −7 ⎞⎟ 126 6 ⎟=− : ⎜⎜ =− ⎜⎝ 9 ⎟⎟⎠ 147 7

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

16 Fes les divisions:

18 Calcula:

9 4 : 5 7 8 3 : b) 11 5 a)

17 Calcula:

5 ⎛⎜ 7 4 ⎞ + ⎜ − ⎟⎟⎟ ⎜ 9 ⎝5 15 ⎟⎠ ⎛8 4 7 ⎞⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ − b) 25 ⎜⎝ 2 20 ⎟⎠ a)

22

c) 4 :

7 2

d) (−5) :

7 ⎛⎜ 3 5 7 ⎞ ⋅ ⎜ + − ⎟⎟⎟ 3 ⎜⎝ 5 6 12 ⎟⎠ ⎛9 5 8⎞ ⎛ 6⎞ b) ⎜⎜⎜ − + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝4 6 9 ⎟⎠ ⎝ 5 ⎟⎠ a) −

10 9

REFLEXIONA

19 Completa amb una fracció perquè les igualtats

siguin certes. a)

3 : 5

=

21 20

b)

:

3 6 = 5 3

831084 _ 0017-0036.qxd

3

16/4/07

11:19

Página 23

Nombres decimals

Els nombres decimals expressen quantitats amb unitats incompletes. Un nombre decimal té una part entera, situada a l’esquerra de la coma, i una part decimal, situada a la dreta. PART ENTERA

PART DECIMAL



Desenes 3

Unitats 7,

dècims 0

centèsims mil·lèsims deumil·lèsims 9 0 7

37,0907 → Trenta-set unitats nou-cents set deumil·lèsims

Tipus de nombres decimals

Per abreujar l’escriptura dels decimals periòdics col·loquem un arc sobre les xifres del període. 1,666… = 1,6

• Un nombre decimal és exacte quan té un nombre finit de xifres decimals. • Un nombre decimal és periòdic si té infinites xifres decimals i, a més, una o diverses d’aquestes xifres es repeteixen periòdicament. La xifra o grup de xifres que es repeteix l’anomenem període. – Si el període comença just després de la coma, és un decimal periòdic pur. – Si no és així, és un periòdic mixt. La xifra o xifres decimals que no es repeteixen les anomenem anteperíode. • Un nombre decimal és no exacte i no periòdic si té infinites xifres decimals i cap d’elles es repeteix periòdicament.

1,0666… = 1,06

EXEMPLE 13

5 3 5 → 20 1,666… → 3 120 1120 7 7 → 20 5 10

5 1,4 →

Decimal periòdic pur

Decimal exacte

16 15 16 → 1100 1,066… → 15 11100 11110 2 = 1,4142135… →

Decimal periòdic mixt

Decimal no exacte i no periòdic

 230,569

F

Període

F

Anteperíode

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

20 Indica la part entera, la decimal, el període

22 Completa fins a deu xifres decimals.

i l’anteperíode. a) 0,333… b) 234,4562525…

a) 1,347347… b) 2,7474…

c) 3,37888… d) 0,012333…

c) 3,2666… d) 0,253737…

REFLEXIONA

21 Classifica aquests nombres:

a) 0,333…

b) 34,45666…

23 Escriu dos nombres decimals no exactes

c) 125,6

i no periòdics.

23

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 24

Fraccions i nombres decimals

4

4.1 Pas de fracció a nombre decimal

Hem de simplificar les fraccions abans d’aplicar aquestes regles.

Qualsevol fracció la podem expressar, si en dividim el numerador entre el denominador, mitjançant: • Un nombre enter si el numerador és múltiple del denominador. • Un nombre decimal exacte si el denominador només té com a factors 2, 5 o tots dos nombres. • Un nombre decimal periòdic, en cas que no es doni cap de les condicions prèvies. EXEMPLE 14 Determina quin tipus de nombre expressen aquestes fraccions: 8 és múltiple de 4 8 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Nombre enter 4 8 és múltiple de 4 8 − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Nombre enter 4 7 8 = 23. Només factor 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Nombre decimal exacte 8 7 25 = 52. Només factor 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Nombre decimal exacte 25

8 4 8 − 4 7 8 7 25

=2 = −2 = 0,875 = 0,28

Simplificant

Simplificant

Periòdic mixt

−

 46 = 2,5 18 F

46 23 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Nombre decimal periòdic =− 18 9 F

−

9 = 32. Factors diferents de 2 i 5

69 = −2,3 30  13 = 0,43 30 F

69 23 10 = 2 ⋅ 5. Només factors 2 i 5 =− ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯→ Nombre decimal exacte − 30 10 13 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5. Factors diferents de 2 i 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯→ Nombre decimal periòdic 30 F

−

Periòdic pur

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

24 Sense fer la divisió, classifica aquestes

25 Escriu dues fraccions que expressin:

fraccions en funció de si s’expressen com un nombre enter, un de decimal exacte o un de decimal periòdic. Explica com ho fas. 5 3 7 b) 6 9 c) 5 a)

24

175 25 111 e) 240 17 f) 6 d)

85 17 84 h) − 210 −346 i) −222

a) Un nombre enter. b) Un nombre decimal exacte. c) Un nombre decimal periòdic.

g) −

REFLEXIONA

26 Si tenim una fracció que té un numerador

que no és múltiple del denominador i el denominador té factors diferents de 2 i 5, quin tipus de nombre decimal expressa?

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 25

4.2 Pas de nombre decimal a fracció La fracció generatriu d’un nombre decimal és la fracció irreductible en què el resultat de dividir-ne el numerador entre el denominador és aquest nombre decimal. EXEMPLE 15 Escriu en forma de fracció els nombres decimals següents: a) 6,39. Per expressar un nombre decimal exacte en forma de fracció seguim aquests passos: N = 6,39

Multipliquem tots dos membres per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals hi hagi.

100 ⋅ N = 100 ⋅ 6,39 100N = 639 6,39 =

639 N= 100 6,39 =

639 100

F

Part entera i decimal sense coma

F

Unitat seguida de tants zeros com xifres decimals hi hagi

Part entera

639 100

Fracció generatriu

F

Aïllem N i obtenim la fracció que busquem.

FIXA’T-HI

F

Anomenem N el nombre decimal.


b) 4,65. Per expressar un nombre decimal periòdic pur en forma de fracció seguim aquests passos:
N = 4,65 65

Anomenem N el nombre decimal.


100 ⋅ N = 100 ⋅ 4,65
100N = 465,65
100N = 465,65
−0 N = 004,65

Multipliquem tots dos membres per la unitat seguida de tants zeros com xifres tingui el període.

Part entera i decimal F

Restem a aquest resultat el primer nombre.

FIXA’T-HI

099N = 46100,

4, 65 =

461 99

F

465 − 4 99 F

Aïllem N i obtenim la fracció que busquem.

4, 65 =

461 N= 99

Tants 9 com xifres té el període

Fracció generatriu

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

27 Calcula la fracció generatriu d’aquests nombres

28 Expressa en forma de fracció:

decimals: a) 3,54

f)

b) 9,87

g)

c) 0,000004

h)

d) 24,75

i)

e) −7,002

j)


0,8
0,7
5,211
37,117
−2,02


a) 3,9


b) 17,9


c) 15,9

A què equival el període format per 9? REFLEXIONA

29 Completa:

a) 5,33 =

533 

b) 5,6 =

 5

25

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 26

EXEMPLES
16 Escriu en forma de fracció el nombre decimal 3,745. Per expressar un decimal periòdic mixt en forma de fracció seguim aquests passos:

FIXA’T-HI Part entera i decimal


10 ⋅ N = 10 ⋅ 3,745
10N = 37,45

Multipliquem tots dos membres per la unitat seguida de tants zeros com xifres tingui l’anteperíode.

F

F

F

 = 3.745 − 37 3,745 990


N = 3,745

Anomenem N el nombre decimal.

Part entera i decimal no periòdica

Tants 9 com xifres té el període i tants 0 com xifres té l’anteperíode

Multipliquem tots dos membres per la unitat seguida de tants zeros com xifres tingui el període.


100 ⋅ 10N = 100 ⋅ 37,45
1.000N = 3.745,45

Restem a aquest resultat el primer.


1.000N = 3.745,45
− 10N = 00.37,45 0990N = 3.70800,

Simplifiquem la fracció obtinguda. = 3,745

N=

3.708 990

N=

3.708 206 = 990 55

206 55

F

Aïllem N.

Fracció generatriu

17 Calcula fent-ne servir les fraccions generatrius: 0,7777… + 2,3444… 1r Expressem com a fracció 0,7777...:
7−0 7 = 0,7 = 9 9 Expressem com a fracció 2,3444...:
234 − 23 211 = 2,34 = 90 90 m.c.m. (9, 90) = 90 F

2n Sumem:

7 211 = 0,7777… + 2,3444… = + 9 90 70 211 281 = + = 90 90 90

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

30 Calcula la fracció generatriu d’aquests nombres:


a) 3,24


b) 11,87


c) 5,925

31 Calcula. Fes servir fraccions generatrius.

26

què són falses les igualtats. 241 999  = 321 b) 0,023 990 = a) 0,243

APLICA

a) 2,75 + 3,8

32 Sense calcular la fracció generatriu, raona per



b) 5,06 − 2,95


55 c) 12,37 = 45
56 d) 0,124 = 495

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 27

Nombres racionals

5

Anomenem conjunt dels nombres racionals el conjunt de tots els nombres que podem expressar mitjançant fraccions. El representem amb ⺡.

Nombres decimals



Nombres enters

Nombres naturals: 1, 2, 3... El nombre zero: 0 Enters negatius: −1, −2, −3…

⺞



Nombres racionals



En aquesta unitat hem vist que tant els nombres enters com els decimals exactes i periòdics els podem expressar mitjançant fraccions:

Decimals exactes: 0,2; 0,34…   Decimals periòdics: 0,7; 0,894 …

⺡

⺪

Els nombres decimals no exactes i no periòdics no els podem expressar en forma de fracció i, per tant, no són racionals. Aquests nombres els anomenem nombres irracionals. EXEMPLE 18 Completa la taula següent amb aquests nombres. Tingues en compte que cadascun el podem col·locar en més d’una casella.   0,125 −7 14,019 11,223344… 1 −0,75 −4,1234567… Nombre Nombre natural enter 1

Nombre decimal exacte

1 −7

0,125

Nombre decimal periòdic  14,019  −0,75

Nombre decimal no exacte i no periòdic 11,223344… −4,1234567…

Nombre racional  0,125; −7; 14,019  1; −0,75

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

33 Completa aquesta taula, tenint en compte que un

34 Escriu quatre fraccions que representin

nombre pot estar present en més d’una casella.

nombres racionals que siguin:

−0,224466881010… −0,67543

a) Més petits que 1 i més grans que −1. b) Més grans que −1 i més petits que 0.

−1,897897897… −3,0878787…

−24 −1,5

Decimal Nombre Nombre Decimal Decimal no exacte Nombre natural enter exacte periòdic racional i no periòdic

REFLEXIONA

35 Escriu quatre nombres que no siguin racionals

i que estiguin compresos entre: a) −1 i 1

b) −1 i 0

27

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 28

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Nombre decimal

Denominador →

3 4

Anteperíode

Període

17,208

Fraccions equivalents

Part entera

2 4 = ↔ 2 ⋅ 14 = 7 ⋅ 4 7 14

Exacte: Periòdic pur: Periòdic mixt:

Fracció irreductible

Part decimal

F

0,03
0,03
0,03

−12,2
−12,2
−12,02

1,234…

1,112233…

NOMBRES ENTERS




No periòdic i no exacte:

9,1586
9,1586
9,1586

Nombres naturals: 1, 2, 3… El nombre zero: 0 Enters negatius: −1, −2, −3…

NOMBRES DECIMALS







24 : m.c.d. (24, 30) 4 24 = = 30 : m.c.d. (24, 300) 5 30

NOMBRES RACIONALS

F

F

Numerador →

F

Fracció

Decimals exactes: 0,2;
0,34…
Decimals periòdics: 0,7; 0,894 …

FES-HO AIXÍ

1. DETERMINACIÓ DEL TIPUS DE NOMBRE

DECIMAL QUE EXPRESSA UNA FRACCIÓ Determina el tipus de nombre decimal que expressen aquestes fraccions: a)

PRIMER. Si el numerador és múltiple del denominador, l’expressió decimal de la fracció és un nombre enter.

a)

14 14 és múltiple de 7 Nombre → enter 7

14 7

b)

19 25

c)

33 63

SEGON. En cas contrari, si el denominador de la fracció irreductible només té com a factors 2 o 5 o tots dos, és un nombre decimal exacte.

b)

19 25 = 52. Només factor 5 Nombre decimal → exacte 25

TERCER. Si conté altres factors, la seva expressió decimal és un nombre decimal periòdic.

c)

33 11 21 = 3 ⋅ 7. Factors diferents de 2 i 5 =  → Nombre decimal periòdic 63 21

2. EXPRESSIÓ D’UN NOMBRE DECIMAL EXACTE EN FORMA DE FRACCIÓ Expressa 2,309 com una fracció. PRIMER. El denominador de la fracció serà la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals té el nombre.

2,309 → 3 xifres decimals → → Denominador = 1.000

28

El numerador de la fracció és la part entera i decimal del nombre, sense la coma. SEGON.

2,309 → Numerador = 2.309 2.309 2,309 = 1.000

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 29

3. EXPRESSIÓ D’UN NOMBRE DECIMAL PERIÒDIC PUR EN FORMA DE FRACCIÓ

4. EXPRESSIÓ D’UN NOMBRE DECIMAL PERIÒDIC MIXT EN FORMA DE FRACCIÓ


Expressa el nombre 3,14 com una fracció.


Expressa el nombre 0,2317 com una fracció.

PRIMER. Anomenem

PRIMER. Anomenem

A el nombre decimal.
A = 3,14 SEGON. Multipliquem aquesta igualtat per la unitat seguida de tants zeros com xifres tingui el període. 100 ⋅ A = 100 ⋅ 3,1414… 100A = 314,1414… TERCER. Restem a aquest resultat el nombre decimal periòdic de partida i després aïllem A. La fracció que en resulta és l’expressió fraccionària del nombre decimal. − 100A = 314,1414… − 100A = 003,1414…

A el nombre decimal.
A = 0,2317

Multipliquem aquesta igualtat per la unitat seguida de tants zeros com xifres tinguin el període i l’anteperíode. 10.000A = 2.317,317317… SEGON.

TERCER. Multipliquem la igualtat inicial per la unitat seguida de tants zeros com xifres tingui l’anteperíode.

10A = 2,317317… QUART.

− 10.000A = 2.317,317317… − 10.010A = 2.312,317317…

− 199A = 31100…,00 A=

Restem els resultats obtinguts.

9.990A = 2.3150….00

311 99

A=

2.315 463 = 9.990 1.998

I ARA... PRACTICA Determinació del tipus de nombre decimal que expressa una fracció 7 expressa un nombre: 64 a) Enter c) Decimal periòdic b) Decimal exacte d) Decimal no exacte i no periòdic

1. La fracció

7 expressa un nombre: 14 a) Enter c) Decimal periòdic b) Decimal exacte d) Decimal no exacte i no periòdic

2. La fracció −

50 expressa un nombre: 25 a) Enter c) Decimal periòdic b) Decimal exacte d) Decimal no exacte i no periòdic

3. La fracció

Expressió d’un nombre decimal exacte en forma de fracció 4. L’expressió en forma de fracció del nombre decimal 0,102 és: 51 51 51 51 a) b) c) d) 5 50 500 5.000 Expressió d’un nombre decimal periòdic pur en forma de fracció 5. L’expressió
en forma de fracció del nombre decimal 0,102 és: 34 34 34 17 a) b) c) d) 33 333 330 150 Expressió d’un nombre decimal periòdic mixt en forma de fracció
6. L’expressió en forma de fracció de 0,102 és: 23 23 51 51 a) b) c) d) 25 225 450 900

29

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 30

Activitats FRACCIONS

FES-HO AIXÍ

36. ● Expressa aquests enunciats amb una fracció. a) Han dividit una pizza en 8 parts i en Joan se n’ha menjat 2. b) D’una classe de 20 alumnes, 15 han anat d’excursió. c) D’un grup de 7 amigues, 3 són pèl-roges. d) Una de cada 5 persones té problemes d’esquena. 37. ● Escriu la fracció que representa la part pintada de cada figura. a) c)

b)

COM ES REPRESENTEN FRACCIONS IMPRÒPIES A LA RECTA NUMÈRICA? 16 . 3 PRIMER. Expressem la fracció com un nombre enter més una fracció pròpia. 41. Representa a la recta numèrica la fracció

16 3 16 16 1 = 5+ → → 3 3 3 1 5 La fracció està compresa entre 5 i 6. Dividim el tros de recta comprès entre 5 i 6 en tantes parts com indica el denominador, 3, i agafem les que assenyala el numerador, 1. Per dividir el tros de recta tracem una semirecta, amb la inclinació que vulguem, amb origen a 5 i dibuixem tres segments iguals. SEGON.

d)

5

38. ● Representa les fraccions següents fent servir figures geomètriques: 3 7 5 b) 2

7 6 4 d) 9

a)

39. ● Pinta els

6

Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt que representa 6 i tracem paral·leles a aquesta recta des de les altres dues divisions.

c)

5

2 de la figura. 3

6

16 3

5

6

42. ● Representa aquests nombres racionals: a) 40. ● Calcula: 1 de 180 2 5 b) de 420 6 −2 c) de 40 5 a)

30

2 9

b)

13 3

−7 5

c)

d)

43. ● Quina fracció representa cada recta? 4 de 540 9 5 e) de 320 8 3 f) − de 1.342 11 d)

A

a)

−3

−2

−1

B

b) 1

2 C

c) 6

7

−28 −8

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 31

51. ●● Digues quines d’aquestes simplificacions estan mal fetes i per què.

FRACCIONS EQUIVALENTS 44. ● Indica si són equivalents o no aquestes parelles de fraccions. 3 i 10 −1 i b) 7 6 i c) 10 a)

−2 −4 i 3 5 2 8 i e) 5 20 20 120 i f) 50 450

21 7 −14 30 3 8

d)

10 x = 4 6 9 6 = b) x 4

20 15 + 5 5 = = 18 15 + 3 3 40 40 : 20 2 = = d) 80 80 : 20 4 c)

1 52. ●● Escriu una fracció equivalent a i una altra 5 4 d’equivalent a , totes dues amb el mateix 6 denominador.

45. ● Calcula el valor de x perquè les fraccions siguin equivalents. x 6 = 12 9 14 x = d) 42 9

a)

22 11 + 11 11 = = 13 11 + 2 2 22 2 ⋅ 11 11 = = b) 14 2⋅7 7 a)

c)

COMPARACIÓ DE FRACCIONS 53. ● Ordena de més gran a més petit: 4 −7 , 9 8 −11 −7 , b) 8 8 3 10 20 , c) , 8 24 48

−4 −21 −5 , , 6 6 12 −43 10 −8 , , e) 60 40 10 2 4 8 1 , , , f) 5 7 35 2

a)

46. ● Completa: 2 4  =  = 30 = = 3  6 30 

d)

47. ● Agrupa les fraccions que siguin equivalents.

FES-HO AIXÍ

20 4 −1 −10 2 −3 , , , , , 40 2 2 −5 4 6 48. ● Troba dues fraccions equivalents a cadascuna de les següents per amplificació i dues més per simplificació. 8 100

60 36

30 45

504 72

49. ●● Amplifica les fraccions següents de manera que el denominador de la fracció amplificada sigui un nombre més gran que 300 i més petit que 400. 5 18 27 b) 52 a)

3 11 −3 d) 37 c)

3 8 −11 f) 5

20 40 210 b) 8 8 c) 18

15 12 16 e) 18 40 f) 60 d)

54. Troba i escriu una fracció compresa entre 4 7 les fraccions i . 9 6 PRIMER. Les sumem totes dues. 4 7 8 21 29 + = + = 9 6 18 18 18 SEGON. Dividim entre 2 la fracció que hem obtingut. 29 29 :2= 18 36

e)

50. ● Simplifica fins a obtenir la fracció irreductible d’aquestes fraccions. a)

COM OBTENIM UNA FRACCIÓ COMPRESA ENTRE DUES FRACCIONS?

55 11 30 h) 21 6 i) 18 g)

La fracció

29 4 7 està compresa entre i . 36 9 6

55. ●● Escriu una fracció compresa entre: 4 7 i 5 8 9 11 i b) 7 9 7 8 i c) 6 6 a)

3 2 i − 7 5 −1 1 i e) 6 5 5 6 f) − i − 9 9 d) −

31

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 32

OPERACIONS AMB FRACCIONS

3 5 1 + + 4 4 4 7 8 b) + 2 + 2 6

5 3 9 − − 2 2 2 5 6 d) 9 + − 7 7 c)

57. ● Fes les restes següents: 33 10 − 11 11 5 1 − b) 10 15 a)

3 1 2 − − 2 7 12 7 1 1 d) − − 3 2 11 c)

3 5 3 + − 2 16 8 5 5 5 b) + + 6 3 4 −2 3 + −1 c) 5 4 −5 −2 + 16 16 5 −1 b) + 7 10 1 −1 2 + + c) 2 9 18

7 2 1 − − 15 3 6 9 5 + −8 e) 12 8 7 6 f) − − 3 − 3 7 d)

1 + 3 4 b) − 5

1 2 4 = 6 =

10 10 + 11 7 7 1 5 + + e) 11 12 14 13 1 11 + + f) 11 13 9 d) 5 +

3 3 3 + = 7 8 9 1 1 1 d) − − = 4 5 6 c)

62. ● Calcula aquests productes: 2 6 ⋅ 3 5 5 ⋅8 b) 14 a)

32

7 21 : 5 2 3 b) 8 : 8

11 :7 3 5 ⎛⎜ 10 ⎞⎟ : ⎜− ⎟⎟ d) 6 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ c)

66. ●● Emplena els buits: 1 ⋅ = 3 4 : = b) 5 3 3 c) ⋅ ⋅ 7 8

1 4 −4 6 =

d)

c)

48 10

d) 21⋅

4 9

1 1 : : 4 5

e) (−5) ⋅ 3 9

f)

4 : 5

1 6 10 =− 3 =

= −2

67. ●● Calcula: 4 1 7 − ⋅ 5 4 3 ⎛4 1⎞ 7 b) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝5 4 ⎟⎠ 3 3 4 3 c) 2 ⋅ − : 5 7 4 3 4 3 d) : : − 1 5 7 4 a)

61. ●● Emplena els buits: a)

9 6 : 5 7 8 ⎛⎜ −6 ⎞⎟ ⎟⎟ :⎜ d) 15 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ c)

a)

a)

60. ● Fes les operacions: a)

5 3 : 8 2 5 7 : b) 12 4 a)

65. ● Fes les divisions: 1 7 d) 4 − + 6 6 1 5 − e) 1 + 12 13 1 1 2 − + f) 3 − 21 7 9

59. ● Calcula: a)

9 6 ⋅ ⋅3 7 5 9 3 11 ⋅ ⋅ f) 4 11 3

e)

64. ● Calcula:

58. ● Calcula: 25 11 2 + − a) 7 7 7 5 1 1 + b) − 7 10 3 10 10 12 + − c) 11 7 11

⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞⎟ ⎟ d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎠ ⎝ 6 ⎟⎟⎠

12 3 ⋅ 5 6 2 ⎛ 7⎞ b) ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ 9 ⎝ 4 ⎟⎠ 9 3 ⋅ c) 6 7 a)

56. ● Calcula: a)

63. ●● Calcula:

1 7 2 ⋅ + 4 3 5 1 ⎛⎜ 7 2⎞ f) 9 − ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟⎟ 4 ⎝3 5 ⎟⎠ ⎛ 1⎞ 7 2 g) ⎜⎜⎜9 − ⎟⎟⎟ ⋅ + ⎝ 4 ⎟⎠ 3 5 2 3 1 3 h) : − ⋅ 3 4 5 7 e) 9 −

68. ●● Fes les operacions: 7 ⎛⎜ 3 8 ⎞⎟ 2 3 5 ⎟⎟ −⎜ + ⋅ − a) e) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 20 15 5 4 4 ⎛ ⎞ 4 5 4 2 3 7 − ⎟⎟⎟ : − b) ⋅ ⎜⎜⎜ f) 5 ⎝ 24 9 ⎠⎟ 5 10 18 8 ⎛⎜ 3 11 ⎞⎟ 2 21 ⎟⎟ :⎜ + +3: c) g) 5 ⎝⎜ 5 30 ⎠⎟ 7 35 ⎛8 5⎞ ⎛6 1⎞ d) ⎜⎜⎜ : ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎟ ⎝3 9⎠ ⎝5 3 ⎟⎠

h)

1 6 7 4 ⋅ + : 2 5 5 3

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 33

NOMBRES DECIMALS 69. ● Assenyala la part entera i decimal dels nombres següents: a) 0,75 b) 274,369 c) 1,8989…

d) 127,4555… e) 2,161820… f) −7,0222…

70. ●● Expressa la part pintada de cadascuna de les figures mitjançant una fracció i un nombre decimal. a)

c)

75. ● Expressa en forma de fracció aquests nombres:   a) −7 d) 9,6 g) 9,54   b) 6,05 e) 4,07 h) 0,315   c) −0,00182 f) −14,413 i) 0,0123 76. ● Expressa les fraccions en forma decimal i els decimals en forma fraccionària. 9 8 b) 7,35  c) 13,7  d) 8,91 a)

48 e) 10 b)

f) g) h) i) j)

9 11 0,278  6,16  18,57  2,265

101 90 l) 1,0435  m) 1,274  n) 0,315  o) 0,012

k)

77. ●● Calcula fent servir les fraccions generatrius.

d)

a) 0,2777… + 2,333… b) 3,5666… − 2,2727…

c) 0,44… ⋅ 2,5151… d) 1,13888… : 0,9393…

78. ●● Digues quines de les afirmacions següents són certes o falses i justifica la resposta. 71. ●● Indica quins dels nombres són periòdics i quins no. Assenyala’n el període en els que ho siguin. a) 1,333… b) 2,6565… c) 3,02333…

d) 6,987654… e) 0,010101… f) 1,001002003…

72. ●● Classifica aquests nombres decimals en exactes, periòdics purs, periòdics mixtos o no exactes i no periòdics. a) b) c) d) e)

1,052929… 0,89555… −7,606162… 120,8 −98,99100101…

f) g) h) i) j)

13,12345666… −1.001,034034… 0,0000111… −1,732 0,123456777…

a) Qualsevol nombre decimal el podem expressar en forma de fracció. b) Un nombre enter el podem expressar com una fracció. c) En un nombre decimal periòdic les xifres decimals es repeteixen indefinidament després de la coma. d) Si un nombre decimal té el període 0 és un nombre exacte.

PROBLEMES AMB FRACCIONS 79. ● Tenim 30 metres de tela. Calcula quants metres són:

73. ● Raona quin tipus de nombre expressen les fraccions següents: enter, decimal exacte o periòdic. 27 36 44 b) − 11 4 c) 24 a)

51 20 −34 e) 30 15 f) 21 d)

74. ● Calcula la fracció generatriu:  a) 5,24 c) 3,7  b) 1,735 d) 5,43

22 −1 21 h) 420 19 i) 90 g)

 e) 5,12  f) 0,235

30 m

a)

3 de la tela 5

b)

7 de la tela 30

c)

5 de la tela 6

80. ● Una empresa ha ingressat aquesta setmana dos cinquens de 12.300 €. Calcula quants diners ha ingressat.

33

831084 _ 0017-0036.qxd

16/4/07

11:19

Página 34

81. ● Un pare li dóna a la filla gran 30 € i al fill petit, la tercera part del que ha rebut la gran. Quant ha rebut el fill petit?

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES EN QUÈ CONEIXEM UNA PART DEL TOTAL?

1 dels seus ingressos 15 mensuals en el lloguer del pis, 1 1 en el telèfon i en transport i roba. 60 8 Com es distribueixen les despeses si tenen uns ingressos mensuals de 3.000 €?

87. ●● Una família es gasta

2 parts són nois. 5 Quantes noies hi ha si són 25 alumnes en total? 2 PRIMER. Restem la part que coneixem, , del total, 1, 5 per calcular la part que no coneixem. 82. A la classe, les

1−

2 5 2 3 = − = són noies 5 5 5 5

Calculem què representa aquesta part en el total d’alumnes, 25.

SEGON.

3 3 3 ⋅ 25 75 de 25 = ⋅ 25 = = = 15 noies 5 5 5 5

83. ●● Li hem regalat al meu pare, pel seu aniversari, una capsa de bombons. Ens hem menjat 3 les parts de la caixa. Si n’hi havia 40, 4 de bombons, quants en queden?

3 88. ●● En un campament, dels joves són 8 1 europeus, asiàtics, i la resta, africans. 5 Si en total hi ha 800 joves: a) Quants n’hi ha d’europeus? b) Si la meitat dels asiàtics són noies, quantes noies asiàtiques hi ha? c) Quants d’aquests joves són africans?

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM UNA PART D’UNA FRACCIÓ? 84. ●● Els tres vuitens del total d’alumnes d’un IES porten ulleres. Si en porten 129 alumnes, quants n’hi ha, en total? 85. ●● Un granger vol tancar un terreny de 2.275 m 3 de llargada. El primer dia fa els de la feina i, 7 2 el segon dia, els . Quants metres falten per 5 tancar? 86. ●● Uns amics recorren 105 km en bicicleta. 1 El primer dia fan del camí i el segon dia, 3 4 . La resta la deixen per al tercer dia. 15 Quants quilòmetres fan cada dia?

34

89. La Cristina s’ha de llegir un llibre per al col·legi. El primer dia en llegeix una quarta part, i el segon dia, la meitat del que li faltava per llegir. Quina fracció representa el que ha llegit el segon dia? PRIMER. Calculem la fracció de la qual trobarem

la part. 1 1 3 , i li falten: 1 − = . 4 4 4 SEGON. Calculem la part de la fracció. 3 3 :2= . El segon dia llegeix: 4 8 3 Per tant, el segon dia llegeix del llibre. 8

El primer dia llegeix

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 35

90. ●● Tenim una peça de filferro de 90 m. 2 1 En venem parts a 3 €/m, de la resta 3 6 a 4 €/m i els metres que falten a 2 €/m. Quant hi hem guanyat, si havíem comprat el metre de filferro a 2 €? 91. ●● Tres amics es reparteixen 90 € que han guanyat a la travessa de la manera següent: el primer se’n queda una cinquena part; el segon, la tercera part del que rep el primer, i el tercer, la meitat del que rep el segon. a) Quina fracció representa el que obté cadascú? b) Quants diners es queda cada amic? c) Quants en deixen de pot?

94. ●●● Uns amics fan una excursió a la muntanya. El primer dia recorren un quart del que tenien programat i el segon dia, un terç. La resta, que són 25 km, ho deixen per al tercer dia. Quina fracció representen els quilòmetres recorreguts el tercer dia? Quants quilòmetres han fet en total?

INVESTIGA 95. ●●● Calcula les diferències següents:

1−

1 2

1 1 1 1 − − 2 3 3 4 1 1 1 1 − − 4 5 5 6

a) Amb els resultats, fes aquesta suma. 1 1 1 1 1 + + + + 2 6 12 20 30 b) En vista del resultat anterior, quin creus que serà el resultat d’aquesta suma?

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL TOTAL SI EN SABEM UNA PART? 7 92. Una piscina està plena fins als de la seva 9 capacitat. Encara fan falta 880 litres perquè quedi totalment plena. Quina capacitat té la piscina? PRIMER. Calculem la fracció que representa la part buida de la piscina. 7 9 7 2 1− = − = 9 9 9 9 SEGON. Designem amb x la capacitat total de la piscina. 2 2 de x = ⋅ x = 880 9 9 Aïllem x: 2 880 ⋅ 9 7.920 x = 880 : = = = 3.960 9 2 2 La piscina té 3.960 litres de capacitat.

93. ●●● D’un escalfador, primer se’n gasta la meitat de l’aigua i, després, la quarta part de la que quedava. Si encara en queden 12 litres, quina és la capacitat de l’escalfador?

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + +…+ 2 6 12 20 30 42 1.001.000 96. ●●● Si buidem aquests dos recipients en una gerra, quina serà la proporció d’aigua i de vinagre que hi haurà?

BARREJA

BARREJA

2 parts d’aigua

3 parts d’aigua

1 part de vinagre

1 part de vinagre

97. ●● Aquesta figura conté nou quadrats, tots de costat 1. Els punts assenyalats verifiquen: 1 苶 苶=苶 QR 苶=苶 RS 苶=苶 ST 苶= PQ 4 Una recta uneix X amb un d’aquests T S punts i divideix R la figura en dues Q P regions amb la mateixa àrea. Quina és aquesta recta? X

35

831084 _ 0017-0036.qxd

10/5/07

10:09

Página 36

A la vida quotidiana 99. ●●● Les notícies sobre els accidents que hi ha hagut durant la Setmana Santa destaquen un important augment dels sinistres.

98. ●●● Una comunitat de veïns vol instal·lar plaques solars per abastir part de l’energia elèctrica que es consumeix a l’edifici. Ho han consultat amb una empresa instal·ladora, que els ha proporcionat les dades següents:

tera la carre a a t n a ana S t la Setm t n a r u n mor ra a h tat d li a s r t e is Sin rrete erson

108 p ts a la ca ciden en ac s en turis-

Segons els nostres informes, la instal·lació de plaques solars permet un estalvi de 2 del consum energètic actual de l’edifici. 7

Ó CI

LA L·

A ST S IN AR 3 A L L l, 2 A SO So R ES l E U e P € d T AQ 00 c/ OS PL s; 2.0 UP DE n ï 2 S : ve ES tal de PR

t rs ita un sola . m ó s i o e c C qu ·la l Pla nsta ii

mort at dels t el cinturó. t i e m La corda morduien o n s íctimes no e v m s e tr ta cada cicle Una de ent de moto id c c a n tals e casc. nys a nia me portav morts te un de cal e d t a La meit , i d’aquests, 25 anys. de nys e d 35 a e era menor el tr a ta com u q da s’apun de cada ó i c c a s tr La dis mental en do ió de les acc fona fr r in to c cada , la fa un de cidents cinc ac de trànsit en t en tres de s ita norme cés de veloc x e l’ i tres eu. cada d

le Vehic es Turism icletes Motoc

17

To

L’empresa instal·ladora els ha informat que certs organismes oficials concedeixen subvencions per a la instal·lació de plaques solars.

Completa la taula següent: Morts Mesures de seguretat

INSTITUT PER A LA DIVERSIFICACIÓ I ESTALVI DE L’ENERGIA En relació amb la subvenció sol·licitada per la seva comunitat per a la instal·lació de plaques solars a l’edifici situat al carrer del Sol, número 23, l’informem que la subvenció li ha estat atorgada, i que la quantitat ascendeix a la meitat del cost de les plaques i la instal·lació.

No duia el cinturó No portava casc Complia les mesures de seguretat Edats Menors de 35 anys Majors de 35 anys Menors de 25 anys

La companyia elèctrica subministradora de la comunitat cobra a 8,6726 cèntims el quilowatt. A l’últim rebut bimensual, cadascun dels 48 veïns ha pagat 46,34 €. Quant temps trigaran a amortitzar les plaques solars i la instal·lació, si el consum de la comunitat es manté?

36

Morts 91

Causa principal de l’accident Distracció Infracció de normes de trànsit Excés de velocitat Cap de les circumstàncies anteriors

831084 _ 0037-0056.qxd

10/5/07

10:11

2 PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Reconèixer les potències de nombres racionals. • Conèixer i aplicar les propietats de les potències. • Identificar els nombres reals. • Aproximar i representar nombres reals. • Interpretar els diferents tipus d’intervals.

Página 37

Nombres reals La raó irracional El gran Pitàgores, estudiós del món i la seva relació amb els nombres i descobridor de la bellesa racional de totes les coses, es confessava amb amargor, al final de la seva vida, en els albors del segle V aC, a un dels seus deixebles: –Escolta –li deia a Hipàs de Metapont–: Tota la vida he buscat la veritat en els nombres; l’explicació del que és diví i el que és humà era en els nombres o les seves raons, tot era perfecte i explicable, tot era raonable... Hipàs es mirava el seu mestre amb admiració i assentia amb el cap. Mentrestant, Pitàgores continuava: –Ara que he arribat al final de la vida, t’he de confessar una certesa horrible: fa temps que els vaig descobrir, n’hi ha d’altres. –Altres? –li va preguntar Hipàs. –Sí. Hi són, però són incommensurables: tothom pot construir un quadrat amb un costat que faci 1, però mesurar-ne la diagonal no és possible. Fins i tot la raó de la pentalfa no és com pensàvem, sinó que és un d’aquests camuflat. Si no t’ho creus, intenta mesurar la diagonal d’aquesta habitació que fa 3 passes d’amplada i 5 de llargada.

831084 _ 0037-0056.qxd

16/4/07

11:08

Página 38

1 Potència

Potències de nombres racionals

1.1 Potències d’exponent positiu

Base F

an

G

Exponent

Una potència d’exponent positiu és una forma abreujada d’expressar una multiplicació en què tots els factors són iguals. an = 1 a44424 ⋅a⋅a⋅… ⋅a 443

si n > 0

n vegades EXEMPLE 1

Calcula aquestes potències: 3 424 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅3 3 = 81 a) 34 = 1

c) (0,4)2 = 1 0,4 ⋅ 0,4 424 3= 0,16

4 vegades

2 vegades

⎛2⎞ 2 2 2 2⋅2⋅2 8 = b) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅ = ⎝5⎠ 5424 5 3 5 5⋅5⋅5 125 1 3

3 vegades

⎛ 1⎞ 1 1 1 1 1 d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎝2⎠ 2 424 2 2 43 2 16 14 4

4 vegades

1.2 Signe d’una potència d’exponent positiu En una potència amb exponent positiu que té com a base un nombre racional: • Si la base és un nombre positiu, la potència és sempre positiva. • Si la base és un nombre negatiu, la potència és positiva si l’exponent és parell i és negativa si l’exponent és senar. CALCULADORA

EXEMPLE

Per exemple, per calcular (1,4)3 pitgem: 1

⋅

4

xy

3

=

Calcula les potències següents: a) (−2) 5 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −32 F

2

Senar

b) (−1,2) = (−1,2) ⋅ (−1,2) ⋅ (−1,2) ⋅ (−1,2) = 2,0736 4

F

Per trobar potències amb la calculadora fem servir la tecla x y .

Parell

⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) −125 125 = =− c) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ 6⋅6⋅6 216 216 3

F

i obtenim com a resultat:

2.744

Senar

EXERCICIS PRACTICA

1

38

APLICA

Calcula les potències següents:

2

a) 32

d) (−5)3

g) (4,25)4

b) 74

e) (−2,02)4

⎛ 1 ⎞3 h) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 3⎠

c) (−9)2

⎛ 5 ⎞⎟5 f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 8⎠

i) (−14,32)8

Calcula (−0,8)2, (−0,8)3 i (−0,8)4. Quina és més gran?

REFLEXIONA

3

Expressa en forma de potència: ⎛ 1 ⎞⎟ 1 1 a) 3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 3 b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎝ 7⎠ 7 7

831084 _ 0037-0056.qxd

16/4/07

11:08

Página 39

1.3 Potències d’exponent negatiu Una potència d’exponent negatiu és igual que el quocient entre la unitat i la potència amb l’exponent positiu. 1 a −n = n a

CALCULADORA Per calcular (3,4)−2 pitgem:

EXEMPLE

3

Calcula aquestes potències amb l’exponent negatiu: 1 1 1 1 1 a) 3−2 = c) (−2)−3 = = =− = 3 2 (−2) −8 8 3 9

3

4

xy

2

±

=

i ens apareix a la pantalla:

0.08650519

⎛ 2 ⎞−3 1 1 8 27 d) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = = = 1: = ⎜⎝ 3 ⎠ ⎛ 2 ⎞⎟3 8 27 8 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ 27

1 1 = 2 (−3) 9

b) (−3)−2 =

⋅

1.4 Potències d’exponent 0, 1 i –1 ⎧⎪ a 0 = 1 ⎪ Sigui quin sigui el valor de a (a ⫽ 0) sempre es compleix ⎪⎪⎪ a1 = a ⎨ que: 1 ⎪⎪ −1 ⎪⎪a = a ⎪⎩ EXEMPLE Calcula les potències següents:

4

a) 30 = 1

d) 31 = 3

b) (−3)0 = 1

e) (−3)1 = −3

⎛4⎞ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 1 ⎝3⎠

⎛4⎞ 4 f) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎝3⎠ 3

0

1 1 = 1 3 3 1 1 1 = =− h) (−3)−1 = −3 3 (−3)1

g) 3−1 =

⎛ 4 ⎞⎟−1 1 1 4 3 = = 1: = i) ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎛ 4 ⎞⎟1 4 ⎝3⎠ 3 4 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ 3

1

EXERCICIS PRACTICA

4

APLICA

Calcula aquestes potències: ⎛ 8 ⎞−4 d) (−5)−2 g) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ a) 7−3 ⎝5⎠ b) 7

e) (−5)

⎛ 8 ⎞⎟1 h) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝5⎠

c) 7−1

f) (−5)−1

⎛8⎞ i) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝5⎠

1

0

−1

5

⎛ 8 ⎞−5 j) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠

a) Una potència d’exponent negatiu és sempre positiva. b) Un potència d’exponent 0 és sempre positiva.

⎛ 8 ⎞⎟0 k) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠ ⎛ 8 ⎞−1 l) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠

Contesta si és cert o és fals.

REFLEXIONA

6

Com calcularies (0,2)−3?

39

831084 _ 0037-0056.qxd

16/4/07

11:08

Página 40

2 Aquestes propietats es compleixen sempre que a i b siguin nombres racionals, i m i n, nombres enters.

Propietats de les potències

2.1 Potència d’un producte Per elevar un producte a una potència n’elevem cada factor a aquesta potència.

(a ⋅ b)n = an ⋅ bn

EXEMPLES 5

Expressa com un producte de potències. (5 ⋅ 7)3 = (5 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 7) = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 53 ⋅ 73

6

Calcula: [(−3) ⋅ 5]3 = (−3)3 ⋅ 53 = −27 ⋅ 125 = −3.375

(a·b)n = an ·bn 2.2 Potència d’un quocient Per elevar un quocient a una potència: • Si l’exponent és positiu, elevem cada element a aquesta potència.

n ⎛ a ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = a ⎝⎜ b ⎟⎠ bn

• Si l’exponent és negatiu, invertim els elements i els elevem a aquesta potència.

⎛ a ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝⎜ b ⎟⎠

n

−n

=

EXEMPLES 7

Expressa com un quocient de potències. ⎛ 7 ⎞⎟3 7 7 7 7⋅7⋅7 73 ⋅ ⋅ = = 3 a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 10 ⎠ 10 10 10 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10 ⎛ 4 ⎞⎟−3 ⎛ 1 ⎞⎟3 ⎛ 5 ⎞⎟3 53 b) ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎝5⎠ 4 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 5 ⎠

8

Calcula aquests quocients de potències: ⎛ −1 ⎞⎟4 (−1)4 ⎛ −1 ⎞⎟−4 34 81 1 ⎜ ⎜⎜ = = = 81 = ⎟⎟ = ⎟ a) ⎜⎜ b) ⎟ 4 4 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ (−1) 1 3 3 81

EXERCICIS PRACTICA

7

APLICA

a) (8 ⋅ 4)3

d) (6 ⋅ 5)−2

b) [(−1) ⋅ (−4)]3

e) [(−3) ⋅ 5]−2

⎛4⎞ c) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

3

40

8

Calcula:

−2

⎛ 5⎞ f) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

5 ⎡3 ⎤ −2 ⎛ 7⎞ Calcula: a) ⎜⎜⎜2 ⋅ ⎟⎟⎟ b) ⎢ ⋅ (−10)⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ ⎝ 3⎠

REFLEXIONA

9

Quina desigualtat és certa? ⎛ 1 ⎞3 1 1 a) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ < b) [2 ⋅ (−1)]4 < ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 4

bn an

831084 _ 0037-0056.qxd

16/4/07

11:08

Página 41

2.3 Producte de potències de la mateixa base Per multiplicar potències de la mateixa base deixem la base i en sumem els exponents.

an ⋅ am = an+m

EXEMPLE 9

Expressa com una sola potència. a) (−5)2 ⋅ (−5)3 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = (−5)2+3 = (−5)5 2+3 5 ⎛8⎞ ⎛ 8 ⎞2 ⎛ 8 ⎞3 ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ b) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎠ ⎜⎝ 5 ⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

Les propietats a n · a m = a n +m a n : a m = a n –m les podem aplicar només quan les potències tenen la mateixa base.

2.4 Quocient de potències de la mateixa base Per dividir potències de la mateixa base deixem la base i en restem els exponents.

an : am = an−m

EXEMPLE 10 Expressa com una sola potència. (−2)5 : (−2)3 =

(−2)5 (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = = (−2)5−3 = (−2)2 3 (−2) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2)

2.5 Potència d’una potència Per elevar una potència a una altra potència deixem la mateixa base i en multipliquem els exponents.

(an)m = an⋅m

EXEMPLE 11 Expressa com una sola potència. (23)4 = 23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 23 = 23+3+3+3 = 23 ⋅ 4 = 212

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

10 Expressa com una sola potència.

11 Simplifica aquestes operacions amb potències.

a) 5 ⋅ 5 b) (−9)6 : (−9)2 ⎛ 5 ⎞10 ⎛ 5 ⎞6 c) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ : ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠

e) (2 ) f) [(−2)2]3 ⎛ 4 ⎞3 ⎛ 4 ⎞3 g) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

⎡⎛ 3 ⎞4 ⎤ d) ⎢⎢⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥⎥ ⎢⎣⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎥⎦

⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ h) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ : ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

4

6

2

2 3

3

3

a) (43 ⋅ 42)3 b) [(−5)3 : (−5)2]2 c) [(4,2)4 ⋅ (4,2)3]4

d) (711 : 75)2 e) (72 ⋅ 94)2 f) [(−3)5 ⋅ 45]2

REFLEXIONA

12 Expressa com una sola potència.

a) 25 ⋅ 43

b) (3−5 ⋅ 93)−2

41

831084 _ 0037-0056.qxd

16/4/07

11:08

Página 42

Notació científica. Operacions

3

3.1 Potències de base 10 Una potència de base 10 amb exponent negatiu és igual a un nombre decimal.

• Una potència de base 10 i exponent positiu és igual a la unitat seguida de tants zeros com indiqui l’exponent. • Una potència de base 10 i exponent negatiu és igual a la unitat dividida entre aquesta potència amb exponent positiu.

10-2 = 0,01 { 2 decimals -5

10 = 0,00001 123

EXEMPLE

5 decimals

12 Calcula el valor d’aquestes potències de 10. a) 101 = 10 b) 10−1 =

1 = 0,1 10

c) 102 = 100 1 = 0,01 d) 10−2 = 100

e) 103 = 1.000 1 = 0,001 f) 10−3 = 1.000

3.2 Expressió de nombres molt grans i molt petits A vegades ens podem trobar nombres molt grans i molt petits. Per escriure aquests nombres de manera més senzilla fem servir potències de 10. La notació científica és una manera d’expressar nombres mitjançant el producte d’un nombre més gran o igual que 1 i més petit que 10, multiplicat per una potència de 10. L’exponent de la potència 10 l’anomenem ordre de magnitud. EXEMPLE 13 Escriu aquests nombres en notació científica. a) La població mundial és, aproximadament, de 6.100.000.000 de persones. 6.100.000.000 = 6,1 ⋅ 1.000.000.000 = 6,1 ⋅ 109 b) El radi d’un àtom fa al voltant de 0,00000000031 m. 3,1 1 0,00000000031 = = 3,1 ⋅ = 3,1 ⋅ 10−10 10.000.000.000 10.000.000.000

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

13 Escriu en notació científica.

15 Aquests nombres no estan ben escrits

a) 493.000.000 b) 315.000.000.000 c) 0,0004464

d) 12,00056 e) 253 f) 256,256

en notació científica. Corregeix-los. a) 0,247 ⋅ 108

b) 24,7 ⋅ 108

c) 0,247 ⋅ 10−8

REFLEXIONA

14 Escriu aquests nombres que apareixen

en notació científica amb totes les xifres. a) 2,51 ⋅ 106

42

b) 9,32 ⋅ 10−8

c) 3,76 ⋅ 1012

16 Els actius financers d’una entitat bancària són,

aproximadament, 52 bilions d’euros. Expressa aquesta quantitat en notació científica.

831084 _ 0037-0056.qxd

16/4/07

11:08

Página 43

3.3 Suma i resta en notació científica Per sumar i restar en notació científica, l’exponent de la potència 10 ha de ser igual en tots els sumands. Quan és així, sumem o restem els nombres i deixem la mateixa potència de 10. Després, transformem el resultat si no ens apareix en notació científica.

CALCULADORA Per expressar un nombre en notació científica amb la calculadora fem servir les tecles EXP i ± . Per introduir-hi el nombre 7,352 ⋅ 109 pitgem:

EXEMPLE

7

14 Fes aquestes operacions: a) 3,2 ⋅ 105 + 1,64 ⋅ 104 = 3,2 ⋅ 105 + 0,164 ⋅ 105 = (3,2 + 0,164) ⋅ 105 = = 3,364 ⋅ 105 Com que l’exponent de la potència de 10 ha de ser igual en tots els sumands, transformem 1,64 ⋅ 104 en 0,164 ⋅ 105.

⋅

352 EXP 9

I per introduir 8,64 ⋅ 10−3 pitgem: 8

⋅

64 EXP 3

±

b) 1,1 ⋅ 10−2 − 1,4 ⋅ 10−3 = 1,1 ⋅ 10−2 − 0,14 ⋅ 10−2 = (1,1 − 0,14) ⋅ 10−2 = = 0,96 ⋅ 10−2 = 9,6 ⋅ 10−3 Si el resultat no apareix en notació científica l’hem de transformar.

3.4 Multiplicació i divisió en notació científica Per multiplicar o dividir nombres en notació científica, multipliquem o dividim, d’una banda, les potències de 10 i, d’una altra, els nombres que els precedeixen. Després, si fa falta, passem el resultat a notació científica. EXEMPLE 15 Fes aquestes operacions: a) (4,1 ⋅ 105) ⋅ (3 ⋅ 104)

= (4,1 ⋅ 3) ⋅ 105 ⋅ 104 = 12,3 ⋅ 105+4 = 12,3 ⋅ 109 = = 1,23 ⋅ 1010

b) (1,8 ⋅ 10−2) : (2 ⋅ 10−7) = (1,8 : 2) ⋅ (10−2 : 10−7) = 0,9 ⋅ 10−2−(−7) = 0,9 ⋅ 10−2+7 = = 0,9 ⋅ 105 = 9 ⋅ 104

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

17 Fes aquestes operacions fent servir

18 Calcula l’element que falta en cada cas:

la notació científica: a) b) c) d) e) f)

7,77 ⋅ 10 − 6,5 ⋅ 10 0,05 ⋅ 102 + 1,3 ⋅ 103 37,3 ⋅ 10−2 + 0,01 ⋅ 102 (34 ⋅ 103) ⋅ (25,2 ⋅ 10−2) (0,75 ⋅ 107) : (0,3 ⋅ 103) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (0,65 ⋅ 107) 9

a) b) c) d)

7

No t’oblidis d’expressar el resultat en notació científica.

2,5 ⋅ 106 − 씲 = 8,4 ⋅ 105 9,32 ⋅ 10−3 + 씲 = 5,6 ⋅ 10−2 (2,5 ⋅ 106) ⋅ 씲 = 8,4 ⋅ 105 (9,52 ⋅ 10−3) : 씲 = 5,6 ⋅ 10−2

REFLEXIONA

19

Fes aquesta suma: 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099. Després, torna a fer-la amb la calculadora. Què passa? Per què et sembla que passa?

43

831084 _ 0037-0056.qxd

10/5/07

10:11

Página 44

Nombres reals

4

4.1 Nombres irracionals Els nombres irracionals són nombres decimals amb un nombre il·limitat de xifres decimals no periòdiques. A més, no es poden expressar en forma de fracció i, per tant, no són nombres racionals. EXEMPLE 16 Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle els catets del qual fan 1 cm. Hipotenusa = 12 + 12 =

1 cm

2 = 1,414213562373…

Encara podem calcular més decimals, però no acabaríem mai, ni hi ha xifres que es repeteixin periòdicament: 2 és un nombre irracional.

1 cm

Hi ha infinitat de nombres irracionals, per exemple:

Els nombres decimals poden ser racionals o irracionals.

• Qualsevol arrel no exacta: 3 , − 7 , 1.462 … • Uns quants nombres especials: ␲, e, ⌽… • Determinats nombres que obtenim combinant-ne les xifres decimals, per exemple: 0,010010001…; 0,020020002…

4.2 Nombres reals

Tots els nombres decimals són reals.

Els nombres reals els representem amb el símbol R, i són el conjunt format pels nombres racionals i els irracionals. Nombres reals R NOMBRES IRRACIONALS I

NOMBRES RACIONALS Q

1.407 5

− 103

12

␲

… 34567 −0,12

1,12012 001200 0…

3

−

4 9

Nombres enters Z

7 3

−1

−3

Nombres naturals N

2

1.304

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

20 Classifica els nombres decimals següents

21 Escriu cinc nombres racionals i cinc

en racionals i irracionals: a) b) c) d)

44

4,325325325… 4,330300300030000300000… 1,23233233323333233333... 3,12359474747…

d’irracionals. REFLEXIONA

22 Pots anotar un nombre irracional amb un sol

dígit després de la coma? I amb dos dígits?

831084 _ 0037-0056.qxd

10/5/07

10:11

Página 45

Aproximació de nombres reals

5

Els nombres irracionals tenen infinites xifres decimals no periòdiques. És per això que, per poder treballar-hi, fem servir aproximacions.

5.1 Arrodoniment i truncament Per arrodonir un nombre decimal fins a un ordre n, indiquem les xifres anteriors a aquest ordre. La xifra d’ordre n la deixem igual si la que la segueix és inferior a 5. Si, en canvi, és superior a 5, augmentem n una unitat. Per truncar un nombre fins a un ordre n, només hem d’escriure les xifres del nombre fins a l’ordre n, inclòs aquest. EXEMPLE 17 Completa la taula:

Arrodoniment Truncament a les a les centèsimes centèsimes 4,635

)

4,64

4,63

3,57

3,58

3,57

3 = 1,73205…

1,73

1,73

5.2 Error absolut i error relatiu Error absolut (Ea) d’una aproximació és el valor absolut de la diferència entre el valor exacte i l’aproximat. Error relatiu (Er) d’una aproximació és el quocient entre l’error absolut i el valor exacte.

RECORDA-TE’N Valor absolut 3 = 3

−3 = 3

→ a si a > 0   → −a si a < 0

  a = 

EXEMPLE 18 Quin error comentem quan aproximem 4,635 a les centèsimes? Error absolut: Ea = 4,635 − 4,64 = 0,005 0,005 = 0,001 Error relatiu: Er = 4,635

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

23 Trunca i arrodoneix els nombres següents

24

a les centèsimes i les mil·lèsimes. a) b) c) d) e) f)

1,234564668 ) 2,7 ) 4,51 1,43643625 2,222 ) 3,127

g) h) i) j) k) l)

5 3,222464 3 1,6467538 1,1234… ) 5,5

Calcula l’error relatiu i absolut que s’ha comès en cadascun dels casos de l’exercici 23.

REFLEXIONA

25 En aproximar el pes d’un cuc de 2,1236 g hem

comès un error absolut de 0,0236 g. I quan hem aproximat el d’un bou de 824,36 kg, hem comès un error de 4,36 kg. En quin cas ha estat més gran l’error?

45

831084 _ 0037-0056.qxd

16/4/07

11:08

Página 46

Representació de nombres reals

6

Ja hem estudiat com hem de representar nombres racionals. Pel que fa als nombres irracionals, n’hi ha que els podem representar de manera exacta. Altres, en canvi, els hem de representar de forma aproximada. Representació exacta =

2

1 2 2 +

6.1 Representació exacta

5 1 5

0

1

Aquest tipus de representació la fem servir només per a arrels. Consisteix a construir un triangle rectangle amb una hipotenusa de la mida de l’arrel quadrada que volem representar.

2 P

EXEMPLE

2

19 Representa 2 de manera exacta.

La recta on representem els nombres reals, tant els racionals com els irracionals, l’anomenem recta real.

12 +

12

=

Construïm sobre la recta numèrica un triangle rectangle els catets del qual fan 1. Amb centre a 0 i com a radi la hipotenusa, 2 , tracem un arc que talli la recta en P. El punt P representa 2 .

1 2

0

1

P

2

6.2 Representació per aproximació Consisteix a anar agafant aproximacions decimals per excés i per defecte del nombre que volem representar. EXEMPLE 20 Representa 2 = 1,414… de manera aproximada. 1< 2 0 → Dues solucions c) 2x2 + 4x + 2 = 0 → a = 2; b = 4; c = 2 Δ = b2 − 4ac = 42 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 − 16 = 0 → Una solució

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

22 Determina el nombre de solucions

24 Calcula el valor del discriminant i les solucions

de les equacions de segon grau.

en cada cas.

a) x2 − 7x − 12 = 0 b) x2 + 9x + 18 = 0 c) 3x2 − x + 12 = 0

a) x2 − 4x + 3 = 0

c) x2 − 4x = −5

b) 2x2 − 20x = −50

d)

2 2 4 x + x=0 3 5

23 Quantes solucions tenen aquestes

equacions de segon grau? Calcula’n el valor. a) x − 6x + 4 = 0 b) 2x2 = 4 − 10x c) 3x2 = 6x 2

82

d) x − 5x + 9 = 0 e) 7x2 + 1 = 6x f) 8x2 = −3 2

REFLEXIONA

25 Escriu una equació de segon grau:

a) Amb dues solucions. b) Amb una solució doble. c) Sense solució.

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 83

4.3 Equacions de segon grau incompletes CAS 1.

Si b = 0. Equacions del tipus ax 2 + c = 0.

A les equacions del tipus ax2 + c = 0: c c • Si − és positiu, hi ha dues solucions: x = ± − . a a c • Si − és negatiu, no hi ha solució. a EXEMPLE

HO ESCRIUREM AIXÍ Per indicar que una arrel té dos resultats, un de positiu i un de negatiu, escrivim ± a . ⎪⎧ ± a = ⎪⎨+ a ⎪⎪⎩− a

11 Resol l’equació 3x2 − 27 = 0. 3x2 − 27 = 0 → 3x2 = 27 → x2 =

CAS 2.

⎪⎧ x1 = + 9 = 3 27 = 9 → x = ± 9 = ⎪⎨ ⎪⎪ x = − 9 = −3 3 ⎩ 2

Si c = 0. Equacions del tipus ax2 + bx = 0.

b Les equacions ax2 + bx = 0 tenen dues solucions, x1 = 0 i x 2 = − . a EXEMPLE Factor comú = x

12 Resol l’equació 3x2 − 2x = 0. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x ⋅ (3x − 2) = 0 Perquè un producte de dos factors valgui zero, un dels dos factors ha de ser zero. L’equació inicial és equivalent a: ⎫⎪ ⎪⎧⎪ x = 0 ⎪ 2 x ⋅ (3 x − 2) = 0 → ⎪⎨ 2 ⎪⎬ → Solucions: x1 = 0; x2 = ⎪⎪3 x − 2 = 0 → x = ⎪⎪ 3 ⎪⎩ 3 ⎪⎭

CAS 3.

Si b = 0 i c = 0. Equacions del tipus ax2 = 0.

Les equacions del tipus ax2 = 0 tenen una única solució, x = 0.

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

26 Resol:

27 Calcula:

a) x − 9x = 0

f) x + 6x = 0

b) x2 − 7x = 0

g) x2 + 9x = 0

c) 4x2 − 5x = 0

h) 10x2 + 11x = 0

REFLEXIONA

d) 7x2 = 6x

i) 3x2 = −4x

28 Escriu una equació de segon grau amb algun

e) 2x2 − 32 = 0

j) 3x2 − 243 = 0

2

2

a) 900x2 = 9 b) 5x(2x − 1) = 7x

c) −x2 = 3x − 10 d) (x − 2)(3x + 7) = 0

coeficient igual a zero i dues solucions.

83

831084 _ 0075-0094.qxd

10/5/07

10:40

Página 84

Resolució de problemes amb equacions

5

Resoldre un problema amb una equació és traduir-lo al llenguatge algebraic i trobar-ne la solució. En general, hem de seguir aquests passos: 1r Llegim atentament l’enunciat i identifiquem la incògnita. 2n Plantegem l’equació. 3r Resolem l’equació. 4t Comprovem que la solució obtinguda és vàlida i interpretem la solució en el context del problema. EXEMPLE 13 Tenim 24 flors i n’hem de fer dos rams. Volem que un tingui el triple de flors que l’altre. Quantes flors tindrà cada ram? 1r Llegim l’enunciat i identifiquem la incògnita. Per fer-ho, distingim entre les dades que coneixem i les que no. El que sabem... 24 flors en dos rams Un ram amb el triple de flors que l’altre

El que no sabem... Flors del ram petit Flors del ram gran

Incògnita (x) → Nombre de flors del ram petit 2n Plantegem l’equació. Flors del ram petit  → x El ram gran té el triple de flors que el petit   → 3x Entre tots dos tenen 24 flors  → x + 3x = 24 3r Resolem l’equació. x + 3x = 24 → 4x = 24 → x =

24 =6 4

4t Comprovem i interpretem la solució. COMPROVACIÓ: x=6

x + 3x = 24 → 6 + 3 ⋅ 6 = 24 → 6 + 18 = 24 → 24 = 24 La solució de l’equació és vàlida. INTERPRETACIÓ: El ram petit tindrà 6 flors i el gran, 3

⋅ 6 = 18.

EXERCICIS PRACTICA

29 La suma de dos nombres és 48. Si un és la

meitat de l’altre, quins nombres són?

31 Quaranta-tres persones assisteixen

a una festa. Si marxessin 3 nois, hi hauria el triple de noies que de nois. Quants nois i noies hi ha?

APLICA

30 La Maria té 4 tebeos menys que la Sara. Si la

Maria li’n dóna dos dels seus, la Sara en tindrà el triple que ella. Quants tebeos té cadascuna?

84

REFLEXIONA

32 La suma de dos nombres consecutius senars

és 156. De quins nombres es tracta?

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 85

A vegades, l’equació que es planteja per resoldre un problema és de segon grau. EXEMPLE 14 Una parcel·la de forma rectangular té una superfície de 1.800 m2. Si fa el doble de llargada que d’amplada, quines són les dimensions de la parcel·la?

x

1.800 m2

1r Llegim l’enunciat i identifiquem la incògnita. El que sabem...

El que no sabem...

La superfície fa 1.800 m2 La llargada és el doble que l’amplada

Amplada Llargada

2x

Incògnita (x) → Mida de l’amplada 2n Plantegem l’equació. Amplada de la parcel·la ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ x La llargada és el doble que l’amplada ⎯ → 2x 2 ⎫ ⎪ La superfície és 1.800 m ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯→ x ⋅ 2x = 1.800 Amplada ⋅ Llargada = 1.800⎪⎭⎪ 3r Resolem l’equació. 1.800 = 900 2 ⎧⎪ x = 30 x = ± 900 = ⎨ 1 ⎪⎪⎩ x2 = −30

x ⋅ 2 x = 1.800 → 2 x2 = 1.800 → x2 =

4t Comprovem i interpretem la solució. COMPROVACIÓ:

A vegades, la solució negativa en un problema no té sentit, ja que no existeixen mides, preus, edats... negatius.

x = 30

x ⋅ 2x = 1.800 ⎯⎯⎯ → 30 ⋅ 2 ⋅ 30 = 1.800 → 1.800 = 1.800 x = −30

⎯⎯⎯ → (−30) ⋅ 2 ⋅ (−30) = 1.800 → 1.800 = 1.800 Tots dos valors, 30 i −30, són la solució de l’equació. INTERPRETACIÓ: La solució −30 no és vàlida en aquest problema perquè no existeixen longituds negatives. Per tant, l’amplada de la parcel·la serà de 30 m, i la llargada, 2 ⋅ 30 = 60 m.

EXERCICIS PRACTICA

33 El producte d’un nombre pel doble d’aquest

nombre és 288. Quin nombre és? Hi ha més d’una solució? 34 L’Albert té el doble d’edat que l’Anna.

Si multipliquem les seves edats obtenim el nombre 512. Quina edat té cadascun?

36 El producte de les edats de la Lluïsa

i el seu germà, que té 5 anys menys que ella, és 176. Quants anys tenen tots dos? 37 Troba dos nombres consecutius que quan

els multipliquem obtinguem com a resultat 380 unitats. REFLEXIONA

APLICA

35 La suma d’un nombre i el seu quadrat és 42.

De quin nombre es tracta?

38 Per tancar una finca rectangular de 750 m2

fem servir 110 m de tanca. Calcula les dimensions de la tanca.

85

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 86

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Igualtat algebraica

Equació de segon grau completa amb una incògnita

x + x = 2x → Identitat x + 1 = 2x → Equació

ax2 + bx + c = 0

Solució

F

x=

Equació Primer membre

Segon membre

3xy + 4x = 12 Termes

Equació de segon grau incompleta amb una incògnita

⎧⎪Incògnites: x, y →⎨ ⎩⎪⎪Grau: 1 + 1 = 2

Solució

ax2 + c = 0

F

x=± −

F

⎧⎪ x1 = 0 ⎪⎪ ⎨x = − b ⎪⎪ 2 a ⎪⎩

F

x=0

Terme independent

Solució

F

x=−

Solució

ax + bx = 0 2

Equació de primer grau amb una incògnita ax + b = 0

−b ± b2 − 4 ac 2a

b a

ax2 = 0

Solució

c a

FES-HO AIXÍ

1. RESOLUCIÓ D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU 2x + 4 2 −x −x = − . 9 3

Resol l’equació

⎛ 2x + 4 ⎛ 2 − x ⎞⎟ ⎞ ⎟⎟ 9⎜⎜⎜ − x⎟⎟⎟ = 9⎜⎜⎜− ⎝ 9 ⎝ ⎠ 3 ⎠

PRIMER. Traiem els denominadors.

m.c.m. (3, 9) = 9

2x + 4 − 9x = −3(2 − x) 2x + 4 − 9x = −6 + 3x

SEGON. Eliminem parèntesis.

4 + 6 = 3x − 2x + 9x

TERCER. Agrupem termes. QUART. Reduïm termes semblants.

10 = 10x

CINQUÈ. Aïllem

10 = 10x → x =

x.

10 =1 10

2. RESOLUCIÓ D’EQUACIONS DE SEGON GRAU Resol aquestes equacions:

a) −x2 − 3x + 4 = 0

PRIMER. Identifiquem els coeficients de l’equació. a) a = −1 b = −3 c = 4 b) a = 3 b=0 c = −48 c) a = 3 b = 12 c = 0 SEGON.

• Si és completa, apliquem la fórmula. • Si b = 0, aïllem x2. • Si c = 0, extraiem factor comú a x.

86

a) x =

b) 3x2 − 48 = 0

c) 3x2 + 12x = 0

⎧⎪ x = −4 −(−3) ± (−3)2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 4 3 ± 25 = =⎨ 1 ⎪⎪⎩ x2 = 1 2 ⋅ (−1) −2

b) 3 x2 − 48 = 0 → x2 =

⎧⎪ x = 4 48 = 16 → x = ± 16 = ⎨ 1 3 ⎪⎪⎩ x2 = −4

⎪⎧⎪ x1 = 0 12 c) 3 x2 + 12 x = 0 → x(3 x + 12) = 0 → ⎪⎨ ⎪⎪ x2 = − = −4 3 ⎩⎪

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 87

3. ESTUDI DEL NOMBRE DE

4. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

SOLUCIONS D’UNA EQUACIÓ DE SEGON GRAU

AMB EQUACIONS

Estudia el nombre de solucions que tenen aquestes equacions:

PRIMER. Identifiquem la incògnita.

a) 2x2 − 7x + 3 = 0 b) 2x2 + 3 = 0 c) x2 − 2x + 1 = 0 PRIMER. N’identifiquem els coeficients.

a) a = 2 b = −7 c = 3 b) a = 2 b = 0 c=3 c) a = 1 b = −2 c = 1 SEGON.

Un rectangle té una superfície de 725 m2. Calcula’n les dimensions si saps que fa 4 m més de llargada que d’amplada.

El que sabem...

El que no sabem...

La superfície és de 725 m2 4 m més de llargada que d’amplada

Amplada Llargada

Incògnita (x) → Mida de l’amplada Plantegem l’equació. Amplada ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ x La llargada és l’amplada més 4 m → x + 4 ⎪⎫ Superfície = 725 m2 ⎬ ⎯→ x ⋅ (x + 4) = 725 Amplada ⋅ Llargada = 725⎪⎭⎪ SEGON.

En calculem el discriminant.

a) Δ = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25 b) Δ = b2 − 4ac = 02 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = −24 c) Δ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 0

TERCER. Resolem l’equació.

x ⋅ (x + 4) = 725 → x2 + 4x − 725 = 0

TERCER. Estudiem el valor del discriminant.

⎧⎪ x = 25 −4 ± 16 + 2.900 =⎨ 1 2 ⎩⎪⎪ x2 = −29 QUART. Interpretem i comprovem la solució. x = 25 x ⋅ (x + 4) = 725 ⎯⎯⎯→ 725 = 725 x = −29 x ⋅ (x + 4) = 725 ⎯⎯⎯→ 725 = 725 Tots dos valors són solució. Com que no hi ha mides negatives, l’amplada és 25 m i la llargada, 25 + 4 = 29 m. x=

• Si Δ < 0 → L’equació no té solució. • Si Δ = 0 → L’equació té una solució. • Si Δ > 0 → L’equació té dues solucions. a) Δ = 25 > 0 ⎯→ Dues solucions. b) Δ = −24 < 0 → No té solució. c) Δ = 0 ⎯⎯⎯→ Una solució.

I ARA... PRACTICA Resolució d’equacions de primer grau 1. La solució de x − 1 − 6 a) 5

6 b) − 5

x−2 x−3 + = 0 és: 2 3 18 c) 0 d) 5

Resolució d’equacions de segon grau 2. Les solucions de 3x 2 + 3x − 6 = 0 són: a) 1 i 2 b) −1 i −2 c) 1 i −2 d) −1 i 2 3. Les solucions de 5x 2 + 20 = 0 són: 1 1 i− a) 2 i −2 b) c) No hi ha solució. 2 2

Estudi del nombre de solucions d’una equació de segon grau 4. El nombre de solucions de x 2 − x + 1 = 0 és: a) Cap

b) Una

c) Dues

Resolució de problemes amb equacions 5. L’equació que correspon al plantejament del problema «Troba tres nombres naturals consecutius la suma dels quals sigui 60» és: a) 3x + 3 = 60 b) x + 3 = 60

c) x + 2x + 3x = 60 d) 3x = 60

87

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 88

Activitats IDENTITATS I EQUACIONS

EQUACIONS DE PRIMER GRAU

39. ● Determina si les igualtats algebraiques són identitats o equacions.

46. ● Esbrina quines de les equacions següents tenen com a solució x = 6.

a) b) c) d)

2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − x 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x (x + 2)2 − x2 − 4x = 4

40. ● Indica els membres d’aquestes equacions: a) b) c) d)

2x + 3 = 5 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5x 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x (x + 2) − (x2 − 2) = 4

41. ● Assenyala els termes de les equacions. a) b) c) d)

5x + 1 = 25 2x − x − 9 = x + 3x − 5x 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2x 9(x + 7) − 3(x2 − 2) = 4

42. ● Indica el grau de les equacions següents: a) b) c) d)

x4 − 8 + x = 0 2x2 + x = 0 3x2 + 75 = 0 −4x2 − 12x5 = x6

d) x = 2 e) x = −3 f) x = −2

44. ● El valor 4 és la solució d’alguna d’aquestes equacions? a) b) c) d) e) f)

x2 − 16 = 0 x+4=0 x2 − 4 = 8 x2 − x + 8 = x + 4 x3 − 124 = 0 x2 − x + 8 = x + 4 − 8

45. ●● Escriu una equació: a) Amb dues incògnites i termes independents 5 i −3. b) Amb una incògnita i solució 7. c) Amb incògnita z i solució −9.

88

d) 3x = 32 e) −x = −6 8 f) 4 x = 3

47. ● Escriu dues equacions en cada cas. a) b) c) d)

Que tinguin com a solució x = 3. Que tinguin com a solució x = −2. Que tinguin com a solució x = 5. Que tinguin com a solució x = −1.

48. ● Resol: a) b) c) d) e) f) g) h)

10 − x = 3 9+x=2 −12 − x = 3 16 + 3x = −12 4x + 5 = 11 3x + 7 = 14 −5 + 20x = 95 −9 − 11x = 2

49. ● Troba la solució d’aquestes equacions:

43. ● Quin d’aquests nombres és la solució de l’equació x(x − 1) = x2 + x? a) x = 1 b) x = −1 c) x = 0

a) 4x = 24 b) 8x = 12 4 c) −x = 3

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

4x + 5 = −3x + 12 3x + 7 = 2x + 16 5 + 20x = 7 + 12x 6x + 40 = 2x + 50 −3x − 42 = −2x − 7 3x − 50 = 10 − 2x 9x + 8 = −7x + 16 −5x − 13 = −2x − 4 9x − 8 = 8x − 9

50. ●● Corregeix els errors en la resolució de l’equació. 5x - 3 = 7 1r Transposem els termes. 5x = 7 + 3 2n Reduïm els termes. 5x = 10 10 x= = –2 3r Aïllem la x . –5

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 89

56. ● Calcula el valor de x.

FES-HO AIXÍ

a)

COM RESOLEM UNA EQUACIÓ AMB PARÈNTESIS?

b)

51. Resol 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2. PRIMER. Eliminem els parèntesis. Hem de tenir en compte que si hi ha un signe menys davant d’un parèntesi hem de canviar tots els signes de l’interior. 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2 3 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ 1 = 2 12 − 6x − 6x + 2 = 2

Agrupem els termes amb x en un membre i els nombres a l’altre. 12 − 6x − 6x + 2 = 2 → 12 + 2 − 2 = 6x + 6x

c) d) e) f)

SEGON.

TERCER.

Reduïm els termes semblants. 12 + 2 − 2 = 6x + 6x → 12 = 12x

QUART.

Aïllem la x.

12 = 12x → x =

12 =1 12

57. ● Troba la solució d’aquestes equacions: a) b) c) d)

52. ● Resol: a) b) c) d) e) f)

6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x) x − 5(x − 2) = 6 120 = 2x − (15 − 7x) 5(x + 4) = 7(x − 2) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8)

e)

4x =3 20 3x = −21 b) 6

−2 x =4 3 7x = 28 d) 4

c)

9x = −5 3 −3 x = −25 f) 2 e)

54. ●● Escriu una equació: a) Que tingui un parèntesi i solució −1. b) Que tingui denominador i solució 3. c) Que tingui dos parèntesis i solució 4.

x−2 =1 5 3 x + 15 = −7 b) 6

4x − 2 x −1 = 2x − 7 4 1r Calculem el m.c.m. m.c.m. (7, 4) = 28 2n Multipliquem per 28. 4(4x − 2) = 2x − 7(x − 1) 3r Eliminem els parèntesis. 16x − 2 = 2x − 7x − 7 4t Transposem els termes. 16x − 2x + 7x = −7 + 2 5è Reduïm els termes. 15x = −5 15 6è Aïllem la x. x= = −3 −5 59. ●● Resol: 2(x + 5) (x + 1)(x − 3) = 2 3 x x 4(x − 1) 5(x − 2) = b) − − 6 3 2 2 2 x − 3(x − 5) x−3 = c) 2 4 a)

55. ● Resol: a)

2 x − 10 3(x − 12) − = −1 3 4 −3 x − 3 = 3 − 4(x + 2) 5 2x − 5 x+1 + = 20 − x 5 4 3−x 3 + 2(x − 1) −x= 7 14 4x − 6 3(x + 1) + 2 x = 21 − 10 12

58. ●● Està ben resolta aquesta equació? Esbrina-ho comprovant-ne la solució. Corregeix els errors que s’han comès.

53. ● Resol aquestes equacions: a)

3x 2x +7= +9 5 6 x+2 = 5 x − 46 3 x+4 x x− = 1+ 5 2 x+8 x−4 − =2 2 6 x−5 8−x 2 x − 10 + + =3 5 2 2 x − 10 x − 20 x − 30 − − =5 2 4 3

3x + 20 = x + 25 2 3x − 1 = 12 − 3 x d) 4 c)

89

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 90

EQUACIONS DE SEGON GRAU 60. ● Resol les equacions de segon grau aplicant la fórmula general. a) b) c) d) e) f) g)

x2 − 5x + 6 = 0 2x2 − 4x + 13 = 0 x2 + 8x + 16 = 0 3x2 + 2x − 16 = 0 x2 − 2x + 1 = 0 7x2 − 3x + 1 = 0 −x2 − 4x + 5 = 0

x2 + 5x + 6 = 0 −2x2 − 6x + 8 = 0 x2 − 8x + 16 = 0 −x2 + x + 1 = 0 x2 + 8x + 16 = 0 2x2 − 4x + 13 = 0 7x2 − 3x + 1 = 0

Perquè un producte de diversos factors valgui zero, almenys un dels factors ha de ser zero. PRIMER. Igualem a zero cadascun dels factors. ⎧⎪ x − 1 = 0 (x − 1)(x + 2) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x + 2 = 0 Resolem les equacions que hem obtingut. ⎧⎪ x − 1 = 0 → x = 1 (x − 1)(x + 2) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x + 2 = 0 → x = −2

e) f) g) h)

−8x2 − 24x = 0 −x2 − x = 0 x2 − 1 = 0 4x2 − 2x = 0

64. ● Resol les equacions amb el mètode més adequat. 5 a) 7x2 = 63 g) x2 + 1 = 4 h) x2 − 36 = 100 b) x2 − 24 = 120 i) 2x2 − 72 = 0 c) x2 − 25 = 0 j) 5x2 − 3 = 42 d) x2 = 10.000 2 k) 9x2 − 36 = 5x2 e) x − 3 = 22 f) 5x2 − 720 = 0 l) 2x2 + 7x − 15 = 0

90

3x2 − 12x = 0 3x = 4x2 − 2x 4x2 = 5x 25x2 − 100x = 0 6x2 − 6x = 12x

SEGON.

x2 − 1 = 0 x2 + 2x = 0 x2 − 4x + 4 = 0 x2 + 8x + 16 = 0 x2 − x − 2 = 0 x2 = 7x − 12 2x2 − 4 + 3x = x2 + 2 + 2x

x2 − 8 = 0 2x2 + 50 = 0 3x2 + 75x = 0 x2 − 16 = 0

f) g) h) i) j)

66. Resol l’equació (x − 1)(x + 2) = 0.

63. ● Resol aquestes equacions de segon grau incompletes: a) b) c) d)

x2 − 7x = 0 x2 + 3x = 0 x2 − 25x = 0 x2 − 10x = 0 16x(x − 5) = 0

COM RESOLEM LES EQUACIONS EN QUÈ UN PRODUCTE ÉS IGUAL A ZERO?

62. ● Determina el nombre de solucions de les equacions següents: a) b) c) d) e) f) g)

a) b) c) d) e)

FES-HO AIXÍ

61. ● Esbrina, sense resoldre-les, el nombre de solucions d’aquestes equacions: a) b) c) d) e) f) g)

65. ● Resol:

L’equació té dues solucions: x 1 = 1 i x 2 = −2. 67. ●● Calcula sense aplicar la fórmula general. a) (x + 2)(x − 2) = 0 b) (x − 3)(x + 3) = 0 ⎛ x⎞ c) (x + 3)(2x − 5) ⎜⎜⎜5 − ⎟⎟⎟ = 0 ⎝ 2⎠ 2 d) (x − 5) = 0 e) (x − 2)2 + x = x 2 ⎛ 3x 4⎞ − ⎟⎟⎟ = 0 f) x⎜⎜⎜ ⎝ 4 5⎠ 68. ●● Resol les equacions següents: (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) x(3x − 2) = 65 4x − (x2 − 4) = 2x − 4 (2x + 3)(2x − 3) = 135 23 x = 18 f) x2 − 4 13 =0 g) x2 − 7 x + 4

a) b) c) d) e)

69. ●● Escriu una equació de segon grau que tingui tots els coeficients diferents de zero i una solució doble.

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 91

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM EQUACIONS DE SEGON GRAU AMB PARÈNTESIS I DENOMINADORS? (x − 1)2 3 − 4x 5 + 4x − = . 2 4 4

70. Resol

PRIMER. Eliminem els denominadors. Calculem el m.c.m. dels denominadors i hi multipliquem els dos membres de l’equació. m.c.m. (2, 4) = 4 ⎛ (x − 1)2 ⎛ 5 + 4 x ⎞⎟ 3 − 4 x ⎞⎟ ⎟⎟ = 4⎜⎜ 4⎜⎜⎜ − ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ ⎝ 2 4 ⎠

2(x − 1)2 − (3 − 4x) = (5 + 4x) SEGON.

Traiem els parèntesis. 2(x 2 − 2x + 1) − 3 + 4x = 5 + 4x 2x 2 − 4x + 2 − 3 + 4x = 5 + 4x

TERCER. Passem tots els termes al primer membre i fem les operacions. 2x 2 − 4x + 2 − 3 + 4x − 5 − 4x = 0 2x 2 − 4x − 6 = 0

PROBLEMES AMB EQUACIONS 72. ●● Troba dos nombres consecutius que sumin 51. 73. ●● Calcula un nombre el doble i el triple del qual sumin 10. 74. ●● Calcula un nombre que, quan hi sumis 4, resulti el doble del nombre menys una unitat. 75. ●● Troba dos nombres consecutius si saps que la diferència dels seus quadrats és 567. 76. ●● El preu d’un anell i el seu estoig és de 10.200 € i l’anell val 10.000 € més que l’estoig. Quin és el preu de cada article? 77. ●●Una bodega va exportar al gener la meitat dels seus barrils i, al cap de dos mesos, un terç dels que li quedaven. Quants barrils tenia al començament si ara hi ha 40.000 barrils?

QUART.

Simplifiquem l’equació, si podem, i la resolem. 2x 2 − 4x − 6 = 0 x=

CINQUÈ.

Dividim entre 2

F

x 2 − 2x − 3 = 0

⎧⎪ x = 3 2 ± 4 + 12 2±4 = =⎨ 1 ⎪⎪⎩ x2 = −1 2 2

Comprovem les solucions.

(3 − 1)2 3−4⋅3 5+4⋅3 − = → ⎯⎯⎯→ 2 4 4 9 17 17 17 → = → 2+ = 4 4 4 4 x=3

(−1 − 1)2 3 − 4(−1) 5 + 4(−1) − = → 2 4 4 7 1 1 1 → = → 2− = 4 4 4 4

x = −1

⎯⎯⎯→

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES D’EDATS AMB EQUACIONS? 78. El gos de l’Àlex té 12 anys menys que ell. D’aquí a 4 anys, l’Àlex tindrà el triple de l’edat del seu gos. Quines edats tenen tots dos? PRIMER.

Plantejament.

Actualment

71. ●●● Resol les equacions següents: (x − 2) 14 x − 5 11 + = 3 6 6 (x − 2)(x + 2) 14 x + 35 52 x + 5 − = 5 6 10 (2x + 1)2 = −1 (x − 2) + (2x − 1)(x − 3) = x(3x − 3) − 2x (x − 1)(x + 2) = 2 + (x + 3)(x − 4) 3 2 4 x + x=0 4 5 2

a) b) c) d) e) f)

D’aquí a 4 anys

Edat de l’Àlex

Edat del gos

x

x − 12

x+4

x − 12 + 4 = x − 8

D’aquí a 4 anys, l’edat de l’Àlex serà el triple que la del gos: x + 4 = 3(x − 8). SEGON.

Resolució. x + 4 = 3(x − 8) → x + 4 = 3x − 24 → → 28 = 2x → x = 14

TERCER. Comprovació. L’Àlex té 14 anys i el seu gos, 14 − 12 = 2 anys. En 4 anys, ell en tindrà 18 i el gos, 6; 18 = 6 ⋅ 3.

91

831084 _ 0075-0094.qxd

10/5/07

10:40

Página 92

79. ●● En Miquel té 4 anys més que el seu cosí Ignasi i, d’aquí a 3 anys, entre tots dos sumaran 20 anys. Quants anys té cadascun? 80. ●● Quina edat tinc ara si d’aquí a 12 anys tindré el triple de l’edat que tenia fa 6 anys?

84. ●● En una fàbrica de maons barregen argila de 21 € la tona amb argila de 45 € la tona. Quantes tones de cada classe hem de fer servir per aconseguir 500 tones d’argila a 39 € la tona? 85. ●● En una papereria s’han venut 25 caixes de paper del tipus A i 14 caixes del tipus B per 7.700 €. Quin és el preu de la caixa de cada tipus si el preu 5 de la del tipus B és la del tipus A? 6

81. ●●● La Llúcia té tres fills. El petit té la meitat d’anys que el mitjà, i aquest té sis anys menys que el gran. Calcula les edats de tots tres, si saps que la suma de les edats que tenen ara és igual que l’edat de la seva cosina Anna, que és 12 anys més gran que el germà petit.

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MOVIMENT AMB EQUACIONS? 86. Un camió surt d’una ciutat a una velocitat de 80 km/h i, dues hores més tard, surt un cotxe de la mateixa ciutat a 120 km/h. A quina distància de la ciutat el cotxe atraparà el camió?

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGES AMB EQUACIONS?

PRIMER.

Plantejament. 120 km/h

82. Disposem de dos tipus de te: un de Tailàndia, a 5,20 €/kg, i un altre de l’Índia. a 6,20 €/kg, i volem obtenir 100 kg de te a 6 €/kg. Quants quilos hem de barrejar de cada tipus? PRIMER.

Quilos

Preu

x

5,2x

Te indi

100 − x

6,2(100 − x)

Barreja

100

5,2x + 6,2(100 − x)

Preu per kg de barreja = SEGON.

5,2 x + 6,2(100 − x) =6 100

Resolució.

5,2 x + 6,2(100 − x) =6→ 100 → 5,2x + 620 − 6,2x = 600 → 20 = x TERCER. Comprovació. Necessitem 20 kg de te de Tailàndia i 100 − x = 80 kg de te de l’Índia. El quilo de barreja val:

5,2 ⋅ 20 + 6,2 ⋅ 80 = 6 €. 100

83. ●● Quants litres de llet de 0,75 €/ ¬ hem de barrejar amb llet de 0,85 €/ ¬ per aconseguir-ne 100 litres a 0,77 €/ ¬?

92

2 ⋅ 80 km

120x

Plantejament.

Te tailandès

80 km/h

x → Temps que ha passat des que surt el cotxe fins que es troba amb el camió. Avantatge

Moment de la trobada

2 ⋅ 80

2 ⋅ 80 + 80x

Distància que recorre el camió Distància que recorre el cotxe

120x

La distància recorreguda per tots dos vehicles quan es troben és la mateixa → 2 ⋅ 80 + 80x = 120x SEGON.

Resolució.

2 ⋅ 80 + 80x = 120x → 160 = 120x − 80x → x = 4 TERCER.

Comprovació.

Es troben 4 hores després de la sortida del cotxe, és a dir, al cap de 6 hores de l’inici del viatge del camió. El camió, en 6 hores, recorre: 6 ⋅ 80 = 480 km. El cotxe, en 4 hores, recorre: 4 ⋅ 120 = 480 km.

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 93

87. ●●● L’Ester viatja de Sevilla a Barcelona amb cotxe. Surt a les 8 del matí i va a una velocitat constant de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, en Joan agafa a la mateixa hora un autobús que viatja a 70 km/h en la mateixa direcció que l’Ester. A quina hora es troba l’Ester amb l’autobús? Quina distància ha recorregut cadascun? 88. ●●● A les 7 del matí, en Tomàs surt de Zamora amb direcció a Cadis, que estan a 660 km de distància, a 75 km/h. A la mateixa hora, la Natàlia surt de Cadis i es dirigeix a Zamora per la mateixa carretera que en Tomàs a una velocitat de 60 km/h. A quina hora es creuaran? I a quina distància estaran de Cadis?

95. ●●● Un cine té el mateix nombre de files que de seients per fila. El propietari decideix remodelar-lo i treure una butaca per fila i tres files. Després de la remodelació, el nombre de seients és 323. a) Quantes files tenia el cine abans de la remodelació? b) Quants seients hi ha ara en cada fila?

INVESTIGA 96. ●●● Investigarem què passa amb les equacions de segon grau el coeficient de x2 de les quals val 1, és a dir, les equacions de la forma: x2 + bx + c = 0 Per fer-ho, seguim aquests passos:

ZAMORA CADIS

75 km/h

94. ●● La diagonal d’un rectangle fa 10 cm. Troba’n les dimensions si un catet fa 2 cm menys que l’altre.

a) Resol les quatre equacions:

60 km/h

89. ●● Un terreny rectangular té una superfície de 1.739 m2 i fa 10 m més de llargada que d’amplada. Calcula’n les dimensions. 90. ●● Si un camp de futbol fa 30 m més de llargada que d’amplada i la seva àrea és de 7.000 m2, calcula’n les dimensions. 91. ●● Troba dos nombres que es diferencien en 7 unitats si saps que el seu producte és 60. b) Quines relacions observes entre les solucions que has obtingut i els coeficients b i c?

92. ●●● En un triangle rectangle de 24 m de perímetre la longitud del catet és igual a tres quarts de la de l’altre. Troba’n les dimensions.

c) Troba les solucions de x2 + bx + c = 0 i després calcula’n la suma i el producte. d) Aplica les relacions que has trobat i busca dos nombres la suma dels quals sigui 15 i el producte, 56.

93. ●● Per enrajolar una sala de 8 m de llargada i 6 m d’amplada s’han fet servir 300 rajoles quadrades. Quant fa el costat de les rajoles?

97. ●●● Desenvolupa i simplifica l’expressió: A = (x − 1)2 + x2 + (x + 1)2 Troba tres nombres enters consecutius la suma dels quadrats dels quals sigui 30.002.

F

6m

98. ●●● Resol l’equació: 4x2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0

G

G

F

8m

sense fer servir la fórmula general. Per fer-ho, factoritza l’expressió del primer membre.

93

831084 _ 0075-0094.qxd

13/4/07

18:22

Página 94

A la vida quotidiana 99. ●●● A la Mariam li falten pocs dies per donar a llum. A la seva feina tenen el costum de fer un regal als nounats. En Robert i la Pilar, companys seus, s’han encarregat de recollir els diners. La Mariam és molt popular a l’empresa, gairebé tothom la coneix. Per això la majoria dels seus companys han participat en el regal.

100. ●●● En Marcel·lí és ferrer i s’ha trobat amb força problemes al llarg de la seva trajectòria professional. Molt sovint li fan encàrrecs que són difícils de portar a terme. A la terrassa, hi tinc un tros de paret que fa 1,30 m. Vull col·locar, sobre els extrems de la paret, una barra de ferro que formi un angle recte per instal·lar-hi un tendal que faci 1,70 m de longitud.

Ahir, en Robert i la Pilar van ser en uns grans magatzems i han proposat comprar el cotxet de nadó que està d’oferta, pel qual haurien de posar uns 8 € cadascun. Com que tothom hi estava d’acord, el van anar a comprar, però va resultar que l’oferta s’havia acabat i els faltaven 4 €.

El que podem fer és posar-hi cadascun 9 € i amb els 8 € que sobren comprem una samarreta per al nen.

A vegades, no només és difícil fer la feina, sinó també interpretar què és el que vol el client. Per això, quan algú li planteja un problema com aquest, en Marcel·lí l’ha de traduir a les tasques que ell ha de fer a la seva ferreria.

El que vostè necessita és una barra de ferro que faci 1,70 m. Aquesta barra, l’hem de doblegar fins que faci un angle recte de manera que la distància entre els extrems sigui d’1,30 m.

Finalment, en Robert i la Pilar m’han dit que, dels 14 companys, hi ha una persona que no ha posat els diners per al regal de la Mariam. Creus que és cert, el que diuen?

94

Com haurà de doblegar la barra, en Marcel·lí?

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

5 PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Reconèixer sistemes d’equacions i classificar-los en funció de les solucions. • Obtenir solucions d’un sistema mitjançant taules i a partir de la seva representació gràfica. • Calcular les solucions d’un sistema amb els mètodes de substitució, igualació i reducció. • Plantejar i resoldre problemes amb sistemes d’equacions lineals.

Página 95

Sistemes d’equacions Una classe improvisada Estar convidat a la Festa de la Primavera, que cada any se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservat només als personatges més influents. Quan pujava a l’elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane, van coincidir a reconèixer que el maharajà era molt generós d’enviar el seu seguici per portar-los al palau. El jove ajudant es va passar mig camí queixant-se de les disciplines que havia d’estudiar: –Mestre, per què he d’estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural. Brahmagupta va prendre la paraula i durant l’altre meitat del camí que els faltava li va explicar al seu deixeble la utilitat de l’àlgebra: –En aquest món tot té el seu significat: l’estel al front de l’elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertany al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibuix, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat. Després d’aquestes paraules, mestre i deixeble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau. Amb l’ajuda d’una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l’elefant.

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 96

1

Equacions lineals

Una equació de primer grau la denominem equació lineal. • Una equació lineal amb dues incògnites és una equació que podem expressar de la forma ax + by = c, on x i y són les incògnites, i a, b i c són nombres coneguts. • Una solució d’una equació lineal amb dues incògnites és una parella de valors, un per a cada incògnita, que fan certa la igualtat. • Una equació lineal amb dues incògnites té infinites solucions. EXEMPLE 1

Quan representem les infinites solucions d’una equació lineal amb dues incògnites veiem que formen una recta.

2x − y = 1 → Equació lineal amb dues incògnites, x i y. Coeficient de x ⎯⎯⎯⎯ → a=2 Coeficient de y ⎯⎯⎯⎯ → b = −1 Terme independent ⎯⎯ → c=1 La parella de valors x = 0, y = 1 fan certa la igualtat: x = 0, y = −1

2x − y = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 ⋅ 0 − (−1) = 1 → 1 = 1 Per tant, (0, −1) és la solució de l’equació. Per obtenir diferents solucions d’una equació lineal, aïllem una de les incògnites: y = 2x − 1. Si donem valors numèrics a la variable x obtenim valors de y; aquestes parelles de valors són solucions de l’equació. Si x = −1 → y = 2 ⋅ (−1) − 1 = −3. Solució: (−1, −3). Solució: (0, −1). Si x = 0 ⎯→ y = 2 ⋅ 0 − 1 = −1. Si x = 1 ⎯→ y = 2 ⋅ 1 − 1 = 1. Solució: (1, 1). Y

0

1

2

y

−3

−1

1

3

Si associem a cada solució el punt del pla que té com a coordenades aquests valors, obtenim una recta. Aquesta recta està formada per tots els punts que són solució de 2x − y = 1.

2x −

−1

y=

x

1

Expressat en una taula de valors:

−2

(1, 1)

1

(0, −1) (−1, −3)

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

1 Expressa les equacions següents de la forma

2

ax + by = c i indica el valor dels seus coeficients: a) y = 2x − 3 b) y = x + 3

c) −3x = 1 − y d) x = 2 − y

Fes una taula de valors per a aquestes equacions.

96

Representa en el pla les equacions: a) 2x + 3 = y

b) y + 1 = x

REFLEXIONA

3

(2, 3)

Escriu dues equacions lineals amb dues incògnites que tinguin com a solució x = 3, y = −2.

X

831084 _ 0095-0112.qxd

2

13/4/07

18:29

Página 97

Sistemes d’equacions lineals

Dues equacions lineals per a les quals busquem una solució comuna: ax + by = c ⎪⎫ ⎬ formen un sistema d’equacions lineals. a'x + b'y = c'⎪⎪⎭ Una solució del sistema és qualsevol parella de nombres que verifiquin totes dues equacions a la vegada. Resoldre el sistema és trobarne la solució. EXEMPLE 2

Resol el sistema d’equacions lineals:

x + y = 3 ⎫⎪ ⎬. x − y = −1⎭⎪⎪

Expressem les solucions d’aquestes equacions amb taules. Per fer-ho, aïllem y en totes dues equacions i donem valors a x. x+y=3 y=3−x

F

x − y = −1 y=x+1

F

x

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

…

y

6

5

4

3

2

1

0

−1

…

x

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

…

y

−2

−1

0

1

2

3

4

5

…

L’única solució que es repeteix a totes dues equacions és la formada per la parella x = 1, y = 2. Així doncs, direm que la parella x = 1, y = 2 és la solució del sistema. Y Si representem gràficament aquests punts i els unim, obtenim les dues rectes que representen les solucions (1, 2) de cada equació. 1 1 Aquestes rectes es tallen en el punt (1, 2), que és la solució del sistema. y= 3− x La representació de les rectes y= x+ 1 que determinen les solucions de les equacions l’anomenem representació gràfica del sistema.

Per calcular les solucions d’una equació lineal aïllem la incògnita que sigui més senzilla.

x + 3y = 2 → x = 2 – 3y Si aïllem y obtindrem una fracció.

X

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

4 Troba la solució de cada sistema a partir

de les taules de valors de les equacions que el formen. a) x + y = 5⎪⎫ ⎬ x − y = 3 ⎪⎪⎭

b) 2 x + y = 13⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

5 Representa gràficament aquests sistemes

i determina’n les solucions. a) x + 2 y = 6 ⎪⎫ ⎬ x − 2 y = −2⎪⎪⎭

b) x + y = 0 ⎪⎫ ⎬ x − y = −2⎪⎪⎭

6

De quin dels sistemes següents és la solució (8, 4)? I (10, 2)? I (3, 1)? a) x + y = 12⎫⎪ ⎬ x − y = 4 ⎪⎪⎭

b) 2 x + 4 y = 10⎫⎪ ⎬ 3 x − y = 8 ⎪⎪⎭

REFLEXIONA

7 Escriu una equació lineal amb dues

incògnites de manera que una de les solucions sigui x = 2, y = 3. Escriu un sistema amb aquesta solució.

97

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 98

Nombre de solucions d’un sistema d’equacions lineals Els sistemes d’equacions, en funció del nombre de solucions, els podem classificar en: • Sistemes compatibles determinats. Tenen una única solució. La representació gràfica del sistema són dues rectes que es tallen en un sol punt. • Sistemes compatibles indeterminats. Tenen infinites solucions. La representació gràfica són dues rectes que coincideixen. • Sistemes incompatibles. No tenen solució. La representació gràfica del sistema són dues rectes paral·leles.

Fixa’t en aquests sistemes. 2x 2x

+ 2y = 6 + 2y = 12

La primera equació indica que la suma de x i y és 6. La segona, que si multipliquem per 2 aquesta suma el resultat és 12. Totes dues diuen el mateix.

EXEMPLE 3

x +y=6 x +y=8

Resol els sistemes d’equacions lineals següents: a) x + y = 6 ⎫⎪ ⎬ 2 x + 2 y = 12⎭⎪⎪ 4

0

1

2

6

5

4

6

5

=

6

=

2

y

7

1

2y

y

0

+

x −1

+

F

x

x+y=6 y=6−x

2x

En aquest cas, la primera indica que la suma de x i y és 6, però la segona diu que és 8. Hi ha una contradicció.

Y

F

x −1 y

7

12

2 x + 2 y = 12 12 − 2 x y= 2

1

X

1

Té infinites solucions. El sistema és compatible indeterminat. b) x + y = x+ y =

Y

6⎫⎪ ⎬ 8⎭⎪⎪

1

2

y

7

6

5

4

0

1

2

8

7

6

=

F

0

y

x+y=8 y=8−x

x −1

+

F

x

x+y=6 y=6−x

= 6

No hi ha solució. El sistema és incompatible.

y

9

+

y

8

x

x −1

1 1

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

8 Resol aquests sistemes i classifica’ls

en funció del nombre de solucions: a) x + y = 5⎪⎫ ⎬ x − y = 3 ⎪⎪⎭

d) 2 x + y = 13⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

b) x + y = 7⎪⎫ ⎬ x − y = 5 ⎪⎪⎭

e) x + y = 6 ⎪⎫ ⎬ 2 x − 2 y = 12⎪⎪⎭

c)

98

x + 2 y = 3⎪⎫ ⎬ 2 x + 4 y = 6⎪⎪⎭

f)

x − 3 y = 2⎪⎫ ⎬ 3 x − 2 y = 6⎪⎪⎭

9

Resol aquests sistemes i classifica’ls: x y ⎪⎫ a) b) x − y = 1⎪⎫ − = 2 ⎪⎪ ⎬ ⎬ 2 3 2 x − 2 y = 1⎪⎪⎭ ⎪⎪ 3 x − 2 y = 6⎪⎭

REFLEXIONA

10 Posa un exemple de sistema d’equacions

compatible determinat, indeterminat i incompatible.

X

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 99

Mètodes de resolució de sistemes

3

Per resoldre un sistema podem fer servir diferents tècniques, que denominem mètodes de resolució de sistemes d’equacions.

3.1 Mètode de substitució Resoldre un sistema pel mètode de substitució consisteix a aïllar una incògnita en una de les equacions i substituir-ne el valor a l’altra. EXEMPLE 4

⎫ Resol el sistema aplicant el mètode de substitució: x − y = 3 ⎪⎬ . 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ 1r Aïllem una de les incògnites en una de les equacions. És preferible aïllar una incògnita amb coeficient 1 o −1, per evitar treballar amb denominadors. En aquest cas, aïllem x a la primera equació. x − y = 3 ⎪⎫ → x = 3 + y ⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭

Si haguéssim aïllat la x de la segona equació:

x– y=3 → 2x – 3y = 4

2n Substituïm l’expressió obtinguda a l’altra equació. Substituïm, a la segona equació, x pel valor 3 + y.

x –y =3 4 + 3y x= 2 hauríem de treballar amb denominadors.

x=3+y

2x − 3y = 4 ⎯⎯⎯→ 2(3 + y) − 3y = 4

→

3r Resolem l’equació d’una incògnita que resulta. 2(3 + y) − 3y = 4 → 6 + 2y − 3y = 4 → −y = 4 − 6 → → −y = −2 → y = 2 4t Calculem el valor de l’altra incògnita substituint el valor obtingut a qualsevol de les equacions. y=2

x − y = 3 ⎯⎯→ x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5 El sistema té com a solució x = 5, y = 2. 5è Comprovem que la solució obtinguda és la solució del sistema. x = 5, y = 2 x − y = 3 ⎫⎪ ⎯⎯⎯⎯→ 5 − 2 = 3 ⎫⎪ → 3 = 3 ⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎭⎪⎪ 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4 ⎭⎪⎪ 4 = 4 ⎭⎪⎪

Obtenim dues igualtats; per tant, x = 5, y = 2 és la solució del sistema.

EXERCICIS PRACTICA

11 Resol pel mètode

de substitució.

REFLEXIONA

x + y = 5 ⎫⎪ ⎬ x − y = 3 ⎪⎪⎭

i assenyala si és compatible o incompatible.

comesos.

⎬ → y = 1 − 5x 2x − 4y = 22 ⎪⎪⎭

y = 1 − 5x

APLICA

12 Resol per substitució

13 Corregeix els errors 5x − y = 1 ⎫ ⎪

x + y = 8 ⎪⎫ ⎬ x − y = 8 ⎪⎪⎭

2x − 4y = 22 ⎯⎯⎯⎯→ 2x − 4(1 − 5x) = 22 → 18 → 2x − 4 − 20x = 22 → −18x = 18 → x = =1 18 x=1 5x − y = 1 ⎯⎯→ 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4

99

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 100

3.2 Mètode d’igualació Resoldre un sistema pel mètode d’igualació consisteix a aïllar la mateixa incògnita a totes dues equacions i igualar-ne els valors. EXEMPLE 5

⎫ Resol el sistema aplicant el mètode d’igualació: x − y = 3 ⎪⎬ . 2x − 3y = 4 ⎭⎪⎪ 1r Aïllem la mateixa incògnita a totes dues equacions. Igual que en el mètode de substitució, convé aïllar la incògnita que sigui més senzilla. x − y = 3⎫⎪⎪ → x = 3 + y ⎫⎪⎪ ⎪⎬ 4 + 3 y ⎪⎬ ⎪ 2 x − 3 y = 4⎪⎪ → x = 2 ⎪⎪⎭ ⎭⎪ 2n Igualem les expressions obtingudes. x = 3 + y ⎫⎪⎪ 4 + 3y 4 + 3 y ⎪⎬ → 3 + y = ⎪⎪ x= 2 2 ⎪⎭ 3r Resolem l’equació d’una incògnita que resulta. 3+y=

4 + 3y → 2(3 + y) = 4 + 3y → 6 + 2y = 4 + 3y → 2 → 6 − 4 = 3y − 2y → 2 = y → y = 2

4t Calculem el valor de l’altra incògnita substituint el valor obtingut en qualsevol de les equacions. y=2

x − y = 3 ⎯⎯→ x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5 El sistema té com a solució x = 5, y = 2. 5è Comprovem que la solució obtinguda és la solució del sistema. x = 5, y = 2 x − y = 3 ⎪⎫ ⎯⎯⎯⎯→ 5 − 2 = 3 ⎪⎫ → 3 = 3 ⎪⎫ ⎬ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4 ⎪⎪⎭ 4 = 4 ⎪⎪⎭

Obtenim dues igualtats; per tant, x = 5, y = 2 és la solució del sistema.

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

14 Resol pel mètode d’igualació aquests sistemes

16 Corregeix els errors comesos en la resolució

d’equacions: a) x + y = 5 ⎫⎪ ⎬ x − y = 3 ⎭⎪⎪

b) 2x + y = 13 ⎫⎪ ⎬ x − y = 2 ⎭⎪⎪

APLICA

15 Resol pel mètode d’igualació, i assenyala

si són compatibles o incompatibles. Quantes solucions tenen? a) 2x + 5y = 10 ⎫⎪ ⎬ 4x + 10y = 20 ⎪⎪⎭

100

b) 2x + y = 8 ⎫⎪ ⎬ 2x + y = 12 ⎪⎪⎭

del sistema pel mètode d’igualació. x − y = 7⎪⎫⎪ → x = y − 7 ⎪⎫ ⎪ ⎪⎬ y⎪ 3 x − y = 1 ⎪⎪ → x = 1 + ⎬⎪ ⎪⎭ 3 ⎪⎪⎭ y y−7=1+ → 3(y − 7) = 1 + y → 3 → 3y − 21 = 1 + y → 3y − y = 1 + 21 → 22 → 2y = 22 → y = = −11 −2 y = −11

x − y = 7 ⎯⎯⎯→ x − 11 = 7 → x = 7 + 11 = 18

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 101

3.3 Mètode de reducció Resoldre un sistema pel mètode de reducció consisteix a buscar un altre sistema, amb les mateixes solucions, en què els coeficients d’una de les incògnites siguin iguals o de signe oposat. EXEMPLE 6

⎫ Resol aquest sistema aplicant el mètode de reducció: x − y = 3 ⎪⎬ . 2x − 3y = 4 ⎭⎪⎪ 1r Igualem els coeficients d’una de les incògnites mitjançant les multiplicacions apropiades. Si multipliquem la primera equació per 2, els coeficients de x queden igualats a totes dues equacions. ⋅2 x − y = 3 ⎪⎫ ⎯→ 2x − 2y = 6 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭

Per restar les equacions sumem a la primera equació l’oposada de la segona: 2x - 3y = 4

2n Restem o sumem les equacions, en funció de si els coeficients tenen el mateix signe o diferent, per eliminar una incògnita. En aquest cas, com que els coeficients de x tenen el mateix signe, restem: 2x − 2y = 6 2x − 2y = −6 → + − 2x − 3y = 4 −2x + 3y = −4 y = −2

oposada F

-2x + 3y = –4

3r Resolem l’equació d’una incògnita que resulta. y=2 4t Calculem el valor de l’altra incògnita substituint el valor obtingut a qualsevol de les equacions. y=2

x − y = 3 ⎯⎯→ x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5 El sistema té com a solució x = 5, y = 2. 5è Comprovem que la solució obtinguda és la solució del sistema. x − y = 3 ⎪⎫ x = 5, y = 2 5 − 2 = 3 ⎪⎫ → 3 = 3 ⎪⎫ ⎬ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ ⎯⎯⎯⎯→ 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4 ⎪⎪⎭ 4 = 4 ⎪⎪⎭ Obtenim dues igualtats; per tant, x = 5, y = 2 és la solució del sistema.

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

17 Resol pel mètode de reducció:

19 Corregeix els errors comesos en la resolució

a) x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ x − y = 3 ⎪⎪⎭

b) x − 5y = 6 ⎪⎫ ⎬ 4x − 3y = 1 ⎪⎪⎭

APLICA

18 Resol pel mètode de reducció aquests

sistemes d’equacions i assenyala si són compatibles o incompatibles: a) x + 2y = 0 ⎫⎪ b) x − y = 5 ⎫⎪ ⎬ ⎬ 2x + 4y = 6 ⎪⎪⎭ 2x − 2y = 10 ⎪⎪⎭

del sistema.

⋅2 2x + y = 0 ⎪⎫ ⎯→ 4x + 2y = 2 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 3x − 2y = −4 ⎪⎪⎭ 3x − 2y = −4 ⎪⎪⎭

4x + 2y = 2 − 3x − 2y = −4 x = −2 x = −2

2x + y = 0 ⎯⎯→ 2 ⋅ (−2) + y = 0 → → −4 + y = 0 → y = −4

101

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 102

3.4 Regles pràctiques per resoldre problemes Cap d’aquests mètodes de resolució d’equacions és millor o pitjor que els altres. La rapidesa i l’eficàcia a l’hora de resoldre els sistemes depenen del tipus d’equacions que els componen. Quan resolem un sistema d’equacions hem de tenir en compte que: • Cal expressar les equacions en la forma general, ax + by = c. • El mètode de substitució és útil quan alguna de les incògnites té com a coeficient 1 o −1. • El mètode de reducció és aconsellable quan els coeficients d’una de les incògnites són iguals o un és múltiple de l’altre. • Quan els coeficients de les incògnites són diferents de 1 o −1, i no són múltiples ni iguals, podem fer servir el mètode d’igualació i, després, eliminar els denominadors. EXEMPLE 7

Resol aquest sistema:

⎫⎪ x−y + x = −1⎪⎪ ⎬. 2 ⎪ 3( y − x) − 2 = 4 ⎪⎪⎭

Expressem les equacions en la forma general, ax + by = c. Per fer-ho traiem denominadors i parèntesis. ⎫⎪ x−y + x = −1⎪⎪ ⎬→ 2 ⎪ 3(y − x) − 2 = 4 ⎪⎪⎭ →

⎫⎪ ⎛ x − y ⎞⎟ ⎟ + 2 x = 2 ⋅ (−1)⎪⎪ 2⎜⎜⎜ x − y + 2 x = −2 ⎫⎪ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎬→ ⎬→ ⎪⎪ 3 y − 3 x = 4 + 2⎭⎪⎪ 3 y − 3x − 2 = 4 ⎪⎭ 3 x − y = −2⎪⎫ 3 x − y = −2⎪⎫ ⎬→ ⎬ 3 y − 3 x = 6 ⎪⎪⎭ −3 x + 3 y = 6 ⎪⎪⎭

Els coeficients de x són iguals, però de signe contrari; per tant, apliquem el mètode de reducció. 3x − 2y = −2 + −3x + 3y = −6 4 2y = −4 → y = = 2 2 y=2 3(y − x) − 2 = 4 ⎯⎯→ 3(2 − x) − 2 = 4 → 6 − 3x = 4 + 2 → → −3x = 6 − 6 → x = 0

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

20 Resol pel mètode més adequat:

21 Resol pel mètode més adequat:

a)

2x + 3y = 5 + x + 2y ⎫⎪ ⎬ x − 2y − 3 = 3 − 42y ⎪⎪⎭

b)

3 y + 3 = x − 2(x + y)⎫⎪⎪ ⎪⎬ 2x + 3 y ⎪⎪ = 18 ⎪⎭ 2

⎫⎪ c) x+y=2 ⎬ (x + 4) + 2(y − 2) = 18 − x − y ⎪⎪⎭

102

⎫⎪ 2x − y + 2 x − y = 4⎪⎪ ⎬ 3 ⎪ 2 x − y = 4⎪⎪⎭ REFLEXIONA

22 Escriu un sistema d’equacions que sigui

apropiat per resoldre’l mitjançant la substitució i un altre mitjançant la reducció.

831084 _ 0095-0112.qxd

10/5/07

10:41

Página 103

Resolució de problemes amb sistemes

4

Resoldre un problema mitjançant un sistema d’equacions consisteix a traduir al llenguatge algebraic les condicions de l’enunciat del problema i, després, trobar-ne la solució amb la resolució del sistema. EXEMPLE 8

Les edats d’una pare i la seva filla sumen 77 anys. D’aquí a 2 anys el pare tindrà el doble d’edat que la filla. Quines edats tenen ara? 1r Identifiquem les incògnites. El que sabem...

El que no sabem...

La suma de les edats és 77. D’aquí a 2 anys, l’edat del pare serà el doble de la de la filla.

Edat del pare. Edat de la filla.

D’aquí a 2 anys

Anomenem x → Edat del pare  → x+2 D’aquí a 2 anys

Anomenem y → Edat de la filla  → y+2 2n Plantegem el sistema.  La suma de les edats és 77 → x + y = 77  D’aquí a 2 anys, el pare doblarà l’edat de la filla → x + 2 = 2(y + 2)  3r Resolem el sistema. x + y = 77 x + y = 77 x + 0y = 77    → →  x + 2 = 2(y + 2)  x + 2 = 2y + 4  x − 2y = 2  El resolem pel mètode de reducció i restem les equacions. −

x + 2y = 77 x + y = 77 → + x − 2y = 72 −x + 2y = −2 3y = 75 → y = 25 y = 25

x + y = 77 → x + 25 = 77 → x = 52 4t Comprovem la solució i la interpretem. COMPROVACIÓ: La solució és vàlida perquè verifica la igualtat.  x = 52, y = 25 52 + 25 = 77  x + y = 77 77 = 77   → →  x + 2 = 2(y + 2)  52 + 02 = 2(25 + 2)  54 = 54  INTERPRETACIÓ: El pare té 52 anys i la filla, 27.

EXERCICIS PRACTICA

23 La suma de les edats d’en Ferran i el seu pare

és 40 anys. L’edat del pare és 7 vegades la del fill. Quina edat tenen tots dos?

25 Un hotel té, entre habitacions dobles

i individuals, 120 habitacions. Si el nombre de llits és 195, quantes habitacions dobles té? I habitacions individuals?

APLICA

24 En un examen contesto deu preguntes.

Per cada encert em donen 2 punts, i per cada error me’n treuen 1. Si he tret 8 punts, quants encerts tinc?

REFLEXIONA

26 Si cada persona es menja 5 pastissos,

en sobren 3; però si en mengen 6, en falta 1. Quantes persones i pastissos hi ha?

103

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 104

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Equació lineal amb dues incògnites

Sistema compatible determinat

⎧⎪ x, y → Incògnites ⎪⎪ ⎪a → Coeficient de x ax + by = c → ⎪⎨ ⎪⎪b → Co oeficient de y ⎪⎪ ⎪⎩c → Terme independent

Sistema compatible indeterminat

Y

Y

X

X

Sistema d’equacions lineals amb dues incògnites

Y

⎧⎪ x, y → Incògnites ⎪⎪ ⎪a, a' → Coeficient de x ax + by = c ⎪⎫ ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪b, b' → Coeficient de y a'x + b'y = c' ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎪⎩c, c' → Terme independent

Sistema incompatible X

FES-HO AIXÍ

1. REPRESENTACIÓ GRÀFICA

DE LES SOLUCIONS D’UNA EQUACIÓ LINEAL

Y

3x −

(2, 4)

y=

y = 3x − 2

PRIMER. Aïllem una de les incògnites. SEGON. Donem valors a x i fem servir l’equació per construir una taula de valors.

2

Representa gràficament les solucions de l’equació 3x − y = 2.

x

−2

−1

0

1

2

y

−8

−5

−2

1

4

(1, 1) X (0, −2)

TERCER. Si considerem cada parella de valors un punt del pla obtenim

la recta de les solucions de l’equació.

2. RESOLUCIÓ GRÀFICA D’UN SISTEMA I DETERMINACIÓ DEL NOMBRE DE SOLUCIONS Determina el nombre de solucions d’aquests sistemes:

a) x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ x − 2y = −1 ⎪⎪⎭

b) x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ 2x + 2y = 10 ⎪⎪⎭

c) x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ x + y = 3 ⎪⎪⎭

PRIMER. Representem gràficament les solucions de cadascuna de les equacions del sistema.

a)

b)

Y

c)

Y

Y

(3, 2) X

X

X

SEGON.

• Si les rectes es tallen, el sistema té una única solució. → a) Té una solució: (3, 2). • Si les rectes coincideixen, el sistema té infinites solucions. → b) Té infinites solucions. • Si les rectes són paral·leles, el sistema no té solució. → c) No té solució.

104

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 105

3. RESOLUCIÓ D’UN SISTEMA

4. RESOLUCIÓ D’UN PROBLEMA AMB UN SISTEMA

⎫⎪ x + 2y ⎪⎪ =5 Resol el sistema: ⎬. 5 ⎪ 2(x + y) = 40 − 4 y ⎪⎪⎭

Un cotxe i un autobús mesuren junts 14 m. El doble de la longitud del cotxe supera 1 m la de l’autobús. Quant fa cadascun?

PRIMER. Expressem les equacions en la seva forma general, ax + by = c. ⎛ x + 2 y ⎞⎟ ⎪⎫⎪ ⎟⎟ = 5 ⋅ 5 5⎜⎜⎜ x + 2 y = 25⎪⎫ ⎪⎬ → ⎬→ ⎝ 5 ⎠ ⎪⎪ 2 x + 2 y + 4 y = 40⎪⎪⎭ 2 x + 2 y = 40 − 4 y ⎪⎭ x + 2 y = 25⎫⎪ → ⎬ 2 x + 6 y = 40⎭⎪⎪

Elegim el mètode de resolució: • Substitució: si alguna de les incògnites té com a coeficient 1 o −1. • Reducció: quan siguin iguals o un sigui múltiple de l’altre. En aquest cas fem servir la reducció. SEGON.

⋅3

x + 2y = 25 ⎫⎪ ⎯→ 3x + 6y = 75 ⎫⎪ ⎬ ⎬ 2x + 6y = 40 ⎪⎪⎭ 2x + 6y = 40 ⎪⎪⎭ −

3x + 6y = 75 3x + 6y = 75 → + 2x + 6y = 40 −2x − 6y = −40 x = 35

x + 2y x = 35 = 5 ⎯⎯→ 35 + 2y = 5 ⋅ 5 → 5 → 2y = −10 → y = −5

PRIMER. Identifiquem la incògnita.

El que sabem... + +

= 14 =

El que no sabem... Longitud de l’autobús + 1 Longitud del cotxe

Anomenem x → Longitud de l’autobús Anomenem y → Longitud del cotxe Plantegem l’equació. Tots dos junts fan 14 m ⎯⎯→ x + y = 14 El doble del cotxe és l’autobús més 1 → → 2y = x + 1 SEGON.

TERCER. Resolem el sistema.

x + y = 14 ⎫⎪ x + y = 14 ⎫⎪ ⎬→ + ⎬ 2y = x + 1⎭⎪⎪ −x + 2y = 1 ⎭⎪⎪ 15 =5 3y = 15 → y = 3 y=5 x + y = 14 ⎯⎯→ x + 5 = 14 → x = 14 − 5 = 9 Comprovem i interpretem la solució. x + y = 14 ⎫⎪ x = 9, y = 5 14 = 14 ⎪⎫ ⎬ ⎯⎯⎯⎯→ ⎬ 2y = x + 1 ⎪⎪⎭ 10 = 10 ⎪⎪⎭

QUART.

L’autobús fa 9 m i el cotxe, 5.

I ARA... PRACTICA Representació gràfica de les solucions d’una equació lineal

Resolució d’un sistema

1. La representació gràfica de x + y = 3 és: Y a) Y b)

3. La solució del sistema a) x = 1, y = 2 b) x = −1, y = 2

⎫⎪ x−y + y = 1 ⎪⎪ ⎬ és: 3 ⎪ 4(y − x) − 6 = 3 y ⎪⎪⎭ c) x = −1, y = −2 d) x = 1, y = −2

1

1 1

X

−1

X

Resolució gràfica d’un sistema i determinació del nombre de solucions x + 3y = 5 ⎪⎫ 2. Com és el sistema ⎬? 2x + 6y = 9 ⎪⎪⎭ a) Compatible

b) Incompatible

Resolució d’un problema amb un sistema 4. El sistema que expressa que la suma de dos nombres és 18 i la seva diferència 2 és: a)

x = 18 + y ⎫⎪ ⎬ x−y=2 ⎭⎪⎪

b) x + y = 18 ⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

c) x + y = 18 ⎫⎪ ⎬ x = 2 − y ⎭⎪⎪ d)

2x = 18 ⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

105

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 106

Activitats EQUACIONS LINEALS

SISTEMES D’EQUACIONS

27. ● La solució d’aquestes equacions és x = 1 i y = 2?

35. ● Indica els coeficients i els termes independents dels sistemes.

a) 3x + 2y = 7 b) x + 3 = y

c) 2x − y = 0 d) x + 1 = 7

28. ● Aquesta és la taula de valors de l’equació 2x + 3y = 15: x

6

3

0

−3

−6

y

1

3

5

7

9

Dóna diverses solucions de l’equació, i indica un procediment per trobar alguna solució més. 29. ● Fes una taula de solucions per a aquestes equacions. Pren com a valors de la variable x: −2, −1, 0, 1 i 2. a) y = x + 5 b) x + y = 4

c) y = 3 − x d) x = 5 + y

30. ● Representa en el pla, per a cada equació de l’activitat anterior, les parelles de nombres que hagis obtingut i comprova que la seva representació és una recta. 31. ● Forma una taula de valors per a cada equació i indica’n algunes solucions. a) 3x + 2y = 18 b) x − 3y = 20 c) x − 7 = y

d) 2x − 5y = 12 e) 3x + y = 24 f) y = 2x − 1

32. ● Forma una taula de valors per a cada equació del sistema. x + 2y = 5 ⎫ ⎪ ⎬ x − 2y = 2 ⎭ ⎪ ⎪ Creus que hi ha cap parella de valors de x i y que surti a totes dues taules? 33. ●● Escriu una equació lineal amb dues incògnites, de manera que una de les solucions sigui la parella de valors: a) x = 3, y = 0 b) x = 0, y = −1

c) x = 2, y = 3 d) x = −1, y = −5

34. ●● Escriu dues equacions lineals amb dues incògnites la solució de les quals sigui x = 3, y = 2. Després, representa totes dues equacions. Què hi observes?

106

a) x + 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ x + 2y = 6 ⎪⎪⎭

c) x − 2y = 1 ⎪⎫ ⎬ 2x + 2y = 7 ⎪⎪⎭

b) x + 3y = 5 ⎪⎫ ⎬ x − 3y = 1 ⎪⎪⎭

d) 5x − 3y = 11 ⎪⎫ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎪⎪⎭

36. ● Quina de les parelles de valors següents és la solució del sistema? 2x + 3y = 13 ⎪⎫ ⎬ 3x − 4y = 11 ⎪⎪⎭ a) (1, 5)

b) (5, 1)

c) (2, 3)

d) (0, 0)

37. ● Donat el sistema: 3x − 2y = 2 ⎪⎫ ⎬ 2x + 3y = 5 ⎪⎪⎭ esbrina si cap d’aquestes parelles de valors és la solució. a) x = 2, y = 4

c) x = 1, y = 1

b) x = 4, y = −1

d) x = 0, y = −

1 2

38. ●● Un sistema té com a solució x = 2, y = −1 i una de les seves equacions és 2x − y = 5. Quina és l’altra? a) 4x − 2y = 6 b) 4x − 2y = 5

c) −x + 2y = 5 d) −x + 2y = −4

39. ●● Escriu una equació lineal amb dues incògnites de manera que una de les solucions sigui x = 1, y = −2. Fes servir l’equació per determinar un sistema d’equacions amb aquesta solució. 40. ●● Troba la solució de cada sistema mitjançant les taules de valors de les equacions que el formen. a) x − y = 1 ⎫⎪ ⎬ 2x − y = 4 ⎪⎪⎭

e) 2x + y = 13 ⎫⎪ ⎬ x − y = 12 ⎪⎪⎭

b) x + 3y = 2 ⎫⎪ ⎬ 2x − 3y = 9 ⎭⎪⎪

f) −x + 2y = 2 ⎫⎪ ⎬ 3x − 4y = −2 ⎭⎪⎪

x − 2y = 1 ⎪⎫ ⎬ 2x + 0y = 7 ⎪⎪⎭

g) 5x − 3y = 11 ⎪⎫ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎪⎪⎭

d) 2x + 3y = 7 ⎪⎫ ⎬ x − 3y = 0 ⎪⎪⎭

h) 5x + 3y = 16 ⎪⎫ ⎬ 3x − 3y = 10 ⎪⎪⎭

c)

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 107

41. ● Resol gràficament els sistemes d’equacions i indica de quin tipus són: a)

x + y = 2 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 1 ⎪⎪⎭

c)

b) 2x + 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 6x + 3y = 6 ⎪⎪⎭

47. ● Aquests sistemes tenen les mateixes solucions? a) 3x + 2y = 28 ⎪⎫ 2x − 3y = 14 ⎬⎪⎪⎭

x + 3y = 5 ⎪⎫ ⎬ 3x − 4y = 2 ⎪⎪⎭

c)

Y

a) Solució única. b) Infinites solucions. c) Cap solució.

Y

49. ●● Escriu un sistema d’equacions que tingui com a solució: a) x = 2, y = 1 X

X

b)

Y

d)

b) x = 4, y = −3

50. ●● Sense resoldre aquests sistemes, indica el nombre de solucions que tenen a partir de les seves equacions. a) 2x − y = 5 ⎫⎪ x + y = 1 ⎬⎭⎪⎪

Y

b) 3x + 4y = 8 ⎫⎪ 6x + 8y = 10 ⎬⎪⎪⎭

c) 2x + 10y = 4 ⎫⎪ x + 5y = 4 ⎬⎭⎪⎪

d) 3x + 2y = 1 ⎫⎪ x − 8y = 5 ⎬⎪⎪⎭

FES-HO AIXÍ

X

X

6x + 4y = −16 ⎪⎫ −6x + 9y = −42 ⎬⎪⎪⎭

48. ●● Escriu una equació lineal amb dues incògnites que formi un sistema amb l’equació 3x − 2y = 4, i que tingui:

d) x + 2y = 4 ⎪⎫ ⎬ 2x + 4y = 5 ⎪⎪⎭

42. ●● Indica quin tipus de sistema d’equacions s’ha representat. a)

b)

COM ACONSEGUIM QUE UNA INCÒGNITA TINGUI COEFICIENTS IGUALS? 43. ● Resol gràficament aquests sistemes: a) x + y = 2 ⎫⎪ ⎬ x − y = 2 ⎭⎪⎪

b) 2x + 3y = 4 ⎫⎪ ⎬ x − 2y = 2 ⎭⎪⎪

Què en pots afirmar? 44. ● Resol gràficament aquests sistemes i classifica’ls pel nombre de solucions: a) 2x − 3y = −4 ⎪⎫ ⎬ −x + 3y = −3 ⎪⎪⎭

c) 2x − 3y = 38 ⎪⎫ ⎬ 4x − 2y = 10 ⎪⎪⎭

b) x + 3y = 36 ⎪⎫ ⎬ 2x + 6y = 12 ⎪⎪⎭

d) x − 2y = 0 ⎪⎫ ⎬ x + 2y = 0 ⎪⎪⎭

45. ● Quantes solucions tenen aquests sistemes? a) 4x − 3y = 25 ⎪⎫ ⎬ 8x − 6y = 10 ⎪⎪⎭

b) 2x + 3y = 25 ⎪⎫ ⎬ 2x + 3y = 35 ⎪⎪⎭

46. ● Esbrina si els sistemes són incompatibles o compatibles i, en aquest cas, si tenen solució única. a) 2x + 3y = 25 ⎪⎫ ⎬ 4x + 6y = 10 ⎪⎪⎭

b) 3x − 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ 6x − 2y = 8 ⎪⎪⎭

51. Transforma aquest sistema perquè la incògnita x tingui el mateix coeficient a totes dues equacions. 24x + 13y = 80 ⎪⎫ ⎬ 18x − 07y = 90 ⎪⎪⎭ PRIMER. Trobem el m.c.m. dels coeficients de la incògnita a la qual els volem igualar. m.c.m. (24, 18) = 72

Dividim el m.c.m. per cada coeficient i multipliquem l’equació pel resultat. Primera equació: m.c.m. 72 = = 3 → 3 ⋅ (24x + 13y = 80) → Coeficient 24 → 72x + 39y = 240 Segona equació: m.c.m. 72 = = 4 → 4 ⋅ (18x − 7y = 90) → Coeficient 18 → 72x − 28y = 360 El sistema equivalent serà: 72x + 39y = 240 ⎪⎫ ⎬ 72x − 28y = 360 ⎪⎪⎭ SEGON.

107

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 108

52. ●● Donat el sistema: 7x − 2y = 04 ⎫⎪ ⎬ x + 3y = 17 ⎭⎪⎪ escriu sistemes que en siguin equivalents i que: a) Tinguin coeficients de x iguals. b) Tinguin coeficients de y iguals. c) Tinguin termes independents iguals. 53. ●●● Escriu un altre sistema equivalent les equacions del qual no tinguin denominadors. ⎪⎫ x y + = 5 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 5 ⎬ ⎪ 2x y − = −1 ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 3 2 54. ●●● Completa els sistemes perquè el primer tingui com a solució x = 2, y = −3, i el segon, x = −3, y = 2. a) 3x − 5y = 씲 ⎫⎪ b) −2x + 씲y = 8 ⎫⎪ 씲x + 4y = 2 ⎬⎭⎪⎪ 씲x − 2y = −7 ⎬⎭⎪⎪ 55. ●●● Completa els sistemes perquè el primer sigui compatible i el segon, incompatible. a) 3x − 2y = 씲 ⎪⎫ b) 씲x + 2y = 3 ⎪⎫ ⎬ 씲x + 2y = 6 ⎬⎪⎪⎭ 2x + 씲y = 씲 ⎪⎪⎭ 56. ●●● Completa aquests sistemes perquè el primer sigui compatible determinat i el segon, compatible indeterminat. a) 씲x − 5y = 씲 ⎫⎪ b) 2x + 씲y = 10 ⎫⎪ ⎬ 씲x − 씲y = 12 ⎬⎭⎪⎪ 2x + 씲y = 6 ⎭⎪⎪ 57. ●●● Escriu tres sistemes que tinguin com a solució x = 1, y = 2, de manera que: a) En el primer, els coeficients siguin 1 o −1. b) En el segon, els coeficients de x siguin el doble o la meitat que els de y. c) En el tercer, els coeficients de x i y siguin fraccions.

RESOLUCIÓ DE SISTEMES 58. ● Resol pel mètode de substitució.

108

a) 3x + 5y = 1 ⎫⎪ ⎬ x + 5y = 1 ⎭⎪⎪

e) 4x − 3y = −3 ⎫⎪ ⎬ x + 3y = −4 ⎭⎪⎪

b) 7x + 8y = 23 ⎪⎫ ⎬ 3x + 2y = 07 ⎪⎪⎭

f) 2x + y = 12 ⎫⎪ ⎬ −x − y = −7 ⎪⎪⎭

c) 2x − 3y = 5 ⎫⎪ ⎬ 5x + 0y = 4 ⎭⎪⎪

g) 3x + y = 10 ⎫⎪ ⎬ 2x − y = 10 ⎭⎪⎪

d) 5x − 3y = 01 ⎪⎫ ⎬ 4x + 0y = 11 ⎪⎪⎭

h) 3x + 5y = 20 ⎪⎫ ⎬ 7x + 4y = 39 ⎪⎪⎭

59. ● Resol els sistemes d’equacions següents pel mètode d’igualació: a) 3x + 5y = 1 ⎪⎫ ⎬ x + 5y = 1 ⎪⎪⎭

e) 3x + y = 10 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 10 ⎪⎪⎭

b) 7x + 8y = 23 ⎫⎪ ⎬ 3x + 2y = 07 ⎭⎪⎪

f) 5x − 3y = 11 ⎫⎪ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎭⎪⎪

d) 4x − 0y = −3 ⎪⎫ ⎬ 0x + 3y = −4 ⎪⎪⎭

h) 3x + 5y = 20 ⎪⎫ ⎬ 7x + 4y = 39 ⎪⎪⎭

c) 2x − 3y = 5 ⎫⎪ ⎬ 5x + 0y = 4 ⎪⎪⎭

g) 5x + 3y = 16 ⎫⎪ ⎬ 3x − 3y = 00 ⎪⎪⎭

60. ●● Resol pel mètode que consideris més adequat: a) −2(x − 2) = y − 4 ⎪⎫ c) 3(x + y) − x + 2y = 15− ⎪⎫ ⎬ ⎬ 3y − 2x = 0 2x − (y + 8) = −11 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ b) −5(y − 2) = x − 2 ⎪⎫ d) 3(x + 2) − 7(x + y) = 15 ⎪⎫ ⎬ ⎬ x − 3y = −4 ⎪⎪⎭ 5(x + 1) − y = 14 ⎪⎪⎭

FES-HO AIXÍ COM ELIMINEM ELS PARÈNTESIS I ELS DENOMINADORS EN UN SISTEMA? 61. Resol el sistema: 1 ⎫⎪⎪ 3y x = + ⎪ 2 ⎪⎬ 4 2 3( y + 1) ⎪ 3(2 x − 2) = −10⎪⎪ − ⎪⎪⎭ 9 2 PRIMER. Eliminem els denominadors. Calculem el m.c.m. dels denominadors en cada equació i hi multipliquem tots dos membres. Primera equació: m.c.m. (2, 4, 2) = 4 ⎡x 3y ⎤ 1 ⎥ = 4 ⋅ → 2x + 3y = 2 4⎢ + ⎢⎣ 2 ⎥ 4 ⎦ 2 Segona equació: m.c.m. (2, 9) = 18 ⎡ 3(2 x − 2) 3(y + 1) ⎤ ⎥ = 18 ⋅ (−10) → − 18 ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 9

→ 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180

SEGON.

Traiem els parèntesis. 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180 → → 54x − 54 − 6y − 6 = −180

TERCER. Passem les incògnites a un membre, i els termes sense incògnita, a l’altre. 54x − 54 − 6y − 6 = −180 → → 54x − 6y = −180 + 54 + 6 = −120 Sense parèntesis ni denominadors, el sistema és:

2x + 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 54x − 6y = −120 ⎪⎪⎭

Simplificant

F

2x + 3y = −02 ⎪⎫ ⎬ 9x − 0y = −20 ⎪⎪⎭

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 109

62. ●● Resol pel mètode que consideris més adequat: 3x 2x ⎪⎫ a) − = 2 ⎪⎪ ⎬ 3 4 ⎪ 3 y + 5 x = −1⎪⎪⎭ x y ⎪⎫ − = −1⎪⎪ b) ⎪⎪ 3 2 ⎬ ⎪ 2x y − = 7 ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 3 4

66. ●●● Resol pel mètode més adequat: a) x + y = 0 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 0 ⎪⎪⎭ c)

d)

63. ●●● Elimina els parèntesis i els denominadors en els sistemes següents: a)

b)

⎫⎪ y x = 0 ⎪⎪ + ⎪⎪ 2 2 ⎬ ⎪ 2(y + 2) 5(x + 1) = −2⎪⎪⎪ − 3 7 ⎪⎭ 3(1 − x) (y − 1) 1 3 ⎫⎪ − − = ⎪⎪ 3 5 2 2 ⎪⎪ ⎬ ⎪ 5(x + 1) + 7(2 y − 1) = 2⎪⎪ ⎪⎪⎭ 6

64. ●●● Resol pel mètode d’igualació aquests sistemes: ⎫⎪ y x = 6 ⎪⎪ + a) ⎬ 3 2 ⎪ x − 2 y = −4⎪⎪⎭ b)

c)

x y+2 1 ⎪⎫ − = ⎪⎪ 2 2 2 ⎪⎪ ⎬ ⎪ 2(x − 1) y+2 − = −1⎪⎪⎪ 3 6 ⎪⎭ ⎫⎪ x + y = 2⎪⎪ ⎬ 5 ⎪ 2 x − 3 y = 7⎪⎪⎭

65. ●●● Resol pel mètode de reducció els sistemes següents: y ⎪⎫ x = 6 ⎪⎪ + a) ⎬ 3 2 ⎪ x − 2 y = −4⎪⎪⎭ b)

c)

x y+2 1 ⎪⎫ − = ⎪⎪ 2 2 2 ⎪⎪ ⎬ ⎪ 2(x − 1) y+2 − = −1⎪⎪⎪ 3 6 ⎪⎭ x ⎪⎫ + y = 2⎪⎪ ⎬ 5 ⎪ 2 x − 3 y = 7⎪⎪⎭

e)

b) 2x − 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 5x + 4y = 5 ⎪⎪⎭

⎫⎪ x y −1 + = 0⎪⎪ ⎬ 2 2 ⎪ 3 x − y = 6⎪⎪⎭ 2x + 1 3y − 4 2 ⎫⎪⎪ − = ⎪ 5 10 5 ⎪⎪ ⎬ 5(x + 1) 1 8⎪ − y+ = − ⎪⎪⎪ 7 2 2 ⎪⎭ 3(x + 1) − x y +1 3 ⎪⎫⎪ −y− = ⎪ 6 5 2 ⎪⎪ ⎬ 3(y − 1) 1 x + 3 ⎪⎪ x− + = ⎪ 10 5 3 ⎪⎪⎭

PROBLEMES AMB SISTEMES FES-HO AIXÍ COM EXPRESSEM CERTS ENUNCIATS MITJANÇANT EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES? 67. Expressa com a equacions de dues incògnites: a) La suma de dos nombres és 50. b) La diferència d’edat de dos germans és 5 anys. c) Un pare té el doble d’edat que el seu fill. d) Un nombre en supera un altre en 10 unitats. PRIMER. Assignem una incògnita a cada dada desconeguda.

Dades desconegudes

Incògnites

Dos nombres

x, un nombre y, l’altre nombre

Edats de dos germans

x, edat del primer y, edat del segon

Edats del pare i el fill

x, edat del pare y, edat del fill

Dos nombres

x, un nombre y, l’altre nombre

SEGON.

Relacionem les dades conegudes i les desconegudes amb una igualtat (equació). a) La suma és 50 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → x + y = 50 b) La diferència és de 5 anys ⎯⎯ → x−y=5 c) El pare li dobla l’edat al fill ⎯ ⎯ ⎯ → x = 2y d) Un supera en 10 l’altre ⎯⎯⎯ ⎯ → x = y + 10

109

831084 _ 0095-0112.qxd

10/5/07

10:41

Página 110

68. ●● Expressa mitjançant equacions de dues incògnites:

a) b) c) d)

Un entrepà i un refresc valen 5 €. Dos entrepans i tres refrescos costen 15 €. Un entrepà val 1 € més que un refresc. He pagat un entrepà i dos refrescos amb 10 € i me n’han tornat 3.

69. ● Tria la resposta adequada: a) Fa tres ants, l’edat d’un oncle era el triple de la del nebot, però d’aquí a 5 anys serà només el doble. Les edats de l’oncle i el nebot són: 1. Oncle: 15, nebot: 5. 2. Oncle: 35, nebot: 15. 3. Oncle: 27, nebot: 11. b) En un teatre s’han venut 250 entrades entre seients de platea i de llotja. Les primeres costen 15 € cadascuna i les segones, 30. Si la recaptació va ser de 4.500 €, les entrades venudes de cada tipus van ser: 1. Platea: 50, llotja: 250. 2. Platea: 100, llotja: 150. 3. Platea: 200, llotja: 50. 4. Platea: 125, llotja: 125. 70. ● Calcula dos nombres la suma dels quals és 10 i la diferència, 6. 71. ●● Calcula les dimensions d’un rectangle si en saps que el perímetre fa 60 cm i la base és el doble de l’altura. 72. ●● Dos quilos d’albercocs i tres de figues costen 13 €. Tres quilos d’albercocs i dos quilos de figues en costen 12. Quin és el preu del quilo d’albercocs?

73. ●● En una compra s’han fet servir monedes de 2 € i bitllets de 5 €. En total, entre monedes i bitllets són 13 i s’han pagat 33 €. Quantes monedes de 2 € s’han fet servir? I bitllets de 5 €? 74. ●● En una drogueria venen 3 sabons i 2 ampolles de colònia per 12 €, i també 4 sabons i 3 ampolles de colònia per 17 €. Calcula el preu de cada producte. 75. ●● Hem adquirit segells de 0,26 € i de 0,84 €. En total hem pagat 5,18 € per 11 segells. Quants són de 0,26 €? I de 0,84? 76. ●● Per a un berenar s’han comprat entrepans de pernil a 2,80 € la unitat i de formatge a 2,50 €. En total, es paguen 48 € per 18 entrepans. Quants se’n compren de pernil? 77. ●● En un taller hi ha 50 vehicles, entre motos i cotxes. Si el nombre total de rodes és 140, quants vehicles hi ha de cada tipus? 78. ●● El perímetre d’una parcel·la rectangular és 350 m i el triple de la seva llargada és igual al quàdruple de l’amplada. Quines són les dimensions de la parcel·la? 79. ●● En Josep li diu a l’Agnès: «Si et dono 10 discos en tindries tants com jo.» L’Agnès li respon: «Tens raó, només et falten 10 discos per doblar-me’n el nombre.» Quants discos té cadascun? 80. ●●● Una empresa de lloguer de cotxes n’ofereix dos models, un de quatre places i un altre de cinc. Durant el dia, l’empresa lloga 10 cotxes en què viatgen 42 persones, i queden dues places sense ocupar. Quants cotxes ha llogat de cada tipus? 81. ●●● En Joan ha comprat una camisa i uns pantalons. Els preus d’aquestes peces sumaven 60 €, però li han fet un 10% de descompte en la camisa i un 20% en els pantalons. Per tot plegat paga 50,15 €. Quin era el preu sense rebaixar de cada peça?

110

831084 _ 0095-0112.qxd

10/5/07

10:41

Página 111

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGES MITJANÇANT SISTEMES D’EQUACIONS? 82. Volem barrejar dos tipus de vi: un de 5,20 €/ ¬ i un altre de 6,20 €/ ¬ per obtenir 100 ¬ de vi que tingui un preu de 6 €/ ¬. Quants litres de cada tipus fan falta? PRIMER.

INVESTIGA

Plantejament. Litres

Preu

Vi A

x

5,2x

Vi B

y

6,2y

100

5,2x + 6,2y

x + y = 100

5,2 x + 6,2 y =6 100

Barreja Equacions SEGON.

85. ●●● Hem barrejat 40 kg de cafè a 10 €/kg amb una altra quantitat de cafè a 14 €/kg. Quants quilos hem fet servir de cada classe si venem la barreja a 12,80 €/kg?

Resolució.

x + y = 100 x = 100 − y   → 5,2 x + 6,2 y   5,2 x + 6,2 y = 600 = 6  100  Substituïm el valor a l’altra equació: x = 100 − y

→ 5,2(100 − y) + 6,2y = 600 → y = 80 y = 80

x = 100 − y → x = 20

86. ●●● Si en un sistema d’equacions amb solució única multipliquem tots els termes d’una equació per 3: a) b) c) d)

La nova solució és el triple de l’original. La solució és la mateixa. El nou sistema no pot tenir solució. Cap de les tres opcions és certa.

87. ●●● Si aïllem la mateixa incògnita en dues equacions i, un cop igualades, no podem resoldre l’equació amb una incògnita que resulta, com és el sistema, compatible o incompatible? Raona la resposta. 88. ●●● La suma de les dues xifres d’un nombre és a i la seva diferència també és a.

TERCER.

Comprovació. La barreja contindrà 20 ¬ del vi A i 80 ¬ del vi B. La quantitat de barreja serà 20 + 80 = 100 ¬. I el preu de la barreja és: 5,2 ⋅ 20 + 6,2 ⋅ 80 104 + 496 = =6€ 100 100

De quin tipus són els nombres que compleixen aquesta condició?

83. ●●● Barregem licor de 12 €/ ¬ amb licor de 15 €/ ¬, fins que tenim 50 ¬ de licor de 13 €/ ¬. Quants litres de cada licor hem barrejat? 12 €

15 €

13 €

50 ¬

89. ●●● La suma de les dues xifres d’un nombre és 2a i la seva diferència és a. Quins nombres compleixen aquesta condició? 90. ●●● En el triangle ABC, el costat BC fa 8 cm i l’altura AH en fa 4. Volem inscriure en aquest triangle un rectangle, MNPQ, on els vèrtexs P i Q estiguin al costat BC, M a AB i N a AC. Calcula les longituds de MN i MQ perquè el perímetre del rectangle MNPQ sigui 12 cm. A

84. ●●● En una fàbrica de sucs barregem dos tipus de qualitats, una de 50 cèntims el litre i una altra de 80 cèntims el litre. Quants litres de suc hem de barrejar de cada tipus per obtenir-ne 120 amb un cost total de 85,50 €?

M

B

N

Q

H

P

C

111

831084 _ 0095-0112.qxd

13/4/07

18:29

Página 112

A la vida quotidiana 91. ●●● En Xavier va a Sevilla amb un tren que ha sortit a les 17.00 h.

92. ●●● L’Alícia i la Maria han aconseguit una beca per estudiar durant 2 anys a París.

Quan facturaven l’equipatge han vist que l’Alícia portava 18 kg i la Maria, 27. Vostè porta 18 kg d’equipatge, no ha de pagar sobrepès.

Vostè en porta 27. Haurà d’abonar 42 € per sobrepès.

Tot i que la seva mare ha insistit que no s’oblidés res, en Xavier s’ha deixat a casa una cosa molt important: el carnet d’identitat. La seva mare l’ha trobat i ha anat a l’estació de tren per informar-se, i el cap d’estació li ha dit: El tren només farà una parada, a Villarrual, a 83 quilòmetres d’aquí... El tren va a una velocitat de 70 km/h, més o menys. D’aquí a Villarrual hi ha autovia, i vostè podria anar a 120 km/h.

Els avions de passatgers permeten un pes determinat dels equipatges; si se sobrepassa, el passatger ha d’abonar una quantitat per cada quilo de més que porti. Perquè a la Maria li surti més barat, l’hostessa que els factura els equipatges ha tingut una idea:

Si la mare d’en Xavier arribés abans que el tren a l’estació de Villarrual, el podria buscar i donar-li el carnet. El problema és que ja han passat 20 minuts des que el tren ha sortit. Creus que la mare d’en Xavier pot arribar a temps a l’estació?

112

Com que viatgen totes dues juntes, i a la seva amiga li falten uns quants quilos per arribar al pes màxim, podem unir els dos equipatges, i així vostè només hauria de pagar 30 €.

Quin és el pes permès a cada passatger? Quant s’ha de pagar per quilo de sobrepès?

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

6

Página 113

Proporcionalitat numèrica Un tros de la història Finalment, l’Alí havia aconseguit fer sortir l’Schoene de l’hotel, on feia quatre dies que s’havia reclòs sense apartar la vista d’aquell llibre, que de tant en tant feia que l’Schoene s’exclamés: –És meravellós! Fantàstic! Ha estat perdut durant segles i l’he trobat jo!

PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Reconèixer les relacions de proporcionalitat directa o inversa. • Resoldre problemes fent servir la regla de tres simple, directa o inversa. • Aplicar els repartiments proporcionals i la proporcionalitat composta en la resolució de problemes. • Calcular interessos, capitals i temps. • Treballar amb percentatges i fer-los servir per resoldre problemes de la vida real.

Aquella tarda, mentre passejaven pel soc, l’Schoene no parava de parlar de la seva nova adquisició; deia que era una petita peça del puzle de la història. –Alí, el llibre és la prova. –l’Schoene se’l mirava emocionat–. És una traducció d’un llibre de matemàtiques d’Heró d’Alexandria perdut fa molt de temps. L’original es va escriure el segle I. –Jo prefereixo la realitat a les teories matemàtiques –va contestar l’Alí sense l’entusiasme del seu company. –T’equivoques, Alí. Aquest llibre està ple de teories pràctiques: ensenya maneres d’aproximar arrels quadrades no exactes, mètodes per calcular les àrees de polígons, volums de cossos i, fins i tot, divisió de superfícies en parts proporcionals... Aquests coneixements eren molt útils a l’Egipte del segle I; per exemple, per calcular les mides dels terrenys que cultivaven o per repartir les herències. Com repartiries un terreny de 1.000 m2 entre dues famílies de manera que a una n’hi corresponguin 7 parts i a l’altra, 13?

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 114

1

Dues magnituds són directament proporcionals quan el quocient entre dues quantitats corresponents de totes dues, a i b, és constant: a =k b El nombre k és la constant o raó de proporcionalitat directa.

NO TE N’OBLIDIS Magnituds directament proporcionals Magnitud M

a

b

c

Magnitud M'

a'

b'

c'

Proporcionalitat directa

a b c = = =k a' b' c'

EXEMPLE

k → Constant de proporcionalitat numèrica

1

La Marta fa una feina per hores i cobra 12 € cada hora. a) Quant rebrà si treballa 2 hores? I si en treballa 3? b) Si cobra 18 €, quantes hores ha treballat? a) La Marta cobra 12 € per 1 hora de feina. En dues hores guanyarà el doble; en 3, el triple... GUANY

F

TEMPS

F

12 24 36 = = = … = 12 1 2 3

G

RAÓ

Les magnituds Guany –Temps són directament proporcionals. Quan en multipliquem (o en dividim) una per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida) per aquest mateix nombre.

Quan les magnituds són directament proporcionals, anomenem la taula de valors taula de proporcionalitat directa.

Podem reflectir aquesta situació mitjançant una taula de valors. ⋅3 :3 F

F

F

⋅2

36

48

60

72

…

Temps (h)

1

2

3

4

5

6

…

⋅2

F

24 F

12

F

Guany (€)

:3 ⋅3

b) Com que les magnituds són directament proporcionals es compleix que: GUANY

F

TEMPS

F

12 18 1 ⋅ 18 = →x= = 15 , 1 x 12

Si cobra 18 € va treballar 1,5 hores.

EXERCICIS PRACTICA

1

APLICA

Completa aquestes taules perquè siguin de proporcionalitat directa. 2

4

8

3

40

En un mapa, 14 cm representen 238 km en la realitat. Per quina longitud es representen 306 km? Una longitud de 10 cm al mapa, quina longitud real representa?

15

6

REFLEXIONA

1

0,25 1,25

2

114

3

8 12

Si el preu de 9 menús és 166,50 €, quant costaran 5 menús?

4

Inserir anuncis en un diari costa 10 € per 3 línies de text, i 3 € més per cada línia que hi afegim. Fes la taula que relaciona les magnituds. És de proporcionalitat numèrica?

831084 _ 0113-0132.qxd

2

10/5/07

10:44

Página 115

Proporcionalitat inversa

Dues magnituds són inversament proporcionals quan el producte de dues quantitats corresponents de totes dues, a i b, és constant: a⋅b=k El nombre k és la constant o raó de proporcionalitat inversa. EXEMPLE

Magnituds inversament proporcionals Magnitud M

a

b

c

Magnitud M'

a'

b'

c'

a ⋅ a' = b ⋅ b' = c ⋅ c' = k

Un tren que circula a una velocitat constant de 60 km/h triga 5 hores a cobrir un trajecte. a) Quantes hores trigarà a fer aquest trajecte si va a una velocitat de 30 km/h? I si la velocitat és de 10 km/h? b) Si triga 6 hores, a quina velocitat circula?

2

NO TE N’OBLIDIS

k → Constant de proporcionalitat inversa

a) Si el tren circula a 30 km/h, que és la meitat de velocitat, trigarà el doble de temps, 10 hores. Si redueix la velocitat a una sisena part: 10 km/h, trigarà sis vegades més, 30 hores... F

60 ⋅ 5 = 30 ⋅ 10 = 10 ⋅ 30 = … = 300

G

RAÓ

F

VELOCITAT TEMPS

Les magnituds Velocitat – Temps són magnituds inversament proporcionals. Quan en multipliquem (o en dividim) una per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre. Podem reflectir aquesta situació amb una taula de valors. :6 :2

60

30

10

40

…

Temps (h)

5

10

30

7,5

…

F

⋅2

F

Velocitat (km/h)

F

F

F

F

⋅4

Quan les magnituds són inversament proporcionals, la taula de valors l’anomenem taula de proporcionalitat inversa.

:4 ⋅6

b) Com que les magnituds són inversament proporcionals es compleix que: 60 ⋅ 5 = 50 6 Si triga 6 hores circula a una velocitat de 50 km/h. 60 ⋅ 5 = x ⋅ 6 → x =

EXERCICIS PRACTICA

5

APLICA

Completa les taules perquè siguin de proporcionalitat inversa. 1

2

4

6

6 REFLEXIONA

8

24

7 10 15

15

12 6

Un vaixell porta menjar per a 8 tripulants i una travessa de 15 dies. Si només són 6 tripulants, per a quants dies tindran menjar?

25

Classifica en proporcionalitat directa o inversa. a) El costat d’un quadrat i el seu perímetre. b) Obrers i temps per acabar una feina.

115

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 116

Regla de tres simple

3

Quan dues magnituds són proporcionals i no coneixem una de les quatre quantitats relacionades, la podem trobar amb una regla de tres simple.

3.1 Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa és una tècnica que ens permet calcular el valor d’una quantitat si coneixem unes altres tres quantitats relacionades de dues magnituds directament proporcionals. EXEMPLE 3

Si 6 revistes d’automòbils costen 18 €, quant en costaran 9? Esbrinem si hi ha proporcionalitat entre les dues magnituds.

En general, per resoldre una regla de tres simple directa, aplicarem el càlcul següent.

a → b ⎫⎪⎪ → a = b → x = c · b ⎬ c → x ⎪⎪⎭ x a c

• Si comprem el doble de revistes, el preu es duplica. • Si en comprem la meitat, el preu es redueix a la meitat. Les magnituds Nombre de revistes – Preu són directament proporcionals. Plantegem la regla de tres: costen → 18 € ⎫⎪⎪ Si 6 revistes ⎯⎯⎯⎯ ⎬ costaran → x € ⎪⎪⎭ 9 revistes ⎯⎯⎯⎯ Apliquem les propietats de la proporcionalitat directa: 6 18 9 ⋅ 18 = →x= = 27 9 x 6 El preu de 9 revistes és de 27 €. Una altra manera de calcular el preu de les revistes és calcular de primer quant en costa una: Una revista costa

18 = 3 €. 6

I ho multipliquem pel nombre de revistes que volem comprar: Les 9 revistes costaran 9 ⋅ 3 = 27 €. Aquest segon mètode l’anomenem reducció a la unitat.

EXERCICIS PRACTICA

8

9

116

APLICA

A la cuina d’un IES han pagat 42 € per 70 barres de pa. Quant haurien de pagar si haguessin comprat 45 barres?

10 El preu de 15 menús en un restaurant ha estat

Un cotxe gasta 46 cèntims d’euro de gasolina cada 4 km. Quant costarà el combustible en un viatge de 270 km si manté aquest consum?

REFLEXIONA

de 120 €. Quant costa el menú? Si hi van 7 persones, quant pagaran?

11 Un arbre de 2,25 m d’altura fa una ombra de 2 m.

Quina altura tindrà una torre que, a la mateixa hora, fa una ombra de 188,8 m?

831084 _ 0113-0132.qxd

10/5/07

10:44

Página 117

3.2 Regla de tres simple inversa La regla de tres simple inversa és una tècnica que ens permet calcular el valor d’una quantitat si coneixem unes altres tres quantitats relacionades de dues magnituds inversament proporcionals. EXEMPLE 4

12 obrers pinten un edifici en 15 dies. Quants dies trigaran 20 obrers a pintar el mateix edifici? El primer pas és esbrinar si hi ha algun tipus de proporcionalitat entre les dues magnituds: • Si treballen el doble d’obrers, trigaran la meitat de dies. • Si treballen la meitat d’obrers, el nombre de dies que trigaran serà el doble. Les magnituds Nombre d’obrers – Dies són inversament proporcionals. El plantejament de la regla de tres simple inversa és similar al de la regla de tres simple directa: triguen → 15 dies  Si 12 obrers   trigaran → x dies  20 obrers  Hem de tenir en compte, però, que en lloc de la segona fracció hem de fer servir la seva inversa. 12 x 12 ⋅ 15 = →x= =9 20 15 20

En general, per resoldre una regla de tres simple inversa, aplicarem el càlcul següent.

a → b  → a = x → x = a · b  c → x  b c c

Per tant, els 20 obrers dedicaran 9 dies a pintar l’edifici. Una altra manera de calcular el temps que trigaran els 20 obrers és esbrinar quant en trigaria un sol obrer: Un obrer treballant tot sol trigaria 12 ⋅ 15 = 180 dies. I si ho dividim entre el nombre d’obrers: 180 = 9 dies. 20 Aquest segon mètode l’anomenem reducció a la unitat. 20 obrers trigarien

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

12 Si el temps que 7 treballadors han dedicat

14 Per una aixeta brollen 6 litres per minut i fan

a netejar un carrer és de 7 hores, quant trigaran 5 treballadors?

falta 5 hores per omplir un dipòsit. Si hi brollés 1 litre per minut, quant trigaria?

13 La Marta triga 5 minuts a anar de casa seva

al col·legi en monopatí a una velocitat mitjana de 6 km/h. Quant trigarà quan hi va caminant, si va a una velocitat de 4 km/h?

REFLEXIONA

15 Per construir una piscina, 10 obrers treballen

16 dies. Quants obrers hi van treballar si van tardar 40 dies?

117

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 118

4

Repartiments proporcionals

4.1 Repartiments directament proporcionals Per repartir una quantitat, N, en parts directament proporcionals a a, b i c multipliquem els nombres, a, b i c, per la constant de proporcionalitat, N i així obtenim les parts. a+b+c EXEMPLE 5

Un pagès vol regar amb 300 m3 d’aigua tres parcel·les de forma directament proporcional a les superfícies que tenen, que són 2, 3 i 5 hectàrees, respectivament. Quants metres cúbics destinarà al reg de cada parcel·la? Les quantitats d’aigua que rebrà cada parcel·la les anomenem Part 1, Part 2 i Part 3.

2 ha

3 ha

5 ha

Quan fem un repartiment directament proporcional, la quantitat d’aigua que rep cada parcel·la: Part 1, Part 2 i Part 3, i les dimensions de cada parcel·la: 2, 3 i 5 hectàrees mantenen una proporció directa. Part 1 Part 2 Part 3 = = 2 3 5 A més, també hi ha proporcionalitat entre la quantitat total d’aigua i el nombre total d’hectàrees: 2 + 3 + 5. 300 Part 1 Part 2 Part 3 = = = 2+3+5 2 3 5 És a dir: 300 Part 1 300 = → Part 1 = 2 ⋅ = 60 m3 2+3+5 2 2+3+5 300 Part 2 300 = → Part 2 = 3 ⋅ = 90 m3 2+3+5 3 2+3+5 300 Part 3 300 = → Part 3 = 5 ⋅ = 150 m3 2+3+5 5 2+3+5 La quantitat d’aigua que es destinarà a cadascuna de les parcel·les serà de 60, 90 i 150 m3, respectivament.

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

16 Reparteix 102 € en parts directament

18 La senyora Francesca

proporcionals a 3, 2 i 1, respectivament. APLICA

17 Un pare reparteix 99 € entre els seus tres fills

en parts directament proporcionals a 3, 2 11 i . Quant li correspon a cadascun? 3 6

118

reparteix la seves terres entre els néts en parts directament proporcionals a les edats que tenen: 8, 12 i 15 anys. Si al petit li toquen 12 hectàrees, esbrina el total d’hectàrees repartides.

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 119

4.2 Repartiments inversament proporcionals Si volem repartir una quantitat, N, en parts inversament proporcionals a a, N b i c dividim la constant de proporcionalitat per la quan1 1 1 + + a b c titat corresponent; a, b i c, i obtenim les parts. EXEMPLE 6

Tres cambrers es reparteixen 295 € de propines en parts inversament proporcionals als dies que van faltar en el trimestre, que van ser 2, 5 i 7. Quant correspon a cadascun? Quan fem el repartiment inversament proporcional, la quantitat que rep cada cambrer, que anomenem Quantitat 1, Quantitat 2 i Quantitat 3, i les del nombre de dies que van faltar: 2, 5 i 7, mantenen una proporció inversa i els seus productes seran iguals a la constant de proporcionalitat. 2 ⋅ Quantitat 1 = 5 ⋅ Quantitat 2 = 7 ⋅ Quantitat 3 = k k 2 ⋅ Quantitat 1 = k → Quantitat 1 = 2 k 5 ⋅ Quantitat 2 = k → Quantitat 2 = 5 k 7 ⋅ Quantitat 3 = k → Quantitat 3 = 7 A més, la suma d’aquestes tres quantitats ha de ser igual a la quantitat que s’ha de repartir: ⎛1 k k k 1 1⎞ + + = 295 → k⎜⎜ + + ⎟⎟⎟ = 295 → ⎜ ⎝2 2 5 7 5 7 ⎟⎠ →k=

Repartir una quantitat, N, en parts inversament proporcionals a a, b i c equival a repartir-la en parts directament proporcionals a 1

a

,

1

b

i

1

c

.

295 295 = = 350 1 1 1 59 + + 2 5 7 70

k 350 = = 175 € 2 2 k 350 = = 70 € Quantitat 2 = 5 5

Per tant: Quantitat 1 =

Quantitat 3 =

k 350 = = 50 € 7 7

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

19 Reparteix 70 parts inversament proporcionals

22 Hem repartit 300 € en parts inversament

als nombres 3 i 4. 20 Reparteix 1.100 en parts inversament

proporcionals als nombres 5 i 6. 21 Vull repartir 620 € entre els meus nebots

en parts inversament proporcionals a les edats que tenen, que són 1, 3 i 7 anys. Quant he de donar a cadascun?

1 1 1 , i . Quina és la part 3 5 7 1 corresponent a ? 5 proporcionals a

REFLEXIONA

23 Si reparteixo 1.200 proporcionalment a 5 i 6

i dono 500 a 6 i 700 a 5, ha estat un repartiment inversament proporcional?

119

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 120

5

Proporcionalitat composta

Quan intervenen més de dues magnituds relacionades les unes amb les altres proporcionalment, diem que hi ha proporcionalitat composta. EXEMPLE 7

6 min

Cinc fotocopiadores triguen 6 minuts a fer 600 fotocòpies. Si posem en funcionament 7 fotocopiadores i volem fer 1.400 fotocòpies, quants minuts trigaran? En aquest cas tenim tres magnituds proporcionals: Nombre de fotocopiadores – Nombre de fotocòpies – Nombre de minuts Com que intervenen més de dues magnituds, diem que hi ha una proporcionalitat composta.

600 còpies

El primer pas és esbrinar el tipus de proporcionalitat que hi ha entre la magnitud de la incògnita (nombre de minuts) i les altres dues magnituds: • Com més fotocopiadores, menys minuts → Proporcionalitat inversa. • Com més fotocòpies, més minuts ⎯⎯⎯⎯ → Proporcionalitat directa. Inversa Directa F

F

Fotocopiadores

Fotocòpies

Minuts

5

600

6

7

1.400

x

Multipliquem els quocients de les quantitats de les magnituds que coneixem (fem servir les seves inverses en els casos de proporcionalitat inversa), i igualem aquest producte al quocient de les quantitats de la incògnita: INVERSA DIRECTA

7 5

⋅

600 1.400

=

6 4.200 6 6 ⋅ 7.000 → = →x= = 10 minuts x 7.000 x 4.200

Set fotocopiadores trigaran 10 minuts a fer 1.400 fotocòpies.

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

24 En 7 dies, 8 màquines han obert una rasa

26 La mestressa d’una pensió

de 1.400 m de llargada. Quantes màquines faran falta per fer una rasa de 300 m en 6 dies? APLICA

25 Vint treballadors han posat 400 m de cable

durant 6 dies. Hi han treballat 8 hores diàries. Quantes hores al dia hauran de treballar 24 treballadors durant 14 dies per posar 700 m de cable?

120

ha pressupostat 250 € per alimentar els 28 hostes que té durant 12 dies. Si el nombre d’hostes augmenta en 6 persones, per a quants dies arribarà el pressupost?

831084 _ 0113-0132.qxd

6

13/4/07

18:36

Página 121

Problemes amb percentatges

6.1 Càlcul de percentatges Un percentatge o tant per cent expressa la quantitat d’una magnitud corresponent a 100 unitats de l’altra. Ho escrivim amb el signe %. EXEMPLES 8

En un institut de 200 alumnes, el 25 % dels alumnes porten ulleres. Quants porten ulleres? porten ulleres

→ 25 alumnes ⎫⎪ Si de 100 alumnes ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎬ porten ulleres → x alumnes ⎪⎭⎪ de 200 alumnes ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 100 25 = → x = 50 alumnes 200 x 9

Quin percentatge d’encerts vaig tenir si vaig fer 7 cistelles de 32 intents? en vaig encertar

⎯⎯ ⎯⎯→ 7 ⎪⎫ Si de 32 intents ⎯⎯⎯ 32 7 7 ⋅ 100 = →x= = 21,88 % ⎬→ n’encertaré ⎯⎯ ⎯⎯→ x ⎪⎪⎭ de 100 intents ⎯⎯⎯ 100 x 32 Vaig tenir un 21,88 % d’encerts.

6.2 Augments i disminucions percentuals Augmentar un t % equival a calcular el (100 + t) % d’aquesta quantitat. Disminuir un t % equival a calcular el (100 − t) % d’aquesta quantitat. EXEMPLE

Per calcular el tant per cent d’una quantitat n’hi ha prou de multiplicar aquesta quantitat pel tant per cent dividit entre 100: a a% de C = C · 100

10 Un cotxe que l’any passat costava 15.000 € aquest any ha augmentat de preu un 20 %. Quin n’és el preu actual? Si el preu inicial, el 100 %, ha augmentat un 20 %, el preu final serà el 100 + 20 = 120 % del preu inicial. Per tant, el cotxe costarà: 120 % de 15.000 = 15.000 ⋅

120 = 15.000 ⋅ 1,2 = 18.000 € 100

EXERCICIS PRACTICA

APLICA 3

27 Un embassament amb una capacitat de 200 hm

es troba al 45 % de la capacitat. Quina quantitat d’aigua conté?

29 Una raqueta de tennis costa 180 € més un 16 %

d’IVA. Quin n’és el preu final? REFLEXIONA

28 En un diari diuen que 80 de cada 1.500 persones

practiquen esports de risc. Expressa aquesta dada amb un percentatge.

30 La Maria compra un llibre per 15 €.

En aquest preu s’hi inclou un 4 % d’IVA. Quant val el llibre sense IVA?

121

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 122

6.3 Percentatges encadenats Els percentatges encadenats apareixen quan apliquem augments o disminucions percentuals successivament. Equivalen a aplicar un únic percentatge, que és el producte de tots ells. Els percentatges encadenats, t1, t2, t3, …, tn, d’una quantitat equivalen a calcular (t1 ⋅ t2 ⋅ t3 ⋅ … ⋅ tn) % d’aquesta quantitat. EXEMPLE 11 Un televisor que costa 250 € està rebaixat un 30 %. Quan anem a pagar a caixa ens hi afegeixen un 16 % d’IVA. Quin n’és el preu final? 20 · 144 = 100 = 0,2 · 144

El 20 % de 144 =

El 120 % de 144 =

Si el preu inicial, el 100 %, està un 30 % rebaixat, el preu amb la rebaixa serà: 100 − 30 = 70 % del preu inicial

120

· 144 = 100 = 1,2 · 144 Quan apliquem l’IVA hi ha un augment del 16 %. El preu un cop hi hem posat l’IVA és: 100 + 16 = 116 % del preu rebaixat Per tant, un televisor de 250 € costarà: 116 % del 70 % de 250 = 0,70 ⋅ 1,16 ⋅ 250 = 0,812 ⋅ 250 = 203 € Percentatge amb IVA

Percentatge final F

Percentatge rebaixat

El preu final del televisor, 203 €, és el 81,2 % del preu inicial.

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

31 Un disc compacte val 12 €. El botiguer me’l

33 Hi ha hagut unes quantes variacions

rebaixa un 15 % perquè sóc bon client i quan pago em cobra un 16 % d’IVA. Quant pago pel disc? Quin percentatge suposa el preu final sobre l’inicial? APLICA

32 El valor d’una acció és de 15 €. Dilluns puja

un 3 %, dimarts baixa un 7 % i dimecres puja un 10 %. Amb quin valor comença dijous? En quins moments el valor és superior a l’inicial?

122

en el preu dels tomàquets. A principis de juny, el preu mitjà d’un quilo de tomàquets era de 2,10 €. Durant aquest mes el preu va pujar un 10 %. El mes de juliol el preu del quilo de tomàquets també es va incrementar, un 17 %, i el mes d’agost va baixar un 8 % respecte al preu del mes de juliol. Quin era el preu d’un quilo de tomàquets a finals del mes d’agost? Quin ha estat el percentatge de pujada del preu dels tomàquets entre juny i agost?

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 123

Interès simple

7

Quan ingressem una certa quantitat de diners al banc, l’entitat ens dóna un benefici que anomenem interès. L’interès és directament proporcional als diners dipositats i al temps que els tenim ingressats. L’interès simple, I, és el benefici que origina una quantitat de diners denominada capital, C, en un temps, t, amb un rèdit anual, r %. C⋅r⋅t I= (temps en anys) 100 C⋅r⋅t I= (temps en mesos) 1.200 C⋅r⋅t I= (temps en dies) 36.000 EXEMPLE 12 Un pagès ha decidit invertir els beneficis de la collita, que són 8.500 €, en un dipòsit al 3 % anual durant 5 anys. a) Quin interès obtindrà quan hagin passat els 5 anys? b) I en els 6 primers mesos de la inversió? a) Un rèdit del 3 % anual significa que, en un any, per cada 100 € invertits, obtindrà 3 € d’interès. Per tant: 3 100 ⎛ ⎞⎟ 3 8 . 500 ⋅3⋅5 ⎟⎟ ⋅ 5 = En 5 anys → ⎜⎜⎜8.500 ⋅ = 1.275 € ⎝ 100 ⎠ 100 Si apliquem la fórmula obtenim el mateix resultat: C ⋅ r ⋅ t C = 8.500, r = 3, t = 5 8.500 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → I= I= = 1.275 € 100 100 Obtindrà uns interessos de 1.275 € en 5 anys. En 1 any ⎯ → 3 % de 8.500 = 8.500 ⋅

Quan en el llenguatge quotidià fem servir expressions com «un 3 % d’interès», en realitat ens estem referint al rèdit. El rèdit és un percentatge, però l’interès és un nombre.

C⋅r ⋅t 8.500 ⋅ 3 ⋅ 6 = = 127,50 € 1.200 1.200 En 6 mesos obtindrà uns interessos de 127,50 €.

b) I =

EXERCICIS PRACTICA

34 Calcula l’interès que donen 1.800 €

en 9 mesos al 4 % anual.

36 Quin interès rebrem per una inversió de 4.500 €

al 4 % anual si retirem els diners 2 mesos i 9 dies després del començament de la inversió?

APLICA

REFLEXIONA

35 La Marta va deixar a en Joan 2.460 € al 3%

37 Esbrina el capital que he invertit en un banc

durant 4 anys. Quants diners en total li va tornar en Joan un cop passat aquest temps?

al 4,5 % durant 2 anys si en total m’han tornat 1.463 €.

123

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 124

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Magnituds directament proporcionals

Magnituds inversament proporcionals

⋅3

⋅3 F

2

4

6

Magnitud A

1

2

4

6

Magnitud B

5

10

20

30

Magnitud B

24

12

6

4

F

F

⋅2

:2

⋅3

1 2 4 6 = = = = 0,2 5 10 20 30

G

Constant de proporcionalitat directa

Percentatges a a % de C = C ⋅ 100

F

⋅2

:2

F

F

1

F

F

Magnitud A

F

F

F

⋅2

:2 F

⋅2

:2

:3

1 ⋅ 24 = 2 ⋅ 12 = 4 ⋅ 6 = 6 ⋅ 4 = 24

G

Constant de proporcionalitat inversa

Interès simple C⋅r ⋅t I= (temps en anys) 100

FES-HO AIXÍ

1. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB

REGLES DE TRES SIMPLES DIRECTES

REGLES DE TRES SIMPLES INVERSES

Un cotxe consumeix, a velocitat constant, 7 litres de gasolina si recorre 100 km. Si fa 250 km a la mateixa velocitat, quants litres consumirà?

En un veler on es preveu que viatjaran 18 tripulants, emmagatzemem aigua per a 10 dies. Si al final només hi van 15 tripulants, per a quants dies tindran aigua?

PRIMER.

PRIMER.

SEGON.

SEGON.

Identifiquem les magnituds. Distància recorreguda – Consum de gasolina

Esbrinem si hi ha relació de proporcionalitat entre elles. • Amb el doble de distància, doble consum. • Amb la meitat de la distància, meitat de consum... Les magnituds Distància – Consum són directament proporcionals.

TERCER.

Plantegem la regla de tres. consumeix

→ 7 litres ⎫⎪ Si en 100 km ⎯⎯⎯⎯ ⎬ consumirà → x litres ⎪⎪⎭ en 250 km ⎯⎯⎯⎯ QUART.

Resolem la regla de tres.

Raó directa

100 7 7 ⋅ 250 = →x= = 17,5 litres 250 x 100 Si manté la mateixa velocitat, consumirà 17,5 litres per recórrer 250 km.

124

2. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB

Identifiquem les magnituds. Nombre de tripulants – Dies

Esbrinem si hi ha relació de proporcionalitat entre elles. • Amb el doble de tripulants, la meitat de dies. • Amb la meitat de tripulants, el doble de dies... Nombre de tripulants – Dies són magnituds inversament proporcionals.

TERCER.

Plantegem la regla de tres. beuen

Si 18 tripulants ⎯⎯⎯→ 10 dies ⎪⎫ ⎬ beuran 15 tripulants ⎯⎯⎯→ x dies ⎪⎪⎭ QUART.

Resolem la regla de tres.

Raó inversa

18 x 18 ⋅ 10 = →x= = 12 dies 15 10 15 Tindran aigua per a 12 dies.

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 125

3. REPARTIM UNA QUANTITAT

4. REPARTIM UNA QUANTITAT

EN PARTS DIRECTAMENT PROPORCIONALS

EN PARTS INVERSAMENT PROPORCIONALS

Reparteix 70 parts directament proporcionals a 3 i 4.

Reparteix 70 en parts inversament proporcionals a 3 i 4.

PRIMER.

PRIMER. Dividim la quantitat que hem de repartir entre la suma dels inversos de les parts. N 70 70 70 ⋅ 12 = = = = 120 1 a +1 b 1 3 +1 4 7 12 7

Dividim la quantitat que hem de repartir entre la suma de les parts. N 70 70 = = = 10 a+ b 3+4 7

SEGON.

Multipliquem aquest resultat per cadascun dels inversos de les parts. 1 A 3 li correspon: ⋅ 120 = 40 . 3 1 A 4 li correspon: ⋅ 120 = 30 . 4

SEGON.

Multipliquem aquest resultat per cadascuna de les parts. La quantitat que li correspon a 3 és: 3 ⋅ 10 = 30 La quantitat que li correspon a 4 és: 4 ⋅ 10 = 40

5. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT COMPOSTA Inversa

Vint treballadors posen 400 m de cable en 6 dies de feina. Quants dies necessitaran 24 obrers per posar-ne 700 m?

Directa F

F

Treballadors

Metres

Dies

Nombre de treballadors – Metres de cable – Dies de feina

20

400

6

SEGON.

24

700

x

PRIMER. Identifiquem les magnituds.

Esbrinem el tipus de proporcionalitat que hi ha entre la magnitud de la incògnita i la resta.

TERCER.

Multipliquem els quocients de les magnituds que coneixem tenint en compte que si és inversa hem de posar els inversos, i l’igualem al quocient de les quantitats de la incògnita.

INVERSA

DIRECTA

24 400 6 20 ⋅ 700 ⋅ 6 = →x= = 8,75 dies ⋅ 20 700 x 24 ⋅ 400 Hauran de treballar gairebé 9 dies.

I ARA... PRACTICA Resolució de problemes amb regles de tres simples directes o inverses 1. Si 70 barres valen 42 €, 85 barres costaran: a) 141,10 € b) 51 € c) 34,59 € 2. Puc gastar 20 € diaris durant 7 dies. Si vull tenir diners per a 10 dies podré gastar: a) 3,50 € b) 28,57 € c) 14 € Repartim en parts directament proporcionals 3. Si reparteixo 100 en parts directament proporcionals a 7 i 3, a 7 li corresponen: a) 30 b) 50 c) 70

Repartim en parts inversament proporcionals 4. Si reparteixo 100 en parts inversament proporcionals a 7 i 3, a 7 li corresponen: a) 30

b) 50

c) 70

Resolució de problemes de proporcionalitat composta 5. Si tres aixetes obertes durant 8 hores diàries triguen 10 dies a omplir un dipòsit, 4 aixetes obertes 5 hores diàries trigaran: a) 8,33 dies

b) 12 dies

c) 4,69 dies

125

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 126

Activitats 43. ● Estudia si les magnituds són directament o inversament proporcionals.

MAGNITUDS PROPORCIONALS 38. ● Indica quins dels parells de magnituds següents són directament proporcionals. a) La longitud del costat d’un quadrat i el seu perímetre. b) La longitud del costat d’un quadrat i la seva àrea. c) El nombre de fills d’una família i el nombre de dies de vacances. 39. ● En un mercat hi ha dues parades on venen pomes, i tenen aquestes taules de preus.

a) El radi d’una circumferència i la seva longitud. b) La velocitat d’un cotxe i el temps que tarda a fer un recorregut determinat. c) El nombre d’entrades d’un cinema i el preu. d) La superfície d’una paret i el temps que es tarda a pintar-la. e) La gasolina que gasta un cotxe i la distància que recorre. 44. ● Completa les taules següents perquè siguin de proporcionalitat inversa. a)

PARADA A

2

2 kg

3 kg

0,53 €

1,06 €

1,59 €

2 kg

3 kg

0,60 €

1€

1,50 €

En quina de les parades les magnituds preu i pes són directament proporcionals? 40. ● Completa la taula. Tingues en compte que és una proporcionalitat directa. 1.000

4

b)

5

4

12

30

60 28

45. ● Comprova que les magnituds M i M' són inversament proporcionals, i calcula el valor de y i y'.

1 kg

500

4

0,90

1 kg

PARADA B

100

3

25.000

4

6

8

10

16

Magnitud M'

12

8

6

y

y'

46. ●● En cadascuna d’aquestes taules de proporcionalitat inversa hi ha un error. Corregeix-lo i calcula la constant de proporcionalitat. a)

200

Magnitud M

9

6 5,4 4,5 4

6

9

10 12 13

b)

1,2 2,4 4,8 6 7,2

)

50 25 12 10 8,3

41. ● Observa la taula de proporcionalitat de les magnituds següents. Magnitud M

4

6

7

9

10

Magnitud M'

12

18

21

y

y'

Comprova que les magnituds M i M' són directament proporcionals, i calcula y i y'.

REGLA DE TRES 47. ● Per construir una tanca de 12 metres s’han pagat 1.250 €. Quant s’haurà de pagar per una altra tanca de 25 metres?

42. ● Assenyala quins dels parells de magnituds següents són inversament proporcionals. a) El nombre de màquines i el temps que triguen a fer una feina. b) L’edat d’una persona i la seva velocitat quan camina. c) La base i l’altura d’un rectangle amb una àrea de 20 cm2. d) La base i l’altura d’un rectangle de 40 cm de perímetre.

126

12 m

25 m

48. ● L’Amanda ha comprat un tros de roba de 2 m que li ha costat 32 €. Quant li hauria costat un tros de 3,2 metres?

831084 _ 0113-0132.qxd

10/5/07

10:44

Página 127

49. ● Un cotxe consumeix 25 litres de combustible en un viatge de 300 km si va a una velocitat determinada. Quant consumirà en un viatge de 550 km si va a la mateixa velocitat?

55. ●● En una casa on viuen 6 persones es consumeix, per a la higiene personal, una mitjana de 900 litres d’aigua diaris. Quant es gastarà en aquesta casa si hi entren a viure 5 persones més?

50. ●● Un tren que circula a 100 km/h triga 5 hores a arribar a una ciutat. A quina velocitat circula un altre tren que triga 6 hores i un quart a fer el mateix recorregut?

56. ●●● El consum d’aigua en un gimnàs on van 150 persones és de 6.000 litres diaris.

51. ●● Si un pintor ha pintat 75 m2 de paret amb 125 quilos de pintura: a) Quanta pintura hauria necessitat per pintar 300 m2 de paret? b) Amb 50 kg, quants metres quadrats pot pintar? 52. ●● Quinze persones fan el muntatge d’unes plaques solars en tres setmanes. a) Quan trigarien 35 persones a fer aquest muntatge? b) Si el volem fer en només 15 dies, quantes persones necessitarem?

a) Quin en serà el consum si s’hi inscriuen 30 persones més? b) Si a partir de 7.000 litres el consum té un recàrrec, quin és el nombre màxim de clients nous que s’hi poden inscriure sense pagar aquest recàrrec? 57. ●●● Per fer una minipizza de 10 centímetres de diàmetre necessitem 100 grams de mozzarella. Si volem fer una pizza de 20 centímetres de diàmetre, quina quantitat de formatge farem servir?

REPARTIMENTS PROPORCIONALS 58. ● Un constructor vol repartir 1.000 € entre tres dels seus treballadors de manera directament proporcional a l’antiguitat que tenen a l’empresa. L’Andreu fa 9 anys que és a l’empresa, mentre que en Bernat i en Carles només en fa 3. Quina part els correspon?

53. ●● Tres capses de bombons pesen 2,7 quilos. a) Quant pesen 15 capses? b) Si la nostra furgoneta pot transportar 500 kg, hi podem portar 230 capses de bombons? 54. ●● Una explotació agrària té herba per alimentar 48 vaques durant 18 setmanes. a) Per a quantes setmanes en tindria si fossin 24 vaques més? b) Si passades 7 setmanes compren 18 vaques, fins quan hi haurà herba?

59. ● Un avi decideix repartir 120 caramels entre els seus quatre néts de manera directament proporcional a les edats que tenen, que són 4, 6, 6 i 8 anys, respectivament. Quants caramels corresponen a cada nét? 60. ●● Dos amics munten un negoci. Un d’ells es retira al cap de 8 mesos. L’altre soci continua fins al final d’any, i el resultat són unes pèrdues de 1.500 €. Quant ha de pagar cada amic?

127

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 128

61. ●● En Vicenç i la Sílvia obren una llibreta d’estalvis en un banc. En Vicenç hi posa 400 € i la Sílvia, 800. Uns anys després els tornen 1.380 €. Com els han de repartir? Quant correspon a cadascú? 62. ●● Decidim construir un pont que costa un milió d’euros. L’han de pagar tres localitats en parts inversament proporcionals a la distància de cadascuna del pont. Albareda és a 6 km, Bonaigua, a 8 km i Cabestrer, a 10. Calcula quant ha de pagar cada localitat.

65. ●●● Un avi reparteix 10.350 € entre els seus tres néts de manera proporcional a les edats que tenen. Si els dos petits tenen 22 i 23 anys, calcula: a) L’edat del germà gran si saps que li corresponen 3.600 €. b) Les quantitats dels altres germans.

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LA QUANTITAT REPARTIDA SI EN CONEIXEM UNA PART INVERSAMENT PROPORCIONAL? 66. Hem repartit una herència de forma inversament proporcional a les edats de tres cosins, que són 25, 20 i 16 anys. Al cosí de 25 anys li han correspost 800 €. Quina quantitat s’han repartit?

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LA QUANTITAT REPARTIDA SI EN SABEM UNA PART DIRECTAMENT PROPORCIONAL?

63. Hem repartit una quantitat de forma directament proporcional a les edats de tres germans, que són 8, 4 i 3 anys. Si al germà més gran li han correspost 800 €, quina quantitat hem repartit? PRIMER.

Trobem la constant de proporcionalitat. 800 k= = 100 8

SEGON.

Calculem el total. (8 + 4 + 3) ⋅100 =1.500 Hem repartit 1.500 €.

64. ●● En Lluís, en Damià i en Carles van comprar un dècim de loteria de Nadal. En Carles hi va posar 10 €, en Damià 6 i en Lluís 4. El dècim va ser premiat i en el repartiment a en Carles li van tocar 5.000 €. Quant els va correspondre als altres dos?

128

PRIMER. Calculem la constant de proporcionalitat. k 800 = → k = 800 ⋅ 25 = 20.000 25 SEGON. Calculem el total. k k k + + = Herència 25 20 16 20.000 20.000 20.000 + + = 3.050 € 25 20 16

Hem repartit 3.050 €. 67. ●● Si reparteixes una quantitat a parts inversament proporcionals a 10, 7 i 3, la quantitat que li correspon a 3 és 50. Quines quantitats corresponen a 10 i 7? 68. ●●● D’acord amb un testament, repartim 359.568 € entre tres persones en parts inversament proporcionals al seu sou mensual. Calcula quant correspondrà a cadascú 2 si el sou més baix és del sou mitjà, el qual és 3 3 del més alt. 4

831084 _ 0113-0132.qxd

10/5/07

10:44

Página 129

PROPORCIONALITAT COMPOSTA

76. ● Em fan un 15 % de descompte per un CD que costa 21 €. Quants diners m’estalvio?

69. ●● Un grup de 8 amics va pagar 940 € per una estada de 3 dies en un hotel. Quant costava l’estada d’un dia de cada amic?

77. ●● En un institut, 63 alumnes, que són el 15 % del total, han viatjat a l’estranger. Quants alumnes té l’institut? 78. ●● Un venedor de cotxes rep com a comissió el 0,8% de les vendes que fa. a) Si en un mes va rebre 300 € de comissió, quines vendes va fer? b) Si el mes següent va vendre per valor de 45.000 €, quina comissió va obtenir?

70. ●● Dues màquines consumeixen 1.500 kWh en un dia si funcionen 6 hores diàries. Quant consumiran 3 màquines si funcionen 8 hores al dia? 71. ●●● Una barra de metall de 10 m de llargada i 2 cm2 de secció pesa 8,45 kg. Quant pesarà una barra del mateix material de 5 m de llargada i 7 cm2 de secció? 72. ●● Per les festes d’un barri col·loquen 1.200 fanalets que s’encenen 8 hores al dia. Això suposa una despesa de 1.440 €. Quina seria la despesa si es col·loquessin 600 fanalets més i s’encenguessin 2 hores menys?

79. ●● Un comerciant decideix apujar el preu d’una mercaderia, que era de 72 €, un 3 %, i la setmana següent un altre 3 % sobre l’últim preu. Quin és el preu final de la venda? 80. ●● Dues setmanes consecutives s’ha aplicat al preu d’un article augments del 2 % i el 5 %. Quin percentatge s’ha incrementat l’article sobre el preu original? 81. ●● En una botiga apugen el preu d’un producte de 200 € un 10 %. La setmana següent decideixen rebaixar-lo un 10 % del preu que té en aquell moment. Què ha passat amb el preu?

73. ●● Es creu que, per construir la piràmide de Kheops, van treballar 20.000 persones durant 10 hores al dia. I van trigar 20 anys a acabar-la. a) Quant haurien trigat si haguessin estat 10.000 persones més? b) I si haguessin treballat 8 hores diàries? 74. ●● Cent treballadors, tarden 300 dies a construir un vaixell treballant 8 hores diàries. a) Si s’augmentés la plantilla en 20 persones, quants dies s’avançaria la construcció? b) Si es reduís la plantilla en 20 persones, quants dies s’endarreriria la construcció? c) I si la plantilla es reduís en 20 persones però s’augmentessin els torns a 9 hores diàries?

FES-HO AIXÍ COM COMPAREM MITJANÇANT PERCENTATGE? 82. En una cafeteria han augmentat els preus dels refrescos: la taronjada, d’1 € a 1,05 €, i els refrescos de cola, d’1,10 € a 1,15 €. Ha estat proporcional, l’augment? PRIMER.

Calculem la pujada lineal. 1,05 − 1 = 0,05 1,15 − 1,10 = 0,05 Els dos refrescos pugen la mateixa quantitat.

SEGON.

PERCENTATGES 75. ● Tres de cada 5 alumnes han tingut la grip en el mes de gener. Expressa aquesta dada en forma de percentatge.

Calculem el percentatge que representa la pujada. 0,05 0,05 = 0,05 → 5 % = 0,0454 → 4,54% 1 1,10 L’augment no és proporcional.

129

831084 _ 0113-0132.qxd

10/5/07

10:44

Página 130

83. ●● Per Nadal, la carn de xai va pujar de preu: de 8,85 €/kg a 11,55 €/kg. També es va encarir el raïm, de 2,10 €/kg a 3,95 €/kg. Quin producte es va apujar més en proporció?

89. ●● En Mateu ha rebut una herència de 40.000 €. Els inverteix en un dipòsit amb un interès del 5 % anual durant 5 anys i mig. Quan hagi passat aquest temps, els interessos que rebrà els repartirà entre els seus 4 fills, de manera inversament proporcional a l’edat que tenen, que són 15, 14, 12 i 10 anys.

84. ●● Hem escalfat una barra de metall d’1 m a 200 ºC i s’ha dilatat fins que ha fet 1,04 m. Quan hem escalfat una barra de 60 cm d’un altre metall a la mateixa temperatura, s’ha dilatat fins a arribar a mesurar 61,9 cm. Quin metall es dilata menys? 85. ●●● En un envàs de galetes anuncien que conté un 25 % més pel mateix preu. Els envasos antics pesaven 1 kg, i l’envàs actual, amb l’oferta, pesa 1,20 kg. És certa la publicitat?

INTERÈS SIMPLE 86. ● Quin interès donen 3.000 ? al 4,3 % durant 5 anys? I durant 15 mesos? I durant 150 dies?

a) Quina quantitat rebrà d’interessos quan acabi la inversió, és a dir, al cap de 5 anys i mig? b) Quants diners correspondran a cada fill?

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT FES-HO AIXÍ

87. ●● Quin és el capital que, al 7,5 %, produeix 3.760 € en un any?

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MESCLES?

88. ●● L’Emili ha decidit invertir els estalvis, que són 9.600 €, en un dipòsit financer que ofereix un interès del 3,85 % durant 4 anys.

90. Mesclem dos tipus de farina, A i B, amb uns preus de 0,75 €/kg i 0,50 €/kg. La proporció és de 5 kg del tipus A i 3 kg del tipus B. A quin preu surt el quilo de la mescla? PRIMER.

Calculem el preu i la quantitat total. Total de farina = 5 kg + 3 kg = 8 kg Preu total = 5 ⋅ 0,75 + 3 ⋅ 0,50 = 5,25 €

SEGON.

Ho reduïm a la unitat.

Preu de la mescla =

a) Quant cobrarà d’interessos durant els 6 primers mesos? b) I per 3 mesos i 20 dies? c) Si decidís treure els diners abans que acabés el període d’inversió, 4 anys, el penalitzarien amb un pagament del 5 % del capital invertit. Després d’un any i dos mesos i mig, hi perdrà o hi guanyarà diners? d) Quant temps ha de passar perquè, quan cancel·li el dipòsit, no hi perdi diners?

130

5,25 = 0,66 €/kg 8

91. ●● Mesclem 8 kg de cafè de 2,25 €/kg amb 5 kg de cafè d’1,66 €/kg. A quant haurem de vendre el quilo si volem guanyar un 10 % del preu per quilo? 92. ●● Fonem un lingot de plata de 200 g de llei del 90 % (90 % de puresa) amb un altre de 300 g de 80 % de llei. Quina és la llei del lingot nou? 93. ●● Tenim alcohol del 96 %. Si mesclem 1 litre d’alcohol amb mig litre d’aigua, quina serà la graduació de l’alcohol que en resulta?

831084 _ 0113-0132.qxd

10/5/07

10:44

Página 131

94. ●●● En quina proporció hem de mesclar dos tipus de cafè, A i B amb uns preus de 5 €/kg i 8 €/kg perquè en resulti un cafè de 7,25 €/kg? 95. ●●● Un lingot d’or i coure del 90 % de llei té un pes de 100 g. Amb quina quantitat de coure l’haurem de fondre perquè la llei baixi al 75 %?

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MÒBILS?

97. ●● A les 9.45 h surt de Sevilla un AVE en direcció a Madrid que circula a una velocitat mitjana de 220 km/h. A la mateixa hora surt de Madrid un tren de mercaderies que circula per una via paral·lela a la de l’AVE i que va a una velocitat de 40 km/h. A quina hora es trobaran si la distància entre Madrid i Sevilla és de 520 km? 98. ●●● Un ciclista que circula a una velocitat de 15 km/h té una hora d’avantatge respecte a un cotxe que circula a 60 km/h. Quant temps trigarà el cotxe a atrapar el ciclista?

96. Un tren de passatgers va a una velocitat de 90 km/h i un de mercaderies que circula per una via paral·lela va a 50 km/h. a) Si surten a la mateixa hora de punts oposats, a una distància l’un de l’altre de 350 km, i un va a trobar l’altre, quant tardaran a trobar-se?

INVESTIGA b) Si tots dos surten del mateix punt i el tren de mercaderies, que ha sortit abans, té un avantatge de 140 km, quant tardarà el tren de passatgers a atrapar-lo?

PRIMER. Sumem o restem les velocitats en funció de si van en la mateixa direcció o no.

a)

VELOCITAT D’ACOSTAMENT =

90 + 50 = 140 km/h S’acosten a una velocitat de 140 km/h.

b)

VELOCITAT D’ACOSTAMENT =

90 − 50 = 40 km/h El tren de passatgers s’acosta al de mercaderies amb una velocitat de 40 km/h.

SEGON.

El quocient entre la distància que els separa i la velocitat a què s’acosten és el temps. distància 350 = = 2,5 velocitat 140 Tardaran 2,5 hores a trobar-se.

a) Temps =

distància 140 = = 3,5 velocitat 40 Tardarà 3,5 hores a atrapar-lo.

b) Temps =

99. ●●● Si una magnitud, A, és directament proporcional a una altra magnitud, B, i aquesta és inversament proporcional a C, com són A i C? 100. ●●● Reparteix un nombre k en dues parts directament proporcionals a dos nombres qualsevol, m i n, i després fes el repartiment inversament proporcional als mateixos valors, m i n. a) Quina relació hi ha entre les parts obtingudes en cada repartiment? b) Passa sempre el mateix? 101. ●●● Si una certa quantitat la disminuïm un 10 %, quin percentatge l’hem d’incrementar per obtenir la mateixa quantitat? 102. ●●● Una làmina de vidre absorbeix el 20 % de la llum vermella que li arriba, és a dir, en deixa passar el 80 %. Quantes làmines fan falta, com a mínim, una sobre l’altra, perquè passi com a mínim la meitat de la llum vermella que li arribi?

131

831084 _ 0113-0132.qxd

13/4/07

18:36

Página 132

A la vida quotidiana 103. ●●● En Norbert ha passat les vacances de Setmana Santa a casa dels seus oncles. S’hi va endur els apunts de classe perquè havia de fer unes quantes feines que li havien manat. Quan ha tornat se’ls ha deixat, per això la seva cosina Helena els hi enviarà per missatger. En Norbert ha trobat a casa una factura d’una empresa de missatgeria que el seu pare havia contractat feia temps.

104. ●●● Vilaplana i Vilapujada són dos pobles veïns. Com que acaben de construir una autopista prop dels dos municipis, els alcaldes han decidit variar la carretera per fer-hi una incorporació a aquesta autovia. El problema és que no es posen d’acord sobre com es dividiran les despeses.

Jo crec que hauríem de dividir les despeses de manera directament proporcional als veïns de cada municipi.

Hi estic d’acord, però hem de tenir en compte que Vilaplana té més veïns i, per tant, hi hauria de contribuir en més mesura. Tot i això, posa la major part de la despesa en el manteniment de la resta de carreteres de la zona...

Aquestes empreses cobren una quantitat fixa per cada servei i n’hi afegeixen un altra que depèn proporcionalment del pes del paquet i de la distància a què s’envia.

ress PackExpE07

Després de moltes discussions han decidit el següent.

45E CIF 4555 566 300 Tel.: 902 ckexpress.com www.pa

aló tiago Cop : Sr. San CLIENT 135286 DNI: 38 aní, 13 i: C/ Rom Domicil 2,00

Servei rt: o Transp 5 km 2 250 g a A 7 % d’IV

€

18,75 € 1,45 € 22,20 €

Total

nt ei urge Per serv n increment u rà u a el total. hi h % sobre d’un 30

L’Helena ha pesat et paquet amb els apunts d’en Norbert: 3,2 kg, i ha mesurat en un mapa la distància que hi ha fins a la seva ciutat: 126 km. Quant pagarà l’Helena si envia el paquet amb aquesta empresa? I si ho fa amb el servei urgent?

132

L B A N M U N IC IPA

tevariant de la carre Es construirà una nco e qu a ad uj i Vilap ra entre Vilaplana ia nova. ov ut nectarà amb l’a ran esta obra es dividi Les despeses d’aqu nal al nombre de cio or op t de manera pr poble, i inversamen veïns censats en cada speses que cada muproporcional a les de iment de les carreen nicipi té en el mant ls. ïna teres ve

Vilaplana Vilapujada

Habitants

Despeses

6.748

16.860 €

1.230

2.400 €

Quin percentatge del total del cost de l’obra haurà de pagar cada municipi?

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

7 PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Reconèixer una successió de nombres. • Reconèixer i diferenciar les progressions aritmètiques i geomètriques. • Calcular el terme general i la suma de n termes d’una progressió aritmètica i geomètrica. • Calcular el nombre de termes n i la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica. • Resoldre problemes reals d’interès compost.

Página 133

Progressions La mascota de la princesa El rei de Sicília, Frederic II, havia encarregat al filòsof de la cort, Joan de Palerm, que examinés Leonardo de Pisa amb problemes matemàtics difícils de resoldre. Leonardo, més conegut com a Fibonacci, li va presentar les solucions i es va esperar que les avaluessin. A mesura que estudiaven la feina, les seves cares reflectien la sorpresa que els produïa. Mentrestant, Fibonacci s’havia allunyat una mica i xerrava amb una nena que, asseguda a l’escala, amanyagava un conillet que tenia a la falda. –Jo vaig tenir una parella de conills –li va dir Fibonacci. –De quin color eren? –es va interessar la nena. –Eren blancs i els vaig tenir a casa, amb les seves cries, durant 12 mesos. Després em vaig traslladar amb el meu pare i no me’ls vaig poder endur. En un any tenia 144 parelles! –Això és impossible –va dir la nena mentre s’ho imaginava tot ple de conills. –La primera parella va criar el segon mes, de cada llorigada em quedava amb una altra parella, que començava a procrear al cap de dos mesos de vida –repassava mentalment el savi. Mes

G

F

M

A

M

J

Parelles 1

1

2

3

5

8

J

A

S

O

N

D

13 21 34 55 89 144

La nena anava apuntant i, de cop i volta, ho va veure clar. –El nombre de parelles és, cada mes, la suma dels dos mesos anteriors. Quantes parelles tindria al cap de catorze mesos? I al cap de dos anys?

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 134

1

Successions

Una successió és un conjunt ordenat de nombres reals: a1, a2, a3, a4, a5, a6 … Cadascun dels nombres que formen la successió l’anomenem terme de la successió. EXEMPLE En una successió sabem quin és el primer terme, quin és el segon... El conjunt dels nombres decimals no és una successió: no sabem quin serà el següent a 0.

1

Determina quins són els termes a2 i a5 en aquestes successions. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 … c) 1, 5, 10, 15, 20, 25 … b) 2, 4, 6, 8, 10, 12 … d) 20, 30, 40, 50, 60, 70 … El subíndex de cada terme indica el lloc que ocupa en la successió; així doncs, a2 és el segon terme de la successió, i a5, el cinquè. c) a2 = 5 i a5 = 20 a) a2 = 2 i a5 = 5 d) a2 = 30 i a5 = 60 b) a2 = 4 i a5 = 10

1.1 Regla de formació Hi ha successions en què en podem determinar els termes a partir d’un cert criteri; aquest criteri l’anomenem regla de formació. EXEMPLE 2

Determina la regla de formació de les successions següents. a) b) c) d) e) f)

1, 3, 5, 7, 9, 11 … ⎯⎯→ 1, 2, 4, 8, 16, 32 … ⎯→ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … → 1, 3, 6, 10, 15, 21 … ⎯→ 1, 4, 9, 16, 25, 36 … ⎯→ 2, 3, 5, 7, 11, 13 … ⎯→

Cada nombre és l’anterior més 2. Cada nombre és l’anterior multiplicat per 2. Cada nombre és la suma dels dos anteriors. Cada nombre és l’anterior més 2, més 3, més 4... Cada nombre és el quadrat del lloc que ocupa. Successió de nombres primers.

EXERCICIS PRACTICA

1

Digues quins són els termes a1, a3 i a6 de les successions següents. a) b) c) d) e) f)

6, 7, 8, 9, 10 … 0, −2, −4, −6, −8 … 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 … −1, −1, −1, −1, −1 … −2, −4, −8, −16, −32 … 1, 2, 3, 5, 8 …

Determina’n la regla de formació.

134

APLICA

2

Fes una successió que compleixi que: a) El primer terme és 5 i cadascun dels següents és la suma de l’anterior més 3. b) El primer terme és 12 i cadascun dels següents és l’anterior multiplicat per 3.

REFLEXIONA

3

Fes una successió amb els termes a1 = 2, a2 = 3 i a3 = 4, en què els termes següents siguin la suma dels tres anteriors.

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 135

1.2 Terme general El terme general d’una successió és una expressió algebraica que ens permet calcular qualsevol terme de la successió si sabem quin lloc ocupa. El representem amb an. EXEMPLE Troba el terme general d’aquestes successions i calcula a10 i a100.

3

a) 2, 4, 6, 8, 10 … ⎯⎯→ Cada nombre és el lloc que ocupa aquest nombre multiplicat per 2. Terme general ⎯⎯→ an = 2n, en què n és el lloc que ocupa el terme a la successió. n = 10

n = 100

→ a10 = 2 ⋅ 10 = 20 an = 2n ⎯⎯⎯

an = 2n ⎯⎯⎯→ a100 = 2 ⋅ 100 = 200

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36 … ⎯ → Cada nombre és el quadrat del lloc que ocupa. Terme general ⎯⎯→ an = n2, en què n és el lloc que ocupa el terme a la successió. n = 10

n = 100

→ a10 = 102 = 100 an = n2 ⎯⎯⎯

an = n2 ⎯⎯⎯→ a100 = 1002 = 10.000

1.3 Successions recurrents Una successió és recurrent quan obtenim cada terme a partir dels anteriors. EXEMPLE

En una successió, el terme anterior general, an, és an-1, i el posterior, an +1.

Troba el terme general d’aquesta successió i calcula a7 i a8.

4

1, 3, 5, 7, 9, 11 … ⎯⎯→ Cada nombre és l’anterior més 2. Terme general ⎯→ an = an−1 + 2 n=7

→ a7 = a6 + 2 = 11 + 2 = 13 an = an−1 + 2 ⎯⎯⎯ n=8

⎯⎯⎯ → a8 = a7 + 2 = 13 + 2 = 15

EXERCICIS PRACTICA

4

Escriu els quatre primers termes de la successió amb terme general: a) an = n 2 − 3n + 2

5

APLICA

b) an =

n+ 4 2n + 1

Troba els quatre primers termes de cada successió. a) a1 = −1, an = n + an−1 b) a1 = 2, an = 2a n2 −1 − 3n

6

Inventa’t el terme general d’una successió i calcula el valor dels termes 13, 25 i 64.

REFLEXIONA

7

Escriu els termes generals de les successions. a) b) c) d)

2, 3, 4, 5, 6 … 3, 6, 9, 12, 15 … 5, 10, 15, 20, 25 … 8, 11, 14, 17, 20 …

135

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 136

2

Progressions aritmètiques

Una progressió aritmètica és una successió en què obtenim cada terme (menys el primer) a partir de l’anterior més un nombre fix, d, que anomenem diferència de la progressió. EXEMPLE 5

Determina si aquestes successions són progressions aritmètiques. a) 5, 8, 11, 14, 17, 20 … 17,

20 … +3

F

14, +3

F

11,

F

8, +3

F

5,

+3

F

+3

És una progressió aritmètica amb diferència d = 3.

• La successió dels nombres naturals: 1, 2, 3, 4, 5, ..., és una progressió aritmètica amb d = 1.

b) 16, 11, 6, 1, −4, −9 …

+(−5)

1,

−4,

−9 … +(−5)

F

6,

F

F

11,

+(−5)

F

16,

• La successió 0, -1, -2, -3, …, és una progressió aritmètica amb d = -1.

+(−5)

F

+(−5)

És una progressió aritmètica amb diferència d = −5.

En totes les progressions aritmètiques es compleix que: a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = … = d EXEMPLE 6

Determina si aquestes successions són progressions aritmètiques. a) 4, 8, 12, 16, 20 … a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4 = … = d 8 − 4 = 12 − 8 = 16 − 12 = 20 − 16 = … = 4 Com que es compleixen les igualtats, és una progressió aritmètica amb diferència d = 4. b) 1, 4, 7, 11, 15 … a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4 = … = d 4 − 1 = 7 − 4 ⫽ 11 − 7 → No és una progressió aritmètica.

EXERCICIS PRACTICA

8

Determina si les successions següents són progressions aritmètiques. a) b) c) d) e)

136

1, 0, −1, −2 … 4, 5, 6, 7, 8, 9 … 2, 4, 7, 11, 16 … 1, 4, 9, 16, 25 … 11, 10, −1, −2 …

APLICA

9

En una progressió aritmètica, a1 = 4,8 i a2 = 5,6. Calcula. a) La diferència, d.

b) terme a8.

REFLEXIONA

10 En una progressió aritmètica, el terme a4 = 12

i la diferència d = −3. Calcula a1 i a8.

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 137

2.1 Terme general d’una progressió aritmètica En una progressió aritmètica, cadascun dels termes és igual a l’anterior més la diferència. És a dir: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d … an = a1 + (n – 1)d El terme general d’una progressió aritmètica és an = a1 + (n − 1)d, en què a1 és el primer terme i d, la diferència. EXEMPLE 7

Troba el terme general d’aquesta progressió aritmètica. 3, 5, 7, 9, 11 … • El primer terme de la progressió és a1 = 3. a − a1 = d ⎪⎫ • Calculem la diferència: 2 ⎬→d=2 5 − 3 = 2 ⎪⎪⎭ Per tant: an = a1 + (n − 1) ⋅ d F

F

F

an = 3 + (n − 1) ⋅ 2 = 3 + 2n − 2 = 1 + 2n El terme general de la progressió és: an = 1 + 2n.

Dos termes d’una progressió aritmètica estan sempre relacionats.

La fórmula an = a1 + (n - 1)d només és vàlida si la successió és una progressió aritmètica.

G

G

G

G

G

G

Ens fixem, per exemple, en a14 i a8: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14 … Veiem que si sumem 6 vegades (6 = 14 − 8) la diferència, d, al terme a8 obtenim a14. És a dir, a14 = a8 + 6d. Donats dos termes, ap i aq, d’una progressió aritmètica (p < q), es compleix que: aq = ap + (q − p)d

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

11 Troba el terme general d’aquestes progressions

13 En una progressió aritmètica, el tercer terme és

aritmètiques. a)

1 3 5 , 1, , 2, … 2 2 2

9 i la diferència, 7. Troba el primer terme i el terme general. b) 25, 22, 19, 16 …

12 En una progressió aritmètica, el primer terme és

5 i la diferència, −2. Determina an.

REFLEXIONA

14 En una progressió aritmètica, a6 = 17 i a9 = 23.

Calcula a1 i el terme general.

137

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 138

2.2 Suma de n termes en una progressió aritmètica En una progressió aritmètica, la suma dels termes equidistants dels extrems és igual a la suma dels extrems: a1 + an = a2 + an−1 = a3 + an−2 = … EXEMPLE 8

En la progressió aritmètica: 5, 8, 11, 14, 17, 20 ... es compleix que: 5,

8,

11,

14,

17,

20

11 + 14 = 25 8 + 17 = 25 5 + 20 = 25

La suma, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an−1 + an, dels n primers termes d’una progressió aritmètica és: (a + a n ) ⋅ n Sn = 1 2 EXEMPLE Com que an = a1 + (n - 1)d, la fórmula per calcular la suma pot quedar així:

Sn = a1 · n +

n (n - 1) · d 2

9

Calcula la suma dels 6 primers termes de la progressió aritmètica: 5, 8, 11, 14, 17, 20 … A l’exemple anterior hem vist que: a1 + a6 = a2 + a5 = a3 + a4 = 25. Considerem la suma dels 6 primers termes de la progressió i en canviem l’ordre: S6 = a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 S6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 Sumem totes dues expressions: S6 = a1 + a2 + a3 + 2S6 = a6 + a5 + a4

+ a4 + a3

+ a5 + a2

+ a6 + a1

2S6 = (a1 + a6) + (a2 + a5) + (a3 + a4) + (a4 + a3) + (a5 + a2) + (a6 + a1) Com que els sis sumands són iguals, tenim que: (a1 + a6 ) ⋅ 6 (5 + 20) ⋅ 6 = = 75 2 2 A la pràctica, per calcular la suma dels termes d’una progressió (a1 + an ) ⋅ n aritmètica en general fem servir la fórmula: Sn = . 2 2S6 = (a1 + a6 ) ⋅ 6 → S6 =

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

15 Calcula la suma dels 10 primers termes

17 Vull col·locar 7 files de testos de manera

de la progressió: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39... APLICA

que a la primera fila hi posaré 3 testos, i cadascuna de les files següents tindrà 3 testos més que l’anterior.

16 Donada la progressió aritmètica amb an = 10 −5n,

Quants testos col·locaré en total?

troba la suma dels 25 primers termes.

138

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 139

Progressions geomètriques

3

Una progressió geomètrica és una successió de nombres cadascun dels quals (menys el primer) l’obtenim multiplicant l’anterior per un nombre fix, r, que anomenem raó de la progressió. En una progressió geomètrica es compleix que:

a2 a a = 3 = 4 = … = r. a1 a2 a3

10 Determina si la successió: 1, 2, 4, 8, 16, 32... és una progressió geomètrica. 8, ⋅2

16,

32 … ⋅2

F

4,

F

⋅2

F

2,

F

1,

⋅2

F

⋅2

2 4 8 16 32 = = = = =2 1 2 4 8 16

És una progressió geomètrica de raó r = 2.

3.1 Terme general d’una progressió geomètrica En una progressió geomètrica es verifica que: a2 = a1 ⋅ r a3 = a2 ⋅ r = (a1r) ⋅ r = a1r2 a4 = a3 ⋅ r = (a1r2) ⋅ r = a1r3 … an = a1r n−1 El terme general d’una progressió geomètrica és an = a1 ⋅ r n−1, en què a1 és el primer terme i r és la raó.

En una progressió geomètrica, un terme ap es relaciona amb un altre terme, aq (p < q) d’aquesta manera: aq = ap · r q-p

EXEMPLE 11 Calcula el terme general de la progressió geomètrica: 2, −8, 32, −128 … • El primer terme de la progressió és a1 = 2. a −8 = −4. • Calculem la raó: r = 2 = a1 2 a1 = 2, r = −4

Per tant: an = a1 ⋅ rn−1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ an = 2 ⋅ (−4)n−1

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

18 Determina si són progressions geomètriques.

19 Troba el terme general i el terme a6.

a) 1, 5, 25, 125, 625 … b) 7, 14, 28, 56, 112 … c) −1, −2, −4, −8, −16 … d) 3, 9, 24, 33 … e) 4, 4, 4, 4, 4 …

a)

2 4 8 , , … 3 15 45

b) 3, 3 3 , 9, 9 3 …

REFLEXIONA

20 En una progressió geomètrica, a2 = 2 i a4 =

Calcula an i a5.

1 . 2

139

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 140

3.2 Suma de n termes en una progressió geomètrica Ara busquem una fórmula general per calcular la suma de n termes en una progressió geomètrica: Sn = a1 + a2 + … + an−1 + an Si multipliquem tots dos membres per la raó, r, obtenim: Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a2 ⋅ r + … + an−1 ⋅ r + an ⋅ r = a2 + a3 + … + an + an ⋅ r 123 123 123 a2

a3

an

Si restem les dues expressions: Sn ⋅ r = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an + an ⋅ r − Sn = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an ⋅ r Sn ⋅ r − Sn = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an + an ⋅ r Traiem factor comú Sn i aïllem: Sn(r – 1) = −a1 + an ⋅ r = an ⋅ r − a1 Sn =

Si en una calculadora teclegem: 2 ×

×

3 =

=

=

( a r n −1 )r − a1 a n r − a1 a ( r n − 1) = 1 = 1 r −1 r −1 r −1

…

La suma, Sn, de n termes d’una progressió geomètrica de raó r és:

pitjant la tecla = obtenim nous termes de la progressió geomètrica de r = 2 i a 1 = 3.

Sn =

a1 (r n − 1) r −1

EXEMPLE 12 Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió geomètrica: −1, −2, −4, −8, −16 … • El primer terme de la progressió és a1 = −1. a −2 = 2. • Calculem la raó: r = 2 = a1 −1 Per tant: Sn =

a1(r n − 1) a1 = −1, r = 2, n = 10 (−1) ⋅ (210 − 1) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ S10 = r −1 2 −1 =

(−1) ⋅ (1.024 − 1) = −1.023 1

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

21 Donada la successió:

2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; … a) Comprova que és una progressió geomètrica. Troba’n la raó. b) Calcula’n el terme general. c) Troba la suma dels 10 primers termes.

140

22 Troba la suma dels 7 primers termes

de la progressió. 3, 3 3 , 9, 9 3 , … REFLEXIONA

23 Una ameba es reprodueix per bipartició cada

5 minuts. Quantes n’hi haurà al cap de 10 hores?

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 141

3.3 Suma de tots els termes d’una progressió geomètrica amb r < 1 Hi ha progressions geomètriques en què la raó, r, és entre els valors −1 < r < 1. En aquest cas, podem calcular la suma dels seus temes infinits. Vegem què passa amb la fórmula de la suma de n termes d’una progressió a1 ( r n − 1) S = geomètrica, n , quan ⏐r⏐ < 1. r −1 Com que −1 < r < 1, a mesura que el nombre de termes, n, que agafem a la suma creix, el valor rn és més petit. Per tant: • rn − 1 seria pràcticament igual a −1. • r − 1 seria un valor negatiu. Així doncs, la suma dels termes infinits de la successió la podríem indicar així: a ⋅ (−1) −a1 a1 S= 1 = = r −1 r −1 1− r La suma dels termes infinits d’una progressió geomètrica amb raó −1 < r < 1, és: a1 S= 1 −r

0,12 = 0,01 0,13 = 0,001 0,14 = 0,0001 … 0,110 = 0,0000000001

EXEMPLE

Amb un exponent gran, el nombre és pràcticament 0.

13 Calcula la suma de tots els termes de la progressió geomètrica: 1 1 1 1 1, , , , … 10 100 1.000 10.000 • El primer terme de la progressió és a1 = 1. 1 1 a2 10 = = = 0,1 < 1. • Calculem la raó: r = 1 10 a1 Per tant: S =

 a1 a1 = 1; r = 0,1 1 = 1,1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ S = 1− r 1 − 0,1

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

24 Calcula el terme general i la suma dels termes

25 Troba, si és possible, la suma dels termes

infinits de les progressions geomètriques següents.

infinits d’aquestes progressions: a)

1 a) a1 = 5 i r = 2 b) a1 = 2 i r =

1 10

2 4 8 , , … 3 15 45

b) 3, 3 3 , 9, 9 3 …

REFLEXIONA

26 En una progressió geomètrica, S = 20 i a1 = 5,

quant val la raó?

141

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 142

3.4 Producte de n termes en una progressió geomètrica En una progressió geomètrica, el producte dels termes equidistants dels extrems és igual al producte dels extrems. És a dir: (a1 ⋅ an) = (a2 ⋅ an−1) = (a3 ⋅ an−2) = … EXEMPLE 14 En una progressió geomètrica: 1, 2, 4, 8, 16, 32... es compleix que: 1,

2,

4,

8,

16,

32

4 ⋅ 8 = 32 2 ⋅ 16 = 32 1 ⋅ 32 = 32

Així doncs, per calcular el producte de n termes podem fer: Pn = a1 ⋅ a2 ⋅ … ⋅ an−1 ⋅ an Pn = an ⋅ an−1 ⋅ … ⋅ a2 ⋅ a1 i si multipliquem les dues expressions tenim: P 2n = (a1 ⋅ an) ⋅ (a2 ⋅ an−1) ⋅ … ⋅ (an−1 ⋅ a2) ⋅ (an ⋅ a1) → P 2n = (a1 ⋅ an)n 14243 14243 123 (a1 ⋅ an)

Una altra fórmula per calcular el producte de n termes d’una progressió geomètrica de raó r és:

Pn = a n1 · r

n ( n - 1) 2

(a1 ⋅ an)

Calculem l’arrel quadrada i obtenim: Pn =

(a1 ⋅ an)

( a1 ⋅ a n ) n .

El producte, Pn = a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ … ⋅ an−1 ⋅ an, dels n primers termes d’una progressió geomètrica és: Pn = (a1 ⋅ a n )n EXEMPLE 15 Troba el producte dels 10 primers termes d’una progressió geomètrica de raó r = 2 el primer terme de la qual és a1 = 2. • Trobem a10:

n = 10, a1 = 2, r = 2

⎯⎯ → a10 = 2 ⋅ (2)10−1 = 2 ⋅ (2)9 = 210 an = a1 ⋅ r (n−1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ • Calculem el producte: Pn =

n = 10, a = 2, a = 210

1 10 (a1 ⋅ an )n ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯→ P10 =

=

(2 ⋅ 210 )10 =

(211)10 =

2110 = 255

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

27 Troba el producte dels 4 primers

29 Tenim una progressió geomètrica el terme

termes d’una progressió geomètrica amb a1 = 3 i r = 5.

general de la qual és an = 4 ⋅ 2n−1, calcula P6. REFLEXIONA

28 En una progressió geomètrica, a4 = 12 i r = 3,

troba el producte dels 10 primers termes.

142

30 Troba la raó d’una progressió geomètrica

amb a1 = 1 i P5 = 1.024.

831084 _ 0133-0152.qxd

4

10/5/07

10:45

Página 143

Interès compost

Si invertim un capital durant un període de temps, t, a un rèdit r %, i quan acaba el període d’inversió no retirem els interessos, sinó que s’afegeixen al capital, ens trobem en una situació d’interès compost. EXEMPLE 16 Dipositem 6.000 € al 5 % d’interès compost anual. Quina quantitat de diners tindrem 3 anys després? Quan iniciem el dipòsit disposem d’un capital inicial de 6.000 €. Capitalinicial = 6.000 € Quan finalitzi el primer any rebrem el 5 % del capital invertit.  5 5   = 6.300 € ⋅ 6.000 = 6.0001 + Capital1r any = 6.000 +   100 100  Quan finalitzi el segon any rebrem un altre 5 % del que teníem al final del primer. 2   5  5 5   = 6.00001 +  ⋅ 6.300 = 6.3001 + Capital2n any = 6.300 +   100  100 100  Així doncs, quan acabi el tercer any, tindrem: 3  5   Capital3r any = 6.0001 +  100 

 r  . És una progressió geomètrica amb a1 = Capitalinicial i raó = 1 +  100 

El capital final, Cf, que obtenim quan invertim a un rèdit, r %, un capital, C, durant un temps, t, a interès compost és:  r  C f = C ⋅ 1 +  (temps en anys)  100  t

Per aplicar aquesta fórmula en temps donat en dies o mesos només hem de substituir r pel rèdit mensual o diari i t, pel nombre de mesos o dies d’inversió.

EXEMPLE 17 Ingressem 18.000 € en un dipòsit a 5 anys amb un interès compost del 3,5 % anual. Quants diners rebrem quan acabi la inversió? 5   r  C = 18.000; r = 3,5; t = 5 3,5   → Cf = 18.000 ⋅ 1 +  = 21.378 € Cf = C ⋅ 1 +   100  100  t

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

31 Calcula el capital obtingut si hem invertit 200 €

33 Quin capital produiria 3.000 € en 3 anys amb un

al 2% anual durant 10 anys. 32 Calcula el capital que obtindríem si

invertíssim 50 cèntims d’euro al 5 % anual durant un segle. Quin seria el capital si el rèdit fos de l’1 %?

interès compost de l’1 % mensual? REFLEXIONA

34 Determina el capital que, amb un interès

compost del 10% anual, produeix 133,10 € en 3 anys.

143

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 144

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Progressió geomètrica

Terme general

−2

⋅ (−2)

32 … → Terme general an = a1rn−1

t

0, −2 … → Terme general an = a1 + (n − 1)d

F

F

2,

−16,

⎛ r ⎞⎟ ⎟⎟ Cf = C ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠ t → Temps en anys

F

4, −2

F

6,

−2

⋅ (−2)

8,

Interès compost

Progressió aritmètica −2

−4, F

F

2,

F

F

⋅ (−2)

F

Termes

⋅ (−2)

2, { 4, { 6, { 8, 10, { { …, 2n { a1 a2 a3 a4 a5 an

F

Successió

FES-HO AIXÍ

1. DETERMINACIÓ DE SI UNA PROGRESSIÓ ÉS ARITMÈTICA O GEOMÈTRICA

Determina si aquestes successions són progressions aritmètiques o geomètriques. a) 3, 9, 15, 21 … b) 3, 9, 27, 81 … c) 3, 9, 15, 27 … a2 a a = 3 = 4 =… PRIMER. És una progressió aritmètica si: SEGON. És geomètrica si a1 a2 a3 a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = … 9 27 81 = = = 3. És geomètrica. b) a) 9 − 3 = 15 − 9 = 21 − 15 = 6. És aritmètica. 3 9 27 TERCER. Si no es compleix cap de les dues condicions, no és una progressió.

c) No és una progressió.

2. CÀLCUL DE LA DIFERÈNCIA

D’UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA

PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA

Troba la diferència de les progressions aritmètiques següents. a) 3, 9, 15, 21 … b) a3 = 2 i a5 = 6

Troba la raó de les progressions geomètriques següents. a) 3, 9, 27, 81 … b) a3 = 2 i a5 = 6

PRIMER. En determinem dos termes.

PRIMER. En determinem dos termes.

a) a1 = 3, a2 = 9

a) a1 = 3, a2 = 9

b) a3 = 2, a5 = 6

b) a3 = 2, a5 = 6

SEGON.

SEGON.

• Si els termes són consecutius, la diferència de la progressió és la seva resta. a) a2 − a1 = d ⎪⎫ ⎬→d=6 9 − 3 = 6 ⎪⎪⎭

• Si els termes són consecutius, la raó de la progressió és el seu quocient. a 9 a) 2 = r → = 3 a1 3 • Si no ho són, apliquem la fórmula aq = ap ⋅ r q−p.

• Si no ho són, apliquem: aq = ap + (q − p)d. p = 3, q = 5

⎯ → a5 = a3 + (5 − 3)d b) aq = ap + (q − p)d ⎯⎯⎯⎯ 4 6 = 2 + 2d → d = = 2 2

144

3. CÀLCUL DE LA RAÓ D’UNA

p = 3, q = 5

⎯→ a5 = a3 ⋅ r 5−3 b) aq = ap ⋅ r q−p ⎯⎯⎯⎯ 6 6 = 2 ⋅ r2 → r2 = =3→r= 2

3

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 145

4. DETERMINACIÓ DEL TERME GENERAL D’UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA Determina el terme general de les progressions aritmètiques. c) d = 4 i a4 = 5 a) 3, 9, 15, 21 … b) a3 = 2 i a5 = 6 PRIMER. Calculem d.

b) a5 = a3 + (5 − 3)d → 6 = 2 + 2d → d = 2

a) d = a2 − a1 → d = 9 − 3 = 6

c) d = 4

SEGON. Calculem a1. n=4 c) an = a1 + (n − 1)d ⎯⎯→ 5 = a1 + 3 ⋅ 4 → a1 = −7 a) a1 = 3 n=3 b) an = a1 + (n − 1)d ⎯⎯→ 2 = a1 + 2 ⋅ 2 → a1 = −2

an = a1 + (n − 1)d. c) an = −7 + (n − 1) ⋅ 4 = −11 + 4n

TERCER. El terme general l’expressem amb

a) an = 3 + (n − 1) ⋅ 6 = −3 + 6n b) an = −2 + (n − 1) ⋅ 2 = −4 + 2n

5. DETERMINACIÓ DEL TERME GENERAL D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA Determina el terme general d’aquestes expressions geomètriques. c) r = 4 i a4 = 128 a) 3, 9, 27, 81 … b) a3 = 9 i a5 = 81 PRIMER. Calculem r.

a) r =

a2 9 →r= =3 a1 3

b) a5 = a3 ⋅ r 5−3 → 81 = 9 ⋅ r 2 → r =

SEGON. Calculem a1. n=3 b) an = a1 ⋅ rn−1 ⎯⎯→ 9 = a1 ⋅ 3 2 → a1 = 1 a) a1 = 3

9 =3

c) r = 4 n=4

c) an = a1 ⋅ rn−1 ⎯⎯→ 128 = a1 ⋅ 43 → a1 = 2

TERCER. El terme general l’expressem amb an =

a1 ⋅ rn−1. b) an = 1 ⋅ 3 n−1 = 3n−1

a) an = 3 ⋅ 3n−1 = 3n

c) an = 2 ⋅ 4n−1 = 2 ⋅ 22n−2 = 22n−1

I ARA... PRACTICA Determinació de si una successió és una progressió aritmètica o geomètrica 1. Digues si la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8... és: a) Una progressió aritmètica. b) Una progressió geomètrica. c) Cap de les anteriors.

Càlcul de la raó d’una progressió geomètrica 3. La raó de la progressió 4, −16, 64, −256 … és: a) r = 2

b) r = −2

c) r = −4

d) r = 4

Determinació del terme general d’una progressió aritmètica 4. El terme general de 3, 7, 11 … és:

Càlcul de la diferència d’una progressió aritmètica 2. La diferència de la progressió aritmètica amb a2 = 21 i a4 = 43 és: a) d = 7 b) d = 9

c) d = 11 d) d = 14

a) an = n + 4

b) an = 4n + 4

c) an = 4n − 1

Determinació del terme general d’una progressió geomètrica 5. El terme general de 3, 6, 12 … és: a) an = 3n

b) an = 3 + (n − 1)

c) an = 3 ⋅ 2n−1

145

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 146

Activitats SUCCESSIONS

FES-HO AIXÍ

35. ● Escriu els termes següents d’aquestes successions. a) b) c) d)

41. Troba el terme general de la successió següent. 4 9 16 25 , , , … 1 3 5 7

5, 6, 7, 8, 9 … 30, 20, 10, 0, −10 … 7, 14, 21, 28, 35 … 1, 5, 25, 125 …

Quin criteri de formació segueix cadascuna? 36. ●● Donada la successió: 1, 8, 27, 65... a) Quin n’és el terme sisè? b) I el criteri de formació? 37. ●● La successió 1, 4, 9, 16, 25... té com a terme general an = n 2. Troba el terme general de les successions. a) 2, 8, 18, 32, 50 … b) 3, 6, 11, 18, 27 …

c) 4, 9, 16, 25 … d) 16, 25, 36, 49 …

38. ●● La successió 2, 4, 6, 8, 10... té com a terme general an = 2n. Determina el terme general de les successions. a) b) c) d)

−1, 1, 3, 5, 7 … 6, 8, 10, 12 … −2, −4, −6, −8 … 6, 12, 18, 24, 30 …

39. ● Troba els 5 primers termes de la successió el terme general de la qual és: n ⎛ 1 ⎞ −1 a) an = 2n e) an = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝3⎠ b) an = (−3)n+2 f) an = n2 + 3n − 2 c) an = 5 − 3n n+ 3 g) an = d) an = 2 + 4(n + 1) n2 40. ● Escriu els 5 primers termes de les successions següents. a) El primer terme és 5 i cada terme l’obtenim sumant 2 a l’anterior. b) El primer terme és 2 i cadascun dels següents 1 l’obtenim multiplicant per l’anterior. 2 c) El primer terme és 3, el segon, 4 i els següents són la suma dels dos anteriors. d) El primer terme és 8 i els següents són cadascun la meitat de l’anterior.

146

COM DETERMINEM EL TERME GENERAL D’ALGUNES SUCCESSIONS DE FRACCIONS?

PRIMER. Busquem el criteri de formació dels numeradors i en determinem el terme general.

4, 9, 16, 25 … ⎯ → El primer terme és el quadrat de 2. El segon és el quadrat de 3. El tercer, el quadrat de 4... Terme general → (n + 1)2 SEGON. Busquem el criteri de formació dels

denominadors i en determinem el terme general. 1, 3, 5, 7 … ⎯⎯→ Successió de nombres imparells. Terme general → 2n − 1 TERCER. El terme general de la successió serà el quocient entre els dos termes generals. (n + 1)2 Terme general → 2n − 1

42. ●● La successió 1, 2, 3, 4, 5 … té com a terme general an = n. La successió 2, 4, 8, 16 … té com a terme general an = 2n. Troba el terme general d’aquestes successions. 1 , 2 5 b) 4, , 2 a) 1,

1 , 3 6 , 3

1 … 4 7 … 4

1 , 2 1 d) , 2 c)

1 , 4 3 , 4

1 , 8 7 , 8

1 … 16 15 … 16

43. ● Troba els 5 primers termes de les successions recurrents següents. a) a1 = 1, a2 = 3, an = an−2 − an−1 bn−1 b) b1 = 2, b2 = 4, bn = bn−2 c) c1 = −1, c2 = 0, c3 = 1, cn = cn−1 + cn−2 + cn−3 d) d1 = 2, dn = dn−1 + n 44. ●● Troba la regla de formació d’aquestes successions recurrents. a) 3, 4, 7, 11, 18, 29 … 1 1 b) 1, 3, 3, 1, , , 1 … 3 3

c) 1, 2, 3, 6, 11, 20 … d) −5, 1, 6, 5, −1, −6 …

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 147

PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES 45. ● Troba la diferència i el terme general d’aquestes progressions aritmètiques. c) 7, 2, −3, −8 …

a) 10, 7, 4, 1 … b)

d) 16, 8, 0, −8 …

2, 2 2, 3 2, 4 2 …

55. ●●● Troba el terme general d’una progressió aritmètica en què a4 = 13 i a2 + a11 = 41.

46. ● Amb les dades de les progressions aritmètiques següents: a) b) c) d)

56. ●●● En una progressió aritmètica de 8 termes, el primer i l’últim sumen 21. El tercer terme és 6. Escriu la progressió.

a1 = 13 i a2 = 5, calcula d, a8 i an. b1 = 4,5 ib2 = 6, calcula d, b10 i bn. c2 = 13 i d = −5, calcula c1, c8 i cn. h1 = 8 i h3 = 3, calcula d, h10 i hn.

FES-HO AIXÍ COM INTERPOLEM TERMES QUE FORMEN UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA?

47. ● Donada la successió 2, 4, 6, 8, 10... a) És una progressió aritmètica? b) Troba’n el terme general. c) Calcula’n el terme 30.

57. Interpola tres termes entre 1 i 9 perquè formin una progressió aritmètica. PRIMER. Calculem a1 i

5 4 2 48. ● Donada la successió , , 1 , , 0 … : 3 3 3 a) Comprova que és una progressió aritmètica. b) Troba’n el terme general. 49. ● Tenint en compte que els termes d’una progressió aritmètica els podem obtenir amb la calculadora, mitjançant el sumand constant: d +

+

a1 =

=

=

=

=

…

troba els 10 primers termes de les progressions aritmètiques. a) a1 = 8 i d = 5 b) b1 = 3 i d = −5

c) c1 = −10 i d = 3 d) h1 = −12 i d = −8

50. ● En una progressió aritmètica, a10 = 32 i d = 5. Esbrina el valor del terme a25. 51. ●● En una progressió aritmètica, a3 = a) Troba a1 i d. b) Determina’n el terme general.

54. ●● Troba el terme general de les progressions aritmètiques següents. 1 3 a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85 … c) , 1, , 2 … 2 2 1 3 5 7 … b) 5, 2, −1, −4, −7 … d) , , , a a a a

1 5 i a4 = . 2 6

52. ●● En una progressió aritmètica, a8 = 12 i a12 = 32. Calcula la diferència i el terme general. 53. ●●● En una progressió aritmètica, a1 = 7 i d = 6. Esbrina quin lloc hi ocupa un terme que val 79.

d. La progressió que volem fer serà de la forma: 1, a2, a3, a4, 9

Per tant, a1 = 1 i a5 = 9. Com que ha de ser una progressió aritmètica: n=5

an = a1 + (n − 1)d ⎯⎯→ 9 = 1 + (5 − 1)d 9 = 1 + 4d → d = SEGON.

8 =2 4

Trobem els termes intermitjos. a2 = 1 + (2 − 1) ⋅ 2 = 3 a3 = 1 + (3 − 1) ⋅ 2 = 5 a4 = 1 + (4 − 1) ⋅ 2 = 7

Els tres termes que hi hem d’interpolar seran 3, 5 i 7. 58. ●● Interpola 6 termes entre 1 i 3 perquè formin una progressió aritmètica. 7 59. ●● Interpola 5 termes entre els nombres − 2 7 i perquè formin una progressió aritmètica. 2 60. ●●● Aquestes successions són progressions aritmètiques. Completa-hi els termes que falten. 1 5 1 1 a) 씲, , 씲, , 씲, 씲 c) 씲, , 씲, 씲, , 씲 2 6 4 2 5 8 b) 씲; 1,5; 씲; 2,5; 씲 d) 씲, 씲, 씲, , 씲, 3 3

147

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 148

61. ● an = 4n + 1 és el terme general d’una progressió aritmètica. Calcula a25 i la suma dels 20 primers termes. 62. ● En una progressió aritmètica, a8 = 40 i d = 7. Troba’n el primer terme i la suma dels 10 primers. 63. ● Calcula la suma dels 10 primers termes d’una progressió aritmètica si el tercer terme és 24 i el desè és 66. 64. ● Fes la suma dels 100 primers nombres parells. 65. ●● Calcula la suma dels múltiples de 3 compresos entre 200 i 301. 66. ● Troba la suma dels 15 primers termes d’una progressió aritmètica en què a1 = 7 i a4 = 40. 67. ●●● Troba la suma dels n primers nombres naturals. 68. ●●● Quants nombres senars consecutius a partir d’1 sumen 2.916?

4 7 + 49

5

43 + 45 +

27 + 29

51 +

17 +

+

+

1+

+ 25

33 + 35

2.916

+ 31

7

11 + 13 + 15 9+ + + 9+4 +3 37 = 3…

+

1+3+5+

19 + 21 + 23 +

69. ●● Calcula la suma i l’últim terme d’una progressió aritmètica de diferència 4 si saps que té 12 termes i el primer val 7. 70. ●●● Calcula la suma dels termes d’una progressió aritmètica limitada el primer terme de la qual és 4, l’últim és 40 i la diferència és 3. 71. ●●● La suma dels 5 primers termes d’una progressió aritmètica és 2,5. La suma dels 8 primers termes és 5,2. Escriu la progressió.

148

PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES 72. ● Calcula la diferència o la raó de les progressions següents i troba’n el terme general. a) 3, 6, 12, 24 … b) 10, 7, 4, 1 … c) 1, 1, 1, 1 …

d) 16, 8, 4, 2, 1 … e) 16, 8, 0, −8 … f) 3, 9, 15, 21 …

73. ● En una progressió geomètrica, a1 = 4 i a2 = 3. Troba’n el terme general i a20. 74. ● En una progressió geomètrica, a1 = 6 i a3 = 30. Troba’n a4 i el terme general. 75. ● Calcula. a) El terme general d’una progressió geomètrica en què a1 = 3 i r = 5. b) E terme 7. 2 2 2 2 , , , … 3 9 27 81 a) Comprova que és una progressió geomètrica. b) Calcula’n el terme 10.

76. ● Donada la successió

77. ●● Troba els termes que falten als forats de les progressions geomètriques següents. a) 1; 0,1; 씲; 0,001; 씲 1 1 1 b) 씲, , , 씲, ,씲 2 6 54 1 1 c) 씲, , 씲, ,씲 3 12 3 81 d) 씲, , 씲, 씲, 2 4 78. ● El terme general de la progressió 3, 6, 12, 24... és: a) b) c) d)

an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 an = 3 ⋅ 3n−1 an = 3 ⋅ 2n−1 No es pot calcular.

79. ● En una progressió geomètrica de termes positius, a2 = 60 i a4 = 2.400. Troba’n: a) El 5 primers termes. b) El terme general. c) Els 10 primers termes. 80. ● En una progressió geomètrica, a2 = 10 i a5 = 10.000. Calcula r i els 10 primers termes de la progressió. Quin n’és el terme general?

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 149

81. ●● Un terme d’una progressió geomètrica val 3.720.087. Si el primer terme és 7 i la raó és 3, de quin terme parlem? 82. ●●● Dos termes consecutius d’una progressió geomètrica valen 3 i 4. 27 . Esbrina quin lloc ocupen si a1 = 16 83. ● En una progressió geomètrica, el primer terme és 5 i la raó és 3. Calcula la suma dels 8 primers termes. 84. ● En una progressió geomètrica, el segon terme 1 és 2 i el quart és . Troba la suma dels 6 primers 2 termes.

86. ● Tenim una progressió geomètrica en què a1 = 2 i r = 0,1. Calcula. a) La suma dels 6 primers termes. b) La suma dels termes infinits. 87. ● En una progressió geomètrica, a1 = −1 i r = 7. Calcula. a) La suma dels 10 primers termes. b) La suma dels termes infinits. 88. ● Troba la suma dels termes infinits de la 27 progressió 16, 12, 9, … 4 89. ●● Donades les successions següents, calcula, en els casos en què sigui possible, la suma dels termes infinits.

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LA SUMA DELS TERMES INFINITS D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA? 85. Calcula la suma dels termes infinits d’aquestes progressions geomètriques. a) a1 = 3 i r = 2 b) b1 = −1 i r = 2

1 3 1 d) d1 = i r = −2 2 c) c1 = −2 i r =

PRIMER. Calculem la raó de la progressió. SEGON.

Analitzem els diferents casos.

• Si r > 1, la suma sempre és +⬁ o −⬁. a) r = 2 > 1. La successió és: 3, 6, 12, 24, 48 … La suma de tots els termes és +⬁.

b) r = 2 > 1. La successió és: −1, −2, −4, −8, −16, −32, −64 … La suma de tots els termes és −⬁.

a • Si −1< r < 1, apliquem la fórmula S = 1 . 1− r 1 c) −1 < r = < 1. Apliquem la fórmula: 3 c −2 −2 = = −3 S= 1 = 1 2 1− r 1− 3 3 • Si r < −1, no ho podem calcular. d) r = −2 < −1. La successió és: 1 , −1, 2, −4, 8, −16, 32 … 2 No podem calcular la suma dels termes infinits.

90. ●●● La suma dels termes infinits d’una 15 1 progressió geomètrica és i la raó és . 4 5 Troba els 4 primers termes de la successió. 91. ●● El sisè terme d’una progressió geomètrica és 18 i el quart és 6. a) Troba’n el terme general. b) Calcula el producte dels 10 primers termes. 92. ●● El vuitè terme d’una progressió geomètrica és 1.458 i la raó és 3. a) Troba’n el terme general. b) Calcula el producte dels 8 primers termes de la progressió. 93. ●● El cinquè terme d’una progressió geomètrica és 160 i el segon és 20. a) Troba’n el sisè terme. b) Calcula el producte dels 7 primers termes d’aquesta progressió.

149

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 150

PROBLEMES AMB PROGRESSIONS 94. ●● El nombre d’usuaris d’un poliesportiu els caps de setmana era, al començament, de 150 persones, però va augmentar en 30 persones cada cap de setmana a partir de llavors. a) Quants usuaris va tenir el cap de setmana 12? b) I en les 10 primeres setmanes? 95. ●● La Teresa ha comprat un cavall i el vol ferrar. Per això li ha de posar 20 cargols, i el primer val 1 cèntim d’euro, i la resta valen 1 cèntim d’euro més que l’anterior. Quant paga en total per ferrar-lo?

101. ●● Calcula la profunditat d’un pou si s’han pagat 20 € per l’excavació del primer metre i, per cadascun dels altres, 5 € més que l’anterior. Aconseguirà arribar al centre? 102. ●● Una granota és a la vora d’una bassa circular de 7 metres de radi i vol arribar al centre saltant. El primer salt que fa és de 3 metres i, després, avança en cadascun la meitat que en l’anterior. Aconseguirà arribar al centre?

103. ●● Durant els 4 primers mesos de vida, un nadó ha anat guanyant cada mes un 20 % de pes. Si quan va néixer pesava 2.900 grams, quin ha estat el seu pes al final del quart mes? 96. ●● Quant pagaria la Teresa si el preu del primer cargol fos el mateix, però cadascun dels següents li costés el doble que l’anterior? 97. ●● En un aparcament cobren 0,25 € per la primera hora d’estacionament i el doble que l’anterior per cadascuna de les següents. Quant pagarem per tenir-hi el vehicle aparcat 8 hores?

104. ●● Una escala té tots els esglaons iguals menys el primer, que fa 20 cm. Si pugem 100 esglaons, haurem ascendit a una altura de 1.505 m. Quina és l’altura de cada esglaó? 105. ●●● Una biòloga estudia l’evolució d’una població de mosques.

98. ●● Un arbre de creixement ràpid multiplica la seva altura per 1,2 cada any. Si al començament de l’any feia 0,75 cm, quina altura tindrà al cap de 10 anys? Quant haurà crescut en aquests 10 anys? 99. ●● Deixem caure una pilota d’una altura d’1 metre i en cadascun dels bots que fa puja a una altura igual a la meitat del bot anterior. A quina altura arribarà en el cinquè bot? 100. ●● Llancem una pilota que fa bots al llarg d’un passadís, tal com veiem a la figura.

Si en el sisè bot xoca amb la paret i s’atura, quina distància haurà recorregut?

150

a) Si el nombre inicial de mosques és de 50 i cada 10 dies la població de mosques es quadruplica, troba el terme general de la progressió formada pel nombre de mosques cada 10 dies. b) Quantes mosques hi haurà al cap de 50 dies? c) Si el preu de l’aliment per a mosques el primer dia és d’1 €, i cada dia augmenta 2 cèntims més, troba el terme general de la progressió. d) Determina el valor de l’aliment el dia 20. e) Calcula el valor de l’aliment en els 40 primers dies.

831084 _ 0133-0152.qxd

18/5/07

10:49

Página 151

106. ●● Dipositem 5.000 € al 4% anual el 31 de desembre en una empresa financera. Si no en retirem els diners durant 6 anys, quin capital tindrem al final de cada any?

110. ●●● La Rosa rep una gratificació al principi de cada trimestre de 1.000 €. Si els diners els diposita en una entitat bancària al 4 % d’interès compost, quants diners tindrà al final de cada any? 111. ●●● En un examen, les preguntes estaven ordenades en funció de la dificultat. La primera valia 2 punts, i cadascuna de les següents, 3 punts més que l’anterior. Si en total compten 40 punts, quantes preguntes tenia l’examen?

107. ●● Calcula el capital que, invertit a un interès compost del 5 %, produeix en 4 anys un capital final de 1.500 €. 108. ●● Si un capital de 5.000 € es converteix en 6.000 € en una situació d’interès compost al cap de 2 anys, quin és l’interès a què s’ha invertit el capital inicial?

FES-HO AIXÍ

INVESTIGA 109. Una família fa un pla d’estalvis durant 4 anys amb un ingrés, al començament de cada any, de 3.000 € a un 5 % anual d’interès compost. Quants diners tindrà quan acabi el pla? PRIMER. Calculem l’interès de cada aportació.

– El primer any ingressa 3.000 €, que estaran 4 anys al banc. N’obté: 3.000 ⋅ 1,054 € – El segon any ingressa 3.000 €, que estaran 3 anys al banc. N’obté: 3.000 ⋅ 1,053 € – El tercer any ingressa 3.000 €, que estaran 2 anys al banc. N’obté: 3.000 ⋅ 1,052 € – El quart any ingressa 3.000 €, que estaran 1 any al banc. N’obté: 3.000 ⋅ 1,05 € Sumem les quantitats obtingudes. 3.000 ⋅ 1,05 + 3.000 ⋅ 1,052 + 3.000 ⋅ 1,053 + 3.000 ⋅ 1,054 Així obtenim la suma dels termes d’una progressió geomètrica en què: a4 = 3.000 ⋅ 1,054 r = 1,05 a1 = 3.000 ⋅ 1,05 SEGON.

a4 ⋅ r − a1 3.000 ⋅ 1,055 − 3.000 ⋅ 1,05 = = 1,05 − 1 r −1 = 13.576,90 €

S =

112. ●● El nombre 0 pot ser el primer terme d’una progressió geomètrica? I d’una progressió aritmètica? 113. ●●● Tenim una progressió geomètrica amb a1 ⫽ 0 i r ⫽ 0, i una progressió aritmètica amb a1 = 0. Si sumem, terme a terme, aquestes dues progressions obtenim: 1, 1, 2... Quina és la suma dels 10 primers termes? 114. ●●● La suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica (n > 1) és 153 i la diferència és 2. Si a1 és un nombre enter, quants valors possibles hi ha per a n? 115. ●●● Expressa ) de forma fraccionària el nombre periòdic 0,5 . Per fer-ho, escriu-lo de la forma: 0,5 + 0,05 + 0,005 + … i troba la suma de la progressió.

)

116. ●●● Calcula la fracció generatriu de 2,8 fent servir la suma de la progressió. 117. ●●● Dividim el costat AC d’un triangle rectangle ABC en 8 parts iguals. Per fer-ho, aixequem des dels punts de divisió paral·leles al costat BC. Si BC fa 10 cm, calcula la suma de les longituds dels altres 7 segments.

B

10 cm

COM RESOLEM UN PROBLEMA D’INTERÈS COMPOST AMB AUGMENTS DE CAPITAL?

C

A

151

831084 _ 0133-0152.qxd

13/4/07

18:45

Página 152

A la vida quotidiana 118. ●●● En Julià Gasol, el propietari d’una gasolinera de Vilapoble, ha tingut una idea per premiar la fidelitat dels camioners que habitualment van a la seva gasolinera.

119. ●●● Segons un informe d’una revista econòmica, el millor pla de pensions que hi ha al mercat és el Bancverd.

PLA DE PENSIONS BANCVERD Durant aquest mes els donarem punts per cada 100 € de gasolina... La primera vegada que vinguin els donarem 1 punt per cada 100 €; la segona, 2 punts per cada 100 €; la tercera, 3 punts per cada 100 €; la quarta, 4 punts... i així successivament.

■ Amb les comissions més baixes del mercat

0 0 0 0,99

Comissió de subscripció Comissió de reemborsament Comissió de dipòsit Comissió de gestió

■ Alt potencial de rendibilitat

4,45 %

Anual assegurat

Aquests punts es podran canviar per menús en una cafeteria o per un magnífic creuer.

100 PUNTS Menú gratis 1.000 PUNTS Un creuer per a dues persones

En Marià té un camió de tipus mitjà amb un dipòsit de 350 litres, i l’omple normalment cada setmana. Com que el litre de gasoil acostuma a costar una mica menys d’1 €, omplir el dipòsit cada setmana li costa uns 350 €.

En aquest pla de pensions es fan ingressos periòdics de diners: mensualment, trimestralment, anualment... Els diners inicials que s’hi ingressen i els que s’hi van afegint cada any reporten un 4,45 % anual i l’únic problema és que, també cada any, cobren un 0,99 % de comissió de gestió. A veure... Si ingresso 2.000 € a l’any tindré aquests 2.000 € més el 4,45 %, i hi he de restar el 0,99 % del total. El segon any ingresso 2.000 € més, que he d’afegir als diners del primer any, i em donen el 4,45 % del total, però també hi he de restar un altre cop el 0,99 %...

Si segueix amb la mateixa despesa, podria obtenir un menú gratis? I el creuer? El seu amic Antoni, que té un camió més gran que el seu, li diu que creu que no tindrà problemes per aconseguir el creuer. Si la freqüència amb què omple el dipòsit és un cop a la setmana, quants litres de gasoil necessitarà setmanalment?

152

Si tinc 40 anys i he decidit ingressar 2.000 € a l’any, quants diners rebré quan en faci 65?

831084 _ 0153-0170.qxd

10/5/07

11:07

8

Página 153

Llocs geomètrics. Figures planes La riquesa dels savis Aquella va ser la gota que va fer vessar el got: la seva mare li retreia que, tot i ser tan savi, no fos ric. El comentari no era nou, però a Tales de Milet li va doldre especialment. Es va tancar a casa i va començar a tramar un pla. Els seus estudis sobre els astres li van permetre predir un any perfecte per al cultiu. Així doncs, va reunir tots els diners de què disposava i fins i tot el que, en secret, va poder demanar i va aconseguir totes les premses d’oli de Milet i la veïna Quios.

PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Treballar amb el concepte de lloc geomètric. • Determinar els punts i rectes notables d’un triangle. • Calcular l’àrea de triangles, quadrilàters i polígons regulars. • Reconèixer i calcular l’àrea del cercle i de les figures circulars. • Aplicar coneixements sobre figures planes per resoldre problemes de la vida quotidiana.

La seva predicció sobre el clima va ser encertada, i els seus veïns es fregaven les mans de pensar en els beneficis de la collita de l’oliva. Però quan van anar a premsar les olives, els somriures se’ls van convertir en ganyotes, perquè van haver de pagar el que va estipular Tales. Quan va haver complert la seva petita venjança, que li va permetre, a més, convertir-se en ric, es va vendre les premses i les terres i es va dedicar als seus estudis de filosofia i matemàtiques. Abans, però, els va dir als seus veïns: «Preneu per a vosaltres els consells que doneu als altres.» Un dels postulats de Tales és que un angle inscrit en una semicircumferència és sempre un angle recte. Com faries un triangle rectangle amb una hipotenusa de 4 cm?

831084 _ 0153-0170.qxd

13/4/07

18:53

Página 154

1

Llocs geomètrics

Anomenem lloc geomètric el conjunt de tots els punts que compleixen una determinada propietat geomètrica. EXEMPLES 1

Determina el lloc geomètric dels punts la distància dels quals als extrems d’un segment és la mateixa. Els punts que compleixen aquesta condició formen una recta perpendicular al segment que passa pel seu punt mitjà.

Si dos punts són a la mateixa distància d’una recta, diem que són equidistants a la recta.

A

2

B

És a dir, el lloc geomètric dels punts que equidisten dels extrems d’un segment és la seva mediatriu.

Calcula el lloc geomètric dels punts la distància dels quals als costats d’un angle és la mateixa. Els punts que compleixen aquesta condició formen una recta que divideix l’angle en dues parts iguals. És a dir, el lloc geomètric dels punts que equidisten dels costats d’un angle és la seva bisectriu.

A

3

Determina el lloc geomètric de tots els punts la distància dels quals a un punt, P, és r.

r

r

Els punts que compleixen aquesta condició formen una circumferència amb centre P i radi r.

P r

EXERCICIS PRACTICA

1

Dibuixa a la llibreta el lloc geomètric dels punts que compleixen aquestes condicions. a) Equidisten dels extrems d’un segment de 6 cm de longitud. b) Equidisten dels costats d’un angle de 90°. c) Són a 2 cm del punt P.

REFLEXIONA

3

Defineix les rectes vermelles com a lloc geomètric. a)

d 2

d

APLICA

2

154

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten d’una recta.

r

d 2 r

b) P

d

831084 _ 0153-0170.qxd

13/4/07

18:53

Página 155

Rectes i punts notables en el triangle

2

2.1 Mitjanes C

Les mitjanes d’un triangle són les rectes que obtenim quan unim cadascun dels vèrtexs del triangle amb el punt mitjà del costat oposat.

G A

B

Les tres mitjanes del triangle es tallen en un punt anomenat baricentre. El baricentre és un punt la distància del qual a cada vèrtex és el doble que la seva distància al costat oposat.

2.2 Mediatrius Les mediatrius d’un triangle són les rectes perpendiculars als seus costats que passen pel punt mitjà. Les mediatrius es tallen en un punt anomenat circumcentre. Aquest punt és a la mateixa distància dels tres vèrtexs del triangle.

C

Amb centre al circumcentre i la distància del circumcentre a qualsevol vèrtex com a radi, podem dibuixar una circumferència que passa per tres vèrtexs: la circumferència circumscrita al triangle.

O B

A

Un lloc geomètric també pot ser un punt.

EXEMPLE 4

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten dels tres vèrtexs d’aquest triangle. C

Els vèrtexs d’un triangle els podem considerar els extrems dels segments que representen els seus costats.

O

A

La intersecció de les tres mediatrius dels costats és un punt que equidista dels vèrtexs, és a dir, el circumcentre.

B

EXERCICIS PRACTICA

4

APLICA

Dibuixa una circumferència circumscrita a aquests triangles. a)

b)

C

5 C

Dibuixa un triangle equilàter i determina’n el baricentre i el circumcentre. Què hi observes? Passa el mateix en qualsevol triangle equilàter?

A REFLEXIONA A

B

B

6

Defineix el baricentre com un lloc geomètric.

155

831084 _ 0153-0170.qxd

13/4/07

18:53

Página 156

2.3 Altures C L’altura divideix un triangle en dos triangles rectangles.

A

Les altures d’un triangle són les rectes perpendiculars traçades de cada vèrtex del triangle al costat oposat.

B

H

C

Les tres altures del triangle es tallen en un punt anomenat ortocentre. A

M

L’ortocentre està situat a l’interior del triangle, en els triangles acutangles; en un dels vèrtexs, en els triangles rectangles, i a l’exterior, en els triangles obtusangles.

B

AMC i MBC són triangles rectangles.

2.4 Bisectrius Les bisectrius d’un triangle són les rectes que divideixen cadascun dels angles en dues parts iguals. Les bisectrius es tallen en un punt anomenat incentre. Aquest punt és a la mateixa distància dels tres costats del triangle.

C

I

Amb centre a l’incentre i radi la distància de l’incentre a qualsevol costat, podem dibuixar una circumferència que passa pels tres costats del triangle: la circumferència inscrita.

B

A EXEMPLE 5

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten dels tres costats d’aquest triangle. C

Qualsevol punt de les bisectrius dels angles és equidistant dels dos costats que determinen l’angle. I

A

B

La intersecció de les tres bisectrius és un punt que equidista dels tres costats, és a dir, l’incentre.

EXERCICIS PRACTICA

7

APLICA

Dibuixa la circumferència inscrita d’aquests triangles. a)

C

b)

8 C

A

A

156

B

Dibuixa un triangle equilàter i determina’n l’ortocentre i l’incentre. Què hi observes? Passa el mateix en qualsevol triangle equilàter?

REFLEXIONA B

9

Defineix la circumferència inscrita com un lloc geomètric.

831084 _ 0153-0170.qxd

3

13/4/07

18:53

Página 157

Teorema de Pitàgores C

En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.

b

a2 = b2 + c2

a

A

B

c

EXEMPLES 6

Calcula la longitud de la hipotenusa d’un triangle rectangle si saps que els seus catets fan 20 i 21 cm, respectivament. Apliquem el teorema de Pitàgores: b = 20, c = 21

a2 = b 2 + c 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ a2 = 202 + 212 = 841 Aïllem: a = 7

841 = 29 cm.

Si un catet d’un triangle rectangle i la hipotenusa fan 5 i 13 cm, respectivament, quant fa l’altre catet? Apliquem el teorema de Pitàgores: a = 13, b = 5

a2 = b 2 + c 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 132 = 52 + c2 → c2 = 132 − 52 = 144 Aïllem c: c = 144 = 12 cm. a)

55 cm

b)

4c m

3c m

Comprova si els triangles següents són triangles rectangles.

48 cm

8

73 cm

6 cm

El triangle rectangle és l’únic triangle que compleix el teorema de Pitàgores.

Si un triangle és rectangle ha de complir el teorema de Pitàgores. La mida més gran sempre correspon a la hipotenusa. a) Hipotenusa = 73 cm

Catets = 48 cm i 55 cm

a = 73, b = 48, c = 55

a2 = b2 + c2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 732 = 482 + 552 5.329 = 2.304 + 3.025 → 5.329 = 5.329 Per tant, el triangle és rectangle. b) Hipotenusa = 6 cm

Catets = 3 cm i 4 cm

a = 6, b = 3, c = 4

a = b + c ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 62 ⫽ 32 + 42 → 36 ⫽ 9 + 16 Per tant, el triangle no és rectangle. 2

2

2

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

10 Calcula el valor de la hipotenusa d’un triangle

12 Calcula el tercer costat d’un triangle rectangle

rectangle amb uns catets de 32 cm i 24 cm. 11 Avalua si les mides següents determinen

els costats d’un triangle rectangle. a) 8 cm, 5 cm i 4 cm

b) 10 cm, 8 cm i 6 cm

si en sabem els altres dos costats: 28 cm i 21 cm. REFLEXIONA

13 Sense fer operacions, raona per què el triangle

de costats 35, 77 i 85 no pot ser rectangle.

157

831084 _ 0153-0170.qxd

18/5/07

10:53

Página 158

4

Aplicacions del teorema de Pitàgores

4.1 Càlcul de l’altura d’un triangle Podem calcular l’altura d’un triangle equilàter o isòsceles si en sabem la longitud dels costats fent servir el teorema de Pitàgores. C

En un triangle escalè, l’altura no talla en el punt mitjà de la base.

En triangles equilàters i isòsceles, l’altura sempre talla en el punt mitjà de la base. Els triangles AMC i MBC són rectangles en què la hipotenusa és un dels costats i els catets, l’altura i la meitat de la base.

h A

c/2 M

B

c/2

EXEMPLE 9

Calcula l’altura d’aquest triangle isòsceles.

5 cm

5 cm

h

F

5 cm

h

3 cm

6 cm

52 = 32 + h2 → h2 = 52 − 32 = 16 → h = 16 = 4 cm L’altura d’aquest triangle isòsceles és 4 cm.

4.2 Càlcul de la diagonal d’un rectangle Podem determinar la longitud de la diagonal d’un quadrat o un rectangle si en sabem la mida dels costats. D

C d

A

B

Els triangles ABC i CDA són rectangles en què la hipotenusa és la diagonal i els catets, dos dels costats.

EXEMPLE 10 Calcula la longitud de la diagonal d’aquest rectangle.

d

4 cm

F

6 cm

d

4 cm

6 cm

d = 4 + 6 = 52 → d = 52 = 7,21 cm La diagonal d’aquest rectangle fa 7,21 cm, aproximadament. 2

2

2

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

14 Calcula el valor de a en aquest triangle equilàter

15 Determina el costat d’un quadrat la diagonal

i el quadrat. a)

del qual fa 8 cm. b)

a

4 cm

a

REFLEXIONA 6 cm

16 Calcula el costat d’un triangle equilàter

d’altura 28 cm.

158

831084 _ 0153-0170.qxd

13/4/07

18:53

Página 159

Àrea de figures planes

5

5.1 Àrea de triangles i quadrilàters Aquí tens les fórmules per calcular l’àrea d’aquests polígons. Triangle

Quadrat A=

h

b⋅h 2

c

b

A = c ⋅ c = c2

c

Rectangle

h

Rombe

d

A=b⋅h

D

A=

D⋅d 2

b

Romboide

Trapezi b

A=b⋅h

h

A=

h

(B + b) ⋅ h 2

B

b

Podem calcular l’àrea de qualsevol polígon si el dividim en altres polígons dels quals podem calcular l’àrea.

EXEMPLE 11 Determina l’àrea d’aquesta figura. 1 cm

2 cm 5 cm

Dividim la figura en altres de més simples l’àrea de les quals sapiguem calcular. Aquesta figura la podem descompondre en un rectangle i un triangle.

A1 = b ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 cm2 ⎫⎪⎪ ⎪ → A = A + A = 10 + 2,5 = 12,5 cm2 ⎬ b⋅h 5⋅1 1 2 A2 = = = 2,5 cm2 ⎪⎪ ⎪⎭ 2 2 L’àrea d’aquesta figura és 12,5 cm2.

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

17 Calcula l’àrea dels polígons següents.

19 Calcula l’àrea d’un rectangle de 3 cm d’altura

a) Un trapezi amb bases de 12 cm i 8 cm i altura de 5 cm. b) Un rombe amb diagonals de 12 cm i 9 cm. 6 cm

18 Calcula l’àrea

de la figura.

4 cm

10 cm 26 cm

2 cm

i 5 cm de diagonal. REFLEXIONA

20 Calcula l’àrea de cadascun

dels tres triangles.

12 cm 10 cm

159

831084 _ 0153-0170.qxd

10/5/07

11:07

Página 160

5.2 Àrea d’un polígon regular

di Ra G

Apotema

Costat

Podem descompondre qualsevol polígon regular en tants triangles isòsceles iguals com costats tingui. c⋅a L’àrea de cada triangle és At = , en què c és el costat del polígon i a és 2 l’apotema. Per obtenir l’àrea del polígon només hem de multiplicar pel nombre de triangles en què l’hem dividit: c⋅a n⋅c⋅a P⋅a ATotal = n ⋅ At = n ⋅ = = 2 2 2 en què n és el nombre de costats i P és el perímetre del polígon regular. L’àrea d’un polígon regular és igual al producte del perímetre per l’apotema dividit entre 2. P⋅a A= 2 EXEMPLE

L’apotema, a, és un segment perpendicular traçat del centre del polígon regular al punt mitjà d’un costat.

12 Calcula el costat d’aquests polígons regulars. a) Un hexàgon regular amb una àrea de 250 cm2 i una apotema de 8,5 cm. A= 8,5 cm c

P ⋅ a A = 250, a = 8,5 P ⋅ 8 ,5 → 250 = → 2 2 250 ⋅ 2 = 58,82 cm → P= 8 ,5

58,82 = 9,8 cm. 6 b) Un octàgon regular amb una àrea de 29,8 cm2 i una apotema de 3 cm. El perímetre és la suma dels costats: 58,8 = 6c → c =

P ⋅ a A = 29,8; a = 3 P⋅3 → 29,8 = → 2 2 29,8 ⋅ 2 = 19,87 cm → P= 3 19,87 = 2,48 cm P = 8c → c = 8 A=

c 3 cm

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

21 Calcula l’apotema d’un heptàgon regular

24 Calcula l’àrea

de 6 cm de costat i 130,8 cm2 d’àrea. 22 Calcula l’àrea d’un quadrat de 7 cm de costat

aplicant la fórmula de l’àrea d’un polígon regular. 23 Determina l’àrea d’un hexàgon regular de 6 cm

de costat.

160

de la figura següent. Fixa’t que l’interior és un hexàgon regular.

2 cm

2 cm 2 cm

2 cm

2 cm

REFLEXIONA

25 Determina l’altura i el perímetre d’un triangle

equilàter de 2 dm2 d’àrea.

831084 _ 0153-0170.qxd

10/5/07

11:07

Página 161

5.3 Àrea de figures circulars Figures circulars

Fórmula de l’àrea

Cercle: superfície plana continguda dins d’una circumferència.

r

A = πr 2

O

Sector circular: part d’un cercle limitat per dos radis i un arc.

α r

A=

O

B

El perímetre d’un cercle és la longitud de la circumferència que el conté: L = 2πr

πr 2α 360

A

Segment circular: porció de cercle limitat per un arc i la seva corda.

α r O

Corona circular: superfície continguda entre dues circumferències concèntriques.

r O

A = ASector − ATriangle OAB

R

A = π(R2 − r 2)

EXEMPLE 13 Calcula l’àrea del segment circular associat a un sector circular de 120° que té 50 cm de radi. Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular l’altura del triangle:

r

h

120° r 2

 r 2  50 2 r = 50 2 2  r =   + h → 50 =   + h2 →  2   2  2

→ h=

502 − 252 = 43,3 cm

 πr 2α π ⋅ 502 ⋅ 120 = = 2.616,7 cm2   360 360  → A = AS − AT = 1.534,2 cm2  b⋅h 50 ⋅ 43,3 2 ATriangle= = = 1.082,5 cm  2 2  A Sector=

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

26 Calcula l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual

28 Calcula l’àrea del segment circular associat

fa 6 cm.

a un sector de 120° i radi 20 cm.

27 Dues circumferències concèntriques

tenen radis de 5 i 3 cm, respectivament. Calcula l’àrea de la corona que originen. Calcula també l’àrea dels cercles que generen.

REFLEXIONA

29 Quina relació hi ha entre els radis de dues

circumferències si la corona circular que generen és la meitat de l’àrea del cercle més gran?

161

831084 _ 0153-0170.qxd

10/5/07

11:07

Página 162

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Àrea de triangles i quadrilàters

Àrea d’un polígon regular d D

h b

c

A=b⋅h

A = c2

D⋅d 2

A=

c

Àrea de figures circulars

b

A

h

h

h B

b

A=

A=b⋅h

P⋅a 2

A=

a

r

B R

α

α

r

r

r

O

b

(B + b) ⋅ h 2

A=

b⋅h 2

πr 2α 360

A=

A = πr 2

A = AS − AOAB

A = π(R 2 − r 2)

FES-HO AIXÍ

1. ÚS DEL TEOREMA DE PITÀGORES

PER CALCULAR L’ALTURA D’UN POLÍGON Calcula l’altura d’aquests polígons.

a)

b)

13 cm

c)

h

17 cm

h

5 cm

6 cm

h

8 cm

PRIMER. Identifiquem el triangle rectangle que determina l’altura i les seves mides. SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores.

a) 132 = 52 + h2 h2 = 132 − 52 h2 = 144 → h = 144 = 12 cm

b) 62 = 32 + h2 h2 = 62 − 32 h2 = 27 → h =

27 = 5,2 cm

c) 172 = 82 + h2 h2 = 172 − 82 h2 = 225 → h =

225 = 15 cm

2. ÚS DEL TEOREMA DE PITÀGORES PER CALCULAR EL COSTAT D’UN POLÍGON a)

b) cm 20

12 cm

c)

10 cm G

13 cm

Calcula el costat d’aquests polígons.

24 cm

G

c

b

Apliquem el teorema de Pitàgores.

a) 20 = 122 + b2

b) c 2 = 122 + 52

2

b2 = 202 − 122 b2 = 256 → b =

162

c 2 = 169 256 = 16 cm

c = 169 = 13 cm

10,5 cm

c

PRIMER. Identifiquem el triangle rectangle i les seves mides. SEGON.

G

c c c) 132 = 10,52 +   →   = 58,75 → 2 2 c → = 58,75 = 7,66 → c = 15,3 cm 2 2

2

831084 _ 0153-0170.qxd

10/5/07

11:07

Página 163

3. ÚS DEL TEOREMA DE PITÀGORES PER CALCULAR L’APOTEMA D’UN POLÍGON REGULAR

a)

Calcula l’apotema d’aquests polígons regulars.

b) 17,5 cm

PRIMER. El triangle que té com a costats el radi,

a

l’apotema i mig costat és rectangle. N’identifiquem les mides tenint en compte que a l’hexàgon regular el radi és igual al costat.

6 cm

SEGON.

r

12 cm

a

Apliquem el teorema de Pitàgores.

a) 6 = 32 + a2 → a2 = 62 − 32

b) 17,5 2 = 6 2 + a 2 → a 2 = 17,52 − 6 2

2

a2 = 27 → a =

27 = 5,2 cm

a2 = 270,25 → a =

270,25 = 16,44 cm

4. CÀLCUL DE L’ÀREA D’UNA FIGURA PLANA Determina l’àrea d’aquesta figura. 1,3 m A B

C

SEGON.

h 2,4 m D E

1,3 m

F

G

PRIMER. Descomponem la figura en altres figures les àrees de les quals sapiguem calcular. FIGURA A → Triangle isòsceles amb costats iguals d’1,3 m i base de 2,4 m. FIGURES B, C, D, E, F i G → Semicercles iguals amb un diàmetre de 2,4 : 6 = 0,4 m. ATotal = AFigura A + 6 ⋅ AFigura B

Calculem cadascuna de les àrees.

FIGURA A → Calculem h. h2 = 1,32 − 1,22 = 0,25 → h =

AFigura A = 0,25 = 0,5 m

FIGURA B → Calculem r → r = 0,4 : 2 = 0,2 m TERCER. Fem les operacions per obtenir l’àrea total.

b⋅h 2 , 4 ⋅ 0 ,5 = = 0,6 m2 2 2

πr 2 π ⋅ 0 ,2 2 = = 0,06 m2 2 2 ATotal = AFigura A + 6 ⋅ AFigura B = 0,6 + 6 ⋅ 0,06 = 0,96 m2 AFigura B =

I ARA... PRACTICA Ús del teorema de Pitàgores per calcular l’altura d’un polígon

Ús del teorema de Pitàgores per calcular l’apotema d’un polígon regular

1. L’àrea d’un triangle equilàter que té un costat que fa 10 cm és: c) 50 cm2 a) 86,6 cm2 2 b) 43,3 cm d) 100 cm2

3. L’àrea d’un hexàgon regular amb un perímetre de 24 cm és:

Ús del teorema de Pitàgores per calcular el costat d’un polígon 2. El costat d’un rombe amb diagonals de 2 cm i 4 cm és: a) 5 cm c) 20 cm b) 2,24 cm d) 4,47 cm

a) 124 cm2

c) 41,52 cm2

b) 108 cm2

d) 57,41 cm2

Càlcul de l’àrea d’una figura plana 4. L’àrea de la figura és: a) 171,48 cm2

13 cm

12 cm

b) 114,96 cm2 c) 141,48 cm2

14 cm

163

831084 _ 0153-0170.qxd

10/5/07

11:07

Página 164

Activitats LLOCS GEOMÈTRICS. ELEMENTS NOTABLES D’UN TRIANGLE 30. ● Relaciona aquests elements. a) b) c) d)

Baricentre Incentre Circumcentre Ortocentre

1) 2) 3) 4)

Altures Mediatrius Mitjanes Bisectrius

31. ● Dibuixa uns quants triangles rectangles i assenyala’n l’ortocentre. On està situat? 32. ●● Dibuixa tres punts que no estiguin alineats i traça una circumferència que hi passi. 33. ●● Dibuixa un triangle rectangle i traça’n les mediatrius. Assenyala’n el circumcentre. Què hi observes? 34. ●● En un triangle rectangle i isòsceles la hipotenusa fa 10 cm. Si tracem una circumferència circumscrita, quin n’és el radi?

a) A l’exterior del triangle. b) A l’interior del triangle. c) Sobre un costat. 37. ●● Assenyala el circumcentre i l’ortocentre d’un triangle rectangle i isòsceles. El segment que uneix aquests dos punts del triangle és: a) Mitjana b) Mediatriu

c) Altura d) Bisectriu

Es verifica en un triangle rectangle escalè, això? 38. ●● En un triangle rectangle i isòsceles: a) L’altura corresponent a la hipotenusa és més gran que un catet? b) La mitjana corresponent a la hipotenusa és més gran o més petita que un catet?

164

40. ● Calcula la longitud del costat que falta en cada triangle rectangle (a és la hipotenusa). a) a = 34 cm, b = 30 cm b) b = 28 cm, c = 21 cm 41. ●● Calcula la longitud de la hipotenusa d’un triangle si saps que els catets es diferencien en 2 cm i que el petit fa 6 cm. 42. ● Determina si els triangles següents són rectangles. En cas afirmatiu, indica la mida de la hipotenusa i els catets. a) Triangle amb costats de 5 cm, 12 cm i 13 cm. b) Triangle amb costats de 6 cm, 8 cm i 12 cm. c) Triangle amb costats de 5 cm, 6 cm i 61 cm. d) Triangle amb costats de 7 cm, 24 cm i 25 cm. 43. ●● Calcula la longitud dels segments indicats. a)

1c C m B 1 cm A

D

b)

D

m 1c

36. ●● En un triangle rectangle, el baricentre, l’ortocentre, el circumcentre i l’incentre són punts situats:

39. ● La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 12 cm i un dels catets en fa 6. Calcula la longitud de l’altre catet.

m 1c

35. ●● En un triangle equilàter de perímetre 36 cm tracem la circumferència circumscrita. Sabem que la mitjana fa 10,39 cm. Quin és el radi de la circumferència?

TEOREMA DE PITÀGORES

?

C

4 cm

m 3c

E

B 2 cm

E

2 cm A

? 2 cm

F

44. ● Sabem que els costats iguals d’un triangle isòsceles fan 7 cm i l’altre, 4 cm. Calcula’n l’altura. 45. ●● Calcula l’altura d’un triangle equilàter de perímetre 30 cm. 46. ●● Calcula la longitud de la base d’un triangle isòsceles si els costats iguals fan 17 cm i l’altura, 8 cm. 47. ●● Calcula la longitud dels costats iguals d’un triangle isòsceles el costat desigual del qual fa 42 cm i l’altura, 20 cm. 48. ●● Determina la longitud del costat d’un triangle equilàter amb una altura de 6 cm.

831084 _ 0153-0170.qxd

10/5/07

11:07

Página 165

52. ● Calcula la longitud de x a les figures.

FES-HO AIXÍ

a)

COM CALCULEM L’ALTURA

c)

x

4 cm

x

5 cm

D’UN TRIANGLE QUALSEVOL SI EN CONEIXEM ELS COSTATS? 8 cm

49. Calcula l’altura d’un triangle amb uns costats de 5 cm, 8 cm i 10 cm.

b)

PRIMER. Dibuixem el triangle i n’anomenem

d) 10

cm

x

cm 117

cadascun dels elements. C

5 cm

10 − x

x A

H

B

G

9 cm

L’altura divideix la base en dues parts: • AH, la longitud de la qual anomenem x. • HB, la longitud de la qual serà 10 − x.

8 cm

h

F

10 cm

53. ●● Fixa’t en la figura i calcula. C

a) El costat del rombe.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores als dos

b) La longitud del catet AB, del catet AC i de la hipotenusa BC.

16 cm

triangles rectangles que obtenim. A AHC: 52 = x2 + h2 → h2 = 52 − x2

A

A HBC: 82 = (10 − x)2 + h2 → h2 = 82 − (10 − x)2 TERCER. Igualem totes dues expressions i fem l’equació.  h2 = 52 − x2 → 52 − x2 = 8 2 − (10 − x)2 2 2 2 h = 8 − (10 − x) 

B

12 cm

54. ●● Calcula el perímetre de les figures següents. a)

12 cm

b)

25 cm

14 cm 28 cm

25 − x = 64 − (100 + x − 20x) 25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x 20x = 61 → x = 3,05 cm 2

x

2

28 cm

18 cm 7 cm 16 cm

5 cm

QUART. Calculem h.

h2 = 52 − x2 → h =

55. ●● Fixa’t en la figura següent.

52 − 3,052 = 3,96 cm

20 cm

50. ●● Calcula l’altura d’un triangle els costats del qual fan: a) AB = 4 cm b) AB = 6 cm c) AB = 5 cm

BC = 7 cm BC = 10 cm BC = 11 cm

15 cm G

CA = 9 cm CA = 14 cm CA = 15 cm

56. ●●● Fixa’t en les set peces del tangram xinès.

51. ●●● Calcula la distància d’un punt, P, a un altre punt, A, perquè es verifiqui que la longitud del segment CP és igual que la del segment DP als gràfics. a)

C

5 cm

5 cm

b) D

D C

4 cm 3 cm 7 cm

2,5 cm

P B

2,5 cm

3 cm

2 cm

P A

Si els costats del rectangle fan 15 cm i 20 cm, quant fa el radi de la circumferència?

A

6 cm

B

Calcula l’àrea de cadascuna de les peces.

165

831084 _ 0153-0170.qxd

13/4/07

18:53

Página 166

ÀREA DE FIGURES PLANES

FES-HO AIXÍ

57. ● Tria la resposta correcta en cada cas.

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI ISÒSCELES SI EN DESCONEIXEM L’ALTURA?

a) L’àrea d’un rombe amb diagonals de 2 cm i 4 cm és: I) 4 cm2 III) 6 cm2 2 II) 2 cm IV) 12 cm2 b) L’àrea d’un trapezi amb bases de 10 cm i 8 cm i altura de 6 cm és: III) 108 cm2 I) 240 cm2 II) 54 cm2 IV) 60 cm2 c) L’àrea d’un triangle equilàter el costat del qual fa 10 cm és: III) 43,3 cm2 I) 86,6 cm2 2 II) 50 cm IV) 100 cm2

D 2,5 cm

C 2,5 cm

h 1,5 8 cm

F

B

AB − CD 8−5 = = 1,5 cm 2 2 SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores en el triangle rectangle que determina l’altura.

2,5 cm

1,52 + h2 = 2,52 h2 = 2,52 − 1,52 = 4

h

h=

1,5

61. ●● Si l’àrea d’un triangle equilàter és 30 cm2, calcula la longitud del costat.

A

E

4 = 2 cm

TERCER. Calculem l’àrea del trapezi.

62. ●● Calcula l’àrea d’un triangle rectangle de 13 cm d’hipotenusa si un dels catets fa 5 cm. 63. ●● Determina l’àrea d’un quadrat si saps que la diagonal fa 7,07 cm.

A=

(B + b) ⋅ h (8 + 5) ⋅ 2 = = 13 cm2 2 2

69. ●● Calcula l’àrea d’aquests trapezis isòsceles. a)

64. ●● Calcula l’àrea d’aquest rectangle.

6 cm

c)

7m 3,5 m

3 cm

4,13 m

10 cm 4 cm

b) 65. ●● Calcula l’àrea d’un rectangle la base del qual 116 cm.

16 m

d) 4m 3m

164 m 24 m

66. ●● Determina l’àrea d’un triangle de 7 cm de base i 24 cm de perímetre.

14 m

70. ●● Determina l’àrea de: a) Un hexàgon regular de 2 cm de costat.

9 cm

b) Un octàgon regular de 48 cm de perímetre.

4 cm 8 cm

6 cm F

166

5 cm

h

D

4 cm

B

8 cm

Com que el trapezi és isòsceles, les altures determinen dos triangles rectangles iguals les bases dels quals són la meitat de la diferència de les bases del trapezi.

60. ●● Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de 90 cm de perímetre.

67. ●● Calcula l’àrea de la zona enfosquida.

2,5 cm

AE = FB =

59. ●● L’àrea d’un triangle rectangle és 12 cm2 i un dels costats fa 6 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa.

cm 41

C

PRIMER. Calculem la base del triangle rectangle que determina l’altura.

1,5 E A

58. ●● L’àrea d’un triangle isòsceles és 24 m i el costat desigual fa 6 m. Calcula la longitud dels altres costats.

5 cm

A

2

fa 10 cm i la diagonal,

D

68. Calcula l’àrea d’aquest trapezi isòsceles.

11 cm

71. ●●● Calcula la longitud del segment vermell d’aquesta figura.

831084 _ 0153-0170.qxd

13/4/07

18:53

Página 167

80. ●●● Calcula l’àrea de les figures següents.

72. ●● Determina l’àrea de les superfícies pintades. a)

c)

5 cm

a)

c)

3 cm 7 cm

3 cm

5 cm

2 cm 5 cm

b)

b)

d)

d) 2,5 cm

4 cm 10 cm

2,5 cm

G

4 cm

3 cm

5,54 cm

FES-HO AIXÍ 73. ●● Determina l’àrea d’un cercle circumscrit a un triangle rectangle amb catets de 6 cm i 8 cm.

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI CIRCULAR?

20 cm F

81. Calcula l’àrea d’aquesta part de corona circular limitada per dos radis (trapezi circular).

75. ●● Calcula l’àrea d’un sector circular de 60° d’amplitud i una circumferència de longitud 12π cm com a radi.

PRIMER. Calcula l’àrea dels sectors circulars.

76. ●● Determina l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual és igual que el perímetre d’un quadrat de 7 cm de costat. 77. ●● En una circumferència de 5 cm de radi s’inscriu un triangle rectangle isòsceles. Calcula l’àrea compresa entre el cercle i el triangle.

a)

En aquest cas tenen una amplitud de 30°, i els radis fan 20 cm i 8 cm, respectivament.

SEGON.

78. ●● Determina l’àrea de la zona pintada si saps que el diàmetre de la circumferència fa 10 cm.

30°

8 cm

74. ●● Calcula l’àrea de la corona circular limitada per les circumferències circumscrita i inscrita d’un quadrat de 8 cm de costat.

A1 =

π ⋅ 202 ⋅ 30 = 104,67 cm2 360

A2 =

π ⋅ 8 2 ⋅ 30 = 16,75 cm2 360

Restem les àrees de tots dos sectors. A1 − A2 = 104,67 − 16,75 = 87,92 cm2

L’àrea del trapezi circular és 87,92 cm2, aproximadament.

c) 10 cm

10 cm

b) 10 cm

79. ●●● Calcula l’àrea de les figures següents. a)

b)

12 cm

82. ●● Calcula l’àrea del trapezi circular generat per la corona circular de l’activitat anterior i de 120° d’amplitud. 83. ●● Calcula l’àrea d’un trapezi circular de 120 cm i 6 cm de radis i 270° d’amplitud. 84. ●● Fixa’t en la margarida i calcula l’àrea de cada pètal de la part groga, de la blanca i de l’àrea total.

45°

4m

4m

4 cm

167

831084 _ 0153-0170.qxd

10/5/07

11:07

Página 168

PROBLEMES AMB ÀREES 85. ●● Fixa’t en aquesta torre i l’ombra que fa.

150 m

Quina distància hi ha des del punt més alt de la torre fins a l’extrem de l’ombra? 200 m

1m

92. ●● Llancen en una pista circular 1 kg de sorra per metre quadrat. Quin radi té la pista si hi han llançat 4.710 kg de sorra en total? 93. ●● En una altra pista circular de 30 m de diàmetre hi volen llançar 30 kg de sorra per metre quadrat.

10 m

86. ●● Una escala de 10 m de longitud està recolzada sobre una paret. El peu de l’escala dista 6 m de la paret. A quina altura arriba l’escala sobre la paret?

91. ●●● Hem col·locat una vidriera triangular. Calcula l’àrea de la part de la vidriera de color vermell si saps que la finestra és un triangle equilàter d’1 m de costat.

a) Quantes tones de sorra fan falta? 6m

87. ●● Als costats d’un camp rectangular s’hi han plantat 32 arbres separats 5 m entre ells. Quina és l’àrea del camp? Quant fa el costat?

b) Si una carreta mecànica carrega 157 sacs de 5 kg cadascun, quants desplaçaments haurà de fer? 94. ●● Volem fer un cercle amb lloses en un jardí quadrat, tal com indica la figura.

88. ●● Aquest senyal de trànsit indica l’obligatorietat d’aturar-se. Calcula’n l’àrea si l’altura és 90 cm i el costat fa 37 cm.

10 m

89. ●●● Cadascun dels 50 pisos d’un edifici té la planta d’aquesta figura. El costat de l’hexàgon fa 30 m. Si al terra hi ha una moqueta que costa 20 €/m2, calcula el que s’ha pagat en total per la moqueta de l’edifici.

a) Quant fa l’àrea enllosada? b) Quina àrea ha quedat amb gespa? 95. ●●● Un pastisser ha cobert de sucre la part superior de 200 rosquilles com la de la figura. Si ha fet servir 5 kg de sucre, quants grams de sucre fan falta per cobrir cada cm2 de rosquilla?

30 m

168

6 dam

4,5 da m

4,1 dam

38 m

90. ●●● En Màrius té un jardí en forma de romboide. Un dels costats fa 45 m. A més, hi ha un camí i en coneixem les mides. Calcula el perímetre del jardí i l’àrea.

5 cm

F

G G

6 cm F

96. ●● Construïm la muntura d’un monocle amb 10 cm de filferro. Quina és l’àrea de la lent que s’encaixa a la muntura?

831084 _ 0153-0170.qxd

13/4/07

18:53

Página 169

197. ●● Calcula l’àrea que es pot gravar (a la fotografia, de color blau) d’un disc compacte. Quin percentatge de l’àrea total del disc s’aprofita per gravar?

101. ●●● Un pintor decora una tanca amb una d’aquestes figures.

4m F

F G

Si cobra el metre quadrat de tanca pintada a 32 €, quant cobrarà per cadascuna?

2 cm

G

6 cm

10 m

198. ●●● Un jardiner ha plantat una zona de gespa en forma de corona circular. La longitud del segment més gran que podem traçar-hi és de 15 m.

INVESTIGA 102. ●●● Tracem les mitjanes d’un triangle qualsevol i es formen 6 triangles que tenen com a vèrtex comú el baricentre. Justifica que tots tenen la mateixa àrea. A partir d’aquest resultat, demostra que el baricentre dista de cada vèrtex el doble que del punt mitjà del costat oposat. 103. ●●● Què és més gran, l’àrea del triangle rectangle ABC o la suma de les àrees de L1 i L2? C

Quina àrea de gespa ha plantat el jardiner? L1

L2

199. ●● Aquesta és la bandera del Brasil. A

Mesura i calcula quin percentatge de l’àrea total suposa l’àrea de cada color.

B

104. ●●● Compara les àrees de la zona ratllada i de la zona blanca.

100. ●● El telefèric de la ciutat A surt de la base d’una muntanya i arriba fins al cim. Des d’aquest punt es dirigeix a la ciutat B o a la ciutat C.

800 m

1.500 m

(Les circumferències que veus tenen com a diàmetre cadascun dels costats del triangle.)

105. ●●● Els segments traçats en aquests quadrats són diagonals o uneixen vèrtexs del quadrat amb punts mitjos de costats oposats. Quina fracció de l’àrea del quadrat està enfosquida?

3.200 m

A B C a) Quina distància recorre el telefèric de la ciutat A a la C? b) I de A a B?

169

831084 _ 0153-0170.qxd

13/4/07

18:53

Página 170

A la vida quotidiana 106. ●●● Aquest és el plànol d’una parcel·la en què es construirà un edifici d’oficines.

107. ●●● Volem col·locar un repetidor al cim d’una muntanya per assegurar les comunicacions de quatre localitats que hi ha a la zona. Argant

Bern

100 km

60 km

Pic del Bou G

F

1.300 m

La parcel·la té forma de triangle equilàter de 1.300 m de costat i tres carreteres la voregen. El contractista i l’arquitecte de l’obra han coincidit en la ubicació de l’edifici. Jo crec que l’edifici hauria de ser a la mateixa distància de les tres carreteres... D’aquesta manera el soroll i la contaminació serien menors.

Hi estic d’acord... Però llavors hauràs de fer un pressupost del cost de les tres vies de sortida que haurem de construir.

Cabrers

Diders

Les quatre localitats estan situades als vèrtexs d’un rectangle i les distàncies entre elles són: Argant - Bern

100 km

Bern - Cabrers

60 km

Tal com pots veure al mapa, les distàncies entre la muntanya i els pobles d’Argant i Bern són fàcils de mesurar. Són les següents: Argant - pic del Bou

50 km

Bern - pic del Bou

80 km

Les distàncies del pic del Bou als altres dos pobles, en canvi, no es poden mesurar fàcilment perquè hi ha un llac al mig. Sabem, pels mesuratges que s’han fet d’altres repetidors similars, que el senyal és acceptable fins a una distància no superior a 90 km del repetidor.

Si tenim en compte que l’edifici que es construirà tindrà forma quadrada i una superfície de 484 m2, i que el metre lineal de la via de sortida costarà 1.150 €, quin serà el cost de les tres vies que s’han de construir? Serà acceptable el senyal als pobles de Cabrers i Diders?

170

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

9

Página 171

Cossos geomètrics El llegat d’Arquimedes A Sicília, preocupat perquè l’ideal del seu fill Marc fos l’esperit guerrer i les conquestes de Juli Cèsar, Ciceró mirava de raonar amb ell i li deia: –Molt a prop d’aquí, a Siracusa, va viure l’enginyer bèl·lic més gran de tots els temps. Ell sol va ser capaç d’aturar l’exèrcit romà durant més de tres anys.

PLA DE TREBALL

Marc es va interessar molt pel tema i el seu pare li va explicar la història d’Arquimedes i li va prometre que l’endemà anirien a veure’n la tomba.

En aquesta unitat aprendràs a...

L’endemà, davant de la tomba on Marc esperava veure les gestes d’Arquimedes, només hi va trobar una esfera escrita en un cilindre.

• Distingir els principals elements i característiques dels poliedres.

Llavors Ciceró li va dir al seu fill:

• Reconèixer els poliedres regulars. • Diferenciar els prismes i les piràmides, així com els seus elements i tipus. • Aplicar el teorema de Pitàgores al càlcul de longituds en l’espai. • Calcular l’àrea i el volum de prismes, piràmides, cilindres, cons i esferes. • Treballar amb coordenades geogràfiques.

–Tot i els seus èxits en enginyeria militar, no en va deixar cap d’escrit, però sí molts de matemàtiques i mecànica. Ell pensava que el seu millor tresor era haver descobert que el volum de l’esfera és dos terços del volum del cilindre que la conté. Aquestes figures es generen per rotació de figures planes. De quines figures es tracta? Coneixes cap altre cos que es generi així?

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 172

1

Els poliedres són cossos geomètrics tancats limitats per cares planes de forma poligonal.

Els poliedres els anomenem en funció del nombre de cares:: F

F

F

F

Cara Cada polígon que limita el poliedre.

Tetraedre Pentaedre Hexaedre Heptaedre

Aresta Costat de cada cara. G

F

4 cares 5 cares 6 cares 7 cares ...

Poliedres

Diagonal Segment que uneix dos vèrtexs no consecutius.

F

G

Vèrtex On concorren tres o més cares. Coincideixen amb els vèrtexs de les cares.

Anomenem desenvolupament pla d’un poliedre la figura que obtenim quan l’estenem sobre un pla, a partir del qual podem construir el poliedre.

F

EXEMPLE 1

Determina el nom dels poliedres següents. Quantes cares tenen? I quantes arestes?

En tots dos casos, el nombre de cares és 5; per tant, són pentaedres. Tot i això, el primer té 8 arestes i el segon, 9.

EXERCICIS PRACTICA

1

APLICA

Determina el nom dels poliedres i el nombre de cares i arestes que tenen. a)

2

b)

Fes el desenvolupament pla dels poliedres de l’exercici anterior. Indica els passos que segueixes.

REFLEXIONA

3

172

Dibuixa dos heptaedres que tinguin un nombre d’arestes i de vèrtexs diferent. (Fixa’t en els exemples anteriors.)

831084 _ 0171-0190.qxd

2

13/4/07

19:02

Página 173

Classificació dels poliedres. Àrees

En funció de la forma, els poliedres poden ser còncaus o convexos.

Convex Cap cara, quan la prolonguem, talla el poliedre.

Còncau Alguna cara, quan la prolonguem, talla el poliedre.

En tots els poliedres convexos es compleix la relació d’Euler:

C Nre. de cares

+

V Nre. de vèrtexs

=

A Nre. d’arestes

+

2

EXEMPLE 2

Classifica els poliedres i comprova si es verifica la relació d’Euler.

a)

b)

a) És un poliedre convex. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2 b) És un poliedre còncau. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2

2.1 Poliedres regulars Un poliedre és regular quan totes les seves cares són polígons regulars iguals i, a més, en cada vèrtex s’uneix el mateix nombre de cares.

Els principals poliedres convexos són els poliedres regulars, els prismes i les piràmides.

Només hi ha cinc poliedres regulars:

Tetraedre

Cub

Octaedre

Dodecaedre

Icosaedre

EXERCICIS PRACTICA

4 Aquest poliedre

és un cub truncat (cada vèrtex del cub ha estat tallat formant un triangle equilàter). El poliedre és còncau o convex? Comprova si es compleix la fórmula d’Euler.

APLICA

5

Indica el poliedre regular que es pot formar amb: a) Triangles equilàters. b) Quadrats. Quantes cares coincideixen en cada vèrtex?

REFLEXIONA

6

Podries formar un poliedre regular fent servir només hexàgons regulars? I fent servir polígons regulars de més de sis costats?

173

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 174

2.2 Prismes Un prisma és un poliedre que té dues cares que són polígons iguals i paral·lels entre ells (bases) i la resta de les cares són paral·lelograms (cares laterals). L’altura del prisma és la distància entre les bases. En funció de la forma de les bases, els prismes poden ser triangulars, quadrangulars, pentagonals...

Direm que un prisma és regular quan és recte i les seves bases són polígons regulars.

Prisma quadrangular oblic

Altura

Direm que és un prisma recte quan les seves cares laterals són totes rectangles, és a dir, són perpendiculars a les bases. En cas contrari, l’anomenem oblic.

Aresta bàsica

G

Cara lateral

G

G

Aresta lateral

Base Prisma pentagonal recte

Els prismes que tenen com a base un quadrilàter els anomenem paral·lelepípedes, i si són rectes reben el nom d’ortoedres. Àrea d’un prisma

L’àrea d’un prisma és la suma de l’àrea lateral (àrea de les cares laterals) i de l’àrea de les bases. L’àrea lateral és l’àrea d’un rectangle d’amplada, el perímetre de la base, i d’altura, l’altura del prisma. A = ALateral + 2ABase = PBase ⋅ h + 2ABase

h

F

h PBase

EXEMPLE

16 cm

3

Calcula l’àrea de l’ortoedre que veus a l’esquerra. A = PBase ⋅ h + 2ABase = (2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6) ⋅ 16 + 2 ⋅ (9 ⋅ 6) = 588 cm2

6 cm 9 cm

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

7 Classifica aquests prismes i anomena’n

els elements principals. a)

b)

9

Calcula l’àrea d’un prisma triangular, és a dir: la base és un triangle equilàter, regular de 5 cm d’aresta bàsica i 16,5 cm d’altura.

REFLEXIONA

10 Calcula l’àrea d’un prisma hexagonal regular 8 Calcula l’àrea d’un cub de 9 cm d’aresta.

174

de 8 cm d’aresta bàsica i 10 cm d’altura.

831084 _ 0171-0190.qxd

10/5/07

10:55

Página 175

2.3 Piràmides Una piràmide és un poliedre que té com a base un polígon i les cares laterals són triangles amb un vèrtex comú, que anomenem vèrtex de la piràmide. L’altura de la piràmide és la distància de la base a aquest vèrtex. Vèrtex Aresta lateral

F

G

Apotema

Aresta bàsica

En funció de la forma de les bases, les piràmides poden ser triangulars, quadrangulars, pentagonals... Direm que una piràmide és recta quan les cares laterals són totes triangles isòsceles. En cas contrari, l’anomenem obliqua. Una piràmide és regular quan és recta i la base és un polígon regular.

Altura

F

Cara lateral

Base

F

Aquesta fórmula per calcular l’àrea d’una piràmide només és vàlida per a piràmides regulars.

Piràmide pentagonal recta

Anomenem apotema d’una piràmide regular l’altura de qualsevol de les cares laterals. Àrea d’una piràmide

L’àrea d’una piràmide és la suma de l’àrea lateral (suma de les àrees dels triangles) i l’àrea de la base. Si n és el nombre d’arestes bàsiques:

b b

a b

b

b

b b

b⋅a (n ⋅ b) ⋅ a P ⋅a = = Base 2 2 2 P ⋅a + ALateral = ABase + Base 2

ALateral = n ⋅

b

A = ABase

EXEMPLE Calcula l’àrea d’una piràmide quadrangular regular de 6 cm d’aresta bàsica i 8 cm d’apotema. 8 cm

4

Com que la piràmide és regular, la seva àrea és: A = AB +

(6 ⋅ 4) ⋅ 8 PB ⋅ a = 62 + = 132 cm2 2 2

6 cm

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

11 Classifica aquestes piràmides i anomena’n

12 Calcula l’àrea total d’una piràmide hexagonal

els elements principals. a)

b)

regular de 6 cm d’aresta bàsica i 12 cm d’apotema de les cares laterals. REFLEXIONA

13 Amb qualsevol triangle com a base podem fer

una piràmide recta. És possible fer-ho amb qualsevol quadrilàter?

175

831084 _ 0171-0190.qxd

10/5/07

10:55

Página 176

Cossos de revolució. Àrees

3

Els cossos de revolució són cossos geomètrics que obtenim quan girem una figura plana al voltant d’una recta (eix de gir).

3.1 Cilindre G

Eix de gir

L’obtenim quan girem un rectangle al voltant d’un dels seus costats. El seu desenvolupament pla consta d’un rectangle i dos cercles (bases).

F

Base Altura

r

L’àrea és la suma de l’àrea lateral més l’àrea de les dues bases.

h h

r Base

Radi

F

h

2πr

r

A = ALateral + 2ABase = = 2πrh + 2πr 2 = = 2πr(h + r)

3.2 Con Eix de gir

Altura

Gen eratr iu

G

L’obtenim quan girem un triangle rectangle al voltant d’un dels seus catets. El seu desenvolupament pla consta d’un cercle (base) i un sector circular.

F

L’àrea és la suma de l’àrea lateral més l’àrea de la base. g

g

h r Base

Radi

F

r

2πr r

g

A = ALateral + ABase = 2πr + πr 2 = A = πg 2 ⋅ 2πg A = πrg + πr2 = πr(g + r)

EXEMPLE 5

Si és un cilindre: A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3(4 + 3) = 131,88 cm2 Si fos un con, en calculem de primer la generatriu:

4 cm

4 cm 3 cm

Calcula l’àrea del cilindre de 4 cm d’altura i 3 cm de radi de la base. I si en lloc d’un cilindre fos un con?

3 cm

g = r 2 + h2 = 32 + 4 2 = 5 cm A = πr(g + r) = π ⋅ 3(5 + 3) = 75,36 cm2

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

14 Dibuixa el desenvolupament pla i calcula l’àrea

15 Quina altura té un cilindre de 75,36 cm2 d’àrea

dels cossos de revolució següents. a) Un cilindre de 3 cm de radi de la base i 5 cm d’altura. b) Un con de 4 cm de radi i 6 cm de generatriu.

176

lateral i 4 cm de radi de la base? REFLEXIONA

16 Un con té la mateixa base que un cilindre i la

seva àrea és la meitat. Quin tindrà més altura?

831084 _ 0171-0190.qxd

10/5/07

10:55

Página 177

3.3 Esfera L’obtenim quan girem un semicercle al voltant del seu diàmetre. L’esfera no té un desenvolupament pla. Eix de gir

G

F

Radi

F

F

L’àrea la calculem amb la fórmula: A = 4πr 2

L’àrea d’una esfera és igual que l’àrea lateral del cilindre que la conté, i s’hi ajusta completament.

Centre

3.4 Figures esfèriques S’obtenen en tallar la superfície esfèrica amb un o més plans. • Casquet esfèric: cadascuna de les parts que es formen a la superfície esfèrica quan la talla un pla. La seva àrea és: ACasquet = 2πrh h r

r h

• Zona esfèrica: part de la superfície esfèrica compresa entre dos plans paral·lels. En calculem l’àrea amb la fórmula: AZona = 2πrh

• Fus esfèric: part de la superfície esfèrica compresa entre dos plans secants que passen pel centre de l’esfera. La seva àrea és: 4πr 2α AFus = 360

α r

EXEMPLE 6

Tenim una esfera de 3 cm de radi. Calcula l’àrea del casquet esfèric d’1 m d’altura i el fus esfèric de 45° d’amplitud. 3m

ACasquet = 2πrh = 2π ⋅ 3 ⋅ 1 = 18,84 m2 4πr 2 n 4π ⋅ 32 ⋅ 45 AFus = = = 14,13 m2 360 360

45°

3m

1m

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

17 En una esfera de 20 cm de radi, calcula l’àrea

19 Calcula l’altura d’una zona

del fus esfèric de 40° i un casquet esfèric de 10 cm d’altura. APLICA

18 En una taronja de 15 cm de diàmetre,

quina àrea de pell li correspon a cadascun dels 12 grills?

esfèrica perquè la seva àrea sigui la mateixa que la d’un fus esfèric de 10º d’amplitud, si el radi de l’esfera associada és de 15 cm. I si el radi fos de 30 cm? El resultat depèn del radi de l’esfera?

h 15 cm

177

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 178

4

Volum de cossos geomètrics

El volum d’un cos geomètric és la quantitat d’espai tancada dins de la seva superfície.

4.1 Principi de Cavalieri Si dos cossos tenen la mateixa altura i les seccions que es produeixen quan es tallen per plans paral·lels a la base presenten la mateixa base, llavors els dos cossos tenen el mateix volum.

4.2 Volum del prisma i el cilindre Ja sabem que el volum d’un ortoedre és el producte de les seves dimensions. V = m ⋅ n ⋅ p = (m ⋅ n) ⋅ p

p m

n

Si apliquem el principi de Cavalieri podem calcular el volum de qualsevol prisma i cilindre. El volum d’aquests cossos coincideix amb el de l’ortoedre de la mateixa àrea de la base i altura idèntica.

h

VPrisma = ABase ⋅ Altura = ABase ⋅ h

VCilindre = ABase ⋅ Altura = πr 2 ⋅ h

EXEMPLE 7 7 cm

Calcula el volum d’un prisma quadrangular de 3 cm de costat de la base i 7 cm d’altura. Calcula també el volum del cilindre inscrit en el prisma. VPrisma = ABase ⋅ h = 32 ⋅ 7 = 63 cm3 El radi del cilindre és la meitat del costat del quadrat:

r

r=

3 = 1,5 cm → VCilindre = πr2 ⋅ h = π ⋅ 1,52 ⋅ 7 = 49,45 cm3 2

3 cm

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

20 Calcula el volum d’un prisma hexagonal regular

22 Determina la longitud de l’aresta d’un cub

l’aresta de la base del qual fa 3 cm i l’altura, 4 cm. APLICA

21 Calcula el volum del cilindre circumscrit

en el prisma de l’exercici anterior.

178

el volum del qual és igual al d’un ortoedre amb arestes de 3, 4 i 5 cm, respectivament. 23 Si els volums de dos cilindres són iguals

i els radis són un el doble que l’altre, quina relació hi ha entre les seves altures?

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 179

4.3 Volum de la piràmide i el con

h

De manera experimental, podem comprovar que el volum d’una piràmide és la tercera part del volum d’un prisma amb la mateixa àrea de base i idèntica altura. 1 1 VPiràmide = VPrisma → VPiràmide = (ABase ⋅ h) 3 3

h

h

De manera anàloga, podem calcular l’àrea d’un con relacionant-lo amb el volum d’un cilindre amb la mateixa base i altura. h

VCon =

1 1 VCilindre → VCon = (πr2 ⋅ h) 3 3

EXEMPLE 8

Calcula el volum dels cossos geomètrics següents. b) 10 cm

a)

8 cm

h

4 cm 6 cm

a) És una piràmide de base quadrada. V=

1 1 (ABase ⋅ h) = (62 ⋅ 10) = 120 cm3 3 3

b) És un con. De primer en calculem l’altura.

h

h2 = 82 − 42 → h = 8 2 − 4 2 = 6,93 cm 1 1 V = (πr2 ⋅ h) = (π ⋅ 42 ⋅ 6,93) = 116,05 cm3 3 3

8 cm

4 cm

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

24 Calcula el volum de les figures següents.

25 Calcula el volum

a)

comprès entre el cub i el con de la figura.

b)

10 cm

7 cm

5 cm REFLEXIONA

26 Tenim un con de radi r i altura h. 4 cm 3 cm

Com augmenta més de volum, si augmentem 1 cm el radi o si augmentem 1 cm l’altura?

179

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 180

4.4 Volum de l’esfera El principi de Cavalieri ens permet relacionar els volums de l’esfera, el con i el cilindre. Les àrees de cada secció verifiquen la relació següent. F

r

=

r

r

1 VEsfera 2

+

Ja sabem que: VCon =

G

+

r

=

VCon

VCilindre

1 VCilindre. Si aïllem la igualtat anterior, obtenim 3

el volum de l’esfera. 1 1 4 VEsfera + VCilindre = VCilindre → VEsfera = VCilindre 2 3 3 El volum d’un cilindre de radi r i altura r és: VCilindre = πr 2r = πr 3. 4 Per tant, el volum d’una esfera de radi r és VEsfera = πr 3. 3 EXEMPLE 9

a)

Calcula el volum d’aquestes figures.

b) 4 cm

2 cm

a) El radi de l’esfera és la meitat del diàmetre, per tant r = 2 cm. El volum de l’esfera serà: 4 4 V = πr 3 = π ⋅ 23 = 33,49 cm3 3 3 b) El volum d’aquesta semiesfera és la meitat del volum de l’esfera de 2 cm de radi. 1 1 V = VEsfera = ⋅ 33,49 = 16,74 cm3 2 2

EXERCICIS

d’una esfera el diàmetre de la qual és de 10 cm.

10 cm

APLICA

28 Si el volum d’una esfera és 22 dm3,

quin n’és el radi?

180

29 Determina el volum de les

esferes circumscrita i inscrita en un cilindre d’1 m d’altura i de diàmetre. Quina és la diferència entre els radis de totes dues esferes?

1m

F

27 Calcula el volum

REFLEXIONA

1m

G

PRACTICA

831084 _ 0171-0190.qxd

10/5/07

10:55

Página 181

L’esfera terrestre

5

5.1 Elements de l’esfera terrestre Eix terrestre Eix imaginari de la Terra quan gira sobre ella mateixa. Els seus extrems són el pol nord i el pol sud.

G

Meridians Circumferències màximes que passen pels dos pols.

El meridià més important és el meridià zero, que passa per Greenwich (Anglaterra).

Equador Circumferència perpendicular a l’eix terrestre que divideix l’esfera en dues parts iguals anomenades hemisferis.

F

Paral·lels Circumferències paral·leles a l’equador.

F

G

5.2 Coordenades geogràfiques La localització dels punts sobre l’esfera terrestre la fem en referència al meridià zero i a l’equador. Així: • La latitud és la mida en graus de l’arc de meridià comprès entre l’equador i el punt corresponent. Pot fer de 0° a 90° i ser nord o sud, en funció de la posició del punt respecte de l’equador. • La longitud és la mida en graus de l’arc comprès entre el meridià zero i el meridià que passa pel punt. Pot fer de 0° a 180° i ser est o oest, en funció de la posició del punt respecte del meridià zero. EXEMPLE 10 Determina la latitud i la longitud dels punts A i B. Meridià zero

A G

Equador Meridià zero

75° 35°

30° G

F

E

Latitud: 75° N Longitud: 35° E

E G B

50°

Equador

Latitud: 50° S Longitud: 40° O

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

30 Busca en un atles una ciutat que tingui latitud

32 Si els punts A i B són en el mateix paral·lel,

nord i longitud oest, i una altra que tingui latitud sud i longitud est.

quina relació hi ha entre les seves latituds? A B

APLICA

31 Les coordenades de la ciutat A són 20° E

30° N, , i les de la ciutat B són 50° O 25° S. Quants graus de longitud i latitud separen les ciutats A i B?

Tindrien cap relació si estiguessin en el mateix meridià?

181

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 182

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Prismes

Cilindres

A = 2πr(h + r) V = πr2h

h

h

h

h

2πr

r r

A = PBase ⋅ h + 2ABase V = ABase ⋅ h

PB

Cons

Piràmides

g 2πr r

a

A = πr(g + r)

g

h

V=

r

1 2 πr h 3

a

Esferes A = ABase + V=

PBase ⋅ a 2

a'

A = 4πr2

r

V=

1 ABase ⋅ h 3

4 3 πr 3

FES-HO AIXÍ

1. APLICACIÓ DEL TEOREMA

DE PITÀGORES EN COSSOS GEOMÈTRICS b)

c)

5 cm

3 cm

4 cm

g G

4 cm

a)

3 cm

Calcula la dada desconeguda en aquests cossos geomètrics.

a' 6 cm PRIMER. Determinem el triangle rectangle que relaciona les dades conegudes

i la dada desconeguda, i apliquem el teorema de Pitàgores.

4 cm

g2 = 32 + 42

3 cm SEGON.

a) g = 32 + 42

182

52 = (a')2 + 32

a'

32 + 4 2 = 5 cm

b) 52 = (a')2 + 32 → (a')2 = 52 − 32 a' =

a

a2 = 32 + 42

6 cm = 3 cm 2

Resolem l’equació que en resulta.

2

g=

m 5c

g

c) 4 cm

b) 3 cm

a)

52 − 32 = 4 cm

c) a2 = 32 + 42 a=

32 + 4 2 = 5 cm

a

13/4/07

19:02

Página 183

2. CÀLCUL DE L’ÀREA

3. CÀLCUL DE L’ÀREA D’UN COS

D’UN POLIEDRE

DE REVOLUCIÓ

Calcula l’àrea d’aquest poliedre.

Calcula l’àrea d’aquests cossos de revolució.

5 cm a

PRIMER. Determinem

el tipus de poliedre 6 cm i les dades necessàries per calcular-ne l’àrea. Piràmide quadrangular regular: n = 4 → PBase = 4 ⋅ 6 = 24 cm En calculem l’apotema:

4 cm

831084 _ 0171-0190.qxd

4 cm 3 cm

3 cm

PRIMER. Determinem el tipus de cos de revolució i les dades per calcular-ne l’àrea. a) Cilindre: r = 3 cm h = 4 cm b) Con: r = 3 cm En calculem la generatriu:

a2 = 52 − 32 → a = 52 − 32 = 4 cm ABase → Àrea d’un quadrat ABase = 62 = 36 cm2

g 2 = 4 2 + 32 → g =

4 2 + 32 = 5 cm

SEGON. Apliquem la fórmula. a) A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3 ⋅ (4 + 3) = = 131,88 cm2 b) A = πr(g + r) = π ⋅ 3 ⋅ (5 + 3) = 75,36 cm2

Apliquem la fórmula. P ⋅a 24 ⋅ 4 A = ABase + Base = 36 + = 84 cm2 2 2

SEGON.

4. CÀLCUL DEL VOLUM D’UN COS GEOMÈTRIC Calcula el volum d’aquests cossos geomètrics.

4 cm

PRIMER. Determinem el tipus de cos geomètric i les dades necessàries per calcular-ne el volum. a) Prisma octogonal regular: P⋅a (8 ⋅ 2) ⋅ 2,41 ABase = = = 19,28 cm2 h = 4 cm 2 2 b) Con: r = 3 cm h = 4 cm

b) 4 cm

a)

3 cm F

2,41 cm

2 cm

Apliquem la fórmula.

SEGON.

b) V =

a) V = ABase ⋅ h = 19,28 ⋅ 4 = 77,12 cm3

1 2 1 πr h = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3 3 3

I ARA... PRACTICA Aplicació del teorema de Pitàgores en cossos geomètrics

Càlcul de l’àrea d’un cos de revolució 3. L’àrea d’un con de 4 cm de radi i 3 cm d’altura és:

1. L’altura d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm de generatriu és: a) 10,91 cm

b) 13 cm

a) 87,96 cm2

c) 7 cm

2. L’àrea d’un prisma triangular regular de 3 cm d’aresta bàsica i 2 cm d’aresta lateral és: a) 18 cm

b) 25,8 cm

2

c) 96,7 cm2

Càlcul del volum d’un cos geomètric

Càlcul de l’àrea d’un poliedre

2

b) 113,04 cm2

4. Quin és el volum d’un tetraedre de 2 cm d’aresta de la base i 1,63 cm d’altura? a) 2,82 cm3

b) 0,94 cm3

c) 6,52 cm3

2

c) 22,3 cm

183

831084 _ 0171-0190.qxd

10/5/07

10:55

Página 184

Activitats POLIEDRES 33. ●● Dibuixa el desenvolupament d’aquests poliedres. c)

a)

36. ● En aquesta taula hi ha representats els poliedres regulars. Completa-la i comprova que tots compleixen la fórmula d’Euler. Cares

Vèrtexs Arestes C + V −A

Tetraedre Cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre

b)

d) 37. ● Dibuixa una piràmide pentagonal. Compta’n les arestes, els vèrtexs i les cares i comprova que es compleix la fórmula d’Euler.

34. ●● Els poliedres següents són regulars? Raona la resposta. a)

b)

c)

38. ● Determina el polígon que forma la base d’un prisma en cada cas. a) Si té 10 vèrtexs. b) Si té 9 arestes. c) Si té 9 cares. 39. ● Determina el polígon que forma la base d’una piràmide en cada cas.

35. ●● Comprova si aquests poliedres compleixen la fórmula d’Euler. a)

e)

b)

f)

c)

g)

a) Si té 10 vèrtexs. b) Si té 12 arestes. c) Si té 9 cares. 40. ●● Tenim un tetraedre i un octaedre, amb la mateixa longitud d’aresta, i els enganxem per una cara per formar un altre poliedre. Compleix la fórmula d’Euler, aquest poliedre? 41. ● Les tres arestes d’un ortoedre fan 5, 6 i 4 cm, respectivament. Calcula’n la diagonal. 42. ●● Calcula la diagonal d’un cub l’aresta del qual fa 3 cm.

d)

h)

Classifica’ls en còncaus i convexos.

184

43. ●●● La diagonal d’un cub fa 27 m. Quant fa l’aresta? I la diagonal d’una cara?

831084 _ 0171-0190.qxd

10/5/07

10:55

Página 185

44. ● L’apotema d’una piràmide quadrangular regular fa 12 cm i l’aresta bàsica, 10 cm. Quant fa d’altura?

49. ●●● Dibuixa un tronc de piràmide de base quadrada. Els costats de les bases fan 8 cm i 11 cm, i l’altura, 4 cm. Calcula l’altura de la cara lateral.

45. ● L’apotema d’una piràmide hexagonal regular fa 10 cm i l’aresta bàsica, 10 cm. Quant farà d’altura?

50. ●●● Calcula l’aresta lateral, x, del tronc de piràmide i l’altura, h, de la piràmide.

46. ●● Calcula la longitud dels segments marcats en els cossos geomètrics següents. a)

b)

h

8 cm

6 cm

m 6c

x

8 cm F

8 cm 4,8 cm

ÀREES DE COSSOS GEOMÈTRICS

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L’ALTURA DE LA CARA LATERAL D’UN TRONC DE PIRÀMIDE? 47. Calcula la longitud de l’altura de la cara lateral d’aquest tronc de piràmide.

4 cm

52. ● Calcula l’àrea d’un ortoedre d’altura 5 cm la base del qual és un rectangle de 3 × 4 cm.

4 cm

G

F G

7 cm

Tronc de piràmide: és un poliedre amb dues cares paral·leles, anomenades bases, i diverses cares laterals que són trapezis isòsceles. Es formen quan es talla una piràmide per un pla paral·lel a la base. PRIMER. Definim el triangle rectangle

G

AB = 7 − 4 = 3 cm AC = h = 4 cm

C

F

A

cm 21

x

2x 4x

55. ●● Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un tetraedre regular l’aresta del qual fa 2 cm.

B

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores.

56. ●● Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un octaedre regular l’aresta del qual fa 4 cm.

2 2 2 (BC) = (AB) + (AC)

BC = 32 + 4 2 = 5 cm 48. ●● Quan tallem un con per un pla paral·lel a la base, obtenim un altre con i un tronc de con. Calcula l’altura del tronc del con.

53. ●● La llargada d’un ortoedre és el doble que l’amplada, i l’amplada és el doble que l’altura. Si la diagonal val 21 cm, calcula’n l’àrea total.

54. ● Determina l’àrea total d’una piràmide triangular recta amb arestes laterals de 6 cm, i amb un triangle equilàter de 4 cm de costat com a base.

ABC.

4 cm

4 cm

51. ● Calcula l’àrea total d’un prisma triangular recte d’altura 3 cm i la base del qual és un triangle equilàter de 2 cm de costat.

57. ●● Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un icosaedre regular l’aresta del qual fa 6 cm. 3 cm

58. ●● Calcula l’aresta de: a) Un tetraedre d’àrea total 16 3 cm2. 8 cm

5 cm

b) Un icosaedre les cares del qual fan 3 cm2. c) Un octaedre d’àrea total 18 3 cm2.

185

831084 _ 0171-0190.qxd

10/5/07

10:55

Página 186

59. ● Calcula l’àrea dels cossos i figures esfèriques següents. a)

e) 6 cm

5 cm

4 cm

3 cm

3 cm

b)

3 cm G

f) 6 cm

5 cm

63. ●● Un cilindre té una altura igual que el diàmetre de la base i l’àrea és de 470 cm2. Calcula el radi de la base. 64. ●● Calcula l’altura d’un cilindre si l’àrea d’una de les bases és igual a la superfície lateral, i cadascuna d’elles fa 154 cm2. Calcula’n l’àrea total. 65. ●● Determina la superfície lateral d’un con l’altura del qual coincideix amb el diàmetre de la base, si la longitud de la circumferència de la base fa 18,85 cm.

G

FES-HO AIXÍ

4 cm

c)

3 cm

g)

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRONC DE PIRÀMIDE I D’UN TRONC DE CON?

G

4 cm 40°

66. Calcula l’àrea lateral d’aquestes figures. d)

h) G

14 cm

6 cm

10 cm

b)

cm 12

a)

G

15 cm

5 cm 9 cm G

G

24 cm

12 cm

3 cm

60. ● Calcula l’àrea de: a) Un cub amb una cara la diagonal de la qual fa 10 cm. b) Un cilindre de 20 cm de diàmetre de la base i 12 cm d’altura. c) Un con de 4 cm de radi i 6 cm d’altura. d) Una esfera de 12 cm de diàmetre. e) Un fus esfèric de 80° i radi de 20 cm. f) Un casquet esfèric de 10 cm de radi i 9 cm d’altura. g) Una zona esfèrica de 8 cm d’altura i 12 cm de radi. h) Una piràmide hexagonal regular de 3 cm d’altura i 3 cm de costat de la base.

a) L’àrea lateral d’un tronc de piràmide és: n ⋅ (c + c') ALateral = ⋅a= c' 2 a 4 ⋅ (24 + 14) = ⋅ 12 = 2 c = 912 cm2 b) L’àrea lateral d’un tronc de con és: 2πr'

ALateral = π(r + r')g = = π(12 + 10) ⋅ 15 = = 1.036,2 cm2

g 2πr

67. ●●● Calcula l’àrea total d’aquestes figures. a)

G

3 cm

c)

G

8 cm

62. ●● Dos cilindres tenen la mateixa superfície lateral i els radis fan 6 m i 8 m. Calcula’n l’altura si saps que es diferencien de 3 m. Calcula també la superfície lateral i total de cada cilindre.

186

14 cm

G

61. ●● L’àrea lateral d’una piràmide recta de base quadrada i, per tant, regular, és 80 cm2 i el perímetre de la base fa 32 cm. Calcula l’apotema de la piràmide.

6 cm

10 cm

G

12 cm

b)

16 cm

10 cm

6 cm

d)

8 cm

G

22 cm

9 cm

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 187

68. ● El radi d’una esfera fa 3 cm. Calcula’n l’àrea total.

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL VOLUM D’UN TRONC DE PIRÀMIDE I D’UN TRONC DE CON?

69. ●● El cercle màxim d’una esfera té una àrea de 78,54 cm2. Determina’n el radi i l’àrea total.

76. Calcula el volum d’aquestes figures.

70. ●● Calcula l’àrea total dels cossos geomètrics següents.

4 cm

a)

3 cm

b) G

G

a)

9 cm

G

9 cm

3 cm 5 cm 6 cm

d) b)

El volum d’un tronc de piràmide o d’un tronc de con el podem calcular amb la fórmula:

3 cm

5 cm 2 cm

r' S2

S2 h

8 cm

4 cm

V=

6 cm

c)

h

S1

e)

6 cm

G

r

S1

h (S1 + S2 + S1 ⋅ S2 ) 3

G

7 cm

VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS 71. ● Calcula el volum d’una piràmide quadrangular recta de 10 cm d’aresta i 5 cm d’altura.

a) S1 = 62 = 36 cm2 S2 = 42 = 16 cm2 9 V = (36 + 16 + 36 ⋅ 16 ) = 228 cm2 3 b) S1 = πr 2 = π ⋅ 52 = 78,5 cm2 S2 = πr' 2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2 9 V = (78,5 + 28,26 + 78,5 ⋅ 28,26 ) = 461,58 cm2 3 77. ●● Calcula el volum d’aquestes figures.

72. ●● Calcula el volum d’un prisma triangular recte de 8 cm d’altura la base del qual és un triangle equilàter de 4 cm de costat. 73. ●● Calcula el volum d’una piràmide triangular recta amb arestes laterals de 8 cm, i amb un triangle equilàter de 7 cm de costat com a base.

75. ●●● Calcula el volum d’aquests cossos geomètrics. b) G

5c m

7 cm

9 cm

b)

8 cm

3 cm G

5 cm 4 cm 12 cm

78. ●● A l’interior d’un cub de 12 cm d’aresta construïm una piràmide la base de la qual és una cara del cub i el vèrtex, el centre de la cara oposada. Calcula l’àrea i el volum d’aquesta piràmide.

74. ●● Calcula el volum d’un cilindre de 12 cm de diàmetre i el triple del diàmetre d’altura.

a)

a)

12 cm

79. ● Calcula el volum d’un con: a) De 5 cm de radi i 8 cm d’altura. b) De 5 cm de radi i 8 cm de generatriu.

187

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 188

80. ●● Calcula el volum d’una esfera el diàmetre de la qual fa 20 cm.

PROBLEMES AMB COSSOS GEOMÈTRICS

81. ●●● Un cub i una esfera tenen una àrea de 216 cm2. Quin té més volum?

84. ●● Un ascensor té les mides següents: 100 × 100 × 250 cm. S’hi pot introduir una vara que faci 288 cm?

82. ●●● Calcula el volum dels cossos geomètrics següents. e)

2 cm

m 3c

2 cm

a) Quants pots haurem de comprar si fem cas del que diu el fabricant? b) Si al final hem fet servir 4 pots, per a quants metres quadrats hem fet servir cada pot?

5 cm 2 cm

4 cm

4 cm

b)

f)

G

G

4 cm

3 cm 4 cm 6 cm

c)

4 cm

8 cm

4 cm

d)

h)

6 cm G

3 cm

179,37 m

Quina és l’altura de la piràmide?

g) 4 cm

86. ●● La piràmide de Kefren té les mides que es veuen a la figura.

7 cm

L’ESFERA TERRESTRE

88. ●● Un cub i una esfera tenen el mateix volum, 125 cm3. Quina té l’àrea més petita? Si haguessis de construir un dipòsit cúbic o esfèric, amb quina forma faria falta menys material? 89. ●● La Géode és un gegantesc cinema amb forma d’esfera. Calcula’n l’àrea si saps que el seu volum és de 24.416.640 dm3.

B

E

90. ●● Calcula el volum de la piscina. a) La ciutat B és en el mateix paral·lel que la ciutat A. Quina és la latitud de B? Quines relacions hi ha entre les latituds de A i B? b) Les ciutats A i E són en el mateix meridià. Quina relació hi ha entre les seves longituds?

188

215,25 m

87. ●● Calcula l’àrea total de la torre cúbica de 10 m d’aresta que té una teulada en forma piramidal l’altura de la qual és 12 m.

83. ●● Observa la situació de les ciutats A i B i contesta.

A

G

a)

85. ●● Volem pintar una habitació rectangular (inclòs el sostre) de 4 × 6 m i 3 m d’altura. Cadascun dels pots que farem servir té pintura per pintar 30 m2.

13/4/07

19:02

Página 189

91. ●●● En un dipòsit cúbic ple d’aigua que té una aresta de 3 m hi introduïm els cossos següents. a) Quin percentatge de la quantitat inicial d’aigua hi ha al cub després d’introduir-hi una esfera d’1,5 m de radi? b) Quin percentatge queda de la quantitat inicial d’aigua si hi introduïm un cilindre de 3 m de diàmetre i altura? c) I si hi introduïm un con de 3 m de diàmetre i la mateixa altura?

94. ●●● Imagina que envoltem amb una corda l’equador de la Terra. a) Si sabem que el radi de la Terra fa 3.378 km, quina longitud tindrà la corda? 3m

b) Amb una corda un metre més llarga fem una circumferència. Quina és la diferència entre els radis de totes dues? r = 6.378 km

G

831084 _ 0171-0190.qxd

3m

3m

92. ●● Una empresa ven suc en envasos amb forma d’ortoedre que tenen unes mides d’11 × 6 × 15 cm. Decideixen canviar aquests envasos per uns amb les característiques següents: – Disminueix un 10 % l’àrea de la base. – Augmenta un 10 % l’altura. a) El volum de l’envàs nou és més gran o més petit que el de l’antic?

c) Fem el mateix amb una bola que té 18 mm de radi. Quina és ara la diferència entre els radis de totes dues circumferències?

INVESTIGA 95. ●●● L’any 1638 el gran matemàtic Galileu va proposar el problema següent. «Si enrotllem un full de paper en els dos sentits possibles, obtenim dos cilindres diferents.» Aquests cilindres tenen el mateix volum?

b) Si es manté el mateix preu, és més rendible per al client l’envàs nou? c) El preu del bric és 1,40 €. Quant guanya l’empresa si envasa 99.000 litres de suc al mes? I quant guanyava abans? 93. ●●● Una formiga es troba en un vèrtex d’un octoedre i decideix recórrer totes les arestes sense passar dues vegades per la mateixa aresta. Indica un camí possible.

96. ●●● Si tenim una esfera inscrita en un cilindre, calcula quina és la diferència entre l’esfera i el cilindre en funció del radi de l’esfera. 97. ●●● En un llibre de matemàtiques hi hem trobat aquest problema:

Curiosament, la formiga no podria fer el mateix en un cub. Comprova-ho.

«Si el costat d’un octaedre és c, el seu volum és: V = c3 ⋅ 0,4714». Investiga com obtenim aquest fórmula.

189

831084 _ 0171-0190.qxd

13/4/07

19:02

Página 190

A la vida quotidiana 98. ●●● Christo Javacheff i la seva dona Jeanne són dos dels artistes actuals més populars.

Les seves obres més representatives consisteixen a embolicar amb roba objectes i monuments. Les seves primeres obres es reduïen a empaquetar ampolles, llaunes i capses amb roba o plàstic. A poc a poc, però, van anar augmentant la producció. El 1982 van embolicar 11 illes de la badia de Florida. Per fer-ho van fer servir 603.000 m2 de roba rosa. El 1985 van empaquetar el pont Neuf sobre el riu Sena, a la ciutat de París. El 1995 van embolicar també amb roba l’immens edifici del Reichstag, a Berlín.

99. ●●● El producte més venut de la fàbrica de dolços LA LLAMINERA són unes galetes circulars de 6 cm de diàmetre i una gruixària de 5 mm. Les galetes es comercialitzen en paquets de 40 unitats, embolicades en paper de cel·lofana, i es venen en capses amb forma d’ortoedre que contenen quatre paquets en cadascuna. Les capses van embolicades amb el mateix paper de cel·lofana que els paquets.

LA LLAMINERA La producció de galetes diària s’estima en unes 10.000 unitats, i el departament financer està avaluant la conveniència que la forma de la capsa sigui un ortoedre.

Entre els seus futurs projectes hi ha embolicar la Puerta de Alcalá de Madrid i l’estàtua de Colom de Barcelona. Això és un croquis de la Puerta de Alcalá amb les mides que fa.

Quants metres quadrats de roba necessitaran, aproximadament, per embolicar completament aquest monument sense tapar les arcades?

190

Quants metres quadrats de cartró necessitem al dia? I de paper de cel·lofana?

Jo crec que la qüestió és quin percentatge del volum de la capsa ocupen les galetes.

Creus que si la capsa tingués una altra forma se’n podria aprofitar millor l’espai? Quina quantitat de cartró s’estalviarien diàriament?

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 191

10

Moviments i semblances El carro del Sol Explica la llegenda que a Alexandria, a l’època en què es construïa el famós Far, un grup d’homes va derrotar el Sol. Apol·lo, qui altres anomenen Ra, va ordenar als seus serfs que li portessin els set homes més savis de tots els temps, perquè volia la saviesa del món per a ell.

PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Conèixer les magnituds vectorials. • Reconèixer si una transformació és un moviment. • Obtenir una figura transformada d’una de donada mitjançant una translació o gir. • Trobar la figura transformada d’una altra per mitjà d’una simetria central o axial. • Reconèixer homotècies i semblances. • Aplicar el teorema de Tales en contextos reals, com mapes i escales.

Els serfs van començar la feina i van trobar els set primers. Va ser fàcil, perquè tots set eren a l’Hades i se’ls coneixia com els Set Savis. El vuitè el van buscar entre els vius i entre els morts, a la terra i al cel, però no apareixia. Cansats de tant buscar, ho van preguntar a l’Oracle: –El seu nom és Euclides i es troba a la biblioteca d’Alexandria. Dalt del carro d’Apol·lo van volar fins a la biblioteca i hi van trobar un grup d’homes. El més ancià, que estudiava dos quadrats de mida diferent i n’anotava les semblances i les diferències, va ser capturat pels serfs d’Apol·lo. –Euclides és nostre! En aquell instant, la resta d’homes els van envoltar mentre deien: –Jo sóc Euclides! Jo sóc Euclides! Els enviats, davant la impossibilitat de reconèixer qui era realment Euclides, se’n van anar i van dir a Apol·lo que el vuitè savi no existia, que era un i eren tots. Després d’això, Apol·lo va alliberar els Set Savis i quan li van preguntar per què ho feia va contestar que no hi ha murs que continguin la saviesa i el coneixement. En què s’assemblen i es diferencien dos quadrats de mida diferent?

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 192

1

Vectors

Hi ha magnituds en què, a més del valor numèric, n’hem de saber la direcció i el sentit: són les magnituds vectorials. ជ , en què A és Dos punts del pla, A i B, determinen un vector fix AB l’origen i B, l’extrem. La distància entre A i B (longitud del segment AB) l’anomenem mòdul del vector i la recta que passa per A i B és la direcció del vector. El sentit és el que va de A a B. EXEMPLE 1

ជ i BA ជ. Calcula el mòdul, la direcció i el sentit dels vectors AB ជ Vector AB

a) A

Per expressar un vector fem servir el seu origen i el seu extrem, o bé una lletra: ជ… vជ, w ជ, ជ a, b Aquestes són les que es fan servir més.

ជ Vector BA

b) B

A

ជ: 3 cm. • Mòdul AB • Direcció: la de la recta AB. • Sentit: de A a B.

B

ជ : 3 cm. • Mòdul BA • Direcció: la de la recta AB. • Sentit: de B a A.

Coordenades d’un vector Donats els punts del pla A(a1, a2) i B(b1, b2), les coordenades del vector ជ són AB ជ (b1 − a1, b2 − a2). AB ជ l’escrivim ⏐AB ជ⏐, i el definim com a: El mòdul del vector AB ជ⏐ = ⏐AB

( b1 − a1 )2 + ( b2 − a 2 )2

EXEMPLE 2

ជ. Troba les coordenades i el mòdul del vector AB Y

Les coordenades dels punts A i B són: A(2, 3) B(5, 4)

5

B

Per tant, les coordenades del vector són: ជ = (5 − 2, 4 − 3) = (3, 1) AB

A

3

I el seu mòdul serà:

1 1

3

X

5

ជ⏐ = ⏐AB

32 + 12 = 10

EXERCICIS PRACTICA

1

Donades les parelles de punts següents, calcula en cada cas les coordenades del vector ជ i troba’n el mòdul. AB a) A(1, 3) B(−4, 5) b) A(4, 0) B(−1, −5) c) A(−1, −3) B(5, −7)

192

APLICA

2

ជ (−3, 5), Donats el punt A(2, 4) i el vector AB ជ. determina el punt B, extrem de AB

REFLEXIONA

3

Escriu tres vectors amb mòdul 4. En pots escriure un amb mòdul −2?

831084 _ 0191-0210.qxd

2

10/5/07

10:57

Página 193

Moviments en el pla

Una transformació geomètrica en el pla ens permet obtenir un punt P', a partir d’un altre punt P per mitjà d’una regla precisa. Un moviment és una transformació geomètrica que conserva les distàncies i els angles. És a dir, si dos punts, P1 i P2 són a una distància d, els transformats P'1 i P'2 també seran a una distància d; i si dues rectes, r i s formen un angle α, les transformades r' i s' també formaran un angle α. En una transformació, un punt l’anomenem doble quan el seu transformat és ell mateix. Una recta és doble si la seva transformada és ella mateixa. EXEMPLE A sota pots veure diverses transformacions de la figura de la dreta. Determina quines són moviments.

3

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Les figures 1, 2 i 3 les obtenim aplicant moviments a la figura original. A totes s’hi conserva la mida i la forma. La figura 4 conserva la forma, però no la mida, i no és un moviment. La figura 5 no conserva la forma ni la mida, i tampoc és el resultat d’un moviment.

EXERCICIS PRACTICA

4

APLICA

Quines de les figures següents són el resultat d’aplicar un moviment a la figura? a)

c)

b)

d)

5

Indica si les afirmacions següents són certes. a) Una transformació és un moviment. b) Un moviment conserva sempre la forma. c) Una transformació manté la mida de les figures.

REFLEXIONA

6

Dibuixa una lletra E i aplica-li diferents transformacions geomètriques.

193

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 194

3

Translacions

Una traslació de vector ជ v és un moviment que transforma qualsevol ជ' té el mateix mòdul, dipunt P en un altre punt P', de manera que PP recció i sentit que ជ v. El representem amb tជv . EXEMPLE Una translació transforma una figura en una altra figura igual.

4

Fes una translació de vector ជ v al triangle ABC. Y

Y ជ v

ជ v

B'

B

B C

C

C' A'

A

A X

Partint de cada vèrtex, col·loquem vectors iguals en mòdul, direcció i sentit que ជ v.

X

Unint els extrems dels vectors, A', B' i C', obtenim la figura transformada de la inicial.

Direm que el triangle A'B'C' és el transformat de ABC per mitjà de la translació de vector ជ v . La translació conserva els angles i les distàncies i, per tant, és un moviment.

Donats un punt A(x, y) i un vector ជ v (v1, v2), el punt traslladat de A, A', té com a coordenades A'(x + v1, y + v2).

Y

6

EXEMPLE

ជ v

4

A'

5

2

Donats el punt A(2, 1) i el vector ជ v = (5, 2), determina les coordenades del punt A', transformat de A per mitjà de la translació tជv . translació

A

A(2, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ A'(2 + 5, 1 + 2) → A'(7, 3) 2

4

6

8

ជ v (5, 2)

X

EXERCICIS PRACTICA

7

APLICA

Troba la figura traslladada de la figura F per mitjà del vector ជ v.

8

Un quadrat té com a vèrtexs els punts A(−1, 1), B(1, 1), C(1, −1) i D(−1, −1). a) Determina’n el traslladat A'B'C'D' per mitjà de la translació del vector ជ v (4, −2). b) Comprova gràficament que els punts A', B', C' i D' també formen un quadrat.

Y

v ជ F

REFLEXIONA

9 X

194

Determina la translació que transforma el punt A(−1, 4) en A'(5, 2).

831084 _ 0191-0210.qxd

4

10/5/07

10:57

Página 195

Girs

Un gir de centre O i angle α és un moviment que associa a cada punt P un altre punt P', situat a la mateixa distància de O que el punt P, i de manera que POP' = α. Ho expressem així: G(O; α). EXEMPLE 6

Transforma el triangle ABC per mitjà d’un gir de centre el punt O i angle 120°. B' A' C

C 120°

120° C'

B

B O

O

A

A

(-b, a)

Amb el compàs mesurem, sobre la recta corresponent, les distàncies OA, OB i OC, i obtenim els punts A', B' i C', que són els vèrtexs del triangle transformat.

De primer tracem rectes que uneixin els vèrtexs amb el centre de gir, O. Després dibuixem unes altres rectes que formin angles de 120°, l’angle de gir, amb les anteriors.

90°

Els angles de gir poden ser positius (quan girem en el sentit contrari a les agulles del rellotge) i negatius (quan el gir és en el sentit de les agulles del rellotge).

G

G

O

(a, b)

180°

X (-a, -b)

En un gir, el centre O (independentment de l’angle de gir) es transforma sempre en ell mateix. És a dir, el punt O és un punt doble. Els girs conserven les distàncies i els angles, per tant, cada figura es transforma en una altra d’igual.

Y

270° (b, -a)

O −45°

120°

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

10 Troba la figura transformada de la figura F

11 Un triangle té com a vèrtexs els punts A(3, 0),

mitjançant un gir de centre O i angle 90°.

F

B(−1, 4) i C(2, 5). Troba’n la transformada per un gir de centre (2, −1) i angle 180°. REFLEXIONA

12 En quina figura es transforma el quadrat ABCD O

mitjançant un gir G(A; 90°)? I mitjançant un gir G(A; −90°)?

195

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 196

5

Simetries

5.1 Simetries respecte a un punt Una simetria respecte a un punt O (centre de simetria), S(O), és un moviment que associa a cada punt P un altre punt P', de manera que: – Els punts P, O i P' estan alineats, és a dir, pertanyen a una mateixa recta. – El punt O és el punt mitjà del segment PP'. EXEMPLE 7

Fes una simetria central de centre O al triangle ABC. C

C

Una simetria central de centre O és equivalent a un gir de centre aquest punt O i angle 180°.

B

B

180°

A

A

O

A'

O

B'

S (O ) = G (O ; 180°)

C'

Unim els vèrtexs amb el centre de simetria, O. Aquest punt O, cada vèrtex i el seu transformat seran a la mateixa línia recta, ja que la simetria central equival a un gir de 180°.

Amb el compàs mesurem la distància OA, la portem sobre la recta corresponent a l’altre costat del punt O i obtenim A'. De manera similar obtindrem els punts B' i C'.

En una simetria de centre O, l’únic punt doble és O. P r O = O'

P'

Qualsevol recta r que passi per O es transforma en ella mateixa, és a dir: si es tria un punt qualsevol de r, el seu simètric serà un altre punt de r. Per tant, totes les rectes que passen pel centre de simetria són rectes dobles.

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

13 Troba la figura transformada de la figura F

14 Dibuixa un quadrat de vèrtexs:

per mitjà d’una simetria central de centre O.

A(1, 1) B (−1, 1) C(−1, −1) D(1, −1) i calcula’n el simètric respecte a l’origen de coordenades i respecte del punt A(1, 1).

F REFLEXIONA O

15 Ha desaparegut la meitat

d’aquesta figura i sabem que és simètrica al punt O. Reconstrueix-la.

196

O

831084 _ 0191-0210.qxd

10/5/07

10:57

Página 197

5.2 Simetria respecte a una recta Una simetria respecte a una recta r, Sr, és un moviment que associa a cada punt P un altre punt P', de manera que: – El segment PP' és perpendicular a r. – Les distàncies entre P i P' a r són iguals. Per tant, la recta r és mediatriu del segment PP' i l’anomenem eix de simetria. EXEMPLE 8

Transforma el triangle ABC mitjançant una simetria respecte de e. B B'

C

A

e

C

C'

B

A'

e

s

A

Amb el compàs, mesurem la distància de A a l’eix e, la portem a l’altre costat de l’eix i obtenim A'. De manera similar obtindrem els punts B' i C'.

En primer lloc, tracem rectes perpendiculars a l’eix e des de cadascun dels vèrtexs.

En una simetria respecte a una recta r, tots els punts que pertanyen a r són dobles. De la mateixa manera, qualsevol recta perpendicular a la recta r és una recta doble.

r

O = O'

Q Q'

En una simetria respecte a una recta, la figura original es veu com si estigués reflectida en un mirall. És a dir, conserva les distàncies i els angles, però no el sentit. Direm que és un moviment invers. Això no passa amb les translacions i els girs, que anomenem moviments directes. Una figura és simètrica (o té un eix de simetria) quan la transformació d’un punt qualsee vol respecte d’aquell eix és un altre punt de la figura. La figura de l’esquerra té dos eixos de simetria, e i e'. e' EXERCICIS PRACTICA

APLICA

16 Troba la figura transformada de la figura F

17 Assenyala tots els eixos de simetria que tinguin

per mitjà d’una simetria d’eix e.

e

les figures següents.

F REFLEXIONA

18 Un triangle té els vèrtexs A(2, −1), B(4, 5)

i C(−3, 6). Troba’n el transformat mitjançant una simetria respecte a l’eix d’abscisses.

197

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 198

6

Homotècies i semblances

Una homotècia de centre O i raó k (k > 0) és la transformació que fa que a cada punt P li correspongui un altre punt P', alineat amb O i P, de manera que OP' = k ⋅ OP. Una homotècia no és un moviment, conserva els angles però no les distàncies.

EXEMPLE 9

Aplica a la figura ABCDE una homotècia de centre O i raó 2. O C B

D

C' B'

E

A

D'

A' E'

A partir del punt O tracem rectes que passen per cadascun dels vèrtexs A, B, C, D i E de la figura original. En cadascuna d’aquestes rectes, marquem els punts A', B', C', D' i E', de manera que: OA' = 2 ⋅ OA

OC' = 2 ⋅ OC

OB' = 2 ⋅ OB

OD' = 2 ⋅ OD …

Direm que la figura A'B'C'D'E' és la transformada de ABCDE per una homotècia de centre O i raó 2.

Polígons semblants Dos polígons són semblants si cada angle i el seu transformat són iguals, i el quocient de la longitud de cada costat i el seu transformat és constant. Aquest nombre l’anomenem raó de semblança.

C D B

A

EXEMPLE 10 Determina si les dues figures del marge són polígons semblants. C'

• Cada angle i el seu transformat són iguals.

D'

• El quocient d’un costat i el seu transformat és constant. AB BC CD DA 2 = = = =k= A' B' B' C' C' D' D' A' 3

B'

Les dues figures són semblants, amb raó de semblança A'

2 . 3

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

19 Transforma aquest

hexàgon per mitjà d’una homotècia de centre el vèrtex A i raó 3.

E

F

és semblant a un altre de costats 1,5; 2 i 2,5 cm. C

REFLEXIONA

21 Troba els punts i les rectes dobles A

198

20 Determina si un triangle de costats de 3, 4 i 5 cm

D

B

d’una homotècia.

831084 _ 0191-0210.qxd

7

10/5/07

10:57

Página 199

Teorema de Tales

Si tres rectes paral·leles a, b i c tallen dues rectes s i t, els segments que es determinem en aquestes rectes són proporcionals. s

t

A

a A' b

B

B'

C

C'

AB BC AC = = A' B' B' C' A' C'

c Si dos triangles són semblants:

Aquesta igualtat la coneixem com el teorema de Tales.

F C

EXEMPLE C' B'

11 Calcula la longitud del segment AC' en la figura següent.

A

B

D

E

els podem col·locar en posició de Tales.

AB = 3 cm AB' = 5 cm

F

AC = 4 cm

A

B

C

C

Si observem la figura podem comprovar que es compleixen les condicions del teorema de Tales. BB' i CC' són paral·lels i tallen AC i AC'.

A=D

B E

A més, les figures ABB' i ACC' són semblants. I si apliquem les distàncies del teorema de Tales: AB AC 3 4 5⋅4 = → = → 3 ⋅ AC' = 5 ⋅ 4 → AC' = = 6,67 cm AB' AC' 5 AC' 3 Per tant, el segment AC' fa 6,67 cm, aproximadament.

Amb el teorema de Tales podem determinar la longitud dels costats d’un polígon semblant a un altre, del qual coneixem la mida dels costats.

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

22 Troba les longituds que no coneixem.

23 Si saps que

y cm 2,25

A

la raó

O

A' 4,7 cm

B' 5 cm

s

REFLEXIONA

m 3c

x

OA = 1, 6, OA' calcula AB i OB.

r B

24 Divideix un segment AB de 5 cm en 7 parts 1,5 cm

5 cm

iguals.

199

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 200

8

Aplicacions del teorema de Tales

Amb el teorema de Tales podem dividir segments en parts iguals o proporcionals. EXEMPLES 12 Divideix el segment AB en 3 parts iguals. A

r

B

r

d

d

d

d

d

d

B

A

Tracem una semirecta r amb origen a A i una inclinació qualsevol. Després hi dibuixem a sobre, a partir de A, 3 segments iguals.

A

B

Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt B, i tracem paral·leles a aquesta recta des de la resta de divisions.

Pel teorema de Tales, els segments en què queda dividit el segment AB són proporcionals als que hem dibuixat sobre la recta r, i per tant, són iguals entre ells. 13 Divideix el segment AB de l’exemple anterior en 3 parts, de manera que l’última tingui el triple de longitud que la primera, i la segona, el doble que la primera. r

r

3d

3d

2d

2d

d

d

A

B

Tracem una semirecta r i la dividim en tres segments de manera que el primer té una longitud d, el segon farà 2d i el tercer, 3d.

A

B

Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt B i tracem paral·leles.

De la mateixa manera, pel teorema de Tales, els segments en què queda dividit el segment AB són proporcionals als que hem dibuixat sobre la recta r, i per tant, hi mantenen la mateixa proporció.

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

25 Divideix gràficament el segment AB

26 Divideix gràficament el segment AB,

de 20 cm de longitud en: a) 3 parts iguals. b) 7 parts iguals. c) 2 parts en què la segona sigui la meitat que la primera. d) 4 parts, en què cada part sigui el doble que l’anterior.

200

de 16 cm de longitud, en parts proporcionals a dos segments de longituds 2 cm i 3 cm. REFLEXIONA

27 En Raül ha de tallar un llistó de 30 cm

en 7 parts iguals. Només disposa d’un tros que fa 21 cm. Com el pot dividir?

831084 _ 0191-0210.qxd

9

10/5/07

10:57

Página 201

Escales

Les semblances es fan servir per fer plànols, mapes, maquetes, fotocòpies... Hi reduïm, de manera proporcional, les dimensions que tenen els objectes a la realitat, i n’obtenim una representació igual en la forma, però no en la mida. Anomenem escala la raó de la semblança entre la figura original i la seva representació. Distància en la representació Escala = Distància en la realitat EXEMPLES 14 Calcula les dimensions d’aquest pis si saps que s’ha fet a una escala d’1 : 250. Si el plànol està fet a una escala d’1 : 250 vol dir que 1 cm en el plànol equival a 250 cm = 2,5 m en la realitat.

A l’escala, la longitud real i la seva representació han d’estar expressades en les mateixes unitats. 1 : 250 1 cm en el plànol són 250 cm en la realitat.

L’amplada d’aquest pis en el plànol és de 4 cm: 4 · 250 = 1.000 cm = 10 m en la realitat La llargada del pis en el plànol és de 5,5 cm: 5,5 · 250 = 1.375 cm = 13,75 m en la realitat El pis té una superfície real de: 10 · 13,75 = 137,5 m2 15 Calcula la distància que hi ha entre aquestes dues poblacions. Llíria

Sagunt

B

Utiel

A

VALÈNCIA

Requena 0

Bunyol

5

10

15

20 km

A vegades, l’escala s’indica de forma gràfica. En aquest cas, 1 cm (la distància existent entre el 0 i el 5) equival a 5 km, o sigui: 1 : 500.000 (5 km són 500.000 cm).

Així doncs, la distància entre les dues poblacions en el pla és de 3,5 cm: 3,5 · 500.000 = 1.750.000 cm = 17,5 km en la realitat

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

28 Troba les dimensions reals d’aquest camp

29 A quina escala s’ha dibuixat un mapa en què

de futbol.

la distància entre dues poblacions és 4,5 cm si la distància real és de 54 km? REFLEXIONA

30 Dos pobles A i B estan separats entre ells 1 : 3.000

per 50 km. A quina distància es troben en un mapa a escala 1 : 800.000?

201

831084 _ 0191-0210.qxd

10/5/07

10:57

Página 202

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Vectors

ជB A

ជ = (b1 − a1, b2 − a2) AB

B(b1, b2)

Simetries Respecte a un punt S(O)

A(a1, a2)

Respecte a una recta Sr

P B v ជ

Translacions tជv

e

B'

B'

B C

O

C'

C

C' A

A' A

A'

Q O

Girs G(O; α)

C

Homotècies

B' C

B

C'

B

D B'

α

α

E

A

D'

C' O

E'

A'

FES-HO AIXÍ

1. REALITZACIÓ DE TRANSLACIONS

2. REALITZACIÓ DE GIRS Transforma aquesta figura per mitjà d’una rotació G(O; α).

Transforma aquesta figura per mitjà d’una translació tជv . PRIMER. Amb l’escaire i el regle, tracem rectes paral·leles al vector que passen per cadascun dels vèrtexs de la figura.

v ជ C D B A

la distància sobre les rectes que hem dibuixat fent servir com a origen els vèrtexs de la figura. Els extrems seran els vèrtexs de la figura nova.

202

v ជ C

C'

D B' A' A

B O A

Fem servir el transportador per traçar altres rectes que formin un angle α amb cadascuna de les rectes dibuixades.

D'

B

D

SEGON.

Fem servir el compàs o les coordenades del vector per calcular-ne el mòdul.

SEGON.

TERCER. Mesurem

C

α

PRIMER. Amb un regle, tracem rectes que uneixin cada vèrtex de la figura amb el centre de gir, O.

TERCER. Mesurem B' les distàncies A' entre el centre, α O, i cadascun D' C' dels vèrtexs de la figura, i portem aquestes distàncies sobre les rectes noves. Els extrems seran els vèrtexs de la figura nova.

C D B A

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 203

3. REALITZACIÓ DE SIMETRIES

4. REALITZACIÓ DE SIMETRIES

RESPECTE D’UN PUNT

RESPECTE D’UNA RECTA

Aplica a aquesta figura una simetria S(O). D

C

B O

A

D

C

A'

B

B' C'

O

A

D'

Aplica a aquesta figura una simetria, S r.

PRIMER.

PRIMER.

D

Tracem rectes que uneixin cada vèrtex amb el centre de simetria, O.

C

B

SEGON.

D'

Amb el compàs, mesurem les distàncies entre el centre i cadascun dels vèrtexs.

TERCER. Portem aquestes distàncies sobre les rectes, a l’altre costat del punt O.

A

r

SEGON.

D

C'

B'

C

A'

r

Tracem rectes perpendiculars a l’eix de simetria, r, des de cada vèrtex.

A

B

Amb el compàs, mesurem les distàncies entre l’eix i cada vèrtex.

TERCER. Portem les distàncies sobre les rectes a l’altre costat de la recta r.

5. DIBUIX D’UNA FIGURA SEMBLANT A UNA ALTRA Dibuixa una figura semblant a aquesta, amb raó de semblança k.

B

B'

O

PRIMER. Fixem un punt qualsevol

O, i des d’aquest punt tracem rectes que passin per cadascun dels vèrtexs de la figura.

SEGON. Amb el compàs, determinem la distància entre el punt

C A

O

i els vèrtexs de la figura. TERCER. Multipliquem les distàncies per

k, i les portem sobre les rectes dibuixades. Els extrems seran els vèrtexs nous.

C' A'

I ARA... PRACTICA Realització de translacions

Realització de simetries respecte d’un punt

1. Els punt traslladat per P(5, −6) per la translació del vector ជ v (−1, 6) és:

3. El simètric de A(0, 2) respecte de l’origen és:

a) P'(4, 0) b) P'(6, −12)

c) P'(6, 12) d) P'(−4, 0)

b) (0, 1)

c) (0, −1)

d) (0, −2)

Realització de simetries respecte d’una recta 4. Una simetria respecte d’una recta:

Realització de girs 2. L’angle del gir que transforma F en F' és: F'

F O

a) (0, 0)

a) b) c) d)

90° 180° 45° −90°

a) No té punts dobles. b) Els punts dobles són els de l’eix. Dibuix d’una figura semblant a una altra 5. La superfície d’una figura semblant a una altra amb raó 0,5 és: a) Superior a la inicial.

b) Inferior a la inicial.

203

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 204

Activitats VECTORS 31. ● Donades les parelles de punts, calcula les ជ i el seu mòdul. coordenades del vector AB c) A(4, −1), B(2, −6) d) A(−3, −3), B(−1, −2)

a) A(−1, 3), B(4, 5) b) A(−2, 0), B(1, −3)

32. ● Determina les coordenades de A en el vector ជ i representa’l gràficament. AB ជ(2, 3) i B(−3, 4) a) AB ជ(−1, 0) i B(2, 5) b) AB

35. ●● Determina les coordenades dels extrems ជ i troba’n les coordenades del vector AB i el mòdul. a)

b)

Y

5

5

3

3

1

ជ(−2, −3) i A(2, −1) b) AB ⎛ ⎞ ជ(3, 0) i A⎜⎜2, − 5 ⎟⎟ c) AB ⎟ ⎝⎜ 2⎠

3

5

B A

1

B 1

ជ 33. ● Troba les coordenades de B en el vector AB i representa’l. ជ(2, −2) i A(−3, 3) a) AB

Y

A

X

1

3

5

36. ●● Dibuixa el vector d’extrems A(−2, 2) i B(3, 0) i calcula’n les coordenades i el mòdul. 37. ●●● Escriu tres vectors amb mòdul 9. En podries escriure més? Quants?

MOVIMENTS

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LES COORDENADES D’UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADES?

38. ● Observa el dibuix i indica si les figures següents s’han obtingut per mitjà d’un moviment o no. Raona la resposta.

34. Calcula les coordenades d’aquests vectors. Y

5 3

C' D

C B

Considerem el vector com la diagonal d’un rectangle i en calculem les dimensions dels costats.

PRIMER. La primera coordenada del vector és la 1 3 5 X dimensió de la llargada del rectangle que determina. La considerem positiva si el desplaçament és cap a la dreta, i negativa, si és cap a l’esquerra. → 3 unitats cap a la dreta ⎯⎯→ 3 a) AA' ⎯ b) CC' → 3 unitats cap a l’esquerra → −3 1

A

204

Figura 2

Figura 3

Figura 4

A'

La segona és la dimensió de l’altura del rectangle. La considerem positiva si el desplaçament és cap amunt, i negativa si és cap avall. → 2 unitats cap amunt → 2 a) A'B ⎯ ⎯ → −1 b) C'D → 1 unitat cap avall ⎯⎯ ជ(3, 2) Així doncs, les coordenades dels vectors són AB ជ i CD(−3, −1).

SEGON.

Figura 1

39. ● Dibuixa, a partir de les figures, altres figures en què es conservi: a) La mida. b) La forma.

c) La mida i la forma. d) Ni la mida ni la forma.

X

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 205

TRANSLACIONS 40. ● Troba la figura transformada de la figura F per mitjà d’una translació de vector ជ v. a)

Y

Y 3

v ជ

1

F

3

5

7

9

3

X

11

−4 v ជ

3 1 5

7

9

11

−2

1

3

5

7

X

45. ●● Troba la figura F que ha donat lloc a la figura F', en aplicar-hi una translació de vector ជ v (−2, −3). Abans de fer-ho, determina quines seran les coordenades dels vèrtexs de la figura F.

F

3

F"

1

Y

1

F'

5

F

1

b)

44. ●● Determina gràficament els vectors de les translacions que transformen la figura F en F' i F", respectivament. Troba’n també les coordenades.

X

Y

c)

Y 3

v ជ

3

F' 1

F 1

−8 1

d)

3

5

7

9

11

ជ v

F

−4

−2

1

3

X

46. ●●● Troba la figura transformada de la figura F mitjançant la translació de vector ជ v . Anomena-la F'. Després, troba la figura transformada de F' per la translació de vector w ជ. Anomena-la F".

Y

3

−6

X

Y

1 1

3

5

7

9

11

5

X

ជ v

F

3

w ជ

41. ●● Completa la taula següent. 1

Punt A(1, 3)

Vector de translació ជ v (1, −2)

B(−2, −4)

B'(0, 3) w ជ(−3, −5)

C'(7, 2) D'(5, 1)

D(1, 5) E(0, 3)

Punt traslladat

ជ t (3, −2)

42. ● Quin és el vector de la translació que porta el punt A(2, −3) al punt A'(−1, 7)? 43. ● Calcula les coordenades del punt transformat del punt B(4, −2) mitjançant una translació ⎛1 2⎞ del vector ជ v ⎜⎜⎜ , − ⎟⎟⎟. ⎝5 3⎠

1

3

5

7

9

11

X

a) Pots passar directament de F a F" amb una translació? Si creus que sí, dibuixa el vector d’aquesta translació i escriu-ne les coordenades. b) Escriu les coordenades de ជ v iw ជ i suma’n les abscisses i ordenades. Quina relació té el resultat amb el de l’apartat a)? 47. ●● Considera el punt P(0, 5). Si fem una translació de vector ជ v (3, 4) i, seguidament, una altra de w ជ(−2, −1): a) Quin és el punt que obtenim? b) Si després de fer les dues translacions obtinguéssim el punt Q(2, −2), de quin punt hauríem partit?

205

831084 _ 0191-0210.qxd

10/5/07

10:57

Página 206

50. ●● Determina el centre i el gir de l’angle que transforma F en F'.

GIRS 48. ● Troba la figura transformada de F pel gir de centre O i l’angle indicat. a) Angle 90°.

F'

F

O

51. ●● Troba la figura F que ha donat lloc a la figura F' en aplicar-li un gir de centre l’origen i angle 90°.

F

b) Angle 45°.

Y

5

F'

3

O

1

F −6

c) Angle −120° (120° en el sentit de les agulles del rellotge).

−4

−2

1

3

X

52. ●● Completa aquesta taula, referida a diferents girs amb centre l’origen de coordenades. Punts

Angle

A(1, 0)

90°

F

Punt transformat

90° C(1, 2)

O

5

B'(0, 3)

180° 180°

E(0, 3)

D'(3, 4) E' (−3, 0)

d) Angle 180°. 53. ●●● Troba la figura F', transformada de la figura F mitjançant un gir de centre O i angle 90°. Després, troba la figura F", transformada de F' per un gir de centre O i angle 60°.

O

F

49. ●● Troba la figura F', transformada de F per un gir de centre l’origen de coordenades i angle 90º. Quines són les coordenades dels vèrtexs de F? I les dels vèrtex transformats? Quina relació observes en els resultats? Y

3

206

−2

1

3

a) Troba la transformada de F per un gir de centre O i angle 150° (90° + 60°). Què hi observes? b) Segons el resultat anterior, a quin moviment equivalen dos girs consecutius amb el mateix centre?

F

1 −4

O F

5

7

X

c) I dos girs consecutius de 270°?

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 207

58. ●● Completa la taula, referida a diferents simetries.

SIMETRIES 54. ● Troba la figura transformada de F per una simetria central de centre O. a)

c)

Punt

Eix de simetria

A(1, 3)

Ordenades Ordenades

F

C(2, −1)

Abscisses

F

b)

d)

F

O

COM FEM UNA COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS?

O

55. ● Determina la figura transformada de F per mitjà de: a) Una simetria de centre l’origen. b) Una simetria d’eix l’eix d’ordenades.

59. Transforma el triangle ABC mitjançant un gir de centre O i angle 90º, i trasllada’n el transformat amb el vector ជ v. C A

Y

O

PRIMER. Fem el primer moviment. En aquest cas, el gir de 90º.

B'

SEGON. Sobre la figura

B F

C' 3 1

−4

−2

C" 1

3

5

B"

56. ●● Determina el centre de simetria que transforma F en F' i F' en F", i l’eix de simetria que fa les mateixes transformacions.

que en resulta, A'B'C', fem el segon moviment. En aquest cas, la translació.

A'

X

Quina relació hi ha entre les coordenades dels vèrtexs de F i els dels seus transformats?

F

D'(5, 0)

FES-HO AIXÍ

F

−6

B'(0, 3)

Abscisses

O O

Punt traslladat

ជ v A"

La figura de la composició de moviments, un gir i una translació, és el triangle A"B"C".

F'

60. ●● Apliquem a aquesta figura les composicions de moviments següents.

F"

a) Una traslació de vector ជ v i un gir de 180°. b) Una simetria de centre O i un gir de 90°. c) Una simetria respecte de la recta r i una translació de vector ជ v. C D

de centre l’origen de coordenades. Punt

Punt transformat

v ជ

B

57. ●● Completa la taula, referida a una simetria

O A r

A(1, 0) B(1, −2) C'(3, 0) D'(0, −2)

61. ●●● Dibuixa una figura i aplica-li dues simetries centrals consecutives del mateix centre. Quina relació hi ha entre la figura original i l’última figura que obtens?

207

831084 _ 0191-0210.qxd

16/4/07

11:11

Página 208

ESCALES

HOMOTÈCIES I SEMBLANCES 62. ● Les figures T i T' són homotètiques. Troba el centre i la raó de l’homotècia.

T T'

71. ● La longitud d’un cotxe a la realitat és de 4,2 m. Quina en serà la longitud en una maqueta a escala 1 : 200? I a escala 1 : 400?

63. ● Calcula la longitud dels costats d’un triangle semblant a un altre els costats del qual fan 7, 11 i 13 cm, si la raó de semblança és k = 3. 64. ●● Els sis costats d’un hexàgon fan 13, 14, 15, 17, 19 i 20 cm. Un costat d’un altre hexàgon semblant fa 80 cm. Si la raó de semblança és un nombre enter, quant fan la resta de costats? 65. ●● Dibuixa un rectangle de 8 × 6 cm i afegeix-li 3 cm en cada costat. Has obtingut un rectangle semblant? Per què? 66. ●● Calcula la raó de semblança d’aquests polígons. Quina relació tenen els perímetres?

1,4 cm

TEOREMA DE TALES. APLICACIONS 67. ● Calcula les longituds que no coneixem.

m 4c 3 cm

cm 4,8 m 2c

x

x

68. ●● A la figura següent, OB = 0, 8. la raó OB' Calcula OA', AB i BC.

3 cm cm 4,5 cm 2,8 B'

O

A' A

B

C

2,3 cm

69. ● Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 14 cm, en 10 parts iguals. 70. ●● Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 10 cm, en parts proporcionals a dos segments de mides 2 cm i 6 cm. Calcula numèricament les longituds dels segments trobats i compara-les amb la solució gràfica.

208

160

240

320 m

74. ●● Fes l’escala gràfica corresponent a les escales numèriques 1 : 350 i 1 : 6.000.

5,1 cm

b)

80

a) Quina n’és l’escala numèrica? b) Quina distància real separa dos punts que en el mapa disten 8 cm?

3 cm

m 2c

73. ●● En un mapa apareix aquesta escala gràfica. 0

F

a)

72. ●● Si tenim una maqueta del cotxe anterior que fa 7,5 cm, a quina escala està feta?

C'

75. ●● Tenim dos mapes que representen una regió. L’escala del primer és 1 : 400.000 i la del segon, 1 : 1.000.000. a) Quin dels dos mapes és més gran? b) Si dues poblacions són a 20 km de distància en la realitat, quina distància les separa en cadascun dels mapes? c) En el primer mapa, dues ciutats, A i B, estan separades per 2,3 cm. A quina distància C Q B es troben realment? d) A quina distància seran dues P ciutats en el segon mapa? A 76. ●●● Tenim un mapa a escala 1 : 150.000. a) Si en fem una fotocòpia al 80 %, quina serà l’escala nova? b) I si la fem al 120 %? c) Una distància real de 15 km, quina longitud tindrà en cadascun dels tres mapes?

831084 _ 0191-0210.qxd

10/5/07

10:57

Página 209

82. ●●● Un ocell és sobre la branca d’un arbre (punt A) situat a la vora d’un riu, i vol passar a un altre arbre de la vora oposada (punt B) i aprofitar per beure aigua sense aturar el vol. Cap a quin punt del riu s’ha de dirigir per fer el recorregut més curt?

PROBLEMES AMB MOVIMENTS I SEMBLANCES 77. ●● Volem fer un armari en miniatura semblant a un altre que té unes dimensions de 180 × 110 × 45 cm, de manera que tingui una altura de 13,5 cm. Calcula’n l’amplada i la profunditat. 78. ●● Determina les dimensions que tindrà una casa rectangular en un pla a escala 1 : 50, si en la realitat la seva base és la meitat de l’altura i l’àrea és 144 m2. 79. ●● Una cèl·lula humana té un diàmetre aproximat de 3,5 milionèsimes de metre i, amb un microscopi electrònic, la veiem amb un diàmetre d’1,75 cm. Calcula quants augments té el microscopi. 80. ●●● Es farà una desviació en una carretera de manera que el traçat sigui una línia recta respecte a dues poblacions, A i B. Calcula en quin punt de la carretera s’haurà de fer la desviació perquè el trajecte cap a totes dues poblacions sigui el mínim.

6 km 3 km 12 km

81. ●●● Calcula l’altura x d’una muntanya si des de l’extrem de la seva ombra podem mesurar la distància al cim, la qual és de 2.325 m, i en aquest moment un bastó d’1 m fa una ombra de 1,1 m.

INVESTIGA 83. ●●● Per sumar gràficament els vectors ជ v iw ជ, col·loquem l’origen de w ជ a l’extrem de ជ v, i el vector suma té com a origen el de ជ v i com a extrem el de w ជ. ជ v

ជ v w ជ

ជ v

w ជ +

w ជ

Per multiplicar un vector per un nombre positiu dibuixem un vector, v 3ជ de la mateixa direcció i sentit que l’original, el mòdul del qual sigui el del vector v −3ជ original multiplicat pel nombre. Si el nombre és negatiu, fem el mateix procés però canviant el sentit. Basant-te en això i fixant-te en la figura, escriu els vectors ជ , BC ជ , FO ជ , EO ជ, AB ជ ជ ជ ជ EA, EB, AC i OD en funció de ជ iq ជ. ជ = EF ជ = ED p

E

F

D

C

O

A

B

84. ●●● Escriu el perímetre p, l’altura h i l’àrea a dels triangles petits en funció del perímetre P, l’altura H l’àrea A del triangle gran.

209

831084 _ 0191-0210.qxd

10/5/07

10:57

Página 210

A la vida quotidiana 85. ●●● En els aeroports es controlen els moviments dels avions per coordinar-ne els aterratges i els enlairaments.

86. ●●● Al restaurant EL TIBERI el seu famós xef barreja productes tradicionals amb un toc imaginatiu d’alta cuina. Per això està molt valorat per públic i crítics. L’amo del restaurant, Julià Guisat, en vista de la reforma que es farà del local, ha ideat una manera de potenciar la figura del xef en el restaurant.

Aquesta feina la fan els controladors aeris, que mitjançant el radar situen la posició dels avions i n’estableixen la trajectòria, posició i velocitat amb què s’aproximen a les pistes d’aterratge.

Vull cobrir el terra amb una gran rajola en forma d’octàgon que porti el teu retrat. La resta la cobrirem amb rajoles que formin una espècie de corona al teu voltant.

A la pantalla d’un radar s’hi observa, en un moment determinat, la posició de quatre avions que segueixen trajectòries rectilínies.

En el primer disseny que ha fet ha col·locat l’octàgon al centre de la sala rectangular i després l’ha envoltat amb diferents rajoles grogues, fins a cobrir completament la sala.

Després d’uns minuts, la posició dels avions ha canviat i des de la torre de control han d’informar de la nova posició, la trajectòria i la velocitat de cadascun dels avions. Descriu la trajectòria dels quatre avions i compara’n les velocitats.

210

És possible fer-ho? Com ha de col·locar les corones per aconseguir-ho?

831084 _ 0211-0228.qxd

10/5/07

10:58

11

Página 211

Funcions L’epidèmia de grip Salamanca, 1918. Dues infermeres, una d’elles visiblement esgotada, feien el canvi de torn a l’hospital. La infermera que sortia, la Carme, li donava unes pautes a la inexperta infermera que l’havia de rellevar. –No t’involucris personalment amb el pacient, no en vulguis saber ni el nom, perquè probablement d’aquí a pocs dies serà mort. –La grip causava estralls entre la població–. Observa els símptomes i si veus que el malalt té els peus blaus... no t’hi entretinguis i resa per la seva ànima.

PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Reconèixer si una relació entre variables és o no una funció. • Estudiar la continuïtat, creixement, simetries i periodicitat d’una funció. • Determinar el domini, recorregut, punts de tall amb els eixos i màxims i mínims d’una funció. • Representar i analitzar funcions extretes de situacions de la vida quotidiana.

Tres anys després, l’Anna, que havia acabat la seva feina com a voluntària, llegia al diari local les xifres oficials de morts per grip en els últims anys.

E l D ia r i Morts anuals a r pe grip a Espany 6.481 1915 7.021 1916 7.479 1917 147.114 1918 21.235 1919 17.825 20 19 5.837 1921

Els ulls se li van omplir de llàgrimes quan va recordar la seva amiga Carme, que formava part de la llista de víctimes corresponent a 1918. El nombre de morts a causa d’aquesta epidèmia es va xifrar entre 20 i 40 milions a tot el món. L’altre diari de la ciutat, en lloc d’una taula, va presentar la informació amb una gràfica.

Series capaç de construir i interpretar aquesta gràfica? Quin tipus de gràfica faràs servir?

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 212

1

Concepte de funció

Una funció és una relació entre dues magnituds o variables numèriques, x i y, de manera que a cada valor de x li correspon un únic valor de y. La variable x la denominem variable independent, i la variable y, variable dependent. EXEMPLE 1

El preu del metro de filferro és 0,60 €. La relació entre les variables Longitud de filferro i Preu, és una funció? El preu és proporcional a la longitud del filferro:

Una magnitud és qualsevol característica que es pot mesurar i se’n pot expressar el valor per mitjà d’un nombre.

Preu (en €)

Longitud (en m) ⋅ 0,60

→ 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

0,60

→ 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1,20

→ 3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1,80

⋅ 0,60 ⋅ 0,60 ⋅ 0,60

→ 0,60 ⋅ x = y x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Podem expressar aquesta relació així: y = 0,60 ⋅ x. Si agrupem alguns parells de valors en forma de taula, tenim que: Longitud (m)

0,5

1

1,5

2

2,5

Preu (€)

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

Veiem que per a cada longitud, x, tenim un únic preu, y, perquè una quantitat de filferro no pot tenir dos preus diferents. Així, aquesta relació sí que és una funció, en què cada variable independent, x, és la longitud del filferro i la variable dependent, y, n’és el preu.

EXERCICIS PRACTICA

1

Digues, raonant la resposta, si la relació entre els parells de magnituds següents és una funció o no.

APLICA

2

a) El pes d’una persona i la seva altura.

a) El doble més 2. b) Sumar-li una unitat i dividir el resultat entre 2. c) La quarta potència. d) L’arrel quadrada.

b) El pes d’un barril i la quantitat de líquid que conté. c) La longitud del costat d’un polígon regular i el seu perímetre. d) La qualificació d’un examen i el nombre d’hores dedicades a estudiar. e) El nombre d’obrers i el temps que tarden a acabar una feina.

212

Donats els nombres 3, 5, 7 i 9, calcula per a cadascun el nombre o nombres que els corresponen amb les relacions següents, i indica quines són funcions.

REFLEXIONA

3

Escriu dues relacions que siguin funcions i dues més que no ho siguin.

831084 _ 0211-0228.qxd

2

10/5/07

10:58

Página 213

Formes d’expressar una funció

2.1 Funció definida per un enunciat. La relació entre les variables d’una funció la podem expressar de manera verbal. – «A cada nombre li associem el seu quadrat». – «Donat un nombre, li assignem la seva meitat més 1». EXEMPLE Posa diversos exemples de funcions expressades amb enunciats.

2

– Les ofertes d’un supermercat relacionen el pes o la quantitat d’unitats amb un preu determinat. – Els parquímetres d’una ciutat mostren el temps que podem estacionar en funció dels diners abonats.

2.2 Funció definida per una expressió algebraica A vegades, les funcions vénen donades per una expressió algebraica. Aquesta expressió y = f(x) l’anomenem equació d’una funció. Mitjançant una equació és senzill conèixer el valor de la variable y, anomenat imatge, corresponent a cada valor de la variable x, denominat original. N’hi ha prou de substituir el valor de x a l’expressió i operar.

L’expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre el seu triple menys 7 la podem escriure d’aquestes maneres.

y = 3x - 7 f (x ) = 3 x - 7 y = f (x ) = 3 x - 7 I el valor d’aquesta funció per a x = 4 el representem així: f (4) = 3 · 4 - 7 O així: y = f (4) = 3 · 4 - 7

EXEMPLES Determina l’expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre, x, un valor, y, igual que el seu quadrat, x2.

3

Expressió algebraica → y = x2 Quina és l’expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre el seu triple menys 7? I la imatge de x = 4, f(4)?

4

Expressió algebraica → y = f(x) = 3x − 7 Imatge de x = 4  → y = f(4) = 3 ⋅ 4 − 7 = 12 − 7 = 5

EXERCICIS PRACTICA

4

Expressa, per mitjà d’un enunciat, les funcions següents. a) y = 2x − 1

5

APLICA

b) y = −x + 3

Troba l’expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre: a) El seu triple. b) El seu quadrat.

6

c) El seu doble més 5. d) La seva meitat.

Donada la funció que associa a cada nombre la seva quarta part més 3: a) Escriu-ne l’expressió algebraica. b) Calcula f(8), f(−4) i f(10).

REFLEXIONA

7

Pensa en una funció de la qual no puguis trobar l’expressió algebraica.

213

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 214

2.3 Funció definida per una taula de valors Una funció també pot estar definida per una taula de valors. EXEMPLE 5

Fes una taula de valors per a la funció y = 2x + 1. x

y = 2x + 1

x

y

−2

2 ⋅ (−2) + 1 = −3

−2

−3

−1

2 ⋅ (−1) + 1 = −1

−1

−1

0

2 ⋅ (0) + 1 = 1

0

1

1

2 ⋅ (1) + 1 = 3

1

3

2

2 ⋅ (2) + 1 = 5

2

5

F

2.4 Funció definida per una gràfica Abans d’unir els punts hem de reflexionar sobre si té sentit fer-ho o no. Dependrà dels valors que puguin agafar les variables.

Els parells de valors relacionats d’una funció, (x, y), determinen punts del pla en un sistema d’eixos cartesians. La representació de tots aquests punts forma una gràfica. La variable independent, x, la representem a l’eix d’abscisses i la dependent, y, al d’ordenades. EXEMPLE 6

Fent servir la taula de l’exemple anterior, dibuixa la gràfica de la funció y = 2x + 1. Segons la taula, les coordenades dels punts serien (−2, −3); (−1, −1); (0, 1); (1, 3) i (2, 5). En principi, la gràfica estaria formada només per aquests cinc punts. Però com que la variable x pot agafar qualsevol valor, en què la seva imatge sigui y = 2x + 1, podem unir aquests punts.

Y 4

y = 2x + 1

2 −4 −2

−2

2

4

−4

EXERCICIS PRACTICA

8

214

APLICA

Troba una taula de valors per a les funcions següents. Expressa-les amb un enunciat i fes-ne la representació gràfica. a) y = x + 2

e) y = −3x − 1

b) y = 2x + 3

f) y = x 2 + 1

c) y = x 2

g) y = 4x − 4

d) y = x 2 + x

h) y = −x

9

Un punt pertany a una gràfica d’una funció si les seves coordenades en verifiquen l’equació. (−1, 2) i (0, −1) pertanyen a y = −2x?

REFLEXIONA

10 El preu d’una entrada és 15,75 €.

Expressa aquesta funció amb una equació, una taula i una gràfica.

X

831084 _ 0211-0228.qxd

10/5/07

10:58

Página 215

Característiques d’una funció

3

3.1 Discontinuïtat Una gràfica és discontínua quan no es pot dibuixar d’un sol traç. Estudiarem dos tipus de gràfiques discontínues: Y

X

Les gràfiques discretes, que són gràfiques de punts aïllats. • La variable x és discreta i la variable y pot ser discreta o contínua. • En aquest tipus de funcions només representem els punts. Y

Les gràfiques esglaonades, formades per segments horitzontals a altures diferents. • La variable x és contínua i la variable y és discreta. • Quan representem aquestes funcions unim els punts amb línies horitzontals.

X

Per exemple, el nombre de peixos capturats és una variable discreta i el seu pes, contínua.

EXEMPLE Un artesà fabrica rellotges que ven a 600 € cadascun. Si dedica una setmana a fabricar cada rellotge, representa les funcions Nombre de rellotges–Guany i Temps–Guany.

Guany (€)

2.400

Y

2.400

1.800

Guany (€)

7

1.200 600

Una variable és discreta quan els seus valors són aïllats, i és contínua si entre cada dos valors sempre hi ha valors intermitjos.

Y

1.800 1.200 600

X

X

1 2 3 4 Nre. de rellotges

1 2 3 4 Temps (setmanes)

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

11 Raona com serien les variables que relacionen

12 Un venedor de mobles té un sou fix de 480 € i,

per cada moble que ven cobra 10 € de comissió. Dibuixa la gràfica que expressa el guany en funció del nombre de mobles venuts.

les gràfiques següents. Y

Y

REFLEXIONA

13 Posa un exemple de funció la gràfica de la qual X

X

sigui discreta, i un altre amb una gràfica esglaonada.

215

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 216

3.2 Continuïtat Una funció és contínua si la seva gràfica es pot dibuixar d’un sol traç, és a dir, si no té punts de discontinuïtat. Y

Per representar una funció discontínua, ens cal aixecar el llapis del paper en cadascun dels punts de discontinuïtat.

En les funcions que tenen gràfiques contínues hem de tenir en compte: • Totes dues variables, x i y, són variables contínues. • Quan representem aquest tipus de funcions, unim els punts representats amb una línia. X EXEMPLE 8

La Maria va amb motocicleta i circula a una velocitat constant de 25 km/h. Estudia i representa la funció que relaciona el temps transcorregut amb l’espai que recorre la Maria. En aquest cas, és una funció de proporcionalitat directa: com més temps més serà la distància recorreguda. Temps (h)

Distància (km)

0

0

1

25

2

50

3

75

4

100

Espai (km)

100

Y

75 50 25 X 1

2 3 Temps (h)

4

A més a més, els punts representats els unim amb una línia perquè totes dues variables (temps transcorregut i espai recorregut) són variables contínues.

EXERCICIS Y

PRACTICA

14 Estudia la continuïtat

4

de la funció amb la gràfica següent. Indica, si els té, els punts de discontinuïtat.

2

15 Donades les funcions

APLICA

16 Dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions. 1

−2 −2 −4

3

X

a) A cada nombre natural li fem correspondre el seu doble menys 2. b) A cada nombre enter li fem correspondre el seu doble menys 2. c) A cada nombre real li fem correspondre el seu doble menys 2.

y = −x + 3 i y = x2: a) Forma les taules de valors. b) Representa les funcions. c) Estudia’n la continuïtat.

216

REFLEXIONA

17 Estudia la continuïtat de la funció que a cada

nombre real li fem correspondre el nombre 4.

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 217

3.3 Domini i recorregut • El domini d’una funció f(x) és el conjunt de tots els valors que pren la variable independent. El representem amb Dom f. • Anomenem recorregut d’una funció f(x) el conjunt de tots els valors que pren la variable dependent. El representem amb Im f. EXEMPLES 9

Calcula el domini i el recorregut d’aquesta funció.

Y

El domini el calculem a l’eix X i està format pels intervals [−6, 3] i [5, 6]. Ho escrivim així: Dom f = [−6, 3] ∪ [5, 6]

3 2 −6

El recorregut el calculem a l’eix Y i està format per l’interval [−5, 2] i el punt 3. Ho escrivim així: Im f = [−5, 2] ∪ {3}

1

3

5 6

X

−5

10 Determina el domini i el recorregut de la funció y = x2.

El domini d’una funció contínua és el conjunt de tots els nombres reals i ho escrivim així: Dom f = R

y = x2 → Associa a cada nombre el seu quadrat. Com que existeix el domini de qualsevol nombre, el seu domini és tots els nombres reals. Ho escrivim així: Dom f = R La variable dependent, y, només pren valors positius, ja que el quadrat d’un nombre sempre és més gran i igual que zero. Ho escrivim així: Im f = R+

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

18 Determina el domini i el recorregut de la funció.

20 Donada la funció que associa a cada nombre

real el seu invers més 3:

Y

a) Escriu-ne l’expressió algebraica. 4

b) Troba’n el domini i el recorregut.

2

c) Quina és la imatge de 2?

−4 −2

3

5

X

(Recorda que no es pot dividir entre 0.) REFLEXIONA

−5

19 Donada la funció que associa a cada nombre

21 Representa la funció que a cada nombre real

li fa correspondre −1 si el nombre és negatiu i +1 si és positiu.

real el seu triple menys 6, troba:

a) Quina és la imatge de 2? I de −2?

a) L’expressió algebraica. b) El domini, recorregut i gràfica.

b) Dibuixa’n la gràfica. c) Determina’n el domini i el recorregut.

217

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 218

3.4 Punts de tall amb els eixos

Una funció només pot tenir un punt de tall amb l’eix Y.

Els punts de tall amb els eixos d’una funció són els punts d’intersecció de la gràfica amb tots dos eixos de coordenades. • Els punts de tall amb l’eix X tenen la forma (a, 0) i el valor de a el calculem resolent l’equació f(x) = 0. • El punt de tall amb l’eix Y té la forma (0, b) i el valor de b el calculem obtenint f(0). EXEMPLE

Y

11 Troba els punts de tall amb els eixos de la funció y = −3x + 2. • Punt de tall amb l’eix X.

X

L’ordenada és zero. Per trobar-ne l’abscissa resolem l’equació: 2 f (x) = 0 f(x) = −3x + 2 ⎯⎯⎯→ −3x + 2 = 0 → −3x = −2 → x = 3 ⎛2 ⎞ El punt de tall amb l’eix X és ⎜⎜⎜ , 0⎟⎟⎟. ⎝3 ⎠ • Punt de tall amb l’eix Y.

No és una funció.

L’abscissa és 0. Per calcular-ne l’ordenada trobem f(0). x=0

f(x) = −3x + 2 ⎯⎯⎯→ f(0) = −3 ⋅ 0 + 2 = 2 El punt de tall amb l’eix Y és (0, 2). Si representem la funció y = −3x + 2, veiem que els punts de tall coincideixen amb els que hem determinat. Y

x

y

−2

8

−1

5

0

2

1

−1

2

−4

2

−4

−2

2

4

X

−2

EXERCICIS PRACTICA

REFLEXIONA

22 Representa les funcions següents i troba

25 Donada la funció y =

els punts de tall amb els eixos. a) y = 3x − 6 b) y = x + 1

c) y = −2x d) y = x 2 − 2

APLICA

23 La funció y = x 2 − 5x + 6, en quins punts talla

els eixos? 24 Representa la funció y = 3. Què hi observes?

En quins punts talla els eixos?

218

talla els eixos.

2 , digues en quins punts x

26 La funció y = 5x, en quin punt talla l’eix Y?

I la funció y = 5x + 1? I la funció y = 5x − 2? Amb els resultats anteriors, en quin punt creus que tallarà l’eix Y la funció y = 5x − 7? 27 Quants punts de tall pot tenir una funció amb

l’eix Y ? I amb l’eix X?

831084 _ 0211-0228.qxd

10/5/07

10:58

Página 219

3.5 Creixement i decreixement

Y

Y f(a)

f(b) f(a)

Donada una funció f(x) i els valors x = a i x = b, de manera que a < b:

f(b) a

• Si f(b) > f(a), la funció és creixent entre a i b. • Si f(b) < f(a), la funció és decreixent entre a i b. • Si f(b) = f(a), la funció és constant entre a i b.

b

a

X

Creixent

b

Decreixent

Y f(a) = f(b)

El creixement i el decreixement d’una funció són propietats locals, és a dir, no s’estudien globalment, sinó per intervals. Per estudiar aquestes propietats, els valors a i b no poden ser nombres qualssevol, sinó que han d’estar prou a prop.

a

X

b

Constant

EXEMPLE 12 Determina el creixement i el decreixement en aquesta gràfica que representa les persones (en milers) que van a un centre comercial al llarg d’un dia.

Y

8

Y Persones (milers)

6

X

Això significa que a l’eix X, a l’esquerra del 8, hi ha un tros d’eix del qual hem prescindit perquè no té gràfica.

5 4 3 2 1

X 8

10

12

14 16 Hores

18

20

22

24

Per estudiar el creixement i el decreixement d’una funció hem de mirar-ne la gràfica d’esquerra a dreta. Si analitzem la gràfica d’aquesta manera veiem que: – És creixent en els intervals (8, 12) i (16, 18). – És decreixent en els intervals (12, 14) i (18, 24). – És constant en l’interval (14, 16).

EXERCICIS PRACTICA

30 La taula següent mostra les vendes de cotxes

28 Observa els preus (en euros) del quilogram

de patates en el període 2003-2007. Representa les dades en una gràfica i analitza’n el creixement i decreixement.

durant els cinc primers mesos de l’any. Sense representar les dades, analitza’n el creixement i decreixement. Mes

Any

2003

2004

2005

2006

2007

Preu

0,51

0,65

0,57

0,49

0,64

Vendes

G

F

M

A

M

2.000

1.875

1.690

1.600

1.540

REFLEXIONA APLICA

29 Dibuixa la gràfica d’una funció que sigui

creixent en els intervals (0, 3) i (6, 8) i decreixent en (3, 6) i (8, 10).

1 , x i analitza’n el creixement i decreixement. És constant en cap tram?

31 Representa gràficament la funció y =

219

X

831084 _ 0211-0228.qxd

10/5/07

10:58

Página 220

3.6 Màxims i mínims Y

• Una funció té un màxim en el punt x = a quan passa de ser creixent a decreixent en aquell punt.

Màxim Cr eix en t

nt ixe cre De

• Una funció té un mínim en el punt x = a quan passa de ser decreixent a creixent en aquell punt. X

Y

EXEMPLE Cr eix en t

nt ixe cre De

13 La gràfica següent mostra l’evolució de la temperatura d’un pacient al llarg de 10 hores. Troba’n els màxims i els mínims.

Mínim

Y

Temperatura (°C)

40

X

39 38 37

X 1

2

3

4

5 6 Hores

7

8

9

La funció té dos màxims als quals s’arriba al cap de x = 3 i x = 5 hores, i un mínim quan han transcorregut x = 9 hores.

10

3.7 Periodicitat Una funció és periòdica si la seva gràfica es repeteix cada cert interval, anomenat període, és a dir, f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = …, en què T és el valor del període. EXEMPLE

Y 3

14 Determina si aquesta funció és periòdica i calcula’n el període. 3

6

9

La gràfica es repeteix en intervals de 3: f(0) = f(3) = f(6) = f(9) = … El seu període és T = 3.

X

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

32 Determina

33 Dibuixa una funció que tingui màxims

en x = −2 i x = 3 i mínims en x = 1 i x = 2.

Y

els màxims i mínims de la funció.

34 Dibuixa una funció de període 2 i una altra

4

de període 4.

2 −4 −2

−2 −4

220

4

X

REFLEXIONA

35 Dibuixa la gràfica de la funció que fa

l’angle format per les agulles del rellotge des de les 00.00 hores fins a les 02.00 hores. Quins són els màxims i els mínims?

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 221

3.8 Simetries • Funció simètrica respecte de l’eix Y. Una funció és simètrica respecte de l’eix d’ordenades, o funció parella, quan f(x) = f(−x). • Funció simètrica respecte de l’origen. Una funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades, o funció imparella, quan −f(x) = f(−x).

Y

−x

x

X

Funció parella

EXEMPLE Y

1 i estudia’n les simetries. 15 Representa les funcions y = x i y = x 2

−x

Y

y=x

2

⎫⎪⎪ f (x) = x2 → f (x) = f (−x) 2 2⎬ f (−x) = (−x) = x ⎪⎪⎭ La funció és simètrica respecte de l’eix Y.

2

−3

x

• Simetria respecte de l’eix Y.

4

−1

1

X

3

X

Funció imparella

• Simetria respecte de l’origen. ⎪⎫⎪ −f (x) = −x2 ⎬ → f (x) ⫽ f (−x). La funció no és simètrica respecte f (−x) = (−x)2 = x2 ⎪⎪⎭ de l’origen. Y

2 −3

• Simetria respecte de l’eix Y. 1 y= x

⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ → f (x) ⫽ f (−x) 1 1 ⎪⎪ =− ⎪ f (−x) = −x x ⎪⎪⎭ La funció no és simètrica respecte de l’eix Y. f (x) =

−1 1

X

3

−2

1 x

• Simetria respecte de l’origen. ⎫⎪ 1 ⎪⎪ ⎪⎪ x ⎬ → f (x) = f (−x). La funció és simètrica respecte 1 1 ⎪⎪ de l’origen. f (−x) = =− ⎪ x ⎪⎪⎭ −x

−f (x) = −

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

36 Representa gràficament la funció donada

37 Analitza les simetries d’aquestes funcions.

mitjançant aquesta taula de valors.

a) y = 4

x

…

−2

−1

0

1

2

…

y

…

7

4

3

4

7

…

b) y = x4

c) y = x3

REFLEXIONA

És una funció simètrica?

38 Pot ser simètrica respecte de l’eix X una funció?

Raona la resposta.

221

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 222

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Equació de la funció

Funcions Y G

Eix d’ordenades

y = f(x)

P(x, y)

O

Eix d’abscisses

Variable independent

X

y = x2 − 1 → f(2) = 22 − 1 = 3

Mínim

F

G

Variable dependent

F

Màxim

Original

Imatge

FES-HO AIXÍ

1. REPRESENTACIÓ D’UNA FUNCIÓ Representa la funció que relaciona el temps que circula un ciclomotor a 20 km/h amb l’espai que recorre. PRIMER. Fem una taula de valors de la funció.

Temps (h)

1

2

3

4

5

6

…

Espai (km)

20

40

60

80

100

120

…

80

Representem els punts en uns eixos cartesians.

TERCER. Analitzem el tipus de variables de la funció.

– El temps és una variable contínua (pot prendre qualsevol valor). – L’espai recorregut també és una variable contínua (pot prendre qualsevol valor d’entre dos de donats).

Espai (km)

SEGON.

Y 100

60 40 20 X 1

Unim els punts representats amb una línia perquè totes dues variables són contínues.

2

3

4

Temps (h)

2. CÀLCUL DELS PUNTS DE TALL AMB ELS EIXOS EN UNA FUNCIÓ DEFINIDA PER UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA

Troba els punts de tall amb els eixos de la funció y = 2x + 1. • Amb l’eix Y

• Amb l’eix X PRIMER. Resolem l’equació f(x)

= 0.

f (x) = 0 f(x) = 2x + 1 ⎯⎯⎯→ 2x + 1 = 0 → x = −

PRIMER. Trobem f(0).

1 2

Aquests punts tenen com a ordenada 0 i com a abscissa, la x que hem calculat. ⎛ 1 ⎞ Punt de tall amb l’eix X → ⎜⎜⎜− , 0⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎠

SEGON.

222

x=0

f(x) = 2x + 1 ⎯⎯⎯→ f(0) = 2 ⋅ 0 + 1 = 1 SEGON. Aquests punts tenen com a abscissa 0 i com a ordenada, la seva imatge, que és el resultat anterior.

Punt de tall amb l’eix Y → (0, 1)

5

831084 _ 0211-0228.qxd

10/5/07

10:58

Página 223

3. ESTUDI D’UNA FUNCIÓ

Y Temperatura (°C)

Estudia aquesta gràfica que mostra la temperatura d’un pacient al llarg de dos dies, presa cada 4 hores.

40 39 38 37 X 4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48 Hores

PRIMER. En calculem el domini i el recorregut.

A l’eix X s’agafen els valors entre 0 h i 48 h → Dom f = [0, 48] A l’eix Y s’agafen els valors entre 38° i 40°  → Im f = [38, 40] En determinem els punts de tall. La gràfica no talla l’eix X. La gràfica talla l’eix Y en 38° → El punt de tall amb l’eix Y és (0, 38).

SEGON.

TERCER. Si mirem la gràfica, d’esquerra a dreta, en determinem el creixement i decreixement.

És creixent en els intervals (0, 4), (8, 12), (16, 20), (24, 28), (32, 36) i (40, 44). És decreixent en els intervals (4, 8), (12, 16), (20, 24), (28, 32), (36, 40) i (44, 48). En determinem els màxims i els mínims. Hi ha màxims en x = 4, x = 12, x = 20, x = 28, x = 36 i x = 44. Hi ha mínims en x = 8, x = 16, x = 24, x = 32 i x = 40.

QUART.

CINQUÈ. Observem la gràfica per veure si n’hi ha cap part que es repeteix periòdicament.

La part compresa entre 0 i 16 es repeteix periòdicament → f(16) = f(32) = f(48) La funció és periòdica, de període T = 16. SISÈ. Analitzem la gràfica, quadrant a quadrant.

• Si es repeteix en els quadrants 1r i 2n, i en el 3r i 4t, hi ha simetria respecte de l’eix Y. • Si es repeteix en els quadrants 1r i 3r, i en el 2n i 4t, hi ha simetria respecte de l’origen. En aquest cas no hi ha simetries, la gràfica només existeix en el 1r quadrant.

I ARA... PRACTICA Representació d’una funció

Estudi d’una funció

1. Una companyia telefònica factura als clients per minuts complets. Si cada minut val 3 cèntims, com és la gràfica?

3. Aquesta funció compleix una de les condicions següents.

a) Contínua

b) Esglaonada

c) Discreta

Càlcul dels punts de tall amb els eixos 2. Els punts de tall amb l’eix X de y = x − 1 són: 2

a) (1, 0) i (−1, 0) b) (1, 0)

c) (−1, 0) d) No en té.

a) b) c) d)

Y

X

Té màxims, però no té mínims. Té dos màxims i dos mínims. És periòdica i no simètrica. És sempre creixent.

223

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 224

Activitats CONCEPTE DE FUNCIÓ

EXPRESSIÓ D’UNA FUNCIÓ

39. ● De les relacions següents, assenyala’n les que representen una funció. Raona la resposta.

43. ● Escriu l’expressió algebraica de la relació que hi ha entre les magnituds següents.

a) Un nombre positiu i la seva arrel quadrada.

a) El radi d’una circumferència i la seva longitud. b) El radi d’una esfera i el seu volum. c) L’àrea d’un cercle i el seu radi.

b) Un nombre positiu i la seva arrel cúbica. c) Un nombre positiu i el seu valor absolut. d) El nombre de costats de la base d’una piràmide i el seu nombre total d’arestes.

a) Determina’n l’expressió algebraica. b) Existeix valor de la funció per a x = −2?

40. ● Escriu tres exemples de funcions i assenyala quina és cada variable.

45. ●● La relació existent entre el nombre de vèrtexs d’una piràmide i el seu nombre d’arestes:

FES-HO AIXÍ

a) És una funció? Fes una taula de valors i representa’ls gràficament. b) És possible establir una expressió algebraica que representi la funció?

COM IDENTIFIQUEM UNA FUNCIÓ PER MITJÀ DE LA SEVA REPRESENTACIÓ GRÀFICA? 41. Indica si aquestes gràfiques són funcions o no. a) Y

b)

44. ● Donada la funció que associa a cada nombre l’invers de la suma d’aquest nombre més 5:

Y

46. ●● Expressa, de totes les maneres possibles, les funcions següents. a) y = x + 5

X

X

c) y = x 2 + x + 1 x d) y = 5

b) y = −3x + 1

PRIMER. Determinem si a algun valor de x

li correspon més d’un valor de y. a) Y

b)

47. ●● Una bossa de patates fregides val 1,50 €. Expressa algebraicament la funció Nombre de bosses–Preu, fes una taula de valors i dibuixa’n la gràfica.

Y

X

X

48. ●● Fes una taula de valors amb la llargada i l’amplada dels rectangles d’àrea 36 m2.

SEGON. Si és així, la gràfica no correspon a una funció. En cas contrari, sí que correspon a una funció. Per tant, b) és una funció i a) no ho és.

Expressa de forma algebraica i representa la funció Llargada–Amplada.

CARACTERÍSTIQUES DE LES FUNCIONS

42. ● Indica quines són funcions i quines no ho són. a) Y

c) Y

X

49. ● Estudia la continuïtat d’aquestes funcions. Tenen punts de discontinuïtat?

X

a) b)

d)

Y X

Y

Y

Y

2 2

X −5 −3 −1

224

b)

1 −2

3

5X

−4 −2 −2

2

4

X

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 225

Temperatura (°C)

50. ● En Lluís està malalt i li prenen la temperatura 4 vegades al dia durant 3 dies. Obtenen els punts de la gràfica següent.

53. ●● Calcula el domini d’aquestes funcions. c)

x+1

5 x−5

d)

x−2

b) y =

Y 40 39

54. ●● Estudia la continuïtat de la funció y = x 3 i troba’n el domini i el recorregut.

38 37 36

55. ●●● Estudia la continuïtat de la funció 2 y= i troba’n el domini i el recorregut. x −1

X

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 Temps (h)

Podem unir els punts? Serà una funció contínua o discontínua? 51. ● Determina el domini i el recorregut d’aquestes funcions. a)

a) y = x 2 + 1

b)

Y 4

Y 4

4

6

8 X

a) b) c) d)

x+4.

Fes una taula de valors. Estudia’n la continuïtat. Dibuixa’n la gràfica. Determina’n el domini i recorregut.

57 ● Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions.

2 2

56. ●●● Donada la funció f (x) =

2

4

6

8X

FES-HO AIXÍ

d) y = (x − 3)2 e) y = x 3 − 8 f) y = −3

58. ●● Analitza el creixement d’aquesta funció.

COM CALCULEM EL DOMINI D’UNA FUNCIÓ AMB LA SEVA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA? 52. Troba el domini de les funcions. 3 + 2x a) y = 2x − 3 b) y = c) y = x+1

a) y = 4x − 1 b) y = 5 c) y = x 2 − 3

Y 4 3

x −1

2

PRIMER. Analitzem el tipus d’expressió.

a) y = 2x − 3 ⎯→ És una expressió polinòmica. 3 + 2x És una expressió que té la b) y = → variable x en el denominador. x+1 c) y =

És una expressió que té la x −1 ⎯ → variable x sota una arrel.

Calculem el domini depenent del tipus d’expressió. a) Aquestes expressions estan definides per a tots els nombres reals: Dom f = R. b) Un quocient no està definit quan el denominador és 0, per tant, la funció no està definida en x = 1: Dom f = R − {1}. c) Les arrels només estan definides per a nombres positius; per tant, la funció està definida quan x és més gran o igual que 1: Dom f = [1, +⬁).

−1

1

2

3

4

5

6

7

8 X

59. ● Observa la gràfica corresponent a aquesta funció. Y 7 6 5 4 3 2 1

SEGON.

1

a) b) c) d)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Assenyala’n el domini i el recorregut. És una funció contínua? Estudia’n el creixement i decreixement. Assenyala’n els màxims i mínims, si en té.

225

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 226

60. ●● Completa les gràfiques següents perquè resulti una funció simètrica respecte de l’eix Y. a)

b)

Y

FES-HO AIXÍ COM REPRESENTEM UNA FUNCIÓ SI EN SABEM ALGUNES DE LES CARACTERÍSTIQUES?

Y

X

X

61. ●●● Una funció pot ser simètrica respecte de l’eix Y i respecte de l’origen? Si creus que sí, posa’n un exemple.

66. Representa una funció amb aquestes dades. – Dom f = R – Passa pels punts (−2, 0), (2, 0) i (4, 0). – Té un màxim a (3, −2). – Té un mínim a (0, 2). PRIMER. Representem els punts per on passa la funció.

Dibuixem els punts en què hi ha màxims i mínims. 2 2 4 Sobre els mínims, −2 X representem un arc −2 amb la part còncava cap a baix. I sobre els màxims, un arc amb a part còncava cap a dalt. Y

62. ●● Indica quines de les gràfiques següents corresponen a funcions periòdiques. a)

c)

Y

Y

X

X

b)

X

X

Y

TERCER. Seguint les

d) Y

Y

SEGON.

indicacions de les fletxes que assenyalen la direcció de la gràfica i els punts per on passa, representem la funció.

2 2

4

−2

X

−2

63. ●● Estudia les característiques de les funcions que relacionen: a) La longitud del costat d’un hexàgon regular amb la seva àrea. b) La longitud del costat d’un quadrat amb la seva diagonal. c) Un nombre real i el seu cub. d) Un nombre real i el triple de la seva arrel quadrada. 64. ●● Estudia les característiques de les funcions següents. a) y = −3x b) y = 2x − 5 c) y = x 2 + 2x + 1

2 −2 x e) y = (x − 1)2 f) y = x 3 − 3 d) y =

65. ●●● Analitza aquestes funcions. a) y = ⏐x⏐ (valor absolut de x) ⎧⎪−x si x ≤ 0 b) y = ⎨ 2 ⎪⎪⎩x si x > 0

226

67. ●● Representa una funció que: – Dom f = R – Passa pels punts (5, 0) i (7, 0). – Té punts mínims a (0, 1) i (6, −3). – Té un màxim a (3, 5). 68. ●● Representa una funció amb aquestes característiques. – Dom f = R – Passa pels punts (−3, 0) i (0, 2). – És creixent fins a x = −2, constant en l’interval (−2, 4) i decreixent a partir de x = 4. 69. ●● Dibuixa una funció periòdica, amb domini l’interval (−5, 5) i recorregut (−2, 2). Hi ha més d’una solució? 70. ●●● Representa la gràfica d’una funció simètrica respecte l’eix Y i que sempre sigui creixent. És possible?

831084 _ 0211-0228.qxd

10/5/07

10:58

Página 227

74. ●● En un entrenament per a una carrera de 5.000 m un atleta ha registrat aquests temps.

PROBLEMES AMB FUNCIONS 71. ●● En un institut han mesurat la longitud de l’ombra de l’edifici principal cada hora, al llarg d’un dia d’hivern (a partir de les 18.00 hores era de nit) i han obtingut aquesta taula: Hora

8

Longitud

23 18 14 10

9

Temps (s)

0

10

20

30

40

50

…

Espai (m)

0

65

130

195

260

325

…

10 11 12 13 14 15 16 17 4

2

6

10 16 21

a) Fes la representació gràfica. b) És una funció contínua o discontínua? c) Estudia les característiques de la funció.

75. ●●● Quina gràfica correspon a l’acció d’omplir cada recipient?

Altura

Altura

73. ●● En una gràfica es mostra la superfície d’edificació d’habitatges (en milions de m2) concedida en cada mes de l’any.

2

Volum

3

Volum

4 Altura

1

a) Representa la funció Temps–Distància a la ciutat A. b) Fes un estudi complet de la funció.

Volum

Volum

INVESTIGA

Y 13

76. ●●● Si una funció és contínua:

12 11 10 9

X G F M A M J

a) b) c) d)

a) Representa les dades en una gràfica. b) Si continua amb la mateixa velocitat, quant temps tardarà a recórrer 5.000 m? c) Escriu l’expressió algebraica que relaciona l’espai recorregut amb el temps que hi ha dedicat.

Altura

72. ●● Un tren fa el trajecte entre dues ciutats, A i B. Surt a les 07.00 hores i es dirigeix a B a velocitat constant. Hi arriba en 40 minuts. Després, s’atura durant 20 minuts i surt de B cap a A. Hi arriba en 50 minuts. S’atura 10 minuts i, a l’hora en punt, torna a sortir en direcció a B.

J A S O N D

Analitza’n la continuïtat. En quins punts talla els eixos? Estudia’n el creixement. Assenyala’n màxims i mínims i indica si són absoluts o relatius. e) Quins mesos es van superar els 12 milions de metres quadrats? Entre quins dos mesos es va registrar el creixement més important?

a) Quants màxims, com a mínim, haurà de tenir la funció si talla exactament 4 vegades l’eix X? b) Y no és constant en cap interval. Quin és el nombre més gran de vegades que pot tallar l’eix X si té 3 mínims? 77. ●●● Una funció parella pot valer −7 a x = 0? I una funció imparella? 78. ●●● D’una funció, en sabem que tots els elements del seu conjunt Imatge són positius i, a més: f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)  2   Si f   = 4 , quant val f(5)? I f(0)? 3

227

831084 _ 0211-0228.qxd

13/4/07

19:17

Página 228

A la vida quotidiana 79. ●●● La Marta va decidir invertir els estalvis l’any 2002. Va haver d’escollir entre dos productes financers: un dipòsit a termini fix o un fons d’inversió.

SIT

DIPÒ INI FIX RM A TE DA: DURANYS A 5 LITAT: IBI REND15 % 3%

80. ●●● L’Institut General de Mitjans de Comunicació (IGMC) ha fet públiques les dades recollides en la seva última enquesta feta als oients. En aquesta gràfica apareix el nombre d’oients (en milions) de les dues emissores de ràdio amb més audiència del país.

AL ANU

D’INVERSIÓ

PARTICIPACIÓ: 15,80 € ALTA

RENDIBILIT AT

El dipòsit a termini fix tenia una durada de 5 anys. Un cop passat aquest temps, el banc li havia de tornar el capital ingressat més el 15 % d’interessos. Si retirava els diners abans, el banc li oferia un interès del 3 % cada any. D’altra banda, el fons d’inversió no tenia una rendibilitat fixa, i l’interès podia variar en funció dels índexs borsaris. Finalment, la Marta es va decidir pel fons d’inversió i en va comprar 1.519 participacions. Ahir va rebre la informació sobre la rendibilitat del seu fons en els últims 5 anys. Hi apareixia aquesta gràfica.

Preu per participació (€)

22 21 20 19 18 17 16 15 99

00

01

02

03

04

05

06

Any

En vista de la gràfica, hauria estat millor haver invertit en el dipòsit a termini fix? En quins moments, des de l’any 2002, el dipòsit a termini fix li hauria ofert més rendibilitat?

228

Nre. d’oients (milions)

FONS

3 Ràdio-Ràdio

2

1 Emissora-Ràdio 4

8

12

16

20

24 Hores

Aquestes són les programacions diàries de les dues cadenes.

RÀDIO – RÀDIO 0–4h 4–7h

Cultural Música

rmatius 7 – 10 h Info evistes 10 – 14 h Entr rmatius 14 – 15 h Info rts 15 – 16 h Espo or 16 – 20 h Hum rmatius 20 – 22 h Info rts 22 – 24 h Espo

EMISSORA – RÀDIO 0 – 4 h Entrevi stes 4 – 7 h Humor 7 – 10 h Music al 10 – 12 h Inform atius 12 – 14 h Esports 14 – 16 h Cultu ral 16 – 19 h Esports 19 – 20 h Inform atius 20 – 22 h Music al 22 – 24 h Cine

Quines conclusions extreus de l’estudi de la gràfica i de les programacions? Com modificaries la programació de les cadenes per augmentar-ne l’audiència?

831084 _ 0229-0246.qxd

13/4/07

19:24

12 PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Diferenciar funcions afins, lineals i de proporcionalitat inversa. • Representar gràficament funcions afins i lineals, i determinar-ne el pendent i l’ordenada a l’origen. • Relacionar el signe del pendent i el creixement d’una recta. • Obtenir l’equació de la recta que passa per dos punts. • Determinar si dues rectes són paral·leles o secants. • Representar gràficament funcions de proporcionalitat inversa. • Reconèixer i estudiar funcions lineals a la vida quotidiana.

Página 229

Funcions de proporcionalitat El càlcul té dos pares Quan va sentir que s’obria la porta, Leibniz va aixecar la vista del paper on escrivia i, sense ni saludar a qui havia entrat, es va començar a queixar, molt alterat: –Tothom sap que la trajectòria de la meva vida és impecable. Com és possible que dubtin de mi? He donat proves d’honestedat i talent suficients per a això i encara per a més. La respiració agitada de Leibniz va fer que el seu interlocutor, Bernoulli, el calmés assegurant-li que ningú, enlloc del món, tret d’Anglaterra, dubtava d’ell. –Jo no coneixia la feina del mestre Newton, fins i tot li vaig escriure per explicar-li els meus progressos. Però no he plagiat la feina de ningú –va assegurar Leibniz. –He vingut a comunicar-te una bona notícia: la comissió ha acabat les investigacions i la seva conclusió és que totes dues teories han estat desenvolupades de manera independent. A més, segons la meva opinió el teu sistema és molt millor, sobretot per la notació que fas servir. La teoria desenvolupada per Leibniz i per Newton és de capital importància per a l’estudi de moltes propietats relatives a les funcions. Leibniz va ser el primer de fer servir el terme funció per designar la relació entre dues magnituds. Sabries escriure la funció que relaciona cada nombre amb el seu doble menys tres unitats?

831084 _ 0229-0246.qxd

13/4/07

19:24

Página 230

Funció lineal

1

Una funció lineal (o de proporcionalitat directa) la podem expressar de la forma y = m ⋅ x, en què m és un nombre. • La seva gràfica és una línia recta que passa per l’origen, (0, 0). • El nombre m l’anomenem pendent. • La funció és creixent si m > 0 i decreixent si m < 0. EXEMPLE Representa gràficament aquestes funcions lineals: a) y = 2x 1

2

3

y

0

2

4

6 y=

y

−3x

b) y = −x x

y=

0

3x

Y

x

0

1

2

3

0

−1

−2

−3

y=

5

−

x

c) y = 3x

−4 −2

x

0

1

2

3

y

0

3

6

9

2x

1

y=

La recta és més inclinada com més gran és el valor absolut del pendent.

2

4

−5

d) y = −3x x

0

1

2

3

y

0

−3

−6

−9

L’equació d’aquestes funcions és de la forma y = mx, en què els pendents són m = 2, m = −1, m = 3 i m = −3, respectivament. Totes les gràfiques són rectes que passen pel punt (0, 0).

EXERCICIS PRACTICA

1

Indica si les funcions són lineals i, si ho són, determina’n el pendent i el creixement o decreixement. a) y = 3x − 4 b) y = 5x 3 c) y = x 4

2

230

APLICA

1 d) y = x + 2 3 4 e) y = x f) y = x

2

Posa dos exemples de funció lineal creixent i dos més de decreixent.

3

Troba una taula de valors i representa les funcions lineals següents: a) y = 0,5x b) y = −2x

c) y = 4x d) y = x

e) y = −0,5x f) y = 10x

REFLEXIONA

4

Una funció de proporcionalitat directa passa pel punt P(−5, 10). a) Calcula’n el pendent. b) Determina’n l’expressió algebraica. c) Com és la funció, creixent o decreixent?

X

831084 _ 0229-0246.qxd

13/4/07

19:24

Página 231

Funció afí

2

Una funció afí és de la forma y = m ⋅ x + n, en què m i n són nombres. • La seva gràfica és una línia recta. • El nombre m és el pendent. • El nombre n és l’ordenada a l’origen. La recta talla l’eix Y en el punt (0, n). EXEMPLE Representa gràficament aquestes funcions afins:

2

a) y = x + 1

b) y = −2x − 3

x

0

1

2

3

x

−0

1

2

3

y

1

2

3

4

y

−3

−5

−7

−9

Y y = −2x − 3 4 y=x+1

2

−4

−2

2

4

Una funció lineal és una funció afí amb n = 0.

X

−2

y = x + 1 ⎯⎯ → Pendent: m = 1, ordenada a l’origen: n = 1. La recta talla l’eix Y en el punt (0, 1). y = −2x − 3 → Pendent: m = −2, ordenada a l’origen: n = −3. La recta talla l’eix Y en el punt (0, −3).

EXERCICIS PRACTICA

5

7

Indica si aquestes funcions són afins i determina’n el pendent i l’ordenada. a) y = 3x − 4 −2 x+3 b) y = 5

c) y = x2 − 5 2 d) y = + 1 x

APLICA

6

Representa la funció afí y = 2x + n per a n = 1, n = 2, n = −1 i n = 0. Com són les rectes que has dibuixat?

Troba una taula de valors i representa aquestes funcions afins: a) y = 2x + 3

d) y = x + 3

b) y = −x + 4

e) y = 5x − 5

c) y = −3x + 1

f) y = 0,5x + 3

REFLEXIONA

8

Una recta que passa per tres quadrants és una funció lineal o afí? Raona la resposta.

231

831084 _ 0229-0246.qxd

13/4/07

19:24

Página 232

Equacions i gràfiques

3

3.1 De l’equació a la gràfica Per representar gràficament aquest tipus de funcions en determinem dos dels punts i tracem la recta que hi passa. EXEMPLE 3

Representa aquestes funcions: a) y = 2x + 1

Les funcions lineals passen pels punts (0, 0) i (1, m).

x

y

0

1

1

3

b) y = −x

Y 3

1

y = 2x + 1

x

y

0

0

1

−1

1 y= −x

−1

X

X

1

Les funcions afins passen pels punts (0, n) i (1, m + n).

Y

3.2 De la gràfica a l’equació Quan la gràfica d’una equació és recta: • Si la recta passa per l’origen de coordenades, és una funció lineal, y = mx, i el seu pendent, m, és l’ordenada de x = 1. • Si no passa per l’origen, és una funció afí, y = mx + n, en què n és l’ordenada de x = 0 i m és l’ordenada de x = 1 menys n. EXEMPLE 4

Determina l’expressió algebraica d’aquestes funcions: a) Passa per (0, 0) ⎯⎯ → y = mx Passa per (1, −2) ⎯→ m = −2 La funció és y = −2x.

Y a)

b)

1

X

b) No passa per (0, 0) → y = mx + n Passa per (0, 1) ⎯⎯ → n=1

n=1

Passa per (1, 2) ⎯⎯ → m + n = 2 ⎯⎯→ m = 1 La funció és y = x + 1.

−2

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

9 Determina dos punts pels quals passin

10 Estudia la recta que passa per (0, 2) i (1, 2).

les funcions següents i representa-les. a) b) c) d)

232

y = −3x y = −6x + 7 y = −2x + 4 y = −4x

e) f) g) h)

y = 4x − 2 y = −x + 3 y = −0,4x y=x−2

REFLEXIONA

11 Representa, en uns mateixos eixos,

les funcions i explica’n les diferències. a) y = 2x

b) y = 2x − 3

c) y = 2x + 1

831084 _ 0229-0246.qxd

13/4/07

19:24

Página 233

Equació de la recta que passa per dos punts

4

Per trobar l’equació de la recta y = mx + n, que passa per dos punts de coordenades A(a1, a2) i B(b1, b2): b2 − a 2 1r Trobem el valor del pendent: m = . b1 − a1 2n Calculem l’ordenada a l’origen substituint el valor de m a l’equació de la recta i aïllant-lo. EXEMPLE 5

Y

Determina la recta que passa pels punts A(1, 5) i B(−1, 1).

5

L’equació de la recta serà de la forma y = mx + n.

A 3

B

1r Calculem el valor de m: 1− 5 −4 m= = =2 −1 − 1 −2

−3

1

−1

1

3

X

−3

2n Sabem que els punts A i B pertanyen a la mateixa recta i n’han de verificar l’equació.

−5

L’equació d’una recta és sempre de la forma y = mx + n.

Si substituïm les coordenades de qualsevol dels punts i el valor de m a l’equació y = mx + n, obtenim el valor de l’ordenada n. La recta passa per A(1, 5): x = 1, y = 5

m=2

y = mx + n ⎯⎯⎯⎯→ 5 = m ⋅ 1 + n ⎯⎯→ 5 = 2 ⋅ 1 + n → n = 5 − 2 = 3 L’equació de la recta és y = 2x + 3.

Per calcular el valor de n podem fer servir el punt A: n = a2 − a1 ⋅ m, o el punt B: n = b2 − b1 ⋅ m. EXERCICIS PRACTICA

APLICA

12 Troba l’equació de la recta que passa pels

14 Troba l’equació

punts següents: a) b) c) d) e)

A(1, 6) i B(3, 9) A(−1, 0) i B(0, 4) A(−3, 6) i B(2, −4) A(2, 4) i B(3, 1) A(−1, −2) i B(2, 5)

13 Comprova si les rectes anteriors passen

pel punt de coordenades (1, 1). N’hi ha cap que correspongui a una funció afí?

de la recta d’aquesta gràfica:

Y

A

1 1 B

3 4

X

−2

REFLEXIONA

15 Calcula l’equació de la recta que té

el mateix pendent que la recta que passa pels punts A(3, 5) i B(−1, 4) i que passa, a la vegada, per C(5, 0).

233

831084 _ 0229-0246.qxd

13/4/07

19:24

Página 234

5

Rectes secants i paral·leles

Rectes secants • Dues rectes són secants quan es tallen en un punt. • Els seus pendents són diferents. Rectes paral·leles • Dues rectes són paral·leles quan no es tallen. • Els pendents de les rectes paral·leles coincideixen i les ordenades a l’origen són diferents. Per trobar el punt de tall de dues rectes, podem representar-les i determinar-ho gràficament, o bé podem resoldre el sistema format per les seves equacions. EXEMPLE 6

Y

y = −x + 3

2

−4

Hem d’esbrinar si les rectes són secants o paral·leles, i si són secants obtenir-ne el punt de tall. y = 2x ⎯⎯⎯ → m = −2 ⎪⎫ ⎬ → 2 ⫽ −1. Les rectes són secants. y = −x + 3 → m = −1 ⎪⎪⎭

y = 2x

4

P(1, 2)

−2

1

3

Determina la posició relativa de les rectes y = 2x i y = −x + 3.

X

Ara hem de trobar el punt de tall de les dues rectes; per fer-ho, resoldrem el sistema que formen les seves dues equacions.

−2

⎫⎪ y = 2x 3 ⎬ y = 2x y = −x + 3 ⎪⎪⎭ ⎯⎯→ 2x = −x + 3 → 2x + x = 3 → x = = 1 3 x=1 y = 2x ⎯⎯→ y = 2 ⋅ 1 = 2

−4

Les rectes es tallen en el punt P(1, 2).

Les equacions de dues rectes formen un sistema. Si quan el resolem el sistema té una única solució, les rectes són secants; si no té solució, són paral·leles, i si té infinites solucions, les rectes són coincidents.

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

16 Determina la posició relativa d’aquests parells

18 Calcula les coordenades dels vèrtexs

de rectes: a) y = x + 2 y = −x + 2 b) y = 6x y = 6x − 5

d’un triangle que té els costats a les rectes: c) y = 2x + 3 y = 2x − 11 d) y = x − 9 y = −x + 9

17 Troba el punt de tall de les rectes.

a) y = x + 8 y = 2x

234

b) y = 3x + 1 y = 6x + 2

r: y = −x + 5

s: y = x + 7

t: y = 2x − 9

REFLEXIONA

19 Escriu tres rectes secants i tres de paral·leles

a les rectes següents: a) y = −x + 4 b) y = 3x − 7

c) y = −6x − 1 d) y = 4

831084 _ 0229-0246.qxd

13/4/07

19:24

Página 235

5.1 Rectes paral·leles a l’eix d’abscisses Les rectes paral·leles a l’eix X les anomenem funcions constants perquè la variable dependent pren sempre el mateix valor. La seva expressió és de la forma y = n i tallen l’eix Y en el punt (0, n). Aquestes funcions constants són un cas particular de les funcions afins, quan m = 0. El valor de la variable y és el mateix per a qualsevol valor de la variable x. EXEMPLE 7

Representa la funció y = 3. És una funció constant, de tipus y = n, en què n = 3. La seva gràfica és una recta paral·lela a l’eix X que passa per (0, 3). Quan fem la taula de valors, el valor de la variable dependent, y, és sempre constant i igual a 3. x

1

2

3

4

5

y

3

3

3

3

3

Y

4

y=3

2

−4

−2

1

3

X

−2 −4

Si representem els punts de la taula, obtenim la gràfica de la funció, que és una recta paral·lela a l’eix X.

Les rectes paral·leles a l’eix Y no són funcions.

5.2 Rectes paral·leles a l’eix d’ordenades Y

Les rectes paral·leles a l’eix Y tenen com a equació x = k, en què k és un nombre. No són funcions, ja que associen a un valor de x múltiples valors de y.

X

x=k

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

20 Representa les rectes següents:

22 Determina la posició relativa de les rectes

a) y = −7 b) y = 0 c) y = 1

d) y = 2 e) y = −2 f) y = 3

21 Representa gràficament aquestes rectes:

a) x = −3 b) x = 0

c) x = 4 d) x = −2

y = 3, x = −2. Calcula’n el punt de tall en el cas que siguin secants. REFLEXIONA

23 Troba l’equació de la recta:

a) Paral·lela a l’eix X i que passa per P(1, 3). b) Paral·lela a l’eix Y i que passa per P(−1, 4).

235

831084 _ 0229-0246.qxd

10/5/07

11:03

Página 236

Funcions de proporcionalitat inversa

6

Diem que una funció és de proporcionalitat inversa quan la relació numèrica entre les seves variables és de proporcionalitat inversa. L’exk pressió algebraica és y = , en què k és un nombre. x • La gràfica és una corba simètrica respecte de l’origen de coordenades que s’anomena hipèrbola. • El nombre k és la constant de proporcionalitat. • La funció és decreixent si k > 0 i creixent si k < 0. Una funció de proporcionalitat inversa també es pot expressar de la manera següent: x ⋅ y = k. EXEMPLE Fes la taula de valors i la representació gràfica de la funció: y =

8

1 x

• Trobem els valors següents: …

y

…

Y

Y

4

4

2

2 −4

−2 2

−3

−2

−1

−1/3 −1/2

−1

b) Representació gràfica.

a) Funció de punts.

−4

x

4

−1/2 −1/3 −2

−3

…

1/3

1/2

1

2

3

…

…

3

2

1

1/2

1/3

…

• Representem els punts i els unim. La gràfica té forma d’hipèrbola i és simètrica respecte de l’origen. Observem que, a mesura que la x va prenent valors positius cada vegada més grans, el valor de y és cada vegada més petit.

−2

X

2

−2

−2

−4

−4

4

X

Amb els valors negatius, observem que, com més petit és el valor de x, més gran és el valor de y. La funció

1 és decreixent. x

EXERCICIS Y

PRACTICA

REFLEXIONA

24 Representa aquestes funcions:

26 Completa la gràfica

a) y = −1/x b) y = 2/x

i estudia’n les propietats.

1 X

⫺1

APLICA

25 Construeix una taula de valors i representa

les funcions següents: a) x ⋅ y = 8 b) x ⋅ y − 5 = 0

236

27 Indica quines de les funcions següents són

de proporcionalitat directa, inversa o no corresponen a cap d’elles: a) y = 3x − 5

b) y = x ⋅ x

c) y =

5 x

831084 _ 0229-0246.qxd

10/5/07

11:03

Página 237

k Altres característiques d’una funció de proporcionalitat inversa y = són x les següents: • Si k és positiu, la gràfica se situa en els quadrants primer i tercer. • Si k és negatiu, està en els quadrants segon i quart. • Si |k| > 1, la paràbola s’allunya de l’origen, i si |k| < 1, s’hi acosta. k i k >0 x Y

y =

y =

k i k 0

Pendent

Pendent

X y = mx m 0,24 → La dispersió és més gran en els pesos dels nadons que en els de les mares, encara que pugui semblar el contrari si n’observem les desviacions típiques: 1 < 15. CVnadons =

52. ●●● Aquestes són les dades d’una enquesta sobre el nombre de ràdios a les llars catalanes: 0

1

2

3

4

432

8.343

6.242

1.002

562

a) Quantes ràdios tenen la quarta part de les llars? b) I el 75%? I el 85%? c) Quin significat té la mediana?

COM COMPAREM LA DISPERSIÓ DE DUES VARIABLES ESTADÍSTIQUES?

PRIMER. Calculem els coeficients de variació.

51. ●●● Considera el conjunt de dades següent: 23 17 19 x y 16 Si saps que la mitjana és 20 i la moda és 23, quins són els valors x i y?

Nre. de llars

Troba’n les mesures estadístiques.

FES-HO AIXÍ

a) Si cada valor de la taula el multipliquem per 3, quina serà la mitjana? I la mediana? I la moda? b) Si a tots els valors de la variable els restem o els dividim entre un mateix nombre, quina serà la nova mitjana? c) Calcula gràficament els paràmetres de posició.

Nre. de ràdios

20 7 10 13 4 7 8 11 16 14 8 10 16 18 12 3 6 9 9 4 13 5 10 17 10 18 5 7 10 20

56. ●● Les notes de l’Albert en 5 exàmens són 4, 6, 6, 7 i 5, i les de l’Anna són 43, 62, 60, 50 i 55. Quin dels dos és més regular en el rendiment acadèmic?

263

831084 _ 0247-0266.qxd

10/5/07

11:05

Página 264

57. ●● Troba la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica de les dades següents. Pes (kg)

Nre. d’alumnes

[41, 47)

5

[47, 53)

6

[53, 59)

1

[59, 65)

4

[65, 71)

4

60. ●● A partir d’aquests gràfics, determina’n la taula de freqüències i troba la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica de les dades. a)

7 6 5 4 3 2 1

Y

X 1

58. ●● Les notes que han tret 40 alumnes en música han estat: 6 4 1 7 3 5 3 7 8 4

6 6 2 5 2 6 0 5 8 7

4 9 5 10 8 6 9 7 2 5

2 6 10 5 7 6 8 7 3 6

b)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y 10 8 6 4

Aula de música

2

X 10

11

12

13

14

15

FES-HO AIXÍ COM INTERPRETEM LA MITJANA I LA DESVIACIÓ TÍPICA CONJUNTAMENT? Calcula la mitjana i la desviació típica de les dades tenint en compte primer la variable com a discreta i, després, agrupant les dades en els intervals [0, 5), [5, 7), [7, 9), [9, 10]. Quines diferències hi veus?

61. Un equip de bàsquet necessita un aler. S’han seleccionat dos jugadors que, en últims cinc partits, han anotat els punts següents. Quin d’ells triaries?

Els preus del lloguer mensual de 59. ●● l’habitatge es recullen a la taula següent. Preu (€)

Nre. d’habitatges

240

13

270

33

300

40

330

35

360

30

390

16

420

20

a) Quina és la mitjana dels lloguers? b) Digues quin és el preu més habitual. c) Troba la mediana. Què significa? d) Calcula la variància i la desviació típica. Per a què serveixen aquests nombres?

264

Jugador A

16

14

13

13

14

Jugador B

25

10

8

6

21

PRIMER. Calculem la mitjana i la desviació típica.

x A = 14   Jugador A σ A = 1,09

xB = 14   Jugador B σ B = 7,56

Analitzem els resultats anteriors. Com que les mitjanes són iguals, si l’entrenador vol un jugador regular triarà el jugador A (desviació típica baixa significa dades semblants); tot i això, si vol un jugador que pugui actuar de revulsiu, triarà el B, ja que alterna partits molt bons amb altres de pitjors (desviació típica elevada indica dades molt diferents). SEGON.

62. ●●● Compara el rendiment de dos alumnes que fan 5 proves i obtenen els resultats següents: 2

6

5

7

5

Anna 0

1

9

8

7

Joan

831084 _ 0247-0266.qxd

10/5/07

11:05

Página 265

PROBLEMES D’ESTADÍSTICA 63. ● A la primera avaluació, dels alumnes d’una classe, el 10 % ho va aprovar tot, el 20 % va suspendre una assignatura, el 50 % en va suspendre dues, i la resta en va suspendre més de dues. Fes una taula de freqüències amb les dades. Hi ha algun tipus de freqüència que respongui a la pregunta de quants alumnes van suspendre menys de dues assignatures? Raona la resposta. 64. ●● Un corredor s’entrena de dilluns a divendres recorrent les distàncies següents: 2, 5, 5, 7 i 3 km, respectivament. Si el dissabte també s’entrena:

a) Quants quilòmetres ha de recórrer perquè la mitjana sigui la mateixa? b) I perquè la mediana no variï? c) I perquè la moda romangui constant? Els resultats d’una prova de càlcul 65. ●● mental (CM) i una de psicomotricitat (P) que hem fet als 28 alumnes d’una classe són els següents: Puntuació

CM

P

[10, 20)

2

1

[20, 30)

8

7

[30, 40)

11

9

[40, 50)

4

5

[50, 60)

2

4

[60, 70)

1

2

a) En quina prova s’han obtingut millors resultats (mitjana més alta)? b) En quina va ser més gran la dispersió? (Fes servir el coeficient de variació.) 66. ●● Dels 50 alumnes que van respondre a una prova de 12 preguntes, el 10 % va contestar correctament a 3; el 50 %, a 7; el 30 % a 10, i la resta, al total de la prova. Calcula la mitjana, la mediana i la moda de les dades. Troba’n també la desviació típica.

67. ●●● Els diplomats en informàtica de gestió tenen un salari mitjà, en la seva primera feina, de 1.280 €, amb una desviació típica de 380 €. D’altra banda, els diplomats en informàtica de sistemes tenen un salari mitjà de 1.160 €, amb una desviació típica de 350 €. Si a un diplomat en informàtica de gestió li ofereixen un sou de 1.400 €, i a un diplomat en informàtica de sistemes, un sou de 1.340 €: a) Quins dels dos rep una oferta millor? b) Raona per què és millor una oferta que l’altra. 1.160 €

1.280 €

INVESTIGA 68. ●●● Un conjunt de dades, compost de nombres enters positius i diferents entre si, té 47 com a mitjana. Si una de les dades és 97 i la suma de totes les dades és 329, quin és el nombre més gran que pot tenir? 69. ●●● Donat el conjunt de dades: 14

12

26

16

x

calcula x perquè la mediana i la mitjana de les dades siguin iguals. 70. ●●● Si en un conjunt de cinc dades la mitjana és 10 i la mediana és 12, quin és el valor més petit que pot prendre el recorregut? 71. ●●● Quan escrivim en ordre creixent la mitjana, la mediana i la moda del conjunt de dades 10, 2, 5, 2, 4, 2, x, obtenim una progressió aritmètica. Calcula tots els valors possibles de x. 72. ●●● Després d’ordenar un conjunt de set dades, prenem les quatre primeres i la seva mitjana és 5; però si prenem les quatre últimes, la mitjana és 8. 46 Si la mitjana de tots els nombres és , 7 quina en serà la mediana?

265

831084 _ 0247-0266.qxd

10/5/07

11:05

Página 266

A la vida quotidiana 73. ●●● El Departament d’Educació està valorant el rendiment dels alumnes en matemàtiques. Per fer-ho, ha elaborat un informe en què es mostren els resultats dels alumnes de secundària en matemàtiques durant el curs passat. Un resum de l’informe es mostra mitjançant aquests gràfics:

% 35

15 %

30

25 %

25 %

25

35 %

20

74. ●●● El nombre d’espectadors d’una cadena de televisió determina el cost de la publicitat que s’hi emet. Per això se’n fan públics regularment els índexs d’audiència. La cadenes de televisió amb més índex d’audiència han presentat els seus resultats dels quatre primers mesos FREE de l’any. CANAL Aquests són Milers 400 els gràfics 350 que apareixen 300 250 en diferents 200 150 mitjans 100 de comunicació. 50 Març ebr. 0

Gen.

Abr.

F

15 10 5

INS.

BÉ

SUF.

NOT. + EXC.

INS. SUF. BÉ NOT. EXC.

Milers 290

TV MIRO

250

210

Per fer el diagrama de sectors han agrupat les notes més altes, NOTABLE i EXCEL·LENT, i s’han inclòs els percentatges d’alumnes que han obtingut cada nota. L’informe indica que el nombre d’estudiants que han tret SUFICIENT és de 28.413. En vista dels gràfics i els percentatges, calcula el nombre total d’alumnes avaluats i quants han obtingut la qualificació d’EXCEL·LENT.

Gen. Febr. Març Abr.

Totes dues cadenes han tingut un gran creixement, però els responsables de TV Miro insisteixen que el seu creixement ha estat més gran. Tal com mostren els gràfics publicats en els diferents mitjans de comunicació, hem experimentat un creixement superior al de Canal Free.

Quants espectadors ha guanyat cada cadena? Quina representació reflecteix millor la situació?

266

831084 _ 0267-0284.qxd

10/5/07

11:09

14 PLA DE TREBALL

En aquesta unitat aprendràs a... • Distingir entre experiment aleatori i determinista. • Calcular l’espai mostral d’un experiment aleatori. • Fer operacions amb esdeveniments. • Trobar la probabilitat d’un esdeveniment a partir de les freqüències relatives o amb la regla de Laplace. • Aplicar les propietats de les probabilitats per resoldre problemes. • Utilitzar les tècniques de les taules de contingència i dels diagrames d’arbre per resoldre problemes de probabilitat.

Página 267

Probabilitat Escac i mat! Des que va creuar el canal, perseguit per la intransigència política i religiosa de l’Europa continental, se’l podia trobar en aquell cafè: l’Slaufhter’s Coffee House era per a Abraham de Moivre com una segona llar. Era un centre de reunió d’intel·lectuals, on es podien defensar les idees sense cap més arma que la raó. Els dos personatges que acabaven d’entrar al local, Newton i Halley, amics d’Abraham de Moivre, el van buscar amb la mirada i el van trobar en una de les taules del fons, jugant a escacs. El seu contrincant, visiblement nerviós, movia la mà d’una peça a una altra sense decidir-se a moure’n cap. De seguida que ho va haver fet, Abraham va cantar triomfal: Escac i mat!, i es va aixecar per acostar-se als seus amics. –No n’aprendrà mai, encara pensa que en els escacs hi intervé l’atzar i que algun dia guanyarà. –Monsieur De Moivre –va contestar Halley–, jugueu amb l’avantatge dels vostres coneixements de probabilitat i d’aquest joc apassionant. El vostre contrincant tenia set possibles moviments, però només després de dos d’ells podíeu fer escac i mat. –Tot i això, ho ha fet i jo he guanyat –va respondre De Moivre mentre es guardava a la butxaca les monedes que havia apostat en la partida. Quina era la probabilitat de fer escac i mat? I de no fer-ne?

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 268

Experiments aleatoris. Esdeveniments

1

1.1 Experiments aleatoris Els experiments, en funció dels seus resultats, poden ser: • Aleatoris ⎯⎯⎯ → No podem predir el resultat que obtindrem quan el fem, és a dir, depèn de l’atzar. • Deterministes → En sabem amb anterioritat el resultat. EXEMPLE 1

Classifica aquests experiments en aleatoris o deterministes: a) Llançament d’una moneda → Experiment aleatori Pot sortir cara o creu, no sabem per endavant el resultat. b) Suma de dos nombres coneguts → Experiment determinista Sempre obtindrem com a resultat la mateixa suma.

Si un esdeveniment conté diversos esdeveniments elementals, l’anomenem esdeveniment compost.

1.2 Esdeveniments Cada possible resultat quan fem un experiment aleatori l’anomenem esdeveniment elemental, i el conjunt de tots els esdeveniments elementals és l’espai mostral, E. Normalment, un esdeveniment és qualsevol subconjunt de l’espai mostral. EXEMPLE 2

Determina l’espai mostral, els esdeveniments elementals i algun esdeveniment compost de l’experiment aleatori de llançar un dau de parxís. Espai mostral ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Esdeveniments elementals ⎯ → {1}, {2}, {3}, {4}, {5} i {6} Esdeveniments compostos → «Obtenir nombre parell» = {2, 4, 6} «Obtenir múltiple de 3» = {3, 6}

EXERCICIS PRACTICA

1 Classifica els experiments següents

APLICA

2 En una bossa hi ha 10 boles de 3 colors

en aleatoris o deterministes: a) b) c) d)

Extreure una carta d’una baralla. Pesar un litre de mercuri. Preguntar als teus companys un nombre. Llançar tres monedes i anotar el nombre de cares. e) Restar dos nombres coneguts.

268

diferents. Escriu un experiment aleatori i un altre de determinista. REFLEXIONA

3

Proposa dos experiments aleatoris. Determina’n els esdeveniments elementals i dos esdeveniments compostos.

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 269

1.3 Diagrama d’arbre Per determinar els esdeveniments elementals i l’espai mostral associats a un experiment aleatori, podem fer servir el diagrama d’arbre. EXEMPLE 3

La Marta té a l’armari 2 pantalons, de color blau i verd, i 3 jerseis, de color blanc, blau i verd. Si tria a l’atzar uns pantalons i un jersei, quin serà l’espai mostral? Podem triar primer els pantalons i, després, elegim entre les tres opcions de jersei. Aquest seria el diagrama d’arbre. ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ blau blanc ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ blau blau ⎯⎯ ⎯⎯→ blau verd ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ verd blanc ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ verd blau ⎯⎯ ⎯⎯→ verd verd

Cadascun dels casos de la dreta són els esdeveniments elementals i, per tant, l’espai mostral és: E = {blau blanc, blau blau, blau verd, verd blanc, verd blau, verd verd}.

1.4 Esdeveniments compatibles i incompatibles Quan dos esdeveniments poden passar simultàniament, direm que són compatibles; en cas contrari, els anomenem incompatibles.

Dos esdeveniments elementals són sempre incompatibles entre si.

EXEMPLE 4

A l’experiment aleatori de treure una carta d’una baralla, considera els esdeveniments següents: A = «Treure un as» B = «Treure copes» C = «Treure un rei» Determina si aquestes esdeveniments són compatibles o incompatibles. A i B són compatibles ⎯→ L’as de copes pertany als dos esdeveniments. A i C són incompatibles → No hi ha cap carta que sigui as i rei a la vegada. B i C són compatibles ⎯→ El rei de copes pertany a tots dos esdeveniments.

EXERCICIS PRACTICA

4 Escriu els possibles resultats que podem

APLICA

6 Determina dos esdeveniments compatibles

obtenir en l’experiment aleatori de llançar dues monedes a l’aire. 5 Llancem una moneda i un dau de sis cares.

Quin és l’espai mostral? Fes servir un diagrama d’arbre.

i dos més d’incompatibles a l’exercici anterior. REFLEXIONA

7

Hi ha cap esdeveniment incompatible amb tota la resta? I compatible?

269

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 270

2

Operacions amb esdeveniments

Les operacions més habituals per treballar amb esdeveniments són la unió i la intersecció. • La unió de dos esdeveniments A i B, A ∪ B, és un altre esdeveniment format pels esdeveniments elementals de A i B. • La intersecció de dos esdeveniments A i B, A ∩ B, és un altre esdeveniment format pels esdeveniments elementals comuns de A i B. • L’esdeveniment contrari o complementari d’un esdeveniment A, A, és el format per tots els esdeveniments elementals que no són a A. EXEMPLE Quan diem…

Escrivim

Passa A o B ⎯⎯⎯⎯→ A

B

Passen A i B ⎯⎯⎯⎯⎯ → A

B

No passa A ⎯⎯⎯⎯→ A

5

A l’experiment aleatori que consisteix a llançar un dau, expressa en forma d’unions i interseccions aquests esdeveniments: a) Obtenir nombre senar o primer. b) Obtenir nombre parell i múltiple de 3. c) No obtenir nombre parell. d) Obtenir nombre primer i divisor de 6. a) A = «Obtenir nombre senar» = {1, 3, 5} B = «Obtenir nombre primer» = {2, 3, 5} A ∪ B = «Obtenir nombre senar o primer» = {1, 2, 3, 5} b) C = «Obtenir nombre parell» = {2, 4, 6} D = «Obtenir múltiple de 3» = {3, 6} C ∩ D = «Obtenir nombre parell i múltiple de 3» = {6} c) F = «Obtenir nombre parell» = {2, 4, 6} F = «No obtenir nombre parell» = {1, 3, 5} d) G = «Obtenir nombre primer» = {2, 3, 5} H = «Obtenir divisor de 6» = {1, 2, 3, 6} G ∩ H = «Obtenir nombre primer i divisor de 6» = {2, 3}

EXERCICIS PRACTICA

8

Donats els esdeveniments següents: A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} calcula’n la unió i la intersecció.

9 Traiem una carta de la baralla espanyola.

Expressa en forma d’unions i interseccions els esdeveniments següents: a) «Que surti un nombre més petit que 5 i més gran que 2.» b) «Que surti una figura i sigui bastons.» c) «Que no surti un as.»

270

APLICA

10 Extraiem una carta de la baralla. Troba la unió i la

intersecció dels parells d’esdeveniments següents: a) A = «Treure oros» i B = «Treure copes» b) C = «Treure as» i D = «No treure as» c) F = «Treure bastons» i G = «Treure as» REFLEXIONA

11 Pot coincidir la unió de dos esdeveniments

amb un d’ells? Si és així, pot coincidir amb la intersecció?

831084 _ 0267-0284.qxd

10/5/07

11:09

Página 271

Propietats de les operacions amb esdeveniments • La unió d’un esdeveniment i el seu complementari és el total i la seva intersecció és el buit. A ∩A = ∅ A ∪A = E • El complementari del complementari d’un esdeveniment coincideix amb l’esdeveniment de partida. A=A

HO ESCRIUREM AIXÍ E → Espai mostral ∅ → Conjunt buit (no hi ha cap element)

• El complementari de la unió d’esdeveniments és la intersecció dels complementaris. A∪B = A ∩B • El complementari de la intersecció de dos esdeveniments és la unió dels seus complementaris. A∩B = A ∪B EXEMPLE 6

En el llançament d’un dau de parxís considerem els esdeveniments següents: A = «Treure nombre parell» B = «Treure divisor de 6» Calcula els esdeveniments següents. a) A i B

c) B ∩ B

e) A ∪ B

b) A ∪ A

d) A

f) A ∩ B

a) A = {2, 4, 6} → A = {1, 3, 5}

• Qualsevol esdeveniment compost el podem expressar com la unió dels seus esdeveniments elementals. • Dos esdeveniments A i B són incompatibles quan A B = Ø.

B = {1, 2, 3, 6} → B = {4, 5}

b) A ∪ A = {2, 4, 6} ∪ {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E c) B ∩ B = {1, 2, 3, 6} ∩ {4, 5} = ∅ d) A = {1, 3, 5} = {2, 4, 6} = A e) A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {1, 2, 3, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} = {5} = A ∩ B f) A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {1, 2, 3, 6} = {2, 6} = {1, 3, 4, 5} = A ∪ B

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

12 Quan llancem un dau de 8 cares considerem

13 Considera l’experiment de llançar una moneda.

els esdeveniments següents. A = {2, 4, 5, 8} i B = {1, 2, 3, 7} Calcula: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A ∩ B

d) A ∪ B e) A ∪ B f) A ∩ B

Què observes en els resultats c) i d)? I en els resultats e) i f)?

Calcula l’espai mostral i tots els esdeveniments que puguis classificant-los en elementals i compostos. Troba el complementari de cada esdeveniment. REFLEXIONA

14 Si un esdeveniment A està contingut

en un altre, B, què passa amb els seus complementaris?

271

831084 _ 0267-0284.qxd

10/5/07

11:09

Página 272

3

Probabilitat d’un esdeveniment

La probabilitat d’un esdeveniment és un nombre entre 0 i 1 que indica la possibilitat que aquest esdeveniment succeeixi. Com més gran és la probabilitat, més gran és la possibilitat que succeeixi. D’aquesta manera, si un esdeveniment succeeix sempre, la seva probabilitat és 1, i diem que és un esdeveniment segur, P(E) = 1. De la mateixa manera, si un esdeveniment no passa mai, la seva probabilitat és 0, i llavors direm que és un esdeveniment impossible, P(∅) = 0. EXEMPLE 7 La probabilitat és sempre un nombre entre 0 i 1. 0 ≤ P (A ) ≤ 1

Tenim 2 boles iguals en una bossa, una de blava i una altra de groga. Si fiquem la mà a la bossa i n’extraiem una bola, calcula la probabilitat que surti: a) b) c) d)

Una bola blava o groga. Una bola verda. Una bola blava. Una bola groga.

a) P(bola blava o groga) = 1 → És un esdeveniment segur b) P(bola verda) = 0 → És un esdeveniment impossible c) i d) Com que les dues boles són idèntiques excepte pel color, la probabilitat d’extreure’n cadascuna és igual. P(bola blava) = P(bola groga) Per tant, té sentit repartir la probabilitat total que succeeixi, 1, entre els dos esdeveniments elementals. 1 P(bola blava) = 2 1 P(bola amarilla) = 2

EXERCICIS PRACTICA

15 Llancem 2 daus i sumem els punts que surten.

Determina: a) Un esdeveniment segur. b) Un esdeveniment impossible. Quina serà la probabilitat d’aquests dos esdeveniments? 16 En una urna hi ha 5 boles blanques i 4 boles

vermelles. Escriu: a) Un esdeveniment impossible. b) Un esdeveniment segur.

272

APLICA

17 A l’experiment de llançar una moneda:

a) Calcula l’espai mostral. b) Digues un esdeveniment segur i un d’impossible. c) Quina probabilitat li assignaries al esdeveniment «Sortir cara»? Raona la resposta. REFLEXIONA

18 A què és igual la unió d’un esdeveniment segur

i un d’impossible? I la intersecció? Calcula les seves probabilitats.

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 273

Regla de Laplace

4

Dos esdeveniments són equiprobables quan tenen la mateixa probabilitat de succeir quan fem un experiment aleatori. Quan, en fer un experiment aleatori, tots els esdeveniments elementals són equiprobables, la probabilitat que succeeixi un esdeveniment A, P(A), la podem calcular aplicant la regla de Laplace: P( A ) =

Per poder aplicar la regla de Laplace, els esdeveniments han de ser equiprobables.

Nombre de casos favorables a l’esdeveniiment A Nombre de casos possibles

EXEMPLE 8

A l’experiment aleatori de llançar un dau, calcula la probabilitat dels esdeveniments següents: a) «Treure 2.» b) «Treure nombre parell.» c) «Treure nombre més petit que 4.» L’espai mostral és: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Casos possibles = 6 Està format per 6 resultats equiprobables: la probabilitat d’obtenir cadascuna de les cares és la mateixa. Podem aplicar la regla de Laplace. a) A = «Treure 2» = {2} → Casos favorables = 1 Casos favorables 1 P(A) = = Casos possibles 6 b) B = «Treure nombre parell» = {2, 4, 6} → Casos favorables = 3 Casos favorables 3 1 P(B) = = = Casos possibles 6 2 c) C = «Treure nombre més petit que 4» = {1, 2, 3} → Casos favorables = 3 Casos favorables 3 1 P(C) = = = Casos possibles 6 2

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

19 Quan llancem un dau, calcula la probabilitat

20 Extraiem una carta d’una baralla espanyola.

d’obtenir: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Múltiple de 5. Divisor de 2. Nombre primer. Nombre 3. Divisor de 6. Parell i divisor de 4. Múltiple de 7. Més petit que 10. Nombre senar.

Quina és la probabilitat de treure un cavall? I una figura? I oros? I una sota que no sigui de copes? 21 En una capsa hi ha 5 boles grogues i 7

de vermelles. Quina és la probabilitat de treure una bola groga? I una de vermella? REFLEXIONA

22 Pensa en un experiment els esdeveniments

del qual siguin equiprobables, però en què sigui impossible aplicar la regla de Laplace.

273

831084 _ 0267-0284.qxd

10/5/07

11:09

Página 274

Freqüència i probabilitat

5

La llei dels grans nombres afirma que a mesura que augmentem el nombre de vegades que fem un experiment aleatori, la freqüència relativa d’un esdeveniment s’aproxima a la seva probabilitat. Aquest és el concepte estadístic de la probabilitat i ens proporciona una eina molt útil per calcular probabilitats en un experiment en què els esdeveniments no són equiprobables. EXEMPLE 9

Com en la probabilitat, la freqüència relativa és un nombre comprès entre 0 i 1.

Tenim en un sac 50 kg de mongeta seca i cigrons. Troba la probabilitat que, quan treguis un llegum del sac, sigui un cigró. No podem aplicar la regla de Laplace, perquè desconeixem el nombre total de mongetes i cigrons del sac ni quants llegums n’hi ha de cada classe. Extraiem llegums, d’un en un, i els tornem una altra vegada al sac. Apuntem les freqüències que van sortint de mongeta seca i cigró. Després de repetir-ho moltes vegades, les freqüències relatives dels dos esdeveniments estaran a prop del valor de la seva probabilitat. Nre. de llegums extrets

Nre. de mongetes seques (fi)

Freqüència relativa (hi)

10

3

0,3

100

37

0,37

1.000

402

0,402

La freqüència relativa que surti una mongeta seca s’acosta a 0,4. Prendrem aquest valor com la seva probabilitat. Així doncs: P(cigró) = 1 − 0,4 = 0,6

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

23 S’ha llançat una moneda 85 vegades i s’han

25 En una bossa hi ha boles numerades de l’1 al 5.

obtingut 43 cares. Quina és la freqüència relativa de l’esdeveniment «Surt creu»?

N’extraiem 5.000 vegades una bola, anotem el resultat i la tornem a la bossa. Aquests han estat els resultats.

43 85 b) 42

42 85 d) 0,42

a)

c)

24 Es llança un dau de 4 cares i s’anoten

fi

20

40

60

80

100

7

11

15

18

27

a) Fes la taula de freqüències relatives. b) Cap a quin valor tendeix? c) Quina probabilitat hi assignaries?

274

1

2

3

4

5

fi

1.200

800

700

1.300

1.000

Calcula la probabilitat d’obtenir múltiple de 2.

les vegades que no surt la cara 1. Llançaments

Bola

Si a la bossa hi ha 100 boles, quantes són de cada classe? Justifica la resposta. REFLEXIONA

26 Una màquina fabrica cargols. Com ho faries

per calcular la probabilitat que, si escollim un cargol a l’atzar, sigui defectuós?

831084 _ 0267-0284.qxd

6

13/4/07

19:37

Página 275

Propietats de la probabilitat

1a Per a qualsevol esdeveniment A es compleix que 0 ≤ P(A) ≤ 1. 2a La probabilitat de l’esdeveniment segur és 1 i la probabilitat de l’esdeveniment impossible és 0. P(E) = 1 P(∅) = 0 3a Si dos esdeveniments són incompatibles, la probabilitat de la seva unió és: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 4a Si dos esdeveniments són compatibles, la probabilitat de la seva unió és: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 5a Si A i A són esdeveniments contraris: P(A) = 1 − P(A) EXEMPLE 10 Llancem un dau i observem la puntuació que surt. Calcula les probabilitats dels esdeveniments següents: a) «Obtenir 3 o 4»

La suma de les probabilitats de tots els esdeveniments elementals és 1.

b) «No obtenir ni 3 ni 4»

c) «Obtenir parell o més petit que 3» Com que els esdeveniments són equiprobables, podem aplicar la regla de Laplace. 1 1 B = «Obtenir 4» → P(B) = a) A = «Obtenir 3» → P(A) = 6 6 A i B són incompatibles (si surt 3 no pot sortir 4). P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =

1 1 + = 0,33 6 6

b) A ∪ B = «Obtenir 3 o 4» → A ∪ B = «No obtenir ni 3 ni 4» P(A ∪ B) = 0,33 → P(A ∪ B) = 1 − 0,33 = 0,67 3 2 D = «Més petit que 3» → P(D) = 6 6 1 C i D són compatibles (2 és parell i més petit que 3) → P(C ∩ D) = 6 3 2 1 P(C ∪ D) = P(C) + P(D) − P(C ∩ D) = + − = 0,67 6 6 6

c) C = «Nombre parell» → P(C) =

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

27 Es llancen 2 daus i se sumen els punts. Troba la

29 Una urna té 4 boles blanques, 2 de vermelles

probabilitat que la suma sigui: a) 3 c) 7 b) Més gran que 10. d) 4 o 5 28 Extraiem una carta d’una baralla espanyola.

Troba la probabilitat que sigui: a) Espases. c) Sota o oros. b) Espases i rei. d) Diferent d’una figura.

i 5 de negres. Calcula la probabilitat de treure una bola: a) Blanca. b) Vermella. c) Blanca o negra. REFLEXIONA

30 Si en un experiment aleatori P(B) = 0,2

i, a més, P(A ∪ B) = P(A), A i B són incompatibles? I complementaris?

275

831084 _ 0267-0284.qxd

10/5/07

11:09

Página 276

Experiments aleatoris compostos

7

Els experiments aleatoris compostos són el resultat de fer, un darrere l’altre, una sèrie d’experiments aleatoris simples. Els esdeveniments associats a aquests tipus d’experiments reben el nom d’esdeveniments compostos. Per fer el càlcul de probabilitats en experiments compostos, podem utilitzar les taules de contingència o els diagrames d’arbre. EXEMPLE 11 En el grup de 30 alumnes de 3r d’ESO hi ha 17 nois, dels quals 8 són rossos. De les noies, 7 no són rosses. Si escollim un alumne a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui una noia? I que sigui rossa? Podem representar les dades del problema en una taula de contingència, amb la qual podrem calcular les probabilitats dels diferents esdeveniments. Taula de contingència Nois Rossos/es

Noies

Total

8

No Rossos/es

7

Total

17

Nois

Noies

Total

8 30 9 30

6 30 7 30

8 6 + 30 30 9 7 + 30 30

8 9 + 30 30

6 7 + 30 30

1

No Rossos/es Total

Noies

Total

Rossos/es

8

6

14

No Rossos/es

9

7

16

Total

17

13

30

30

Taula de contingència de probabilitats

Rossos/es

Nois

Per completar la taula hem calculat les dades que faltaven: • Nois no rossos = 17 − 8 = 9 • Total Rossos/es = 8 + 6 = 14 • Noies = 30 − 17 = 13 • Total No rossos/es = 9 + 7 = 16 • Noies rosses: 13 − 7 = 6 A partir de la taula de contingència podem calcular les probabilitats corresponents als esdeveniments 13 6 i P(noia rossa) = 30 30 També podíem haver fet la taula de contingència de probabilitats. P(noia) =

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

31 El resultat d’una enquesta política a peu

32 Completa la taula de contingència:

de carrer durant una hora, ha estat el següent:

A B

Homes Dreta

Total

8

Esquerra Total

Dones

A

Total

0,15

B

0,24

Total

0,37

7 17

30

REFLEXIONA

33 Per què la suma dels totals en la taula

Quina és la probabilitat que si escollim una dona, hagi votat a l’esquerra?

276

de contingència de probabilitats és sempre igual a 1?

831084 _ 0267-0284.qxd

10/5/07

11:09

Página 277

Mitjançant un diagrama d’arbre, determinem la probabilitat de cada esdeveniment compost en funció dels esdeveniments simples que el componen. EXEMPLE 12 En una bossa tenim 5 boles vermelles i 3 de blanques. Quina probabilitat hi ha d’extreure dues boles blanques seguides? a) En el cas que una vegada que hem extret la primera bola la tornem a introduir a la bossa (amb devolució). b) En el cas que no la tornem (sense devolució). Fem els dos diagrames d’arbre i calculem les probabilitats de cada esdeveniment simple mitjançant la regla de Laplace. Calculem la probabilitat de cada experiment compost multiplicant les probabilitats de cada experiment simple. a) Amb devolució:

3/8

Resultats

Probabilitat

3/8

B → B, B

5/8

V → B, V

3/8

B → V, B

5/8

V → V, V

3 8 3 8 5 8 5 8

B

5/8 V

3 8 5 ⋅ 8 3 ⋅ 8 5 ⋅ 8 ⋅

9 64 15 = 64 15 = 54 25 = 64 =

Per descriure un esdeveniment compost només hem d’indicar quins esdeveniments elementals conté.

b) Sense devolució:

3/8

Resultats

Probabilitat

2/7

B → B, B

5/7

V → B, V

3/7

B → V, B

4/7

V → V, V

3 8 3 8 5 8 5 8

B

5/8 V

2 7 5 ⋅ 7 3 ⋅ 7 4 ⋅ 7 ⋅

6 56 15 = 56 15 = 56 20 = 56 =

EXERCICIS PRACTICA

APLICA

34 Llancem enlaire un dau i a continuació

35 Un joc amb la baralla consisteix a treure dues

un altre. a) Fes un diagrama d’arbre per representar l’experiment aleatori compost. b) Calcula la probabilitat que surtin dos nombres imparells.

cartes sense devolució i guanya el que tregui dues copes. Quina probabilitat hi ha de guanyar? REFLEXIONA

36 En el joc anterior, és més fàcil guanyar si la

primera carta que traiem la podem tornar?

277

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 278

L’essencial COMPRÈN AQUESTES PARAULES Experiments aleatoris

Esdeveniments i operacions A

B

A

B

Espai mostral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Esdeveniment elemental F

{5} F

Esdeveniment elemental {1}

F

Esdeveniment elemental F

{3}

A∪ B

A∩ B

Unió

Intersecció

FES-HO AIXÍ

1. DETERMINACIÓ DE L’ESPAI MOSTRAL

AMB L’AJUDA DEL DIAGRAMA D’ARBRE Determina l’espai mostral de l’experiment que consisteix a llançar una moneda i un dau les cares oposades dels quals estan pintades del mateix color, que són blau, roig i verd.

PRIMER. Fixem la primera possibilitat d’elecció.

En aquest cas, el llançament de la moneda el resultat del qual pot ser cara o creu. Hi afegim la resta de possibilitats a partir de la primera.

SEGON.

A partir de cara o creu indiquem els possibles colors que podem obtenir quan llancem el dau. TERCER. Escrivim els resultats finals.

E = {CB, CR, CV, +B, +R, +V}

⎯⎯→ CB ⎯⎯→ CR ⎯⎯→ CV ⎯⎯→ +B ⎯⎯→ +R ⎯⎯→ +V

2. TROBALLA DE L’ESDEVENIMENT COMPLEMENTARI A l’experiment aleatori de llançar un dau i després una moneda, calcula l’esdeveniment contrari, A, de l’esdeveniment A = «Treure un divisor de 6 al dau i cara a la moneda». PRIMER. Calculem l’espai mostral i l’esdeveniment A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+} A = «Treure un divisor de 6 al dau i cara a la moneda» = {1C, 2C, 3C, 6C} SEGON.

El contrari de A està format pels elements de l’espai mostral, E, que no són a A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+} A = {1C, 2C, 3C, 6C} Per tant A = {4C, 5C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}.

278

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 279

3. ÚS DE LA REGLA DE LAPLACE PER CALCULAR PROBABILITATS Calcula la probabilitat dels esdeveniments A = «Sortir nombre parell» i B = «sortir nombre més petit que 3» a l’experiment aleatori que consisteix a llançar un dau. PRIMER. Determinem l’espai mostral i els esdeveniments de què volem calcular la probabilitat.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {2, 4, 6}

B = {1, 2}

Avaluem si els esdeveniments elementals són equiprobables. En aquest cas, quan llancem el dau, totes les cares tenen les mateixes probabilitats de sortir.

SEGON.

TERCER. Comptem el nombre d’esdeveniments elementals de cadascun i apliquem la regla de Laplace. Casos favorables a A 3 Casos favorables a B 2 P(A) = = = 0,5 P(B) = = = 0,33 Casos possibles 6 Casos possibles 6

4. CÀLCUL DE PROBABILITATS FENT-NE SERVIR LES PROPIETATS La probabilitat que una persona tingui els cabells de color castany és 0,6; la probabilitat que tingui els ulls marrons és 0,7, i que sigui castany i tingui els ulls marrons, 0,42. Calcula la probabilitat que: a) No tingui els cabells castanys.

b) Tingui ulls marrons o cabells castanys.

PRIMER. Escrivim els esdeveniments que ens demanen en funció dels esdeveniments coneguts fent servir la unió, la intersecció i el complementari dels esdeveniments. A = «Cabells castanys» a) «Cabells no castanys» = A B = «Ulls marrons» b) «Ulls marrons o cabells castanys» = A ∪ B

Apliquem les propietats de la probabilitat per calcular les probabilitats que ens demanen. a) P (A) = 1 − P(A) = 1 − 0,6 = 0,4 b) P(A ∪ B) = P (A) + P(B) − P (A ∩ B) = 0,6 + 0,7 − 0,42 = 0,88

SEGON.

I ARA... PRACTICA Determinació de l’espai mostral amb l’ajuda del diagrama d’arbre

Ús de la regla de Laplace per calcular probabilitats

1. Quin és el nombre d’esdeveniments elementals quan llancem una moneda i un dau? a) 6 c) 8 b) 7 d) 12

3. En una urna tenim 8 boles blanques, 2 de vermelles i 10 de blaves. Quina és la probabilitat d’extreure a l’atzar una bola vermella?

Troballa de l’esdeveniment complementari

Càlcul de probabilitats fent-ne servir les propietats

2. Quan llancem un dau, l’esdeveniment complementari de A = «Surt nombre parell» és: a) A = {2, 4, 6} b) A = «Sortir més petit que 3» c) A = {1, 3, 5} d) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) 0,1

b) 0,2

c) 0,4

d) 0,9

4. Si en una sala hi ha 50 persones i 33 són homes, quina és la probabilitat que, si triem una persona a l’atzar, sigui dona? a) 0,34 b) 0,50

c) 0,66 d) No es pot saber.

279

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 280

Activitats EXPERIMENTS ALEATORIS. ESDEVENIMENTS

OPERACIONS AMB ESDEVENIMENTS 42. ● Triem una fitxa de dòmino a l’atzar. Determina:

37. ● Classifica els experiments següents en deterministes o aleatoris. a) Extreure una carta de la baralla espanyola. b) Mesurar la hipotenusa d’un triangle rectangle amb catets de 3 i 4 cm. c) Llançar 3 monedes i anotar el nombre de cares. d) Llançar una xinxeta i apuntar la posició de caiguda. e) Pitjar un botó que encén una bombeta en un circuit elèctric. f) Triar a l’atzar una fitxa de dòmino. g) Mesurar l’altura de la classe. h) Llançar una pedra al buit i mesurar-ne l’acceleració. i) Esbrinar el resultat d’un partit abans que es jugui. 38. ● Escriu dos experiments aleatoris i dos més que no ho siguin. Justifica la resposta. 39. ● Escriu l’espai mostral dels experiments aleatoris següents. a) Extreure una carta de la baralla espanyola. b) Llançar una xinxeta i apuntar la posició de caiguda. c) Treure una bola d’una urna amb 5 boles vermelles, 3 de blaves i 2 de verdes. d) Llançar dos daus i restar-ne les cares superiors. e) Llançar dos daus i multiplicar-ne les cares superiors. f) Agafar les espases de la baralla espanyola i extreure una carta d’aquest grup. g) Triar a l’atzar un país de la Unió Europea. 40. ● Llancem 2 daus, un de vermell i un altre de blau. Quin és l’espai mostral d’aquest experiment? 41. ● Llancem dos daus i multipliquem el nombre de punts obtingut en cada un. Quants resultats podem obtenir? Descriu l’espai mostral i indica dos esdeveniments que no siguin elementals.

280

a) L’espai mostral. b) A = «Triar una fitxa els nombres de la qual sumin 6» c) B = «Triar una fitxa els nombre multiplicats de la qual donin 12». Els esdeveniments A i B, són compatibles o incompatibles? 43. ●● Considera el llançament de 3 monedes. Escriu els esdeveniments següents: A = «Obtenir almenys una cara» i B = «Obtenir una sola cara». Calcula: a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) A

d) B

44. ●● De les 28 fitxes del dòmino, n’extraiem una a l’atzar i sumem els punts. Escriu els esdeveniments. a) A = «Obtenir múltiple de 5» b) B = «Obtenir nombre parell» Calcula: A ∪ B, A ∩ B, A i B, A ∪ A, B ∩ B. 45. ●● En un bombo hi ha 15 boles numerades de l’1 al 15 i n’extraiem una. Escriu els elements que formen els esdeveniments. a) Múltiple de 3. d) Més gran que 3 i més petit que 8. b) Múltiple de 2. c) Més gran que 4. e) Nombre senar. Escriu un esdeveniment compatible i un altre d’incompatible amb cadascun d’ells, i també l’esdeveniment contrari. 46. ● Quan llancem un dau de 6 cares, A = {2, 4} i B = {1, 2, 3}. Calcula. a) A ∩ B b) A ∪ B

c) Són compatibles A i B? d) Troba el contrari dels esdeveniments A, B, A ∩ B i A ∪ B Entre els esdeveniments anteriors, troba una parella d’esdeveniments compatibles, una d’incompatibles i una altra de contraris. 47. ●● Llancem un dau de 6 cares i considerem els esdeveniments A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} i C = {3, 4}. Calcula. a) A b) B c) C

d) A ∪ B e) A ∩ B f) B ∪ C

g) A ∪ B h) A ∩ B i) A ∪ B

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 281

PROBABILITAT D’UN ESDEVENIMENT. ESDEVENIMENTS COMPOSTOS

54. ● Quan llancem una xinxeta, pot caure amb la punta cap amunt o cap avall.

48. ● Traiem dues cartes d’una baralla espanyola. Un esdeveniment impossible és: a) b) c) d)

«Treure dos oros» «Treure dos cavalls de copes» «Treure dues cartes de pal diferent» «Treure dues figures iguals del mateix pal»

49. ● Ordena de més gran a més petit grau de probabilitat d’obtenir els esdeveniments següents quan llancem un dau. a) b) c) d)

«Nombre parell» «Nombre igual o més gran que 5» «Nombre més petit que 7» «Nombre més gran que 7»

50. ● D’una baralla de 40 cartes n’extraiem una. Calcula les probabilitats dels esdeveniments següents. a) A = «Obtenir oros» b) B = «Obtenir el rei d’oros» c) C = «Obtenir espases o copes»

a) És un experiment aleatori o determinista? b) Quins són els esdeveniments elementals? c) Aquests esdeveniments són equiprobables? 55. ● Per comprovar si els esdeveniments elementals de l’activitat anterior són equiprobables, fes l’experiment 100 vegades (agafa 10 xinxetes i llança-les 10 vegades). La freqüència relativa de l’esdeveniment «Punta cap amunt» és més gran? Compara el teu resultat amb el que han obtingut els teus companys i feu una taula ajuntant tots els resultats. 56. ●● En un bombo hi ha 10 boles numerades del 0 al 9. Repetim 100 vegades l’experiment de treure una bola i reemplaçar-la. Els resultats són:

51. ●● Llancem un dau a l’aire i sumem els punts de totes les cares menys de la de dalt. Troba l’espai mostral i la probabilitat d’obtenir un nombre múltiple de 3. 52. ●● En el joc del parxís s’ha trucat el dau perquè la probabilitat que surti 5 sigui cinc vegades la probabilitat que surti qualsevol altra cara. Quina afirmació és certa?

Bola

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

fi

7

13

11

12

8

10

12

6

10

11

Donats els esdeveniments següents: A = «Múltiple de 3», B = «Nombre senar» i C = «Divisor de 6», calcula:iii a) La freqüència relativa de A, B i C. b) La freqüència relativa de A ∪ B, A ∩ B i A ∪ C. Quina probabilitat li assignaries a cada esdeveniment? 57. ●● Llancem 100 vegades un dau tetraèdric i anotem el nombre de la cara oculta, i obtenim:

2 3 1 b) P(cara 5) = 2 a) P(cara 5) =

5 6 1 d) P (cara 1) = 6 c) P(cara 5) =

53. ●● En el cas del dau anterior, la probabilitat que surti cara senar és: a)

1 2

b)

3 10

c)

7 6

d)

7 10

Cara

1

2

3

4

fi

28

22

30

20

Troba la freqüència relativa de l’esdeveniment: a) Múltiple de 3. b) Múltiple de 2.

c) Cara més gran que 1. d) Cara més petita que 1.

Quina probabilitat assignaries a cadascun dels esdeveniments anteriors?

281

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 282

58. ●● Llancem 4 monedes iguals. a) Quina és la probabilitat d’obtenir 4 cares? b) I de no obtenir-ne cap? c) Quin esdeveniment és més probable, obtenir 2 cares o obtenir, com a mínim 3 creus? 59. ●●● Un examen tipus test consta de 5 preguntes, cadascuna de les quals té tres possibles respostes. a) Calcula la probabilitat d’encertar 3 preguntes si contestes a l’atzar. b) Si per aprovar l’examen s’han de contestar com a mínim 3 preguntes correctament, troba la probabilitat d’aprovar i de suspendre. 60. ●●● Fem un estudi amb 100 persones sobre si es consideren destres o esquerranes a l’hora d’escriure i hem obtingut la taula següent. Completa-la i calcula la probabilitat que si escollim un home sigui esquerrà. Homes Dretà

Dones

34

Esquerrà Total

Total

31 43

61. ●●● Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus? Fes un diagrama d’arbre i calcula la probabilitat d’obtenir al menys un sis. 62. ●●● En una urna tenim 7 boles blanques i 4 de negres, i traiem tres boles. Calcula la probabilitat que les tres siguin blanques si cada vegada es torna la bola que es treu a la urna. 63. ●●● En l’exercici anterior, calcula la probabilitat que siguin del mateix color en els dos casos: que la bola que es treu es torni a l’urna i que no es torni.

PROPIETATS DE LA PROBABILITAT 64. ● La probabilitat d’un esdeveniment és 0,2. Quina és la probabilitat de l’esdeveniment contrari?

282

65. ●● Si en un dau P(1) = P (2) = P(3) = 0,14 i P(4) = P (5) = P (6) = x, quin és el valor de x? 66. ●● En una dau trucat, la probabilitat que surti cadascuna de les cares és: Cara

1

2

3

4

5

6

P

0,1

0,1

0,1

a

b

0,4

Si saps que P(4) = 2P(5), quant valen a i b? 67. ●● Extraiem una carta de la baralla espanyola. Troba la probabilitat de: a) Obtenir un cavall. b) No sortir una figura. c) No sortir ni oros ni bastons. d) Treure rei d’oros o d’espases. 68. ●● Triem a l’atzar un número de l’1 al 30. Tenim els esdeveniments A = «Obtenir un nombre parell més petit o igual que 14», B = «Obtenir un múltiple de 3 més petit o igual que 10» i C = «Obtenir un múltiple de 10». Calcula la probabilitat de: a) A ∪ B b) A ∪ C

c) A ∪ B d) C ∪ B

e) B ∩ C f) A ∩ B

69. ●● En una urna hi ha 100 boles numerades de l’1 al 100. Traiem una bola el nombre de la qual sigui n i definim els esdeveniments. A = «n és múltiple de 5» B = «n és múltiple de 3» C = «n és divisible per 2» D = «n és divisible per 10» E = «n és divisible per 1» a) Quants esdeveniments elementals componen cada esdeveniment? Quina és la probabilitat de cadascun? b) Hi ha dos esdeveniments incompatibles? c) Hi ha dos esdeveniments compatibles? I contraris? d) Troba la probabilitat de A ∩ B, B ∪ C i D. 70. ●●● Considera un joc en què llances dos daus i guanyes si la suma dels punts és 11 o 7. a) Descriu l’espai mostral d’aquest experiment. b) Calcula la probabilitat de guanyar.

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 283

PROBLEMES AMB PROBABILITATS 71. ●● En un dinar hi ha 28 homes i 32 dones. Han menjat carn 16 homes i 20 dones, i la resta, peix. Si triem una persona a l’atzar, calcula la probabilitat d’aquests esdeveniments.

75. ●●● Si tinc 3 claus que obren els 3 panys d’una porta, però no sé quina obra cadascuna, quina és la probabilitat que encerti amb la combinació a la primera oportunitat? I si tingués 3 claus i només 2 panys? (Una de les claus no obre cap pany.) 76. ●●● La Paula va a una botiga 2 vegades per setmana, i en Robert treballa en aquesta botiga 4 dies per setmana. Si el divendres és l’únic dia que no hi va cap dels dos, quina és la probabilitat que coincideixin dos dies? (La botiga tanca el diumenge.)

a) Que sigui home. b) Que hagi menjat peix. c) Que sigui home i hagi menjat peix. 72. ●● En una llar d’infants hi ha 20 nens i 16 nenes. La meitat dels nens i tres quartes parts de les nenes són morens i la resta són rossos. Quina és la probabilitat que si en triem un a l’atzar sigui nen o tingui els cabells morens? 73. ●●● En una ciutat llegeixen el diari A el 30 % dels habitants, el diari B, el 20 % dels habitants i el 7 % llegeixen tots dos diaris.

a) Quina probabilitat hi ha que si triem algú a l’atzar llegeixi algun dels dos diaris? b) I que no en llegeixi cap? I que en llegeixi un? 74. ●● En Lluís i en Joan han de recollir l’habitació que comparteixen. En Lluís posa en una bossa 3 boles vermelles, 2 de verdes i 1 de blava, i li proposa al seu germà que en tregui una. Si és vermella, recull en Joan, i si és blava, ell. a) Quina és la probabilitat de cada bola? b) És just el que proposa en Lluís? c) En Joan no accepta el tracte i proposa que si surt vermella, reculli ell, i si surt blava o verda, ho faci en Lluís. És just aquest tracte? Per què?

INVESTIGA 77. ●●● A l’Oest, tres vaquers han de fer una acció arriscada, tallen amb longituds diferents tres palets, els tapen de manera que sembli que tenen la mateixa altura i cada vaquer en tria un. El que l’agafa més curt perd. Per què no discuteixen mai qui tria primer? 78. ●●● Nadal és millor que Federer en terra batuda i la probabilitat que té de guanyar-li un set és 3/5. Si el cansament els afecta tots dos igual, explica per què Nadal prefereix jugar al millor de 5 sets que al millor de 3 sets. 79. ●●● Tinc a la butxaca dues monedes de 20 cèntims, dues de 10 cèntims i dues de 5 cèntims. Si trec dues monedes a l’atzar, quina és la probabilitat d’obtenir una quantitat superior o igual a 20 cèntims? 80. ●●● En una classe de 23 alumnes, el tutor revisa les fitxes dels alumnes i comprova que dos d’ells fan els anys el mateix dia del mateix mes. Quan ho comenta al professor de matemàtiques, aquest li diu que això és més habitual que el contrari, és a dir, que no hi hagi cap coincidència. Comprova si el professor de matemàtiques té raó.

283

831084 _ 0267-0284.qxd

13/4/07

19:37

Página 284

A la vida quotidiana 81. ●●● Amb motiu de la setmana cultural de l’institut, s’ha celebrat un campionat de dards. Després d’unes quantes eliminatòries, hem quedat com a finalistes l’Anna, en Bernat, la Camil·la i jo.

82. ●●● La Direcció General de Trànsit (DGT) portarà a terme una campanya per reduir la sinistralitat a les carreteres.

Des de fa temps he anat apuntant les partides que hem jugat i qui les ha guanyades.

• No fer servir el cinturó de seguretat. • No respectar la distància de seguretat.

Un elevat nombre d’accidents amb víctimes mortals és degut a dos factors:

Jo contra...

Partides jugades

Guanyades per mi

Anna

36

22

Bernat

44

35

31

12

Camil·la

Per determinar la incidència d’aquestes infraccions, s’han fet múltiples controls de trànsit. Aquestes són les dades recollides:

L’Anna contra... Partides jugades

Guanyades per l’Anna

Bernat

27

16

Camil·la

29

13

Bernat contra…

Partides jugades Guanyades per en Bernat Camil·la

32

En cada control, els agents han inspeccionat 500 vehicles: • Una mitjana de 60 conductors no portava el cinturó. • D’aquests 60 conductors, 40 no respectaven la distància de seguretat. • I 410 circulaven correctament.

9

La final consisteix en una lliga en què jugarem tots contra tots. Cada victòria atorgarà 1 punt al guanyador i 0 punts al perdedor. Al final de la lliga guanyarà el concursant amb la puntuació més alta. Segons les dades anotades, quina probabilitat tinc de guanyar el campionat? I de perdre’l?

284

Els conductors que no portaven el cinturó se’ls va sancionar amb la pèrdua de 2 punts, i els que no respectaven la distància de seguretat, amb 3 punts. En vista d’aquestes dades, la DGT planteja fer controls persuasius. Quants vehicles aproximadament s’han d’inspeccionar en cada control per no sobrepassar els 10 conductors sancionats amb la penalització màxima, és a dir, la pèrdua de 5 punts?

831084 _ 0285-0300.qxd

16/4/07

11:14

Página 285

Matemàtiques amb l’ordinador Les pràctiques següents són un intent d’incorporar una sèrie de recursos informàtics a l’ensenyament de l’Àrea de Matemàtiques i, en aquest cas, a la resolució d’alguns dels exercicis del llibre. L’objectiu d’aquestes pràctiques no és que l’alumne s’adoni que l’ordinador fa els càlculs i les operacions indicades, sinó que entengui l’operació que el programa ha fet. Amb la manipulació d’aquests recursos informàtics, l’alumne disposa d’una eina que li permet fer o dissenyar els càlculs, per més complexos que siguin, que el programa ha de fer; s’adona que el disseny geomètric li resulta molt senzill, així com la visualització de gràfics i gràfiques, els canvis i les transformacions que s’hi fan, tant de caràcter algebraic com geomètric, etc.; d’aquesta manera, l’aprenentatge de les matemàtiques és molt més significatiu. Els programes seleccionats per a les pràctiques són els següents: • Derive: és un assistent matemàtic que, a més de fer tot tipus d’operacions i càlculs aritmètics de manera automàtica, a una velocitat considerable i amb diferents precisions, també és capaç de treballar amb expressions literals. • Cabri: és un programa de geometria que permet fer construccions geomètriques planes i desenvolupar la capacitat de recerca a partir d’aquestes construccions. • Excel: és una aplicació de tractament de dades, bàsicament estadístiques.

285

831084 _ 0285-0300.qxd

10/5/07

11:12

Página 286

1

Nombres racionals PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 56 b) pàg. 32) 1. Executa el programa Derive Finestra d’entrada d’expressions

2. Introdueix l’expressió

.

7 8 + 2 + mitjançant l’ordre 2 6 →

o prem la icona . L’expressió s’introdueix a la finestra d’entrada d’expressions tal com apareix al marge. Observa que els botons de l’esquerra de la finestra d’entrada d’expressions ens donen diferents possibilitats de càlcul. Introduir l’expressió (tecla INTRO) Simplificar Introduir i simplificar

3. Prem el botó (introduir i simplificar) i obtindràs dues expressions a la finestra de treball:

Aproximar Introduir i aproximar

Icones de la finestra d’entrada d’expressions

La segona expressió és el resultat de l’operació. Si prems el botó , també obtens una aproximació d’aquesta operació: #3: 6.833333333. Mostra deu xifres decimals perquè és la manera estàndard de treballar de Derive, encara que ho podem canviar perquè surtin més de deu xifres decimals.

EXERCICIS 1

2

286

De manera anàloga a com ho has fet a la Pràctica 1, resol la resta d’apartats de l’exercici 56 en aquesta mateixa finestra. Fes els exercicis 59, 62 i 64 d’aquesta mateixa pàgina.

3

Fes l’exercici 65 de la pàgina 32. • Amb → , desa l’arxiu amb els treballs en el teu directori i anomena’l unitat_01_1.dfw.

831084 _ 0285-0300.qxd

2

10/5/07

11:12

Página 287

Nombres reals PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 63 a) pàg. 52) 1. Introdueix a la finestra d’entrada l’expressió ; per fer-ho, prem la icona

.

2. Per fer la simplificació, clica la icona →

.

A la finestra de diàleg que apareix i que pots veure al marge, clica el botó .

Finestra de diàleg

3. Observa la manera de representar l’operació a l’expressió #1: 1: 54 ⋅ 253 i el resultat l’expressió #2: 510. Si haguessis clicat sobre la icona el resultat estaria expressat de manera numèrica no factoritzada, o sigui: 9765625.

Pràctica 2 (exercici 66 c) pàg. 52) 1. En primer lloc, haurem de canviar el tipus de notació. Clica l’ordre → . Canvia el paràmetre de la finestra de diàleg i escull Notació científica, tal com es veu al marge.

Sortida d’expressió

2. Introdueix l’expressió i clica la icona . −20 Obtindràs la següent expressió com a resultat #3: 10 , que és el resultat en notació científica. Observa que a l’expressió #1 hi apareix la notació en la qual es treballa; a l’expressió #2, l’operació indicada i a l’expressió #3, el resultat.

Notació científica

EXERCICIS 4

5

De manera semblant a la Pràctica 1, resol la resta d’apartats de l’exercici 63 de la pàgina 52. Resol els exercicis 64 i 65 de la mateixa pàgina 52.

6

De manera anàloga a la Pràctica 2, resol la resta d’apartats de l’exercici 66. • Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori utilitzant → amb el nom unitat_02_1.dfw.

287

831084 _ 0285-0300.qxd

18/5/07

10:57

Página 288

3

Polinomis PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 55 a) pàg. 72 ) 1. Introdueix els dos polinomis de l’exercici mitjançant 2. Edita l’expressió Finestra de diàleg de l’ordre Expandir

amb la icona

i

.

.

3. Observa que a l’expressió #3 hi ha el producte escrit.

Fixa’t que dóna el producte de manera simbólica, és a dir, de manera indicada. Per obtenir el producte serà necessari que triïs l’ordre expandir de la barra de menús: → i seleccionis amb el ratolí el botó de la finestra, com veus al marge. 4. Finalment, obtindràs el resultat a l’expressió #4:

Pràctica 2 (exercici 58 c) pàg. 72 ) 1. Amb

→

obre una nova finestra

2. Introdueix els dos polinomis de l’exercici amb

. i

.

3. Edita les expressions quotient (#1, #2) i remainder (#1, #2) i, amb la icona , obtindràs el quocient i el residu de la divisió d’aquests dos polinomis.

EXERCICIS 7

De manera anàloga a com ho has fet a la Pràctica 1, i en la mateixa finestra de treball, resol la resta d’apartats de l’exercici 55.

8

Resol els exercicis 56 i 57 de la mateixa pàgina de manera anàloga. • Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori amb el nom unitat_03_1.dfw.

288

9

De manera anàloga a com s’ha fet a la pràctica 2, resol tots els apartats de l’exercici 58. Escriu els resultats a la llibreta. • Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori amb el nom unitat_03_2.dfw.

831084 _ 0285-0300.qxd

4

16/4/07

11:14

Página 289

Equacions de primer i segon grau PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 39 a) pàg. 88) 1. Introdueix la igualtat algebraica mitjançant

i

.

2. Selecciona l’expressió i prem → , o la icona ; al quadre de diàleg que apareix, tria l’opció de resoldre pel mètode algebraic i prem .

3. Observa què apareix a la finestra:

La paraula true com a solució de l’expressió vol dir que aquesta expressió és una identitat i, per tant, es compleix per a qualsevol valor de x.

Pràctica 2 (exercici 52 b) pàg. 89) 1. Introdueix l’expressió amb 2. Selecciona l’expressió i prem

i

. →

3. Obtindràs la solució de l’equació # 3: x =

. 2 , com pots veure al marge. 5

EXERCICIS 10 Resol la resta d’apartats de l’exercici 39

de la mateixa manera que a la Pràctica 1. 11 Resol la resta d’apartats de l’exercici 52

de la mateixa manera que a la Pràctica 2. 12 Resol les equacions dels exercicis 48 i 49

de la pàgina 88.

13 Resol les equacions de primer grau

de l’exercici 59 de la pàgina 89. 14 Resol les equacions de segon grau

dels exercicis 67 i 68 de la pàgina 90. • Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori amb el nom unitat_04_1.dfw.

289

831084 _ 0285-0300.qxd

10/5/07

11:12

Página 290

5

Sistemes d’equacions PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 60 a) pàg. 108) Derive permet resoldre els sistemes analíticament, de manera molt senzilla. 1. A la barra de menús, prem

→

.

2. Al quadre de diàleg que apareix (vegeu la figura del marge) introdueixhi el nombre d’equacions, 2 en aquest cas, i prem . 3. Introdueix una equació a cada finestra:

4. Prem

.

5. Observa el resultat a la finestra algebraica:

Tingues present que si el sistema és incompatible, el programa retorna com a solució un doble claudàtor buit: [ ].

EXERCICIS 15 Resol, de manera anàloga a la Pràctica 1,

la resta d’apartats de l’exercici 60. 16 Resol els exercicis 58 i 59 de la mateixa manera. 17 Anomena x el preu del sabó i y el preu

de la colònia, i planteja el sistema corresponent al problema 74 de la pàgina 110; troba’n la solució de la mateixa manera.

290

18 Fes el mateix amb els problemes del 75 al 81

de la mateixa pàgina, i troba’n la solució amb Derive. • Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori amb el nom unitat_05_1.dfw.

831084 _ 0285-0300.qxd

6

10/5/07

11:12

Página 291

Proporcionalitat numèrica PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 86 a) pàg. 130) 1. Resol la primera pregunta de l’exercici. Introdueix l’expressió I(c0, r, t) := c0*r*t/100 mitjançant la icona . Aquesta expressió s’introdueix a la finestra d’entrada d’expressions, tal com apareix al marge. Fixa’t que cal posar-hi dos punts i el signe igual. A la finestra d’àlgebra hi apareix la fórmula de l’interès simple, amb el temps en anys. 2. Introdueix l’expressió I(3000, 4.3, 5) i prem que, com pots veure al marge, és de 645 €.

. Obtindràs l’interès

Per resoldre les altres qüestions que es demanen al problema, hauríem d’introduir prèviament la fórmula de l’interès quan el temps es dóna en mesos: I1(c0, r, t) := c0*r*t/1200 i la fórmula de l’interès quan el temps es dóna en dies: I2(c0, r, t) := c0*r*t/36000.

Pràctica 2 (exercici 87 pàg.130) La fórmula Cf(c0, r, t) := C0(1 + c0*r*t/100) permet obtenir el capital final en funció del capital inicial, el rèdit i el temps en anys. Aquesta fórmula també permet aïllar les altres variables, si coneixem el capital final. 1. Introdueix l’expressió cf(c0, r, t) := c0*(1 + rt/100). 2. Mitjançant la icona , introdueix la següent expressió: Cf(c0, 7.5, 1) := 3760. Fixa’t que ara no hi són els dos punts, a la fórmula. Prem

i apareixerà la finestra d’àlgebra que veus al marge.

3. Prem la tecla

i obtindràs l’expressió #6.

4. Per aïllar c0 (capital inicial), prem el botó la finestra de diàleg que sortirà ble c0 (ja surt seleccionada) i prem l’expressió 9.

de la barra d’ordres. A , escull la varia. Pots veure el resultat a

EXERCICIS 19 Calcula els interessos que es demanen

a la segona i la tercera pregunta del problema 86, de la pàgina 130.

20 Fes l’exercici 88. Aplica, en cada apartat,

la fórmula pertinent. • Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori utilitzant → amb el nom unitat_06_1.dfw.

291

831084 _ 0285-0300.qxd

10/5/07

11:12

Página 292

7

Progressions PRÀCTICA DERIVE

Derive permet sumar els termes d’una progressió aritmètica o geomètrica.

Pràctica 1 (exercici 61 pàg. 148) 1. Introdueix l’expressió del terme general de l’exercici:

.

2. Per a calcular el terme vint-i-cinquè (25è), introdueix l’expressió an(25) i clica la icona . 3. Observa la finestra del marge: has obtingut el terme 25è en funció del valor n = 25. El resultat és 101. 4. A la mateixa finestra, introdueix-hi el terme an(n). 5. Amb aquesta expressió seleccionada, i a la barra de menús, clica → . Càlcul d’un terme i de la suma dels termes d’una progressió.

6. Al quadre de diàleg que apareix, escriu n a la finestra de la variable i a la finestra de suma definida escriu-hi els límits 1 i 25.

7. Clica o i observa el resultat a la finestra d’àlgebra. La suma dels 25 primers termes de la progressió aritmètica és 1.325.

Pràctica 2 (exercici 85 c) pàg. 149) De manera anàloga, calcula la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica (sempre que la raó sigui compresa entre −1 i +1). Suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica

1. Obre una nova finestra i introdueix l’expressió del terme general . 2. Introdueix l’ expressió #2: an(n). 3. Prem → i selecciona els límits 1 i ⬁ (cerca el símbol a la barra de símbols) al quadre de diàleg. Observa el resultat #4: −3. En el cas que no es pugui fer la suma, apareixerà ⬁ com a solució.

EXERCICIS 21 Resol els exercicis del 62 al 68 de manera

anàloga a com ho has fet a la Pràctica 1. En alguns d’aquests exercicis has de trobar i escriure en primer lloc l’expressió del terme general.

292

22 Resol l’exercici 88 de la pàgina 149 de manera

anàloga a la Pràctica 2. Desa els arxius en el teu directori amb el nom unitat_07_1.dfw i unitat07_2.df.

831084 _ 0285-0300.qxd

8

10/5/07

11:12

Página 293

Figures planes PRÀCTICA CABRI

Pràctica 1 (exercici 94 pàg. 168) 1. Activa l’eina trueix un quadrat.

del grup Elements rectilinis i cons-

2. Amb l’eina cula el perímetre del quadrat.

del grup Càlculs geomètrics cal-

3. Amb l’eina Punter mou un vèrtex del quadrat fins que el seu perímetre sigui de 40 cm (la qual cosa voldrà dir que el seu costat és de 10 cm). 4. Amb l’eina construeix la mediatriu de qualsevol dels costats del quadrat. A continuació, amb l’eina del grup Elements curvilinis, construeix la circumferència el centre de la qual és el centre del quadrat i el radi el punt d’intersecció de les dues figures:

6. Amb l’eina del grup Càlculs calcula i escriu a la finestra les àrees del quadrat i del cercle. 7. Activa l’eina per fer servir la calculadora i segueix els passos per calcular la diferència entre les dues àrees:

a) Amb el ratolí clica l’àrea del quadrat; observa que a la finestra de la calculadora hi apareix la lletra a. b) Clica el botó de la calculadora. c) Clica amb el ratolí el nombre que marca l’àrea del cercle: apareix la lletra b a la finestra. 8. Clica el botó cle: 21,47 cm2.

i obtindràs l’àrea compresa entre el quadrat i el cer-

EXERCICIS 23 De manera anàloga a la Pràctica 1, construeix

les figures que es proposen als exercicis 95 i 96 de la pàgina 168. 24 Resol l’exercici 104 de la pàgina 169. Per

• Amb → guarda les diferents figures amb els noms Unitat08_nn, en què nn és el número de la figura en el directori que tinguis assignat.

construir la tangent, traça un radi qualsevol i després la perpendicular a aquest radi pel punt d’intersecció de la circumferència amb el radi.

293

831084 _ 0285-0300.qxd

16/4/07

11:14

Página 294

9

Cossos geomètrics PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercicis 74 pàg. 187, 79 b) i 80 pàg. 188) Derive permet trobar el volum d’un cos a partir dels seus paràmetres. 1. Introdueix les fórmules dels volums treballats a la unitat amb o amb la icona per definir-les. Després podràs donar valors i fer càlculs, de manera directa i indirecta. Definició de les fórmules

a) Cilindre: #1: V1(r, h) := π*r^2*h; amb

s’escriurà a la finestra.

b) Con: #2: V2(r, h) := π*r^2*h/3. c) Esfera: #1: V3(r) := 4*π*r^3/3. 2. Exercici 74. Per calcular el volum del cilindre, introdueix l’expressió #4: V(6, 36): 6 cm és la longitud del radi (diàmetre 12) i l’altura és de 36 cm (el triple del diàmetre). Clica

perquè la fórmula i el valor del volum s’escriguin a la finestra.

3. Escriu la fórmula #6: V2(5, 8) per resoldre l’exercici 79b) i #8: V3(20) per resoldre l’exercici 80.

Pràctica 2 (exercici 88 pàg. 188) Pots calcular algun dels paràmetres d’un cos geomètric a partir del seu volum. 1. Coneixent el volum d’una esfera, podem saber quin és el radi. Introdueix la següent expressió: #11: V3(r) = 125. 2. Clica la icona i sortirà una finestra de diàleg; quan premis obtindràs el valor del radi de l’esfera: #12: r = 3.101. 3. Calcula l’àrea de l’esfera per a aquest valor del radi. 4. De manera anàloga, calcula l’aresta del cub que té el mateix volum i compara’n les àrees.

EXERCICIS 25 De manera anàloga a la Pràctica 1, obre una

nova finestra, defineix les fórmules de les àrees de cossos geomètrics i resol els apartats de l’exercici 65 de la pàgina 186.

294

26 De manera anàloga a la Pràctica 2, resol

el problema 89 de la pàgina 188 i el problema 91 de la pàgina 189. • Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori amb el nom unitat_09_1.dfw.

831084 _ 0285-0300.qxd

10

10/5/07

11:12

Página 295

Moviments i semblances (1) PRÀCTICA CABRI

Pràctica 1 (exercici 40 a) pàg. 205) 1. Prem ocultar/mostrar de la barra d’eines, selecciona Nous eixos i, a continuació, Definir quadrícula , del mateix grup. Observa que apareix la quadrícula amb els punts de coordenades enteres. 2. Activa la icona del grup Elements rectilinis i dibuixa el polígon de l’exercici. Omple de vermell el polígon. 3. Del mateix grup d’eines, activa tor ជ v de l’exercici. Anomena’l v.

i construeix el vec-

4. Per obtenir la figura transformada, activa l’eina del grup Construccions geomètriques i, després d’assenyalar el polígon i el vector, tal com veus al marge, obtindràs la transformada.

Pràctica 2 (exercici 48 a) pàg. 206) 1. Obre una nova figura i dibuixa-hi els eixos i la quadrícula i construeix el polígon i el punt O de la figura. 2. Amb l’eina criu 90°.

del grup Presentació d’objectes es-

Pas 1

3. Activa l’eina del grup Construccions i, mitjançant els tres passos que es veuen al marge, obtindràs la figura transformada per aquest gir. Pas 2

Pas 3

EXERCICIS 27 De manera anàloga al que has fet a les dues

pràctiques, obre unes noves figures i construeix les figures transformades de la resta d’apartats dels exercicis 40 i 48. 28 Fes l’exercici 45 de la pàgina 205. 29 Fes l’exercici 49 de la pàgina 206.

30 Tenint en compte què és una simetria i aplicant

les eines Simetria i Simetria axial del grup Construccions, fes l’exercici 54 a) i b) de la pàgina 207. La tecla d’ajuda del Cabri F1 t’indica com fer-ho. • Amb → guarda les diferents figures amb els noms Unitat10_nn, en què nn és el número de la figura en el directori que tinguis assignat.

295

831084 _ 0285-0300.qxd

10/5/07

11:12

Página 296

10

Moviments i semblances (2) PRÀCTICA CABRI

Pràctica 1 (exercici 80 pàg. 209) 1. Dibuixa un segment horitzontal AB que faci 12 cm. 2. Construeix dues rectes perpendiculars al segment anterior, pels extrems A i B. 3. Sobre aquestes dues rectes, construeix dos segments AC i BD que facin 3 i 6 cm exactament, tal com veus a la figura del marge. 4. Mitjançant l’eina , calcula el punt simètric del punt C respecte del punt A (clica primer en el punt C i després en el punt A. Etiqueta aquest punt amb la lletra E. 5. Uneix mitjançant un segment el punt E amb el punt D. El punt d’intersecció d’aquest segment amb el segment AB ens dóna la solució del problema: el punt F.

Pràctica 1

6. Amb l’eina , calcula la distància del punt A al punt F: 4 cm. Per tant, ja podem fer la construcció de la carretera unint els punts C amb F i D amb F.

Pràctica 2 (exercici 81 pàg. 209) 1. Dibuixa un segment horitzontal AB. 2. Als extrems del segment, construeix-hi dues rectes perpendiculars. 3. Dibuixa un punt a la recta r, de manera que el segment BC faci 1 cm. 4. Construeix un segment CD que faci exactament 1,1 cm. D és un punt de la recta que passa per A i per B. 5. Amb l’eina traça una recta paral·lela al segment CD per un punt E qualsevol de la recta s. Etiqueta amb F el punt de tall d’aquesta recta amb el segment AB. 6. Mou el punt E fins que la mida del segment EF sigui exactament de 23,25 cm. Després, hauràs de multiplicar per obtenir la mida real, en metres. Pràctica 2

7. Amb l’eina pren la mida del segment AE que, multiplicada per 100, ens donarà l’alçària de la muntanya en metres: 2.145 m.

EXERCICIS 31 De manera anàloga al que has fet a les dues

pràctiques, obre unes noves figures, construeix les figures dels exercicis 67 i 68 de la pàgina 208 i calcula les mides dels segments que es demanen.

296

→ guarda les diferents figures amb els noms Unitat10_nn, en què nn és el número de la figura en el directori que tinguis assignat.

32 Amb

831084 _ 0285-0300.qxd

11

10/5/07

11:12

Página 297

Funcions PRÀCTICA EXCEL

Derive és un programa més preparat per fer representacions gràfiques quan tenim l’expressió analítica de la funció, però en el cas de treballar amb taules, és molt més còmode i intuïtiu fer-ho amb Excel.

Pràctica 1 (exercici 71 pàg. 227) 1. Executa el programa i situa’t al full 1

.

2. Introdueix les dades de l’exercici:

3. Selecciona amb al ratolí les cel·les A1:K2 i clica el botó assistent per a gràfics , per obtenir el gràfic a partir dels quatre passos que presenta la finestra de diàleg: Pas 1: Tipus de gràfic. Selecciona Gràfic i prem el botó

, el subtipus

.

Pas 2: Dades d’origen. Una altra finestra ens mostra el rang, és a dir, el conjunt de dades que serveixen per fer el gràfic: $A$1:$K$2. Prem el botó

.

Pas 3: Opcions de gràfic. Ja pots veure com quedarà el gràfic. En aquest pas, pots fer canvis en les diferents pestanyes: a) Pots canviar el títol del gràfic. Posa nom a l’eix d’abscisses: Hora; posa nom a l’eix d’ordenades: Longitud. b) Canvia, si vols, l’escala dels eixos, els colors del gràfic i dels eixos, el tipus de línies, etc Pas 4. Ubicació del gràfic. Pots triar que el gràfic surti al mateix full en què estàs treballant o que surti en un altre full. No t’oblidis de prémer el botó .

Pestanya Títols

4. Imprimeix el gràfic i copia’l a la llibreta. EXERCICIS 33 Resol de manera anàloga a la Pràctica 1

l’exercici 79 de la pàgina 228. Selecciona el subtipus de gràfica de punts (no de línies). Comprova que s’obté aquest tipus de gràfic.

Amb el gràfic de punts fet, si prems el botó de la dreta del ratolí quan tens seleccionat un punt de la sèrie, podràs agregar-hi una línia de tendència, que veuràs que passa quasi exactament per tots els punts de la taula. • Desa el llibre amb

→

.

297

831084 _ 0285-0300.qxd

10/5/07

11:12

Página 298

12

Funcions de proporcionalitat PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 66 a) pàg. 244) 1. Amb la icona introdueix les expressions: #1: f(x) := −4x + 2 i #2: g(x) := 4x + 1 prem . El signe := defineix les funcions. 2. Per representar les dues funcions, prem el botó , per passar de la finestra d’àlgebra a la finestra gràfica, que conté els eixos de coordenades dibuixats. 3. Torna a prémer el mateix botó de la barra de menús d’aquesta finestra i veuràs dibuixada la funció definida en l’expressió #1. Repeteix l’operació seleccionant l’expressió #2, per tenir la representació gràfica de les dues funcions. Pots veure-ho al marge. 4. Observa que la barra d’estat, a la part baixa, a l’esquerra, t’indica que el cursor (la creu) és a la posició (1,1). Si mous el cursor amb el ratolí i el poses en el punt de tall, tindràs una aproximació gràfica de les coordenades del punt: (0.125, 1.5). Posició inicial:

Solució geomètrica

→ Aproximació:

.

5. Retorna a la finestra d’àlgebra amb el botó . Per obtenir de manera algebraica la solució del sistema, selecciona → i a la finestra que apareix, escriu-hi 2 (nombre d’equacions); a la següent finestra escriu-hi les dues expressions de l’exercici. Al quadre de variables hi han d’aparèixer la x i la y.

6. Prem el botó

i observa’n el resultat:

EXERCICIS 34 Resol, de manera anàloga, la resta d’apartats

de l’exercici 66. Copia les gràfiques i els resultats a la llibreta.

298

• Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori amb el nom unitat_12_1.dfw.

831084 _ 0285-0300.qxd

13

10/5/07

11:12

Página 299

Estadística PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 38 pàg. 262) Pots representar dades gràficament a l’ordinador. Vegem l’exemple de la taula del marge, on s’han introduït el nombre d’hores d’estudi de 30 alumnes. Els passos que has de seguir són els següents: 1. Introdueix les dades, tal com es veu al marge. 2. Selecciona les cel·les A1:B7 i, amb el botó assistent per a gràfics , selecciona el tipus Columnes i escriu els títols, per obtenir el diagrama de barres.

Diagrama de barres

3. Pots obtenir el polígon de freqüències seleccionant el gràfic tipus XY (dispersió).

Pràctica 2 (exercici 49 pàg. 263) Troba la mitjana de les dades de l’exercici. Segueix els passos: 1. Obre un nou full i introdueix-hi les dades de la taula. 2. Crea una columna més, la columna C, per escriure-hi el producte de cada dada (xi) per la seva freqüència (fi ). Per fer-ho, escriu la fórmula = A2*B2 a la cel·la C2. 3. Copia aquesta fórmula a la resta de cel·les amb

i

.

4. Per trobar les sumes de les freqüències, situa’t a la cel·la B6 i prem el botó , que fa la suma de totes les cel·les que hi ha per sobre de la cel·la B6. Copia la fórmula a la cel·la C6.

Polígon de freqüències

5. Situa’t a la cel·la A8 i escriu-hi: Mitjana=. A la cel·la B8 escriu-hi la fórmula i observa el resultat.

EXERCICIS 35 En aquest llibre, i en fulls successius

i de manera anàloga a la Pràctica 1, fes les gràfiques dels exercicis 42 i 43 de la pàgina 262.

36 De manera anàloga a la Pràctica 2, fes

les taules i els càlculs corresponents als exercicis 46 de la pàgina 263 i 59 a) de la pàgina 264. • Desa el llibre mitjançant

→

.

299

831084 _ 0285-0300.qxd

10/5/07

11:12

Página 300

14

Probabilitat PRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 68 pàg. 282) Executa Derive i segueix els passos següents: 1. Defineix l’experiment d’escollir un número de l’1 al 30 de la manera seguent: . Quan premis tre 1 i 30.

hauràs definit el conjunt dels nombres compresos en-

2. Defineix l’esdeveniment A com veus al marge. Quan poses A := {2, 4, …, 14} defineixes els nombres que comencen en el 2 i que van de 2 en 2 fins al 14. 3. De manera anàloga, defineix els esdeveniments B i C. 4. Per fer els càlculs que demana el problema, hauràs d’utilitzar els símbols i de la barra de símbols. També pots utilitzar algun operador. Fes el següent: a) Introdueix #5: A ∪ B i prem resultat sortirà a #6:

. (També pots utilitzar A union B). El

b) Introdueix #7: A ∪ C i obtindràs el seu desenvolupament. c) De manera anàloga, fes la resta de càlculs de l’exercici. Per calcular la intersecció de dos conjunts, has d’utilitzar el símbol corresponent (també pots utilitzar B intsersection C); per calcular o treballar amb els complentaris, has de posar el signe \ de la barra de símbols: . Per exemple: . 5. Copia els resultats a la llibreta.

EXERCICIS 37 Obre una nova finestra d’àlgebra i resol

l’exercici 69 de la pàgina 282, de manera anàloga a la Pràctica 1. Defineix els esdeveniments A, B... tenint en compte que A serà: A := {5, 10, …, 100}.

300

• Desa el llibre mitjançant → amb amb el nom unitat_14_1.dfw.

831084 _ 0301-0304.qxd

16/4/07

11:09

Página 301

I ara... practica Aquestes són les respostes de l’apartat «I ARA... PRACTICA» de cadascuna de les unitats d’aquest llibre. Comprova si els teus resultats són correctes!

Unitat 1

1.b

2.b

3.a

4.c

5.b

6.b

Unitat 2

1.c

2.b

3.a

4.a

5.a

6.c

Unitat 3

1.a

2.b

3.b

4.b

5.a

6.a

Unitat 4

1.a

2.c

3.c

4.a

5.a

Unitat 5

1.a

2.b

3.b

4.b

Unitat 6

1.b

2.c

3.c

4.a

5.b

Unitat 7

1.c

2.c

3.c

4.c

5.c

Unitat 8

1.b

2.b

3.c

4.c

Unitat 9

1.a

2.b

3.b

4.b

Unitat 10

1.a

2.a

3.d

4.b

Unitat 11

1.b

2.a

3.b

Unitat 12

1.c

2.d

3.c

Unitat 13

1.b

2.c

3.c

Unitat 14

1.d

2.c

3.a

4.b

4.a

5.b

7.b

831084 _ 0301-0304.qxd

16/4/07

11:09

Página 302

831084 _ 0301-0304.qxd

16/4/07

11:09

Página 303

Direcció d’art: Josep Crespo Projecte gràfic: Portada: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTA Interiors: M. García Il·lustració: Grafitti s.c. i J. M. Valera Cap de projecte: Rosa Marín Coordinació d’il·lustració: Carles Aguilera Cap de desenvolupament de projecte: Xavier Tejeda Desenvolupament gràfic: Rosa M. Barriga, Josep Lluís García i Raül de Andrés Direcció tècnica: Àngel García Encinar Coordinació técnica: Fèlix Rotella i Marisa Valbuena Confecció i muntatge: Lluís González, F. Calonge i Xavier Pulido Correcció: Núria Cuixart i Josep Llongueres Documentació i selecció fotogràfica: Neus Marinas Fotografies: A. Toril; D. López; F. de Madariaga; GOYENECHEA; J. Jaime; J. M.ª Escudero; J. V. Resino; M. G. Vicente; M. Montes; ORONOZ; Prats i Camps; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK; EFE/M. Hernández de León; EFE/EPA/Justin Lane, Andreu Dalmau, Wolfgang Kumm; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; FOAT; HIGHRES PRESS STOCK; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; STOCKBYTE; Airman Joe Hendricks, U.S. Navy; EL MUSEO CANARIO, LAS PALMAS DE GRAN CANARIA; FUJITSU/SIEMENS; M. Vives; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARXIU SANTILLANA

© 2007 by Grup Promotor / Santillana Educación, S. L. Frederic Mompou, 11 (Vila Olímpica) 08005 Barcelona Imprès per

ISBN: 978-84-7918-132-1 CP: 831084 Dipòsit legal:

Es prohibeix, llevat d’excepció prevista per la llei, qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública i transformació d’aquesta obra sense l’autorització dels titulars de la propietat intel·lectual. La infracció dels drets esmentats pot constituir delicte contra la propietat intel·lectual (articles 270 i següents del Codi Penal).

831084 _ 0301-0304.qxd

16/4/07

11:09

Página 304