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• Dina Gonzalez

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Función de Costo Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma Costo = Costo variable + Costo fijo en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el cost fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.ç Función de ingreso El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal I(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.

Función utilidad La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal.La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula: Utilidad = Ingreso − Costo U=I−C Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o I=C Equilibrio El puno equilibrio es el número de articulos x a lo cual presenta el equilibrio. Forma de función y de ecuación de los modelos matemáticos Echemos un vistazo a las funciones costo y ingreso de nuevo: C(x) = 3.50x + 1200 I(x) = 6.50x

Función costo Función ingreso

En vez de usar notación de función, podemos expresar las funciones de costo y ingreso en la forma de ecuaciones: C = 3.50x + 1200 Ecuación costo I = 6.50x

Ecuación ingreso

Aquí, la variable independiente es x, y las variables dependientes son C y I. Las formas de función y de ecuación, por usar la misma letra para la variable dependiente, son usadas intercambiablemente, así que podemos decir, por ejemplo, que la ecuación costo más arriba especifica C como una función de x.

Ejemplo 1. Ingreso marginal La función de ingreso marginal (MR) del producto de una compañía es: MR=50.000 – q Donde q es el número de unidades producidas y vendidas. Sí el ingreso total es 0 cuando no se vende ninguna unidad, determine la función de ingreso total del producto. Dado que la función de ingreso marginal es la derivada de la función de ingreso total, ésta última será la antiderivada del ingreso marginal. Al aplicar el proceso de integración indefinida se obtiene: R( q ) = 50.000q −

𝑞𝑞2 2

+ 𝐶𝐶 ,

Puesto que sabemos que el ingreso cuando no se coloca en el mercado algún producto es cero, es decir R(0)=0, entonces C=0. Por lo tanto, la función de ingreso total del producto de la compañía es: R( q ) = 50000q −

𝑞𝑞2 2

Ejemplo 2. Costo marginal La función que describe el costo marginal de fabricar un producto es MC= q + 100, Donde q es el número de unidades producidas. Se sabe también que el costo total es de $40.000, cuando q=100. Determinar la función de costo total. Solución: Para determinar la función de costo total, primero se encuentra la antiderivada de la función de costo marginal, es decir: C( x ) =

𝑞𝑞2 + 100𝑞𝑞 + 𝐶𝐶 2

Dado que C(100)=40000, podemos despejar el valor de C, que resulta representar el costo fijo. 40000 =

1002 + 100(100) + 𝐶𝐶 2

40000 = 5000 + 100000 + 𝐶𝐶

Entonces C=25000

Es decir cuando la producción es cero el costo es de 25.000, entonces la función específica que representa el costo total de fabricar un producto es: C( x ) =

𝑞𝑞2 + 100𝑞𝑞 + 25000 2

Ejemplo 3. Función de demanda Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es , MR =

Encontrar la función de demanda. Estrategia: Integrand𝑜𝑜

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2000 − 20𝑞𝑞 − 3𝑞𝑞2 𝑑𝑑𝑑𝑑

y usando una condición inicial, podemos encontrar la

función de ingreso R(q). Pero el ingreso está dado también por la relación general R(q)=pq, donde p es el precio por unidad. Así, p =

𝑅𝑅(𝑞𝑞) 𝑞𝑞

Reemplazando R(q) en esta ecuación por la función de ingreso obtenemos la función de demanda. Como

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

es la derivada del ingreso total R(q),

𝑞𝑞3 𝑞𝑞2 𝑅𝑅(𝑞𝑞) = �(2000 − 20q − 3𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2000q − 20 − 3 + 𝐶𝐶 2 3 2 3 = 2000q − 10𝑞𝑞 − 𝑞𝑞 + 𝐶𝐶 2)

El ingreso es cero cuando q=0. Suponemos que cuando no se ha vendido ninguna unidad, el ingreso total es 0; esto es, R(0)=0 cuando q=0. Ésta es nuestra condición inicial. Sustituyendo esos valores en la ecuación de costo resulta: 0 = 2000(0) − 10(0)2 − (0)3 + 𝐶𝐶 por lo tanto C=0, y 𝑅𝑅(𝑞𝑞) = 2000q − 10𝑞𝑞2 − 𝑞𝑞3

Para encontrar la función de demanda, usamos el hecho de que p = el valor de R(q):

p=

𝑅𝑅(𝑞𝑞) 𝑞𝑞

y sustituimos

𝑅𝑅(𝑞𝑞) 2000q − 10𝑞𝑞2 − 𝑞𝑞3 = 𝑞𝑞 𝑞𝑞

Sacando factor común q en el numerador y simplificando tenemos: p=200 − 10q − 𝑞𝑞2

Ejemplo 4. Costo promedio

Si el costo total y de producir y comercializar q unidades de una mercancía está dado ������ = 𝐶𝐶(𝑞𝑞) y el costo marginal por la función C(q), el costo promedio por unidad es 𝐶𝐶(𝑞𝑞)

es MC =

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑞𝑞

= 𝐶𝐶′(𝑞𝑞) . De lo anterior llegamos a que podemos encontrar la función de

costo promedio si tenemos la de costo marginal, ya que al integrar el costo marginal obtenemos el costo total, y al dividir el costo total por la cantidad obtenemos el costo promedio. El costo marginal MC como función de las unidades producidas q, está dado por: MC =

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1064 − 0.005q 𝑑𝑑𝑑𝑑

Si el costo fijo es $16,3, hallar las funciones de costo total y costo promedio. 𝐶𝐶 (𝑥𝑥 ) = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(1064 − 0.005q)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1064q − 0.0025 𝑞𝑞2 + 𝐶𝐶

Si q=0, C=16,3 se deduce C=16,3 y se tiene:

C(q) = 16.3 + 1064q – 0.0025𝑞𝑞2 + : Costo total ������ = 𝐶𝐶(𝑞𝑞)

𝐶𝐶(𝑞𝑞) 𝑞𝑞

Ejemplo 5.

=

16.3 + 1064q – 0.0025𝑞𝑞2 𝑞𝑞

=

16.3 𝑞𝑞

+ 1064 – 0.0025𝑞𝑞 Costo promedio.

INGRESOS Ingreso total (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien. Ingreso marginal (IM): es el incremento que experimenta el ingreso total cuando se eleva la producción en una unidad. El IM puede ser positivo o negativo en dependencia de la elasticidad de la demanda. Para un bien en estudio el ingreso marginal se relaciona con el ingreso total, de forma: Cantidad Q Precio P=IT/Q (pesos) Ingreso total IT=PxQ (pesos) Ingreso marginal IM (pesos) En el caso que se tenga la función de ingresos totales, IM= (IT)’. Nótese que el ingreso total máximo se obtiene cuando el IM=0. Ejemplo 6 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable) La función de ingresos total de la Empresa Lycos S.A. dedicada a la producción de piensos para aves viene dada por IT(Q)= 30Q-3Q², donde Q es la cantidad de toneladas de piensos vendida por la empresa en un año.

a-) Determinar el ingreso marginal para Q=3, Q=4 y Q=3.5. b-) ¿A qué nivel de producción alcanza la empresa un ingreso total máximo? Calcule su valor. c-) Analice el inciso anterior gráficamente. Solución: a-) IM= (IT)’= (30Q-3Q²)’= 30-6Q Para Q=3 Para Q=4 IM= 30-6*4=6 IM=30-6*3=12 Para Q=3.5 IM= 30-6*3.5=9 Cuando la producción es de 3 toneladas de pienso, el producir una unidad adicional traería consigo un aumento en los ingresos de $12.00, si fuera de 4 toneladas los ingresos totales aumentarían en $6.00 y si la producción fuera de 3.5 toneladas los ingresos totales aumentarían en $9.00. b-) El ingreso total máximo se obtiene cuando IM=0: IM=O IT(5)= 30*5-3*5^2 30-6Q=0 IT(5)= $756Q=30 Q=5u Al producir 5 toneladas de piensos obtiene la Empresa Lycos S.A. un nivel máximo de ingresos de $ 75.00. Nótese que la función de Ingresos Totales tiene el punto de máximo donde su primera derivada es cero (IM = 0). Ejemplo 7. La función de ingresos marginales de una fábrica está dada por Imq = 20/ (4+q)2 . a-) Hallar la función de ingreso total si este es de 20 unidades monetarias cuando la producción es de 2 unidades.

b-) Calcular la variación en el ingreso total cuando la producción aumenta a 4 unidades. Solución: a-) ITq = ∫ IMq *dq = ∫ 20/(4+q)2 *dq = -20/4+q + C IT(2) = -20/4+2 + C 20 = -10 + C C = 30 Rta: La función de ingresos totales está dada por la expresión ITq = -20/4+q +30. b-) IT(4) = -20/4+4 +30 = 27.5 Rta: Al duplicarse la producción los ingresos totales aumentan en 7,5 unidades monetarias. Ejemplo 8. La función de costo marginal para el producto de un fabricante está dada por: dC/dq = 10-100/(q+10) Donde C es el costo total en dólares cuando se fabrican unidades. 1. Determine la función de costo total, suponiendo que la constante de integración es de 500 2. De acuerdo a la función anterior, indique el costo de fabricar 100 unidades.