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Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Matemáticas Curso: Desarrollo del Pensamiento Lógico- Matemático Tema: Inecuaciones en R Practica Dirigida N°4

Estudios Generales Área: Ciencias Económicas

1. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. En caso que sea verdadera, justifique su respuesta. a) Si a > 0 entonces a + 1/ a ≥ 2 b) Si a < 0 entonces a + 1/ a ≤ −2 c) Para a, b, c números reales. 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 d) Para cualquier número real a, b, c: se tiene |a + b + c| < a + b + c a + b

e) Sea a,b números reales positivos,

2

≥ √ab

2. Si a > 0, b > 0 y a + b = 1, demostrar que: ab ≤ 3. Sea a, b números reales positivos,

2ab a + b

1 4

≤ √ab

4. Sea a + b = 2, donde a y b son números reales, demostrar a4 + b4 ≥ 2 5. Si a2 + b2 + c 2 = 1 y 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1, demostrar que ax + by + cz ≤ 1 6. Si a, b, c son números reales positivos entonces determinar el menor valor de k de modo que 2a2 + 3(b2 + c2 ) a√3bc

≥k

7. Determinar el menor número racional m de modo que para cualquier x ∈ [2, 4] se satisfaga la siguiente desigualdad: (x + 3) / (x − 5) ≤ m 8. Si x ∈ [ 1/ 4 , 5/ 4 ] entonces hallar el menor número M y el mayor número m de modo que se satisfaga la siguiente desigualdad: m ≤ (x + 5) / (x – 2) ≤ M 9. Resolver las siguientes inecuaciones

a) 5x – 2 < 10x + 8 < 2x +16

b) 2𝑥 2 - 6x + 3 < 0

c) 2𝑥 2 + 6x - 9 < 0

d) - 4𝑥 2 - 8 < - 12x

e) ( 𝑥 2 + 2x )( 𝑥 2 - 1) - 24 > 0

f) (x+1)/(2-x) < x/(3+x)

g) 1/(3x-7) > 4/(3-2x)

h) (x+2)/(x-2) ≥ (𝑥 2 + 2 )/ 𝑥 2

i) (x – 2) / ( x + 4 ) ≥ 𝑥/(𝑥 − 2)

k) 1/x ≤

l) (x – 2) / (x + 2) ≥ ( 2x – 3)/( 4x - 1 ) m) (t + 1)/( t + 2 ) + (t + 3) /(t + 4) > ( t + 5) / (t 2 + 6t + 8)

(3𝑥+1) 𝑥

< 4

11. Si al doble de la edad de cierta persona se le resta 17 años resulta menor que 35; pero si a la mitad de la edad de esta persona se le suma 3 el resultado es menor que 15. Hallar la edad de esa persona. 12. En el curso de desarrollo del pensamiento lógico habrá cinco exámenes. Para alcanzar una calificación de B, se necesitan al menos 400 puntos. Sabiendo que tus calificaciones en los primeros cuatro exámenes han sido 91, 86, 73 y 79. Hallar la puntuación que necesita para alcanzar un B. 13. La comisión mensual de un agente de ventas es de 15 por ciento de las ventas por arriba de s/12000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos s/3000 por mes. Hallar el volumen mínimo de ventas que debe alcanzar. 14. Hallar los valores de k para que se verifique la desigualdad x 2 + 2 k x + k > 3/ 16, para todo número real x. 15. Un productor de pisco tiene su fundo en Ica. En su bodega almacena dos tipos de pisco, A y B. El tipo A se vende a 20 soles el litro y el tipo B a 30 soles el litro. Para vender un litro de pisco a un precio entre 26 y 28 soles, combina ambos tipos de pisco en un tonel de 500 litros. Determine entre valores debe estar la cantidad de litros de pisco tipo A para que el precio este en el intervalo deseado 16. (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo, y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana. 17. (Decisiones de fabricación) El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $1.10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de $0.60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques? 18. (Decisión de producción) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12,000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades? 19. Un lado de un campo rectangular está limitado por un río. Un granjero tiene 100 yardas de cerca y quiere cubrir los otros tres lados del campo. Si quiere encerrar un área de al menos 800 yardas cuadradas, ¿cuáles son los posibles valores para la longitud del campo a lo largo del río? 20. Una hoja rectangular de cartón es de 16 por 10 pulgadas. Se cortan cuadrados iguales de cada esquina y los lados se doblan hacia arriba para formar una caja abierta. ¿Cuál es la altura máxima de esta, caja si la base tiene un área de al menos 72 pulgadas cuadradas? 21. (Inversiones) Un accionista invierte $100 a un interés anual del R por ciento y otros $100 al 2R por ciento anual. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $224.80 después de 2 años, ¿qué restricciones deben establecerse sobre R?