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• Mario Rosales

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Matemática 1er año





Matemática 1

año

Matemática 1

año

Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infinitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces. El aprendizaje significativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzado a otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.

El libro Matemática de 1er año de Educación Media es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro. En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Edición general adjunta Inés Silva de Legórburu Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R. Edición general José Manuel Rodríguez R. Textos • Daniel G. Hernández N. Licenciado en Educación, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela • Evelyn Perozo de Carpio Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador • Lisbeth C. Villaparedes de Maza Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador • Lorena E. Brito P. Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador • Nathalia García M. Licenciada en Educación, mención Matemática y Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela Edición ejecutiva Nathalia García M. Lisbeth C. Villaparedes de Maza Edición de apoyo Evelyn Perozo de Carpio Daniel G. Hernández N. Corrección de estilo Mariví Coello Dina Selvaggi Karina Hernández Juan Luis Valdez Samuel González

Lectura especializada Henry J. Martínez L. Profesor, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Magíster en Ciencias, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela Coordinación de arte Mireya Silveira M. Diseño de unidad gráfica Mireya Silveira M. Coordinación de unidad gráfica María Elena Becerra M. Diseño de portada Mireya Silveira M. Ilustración de la portada Walther Sorg Diseño y diagramación general María Elena Becerra M., Diana Angilecchia María Fernanda Guédez, María Alejandra González José Pérez Duin Documentación gráfica Amayra Velón Ilustraciones Walther Sorg, Oliver González, Fondo Documental Santillana Infografías Walther Sorg Fotografías Fondo Documental Santillana Archivo El Universal (FAM)-Fundación Andrés Mata: Venancio Alcázeres, Vicente Correale Retoque y montaje digital Evelyn Torres

Matemática 1er año © 2012 by Editorial Santillana, S.A. Editado por Editorial Santillana, S.A. Reimpresión: 2014 Nº de ejemplares: 18750 Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: 280 9400 / 280 9454 www.santillana.com.ve

ISBN: 978-980-15-0612-6 Depósito legal: lf6332012372265 Impreso en Ecuador por: Imprenta Mariscal CIA. LTDA Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

SOLO PÁGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA

Matemática 1

año

Estructura del libro Inicio de unidad Infografía. Recurso gráfico que permite despertar el interés con relación a los temas de la unidad. Contiene datos y preguntas que favorecen la interacción, participación y reflexión para introducir los nuevos contenidos. Logros esperados. Enunciados breves que describen los principales conocimientos, valores, habilidades y destrezas que se pretende consolidar con el desarrollo de los contenidos de la unidad.

Para reflexionar y debatir. Preguntas dirigidas a generar conclusiones a partir del análisis de la información y los datos planteados en la infografía.

Idea para la acción. Reseña de la actividad grupal para contribuir al desarrollo de proyectos, trabajos especiales o líneas de investigación, para ser llevada a cabo durante o al final de la unidad.

Desarrollo de los temas

Contenido. Tema con información actualizada, presentada a través de textos e imágenes, organizadores y recursos gráficos novedosos.

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Información complementaria. Datos adicionales que enriquecen los temas, relacionados con diversas áreas del conocimiento, así como con aspectos de la vida cotidiana, como el trabajo, la tecnología, el ambiente y la diversidad cultural del país.

Pensamiento crítico. Actividades especiales que estimulan la capacidad de reflexión y la emisión de juicios de valor sobre los contenidos de los temas.

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Actívate. Preguntas relacionadas con situaciones de la vida cotidiana, orientadas a evocar conocimientos previos vinculados con los temas o generar inquietudes acerca de los nuevos contenidos a desarrollar.

Actividades. Preguntas, ejercicios, casos y situaciones de análisis para validar, afianzar y reforzar los contenidos vistos. Estimulan la capacidad de razonamiento en el plano individual, y la interacción por medio del trabajo en equipo.

Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que presentan la información a través de imágenes y textos asociados, para aprender de manera dinámica.

Cierre de unidad Actividades de refuerzo. Ejercicios, preguntas y casos de análisis, vinculados con los temas abordados en la unidad. Persiguen el desarrollo de las distintas habilidades del pensamiento.

Conexos con… Datos informativos que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia. Idea para la acción. Desarrollo de la actividad anunciada al inicio de cada unidad, con sugerencias para su planificación, puesta en práctica y evaluación, como estrategia para la generación de conocimientos.

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Estrategia de resolución de problemas. Estrategias sistemáticas para resolver problemas, con base en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.

3

Índice Números naturales....................... 6

U3

Números racionales...................... 76

Tema 1 Conjunto de números naturales (N) .......................... 8

Tema 1 Conjunto de números racionales (Q) ........................ 78

Tema 2 Operaciones en N ..................................................... 10

Tema 2 Fracciones .................................................................. 80

Tema 3 Ecuaciones en N ....................................................... 12

Tema 3 Fracciones equivalentes ............................................ 82

Tema 4 Solución de ecuaciones en N ................................... 14

Tema 4 Recta númerica y orden en Q ................................... 86

Cierre Actividades de refuerzo ............................................. 18

Tema 5 Adición y sustracción de números racionales con iguales denominadores ...................................... 90



Estrategia de resolución de problemas ..................... 20



Idea para la acción: Reciclaje de papel...................... 21

U2

Números enteros.......................... 22

Tema 6 Adición y sustracción de números racionales con diferentes denominadores ................................. 94 Tema 7 Propiedades de la adición en Q ............................... 98 Tema 8 Adición y sustracción combinadas en Q .................. 100

Tema 1 Conjunto de números enteros (Z) ............................. 24

Tema 9 Multiplicación en Q y sus propiedades ................... 102

Tema 2 Valor absoluto y orden en Z ...................................... 28

Tema 10 Potenciación en Q .................................................... 106

Tema 3 Adición y sustracción en Z ....................................... 30

Tema 11 Propiedades de la poteciación en Q ........................ 110

Tema 4 Propiedades de la adición en Z ................................ 34

Tema 12 División en Q y operaciones combinadas ............... 112

Tema 5 Adición y sustracción combinadas en Z .................. 36

Tema 13 Operaciones combinadas con potencias en Q ......... 114

Tema 6 Multiplicación en Z y sus propiedades ................... 40

Tema 14 Ecuaciones en Q ....................................................... 116

Tema 7 Potenciación en Z ..................................................... 44

Tema 15 Expresiones decimales .............................................. 120

Tema 8 Propiedades de la potenciación en Z ....................... 46

Tema 16 Fracción generatriz .................................................... 122

Tema 9 Divsión en Z ............................................................. 50

Tema 17 Notación ciéntifica .................................................... 124

Tema 10 Operaciones combinadas en Z ................................. 52 Tema 11 Ecuaciones en Z ....................................................... 54

Tema 18 Operaciones básicas con expresiones decimales ....................................... 126

Tema 12 Solución de problemas mediante ecuaciones en Z ....................................................... 56

Tema 19 Operaciones con números en notación ciéntifica ................................................ 128

Tema 13 Múltiplos y divisores ................................................. 58

Cierre Actividades de refuerzo ............................................. 130

Tema 14 Números primos y compuestos ................................. 60 Tema 15 Descomposición en factores primos ......................... 62 Tema 16 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) y máximo común divisor (m.c.d.) ............................... 64 Tema 17 Aplicación del m.c.m. y m.c.d. .................................. 68 Cierre Actividades de refuerzo ............................................. 72

Estrategia de resolución de problemas ..................... 74



Idea para la acción: Deportes extremos a temperaturas extremas............................................... 75



Estrategia de resolución de problemas ..................... 132



Idea para la acción: El trompo alimenticio................. 133

U4

Geometría.................................... 134

Tema 1 Circunferencia y círculo ............................................. 136 Tema 2 Figuras circulares ....................................................... 138 Tema 3 Ángulo al centro y rectas con respecto a una circunferencia .................................................. 140 Tema 4 Longitud de una circunferencia ................................. 142 Tema 5 Polígonos ................................................................... 144

4

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U1

Tema 6

Diagonales y ángulos interiores de un polígono ........................................................... 146

Tema 7

Trazado de polígonos regulares ............................... 148

Tema 8

Triángulos ................................................................. 150

Tema 9

Propiedades de los triángulos .................................. 152

Tema 10 Trazado de triángulos ............................................... 154

U6

Informática ................................. 212

Tema 1

Algoritmos ................................................................. 214

Tema 2

Procesamiento de datos e información .................... 216

Tema 3

La computadora ........................................................ 218

Tema 4

Aplicaciones de las computadoras .......................... 222

Cierre

Actividades de refuerzo ............................................ 224

Tema 11 Rectas y puntos notables de un triángulo ............... 158

Estrategia de resolución de problemas .................... 226

Tema 12 Cuadriláteros ............................................................ 162

Idea para la acción: Computadora personal .............. 227

Tema 13 Clasificación de cuadriláteros .................................. 164

Solucionario ........................................................................... 228

Tema 14 Trazado de cuadrados ............................................... 166

Fuentes consultadas ............................................................. 240

Tema 15 Trazado de rectángulos ............................................ 168 Tema 16 Trazado de rombos ................................................... 170 Tema 17 Área de cuadriláteros ............................................... 172 Tema 18 Área de triángulos .................................................... 176 Tema 19 Área de polígonos regulares e irregulares .............. 178 Tema 20 Área del círculo ........................................................ 180 Tema 21 Área de la superficie exterior de un cuerpo geométrico ......................................... 182 Tema 22 Volumen y capacidad ............................................... 184 Tema 23 Relación entre volumen y capacidad ....................... 186 Tema 24 Volumen de cuerpos geométricos ............................ 188 Cierre

Actividades de refuerzo ............................................ 190 Estrategia de resolución de problemas .................... 192

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Idea para la acción: Maqueta de poliedro................. 193

U5

Probabilidad y estadística ............ 194

Tema 1

Probabilidad .............................................................. 196

Tema 2

Diagrama de árbol .................................................... 198

Tema 3

Recolección y organización de datos ....................... 200

Tema 4

Distribución de frecuencias ..................................... 202

Tema 5

Intervalos de clase e histogramas ........................... 204

Cierre

Actividades de refuerzo ............................................ 208 Estrategia de resolución de problemas .................... 210 Idea para la acción: Fruto-estadística ...................... 211

A propósito del lenguaje de género Según la Real Academia de la Lengua Española y su correspondiente Academia Venezolana de la Lengua, la doble mención de sustantivos en femenino y masculino (por ejemplo: los ciudadanos y las ciudadanas) es un circunloquio innecesario en aquellos casos en los que el empleo del género no marcado sea suficientemente explícito para abarcar a los individuos de uno y otro sexo. Sin embargo, desde hace varios años, en Editorial Santillana hemos realizado un sostenido esfuerzo para incorporar la perspectiva de género y el lenguaje inclusivo, no sexista en nuestros bienes educativos, pues valoramos la importancia de este enfoque en la lucha por la conquista definitiva de la equidad de género. En tal sentido, en nuestros textos procuramos aplicar el lenguaje de género, al tiempo que mantenemos una permanente preocupación por el buen uso, la precisión y la elegancia del idioma, fines en los que estamos seguros de coincidir plenamente con las autoridades académicas.

A propósito de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Editorial Santillana incluye en sus materiales referencias y enlaces a sitios web con la intención de propiciar el desarrollo de las competencias digitales de docentes y estudiantes, así como para complementar la experiencia de aprendizaje propuesta. Garantizamos que el contenido de las fuentes en línea sugeridas ha sido debidamente validado durante el proceso de elaboración de nuestros textos. Sin embargo, dado el carácter extremadamente fluido, mutable y dinámico del ámbito de la Internet, es posible que después de la llegada del material a manos de estudiantes y docentes, ocurran en esos sitios web cambios como actualizaciones, adiciones, supresiones o incorporación de publicidad, que alteren el sentido original de la referencia. Esos cambios son responsabilidad exclusiva de las instituciones o particulares que tienen a su cargo los referidos sitios, y quedan completamente fuera del control de la editorial. Por ello, recomendamos que nuestros libros, guías y Libromedias sean previa y debidamente revisados por docentes, padres, madres y representantes, en una labor de acompañamiento en la validación de contenidos de calidad y aptos para el nivel de los y las estudiantes.

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U1 LOGROS eSPeRAdOS • Reconocer informaciones numéricas en la vida cotidiana. • Comprender el uso de la matemática en experiencias cotidianas. • Aplicar nociones matemáticas básicas en diversos contextos.

NÚMEROS NATURALES ¿Cuánto papel se usa y se recicla? Para producir una tonelada de papel se talan unos 20 árboles, y se utiliza una energía que equivale a la que consumen 160 casas en un día. Pese a esto, en Venezuela se recicla aproximadamente 20% de los materiales fabricados con papel; el resto es desechado. Consumo de papel en Venezuela en 2010 Periódico: 106 850 toneladas Impresión y escritura: 120 944 toneladas Empaques de alimentos: 137 208 toneladas Embalaje (cartón medio corrugado): 69 384 toneladas

Papel higiénico: 182 792 toneladas Bolsas y envoltorios: 15 149 toneladas Cartulina: 181 172 toneladas

Reciclaje de papel Al final de esta unidad realizarán una campaña de reciclaje de papel, como una estrategia de conservación del ambiente y de obtención de ingresos.

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Números Naturales

Aproximadamente el

20%

se recupera para ser reciclado

818 757 toneladas

Otros: 5 258 toneladas

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IdeA PARA LA AccIÓN

Para reflexionar y debatir ¿Cuántas toneladas de papel se consumieron en Venezuela en 2010? ¿Cuántas fueron recicladas? Asumiendo que para generar las toneladas usadas en 2010 no se usaron fibras recicladas, ¿cuántos árboles se talaron ese año para fabricar tal cantidad de papel? ¿Qué puedes hacer para colaborar con la conservación del ambiente?

200 000 litros de agua

7 800 kilovatios de energía

20

es lo que se necesita para fabricar una tonelada de papel

árboles

Reciclaje de papel en Venezuela en 2010 Periódico: 20 642 toneladas

Otros: 3 702 toneladas

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Impresión y escritura: 41 616 toneladas

Empaques de alimentos: 1 814 toneladas

Cartulina: 22 302 toneladas

Papel higiénico: 13 181 toneladas Embalaje (se recicla mucho más de lo consumido, producto de las importaciones) 69 384 toneladas Números Naturales

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Tema 1

Conjunto de números naturales (N) Actívate ¿Cómo puedes saber cuántos habitantes hay en un país? ¿A cuál conjunto numérico pertenecerían los elementos que usarías para identificar a cada persona?

Conjunto de los números naturales (N) Los números naturales sirven para contar y ordenar. Se pueden utilizar, por ejemplo, para contar los habitantes de un país, o indicar la posición que ocupa una persona en una competencia. Los siguientes casos son ejemplos del uso de los números naturales: • En Venezuela hay 43 parques nacionales y 30 monumentos naturales. • El Teatro Teresa Carreño, ubicado en Caracas, Distrito Capital, tiene capacidad para albergar 2 900 personas. El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N, y se escribe: N 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6...6

Orden en N

Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, en una carrera de fórmula 1, no solamente es necesario conocer cuántos carros terminan la carrera; también es importante saber el orden en que llegan a la meta. El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cuál es el menor y cuál es el mayor. Cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: • a es mayor que b. Esta relación se escribe a . b. • a es menor que b. Esta relación se escribe a , b. • a es igual a b. Esta relación se escribe a 5 b. Al comparar los números 42 y 37 se puede afirmar que 42 es mayor que 37, es decir, 42 . 37. En la recta numérica a , b si el punto que representa a a en la recta se encuentra a la izquierda del punto que representa a b. Por ejemplo, 3 , 8 porque 3 está a la izquierda de 8 en la recta numérica: 0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10

En el conjunto de los números naturales se tiene que 0 , 1; 1 , 2; 2 , 3; 3 , 4… es decir 0 ,1 , 2 , 3 , 4… Por lo tanto, no hay números naturales entre 0 y 1, ni entre 1 y 2 ni entre ningún par de números naturales consecutivos.

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Números naturales

El Parque Nacional Parima Tapirapecó es el más grande de Venezuela. Está ubicado al sureste de la Amazonia venezolana abarcando 3 420 000 hectáreas.

Zoom Números consecutivos Dos números que se suceden uno al otro se denominan consecutivos. Por ejemplo, 5 y 6 son consecutivos.

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El conjunto de números naturales es infinito porque, dado un número natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.

Ejemplo En una competencia de halterofilia, una competidora logró levantar los siguientes pesos en 5 intentos: 200 kg, 250 kg, 225 kg, 180 kg y 275 kg. Si en cada intento logró levantar un peso mayor al logrado en el anterior, ¿cuál fue el peso que levantó en cada intento? Procedimiento

1. Se expresan los datos con números naturales. 2. Se representa la situación en la recta numérica. 3. Se ordenan de menor a mayor.

200 kg → 200 250 kg → 250 225 kg → 225

180 kg → 180 275 kg → 275 225

160

180

200

220

250

240

275

260

280

180 , 200 , 225 , 250 , 275

Respuesta: el orden de los pesos fue 180 kg; 200 kg; 225 kg; 250 kg y 275 kg.

Los números naturales pueden ordenarse de menor a mayor (forma creciente), o de mayor a menor (forma decreciente), utilizando las desigualdades a , b o a . b respectivamente.

Actividades

Para realizar en el cuaderno

Representa en la recta numérica cada grupo de números. Luego ordénalos de menor a mayor y viceversa. a) 12; 26; 34; 67; 14; 20 d) 11; 23; 14; 46; 73; 54 g) 11; 6; 27; 81; 40; 59 b) 36; 25; 10; 9; 0; 12 e) 7; 45; 14; 21; 62; 0 h) 98; 74; 10; 46; 33; 3 c) 9; 25; 17; 58; 79; 84 f ) 23; 78; 63; 34; 42; 9 i) 52; 2; 47; 74; 12; 18 1

Determina los números representados en cada recta numérica resaltados en rojo. a) c) 2

0



b)

1 2

0 2

d)

0

3

0



5

Responde. a) ¿ Son 8 y 12 números pares consecutivos? ¿Por qué? b) ¿ Los números 1; 3 y 5 son números impares consecutivos? ¿Por qué? c) Si m es un número par, ¿cuál es el par que le sigue? d) S i se tiene un número natural cualquiera y su sucesor, ¿cuál de los dos es el mayor? © editorial santillana, S.A.

3

4

Resuelve los problemas. a) En una competencia de ciclismo, siete de b) Un atleta logró las siguientes distancias al las competidoras están a 25 m, 10 m, 17 m, lanzar seis veces una jabalina: 100 m, 112 m, 12 m, 9 m, 4 m y 13 m de la meta. ¿En qué 135 m, 98 m, 120 m y 152 m. ¿Cuáles fueron orden, comenzado por la que está más cerca, sus marcas en cada lanzamiento si las hizo de están las competidoras en ese momento? menor a mayor distancia? Conjunto de números naturales (N)

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Tema 2

Operaciones en N Actívate ¿Cómo se administra el dinero al salir de viaje? ¿Qué operaciones se utilizan?

Adición y sustracción en N

La adición y la sustracción se usan en diversas situaciones cotidianas, como en la administración que hace una persona de su dinero. Operación

Ejemplo

Definición

Adición

24 365 1 11 314 5 35 679

Dados a, b, c [ N, a 1 b 5 c ; donde a y b son sumandos y c es la suma.

Sustracción

5 263 2 4 112 5 1 151

Dados a, b y c [ N, a 2 b 5 c, siempre que a 5 b 1 c ; donde a es el minuendo, b es el sustraendo y c es la diferencia o resta.

Ejemplo Cinco personas irán a la playa y calculan que gastarán Bs. 1 050. Si cuatro de ellas aportan Bs. 255, Bs. 180, Bs. 220 y Bs. 175. ¿Cuánto debe aportar la quinta persona? Procedimiento

Se adicionan los aportes conocidos de cada una de las personas y el resultado se sustrae de la cantidad que calcularon gastar.

255 1 180 1 220 1 175 5 830 1 050 2 830 5 220

Respuesta: la quinta persona debe aportar Bs. 220 para completar el presupuesto.

Multiplicación y división en N

La multiplicación y la división se pueden utilizar, por ejemplo, para calcular porcentajes. Operación Multiplicación

División

Ejemplo

Ejemplo Factores

5 206 *

Producto

24 5 124 944

dividendo 1 07’5’ 25 divisor

7 5 43 residuo 0

cociente

Definición a número de veces

Dados a, b y c [ N, a * b 5 b 1 b 1 b 1 b 1…1 b 5 c a y b son los factores y c el producto. Dados D, d, c y r [ N (d  0; r ,d ), D 5 d * c 1 r ; D es el dividendo, d el divisor, c el cociente y r el residuo o resto.

Procedimiento

Se dividen las raciones entre el nuevo número de días y se calcula la cantidad de vacas que puede alimentar con ellas. Así se obtiene la cantidad de vacas que debe vender.

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Números naturales

Raciones: 950 * 80 5 76 000 Nuevo número de días: 80 1 15 5 95 76 000 4 95 5 800 950 2 800 5 150

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Un ganadero tiene alimento para 950 vacas por 80 días. Si quiere que el alimento dure 15 días más, sin disminuir la ración diaria, ¿cuántas vacas debe vender?

Potenciación en N

La potenciación es una multiplicación abreviada. Se puede utilizar, por ejemplo, para calcular la cantidad de personas que conforman una línea familiar. Operación Potenciación

Ejemplo 114 5 11* 11* 11* 11

Definición n veces Dados a, b y n [ N, a n 5 a * a * a ...* a 5 b ; donde a es la base, n el exponente y b la potencia.

5 14 641

EjEmplo Una pareja tuvo 3 hijos y una hija. Cada uno de los varones, a su vez, tuvo 3 hijos y una hija, y así sucesivamente. ¿Cuántos primos tiene una bisnieta de la pareja? Procedimiento

1. Se representa el problema con un gráfico. En este caso, solo se simboliza los varones. También se puede calcular la cantidad de bisnietos elevando el 3 al número de generación. 2. Se realizan los cálculos.

1a generación 2a generación 3a generación

Zoom Definiciones de la potenciación • Todo número (excepto el cero) elevado al exponente cero es igual a uno. • Todo número elevado al exponente uno es igual al número dado.

Hijos → 3 5 31; Nietos → 9 5 32; Bisnietos → 27 5 33 Como cada bisnieta tiene 3 hermanos, 27 2 3 5 24

Respuesta: una bisnieta de la pareja tiene 24 primos.

Actividades 1

2

Para realizar en el cuaderno

Resuelve cada operación. a) 15 356 1 12 986 5 b) 85 233 2 84 999 5 c) 2 689 482 1 28 5 d) 6 987 450 1 325 5 e) (150 2 36) * (125 2 25) 5

f ) (2 500 2 487) 4 3 5 g) 125 5 h) 214 5 i) 10 110 1114 3 5 j) 965 781 1 54 823 5

Resuelve los problemas. a) Daniel tiene 3 cajas rojas; dentro de cada una hay 4 cajas verdes; y cada caja verde contiene 5 cajas amarillas, que a su vez contienen 6 cajas azules. ¿Cuántas cajas azules hay?

k) 859 486 2 788 6975 l) 654 712 * 28 5 m) 2 689 482 1 273 5 n) 3 074 984 1 842 5 ñ) 97 5

o) 223 5 p) 106 5 q) 813 5 r) 45 5 s) 113 5

b) Una persona es menor que otra por 8 años. ¿Cuál será la diferencia de sus edades dentro de 5 años?

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Pensamiento crítico Analiza la situación y responde. Una señora resolvió la operación 2 166 4 15 de esta manera: (1 500 1 600 1 60 1 6) 4 15. Obtuvo como cociente (100 1 40 1 4) 5 144, y 6 como residuo. a) ¿Cuál sería el cociente y cuál el residuo si se usa 2 16652 10014511516? b) ¿De qué otra forma se puede hacer este cálculo? oPeraCioNes eN N

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Tema 3

Ecuaciones en N Actívate ¿Cómo se puede saber la cantidad que se debe colocar a cada lado de una balanza para mantener su equilibrio?

Igualdades Una igualdad representa la relación entre expresiones que tienen el mismo valor. Para expresar una igualdad se utiliza el signo igual (5). Por ejemplo: Igualdades númericas

Igualdades algebraicas

3 kg

3 kg 4 kg

x

7 kg

4 kg adicionados con 3 kg es igual 7 kg; es decir, 4 1 3 5 7. Como en ambos lados de la igualdad hay solo números, la igualdad es numérica.

7 kg

Cierta cantidad de kilogramos adicionados con 3 kg es igual a 7 kg, es decir, x 13 57. Como en la igualdad hay un valor desconocido, la igualdad es una ecuación.

Las igualdades que incluyen números y letras se llaman ecuaciones, la cuales son ciertas solo para un valor de la incógnita. Por ejemplo, la ecuación x 1 3 5 7, sólo es cierta para x 5 4. Comprobación: x 5 4 → 4 1 3 5 7

Elementos de una ecuación Los elementos de una ecuación son las incógnitas, el grado, los miembros y los términos. primer miembro

x 1 10 5 13

Variable o incógnita

Miembros Expresiones que se encuentran a cada lado del signo 5

Términos Todas y cada una de las expresiones que forman los miembros de la igualdad. Si son números se les llama constantes.

Grado Máximo exponente con el que aparece la variable.

Una ecuación es una igualdad que involucra operaciones entre constantes y una o varias incógnitas, que suelen escribirse con letras minúsculas.

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Números naturales

Recuerda Un número satisface una ecuación si al sustituir la incógnita por él la igualdad es cierta.

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Letra cuyo valor es desconocido

segundo miembro

Lenguaje algebraico En el lenguaje cotidiano hay situaciones en las que se usan números naturales que se pueden expresar con un lenguaje algebraico, es decir, mediante símbolos, números y signos. Por ejemplo, para expresar la suma de dos números consecutivos puede escribese x 1 (x 1 1).

Ejemplo 1 La cantidad de libros que tiene Antonio, aumentada en cinco, es igual a cuarenta. ¿Cómo expresarías la situación mediante una ecuación? Procedimiento

1. Se identifica la incógnita y otros datos significativos. 2. Se plantea la ecuación.

Cantidad de libros → x Cantidad aumentada en cinco → x 1 5 La cantidad de libros aumentado en cinco, es igual a cuarenta → x 1 5 5 40.

Ejemplo 2 La diferencia de las edades de dos hermanos es de cinco años. Si la edad del hermano mayor es el doble de la del hermano menor, ¿cómo plantearías la situación con una ecuación? Procedimiento

1. Se identifica la incógnita y otros datos significativos. 2. Se plantea la ecuación.

Actividades

Edad del hermano menor → x Edad del hermano mayor → 2x La diferencia de sus edades es de 5 años → 2x 2 x 5 5.

Para realizar en el cuaderno

Identif ica cuáles de las siguientes igualdades son ecuaciones. g) 2x 1 2 5 14 a) 7 1 8 5 15 c) x 1 10 5 16 e) x 5 2 * (3x) * b) 2x 1 x 5 3 d) 6 1 30 5 36 f ) 12 2 5 24 h) 3x 5 6 1

i ) 5 1 3 * 5 5 20 j ) 11 2 3x 5 2

Determina la incógnita, los términos y el primer y segundo miembro de cada ecuación. d) 3z 1 5 5 22 g) 2r 1 5r 5 4 j) z 1 6 5 10 m) t 1 6 5 10 a) x 1 8 5 15 h) 3f 2 5 5 4f k) 1 1 y 5 11 n) 3x 1 5 5 17 b) 2x 1 5 5 3x e) w 1 6 5 2w f ) t 1 3t 5 16 i) 8y 1 3 5 27 l) 4z 2 2 5 6 ñ) 2y 1 1 5 13 c) 11 1 y 5 32 2

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Expresa cada situación en forma de ecuación. a) El doble de un número más su triple es igual a 20. b) Dos personas han gastado Bs. 850. Una gastó el doble de la otra. c) Una persona tiene ahorrada una cantidad de dinero. Cuando tenga 15 bolívares más, entonces tendrá el triple de lo que tiene ahora.

d) La mitad de un número es igual a 10. e) Trece es igual a un número menos tres. f) El triple de un número más su doble es igual a quince. g) La suma de dos números consecutivos es 21. Ecuaciones en N

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TEMA 4

Solución de ecuaciones en N ACTÍVATE Sí pagas el monto total de varios artículos y desconoces el precio de alguno, ¿cómo obtienes el dato que hace falta sin preguntarlo y sin ver la factura?

Solución de ecuaciones en N En este tema se estudiarán ecuaciones que tienen una única solución. La solución de una ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta. Una ecuación tiene solución en el conjunto de los números naturales si el valor de la incógnita pertenece a N. Resolver una ecuación significa encontrar su solución. En la ecuación x  4  7, el valor que hace que la igualdad se cumpla es 3, porque 3  4  7. Por tanto, x  3 es la solución de la ecuación. Para hallar la solución de una ecuación, se deben tomar en cuenta las siguientes propiedades de las igualdades: • Si a los miembros de una igualdad se les adiciona o se les sustrae una misma cantidad, la igualdad no se altera. • Si los miembros de una igualdad se multiplican o se dividen por un mismo número, diferente de cero, la igualdad no se altera.

EJEMPLO Resolver la ecuación 3x  2  155. Procedimiento 3x  2  155

1 Se plantea la ecuación. 2 Se sustrae 2 a ambos miembros

de la igualdad para eliminar la constante en el primer miembro.

3x  2  2  155  2 3x  153

3 Se dividen ambos miembros

de la igualdad entre 3.

3x  3  155  3 x  51

Solución de problemas usando ecuaciones

1. Interpretación del enunciado. Se identifican en el enunciado los datos y lo que se busca calcular. Luego se asigna una letra (incógnita) a la información desconocida en el enunciado. 2. Planteamiento y solución de la ecuación. Se construye una expresión en forma de ecuación. Luego se resuelve la ecuación y se redacta la solución en los términos del problema. 3. Comprobación de la solución. Se verifica si la solución cumple las condiciones del enunciado del problema.

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NÚMEROS NATURALES

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Hallar la solución de un problema usando ecuaciones implica plantear una ecuación a partir de la situación propuesta y descubrir el valor de la incógnita. Para resolver problemas que implican el uso de ecuaciones se siguen estos pasos:

EJEMPLO 1 Un paracaidista se lanza desde cierta altura. Al recorrer 1 000 m en caída libre abre su paracaídas y luego recorre otros 500 m hasta llegar al suelo. ¿Desde qué altura se lanzó el paracaidísta?

x

1 000 m

Procedimiento 1 Se comprende el problema

x  1 000  500

2 Se resuelve la ecuación.

x1 0001 000 5001 000 x  1 500

y se plantea la ecuación.

3 Se comprueba el resultado.

500 m

1 500  1 000  500

Respuesta: el paracaidista se lanzó desde 1 500 m.

EJEMPLO 2

x

El avión que traslada a un grupo de paracaidistas pesa 1 100 kg, lo que representa 12 veces el peso de cada paracaidista más 80 kg. ¿Cuál es el peso de cada persona? Procedimiento 1 Se comprende el problema

y se plantea la ecuación.

2 Se resuelve la ecuación. 3 Se comprueba el resultado.

12x

12x  80  1 100 12x 80  80  1 100  80 12x  1 020 x  85  12 (85)  80  1 100

 80 kg 

Respuesta: cada paracaidista pesa 85 kg.

1 100 kg

EJEMPLO 3 Sobre un edificio de x centímetros de altura pasó un avión volando a 3(x 350) cm. Luego de unos minutos pasa otro avión a una altura de 2(x 50) cm. Si ambos aviones pasaron a la misma altura, ¿cuál es la altura del edificio?

1er avión

2o avión

Procedimiento 1 Se comprende el problema y se plantea la ecuación.

3(x  350)  2(x  50)

3x  1 050  2x  100

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3x1 0501 0502x1001 050

2 Se resuelve la ecuación.

2 (x  50)



3x  2x  950

3x2x  2x2x 950

x

3 Se comprueba el resultado.

3 (x  350)

950

3(950)  1 050  2(950)  100 1 800  1 800

x

Respuesta: la altura del edificio es de 950 cm, es decir, 9,5 m. SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN N

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EJEMPLO 4 La suma de tres números naturales consecutivos es igual a 48, ¿cuál son los números? Procedimiento

x

1 Se asigna una incógnita a la información desconocida

→ 1er número x  1 → 2o número x  2 → 3er número

2 Se plantea una ecuación de acuerdo con los datos.

x  (x  1)  (x  2)  48

3 Se resuelve la ecuación hallando el valor de la incógnita.

x  (x  1)  (x  2)  48 3x  3  48 3x  3  3  48  3

en el enunciado.

4 Se hallan los números y se comprueba la solución.

3x  45 3x  3  45  3 x  15 Como 15 (151)(152) 15  16  17  48, además,15, 16 y 17 son números consecutivos, entonces la solución es correcta.

Respuesta: los números son 15; 16 y 17.

x

EJEMPLO 5 Un campo de bolas criollas es rectangular y su perímetro es igual a 270 m. Si su largo es el doble del ancho, ¿cuál será la medida exacta del largo y del ancho? Procedimiento

2x

1 Se asigna una incógnita a la información desconocida

x→ 2x →

2 Se plantea una ecuación de acuerdo con los datos.

P  2x  x  2x  x  270

3 Se resuelve la ecuación hallando el valor de la incógnita.

270  2x  x  2x  x 270  6x 270  6  6x  6 45  x → x  45

4 Se comprueba el resultado.

Como 270  2  (45)  45  2  (45)  45, entonces la solución es correcta.

Respuesta: el ancho del campo de bolas es de 45 m y el largo es de 90 m.

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NÚMEROS NATURALES

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en el enunciado.

ancho largo

Actividades 1

2

3

Para realizar en el cuaderno

Resuelve las ecuaciones. a) 23x  2  25

g) 28x  1  88  x

m) x  3  27

r) 152 x  153  305x

b) 3x  2  x + 8

h) 6x  2  272

n) 4x  3  26

s) 4x  2  18

c) 2x  5  x

i) 5  x  7  2x

ñ) 3x  1  2 (3  x )

t) x  21  31

d) 3x  7  8

j) 2(x  7)  32

o) 20x  5x  1 225

u) 2x  6  x

e) 5x  2  4 x

k) 2(x  1 )  3 (x  1 )

p) 33  x  25

v) 5x  4  1

f ) 150x  50  175x

l) 2x  3  12

q) 2x  3  3  x

w) x  26  5

Plantea cada situación como una ecuación, halla su solución y responde las preguntas planteadas. a) La suma de cuatro números consecutivos e) La suma de dos números consecutivos es es igual a 38. ¿Cuáles son esos números? igual a 15. ¿Cuáles son los números? b) El doble de un número más el triple de ese f ) Diez veces un número menos diez es igual número es igual 25. ¿Cuál es el número? a cero. ¿Cuál es el número? c) Un número menos su mitad es igual a 16. g) Un tercio de un número menos uno es igual ¿Cuál es ese número? a dos. ¿Cuál es el número? d) Un número menos dos es igual a dos veces h) Quince veces un número es igual a dos veces el mismo número menos nueve. ¿Cuál es el número más trece. ¿Cuál es el número? ese número? Responde los problemas planteados. a) El doble de la edad de Alicia es igual a d) Un nadador recorre el largo de una piscina la edad de Daniel, y la edad de José es el una vez. Luego repite el recorrido dos veces; doble de la de Daniel menos 20. Si las edades y, finalmente, tres veces. Si en total nadó suman 85, ¿qué edad tiene cada uno? 300 m, ¿cuál es el largo de la piscina? b) El perímetro de un jardín rectangular e) La edad de Zara es el triple de la de Carlos, es de 80 m. Si el largo del jardín es tres veces y la de José es el doble de la de Zara. Si las el ancho, ¿cuál es el largo y el ancho? tres edades suman 130 años, ¿qué edad tiene cada uno? c) En una reunión de 24 personas hay 2 veces más mujeres que hombres y tres veces más f ) La cantidad de f lores que tiene Marisol personas adultas mayores que adultas jóvenes. aumentada en seis es igual a cuarenta. ¿Cuántas mujeres hay? ¿Cuántas personas ¿Cuántas f lores tiene Marisol? adultas jóvenes hay?

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Pensamiento crítico Analiza y responde. Una persona compró 2 cauchos. Por lo que pagó, hubiese podido comprar en otra cauchera 4 cauchos, y ahorraba Bs. 200 por cada uno. a) ¿Cuánto costaba cada caucho en la otra cauchera? b) ¿Cuánto gastó en la compra? c) ¿Es buena la oferta que perdió? ¿Por qué?

Oferta

SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN N

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Actividades de refuerzo

Para realizar en el cuaderno

2

3

4

5

Análisis y aplicación 6 Responde. a) ¿El número de tu cédula es un número natural? ¿Por qué? b) ¿Los números 3 y 7 son impares b) 7 ; 17,8; 500; 2 ; 101; 28; 45,6 consecutivos? ¿Por qué? 3 3 2 2 4 c) ¿La diferencia entre dos números naturales c) 2, 6; ; ; ; 1; 0 3 4 5 siempre es un número natural? ¿Por qué? d) 2 ; 234; 1, 67; 25; 1,04; 8 d) ¿En la operación 12  (58  35) se cumple 3 la propiedad distributiva con respecto Representa cada número en la recta numérica. a la sustracción? Compruébalo. a) 13; 24 y 35 e) Un número más su consecutivo es igual a veinticinco. ¿Cuál es el número? b) 1 170; 1 165 y 1 172 c) 1 755; 1 762 y 1 750 7 Lee los planteamientos y responde. d) 25 478; 25 483 y 25 490 a) Una empresa productora de papel usa 20 árboles y 200 000  de agua para Efectúa cada operación. generar 1 000 kg de papel blanco. ¿Cuál a) 36 681 306  9 997 814  sería la cantidad de árboles y agua para b) 6 917 090 635  8 090 974 521  generar 1 750 kg? c) 71 343 157  31 847 529  b) El perímetro de un triángulo es la suma d) 6 909 294  6 090 294  de las longitudes de sus lados. Si los lados de un triángulo son números naturales e) 5 178  464   consecutivos y su perímetro es 12 cm, ¿cuál f ) 65 (125  73) es la longitud de cada lado del triángulo?  g) 32  (12 12) c) Una persona hace un salto en bungee h) 84  (10  15)  33  usando una cuerda de 30 m de longitud, i ) 44 128  14  desde un viaducto de 50 m de altura, j ) 637 825  25  ubicado en la ciudad de Mérida. k) 28 224  (36  4)  • Al lanzarse, la cuerda se elonga Halla el valor de x en cada caso. 11 m. ¿A qué f ) 2x  3  12 a) 5x  11  21 distancia del suelo g) 2 (x  7)  4x b) 3x  2  2x se encuentra c) 2x  18  x  21 h) 2x  7  4x  5 la persona en ese 30 m momento? i ) x  8  12 d) 21  5x  86 • Si luego la cuerda 23 m j ) 2x  5  19 e) 3x  8  29 se retrae 23 m, Ordena los números de menor a mayor. ¿a qué distancia 11 m del suelo está a) 64; 68; 54; 60; 55; 71; 59; 69 la persona? b) 176; 186; 183; 189; 178; 180; 182

c) 7 510; 5 710; 1 750; 5 017; 1 075; 7 150

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NÚMEROS NATURALES

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Comprensión 1 Identifica los números naturales en cada grupo. a) 70; 3, 5; 213; 12; 256; 0,25

d) En una pista de atletismo, tres chicas participan en una carrera de 1 500 m. Las tres parten al mismo tiempo y al cabo de 18 s la primera está a 36 m de diferencia de la segunda, quien a su vez logra una diferencia de 36 m sobre la tercera. Si la tercera ha recorrido 18 m, y a partir de ese momento todas corren a una velocidad constante de 1 m por segundo, ¿cuánto tiempo tarda cada una en correr los 1 500 m, tomando en cuenta que llegan en el orden descrito? e) Francisco de Miranda nació el 28 de marzo de 1750. En 1781 viajó a España donde fue nombrado Teniente Coronel del ejército Real de España. En 1785 viajó a Rusia y conoció a la emperatriz Catalina II. Más tarde, en 1810, regresó a Caracas y fue nombrado Jefe del Ejército patriota. En 1812 fue acusado de traición a España y encarcelado, para luego ser trasladado a la prisión del Arsenal de La Carraca, en Cádiz, donde murió en 1816. • ¿En qué país se encontraba Francisco de Miranda a los 31 años? • ¿Qué edad tenía cuando fue acusado de traición?

Opinión y síntesis 8 Analiza y opina. a) Una compañía encargada del tratamiento de aguas servidas recibe en un día 1 525 698 litros de aguas negras, de los cuales 982 315 litros se purifican para su nuevo uso y el resto es desechado. • ¿Cuántos litros de aguas negras recibe la compañía anualmente?

• ¿Cuántos litros se desechan? • ¿Qué propuestas harías para que se purifique 100% del agua? b) Una recicladora de aluminio recibe a diario 421 toneladas de metal para ser reciclado. Cada tonelada es separada en grupos, dependiendo de la pureza del material. • Si 525 kg de cada tonelada van al grupo A, 137 kg al grupo B y el resto al grupo C, ¿cuántas toneladas hay en los grupos A, B y C diariamente? • ¿Cuáles otros materiales crees que deberían ser reciclados ? ¿Por qué? c) Un obrero de una construcción devenga un sueldo de Bs. 85 diarios. Cada hora extra que trabaja se la pagan en Bs. 15. Al cabo de 30 días de trabajo obtuvo un total de Bs. 2 565. • ¿Cuántas horas extra trabajó? • ¿Te parece justo el pago? ¿Por qué?

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Conexos con... Astronomía La astronomía es la ciencia que se encarga de estudiar el Universo, los cuerpos celestes, sus movimientos y los fenómenos ligados a ellos. Gracias a esta ciencia se conoce la distancia entre galaxias, estrellas, planetas y otros cuerpos celestes, la cual está expresada con números naturales. Por ejemplo, la distancia entre el Sol y la Tierra, es de 149 600 000 kilómetros. Esa distancia se llama Unidad Astronómica (UA). • Escribe un ejemplo sobre el uso de números naturales para expresar medidas de elementos relacionados con el Universo. N 19 ÚMEROS NATURALES

Estrategia de resolución de problemas Falsa suposición Cuando en un problema hay elementos de dos clases diferentes y es necesario averiguar cuántos elementos hay de cada clase, es posible recurrir a la estrategia de la falsa suposición. Para esto, se parte de la falsa premisa de que todos los elementos son de una sola clase. Ejemplo resuelto

En un terrario experimental viven 30 artrópodos, entre arañas y hormigas. Si se calcularon 202 patas, ¿cuántas arañas y hormigas hay? 1. Se parte de una falsa premisa: “todos estos artrópodos son arañas”. Entonces, habría 30  8  240 patas, pero se sabe que hay 202 patas; entonces se cometió un error de 240  202  38 patas 2. Se analiza el error. El error se debe a que se consideró como arañas a todos los artrópodos del terrario. Cada vez que se contaba una hormiga como araña se fallaba en 8  6  2 patas. Por lo que se falló 38 ÷ 2 = 19 veces. 3. Se encuentra la respuesta. Como se falló 19 veces, entonces 19 de los artrópodos no son arañas sino hormigas. En el terrario hay 19 hormigas y 11 arañas. 4. Se comprueba el resultado: 19  6 + 11  8 = 114 + 88 = 202

1

2

20

Una persona hace dulces tradicionales para vender en la playa.Vende conservas de coco en Bs. 3,50 la unidad y catalinas en Bs. 5,50 cada una. Si un día vendió 56 dulces y recibió Bs. 220 por todos ellos, ¿cuántas catalinas vendió? A través de la ventana de una tienda de bicicletas y triciclos se pueden contar 270 ruedas. Si hay 119 unidades en exhibición, ¿cuántas son bicicletas? NÚMEROS NATURALES

3

4

En una obra se utilizaron 20 sacos de material, unos eran de cemento diluido de 50 kg y otros de grava de 30 kg. Si en total se usaron 820 kg, ¿cuántos sacos eran de cemento diluido? En una pecera se observan 22 crustáceos marinos, entre camarones y langostas. Considerando que los camarones tienen 5 pares de patas y las langostas 4 pares, y en total se contaron 216 patas, ¿cuántos crustáceos eran langostas?

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Problemas

Idea para la acción

Reciclaje de papel

Propósito: ejecutar una campaña de reciclaje de papel como estrategia de conservación ambiental y de recaudación de fondos. 1

Documentación • Busquen información sobre las diferentes empresas de reciclaje de papel en su comunidad. • Investiguen cuáles tipos de papel reciben para reciclar y el valor estimado por kilo. • Tomen nota de los posibles lugares destinados para la recolección, como la institución donde estudian, una ONG, la sede de la Junta de Vecinos la casa de un o una integrante del equipo, entre otras. • Recopilen información acerca de las posibles formas de trasladar el papel recaudado a la recicladora.

2

Planificación • Definan el lugar de recolección y almacenamiento, la fecha de entrega del material a la recicladora y las personas adultas que supervisarán la actividad. • Repartan panfletos en la comunidad y en el liceo, con la fecha de ejecución de la campaña de reciclaje y los tipos de papel a recolectar, como periódico, hojas para escribir o para imprimir, revistas y cartón. • Definan el uso que le darán al dinero que se obtendrá con la venta del material reciclado.

3

Preparación de materiales • Consigan una balanza o peso para pesar los paquetes de papel. Si no la consiguen pueden usar una de las empleadas para medir el peso de las personas y usarla restando el peso de quien sostiene los paquetes. • Tengan a la mano cinta adhesiva y alambre o pabilo para empaquetar y clasificar los papeles.

Puesta en acción • Hagan una pequeña campaña de concientización acerca del uso apropiado de papel y las vías para reciclarlo. • Recauden el papel, clasifíquenlo y pésenlo. • Trasladen el papel a la empresa de reciclaje y contabilicen el dinero obtenido. 4

Papel blanco Periódico

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Cartón

5

Evaluación • Comparen los resultados con los de otros grupos y evalúen las maneras en que se ejecutó cada proyecto. • Respondan preguntas como: ¿cuántos kilos de papel se recaudaron? ¿Pudieron haber sido más? ¿Por qué? ¿Se pueden hacer otras recolecciones como esta? ¿Cuáles? ¿Para qué servirían? NÚMEROS NATURALES

21

U5 LOGROS eSPeRADOS • Reconocer la presencia de las informaciones numéricas en la vida cotidiana.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ¿Cuánta agua consume diariamente una persona en Venezuela? Hay muchas diferencias en el consumo promedio de agua por persona al día entre las diversas regiones del planeta. Por ejemplo, Venezuela es el país latinoamericano con mayor consumo de agua per cápita.

• Recoger datos de situaciones cotidianas. • Representar en distintas formas: tablas, gráficos u otros. • Realizar interpretaciones y conclusiones a partir de datos mostrados en tablas o gráficos.

Consumo de agua diario por persona (litros) En Venezuela el consumo de agua por persona suele superar los 400  al día, cuando la Organización de Naciones Unidas (ONU) establece que con 180  es suficiente.

285 

185  IDeA PARA LA AccIÓN Al final de esta unidad elaborarán un estudio estadístico sobre el consumo de frutas en la institución donde estudian.

85  China Fuente: - Human Development Report (2006-2008)

194

probabilidad y estadística

Brasil

Francia

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Fruto-estadística

Para reflexionar y debatir Según los datos estadísticos registrados en esta gráfica, ¿cuál es el país que más agua consume por persona? ¿Cuál es el que más se ajusta a la norma? Entre Venezuela y China ¿cuál país consume más agua? Sabiendo que en China hay 1 300 millones de habitantes y en Venezuela hay aproximadamente 28 millones de habitantes, ¿qué opinas de la cantidad de agua que se consume?

575 

495 

400 

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375 

Japón

Venezuela

Australia

EE UU

probabilidad y estadística

195

Tema 1

Probabilidad Actívate Cuando juegas al fútbol o al voleibol, ¿puedes predecir de antemano quién ganará? ¿Por qué?

Experimento aleatorio Un fenómeno se llama “determinista” cuando su resultado se conoce de antemano. Por ejemplo, si se pone un cubito de hielo en agua tibia, se sabe que se derretirá; y si el agua se calienta a 100° C, se sabe que hervirá. En cambio, un fenómeno que es “aleatorio” admite varios resultados posibles y no se puede predecir exactamente cuál de ellos ocurrirá. Así, por ejemplo, cuando se lanza una moneda al aire, no se sabe si mostrará cara o sello al caer. Otros eventos aleatorios son: • Lanzar un dado sobre una mesa y observar el número de puntos que quedan en la cara superior. • El sexo del primer bebé que nazca en Venezuela después de la medianoche del próximo 31 de diciembre. Existen algunos fenómenos aparentemente impredecibles, pero que con los conocimientos adecuados, se pueden predecir con exactitud, como los eclipses. En cambio, otros fenómenos físicos parecen ser impredecibles por naturaleza, por ejemplo, el instante exacto en que ocurrirá un tsunami. En conclusión, se dice que: Un experimento aleatorio es un fenómeno cuyo resultado no se puede predecir y que se puede repetir en condiciones prácticamente idénticas.

Espacio muestral El espacio muestral de un experimento aleatorio se refiere al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Por ejemplo, si se lanza un dado y se observa el número de puntos en la cara superior, el espacio muestral es el conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6 porque son todos los resultados que pueden obtenerse. Un evento o suceso es una situación que puede ocurrir o no en un experimento aleatorio. Un subconjunto del espacio muestral es un evento o suceso. Por ejemplo, al lanzar el dado, el subconjunto 1, 3, 5 del espacio muestral 1, 2, 3, 4, 5, 6 es un evento que se puede caracterizar en palabras como “sale un número impar”. Por ahora sólo se considerarán experimentos equiprobables, es decir, experimentos en los cuales todos los resultados posibles tengan la misma oportunidad de ocurrir. Esto sucede en el caso del dado, suponiendo que esté construido de un material homogéneo, ya que su forma simétrica no favorece a ninguna cara sobre las demás.

196

Probabilidad y estadística

Si se lanza una moneda las opciones de resultado son cara o sello. En este caso, el espacio muestral se escribe así: {cara, sello}.

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Eventos o sucesos

Cálculo de la probabilidad de un evento

Zoom

Para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento denominado E, que sea equiprobable, se usa la siguiente fórmula:

Probabilidad de un evento

número de casos favorables P(E) = número de casos posibles Los casos favorables son los resultados del experimento para los cuales ocurre el evento E, y los casos posibles son el número total de resultados que puede arrojar el experimento. Es decir, el número de casos posibles es el número de elementos del espacio muestral, mientras que el número de casos favorables es el número de elementos del evento E.

Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar?

Si llamamos k al número de casos favorables de un evento E y n al número de casos posibles, se tiene que k PE 5 .

n

como entonces 0  k  n, al dividir entre n resulta:

0  nk  nn ,

Procedimiento

1. Se determina la cantidad de casos posibles. Es decir, el número de elementos del espacio muestral. 2. Se determina el número de casos favorables. 3. Se aplica la fórmula.

es decir:

Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 casos posibles Casos favorables: 1, 3, 5. 3 casos favorables porque solo hay 3 números impares 3 P(salga número impar) 5 6 5 0,5

0  PE  1. Por lo tanto, la probabilidad de un evento es un número comprendido entre 0 y 1.

Respuesta: la probabilidad de que salga un número impar es de 0,5.

Un suceso puede ser seguro, posible o imposible según la factibilidad de ocurrencia: Tipo de suceso

Valor de la probabilidad

Seguro

PE 5 1

Posible

0 , PE , 1

Imposible

PE 5 0

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Actividades

Ejemplo Sacar una metra verde de una bolsa con 10 metras verdes Al lanzar una moneda, salga cara Al lanzar un dado que tiene números del 1 al 6, se obtenga un 15

Para realizar en el cuaderno

1

Determina si cada una de las situaciones corresponde o no a un experimento aleatorio. a) Lanzar dos dados al aire. d) Asistir a clases con uniforme. b) Elegir tres fichas de dominó que sin ver e) Escoger entre dos estudiantes representantes sumen 6. para el comité estudiantil. c) Lanzar un dado y dos monedas al aire. f ) Adivinar el número premiado de la lotería.

2

Halla el espacio muestral en la situación “Sembrar tres semillas de frijol y determinar si germinan o no germinan”. Luego encuentra un suceso probable, uno seguro y uno imposible. Probabilidad

197

Tema 2

Diagrama de árbol Actívate ¿Cómo calculas la probabilidad de que un evento ocurra tres veces consecutivas? ¿Será más o menos probable que la probabilidad de que ocurra una sola vez?

Diagrama de árbol El diagrama de árbol es una representación que puede ayudar a describir gráficamente el espacio muestral. Cada línea del diagrama se llama camino o rama los cuales son un posible resultado del suceso. Por ejemplo: un computador se programa para construir todos los posibles números que se pueden formar con una cantidad de cifras determinada. El programador desea poner a prueba su programa introduciendo los números 5 y 9. Para saber cuántos números de dos cifras debe producir el programa, se representa el diagrama de árbol de la derecha. Entonces, el programa debe producir cuatro números que son 55; 59; 95 y 99.

Primer dígito 5

9

Segundo dígito 5 → 55 9 → 59 5 → 95 9 → 99

Ejemplo 1 Al lanzar una moneda 3 veces seguidas, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara (C) en el primer lanzamiento, sello (S) en el segundo lanzamiento y cara (C) en el tercero, es decir, CSC? Procedimiento 1er lanzamiento

2. Determinar cuántas ramas del árbol son casos favorables.

3. Se calcula la probabilidad.

1 cara 2 sello cara cara 3 sello sello 4 Inicio cara 5 cara sello 6 sello 7 cara sello sello 8 En este caso, las opciones resaltadas constituyen la rama o el camino 3 y es la única que muestra el caso favorable de obtener cara en el primer lanzamiento, sello en el segundo y cara en el tercero. cara

P(E) =

número de casos favorables número de casos posibles

1

5 8 5 0,125

Respuesta: la probabilidad de obtener CSC es de 0,125.

Para contar las ramas de un diagrama de árbol sin dibujarlo, se puede usar el principio multiplicativo. Por ejemplo, si una persona tiene 3 camisas y 2 pantalones distintos, el espacio muestral correspondiente a todas las posibles combinaciones que puede hacer la persona con esas camisas y pantalones tiene 3 · 2 = 6 elementos. Entonces, el diagrama de árbol tiene 6 ramas.

198

Probabilidad y estadística

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1. Se representa un diagrama de árbol en el cual se muestren todas las opciones posibles en cada lanzamiento.

3er lanzamiento

2˚ lanzamiento

Ejemplo 2 En una bolsa hay 2 metras rojas y 2 azules. Si todas son del mismo tamaño y se sacan dos, una después de la otra, sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean azules? Procedimiento 1a extracción

1. Se representa el diagrama de árbol donde se muestren las opciones posibles en cada extracción. Como en la primera extracción se saca una, en la segunda quedan tres posibilidades.

2. Determinar cuántas ramas del árbol son casos favorables. 3. S e calcula la probabilidad.

1 2a extracción

R 1 A 2 A 3 R 4 R A 5 Inicio A 6 R 7 A R 8 A 9 R 10 A R 11 A 12 En este caso, las ramas 9 y 12 del diagrama son las que muestran casos favorables de obtener AA, es decir, azul en la primera extracción y azul en la segunda. Por tanto, son 2 casos favorables. R

P(E) =

número de casos favorables número de casos posibles

2

5 12  0,17

Respuesta: la probabilidad de obtener AA es de 0,17.

Actividades

Para realizar en el cuaderno

Elabora un diagrama de árbol para mostrar todos los posibles resultados de cada situación. a) Una mujer tiene 2 blusas y 4 pantalones. ¿De cuántas formas se puede vestir si combina una blusa con un pantalón? b) Se lanza una moneda al aire 3 veces. ¿Cuántos eventos pueden ocurrir? c) En una cantina venden empanadas, arepas, pastelitos, jugos naturales y jugos envasados. ¿Cuántas combinaciones de desayuno se pueden hacer escogiendo solo una comida y una bebida? d) Si se lanza una moneda y un dado, ¿de cuántas formas se puede obtener sello con la moneda y un número primo con el dado? © editorial santillana, S.A.

1

2 Resuelve los problemas. a) Una moneda se lanza tres veces. Si en todos los lanzamientos sale cara, la moneda será de Juan. Si sale sello tres veces, será de Pedro. Si dos veces sale cara y una vez sello, será de María. ¿Quién tiene mayor probabilidad de quedarse con la moneda?

b) Un matrimonio quiere tener tres hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que nazcan por lo menos, 2 varones? ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean del mismo sexo? Diagrama de árbol

199

Tema 3

Recolección y organización de datos Actívate El Instituto Nacional de Estadística es el ente gubernamental encargado de recolectar datos de la población venezolana. ¿Cómo crees que los recolectan?

Datos Un dato puede ser un número, una palabra o cualquier conjunto de símbolos utilizados para describir alguna característica de una situación en estudio. Por ejemplo, edad, peso, fecha de nacimiento y color de ojos, son datos sobre una persona. El número de habitantes, la superficie y el producto interno bruto son datos básicos sobre cualquier país. La recolección y organización de datos es de fundamental importancia en numerosas actividades ya que, por ejemplo: • Los gobernantes necesitan datos demográficos, económicos y sociales precisos para elaborar planes de desarrollo ajustados a la realidad de su país. Los censos de población y vivienda, como el realizado en Venezuela en 2011, son uno de los métodos empleados para reunir ese tipo de datos. • En las investigaciones científicas, los resultados de los experimentos se registran y analizan cuidadosamente para poder llegar a conclusiones válidas. • En la industria de los alimentos se toman constantemente muestras de los productos elaborados para analizarlos y verificar que cumplan con las normas sanitarias, a fin de evitar daños en la salud de los consumidores.

Conexos con... Estadística Estadística La estadística es la ciencia que se encarga de la recolección, organización, análisis e interpretación de datos.

Recolección de datos

Los datos se recogen de una población, es decir, de un grupo de elementos que se requieren estudiar, como seres humanos, animales, plantas y productos, entre otros. Si una población es muy numerosa, recoger datos de todos sus miembros resulta costoso y complejo. Por eso se recurre frecuentemente a la selección de una muestra que es una parte (o subconjunto) de la población.

200

Probabilidad y estadística

Población Población

Muestra Muestra

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Hay varias formas de recolectar datos. Algunas de ellas son: • Observación directa. Método utilizado, por ejemplo, por personas que, estudian los animales y las plantas en su hábitat natural, como los zoólogos, los botánicos y, en general, todos los científicos. • Observación experimental. Con este tipo de observación se recaban datos a través de experimentos cuidadosamente planeados. Es un método muy utilizado por físicos y químicos. • Cuestionarios. Constan de preguntas utilizadas, por ejemplo, por los científicos sociales para obtener información sobre las opiniones, creencias, deseos o preferencias de un grupo humano. • Investigación documental. Consiste en buscar datos recogidos por otros y publicados en libros, revistas, memorias, etc.

Tablas de datos En estadística, las tablas de datos tienen muchos usos. Generalmente sirven para resumir los resultados de una encuesta.

Ejemplo Al aplicar un cuestionario a un grupo de 13 personas acerca de su deporte preferido, las respuestas obtenidas fueron: béisbol, fútbol, kárate, voleibol, béisbol, fútbol, kárate, béisbol, béisbol, baloncesto, voleibol, baloncesto y voleibol. Organizar estos datos en una tabla de datos. Procedimiento

1. Se construye una tabla de dos columnas. En la primera fila se colocan los conceptos: deporte y número de personas. Luego en la primera columna todos los deportes que surgieron como respuestas.

Deporte Béisbol Voleibol Fútbol Baloncesto Kárate

N° de personas

2. Se cuenta cuántas personas pref ieren cada deporte. Los resultados se colocan en la celda a la derecha de cada uno.

Deporte Béisbol Voleibol Fútbol Baloncesto Kárate

N° de personas 4 3 2 2 2

Actividades

Para realizar en el cuaderno

1

Construye una tabla que muestre el número de estudiantes que hay por cada edad: 12; 13; 15; 15; 11; 12; 14; 13; 15; 12; 15; 12; 12; 10; 11; 12; 13; 15; 14; 15; 12; 13; 14; 15; 12; 13; 15; 14; 13; 12; 15; 12; 11; 10; 15; 11; 15; 11; 15; 14.

2

Preguntar a 30 personas cuál es su color favorito. Luego organizar la información en una tabla de datos.

3

Escribe la edad, el sexo, el peso y la estatura de cada compañero y compañera de clase. Registra las frecuencias en forma de tabla y organízalas de la manera que te parezca más conveniente para compartir estos datos con otras personas.

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Pensamiento crítico Analiza la información y responde. En una población se realiza un censo cuya finalidad es determinar el número de habitantes y la condición de su vivienda. Para ello, se realizan preguntas como edad, sexo, tipo de vivienda que posee, y lugar de nacimiento. De esas preguntas, ¿cuáles crees que deben ser las más importantes, según la finalidad del censo? ¿Por qué? Recolección y organización de datos

201

Tema 4

Distribución de frecuencias Actívate

¿Has oído expresiones como “aquí suceden accidentes frecuentemente” o “esta semana llovió de manera frecuente”? ¿Qué quiere decir la palabra “frecuente”?

Variables En estadística, se llama variable a cualquier característica de la situación o de los objetos de estudio que pueda tomar valores diversos. Ejemplos de variables son la edad, la estatura o el deporte preferido de un grupode personas. Las variables se clasifican en cuantitativas, cuando son numéricas como la edad y la estatura, y cualitativas, cuando no son numéricas como el deporte preferido por una persona, el sexo o el color de los ojos.

Frecuencias La frecuencia es la cantidad de veces que se repite un dato. Estas pueden ser absolutas o relativas. • Frecuencia absoluta. Número de veces que cada valor de una variable es observado en una población o muestra. Si se calcula la frecuencia absoluta de cada valor posible de una variable se obtiene su lista o rol de frecuencias, que es el caso más sencillo de distribución de frecuencias. La siguiente tabla contiene la lista de frecuencias absolutas de la variable “tipo de música”. 0

1

2

4

3

Probabilidad y estadística

5

6

Salsa Merengue Rock Llanera Pop

6 5 4 3 2 1 0

Salsa

Merengue

Rock

Llanera

Pop

Clásica

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Frecuencia absoluta

Clásica

Música

202

Frecuencia absoluta 5 3 3 2 1 1

Frecuencia absoluta

Música

Esos mismos datos pueden representarse gráficamente de varias maneras, una de las cuales se ilustra en el diagrama de barras de la derecha. A cada valor de la variable le corresponde una barra cuya longitud representa el número de personas que la prefieren, es decir, la frecuencia absoluta del valor. Cada barra se identifica mediante el rótulo con el nombre del tipo de música correspondiente. Estos diagramas también se pueden dibujar con barras verticales, como se muestra.

Tipo de música Salsa Merengue Rock Llanera Pop Clásica

• Frecuencia relativa. Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos registrados. En el ejemplo del tipo de música, el número total de datos es 15, por lo tanto la frecuencia relativa del tipo de música salsa es 5 . 15

A continuación se resumen, en una tabla, las frecuencias absolutas y relativas para todos los valores de la variable “tipo de música preferida”. Música

Frecuencia absoluta

Salsa

5

Merengue

3

Rock

3

Llanera

2

Pop

1

Clásica

1

Total

15

Frecuencia relativa 5 15 3 15 3 15 2 15 1 15 1 15 15 15

= = =

1 3 1 5 1 5

 33,33% = 20% = 20%

 13,33%  6,67%  6,67% = 100%

Es común referirse a las frecuencias relativas como porcentajes. La frase “20% de los estudiantes prefiere el merengue” equivale a decir que la frecuencia relativa de esa música es 20 , es decir 0,2 o 1 . 5

100

Para representar las frecuencias relativas se puede utilizar un gráfico circular. Para este caso, a cada tipo de música le corresponde un sector circular de área proporcional al número de personas que la prefieren. El ángulo de cada sector se obtiene de multiplicar 360º por la frecuencia relativa del valor expresada en fracción. En este diagrama se utiliza un código de colores para identificar cada tipo de música. Si no se dispone de color, se puede escribir una leyenda que identifique a cada sector. También se acostumbra a indicar el porcentaje del área del círculo que corresponde a cada sector.

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Actividades



Diagrama circular Salsa

6,67%

Diagrama circular

6,67%

Merengue Llanera Rock

33,33%

13,33%

Pop Clásica

20%

20%

1 3

 360˚5 120˚

1 5

 360˚5 72˚

2 15

 360˚5 48˚

1 15

 360˚5 24˚

Para realizar en el cuaderno

1

Elaborar una tabla con la frecuencia absoluta y relativa correspondiente al peso en kilogramos de 40 estudiantes: 42; 47; 45; 44; 46; 48; 45; 49; 46; 44; 50; 41; 49; 43; 48; 42; 49; 44; 47; 45; 42; 47; 44; 48; 46; 41: 48; 42; 46; 43; 45; 48; 41; 45; 42; 47; 48; 45; 50; 45.

2

Construye una tabla de frecuencias y su gráfico de barras con la información dada. En un museo registran semanalmente el día que tuvieron el máximo número de personas durante esa semana. El siguiente es el registro del primer trimestre del año: viernes, sábado, domingo, viernes, jueves, viernes, viernes, sábado, sábado, viernes, sábado, domingo. Distribución de frecuencias

203

Tema 5

Intervalos de clase e histogramas Actívate ¿Cómo representas datos de intervalos numéricos en un gráfico de barras? Agrupación de datos en intervalos de clase

1 Se determinó el tamaño de cada intervalo de clase. El tamaño

del intervalo puede ser cualquiera. En este caso se tomó 5 hits como amplitud o tamaño del intervalo. 2 Se construyen los intervalos. El primero va desde el dato menor más el tamaño del intervalo. Es decir, el primer intervalo va desde 50, que es el dato menor, hasta 50 1 5 5 55; así, el intervalo es 50 2 55. En este caso, 50 es el límite inferior y 55 es el límite superior. Para el segundo intervalo se considera como límite inferior el límite superior del primer intervalo y se repite el proceso anterior. Así sucesivamente, hasta llegar al último intervalo que contiene el dato mayor. 3 Una vez determinados los intervalos, es necesario contar el número de datos que hay en cada intervalo. Cuando se cuentan los datos, en cada intervalo se incluyen los datos correspondientes al primer valor pero no al último.

La frecuencia absoluta representa la cantidad de datos que pertenecen al intervalo. La frecuencia acumulada de un intervalo es la suma de su frecuencia absoluta, más la frecuencia acumulada que la precede.

17

jugadores han bateado entre

50 - 70

HITS

Intervalos de clase 50 – 55

Representación

5 jugadores 5

2 jugadores 5

4 jugadores 5

1 jugador 5

3 jugadores 5

Intervalo de clase (nº de hits) 50 – 55

Probabilidad y estadística

Frecuencia absoluta 6

55 – 60

5

60 – 65

5

65 – 70

1

70 – 75

6

75 – 80

6

80 – 85

4 33

Total

Frecuencia absoluta 6

Frecuencia acumulada 6

55 – 60

5

6 1 5 5 11

60 – 65

5

11 1 5 5 16

65 – 70

1

16 1 1 5 17

70 – 75

6

17 1 6 5 23

75 – 80

6

23 1 6 = 29

80 – 85

4 33

29 1 4 5 33

Conteo

Total

204

Conteo

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Cuando los valores que puede tomar una variable son numerosos, se dice que es una variable de tipo continuo, sus valores se pueden agrupar en grupos de datos llamados intervalos de clase. Por ejemplo, a cada miembro de un grupo de jugadores de béisbol se le midió la cantidad de hits durante una temporada; los resultados obtenidos fueron: 50; 52; 60; 70; 58; 52; 51; 63; 81; 57; 60; 79; 75; 72; 51; 75; 70; 59; 60; 56; 78; 77; 80; 53; 80; 63; 69; 58; 77; 73; 71; 70; 83. ¿Cómo se pueden organizar estos datos en una tabla?

Histograma

11 10 Frecuencia absoluta (Partidos en una temporada)

Un histograma es un diagrama en el cual las barras se ubican una al lado de la otra, sin espacio que las separe. Se utilizan para representar variables cuantitativas o intervalos de clase y transmitir la idea de que los datos varían en una escala continua. Por ejemplo, durante un mes a un equipo de béisbol local se le cuenta la cantidad de carreras anotadas en los partidos de una temporada. Los resultados fueron: 14; 12; 10; 10; 9; 12; 11; 9; 2; 5; 20; 15; 12; 16; 9; 8; 10; 8; 9; 5; 6; 7; 9; 10; 11 y 17. ¿Cómo pueden ser representados estos datos en un gráfico? 1 Se agrupan los datos en una tabla. 2 Se representan los datos en un histograma según

8 7 6 5 4 3 2 1

como aparezcan en la tabla de frecuencia absoluta. Intervalos de clase Conteo (Cantidad de carreras) 0–5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 Total

9

0

Frecuencia absoluta 1 11 10 3 1 26

5 10 15 Cantidad de carreras

20

25

Del gráfico se puede inferir lo siguiente: • En 11 partidos, se anotaron entre 5 y 15 carreras. • De 26 partidos, solo en uno se anotó entre 0 y 5 carreras. • Solo en 3 partidos se anotaron entre 15 y 20 carreras.

Algunos peloteros venezolanos de las grandes ligas obtuvieron un promedio de bateo entre 0.200 y 0.500; según estudio del Correo del Orinoco, prensa de la embajada de la República Bolivariana de Venezuela en Estados Unidos, del 23 de marzo del 2011 (Consultada el 10/10/2011).

Bob Abreu 0.308

Maglio Ordóñez 0.200

Carlos González 0.300

Miguel Cabrera 0.351

Elvis Andrus 0.273

Omar Vizquel 0.364

Gerardo Parra 0.378

Víctor Martínez 0.235

Jonathan Herrera 0.353

Yorvit Torrealba 0.499

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Frecuencia absoluta (Cantidad de jugadores)

4

3

2

1

0

0,200

0,250

0,300 0,350 Promedio de bateo

0,400

0,450

0,500

Intervalos de clase e histogramas

205

Marca de clase

La expresión marca de clase se utiliza para designar un valor representativo de todo el intervalo. Generalmente, como marca de un intervalo a 2 b se toma su punto medio y se calcula así: marca de clase 5 a 1 b .

La estadística en el deporte

2

Ejemplo

En un equipo de béisbol se mide el peso de los jugadores en kilogramos. Los datos obtenidos fueron los siguientes: 75; 78; 80; 90; 95; 102; 85; 82; 91; 100; 101; 95; 80; 81; 77; 89; 88; 98; 96; 95; 81; 92; 96; 99; 84; 79; 81; 83; 96; 101; 102; 99; 87; 78; 77 y 84. ¿Cuáles podrían ser las marcas de clase para estos datos? Procedimiento

1. S e escriben los intervalos de clase en la tabla. 2. S e calculan las marcas de clase para cada intervalo.

Intervalos de clase (Peso en kg) 75 – 80 80 – 85 85 – 90 90 – 95 95 – 100 100 – 105 Total

Frecuencia absoluta 6 9 4 3 9 5 36

Conexos con... Deporte

Marcas de clase 77,5 82,5 87,5 92,5 97,5 102,5

Las estadísticas deportivas ayudan a registrar el logro de un atleta en cualquier disciplina. Así sucede en la natación, donde se mide el tiempo que hace un nadador al completar una piscina olímpica.

Respuesta: si se toman los intervalos de clase de 5 kg de amplitud, las marcas

de clase pueden ser 77,5; 82,5; 87,5; 92,5; 97,5 y 102,5.

Actividades 1



Para realizar en el cuaderno

Observa los datos, procésalos y luego responde las preguntas. Para procesar los datos haz una tabla con una amplitud de 5 años, con frecuencia absoluta y acumulada. Las edades de 40 estudiantes de música son: 10; 10; 9; 11; 12; 13; 12; 11; 5; 7; 15; 12; 19; 11; 12; 13; 12; 10; 5; 7; 20; 22; 21; 6; 10; 7; 16; 13; 19; 9; 26; 20; 19; 11; 12; 11; 10; 20; 5 y 7. a) ¿Cuál es el intervalo de clase donde hay más estudiantes? b) ¿Cuál es el intervalo de clase donde hay menos estudiantes? c) ¿Cuál es la marca de clase para el primer intervalo?

Escribe los datos que podrías obtener a partir de los siguientes intervalos: (10 – 15): 2 personas; (15 – 20): 1 persona y (20 – 25): 7 personas. • Ahora responde. a) ¿ En qué intervalo estará una persona de 21 años? b) ¿Cuál sería la marca de clase para cada intervalo? c) Si hubiese una persona de 45 años, ¿cuántos intervalos de clase más habría que incluir? 3

Construye un histograma con las edades de tus compañeros y compañeras de clase. Luego realiza un análisis separando los datos por género y por altura.

206

Probabilidad y estadística

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2

Agrupa los datos en una tabla de intervalos de clase con una amplitud de 2 segundos. Un profesor de natación tiene registrados los tiempos, en segundos, que tardan sus nadadores en recorrer los 50 metros de una piscina olímpica; los tiempos son: 23,5; 24,6; 23,0; 25,6; 27,7; 24,5; 25,6; 26,4; 22,6; 28,7; 25,5; 27,6; 30,1; 32,4; 29,7; 24,2; 25,1; 27,3; 27,6; 29,7; 23,2; 31,6; 30,2; 32,4; 24,7; 24,1; 24,5; 27,3; 27,8; 28,8; 25,0; 31,3; 30,1; 32,4; 31,7; 23,1; 24,5; 27,3; 27,7 y 26,8. • Responde: a) ¿Cuál es el intervalo de tiempo donde hay más nadadores? b) ¿Cuántos nadadores hacen tiempos menores a 26? 4

Construye la tabla de intervalos de clase de acuerdo con los datos usando frecuencia absoluta, acumulada y marcas de intervalos de clase. Luego grafica el histograma. Los siguientes datos representan la profundidad en metros alcanzada por varias tortugas marinas: 20; 21; 23; 40; 32; 12; 5; 12; 25; 27; 36; 19; 18; 28; 30; 33; 45; 60; 45; 55; 52; 32; 21; 12; 6; 12; 9; 12; 20; 54; 57; 23; 30; 9; 23; 45; 49; 47; 32; 49; 23; 16; 20; 36; 38; 42; 40; 39; 36; 15; 20; 10; 15; 59; 58; 45; 36; 25; 12; 9; 19; 22; 21; 44; 47; 43; 38; 59; 29; 49; 49; 46; 22; 45; 22; 16; 20; 36; 35; 44; 33; 39; 36; 15; 20; 14 y 16. • Responde: a) ¿Cuál fue la cantidad de tortugas analizadas? b) ¿Cuánto representa la mayor marca de clase? c) ¿Cuántas tortugas han bajado menos de 50 metros? d) Si se toma el primer intervalo de clase desde 0 y el último hasta los 70 metros, ¿habría intervalos de clase sin registro de tortugas? ¿Por qué? e) Si se quieren hacer intervalos de clase con una amplitud de 2 metros, ¿cuántos habría? 5

6

Observa el histograma y responde: Frecuencia absoluta (Cantidad de personas)

12 10 8 6 4 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Edades de unas personas en un consultorio médico

a) ¿Cuál es la cantidad total de personas en el consultorio médico? b) ¿Cuántas personas son menores de 10 años? c) ¿Cuántas personas adultas con edades mayores o iguales a 60 años están en el consultorio? d) ¿A qué crees que se deba que haya un espacio entre la segunda y tercera barra? e) ¿Cuáles son las marcas de clase para los intervalos de clase del histograma?

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Pensamiento crítico Elabora un histograma con los datos y responde: Una persona de la tercera edad se ejercita durante algunos minutos al día. En un mes, estos fueron los minutos que usó para ejercitarce: 15; 10; 11; 5; 12; 11; 3; 20; 25; 12; 12; 10; 8; 25; 30; 12; 11; 9; 24; 15; 25; 12; 23; 12; 31; 25; 18; 16; 16 y 15. a) ¿Cuál es el promedio de minutos de ejercicio que hace diariamente? ¿En qué clase de intervalo se encontraría ese promedio? b) ¿Qué le recomendarías a esa persona? Intervalos de clase e histogramas

207

Actividades de refuerzo

Para realizar en el cuaderno

Comprensión 1 Resuelve las situaciones. a) E  n una caja hay cinco pelotas rojas, tres verdes, una azul y una negra. • ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja? • ¿Cuál es la probabilidad de sacar una negra? • ¿Cuáles probabilidades son iguales? ¿Por qué? b) Un mazo de naipes está compuesto por 52 barajas de 4 pintas: corazón, trébol, picas y diamante. Cada pinta tiene 13 barajas, de las cuales 10 son números y cuatro son letras (A, J, Q y K).

3

Observa el tablero de ajedrez y responde.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger un peón negro al azar, esté en una casilla negra? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al mover un caballo negro, se mueva a una casilla negra? c) Si se meten todas las piezas en una caja, ¿cuál es la probabilidad de sacar al azar una torre blanca? Grafica según corresponda. a) Un diagrama circular a partir de los datos: 4

Determina las probabilidades. a) L  anzar dos dados y que la suma de los puntos sea igual a 8. b) Lanzar un dado y que el número sea primo. 2



c) Lanzar dos dados y que la suma de los puntos sea igual a cualquier número par.



d) Lanzar un dado y que el número sea múltiplo de 3.

208

Probabilidad y estadística

Nº de personas que lo prefieren 42 36 12 16

Color Amarillo Azul Rojo Verde

b) Un histograma con los datos: 12; 10; 16; 11; 7; 15; 18; 10; 9; 5; 6; 7; 7; 18; 9; 14; 11; 12; 10; 6; 15; 12; 10; 8; 20; 19; 16; 20; 8; 18; 6; 5; 15; 16; 13; 12; 12; 15; 20; 7; 9; 10; 16; 10; 16; 12.



Calcula las frecuencias relativas o absolutas a partir de los diagramas circulares, según corresponda. b) T  otal frecuencia a) T  otal frecuencia absoluta: absoluta: 360 estudiantes. 50 personas. 5

4%

10% 30%

36%

180o

20%

90o 45o o 45

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 • ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número 7? • ¿Cuál es la probabilidad de sacar cualquier letra? • ¿Cuál es la probabilidad de sacar cualquier carta de trébol? c) En una pecera hay 35 peces entre azules y rojos, distribuidos así: 15 peces son de aleta larga y el resto de aleta corta; solo 4 son de aleta larga y además de color azul; todos los demás peces son rojos. • Al usar una red y sacar uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de aleta corta? ¿Y de que sea de color rojo? • ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?

Análisis y aplicación 6 Representa en un diagrama de barras y en uno circular y luego responde. a) Datos sobre el consumo de comida en una institución escolar.

Opinión y síntesis 7 Calcula las frecuencias acumuladas, grafica el histograma y responde. a) Un estudio sobre el uso y horario del teléfono de una casa arrojó estos datos:

Tipo de comida

Cantidad de personas

Horas

Cantidad de llamadas

Pollo Carne Pescado Ensalada Sopa Cereal

52 15 9 12 10 30

8:00 a.m. - 11:00 a.m. 11:00 a.m. - 2:00 p.m. 2:00 p.m. - 5:00 p.m. 5:00 p.m. - 8:00 p.m. 8:00 p.m. -11:00 p.m.

5 12 4 15 9

• ¿ Cuál es la diferencia, en porcentaje, del consumo de pollo con respecto al de cereal? • ¿ Cuál es la diferencia de ángulo al centro del diagrama circular entre el ángulo mayor y el menor?  n una piñatería se compraron juguetes de b) E varios materiales para rellenar una piñata.

• ¿ En cuáles intervalos de horas se realizaron más llamadas? • ¿ Cuántas llamadas se hicieron desde las 5:00 p.m.? • S i un plan de llamadas permite hacer 20 llamadas por el costo de una, de 8:00 a.m. a 11:00 a.m., ¿qué recomendarías a esta casa para aprovechar el plan al máximo?

 na encuesta sobre el consumo diario b) U de pastillas para el dolor de cabeza arrojó Plástico 12 los siguientes datos: 1; 2; 0; 0 ; 0; 1; 2; 3; Madera 13 1; 0; 1; 1; 1; 0; 2; 1; 0; 3; 2; 1; 0; 0; 3; 1; 1; Goma 10 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 2; 2; 1;0; 2; 1; 0. Metal 8 • ¿ Cuántas personas toman más de una • ¿Cuál es la diferencia en porcentaje entre pastilla diaria para el dolor de cabeza? los juguetes de plástico y los de madera? • ¿ Conoces otros métodos para evitar • ¿Cuál es la probabilidad de que, al romperse el dolor de cabeza? ¿Cuáles? la piñata, se tome al azar un juguete • ¿ Qué haces cuando te duele la cabeza? de goma? ¿Y uno de metal? Tipo de juguete

Cantidad de juguetes

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Conexos con... Ciencias actuariales La ciencia actuarial o actuaria, es una disciplina matemática que aplica métodos estadísticos a la evaluación de riesgos en las industrias, aseguradoras y financieras, por medio de las probabilidades, las estadísticas y otras ciencias como la economía. Gracias a la tecnología de las computadoras esta ciencia ha evolucionado en sus métodos estadísticos. Investiga en Internet sobre el uso de las ciencias actuariales en las empresas aseguradoras y cuál es la relación que guardan con la matemática. Probabilidad y estadística

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Estrategia de resolución de problemas Diagrama de árbol Si ante todo problema se aspira llegar a la solución, es necesario organizar los datos y, muchas veces, realizar un esquema apropiado. El diagrama de árbol muestra todas las posibilidades que se pueden obtener de los datos, desde un punto inicial hasta un punto final. Ejemplo resuelto Pedro, Rosa y María se ubican en tres asientos contiguos en el cine. ¿Cuál es la probabilidad de que Pedro se siente entre las dos chicas? 1. Se elabora un diagrama de árbol usando los posibles sucesos planteados en la situación. 2. Se cuenta la cantidad de casos del espacio muestral, en este caso, son 6 porque hay 6 caminos o ramas en el diagrama. 3. Se cuentan los casos que favorecen a que Pedro esté sentado entre las dos chicas en este caso, son 2; y se calcula la probabilidad. P5

2 6

5

1 3

1er asiento

2o asiento

3er asiento

Resultado

Pedro

Rosa María

María Rosa

PRM PMR

1

Rosa

Pedro María

María Pedro

RPM RMP

3

María

Pedro Rosa

Rosa Pedro

MPR MRP

1

4

5 6

 33,3%

Entonces la probabilidad de que Pedro se siente entre las dos chicas es de o 33,3%, aproximadamente.

1 , 3

1

2

3

4

Se lanza un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello y un número primo? Se lanza una moneda tres veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga sello una sola vez? Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara todas las veces? Daniel, Andreína, Giovanni y Rosaura juegan tenis en parejas. ¿Cuántas parejas se pueden formar? ¿En cuántas está Andreína?

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Probabilidad y estadística

5 6

7

Se lanza un dado dos veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 y un 5? Andrés tiene 2 pantalones, 3 camisas y 2 corbatas. ¿De cuántas maneras diferentes puede combinarse Andrés? En una bolsa hay pelotas con los números del 1 al 9. Se extrae una pelota y luego otra sin introducir la primera en la bolsa. Así mismo, se extrae una tercera pelota. Con los 3 números obtenidos se forma un número de 3 cifras ubicadas en el mismo orden de extracción. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

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Problemas

Idea para la acción

Fruto-estadística

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Propósito: desarrollar un estudio sobre el consumo de frutas en la institución donde estudias. 1

Documentación • Busquen información acerca de los tipos de frutas que venden en el colegio y cuáles llevan los y las estudiantes de sus casas. • Investiguen acerca de los métodos existentes para hacer encuestas. • Tomen nota de los posibles modelos de preguntas que les gustaría hacer en la encuesta.

2

Planificación • Diseñen el instrumento con el cual harán la encuesta. • Soliciten los permisos necesarios para hacer la encuesta. • Hagan una lista de todos los materiales requeridos para realizar la encuesta. • Tengan a mano la lista de horarios disponibles para no entorpecer las clases de otros y otras estudiantes al momento de la encuesta. • Hagan una distribución equitativa de los y las integrantes del equipo en todo el colegio para distribuir el trabajo en partes iguales.

3

Preparación de materiales • Preparen los materiales y sitios de trabajo para después de la encuesta. • Anuncien, con tiempo, el día de la encuesta para que docentes y estudiantes estén al tanto.

4

Puesta en acción • Apliquen las encuestas según el instrumento desarrollado. • Recopilen toda la información en un solo sitio. • Cuenten varias veces y por personas distintas, los datos obtenidos, para evitar errores contables.

5

Evaluación • Transcriban los datos a una computadora y organícenlos por tipos. • Empleen distintos tipos de gráficos como diagramas de barras, diagramas circulares e histogramas, si es necesario. • Realicen los análisis pertinentes a los gráficos. Para ello, pueden plantearse preguntas como: ¿cuál fue la fruta más popular y cuál es la diferencia con la menos popular? ¿Existe una cultura de consumo de frutas entre la población estudiada? Probabilidad y estadística

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Matemática 1er año





Matemática 1

año

Matemática 1

año

Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infinitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces. El aprendizaje significativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzado a otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.