Mate 6to 1B Prim
8-4= 16 2+5= 4 2 6 PRIMARIA Tu Nombre: Tu Sección: GENERAL Pág. Álgebra 05 Aritmética 31 Geometría 55 Razonamiento
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8-4=
16 2+5=
4 2
6
PRIMARIA Tu Nombre: Tu Sección:
GENERAL Pág. Álgebra 05 Aritmética 31 Geometría 55 Razonamiento Matemático
79
ÁLGEBRA Primer Bimestre
6
PRIMARIA
Pág. Operaciones con números enteros Z
07
Potenciación I: Exponente natural y base entera
10
Potenciación II: Exponente y bases especiales
13
Potenciación III: Leyes de exponentes
16
Potenciación IV: Leyes de exponentes
19
Potenciación V
22
Radicación I
25
Repaso 28
“Formando líderes para el futuro”
Operaciones con números enteros Z Adición en ZZ Signos diferentes:
ZZ Signos iguales:
sumo: 15 + 23 = 38
–15 – 23 = –38
Antepongo el signo común al resultado
División en Ley de signos:
Ley de signos: + + = +
+
+ = +
- - = +
-
- = +
+ - = -
+
- = -
- + = -
-
+ = -
Ejemplos:
Ejemplos: ((–3)(–12) )= +36 o 36 (8)(–9) = –72
- 15 = +3 o 3 -5
Operaciones combinadas
Ejemplo: P = 15 – {–18 –(–12 + 15)} P = 15 – {–18 – (+ 3 ) } Multiplico - + = P = 15 – {–18 – 3} P = 15 – {–21} Multiplico - - = + P = 15 + 21 P = 36
ZZ Sin signos de colección:
–20 + 13 – 6 + 10 – 9
Agrupo → + 13 + 10 – 20 – 6 – 9 Sumo → + 23 – 35 Resto → – 12 ZZ Con signos de colección:
Cuando existen algunos signos de colección dentro de otros, se debe operar de adentro hacia afuera. 6to PRIMARIA
–43 + 21 = –22 Antepongo el signo del número mayor (sin tomar en cuenta el signo): 43
Multiplicación en
resto: 43 – 21 (sin tomar en cuenta el signo)
7
Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
Trabajando en clase Nivel básico 1. Determina el valor de A + 3, si: A = 40 – 16 + 12 + 60 – 15 Resolución: A = 40 – 16 + 12 + 60 – 15
6. Calcula: R = (11) –(–25)(+3) + (–80) ÷ (+4) 7. Calcula: B = (–8 – 2)(–5 + 2) – (–5)(–3) + 20
A = 40 + 12 + 60 – 16 – 15
Nivel avanzado 8. Resuelve: S = 45 – [– (– 46 + 41) + (–2 – 16)] Resolución: S = 45 – [–(–46 + 41) + (–2 – 16)]
A= 112 – 31 A = 81 \A + 3 ⇒ 81 + 3 = 84
2. Calcula el valor de B – 10, si: B = –24 + 80 – 60 + 12 – 32
S = 45 – [–(–5) + (–18)] Multiplico signos S = 45 – [+5 – 18]
3. Calcula el valor de Q – 5, si: Q = –35 + 30 – 35 + 48 – 12 4. Si: M = –12 – 8 – 4: C = –17 + 20 Calcula: M – C.
Multiplico S = 45 + 13 S = 58
Nivel intermedio 5. Calcula: P = (–5)(12) – (–35)(–4) + (–100) ÷ (–25) Resolución: P = (–5)(12) – (–35)(–4) + (–100) ÷ (–25)
- = +
Respuesta: 58
P = –60 – (+140) + (+4)
9. Resuelve: E = 56 – [–(18 – 20) + (–93 – 4)]
Multiplico P = –200 + 4 P = –196
10. Calcula: A = –{57 – [45 + 3 – 91] –36 – 58}
Respuesta: –196
Álgebra
S = 45 – [–13]
8
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando 11 Calcula el valor de R - 9, si: R = -20 +12 – 72 + 23 -10 a) 8 b) -33 c) 34 d) 46 e) -46
17 Calcula: N = (-6 +2)(-3+4) + (14)(-2) - 16 a) 10 b) 17 c) -17 d) 16 e) -16
12 Si: A = -11 – 3 – 5 y B = -14 + 20 a) -3 b) -4 c) 25 d) -25 e) 5
18 Calcula: Q = (-5-8-1)(-10+7-3) +24 a) 10 b) 105 c) 108 d) -108 e) 111
13 Si: P = -12 + 8 y Q = -9 + 3 - 5 Calcula P+ Q a) b) c) d) e)
19 Resuelve: Z = (-50) ÷ (5) – (-6)(5) + (-8)(9) a) 12 b) 63 c) 52 d) -52 e) -64
8 -13 -15 15 18
14 Calcula el valor de A + 7, si: a) 38 b) -38 c) 31 d) -20 e) 4
20 Calcula: T = (-2)(14) – (-12)(10) – (48) ÷ (-6) a) -100 b) 100 c) 104 d) 105 e) -10
15 Calcula: R = (-3)(10) – (20)(-3) + (-60) ÷ (2) a) 110 b) 130 c) -120 d) 120 e) -150
21 Calcula:
a) 5 b) -5 c) 14 d) -14
16 Calcula: A = (20 – 27)(-9 + 3)-(-5)(-8) + 20 a) 5 b) 24 c) -22 d) 22 e) 21 6to PRIMARIA
F = -{60 – [25 + 3 – 28] – 26 - 48}
e) 13
9
Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
Potenciación I: Exponente natural y base entera La potenciación es la operación que consiste en multiplicar un número, llamado base, tantas veces como lo indica otro número, llamado exponente. exponente n potencia a =P base Ejemplo:
23 = 2 ´2´2 = 8 3 veces
A. Si la base es positiva Ejemplos: YY 24 = 16 YY 52 = 25 YY 19 = 1 YY 53 = 125
+
Par/impar
= +
B. Si la base es negativa 1. Exponente par Ejemplos: ●● (–2)4 = 16 ●● (–3)4 = 81 \
-
Par
= +
2. Exponente impar Ejemplos: ●● (–3)3 = –27 ●● (–2)5 = –32 \
-
Im par
= -
Trabajando en clase 2. Calcula: F = 52 – 72 + 42
Nivel básico 1. Calcula: A = 4 + 32 – 18 Resolución: A = 43 + 32 – 18 A = 64 + 9 – 1 A = 73 – 1 A = 72 3
Álgebra
3. Calcula: P = 33 – 62 + 52 – 110 4. Calcula el valor de R + 1, si: R = 92 – 23 + 72 – 4 10
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Nivel intermedio 5. Calcula: B = 62 – (–4)3 + (–5)2 Resolución: Impar Par B = 62 – (–4)3 + (–5)2 B = 62 – (–64) + (+25) B = 36 + 64 + 25 B = 125
Nivel avanzado
8. Calcula: P = –(–5)2 – (–1)3 + (–6)2 Resolución: P = –(–5)2 – (–1)3 + (–6)2 P = –(+25) – (–1) + (+36) P = –25 + 1 + 36 P = –25 + 37 P = 12
Respuesta: 125 6. Calcula: 7. Resuelve:
Respuesta: 12 9. Calcula:
M = 72 – (–2)3 + (–3)2 4
4
10. Calcula el valor de A2, si: A = 82 – (–7)2 – (–3)2
2
A = (–1) – (–3) – (–4)
6to PRIMARIA
Q = –(–4)3 – (–2)4 – (–1)10
11
Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando 11. Calcula: S = 23 + 33 – 1 9 a) 36 b) 34 c) 35 d) 14 e) 10
17. Resuelve:M = 43 – 52 – (2)4 a) 73 b) 105 c) -105 d) -73 e) 100 18. Calcula: A = (-1)11 + (-3)2 – (-7)2
12. Calcula el valor de T - 10, si: T = 32 + 42 - 17 a) 23 b) 24 c) 13 d) 14 e) 20 13. Calcula: a) 64 b) -5 c) 38 d) 30 e) -38
a) b) c) d) e)
M = 43 – 32 – 24 - 120
14. Calcula: F = 52 – 72 + 42 - 19 a) -9 b) 9 c) 20 d) 18 e) 15 15. Calcula el valor de S - 2, si: S = (-1)8 + (-3)4 a) -75 b) -80 c) 75 d) 82 e) 80 16. Calcula: a) b) c) d) e)
0 2 1 3 4
41 -41 16 -16 20
19. Calcula: a) 99 b) 69 c) 27 d) 17 e) 20
C = -(-4)3 – (-3)3- (-2)3
20. Calcula: a) 65 b) 66 c) 64 d) -65 e) 70
E = -(-3)2 – (-2)3 + (-4)3
21. Calcula el valor de B2, si: B = 52 – (-4)2 – (-1)10 a) -64 b) 64 c) 36 d) 100 e) 13
R = -(3)2 - (-1)13 + (-3)2
22. Calcula el valor de C3, si: C = -62 + 25 + 2 a) 2 b) -7 c) 7 d) 8 e) -8
Álgebra
12
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Potenciación II: Exponente y bases especiales A. Exponente cero
Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a uno. a0 = 1 ; a ≠ 0
Ejemplos: 80 = 1 98600 = 1
0
11 = 1 (–5)0 = 1
0
42 = 1 ¡0° no existe!
B. Exponente uno
Todo número elevado al exponente uno es igual al mismo número. a1= a
Ejemplos: 521 = 52 71 = 7
1821 = 182 32901 = 3290
n
( 1a ) 11 1 61 = ( ) = 6 6 a -n =
( 14 )
-2
=
( 14 )
2
= 42 = 16
D. Base cero
El número cero (0) elevado a cualquier exponente natural diferente de cero es igual a cero. n
0 =0 ; n ≠ 0 Ejemplos: 06 = 0
03 = 0
0213 = 0
E. Base uno
C. Exponente negativo
Al elevar un número diferente de cero al exponente negativo, se invierte la base y el exponente se vuelve positivo. Ejemplos:
El número uno (1) elevado a cualquier exponente natural es igual a uno.
Ejemplos: 147 = 1
1n = 1
130 = 1
10 = 1
Trabajando en clase Nivel básico
3. Calcula:
1. Calcula: A = 80 + (–15)0 – 71 + (–9)1 Resolución:
4. Calcula: E = 90 + (–20)0 – (–12)1 + (–29)1
A = 80 + ( - 15)0 - 71 + (- 9)1 A =1 + 1
Nivel intermedio 5. Calcula: B = (5 – 91)0 + (3 – 14)1 – (2 – 9)1 + (27 × 4– 1)0 Resolución:
- 7 + (- 9)
A= 2 -7 - 9 A= 2 - 16 A = - 14
B = (5 - 91)0 + (3 - 14)1 - (2 - 9)1 + (27x4 - 1)0
B= 1 + (–11)1 – (–7)1 + B= 1 + (–11) – (–7) + +. –= – – . –= +
2. Calcula: L = 130 + (–7)0 – 181 + (–4)1 6to PRIMARIA
G = (–5)0 + (–9)1 + 34 + 17
13
Álgebra
1 1
“Formando líderes para el futuro”
B = 1 – 11 + 7 + 1 B = 1 + 7 + 1–11 B = 9 – 11 B = –2
() () ()
1 3 2 M= 3 + 2 + 7 1 1 1
M = 31 + 23 + 72 M = 3 + 8 + 49
Respuesta: –2
M = 60
6. Calcula: R = (36 – 100)0 + (2 – 15)1 – (8 – 12)1 + (31×3 – 1)0
Respuesta: 60
7. Resuelve: A = (1 – 4)1 + (–17)0 + (2 + 7)1 + (–3×4 + 1)0 Nivel avanzado
8. Calcula:
9. Calcula:
-1
-3
( ) + ( 21 ) + ( 71 )
M= 1 3
-2
() () ()
10. Calcula:
Resolución:
-1 -3 -2 M= 1 + 1 + 1 3 2 7
() () ()
Álgebra
-3 -2 -1 P= 1 + 1 + 1 4 3 9
14
-1 0 S = 2 + 2-1 - 24 3 5
()
( )
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando 11 Calcula: S = 150+(–21)0–23+ (–12)1 a) 18 b) –18 c) –20 d) 20 e) 17
18 Resuelve: −3
5
a) b) c) d) e)
12 Calcula: R = 16+(–25)0 + (–9)1+ (–8)1 a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) –2
a) b) c) d) e)
1 F = 7
a) b) c) d) e)
20 –20 15 –15 –9
a) a) b) c) d) e)
−1
2 3 4 5 6
20 Calcula:
16 Calcula: C = (–5)1–(–3)1+(2+5)0+ (–2 x 7 + 1)0 a) –1 b) 0 c) 1 d) 1/2 e) –1/2 −2
3
1 C= 1 −1 1 −1 + 3 2
15 Calcula: N = (25 – 72)0 + (3–18)1– (5 – 12)1 a) 7 b) –7 c) 6 d) –6 e) 9
17 Calcula:
4
−4
19 Calcula:
13 Resuelve: P = (–42)0 – 91 + 80 + (13 – 8)1 a) 2 b) 1 c) –2 d) 3 e) 4 14 Resuelve: R = 130+(–15)0 – (–15)1 + (–22)1 a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5
−3
N = 1 − 1 − 1
1 H= 1 −1 1 −1 + 5 2
−1
-18 1 3 5 7 9
21 Calcula: 2 A= 7
−1
0
5 2 + 2−1 − +2 28
a) 5 b) 6
1 − 8
−2
1 + 9
c) 7
−2
d) 8 e) 9
–18 –19 –17 –16 66
6to PRIMARIA
15
Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
Potenciación III: Leyes de exponentes A. Producto de bases iguales
Se escribe la misma base y los exponentes se suman. a m .a n =a m +n
Ejemplos: x5 . x = x5 + 1 = x6 24 . 2–3. 25 = 24–3+5 = 26 = 64 41/3 . 45/3 = 41/3+5/3 = 46/3 = 42 = 16
Ejemplos: b7 ÷ b5 = b7–5 = b2
43 = 43–2 = 41 = 4 42
x5 = x5–(–3) = x5+3 = x8 –3 x
B. División de bases iguales
Se escribe la misma base y los exponentes se restan. am m n m- n =a a =a an
Trabajando en clase Nivel básico
1. Reduce:
A= Resolución:
4. Halla el valor de B – 3, si:
10 - 3 12
x .x .x x 5.x 6
x10.x - 3.x12 A= x5.x6
5. Calcula:
x10- 3+12 A= x 5 +6
x19 A= = x19- 11 11 x A = x8
P=
x19.x - 5.x10 x 7 .x
3. Calcula:
M=
Álgebra
29.2- 3.25 24.26
Nivel intermedio E=
620 42 719 + 618 4 - 1 717
Resolución: E=
2. Reduce:
B=
620 42 719 + 618 4 - 1 717
E = 620–18 – 4 2–(–1) + 719–17 E = 62 – 43 + 72 E = 36 – 64 + 49 E = 85 – 64 E = 21
38.3- 3.35 34.32
Respuesta: 21 16
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
6. Calcula:
324 51 420 R= + 320 5- 1 418
C= C=
7. Calcula:
9 3
1 6 .6 N = 7 9 -15 - 10 2 .2 .2 6 8. Reduce:
x 9.a12.x 6.a 5.x.a a 3.x 3.x 4 .a 7
C=
x 7 .a10
C = x16–7. a18–10 C = x9 . a8
x 9.a12.x 6.a 5.x.a a 3.x 3.x 4 .a 7
10. Calcula:
x 9. x 6.x.a12.a 5 .a x 3.x 4 .a 3.a 7
6to PRIMARIA
x16.a18
9. Reduce:
Resolución: C=
x 3+ 4 .a 3+7
Respuesta: x9 . a8
Nivel avanzado C=
x 9+6+1.a12+5+1
17
B=
x 6.a 2.x 7 .a 9.x 2.a 8 x 5.a 5.x10.a12
-5 -7 C = 1 . 1 .2-9 2 2
() ()
Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando 1. Calcula:
S=
36.39.3−5 4
3 .3
a) 3 b) 9
d) 81
a)
c) 27
e) 1
A=
−6
4 .4 .4
3
T =
42. 4
a) 11 b) –11
d) –12
d) 5
c) –9
e) 4
9. Reduce:
2. Halla el valor de A – 5, si: 8
54.48.53.4 57.48 3 b) 1
8. Calcula: P =
3
x 4.x 2.y7.x5.y8 x9.y 6.x.y7
c) 12
e) 16
a) x2y
b) xy
d) x2y2
e) xy4
c) xy2
3. Reduce:
T=
a6.a7.a−5
10. Calcula:
a4.a4
a) a b) 0
d) a2
c) 1
e) 3
a
S=
23.34.28.35 2.36.29.32
a) –6 b) 5
4. Calcula:
= M
10
2
5 .5 .5
−6
5.53
d) 32
11. Calcula:
c) 30
1 H = 3
e) 40
5. Calcula: 517 220 31 − 16 + −2 15 5 2 3 36 b) 9
d) 15
−4
1 . 3
−5
.3−6
a) 9 b) 27
P=
a)
e) 8
+ 23
a) 31 b) 33
d) 6
c) –5
c) 11
d) 1
c) 3
e) 0
e) 8 12. Calcula:
6. Calcula:
1 = Q 3 −7 5 2 .2 .2
a)
−2
3
6 .6 62 30 b) 32
d) –8
−
Álgebra
−5
1 . 2
−8
.2−10
a) 6 b) –6
d) 8
c) –8
e) 0
−3
1 A= −42 + 6 3 −8 3 .3 .3 a) 11 b) –11 d) –10
c) 8
e) –32
7. Calcula:
1 Z = 2
c) 10
e) 1
18
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Potenciación IV: Leyes de exponentes Potencia de potencia
Exponente de exponente
Los exponentes se multiplican
( a m )n = a m n
a
(34 )2 = 34.2 = 38 9
= a 6 0 9 = a 0 = 1; a
m.m...m
=a
" n " veces
Ejemplos: 2 34 = 34 4 = 316 3 x2 = x2 2 2 = x8
Ejemplos:
( ( a 6 )0 )
mn
0
Si un factor es cero, el producto será cero.
¡Es diferente! 2
(x4 )
2 ¹ x4
x 8 ¹ x16
Trabajando en clase Nivel básico
1. Reduce:
A = ( x3 )
5
( x- 2 )
4. Calcula: -3
x
42
Resolución: A = ( x3 ) A=x
35
5
( x - 2 )- 3
x
-2 -3
x
5. Reduce:
2 x 4 ® ¡4 al cuadrado!
A = x 37
3. Reduce:
( 2 - 3 )5
29
( x7 x2 x )4 B= ( x 3 x )5 Resolución:
( x7 x2 x )4 B= ( x 3 x )5
( a2 )5 . ( a - 3 )- 4 . ( a6 )- 2 . a23 2 1 2 G = x5 x 4 x3
6to PRIMARIA
2
Nivel intermedio
44
A = x15 x 6 x16
2. Reduce: L =
E = ( 25 )
19
( x7+2+1 )4 B= ( x3+1 )5 Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
( x10 )4 B= ( x3+1 )5
( x10 ) B= ( x 4 )5
8. Calcula:
4
B=
01 31 40 F = 63 + 12 - 23
Resolución: 1 0 1 30 34 23 F=6 +1 -2
Resolvemos de arriba hacia abajo
Base1 ® 1n = 1
x 40 = x 40- 20 20 x
0 1 F = 6 3 +1- 2 3
B = x20
F = 61 + 1 - 23 F = 6 +1- 8 F = 7- 8
Respuesta: x20
F = -1 Respuesta: –1
6. Reduce:
Nivel avanzado
( x4 R= ( x4
x x2 ) x
5
3
9. Calcula:
2 x)
7. Resuelve:
10. Calcula:
-10 ]4
A = [ x x ... x 17 veces
Álgebra
20
G=7
1
50
6
78
-1
-4
-2 2 ( 33 ) ( 34 ) C=
3
-1
27
0
3
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando 4
1
8. Reduce:
3
1. Reduce: T = m2 ⋅ m3 ⋅ m2
H=
a) m7 b) m2 c) m30 27 d) m e) m 3
1 2. Reduce: E= ( 26 ) ⋅ 25 ⋅ ( 2−9 )
−3
4
3. Reduce: B =( x3 ) ⋅ ( x −2 ) ⋅ ( x7 ) a) x4 b) x-4 d) x-2 e) x6 4. Calcula:
T=
(x ) 4
2
x −3
9. Calcula:
c) 32
E=
−2
a) 4 b) 12 d) 32 e) 8
c) x2
10. Calcula: 0
⋅x
2
(5 ) ⋅ 5 ( 53 ) 4 3
a) 100 d) -100
c) 1
12. Calcula: M=
( x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x −11)
a) x16 b) x3 d) x12 e) x15
93
+ 17
5−1
b) 125 e) 12
c) -125
2
a) 9 b) 3 d) 8 e) 18
c) 3
20 veces
Señala el exponente final de a) 60 b) a60 c) 63 63 d) a e) 30
6to PRIMARIA
c) 4
( 54 )2 ⋅ ( 53 )−2
3 N = ( a ⋅ a ⋅ .... ⋅ a )
c) 64
37 ⋅ 3 4 ⋅ 3 2 = N ÷3 310
3
16 veces
7. Reduce:
30
a) 2 b) -2 d) -4 e) -5
c) x12
32
a) 5 b) 25 d) 125 e) 625
2
11. Calcula: A =
5. Calcula:
c) x2
26 ⋅ 23 ⋅ 2 2 = T ⋅2 28
R =64 − 32
a) x6 b) x16 d) x9 e) x15
6. Reduce:
a) x4 b) x3 d) 0 e) 1
2
a) 10 b) 2 d) 16 e) 8
( x2 ⋅ x −10 ⋅ x14 )3 ( x 3 ⋅ x 5 ⋅ x )2
21
Álgebra
c) 27
“Formando líderes para el futuro”
Potenciación V A. Potencia de un producto
YY
El exponente afecta a cada factor: (a . b)n = an . bn
Ejemplos: YY (x4 . y2)3 = (x4)3 . (y2)3 = x12 . y6
YY
YY (2x . y3)5 = (21)5 . (x)5 . (y2)5
() 2 3
4
=
24 16 = 34 81
3 4x 2 ( 4x 2 )3 = 8 (3y 8 )3 3y
Recuerda que
= 32x5 y15
B. Potencia de un cociente
()
n
( 13 ) ( 14 )
an ; b ≠ 0 bn Ejemplos:
a b
YY
=
( mx )
4
x4 m4
=
43 x 6 64x 6 = 3 24 = 3 y 27y 24
-1 -2
= 31 = 3 = 42 = 16
Trabajando en clase 1. Resuelve: Resolución:
(
A = 3x 8 y 5 A = 32 ( x 8 )
Nivel básico
(
8 5
A = 3x y
)
2
2
)
2
4. Calcula: x y
2
x y2
( y5 )
2
B=
2
3x 5 y 8 R= 4 ⋅ 7 y x
A = 9x16 y10 x y 2 = 9x16 x y10 y 2 A = 9x16+1 y10+2
A = 9x11 y12 2. Resuelve:
a 7 b15
Nivel intermedio
5. Calcula:
x y2
( a 3 b5 ) 4
Resolución:
2
3x 5 y 8 R= 4 ⋅ 7 y x
M = (2x . y5)x3y
2 ( 3x 5 ) R=
3. Si: G = (x3 y4)6 E = (x2 y4)5 Calcula: G . E Álgebra
( y4 )
R= 22
2
y8 x7
8 9x10 y y 8 x7
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
R=
9x10 y 8 x7 y 8
Resolución:
= 9x10- 7 y 8- 8 = 9x 3y 0
E=
R = 9x3 E=
Respuesta: 9x3 6. Calcula:
4
x 3 32y 21 A= 5 ⋅ 7 x 2y
7. Calcula: B=
()() 4 3
3
9 8
2
15 2 5
2
44 4
-
22
4
-
44 22
( ) ( ) ( ) 90 45
3
+
15 5
E = 23 + 32 - 24 E = 8 + 9 - 16 E = 17 - 16 E =1
9. Calcula:
P=
10. Calcula:
903 152 44 4 E= + 453 52 224
6to PRIMARIA
45
3
+
2
¡Exponentes iguales! 4
Respuesta: 1
Nivel avanzado 8. Resuelve:
90 3
23
R=
273 203 302 + 93 53 62
48 78 715 615 324 + 287 4214 323
Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando 1. Si: A = (x8y6)4
B=(x10y6)3
Calcula: A B
( 2 ) + ( 23 ) + ( 43 )
8. Calcula: T = 6
a) x32y24 b) x13y12 d) x2y6 e) x6y2
a) 11 d) 4
c) xy
( 3b12 ) T = a40 14 a b50
8 .3
a) 12 d) 60
c) b10
e) ab
2
-3
13
5 9x
y
b) 10x16y22 e) 25xy
a) 10xy d) 32x22y16
18
4
a) 89
b) 81
d) 70
e) 24
c) 80
13 13 5 14 5 11. Calcula: F = 8 ⋅ 4 − 8 ⋅ 5 − 62 12 13 5
c) 32x16y22
32
A=(3x5y)2.x4y
a) 12xy3 d) 9x14y3
b) x14y3 e) 6x14y3
( 62 ) + ( 23 ) + ( 43 ) 2
2
a) 8 b) 5 d) 10 e) 15 7. Calcula:
c) 72
C = (2x3y4)5xy2
4. Calcula:
N=
3
10. Resuelve: A = 202 − 363 + 124 2 3 4
y 3x H 4 ⋅ 3. Calcula: =
6. Calcula:
c) 105/8
b) 30 e) 50
5
5. Resuelve:
−1
b) 8 e) 12
9
a) ab10 b) b8 d) a10b
3
5 4 123 9. Calcula: E =185 − 24 + 3 3 3
5
2. Calcula
2
c) xy
a) 40
b) -406
d) -102
e) 180
12. Calcula:
−1
c) 2
40
31
c) 102
69 ⋅ 4 9 1011 ⋅ 311 2012 E= − + 24 8 3010 2011
a) -14
b) 13
d) 14
e) 11
c) -15
( 54 ) + ( 53 ) 2
2
a) 0 b) 2 d) 3 e) 4
Álgebra
c) 1
24
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Radicación I RADICACIÓN EN
La radicación es la operación matemática inversa a la potenciación. Índice
n
Raíz a =P Radicando o cantidad subradical
ZZ
1 = 1 , en general: n 1 = 1
ZZ
0 = 0, en general: n 0 = 0
RADICACIÓN EN Ley de signos 1. Si el índice es par:
Se lee: Raíz «n»–ésima de a es igual a P. ZZ Si:
YY 1.er caso: par + = +
49 = 7
¡2! es tácito
Se lee: Raíz cuadrada de 49 es 7.
YY 2.° caso: par - Ï Z
2. Si el índice es impar: YY 1.ercaso: impar + = +
64 = 8, porque 82 = 64 ZZ 3 27 = 3, porque 33 = 27 ZZ
YY 2.°caso: impar - = -
Trabajando en clase Nivel básico
1. Calcula:
52 - 32 -
A=
3
62 -
4. Resuelve: 81
Resolución:
A= A=
3
52 - 32 25 - 9 -
A = 16 -
3
3
62 -
2
6 -9
3
8 -
3
3 72 - 42 - 42 -
64
3
8 -
3
- 64 +
S = 2 8 - 3 49 + 5 9
6to PRIMARIA
25
- 32
5
3
- 125
- 32
Q = 2 +4- 2 \ Q=4 Respuesta: 4
6. Calcula:
3
5
- 64 +
Resolución: Q = 2- ( - 4 )+( - 2 )
3. Resuelve:
Q= Q=
27
2. Calcula:
Nivel intermedio
5. Calcula:
81
A = 4- 3 A =1
B=
9
T = 4 3 27 + 2 25 - 7 1
A=
3
27 +
3
-8 -
Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
7. Si:
P=
- 32 +
3
Q=8–1+3 -8
\ Q = 10
2
Calcula: P .
Q = -4
3
Resolución: Q = -4
3
Respuesta:
Nivel avanzado
8. Calcula:
49 -
5
-8 +
-8 +
7
-1 -
7
3
-1 -
10 3
- 20 - 7
9. Calcula:
- 27
Q = –4(–2) + (–1) – (–3) +
-
Álgebra
3
S = - 5 - 64 +
5
0 -
3
- 20 + 12
10. Calcula:
+
26
A=-
3
- 27 +
3
-1 -(-2)
4
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando 8. Resuelve:
1. Calcula: B = 4 36 + 33 27 − 63 8 a) 28
b) 23
d) 21
e) -20
3 Q= 3 − 8 − 4 5 −1 + 35 32 a) 2 b) -2
c) 20
d) -3
2. Calcula: C= 11
20
1 −6 4 +2
a) -3
b) 3
d) -4
e) 5
3
12
33 − 52 − 21 +
c) 4
a) 2 b) -21
3
b) 2
d) -1
e) 0
e) 24
= A 3 25 + 2 36 +
c) 1
3
a) 20
b) 22
d) -22
e) 23
−64
c) -23
11. Calcula:
5 P= 3 62 − 46 − 17 − − 1
a) 2 b) -2
c) 23
10. Calcula:
32 − 32 + 8
4. Calcula:
3
B =− −1 + 25 − ( − 1 ) a) 8 b) -6
c) -3
e) -4
d) 6
5. Si: A = 24 − 32 − 7 −1
81 − 5 −243 + 32
T =
d) 21
a) -2
d) 3
e) 4
9. Calcula:
8
3. Calcula: = A
c) -4
8
e) 5
12. Resuelve:
Calcula A2 a) 64
b) 63
d) 66
e) 60
R=
c) 65
3
−8 −
6
3
0 +( −2 )
a) 3 b) 4 d) -10
e) 5
6. Calcula: = E
64 −
3
−27 + 5 −32
a) -9
b) 10
d) -8
e) 8
3
c) 9
3
7. Si: T =− −8 + 4 16 − 27
Calcula T5 a) 5 b) 3 d) 0 6to PRIMARIA
c) -5
c) 1
e) 2 27
Álgebra
c) -6
“Formando líderes para el futuro”
Repaso 1. Calcula:
5. Calcula: −1 1 S= − − 2 1 1 1 + 5 6
A = –{37 + [35 + 5 – 80] + 42 – 12} a) 25
d) 27
b) –26
e) –27
c) 26
R = 33 – 43 + 52 a) 1
d) 144
b) 44
e) 24
a) 8
d) –10
b) 9
e) 10
( 71 ) + ( 19 ) - ( 14 )
a) 7
d) 8
b) –7
e) –6
a) 25x
d) x
b) 2x
e) x25
7. Calcula: Z=
4. Calcula: -1
3 2 x2 x 4 x7 2 x6
c) x5
c) –9
e) 32
M = (–5)2 + (–4)3 – 16
A=
b) –32
N=
3. Calcula el valor de M + 50, si:
0
d) 31
6. Reduce:
c) 140
a) 4 c) –31
2. Calcula el valor de R2, si:
() ()
720 52 25 + 718 5- 1 25
a) 60
d) –75
b) –65
e) 65
c) 75
-2
8. Calcula: -3 ( 72 ) C=
7
c) –8
2 73
a) 40
d) 48
b) 47
e) 49
c) 45 Álgebra
28
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
(
9. Si: M = x 6 y 6
)
3
(
)
2 y N = x 2 y 6 , calcula M . N
11. Calcula:
14 6
a) y
d) x y
2 2
e) x5
b) x y
a) 2 b) –24
c) xy 10. Calcula:
a) 36
d) 35
b) –36
e) 40
329 6317 325 + 89 49 916 716 165 c) –32 d) 32
e) 12
3
12. Resuelve: Q = - 27 + 5 - 32 + ( - 2 )
804 813 552 W= 404 273 112
Z=
a) 10 b) 15
c) 11 d) 12
e) –10
c) –35
6to PRIMARIA
29
4
Álgebra
“Formando líderes para el futuro”
Álgebra
30
6to PRIMARIA
ARITMÉTICA Primer Bimestre
6
PRIMARIA
Pág. Razón Aritmética
33
Razón Geométrica
36
Proporciones: Aritmética y geométrica
39
Magnitudes proporcionales: Magnitudes directamente proporcionales - Gráficos
42
Magnitudes inversamente proporcionales - Gráficos
45
Regla de tres simple
48
Regla de tres compuesta
51
Repaso 54
“Formando líderes para el futuro”
Razón Aritmética RAZÓN
Es la comparación entre dos cantidades por medio de una sustracción o por medio de una división.
(Edad de Edwin)
–
(Edad de Camila)
=
Razón aritmética
34 años
–
4 años
=
30 años
Razón Aritmética (R.A)
Es la comparación de dos cantidades mediante una sustracción. Ejemplo: EDWIN
CAMILA
34 años
4 años
Antecedente
Consecuente
Valor de la razón aritmética
La razón aritmética 30, nos da a entender que la edad de Edwin es mayor o excede a la edad de Camila en 30 años. En general: Razón aritmética (R.A) a – b = razón aritmética
Trabajando en clase Nivel básico
Nivel intermedio 5. Los pesos de Luis y Camila suman 74 kg; si Camila pesa 12 kg, calcula la razón aritmética entre sus pesos. Resolución: Sean: Peso de Luis: L Peso de Camila: C ⇒ L + C = 74 kg Por dato: C = 12 kg Luego, Luis pesará: 74 – 12 = 62 kg Como piden la razón aritmética entre los pesos de Luis y Camila, tenemos: ⇒ L – C = 62 – 12 = 50
1. Si la razón aritmética entre dos números es 120, calcula el menor si el mayor es 186. Resolución: Representando en forma general una razón aritmética, tenemos:
a – b = razón aritmética Según el dato del problema, el mayor es 186 y la razón aritmética es 120, entonces, reemplazando en el esquema: 186 – b = 120 \ b = 66
2. Si la razón aritmética entre dos números es 154 y el mayor es 204, calcula el menor.
Respuesta: Razón aritmética es 50.
3. Calcula la razón aritmética entre 8732 y 6978.
6. Los pesos de Leonardo y Rebeca suman 36 kg; si Rebeca pesa 10 kg, calcula la razón aritmética entre sus pesos.
4. Si el antecedente vale 540 y el consecuente, 361, calcula el valor de la razón aritmética. 6to PRIMARIA
33
Aritmética
“Formando líderes para el futuro”
7. Tengo tres animales en mi granja: una gallina, un pato y un pavo. Si la gallina pesa 2kg; el pato pesa el doble del peso de la gallina y el pavo, la suma de los anteriores, calcula la razón aritmética entre el peso del pavo y la gallina.
⇒ Piden la razón aritmética después del suceso: S/. 103 – S/. 26 = S/. 77 Respuesta: \ La razón aritmética es S/. 77.
Nivel avanzado
9. Si se sabe que el precio de un vestido es S/. 57 y el de una blusa es S/. 42. ¿Cuál será la razón aritmética de los precios de dichas prendas, si el vestido aumenta en S/. 19 su precio y la blusa disminuye en S/. 12 su precio?
8. Si se sabe que el precio de un pantalón es S/.78 y el de una camisa es S/. 39. ¿Cuál será la razón aritmética de los precios de dichas prendas si el precio del pantalón aumentase en S/. 25 y el de la camisa disminuyese en S/. 13? Resolución: Precio inicial del pantalón: S/. 78; aumentado en S/. 25, será: 78 + 25 = S/. 103 Precio inicial de la camisa: S/. 39; disminuido en S/. 13, será: 39 – 13 = S/. 26
Aritmética
10. Edwin va al cine con sus dos menores hijos; si el precio para adultos, que es S/. 18 excede al precio para niños en S/. 7, ¿cuánto recibió de vuelto si pagó con S/. 100?
34
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel Básico
18. Un pantalón cuesta S/. 98 y un polo, S/. 23; si el pantalón incrementa su precio en S/. 17, ¿cuál será la nueva razón a aritmética de dichos precios?
11. Calcula la razón aritmética de 5492 y 3799. a) 1693 d) 1671
b) 1601 e) 1503
c) 1582
12. Si el antecedente vale 941 y el consecuente vale 287, calcula el valor de la razón aritmética. a) 704 b) 614 c) 594 d) 654 e) 713
a) S/. 102
b) S/. 69
d) S/. 77
e) S/. 92
19. Si: a + b = 108; además, b = 20
13. La razón aritmética de dos números es 28; si el mayor vale 214, ¿cuánto vale el menor? a) 192 b) 186 c) 156 d) 166 e) 178
Calcula la razón aritmética de a y b.
14. Si cuando yo nací mi papá tenía 40 años y mi mamá, 29 años, ¿cuál es la razón aritmética de las edades de mis padres? a) 31 años b) 19 años c) 15 años d) 11 años e) 10 años 15. Calcula la razón aritmética entre la cantidad de días que trae un año bisiesto y la cantidad de días que tiene el mes de marzo. a) 357 días b) 341 días c) 335 días d) 329 días e) 318 días
a) 68
b) 88
d) 58
e) 66
a) 145
b) 135
d) 160
e) 125
d) 320 kg
e) 360 kg
21. Rubén va al teatro con sus dos pequeños sobrinos; si el precio para adultos, que es S/. 20, excede al precio para niños en S/. 12, ¿cuánto recibió de vuelto si pagó con S/. 100?
c) 280 kg
b) S/. 540
d) S/. 630
e) S/. 720
6to PRIMARIA
a) S/. 66
b) S/. 72
d) S/. 64
e) S/. 54
c) S/. 58
22. Si A excede a B en 20 unidades y B excede a C en 30 unidades, calcula la razón aritmética de A y C si C es igual a 60 unidades.
17. Luis y José tienen juntos S/. 2860; si Luis tiene S/. 1700, calcula la razón aritmética de las cantidades que tienen Luis y José. a) S/. 620
c) 115
Nivel Avanzado
16. Tengo tres animales en mi corral: una oveja, una ternera y un toro. Si la oveja pesa 120 kg; la ternera pesa el triple de lo que pesa la oveja; y el toro, la suma de las anteriores, calcula la razón aritmética entre el peso del toro y la oveja. b) 400 kg
c) 78
20. Si la razón aritmética de dos números es 240, y el menor de ellos es 105, calcula el número mayor.
Nivel Intermedio
a) 500 kg
c) S/. 84
c) S/. 580
35
a) 70
b) 30
d) 40
e) 60
Aritmética
c) 50
“Formando líderes para el futuro”
Razón Geométrica RAZÓN GEOMÉTRICA (R.G)
Es la comparación de dos cantidades mediante una división. Ejemplo: Compara las alturas de los edificios «A» y «B».
Interpretación
ZZ « Las alturas de A y B están en la relación de 4 a 1» ZZ «Las alturas de A y B son entre sí como 4 es a 1» ZZ «Las alturas de A y B son proporcionales a los nú-
meros 4 y 1, respectivamente»
ZZ «La altura de A es 4 veces la altura de B», etc.
En general.
Razón geométrica (R.G) a = razón geométrica b 0 b
Si comparamos dividiendo sus alturas, tenemos: 24 m 4 = 6m 1
Razón geométrica
Propiedad Si: a= c= k b
⇒
su valor
d
a+c a −c = k ; = k b+d b−d
Trabajando en clase Nivel básico 1. Dados los números 540 y 360, calcula el valor de la razón geométrica de dichos números en el orden que aparecen. Resolución: Representando en forma general una razón geométrica, tenemos:
a = razón geométrica b Según el dato y en el orden que aparece, tenemos:
\ El valor de la R.G. será 3 2
3. Si el antecedente es 350 y el consecuente es 70, calcula su razón geométrica. 4. Si: a = 3 ; además, a = 63. Calcula «b». b 5 Nivel intermedio 5. Si se sabe que M = 7 ; y que M = 49, calcula la N 3 razón aritmética de «M» y «N». Resolución: Del enunciado: M 7k = N 3k Por dato: M = 49 ⇒ 7k = 49 k=7 Luego: N = 3(7) = 21 Piden calcular la razón aritmética de «M» y «N»: ⇒ M – N = 49 – 21 = 28
2. Dado los números 180 y 360, calcula el valor de la razón geométrica de dichos números en el orden que aparecen. Aritmética
Respuesta: 28. 36
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
6. Si se sabe que P = 8 ; y que P = 72, calcula la raQ 3 zón aritmética de «P» y «Q». 7. Si dos números están en la relación de 2 a 5 y la suma de ambos es 35, calcula el menor de ellos. Nivel avanzado 8. El precio del saco de arroz es como 3 y el precio del saco de azúcar es como 2. Si el producto de ambos precios es numéricamente igual a 15 000, calcula el precio del saco de arroz. Resolución: Del enunciado Precio del sacodearroz 3k = Precio del sacodeazúcar 2k Producto de ambos precios: (3k) (2k) = 15 000 6k2 = 15 000 k2 = 2500 k = 50
9. El precio de una caja de leche es a 4 como el precio de una caja de vino es a 7. Si el producto de ambos precios es numéricamente igual a 25 200, calcula el precio de una caja de vino. 10. Las edades actuales de Andrés y Roger son proporcionales a 6 y 5; pero si hace 6 años dichas edades eran proporcionales a 3 y 2, calcula la edad actual de Andrés.
El precio del saco de arroz será: 3(50) = S/.150 Respuesta: S/. 150
6to PRIMARIA
37
Aritmética
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel Básico 11. Si el antecedente es 460 y el consecuente es 115, calcula la razón geométrica. a) 1/3 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4
18. Los pesos de Martín y de Alejandro están en la relación de 7 a 5. Si la diferencia de sus pesos es 6 kg, ¿cuánto pesa Alejandro? a) 15 kg b) 18 kg c) 12 kg d) 20 kg e) 24 kg
12. Si: m = 3 ; además, m = 24, calcula «n». n
7
a) 39
19. Dos números son entre sí como 4 es a 11; si las sumas de estos números es 135, calcula la razón aritmética de dichos números. a) 60 b) 63 c) 72 d) 56 e) 54
b) 48 d) 40
c) 56 e) 52
13. Si: a = 640 y b= 80, calcula la razón geométrica de «a» y «b», (en ese orden). a) 8 b) 6 c) 12 d) 4 e) 10
20. Si: a = b ; además, a × b = 2224, calcula «b». 7 8 a) 20 b) 18 c) 14 d) 16 e) 12
14. Si la razón geométrica de dos números es ¼ y el mayor de ellos es 144, calcula el menor. a) 72 b) 36 c) 60 d) 44 e) 120 15. Si: M = 5 ; además, M + n = 64, calcula «2M». N
3
a) 50
b) 90 d) 80
c) 60 e) 40
Nivel Avanzado 21. Las edades actuales de Francisco y Manuel son proporcionales a 5 y 4. Si hace 3 años dichas eda des eran proporcionales a 7 y 5, calcula la edad actual de Francisco. a) 8 años b) 12 años c) 15 años d) 10 años e) 6 años
Nivel Intermedio 16. Si dos números están en la relación de 4 a 9 y la suma de ambos es 39, calcula el menor de ellos. a) 9 b) 24 c) 12 d) 18 e) 15 17. Si: x = 7 , además x – y = 40, calcula x + y. y 2 a) 63 b) 72 c) 62 d) 80 e) 76
Aritmética
38
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Proporciones: Aritmética y geométrica PROPORCIÓN
B. Proporción Geométrica (P.G.)
Es la igualdad de dos razones equivalentes, ya sean aritméticas o geométricas.
Es la igualdad de 2 razones geométricas equivalentes. Ejemplo: YY El peso de Rocío es 54 kg y el de su hija Camila es 9 kg; mientras que el peso de Aurora es 60 kg y el de su hija Gabriela es 10 kg.
Clases de proposiciones A. Proporción Aritmética (P.A.)
Es la igualdad de 2 razones aritméticas equivalentes. Ejemplo: YY En la familia Pérez hay 5 varones y 3 mujeres, y en la familia Dulanto hay 6 varones y 4 mujeres. Podemos observar lo siguiente: YY En la familia Pérez hay (5 – 3 = 2), 2 varones más que mujeres. YY En la familia Dulanto hay (6 – 4 = 2), 2 varones más que mujeres.
Observar lo siguiente:
( 54 ) , el peso de Rocío es el séxtuplo del peso de su hija Camila; y en el cociente ( 60 = 6 ), el peso de Auro10
YY Al realizar el cociente
ra, también es el séxtuplo del peso de su hija
La comparación por sustracción en ambos casos es equivalente. Igualando tenemos: 5– 3 = 6 – 4
Gabriela. La composición por cociente en ambos casos es equivalente. Igualando, tenemos: 54 60 = 9 10
proporción geométrica
proporción aritmética
En general:
a c = b d
En general: a–b=c–d
Proporción geométrica
proporción aritmética Donde: a y c : b y d : b y c : a y d :
Dónde: a y c b y d b y c a y d
antecedentes consecuentes términos medios términos extremos
Propiedad fundamental «En una P.G., el producto de los términos extremos es igual el producto de los términos medios». Sea P.G.: Propiedad
Propiedad fundamental «En una P.A., la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios». Sea la P.A.: Propiedad a–b=c–d ⇒ a+d=b+c 6to PRIMARIA
antecedentes consecuentes términos medios términos extremos
: : : :
39
a c = ⇒ a ×d = b×c b d Aritmética
“Formando líderes para el futuro”
Trabajando en clase Nivel básico 1. Dada la proporción aritmética: 20 – 13 = x – 10, calcula el valor de «x». Resolución: Resolvamos la siguiente proporción: 20 – 13 = x – 10 7 = x – 10 7 + 10 = x x = 17
6. En una proporción geométrica; el producto de los términos extremos es 200, si uno de los términos medios es 5, calcula el otro término medio. 7. En una proporción aritmética, la suma de los términos medios es 32, si uno de los términos extremos es 28, calcula el otro término extremo elevado al cuadrado. Nivel avanzado 8. Dado el siguiente esquema: 8 = a a 32 Además: 24 – a = 10 – b Calcula «a × b» Resolución: Resolviendo la proporción geométrica, tenemos: 8 a = a 2 = 256 a 32
2. Dada la proporción aritmética: m – 10 = 25 – 13, calcula el valor de «m». 3. Calcula «n» en la siguiente proporción geométrica: n = 6 . 6 9 4. Dada la proporción geométrica: 3 = a a 27 Calcula el valor de «a».
Nivel intermedio 5. En una proporción geométrica, el producto de los términos medios es 180; si uno de los términos extremos vale 5, calcula el otro término extremo. Resolución: a c Sea la proporción geométrica: = b d ⇒ Por dato: b × c = 180 Además; un término extremo vale 5 si a = 5; luego, por propiedad fundamental:
Luego, reemplazando en la proporción aritmética, tenemos: 24 – a = 10 – b 24 – 16 = 10 – b b=2 Piden calcular: a × b = 16 × 2 = 32 Respuesta: 32
9. Dado el siguiente esquema: 5 = m m 80 Además: 36 – m = 20 – n Calcula: m × n.
a×d=b×c Reemplazando: 5 × d = 180 \d = 36
10. Dada la proporción geométrica: 30 = 3x x 90 Además: x = 3 y 11 Calcula la razón aritmética de «y» y «x».
Respuesta: 36.
Aritmética
a = 16
40
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel Básico
17. Calcula la razón aritmética a partir del siguiente esquema: Dado el siguiente esquema:
11. Calcula «m» en la siguiente proporción geométrica:
m 9 = 15 7 3
937 – a = a – 145
a) 18
b) 23
d) 21
e) 17
c) 19
Calcula la razón aritmética de «a» y 400.
a) 141
b) 142
d) 137
e) 139
c) 143
12. Calcula el valor de «2x» en la proporción geométrica:
32 x = x 2
18. A partir de los siguientes esquemas, calcula a + b.
Calcula el valor de «2x»
a) 20
b) 18
d) 8
e) 9
28 –a = 47 – 38
b 6 = 7 14
c) 16
Calcula «a + b»
13. Resuelve y da como respuesta m + 7. Del siguiente esquema:
a) 21
b) 22
d) 42
e) 32
c) 23
948 – 816 = 142 - m Calcula «m + 7»
a) 17
b) 11
d) 27
e) 14
19. Si: c) 10
25 m = 6 12
Calcula el producto de los antecedentes.
a) 1050
b) 1250
d) 950
e) 1400
c) 1350
14. Si: 3230 – 2500 = 2730 – 2000 es una proporción aritmética, Calcula la suma de antecedentes de la siguiente proporción
20. Dada la siguiente proporción aritmética: Calcula «m + n» si
aritmética: 3230 – 2500 = 2730 - 2000
a) 6210
b) 4890
d) 6240
e) 5670
la suma de los términos medios de la siguiente proporción
c) 5960
aritmética es 19. (m + 3) - 7 = (2n + 8) – 11 Calcula «m + n», si la suma de los términos medios es 19.
768 48 15. Si: = es una proporción geométrica, calcula la 96 6
a) 8 b) 6
suma de los consecuentes.
a) 90
b) 114
d) 102
e) 104
d) 5
21. Dada la proporción geométrica:
80 2a = a 10 a 2 Además: = b 3
Calcula la razón aritmética de «b» y «a».
16. En una proporción aritmética, la suma de los términos extre-
a) 5 b) 15
mos es 136; si uno de los términos medios es 80, calcula el
d) 10
otro término medio, pero duplicado.
b) 110
d) 142
e) 112
e) 9
Nivel Avanzado
c) 98
Nivel Intermedio
a) 120
c) 7
c) 108
c) 30
e) 20
22. Dada la siguiente proporción geométrica:
n + 1 12 = 4 8
Calcula el valor de «n3»
6to PRIMARIA
41
a) 216
b) 343
d) 64
e) 125
Aritmética
c) 27
“Formando líderes para el futuro”
Magnitudes proporcionales: Magnitudes directamente proporcionales - Gráficos MAGNITUD
Es todo aquello susceptible a ser medidos, sufre variación. Se expresa a través de un valor numérico, seguido de su unidad de medida. Ejemplos: MAGNITUD CANTIDAD Longitud 100 m Tiempo 40 días Obreros 20 obreros Peso 45 kg Precio S/. 200 etc. Relaciones entre magnitudes ZZ Magnitudes directamente proporcionales (DP) ZZ Magnitudes inversamente proporcionales (IP.
Sean las magnitudes A y B; si A DP B, entonces se cumple: A = constante B
Gráfica para Magnitudes Directamente Proporcionales La gráfica en el plano cartesiano es una línea recta diagonal ascendente. Sea la gráfica:
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Dadas las magnitudes A y B, se dice que son directamente proporcionales (DP), cuando al aumentar o disminuir una de ellas, la otra, también aumenta o disminuye en la misma proporción. Su cociente siempre es constante.
⇒ A DP B;
A = Cte B
Del gráfico: 30 25 = = 5 ¬ constante de proporcionalidad directa. 6 5
Trabajando en clase Nivel básico 1. Si A DP B, cuando A = 20, B = 40, calcula «A» cuando B = 18. Resolución: A = Cte Si A DP B B Reemplazamos con los datos: 20 = A despejan40 18
4. Calcula el valor de «m» si A DP B.
do «A», tenemos: 20 ´ 18 = A 40 2 Respuesta: 9
5. Calcula «n» si las magnitudes «A» y «B» son directamente proporcionales.
1
\A=9
A
3
m
B
7
35
Nivel intermedio
2. Si A DP B; cuando A = 13, B = 39, calcula «A» cuando B = 27. 3. Si A DP B; cuando A = 18, B = 9, calcula «A», cuando B = 36. Aritmética
42
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Resolución: Como A DP B, entonces, del gráfico, tenemos: 4 n = 16 56 Despejando «n»: 1
4 ´ 56 =n 16 4
\n = 14 Respuesta: 14
6. Calcula «m» si las magnitudes «P» y «Q» son directamente proporcionales.
Resolución: A = Cte B Luego, para cada par ordenado: 3 m 12 = = = CTE 4 16 n
Si: A DP B
m = 6 ; n = 64 Piden calcular: m + n = 6 + 64; \m + n = 70 Respuesta: 70
9. Calcula «a + b» si A DP B. 7. Si se sabe que «A» es directamente proporcional al cuadrado de «B», calcula «p».
A
100
16
B
p
2
10. El peso de un elefante es DP a la raíz cuadrada de su edad. Si un elefante de 36 años pesa 300 kg, ¿qué edad tendrá cuando pese 400 kg?
Nivel avanzado 8. Calcula «m + n», si A DP B.
6to PRIMARIA
43
Aritmética
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel Básico 11. Si A DP B; cuando A = 14, B = 9. Calcula «A» cuando B = 27. a) 48 d) 34
b) 30 e) 42
c) 36
12. Si M DP N; cuando M = 6, N = 10. Calcula «M» cuando N = 15 a) 8 d) 6
b) 12 e) 11
6 q
a) 8 d) 15
12 20
b) 10 e) 9
c) 12
a) 100 b) 196 c) 169 d) 144 e) 256
a) 36 d) 44
32 n 8 11
b) 28 e) 42
c) 34
b) 1 e) 3 Nivel Intermedio
M N
a) 10 d) 16
4 5
9
8 12 24
B
A B
80 64 n m 8 15
a) 16 d) 25
b) 15 e) 12
c) 20
21. El peso de un león es DP a la raíz cuadrada de su edad. Si un león de 16 años pesa 200 kg, ¿qué edad tendrá cuando pese 250 kg?
a) 25 años d) 30 años
b) 18 años e) 27 años
c) 20 años
22. Si la constante de proporcionalidad directa es la siguiente: A3 = cte , calcula «m» en el B
c) 18
17. Calcula «m» si las magnitudes «A» y «B» son directamente proporcionales. A
A a
Nivel Avanzado
x 10
b) 20 e) 12
a) 140 b) 80 c) 100 d) 130 e) 90
c) 5
16. Si se sabe que «M» es directamente proporcional al cuadrado de «N», calcula «x».
c) 9
20. Dadas las magnitudes «A» y «B» donde «A» y B son directamente proporcionales, si cuando «A» vale 5, B = 16, ¿qué valor toma A cuando B sea igual a 144?
15. Dadas las siguientes magnitudes: obra, días, horas diarias, eficiencia y dificultad; ¿cuántas son DP con la magnitud “obreros”? a) 2 d) 4
b) 24 e) 21
19. Si «A» es directamente proporcional a «B», calcula «m + n».
14. En la siguiente tabla de magnitudes directamente proporcionales, calcula «n». A B
a) 15 d) 18
18. Si la gráfica muestra los valores que toman las magnitudes «A» y «B», calcula «a2».
c) 9
13. Calcula el valor de «q» si A DP B. A B
siguiente gráfico:
a) 62 b) 52 c) 54 d) 48 e) 46
A m 2 4
12
B
3 8
Aritmética
m
B
44
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Magnitudes inversamente proporcionales - Gráficos Dadas las magnitudes A y B, se dice que son inversamente proporcionales (IP) cuando al aumentar o disminuir una de ellas, con la otra magnitud, sucede todo lo contrario; es decir, disminuye o aumenta en la misma proporción. Su producto siempre es constante. Sean A y B, dos magnitudes, si: A ´ B = constante
A IP B
GráficaparaMagnitudesInversamenteProporcionales
La gráfica en el plano cartesiano es una línea curvilínea. Sea la gráfica:
A IP B A ´ B = CTE Del gráfico: 100x2 = 50x4 = 200 ← constante de proporcionalidad inversa
Trabajando en clase Nivel básico 1. Si A IP B, además cuando A = 8, B = 10, calcula «A», si B = 16. Resolución:
Si : A IP B
A ´ B = CTE
Nivel intermedio 5. Calcula el valor de «m» si A IP B.
Reemplazamos con los datos: 8 ´ 10 = A ´ 16 1
8 ´ 10 162
B
1
4
10
A ´ B = CTE
20 ´ 1 = 5 ´ 4 ´ m ´ 10 20 = 10 ´ m
m=2 Respuesta: 2. 6. Calcula el valor de «n» si P IP Q.
4. Las magnitudes M y N son inversamente proporcionales; si cuando M = 30, N = 4; calcula «N», si M = 12. 6to PRIMARIA
m
Reemplazando:
2. Si M IP N, además cuando M = 12, N = 6, calcula «M», si N = 24. 3. Si A IP B; cuando A = 30; B = 5, calcula «A» si B = 10.
5
Como A IP B
A=5
Respuesta: 5
20
Resolución:
Despejando “A”, tenemos: A=
A
45
P
15
n
20
Q
4
10
3
Aritmética
“Formando líderes para el futuro”
7. Calcula el valor de «x» en el siguiente cuadro si A IP B .
A
4
x
B
100
16
Piden: x + y \ x + y = 48 Respuesta: 48
Nivel avanzado 8. Calcula «x + y», si A IP B2. A partir del siguiente gráfico:
9. Calcula «m + n», si A IP B2.
y 9 4
4
8
Resolución: Del gráfico mostrado, igualamos el producto de cada par ordenado, así:
10. Si la constante de proporcionalidad inversa es « A ´ B = CTE», calcula «x» a partir del siguiente gráfico.
y.42 = 9.82 = 4.x 2 Luego: y.42 = 9.82 9.82 = y.42
y = 36 x = 12
Aritmética
46
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel Básico
18. Calcula el valor de «x» si A IP B. A B
12. Si: A IP B; además, cuando A = 40; B = 4, calcula «A» si B = 16 a) 10 d) 12
b) 9 e) 15
a) 12 d) 9
b) 18 e) 6
c) 3
b) 8 e) 5
10 B
n
15
a) 8 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5 21. Las magnitudes «M» y «N» son inversamente proporcionales. Si cuando «M» vale 10, N = 6, ¿qué valor tomará «M» cuando «N» sea igual a 18 ?
c) 25
a) 25 d) 16
b) 30 e) 30 Nivel Avanzado
c) 18
22. Si la constante de proporcionalidad inversa
A 12
es la siguiente:
línea curva
A ×B = CTE ; calcula «y» a
partir del siguiente gráfico:
6 5
x
B
Nivel Intermedio 17. Calcula el valor de «n» a partir del siguiente cuadro si A IP B .
6to PRIMARIA
40
A 1 m B 10 5
16. Si: R IP S, cuando R = 30, S = 50. Calcula «S» cuando R = 100.
a) 5 b) 3 c) 1 d) 4 e) 2
A
a) 50 b) 60 c) 40 d) 80 e) 30
partir del siguiente cuadro.
c) 12
b) 10 e) 8
a) 10 b) 5 c) 15 d) 8 )9
c) 12
es la siguiente A × B3 = CTE ; calcula «m» a
15. Si: A IP B, cuando A = 80, B = 5. Calcula «A» cuando B = 40 a) 5 d) 40
b) 18 e) 20
20. Si la constante de proporcionalidad inversa
14. Dada la siguiente gráfica de proporcionalidad inversa, calcula «m». a) 15 d) 10
3 84
a) 16 d) 10 19. Calcula «n».
c) 6
13. Dadas las magnitudes inversamente proporcionales «A» y «B», si cuando A = 18, B = 2; calcula «B» si A = 6.
9 x 28 14
a) 81 b) 64 c) 49 d) 36 e) 25
A línea curva
196
y B
10
5
23. Calcula: x + y A B
6 9
a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 20
n 81
47
A 40 20 y x
10
20
Aritmética
B
“Formando líderes para el futuro”
Regla de tres simple A. Concepto
Despejando:
Es un método aritmético que consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud mediante la comparación de dos magnitudes.
B. Clases Regla de tres simple directa (RTSD)
Es directa cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales. Se calcula realizando una multiplicación en aspa o cruz. Veamos el esquema: DP Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
Regla de tres simple inversa (RTSI)
Es inversa cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales. Se calcula realizando una multiplicación en forma horizontal o lineal. Veamos el esquema: IP Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
Valor desconocido a1 . b1 = a2 . x Despejando:
Valor desconocido
a1 . x = a2 . b1
a b x= 2 1 a1
a b x= 1 1 a2
Trabajando en clase Nivel básico 1. Si 18 mochilas cuestan S/.90. ¿Cuánto se pagará por 30 mochilas? Resolución: Reconociendo magnitudes y realizando esquema: DP
Mochilas 18 30 5 x=
Precio 90 x
30 ´ 90 = 150 18
3. Si con S/.150 puedo comprar 30 monederos. ¿Cuántos monederos compraré con S/.230? 4. Si con S/.240 puedo comprar 48 cajas de chocolate. ¿Cuántas cajas de chocolate compraré con S/. 75? Nivel intermedio 5. Si 15 obreros hacen una obra en 20 días. ¿En cuántos días realizarán la misma obra 5 obreros? Resolución: Magnitudes: Obreros y días ⇒ El esquema será: IP
\ x = S/.150 2. Si 20 cuadernos cuestan S/.160. ¿Cuánto se pagará por 35 cuadernos? Aritmética
48
Obreros 15 5
Días 20 x 6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
x=
1 4 5 32 ´ 10 ´ 10 = 50 x= 8´ 8 2 1
15 ´ 20 = 60 5
\ x = 60 días Respuesta: 60 días
\ 50 horas Respuesta: 50 horas
6. Si 18 obreros pueden realizar una obra en 32 días. ¿En cuántos días realizarán la misma obra 36 obreros?
9. Si Juan puede tarrajear una pared cuadrada de 6 m de lado en 24 horas. ¿En cuánto tiempo tarrajearía otra pared cuadrada de 9 m de lado?
7. Con 30 albañiles se puede construir una casa en 42 días. ¿Cuántos días demorarían en construir la casa 35 albañiles?
10. Si un caballo atado a un árbol con una cuerda de 4 m puede comer toda la hierba que se encuentra a su alrededor en 20 días. ¿Cuántos días tardaría en comer toda la hierba si la cuerda tuviera 2 m más?
Nivel avanzado 8. Si André puede tarrajear una pared cuadrada de 8 m de lado en 32 horas. ¿En cuánto tiempo tarrajearía otra pared cuadrada de 10 m de lado? Resolución: Hay que tener cuidado con estos tipos de problemas. Analizando el enunciado, si la pared a tarrajear tiene forma cuadrada, se formará el siguiente esquema para representar las magnitudes: DP Área 8×8
10×10
Horas 32 x
6to PRIMARIA
Área = L2
49
Aritmética
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel Básico 1. Si con S/.180 puedo comprar 25 pelotas, ¿cuántas pelotas compraré con S/.72? a) 9 b) 8 c) 10 d) 20 e) 15 2. Si con S/.250 puedo comprar 30 juegos de reglas, ¿cuántos juegos de reglas compraré con S/.450? a) 50 b) 60 c) 53 d) 54 e) 56 3. Una fábrica de polos tiene una producción de 1500 polos con 300 máquinas trabajando. Si se aumentaran 50 máquinas, ¿en cuánto aumentará su producción? a) 520 b) 250 c) 500 d) 200 e) 1750 4. Si con S/.40 puedo comprar 15 plátanos, ¿cuántos plátanos compraré con S/.80 más? a) 60 b) 120 c) 40 d) 180 e) 45 5. Si con S/.100 puedo comprar 50 yoyós, ¿cuántos yoyós podré comprar con S/.50 más? a) 75 b) 100 c) 50 d) 25 e) 30
10. Si 80 máquinas realizan una obra en 30 días, ¿en cuántos días realizarían la misma obra 20 máquinas más? a) 20 b) 19 c) 24 d) 30 e) 21 Nivel Avanzado 11. Si un burro atado a un árbol con una cuerda de 5 metros puede comer toda la hierba que se encuentra a su alrededor en 40 días, ¿cuántos días tardará en comer toda la hierba si la cuerda tuviera el doble de longitud? a) 160 b) 180 c) 150 d) 140 e) 120 12. Si Raúl puede tarrajear una pared cuadrada de 9 metros de lado en 27 horas, ¿en cuánto tiempo tarrajearía otra pared cuadrada de 12 metros de lado? a) 40 h b) 50 h c) 60 h d) 48 h e) 54 h
Nivel Intermedio 6. Si 40 albañiles pueden construir una casa en 25 días, ¿cuántos días demorarían en hacer la casa 50 albañiles? a) 50 b) 60 c) 30 d) 40 e) 20 7. Si 25 obreros pueden realizar una obra en 40 días, ¿en cuántos días realizarían la misma obra 20 de dichos obreros? a) 40 b) 50 c) 10 d) 20 e) 60 8. Si 30 obreros pueden realizar una obra en 20 días, ¿en cuántos días realizarían la misma obra 25 de dichos obreros? a) 12 b) 18 c) 21 d) 24 e) 30 9. Si 24 obreros pueden realizar una obra en 15 días, ¿en cuántos días realizarían la misma obra 6 obreros más? a) 24 b) 20 c) 16 d) 18 e) 12
Aritmética
50
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Regla de tres compuesta Es aquella operación matemática que se utiliza cuando en el problema participan más de dos magnitudes. Ejemplo aplicativo: Si 4 obreros realizan en 15 días un muro de 20 m, ¿cuántos días necesitarán 20 obreros para realizar un muro de 40 m? Resolución: Realizando el esquema de magnitudes, tenemos: DP IP Obreros Días muro (m) 4 15 20 20 x 40 Del esquema 4 . 15 . 40 = 20 . x . 20 3 2 4 15 40 Despejando x = 20 20 5 1
\ x = 6 días En general: Sean las magnitudes A, B y C DP IP Magnitud A Magnitud B Magnitud C a1 b1 c1 a2 x c2 Del esquema: a1 . x . c2 = a2 . b1 . c1 Despejando: a b c x= 2 1 1 a1 c2
Trabajando en clase Nivel básico 1. Si 5 hornos consumen 30 toneladas de carbón en 20 días, ¿qué cantidad de carbón consumirán 8 hornos en 25 días? Resolución: DP DP # hornos toneladas de carbón días 5 30 20 8 x 25
3. Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días, ¿cuántas operarios pueden producir 80 pares en 24 días? 4. Si 5 cocinas necesitan 5 días para consumir 5 galones de kerosene, ¿cuántos galones consumiría una cocina en 5 días? Nivel intermedio 5. Si en 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra, ¿en cuántos días acabarán 6 obreros lo que falta de la obra? Resolución: Con respecto a la obra, si se trabajó 2/3, lo que falta será 1/3. Ordenando las magnitudes, tenemos:
Del esquema quedará: 5 . x . 20 = 8 . 30 . 25 Despejando la incógnita:
3 5 4 8 30 25 8 3 5 x= = 5 20 2 2 1
días 12
x = 60 toneladas de carbón
2. Si 20 máquinas consumen 5000 kg de carbón en 50 días, ¿en cuántos días consumirán 50 máquinas, 10 000 kg de carbón? 6to PRIMARIA
x
51
IP
obreros 8 6
DP puntos de la obra 2 3 1 3 Aritmética
“Formando líderes para el futuro”
Obreros
2
1 1 2 12 8 =X 6 3 3
hld
días
60
10
8
30 5 2 2 4 40 60 10 8 = 32 5 x
x
40 32
16 = 2 x x = 8 días Respuesta: 8 días
6. Si en 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra, ¿cuántos días necesitarán 3 obreros para terminar la obra?
40 4 = 4 x
x = 40 días Respuesta:
7. Si en 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de un edificio, ¿cuántas horas demorarán 12 pintores para terminar de pintar el edificio?
40 días
9. Si 30 obreros con 70% de rendimiento hicieron una obra en 10 días a razón de 5 h/d, ¿en cuántos días, 25 obreros con 50% de rendimiento, harán la misma obra si trabajan a razón de 7 h/d?
Nivel avanzado 8. Si 40 obreros con 60% de rendimiento y trabajando 10 h/d terminaron una obra en 8 días, ¿en cuántos días 32 obreros con 30% de rendimiento y trabajando 5 h/d terminarán la misma obra? Resolución: Realizando el esquema, tenemos:
Aritmética
rendimiento
10. Si tres hombres, trabajando 8 h/d, han hecho 80 m de una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 h/d, para hacer 60 m de la misma obra?
52
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel Básico 1. Si 40 operarios pueden producir 80 pares de zapatos en 15 días, ¿cuántos operarios pueden producir 20 pares en 30 días? a) 10 b) 6 c) 5 d) 8 e) 9 2. Si 8 leones necesitan 10 minutos para consumir 20 trozos de carne, ¿cuántos trozos de carne consumirán 5 leones en 4 minutos? a) 15 b) 5 c) 10 d) 2 e) 8 3. Si8 máquinas trabajaron 6 h/d durante 5 días, ¿cuántos días tardarán 10 máquinas para realizar el mismo trabajo si funcionan durante 8 h/d? a) 6 días b) 2 días c) 3 días d) 4 días e) 5 días 4. Si 3 gatos cazan 6 ratones en 8 minutos, ¿en cuántos minutos 5 gatos cazarán 5 ratones? a) 4 minutos b) 2 minutos c) 8 minutos d) 3 minutos e) 6 minutos 5. Si 45 hombres tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias, ¿cuántos días alcanzarán los víveres para 60 hombresa razón de 2 raciones diarias? a) 15 días b) 12 días c) 7 días d) 10 días e) 8 días Nivel Intermedio 6. Si en 12 días, 8 obreros hicieron 2/3 de una obra, ¿en cuántos días harán 2 obrerosel resto de la obra? a) 18 días b) 20 días c) 16 días d) 12 días e) 24 días
8. Si 10 sastres en 10 horas pueden hacer 50 camisas, ¿cuántas camisas podrán hacer 15 sastres en 8 horas? a) 65 b) 50 c) 80 d) 48 e) 60 9. Si 16 señoras pueden confeccionar 40 camisas en 20 días, trabajando 9 horas diarias, ¿en cuántos días 40 señoras podrán confeccionar 50 camisas si trabajan 6 h/d? a) 20 días b) 18 días c) 10 días d) 15 días e) 12 días 10. Si 5sastres pueden hacer 10 ternos en 8 días, trabajando 2 horas diarias, ¿en cuántos días 10 sastres podrán hacer 50 ternos si trabajan 5 h/d? a) 12 días b) 6 días c) 8 días d) 11 días e) 5 días Nivel Avanzado 11. Si 10 máquinas elaboran 1800 chalecos en 3 días de 12 h/d, ¿cuántos chalecos harán 8 máquinas en 6 días de 8 h/d? a) 1920 b) 1928 c) 1912 d) 1860 e) 1890 12. Si 8 máquinas con 80% de rendimiento, fabrican 1000 productosen 6 días, ¿cuántos productos fabricarán 10 máquinas, con 90% de rendimiento, en 8 días? a) 1850 b) 1875 c) 1928 d) 1740 e) 2400
7. Si 5 obreros pueden pintar una pared cuadrada de 3 m de lado en 4 h, ¿en cuántas horas 10 obreros podrán pintar una pared cuadrada de 9 m de lado? a) 18 h b) 21 h c) 15 h d) 20 h e) 17 h
6to PRIMARIA
53
Aritmética
“Formando líderes para el futuro”
Repaso 1. Si Daniel y su papá tienen 18 y 52 años, respectivamente, calcula la razón geométrica de sus edades, en ese orden.
a) 9/26
b) 8/26
7. Si 80 obreros pueden realizar una obra en 15 días, ¿en cuántos días harán 30 obreros una obra idéntica? a) 36 días b) 60 días c) 40 días d) 50 días e) 28 días
c) 7/25
d) 9/24 e) 7/24 2. Si: A = 5 , calcula el número mayor si la razón B 3 aritmética de ambos es 10. a) 18 b) 30 c) 25 d) 16 e) 20 3. Calcula «x» en la siguiente igualdad: x – 283 – 590 – 240 a) 483 b) 633 c) 592 d) 628 e) 645 4. Dada la siguiente proporción geométrica, calcula «m». 8 2m = m 9
a) 7
b) 5
d) 6
e) 11
8. Si un caballo atado a un árbol con una cuerda de 3 m puede comer toda la hierba que se encuentra a su alrededor en 15 días, ¿en cuántos días podría comer toda la hierba si la cuerda midiera 6m? a) 60 días b) 36 días c) 45 días d) 40 días e) 80 días 9. Calcula «m + n» si A IP B2.
c) 9
5. Si la constante de proporcionalidad directa es la siguiente gráfico:
a) 45
c) 36
b) 32
d) 48
e) 52
10. Si 10 peones siembran 50 m2 en 15 días, ¿en cuántos días 15 peones doblemente hábiles sembrarán 80 m2? a) 7 días b) 9 días c) 6 días d) 12 días e) 8 días
A = K , calcula «n» en el siguiente B2
11. Dos números son entre sí como 5 es a 2; si la razón aritmética entre estos números es 18, calcula la suma de dichos números.
a) 24
b) 18
d) 12
e) 36
a) 39
c) 30
d) 49
c) 6
b) 7
d) 4
Aritmética
c) 56
12. Si en una imprenta se imprimen 600 libros en 8 días de 6 h/d, ¿cuántos libros se imprimirán en 12 días de 5 h/d?
6. Si A IP B, cuando A = 16, B = 10. Calcula «B» cuando A = 40. a) 3
b) 42
e) 54
a) 680
e) 5
d) 730
54
b) 820
e) 650
c) 750
6to PRIMARIA
GEOMETRÍA Primer Bimestre
6
PRIMARIA
Pág. Segmentos: Operaciones de adición y sustracción, punto medio
57
Ángulos: Clasificación por la posición de sus lados, bisectriz
60
Ángulos: Clasificación según su suma
63
Ángulos entre rectas paralelas y una secante
66
Triángulos: Propiedades fundamentales
69
Triángulos: Clasificación según la medida de sus ángulos y según la longitud de sus lados
72
Repaso 77
“Formando líderes para el futuro”
Segmentos: Operaciones de adición y sustracción, punto medio SEGMENTO DE RECTA
Porción de línea recta comprendida entre dos puntos de ella, a los cuales se les denomina extremos.
B. Punto medio
ZZ Segmento de extremos A y B: AB ZZ Longitud del segmento: AB ZZ En la figura: AB = a
YY Partes: AM y MB YY Punto medio: M ⇒ AM = MB
A. Adición y sustracción Adición: x = a + b
Es el punto que divide al segmento en dos partes de igual longitud.
Nota En la figura, los puntos son colineales y consecutivos.
Sustracción: a=x–b
Trabajando en clase 1. Calcula «x».
Nivel básico
4. Calcula «x». Nivel intermedio 5. Calcula «x», si: B es punto medio de AC.
Resolución: Nos piden: longitud del segmento, AB = x En la parte superior: Longitud total = x + 8 cm + 5 cm En la parte inferior: Longitud total = 20 cm Entonces: x + 8 cm + 5 cm = 20 cm ⇒ x = 7 cm
2. Calcula «x». A 3. Calcula CD – AB.
3 Resolución: Nos piden: AB = x B es punto medio de AC ⇒ AB = BC 3
6 18
Todo: AD partes: AB, BC, CD x + x + 10 = 30 cm ⇒ 2x = 20 cm x = 10 cm Respuesta: 10 cm
6to PRIMARIA
57
Geometría
“Formando líderes para el futuro”
6. Calcula «x», si: M es punto medio de BC.
Del dato: CD = 3(AB) – BC CD = 3(5) – 7 cm CD = 8 cm ⇒ x = 8 cm Luego: AD = x + 12 cm AD = 8 cm + 12 cm \AD = 20 cm
C
7. Calcula «x». 2x+22cm
Respuesta: 20 cm
14cm
Nivel avanzado 8. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de forma que AB = 5 cm, BC = 7 cm y CD = 3(AB) – BC. Calcula AD. Resolución:
9. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de forma que AB = 2 cm, BC = 6 cm y CD = 2(AB) + BC. Calcula AD. 10. En una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = x, BC = 2x, CD = 8 cm y AD = 23 cm. Calcula «x».
Nos piden: AD = 5 cm + 7 cm + x AD = 12 cm + x
Sigo practicando Nivel básico
13. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
11. De acuerdo con el gráfico, calcula RS–TU.
a) 1 m
b) 2 m
d) 4 m
e) 6 m
c) 3 m
a) 4 m
b) 5 m
d) 7 m
e) 8 m
c) 6 m
14. De acuerdo con el gráfico, calcula «x» si B es punto medio de AC .
12. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
a) 3 u
b) 4 u
d) 6 u
e) 7 u
Geometría
c) 5 u
58
a) 20 m
b) 30 m
d) 50 m
e) 60 m
c) 40 m
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
19. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
15. De acuerdo con el gráfico, calcula «x». a) 2 u
b) 3 u
d) 5 u
e) 6 u
c) 4 u
Nivel intermedio 16. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
a) 11 u
b) 12 u
d) 14 u
e) 15 u
c) 13 u
AC y CE .
a) 10 cm
b) 20 cm
d) 40 cm
e) 50 cm
b) 3 u
d) 5 u
e) 6 u
c) 30 cm
a) 10 u
b) 11 u
d) 13 u
e) 14 u
b) 10 u
d) 20 u
e) 25 u
6to PRIMARIA
21. En una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = x, BC = 3x, CD = 12 cm y AD = 48 cm. Calcula «x». a) 6 cm
b) 7 cm
d) 9 cm
e) 10 cm
c) 15 u
59
c) 12 u
Nivel avanzado
18. Según la figura, calcula «x» si P es punto medio de AB .
a) 5 u
c) 4 u
20. Según la figura, calcula «x».
17. Según la figura, calcula «x» si B y D son puntos medios de
a) 2 u
Geometría
c) 8 cm
“Formando líderes para el futuro”
Ángulos: Clasificación por la posición de sus lados, bisectriz Los ángulos, según la posición de sus lados, se clasifican de la siguiente manera:
A. Ángulos adyacentes
Es aquel par de ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común, asimismo, los lados no comunes en posiciones diferentes.
Los ángulos AOB y COD son opuestos por el vértice como también lo son los ángulos AOD y BOC.
Bisectriz
YY Vértice: O
®
YY Lado común: OB
YY Los ángulos AOB y BOC son adyacentes
B. Ángulos consecutivos
Es la unión sucesiva de varios ángulos adyacentes, siempre partiendo de un mismo vértice y tomados uno a continuación del otro.
Es el rayo que biseca al ángulo.
OM bisectriz del AOB.
Se cumple: mAOM = mMOB = a
®
¡Muy importante!
a + b = 90º
a + b + q = 180º
Así, tenemos los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD, DOE y EOF.
C. Ángulos opuestos por el vértice
Cuando dos rectas se intersecan se determinan 4 ángulos. Cada par de ellos que no son adyacentes se llaman ángulos opuestos por el vértice. Geometría
60
a + b + q + f = 360º
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Trabajando en clase Entonces: 2x + 10° = x + 25° 2x – x = 25° – 10° \ x = 15°
Nivel básico 1. Calcula «x», si: la mAOC = 80°. A B
6. Calcula «x».
° 30 x+40°
C O Resolución: Nos piden: x Sabemos: mAOC = 80°; mAOB = 30°. Luego: mAOC = mAOB + mBOC 80° = 30° + x + 40° 80° = x + 70° 80° – 70° = x \ 10° = x
7. Calcula: «3x».
Nivel avanzado
2. Calcula «x», si la mROT = 120°.
®
8. Calcula «x», si: OM es bisectriz del AOB. 3. Calcula la mAOB.
®
Nos piden «x» y sabemos que OM es bisectriz. mAOM = mBOM 2x + 10° = x + 35° \ x = 25°
O
Resolución:
4. Calcula «x», si: los ángulos AOB y COD son congruentes.
®
9. Calcula «x», si: OQ es bisectriz del ángulo POR.
Nivel intermedio
5. Calcula «x».
10. Calcula «x».
Resolución: Se pide «x»: tenemos ángulos opuestos por el vértice, y de acuerdo a la propiedad, tienen la misma medida. 6to PRIMARIA
61
Geometría
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel básico
Nivel intermedio 6. Calcula «x». a) 25° b) 3° c) 45° d) 55° e) 65°
1. Calcula la medida del ángulo MON. a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
7. Calcula «x». a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
2. Calcula «x» si los ángulos AOB y EOD son congruentes. a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80°
8. Calcula la medida del ángulo AOB. a) 30° b) 3° c) 40° d) 45° e) 50°
3. Calcula «a». a) 25° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45°
9. Calcula «x». a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
4. Calcula «x». a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
10. Calcula «x». a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
5. Calcula la medida del ángulo mayor. a) 24° b) 36° c) 54° d) 72° e) 86°
Geometría
62
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Ángulos: Clasificación según su suma Los ángulos se clasifican de la siguiente manera:
A. Ángulos complementarios
Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 90°.
¡Muy importante! YY Complemento Ca Ca = 90° – a Observación: CCa = a YY Suplemento Sa
Sa = 180° – a Observación: SSa = a
Recuerda que
Veamos un ejemplo: Si te doy un ángulo de 37°, ¿cuál es su ángulo complementario o complemento? Es lo que le falta para sumar 90°, entonces será 53°.
ZZ
B. Ángulos suplementarios
Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 180°.
ZZ
ZZ
Veamos un ejemplo: Si te menciono al ángulo de medida 120°, ¿cuál es su ángulo suplementario o suplemento? Es lo que le falta para sumar 180°, entonces será 60°.
ZZ
No existe el complemento de un ángulo cuya medida sea negativa. No existe el complemento de un ángulo cuya medida sea mayor a 90°. No existe el suplemento de un ángulo cuya medida sea negativa. No existe el suplemento de un ángulo cuya medida sea mayor a 180°.
Trabajando en clase Nivel básico 1. Calcula «x», si los ángulos son complementarios.
\ x = 40° 2. Calcula «x», si los ángulos son suplementarios.
Resolución: Piden «x» y se sabe que los ángulos son complementarios: x + 50° = 90° 6to PRIMARIA
3. Indica V o F según corresponda. YY 69° y 21° son ángulos complementarios. YY El suplemento de 82° es 8°. YY 2° y 178° son ángulos suplementarios. 63
Geometría
( ) ( ) ( )
“Formando líderes para el futuro”
4. Calcula el complemento de la tercera parte de 210°.
Nivel avanzado 8. Si el complemento más el suplemento de cierto ángulo es 190°, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? Resolución: Sabemos: Cx + Sx = 190° Pero: Cx = 90° – x Sx = 180° – x Luego: 90° – x + 180° – x = 190° 270° – 2x = 190° 270° – 190° = 2x 80° = 2x 80º ÷ 2 = x 40° = x \ dicho ángulo es 40°
Nivel intermedio 5. Calcula: Ca
Resolución: Nos piden: Ca Se sabe que: a + 50° = 90° ⇒ a = 40° Luego: C(40) = 90° – 40° \C(40) = 50°
9. Si el complemento más el suplemento de cierto ángulo es 100°, ¿cuál es la medida de dicho ángulo?
6. Calcula: Cq
10. Calcula: Cq
48°
7. Calcula: E = C40° + S100° – C85°
Sigo practicando Nivel básico
12. Calcula el suplemento de la cuarta parte de 360°.
11. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. o 42° y 48° son ángulos suplementarios. ( )
a) 70°
b) 80°
d) 100°
e) 110°
c) 90°
13. Si los ángulos son suplementarios, calcula«x».
o La bisectriz determina dos ángulos ad- yacentes congruentes.( ) o 102° y 78° son ángulos complementa rios. ( ) a) FVV
b) FVF
d) VVF
e) VVV
Geometría
c) FFV
64
a) 10°
b) 20°
d) 40°
e) 50°
c) 30°
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
14.
Si: Cθ = complemento de q
18. Calcula Sθ.
Sθ = suplemento de q Reduce: E = CCSSCC(20) a) 20°
b) 30°
d) 60°
e) 70°
c) 50°
15. Calcula: M = S80° + C10° - S70° a) 40° b) 50°
a) 100°
b) 110°
d) 130°
e) 140°
c) 120°
19. Calcula Sθ.
c) 60°
d) 70° e) 80°
Nivel Intermedio 16. Calcula: R = CC30° + S100° - CCC70° a) 50°
b) 60°
d) 80°
e) 90°
c) 70°
b) 20°
d) 30°
e) 35°
6to PRIMARIA
b) 155°
d) 170°
e) 175°
c) 165°
20. ¿A qué ángulo se debe restar su suple mento para obtener 40°?
17. Calcula «x».
a) 15°
a) 145°
a) 80°
b) 90°
d) 110°
e) 120°
c) 25°
65
Geometría
c) 100°
“Formando líderes para el futuro”
Ángulos entre rectas paralelas y una secante
C. Ángulos alternos internos
Si L1 // L2
A. Ángulos correspondientes
a=b
B. Ángulos conjugados internos
a=b
Propiedades Si L1 // L2 1.
Se cumple:
x=a+b
2.
Se cumple:
m+n=x+y+z
a + b = 180º
Trabajando en clase
Nivel básico
Por ángulos opuestos por el vértice: trasladamos 60°.
1. Calcula «x», si L1 // L2 .
Resolución: Nos piden: x Geometría
66
Luego, por ángulos conjugados: 2x + 20° + 60° = 180° 2x = 100° \ x = 50° 6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
2. Calcula «x», si L1 // L2 .
7. Calcula «x», si: L1 // L2 .
50°
Nivel avanzado
3. Calcula «x», si: L1 // L2 .
8. Calcula «x», si: L1 // L2 .
4. Calcula «x», si L1 // L2 .
Resolución: Nos piden: x Por propiedad: 110° + b = 180° b = 70°
Nivel intermedio 5. Calcula «x», si: L1 // L2 .
65°
Resolución: Nos piden: x Por la propiedad: x + 40° + 10° = 50° + 30° x + 50° = 80° x = 30°
10. Calcula «x», si: L1 // L2 .
6. Calcula «x», si L1 // L2 .
x + b = 90° x + 70° = 90 \ x = 20°
9. Calcula «x», si: L1 // L2 .
40°
Luego:
50° 40°
30°
6to PRIMARIA
67
Geometría
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando
t t
Nivel básico
Nivel intermedio
1. Si L11 // L 22 , calcula «x». a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
6. Calcula «x» si L1 // L2 . a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°
2. Calcula «x» si. L1 // L2
7. Calcula «x» si L1 // L2 . a) 20° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45°
a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 50°
3. Si L1 // L2 , calcula «x». a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
8. Calcula «x» si L1 // L2 . a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
4. Si L1 // L2 , calcula «x». a) 35° b) 40° c) 45° d) 50° e) 55°
9. Si L1 // L2 , calcula «x». a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25° 10. Si L1 // L2 , calcula «x». a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
5. Calcula «x» si L1 // L2 . a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
Geometría
68
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Triángulos: Propiedades fundamentales Un triángulo es la figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales (vértices) mediante segmentos de recta (lados).
2. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por vértice) es igual a 360°.
Elementos
ZZ Vértices: A, B, C ZZ Lados: AB, BC, CA ZZ Notación: ∆ABC
En el triángulo ABC x + y + z = 360º
3. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacentes a él.
Se lee: triángulo de vértices A, B y C. Ángulos determinados: ZZ Interiores: a, b, q ZZ Exteriores: x, y, z
Propiedades fundamentales
1. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°.
En el triángulo ABC a + b + q = 180º
x=a+b Longitud del perímetro del ∆ABC
2p = a + b + c
Trabajando en clase Nivel básico 1. Calcula «a».
6to PRIMARIA
69
Resolución: Nos piden: a Ahora, en el triángulo ABC: a + 40° + 50° = 180° a + 90° = 180° x = 180° – 90° \ x = 90° Geometría
“Formando líderes para el futuro”
2. Calcula «q».
Nivel avanzado 8. Calcula «q».
3. Calcula «a».
90° 60°
4. Calcula «x».
2x
7 Resolución: Se pide: q por ángulo exterior: mACB = 50° + 30° mACB = 80° Suma de ángulos internos en el ∆ABC: 70° + q + 80° = 180° 150° + q = 180° q = 30°
9. Calcula «a».
50°
5. Calcula «x».
Nivel intermedio 10. Calcula «a». 90°
Resolución: Se pide: x Por propiedad de la suma de los ángulos exteriores: x + 60° + x + 80° + x + 40° = 360° 3x + 180° = 360° 3x = 180° x = 60°
50°
6. Calcula «x».
3x+40°
3x+15°
4x+15°
7. Calcula «x».
50° Geometría
70
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel básico
7. Calcula el valor de «x».
1. En el triángulo RST, calcula «q».
a) 20°
a) 10°
b) 30°
b) 20°
c) 40°
c) 30°
d) 50°
d) 40°
e) 60°
e) 50°
8. Calcula el valor de «q».
2. Calcula «x».
a) 30°
a) 3°
b) 40°
b) 5°
c) 50°
c) 10°
d) 60°
d) 15°
e) 70°
e) 20°
9. Calcula «x».
3. Calcula «x».
a) 61°
a) 25°
b) 64°
b) 30°
c) 67°
c) 35°
d) 70°
d) 40°
e) 73°
e) 45°
10. Calcula «a».
4. Calcula «a».
a)
a) 12°
35°
b) 45°
b) 14°
c) 55°
c) 16°
d) 65°
d) 18°
e) 75°
e) 20°
Nivel avanzado
5. Calcula «x».
11. Calcula el valor de «a».
a) 56° b) 63°
a) 73°
c) 70°
b) 75°
d) 73°
c) 77°
e) 76°
d) 79° e) 81°
Nivel intermedio 6. Calcula «x». a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°
6to PRIMARIA
71
Geometría
“Formando líderes para el futuro”
Triángulos: Clasificación según la medida de sus ángulos y según la longitud de sus lados Los triángulos se clasifican de acuerdo con las medidas de los ángulos interiores y las longitudes de sus lados.
A. Según la medida de sus ángulos interiores 1. Triángulo acutángulo
Las medidas de sus ángulos interiores son menores de 90°.
Si a, b y q son menores de 90°, y mayores que 0° entonces el triángulo ABC es acutángulo.
2. Triángulo rectángulo
La medida de uno de sus ángulos es 90°.
Si mABC = 90°, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo recto en B.
3. Triángulo obtusángulo
La medida de uno de sus ángulos es mayor de 90°.
Si 90° > q > 180°, entonces el triángulo ABC es obtusángulo, obtuso en B. Geometría
72
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
B. Según la medida de sus lados
3. Triángulo equilátero
1. Triángulo escaleno
Es aquel que tiene sus lados de igual longitud.
Sus lados son de diferente longitud.
a≠b≠c
AB = BC = AC
mA = mB = mC
2. Triángulo isósceles
Es aquel que tiene dos lados de igual longitud. Al lado diferente se le denomina base.
AB = BC = a
Base: AC
Trabajando en clase Nivel básico
3x = 150° x = 50°
1. Calcula «x» e indica qué tipo de triángulo es ABC, según la medida de sus ángulos.
Reemplazando «x» en el triángulo, tenemos ángulos menores de 90°. Entonces, es un triángulo acutángulo. 2. Calcula «x» e indica qué tipo de triángulo es ABC, según la medida de sus ángulos.
Resolución: x + 10° + x + 20° + x = 180° 3x + 30° = 180°
6to PRIMARIA
73
Geometría
“Formando líderes para el futuro”
6. Calcula «x», si: el triángulo ABC es equilátero.
60º
3. Calcula «x» y clasifícalo según la medida de sus ángulos.
60º
7. Calcula «x», si: el triángulo ABC es isósceles y AB = BC.
4. Clasifica el ∆ABC según la medida de sus ángulos interiores.
80º
50
º
8. Calcula «x».
Nivel avanzado
Nivel intermedio 5. Calcula «x» si el triángulo ABC es equilátero. Resolución: Del gráfico: Resolución: Nos piden: x
Completando el gráfico:
Según el gráfico:
Los triángulos ABC y CBD son isósceles. En el triángulo ABC: mCBD = 40° En el triángulo ABC: 2x + 50° = 180° \ x = 65°
PQC
¡Qué interesante a resolver más ejercicios!
x + 60° + 90° = 180° x + 150° = 180° x = 180° – 150° \ x = 30° Geometría
74
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
9. Calcula «x» y clasifica el ∆ABD según sus lados.
10. Calcula «x», si: el triángulo ABC es equilátero.
40º
Sigo practicando Nivel básico 1. Calcula «x» y clasifica el ∆ABC según sus dos.
a) Acutángulo
b) Obtusángulo
c) Rectángulo
d) Equilátero
la-
3. Calcula «x» sabiendo que el triángulo PQR es equilátero.
a) 10°
b) 20°
d) 40°
e) 60°
c) 30°
e) Isósceles 4. Calcula «x» si AB = BC. 2. Clasifica el ∆RST según la medida de sus gulos interiores.
a) Rectángulo
b) Obtusángulo
c) Acutángulo
d) Isósceles
án-
a) 30°
b) 35°
d) 45°
e) 50°
e) Equilátero
6to PRIMARIA
75
Geometría
c) 40°
“Formando líderes para el futuro”
5. Calcula «x» si el perímetro del triángulo equilátero PQR es 21 cm.
a) 2 u
b) 3 u
d) 5 u
e) 6 u
8. Si los triángulos ABC y FDE son equiláteros, calcula AF.
c) 4 u
Nivel intermedio
b) 15°
d) 17°
e) 18°
b) 12 u
d) 15 u
e) 18 u
c) 13 u
9. Calcula «x» e indica qué tipo de triánguloes ABC, según sus ángulos.
6. Calcula «x» si el triángulo ABC es isósceles y AB = BC.
a) 14°
a) 10 u
c) 16°
a) Equilátero
b) Escaleno
c) Obtusángulo
d) Rectángulo
e) Acutángulo
10. Calcula «x» si el triángulo MNP es equi látero. 7. Calcula «x» si los triángulos ABC y CDE son equiláteros y sus perímetros, 15 cm y 18 cm.
a) 6 cm
b) 7 cm
d) 10 cm
e) 11 cm
Geometría
a) 60°
b) 65°
d) 80°
e) 85°
c) 70°
c) 8 cm
76
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
1. Calcula Sx.
Repaso
5. Calcula «x», si: L1 // L2 .
a) 35° b) 55°
c) 78° d) 115°
e) 145°
2. Calcula «f».
a) 100° b) 105° c) 130°
d) 140° e) 150°
6. Calcula «x».
a) 100° b) 110°
c) 120° d) 130°
e) 140°
3. Calcula «x». a) 30° b) 40° c) 50°
a) 3 cm b) 6 cm
c) 9 cm d) 12 cm
e) 15 cm
d) 60° e) 70°
7. Calcula «x».
®
4. Calcula «x», si: OM es bisectriz del AOB.
a) 40° b) 50°
c) 60° d) 70°
6to PRIMARIA
a) 30° b) 40° c) 50°
e) 80°
77
d) 60° e) 70°
Geometría
“Formando líderes para el futuro”
8. Clasifica el triángulo ABC, según sus lados.
11. Calcula «q».
a) Escaleno b) Isósceles c) Equilátero
a) 30° b) 40°
d) Rectángulo e) Acutángulo
c) 50° d) 60°
e) 70°
c) 60° d) 70°
e) 90°
12. Calcula Cx.
9. Calcula «q».
a) 55° b) 80°
c) 100° d) 120°
e) 125°
c) 50° d) 70°
e) 90°
a) 20° b) 40°
10. Calcula «a».
a) 10° b) 30°
Geometría
78
6to PRIMARIA
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Primer Bimestre
6
PRIMARIA
Pág. Psicotécnico 81 Operaciones matemáticas
86
Operaciones matemáticas con tablas
89
Criptograma numérico
92
Cuatro operaciones
95
Método de las operaciones inversas
98
Falsa suposición y regla conjunta
101
Repaso 104
“Formando líderes para el futuro”
Psicotécnico Los test psicotécnicos nos permiten medir capacidades como memoria visual, atención, discriminación, entre otras. Los tipos de preguntas son muy diversos, esta vez nos centraremos en tres situaciones.
A. Figura que no corresponde
En este tipo de preguntas se muestran 4 o 5 figuras de las cuales una es diferente a las demás. Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes figuras no corresponde al grupo?
Resolución: Mentalmente notamos las figuras de tal manera que el punto se encuentre en la parte superior. En esta posición se aprecia, fácilmente, que la patita más larga está ubicada hacia la izquierda en las figuras (a), (b), (c) y (e). Por ello, la figura que no guarda relación es la (d).
B. Test de dominó Si al armar una secuencia nos faltaran números en nuestro conteo, debemos regresar a la ficha inicial.
En este caso se debe tener en cuenta el orden de las fichas de dominó.
Ejemplo: ¿Qué ficha continúa?
6to PRIMARIA
81
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Resolución: En las fichas se observa que en la parte superior los puntos avanzan de dos en dos, por lo tanto continuaría el número 7. Pero, como 7 no está representado en el dominó y este está después del 6, quien ocuparía el lugar 7 es la ficha cero.
C. Cantidad de caras de un sólido
Para resolver este tipo de preguntas debemos tener en cuenta que los sólidos no solo tienen las caras que podemos ver, sino también, las caras «ocultas» que deben ser contadas. Ejemplo: Determina el número de caras del sólido:
Rpta.: El sólido tiene 8 caras.
Trabajando en clase Nivel básico
3. ¿Cuántas caras tiene el sólido?
1. Señala la figura que no guarda relación con las demás: a)
d)
b)
e)
4. ¿Qué ficha continúa?
c) 2. Señala las tres figuras que no guardan relación con las demás: a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
Razonamiento Matemático
Vamos ¡a desarrollar!
82
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Nivel intermedio 5. ¿Qué figura continúa en la siguiente sucesión?
a)
d)
b)
e)
a)
d)
b)
e) c)
c) 6. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?
Nivel avanzado 8. ¿Cuántas caras tiene el sólido?
a)
b) c)
d)
a) 9
d) 8
b) 11
e) 12
c) 10
e) 9. ¿Cuántas caras tiene el sólido? 7. a) 14
d) 11
b) 13
e) 10
c) 12
6to PRIMARIA
83
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
10. ¿Qué ficha continúa?
a)
d)
b)
e)
c)
Sigo practicando Nivel básico
1.
3.
¿Qué figura no guarda relación con las demás?
4.
¿Qué ficha continúa?
¿Cuántas caras tiene el sólido? a) 7 b) 8 c)
10
d) 9 e) 6
2.
¿Qué ficha continúa?
Razonamiento Matemático
84
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
9.
5.
¿Qué figura continúa?
¿Cuántas caras tiene el sólido? a) 8 b) 10 c)
9
10. ¿Qué ficha continúa?
d) 11 e) 7 Nivel intermedio 6.
¿Qué ficha continúa?
? ?
7.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
¿Cuántas caras tiene el sólido? a) 10 b) 11 c)
12
d) 9 e) 8 8.
Señala la figura que no guarda relación con las demás:
6to PRIMARIA
85
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Operaciones Matemáticas Una operación matemática es una relación entre números mediante un operador, que al aplicar una regla de definición originan otro número llamado resultado. Un operador matemático es el símbolo que representa una operación. OPERADORES UNIVERSALES Son los símbolos de las operaciones conocidas de forma universal. Ejemplo: +;–;×;÷;…
OPERADORES ARBITRARIOS Son cualquier otro símbolo que nos permite «inventar» otras operaciones utilizando en su regla de formación los operadores universales. Ejemplo: * ; ∆ ; ; @ ; # ; ; ...
Ejemplo: Si a b = 3a + b, calcula el valor de 7 2. Resolución: Observamos que en el enunciado el primer componente es «a» y en la pregunta es «7»; entonces, reemplazamos «a» por «7». En consecuencia, se debe reemplazar «b» por «2». Entonces: a b = 3a + b 7 2 = 3 × 7 + 2 = 21 + 2 = 23
Trabajando en clase Nivel básico 1. Si p q = 5p – q, calcula el valor de 6 12. Resolución: Primer componente en el enunciado: p Primer componente en la pregunta: 6
Segundo componente en el enunciado: q Segundo componente en la pregunta: 12
6 12 = 5 × 6 – 12 6 12 = 30 – 12 6 12 = 18
p=6
2. Si R # S = 7R + S, calcula el valor de 4 # 9. 3. Si a * b = a + 4b, calcula el valor de (2 * 3) * 1.
p=12
4. Calcula el valor de (75)4 si se sabe que mn = m + n 2
Entonces, reemplazamos: Razonamiento Matemático
86
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Nivel intermedio 5. Si = x2 + 1, calcula el valor de Resolución: Trabajamos por partes: Como = x2 + 1 Entonces: = 52 + 1 = 26
.
= 22 + 1 = 5
Nos piden:
= 26 + 5 = 31
6. Si
= 3x + 1, calcula el valor de
7. Si
= 2a – b, calcula el valor de
9. Calcula el valor de (5 9) Se cumple que: ìï a + b ï ;a > b a b = ïí 2 ï îïï2b – a;a £ b
.
Nivel avanzado
(12 6)
10. Calcula el valor de (27 16) + (18 36). Se cumple que: ïì a .b;a ³ b 3a 4b = ïí ïï î2(b + a);a < b
8. Calcula el valor (4 * 2) + (9 * 15) Se sabe que: 2r + s; si r ≥ 1 r*s= s – r; si r < 1
6to PRIMARIA
Resolución: Trabajamos por partes, teniendo en cuenta la condición que se cumple en cada caso. YY Para 7 * 2 se cumple que 7 ≥ 2; entonces, aplicamos la regla de la primera condición. 7 * 2 = 2 × 7 + 2 = 16 YY Para 9 * 15 se cumple que 9 < 15; entonces, aplicamos la regla de la segunda condición. 9 * 15 = 15 – 9 = 6 Nos piden: (7 * 2) + (9 * 15) = 16 + 6 = 22
87
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel básico 1. Si t 2.
= m = 5m + t, calcula el valor de (3
a) 20 b) 15 d) 23 e) 18 2. Calcula el valor de (9
12)
2)
c) 21
c) 12
5 si se sabe que a 9. Si
a) 4 b) 8 d) 1 e) 7
a) 30 b) 60 d) 85 e) 42
3.
a) 28 d) 22
. c) 230
= q + 2p
b) 18 e) 16
c) 30
Nivel avanzado 11. Calcula el valor de 12 @ 20 – (8 @ 5) Se cumple que:
c) 110
5. Si l * p = 6l – 2p, calcula el valor de (5 * 4) + (6 * 7) a) 44 b) 50 d) 38 e) 52
b) 250 e) 270
10. Calcula el valor de 16 # 10 si
c) 48
4. Calcula el valor de (4 # 2) # (5 # 3) si se sabe que f # g = 2f + 4g. b) 130 e) 100
= 5a + 3, calcula el valor de
a) 200 d) 118
c) 2
e = d + 9e, calcula el valor de 15
a) 120 d) 150
= (a × b) – (d × c), calcula el valor de
a) 5 b) 4 d) 9 e) 10
b=
3. Si d
8. Si
Si 4p @ 5q =
c) 40 12. Si
Nivel intermedio 6. Si
= 2ª + b – c,
Calcula el valor de
calcula el valor de a) 10 b) 8 d) 12 e) 20 7. Si 3a
c) 5
2b = a + b, calcula el valor de 21
a) 13 d) 5
b) 8 e) 9
Razonamiento Matemático
a) 56 d) 50
b) 48 e) 54
c) 38
4.
c) 12
88
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Operaciones Matemáticas con tablas Una operación matemática con tablas está compuesta por una tabla de doble entrada donde las «cabezas» de columna y fila se relacionan mediante un operador. El cuerpo de la tabla está compuesto por los resultados de la operación. Observa:
Para identificar el resultado de una operación en la tabla se ubica primero el valor del 1er componente (fila) y luego el del 2do componente (columna). La intersección entre ambos determina la respuesta. Ejemplo: Observa la tabla y calcula el valor de (1 * 2) * (3 * 4) Resolución
Trabajamos por partes: 1 * 2 = 2
3 * 4 = 2
Entonces: (1 * 2) * (3 * 4) = 2 * 2
=1
Trabajando en clase 1. Observa la tabla y calcula el valor de 3@2.
Resolución: Como piden calcular 3@2, buscamos el número 3 en la zona de las primeras componentes y al número 2 en la de las segundas componentes. 6to PRIMARIA
89
Desde 3 trazamos una línea horizontal y desde 2 una línea vertical. El casillero donde se cruzaron ambas líneas contiene la respuesta, entonces: 3@2 = 1 Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
2. Calcula el valor de 4 1 si se cumple que:
6. Utilizando la tabla anterior, calcula el valor de «m» en la siguiente expresión: (4 * 3) * 5 = m * 2 7. Calcula el valor de «x» en la expresión (4 2) x = x 2 si se sabe que:
3. Calcula el valor de (b # c) # a si se cumple que:
Nivel avanzado
4. Considerando la tabla anterior, calcula el valor de (d # a) # (b # c).
8. Observa las siguientes tablas y calcula el valor de [(2 4) (3 1)] 2.
Nivel intermedio 5. Observa la siguiente tabla para calcular el valor de «x» en la expresión: (1 * 3) * x = 3 * 5 Resolución: Utilizando la tabla resolvemos la ecuación:
(1 * 3) * x = 3 * 5
9. Utilizando las tablas anteriores, calcula el valor de [(3 2) (4 1)] 4.
4 *x= 4 Ahora nos preguntamos, ¿4 con qué número da como respuesta 4? Según la tabla 4 * 1 = 4, por lo tanto: x = 1
Razonamiento Matemático
Resolución:
10. Empleando las tablas de la pregunta 8, calcula el valor de «x» en la expresión: (2 x) 3 = x (3 2).
90
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando 7. Utiliza la tabla anterior, para calcular el valor de «x» en la siguiente expresión:
Nivel básico 1. Calcula el valor de (a a) c b) a c) b d) d
d)
c si se cumple que:
(6
a) b) c) d) e)
2. Considerando la tabla anterior, calcula el valor de (c a) (b d). b) c e) a y b
3. Calcula el valor de (5 la siguiente tabla. a) 2 b) 3 c) 5 d) 1
2)
c) b
(3
7
4. Utilizando la tabla anterior, calcula el valor de (3 4) + (2 3) – (1 3). a) 1 b) 4 d) 2 e) 5 5. Calcula el valor de [3 (2 4)] ple que: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5
c) 3
a) 1
b) 3
d) 2
e) 6
c) 4
Nivel avanzado 11. Observa las siguientes tablas y calcula el valor de «x» en la ecuación:
1 si se cum-
(2
1)
x=x
(2
3)
a) 1 b) 2 d) 1 o 2 e) 3 o 1
Nivel intermedio 6. Calcula el valor de «x» en la expresión (7 x = x 9 si se cumple que: a) 5 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9
2 A 1 2A 3
9. Calcula el valor de «x» en (x # 2) # 3 = 6 # 5 si se cumple que: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1 10. Utilizando la tabla anterior, calcula el valor de «x» en la expresión: (4 # 5) # x = 2 # (3 # 2)
1) utilizando
e) 4
6to PRIMARIA
x=8
a) 6 b) 5 c) 8 d) 7 e) 9 8. Observa la siguiente tabla y calcula el valor de
e) d o f
a) a d) d
9)
5)
c) 3
12. Utilizando las tablas anteriores, calcula el valor de la siguiente expresión:
a) 2 b) 3 d) 1 e) 4 91
c) 5
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Criptograma Numérico Un criptograma numérico es una forma de escritura con la que se emplea símbolos (incluso letras) o recuadros vacíos para ocultar dígitos que forman un número o una operación. Cuando resolvemos un criptograma numérico buscamos determinar los valores ocultos, para ello debemos usar las propiedades que conocemos sobre las 4 operaciones básicas.
Ten en cuenta que: abc: numeral de 3 cifras abcd: numeral de 4 cifras
Ejemplo: Resuelve el siguiente criptograma y calcula el valor de A + B.
Resolución:
De la columna de las unidades: 7+ = __2 →A=5 Completamos las casillas que contienen la letra A.
Observamos la columna de las centenas: 5 + 3 ≠ 9, entonces se llevaba 1. En la columna de las decenas se observa que: B + B + 1 = 13 →B=6
Nos piden: A + B = 5 + 6 = 11
Trabajando en clase 1. Si A86A + 5B1 = 5B95, calcula el valor de 2B + A. Resolución: Escribimos la adición de forma vertical y completamos la operación:
YY Entonces, la operación es:
YY Piden 2A + B = 2 . 4 + 3 = 11 YY En la columna de las unidades: A + 1 = 5, en-
2. Si A64 + 8B1 = B37A, calcula el valor de A + B.
tonces A = 4 YY En la columna de las decenas: 6 + B = 9, entonces B = 3 Razonamiento Matemático
3. Si 3ab × 2 = ab0; calcula el valor de a . b. 92
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
4. Calcula la suma de todos los números faltantes en el siguiente criptograma numérico:
1 Nivel intermedio
5. Calcula el valor de bca + cab + abc si a + b + c = 15. Resolución: Escribimos la operación de forma vertical:
3 × 2 + 2 = 8 ¡sí cumple! Entonces a + b + c = 8 + 5 + 7 = 20
6. Calcula el valor de bcda + dabc + abcd + cdab si a + b + c + d = 14. 7. Completa los espacios en blanco y calcula la suma de todos los números que escribiste:
9. Completa la operación y da como respuesta la cifra mayor:
Nivel avanzado
8. Si 2abc × 3 = abc1, calcula el valor de a + b + c. Resolución: Escribimos la operación de forma vertical:
6to PRIMARIA
93
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel básico
7. Si +D
1. Calcula el valor de a + b: a) 12 d) 15
b) 18 e) 23
a) 3 d) 2
c) 20
, calcula el valor de C – B b) 4 e) 5
c) 6
8. Calcula el valor de C + D: 2. Calcula la suma de cifras del dividendo en el siguiente criptograma: a) 2 d) 12 a) 5 d) 9
b) 6 e) 2
3. Si se cumple que lor de A + B. a) 16 d) 20 4. Si a) 10 d) 12
c) 7
9. Si
c) 15
a) 5 d) 7
c) 16 11. Si a) 8 d) 15 12. Si C.
b) 15 e) 13
b) 4 e) 8
c) 6
Nivel avanzado
5. Completa la operación y da como respuesta la suma de los números que escribiste:
a) 12 d) 18
c) 50
10. Calcula el valor de B + C si se sabe que .
, calcula el valor de m + n + p. b) 15 e) 8
c) 9
, calcula el valor de A × B.
a) 35 b) 42 d) 30 e) 36
, calcula el vab) 12 e) 17
b) 7 e) 5
c) 16
a) 12 d) 8
, calcula el valor de a + b. b) 12 e) 7
c) 10
, calcula el valor de A + B + b) 9 e) 13
c) 15
Nivel intermedio 6. Completa los espacios en blanco y da como respuesta la suma de los números que escribiste:
a) 10 d) 18
b) 16 e) 14
Razonamiento Matemático
c) 20
94
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Cuatro Operaciones Las cuatro operaciones básicas son adición, sustracción, multiplicación y división. Para resolver estos problemas debemos leer con cuidado el enunciado, de manera que se pueda identificar la operación que se va a realizar. Estas son algunas situaciones que involucran cada una de las operaciones. ADICIÓN
SUSTRACCIÓN
ZZ La cantidad de dinero que tienen tres ZZ La diferencia entre las edades de dos
personas juntas.
personas.
en una granja.
unas compras.
ZZ La cantidad total de animales que hay ZZ Identificar el dinero luego de realizar
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
ZZ La cantidad de dinero que juntaré du-
ZZ Tengo una bolsa de caramelos que rerante una semana si cada día gano lo partiré entre mis amigos. mismo. ZZ El costo de una camisa que compre por ZZ El monto a pagar por la compra de un docena. grupo de objetos iguales.
Ejemplo: Carla tiene ahorrado S/.320 y Romina tiene el triple de ella. Si Laura tiene tanto como Carla y Romina juntas, ¿cuánto dinero tienen entre las tres? Resolución: Calculamos lo que tiene cada una: Carla: S/.320 Romina: 3 × S/.320 = S/.960 Laura: S/.320 + S/.960 = S/.1280
Para calcular lo que tienen entre las tres debemos sumar. 320 + 960 1280 2560 Rpta.: Entre las tres tienen S/.2560.
Trabajando en clase 1. Si al vender un auto en S/.4300 pierdo S/.1200, ¿cuánto me costó el auto? Resolución: Como al vender auto se perdió dinero, debe sumarse dicha pérdida al precio de venta para conocer su costo original. 4300 + 1200 5500 Respuesta:
2. Si al realizar un descuento de S/.520 en un producto este se vende en S/.630, ¿cuál era el precio original del producto? 3. Si se compran 5 cientos de cuadernos y se colocan en cajas de 2 decenas, ¿cuántas cajas necesito? 4. Un refrigerador se compró por S/.750; al pasar un tiempo se malogró y se pagó S/.300 por arreglarlo. Si al final se vendió en S/.1350, ¿cuánto se ganó?
El auto costó S/.5500.
6to PRIMARIA
95
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Nivel intermedio
do, 20 minutos después que el primero; el tercero demoró tanto como el tiempo del segundo aumentado en 18 minutos y el cuarto demoró tanto como el primero y el tercero juntos. ¿Cuánto demoró el cuarto auto? Resolución: Con los datos, calculamos los tiempos de cada auto. 1er. auto: 480 2do. auto: 480 + 20 = 500 3er. auto: 500 + 18 = 518 4to auto: 480 + 518 = 998
5. Si vendo un televisor en S/.930 ganaría S/.150. ¿Cuál sería su precio si se vendiera perdiendo S/.120? Resolución: YY S/.930 – (precio con ganancia) S/.150 ganancia S/.780 costo real YY
780 – 120 S/.660
costo real pérdida precio con pérdida
Respuesta: Perdiendo S/.120 el precio de venta sería S/.660.
Respuesta: El cuarto auto demoró 998 minutos.
6. Si me obsequiaran S/.170 podría comprar un DVD y aún me quedaría S/.25. ¿Cuánto dinero tengo, si el DVD cuesta S/.720?
9. Jesús gana el primer día S/.5; el segundo, S/.10; el tercero, S/.15 y así sucesivamente hasta completar 7 días. Si al finalizar esa semana gastó S/.75, ¿cuánto dinero le sobra?
7. Alicia gana S/.15 diarios y Luisa S/.18 por día. Si las dos juntas ganan S/.726, ¿cuántos días han transcurrido?
10. Manuel pierde dinero diariamente durante 5 días consecutivos. El primer día pierde S/.8; el segundo, S/.16; el tercero, S/.24, y así sucesivamente. Si al inicio tenía S/.300, ¿cuánto le sobró?
Nivel avanzado 8. En una carrera de autos, se sabe que el primero llegó a la meta luego de 480 minutos; el segun-
Razonamiento Matemático
96
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel básico 1. En la campaña «Abriguemos a un amigo» el aula de 6° grado recolectó 8 cajas de 50 chompas cada una. Si para preparar la donación se embolsarán las chompas en grupos de 4, ¿cuántas bolsas se necesitarían? a) 80 d) 130
b) 100 e) 200
7. María tiene siete años más que Milagros. Si dentro de nueve años, Milagros tendrá 42 años, ¿cuál es la edad actual de María? a) 42 años d) 40 años
c) 150
b) S/.32 500 e) S/.31 500
a) 40 d) 48
c) S/.22 300
b) 56 e) 44
c) 38
a) S/.10 600 d) S/.14 200
4. Juan tiene S/.1500 y gasta la tercera parte en juguetes. Si luego su padrino le regala la cuarta parte de lo que le quedaba, ¿cuánto dinero tiene al final? a) S/.1250 d) S/.1500
b) S/.1000 e) S/.1100
b) 10 e) 16
a) 157 d) 137
c) S/.1340
6to PRIMARIA
c) S/.15 000
b) 141 e) 147
c) 134
11. Karen ahorra de la siguiente manera: enero, S/.150; febrero, S/.200; marzo, S/.250; abril, S/.300 y así sucesivamente hasta el mes de julio. Si luego compra una TV a S/.700, ¿cuánto dinero le queda?
c) 18
a) S/.1000 d) S/.1600
6. Andrea gana S/.40 diarios y ahorra S/.25 diariamente. ¿Cuánto dinero ganó si hasta el momento ha ahorrado S/.250? b) S/.350 e) S/.300
b) S/.12 400 e) S/.13 200
Nivel avanzado
Nivel intermedio
a) S/.250 d) S/.450
c) 52
10. Si compré cierto número de melones a S/.294 y los vendí a S/.588, gané S/.2 por melón. ¿Cuántos melones compré?
5. A cada uno de los 300 perritos de un albergue le corresponden 20 galletas. Si llegan 200 perritos más, ¿cuántas galletas le corresponderá a cada uno ahora? a) 12 d) 15
b) 54 e) 60
9. Tres socios se reparten las ganancias de una empresa. El primero recibe S/.1200 más que el segundo y este recibe S/.800 más que el tercero. ¿Cuál fue la ganancia de la empresa si el tercero recibe S/.2600?
3. Si Carlos nació en 1982 y Sebastián en 1986, ¿cuál será la suma de sus edades cuando Carlos tenga 26 años? a) 48 d) 52
c) 38 años
8. Si el menor de tres hermanos tienen 16 años y cada uno de los siguientes tiene dos años más que el anterior, ¿cuánto suman las edades de los hermanos?
2. Se compró un inmueble en S/.75 000 y se realizaron ciertos arreglos, por los que se pagó S/.1400. Si se consiguió un comprador que pagó S/.98 000, ¿cuál fue la ganancia? a) S/.16 000 d) S/.21 600
b) 50 años e) 36 años
b) S/.1200 e) S/.1800
c) S/.1400
12. Si por 120 naranjas pagué S/.150, ¿cuánto ganaré si vendo cada naranja al doble del costo? a) S/.250 d) S/.150
c) S/.400
97
b) S/.300 e) S/.225
c) S/.75
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Método de las Operaciones Inversas El método de las operaciones inversas, también conocido como método cangrejo, permite determinar el valor inicial que, luego de haber sido afectado por una secuencia de operaciones, resulta un valor que es dato del problema. Observa:
×3
12
( )2 7 Inicio
÷4
–3 15
5 Inicio
3
×2
50
÷2
+4
÷3
–6
11
Fin Escribimos las operaciones inversas:
÷4
+1 49
Ejemplos: Con un número se realiza las siguientes operaciones: primero se le multiplica por dos, luego se le aumenta 4 al resultado obtenido para posteriormente dividirlo entre 2 y, finalmente, se le extrae 6 a la respuesta. Si al nuevo número se le divide entre 3 se obtiene 11, ¿cuál es el número inicial?
10
37 Fin
74 ÷2
78
39 ×2
–4
33 +6
11 ×3
Trabajando en clase Calcula el valor inicial (preguntas 1 y 2). –5 ×4 ÷8 +10 1.
obtiene un nuevo número que al extraerle la raíz cuadrada, disminuir en 2 a dicha raíz, luego elevar al cuadrado el último resultado y, finalmente, dividirlo entre 8, da como resultado 12. ¿Cuál es la edad de Rocío?
20 Resolución: Escribimos las operaciones inversas y completamos:
25
20
+5
80
10
÷4
×8
Respuesta: El valor inicial es 25. 2.
+6
×4
Nivel intermedio
20
5. Una persona participó en tres apuestas; en la primera duplicó su dinero y gastó S/.30; en la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó S/.54; en la tercera cuadriplicó la suma restante y gastó S/.72. Si al final le quedaron S/.48, ¿cuánto tenía al inicio? Resolución:
–10
–8
Inicio ×2
40 3. Un número es aumentado en 4, el resultado se multiplica por 3 y el nuevo número se disminuye en 2. Si al último valor encontrado se le extrae la raíz cuadrada se obtiene 8. ¿Cuál es el número inicial?
Razonamiento Matemático
×3
58 ÷2
28 +30
84 ÷3
Respuesta: Al inicio tenia S/.29 98
×4
–54
–72 48 Final
Escribimos las operaciones inversas:
29
4. Si cuadriplicamos los años que tiene Rocío y luego incrementamos 4 al resultado obtenido, se
–30
30 +54
120 ÷4
6to PRIMARIA
48 +72
“Formando líderes para el futuro”
6. Un número se aumenta en 1, el resultado se multiplica por 2, a este nuevo número se le resta 3, se multiplica por 4 al resultado y por último se divide entre 5, y se obtiene 12. ¿Cuál es el número inicial?
Resolución:
Final ÷2
÷2 A 52
8
16
÷2
7. Juanita gasta su dinero de la siguiente manera; en gaseosa, la mitad de su dinero, más S/.2; en galletas la cuarta parte del resto, más S/.3. Si al final se queda sin dinero, ¿cuánto dinero tuvo al inicio?
B 28
÷2 56
÷2
Nivel avanzado 8. Tres personas (A, B y C) se pusieron a jugar con la condición de que el perdedor de cada partido duplicaría el dinero de los otros dos. Si se sabe que perdieron una vez cada uno, en orden alfabético, quedándose uno con S/.32 al final; ¿cuánto dinero tenía B al inicio?
C 16
32
16
32
64
32
÷2 32
9. Cuatro personas (A, B, C y D) se pusieron a jugar con la condición de que el ganador de cada partida recibiría la mitad de dinero que en ese momento tiene cada uno de los otros tres jugadores Si se sabe que ganaron en orden alfabético y al finalizar la cuarta partida quedaron con 20, 36, 68 y 132 dólares, respectivamente, ¿cuánto ganó D?
10. Se tienen tres aulas (A, B y C) con cantidades diferentes de alumnos. Si de cada una de ellas se pasan a las otras dos aulas tantos alumnos como hay en ese momento en cada uno de estos, en orden alfabético quedan al final cada una con 120 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes tenía el aula “A” inicialmente?
6to PRIMARIA
99
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel básico 1. Se triplica un número, el resultado se incrementa en 4. El nuevo número es disminuido en 15, se eleva al cuadrado la diferencia obtenida, resultando 100. Calcula el número. a) 10 d) 12
b) 15 e) 8
3.
b) 46 e) 81
b) 40 e) 10
a) S/. 36 d) S/. 38
b) 24 e) 36
c) 20
c) 12
5. Juan se pone a jugar con el dinero que llevaba y logra duplicarlo pero inmediatamente gasta S/.10. Con lo que le queda juega por segunda vez y triplica su dinero, pero gasta S/.30. Por tercera vez juega, pierde la mitad y gasta S/.80, retirándose con S/.10. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente? a) S/. 50 d) S/. 30
b) S/. 60 e) S/. 40
c) S/. 80
Nivel intermedio 6. De un depósito lleno de agua se retira la mitad de su contenido, más un litro por hora. Si al cabo de 3 horas el depósito queda vacío, ¿cuál es la capacidad del depósito? a) 10 L d) 8 L
b) 14 L e) 16 L
Razonamiento Matemático
c) 58
b) S/. 40 e) S/. 34
c) S/. 32
9. Si a un número se le extrae la raíz cuadrada y, después de agregarle 1 al resultado, se multiplica por 3, se obtiene 12. ¿Cuál es el número inicial?
c) 42
a) 24 d) 7
b) 10 e) 17
c) 9
10. Cada vez que una persona hace un negocio, duplica su dinero pero de inmediato gasta S/.10. Si luego de dos negocios sucesivos tiene S/.90, ¿cuánto tenía inicialmente?
4. A un número se le multiplica por 3, luego se le resta 6 y al resultado se le multiplica por 5. Si el nuevo número se divide entre 8, al resultado se le eleva al cuadrado y, finalmente, se le resta 171, se obtiene 729. ¿Cuál es el número? a) 18 d) 16
b) 60 e) 152
8. Si a la cantidad que tengo la multiplico por 5, al resultado lo divido por 15, al cociente lo multiplico por 4 y, finalmente, añado 32; tendría S/.80. ¿Cuánto tengo inicialmente?
A un número positivo lo dividimos entre 2 y el resultado se eleva al cuadrado. El número se divide entre 4 y a dicho resultado se le extrae la raíz cuadrada, obteniéndose, finalmente, 5. ¿Cuál es el número? a) 30 d) 50
a) 40 d) 45
c) 7
2. Un número se aumenta en 20, el resultado se divide entre 5 y al cociente obtenido se le aumenta 3. Al nuevo número se le extrae la raíz cuadrada, se multiplica por 15 al resultado y, finalmente, al producto obtenido se le divide entre 25, resultando 3. Calcula el número. a) 56 d) 32
7. Si se multiplica un número por 8, el resultado se divide por 10, el cociente se multiplica por 3 e inmediatamente se añade 36, se obtiene 180. ¿Cuál es el número inicial?
a) S/.130 d) S/.120
b) S/.40 e) S/.160
c) S/.80
Nivel avanzado 11. Cinco amigos (R, A, L, C y E) acuerdan que el que pierde la partida de naipes duplicará el dinero de los otros cuatro. Si cada uno de ellos pierde una partida en orden alfabético, quedándose al final de la última partida con S/.80 cada uno. ¿Cuánto tenía R al inicio? a) 15 d) 202,5
b) 105 e) 5
c) 55
12. Nora, Claudia, Katy y Elena juegan naipes, y cada una de ellas gana una partida en orden inverso al que han sido mencionadas. La regla del juego es la siguiente: A la que gane el primer juego, las demás le darán S/.30; a la que gane el segundo y el tercer juego, las que pierdan le darán S/.20, y a la que gane último juego, solo le darán S/.10 cada una de las que pierdan. Si luego de terminar el cuarto juego y cumpliendo las reglas cada una tiene S/.60, ¿cuál es la diferencia entre lo que tenían inicialmente Nora y Katy? a) S/. 20 d) S/. 10
c) 22 L
100
b) S/. 40 e) S/. 60
c) S/. 80
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Falsa suposición y regla conjunta FALSA SUPOSICIÓN
Este método permite resolver problemas donde se conocen dos cantidades totales y dos incógnitas. Ejemplo: En un corral de 20 animales donde solo se tienen conejos y pollos, se contaron un total de 70 patas. ¿Cuántos conejos hay?
Para resolverlos, debemos acomodar el problema de tal manera que los elementos o datos ubicados a la izquierda, también estén en la derecha. Luego, aplicamos la siguiente propiedad: El producto de la izquierda es igual al producto de la derecha. Ejemplo:
Resolución: ZZ Primero identificamos los datos:
conejo
20 animales 70 patas pollos ZZ Elaboramos nuestra suposición: «todos son pollos», luego analizamos: YY Como todos son pollos → 20 animales 20 × 2 = 40 total de patas ↑ Cantidad de patas de un pollo
En una feria por 3 pollitos me dan 1 pato, por 4 patos me dan 6 conejos y por 5 conejos me dan 10 palomas. ¿Cuántas palomas me darán por 4 pollitos? Resolución: Escribimos la lista de equivalencias indicadas y verificamos que las unidades estén intercaladas. 3 pollitos < > 1 pato 4 patos < > 6 conejos 5 conejos < > 10 palomas «x» palomas < > 4 pollitos
YY Como realmente son 70 patas y solo conta-
mos 40, nos equivocamos por: 70 – 40 = 30 patas
Si dos unidades iguales están en el mismo sector, solo debemos invertir su escritura.
YY Nos sobran 30 patas porque al suponer que
todos son pollos hemos contado solo 2 patas de los conejos en lugar de las 4 que tienen. Entonces, hay un error por animal de: 4 – 2 = 2 patas
YY Ahora, repartimos las patas sobrantes en gru-
pos de 2 para encontrar el número de conejos. 30 = 15 2 Ahora aplicamos la propiedad y operamos.
Respuesta: Hay 15 conejos.
REGLA CONJUNTA
3 . 4 . 5 . x = 1 . 6 . 10 . 4 1 1 1
2
1
x=4
Los problemas que se pueden resolver por este método son aquellos que presentan una lista de equivalencias. 6to PRIMARIA
2
Respuesta: Por 4 pollitos me dan 4 palomas
101
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Trabajando en clase 1. Si por 3 ganchos recibo 7 vinchas y por 4 vinchas recibo 6 aretes, ¿cuántos ganchos recibiré por 14 aretes? Resolución: Escribimos las equivalencias. 3 ganchos < > 7 vinchas 4 vinchas < > 6 aretes 14 aretes < > «x» ganchos Verificamos las unidades y operamos: 3 . 4 . 14 = 7 . 6 . x 2
1
4=x Respuesta: Recibiré 4 aretes
6. En un estacionamiento se cuentan 27 vehículos entre bicicletas y triciclos. Si se cuentan 62 ruedas en total, ¿cuántos triciclos hay? 7. Utilizando el enunciado anterior, indica el número de bicicletas. Nivel avanzado 8. Si se sabe que 2 kilos de frejol cuesta igual que 3 kilos de azúcar; 4 lapiceros igual que 5 kilos de azúcar. Si 3 cuadernos valen S/.30 y 8 lapiceros cuestan igual que 4 cuadernos, ¿cuál es el precio de 6 kilos de frejol? Resolución: Escribimos la lista de equivalencias. 2 kg frejol < > 3 kg azúcar
2. En una tienda el precio de 5 polos es igual al de 3 camisas. Si 9 camisas cuestan tanto como 10 chompas, ¿cuántas chompas equivalen al precio de 12 polos?
4 lapiceros < > 5 kg azúcar 3 cuadernos < > S/.30 8 lapiceros < > 4 cuadernos S/.x < > 6 kg frejol
3. En un mercado muy especial, por 3 papas me dan 6 camotes y por 2 camotes me dan 5 choclos. Con 10 choclos, ¿cuántas papás me darán?
Observamos que en la columna de la derecha la unidad «kg azúcar» está repetida, por eso reordenamos y calculamos. 2 kg frejol < > 3 kg azúcar 5 kg azúcar < > 4 lapiceros 3 cuadernos < > S/.30 8 lapiceros < > 4 cuadernos S/.x < > 6 kg frejol
4. Si por 3 lápices me dan 5 borradores y por 2 borradores, 9 lapiceros, ¿cuántos lapiceros me darán por 4 lápices? Nivel intermedio 5. En un taller de mecánica se cuentan 16 vehículos entre autos y motos. Si en total se contaron 48 llantas, ¿cuántas motos hay? Resolución: Identificamos los datos y realizamos la suposición. motos 16 vehículos 48 llantas autos Si todos los vehículos fueran autos habría: 16 × 4 = 64 llantas Nos equivocamos por 64 – 48 = 16 llantas Cuando confundimos una moto con un auto agregamos a cada auto 4 – 2 = 2 llantas. Repartimos: 16 = 8autos 2 Razonamiento Matemático
6
2 . 5 . 3 . 8 . x = 3 . 4 . 30 . 4 . 6 x = 36 Respuesta: El precio es S/.36 9. En una feria agropecuaria por 3 patos te dan 2 pollos; por 4 pollos, 3 gallinas; por 8 monos, 12 gallinas. Si cada mono cuesta S/.150, ¿cuál será el precio de 5 patos? 10. Juanita gasta S/.140 en comprar 43 kilos de frutas, entre naranjas y manzanas. Si la primera cuesta S/.4 y la otra S/.2, ¿cuántos kilos de manzana se compró?
102
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando Nivel básico
7. En una granja se cuentan 48 cabezas entre gallinas y conejos. Si en total se cuentan 158 patas, ¿cuál es la diferencia entre el número de conejos y gallinas?
1. En una tienda por 5 gaseosas puedo obtener 2 galletas y por 1 galleta puedo obtener 5 chocolates. ¿Cuántas gaseosas obtendré con 6 chocolates? a) 2 d) 1
b) 3 e) 4
a) 18 d) 14
c) 5
2. En un restaurante el precio del arroz con pollo es igual al de 10 tortas de chocolate y el de 7 tortas de chocolate es igual al de 2 lomos saltados. ¿Cuántos lomos saltados cuestan igual que 7 arroz con pollo? a) 5 d) 9
b) 8 e) 7
b) 12 e) 13
8. Para el paseo del colegio se inscribieron 65 personas entre adultos y niños. Si el costo es de S/.10 por adulto y S/.5 por niño, y se recaudó S/.475, ¿cuántos niños más que adultos hay? a) 8 d) 12
b) 4 e) 8
a) 60 d) 23
b) 7 e) 4
a) 18 d) 16
c) 6
6to PRIMARIA
c) 49
c) 2
b) 40 e) 27
c) 10
Nivel avanzado 11. Si se gasta S/.201 al comprar 9 artículos entre camisas y polos que cuestan S/.35 y S/.16, respectivamente, ¿cuántos polos se compraron? a) 8 d) 10
b) 2 e) 7
c) 6
12. Si 4 cuestan igual que 6 ; 7 igual que 21 ;8 igual que 6 y 10 igual que 3 , ¿cuántos obtengo por 120 ? a) 6 d) 4
6. En un circo las entradas de niño cuestan S/.5 y las de adulto, S/.8. Si con una asistencia de 195 personas se recaudó S/.1260, ¿cuántos niños asistieron? b) 100 e) 110
b) 42 e) 8
10. De la pregunta anterior, ¿cuántos cuyes hay?
Nivel intermedio
a) 80 d) 90
c) 7
c) 8
5. Si por 10 pelotas puedo obtener 4 trompos y por un trompo puedo conseguir 5 canicas, ¿cuántas pelotas puedo obtener por 6 canicas? a) 13 d) 8
b) 5 e) 9
9. En un corral, donde solo hay cuyes y patos, se cuentan en total 154 patas. Si el total de animales es 50, ¿cuántos patos hay?
4. En una feria agropecuaria por 3 pollitos dan 14 canarios y por 7 canarios dan 2 palomas. ¿Cuántas palomas se obtendrán con 3 pollitos? a) 5 d) 2
c) 12
c) 4
3. Si con 3 panes puedo canjear 1 pastel y con 3 pasteles puedo canjear 1 flan, ¿cuántos flanes obtengo por 117 panes? a) 7 d) 15
b) 16 e) 20
b) 12 e) 8
c) 5
c) 120 103
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Repaso 1. De un depósito de 50 litros de agua, se extrae la quinta parte; luego se extrae 15 litros; de lo que queda, se extrae 14 litros. Si al final se agrega 35 litros, ¿cuántos litros quedan?
6. ¿Qué figura no guarda relación con las demás? a)
b)
2. Compré 500 sombreros por S/.6 cada uno. Si vendí cierto número de ellos en S/.500, a S/.5 cada uno, ¿a cuánto tengo que vender el resto para no perder? 3. Si
= a2 + 6 y
= b3, calcula
+
c)
. d)
4. Calcula A + B si se sabe que:
AA
3A+ 5A
e)
1B4
5. Observa las tablas y calcula el valor de «x» en la siguiente expresión: [(4 1) (3 2)] = (x 1) 4.
7. En una tienda, por 3 camisas dan 2 pantalones y por 6 pantalones, 4 sacos. Si por S/.90 me dan 8 sacos, ¿cuánto cuestan 5 camisas?
8. Determina el valor de sustracción:
,
y
en la siguiente
Razonamiento Matemático
104
6to PRIMARIA
“Formando líderes para el futuro”
9. ¿Qué figura sigue en la sucesión?
11. Cada vez que Luis visita a su tía, esta le duplica el dinero que él lleva. En agradecimiento él le obsequia S/.400 a su tía. Un día Luis, queriendo ganar más dinero, realizó cuatro visitas sucesivas a su tía y al final se quedó sin nada.
?
10. Si un comerciante compró 11 trajes por S/.3300 y vende 5 a S/.240 cada uno, ¿a cuánto tiene que vender los restantes para ganar S/.900?
6to PRIMARIA
¿Cuánto tenía al inicio?
12. En un trueque, por 27 cuadrados se reciben 25 triángulos y por 5 triángulos, 9 círculos. ¿Cuántos cuadrados pueden recibirse por 5 círculos?
105
Razonamiento Matemático
“Formando líderes para el futuro”
Razonamiento Matemático
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6to PRIMARIA