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Universidad César Vallejo – Piura Escuela de Administración

Matemática Financiera

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO PIURA 0 FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Escuela de Administración Programa de Experiencia Laboral

Curso de:

MATEMÁTICA FINANCIERA Docente: Lic. Fernando Abad LLacsahuanga

Piura - 2013 1.- INTERES SIMPLE 1.- INTERES SIMPLE Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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1.1.

Matemática Financiera

Definición de Interés El Interés (I) es el costo de utilizar recursos de terceros, generando una ganancia por un capital o suma de dinero prestado a un cierto tiempo y a una determinada tasa de interés. Donde:

C: Capital o suma de dinero i: Tasa de Interés t: Tiempo

I=C.i.t

Muchas empresas para iniciar o mantenerse en el mercado tienen que financiar sus actividades, esto puede ser con capital o dinero propio o con deuda a acreedores. El costo del dinero puede establecerse por día, por semana, por mes, etc., se cobran intereses porque el dinero tiene un costo de oportunidad, entendiéndose por este lo que se deja de ganar al elegir un curso de acción alterno. Por otro lado: Designando C a una cierta cantidad de dinero en una fecha dada cuyo valor aumenta a M en una fecha posterior, podremos asumir que:

I=M-C 1.2.

Tasa de Interés ( i ) La tasa de interés devengada o cargada es la razón del interés devengado al capital, en la unidad de tiempo. A menos que se establezca lo contrario la unidad de tiempo convenida es de un año. Ejemplo: José Carlos obtiene un préstamo de Luís Enrique de $ 500 al final de un año le paga $525. ¿Cuál es la tasa de interés? En este caso C  $500, M  $525 , entonces I  $525  $500  $25 ; Por tanto:

i

I 25   0.05  5% C 500

Es decir, el interés que carga Luís Enrique es a la tasa de 5%. 1.3.

Calculo del Monto (M) El Monto o importe capitalizado constituye la suma del Capital Inicial e Intereses.

INTERES CAPITAL INICIAL

MONTO (Capital Final)

CAPITAL INICIAL

Por lo tanto: M  C  I , pero como I  C.i .t , entonces: M  C  C.i .t , factorizando C(Capital ) , obtendremos finalmente que:

M=C ( 1+i.t )

M

C i,t

Ejemplo: Determinar el Interés Simple sobre S/. 1500 al 4% durante ½ año. ¿Cuál será el Monto? Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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Sabemos que: C  S / .1500, i  0.04 y t 

I  C.i .t  1500  0.04 

1 , por lo cual: 2

1  S / .30  M  1500  30  S / .1530 2

Pero si queremos hallar el monto en forma directa:

1  M  C 1  i .t   1500 1  0.04    S / .1530 2  1.4.

Tipos de Interés Simple: Dos problemas típicos del Interés Simple son: (a) Hallar el Interés Simple sobre $2000 al 5% durante 50 días. (b) Hallar el Interés Simple sobre $1500 al 6%, del 10 de Marzo de 2001 al 21 de Mayo del 2001. Estos dos problemas se resuelven aplicando ( I ). Sin embargo, debido a las variaciones en la práctica comercial, pueden darse dos respuestas diferentes en el primer problema y no menos de cuatro en el segundo. La diversidad de resultados se origina en las diferentes practicas para estimar “ t ”. 1.4.1. Interés Simple Exacto: El Interés Simple Exacto se calcula sobre la base de un año de 365 días o 366 días cuando el año es bisiesto. 1.4.2. Interés Simple Ordinario: El Interés Simple Ordinario se calcula sobre la base de un año de 360 días, lo cual simplifica algunos cálculos, aunque aumenta el interés cobrado por el acreedor. Ejemplo: Determinar el Interés Exacto y Ordinario sobre $2000, al 5%, durante 50 días. Interés Simple Exacto: Utilizando un año de 365 días, tenemos que t 

50 10  365 73

 10  1000 I  C.i .t  2000  0.05      $13.70. 73  73  Interés Simple Ordinario: Utilizando un año de 360 días, tenemos que t 

50 5  360 36

 5  125 I  C.i .t  2000  0.05      $13.89. 9  36  1.5.

Formas de calcular el tiempo: 1.5.1. Cálculo Exacto: Es el número exacto de días, tal como se encuentra en el calendario. Se acostumbra contar una de las dos fechas dadas. 1.5.2. días.

Cálculo Aproximado: Se hace suponiendo que cada mes tiene 30

Ejemplo: Calcular en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido entre el 10 de marzo y el 27 de mayo del año 2003. Tiempo exacto: Se calcula de la siguiente manera Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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 Del 10 de marzo al 31 de marzo = 22 días.  Del 1 de abril al 30 de abril = 30 días.  Del 1 de mayo al 27 de mayo = 26 días. Así todo ello hará un total de: 22+30+26 = 78 días. Tiempo Aproximado: Se puede calcular de la siguiente manera

Fecha Final : Fecha Inicial :

Años

Meses

Días

2003 2003

05 03

27 10

00 02 El total de días será: 2 ( 30 ) + 17 = 77 días. 1.6.

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Cálculo del Valor Presente: El Valor Presente ( C ), de un importe con vencimiento en una fecha futura, es aquella cantidad que a una tasa dada alcanzara en un periodo de tiempo hasta la fecha de vencimiento, un importe igual a su valor futuro ( M ).

C=M ( 1+i.t )-1=

M (1+i.t)

C

M i,t

Factor de Simple de Actualización a Interés Simple :

1 1  1  i .t  1  i .t 

Se debe tener en cuenta que la tasa de interés y el tiempo deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo. Ejemplo: Encontrar el capital que impuesto a una tasa de interés simple mensual del 3% durante 87 días, ha producido un monto de S/. 500. P= ? 500 C  459.98 i = 0.03 1  0.03  87 t= 87/30 30 M= S/. 500



1.7.



Ecuaciones de Valor: La Ecuación de Valor consiste en igualar o comparar en una fecha llamada “Fecha Focal” la suma de un conjunto de obligaciones con otro conjunto de obligaciones. Si dichos importes coinciden en el tiempo y están expresados en una misma unidad monetaria, entonces en ese punto del tiempo podrán sumarse o restarse. En el Interés Simple, si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento. Ejemplo: En la fecha, José Carlos debe $1000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses, contratado originalmente a 1 1 años a la tasa de 4% y debe, además 2

$2500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. El desea pagar $2000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento de 5% y considerando la fecha focal dentro de un año, determinar el pago único mencionado. 6 Meses

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Fecha Focal

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$2500

$1060 6 0

0 $2000

3 Meses 12 Meses

9

X

12 Meses

   1   1  2000 1  0.05 1   X  1060  1  0.05     2500  1  0.05     2   4    2100  X  1086.50  2531.25 X  1086.50  2531.25  2100.00 X  $1517.75 Ejemplo: El señor Silva tomó en préstamo S/.5000 para devolverlos dentro de 180 días pagando una tasa de interés simple mensual del 2.5%. Si durante dicho periodo paga S/.2000 el día 35 y S/.1000 el día 98, ¿Cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda, tomando como fecha focal el día 180?

$5000 0

35 días

98 días

180 días

X

S/.1000

S/.2000

    180    145    82   5000  1  0.025    2000  1  0.05    1000  1  0.025     X    30    30    30      5750  3309.99  X X  S /. 2440.00 Ejemplo: Se tienen dos deudas, una de S/. 45000 a pagar dentro de un año, y otra de S/. 85000 a pagar dentro de cuatro años. Se deben cancelar estas deudas con un pago inicial de S/. 10000 ahora mismo y otro pago “ x ” al final del primer año. ¿De cuanto será el pago “ x ” si se considera una tasa del 5% de interés simple trimestral? Considerar como fecha focal el final del año 1.

S/.45000 0

2

1

X C

S/.10000

S/.85000

1000 1  0.05  4    X  45000 

3

4 años

85000 1  0.05 12

12000  X  45000  53125 , X  86125 Ejercicios Propuestos

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1. Calcular el interés simple de S/. 4000 colocados durante 6 días al 36% anual. Rpta: S/. 24 2. Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre el 25 de enero del 2008 y el 15 de mayo del 2008. Rpta: 110 días, 111 días. 3. ¿En qué tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple percibiendo una tasa trimestral del 15%?. Rpta: 26.66 trimestres, 80 meses. 4. Demostrar que el interés simple exacto es igual al interés simple ordinario disminuido 1/73 de si mismo. 5. ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/. 10000 en 1 año, 2 meses, y 26 días al 24% anual de interés simple?. Rpta: S/. 2973.33 6. Si deseo ganar un interés simple de S/. 3000 en el periodo comprendido entre el 4 de abril y 31 de mayo, ¿Qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa mensual del 2%?. Rpta: S/. 78947.37 7. Alberto compro un radio en $ 79.95. Dio un anticipo de $ 19.95 y acordó pagar el resto en 3 meses, más un cargo adicional de $ 2. ¿Qué tasa de interés simple pago?. Rpta: 13

1 % 3

8. Un capital de S/. 12000 ha producido S/. 541.68 de interés simple al 12.5% anual. Determinar el tiempo de la operación. Rpta: 130 días. 9. ¿Cual será el capital que habrá producido un interés simple de S/. 800 en 7 trimestres al 26% anual?. Rpta: S/. 1758.24 10. El Sr. Portugal presta el 14 de Julio del 2003 $ 3500 con vencimiento a cinco meses al 40% de interés simple anual. También presta, cuatro meses después otros $ 2000 al 54% de interés anual y con vencimiento a tres meses. ¿Qué cantidad recibida por el Sr. Portugal el 30 de Octubre del 2003 liquidara esos prestamos?.Considere una tasa de interés simple del 55%. Rpta: $ 5771.71 11. El Banco Piurano hace un préstamo Mi Vivienda de $ 6500 con interés simple del 7% semestral y pide que sea devuelto en 4 pagos. El primero de $ 1500 al final del primer año, el segundo de $ 2500 al final del año 2, el tercero de $ 1500 al final del tercer año y el saldo al final del cuarto año.¿A cuanto ascenderá este pago?(Tomar como fecha focal el día de hoy). Rpta: $ 3392.6 12. Con la siguiente información y considerando tiempo exacto, determinar el valor al vencimiento de los siguientes pagares: a) C=S/. 3600 con fecha 4 de julio, i=1.40% mensual, con vencimiento el 8 de octubre d ese mismo año. Rpta: S/. 3761.28 b) C=S/. 1800 con fecha 12 de marzo, i=2.63% trimestral, con vencimiento el 5 de mayo de ese mismo año. Rpta: S/. 1828.4 13. El 20/08/03 su mejor amigo le pide prestado cierta cantidad de dinero, prometiendo pagarle S/. 13200 el día 17/12/03 a una tasa de interés del 60% anual.¿Que cantidad le pidió prestada?. Rpta: 11015.29 14. El Sr. Sandoval tiene los siguientes certificados de depósitos en un banco:  1200 con vencimientos en un mes a una tasa simple anual de 5%  4350 con vencimiento en 7 meses con interés simple anual de 6%  7000 con vencimiento en 10 meses con un interés simple anual de 5.5% Determinar el valor de total de los certificados, suponiendo un interés simple anual de 4% y tomando como fecha focal el día de hoy. Rpta: S/.12684

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15. El señor Álvarez debe $ 450 con vencimiento dentro de 4 meses y $ 600 con vencimiento dentro de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago único inmediato, ¿Cuál será el importe de dicho pago suponiendo un rendimiento del 5%?. Utilizar como fecha focal el día de hoy. Rpta: $ 1027.99 16. Una persona debe $ 500 con vencimiento n 3 meses e intereses al 5% y $ 1500 con vencimiento en 9 meses al 4%. ¿Cuál será el importe del pago único que tendrá que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un rendimiento del 6%?. Tomar como fecha focal la fecha, (a) al final de 6 meses, y (b) al final de 9 meses. Rpta: (a) $ 2036.01, (b) $ 2035.90 17. El Sr. Mauricio adquiere el día de hoy una camioneta valorizada en S/. 15000 pagando una cuota inicial de S/. 5000 al final del segundo mes. El financiamiento esta sujeto a un interés anual simple de 6%. Si paga S/. 3000 cuatro meses después de la compra y S/. 1500 seis meses después del ultimo pago ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer un año después de la compra para liquidar totalmente el saldo?. Tomar como fecha focal el comienzo del séptimo mes. Rpta: S/. 6024.89 18. El señor García adquiere un terreno de $ 5000 mediante un pago de contado de $ 500. Conviene en pagar el 6% de interés sobre el resto. Si paga $ 2000 tres meses después de la compra y $ 1500 seis meses mas tarde, ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer 1 año después para liquidar totalmente el saldo?. Tomar como fecha focal la fecha final de 1 año. Rpta: $ 1157.50

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2. INTERES COMPUESTO 2.1 Introducción El Interés compuesto es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geométrico. Ejemplo: Hallar el interés compuesto sobre $1000 por 3 años si el interés de 5% es convertible anualmente en capital. El capital original es de $1000. El interés por un año es 1000(0,05)=$50. El capital al final del primer año es: 1000+50=$1050. El interés sobre el nuevo capital por un año es: 1050(0,05)=$52,50. El capital al final del segundo año es: 1050+52,50=$1102,50. El interés sobre el nuevo capital por un año es: 1102,50(0,05)=$55,12. El capital al final del tercer año es: 1102.50+55,12=$1157,62. El interés compuesto es: 1157,62-1000=$157,62. Para el cálculo del interés compuesto es necesario tener en consideración: a) La tasa nominal anual (j). b) La tasa efectiva del periodo capitalizable (i). c) El número de días del periodo capitalizable (f). d) El numero de periodos de capitalización en el año (m), el cual se halla dividiendo el número de días del año bancario por f. e) El horizonte de tiempo (H): número de días de la operación. f) El numero de periodos de capitalización en el horizonte temporal (n). 2.2 Deducción de la fórmula Realizando el ejemplo anterior en forma abstracta podremos generalizar la fórmula para un numero de periodos “n” de capitalización. Es decir: El capital original es : C El interés por un periodo de tiempo es : I 1=C.i El capital al final del primer periodo de tiempo es: C1=C+C.i=C(1+i) El interés sobre el nuevo capital por un periodo de tiempo es: I2=C(1+i).i El capital al final del segundo periodo de tiempo es: C 2=C(1+i)+C(1+i).i=C(1+i)2 El interés sobre el nuevo capital por un periodo de tiempo es: I 3=C(1+i)2.i El capital al final del tercer periodo de tiempo es: C3=C(1+i)2+C(1+i)2.i=C(1+i)3. Generalizando para un número de periodos “n” de capitalización obtendríamos la siguiente fórmula: n n o

S  C 1  i 

C  S 1  i 

Para una capitalización

Para una actualización

Donde: S= Monto Acumulado o Valor Futuro al final del enésimo periodo C= Capital Inicial o Valor Actual i= Tasa de interés efectiva por periodo n= Numero de periodos Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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Aplicando

la

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fórmula

S  10001 0,05  $1157,62

del

ejemplo

anterior

obtendremos:

3

Ejemplo: ¿Cuánto debo depositar hoy día para que dentro de 5 años reciba la suma de S/. 10000 si suponemos que la Caja Municipal paga una tasa de interés anual del 16%? C=? 10000 5 S= S/.10000 C  10000.1 0,16  S/.4761,13 5 i= 0,16 1 0,16 n= 5









2.3 Tasas de Interés: Nominal, Efectiva, Tasa efectiva anual, y Tasas equivalentes 2.3.1. Tasa de Interés Nominal Cuando una tasa es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces, recibe el nombre de tasa nominal. Hay que precisar que la tasa nominal siempre es anual, y además es una tasa referencial que como tal puede ser engañosa. Toda tasa de interés que sea compuesta, capitalizable o convertible, estará haciendo referencia a la tasa nominal que simbólicamente se representa por la letra “j”. Ejemplo:

j= 17% capitalizable bimestralmente j= 12% capitalizable trimestralmente

2.3.2. Tasa de Interés Efectiva Es la que realmente actúa sobre el capital de una operación financiera y refleja el número de capitalizaciones que se experimentan durante un plazo determinado. Se obtiene de dividir de una tasa nominal anual “j”, capitalizable “m” veces al año.“m” es el número de veces que dividimos una tasa nominal en un año. m

j   i  1   1  m Ejemplo: Si la tasa de interés es del 18% capitalizable mensualmente, entonces la tasa efectiva mensual se puede hallar fácilmente dividiendo j/m; es decir: i = 18%/12 = 1,5% mensual. Ejemplo: Se pide prestado $100, capitalizado trimestralmente. La tasa nominal anual es del 8% y la tasa efectiva esta expresada por los intereses que corresponden al préstamo. C = $100 J = 8% capitalizable trimestralmente t = 1 año; es decir n = 4

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n

4

j    0.08  S  C.1   100.1   $108,24 4   m 

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2.3.3. Tasas Equivalentes Son aquellas que en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Mejor dicho dos tasas con diferentes periodos de capitalización, son equivalentes, si producen el mismo valor actual o futuro, en cualquier periodo. El procedimiento utilizado es el siguiente:

C1  i   C1  i equiv  1 n

n

Como se comparan dos montos (S) cuyo capital es el mismo, la ecuación se simplifica a lo siguiente:

1  i n  1  iequiv n

1

i = tasa efectiva dada o conocida n = número de periodos o capitalizaciones en un año correspondientes a la tasa efectiva dada. iequiv = tasa efectiva equivalente que se desea conocer. n1 = número de periodos de capitalizaciones en un año correspondientes a la tasa de interés que se desea conocer. Ejemplo: El Banco Contimundo cobra por los préstamos personales una tasa efectiva mensual del 1,5%. Se desea calcular la tasa efectiva trimestral que tendrá que cobrar el banco para no afectar a su rentabilidad. i = 1,5% n = 12 (meses) iequiv = ? n1 = 4

1 0,01512  1 iequiv 4 3 i equiv  1 0,015  1 i equiv  4,5678%trimestral

Ejemplo: ¿A qué tasa nominal capitalizable mensualmente equivale una tasa efectiva mensual del 1,5%? j=? i = 1,5% mensual n = 12 m = 12

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12

1 0,015  1 j   12  j  18% capitalizable mensualmente 12

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EJERCICIOS 1.

¿A qué tasa efectiva semestral equivale una tasa del 10% anual capitalizable semestralmente?

2.

¿A qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa del 30% efectiva trimestral?

3.

¿A qué tasa efectiva anual equivale una tasa efectiva mensual del 1%?

4.

¿A qué tasa efectiva trimestral equivale una tasa efectiva anual de 46,41%?

5.

¿A qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa efectiva anual del 46.41%?

6.

¿El Señor Pelayo ha solicitado un crédito de S/. 100 por el que se compromete a devolver S/. 150 luego de un año? a) Se pide hallar el costo anual del crédito(ie: TEA) b) Se pide hallar la tasa nominal capitalizable mensualmente equivalente a una TEA del 50%

7.

¿Qué alternativa de crédito es más conveniente para usted? a) Un préstamo de S/. 100 con la condición de devolver S/. 127 luego de 8 meses. b) Un préstamo de S/. 100 con la condición de devolver S/. 123 luego de 6 meses.

8.

La compañía TH debe pagar al Banco Pacifico dos deudas de S/. 6000 y S/. 8000 respectivamente, la primera con vencimiento a 30 días y la segunda con vencimiento a 60 días. La Gerencia Financiera de TH, analizando su flujo de caja proyectado, conoce de la futura falta de efectivo para esas fechas, por lo que negociando con el Banco Pacifico se difieren ambos pagos para el dia 120, a una tasa efectiva mensual del 4%. ¿Qué importe deberá pagar TH el día 120?

9.

La empresa ROBALCA tiene en un bando una deuda de S/. 10000(incluyendo intereses)que vence dentro de 48 días por la cual paga una tasa efectiva mensual del 3%. Además tiene otra deuda de S/. 15000(incluyendo intereses) por la cual paga una tasa efectiva mensual del 4% y vence dentro de 63 días. La empresa propone pagar ambas deudas con el descuento de un pagare con valor nominal de S/. 24781.46 el mismo que vencerá dentro de 90 días contados a partir del día de hoy. ¿Qué tasa efectiva mensual está cobrando el banco?

10.

Una inversión efectuada en el Mercado de Capitales produjo un interés de 3750 luego de 90 días. En ese lapso de tiempo la rentabilidad acumulada fue del 8%. ¿Cuál fue el importe original de la inversión?

11.

La utilidad de un paquete de unos títulos valores adquiridos en la Mesa de Negociaciones hace 45 días fue de S/. 800. La tasa efectiva acumulada en 60 días por dichos títulos valores de dicha empresa fue del 3%. ¿Cuál fue el precio de adquisición de dichos títulos?

12.

Hoy día la compañía PRESTO se dispone a pagar una deuda de S/. 10000 vencida hace cinco meses y otra de S/. 8000 que vencerá dentro de tres meses. Las deudas vencidas generan una tasa efectiva mensual del 2% y las deudas vigentes generan una tasa efectiva mensual del 1.5%. ¿Qué importe deberá cancelar la empresa?

13. En el año 2000, Manuel tiene deudas con el banco INTERCLAN cuyas fechas de vencimiento y montos son las siguientes: el 26/05 , S/. 4000; el 18/06, 5000; el 11/07, S/. 2000; y el 30/08 S/. 3000. El 26/05 Manuel paga al Banco INTERCLAN su deuda de S/. 4000 y le propone sustituir las tres deudas pendientes por un nuevo crédito a pagar por un importe de S/. 12000. Considerando una tasa efectiva mensual del 2% y que el banco acepte la propuesta el mismo 26/05. ¿En qué fecha vencería el nuevo crédito?. Considere tiempo aproximado.

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3.- ANUALIDADES Una anualidad es un flujo de caja en el que los flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de dinero son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad son los pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizado como una generalización sobre el tema, no siempre son períodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son: 1. Pagos mensuales por renta 2. Cobro quincenal o semanal por sueldo 3. Abonos quincenales o mensuales por pago de un préstamo. 4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc. Flujo de una anualidad

No es una Anualidad El flujo no es una anualidad porque al 4to año se interrumpen para reiniciarse al 5to.

Cuando el flujo de caja es de una anualidad, el proceso de cálculo del valor actual y del valor futuro de un flujo de dinero se simplifica enormemente. Las anualidades son: Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en las cuales los pagos son hechos a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago. Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables se efectúan al principio de cada periodo. Las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período el VA o VF las pospagables multiplicándolas por (1 + i). Es decir, utilizamos las mismas fórmulas del VA o VF de las anualidades pospagables, multiplicando el resultado por (1 + i). 3.1. Valor actual de una anualidad El valor actual de una anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Esto puede calcularse a través de la siguiente ecuación: , con esta fórmula obtenemos:

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Donde: VA = Valor actual de la anualidad C = Pago de una anualidad i = Interés o tasa de descuento En las fórmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de interés no puede ser despejada, por lo cual debe obtenerse por ensayo y error. Por esta razón en el presente libro, para obtener la tasa de interés utilizamos la función TASA cuando operamos con flujos uniformes y la función TIR cuando operamos con flujos variables. Cuando estamos frente a un perfil de flujos iguales para cada período, es posible hacer una formulación que nos de el Valor Actual de los flujos de una sola vez obviando el cálculo del descuento flujo por flujo. De esta forma de cálculo son las Anualidades. Ejemplo:

Si usamos el método de descuento flujo por flujo y lo descontamos al 15% por período tendríamos los valores indicados en el cuadro y después lo comparamos con el método abreviado a través de la fórmula y la función VA:

Aplicando la fórmula [18] o la función VA:

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Como podemos observar, con los tres métodos obtenemos resultados iguales. EJERCICIO (Calculando el VA de una anualidad pospagable) Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cinco años vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%, ¿cuál es el VA de la anualidad? Solución: C = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ? Aplicando la fórmula (18) o la función VA, tenemos:

Respuesta: El VA de los cinco pagos iguales es UM 1,758.62.

EJERCICIO (La mejor elección) Usted gana la lotería. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotería le proponen lo siguiente: cobrar hoy UM 500,000 ó UM 3,000 mensuales durante los próximos 25 años. ¿Qué elige Ud.? Solución: VA = 500,000; i = ? En este caso, primero determinamos la tasa de interés, que nos permita descontar las cuotas mensuales y compararlo con los UM 500,000 que recibiríamos el día de hoy. El dinero hoy vale más que en el futuro. Asumamos una inflación del 6% anual proyectada para los próximos 25 años. (i = 0.06/12 = 0.005) i = 0.005; C = 3,000; n = (5*12) = 300; i = 0.005; VA = ? Aplicamos la fórmula [18] o la función VA:

Respuesta:

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El VA de las 300 cuotas mensuales de UM 3,000 descontadas a la tasa de inflación del 6% anual es UM 465,620.59 inferior a los UM 500,000 que cobraríamos hoy, en consecuencia, nuestra decisión será cobrar la loterías hoy.

EJERCICIO (Calculando el VA de una anualidad prepagable) El dueño de una MYPE contrae una deuda para saldarla en cinco pagos iguales de UM 26,913 al inicio de cada año, con una tasa de interés de 45.60% anual. Calcular el valor actual de esta obligación. Solución: C = 26,913; n = 5; i = 0.456 ; VA = ? Aplicando el concepto de las anualidades prepagables en la fórmula (18) y la función VA multiplicamos el resultado de la fórmula por (1 + i) y la función a operamos con tipo = 1:

Respuesta: El valor actual prepagable de ésta operación es UM 72,800, considera el pago anticipado de cada cuota anual.

EJERCICIO (Calculando el incremento anual) En 1978 el franqueo de un sobre a Europa era de UM 10. En el 2003 colocar por correo la misma carta cuesta UM 70. ¿Que incremento anual en el franqueo de una carta experimentó durante este tiempo? Solución (n = 2003 - 1978) C = 10; VA = 70; n = (2003 - 1978) = 25; i = ? Aplicando la función TASA obtenemos:

Respuesta: El incremento anual es 13.71% EJERCICIO (Calculando la tasa de interés de una anualidad) Una inversión de UM 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de UM 45,000 durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto. Solución: VA = 120,000; C = 45,000; n = 5; i = ? Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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Respuesta: La tasa anual de rendimiento del proyecto es 25.41% 3.2. Valor Futuro de una anualidad Al tratar el cálculo de las anualidades, determinábamos el valor de los flujos en valor actual o del momento cero. También es posible emplear esta misma formulación y plantear por ejemplo, cuánto tendré ahorrado en un momento futuro si depositara una determinada cantidad igual período a período, dada una cierta tasa de interés por período. Es decir, lo que estamos haciendo es constituir un fondo. Anteriormente calculamos el valor actual de una serie de pagos futuros. Lo que ahora buscamos, como monto futuro, es una expresión que responda al siguiente perfil financiero:

Partimos depositando una suma ahora y hacemos lo mismo con igual monto hasta el período n-1 y con la misma tasa de interés por cada período. La fórmula del valor futuro de la anualidad y las derivadas de ella son:

El valor, depende sólo de las variables tasa de interés «i», igual para cada período y el valor correspondiente al número de periodos «n», para flujos realizados a comienzo de cada uno de ellos. Las anualidades tienen la característica que siendo un pago constante en el caso de amortizar una deuda los intereses pagados en los primeros periodos son mayores, destinándose el excedente al pago de amortización de capital, el cual aumenta gradualmente, el interés posterior deberá calcularse sobre un menor monto de capital por la disminución o amortización de éste. EJERCICIO (Calculando el VF y el plazo de un ahorro) Un microempresario deposita UM 2,500 ahora en una cuenta de ahorros que reconoce una tasa de interés del 1.8% mensual y considera retirar UM 390 mensuales, empezando dentro de 10 meses. ¿Calcular por cuánto tiempo podrá realizar retiros completos? Solución: VA = 2,500; i = 0.018; C = 390; n = 10; VF = ?; n = ? 1º Calculamos el VF de los UM 2,500 a 10 meses: [11] VF = 2,500(1 + 0.018)10 = UM 2,988.2559 Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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2º Calculamos el tiempo durante el cual podrá hacer retiros por UM 390 cada uno:

Respuesta: A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por 7 meses. 3.3. Anualidades Perpetuas Por definición significa duración sin fin. Duración muy larga o incesante. A partir del valor actual (VA) de una anualidad C, que representa una serie de pagos, depósitos o flujo periódico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando algunas modificaciones podríamos derivar las perpetuidades. La característica de una perpetuidad es que el número de periodos es grande, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, es calculada con la siguiente fórmula:

Las perpetuidades permiten cálculos rápidos para determinar el valor de instrumentos de renta fija (VAP) de muchos periodos. En este caso, «C» es el rendimiento periódico e «i» la tasa de interés relevante para cada período. Ejemplos de perpetuidades son también las inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de interés aproximamos el valor de la inversión (C). Por lo general, la tasa de interés es casi siempre anual y el canon de arriendo es mensual, por lo cual deberá establecerse la tasa de interés equivalente (Ver definición y fórmula en el numeral 10, de este capítulo) para este período de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o rentas vitalicias. EJERCICIO (Perpetuidad) Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental -entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto debo depositar el día de hoy?. Solución: C = 2,500; i = 0.005; VAP = ?

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Respuesta: Debo depositar el día de hoy UM 166,6667. Mensualmente el dinero gana UM 2,500 de interés. Este interés constituye la beca.

4.- AMORTIZACIONES En términos generales, amortización es cualquier modalidad de pago o extinción de una deuda. Aquí haremos referencia a la más común de estas modalidades. La extinción de una deuda mediante un conjunto de pagos de igual valor en intervalos regulares de tiempo. En otras palabras, este método de extinguir una deuda tiene la misma naturaleza financiera que las anualidades. Los problemas de amortización de deudas representan la aplicación práctica del concepto de anualidad. 4.1. Tabla de amortización La tabla de amortización es un despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta la extinción de la deuda. Una vez que conocemos todos los datos del problema de amortización (saldo de la deuda, valor del pago regular, tasa de interés y número de periodos), construimos la tabla con el saldo inicial de la deuda, desglosamos el pago regular en intereses y pago del principal, deducimos este último del saldo de la deuda en el período anterior, repitiéndose esta mecánica hasta el último período de pago. Si los cálculos son correctos, veremos que al principio el pago corresponde en mayor medida a intereses, mientras que al final el grueso del pago regular es aplicable a la disminución del principal. En el último período, el principal de la deuda deber ser cero. Estructura general de una tabla de amortización:

EJERCICIO (Calculando la cuota uniforme) La mejora de un proceso productivo requiere una inversión de UM 56,000 dentro de dos años. ¿Qué ahorros anuales debe hacerse para recuperar este gasto en siete años, con el primer abono al final del año en curso, si contempla una tasa de interés del 12% anual? Solución: VF2 = 56,000; n = 2; i = 0.12; VA = ?; 1º Calculamos el VA de la inversión dentro de 2 años, aplicando indistintamente la fórmula (12) o la función VA:

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2º Luego determinamos la cuota periódica ahorrada a partir de hoy, aplicando la fórmula (19) o la función pago: VA = 44,642.86; n = 7; i = 0.12; C = ?

Respuesta: Los ahorros anuales que deben hacerse son UM 9,782.07 EJERCICIO (Préstamo de Fondo de Asociación de Trabajadores) Un sector de trabajadores que cotiza para su Asociación tiene un fondo de préstamos de emergencia para los asociados cuyo reglamento establece que los créditos serán al 9% anual y hasta 36 cuotas. La cantidad de los préstamos depende de la cuota. a) Si el préstamo es de UM 3,000 ¿cuáles serán las cuotas? b) Si sus cuotas son UM 120 ¿cuál sería el valor del préstamo? Solución (a) VA = 3,000; n = 36; i = (0.09/12) = 0.0075; C = ? Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula (19) o la función PAGO:

Solución (b) C = 120; n = 36; i = 0.0075 (0.09/12); VA =? Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula (18) o la función VA:

Respuesta: Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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(a) Las cuotas serán UM 95.40 y (b) Valor del préstamo UM 3,773.62

4.2. Sistema de Amortización Francés Caracterizado por cuotas de pago constante a lo largo de la vida del préstamo. También asume que el tipo de interés es único durante toda la operación. El objetivo es analizar no sólo el valor de las cuotas, sino su composición, que varía de un período a otro. Cada cuota está compuesta por una parte de capital y otra de interés. En este sistema, el valor total de la cuota permanece constante y el interés disminuye a medida que decrece el principal. Son útiles las funciones financieras de Excel para el cálculo. El interés aplicado es al rebatir, vale decir sobre los saldos existentes de la deuda en un período. Muy utilizado por los bancos y tiendas que venden al crédito. EJERCICIO (Calculando la cuota mensual de un préstamo) Lilian toma un préstamo bancario por UM 3,000 para su liquidación en 6 cuotas mensuales con una tasa de interés del 4.5% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabora la tabla de amortización. Solución: VA = 3,000; n = 6; i = 0.045; C = ? 1º Calculamos la cuota a pagar mensualmente:

2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION FRANCES del préstamo:

SALDO INICIAL = SALDO FINAL INTERES = SALDO INICIAL POR TASA DE INTERES PAGO = FORMULA [19] O BUSCAR OBJETIVO AMORTIZ. = PAGO - INTERES SALDO FINAL = SALDO INICIAL – AMORTIZACION Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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Respuesta: La cuota mensual a pagar por el préstamo es UM 581.64, contiene la amortización del principal y el interés mensual. 4.3. Sistema de Amortización Alemán Cada cuota está compuesta por una parte de capital y otra de interés. En este sistema, el valor total de la cuota disminuye con el tiempo, el componente de capital es constante, el interés decrece. No es posible utilizar las funciones financieras de Excel para su cálculo. Con este método son de mucha utilidad las tablas de amortización. EJERCICIO (Préstamo con amortización constante) Una persona toma un préstamo de UM 4,000 para su liquidación en 24 amortizaciones mensuales iguales, con una tasa de interés del 3.85% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabore el cronograma de pagos. Solución: VA = 4,000; i = 0.0385; n = 24; C = ?

Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION ALEMAN DE LA DEUDA:

INTERES = SALDO FINAL POR TASA DE INTERES AMORTIZ. = PRESTAMO / Nº DE CUOTAS PAGO = INTERES + AMORTIZACION SALDO FINAL = SALDO INICIAL - AMORTIZACION CASO: PREPAGO DE UNA DEUDA Supongamos que el Sr. Silva solicita un préstamo por $ 20000, para ser cancelado en 1 año y medio en pagos mensuales iguales, acordando pagar una TEA del 24%. Si el cliente al cancelar la séptima cuota realiza un prepago de $ 1500. ¿A cuánto ascenderá el importe de las nuevas cuotas a pagar si lo que desea es reducir únicamente el importe de las cuotas restantes a pagar y no el plazo para cancelar el préstamo? Considere que mensualmente se paga $ 2.50 por concepto de portes.

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CASO: REFINANCIAMIENTO DE UNA DEUDA Supongamos que la empresa SUCOY solicita un préstamo, para la adquisición de activos fijos, por $ 80000 para ser cancelados en 12 mensualidades iguales pactándose una TEA del 16%. Suponer que luego de haber cancelado 4 cuotas, la empresa solicita un refinanciamiento de su deuda vigente, aceptándose darle un plazo ampliatorio de 18 meses para pagar las nuevas cuotas y manteniéndose la misma tasa de interés EJERCICIO DE APLICACIÓN Aplicando la suma de dígitos, prepare la tabla de reembolso de un préstamo de S/. 10000 otorgado para ser reembolsado en 6 cuotas trimestrales vencidas. Utilice una TET del 5%.

5.- DEPRECIACION Definición: La depreciación es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo, producido por el paso del tiempo, desgaste por uso, el desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico, tributario, etc. CAUSAS DE LA DEPRECIACION: a) El desgaste: que lo sufren los bienes por el solo transcurso del tiempo al ser utilizados normalmente. 

b) El agotamiento: que se produce en el caso de activos materiales adquiridos para ser sometidos a actividades extractivas (canteras, minas, pozos petrolíferos, etc.)

MÈTODOS DE DEPRECIACIÒN Se han desarrollado varios métodos para estimar el gasto por depreciación de los activos fijos tangibles. Los cuatro métodos de depreciación más utilizados son: 

El de la línea recta.



El de unidades producidas.



El de la suma de los dígitos de los años.



Método de la reducción de saldos.

La depreciación de un año varía de acuerdo con el método seleccionado pero la depreciación total a lo largo de la vida útil del activo no puede ir más allá del valor de recuperación. Algunos métodos de depreciación dan como resultado un gasto mayor en los primeros años de vida del activo, lo cual repercute en las utilidades netas del periodo. Por tanto, el contador debe evaluar con cuidado todos los factores, antes de seleccionar un método para depreciar los activos fijos. MÈTODO DE LA LÍNEA RECTA Es el método más sencillo y el mas comúnmente usado, se basa en el supuesto que la depreciación es una función del tiempo y no del uso.De este modo se supone que los servicios potenciales del activo fijo declinan en igual cuantía en cada ejercicio, y que el costo de los servicios es el mismo, independientemente del grado de utilización. FORMULA:

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EJEMPLO: Supongamos un vehículo cuyo valor es de $30.000.000 y una vida útil de 5 años y no tiene valor de salvamento.

Año

Cuota Depreciación depreciación acumulada

Valor neto en libros

1

6,000,000.00

6,000,000.00

24,000,000.00

2

6,000,000.00

12,000,000.00

18,000,000.00

3

6,000,000.00

18,000,000.00

12,000,000.00

4

6,000,000.00

24,000,000.00

6,000,000.00

5

6,000,000.00

30,000,000.00

-

Aplicamos la formula: Se tiene entonces (30.000.000 /5) = 6.000.000.

MÈTODO DE LAS UNIDADES PRODUCIDAS El método de las unidades producidas para depreciar un activo se basa en el número total de unidades que se usarán, o las unidades que puede producir el activo, o el número de horas que trabajará el activo, o el número de kilómetros que recorrerá de acuerdo con la fórmula.

EJEMPLO: Ejemplo: Se tiene una máquina valuada en $10.000.000 que puede producir en toda su vida útil 20.000 unidades. Entonces, 10.000.000/20.000 = 500 (DEPRECIACION POR UNIDAD)

Año

Unidades Depreciación Cuota Depreciación Valor neto en libros producidas por unidad depreciación acumulada

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1

2,000.00

500

1,000,000.00

1,000,000.00

9,000,000.00

2

2,500.00

500

1,250,000.00

2,250,000.00

7,750,000.00

3

2,000.00

500

1,000,000.00

3,250,000.00

6,750,000.00

4

2,200.00

500

1,100,000.00

4,350,000.00

5,650,000.00

5

1,500.00

500

750,000.00

5,100,000.00

4,900,000.00

6

1,800.00

500

900,000.00

6,000,000.00

4,000,000.00

7

2,000.00

500

1,000,000.00

7,000,000.00

3,000,000.00

8

2,000.00

500

1,000,000.00

8,000,000.00

2,000,000.00

9

2,400.00

500

1,200,000.00

9,200,000.00

800,000.00

10

1,600.00

500

800,000.00

10,000,000.00 -

MÈTODO EL DE LA SUMA DE LOS DÍGITOS DE LOS AÑOS A) Método de depreciación decreciente: Este método determina cuotas de depreciación con disminución progresiva hacia los últimos años de la vida útil. FORMULA: (Vida útil/suma dígitos)*Valor activo

EJEMPLO: Supongamos un vehículo cuyo valor es de $30.000.000. y una vida útil de 5 años. SUMA DE DIGITOS: 1+2+3+4+5=15 Invertimos el orden de los sumandos y formaremos fracciones sucesivas decrecientes, luego: 5/15 = 0,333 ; 4/15 = 0,266 Y así sucesivamente. Todo lo que hay que hacer es dividir la vida útil restante entre la suma de dígitos.

Año Factor Porcentaje Valor activo

Cuota depreciación

Depreciación acumulada

Valor neto en libros

1

10.000.000,00

10.000.000,00

20.000.000,00

0,333

33,3%

30.000.000,00

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2

0,267

26,7%

30.000.000,00

8.000.000,00

18.000.000,00

12.000.000,00

3

0,200

20,0%

30.000.000,00

6.000.000,00

24.000.000,00

6.000.000,00

4

0,133

13,3%

30.000.000,00

4.000.000,00

28.000.000,00

2.000.000,00

5

0,067

6,7%

30.000.000,00

2.000.000,00

30.000.000,00

-

B) Método de depreciación creciente: Este método determina cuotas de depreciación con aumento progresivo hacia los últimos años de la vida útil. En este el orden de los dígitos no se invierte, sino que los factores variables de depreciación periódica se obtienen en el mismo orden al de los períodos a depreciar. Del ejemplo anterior: Siguiendo el mismo orden en que hemos colocado los sumandos formaremos fracciones sucesivas crecientes, tomando como común denominador la suma de los mismos. 1/15 ; 2/15 ; 3/15 ; 4/15 ; 5/15

Año Factor Porcentaje Valor activo

Cuota depreciación

Depreciación acumulada

Valor neto en libros

1

0,067

6,7%

30.000.000,00

2.000.000,00

2.000.000,00

28.000.000,00

2

0,133

13,3%

30.000.000,00

4.000.000,00

6.000.000,00

24.000.000,00

3

0,200

20,0%

30.000.000,00

6.000.000,00

12.000.000,00

18.000.000,00

4

0,267

26,7%

30.000.000,00

8.000.000,00

20.000.000,00

10.000.000,00

5

0,333

33,3%

30.000.000,00

10.000.000,00

30.000.000,00

-

MÈTODO DE LA REDUCCION DE SALDOS Este es otro método que permite la depreciación acelerada. Para su implementación, exige necesariamente la utilización de un valor de salvamento, de lo contrario en el primer año se depreciaría el 100% del activo, por lo perdería validez este método. FORMULA: Tasa de depreciación = 1- (Valor de salvamento/Valor activo)1/n Continuando con el ejemplo del vehículo (suponiendo un valor de salvamento del 10% del valor del vehículo) tendremos: Lic. Fernando Abad Llacsahuanga

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(3.000.000/30.000.000)1/5 = 0,36904 = 36.9% Año

Tasa depreciación

Valor depreciar

Depreciación acumulada

Valor neto en libros

1

36.9%

30,000,000.00

11,071,279.67

11,071,279.67

18,928,720.33

2

36.9%

18,928,720.33

6,985,505.22

18,056,784.88

11,943,215.12

3

36.9%

11,943,215.12

4,407,555.82

22,464,340.71

7,535,659.29

4

36.9%

7,535,659.29

2,780,979.72

25,245,320.42

4,754,679.58

5

36.9%

4,754,679.58

1,754,679.58

27,000,000.00

3,000,000.00

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sin Cuota depreciación

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