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E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicación Universidad Politécnica de Madrid

MANUAL DEL LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL II Plan 2010

Pedro Sánchez Sánchez Vicente Alcober Bosch Coral Duro Carralero Pilar Mareca López Ángel Sanz Sanz

Departamento de Física Aplicada a las Tecnologías de la Información

2

3 PROLOGO En el nuevo plan de estudios de "Graduado en Ingeniería de Tecnologías y Servicios de Telecomunicación" (Plan 2010) el laboratorio deja de ser una asignatura optativa para ser considerada parte importante de las asignaturas obligatorias Física General I y Física General II. El hecho de que todos los alumnos tengan que dedicar una parte de su esfuerzo a la realización de prácticas experimentales nos obliga a hacer algunos cambios en la metodología a fin de adecuarnos en tiempo y contenido al programa teórico de dichas asignaturas, dentro del marco señalado en el Plan de Estudios. Este Manual corresponde a las prácticas de laboratorio de la asignatura Física General II y es una continuación del correspondiente a Física General I. Sigue siendo válido y muy recomendable tener presente en todo momento el capítulo primero de dicho Manual, en el que se hace una introducción a conceptos generales, con cuidada atención al tratamiento de datos, a su representación gráfica, a los métodos analíticos de ajuste de las curvas y de modo muy especial a la estimación de los errores cometidos en la realización experimental de la práctica. La metodología seguida ha sido la misma, de manera que en todas las prácticas se incluye una breve introducción teórica, donde se exponen los fundamentos físicos, y una parte práctica donde se explica con cierto detalle la manera de llevar a cabo la realización de las mismas. Es de esperar que, a partir de su ejecución, el alumno aprenda el manejo de los aparatos básicos, de sus características y limitaciones. Por último, el alumno tiene ante sí la posibilidad de valorar los modelos teóricos con la experiencia. Los profesores que hemos trabajado en este Manual deseamos expresar nuestro agradecimiento a D. Manuel Ramos Díaz, D. Luis Rivera Díaz y D. Jesús Alarcón Cavero, que desde hace muchos años colaboran muy activamente en el mantenimiento y puesta a punto de las prácticas del Laboratorio de Física y a Dña. Juana González que tan eficazmente nos ayuda en todos los temas administrativos.

Enero 2011

Pedro Sánchez, Vicente Alcober, Coral Duro, Pilar Mareca, Angel Sanz

Los estudiantes que lo deseen pueden bajarse este Manual en la dirección WEB del Departamento: http://www-app.etsit.upm.es/departamentos/fis/index.html

4

5 INDICE Prólogo

0.

OSCILOSCOPIO DE RAYOS CATODICOS .................................................... 7 0.1

1.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA .......................................................................................... 7

PRÁCTICAS DE OSCILACIONES Y ACÚSTICA .......................................... 13 1.1

ESTUDIO DE UNA OSCILACIÓN. SUPERPOSICIÓN DE OSCILACIONES 13

Superposición de oscilaciones armónicas (figuras de Lissajous) ................................ 14 Medida de la diferencia de fase entre dos oscilaciones armónicas perpondiculares de igual frecuencia( método de la elipse) .......................................................................... 16

1.2

ESTUDIO DEL RÉGIMEN AMORTIGUADO ................................................... 21

Estudios de distintos casos, según el amortiguamiento del sistema. ............................ 27 Oscilaciones amortiguadas. .......................................................................................... 27

1.3

ESTUDIO DEL REGIMEN FORZADO. RESONANCIA ................................... 29

Estudio de la resonancia a partir de la variación en amplitud con la frecuencia. ....... 35 Cálculo de la autoinductancia del inductor .................................................................. 35 Cálculo del factor de calidad, Q ................................................................................... 35 Cálculo del ancho de banda .......................................................................................... 36 Estudio de la resonancia a partir de la variación del desfase θ con la frecuencia. ..... 36

1.4

MEDIDA DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO .................................................. 37

Montaje 1º (onda reflejada en la superficie de un líquido)........................................... 39 Montaje 2º (onda reflejada en la superficie de un pistón) ............................................ 40

1.5

ONDAS ESTACIONARIAS Y MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN EN

CUERDAS ........................................................................................................................ 41 Obtención de los modos normales de vibración. Velocidad de propagación de onda incidente y la reflejada en la cuerda. ............................................................................ 45

6 Estudio de la dependencia de la frecuencia fundamental con la tensión y la densidad lineal de la cuerda. ........................................................................................................ 46

2.

OPTICA .......................................................................................................... 49 2.1

ESTUDIO DE LAS LEYES DE SNELL Y DE LA REFLEXIÓN TOTAL .......... 49

Determinación del índice de refracción a partir de la ley de Snell ............................. 49 Determinación del índice de refracción a partir del ÁNGULO LÍMITE ...................... 52

2.2

EL BANCO DE OPTICA ...................................................................................... 55

Repaso de algunos conceptos teóricos .......................................................................... 55 Determinación de la potencia de una lente convergente. ............................................. 57 Determinación de la potencia de una lente divergente ................................................. 60

2.3

EL GONIOMETRO. ............................................................................................. 63

Medida del ángulo del prisma ....................................................................................... 63 Determinación del índice de refracción del prisma ...................................................... 65

2.4

EL ESPECTROSCOPIO ....................................................................................... 69

Determinación de la constante de una red de difracción.............................................. 69 Medida de una longitud de onda ................................................................................... 72

3.

APÉNDICE ..................................................................................................... 75 3.1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN “T DE STUDENT”......................................................... 75

3.2

CÓDIGO DE COLORES ............................................................................................. 76

Resistencias ................................................................................................................... 76 Condensadores .............................................................................................................. 77

7 0. OSCILOSCOPIO DE RAYOS CATODICOS 0.1

Introducción teórica

El osciloscopio de rayos catódicos es un aparato que permite medir diferencias de potencial y observar sobre una pantalla la variación de éstas con el tiempo. Su utilidad es enorme, pues pueden estudiarse con él un gran número de magnitudes físicas que, mediante un sistema traductor adecuado, son convertidas en tensiones. Así, p.ej. las vibraciones acústicas son transformadas en señales eléctricas con un micrófono, la luz lo es con una célula fotoeléctrica, etc. Son además, aparatos de alta impedancia (1 Mohm y 33 pF son muy frecuentes), por lo que no producirán apenas alteraciones al ser intercalados en el circuito de medida. El oscilocopio consta en esencia de un tubo de rayos catódicos y de una electrónica asociada al mismo. El tubo es de vidrio, con alto vacío en su interior, en el que podemos distinguir tres estructuras diferentes: 1ª)

Cañón electrónico .- Lugar en donde se produce la emisión de electrones, siendo posteriormente acelerados y focalizados, hasta conseguir un haz electrónico de pequeño diámetro y gran velocidad.

2ª)

Placas desviadoras .- Son dos pares de láminas colocadas según se observa en la figura 0.18, que pueden ser conectadas a diferentes potenciales. El campo eléctrico que se crea en ellas actúa sobre el haz electrónico, desviando su trayectoria. Según sea esta Figura 0.18 desviación se denominan: "placas verticales" o bien "placas horizontales". En la mayoría de osciloscopios de doble haz, las placas verticales coinciden con el “canal 1” y las horizontales con el “canal 2”. Conviene comprobar este criterio en el osciloscopio de la práctica. Pantalla.- Está colocada normalmente al eje del tubo. Por estar revestida con un material fluorescente, permite observar sobre ella la posición en que incide el haz electrónico.

3ª)

Un sencillo estudio teórico, que puede encontrarse en cualquier libro de texto, permite demostrar una propiedad fundamental para el uso de este aparato: "La tensión aplicada a las placas desviadoras, V0, es directamente proporcional a la desviación del haz electrónico observada sobre la pantalla, y0" ( y0 = k V0) (figura 0.19).

v0 y0

Figura 0.19

8 Si la diferencia de potencial aplicada es variable con el tiempo, también lo será la posición del "spot" en la pantalla. Asi, p.ej. si conectamos una pila a las placas verticales (o canal 1), la desviación de la mancha en la pantalla será y0. Si cambiamos la polaridad de la pila, con un conmutador C, se y0 observará ahora que la posición de la mancha es – y0. (figura 0.20). Si repetimos la conmutación cada vez más rápidamente, la mancha se moverá arriba y abajo sobre la pantalla, con la misma rapidez, y llegará un momento en que a nuestra vista le -y0 "parecerá" que hay una línea luminosa desde y0 hasta –y0 . Sabido es que en la retina de Figura 0.20 nuestros ojos persiste durante un cierto tiempo la imagen que le llega, y si la sucesión de imágenes es más rápida que la inercia a perderlas, se obtendrá una sensación de "continuidad"; fenómeno bien conocido en la técnica cinematográfica y televisiva Base de tiempos del osciloscopio Resulta muy útil poder observar en la pantalla del osciloscopio la forma de una señal eléctrica cualquiera. Para ello, estos aparatos llevan un artificio interior que produce una tensión variable linealmente con el tiempo (fig 0.21), en forma de "diente de sierra". Si se conecta esta tensión a las placas horizontales (o canal 2), la mancha luminosa se moverá con velocidad uniforme de izquierda a derecha, sobre el eje X de la pantalla, volviendo al punto de partida al cabo de 1 periodo. La velocidad con que se mueve la mancha sobre la pantalla (proporcional a la frecuencia del diente de sierra) puede controlarse con un mando del osciloscopio que se denomina "base de tiempos" V o "barrido", y que está calibrado generalmente en milisegundos/cm o microsegundos/cm. Es decir, el B barrido indica el tiempo que tarda la mancha en recorrer 1 cm en la dirección horizontal de la t pantalla. Es interesante observar que al variar la velocidad del barrido, se consigue ver en la pantalla diferente número de períodos de la tensión aplicada A en las placas verticales (o canal 1). Figura 0.21 La importancia de este tipo de onda en diente de sierra, estriba en que compuesta con cualquier otra señal que se aplique a las placas verticales (o canal 1), la "reproduce" sobre la pantalla del osciloscopio. (Fig. 1.15). Para que esta reproducción sea fiel, es necesario que el tramo AB del diente de sierra, representado en la fig.0.22, sea rectilíneo, pues de no ser así la señal aparecería distorsionada en la pantalla. Cuando interese desconectar la base de tiempos de las placas horizontales del osciloscopio, se coloca el mando de barrido en la posición EXT (o bien X-Y). En este momento, la figura que se observa en la pantalla es el resultado de la composición de las tensiones aplicadas exteriormente en las placas horizontales y verticales.

9 En resumen, si se pretende "ver" una determinada señal, se aplica ésta a las verticales y se conecta la base de tiempos del aparato a las horizontales. Si lo que se desea es componer perpendicularmente dos señales determinadas, se aplica una a las placas verticales (o canal 1) y la otra a las horizontales, colocando el mando de barrido en la posición EXT o X-Y

Y

t

X

t Figura 0.22

Osciloscopios de doble haz Como su nombre indica, estos osciloscopios tienen dos canales independientes donde introducir las señales x(t) e y(t), pudiendo ser visualizadas ambas en la pantalla del mismo. El mando de barrido suele ser común para los dos canales, pero cada uno de ellos tiene su propio mando de amplificación y de posición, con lo que se puede variar independientemente la amplitud de cada señal y su posición en la pantalla. Para poder visualizar una de las señales o ambas, en función del tiempo, existe un mando denominado MODE, o bien distintos botones, con las siguientes denominaciones: CH1 Visualiza en la pantalla la señal que se introduce en el canal 1 CH2 Visualiza en la pantalla la señal que se introduce en el canal 2 DUAL Visualiza en la pantalla la señal que se introduce en el canal 1 y la del canal 2 ADD Visualiza en la pantalla la suma de ambas señales La composición perpendicular de la señal del canal 1 con la del canal 2, exige apretar el botón X-Y en algunos osciloscopios, o en otros colocar el mando de barrido en la posición X-Y. Evidentemente, la composición de ambas señales solo será estable en la pantalla si la diferencia de fase entre ellas permanece constante.

10 Usos inmediatos del osciloscopio 1')

Voltímetro

En el osciloscopio, la señal que se introduce en las placas X o Y no llega directamente a ellas, sino a través de un sistema amplificador. En los osciloscopios de un canal suele estar calibrado solamente el amplificador correspondiente a las placas verticales (o canal 1), y se expresa en voltios/cm, con lo cual se puede medir directamente la diferencia de potencial aplicada a dichas placas. Según interese medir tensión continua o alterna, es preciso actuar sobre un conmutador del osciloscopio, DC-AC, que nos selecciona dichas posibilidades. a)

Voltímetro de C.C.

Colóquese el conmutador en la posición DC, y cortocircuitando las placas se desplaza la imagen de la pantalla, mediante el mando de posición vertical, hasta una posición arbitraria que tomaremos como origen. Al aplicar ahora la tensión problema a dichas placas, la imagen luminosa da un "salto" y se coloca en una cierta posición. El número de centímetros que ha saltado, multiplicado por el factor de escala del amplificador vertical (V/cm), nos expresa el número de voltios de dicha tensión problema. Figura 0.23 b)

Voltímetro de C.A.

El conmutador se coloca ahora en la posición AC , y conectando a las placas verticales (o canal 1) la tensión que se desea medir, se obtiene en la pantalla una línea vertical (si el barrido está desconectado, en caso contrario se observaría una línea sinusoidal), cuya longitud en centímetros multiplicada por el factor de escala del amplificador, expresa la tensión "pico a pico". El valor obtenido es el doble de la tensión máxima, por lo que, si lo que se desea conocer es el valor eficaz, habría que multiplicar el valor obtenido por el coeficiente 1/ 2 , ya que Vef = Vmax / 2 2º) Amperímetro Para medir la intensidad que pasa por un circuito cualquiera, se intercala en serie con éste una resistencia de valor conocido y se aplica la diferencia de potencial en bornes de la V CIRCUITO resistencia a las placas verticales (o canal 1) del osciloscopio, teniendo cuidado de que las tierras del osciloscopio y del generador Verticales coincidan. (I = V / R) Figura 0.24

11 3º) Frecuencímetro Cuando interesa conocer 1a frecuencia de una señal periódica cualquiera, se conecta ésta a las placas verticales (o canal 1). Con la base de tiempos se consigue que en la pantalla aparezcan dos o más máximos (o V mínimos) de la onda. Midiendo la distancia T que les separa en centímetros, y conocida la posición del mando de barrido, puede determinarse el periodo de la onda. t Supongamos, p.ej. que la distancia entre dos máximos consecutivos en la pantalla es 7,4 T 2T cm, y que la base de tiempos indica •2 ms/cm, quiere decirse que el periodo de la Figura 0.25 señal es: T = 7,4 * 0,2 = 1,48 ms o bien su frecuencia

ν =

1 1 = = 675 Hz T 1.48 10 −3

12

13 1. PRÁCTICAS DE OSCILACIONES Y ACÚSTICA

1.1

ESTUDIO DE OSCILACIONES

UNA

OSCILACIÓN.

SUPERPOSICIÓN

DE

Material Osciloscopio de rayos catódicos. Generador de señal sinusoidal Oscilador problema. Panel con un diodo, resistencias, condensadores y autoinducción

Objeto Estudio de una oscilación problema. Superposición de oscilaciones perpendiculares (Figuras de Lissajous). Medida de la diferencia de fase entre dos oscilaciones armónicas perpondiculares de igual frecuencia( método de la elipse).

Estudio de una oscilación problema Práctica Conéctese la salida del oscilador a las placas verticales (o canal 1) del osciloscopio. (Siempre la borna de tierra del oscilador con la borna de tierra del osciloscopio). De acuerdo con lo explicado en la sección 0.6, determinar: a)

Forma de la señal del oscilador.

b)

Tensión pico-pico

c)

Frecuencia de la onda.

14 Superposición de oscilaciones armónicas (figuras de Lissajous) Teoría Revisemos la superposición de dos M.A.S. de diferente pulsación en direcciones perpendiculares, descritos por sus ecuaciones

x = A cos ω 1 t y = B cos ( ω 2 t +ϕ ) donde ω1 y ω2 son las pulsaciones, A y B las amplitudes respectivas y ϕ la diferencia de fase entre ambos Para valores cualesquiera de ω1 y ω2, la trayectoria resultante al eliminar t entre las dos ecuaciones paramétricas es cambiante con el tiempo, sin llegar a cerrarse nunca. Tan solo puede apreciarse que la misma se encuentra contenida en un rectángulo de lados 2A y 2B. La situación cambia en caso de verificarse que la relación entre las pulsaciones es igual a una relación de dos números enteros ω 1 = n1 ω 2 n2 o lo que es equivalente T 2 n1 = ⇒ n1 T 1 = n 2 T 2 T 1 n2 En tal caso, los dos últimos productos representan el período del fenómeno resultante de la superposición: T = n1 T1 = n 2 T2 Las trayectorias cerradas obtenidas con la condición anterior se conocen como "curvas de Lissajous" Obsérvese que un período global T equivale a n1 períodos del primer M.A.S. y n2 períodos del segundo M.A.S. Por consiguiente la relación entre el número de cortes de la curva de Lissajous a una recta paralela al eje X frente al número de cortes de una recta paralela al eje Y será también n1 / n2. Es evidente que una misma figura de Lissajous, definida por la condición

ω1 n1 = ω 2 n2 admite infinitas representaciones diferentes según los valores de ϕ. En la figura 1.1 se representan cinco diferencias de fase que corresponden a valores de ϕ : 0, π/4, π/2, 3π/4, π..

15

Figura 1.1 Práctica

16

Se introduce la señal del oscilador problema en las placas horizontales del osciloscopio y la señal del generador de señal, de frecuencia conocida, en las placas verticales. El osciloscopio se utiliza en el modo X-Y A partir de la forma de las figuras de Lissajous puede medirse una frecuencia desconocida. Variando la frecuencia del generador de señal se obtiene en la pantalla una elipse, momento en el que su frecuencia coincide con la del oscilador problema. A continuación se introducen frecuencias doble, triple, mitad y tercera parte de la primera. Se retocan convenientemente hasta encontrar las figuras de Lissajous correspondientes que son las curvas de dos y tres lóbulos bien en el eje X o bien en el eje Y. Si se anotan los valores de la frecuencia que originó la elipse y las cuatro figuras de Lissajous, se puede construir la tabla siguiente

RELACIÓN 1:1 1:2 1:3 2:1 3:1

Frecuencia del generador f1 = f2 = f3 = f1/2 = f1/3 =

Frecuencia incógnita f1 = 2 f2 = 3 f3 = 1/2 f1/2 = 1/3f1/3= =.............. (±

%)

donde se obtienen cinco estimaciones de la frecuencia incógnita. El número de estimaciones y por tanto de figuras de Lissajous empleadas podría aumentarse si se deseara para otras relaciones n1: n2. Dibújense las figuras que se han seleccionado para determinar la frecuencia del oscilador, indicando la relación de frecuencias correspondiente.

Medida de la diferencia de fase entre dos oscilaciones armónicas perpendiculares de igual frecuencia( método de la elipse) Teoría. El método de la elipse se emplea para determinar con ayuda de un osciloscopio la diferencia de fase existente entre dos señales sinusoidales de la misma frecuencia. Las dos señales periódicas que se quieren comparar se introducen la una en las placas horizontales y la otra en las placas verticales. La trayectoria resultante sobre la pantalla es la de una elipse. Unas sencillas medidas geométricas realizadas sobre la misma permiten determinar la diferencia de fase entre las dos señales.

17 Supóngase que las dos señales que se quieren comparar tienen las expresiones V1 = V10 cos ωt V2 = V20 cos (ωt+ϕ) Si la primera se introduce en las placas horizontales y la segunda en las placas verticales, la expresión geométrica que se obtendrá sobre la pantalla será: x = kx V1 = kx V10 cos ωt = x0 cos ωt y = ky V2 = ky V20 cos (ωt+ϕ) = y0 cos (ωt+ϕ) En estas expresiones debe observarse que kx y ky representan los factores de escala utilizados para los ejes X e Y, respectivamente, y que estos pueden ser iguales o no serlo de acuerdo con las conveniencias concretas de cada experiencia. Por otro lado, los valores xo (= kx V10 ) e yo (= ky V20 ) representan las amplitudes de los M.A.S. correspondiente a las dos señales de entrada. Tal como se observan en la pantalla del osciloscopio, es evidente que sea cual sea la trayectoria resultante obtenida como superposición de los dos M.A.S. ésta se encontrará confinada en el interior de un rectángulo de lados 2 xo (en horizontal) y 2 yo (en vertical). Vamos a encontrar la ecuación de la trayectoria, para lo cual las ecuaciones anteriores se ponen en la forma: x y = cos ω t = cos (ω t + ϕ ) y0 x0 La ecuación de la trayectoria se encuentra eliminando el tiempo entre ellas: 2 2 x + y - 2 x y cos ϕ = sen 2 ϕ 2 2 y0 x0 x0 y 0

que en el caso más general representa una elipse, cuya forma depende de la diferencia de fase ϕ.

Y C 2 y0

A

B

D 2 x0 Figura 1.2

X

18 La diferencia de fase se va a determinar a partir de los puntos de corte de la elipse con los ejes X o Y. En efecto, cuando x = 0 (puntos de corte con el eje Y), se deduce de la ecuación de la trayectoria que: y = ± y0 sen ϕ Análogamente, cuando y = 0 (puntos de corte con el eje X): x = ± x0 sen ϕ En consecuencia, sen ϕ =

Distancia puntos de corte eje X 2 x0

=

Distancia puntos de corte eje Y 2 y0

Práctica Conéctese el circuito que se indica en la figura 1.3 Teóricamente, se demuestra que cuando se conectan en serie un condensador C y una resistencia R, al generador de señal sinusoidal, la intensidad de la corriente es también sinuoidal, de igual frecuencia, pero desfasada respecto de la tensión un ángulo ϕ. Es decir: si la tensión del generador es : V = V0 cos ωt La intensidad es:

I = I o cos (ω t − ϕ )

donde el desfase ϕ viene dado por la expresión:

tg ϕ =

1 2π f R C

La determinación experimental de este desfase por el método de la elipse se hace llevando a las placas verticales la tensión del generador y a las placas horizontales la

Figura 1.3

19 diferencia de potencial en bornes de la resistencia, proporcional a la intensidad. ( = R I) Como se desea ver una composición de dos señales perpendiculares, debe suprimirse el barrido del aparato, por lo que se colocará este en la posición X-Y. Con los mandos de amplificación horizontal y vertical se consigue una elipse que ocupe una buena parte de la pantalla y que esté centrada sobre esta. Mídanse en la pantalla las amplitudes de la señal horizontal (2 x0) y de la vertical (2 y0), y determínense sobre ella los puntos de corte de la elipse con los ejes X (distancia AB) e Y (distancia CD) Determínese el desfase ϕ a partir de las siguientes expresiones:

sen ϕ =

AB 2 x0

;

sen ϕ =

CD 2 y0

A partir del valor medio de sen ϕ , calcular el valor del desfase ϕ. El error del sen ϕ puede calcularse a partir de la expresión:

∆ sen ϕ ∆( AB) ∆(2 x 0 ) = + sen ϕ AB 2 x0 donde puede estimarse que ∆ (AB) ≈ ∆ (2 x0) ≈ 2 mm Si hacemos u = sen ϕ, al diferenciar: ∆u = cos ϕ ∆ϕ, luego

∆ϕ =

∆(sen ϕ ) ∆(sen ϕ ) = tg ϕ cos ϕ sen ϕ

Compárese el valor de ϕ con el valor teórico que se obtiene al aplicar la fórmula:

tg ϕ =

1 2π f R C

El error relativo de tg ϕ será:

∆ tg ϕ ∆f ∆R ∆C = + + tg ϕ f R C y de igual modo que antes, haciendo u = tg ϕ y diferenciando: ∆u =

∆ϕ = cos 2 ϕ ∆(tg ϕ ) = sen ϕ cos ϕ

1 cos 2 ϕ

∆ϕ , luego:

∆(tg ϕ ) 1 ∆(tg ϕ ) = sen 2ϕ tg ϕ 2 tg ϕ

20

21 1.2

ESTUDIO DEL RÉGIMEN AMORTIGUADO

Material Osciloscopio de rayos catódicos. Generador de señal cuadrada. Placa de componentes.

Objeto Estudio de oscilaciones amortiguadas en un circuito R, L, C serie. Casos posibles en función del amortiguamiento del sistema. Teoría Un resorte de constante k tiene un extremo fijo y en el otro está sujeta una partícula de masa m. El resorte cuelga verticalmente. Inicialmente puede considerarse que se halla en equilibrio, de manera que el peso de la partícula está equilibrado con la fuerza que ejerce el resorte en sentido contrario mg = k x0 donde x0 es el alargamiento del resorte.

k

Si en estas condiciones, se desplaza la partícula de modo que el alargamiento del resorte sea ahora x ( > x0), se rompe el equilibrio y la fuerza resultante será la suma de: la fuerza recuperadora del resorte (- k x) y de la fuerza del campo gravitatorio (m g): ma=mg-kx Escrita en forma de ecuación diferencial sería:

m

d 2x dt 2

m X

+ k x = mg

cuya solución es: x = A cos (ωt + ϕ) siendo A y ϕ dos constantes de integración. A corresponde a la amplitud del movimiento y ϕ es la fase en el instante inicial. La amplitud depende de la energía del sistema y ϕ del instante en que se empezó a contar el tiempo. La pulsación ω está relacionada con el periodo de las oscilaciones (ω= 2 π/T) y está determinada por las constantes de la ecuación diferencial de manera que ω =

k m

En este caso, se dice que la partícula m realiza "oscilaciones armónicas"

22 Si la partícula se mueve en un medio viscoso que ofrece una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, la ecuación de fuerzas sería: ma=mg-kx-λv Escrita en forma de ecuación diferencial sería:

m

d 2x dt

2

+λ

dx + k x = mg dt

(1-2-1)

Esta ecuación es análoga a la que se encuentra en electromagnetismo al estudiar la carga almacenada en un condensador, en serie con una autoinductancia L y una resistencia óhmica R, cuando el circuito se conecta a un generador de onda cuadrada. Consideremos un circuito R,L,C serie conectado a un generador de señal cuadrada, cuyo periodo es Tg (fig.1.2.1)

VR

R

Generador de señal cuadrada

V

L

t

VL

C

VC Figura 1.2.1

Durante el intervalo 0 < t < Tg/2, la tensión del generador es constante y su valor es V, de modo que:

Q dI   V + − L  = R I + dt  C  O bien:

V =L Teniendo en cuenta que I =

Q dI +RI + dt C

dQ , la expresión anterior queda: dt d 2Q dQ 1 L 2 +R + Q =V dt C dt

donde V, L, R y C son constantes.

(1-2-2)

23 que es totalmente análoga a la ecuación diferencial mecánica (1-2-1), pudiendo establecerse el cuadro de analogías: x→Q m→L λ→R k→ 1/C mg→V

desplazamiento de la partícula, x masa de la partícula, m factor de amortiguamiento, λ constante del resorte, k peso de la partícula, m g

carga en el condensador, Q autoinducción del inductor, L resistencia del circuito, R capacidad del condensador, C tensión del generador, V

La solución de esta ecuación diferencial de 2º orden, con coeficientes constantes, es del tipo:

Q = Q0 + A1 e r1t + A2 e r2t L r2 + R r +

siendo r1 y r2 las raíces de la ecuación cuadrática:

R − r2 = − 2L

(1-2-3)

1 =0 C

2

 R  1   − LC 2L

sustituyendo en (1-2-3):



Q = Q0 + e

2

 R  1   − t − 2L  LC  + A2 e  A1 e

R  − t 2L 

  R  1   − t  LC   2L  2

  

 (1-2-4)   

donde A1 y A2 son dos constantes de integración que se calculan a partir de las condiciones iniciales del circuito. Esta es la solución general de la ecuación que corresponde a lo que se denomina habitualmente: "régimen transitorio". Como se aprecia en la ecuación, el segundo término, −

gobernado por el término e anterior se reduce a:

R t 2L

, se anula al cabo de un cierto tiempo, y la ecuación Q = Q0

en este caso, se dice que el sistema se halla en "régimen permanente". De acuerdo con la ecuación 4-1, al tomar la carga un valor constante, debe cumplirse que Q0 =CV Para simplificar la notación, escribiremos:

ω0 =

1 LC

( 1)

(1-2-5)

que sería la pulsación natural, es decir la pulsación que tendrían las oscilaciones en el caso hipotético de que no hubiese resistencia en el circuito

(1)

En la analogía mecánica: ω 0 =

k m

24 γ =

y

R 2L

( 2)

(1-2-6)

que viene a indicar el grado de “amortiguamiento” del sistema

La solución Q = Q(t) presenta tres casos, según el grado de amortiguamiento: 1º)

γ < ω0 (oscilador amortiguado) Las raíces r1 y r2 son complejas. La ecuación (1-2-4) puede escribirse ahora como:

Q = Q0 + e − γ t A cos (ω t + θ )

(1-2-7)

donde A y θ se determinan a partir de las condiciones iniciales ( 3) y

ω = ω 02 − γ 2

(1-2-8)

La ecuación (1-2-7) indica que el condensador se carga de manera periódica (T = 2 π/ω), si bien en cada “pseudoperiodo” sucesivo la carga máxima es menor, disminuyendo exponencialmente con el tiempo (A e-γt) . Para medir la mayor o menor rapidez con que tiene lugar esta disminución, se define un parámetro denominado “decremento logarítmico”, como el logaritmo neperiano del cociente entre dos valores sucesivos de la carga máxima:

An A e −γ t δ = ln = ln =γT An +1 A e − γ (t + T )

(1-2-9)

Finalmente, el condensador se queda cargado con Q = Q0 = C V (figura 1.2.2) ( 4)

λ

(2)

En la analogía mecánica: γ =

(3)

Así, p.ej. si suponemos que inicialmente, el condensador está descargado y que la intensidad de la corriente en el circuito es nula, quedaría: Q = 0 = Q0 + A cos θ,

2m

I=0= −

R A cos θ − ω A sen θ 2L

de donde puede despejarse el valor de A y el de θ (4)

En la analogía mecánica: después de algunas oscilaciones amortiguadas, el resorte queda alargado x0 =

mg k

Carga en el condensador, Q

25

γ > ω0 γ = ω0

Q0

γ < ω0 Tiempo, t Figura 1.2.2

2º)

γ = ω0 (amortiguamiento crítico) La solución general de la ecuación 1-2-4 es ahora del tipo:

Q = Q0 + e − γ t ( A1 + A2 t

)

(1-2-10)

es decir, la carga del condensador ya no oscila, sino que alcanza rápidamente el valor Q0, según se aprecia en la figura 1.2.2

3º)

γ > ω0 (sistema sobreamortiguado) Las raíces r1 y r2 serían ahora reales y la ecuación 1-2-4 quedaría:

 γ 2 − ω 02 t − γ 2 − ω 02 t  + A2 e Q = Q0 + e − γ t  A1 e   

(1-2-11)

Al igual que en el caso anterior, la carga del oscilador no oscila sino que tiende al valor Q = Q0 de un modo más lento, como se aprecia en la figura 1.2.2

26 En el intervalo Tg/2 < t < Tg, la tensión del generador es V = 0, y por tanto:

0=L

Q dI +RI + dt C

(1-2-12)

La ecuación diferencial es ahora:

0=L

d 2Q

+R

dt 2

dQ 1 + Q dt C

(1-2-13)

y de modo análogo al caso anterior, se demuestra que la solución es:

Q=e

R − t 2L

  A e  1  

2

 R  1   − t LC  2L 

     

2

+ A2 e

 R  1  − t −  LC  2L 

(1-2-14)

donde A1 y A2 son dos constantes de integración que se calculan a partir de las condiciones iniciales del circuito. Al cabo de cierto tiempo la carga del condensador se hará igual a cero. Ahora bien, la descarga del condensador depende del amortiguamiento del sistema. De modo análogo al caso anterior, se cumple que: 1º)

γ < ω0 (oscilador amortiguado)

Q = A e −γ 2º)

cos (ω t + θ )

t

γ = ω0 (amortiguamiento crítico)

Q = ( A1 + A2 t 3º)

(1-2-15)

)

e −γ

t

(1-2-16)

γ > ω0 (sistema sobreamortiguado)

Q = e −γ

t

 γ 2 − ω 02  A1 e 

t

+ A2 e

− γ 2 − ω 02 t

  

(1-2-17)

En la figura 1.2.3 se representa el proceso de carga y descarga del condensador, supuesto inicialmente descargado, en los tres casos indicados, durante un periodo del generador. Q

T

Q0

t Tg/2

Figura 1.2.3

Tg

27 Práctica

Estudios de distintos casos, según el amortiguamiento del sistema. Conéctese el circuito de la figura 1.2.4, llevando a las placas verticales del osciloscopio la señal en bornes del Horizontales Verticales condensador, que es proporcional a la carga del mismo (VC = Q/C). Seleccionar los valores de R, L y C para que en la pantalla se observe la señal amortiguada. Para ello, conviene utilizar una frecuencia del generador alrededor de los 500 Hz (Tg = 1/500), un condensador de 1 nF y resistencias comprendidas entre 300 y 10.000 ohmios.

Generador señal

V

VC

Figura 1.2.4

Deben observarse en la pantalla del osciloscopio los tres casos indicados en la teoría: oscilatorio, crítico y sobreamortiguado, en función de la resistencia. Hacer una primera estimación del valor de la resistencia para la cual el sistema está en la situación "crítica". Partiendo de valores pequeños de R, incrementar poco a poco su valor hasta que dejen de apreciarse oscilaciones en la figura de la pantalla del osciloscopio, momento en el que se alcanza dicha condición.

Oscilaciones amortiguadas. Con el mismo circuito del caso anterior, para resistencias comprendidas entre 0 y la resistencia crítica, estimada en el caso anterior, mídase para cada una de ellas: -

el pseudoperiodo T, utilizando la base de tiempos del osciloscopio (comprobar que el botón interior del mando se encuentra en la posición CAL).

-

el decremento logarítmico δ, a partir de las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas (ec. 1-2-9).

A partir de dichos valores, calcular el valor de γ (= δ/T) para cada resistencia y representar la función γ = γ (R) Teóricamente la función γ =

1 R (ec. 1-2-6) debería ser una función lineal que pasara 2L

por el origen, sin embargo el ajuste por mínimos cuadrados debe hacerse para una función del tipo y = ax +b, pues en el circuito hay otras resistencias, como p.ej. la propia de la bobina.

28 A partir de la pendiente de dicha recta,  1  , calcular el valor de la autoinducción  2L  de la bobina. Conocida L y la capacidad del circuito calcular la pulsación ω0 y la frecuencia de resonancia f0 = ω0 /2π.

29 1.3

ESTUDIO DEL REGIMEN FORZADO. RESONANCIA

Material Osciloscopio de rayos catódicos. Generador de señal sinusoidal. Placa de componentes.

Objeto Estudio de oscilaciones forzadas en un circuito R, L, C serie, en régimen permanente. Resonancia.

Teoría En el resorte de la práctica anterior se aplica una fuerza, variable sinusoidalmente con el tiempo, al extremo que tenía sujeto (Ver figura 1.3.1)

F0 cos ωt

Para mayor sencillez matemática, supondremos que el eje X tiene ahora su origen en la posición de equilibrio del resorte ( x0 =

mg ). k

k x0

La ecuación dinámica es ahora: m a = m g - k (x+x0) - λ v + F0 cos ωt

m X

que se reduce a: m a = - k x - λ v + F0 cos ωt

Figura 1.3.1

Escrita en forma de ecuación diferencial sería:

m

d 2x dt

2

+λ

dx + k x = F0 cos ω t dt

(1-3-1)

Esta ecuación es análoga a la que se encuentra en electromagnetismo al estudiar la carga almacenada en un condensador, en serie con una autoinductancia L y una resistencia óhmica R, cuando el circuito se conecta a un generador de onda sinusoidal.

30 Cuando el circuito R,L,C serie se conecta a un generador de señal sinusoidal:

dI Q L + R I + = V0 cos ω t dt C

R

Generador de señal sinusoidal

(1-3-2)

L

V = V0 cos ω t

C

O bien:

L

dQ 1 d 2Q +R + Q = V0 cos ω t 2 dt C dt

(1-3-3) Figura 1.3.2

Al comparar las ecuaciones (1-3-3) y (1-3-1) puede establecerse el siguiente cuadro de analogías: desplazamiento de la partícula, x

x→Q

carga en el condensador, Q

masa de la partícula, m

m→L

autoinducción del inductor, L

factor de amortiguamiento, λ

λ→R

resistencia del circuito, R

constante del resorte, k

k→ 1/C

capacidad del condensador, C

Fuerza externa, F0 cos ωt

F→V

tensión del generador, V0 cos ωt

La solución general de la ecuación (1-3-3) es:

Q = Q0 cos (ω t + θ ) + e

R − t 2L

  A e  1  

2

 R  1  −  t 2 L L C  

−

Si se espera suficiente tiempo, el término e solución se reduce al término:

2

+ A2 e

R t 2L

 R  1  − −  t 2 L L C  

     

se hace muy pequeño y la

Q = Q0 cos (ω t + θ ) cuando esto ocurre, se dice que se ha alcanzado el régimen permanente.

(1-3-4)

31 En estas condiciones, el generador obliga al condensador a oscilar con su propia frecuencia, ω ( 5), y la carga del condensador alcanza un cierto valor máximo, Q0, y está desfasada respecto a la tensión del generador en un valor θ. Estos valores, Q0 y θ, pueden obtenerse haciendo que la solución dada verifique la ecuación 1-3-3, obteniéndose :

Vo

Qo =

 1   R 2 +  ω L − ωC  

ω

t gθ =

2

R

(1-3-5)

1 ωL− ωC

que puede también expresarse como:

Vo

Qo =

ω

t gθ =

 1   R +  ω L − ωC  

2

Vo

=

R

ωL−

1 ωC

=

2γ ω

ω

2

1  R2    + − ω  ω LC  L2 

ωL

2

donde ω 0 =

−ω 02

1 LC

2

Vo / L

=

(

4 γ 2ω 2 + ω 2 −ω 02

)2 (1-3-6) ( 6)

γ =

y

R 2L

Como puede observarse, tanto la amplitud Q0 como su fase inicial, θ , dependen de la frecuencia ω. Mediante un cálculo sencillo se puede demostrar que la amplitud toma un valor máximo cuando:

ω res =

R2 1 − L C 2 L2

= ω 02 − 2 γ 2

(1-3-7)

que se denomina "pulsación de resonancia" del circuito. En la figura 1.3.3 se representan la carga máxima del condensador Q0, y el desfase θ, en función de ω. Se aprecia que los máximos se desplazan hacia la izquierda de la figura, de acuerdo con la expresión (1-3-7). En el caso hipotético de que la resistencia fuese nula (R = 0 ⇔ γ = 0) la amplitud Q0 se haría infinita para ω = ω0 (5)

En consecuencia, en el circuito se produce una intensidad de corriente "alterna", de valor : I = dQ/dt = Q0 ω cos (ω t + θ + π/2), desfasada respecto a la tensión del generador

(6)

En la analogía mecánica:

xo =

Fo / m

(

4 ω 2γ 2 + ω 2 −ω 02

)2

;

t gθ =

2γ ω

ω

2

−ω 02

donde ω 0 =

k m

y

γ =

λ 2m

32

R=0

Desfase θ

Carga máxima del condensador

0

R1> R2> R3

R3

−π/2

R2 R1

−π

ω

ω0

ω0

ω

Figura 1.3.3

Factor de calidad, Q En un sistema oscilante con amortiguamiento se define el "factor de calidad, Q"

Q = 2π

Energía almacenada Energía media disipada en cada oscilación

de manera que cuando un sistema pierde muy poca energía, porque tiene muy poco amortiguamiento, su Q será muy alta y al contrario. En sistemas con amortiguamiento débil, se demuestra que:

(7)

Q≅

ω0 7 ( ) (1-3-8) 2γ

En régimen permanente:

1 Q02 Energía almacenada = 2 C T

Energía disipada en un periodo =

∫

T

R I 2 dt =

0

Q02

Q = 2π

1 2 C

R ω 2 Q02

T 2

=ω

∫

R ω 2 Q02 sen 2 (ωt + θ ) dt = R ω 2 Q02

0

1 C

R ω2

1 ω ω02 C = = ≅ 0 2γ Lω 2γ ω 2γ

T 2

33 El factor de calidad puede calcularse a partir de la relación entre la carga máxima del condensador cuando ω = ωres y la carga del condensador cuando ω = 0:

Vo / L

(Qo )ω =ω res = (Qo )ω = 0 =

(

2 2 + ω res − ω 02 4 γ 2ω res

)2

=

(

Vo / L

) ( )2

=

4 γ 2 ω 02 − 2γ 2 + 2γ 2

Vo / L

(

4 γ 2 ω 02 − γ 2

Vo / L

ω 02 (1-3-9)

Si consideramos un caso de amortiguamiento débil (γ nb , [ por ejemplo al pasar del agua (n2) o el plástico (n1) al aire (n0) ], sucederá que θb siempre será mayor que θa. El máximo valor que puede alcanzar θb es de 90º. A este caso límite para el ángulo de refracción, le corresponde un ángulo de incidencia que recibe el nombre de ángulo crítico o límite θL , na sen θL = nb sen 90º, o sea na sen θL = nb

Figura 2.1.3

siendo, por tanto, su valor sen θ L =

nb

[2]

na

Para ángulos de incidencia θa > θL la ecuación [ 1 ] carece de solución real para θ2 luego no puede haber rayo refractado; solo se podrá producir reflexión en la superficie de separación, fenómeno que recibe el nombre de Reflexión total. La expresión [ 2 ] aplicada al sistema agua ( n2 ) –aire o plástico ( n1 ) -aire se puede poner, respectivamente, sen θ L 2 =

1 n2

y sen θ L1 =

1 n1

[3]

donde n2 es el índice de refracción del agua y n1 el del plástico, mientras que θL2 y θL1 son los ángulos límites de los sistemas agua-aire y plástico-aire, respectivamente.

53 Por consiguiente, a partir de la medida en el Laboratorio del ángulo límite θL para el sistema agua-aire o para el sistema plástico-aire, y por aplicación de la fórmula [ 3 ], se pueden determinar los índices de refracción del agua y del plástico, respectivamente.

Práctica.

Figura 2.1.4

Repita la construcción del equipo de medida tal como lo hizo para la determinación del índice de refracción a partir de la ley de Snell (Apartado 2.1.1 ). Sitúe la lente sobre el disco de Hartl como indica la Figura 2.1.5. Observe que el haz de luz incide ahora normalmente a la cara curva, que es una semicircunferencia. Por lo tanto, no se va a producir ninguna desviación del rayo al incidir en la citada cara, si el sistema está bien centrado. Coloque la cara plana de la lente coincidiendo con el eje 90º - 270º y haga incidir el rayo de luz a lo largo del eje 0º - 180º. Tampoco ahora se producirá desviación del haz en la cara plana de salida. Comience a girar lentamente el disco de Hartl en un sentido. Observe como para ángulos de incidencia pequeños se producen un haz reflejado y 0 otro refractado en la cara plana. Al continuar aumentando el ángulo de incidencia girando el disco de Hartl, θθLi llegará un momento en que desaparecerá HAZ el rayo refractado y solo se producirá θr rayo reflejado en la cara plana. En este momento al ángulo de incidencia es el 180 ángulo límite θ L1 del sistema plásticoaire. Repita todo el procedimiento Figura 2.1.5 anterior sustituyendo la lente de plástico por la cubeta semicircular llena de agua. Obtendrá así el ángulo límite θ L2 del sistema agua-aire.

Cálculos De acuerdo con los resultados experimentales del párrafo anterior, el índice de refracción del plástico será n1 =

1 sen θ L1

[4]

54 Estimemos el error angular producido por la lectura del limbo angular en el disco de Hartl Δ θ L1 y determinemos Δ n1 por propagación de errores a partir de la fórmula [ 4 ]. Diferenciando se obtiene − cos θ L1 d n1 = d θ L1 sen 2 θ L1 Pasando a nomenclatura de propagación de errores, una estimación del error absoluto de n1 será = ∆ n1

cos θ L1 sen 2 θ L1

∆ θ L1

[5]

Y el error relativo correspondiente ε r 1 será ∆ n1 = n1

= ε r1

∆ θ L1

[ 6

tg θ L1

] Siguiendo el mismo proceso de cálculo empleado para el plástico, determine el índice de refracción del agua n2 y una estimación de su error. Construya una Tabla con los resultados obtenidos. Índices de refracción a partir del ángulo límite plástico ( n1 ± Δ n1)

agua ( n2 ± Δ n2 )

±

±

Discusión Discuta comparativamente los resultados y los errores obtenidos empleando los dos procedimientos experimentales.

Advertencias La lámpara de la fuente luminosa es de 12 V y debe ir conectada al transformador de alimentación. No la conecte en ningún caso directamente a la red. Manténgala encendida solo cuando sea preciso. Es muy importante que el sistema este correctamente alineado cuando se efectúan las medidas.

55 2.2

EL BANCO DE OPTICA

Material Un banco de óptica con los accesorios necesarios. Una lente convergente y una lente divergente

Objeto Determinación de la potencia de una lente convergente y de lente divergente.

Repaso de algunos conceptos teóricos Sistema óptico .- Conjunto de medios transparentes que desvían de alguna manera los rayos luminosos que le llegan.

A’

Imagen real.Si después de atravesar el sistema óptico, los rayos se cortan en un punto A', tal que colocada una pantalla en dicho lugar se observa un punto brillante, diremos que el punto A' es imagen real del objeto A. (Fig.2.2.1) A

Figura 2.2.1

Imagen virtual.- Cuando los rayos que emergen del sistema óptico no se cortan en un punto, se dice que la imagen es virtual, y que se halla allí donde se cortan las prolongaciones geométricas de los rayos (Fig.2.2.2)

A

A’

Figura 2.2.2

56 Sistema óptico centrado.- Cuando los centros de curvatura de todos los medios transparentes que integran el sistema óptico se hallan situados en una línea recta "eje óptico", se dice que es "centrado". Foco imagen.- Si el punto objeto se aleja hasta el infinito, los rayos procedentes de él incidirán paralelamente al eje óptico sobre el sistema centrado. El punto en el que concurren los rayos emergentes (o sus prolongaciones) se denomina "foco imagen", F'.

F’

F’

Figura 2.2.3

Foco objeto.Cuando los rayos que salen del sistema óptico lo hacen paralelamente al eje óptico, se dice que el objeto está situado en el "foco objeto" F.

Figura 2.2.4

F

Figura 2.2.5 Lente.- Es un sistema óptico constituido por un medio transparente limitado por dos superficies esféricas. En este simple estudio que aquí se aborda, consideraremos que son "lentes delgadas", es decir de espesor muy pequeño.

Distancias focales de una lente.- Son las distancias entre el centro de la lente y cada uno de los focos. Llamaremos f' a la distancia focal imagen y f a la distancia focal objeto.

Lente convergente.-

Lente divergente .-

Cuando el foco imagen se encuentra a la derecha de la lente, f' > 0.

Si el foco imagen está a la izquierda de la lente, f' < 0

Potencia de una lente .- Se define como potencia de una lente a la inversa de la distancia focal imagen: D = 1/f' . La potencia se mide en "dioptrías" cuando la distancia focal imagen se expresa en metros.

57 Convenio de signos.- Existen diferentes convenios de signos para las distancias y los ángulos, aunque dos de ellos son los más comúnmente utilizados. En la tabla siguiente se esquematiza el convenio seguido el caso de lentes y dioptrios, considerándose que el punto O es el vértice de la superficie reflectante o refractora.

1.-

Se supondrá que la luz viaja de izquierda a derecha del banco óptico

2.-

La distancia objeto (s) se considera positiva cuando el objeto se encuentra a la izquierda de O (s>0, objeto real)

3.-

La distancia focal objeto (f) se considera positiva cuando el foco objeto se encuentra a la izquierda de O

4.-

La distancia imagen (s') se considera positiva cuando la imagen se encuentra a la derecha de O

5.-

La distancia focal imagen (f') se considera positiva cuando la imagen se encuentra a la derecha de O

6.-

Los radios de curvatura son positivos cuando el centro de curvatura está a la derecha de O (R>0 , superficie convexa; R