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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación

MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ECONÓMICA, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA NAVAL, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA MECÁNICA, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA DE TRANSPORTE

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima – Perú

© MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL Desarrollo y Edición

:

Elaboración del TINS :

Vicerrectorado de Investigación Lic. José SANTA CRUZ DELGADO

Diseño y Diagramación: Julia Saldaña Balandra Soporte académico

:

Instituto de Investigación

Producción

:

Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

2

“El presente material contiene una compilación de obras de Física General publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

4

Presentación El presente Manual está diseñado teniendo en cuenta la teoría cognoscitiva de construcción del conocimiento, tomando como base los fundamentos teóricos impartidos en aula, en el curso de Física General. En este marco, es grato presentar a los estudiantes de Ingeniería el presente documento académico denominado: MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL, en su primera edición. Documento en el cual están diseñados claramente las diversas prácticas experimentales que facilitarán la comprensión de conocimientos; dominio y manejo de equipos e instrumentos; y uso de materiales en las prácticas relacionados con los diversos tópicos que se desarrollarán en el Curso de FÍSICA GENERAL. La metodología de desarrollo de Prácticas en los diferentes temas experimentales ha sido establecido, para estudiantes de Ingeniería; teniendo como base el aprendizaje previo de las ideas teóricas básicas. Así mismo, como soporte didáctico se ha tomado en cuenta los textos indicados en la referencia bibliográfica de cada Práctica de Laboratorio; para facilitar la comprensión de los temas teóricos impartidos en aulas, en interrelación con las prácticas. Al cerrar estas líneas el reconocimiento personal al profesor José Santa Cruz Delgado, quien con constancia, empeño pertinaz y calidad académica ha propiciado y construido el presente Manual. Finalmente, el reconocimiento al Licenciado Richard Medina Calderón por su apoyo en la complementación de algunos experimentos.

Lucio H. Huamán Ureta Vicerrector de Investigación

"Todo debe hacerse lo más sencillo posible, pero no más simple" ALBERT EINSTEIN

6

Índice EXPERIMENTOS ANÁLISIS DE FUNCIONES 1. Graficas de Funciones ................................................................... 2. Ajuste de Curvas ............................................................................

09 31

TEORÍA DE MEDICIONES 3. Mediciones, Cálculo de errores y su propagación .........................

47

MECÁNICA - CINEMÁTICA 4. Movimiento Rectilíneo Uniforme .................................................... 5. Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado ................................... 6. Movimiento Compuesto – Movimiento de un Proyectil .................. 7. Movimiento Circular Uniforme ........................................................

65 75 87 97

MECÁNICA - ESTÁTICA 8. Primera Condición de Equilibrio ..................................................... 9. Segunda Condición de Equilibrio ................................................... 10. Centro de Gravedad de Figuras Planas.........................................

107 121 131

TRABAJO 11. Trabajo en un Plano Inclinado........................................................

143

ANEXOS 1. Gráficas y Análisis de Funciones ................................................... 2. Mediciones, Cálculo de Errores y su Propagación......................... 3. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado ............................. 4. Fuerza Centrípeta .......................................................................... 5. Fuerza Normal y a lo largo de un Plano Inclinado .........................

149 169 175 181 189

APÉNDICE A: Formulario ...................................................................................... B: Prefijos y Unidades ........................................................................ C: Constantes Físicas......................................................................... D: Datos Gráficos ............................................................................... E: Uso del Software Logger Pro ......................................................... F: Glosario..........................................................................................

195 203 211 215 223 229

MODELO DE ESTRUCTURA DE INFORMES............................................ REGLAMENTO INTERNO DEL LABORATORIO DE FÍSICA....................

233 235

Manual de Laboratorio de Física General

ANÁLISIS DE FUNCIONES Gráficas de Funciones

Práctica de Laboratorio Nº 01

Tópicos Relacionados Ecuación de una recta, variable dependiente, variable independiente, constante, pendiente de una recta, función, relación, parábola, hipérbola. 1.

Objetivos 1.1

1.2 1.3 2.

Equipos y Materiales -

3.

Obtener correctamente gráficas de un conjunto de datos experimentales, realizar el análisis correspondiente y descubrir el comportamiento de un fenómeno físico a partir de estas gráficas. Aprender el uso adecuado de los diferentes papeles gráficos: milimetrado, logarítmico y semilogarítmico. Aprender y practicar el uso de calculadoras científicas y hojas de cálculo.

Tres (03) hojas de papeles gráficos milimetrados. Tres (03) hojas de papeles gráficos semilogarítmico. Tres (03) hojas de papeles gráficos logarítmicos. Una (01) calculadora científica (personal). Una (01) regla 0,30 m, 1/1000 m.

Fundamento teórico 3.1

Tabla de Datos.- Para investigar la relación entre dos cantidades físicas en el laboratorio, debemos realizar mediciones experimentales las cuales nos proporcionarán por lo menos dos listas de números a los cuales les llamaremos datos. Estos datos se organizan en forma de tablas con sus respectivas columnas o filas y adoptan el nombre de Tabla de Datos Experimentales.

3.2

Gráficas.- La función del experimentador es descubrir la relación que existe entre las dos columnas de una tabla de datos experimentales. Una forma conveniente de establecer 9

Manual de Laboratorio de Física General esta relación es mediante una representación gráfica de tales datos. Para construir una gráfica, debemos ayudarnos con un plano cartesiano donde la recta horizontal es denominada eje de abscisas y la vertical, eje de las ordenadas. A continuación enunciaremos algunos conceptos que serán necesarios para familiarizarnos con una gráfica: Función: Una cantidad y (variable dependiente) es función de otra cantidad x (variable independiente), si su valor se determina por el valor de la variable x. Una función se expresa matemáticamente de la forma y = f ( x ) , y nos dice “ y depende de x ” o “ y es una función de x ”. Como ejemplo, tomemos el módulo de la velocidad en función del tiempo, cuya expresión sería v = f (t ) . Variables: Son las cantidades físicas que intervienen en el experimento y cuyo comportamiento se desea estudiar. Como se mencionó arriba, estas pueden ser: ƒ

ƒ

Variable Independiente: Es la variable que podemos controlar, y que podemos variar en un proceso experimental. Dos ejemplos típicos en Física son el tiempo y la masa. Variable Dependiente: Es aquella variable cuyo valor depende del que toma la variable independiente.

Constantes: Son aquellas que toman un valor fijo, no cambian nunca durante el experimento ni en la formula o ecuación planteada. Papel gráfico milimetrado: Es un papel que en dirección horizontal y vertical, esta dividido en segmentos de 1 mm de longitud. Por su fácil uso se aplica a todas las funciones (Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación Gráfica). Papel semilogaritmico: Es un papel que en dirección vertical esta dividido en segmentos de escala logarítmica y en dirección horizontal esta dividido en escala milimétrica (Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación

10

Manual de Laboratorio de Física General Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están relacionados por una función de tipo Exponencial: Papel logarítmico: Es un papel que en dirección horizontal y vertical está dividido en segmentos en escala logarítmica con la particularidad de que cada segmento esta en una proporción de orden 10 con respecto al segmento anterior (Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están relacionados por una función de tipo Potencial:

3.3

Pasos a seguir para construir una gráfica 3.3.1 Seleccionar y denominar las escalas y coordenadas adecuadas Ubicaremos las variables dependientes paralelos al eje Y y las variables independientes paralelos al eje X. Escogemos una escala de modo que un cuadro sea múltiplo de 1, 2, 5, 10 (puede ser de 4) unidades de manera que la gráfica se lea con facilidad. Dibujamos las escalas a uno o dos cuadros del margen de cada eje y enumeramos las escalas de manera que la curva resultante no este confinada a un área pequeña de la grafica. No es esencial que la gráfica contenga el punto ( 0 , 0 ). Por ejemplo puede comenzar desde el punto ( 0 , 8 ), pero si debe estar ubicado y escrito este punto en la grafica. La división más pequeña de la grafica debe ser menor o igual al límite de error de los puntos que se localice. Marque las coordenadas de cada eje. Asigne magnitudes y unidades. No marcar todos los cuadros. Marcar cada 2, 4 ó 5 (cinco es recomendado).

11

Manual de Laboratorio de Física General

T (ºC)

GRAFICA Nº 1: 40

+

+

+

Calor latente de fusión

+

Temperatura en función del tiempo

35

R. Medina 13/06/06

+ +

30

Escalas Eje X:

+

25

1 mm = 2 s Eje Y: 1 mm = 2 ºC

+

20

+

15

+

+

10

+ +

+

5

0 2

4

6

8

10

12

14

16

t (min)

Figura Nº 1: Ejemplo de grafica del experimento de calor latente de fusión

3.3.2 Localizar los puntos que representan los datos en el papel gráfico. Se deben localizar los puntos determinados experimentalmente usando líneas horizontales y verticales en la forma de un signo “+”, que permite considerar una coordenada cada vez. Si trazamos mas de una curva en un papel gráfico, se deben usar diferentes símbolos (líneas “+”, puntos, etc.) para cada grafica diferente y si es posible, usar diferentes colores. Hacer una Leyenda respectiva.

12

Manual de Laboratorio de Física General 3.3.3 Ajustar la curva entre los puntos (se verá en el siguiente laboratorio). (Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación Gráfica) 3.3.4 Preparar el título y la descripción del gráfico. El titulo se debe colocar dentro del margen del papel gráfico en una posición que no interfiera con la curva. El titulo debe incluir una descripción minuciosa del propósito de la grafica, además deben estar enumeradas correlativamente. El contenido exacto de la descripción depende de las políticas del docente o departamento. (Como ejemplo, ver Figura Nº2)

3.4

Principales Funciones 3.4.1 Función Lineal: Una función es lineal cuando la variable independiente aparece elevada a la primera potencia, se representa en la forma:

y = m⋅ x +b m =

(1)

Δy , es la pendiente de la recta (2) Δx

b es el intersecto de la recta con el eje

y cuando x = 0

3.4.2 Función Cuadrática: Una función es cuadrática cuando la variable independiente esta elevada al cuadrado, se representa de la siguiente manera:

y = a + bx + cx 2

a , b, c :

13

Constantes.

(3)

Manual de Laboratorio de Física General

70 65

GRAFICA Nº 2: Movimiento Rectilíneo Uniforme

60 55 50 45 espacio (m)

40 35

Δe = 35 m 30 25

Donde: m = 3.5 b = 4.6

20 15 10

Escala: tiempo (s) : 1 cm < > 2 s espacio (m) : 1 cm < > 5 m

Δt = 10 s

5

b 0 0

2

4

6

8

10

12

tiempo (s) Figura Nº 2: Función lineal

14

14

16

18

20

Manual de Laboratorio de Física General

GRAFICA Nº 3: Curva Parabólica (Función Cuadrática) 60 55

Y = 2 – X + 2 X2

50 45 40 35 Y

30 25 20 15 10

Escala: X (u1) : 1 cm < > 1 u1 Y (u2) : 1 cm < > 5 u2

Donde: a= 2 b = -1 c= 2

5 0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

X Figura Nº 3: Función Cuadrática

Un ejemplo de Función Cuadrática es el descrito por la trayectoria del movimiento de proyectiles En la Figura Nº 4 se muestra un caso especial de la ecuación (3), cuando

15

a = 0, b = 0

y

c

es una

Manual de Laboratorio de Física General constante, entonces la ecuación (3) es función

y = k x , cuando n=2 y k = c

equivalente a la

n

900

GRAFICA Nº 4: Curva Parabólica (Función Cuadrática - Potencial) 800

e = 1.2 t2

700

espacio ( cm )

600

Donde: a= 0 b= 0 c = 1.2

500

400

300

200

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 5 s y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm

100

0 0

5

10

15

20

25

30

tiempo ( s ) Figura Nº 4: Función Cuadrática - Potencial

Un ejemplo de Función Cuadrática - Potencial es el descrito por un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, cuando el móvil tiene una velocidad inicial igual a

16

Manual de Laboratorio de Física General cero y parte del origen de coordenadas, es decir :

y=

a 2 ⋅ x , donde a es la aceleración del móvil. 2

3.4.3 Función Potencial: En este tipo de función x esta elevado a una exponente constante. Se representa de la siguiente manera:

y = kx n

(4) Justificación: Tomando logaritmos a ambos lados de

y = k x n obtenemos:

log ( y ) = log k + n ⋅ log x

(5)

Haciendo un cambio de variable Y = log y , X = log x y

B = log k De (5) obtenemos una relación lineal:

Y = B + n⋅ X

(6)

Si graficamos Y vs X obtendremos una recta con pendiente n . La pendiente puede ser positiva o negativa y no necesita ser un entero. Para evitar tomar logaritmos a la función, es de utilidad el papel gráfico log-log (logarítmico), donde al graficar allí cualquier conjunto de datos o función de la forma y = k x , obtendremos una línea recta como curva trazada y calcularíamos la pendiente y la intersección como si estuviésemos trabajando con un papel grafico milimetrado. (Ver Figura Nº 4 y 5) n

17

Manual de Laboratorio de Física General

GRAFICA Nº 5: Función Cuadrática - Potencial 1000

espacio (cm)

100

10

1 1

10

100

tiempo (s)

Figura Nº 5 : Función Cuadrática en papel grafico log-log (Logarítmico)

Observación: Para calcular la pendiente se escogen dos puntos sobre la recta y evaluando es: n=

log y 2 − log y1 log x 2 − log x1

18

(7)

Manual de Laboratorio de Física General con (x1 , x2), (y1 , y2) leídos directamente sobre el papel logarítmico. El intercepto de la recta es

B = log ( k )

se lee

directamente sobre el papel logarítmico 3.4.4 Función Exponencial: Una función es exponencial cuando la variable independiente aparece como exponente de algún numero:

y = y e bx 0

(8)

En la ecuación (8) e es la base de los logaritmos neperianos y su valor es 2.7182818284590452353602874713527 aproximadamente, b es una constante. Si la constante b es positiva, entonces la concavidad de la parábola depende del signo de x . Para la Figura Nº 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este caso el signo de x es negativo. Si los valores para x son positivos, entonces la concavidad de la parábola depende del signo de la constante b. Para la Figura Nº 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este caso el signo de b es negativo. La función exponencial tiene la propiedad siguiente:

dy =b⋅y dx

(9)

Cualquier múltiplo constante de la función exponencial e bx tiene la propiedad de que su tasa de crecimiento es b veces la función misma. Para intervalos Δx largos, la ecuación (9) implica:

Δy =b⋅y Δx

19

(10)

Manual de Laboratorio de Física General Si el signo de x es negativo estaremos tratando con un decaimiento exponencial y la ecuación (8) adopta la siguiente forma:

y = y 0e

− b ⋅x

(11)

Un tipo especial de papel hace que el análisis de crecimiento y decrecimiento exponencial sea mucho más simple (papel semilogaritmico).

20

Manual de Laboratorio de Física General

GRAFICA Nº 6: Desintegración Radiactiva del Cesio 137

100

90

80

70 A(t) = 100 e-0.5 t

Actividad (%)

60

Donde: yo = 100 b = -0.5

50

40

30 Escala: X = t (s) : 1 cm < > 1 h y = A (%) : 1 cm < > 10 %

20

10

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

tiempo (horas) Figura Nº 6 : Función Exponencial – Decreciente (Papel milimetrado)

21

9

10

Manual de Laboratorio de Física General Justificación: Si tomamos logaritmos decimal a la ecuación (8), obtendremos:

log ( y ) = log ( y0 ) + bx ( log e ) Haciendo un cambio de variables: Y = log y ,

(12)

B = log ( y0 )

y m = b.( log e ) , la ecuación (12) toma la siguiente forma:

Y = B + m.x

(13)

El grafico de Y vs. x es una línea recta con pendiente positiva si b es positiva, y pendiente negativa si b es negativa.

22

Manual de Laboratorio de Física General

GRAFICA Nº 7: Desintegración Radiactiva del Cesio 137 (papel Semilogaritmico)

Actividad (%)

100

10

Escala: X = t (s) : 1 cm < > 1 h

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

tiempo (horas) Figura Nº 7 : Función Exponencial – Decreciente graficado en papel semilogaritmico, observar que el resultado es una función lineal.

23

10

Manual de Laboratorio de Física General Existe un papel grafico especial (papel semilogaritmico) en la cual, el eje vertical es graduado en forma logarítmica (potencias de 10), el eje Horizontal esta graduada en forma decimal (milimetrada). La curva puede ser trazada sin tener que calcular ningún logaritmo a los datos. En dicho papel ya se puede calcular la pendiente y la constante de la ecuación (13) cuando la grafica es recta. Luego, se puede calcular yo y b de la ecuación (8) de la siguiente manera:

y0 = 10 B

b=

y

m log e

(14)

Observación: cuando una tabla de datos de parejas (x, y) se gráfica en papel semilogarítmico, se localiza la pareja de puntos sobre el papel, sin previamente calcular el logaritmo de "y" pues el papel semilogarítmico lo hace de modo gráfico y lo que aparece graficado es (x , Log(y)) como par ordenado. En este papel el eje horizontal corresponde a una escala milimetrada y el eje vertical a una escala logarítmica. Si la escala logarítmica se repite el papel se llama de dos ciclos. Los valores en esta escala se enumeran de tal forma que cada ciclo debe terminar en un número 10 veces mayor que el anterior, es decir, si el primer ciclo empieza en 10, debe terminar en 100, el segundo empieza en 100 y termina en 1000. El número de ciclos necesario estará dado por el número de potencias de 10 que abarquen los valores de "y" El valor de la pendiente m en el papel semilogarítmico se calcula escogiendo dos puntos (x1. Logy1 ), (x2, Logy2) por donde pase la recta, y evaluando es: m=

log y 2 − log y1 x 2 − x1

El intercepto de la recta es

24

B = log ( y0 ) .

(15)

Manual de Laboratorio de Física General 4.

Procedimiento Se graficarán y analizarán los resultados de tres experimentos:

4.1

La posición de un automóvil que baja por la pendiente de una colina fue observada en diferentes tiempos y los resultados se resumen en la siguiente tabla: Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea recta a velocidad constante en función del tiempo expresado en segundos. Tabla N° 1

4.2

t(s) 1.1

e(m) 8.45

2.9

14.75

4.1

18.95

6.6

27.70

8.0

32.60

9.8

38.90

10.5

41.35

12.1

46.95

13.9

53.25

15.5

58.85

Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea recta con aceleración constante en función del tiempo expresado en segundos. Tabla N° 2 t (s) e (m) 1,0 1,00 2,2 4,84 3,4 11,56 4,4 19,36 5,9 34,81 7,1 50,41

25

Manual de Laboratorio de Física General

4.3

Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día uno se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de la muestra sin desintegrar, para distintos días se muestran en la tabla Nº 3. Tabla N° 3

t (días)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A (t) %

83

69

57

47

39

32

27

22

18

15

A partir de los datos anteriores, realice lo siguiente graficas: I.

En papel milimetrado los valores de las Tablas N° 1, N°2 y N°3.

II. En papel logarítmico los valores de las Tablas N° 1, N°2 y N°3. III. En papel semilogaritmico los valores de las Tablas N° 1, N°2 y N°3.

5.

Cuestionario 5.1

Usando las gráficas obtenidas en el paso 1 del procedimiento, halle la pendiente y el ángulo de inclinación de las graficas lineales de los diferentes papeles. Use las ecuaciones (2), (7) y (15) respectivamente. (use calculadora científica para ello).

5.2

Según la tabla N° 3: ¿Cuántos núcleos habían al inicio (día cero)? y ¿Cuántos núcleos quedarán por desintegrar el día N° 7?

5.3

Calcule el valor de E paso a paso para cada factor; Primero: realizar el cálculo para cada factor con aproximación a centésima (use las reglas de redondeo, Ver Anexo Nº2). Segundo: realizar el cálculo para cada factor con todos los decimales que pueda dar la calculadora que esta usando.

26

Manual de Laboratorio de Física General

E=

6.

7.

ln 1000 ⋅ log ( e 3 ) ⋅ arcos ( − 0.25 ) .( sen 2 37 ° )

π .arctan (10 )

5.4

Investigue datos experimentales cuya grafica describa una línea recta y grafíquelas en papel milimetrado. Adicionalmente grafique estos datos usando el software Logger Pro del laboratorio de física.

5.5

Investigue datos experimentales cuya grafica describa una curva parabólica y grafíquelas en papel milimetrado. Adicionalmente grafique estos datos usando el software Logger Pro del laboratorio de física.

5.6

Busque información sobre la existencia de otros papeles, además del milimetrado , logarítmico y semilogaritmico

5.7

¿Cuáles son las características de una función?, explique.

5.8

como aplicaría este tema en su carrera profesional?

Observaciones 6.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - -

Conclusiones 7.1

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 27

Manual de Laboratorio de Física General

8.

9.

Sugerencias 8.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Referencias 9.1

Problemas y ejercicios de análisis matemático, B. Demidovich, Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7 – 19.

9.2

Tópicos de Cálculo I, M. Mittac & L. Toro, ed. “San Marcos”, Lima, Perú, 1990 Cap. 2, pág. 47-100.

9.3

Intermediate Physics for Medicine and Biology, R. K. Hobbie, 2 ed., John Wiley & Sons, 1988, Minneapolis, Minnesota, USA, Ch. 2, Pg., 28-39.

"Una gráfica puede decir más que mil palabras." ANONIMO

28

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 8: Formas de Relieve y Curvas de Nivel. Las Curvas de Nivel dan información de altitudes. Su configuración nos da información muy precisa de su relieve. Se debe observar que: a) Las curvas de nivel mas próximas al centro significan declives mas elevados, mientras que las curvas de nivel más alejadas significan zonas de pendientes más suaves; b) Las curvas de nivel concéntricos con las montañas más altas en el centro representan colinas, si se esta mas alejado del centro, tenemos una zona deprimida. El ejemplo de la figura se tiene dos montañas con formas muy diferentes. La derecha tiene mayores altitudes; se señala en la parte superior, el aumento de pistas y cierta asimetría. La parte superior de la izquierda tiene una forma más redondeada, menor altitud, pero aún en presencia de un alivio asimétrico: hay una diferencia de pistas entre las dos montañas.

29

Manual de Laboratorio de Física General

ANÁLISIS DE FUNCIONES Ajuste de curvas

Práctica de Laboratorio Nº 02 Tópicos Relacionados

Métodos de mínimos cuadrados, matrices y determinantes, asíntotas, interpolación, extrapolación, sumatorias.

1.

Objetivos 1.1 Encontrar la función matemática que relaciona a dos cantidades físicas medidas experimentalmente. 1.2 Hacer uso de la técnica de linealización por el método de mínimos cuadrados. 1.3 Predecir resultados haciendo interpolaciones y extrapolaciones a la ecuación de ajuste calculada.

2.

Equipos y materiales -

3.

Seis (06) hojas milimetradas. Un (01) lápiz de carbón N°2 Una (01) regla de 30 cm. Una (01) Calculadora Científica (personal).

Fundamento teórico En el estudio de los fenómenos físicos nos encontramos con muchas variables, que intervienen en dicho proceso lo cual es muy complejo analizarlo simultáneamente. Para facilitar el análisis elegimos dos de estas variables, el conjunto de datos obtenidos, se organizan en una tabla. A partir de estos datos graficar y establecer la función que mejor se ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser lineales, exponenciales, logarítmicos, etc. Como se observa a continuación:

31

Manual de Laboratorio de Física General Y

Y

Y

X

X

Figura. Nº 1: Función Lineal

Figura. Nº 2: Función Parabólica

X Figura. Nº 3: Función Exponencial

3.1 AJUSTE DE CURVAS.- consiste en determinar la relación matemática que mejor se aproxima a los resultados del fenómeno medido. Para realizar el ajuste, primero elegimos la función a la que se aproxime la distribución de puntos graficados (datos obtenidos). Entre las principales funciones: a) Función Lineal :

y = b+ m⋅x

2 b) Función Parabólica o cuadrática : y = a + b ⋅ x + c ⋅ x

2 3 c) Función Cúbica : y = a + b ⋅ x + c ⋅ x + d ⋅ x

2 n d) Función Polinomial : y = a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x + " + an ⋅ x x e) Función exponencial : y = A ⋅ B B f) Función Potencial : y = A ⋅ x

g) Función Elíptica :

x2 y 2 + =1 a 2 b2

x2 y 2 h) Función Hiperbólica : 2 − 2 = 1 a b i) Otras. En todas estas expresiones x e y representan variables, mientras que las otras letras denotan constantes o parámetros a determinar. 32

Manual de Laboratorio de Física General Una vez elegida la función se determina las constantes de tal manera que particularicen la curva de los fenómenos observado. 3.2 Consideraciones previas.- Los datos obtenidos en el proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas así formadas no informan acerca del tipo de relación existente entre una magnitud y la otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados. a) Se grafican en papel milimetrado los valores de la tabla. b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas conocidas. Habiendo logrado identificar la forma de la distribución de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas mediante el método de mínimos cuadrados y para datos cuya tendencia sea una línea recta se puede usar también el método grafico. Actualmente se puede realizar el ajuste de la distribución de puntos (datos experimentales) mediante programas de cómputo como Excel, MathLab, origin, etc, por ejemplo, que facilitan el trabajo. En el Laboratorio de Física disponemos del software para el procesamiento de datos y graficas Logger Pro. 3.3 Método de los mínimos cuadrados.Considerando los valores experimentales (X1 , Y1), (X2 , Y2), . . . , (Xa , Ya) la idea es construir una función F(x) de manera que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones (ver Figura. Nº 4), es decir: S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2 sea un número mínimo. Nota: - Si se considera que S = 0, es decir D1 = D2 = . . . . = Dn = 0 se tendría que F(x) pasa por todos los puntos experimentales. - Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas extrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de los valores medidos. 33

Manual de Laboratorio de Física General

Yn Y3 D3 Y1 D1

D2

Y2

X1

X2

X3

X4

Figura Nº 4: Desviaciones en un ajuste de mínimos cuadrados

3.4 AJUSTE DE CURVA LINEAL - Método Geométrico Una función es lineal cuando las variables aparecen elevadas solo a la primera potencia. Una función lineal que relacione “x” con “y” se representa algebraicamente como:

y = b+ m⋅x

(1)

Donde “b” y “m” son constantes. Y Y2 ΔY Y1 b

ΔX X2

X1

Figura Nº 5: Función ajustada geométricamente

34

X

Manual de Laboratorio de Física General En la figura Nº 5 se muestra una gráfica de los valores de “X” e “Y” que satisfacen la ecuación. La constante “b” es la ordenada. La constante “m” es la pendiente de la recta. Donde:

b resulta de la intersección de la recta con la ordenada

Δy Δx

m= ΔX = X2 – X1

(2)

ΔY = Y2 – Y1 - Recta Mínima Cuadrática La recta mínima cuadrática que ajusta el conjunto de puntos: (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , . . . , (Xn , Yn) tiene por ecuación:

y = b+ m⋅x

(3)

Donde las constantes a y b se determinan resolviendo las dos siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.

∑ Y =bN + m∑ X , ∑ X Y = b∑ X + m∑ X i

(4)

i

i

i

i

2 i

(5)

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

m =

b =

n∑ ( xi yi ) − n

∑x

2 i

−

∑x ∑y (∑ x ) i

i

2

∑x ∑ y − ∑x ∑x y n ∑x − ( ∑x ) 2 i

i

i

i i

2

i

(6)

i

2

(7)

i

Para mayor comprensión se construye la siguiente tabla:

35

Manual de Laboratorio de Física General TABLA N° 1: Tabla de datos

i

xi

yi

x i ⋅ yi

x i2

1

x1

y1

x 1 ⋅ y1

x 12

2

x2

y2

x 2 ⋅ y2

x 22

n

xn

yn

x n ⋅ yn

x 2n

∑n

∑x

∑y

i

∑x

i

i

∑x

⋅ yi

2 i

Y luego procederemos a calcular las sumatorias para cada columna de datos. Finalmente usaremos la ecuación de ajuste (6) y (7) respectivamente. Ejemplo Nº 1: Dado los siguientes datos, realice el ajuste por el método de mínimos cuadrados (1,2); (2,3); (5,5); (6,5); (7,6); (8,7) y (12,9). Solución: Construyamos la siguiente tabla de datos: TABLA N° 2: Tabla de datos Experimentales X

Y

X.Y

X2

1

2

2

1

2

3

6

4

5

5

25

25

6

5

30

36

7

6

42

49

8

7

56

64

12

9

108

144

∑Xi= 41

∑Yi= 37

∑YiXi = 269

∑ Xi2 = 323

36

Manual de Laboratorio de Física General N (número de datos) = 7 Obteniendo :

∑X

i

= 41,

∑Y

i

= 37,

∑X Y

i i

= 269,

∑X

2 i

= 323

Reemplazando estos resultados en las ecuaciones 4 y resolviendo el sistema se tiene: a = 1,590

b = 0,631

Por lo tanto la recta tiene por ecuación: F (x)=Y=1,590 + 0,631 X Al extrapolar (extender la gráfica a ambos lados), es posible determinar los valores de Y para X cercanos y externos al intervalo de valores medidos (Ver Figura. Nº 6). Y 10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -0 . 0

X 2

4

6

8

10

12

14

Figura Nº 6: Función ajustada por mínimos cuadrados

3.5 AJUSTE DE UNA CURVA NO LINEAL - Parábola Mínima Cuadrática.- Para este caso el ajuste se hará a una función parabólica. F(x) = Y = a + b X + c X2 (8)

37

Manual de Laboratorio de Física General Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los coeficientes a, b y c se procede de manera similar que para el caso de la recta mínimo cuadrático, tratando que: S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2 tome el valor mínimo. Así resulta:

∑Y

i

= aN + b∑ X i + c ∑ X i2

∑X Y

= a ∑ X i + b∑ X i2 + c ∑ X i3

(10)

Y = a ∑ X i2 + b∑ X i3 + c ∑ X i4

(11)

i i

∑X

(9)

2 i i

Las constantes a, b y c se obtiene resolviendo las ecuaciones 9, 10 y 11. - Función Potencial: Una función potencial es de la forma: Y = A⋅ X B

(12)

Podríamos linealizar esta función aplicando logaritmos a ambos lados y obtener:

log Y = log A + B ⋅ log X

(13)

Y si reemplazamos:

y = log Y , b = B , x = log X y a = log A

(14)

Obtenemos la ecuación de la recta y = a + b ⋅ x , la cual tratada como en las ecuaciones (6) y (7) resulta en:

38

Manual de Laboratorio de Física General

∑ ( log X ) ⋅ ∑ log Y − ∑ (log X ⋅ log Y ) ⋅ ∑ log X a= n ⋅ ∑ ( log X ) − ( ∑ log X ) 2

2

2

b=

n ⋅ ∑ (log X ⋅ log Y ) − ( ∑ log X ) ⋅ ( ∑ log Y ) n ⋅ ∑ ( log X ) − ( ∑ log X ) 2

(15)

(16)

2

- Función Exponencial: Una función exponencial es de la forma: Y = ABX

ó

Y = A eBX

(17)

Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales. A)

Sea Y = ABX se toma logaritmos decimales log Y = log A + (log B) X

(18)

Haciendo las equivalencias siguientes: y = log Y

a = log A

b = log B

x=X

(19)

Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las ecuaciones (6) y (7) B)

Sea Y = A eBX se toma logaritmo natural (*) InY = InA + BX Ahora las equivalencias son las siguientes: y = InY

a = InA

b=B

(20)

x=X

(21)

Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las ecuaciones (6) y (7)

39

Manual de Laboratorio de Física General Obs: El papel logarítmico (escala en potencias de 10) esta relacionado con las funciones logarítmicas decimales, con lo cual, en el item B) aplicando la función logarítmico natural a la ecuación Y = A eBX para la linealizacion no seria apropiada graficarla en papel logarítmico. Ejemplo Nº 2: Realizar el ajuste a una parábola por mínimos cuadrados para los siguientes datos experimentales: (1,5 , 3); (3,49 , 7,1); (4,8 , 9,5); (6 , 12); (7,14 , 11,8); (8,2 ,10,8); (9,1 , 10,3). Los cálculos necesarios para expresar las ecuaciones normales se disponen en la siguiente tabla: TABLA N° 3: Tratamiento de datos X

Y

XY

X2

X2Y

X3

X4

1,50

3,00

4,50

2,25

6,75

3,37

5,06

3,49

7,10

24,78

12,18

86,48

42,51

148,35

4,80

9,50

45,60

23,04

218,88

110,59

530,84

6,00

12,00

72,00

36,00

432,00

216,00

1296,00

7,14

11,80

84,25

50,98

601,56

363,99

2598,92

8,20

10,80

88,56

67,24

726,19

551,37

4521,22

9,10

10,30

93,73

82,81

852,94

753,57

6857,50

∑X

i

=

40,23

∑Y

i

=

64,50

∑X Y

i i

=

413,42

∑X

2 i

=

274,50

∑X

Y =

2 i i

2924,80

∑X

3 i

=

2041,41

Reemplazando en las ecuaciones 9,10 y 11 se tiene: 64,50

= a7

+ b 40,23

413,42

= a 40,23

+ b 274,50 + c 2041,41

2924,80 = a 274,50

+ c 274,50

+ b 2041,41+ c 15957,89

40

∑X

4 i

=

15957,89

Manual de Laboratorio de Física General Al resolver las ecuaciones obtenemos: a = - 2,67 b = 3,96

c = - 0,28

Con estos valores, la ecuación de la parábola mínima cuadrática será: F(x) = - 2,67 + 3,96 x – 0,28 X2 Lo cual se muestra en la figura Nº 7

Y 14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -0 . 0

X 2

4

6

8

10

12 14

16 18

Figura Nº 7: Función cuadrática ajustada

4.

Procedimiento Se analizarán los resultados de tres experimentos: 4.1 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X. 4.2 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X.

41

Manual de Laboratorio de Física General

Tabla N° 4 X 1,0 2,3 3,6 4,9 6,2 7,5 8,8 10,1 11,4 12,7

Tabla N° 5 Y 2,5 6,4 9,0 13,4 18,0 20,3 22,0 25,1 31,0 32,2

X -6,1 -5,4 -4,2 -2,8 -2,8 -1,7 -0,6 0,5 1,6 2,7 3,8 4,8 6,0

Y 42,5 31,3 17,6 6,4 6,4 3,0 0,8 0,7 2,2 7,9 15,1 24,0 41,0

A partir de los datos anteriores realice lo siguiente: I.

Grafique en papel milimetrado los valores de la Tabla N° 4 y de la Tabla N° 5.

II.

Usando el método de mínimos cuadrados halle la función que mejor se ajuste al conjunto de datos mostrado en la tabla N° 4 y en la tabla N° 5.

III.

De la tabla Nº 3 del paso 4.3 del experimento Nº 1 titulado: “Grafica de funciones”, ajuste la grafica trazada usando mínimos cuadrados (Ojo esta función es exponencial decreciente).

Obs: No se olvide de colocar en las graficas las unidades, las escalas y las graduaciones.

5.

Cuestionario.5.1 ¿Qué entiende usted por desviación en el ajuste de una curva? 5.2 Comprobar sus resultados usando el Software Logger Pro.

42

Manual de Laboratorio de Física General 5.3 Que otro tipo de ajustes de datos experimentales existe, de algunos ejemplos 5.4 Investigue datos de algunos experimentos que pueden ser ajustados a una recta, una parábola y una exponencial, y hacer el respectivo ajuste por Mínimos Cuadrados. 5.5 como aplicaría este tema en su carrera profesional?

6.

7.

8.

Observaciones.6.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Conclusiones.7.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sugerencias.8.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

43

Manual de Laboratorio de Física General

9.

Referencias bibliográficas.9.1 Problemas y ejercicios de análisis matemático, B. Demidovich, Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7 – 19.

9.2 Tópicos de Cálculo I, Máximo Mittac & Luis Toro, IMPOFOT, Lima, Perú, 1990 Cap. 1

9.3 Teoría y problemas de Estadística, Murray R. Spiegel, McGraw Hill, México D.F., México, 1982, Cap. 13, Pág. 217 - 240.

"La vida humana representa, la mayor parte de las veces, una ecuación entre el pasado y el futuro." José Ingenieros

44

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 8: Fractales; Son una categoría de aproximación a un cuerpo o evento para entender su naturaleza y dinámica. Los cuerpos “fractales” están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos. Su origen, latín "fractus”, es reciente, lo propuso el matemático francés Benoit Mandelbrot en 1975, pero el concepto era conocido dentro de teoría de sistemas. Como aproximación matemática consiste en crear “fragmentos irregulares” representados en sistemas de ecuaciones parametrizados que poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo, pero son curvas no derivables por ser infinitamente fracturadas. Desde la perspectiva geométrica, un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas.

45

Manual de Laboratorio de Física General

MEDICIONES Mediciones, calculo de errores y su propagación Práctica de Laboratorio Nº 03 Tópicos relacionados Aproximación, incertidumbre, error, medición, vernier, micrómetro, longitud, tiempo, masa, calibración, balanza de precisión, Precisión, Exactitud.

1.

Objetivos 1.1 Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el resultado de una medida realizada. 1.2 Reconocer los diferentes tipos de error que existen y evaluar el error sistemático para cada tipo de medición. 1.3 Desarrollar una conciencia del “error” como algo ineludible asociado a las mediciones hechas notando que los errores siempre estarán presentes en los procesos de medición. 1.4 Aprender a calcular el error propagado y el resultado de una medición indirecta.

2

Equipos y materiales - Un (01) paralelepípedo de madera - Una (01) canica de vidrio o porcelana - Un (01) cilindro de aluminio - Una (01) regla graduada, 1m, 1/1000 m - Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.05mm. - Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.02mm. - Un (01) Modelo de Nonio (1/10 mm) de madera. - Un (01) Cronómetro, 11 h, 59 m, 59 s, 1/100 s - Un (01) Micrómetro, 25*1mm/0.5mm

47

Manual de Laboratorio de Física General

3

Fundamento teórico La FISICA es una ciencia que se basa en la capacidad de observación y experimentación del mundo que nos rodea. La superación de los detalles prácticos que hacían difícil la medición precisa de alguna magnitud física, dio lugar a los avances en la historia de esta Ciencia. Por ejemplo; cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro, y cuando están juntos, algo de energía o “calor” se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando por resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo, afectando así, a la misma cantidad que deseamos medir. Además todas las mediciones son afectadas en algún grado por errores experimentales debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida (errores sistemáticos), o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos (errores personales), que deben registrar la información o dato. Por eso cuando un investigador tecnológico y científico diseña su técnica de medición procura que la perturbación de la cantidad a medirse sea más pequeña que el error experimental. 3.1

MEDICIÓN

Técnica que se utiliza para determinar el valor numérico de una propiedad física comparándola con una cantidad patrón que se ha adoptado como unidad. La mayoría de las mediciones efectuadas en laboratorio se relacionan con magnitudes como longitud, masa, tiempo, ángulo o voltaje. En todo proceso de medición se debe tener en cuenta lo siguiente: a. b. c.

El objeto o fenómeno cuyas dimensiones se requieren medir. El instrumento de medición (ejm: regla milimétrica, cronómetro, probeta). La unidad de medida, el cual está incluida en el instrumento de medición (mm, s, ml).

Obs: A veces es necesario especificar las direcciones de ciertas magnitudes vectoriales y tensoriales.

48

Manual de Laboratorio de Física General EXPRESIÓN GENERAL DE LA MEDICIÓN: -

Cuando se realiza una sola medición, el resultado lo podemos expresar: (1) X = X 0 ± ΔX

-

Donde X0 es el valor leído en el instrumento y ΔX es el error absoluto (por ejemplo se obtiene tomando la mitad de la lectura mínima que se puede hacer con el instrumento, aproximación o precisión del instrumento).

ΔX = -

lm 2

(2)

Si se realiza varias veces la medición, el resultado se puede expresar

X = X ± dX -

(3)

Donde X es el valor probable dado por la media aritmética de las mediciones y dX es el promedio de las desviaciones o errores.

3.2 TIPO DE MEDICIONES Medición Directa: Es la que se obtiene directamente por observación al hacer la comparación del objeto con el instrumento de medición o patrón. Ejemplo: La determinación del volumen de un objeto, usaremos la probeta graduada; la evaluación del tiempo de caída de una moneda al piso desde una altura dada, con el cronómetro; etc. Medición Indirecta: Es aquella que se obtiene como resultado de usar fórmulas matemáticas y cantidades físicas derivadas que son función de una serie de medidas directas. Ejemplo Para hallar la velocidad, mediante la fórmula v = x / t donde x es el espacio o longitud recorrido por el móvil y t es el tiempo transcurrido.

49

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 1: Calibrador Vernier o Pie de Rey

3.3

EXACTITUD Y PRECISION DE UNA MEDICION

Todo experimento debe planearse de manera que siempre dé la información deseada y que la distinga de todas las otras posibles. Por lo tanto deberá cuidarse de la exactitud y/o precisión aceptable de los datos. EXACTITUD: La exactitud indica el grado en que los datos experimentales se acercan a los correspondientes valores absolutos o considerados verdaderos idealmente. La exactitud describe la veracidad de un resultado experimental. Estrictamente hablando el único tipo de medición totalmente exacto es el contar objetos. Todas las demás mediciones contienen errores y expresan una aproximación de la realidad. PRECISION: La precisión expresa el grado con que un valor experimental puede reproducirse en experimentos repetidos, es decir, cuan cerca esta del valor medio del conjunto de sus medidas. En los instrumentos la precisión se puede determinar por la mínima medida con que se puede llevar a cabo la medición, es decir, es la aproximación del mismo, y esto representa la calidad del instrumento, por cuanto la medición que hagamos con dicho instrumento, poseerá muy poco error experimental, siendo en consecuencia el resultado una medición de alta precisión. 50

Manual de Laboratorio de Física General 3.4

TEORÍA DE ERRORES

ERROR: Se determina mediante la diferencia entre el valor de una medición y el valor esperado que lo consideramos verdadero o ideal cualitativamente. También se llama incertidumbre, la cual se puede expresar de diversas maneras, siendo las más usuales: la desviación estándar, la desviación promedio, etc.

Clases de error Errores sistemáticos: Estos son determinables y corregibles si se sabe bien la física del proceso. Los principales son: 1

Errores teóricos: Son debido a las aproximaciones concernientes a las ecuaciones o relaciones que podrían ser muy complejas y que necesitan aproximarse. Se usan en la calibración de los instrumentos o en la determinación de mediciones indirectas. Ejemplo: Determinación del periodo de un péndulo para ángulos pequeños donde θ ≈ senθ . Aquí en la solución de la ecuación diferencial se usa la aproximación de la solución en serie:

T = 2π

l ⎛ 1 9 ⎞ 2 4 θ ⎜ 1 + sen θ + sen + ... ⎟ g⎝ 4 64 2 ⎠ T0 = 2π

y que se calcula como

Considerando algunos valores de

51

θ

l g y

senθ :

(4)

(5)

Manual de Laboratorio de Física General Tabla Nº 1: Error de

θo

(Valor Exacto)

θ

θ

en radianes y (radianes)

senθ (usando la ecuación Nº15) Sen θ

Error Relativo Porcentual (%)

5

0.08727

0.08716

0.13

10

0.17453

0.17365

0.51

15

0.26180

0.25882

1.15

2

Errores instrumentales: Estos vienen especificados por el fabricante del instrumento y son etiquetados como “Límite de precisión” o “Límite de error”. Es decir el error debido al instrumento será igual a la cuenta mínima o la lectura más pequeña que se obtenga con el instrumento. Es decir la lectura será igual a la medición ± UNA DIVISION de la mínima escala del instrumento.

3

Errores ambientales: Estos errores no son tan fáciles de evitar debido a los cambios en las propiedades del medio. Entre los factores ambientales mas importantes que se deben de considerar son la temperatura, la presión y la humedad. Debido a esto se debe recomendar aislar el experimento y controlar el ambiente (en una región o tiempo limitado).

4

Errores de observación: Tiene su origen en la postura que toma el operador para la lectura de la medición resultando en lecturas muy altas o muy bajas, muy tempranas o muy tardes. La posición correcta, una atención cuidadosa, la revisión del equipo y la comparación de un observador con otro son comunes para reducir o eliminar este error. Errores aleatorios: Escapan del control del experimentador. Son originados básicamente por la interacción del ambiente con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores sistemáticos hayan sido minimizados, balanceados o corregidos. Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos.

3.5 DESVIACION ESTÁNDAR Para simplificar el tratamiento de la incertidumbre en una medición consideramos que cuando hagamos una sola medición el error

52

Manual de Laboratorio de Física General absoluto estará representado solamente por la mitad de la aproximación (lectura mínima del instrumento).

Δx =

1 (lect . mín.) 2

(6)

Donde la aproximación, sensibilidad o lectura mínima es la división más fina del instrumento. En el caso de la regla milimetrada la mínima lectura será 1/1000 m. Cuando se hacen varias mediciones repetidas de una variable directa como ( x) , la incertidumbre en la medición crece y el error absoluto estará en función del valor promedio de ( x) y de la siguiente variable: n

σ =

(x − x 1 ) + (x − x 2 ) + ... + (x − x n ) = n 2

2

2

∑ (x − x )

2

i

i =1

n

(7)

Aquí x es el valor promedio leído con el instrumento de medición y σ es la desviación estándar. A veces aparece en el denominador (n-1) en vez de n, por que el valor resultante representa un mejor estimador de la desviación típica de una población de la que se ha tomado una muestra. Para valores n > 30, prácticamente no hay diferencia entre las dos definiciones. El error absoluto se calculará con ayuda de la siguiente fórmula: n

ΔX =

σ

X

n

=

∑ (X i =1

i

− X 0 )2

n ( n − 1)

(8)

Finalmente la fórmula de expresar el resultado de una medición directa será: X = X ± ΔX Donde:

X X ΔX

(9)

: Resultado de la medición. : Valor más probable. : Error absoluto.

53

Manual de Laboratorio de Física General Además se debe considerar que: a)

X llamado valor medio o promedio, se obtiene de la siguiente manera; dado un conjunto de n mediciones experimentales, el valor medio o promedio se calculará por: n

X= b)

∑X i =1

i

(10)

n

Desviación (d X): Es la diferencia entre un valor cualquiera de una serie de medidas y su valor medio, tomado en su valor absoluto. d X = | Xi – X |

(11) n

c)

dX =

Desviación media (dX0):

∑X i =1

i

−X

n

(12)

donde:

∑X

i

− X = X 1 − X + X 2 − X + ......... + X n − X

y n es el número de mediciones. 3.6 El error relativo ( Er ): Representa el error absoluto por unidad de medición. Nos indica la fracción del error absoluto respecto al valor promedio:

Er =

ΔX X

(13)

3.7 El error relativo porcentual ( Er (%) ): Representa el producto del error relativo por 100. Es el indicador anterior dado en porcentaje:

54

Manual de Laboratorio de Física General

⎛ ΔX ⎞ Erel (%) = ⎜ ⋅100 ⎟ % ⎝ X ⎠

(14)

Si tenemos un valor Xref considerado “valor teórico” o valor de referencia y obtenemos un valor experimental (Xexp) a partir de mediciones directas o indirectas, podemos comparar nuestro resultado con la siguiente formula:

Erel (%) =

X ref − Xexp X ref

⋅100 ( %)

(15)

En lo que sigue en este curso de laboratorio, emplearemos muy a menudo esta formula (15) para comparar diferentes cantidades físicas (espacio, tiempo, masas, aceleraciones, coordenadas, densidades, etc.) y poder dar conclusiones en función a este resultado. 3.8

PROPAGACIÓN DEL ERROR O INCERTIDUMBRE

Se presenta en caso de todas las mediciones indirectas. Por ejemplo, para calcular el área total de un cilindro, se debe medir el diámetro del cilindro y la altura del mismo, siendo estas mediciones directas, evidentemente estas mediciones están afectadas de errores. Al reemplazar los valores en la fórmula para calcular el área procederemos a sumar y multiplicar cantidades afectadas de errores que traen como consecuencia la propagación de errores. Para el tratamiento de este tipo de errores se han deducido fórmulas a través de la matemática superior, que se presentan más adelante en forma práctica.

55

Manual de Laboratorio de Física General ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN DIRECTA: Si para determinar el valor de una magnitud es necesario realizar una adición o sustracción el ERROR ABSOLUTO TOTAL está dado por la SUMA de los errores absolutos de los términos que intervienen en la operación.

L2

Por ejemplo según la figura Nº 2, para determinar la longitud total, se tendrá

L1 Lt Figura Nº 2: Tarjeta recortada

L1 = L01 ± ΔL01

L0t = L01 + L02

L2 = L02 ± ΔL02

Δ L0t = ΔL01 + ΔL02

Lt = L0t ± ΔL0t

ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN INDIRECTA: Cuando la magnitud a medir proviene de aplicar una fórmula ya sea en forma de producto, cociente o una combinación de ambos, el ERROR RELATIVO TOTAL está dado por la suma de los errores relativos de los términos que intervienen en la fórmula. Por ejemplo para determinar el volumen del objeto ilustrado en la figura Nº 3, se realizará el siguiente: Vo = ao . bo . co c

a

a = ao ± Δao b = bo ± Δbo

b

c = co ± Δco Figura Nº 3: Volumen de un Paralelepípedo

56

Manual de Laboratorio de Física General ΔV/V0 = Δa0/a0 + Δb0/b0 + Δc0/c0 (ver Anexo sobre mediciones y errores) Cuando se realiza una medición indirecta (para lo cual se usa alguna formula matemática) como por ejemplo hallar el volumen de un cono, se medirán el radio de la base y la altura, pero en estas mediciones se introducen errores, por lo que estos errores se propagaran, hasta en el volumen calculado. Tabla N° 2: Formulas para la propagación de errores Tipo de Calculo

Suma o resta

Multiplicación o división

Elevar a una potencia

Ejemplo*

Error Propagado en X

x = p+q−r

2 ⎛ Δp ⎞ ⎛ Δq ⎞ ⎛ Δr ⎞ Δx = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ x ⎝ p ⎠ ⎝ q ⎠ ⎝ r ⎠ 2

x = p *q / r

x = p

Δ x = Δ 2p + Δ q2 + Δ 2r 2

Δp Δx = y⋅ x p

y

*p, q y r son variables experimentales cuyos errores absolutos son

Δ r ; respectivamente, y es una constante.

57

Δp , Δq y

Manual de Laboratorio de Física General

3.9 INSTRUMENTOS DE MEDIDA

Figura Nº 4: Partes del Micrómetro

Figura Nº 5: Forma de hacer mediciones con el Micrómetro

58

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 6: Nonio del Calibrador Vernier o Pie de Rey

Figura Nº 7: La lectura es 32.85 mm en este Calibrador Vernier o Pie de Rey

59

Manual de Laboratorio de Física General

4.

Procedimiento 4.1 Haga un reconocimiento y describa cada uno de los instrumentos de medición que el grupo recibe, anoten la lectura mínima así como el cálculo del error asociado a los instrumentos en la tabla que se muestra ha continuación: Tabla N° 3: Lectura mínima y el error asociado a cada instrumento INSTRUMENTO

APROXIMACIÓN

ERROR ABSOLUTO ASOCIADO

Regla de madera (uso del docente) Regla milimétrica de metal Wincha de 5 m Modelo de nonio de madera Pie de Rey o Vernier (Stainless Hardened) Pie de Rey o Vernier Caliper (U.S.A) Micrómetro de Metal Balanza de Tres barras Cronómetro analógico Cronómetro digital Termómetro

CASO I: 4.2 Tome un paralelepípedo de madera y mida sus tres dimensiones como se muestra en la Figura Nº 3 con: • Una regla de metal graduada en milímetros • Un calibrador vernier o pie de rey (el mas Preciso) Y anótelos en la tabla N° 4: 4.3 De acuerdo a lo anterior, determine • El área total • El volumen total Y anótelos en la tabla N° 4.

60

Manual de Laboratorio de Física General Tabla N° 4: Datos experimentales para el paralelepípedo

Mida :

Con la regla

Con el Vernier

X = X ± ΔX

X = X ± ΔX

Largo a Ancho b Alto c A (Área) V (Volumen) CASO II: 4.4

Seleccione una canica de porcelana o de vidrio y mida su diámetro con: • Un calibrador vernier (el mas Preciso) • Un micrómetro Y anótelos en la tabla N° 5:

4.5 Con los datos del diámetro medido llene la tabla Nº 5 y repita el cálculo del paso 4.3, para la canica Tabla N° 5: Datos experimentales para la canica

Mida :

Con el Vernier

Con el Micrómetro

X = X ± ΔX

X = X ± ΔX

Diámetro D Radio r A (Área) V (Volumen) Observación: No se olvide de colocar las unidades en todos los cálculos, así como hacer un correcto redondeo y usar los decimales apropiadamente.

61

Manual de Laboratorio de Física General

5.

Cuestionario 5.1 Si el nonio del Pie de Rey o Calibrador Vernier hubiese tenido 100 divisiones ¿Cuál será la aproximación y el error absoluto que usted cometería al usar este Vernier?. 5.2 Si un cronómetro tiene una aproximación de una centésima de segundo (0,01 s). ¿Cuál será la medición si registrara 32,54 s? 5.3 De cinco ejemplos de cantidades física que pueda determinarse en forma directa y también en forma indirecta. 5.4 ¿Qué otros errores además de los indicados puede usted asociar a las mediciones directas? 5.5 Medir la frecuencia de latidos del corazón o del pulso de cada uno de los integrantes del grupo con ayuda del cronómetro digital. Expresar esta medición con sus respectivos errores para cada uno. 5.6 ¿Con qué instrumento usted mediría el espesor de una hoja de cuaderno?, describa el instrumento, haga un esquema si fuera posible de cómo mediría dicho espesor. 5.7 como aplicaría este tema en su carrera profesional?

6.

Observaciones.6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.

Conclusiones.7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62

Manual de Laboratorio de Física General

8.

Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9.

Referencias bibliográficas.9.1 Meiners - Eppenstein – Moore: Experimentos de Física, John Wiley & Sons Inc, 2nd edition, March 1, 1987, N. Y., EEUU, Cap. 1, pág. 13 - 59. 9.2 Murray R. Spiegel; Estadística, Editorial Andes, 1ra. Ed., 1982, Bogotá, Colombia, Cap. I, Pág. 1-11. 9.3 Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1985, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. I. 9.4 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 1, Pág. 15-27. 9.5 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F., México, Cap. 1, pág. 1 -10.

"Un sólo número no es suficiente para describir algunos conceptos físicos. El darse cuenta de este hecho señaló un avance indudable en la investigación científica." EINSTEIN e INFELD

63

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 8: Esquema básico de un microscopio de efecto túnel Richard Feynman, premio Nobel de Física en 1965, durante una conferencia celebrada en el Instituto de Tecnología de California (CalTech), en 1959, titulada "Hay mucho espacio ahí abajo", pronosticó que, tarde o temprano, se podrían mover los átomos de manera individual, y construir configuraciones diferentes de las que existen en la naturaleza. En 1982, Heinrich Rohrer y Gerd Binnig, dos científicos del laboratorio IBM de Zurich, idearon el microscopio de efecto túnel, y abrieron las puertas a este tipo de manipulación. Debido a su invento, en 1986 fueron galardonados con el premio Nóbel de Física. Este sistema basa su funcionamiento en un efecto cuántico que ocurre en distancias menores a la milmillonésima parte de un metro (10-9 m = 1 nm, un nanómetro). El control de este tipo de fenómeno es lo que nos permite hacer topografía de superficies a nivel atómico. De la Figura: En una instalación cuyo fin es tomar medidas en escala atómica es necesario que el elemento que se usa como sonda de medida tenga una resolución de esa misma escala. En un microscopio de efecto túnel la sonda es una punta conductora, p. ej. de Wolframio. La punta se trata para eliminar los óxidos y para que sea lo más afilada posible, idealmente que en el extremo aparezca un solo átomo. La instalación consiste en un circuito eléctrico en el que están incluidas la muestra y la punta de medida. Fuente: http://www.unizar.es/ina/equipos/microscopioSTM.htm

64

Manual de Laboratorio de Física General

MECÁNICA Movimiento Rectilíneo Uniforme Práctica de Laboratorio Nº 04 Tópicos Relacionados Trayectoria, Móvil, tiempo y velocidad, Movimiento de traslación de una masa puntual, Mediciones, graficas

1.

OBJETIVOS 1.1 Reconocer el movimiento rectilíneo uniforme. 1.2 Medición del tiempo t requerido por un cuerpo para cubrir una trayectoria s dada. 1.3 Calcular el módulo de la velocidad del cuerpo.

2.

EQUIPOS Y MATERIALES -

3.

Un (01) Móvil, 343 g Una (01) pila de 1.5 V R6 “AA” Un (01) Cronómetro digital, hh, mm, ss, cc. Una (01) regla de metal de 100 cm. Una (01) Calculadora Científica (personal). Una (01) Cinta adhesiva

FUNDAMENTO TEÓRICO Cuando la trayectoria de un móvil es rectilínea y en ausencia de aceleración, el movimiento se llama Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). El desplazamiento puede, en principio relacionarse con el tiempo mediante la relación

x = f ( t ) . Aquí x puede ser negativa o positiva.

65

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 1: Movimiento Rectilíneo

Ahora supongamos que en un tiempo t , el objeto está en

OA = x , y que luego, más tarde, en un tiempo B , siendo OB = x ' .

A , siendo

t ' , se encuentra en

Entonces el valor de la velocidad1 media se define como:

vm = Donde:

Δx Δt

x '− x Δ x = Δt t '− t

(1)

: Desplazamiento del móvil : Tiempo transcurrido.

En general, si una masa puntual cubre distancias iguales

Δs

en intervalos iguales de tiempo Δt , entonces el valor de su velocidad será:

v =

Δs Δt

(2)

y tiene un valor constante. Para determinar el valor de la velocidad, se escoge un intervalo de tiempo arbitrario distancia

1

Δs .

Δt en el

cual medimos la

En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el módulo de la velocidad. Por eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a su valor numérico la rapidez. 66

Manual de Laboratorio de Física General X

x’

Δx θ

x

Δt

t 0

t

t’

Grafica Nº 1: Grafica de la posición en función del tiempo

En la grafica Nº 1 observamos que la velocidad se puede determinar a partir de la tangente del ángulo θ

m = tan θ = v =

Δx Δt

(3)

Donde m es la pendiente de la recta a la cual se pueden ajustar datos experimentales por el método de mínimos cuadrados:

x = b + m.t

67

(4)

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 2: Móvil empleado en este laboratorio

En el experimento, se medirá espacios y tiempos para el movimiento uniforme con un cronómetro para intervalos de distancias iguales.

Movimiento Móvil

Inicio

0

Final

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 cm

Cronómetro Figura Nº 3: Sistema experimental para el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

68

Manual de Laboratorio de Física General

4.

PROCEDIMIENTO: 4.1

Alinear el carril horizontalmente y montar el equipo como se ve en la Figura Nº 3.

4.2

Para hacer las graduaciones de las longitudes puede usar la regla de metal o pegar cinta adhesiva sobre la mesa. No se olvide definir el punto inicial y final.

4.3

Encienda el carrito (móvil) y colóquelo sobre la marca inicial, simultáneamente encienda el cronometro; cuando el móvil haya recorrido 10 cm detener el reloj y hacer la anotación respectiva en la tabla Nº 1.

4.4

Repita el procedimiento anterior dos veces más y registre sus datos en la tabla Nº 1.

4.5

Repita los pasos 4.3 al 4.4 incrementando el espacio recorrido en 10 cm desde el punto inicial de partida. Anote sus datos en la tabla Nº 1. (Obs: el profesor puede indicar espacios recorridos diferentes).

4.6

Calcule el valor de la velocidad del móvil para el recorrido y el promedio del tiempo empleado, use la ecuación (2).

4.7

Grafique en papel milimetrado los datos de la tabla Nº 1 de espacio recorrido y el promedio del tiempo, use una escala apropiada.

4.8

De la grafica anterior, calcule el valor de la velocidad del móvil por el método grafico, use la ecuación (3).

4.9

Calcule la ecuación de movimiento usando el método de mínimos cuadrados a la ecuación (4) para los datos del espacio recorrido y el promedio del tiempo empleado.

69

Manual de Laboratorio de Física General Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Espacio recorrido (cm) X

Tiempos (s)

t1

t2

t3

Promedio Tiempo (s)

Velocidad (m/s)

t

v

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

5.

CUESTIONARIO 5.1

En el caso de movimiento rectilíneo uniforme, la trayectoria recorrida y el tiempo son proporcionales? , explique.

5.2

Calcule el error relativo porcentual considerando la velocidad obtenida por el método de ajustes de mínimos cuadrados y las velocidades obtenidas en los pasos 4.6 y 4.8.

5.3

De tres ejemplos de movimiento rectilíneo uniforme. Detalle.

5.4

Grafique los datos de la tabla Nº 1 y haga el ajuste respectivo usando el software Logger Pro

5.5

Experimente usted (para cada integrante de su grupo), calculando la velocidad promedio al caminar durante su vida cotidiana. Explique en detalle su experimento.

70

Manual de Laboratorio de Física General 5.6

Calcular la velocidad del móvil empleando el método grafico para la grafica Nº 2.

5.7 como aplicaría este tema en su carrera profesional?

Grafica Nº 2: Espacio recorrido en función del tiempo

6.

OBSERVACIONES 6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.

CONCLUSIONES 7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71

Manual de Laboratorio de Física General

8.

SUGERENCIAS 8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9.

REFERENCIAS 9.1

Física, Vol. I, Marcelo Alonso y Edward Finn, addison Wesley, 1986, pág. 87.

9.2

Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F., México, Cap. 2, pág. 31 - 37.

“Todo lo que se mueve es movido por otro.” Aristóteles (384 AC-322 AC) Filósofo griego

72

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 4: Se denomina tren de alta velocidad al medio de transporte que circula por una vía diseñada para él (línea de alta velocidad) y que alcanza, de manera estándar, velocidades más altas que un tren convencional. Actualmente se utilizan trenes con una velocidad superior a 250 km/h, y con velocidad promedio (o velocidad comercial) también elevada, que les permite competir con el transporte aéreo para distancias medias, del orden de los cientos de kilómetros. En todos los casos se trata de vehículos y vías férreas desarrolladas en forma unitaria, dado que las velocidades alcanzadas requieren de técnicas específicas. Los japoneses fueron los pioneros de la alta velocidad ferroviaria en el mundo con su tren bala o Shinkansen en la década de 1960. Todo empezó a mediados de los años cincuenta, cuando pensaron en construir una nueva línea ferroviaria entre Tokio y Osaka, las dos principales ciudades del país, para resolver el problema de la saturación de la línea existente con una mejora sustancial de los tiempos de recorrido. Mitsubishi, Kawasaki, Hitachi y Sumitono se asociaron para que los trenes de alta velocidad japoneses unieran desde 1964 las principales ciudades niponas, dejando que el paisaje se desdibuje a 300 kilómetros por hora. Hoy el país, con 2.100 kilómetros cubiertos, tiene la mayor red de alta velocidad del mundo.

73

Manual de Laboratorio de Física General

MECÁNICA Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado Práctica de Laboratório Nº 05

Tópicos relacionados Trayectoria, distancia recorrida, desplazamiento, rapidez, velocidad, aceleración.

1.

Objetivos 1.1 Determinar el valor de la velocidad1 media e instantánea de un

móvil con movimiento rectilíneo uniforme variado. 1.2 Determinar la aceleración de un móvil con movimiento rectilíneo uniforme variado. 1.3 Determinar las ecuaciones de movimiento de un móvil.

2.

Equipos y materiales -

3.

Un (01) módulo para MRUV (Leybold) Una (01) fuente de poder AC/DC Un (01) riel de metal Un (01) enchufe con cable de extensión Un (01) calibrador Vernier (preedición 0,02 mm) Dos (02) trozos de cinta metálica (Aprox. 0.5 m c/u) Tres (03) hojas de papel milimetrado.

Fundamento teórico Movimiento.- Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo al transcurrir el tiempo, respecto a un Sistema de Referencia. Consideremos que un móvil se desplaza en la dirección + x de un sistema coordenadas cartesianas; entonces su posición en cualquier instante, estará dado por una relación funcional x = f ( t ) .

1

En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el módulo de la velocidad. Por eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a su valor numérico. 75

Manual de Laboratorio de Física General

Δx

-x

O

x1 t1

x2 t2

x

Figura Nº 1: Móvil desplazándose a lo largo de una línea recta

900

GRAFICA Nº 1: Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (espacio como función del tiempo)

800

700

espacio ( cm )

600

500

400

300

200

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 5 s y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm

100

0 0

5

10

15

20

25

tiempo ( s )

Figura Nº 2: Gráfica espacio recorrido en función del tiempo

76

30

Manual de Laboratorio de Física General

Velocidad media.- Se define como la razón del desplazamiento al intervalo de tiempo transcurrido. Si denotamos por Δx = x 2 − x1 , el desplazamiento desde la posición inicial

x1 hasta la posición final

x 2 ; y por Δt = t 2 − t1 , el tiempo transcurrido, entonces la velocidad

media es expresa por

υm =

Δx x2 − x1 = Δt t2 − t1

(1)

Velocidad instantánea.- Es la velocidad de un cuerpo en un determinado punto de su trayectoria y en un instante dado. Si el intervalo de tiempo en la ecuación (1) se toma cada vez más pequeño, la posición final

x 2 estará más y más próxima a la posición

inicial x1 , es decir Δx se irá acortando y la velocidad media tenderá a tomar la magnitud, dirección y sentido de la velocidad del cuerpo en

x1 (tangente a la trayectoria). En la ecuación (1) cuando Δt tiende a

cero, la velocidad instantánea es:

υ =

dx dt

(2)

77

Manual de Laboratorio de Física General

35

GRAFICA Nº 2: Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (Velocidad como función del tiempo) 30

velocidad ( m/s )

25

20

v = 3.t + 4 (m/s)

15

10

5

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 1 s y = v (m/s) : 1 cm < > 5 m/s 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo ( s )

Figura Nº 3: Gráfica velocidad en función tiempo

Aceleración media.- Se define como la razón de la variación de la velocidad instantánea al intervalo de tiempo transcurrido. Si denotamos por Δ υ = υ2 − υ1 , la variación de la velocidad instantánea desde la posición inicial

x1 hasta la posición final x 2 ;

y por Δt = t 2 − t1 , el tiempo transcurrido, entonces la aceleración media se expresa por

78

Manual de Laboratorio de Física General

am =

Δυ υ − υ1 = 2 Δt t 2 − t1

(3)

Aceleración instantánea.- Es la tendencia al cambio de velocidad de un cuerpo en un instante dado y en un punto de su trayectoria.

a =

dυ dt

(4)

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) Es aquel movimiento en el cual un móvil describe como trayectoria una línea recta, variando uniformemente la velocidad. Obs: En la Figura Nº 1 muestra que la aceleración es constante, por lo tanto, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea. Además se observa que el incremento de la velocidad se da con el incremente del tiempo, este movimiento se denomina Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) Algunas ecuaciones básicas del movimiento rectilíneo uniformemente variado en forma escalar:

x = x i + v i .t ±

4.

v

f

v

f

1 a .t 2 2

= v i ± a .t 2

= vi ± 2 a .x 2

Procedimiento 4.1 Arme el equipo tal como se muestra en la Figura Nº 4 , 5 y 6

79

(5) (6) (7)

Manual de Laboratorio de Física General

α

Figura Nº 4: Sistema experimental para el MRUA

4.2 Conectar la fuente de voltaje a 220 VAC . (no encienda la fuente, espere la indicación del profesor) 4.3 Conectar el cabezal (chispero) con la fuente de voltaje (en los bornes de color negro de 12 VAC) (ver Figura Nº 4)

Figura Nº 5: Sistema experimental (Disposición de la cinta metálica con el móvil)

4.4 Coloque el riel de metal a una altura de 3 cm, use el bloque escalonado para ello. 4.5 Doblar correctamente el papel metálico en los extremos de tal manera que la parte metálica haga un contacto directo con el registrador de tiempo y con la pinza que sujeta al carrito.

80

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 6: Sistema experimental (Disposición de la cinta metálica con el cabezal)

4.6 Suelte el móvil desde la parte mas alta del riel, luego de haber encendido la fuente y el interruptor del chispero (registrador de tiempo a una frecuencia de 10 Hz), cuando el carrito llegue al extremo opuesto del riel debe apagar el interruptor del registrador de tiempo. 4.7 Observar que sobre la tira de papel metálico han quedado registrados una serie de puntos a intervalos en el tiempo de 0,1 s (ver Figura Nº 7). 4.8 Asignar al instante t = 0 en el cual se produjo el primer punto de la distancia recorrida como x = 0. La posición de los otros puntos se medirán en mm con respecto a este primer punto (ver Figura Nº 7).

Figura Nº 7: Ejemplo del registro de datos sobre la Cinta Metálica

81

Manual de Laboratorio de Física General 4.9 Llene los datos en la Tabla Nº 1 Tabla Nº 1: Datos experimentales para el MRUA Altura del bloque escalonado h = 3 cm ;

α =

Tiempo (s)

d i = x i − x 0 (m)

1

0,1

x1 − x0 =

2

0,2

x 2 − x0 =

3

0,3

x3 − x 0 =

4

0,4

x4 − x0 =

5

0,5

x5 − x0 =

6

0,6

x6 − x0 =

7

0,7

x7 − x0 =

8

0,8

x8 − x0 =

9

0,9

x9 − x0 =

10

1,0

x10 − x0 =

4.10 Repita los procedimientos del 4.4 al 4.9 para diferentes alturas que indique el profesor construyendo las tablas que necesite. Obs: No se olvide de aplicar la teoría de mediciones, errores y su propagación

5.

Cuestionario 5.1 Grafique en papel milimetrado la distancia recorrida d vs. t , el

módulo de la velocidad ( υ ) vs. el tiempo (t) y la distancia recorrida d vs. t 2 . 82

Manual de Laboratorio de Física General

5.2 Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los datos de la distancia d y t , y encuentre d = f (t ) .

5.3 Utilizando la función ajustada

d vs. t , hallar el tiempo necesario para que el móvil recorra 35 cm. a partir del punto inicial. t35 = ---------------------------------- s

5.4 A partir de la gráfica de la función resultante del ajuste, halle las

velocidades geométricamente para cada promedio de tiempo. Para ello usted debe trazar una recta tangente a la curva y la pendiente de la recta le dará la velocidad instantánea en este punto. Registre sus cálculos en una tabla.

5.5 Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los datos de υ vs. t , y encuentre υ = f ( t ) . 5.6 ¿Cuál es el valor de la aceleración? 5.7 como aplicaría este tema en su carrera profesional? 6.

7.

Observaciones.6.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Conclusiones.7.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

83

Manual de Laboratorio de Física General

8.

Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3

9.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Referencias bibliográficas 9.1 Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 8, Pág. 8-1 y 8-9.

9.2 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley

Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 5, Pág. 87-93.

9.3 Teoría y problemas de Física General, Frederick J. Bueche, Mc Graw Hill, 1982, México D.F., México, Cap. 4, Pág. 27-38.

9.4 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F., México, Cap. 2, pág. 31 -51.

"En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los filósofos le han dedicado; sin embargo yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él que hasta ahora han pasado inadvertido." GALILEO GALILEI

84

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 8: El Transbordador Discovery. La propulsión es un sistema capaz de imprimir velocidad creciente o aceleración a un cuerpo, mediante un dispositivo que expele materia (denominado motor cohete). El concepto 'propulsión' puede ser usado con otros muchas palabras, tales como: chorro, de cohete o nave espacial, de esta forma se tiene 'propulsión a chorro', 'propulsión de cohetes', o 'propulsión de nave espacial' etc. La propulsión de las naves espaciales se usa para cambiar la velocidad de las naves espaciales y los satélites artificiales. Existen diferentes métodos. Cada método tiene sus propias ventajas y desventajas, de esta forma la propulsión de las naves espaciales es un área de gran investigación. La mayoría de las naves se empujan mediante el calor de una reacción en cadena que se expele por un orificio a muy alta velocidad. Este tipo de motor se denomina motor cohete. Todos las naves espaciales hoy en día emplean cohetes (tanto bipropelentes o de cohete de combustible sólido) para la fase de lanzamiento, algunos tienen aberturas que mezclan el aire en una cámara (tales como el Cohete pegaso y el SpaceShipOne) en sus primeras etapas

85

Manual de Laboratorio de Física General

MECÁNICA Movimiento Compuesto Movimiento de un Proyectil

Práctica de Laboratorio Nº 06

Tópicos Relacionados Trayectoria, Móvil, Movimiento de Traslación de una Masa Puntual, Trayectoria parabólica, Movimiento Rectilíneo Uniforme, Movimiento de Caída Libre, Balística.

1.

OBJETIVOS -

2.

EQUIPOS Y MATERIALES -

3.

Reconocer el movimiento parabólico. Determinar la ecuación de movimiento de un proyectil. Analizar el alcance máximo y la altura máxima en un movimiento parabólico.

Un (01) Tablero blanco (60 x 50 cm) (Pizarra acrílica) Una (01) Prensa (Clamp) Un (01) Equipo de lanzamiento de proyectil Una (01) regla metálica de 100 cm ó Wincha Un (01) cinta adhesiva Una (01) Hoja de papel blanco Una (01) Hoja de papel carbón

FUNDAMENTO TEÓRICO Movimiento Parabólico.- Cuando disparamos un proyectil desde el cañón de lanzamiento, este se ve obligado a caer por la acción de la gravedad pese a seguir yendo hacia delante, hasta tocar el suelo a cierta distancia del cañón. En general, un proyectil describe una trayectoria característica llamada parabólica, cuyos parámetros dependen del ángulo de lanzamiento, de la aceleración debida a la gravedad en el lugar de la experiencia y de la velocidad inicial; con la que se lanza. Si el origen del sistema de coordenadas se ubica necesariamente en el punto central de la bola durante el disparo, se obtendrán las siguientes relaciones:

87

Manual de Laboratorio de Física General

v x = v0 cos ϕ v y = v0 senϕ x = v x .t 1 y = v y .t − g .t 2 2

(1) (2) (3) (4)

A partir de la ecuación (3) se sigue directamente que t = x / v , con lo x que se puede eliminar el tiempo de la ecuación (4), resultando:

x 1 ⎛ x⎞ y = v y − g ⎜⎜ ⎟⎟ vx 2 ⎝ vx ⎠

2

(5)

Si, en la ecuación obtenida, se eliminan aun las magnitudes empleando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

y = tan ϕ .x −

g .x 2 2 2 2v0 cos ϕ

vx y vy ,

(6)

Esta es la ecuación de la trayectoria de un proyectil que es lanzado con una velocidad inicial V0 y bajo un ángulo ϕ . En esta ecuación se desconoce la velocidad inicial v 0 y el ángulo ϕ (en la parte experimental estos valores serán manejados a criterio del experimentador). Para los diferentes experimentos, se determina v 0 (m/s).

y

g

v0

h ϕ x

0 R

Figura Nº 1: Gráfica del Movimiento Parabólico 88

Manual de Laboratorio de Física General La ecuación (6) es válida si: a) el alcance es suficientemente pequeño b) la altura es suficientemente pequeña como para despreciar la variación de la gravedad con la altura c) la velocidad inicial del proyectil es suficientemente pequeña para despreciar la resistencia del aire Combinando las ecuaciones del (1) al (4) obtenemos las siguientes relaciones de recurrencia: -

Para la altura máxima:

v sen 2ϕ h= 0 2. g 2

-

(7)

Para el alcance máximo:

v sen(2.ϕ ) R= 0 g 2

(8)

Figura Nº 2: Máximo alcance como función del ángulo de inclinación ϕ = 45° para diferentes velocidades iniciales v0. Curva 1: v0 (m/s) para tensión de muelle 1; Curva 2: v0(m/s) para tensión de muelle 2; Curva 3: v0 (m/s) para tensión de muelle 3.

4.

PROCEDIMIENTO: 4.1

Arme el sistema experimental como se indica en la Figura Nº 3

Primera parte: 4.2

Elija un ángulo de disparo (0°- 90°) y una tensión de muelle (1, 2 o 3) con el cual se pueden alcanzar tres velocidades diferentes.

4.3

Antes de colocar el tablero perpendicularmente al área de trabajo (mesa), debe hacer un lanzamiento de la esfera para obtener el alcance máximo (R). 89

Manual de Laboratorio de Física General 4.4

Coloque sobre el tablero la hoja de papel blanco y sobre esta la hoja de papel carbón.

4.5

Coloque el tablero perpendicularmente al área de trabajo (mesa) justo a las distancias (R/6), (2R/6), (3R/6), (4R/6) y (5R/6), y proceda hacer un lanzamiento para cada distancia.

4.6

En todos los casos el impacto de la esfera dejara una marca sobre el papel blanco.

4.7

Se tomara como dato la altura de la mesa de trabajo al punto de impacto ( y m ) y la distancia del cañón de disparo a la pizarra de pared blanca ( x m ).

4.8

Complete la Tabla N° 1.

4.9

Elija otras condiciones iniciales (tres como mínimo, según lo indique el profesor), repitiendo los pasos (4.2 al 4.7) y proceda anotar los datos en tablas similares a la Nº 1.

4.10 Proceda a calcular la velocidad inicial a partir de la ecuación (6), despejando v0. Anote sus resultados en la tabla Nº 1, según la pregunta 5.4 del cuestionario.

Figura Nº 3: Sistema experimental de lanzamiento de un proyectil describiendo el movimiento parabólico

90

Manual de Laboratorio de Física General Tabla N° 1: Datos del Movimiento Parabólico Posición de la Tensión del muelle (1, 2 ó 3) = ; Angulo de disparo ϕ = º Distancia de lanzamiento

Altura de la pared

Velocidad

x m (m)

y m (m)

v0 (m/s)

0

¿?

Nº

1

R= 0

2

R/6 =

3

2R/6 =

4

3R/6 =

5

4R/6 =

6

5R/6 =

7

R=

Segunda parte: 4.11 Retire la pizarra de la mesa de trabajo. 4.12 Manteniendo fijo la tensión del muelle (1, 2 o 3) para un ángulo de disparo de 10º proceda hacer un lanzamiento de la esfera y mida el alcance máximo (R). 4.13 Repita el procedimiento anterior variando el ángulo de 10º en 10º hasta llegar a 80º, mida sus respectivos alcances ( R ) y registre sus datos en la Tabla Nº 2. 4.14 Desinstale el sistema experimental y devuélvalo conforme y tal se le entrego. 4.15 Proceda a calcular la velocidad inicial a partir de la ecuación (8), despejando v0. Anote sus resultados en la tabla Nº 2.

91

Manual de Laboratorio de Física General Tabla Nº 2: Datos del Movimiento Parabólico para ángulos diferentes Posición de la Tensión del muelle (1, 2 ó 3) =

Nº

Angulo de disparo ϕ

1

10º

2

20º

3

30º

4

40º

5

50º

6

60º

7

70º

8

80º

Alcance Máximo R (m)

Velocidad

v0 (m/s)

CONSIDERACIONES: En el montaje experimental en la Figura Nº 3. Si la bola aterriza directamente sobre la placa de trabajo, se debe tomar en cuenta una altura de disparo de y 0 =2.5cm. Durante el lanzamiento contra una pared vertical (tablero blanco) se debe restar de la distancia horizontal “punto de dispara hasta la pared” el radio de la bola (1.25 cm) para, de esta manera, obtener el valor de medida de distancia x m . El valor de medida de altura y m se obtiene de la distancia que va del “punto de impacto en la pared hasta la placa de la mesa” menos 3.75 cm.

92

Manual de Laboratorio de Física General

R (m)

ϕ

(º)

Figura Nº 4: Máximo alcance como función del ángulo de inclinación Φ para diferentes velocidades iniciales v0. Curva 1: v0=5.3 m/s; Curva 2: v0=4.1 m/s; Curva 3: v0=3.1 m/s

5.

CUESTIONARIO 5.1

Utilice los datos de la Tabla Nº 1, para graficar en papel milimetrado Y vs X.

5.2

Encuentre la ecuación de la trayectoria de la bola a partir de los datos de la tabla Nº 1 use el ajuste por mínimos cuadrados para ello.

5.3

Compare el coeficiente de x al cuadrado de la ecuación de la trayectoria calculada en la pregunta anterior con el coeficiente de x al cuadrado de la ecuación (6) y determine v 0 .

5.4

En Lima el valor de la gravedad tiene un valor igual a 9,78 m/s2. Determine la velocidad inicial v 0 con la cual la bola pasa por el origen de las coordenadas use la ecuación (6) para ello y los datos de la tabla Nº 1.

5.5

¿En qué punto la bola chocará contra el suelo? ¿En qué tiempo?

5.6

¿Qué velocidad lleva la bola un instante antes de chocar contra el suelo? Exprese su resultado en forma vectorial. 93

Manual de Laboratorio de Física General 5.7

Utilice los datos de la Tabla Nº 2, para graficar en papel milimetrado R vs ϕ .

5.8

Encuentre la ecuación que gobierna la grafica anterior, use el software Logger Pro para ello a partir de los datos de la tabla Nº 2 .

5.9

¿Cuál cree que han sido las posibles fuentes de error en su experimento?

5.10 como aplicaría este tema en su carrera profesional?

6.

7.

8.

Observaciones.6.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Conclusiones.7.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

94

Manual de Laboratorio de Física General

9.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 9.1

9.2

Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F., México, Cap. 3, pág. 61 – 76 Física, Raymond A. Serway, McGraw Hill, Cuarta edición, 1997, Cap. 4, pág. 74 – 85

" Las ciencias aplicadas no existen, sólo las aplicaciones de la ciencia." LOUIS PASTEUR (1822-1895) Químico y microbiólogo Francés

Figura Nº 5: Exposición de destellos múltiples de un jugador de tenis ejecutando un golpe de derecha. Observe que la bola sigue una trayectoria parabólica característica de un proyectil. Estas fotografías pueden utilizarse para estudiar la calidad del equipo deportivo y el rendimiento de un atleta.

95

Manual de Laboratorio de Física General

MECÁNICA Movimiento Circular Uniforme

Práctica de Laboratorio Nº 07

Tópicos Relacionados Trayectoria, Móvil, tiempo, velocidad tangencial, velocidad angular, aceleración angular, Fuerza Centrípeta, Movimiento rotacional de una masa puntual, Mediciones, graficas

1.

OBJETIVOS 1.1 1.2 1.3 1.4

2.

EQUIPOS Y MATERIALES -

3.

Reconocer el movimiento circular uniforme. Medición del tiempo t requerido por un cuerpo para cubrir una trayectoria circular. Determinar el periodo de un cuerpo en movimiento circular Calcular el módulo de la velocidad angular de un cuerpo con trayectoria circular.

Un (01) modulo de movimiento circular Un (01) Juego de masas (10, 20, 50, 100 y 150 g) Un (01) porta pesa Una (01) Balanza de tres brazos marca Ohaus Un (01) Cronómetro digital, hh, mm, ss, cc. Una (01) regla de metal de 100 cm.

FUNDAMENTO TEÓRICO El movimiento circular es común en la naturaleza y en nuestra experiencia diaria. La Tierra gira en una órbita casi circular alrededor del Sol; la Luna alrededor de la Tierra. Las ruedas giran en círculos, los coches describen arcos circulares cada vez que doblan una esquina, etc. El movimiento Circular se da cuando el móvil describe una trayectoria circunferencial.

97

Manual de Laboratorio de Física General V

V

s

t

θ ω

0 r

V

V

Figura Nº 1: Movimiento Circular uniforme

En la figura Nº 1 se observa que el ángulo θ subtiende un arco s recorrido por el móvil en un tiempo t, entonces la velocidad lineal V esta dada por:

V=

s t

(1)

y de la relación trigonometrica tenemos:

V= Entonces a la relación:

ω=

s = θ .r

reemplazando en la ecuación (1),

θ .r

(2)

t

θ

(3)

t

se le define como la velocidad angular ( ω ) y esta dada por la relación entre el desplazamiento angular ( θ ) ocurrido en un tiempo ( t ) dado. La relación entre la velocidad lineal tangencial y la velocidad angular es:

V = ω.r

(4)

de la relación (3), si el ángulo barrido es 2 π entonces el tiempo empleado para esa revolución es el periodo T y la ecuación (3) queda :

ω=

2.π = 2.π . f T

donde f es la frecuencia ( s-1 o Hz).

98

(5)

Manual de Laboratorio de Física General

En el lenguaje común diríamos que si el módulo de la velocidad lineal es constante, no existe aceleración, pero como la velocidad no sólo posee módulo, sino dirección, en este caso cuando un cuerpo describe una trayectoria circunferencial, la dirección está variando constantemente, y debido a esto la partícula también sufre aceleración. Newton fue uno de los primeros en reconocer la importancia del movimiento circular. El demostró que cuando una partícula se mueve con velocidad constante “v” según un círculo de radio “r”, posee una aceleración dirigida hacia el centro del círculo. Esta aceleración se llama Aceleración Centrípeta, es decir:

ac =

v2 r

(6)

Como esta aceleración actúa sobre la masa “M” de la partícula, tendremos LA FUERZA CENTRIPETA Fc = Mac (7) Reemplazando las ecuaciones (4) en (6) y luego en (7), tenemos:

ω=

Fc M .r

(8)

Lo cual implica, si conociendo la fuerza centrípeta la masa y el radio de giro podemos conocer la velocidad angular.

4.

PROCEDIMIENTO: 1.

Disponga el sistema experimental como se muestra en la Figura Nº 2:

2.

Mediante la balanza mida la masa M, anótelo. M = ________

3.

Usando la varilla delgada con su base como indicador del dispositivo mecánico, elija un radio r, mida este y anote su valor. Ajuste los tornillos de sujeción. r = ________

Este experimento lo realizaremos en dos partes: 4.

Determinación de la magnitud de la Velocidad angular efectuando mediciones de tiempo: y revoluciones completas

99

Manual de Laboratorio de Física General 1.

Desajuste el tornillo del eje de soporte y deslice la varilla de soporte de la masa M, hasta que el indicador coincida con el extremo inferior de la masa que termina en punta. Ajuste el tornillo.

2.

En la misma varilla de soporte de la masa M, existe un contrapeso, deslícelo hasta que se ubique a la misma distancia de la masa, respecto al eje de soporte, con la finalidad de lograr equilibrio al momento de rotación. Ajuste el tornillo del contrapeso.

3.

El eje del soporte también posee un resorte, el cual debe conectarse a la masa M, conecte el resorte a la masa.

4.

Usando el eje de soporte, haga girar la masa M hasta lograr que coincidan el indicador y el extremo inferior de la masa, manténgalo girando mediante impulsos suaves al eje, para lograr el movimiento circular con el radio “r”, entonces habremos logrado aproximadamente un movimiento circular uniforme en un plano horizontal, tal como se muestra en la figura

Figura Nº 2: Modulo de Movimiento Circular

5.

Usando el cronómetro, mida el tiempo que demora la masa M es efectuar 5, 10 y 15 revoluciones, llene las tabla Nº 1, y determine el valor de la frecuencia, que se evalúa mediante:

f=

nº de revoluciones N = tiempo total t

100

(9)

Manual de Laboratorio de Física General Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento circular uniforme (MCU) Número Revoluc (Rev) θ

Tiempos (s)

t1

t2

Promedio Tiempo (s)

Periodo (s)

Frecuencia (s-1)

Velocidad angular (Hz)

t

T

f

ω

t3

5 10 15 Promedios: 6.

Usando la ecuación (5) calcule la velocidad angular, anote sus resultados en la Tabla Nº 1.

F

Fr

T

Mg

mg

Figura Nº 3: Sistema experimental para determinar la Fuerza Centrípeta

101

Manual de Laboratorio de Física General

5.

Cuantificando la Fuerza Centrípeta en condiciones ESTÁTICAS: 1.

Observe la figura Nº 3, mediante una cuerda atada a la masa M, y que pase por la polea. En el extremo libre coloque el porta pesas, ahora agregue masas en el porta, de tal manera que estire al resorte hasta que el extremo inferior de la masa M coincida con el indicador como si “rotara”

2.

Trazando el Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L) que se Observa en la figura Nº 4, en el “estado de equilibrio”, se cumple que:

Fr = T1 + T2 + Mg + T

(10)

En una breve demostración (Usando método de la componentes vectoriales) nos lleva a calcular que T = Fr Donde T es la fuerza ejercida por la cuerda ligada a la porta pesas.

T2 T1

T

Fr

Mg Figura Nº 4: Diagrama de Cuerpo Libre

Teniendo en cuenta que la fuerza del resorte Fr (estado estático) es la Fuerza centrípeta FC (estado dinámico) del procedimiento 4, siendo esta la fuerza que produce el movimiento circular. Basándonos en este criterio, se tendrá entonces que: T = Fc = m.g 102

(11)

Manual de Laboratorio de Física General

3.

Usando la ecuación (8) calcule la velocidad angular, anote sus resultados en la Tabla Nº 2. Observe que ω = ωref en esta ecuación para la tabla Nº 2.

Tabla N° 2: Calculo de la Fuerza Centrípeta y Comparación de resultados

Ensayos

r (cm)

Δr (cm)

M (g)

ΔM (g)

m (g)

Δm (g)

FC (N)

ΔFC (N)

ωref (s-1)

Δωref (s-1)

Erel (%)

1 2 3 Donde:

6

r = radio de giro; Δr = error de radio; f =frecuencia; Δf = error de Frecuencia FC = Fuerza centrípeta; ΔFC = error de la fuerza centrípeta m = masa en el porta pesa, Fc = mg (con g = 9,8 m/s2 ) Erel (%) = error relativo porcentual calculado con respecto a la velocidad angular (ω)

Calcule también el error relativo porcentual entre la velocidad angular calculado en el procedimiento 4.5 (experimental) y la velocidad angular calculado en el procedimiento 5.3 (de referencia), registre sus datos en la tabla Nº 2

Erel (%) = 7

ωref − ω .100 (%) ωref

(12)

Repita los procedimientos del 3 al 6 para otros radios de giros, en total tres ensayos. Registre sus datos en la tabla Nº 2

103

Manual de Laboratorio de Física General

5.

CUESTIONARIO 5.1

En el caso de movimiento circular uniforme, la trayectoria recorrida (revoluciones) y el tiempo empleado para ello son proporcionales? , explique.

5.2

Durante el movimiento ¿Quién o que ejerce la fuerza centrípeta?

5.3

De cinco ejemplos de movimiento circular uniforme. Detalle.

5.4

Durante el procedimiento. ¿Qué operación ejecutó usted para mantener el movimiento circular uniforme?

5.5

Señale las posibles causas de errores experimentales que se cometen en esta experiencia.

5.6 como aplicaría este tema en su carrera profesional? 6.

OBSERVACIONES 6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.

CONCLUSIONES 7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

104

Manual de Laboratorio de Física General 8.

SUGERENCIAS 8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9.

REFERENCIAS 9.1

Física, Vol. I, Marcelo Alonso y Edward Finn, addison Wesley, 1986.

9.2

Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F., México.

9.3

Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987, Wilmington, Delaware, EEUU,

"La misma ley que a una lágrima moldea y le ordena gotear desde su fuente, es la ley que hace esférica a la Tierra y a los astros dirige eternamente." SAMUEL ROGERS

105

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 5: Imagen aérea del Fermilab (Chicago), uno de los aceleradores más grandes del mundo, con un diámetro de unos 6.3 km Acelerador de partículas circular. En esta clase de aceleradores de partículas, estas viajan múltiples veces a lo largo de un camino circular de una anchura de mas de unos milímetros. Existen dos variantes de aceleradores circulares: los ciclotrones (que constituyen el primer modelo de acelerador construido) y los más modernos sincrotrones, con los cuales se alcanzan energías en el rango de los TeV - inaccesibles a los aceleradores lineales.

106

Manual de Laboratorio de Física General

ESTÁTICA Primera condición de equilibrio Práctica de Laboratorio Nº 08

Tópicos relacionados Fuerzas, relaciones trigonométricas, análisis vectorial, poleas, Peso, Primera Ley de Newton, Segunda Ley de Newton.

1.

Objetivos 1.1. Comprobar experimental, grafica y analíticamente, la primera condición de equilibrio.

1.2. Medir y representar gráficamente fuerzas, a partir del dispositivo experimental que se proporcionara.

2.

Equipos y materiales -

3.

Un (01) módulo para estática Elwe ( dos dinamómetros de 5 N). Un (01) juego de pesas (seis unidades de 100 g c/u) Un (01) hilo o cuerda de 20 cm de longitud. Una (01) balanza Ohaus, 2.100 kg, ( 1/10 g de precisión) Un (01) transportador circular, 360º, 1/360º Una (01) pizarra acrílica. Dos (02) plumones para pizarra acrílica (rojo y azul). Una (01) regla de 100 cm.

Fundamento teórico 3.1 Equilibrio Mecánico.- Un cuerpo se encuentra en Equilibrio Mecánico, cuando se halla en estado de reposo o realizando un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), con respecto a un observador fijo en tierra (Sistema de Referencia Inercial). Luego, si un cuerpo esta en reposo, entonces se encuentra en Equilibrio Estático y si se mueve con MRU estará en Equilibrio Cinético. 107

Manual de Laboratorio de Física General

3.2 Primera Ley de Newton.- Si un cuerpo esta en equilibrio la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre el (Fuerza Neta) debe ser cero. Por tanto la suma de las componentes en cada dirección de coordenadas de las fuerzas debe ser cero.

3.3 Segunda Ley de Newton.- Como consecuencia de la segunda ley de Newton podemos decir que la resultante de las Fuerzas (Fuerza Neta) que actúan sobre un cuerpo es igual a su masa por aceleración. Por tanto, la suma de las componentes en cada dirección coordenadas de las fuerzas es igual a la masa por la correspondiente componente de la aceleración.

3.4 Cuando un cuerpo esta en movimiento circular (MCU), esta acelerando y la Fuerza Neta sobre el no es cero.

3.5 Primera Condición de Equilibrio.- Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el debe ser cero. Es decir:

∑

G G G Fi = F R = 0

(1)

i

∑F

X

G =0

y

∑

G FY = 0

(2)

Nota: Sí, sobre un cuerpo, actúan tres fuerzas y estas definen su equilibrio, estas deben ser concurrentes:

108

Manual de Laboratorio de Física General

F3

α

β O

θ F2

F1

Figura Nº 1: Fuerzas externas actuando sobre un cuerpo rígido

Haciendo el Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

109

Manual de Laboratorio de Física General

Y F2

F1

θ β

O

α

X

F3 Figura Nº 2: Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) de las Fuerzas actuando sobre el cuerpo

Método Analítico:

1)

Podemos aplicar las ecuaciones (2) para demostrar la primera condición de equilibrio. Aquí debemos descomponer cartesianamente los vectores fuerzas.

En el caso general, cuando actuando más de tres fuerzas podemos aplicar el método del polígono cerrado 2)

También podemos aplicar el Teorema de Lamy para demostrar la primera condición de equilibrio.

F1 F F = 2 = 3 senα senβ senθ

110

(3)

Manual de Laboratorio de Física General Método Grafico:

3)

Como la resultante del sistema de Fuerzas es Cero, graficando las Fuerzas se debe formar un triangulo vectorial cerrado. Se recomienda este método especialmente si dos de las fuerzas forman un ángulo de 90°. F2

α – 90º F1

β – 90º

F3

Figura Nº 3: Triangulo Vectorial cerrado

4.

Procedimiento.4.1 En esta ocasión, usted empleara un par de dinamómetros circulares, para consideraciones: -

lo

cual

debe

tener

las

siguientes

Debe calibrar a cero los dinamómetros. (Ver la Figura Nº 4)

111

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 4: Calibración a cero de los Dinamómetros

-

Para tener una lectura correcta la aguja roja indicadora debe hacer un ángulo de 90º con la cuerda de donde pende las masas. (Ver la Figura Nº 5)

112

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 5: Lectura correcta con el Dinamómetro

4.2 Instale el equipo como se muestra en la Figura Nº 6. 4.3 Agregando masas en el extremo de la cuerda consiga el

equilibrio del punto O (intersección de las cuerdas) (Ver la Figura Nº 6).

4.4 Determine el valor de la masa m , con la balanza, calcule su peso (F3) usando la formula F = mg (donde: g = 9,8 m / s 2 ) y anótelos en la Tabla N° 1.

113

Manual de Laboratorio de Física General Tabla N° 1: Datos experimentales para la primera condición de equilibrio Casos

Masa ( g ) m

Fuerza ( N ) F1

F2

Ángulos ( º ) F3

α

β

θ

Caso I Caso II Caso III

4.5 Mida con el Dinamómetro las tensiones de las cuerdas (fuerzas: F1 y F2 ) y anótelos en la Tabla N° 1.

4.6 Usando el transportador mida los ángulos α , β y θ ; Anotelos valores en la Tabla Nº 1.

114

Manual de Laboratorio de Física General

O

Figura Nº 6: Sistema experimental para la Primera condición de equilibrio

4.7 Para el caso II y el caso III, varíe los valores de la masa m. y/o la

posición de los dinamómetros. Repita los pasos desde 4.4 hasta 4.6.

115

Manual de Laboratorio de Física General

5.

Cuestionario Para los casos I II y III, responda las siguientes preguntas:

5.1 Teniendo en cuenta el dispositivo experimental, haga el

diagrama de cuerpo libre del punto O donde se unen las tres cuerdas (Figura N° 2 y Figura N° 6 ).

5.2 Compruebe analíticamente con el método de descomposición

cartesiana si se cumple o no, la primera condición de equilibrio (ver ecuación (2)).

5.3 Compruebe analíticamente con el Teorema de Lamy si se cumple o no, la primera condición de equilibrio (ver ecuación (3)).

5.4 Teniendo en cuenta el modulo, dirección y sentido de las fuerzas, verifique gráficamente si se cumple o no, la primera condición de equilibrio. Use papel milimetrado y una escala adecuada (ver Figura Nº 3).

5.5 Represente cada una de las fuerzas que actúan sobre la barra en notación vectorial (regístrelos en la Tabla N° 2).

5.6 De los tres métodos para demostrar la Primera Condición de Equilibrio, ¿cuál cree usted que es más confiable?, explique y fundamente su respuesta.

5.7 ¿Cuáles son las posibles fuentes de error en este experimento? 5.8 ¿Cómo aplicaría este tema en su carrera profesional?

116

Manual de Laboratorio de Física General TABLA N° 2: Notación Vectorial de las Fuerzas

Fuerzas ( N ) G F1 G F2 G F3 Fuerzas ( N ) G F1 G F2 G F3 Fuerzas ( N ) G F1 G F2 G F3

6.

7.

CASO I Notación vectorial

CASO II Notación vectorial

CASO III Notación vectorial

Observaciones.6.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Conclusiones.7.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

117

Manual de Laboratorio de Física General

8.

Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3

9.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Referencias bibliográficas.9.1 Teoría y problemas de Física General, Frederick J. Bueche, Mc Graw Hill, 1982, México D.F., México, Cap. 2, Pág. 9 - 16.

9.2 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.4, Pág. 71 - 72.

9.3 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México DF, México, Cap. 5, pág. 120 -125.

" El término Equilibrio implica ya sea que el objeto este en reposo o que su centro de masa se mueva con velocidad constante." Sir Isaac Newton, Francés

118

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 7: Lanzón monolítico en 3D de la Cultura Chavín - Perú, es un ejemplo de equilibrio estable.

119

Manual de Laboratorio de Física General

ESTÁTICA Segunda condición de equilibrio Práctica de Laboratorio Nº 09

Tópicos relacionados Fuerzas, relaciones trigonométricas, análisis vectorial, poleas, Peso, Primera Ley de Newton, Segunda Ley de Newton, Primera Condición de Equilibrio.

1.

Objetivos 1.1. Comprobar experimental, grafica y analíticamente, la segunda condición de equilibrio.

1.2. Medir y representar gráficamente fuerzas, a partir del dispositivo experimental que se proporcionara.

2.

Equipos y materiales -

3.

Un (01) módulo para estática Elwe ( dos dinamómetros de 5 N). Un (01) juego de pesas (seis unidades de 100 g c/u) Un (01) hilo o cuerda de 20 cm de longitud. Una (01) balanza Ohaus, 2.100 kg, ( 1/10 g de precisión) Un (01) transportador circular, 360º, 1/360º Una (01) pizarra acrílica. Dos (02) plumones para pizarra acrílica (rojo y azul). Una (01) regla de 100 cm. Una (01) barra (regla) de 54.5 cm con agujeros.

Fundamento teórico 3.1 Cuerpo Rígido.- Se llama cuerpo rígido a la porción de materia cuyos pares de partículas no tienen movimientos relativos unas con respecto a otras, aun estando sometidas a la acción de fuerzas. [3]. 121

Manual de Laboratorio de Física General

3.2 Primera Ley de Newton.- Si un cuerpo esta en equilibrio la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre el (Fuerza Neta) debe ser cero. Por tanto la suma de las componentes en cada dirección de coordenadas de las fuerzas debe ser cero.

3.3 Segunda Ley de Newton.- Como consecuencia de la segunda ley de Newton podemos decir que la resultante de las Fuerzas (Fuerza Neta) que actúan sobre un cuerpo es igual a su masa por aceleración. Por tanto, la suma de las componentes en cada dirección coordenadas de las fuerzas es igual a la masa por la correspondiente componente de la aceleración.

3.4 Primera Condición de Equilibrio.- Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el debe ser cero. Es decir:

∑

G G G Fi = F R = 0

(1)

i

∑F

X

G =0

y

∑

G FY = 0

(2)

3.5 Cuando un cuerpo esta en movimiento circular (MCU), esta acelerando y la Fuerza Neta sobre el no es cero.

3.6 Momento o Torque de una Fuerza.-

Consideremos un cuerpo rígido (Figura Nº 1) que puede girar alrededor de un eje que G pasa por el punto “O”. Si aplicamos una fuerza F sobre el punto “A” situado a una distancia “R” con respecto a “O”, la experiencia nos indica que el cuerpo tiene la posibilidad de girar. La cantidad que describe este hecho se denomina “momento” o ”torque” de una fuerza y es una magnitud vectorial.

122

Manual de Laboratorio de Física General

θ

A

B θ

d

G F

G r

O Figura Nº 1: Fuerza externa actuando sobre un cuerpo rígido

G

El momento o torque de la fuerza F respecto al punto “O” se define como:

G

G G

τ = r×F

(3)

En la Figura Nº 1, d= OB es la distancia perpendicular del punto “O” a la línea de acción de la fuerza y se conoce como brazo de palanca de G la fuerza F . Cuando una fuerza hace girar o trata de hacer girar al cuerpo en sentido horario el momento producido se considera negativo y si el giro es antihorario se considera de signo positivo. Para hallar el torque total o resultante se sumara algebraicamente el torque producido por cada una de las fuerzas.

G G ∑τ i = ∑ ri × Fi G

i

(4)

i

Aplicando el análisis vectorial a la ecuación (3) tenemos:

G G τ = r F senθ G

de la Figura Nº 1 observamos en el triangulo rectángulo AOB:

123

(5)

Manual de Laboratorio de Física General

G d = r senθ

(6)

resultando la ecuación escalar para el Momento de una fuerza: G F 0

M = F.d , donde:

F⊥d

y

(7)

G M =τ G F 0

3.7 Segunda Condición de Equilibrio.-

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio rotacional es necesario que la suma de los momentos o torques, producidos por todas las fuerzas que actúan sobre él sea cero.

G G G ∑τ i = ∑ ri × Fi = 0 G

i

(8)

i

o en forma escalar:

∑M

G Fi 0

= Fi .d i = 0 ,

(9)

i

4.

Procedimiento 4.1 En esta ocasión también, usted empleara un par de

dinamómetros circulares, para lo cual debe tener las siguientes consideraciones: -

4.2

Debe calibrar a cero los dinamómetros. (Ver la Figura Nº 4 del Laboratorio: Primera Condición de Equilibrio) Para tener una lectura correcta la aguja roja indicadora debe hacer un ángulo de 90º con la cuerda de donde pende las masas. (Ver la Figura Nº 5 del Laboratorio: Primera Condición de Equilibrio)

Instale el equipo como se muestra en la Figura Nº 2, de manera que se encuentre en equilibrio. Considere que el equilibrio se ha alcanzado cuando al producir un pequeño desplazamiento a cualquiera de las pesas y luego soltarlo se observa que vuelve 124

Manual de Laboratorio de Física General

inmediatamente a su posición original (de lo contrario variar la cantidad de masas hasta lograr el equilibrio)

m Figura Nº 2: Sistema experimental para la segunda condición de equilibrio

F2

F1 D

α

C

B

A

β

θ

θ

F4 = Wbarra

F3 Figura Nº 3: Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre la barra

4.3 Usando el transportador mida los ángulos α , β y θ y anótelos en la Tabla N° 1 (Observe la Figura Nº 3). 125

Manual de Laboratorio de Física General

4.4 Determine el valor de la masa m , con la balanza, calcule su peso (F3) usando la formula F = mg (donde: g = 9,8 m / s 2 ), haga lo mismo con la masa barra mbarra y anótelos en la Tabla Nº 1.

4.5 Mida con el Dinamómetro las tensiones de las cuerdas (fuerzas: F1 y F2 ) y anótelos en la Tabla N° 1.

4.6 Para el caso II y el caso III, varíe los valores de la masa m. y/o la

posición de los dinamómetros. Repita los pasos desde 4.2 hasta 4.5.

Tabla N° 1: Datos experimentales para la primera condición de equilibrio Masa ( g )

Fuerza ( N )

Distancias ( cm )

Casos m

mbarra

F1

F2

F3

Fbarra

AB

AD

Ángulos ( º )

α

β

Caso I Caso II Caso III

5.

Cuestionario Para los casos I II y III, responda las siguientes preguntas:

5.1 Teniendo en cuenta el dispositivo experimental, haga el diagrama de cuerpo libre con las fuerzas aplicadas sobre la barra ( Figura N° 3 ).

5.2 Compruebe analíticamente con el método de descomposición

cartesiana si se cumple o no, la primera condición de equilibrio (ver ecuación (2) del Laboratorio: Primera Condición de Equilibrio).

126

θ

Manual de Laboratorio de Física General

5.3 Compruebe analíticamente con el Teorema de Lamy si se cumple o no, la primera condición de equilibrio (ver ecuación (3) del Laboratorio: Primera Condición de Equilibrio).

5.4 Teniendo en cuenta el modulo, dirección y sentido de las fuerzas, verifique gráficamente si se cumple o no, la primera condición de equilibrio. Use papel milimetrado y una escala adecuada (ver Figura Nº 3 del Laboratorio: Primera Condición de Equilibrio).

5.5 Represente cada una de las fuerzas que actúan sobre la barra en notación vectorial (regístrelos en la Tabla N° 2).

5.6 Compruebe analíticamente si se cumple o no, la segunda condición de equilibrio, para ello tome momentos respecto del punto A (ver ecuación (9)).

5.7 Cuales son las posibles fuentes de error en este experimento? 5.8 Como aplicaría este tema en su carrera profesional?

127

Manual de Laboratorio de Física General

TABLA N° 2: Notación Vectorial de las Fuerzas CASO I Fuerzas ( N ) G F1 G F2 G F3

Notación vectorial

CASO II Fuerzas ( N ) G F1 G F2 G F3

Notación vectorial

CASO III Fuerzas ( N ) G F1 G F2 G F3

6.

Notación vectorial

Observaciones.6.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

128

Manual de Laboratorio de Física General

7.

8.

Conclusiones.7.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3

9.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Referencias bibliográficas.9.1 Teoría y problemas de Física General, Frederick J. Bueche, Mc Graw Hill, 1982, México D.F., México, Cap. 3, Pág. 17 - 26.

9.2 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.4, Pág. 72 - 74.

9.3 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México DF, México, Cap. 5, pág. 120 -125.

" Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas." ALBERT EINSTEIN

129

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 4: El levantador de pesas tiene que elevar las pesas de modo que el torque resultante sobre el mismo sea cero, en todo momento. De lo contrario se generaría un torque que produciría el desequilibrio del sistema, produciéndose un giro.

130

Manual de Laboratorio de Física General

ESTÁTICA Centro de gravedad de figuras planas Práctica de Laboratorio Nº 10 Tópicos relacionados Análisis vectorial, Sólido Rígido, Equilibrio, Fuerzas, Peso, Torque y Momento, Centro de Masa, Figuras Planas

1.

Objetivos 1.1 Determinar el centro de gravedad de figuras planas indicadas por el docente, entre ellas un triángulo, cuadrado, forma “T” y forma “U”.

1.2 Aplicar las condiciones de Equilibrio a figuras planas indicadas por el docente, entre ellas un triángulo, cuadrado, forma “T” y forma “U”.

2.

Equipos y materiales − − − − − − −

3.

Un (01) soporte universal Una (01) plomada Una (01) regla de 100 cm Una (01) nuez de sujeción Un (01) Pin o Chinche Tres (03) muestras de figuras planas (“U”, “T”, “L”) Tres (03) hojas de papel milimetrado (según la cantidad de figuras).

Fundamento teórico Se llama centro de gravedad de un cuerpo al punto de aplicación del peso absoluto. Se entiende por peso absoluto de un cuerpo a la resultante de las acciones de la gravedad sobre todos los puntos materiales que constituyen dicho cuerpo.

131

Manual de Laboratorio de Física General

Las “n” partículas del cuerpo son atraídos por la gravedad terrestre por lo tanto existen tantas fuerzas paralelas hacia abajo como partículas tenga el cuerpo llamados pesos (Wi). La resultante de estas fuerzas debe estar en algún punto, puede estar situado fuera de cuerpo como en el caso de un aro, o en el centro de un cuadro rectangular (ver Anexo D). Podemos calcular el centro de gravedad analíticamente a partir de la gráfica mostrada (ver Figura Nº 1). Por simplicidad, para analizar el centro de gravedad tomaremos solo dos partículas que generalizando serán validas para “n” partículas. Recordando que la ecuación escalar para los Momentos de una fuerza esta dado por: G F 0

donde: palanca)

M = F.d , F⊥d (F=Fuerza

(1) y d= distancia brazo de

Podemos observar (ver Figura Nº 1) que la sumatoria de los momentos producidos por W1 y W2 respecto al punto 0 deberá ser igual al momento producido por W respecto al mismo punto, es decir:

Figura Nº 1: Centro de gravedad de una figura plana

132

Manual de Laboratorio de Física General

M 0W = M 0W1 + M 0W1

(2)

W1 ⋅ x1 + W2 ⋅ x 2 = W ⋅ x

(3)

De donde:

W1x1 + W2 x 2 = x W

x=

ó

W1x1 + W2 x 2 W1 + W2

(4)

con (W = W1 + W2) Sabiendo que W = m.g y considerando que la masa (m) esta dada por m = ρ .V , que la densidad (ρ) es constante, que el volumen (V) puede expresarse en términos del espesor (e) y del Área (A) como V = e. A . Entonces el peso esta dado por:

W = ρ .e. A.g

(5)

Reemplazando W respectivamente en la ecuación (4) tenemos:

x=

A1 .x1 + A2 .x 2 A1 + A2

Análogamente obtendremos: W1 ⋅ y1

(6)

+ W2 ⋅ y 2 = W ⋅ y

(7)

De donde:

W1 y1 + W2 y 2 = y W W y + W2 y 2 y= 1 1 W1 + W2

133

ó (8)

Manual de Laboratorio de Física General

Reemplazando W respectivamente en la ecuación (4) tenemos: y=

A1 . y1 + A2 . y 2 A1 + A2

(9)

De lo dicho anteriormente el centro de gravedad debe estar en el punto (x,y). Si el cuerpo en experimentación es homogéneo podemos dividir en la cantidad de áreas que se quiera y cada una de ellas deberá ser proporcional a su peso y por lo tanto para calcular analíticamente el centro de gravedad de figuras planas de áreas calculables simplemente debemos tener las áreas y los centros de gravedades parciales de cada área.

x=

A1x1 + A2 x 2 A1 + A2

y=

A1y1 + A2 y2 A1 + A2

y

(10)

El centro de gravedad debe estar en el punto ( x , y ). Se debe tener presente que la posición del centro de gravedad no se altera si el cuerpo no varía de forma; tampoco si cambia de lugar, esto para cuerpos rígidos.

4.

Procedimiento METODO EXPERIMENTAL:

4.1 Instalar el equipo tal como se observa en el Figura Nº 2. 4.2 Suspenda la figura geométrica de un agujero con el pin fijando

sobre la nuez que esta sujeta al soporto universal (debe cuidar que la plomada quede en la cara visible de la figura).

4.3 Marque un punto (P1) con el lapicero en la parte superior por

donde pasa la cuerda de la plomada y continuación señale otro punto (P2) en el extremo inferior de la figura por donde pasa la plomada.

134

Manual de Laboratorio de Física General

4.4 Suspenda de otro agujero para obtener otro par de puntos (P3) y (P4).

4.5 Repita el paso anterior y obtendremos otro par de puntos (P5) y (P6).

Pin

Figura Nº 2: Sistema Experimental para hallar el centro de gravedad de una figura plana

4.6 Repita los pasos 4.2 al 4.5 para otras figuras según las indicaciones del profesor.

4.7 Trace los ejes X,Y en papel milimetrado y dibuje dentro de este sistema la figura con la cual experimento ( debe ser del mismo tamaño ) y trace los segmentos P1P2 , P3P4. y P5P6

4.8 Repita el paso anterior para las otras figuras, una en cada papel milimetrado.

4.9 ¿Qué significa experimentalmente la intersección de estos segmentos?

4.10 Indique las coordenadas del punto de intersección para cada figura.

135

Manual de Laboratorio de Física General

METODO ANALITICO:

4.11Calcule analíticamente el centro de gravedad (x,y) de todas las

figuras experimentadas y luego ubíquelos en la hoja milimetrada (use lapiceros de colores para distinguir trazos ).

SUGERENCIA: Para la determinación analítica de una figura geométrica se puede dividir la figura en varios rectángulos o triángulos según sea el caso o la necesidad.

Figura Nº 3: Figuras Planas y método para hallar su centro de gravedad

136

Manual de Laboratorio de Física General

Ejemplo. Si la figura estudiada fuera la letra T (ver Figura Nº 4) se divide en dos rectángulos y se calcula el centro de gravedad (ver Anexo D) mediante el siguiente cuadro: Tabla N° 1: Datos experimentales para el Centro de Gravedad de la letra T Figuras

x

y

A

A1 . x

A1 . y

I

X1

Y1

A1

A1 . x1

A1 . y 1

II

x2

y2

A2

A2 . x2

A2 . y 2

Ai

Ai . xi

Ai . yi

el centro de gravedad está en ( x , y )

x=

∑ A ⋅x ∑A i

i

i

i

,

i

y=

∑ A ⋅y ∑A i

i

i

i

i

Figura Nº 4: Centro de Gravedad de una Figura Plana (letra T)

137

(11)

Manual de Laboratorio de Física General

4.12Según sus resultados analíticos y experimentales complete el siguiente cuadro:

Tabla N° 2: Datos experimentales para la primera condición de equilibrio Errores Relativos Porcentuales (%)

Resultado Figura Nº Experimental ( xexp , yexp )

Analítico ( xref , yref )

x

y

I II III

5.

Cuestionario 5.1

¿La posición del centro de gravedad de una persona cambia cuando esta de pie respecto a cuando esta sentada?. Explique.

5.2

¿Cómo determinaría el centro de gravedad de una persona? Explique.

5.3

¿Cuál de los métodos es el más confiable; experimental o analítico? Fundamente.

5.4

Determine analíticamente el centro de gravedad de la figura mostrada (Figura Nº 5). (Tome las medidas con una regla a escala normal).

138

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 5: Figura Plana Compuesta

5.5

Cuales son las posibles fuentes de error en este experimento?

5.6 Como aplicaría este tema en su carrera profesional? 6.

Observaciones.6.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

139

Manual de Laboratorio de Física General

7.

8.

Conclusiones.7.1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sugerencias.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3

9.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Referencias bibliográficas.9.1 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.4, Pág. 68 - 71.

“ La gravedad es un misterio del cuerpo, inventado para ocultar los defectos del espíritu. “ Francois, Duque De La Rochefoucauld

140

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 6: La estatua de bronce de Felipe IV de Madrid tiene la cola del caballo maciza y el resto hueco, al objeto de que el centro de gravedad quede desplazado hacia la cola, posibilitando así el equilibrio del conjunto. Imagínese algunas estatuas de Lima tienen el mismo principio.

141

Manual de Laboratorio de Física General

TRABAJO Trabajo en un Plano Inclinado

Práctica de Laboratorio Nº 11

Tópicos Relacionados Trabajo, Fricción, Fuerzas, Coeficiente de Rozamiento, Energía, Conservación de la Energía

1.

OBJETIVOS 1.1 1.2

2.

EQUIPOS Y MATERIALES -

3.

Determinar experimentalmente el trabajo mecánico en un plano inclinado. Comprobar que el trabajo es una magnitud escalar.

Un (01) dinamómetro, 1.5 N Un (01) plano de metal (plano inclinado) Una (01) nuez simple Una (01) barra de soporte de 50 cm Una (01) barra de soporte de 25 cm Una (01) regla metálica de 100 cm Dos (02) pesas Dos (02) bases para soporte Dos poleas de 50 mm de diámetro

FUNDAMENTO TEÓRICO Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza F y este experimenta un desplazamiento Δs, se dice que la fuerza a realizado trabajo sobre el cuerpo; definimos este trabajo mediante la expresión.

ΔW = F ⋅ Δs

(1)

este trabajo elemental puede ser positivo o negativo dependiendo de las direcciones de F y del desplazamiento Δs (ver Figura Nº 1)

143

Manual de Laboratorio de Física General

Movimiento

θ A Δs

Figura Nº 1: Acción de una Fuerza sobre un cuerpo

4.

PROCEDIMIENTO 4.1

Instale el equipo como se indica en la Figura Nº 2

4.2

Use el dinamómetro para medir la fuerza debido al peso F1 de la

polea doble.

4.3

Anote sus datos en la Tabla Nº 1

4.4

Adjuntar los pesos. ¿Cuánto es ahora F1?

4.5

Mida una distancia S2 = 30 cm desde la parte inferior del plano inclinado y marcar en el lugar apropiado con el marcador universal.

Figura Nº 2: Sistema experimental del Trabajo sobre un Plano Inclinado

144

Manual de Laboratorio de Física General

4.6

Poner la altura del riel en S1 = 10 cm, donde S2 = 30 cm

4.7

Posicionar la polea doble (sin pesos anexados) en la parte inferior del riel. Punto A de la Figura N° 3.

4.8

¿Que fuerza atractiva (jalar) F2 es requerida para mover la polea doble desde A hasta B?

4.9

Poner el dinamómetro tal que este paralelo al plano inclinado.

4.10 Anotar el valor de F2 en la Tabla Nº 1. 4.11 Repetir el mismo experimento con pesos anexados.

S2

C S1

A Figura Nº 3: Relación de longitudes 4.12 Determinar el valor de F2. 4.13 Poner la altura del riel a S1 = 20 cm donde S2 = 30 cm, y repetir los pasos 4.7 y 4.11.

145

Manual de Laboratorio de Física General

Tabla Nº 1: Datos Experimentales S2 = 30 cm

S1

Carga

F1

F2

W1

W2

Poleas Poleas + Pesos Poleas Poleas + Pesos

5.

6.

CUESTIONARIO 5.1

Haga el diagrama de cuerpo libre del cuerpo en estudio de la Figura Nº 2.

5.2

Como varia el trabajo si la fuerza F2 se duplica?

5.3

Si un cuerpo cae libremente, ¿se efectuara trabajo?

5.4

¿Se cumple el teorema del Trabajo - Energía?

5.5

De cinco ejemplos sobre realización de trabajo de la vida cotidiana.

5.6

Investigar sobre las Fuerzas Conservativas y No Conservativas.

5.7

Con los materiales que se tiene en este experimento, ¿de que otra disposición se podrá demostrar el trabajo realizado por un cuerpo?

5.8

como aplicaría este tema en su carrera profesional?

OBSERVACIONES.6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 146

Manual de Laboratorio de Física General

7.

CONCLUSIONES.7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.

SUGERENCIAS.8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 9.1

Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.8.

9.2

Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap.13, Cap.14.

" El éxito no se logra sólo con cualidades especiales. es sobre todo un trabajo de constancia, de método y de organización." J. P. Sergent

147

Manual de Laboratorio de Física General

Figura Nº 4: El salmón Chum, subiendo una escalera en el río McNeil en Alaska. ¿por que son construidas escaleras como esta alrededor de las represas?. ¿Acaso las escaleras reduce la cantidad de trabajo que debe hacer el pescado para pasar la represa? (Imágenes de Daniel J. Cox / Tony Stone)

148

Manual de Laboratorio de Física General

ANEXO Nº 1 GRAFICAS Y ANÁLISIS DE FUNCIONES

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS.Existen dentro de los métodos de mínimos cuadrados varias formas de calcular la ecuación que mejor se ajusta a un conjunto de datos experimentales, como por ejemplo: -

Aproximación por rectas que pasan por el origen Aproximación por rectas que no necesariamente pasan por el origen Aproximación por polinomios de grado m Aproximación por familias arbitrarias de funciones Mínimos cuadrados ponderados

Nosotros estudiaremos el siguiente: Aproximación por polinomios de grado m: Calculemos ahora la mejor aproximación de un conjunto de valores experimentales (x1 , y1 ), (x 2 , y 2 ),..., (x N , y N ) por un polinomio de grado m. Podemos expresar la relación entre ambas magnitudes de la siguiente forma:

y = am x m + am −1 x m −1 + ... + a1 x + a0 en donde los a j j = 0,1,..., m son los coeficientes del polinomio, o sea, los valores que deseamos hallar. Procedamos de la misma manera que en los casos anteriores.

149

Manual de Laboratorio de Física General

y

y = a m x m + a m −1 x m −1 + ... + a1 x + a0

ε i = a m x m + a m − 1 x m − 1 + ... + a 1 x + a 0 − y i yi

xi

x Figura Nº 1: Dispersión de datos

Ahora, la distancia de cada punto del gráfico al polinomio tendrá la expresión

ε i = a m xi m + a m −1 xi m −1 + ... + a1 xi + a 0 − y i . Nuevamente calculemos la suma de las distancias de cada punto del gráfico al polinomio elevada al cuadrado, que nos da una idea de cuan cerca esta el polinomio de los datos experimentales. La misma estará dada por la siguiente expresión: N

N

(

E = ∑ ε i =∑ am xi + am−1 xi i =1

2

i =1

m

m −1

+ ... + a1 xi + a0 − yi

)

2

Observemos que la desviación cuadrática de los puntos respecto al polinomio es una función del polinomio, cada polinomio (o sea cada conjunto de coeficientes a j j = 0,1,..., m ) genera distancias de cada punto a dicho polinomio y por ende un valor de su suma al cuadrado. Lo que deseamos obtener es del polinomio (o sea el conjunto de coeficientes a j j = 0,1,..., m ) que minimice dicha función, o sea, obtener el polinomio de grado m que, en cierto sentido, esté más cerca de los puntos experimentales. En los casos anteriores, cuando teníamos rectas pasan por el origen, la función E dependía de una sola variable, a, y encontrar el valor que la minimizaba fue una tarea sencilla; luego, para rectas generales la función E dependía de dos variables, a y b, y encontrar los valores que la minimizaba fue un poco más complicado. En este caso general, la función E depende de m+1 variables a j j = 0,1,..., m y debemos encontrar el conjunto de valores que la minimizan. El trabajo actual es un poco más complicado, aunque es una simple generalización del procedimiento anterior al caso de m+1 variables. Para lograr dicho objetivo, debemos imponer la siguiente condición de extremo: 150

Manual de Laboratorio de Física General

⎧ ∂ E (a m , a m −1 ,..., a1 , a0 ) =0 ⎪ ∂a0 ⎪ ⎪ ∂ E (a m , a m −1 ,..., a1 , a0 ) =0 ⎪ ∂ a ⎨ 1 ⎪: ⎪ ⎪ ∂ E (a m , a m −1 ,..., a1 , a0 ) =0 ⎪ ∂ a ⎩ m Calculando dichas derivadas parciales de la expresión de E como función las m+1 variables a j j = 0,1,..., m , obtenemos:

(

)

(

)

(

)

(

)

0=

N ∂E m m −1 = 2∑ a m xi + a m −1 xi + ... + a1 xi + a 0 − y i ∂a 0 i =1

0=

N ∂E m m −1 = 2∑ a m xi + a m −1 xi + ... + a1 xi + a 0 − y i ( xi ) ∂a1 i =1

: 0=

n ∂E m m −1 j = 2∑ a m xi + a m −1 xi + ... + a1 xi + a 0 − y i ( xi ) ∂a j i =1

: 0=

n ∂E m m −1 m = 2∑ a m xi + a m −1 xi + ... + a1 xi + a 0 − y i ( xi ) ∂a m i =1

Dichas ecuaciones pueden ser rescritas de la siguiente manera: N

N

i =1

i =1

N

∑ yi = a n ∑ xi + an−1 ⋅ ∑ xi i =1

i

= a m ∑ xi

i

m −1

i =1

N

N

∑y x

m

m +1

i =1

N

N

N

i =1

i =1

+ ... + a1 ⋅ ∑ xi + a 0 ∑1 N

N

+ a m −1 ∑ xi + ... + a1 ∑ xi + a 0 ∑ xi m

i =1

2

i =1

i =1

: N

N

∑ y i x i = a m ∑ xi j

i =1

m+ j

i =1

N

+ a m −1 ∑ xi

m −1+ j

i =1

N

+ ... + a1 ∑ xi

1+ j

i =1

N

+ a 0 ∑ xi

j

i =1

: N

N

∑ y i xi = a m ∑ xi i =1

m

i =1

m+ j

N

+ a m −1 ∑ xi

m −1+ m

i =1

151

N

+ ... + a1 ∑ xi i =1

1+ m

N

+ a 0 ∑ xi i =1

m

Manual de Laboratorio de Física General

O, para ganar claridad pueden ser escritas en forma matricial de la siguiente manera.

⎡ N 0 ⎢ ∑ xi ⎢ i =N1 ⎢ x1 i ⎢∑ i =1 ⎢ N 2 ⎢ ∑ xi ⎢ i =1 ⎢ # ⎢N m ⎢∑ xi ⎣ i =1

N

∑ xi i =1 N

∑x

i

∑x

i

i =1 N

i =1

∑ xi i =1 n

2

∑x

∑x

i

∑x

i

i =1 N

3

i =1

#

N

i =1

N

1

∑x

m +1

"

3

"

4

"

#

N

i

2

i =1

⎤ ⎡ N 0 ⎤ ⎥ ⎢ ∑ y i xi ⎥ i =1 ⎥ ⎡ a 0 ⎤ ⎢ i =N1 ⎥ N m +1 ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ xi y i xi ∑ ⎥ ⎢ a1 ⎥ ⎢ ∑ ⎥ i =1 i =1 N N ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⊗ a 2 m+ 2 2 xi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∑ y i x i ⎥ ∑ ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ i =1 ⎥ i =1 ⎥ # ⎥ ⎢a ⎥ ⎢ # ⎣ m⎦ ⎢ N N ⎥ m⎥ 2m xi ⎥ ∑ ⎢∑ y i x i ⎥ i =1 ⎦ ⎣ i =1 ⎦ N

∑ xi

% m+2

i

"

m

Por lo tanto, la solución del sistema es

⎡ N 0 ⎢ ∑ xi ⎢ i =N1 ⎡ a0 ⎤ ⎢ x1 ⎢a ⎥ i ⎢∑ ⎢ 1⎥ i =1 ⎢ a 2 ⎥ = Inv ⎢ N 2 ⎢ ∑ xi ⎢ ⎥ ⎢ i =1 ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎢⎣a m ⎥⎦ ⎢N m ⎢∑ xi ⎣ i =1

N

∑ xi i =1 N

∑x

i

∑x

i

i =1 N

i =1

2

3

#

N

∑x i =1

1

m +1 i

N

∑ xi i =1 n

∑x

i

∑x

i

i =1 N

i =1

"

3

"

4

"

#

N

∑x i =1

2

% m+ 2

i

"

⎤ ⎡ N 0 ⎤ ⎥ ⎢ ∑ y i xi ⎥ i =1 ⎥ ⎥ ⎢ i =N1 N m +1 ⎥ 1 ⎥ ⎢ xi y i xi ∑ ⎥ ⎥ ⎢∑ i =1 i =1 N N ⎥ ⎢ ⎥ ⊗ m+ 2 2 ⎢ ⎥ x y x ∑ i i ⎥⎥ ∑ i ⎥ ⎢ i =1 i =1 ⎥ # ⎥ ⎢ # N ⎢N m⎥ 2m ⎥ xi ⎥ ⎢∑ y i x i ⎥ ∑ i =1 ⎦ ⎦ ⎣ i =1 N

∑ xi

m

En donde Inv [A] significa la matriz inversa de A. En conclusión hemos encontrado el conjunto de coeficientes a j j = 0,1,..., m del polinomio de grado m de la forma

y = a m x m + a m −1 x m −1 + ... + a1 x + a 0

que mejor aproxima los datos experimentales. Llegamos a la conclusión los coeficientes del polinomio de que minimiza la suma de las distancias al cuadrado de los valores experimentales al polinomio (el polinomio que en cierto modo más se aproxima a los valores experimentales) tienen las expresiones anteriormente calculadas. Recta de Mínimo Cuadrática La recta de mínimo cuadrática que ajusta el conjunto de puntos (x1 , y1), (x2 , y2), . . ., (xN , yN) tiene por ecuación;

y = a 0 + a1 x

152

Manual de Laboratorio de Física General Ahora, la dispersión en cada punto tendrá la expresión ε i = a0 + a1 x1 − y i . Nuevamente calculemos la suma de las distancias de cada punto del gráfico al polinomio elevada al cuadrado, que nos da una idea de cuan cerca esta recta de los datos experimentales. La misma estará dada por la siguiente expresión:

E = ∑ ε i =∑ (a0 + a1 x1 − y i ) N

N

2

i =1

2

i =1

Imponiendo la siguiente condición:

⎧ ∂ E (a1 , a0 ) =0 ⎪ ∂a 0 ⎪ ⎨ ⎪ ∂ E (a1 , a0 ) = 0 ⎪⎩ ∂a1 Operando las derivadas, respectivamente:

0=

N ∂E = 2 ∑ (a1 xi + a0 − yi ) ∂a0 i =1

0=

N ∂E = 2∑ (a1 xi + a0 − yi )( xi ) ∂a1 i =1

Obtenemos las siguientes ecuaciones llamadas” ecuaciones normales” para ajustar datos a una ecuación lineal: N

N

i =1

i =1

∑ yi = a1 ∑ xi + a0 N N

N

i =1

i =1

N

∑ yi xi = a1 ∑ xi + a0 ∑ xi 2

i =1

También podemos obtener los coeficientes de la ecuación lineal de las siguientes ecuaciones de recurrencias:

a0 =

∑x ∑ y − ∑x ∑x y N ∑x − (∑x ) 2 i

i 2

i

i

a1 =

i

N ∑ ( xi yi ) − N

153

i i

2

∑x

2 i

−

∑x ∑y (∑ x ) i

i

2

i

Manual de Laboratorio de Física General

GRAFICAS DE FUNCIONES

Función Constante

Función Lineal

Función Cuadrática

Función Inversa

154

Manual de Laboratorio de Física General

Función Polinómica de grado 3

Función Polinómica de grado 4

Laboratorio N°1

Función Homógrafa Función Seno

155

Manual de Laboratorio de Física General

Función Exponencial

Función Logarítmica

Función Coseno

"Una gráfica puede decir más que mil palabras." ANONIMO

156

Manual de Laboratorio de Física General

MODELO Nº 1 : PAPEL MILIMETRADO 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

157

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Manual de Laboratorio de Física General

MODELO Nº 2 : PAPEL SEMILOGARITMICO ( 10 X 4 ) 10000

1000

100

10

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

158

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Manual de Laboratorio de Física General

MODELO Nº 3 : PAPEL SEMILOGARITMICO ( 10 X 3 ) 1000

100

10

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

159

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Manual de Laboratorio de Física General

MODELO Nº 4 : PAPEL LOGARITMICO (3X3)

1000

100

10

1 1

10

100

160

1000

Manual de Laboratorio de Física General

COMPARACIÓN GRAFICA PARA UNA FUNCIÓN LINEAL Tabla Nº 1: Datos que describen una Función Lineal Nº

X

Y

1

0.5

5.5

2

1.1

7.3

3

2.3

10.9

4

3.0

13.0

5

3.9

15.7

6

5.0

19.0

7

6.1

22.3

8

7.0

25.0

9

7.9

27.7

10

8.5

29.5

GRAFICA Nº 1 : Datos de la Tabla Nº 1 en papel milimetrado

35

30

25

Y

20

15

10

5

0 0

1

2

3

4

5 X

Ecuación:

Y =3X+4

Observar las distorsiones que hacen los papeles.

161

6

7

8

9

10

Manual de Laboratorio de Física General GRAFICA Nº 2 : Datos de la Tabla Nº 1 e n pape l Se milogaritmico

10

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

GRAFICA Nº 3 : Datos de la Tabla Nº 1 e n pape l Logaritmico

10

X 100

Y

Y

100

10

1 0 0.1

1 X

162

10

Manual de Laboratorio de Física General

COMPARACIÓN GRAFICA PARA UNA FUNCIÓN EXPONENCIALDECRECIENTE GRAFICA Nº 4 : Datos de la Tabla Nº 2 e n pape l milime trado

Tabla Nº 2: Datos que describen una Función

100

Exponencial - Decreciente

90

Nº

X

Y

1

0.2

90.48

2

1.1

57.69

3

2.2

33.29

4

3.3

19.20

5

4.1

12.87

6

5.0

8.21

7

6.3

4.29

20

8

7.2

2.73

10

9

8.0

1.83

0

10

9.1

1.06

80 70

Y

60 50 40 30

0

1

2

3

4

5 X

Ecuación:

Y = 100 exp ( - 0.5 X )

Observar las distorsiones que hacen los papeles.

163

6

7

8

9

10

Manual de Laboratorio de Física General GRAFICA Nº 5 : Datos de la Tabla Nº 2 e n pape l Se milogaritmico

10

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

GRAFICA Nº 6 : Datos de la Tabla Nº 2 e n pape l Logaritmico

X 100

Y

Y

100

10

1 0 0.1

1 X

164

10

Manual de Laboratorio de Física General

COMPARACIÓN GRAFICA PARA UNA FUNCIÓN EXPONENCIALCRECIENTE GRAFICA Nº 7 : Datos de la Tabla Nº 3 e n pape l milime trado

Tabla Nº 3: Datos que describen una Función

100 90

x

80

p

70

o

60

n

50

X

Y

1

0.2

1.64

2

1.1

2.46

3

2.2

4.04

4

3.3

6.62

5

4.1

9.49

e

6

5.0

14.23

n

7

6.3

25.55

c

8

7.2

38.30

i

9

8.0

54.90

a

10

9.1

90.06

l

Y

E Nº

40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5 X

-Creciente Ecuación:

Y = 1.5 exp ( 0.45 X )

Observar las distorsiones que hacen los papeles.

165

6

7

8

9

10

Manual de Laboratorio de Física General GRAFICA Nº 8 : Datos de la Tabla Nº 3 e n pape l Se milogaritmico

10

GRAFICA Nº 9 : Datos de la Tabla Nº 3 e n pape l Logaritmico

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 100

X

Y

Y

100

10

1 0 0.1

1 X

166

10

Manual de Laboratorio de Física General

COMPARACIÓN GRAFICA PARA UNA FUNCIÓN POTENCIAL

Tabla Nº 4: Datos que

GRAFICA Nº 10 : Datos de la Tabla Nº 4 e n pape l milime trado

describen una Función Potencial

900 800

Nº

X

Y

1

4.3

1.10

2

5.1

2.07

600

3

6.0

3.79

500

4

7.5

8.64

5

9.9

24.14

6

12.4

55.54

7

15.3

120.87

200

8

19.7

307.96

100

9

22.8

528.85

0

10

25.5

800.14

Y

700

400 300

0

5

10

15 X

Ecuación:

Y = 0.005 X3.7

Observar las distorsiones que hacen los papeles.

167

20

25

30

Manual de Laboratorio de Física General

GRAFICA Nº 11 : Datos de la Tabla Nº 4 e n pape l Se milogaritmico

1000

Y

100

10

1 5

10

15

20

25

30

GRAFICA Nº 12 : Datos de la Tabla Nº 4 e n pape l Logaritmico

X 1000

100

Y

0

10

1 1

10 X

168

100

Manual de Laboratorio de Física General

ANEXO N° 2 MEDICIONES, CÁLCULO DE ERRORES Y SU PROPAGACION

REDONDEO DE DATOS EXPERIMENTALES El resultado de redondear un número que resultó de efectuar una medición o hacer un cálculo tal como 54,7 se hará al número entero más próximo que es 55, porque 54,7 está más próximo de 55 que de 54. Análogamente si tenemos el número 56,3526 redondeando al número decimal que tenga 2 decimales será 56,35; en este caso 56,3526 está más próximo a 56,35 que de 56,36. En el caso de hacer redondeo del número 85,565 a un número que contenga centésimas, este número se encuentra a la mitad entre 85,56 y 85,57. Se acostumbra en tales casos redondear al número par más próximo que precede al 5, así se debería tener 85,566 el cual aplicando el redondeo tendremos 85,57. Otros ejemplos: 253,975 redondea al centésimo a 253,98, un ejemplo que deberíamos tener en cuenta es el caso de la velocidad de la luz, siendo el número experimental 299 7925 km/s el cual se redondea a 300 000 km/s. Esta operación práctica es útil, especialmente al minimizar la acumulación de errores de redondeo, cuando abarca un número grande de operaciones de calculo. Nota: Nuestro grupo de practica hará su redondeo al: __________

169

Manual de Laboratorio de Física General CIFRAS O DIGITOS SIGNIFICATIVOS Únicamente son significativos los dígitos de una cantidad numérica que son el resultado de mediciones reales o cálculos a partir de mediciones reales. Por ejemplo para la cantidad (0.0000176 °C) solo son significativos el 1, el 7 y el 6. Los ceros (en este caso) sólo sirven para localizar el punto decimal. El cero puede en otros casos ser significativo (si es el resultado de mediciones reales), como por ejemplo, 98.0). Usando el método de expresión exponencial (Potencias de 10), eliminará cualquier problema de cuando son significativos los ceros. Si tenemos 4800000 ton, y no sabemos que ceros tomar como significativos, entonces nos vamos al reporte de error. Éste nos dice que la medición fue hecha con límite de error de ±10.000 ton, y así vemos que el primero de los ceros es significativo y el resto no. Se puede evitar cualquier dificultad escribiendo la cantidad como 4,80 x 106 ton. De concluimos que todos los dígitos frente a una potencia de 10 serán significativos. Al sumar, no se conservan más decimales que los que tenga el número con menos decimales. Esto se puede ver en la adición (29.32 + 0.01853 + 2.033), el resultado de la suma será (29.32 + 0.018 + 2.03 = 31.37). En el caso de la multiplicación o división, el resultado tendrá esencialmente el mismo número de cifras significativas que el término que tenga menos. Por ejemplo (103.4 x 0.99 = 102), donde las cifras significativas las hemos indicado en negrita. Ejemplo: 0,153

⇒

Tiene 3 cifras significativas

0,0547

⇒

Tiene 3 cifras significativas

170

Manual de Laboratorio de Física General 0,6009 307,000

⇒

Tiene 4 cifras significativas

⇒

Tiene 6 cifras significativas

CALCULOS CON NUMEROS APROXIMADOS: Recuerde que cuando se efectúen operaciones de cálculo de producto, división, radicación, etc. El resultado de la operación matemática, sólo debe contener una cantidad de cifras significativas igual al del número de la operación que tenga la menor cantidad de cifras significativas. Por ejemplo: Calculando el producto (1,46) x (3,5) = 5,11 Calculando la raíz cuadrada

62,8 = 8,234

entonces debe ser

5,1

entonces será 8,23

Evaluando el producto 2,45 x 3,6757 x 1,675 = 15,0842 entonces será 15,1 FÓRMA GENÉRICA PARA EVALUAR EL ERROR: Si la fórmula para evaluar una cantidad física depende de varias variables escrita en la siguiente. Expresión: F = F (x, y, z) Además sabemos que la forma correcta de expresar una medición ya sea directa o indirecta es de la forma: F = F0 ± ΔF Entonces podemos calcular el error de la siguiente manera: Calculo del error en Primera Aproximación: para hallar la variación de F, se usará matemáticamente la “regla de la cadena”, es decir:

ΔF =

∂F ∂F ∂F Δx + Δy + Δz ∂x ∂y ∂z

171

Manual de Laboratorio de Física General

Donde:

∂F , ∂x

∂F ∂y

y

∂F ∂z

son las derivadas parciales de la función F,

evaluadas en las variables que son consideradas “constantes” cuando hacemos la derivación correspondiente. Evaluando el cociente ΔF/F0 donde F0 = F ( x0 , y0 , z0 ) Luego se tendrá:

ΔF ∂F Δx ∂F Δy ∂F Δz = + + F0 ∂x F0 ∂y F0 ∂z F0

Caso especial si F = F(xn, y, z)

ΔF ∂F Δx ∂F Δy ∂F Δz =n + + Fo ∂x Fo ∂y Fo ∂z Fo Calculo del error en Segunda Aproximación: para hallar la variación de F, se usará matemáticamente la siguiente formula: (ΔF)2 =

( ΔF )

Donde:

∂F , ∂x

∂F ∂F ∂F Δx + Δy + Δz ∂y ∂x ∂z 2

⎛ ∂F ⎞ 2 2 2 ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ =⎜ ⎟ ( Δy ) + ⎜ ⎟ ( Δx ) + ⎜ ⎟ ( Δz ) ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 2

2

∂F ∂y

y

∂F ∂z

2

son las derivadas parciales de la función F,

evaluadas en las variables que son consideradas “constantes” cuando hacemos la derivación correspondiente. USANDO LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR (para cálculos en segunda aproximación) - Si el Tipo de cálculo es una adición o sustracción tal como x = p+q+r

172

Manual de Laboratorio de Física General

σ x = σ 2p + σ q2 + σ r2

La desviación estándar de x es:

x=

- Si el tipo de cálculo es un producto y cociente

pq r

La desviación estándar de x es: ⎛

σp

⎜ ⎝

p0

σ x = x0 ⎜ (

)2 + (

σq q0

)2 + (

⎞ )2 ⎟ r0 ⎟⎠

σr

- Si el tipo de cálculo es elevar a una potencia

x = py ⎛ σp ⎝ p0

σ x = x0 ⎜⎜ y

La desviación estándar es:

⎞ ⎟⎟ ⎠

Nota: p, q, r son variables experimentales de mediciones directas cuyas desviaciones estándar son σp , σq , σr respectivamente, e constante.

y es una

"Un sólo número no es suficiente para describir algunos conceptos físicos. El darse cuenta de este hecho señaló un avance indudable en la investigación científica." EINSTEIN e INFELD

173

Manual de Laboratorio de Física General

ANEXO N° 3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

1.

OBJETIVOS 1.1 Estudiar el MRUV de un objeto en un plano inclinado 1.2 Determinar a partir de él el valor de la aceleración de gravedad.

2.

EQUIPOS Y MATERIALES − − − − −

3.

Un (01) Carro Dinámico Un (01) Riel de Metal Un (01) Sensor de movimiento Marca Vernier Un (01) Computador PC con interfaz LabPro Vernier Una (01) Regla graduada (100 cm)

FUNDAMENTO TEÓRICO El carro se desliza por el plano inclinado por la acción de la fuerza de gravedad (Figura Nº 1). La aceleración debida a la gravedad apunta en dirección de la vertical hacia abajo, como muestra la Figura Nº 2. La componente de la gravedad en la dirección del plano inclinado es gxsenθ. Si los efectos debidos a roce son despreciables, gxsenθ es la aceleración a que está sometido el carro. Por lo cual el carro se moverá con un movimiento uniformemente acelerado.

Figura Nº 1: plano inclinado con carro dinámico.

175

Manual de Laboratorio de Física General Para medir la aceleración, el carro parte desde el reposo y el sensor de movimiento detectará su movimiento. El programa Logger Pro 3 registra y muestra el movimiento del carro. Al graficar la posición vs el tiempo se deberá obtener una curva cuadrática, graficando la velocidad vs el tiempo se obtendrá una línea recta, por último de la aceleración medida versus senθ, se debe obtener una recta, cuya pendiente es precisamente la aceleración de gravedad g.

gxsenθ

g θ Figura Nº 2: aceleración debida a la gravedad y sus componentes.

Se puede calcular el seno del ángulo basado en la altura y longitud del riel.

4.

MONTAJE EXPERIMENTAL: 1.

Monte el riel y el sensor de movimiento, de acuerdo como muestra la Figura Nº 3. Observación: El rango de medición del sensor de movimiento es 0.15 m – 6 m, no coloque ningún objeto a medir a distancias menores de 0.15 m.

2.

Ajuste la inclinación adecuada del sensor de movimiento de tal forma que el carro dinámico se encuentre en el cono de detección del mencionado sensor.

3.

Levante un extremo del riel, de modo que quede a 10 cm por sobre la superficie de la mesa de trabajo.

4.

Encienda primero la interfase y luego conecte la interfase LabPro al computador (usando el puerto serie o el USB).

5.

Conecte el sensor de movimiento (Sensor digital) a la interfase.

176

Manual de Laboratorio de Física General

Sensor de movimiento Carro dinámico

Riel θ Figura Nº 3: montaje experimental.

5.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: 1.

Ponga en ejecución el programa Logger Pro 3. Instale el sensor de movimiento y abra las gráficas de v vs t y x vs t presionando la columna de posición o velocidad en la tabla y luego el menú Insertar -> Gráfica (además tendrá que configurar el tiempo de toma de datos y la velocidad de muestreo) o abra el archivo 02carro.CMBL (en el cual ya todo esto fue hecho) Observación: Los sensores son automáticamente identificados por la interfase al conectarse al canal respectivo, si esto no ocurre existen dos posibilidades o el sensor es muy antiguo o tiene algún desperfecto.

2.

para iniciar la recolección de datos. Suelte el carro Presione desde la parte superior del riel, de tal forma que el sensor de movimiento detecte el carro dinámico. Una vez que el carro dinámico se haya movido una distancia prudente presione para terminar con el registro de datos.

3.

Si es necesario presione para obtener una mejor escala del gráfico o presione Ctrl+J para reescalar automáticamente. Para obtener la aceleración, seleccione la región a analizar en la grafica de v vs t, y presione el botón para realizar un ajuste lineal. Interprete el significado físico de la pendiente de esta gráfica. 177

Manual de Laboratorio de Física General 4.

Repita el procedimiento anterior tres veces para el mismo ángulo de inclinación.

5.

Ajuste la altura del extremo superior del riel, disminuyéndola en un centímetro y mida nuevamente la aceleración tres veces.

6.

Repita todo el procedimiento anterior para un total de 6 ángulos, disminuyendo la inclinación del riel en un centímetro cada vez.

7.

Anote sus resultados en una tabla como la siguiente:

Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento rectilíneo uniformemente Acelerado (MRUA) Alturas 5 cm

6 cm

7 cm

8 cm

9 cm

10 cm

a1 a2 a3

senθ Largo del riel: ___________ cm Análisis de Datos Parte 1 1.

Use la información de la altura y largo del riel para calcular el valor senθ para cada caso.

2.

Calcule la aceleración promedio para cada ángulo.

3.

Finalmente realice un gráfico aceleración vs senθ. Trace la mejor recta posible a través de los puntos y determine la pendiente de esa recta. Interprete físicamente el resultado obtenido.

4.

Compare la diferencia porcentual entre el valor obtenido por usted. y el valor aceptado de g=980 cm/s². Discuta la precisión de su resultado.

178

Manual de Laboratorio de Física General Parte 2 1.

Para el último caso analizado (h=10 cm), seleccione la región a analizar de la gráfica x vs t, presione para hacer un ajuste de curvas. Seleccione un ajuste cuadrático y pruebe el ajuste. ¿Por qué el ajuste tiene que ser cuadrático?

2.

6.

Interprete el significado físico de cada parámetro de la función cuadrática.

CUESTIONARIO: 1.

Si se aumentara la masa del carro al doble, agregando masa sobre éste, ¿se modificaría el resultado obtenido? Discuta y haga el experimento para un caso particular.

2.

Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los datos de la distancia d y t , y encuentre d = f (t ) (cálculos a mano y calculadora).

3.

¿Cuál es el porcentaje de diferencia entre el valor medido para g?

4.

¿Que puede decir del software Logger Pro en la aplicación de este laboratorio?

5.

¿como aplicaría este tema en su carrera profesional?

"En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los filósofos le han dedicado; sin embargo yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él que hasta ahora han pasado inadvertido." GALILEO GALILEI

179

Manual de Laboratorio de Física General

ANEXO N° 4 FUERZA CENTRIPETA

1.

OBJETIVOS 1.1 Analizar el movimiento circular uniforme 1.2 Determinar el periodo de un cuerpo en movimiento circular 1.3 Cuantificar la fuerza centrípeta que actúa sobre una masa

2.

EQUIPOS Y MATERIALES − − − − − − − − − − −

3.

Un (01) Tubo de plástico de 25 cm de longitud Tres (03) tapones de caucho con orificios y su seguro Una (01 )cuerda de 1,5 metros Veinte (20) arandelas metálicas de 7,5 gr aproximadamente cada una Una (01) Pinza caimán Una (01) porta arandela y un clip Una (01) Balanza Marca Ohaus Un (01) cronómetro Una (01) cinta métrica de 2 m Dos (02) hojas de papel milimetrado Una (01) calculadora científica personal

FUNDAMENTO TEÓRICO El movimiento circular a velocidad constante es un movimiento acelerado, aunque la magnitud de la velocidad permanece constante, la dirección del vector de velocidad cambia continuamente. Por la Segunda Ley de Newton sabemos que se requiere una fuerza para mantener esta aceleración. De la observación del movimiento de ciertos objetos que tienen este tipo de movimiento circular, surge una serie de interrogantes:

181

Manual de Laboratorio de Física General ¿Cuál es la relación entre esta fuerza y la velocidad del objeto, su masa y el radio del círculo? Para responder a estas preguntas, se utilizará el aparato sencillo que se muestra en la figura N° 1, el cual nos permitirá medir la fuerza mientras se observa el movimiento. Cuando se hace girar el tubo de plástico en un pequeño círculo sobre nuestra cabeza, el tapón de caucho gira sobre un círculo horizontal, así mismo al final de la cuerda que pasa a través del tubo, está asegurada a varias arandelas metálicas que cuelgan abajo en un porta-arandelas. También observamos que la fuerza de la gravedad que actúa sobre las arandelas a lo largo de la cuerda, suministra la fuerza horizontal necesaria para mantener el movimiento circular del tapón. Esta fuerza horizontal se llama FUERZA CENTRIPETA. M

R Plano horizontal

Tubo de plástico Pinza Caimán

m

Figura Nº 1: Movimiento Circular Uniforme.

182

Arandelas con su porta

Manual de Laboratorio de Física General En nuestro experimento evaluaremos esta fuerza dada por la relación Fc = M ac, donde M es la masa del tapón y ac es la aceleración centrípeta dada por la expresión: ac =

v2 R

donde v es la rapidez o magnitud de la velocidad constante y R es el radio de la trayectoria circular. También sabemos que la aceleración centrípeta es: ac = ϖ2 R = 4 π2 f2 R donde ϖ es la frecuencia angular y f es la frecuencia de giro del tapón, en consecuencia la fuerza centrípeta se expresará como: Fc = 4 π2 M f2 R

4.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: A. Ensayo previo Con solo una arandela colocada en el porta-arandelas para evitar que se salga el tapón, haga girar este sobre su cabeza, sujete con la otra mano al mismo tiempo la cuerda en la parte inferior del tubo, responda a las primeras interrogantes: ¿Tiene usted que aumentar la tensión sobre la cuerda cuando aumenta la rapidez del tapón? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------¿Qué pasa si suelta la cuerda?: -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

183

Manual de Laboratorio de Física General B. Investigación Cuantitativa Fuerza dependiente de la velocidad, manteniendo constantes la masa M y el radio R: 1.

2.

Pase suficiente cuerda por el tubo de manera que el tapón de masa M, pueda girar en un círculo con radio aproximado de R = ____ cm (NOTA: Cada mesa de trabajo debe tener su propio radio de giro, a partir de 20 cm, 30 cm, 40 cm etc. y medido desde el extremo del tubo hasta aproximadamente el centro de gravedad del tapón). Coloque una pinza caimán, justamente debajo del tubo para que sirva como marca para usted, observe en todo momento esta marca, y mantenga constante el radio R de giro al rotar el tapón. Coloque 4 arandelas en el porta-arandelas al final de la cuerda tal como se muestra en la figura N° 1. Para hallar la rapidez de giro del tapón, haga que su compañero tome el tiempo con el cronómetro, mientras usted hace girar el tapón, y cuente 10 revoluciones. Midiendo el tiempo y el número de revoluciones; calcule la frecuencia y el periodo, y anote los datos en la Tabla N° 1.

TABLA Nº 1 Fuerza dependiente de la velocidad: R = ____ cm; M = ______ g Nº 1

Aran Peso Revolu dela (N) ciones s 4 10

2

8

10

3

12

10

4

16

10

5

20

10

Tiempo (s) t1

t2

t3

t4

t5

t (s)

Frecue. Período f (s-1) T (s)

El valor de la frecuencia f es igual al número de revoluciones (10, 20 o 50) dividido entre el tiempo t, es decir: f=

número de revoluciones Tiempo (s)

184

Manual de Laboratorio de Física General También se sabe que

1 T Donde T es el periodo (anote sus resultados en la tabla N° 1). f=

3.

Repita 5 veces más el proceso de medición del tiempo, y calcule el valor promedio, para determinar la frecuencia y el periodo, anote sus resultados en la misma tabla.

4.

Repita el procedimiento1, 2, y 3 para el número de arandelas sugeridas en la tabla N° 1, tenga presente los valores constantes que se están utilizando.

5.

Haga un gráfico del peso de las arandelas en función del periodo del movimiento del tapón ¿Puede usted imaginar una forma más conveniente para representar gráficamente sus datos?

6.

Ensaye un gráfico con la frecuencia en lugar del periodo.

7.

Ensaye con f2 ¿Cómo depende la fuerza centrípeta de la frecuencia, cuando la masa y el radio se mantienen constantes?.

Observaciones: Hacer las gráficas en papel milimetrado. Fuerza dependiente de la masa giratoria: 8.

Adicionar un tapón de caucho en el extremo de la cuerda, y haga girar las masas, manteniendo el radio de giro constante. ¿Qué esperaría usted encontrar?. ¿En que se basa su predicción?

9.

Repita el procedimiento del 1 al 7 y anote sus resultados en la tabla N° 2.

185

Manual de Laboratorio de Física General TABLA Nº 2 Fuerza dependiente de la velocidad: R = ____ cm; M = ______ g Nº 1

Aran Peso Revolu dela (N) ciones s 4 10

2

8

10

3

12

10

4

16

10

5

20

10

Tiempo (s) t1

t2

t3

t4

t5

t (s)

Frecue. Período f (s-1) T (s)

10. Repita el procedimiento N° 9, agregando una tercera masa (tapón de caucho), repitiendo el procedimiento N° 8 y anote sus resultados en la tabla N° 3. TABLA Nº 3 Fuerza dependiente de la velocidad: R = ____ cm; M = ______ g Nº 1

Aran Peso Revolu dela (N) ciones s 4 10

2

8

10

3

12

10

4

16

10

5

20

10

Tiempo (s) t1

t2

t3

t4

t5

t (s)

Frecue. Período f (s-1) T (s)

Fuerza dependiente del radio de giro: 10. Es más difícil investigar experimentalmente la dependencia entre la fuerza centrípeta y el radio cuando se mantienen constantes la frecuencia y la masa. 11. Puede usted sugerir una forma de efectuar esto? Observación: Haga los cálculos con la aplicación del software Logger Pro

186

Manual de Laboratorio de Física General

5.

CUESTIONARIO: 1.

Si usted hizo un gráfico del peso de arandelas en función de la frecuencia, ¿Qué concluye de la dependencia en la fuerza centrípeta y la frecuencia? ¿Son directas o inversamente proporcionales?

2.

Respecto al gráfico del peso de arandelas y la frecuencia al cuadrado. ¿Qué concluye usted en cuanto a la relación entre estas?

3.

¿Qué representa la pendiente del gráfico obtenido?

4.

¿Cuantitativamente, el cociente de esta pendiente y el producto 4 π2 R M (donde R es el radio del giro y M la masa del tapón de caucho usado), hacia que valor tiene su tendencia?.

5.

Quizás usted notó que la parte de la cuerda del tubo al tapón de caucho no permanecía exactamente horizontal. La fuerza gravitacional tiraba el tapón hacia abajo. Hacer un diagrama vectorial donde se muestre este efecto.

6.

De acuerdo a la situación anterior, usted puede ver que el efecto de la fuerza gravitatoria ejercida sobre el tapón no cambia la relación entre la fuerza centrípeta (medida según el peso de arandelas), la longitud de la cuerda entre el tubo y el tapón y la frecuencia de revolución?. Haga un análisis vectorial y matemático para responder a esta afirmación.

7.

¿Qué consideraciones deberá tener para poder establecer la relación entre la fuerza centrípeta y la masa del objeto en movimiento?

8.

¿Qué consideraciones deberá tener para poder establecer la relación entre la fuerza centrípeta y el radio de giro?

9.

De 5 ejemplos de cuerpos que describen un movimiento circular.

10. ¿como aplicaría este tema en su carrera profesional?

"En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los filósofos le han dedicado; sin embargo yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él que hasta ahora han pasado inadvertido." GALILEO GALILEI

187

Manual de Laboratorio de Física General

ANEXO N° 5 FUERZA NORMAL Y A LO LARGO DE UN PLANO INCLINADO

1.

OBJETIVOS 1.1 Medir el valor de una fuerza en determinadas situaciones y relacionarlos con otros parámetros. G 1.2 Demostrar que la relación entre una fuerza F2 dirigida hacia G abajo paralela a una pendiente, está relacionada a su peso F1 , como la altura del plano inclinado lo está a su longitud. 1.3 Utilizar notaciones vectoriales para encontrar las relaciones entre estas magnitudes. G G 1.4 Medir la fuerza F2 a lo largo del plano y la fuerza F3 normal al plano de un cuerpo en un plano inclinado en función del ángulo de la inclinación. G G 1.5 Comparar las fuerzas medidas F2 y F3 con las fuerzas G calculadas con la ayuda de la aceleración de la gravedad g .

2.

EQUIPOS Y MATERIALES -

-

3.

Un (01) pin, 5.5 g Un (01) Riel de metal de 100 cm Un (01) soporte universal Un (01) bloque escalonado Un (01) dinamómetro, 1.5 N Un (01) dinamómetro, 3.0 N Una (01) regla metálica de 100 cm Dos (02) masas ranuradas, 100 g Dos (02) masas ranuradas, 50 g Una (01) balanza, 610g, de 0.1 g de sensibilidad

FUNDAMENTO TEÓRICO Designaremos ”el cambio con respecto al tiempo del momentum de una partícula con el nombre de fuerza”.

189

Manual de Laboratorio de Física General La fuerza es un concepto matemático el cual es igual a la derivada con respecto al tiempo del momentum de una partícula dada, cuyo valor depende a su vez de su interacción con otras partículas. De aquí que podemos considerar a la fuerza como la expresión de una interacción Si la partícula es libre, su momentum será constante

G p = cte.

y la fuerza

G G se definiría como F = dp dt = 0 . Por lo tanto concluimos que sobre una

partícula libre no actúan fuerzas. Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo el cual se encuentra sobre un plano inclinado, debemos descomponer dicha fuerza en una componente paralela y en otra perpendicular al sentido de su movimiento. Esta técnica se llama diagrama de cuerpo libre y es de mucha utilidad en Física para la solución de diversos problemas de mecánica En el presente experimento ubicaremos y mediremos dichas componentes, también, investigaremos los diferentes casos cuando el plano es inclinado correspondiente a diferentes ángulos

Plano Inclinado: El movimiento de un cuerpo en un plano inclinado G puede ser descrito fácilmente cuando la fuerza ejercida por el peso F1 (masa * gravedad) en el cuerpo se descompone vectorialmente en G G F3 normal (o una fuerza F2 paralela al plano y una fuerza perpendicular al plano).

G

G

G

Figura Nº 1: Descomposición del peso F1 entre la fuerza F2 y la fuerza F3 (A lo largo y Normal al plano inclinado, respectivamente)

190

Manual de Laboratorio de Física General La fuerza paralela actúa paralela al plano, y la fuerza normal actúa perpendicular al plano (véase Figura Nº 1). Para valores absolutos de las fuerzas, podemos decir:

F2 = F1 ⋅ senα

(1)

F3 = F1 ⋅ cos α

(2)

y

G G El experimento verifica esta solución. Aquí, las dos fuerzas F2 y F3 se miden para varios ángulos inclinación α usando dinamómetros de precisión. Podemos variar el ángulo de inclinación α moviendo la altura S1 = 5 cm para varias distancias S 2 entre el pivote del plano inclinado y el punto de soporte (véase Figura Nº 1). Podemos, entonces afirmar que:

senα =

S1 S2

(3) y

⎛S ⎞ 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝ S2 ⎠

cos α =

2

(4)

(1) y (3) nos dan la fuerza a lo largo del plano:

F2 = F1 ⋅

S1 S2

(5)

y (2) y (4) nos dan la fuerza normal al plano:

F3 = F1 ⋅

191

⎛S ⎞ 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝ S2 ⎠

2

(6)

Manual de Laboratorio de Física General

4.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: 1.

Arme el sistema experimental como indica la Figura Nº 2:

Figura Nº 2: Relación entre distancias y fuerzas en un plano inclinado Donde : S1: Altura; S2: Longitud de la Rampa; F1: Peso del carro; F2: Componente de F1; FZ: Fuerza Registrada por el Dinamómetro

2.

Relación entre la masa y el peso: 2.1 Mida la masa del carrito con el pin que se le suministró en el laboratorio con ayuda de una balanza de precisión. 2.2 Aumente la masa del carrito en 10 g y repita el paso anterior hasta llenar la columna de masas. 2.3 Calcule el peso del carrito con sus respectivas masas y llene la Tabla N° 1 (multiplicar por el valor de la gravedad). 2.4 Con ayuda de los dinamómetros mida el valor de la fuerza del carrito para los diferentes casos y compárelas en la Tabla N° 1. 2.5 Calcule el error relativo y porcentual de sus valores.

192

Manual de Laboratorio de Física General Tabla N° 1: Valor del Peso del Carrito con Pin = 0.9 N

i

Masa i (kg)

1

90.5

2

100.5

3

110.5

4

120.5

5

130.5

6

140.5

3.

Peso i calculado (N)

Peso i Peso i (dinamom. (dinamom. 1.5 N) 3.0 N)

ΔW % (1er Caso)

ΔW % (2do Caso)

Fuerza actuando Sobre un Plano Inclinado: 3.1 Arme el dispositivo de la Figura Nº 2. 3.2 Mida la longitud del plano inclinado.

G

3.3 Determine la fuerza debida al peso F1 ejercida por el carro. 3.4 Coloque el carro sobre el plano inclinado y sosténgalo con el dinamómetro por uno de sus extremos (ver Figura Nº 2). 3.5 Aumente la masa del carro con las pesas de 50 g y llene la Tabla Nº 2. 3.6 Calcule la razón entre las alturas S1 y las longitudes S 2 del plano inclinado en cada caso. Ingrese sus resultados en la Tabla Nº 2. 3.7 Calcule la razón entre las fuerzas F2 y con respecto a las fuerzas F1 en cada caso. Ingrese también sus resultados en la Tabla Nº 1

193

Manual de Laboratorio de Física General Tabla N° 2: Relación de alturas y Fuerzas Longitud del plano inclinado: S 2 = 40 cm Fuerza debido al peso F1

4

Altura S1

Componente F2 paralela a la pendiente

S1 S2

F2 F1

CUESTIONARIO: S1 F y de 2 . S2 F1

1.

Compare los resultados de

2. 3.

Formule una ecuación que describa la fuerza F2 . Que podría afirmar de la ecuación formulada del (1) al (6), ¿ Se cumplen? Que valores máximos podrían tomar las componentes de las fuerzas. Explique cinco (05) ejemplos de aplicaciones de este experimento en la vida diaria. ¿como aplicaría este tema en su carrera profesional?

4. 5. 6.

" El éxito no se logra sólo con cualidades especiales. es sobre todo un trabajo de constancia, de método y de organización." J. P. Sergent

194

Manual de Laboratorio de Física General

APENDICE A: FORMULARIO DERIVADAS 1.

(a = cte.) y = a ⎯⎯ ⎯→

y ′ = 0.

2.

y = a ⋅ x n ⎯⎯→

y ′ = n ⋅ a ⋅ x n -1 .

3.

y = ( f ) n ⎯⎯⎯→

y ′ = n ⋅ ( f ) n −1 ⋅ f ′.

4.

y = L(x) ⎯⎯⎯→

5.

y = L( f ) ⎯⎯⎯→

6.

y = log a ( x) ⎯ ⎯→

7.

y = log a ( f ) ⎯⎯→

1 y′ = . x f′ y′ = . f 1 y ′ = ⋅ log a (e). x f′ y ′ = ⋅ log a (e). f

8.

y = a x ⎯⎯⎯→

y ′ = a x ⋅ L(a ).

9.

y = a f ⎯⎯⎯→

y ′ = f ′ ⋅ a f ⋅ L(a).

10.

y = e x ⎯⎯⎯→

y′ = e x .

11.

y = e f ⎯⎯⎯→

y′ = f ′ ⋅ e f .

12.

y = n f ⎯⎯⎯→

y′ =

13.

y = f ⋅ g ⎯⎯ ⎯→

y′ = f ′ ⋅ g + g ′ ⋅ f .

14.

y=

15.

y = senx ⎯⎯ ⎯→

f ⎯⎯⎯→ g

y′ =

f′ n ⋅ n ( f ) n −1

f ′ ⋅ g − g′ ⋅ f . g2

y ′ = cos x.

195

.

Manual de Laboratorio de Física General

16.

y = sen( f ) ⎯⎯→

y ′ = f ′ ⋅ cos( f ).

17.

y = sen n ( f ) ⎯ ⎯→

y′ = n ⋅ sen n − 1 ( f ) ⋅ f ′ ⋅ cos( f ).

18.

y = cosx ⎯⎯→

y ′ = − senx.

19.

y = cos( f ) ⎯⎯→

y ′ = -f ′ ⋅ sen( f ).

20.

y = cos n ( f ) ⎯⎯→

y′ = − n ⋅ cos n −1 ( f ) ⋅ f ′ ⋅ sen( f ).

21.

y = tgx ⎯⎯ ⎯→

22.

y = tg ( f ) ⎯⎯→ ⎯

23.

y = tg n ( f ) ⎯⎯→

24.

y = cot gx ⎯⎯→

25.

y = cot g ( f ) ⎯ ⎯→

26.

y = cot g n ( f ) →

1 = 1 + tg 2 x. 2 cos x f′ y′ = = f ′ ⋅ [1 + tg 2 ( f )]. 2 cos ( f ) f′ . y ′ = n ⋅ tg n −1 ( f ) ⋅ cos 2 ( f ) −1 y′ = = −(1 + cot g 2 x ). . 2 sen x − f′ y′ = . sen 2 ( f ) f′ . y′ = −n ⋅ cot g n −1 ( f ) ⋅ sen 2 ( f )

27.

y = sec x ⎯⎯→

y ′ = sec x ⋅ tgx.

28.

y = sec( f ) ⎯⎯→

y ′ = f ′ ⋅ sec( f ) ⋅ tg ( f ).

29.

y = cos ecx ⎯⎯→

y ′ = − cos ecx ⋅ cot gx.

30.

y = cos ec( f ) →

y′ = − f ′ ⋅ cos ec( f ) ⋅ cot g ( f ).

31.

y = arcsenx →

y′ =

y′ =

196

1 1− x2

.

Manual de Laboratorio de Física General

32.

y = arcsen( f ) →

33.

y = arccos x →

34.

y = arccos( f ) →

35.

y = arctgx ⎯ ⎯→

36.

y = arctg ( f ) ⎯ ⎯→

37.

y = arc cot gx →

38.

y = arc cot g ( f ) →

39.

y = arc sec x →

40.

y = arc sec( f ) →

41.

y = arccosecx→

42.

y = arccos ec( f ) →

y′ =

f′

.

1− ( f ) −1 . y′ = 1− x2 − f′ . y′ = 2 1− ( f ) 1 y′ = . 1+ x2 f′ . y′ = 2 1+ ( f ) −1 . y′ = 1+ x2 − f′ y′ = . 2 1+ ( f ) 1 . y′ = x ⋅ x2 −1 f′ y′ = . 2 f ⋅ ( f ) −1 −1 y′ = . x ⋅ x2 −1 − f′ y′ = . 2 f ⋅ ( f ) −1

197

2

Manual de Laboratorio de Física General

43. Derivación logarítmica:-

y =(f )

g

1º) Tomar L (logaritmos neperianos) en ambos miembros: Ly = g ⋅ Lf . 2º) Derivar en ambos miembros:

y′ f′ = g ′ ⋅ Lf + g ⋅ . y f

3º) Despejar y ′ de la expresión anterior: f′⎞ ⎛ y ′ = ⎜ g ′ ⋅ Lf + g ⋅ ⎟ ⋅ (f )g . f ⎠ ⎝

INTEGRALES 1.-

∫ adx = a ∫ dx = ax + C .

2.-

∫

3.-

n ∫ [f (x )] f ′ (x )dx

x n dx =

x n +1 + C, n +1 =

si

[f (x )]n + 1 n +1

n ≠ − 1. + C,

si

si

a > 0,

n ≠ − 1.

f ′(x ) dx = L [f (x )] + C . f (x )

4.-

∫

5.-

∫e

x

6.-

∫e

f (x )

dx = e x + C. f ′(x )dx = e f ( x ) + C .

a f (x ) a f ( x ) f ′ (x )dx = + C, La

7.-

∫

8.-

∫ senxdx

9.-

∫ sen [f (x )]f ′(x )dx

= − cos x + C. = − cos [f (x )] + C .

198

a ≠ 1.

Manual de Laboratorio de Física General

10.-

∫ cos

11.-

∫ cos [f (x )]f ′(x )dx = sen [f (x )] + C.

12.-

∫ cos [f (x )] dx

13.-

∫ sen [f (x )] dx

14.-

∫

15.-

∫

xdx = sen x + C .

f ′ (x ) 2

f ′ (x ) 2

f ′ (x ) 1 − [f (x )]

2

− f ′ (x 1 −

) [f (x )]2

f ′(x )

16.-

∫ 1 + [f (x )]

17.-

∫ tgxdx

18.-

∫ cot gxdx

2

= tg [f (x )] + C . = − cot g [f (x )] + C .

dx = arcsen

[f (x )] + C .

dx = arccos

[f (x )] +

C.

dx = arctg [f (x )] + C.

= − L (cos x ) + C . = L (senx

) + C.

∫

⎧ L (sec x + tgx ) + C . ⎪ x π⎞ sec xdx = ⎨ ⎛ L tg + ⎟ + C. ⎪⎩ ⎜⎝ 2 4⎠

20.-

∫

⎧ L (cos ecx − cot gx ) + C . ⎪ x⎞ cos ecxdx = ⎨ ⎛ L ⎜ tg ⎟ + C . ⎪⎩ 2⎠ ⎝

21.-

∫ sec

2

22.-

∫ cos

ec

23.-

∫ sec

xtgxdx

19.-

xdx = tgx + C. 2

xdx = − cot gx + C . = sec x + C .

199

Manual de Laboratorio de Física General

24.-

∫ cos

25.-

∫ cos

26.-

∫ sen

27.-

∫ [f (x )]

28.-

= − cos ecx + C .

ecx cot gxdx

senx 2

dx = sec x + C .

x

cos x dx = − cos ecx + C . 2 x f ′ (x )dx 2

− a

= L ⎡ f (x ) + ⎢⎣

[f (x )]2

− a

2

2

= L ⎡ f (x ) + ⎢⎣

[f (x )]2

+ a

2

2

f ′ (x )dx

∫ [f (x )]

2

+ a

dx

29.-

∫x

30.-

∫ f (x ) [f (x )]

31.-

∫x

x2 −1

2

x2 −1

⎤ + C. ⎥⎦

= arc sec x + C .

f ′ (x )dx

− dx

⎤ + C. ⎥⎦

− a

2

= arccos

1 f (x ) arc sec + C. a a

=

ecx + C .

32.-

∫

a

2

− [f (x

)]2 dx

=

f (x

)

a

2

− [f (x 2

)]2

+

a 2 arcsen 2

f (x a

) + C.

33.-

∫ [f (x )]

2

− a

2

+ a

2

dx =

f (x

) [f (x )]2

− a

2

2

a 2 L ⎡ f (x ) + ⎢⎣ −

[f (x )]2

− a

2

+ a

2

2

⎤ ⎥⎦ + C.

34.-

∫ [f (x )]

2

dx

=

f (x

) [f (x )]2 2

+ a

2

+

a

2

L ⎡ f (x ⎢⎣

)+

[f (x )]2 2

“No se sale adelante celebrando éxitos sino superando fracasos.” Orison S. Marden

200

⎤ ⎥⎦ + C.

Manual de Laboratorio de Física General GEOMETRIA DEL ESPACIO CUBO

D ... diagonal del cubo d .... diagonal de 1 cara a .... arista del cubo

V en m3 → Cap = V × 1.000 V en dm3 → Cap = V V en cm 3 → Cap = V ÷ 1.000

D

d=a× 2 D=a× 3 Ab = a 2 AL = 4 × a 2 AT = 6 × a 2 V = a3

d

Pb triáng. equilátero = l × 3

D2 = a 2 + d2 2 = 1,41 3 = 1,73

Pb cuadrado = l × 4

Pb = Ab =

Ab hexágono =

3× l 2× 3 2

Pb = 2 π × R Ab = π × R2 AL = Pb × h AT = AL + 2 Ab V = Ab × h

PIRÁMIDE

h R

CONO

g .... generatriz del cono h .... altura del cono R ... radio de la base

depende del polígono de la base depende del polígono de la base

Pb × Ap 2 AT = AL + Ab Ab × h V= a h Ap 3 Ap .. apotema de la pirámide ap h ..... altura de la pirámide r ap ... apotema de la base a ..... arista de la pirámide Ap 2 = h 2 + ap 2 r ..... radio de la base a 2 = h2 + r2 AL =

Pb = 2 π × R Ab = π × R 2 Pb × g AL = 2 AT = AL + Ab Ab × h V= 3

201

4

Ab cuadrado = l

CILINDRO

h

l2 × 3

2

Pb hexágono = l × 6

PRISMA

Pb = depende del polígono de la base Ab = depende del polígono de la base AL = Pb × h AT = AL + 2 Ab V = Ab × h

Ab triáng. equilátero =

h

g R

g2 = h2 + R 2

Manual de Laboratorio de Física General ESFERA

π = 3,14 r d

R R

Cia máx = 2 π × R

R2

Co máx = π × R 2

A = 4 π × R2

Cia menor = 2 π × r

V=

Co menor = π × r 2

= r2 +

d2

4 π× R 3

ap cuadrado =

2

3

l×

ap hexágono =

r cuadrado =

3

2

l

r hexágono = l

202

6

l

r triáng.equilátero =

d .... distancia entre las Cias R ... radio de Cia máx ó de la Esfera r .... radio de cualquier Cia menor

l×

ap triáng.equilátero =

2

l 3

3

Manual de Laboratorio de Física General

APENDICE B: PREFIJOS Y UNIDADES PREFIJOS

Múltiplos y submúltiplos decimales Factor 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Prefijo Exa Penta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca

Símbolo E P T G M k h da

Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto

Símbolo d c m u n p f a

UNIDADES

Unidades SI básicas Magnitud Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura termodinámica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa

Nombre

Símbolo

metro kilogramo segundo ampere kelvin mol candela

M kg s A K mol cd

Unidad de longitud

El metro (m) es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Unidad de masa

El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo

El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

203

Manual de Laboratorio de Física General

Unidad de intensidad de corriente eléctrica

Unidad de temperatura termodinámica

Unidad de cantidad de Sustancia

Unidad de luminosa

intensidad

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2.10-7 newton por metro de longitud. El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K por definición. El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono -12. Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas. La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

Unidades SI suplementarias Magnitud

Nombre

Símbolo

Expresión en unidades SI básicas

Ángulo plano

Radián

rad

mm-1= 1

Ángulo sólido

Estereorradián

sr

m2m-2= 1

Unidad de ángulo plano

El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio.

Unidad de ángulo sólido

El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.

204

Manual de Laboratorio de Física General

Unidades SI derivadas Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular. Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton metro al joule.

Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias Magnitud Superficie Volumen Velocidad Aceleración Número de ondas Masa en volumen Velocidad angular Aceleración angular

Nombre metro cuadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo cuadrado metro a la potencia menos uno kilogramo por metro cúbico radián por segundo radián por segundo cuadrado

Símbolo m2 m3 m/s m/s2 m-1 kg/m3 rad/s rad/s2

Unidad de velocidad

Un metro por segundo (m/s o m s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo

Unidad de aceleración

Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m s-2) es la aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s.

Unidad de número de ondas

Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.

205

Manual de Laboratorio de Física General

Unidad de velocidad angular

Un radian por segundo (rad/s o rad s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián.

Unidad de aceleración angular

Un radian por segundo cuadrado (rad/s2 o rad s-2) es la aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.

Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales Magnitud

Nombre

Símbolo

Expresión en otras Expresión en unidades unidades SI SI básicas

Frecuencia

Hertz

Hz

s-1

Fuerza Presión Energía, trabajo, cantidad de calor Potencia Cantidad de electricidad carga eléctrica Potencial eléctrico fuerza electromotriz Resistencia eléctrica Capacidad eléctrica Flujo magnético Inducción magnética Inductancia

newton pascal

N Pa

N m-2

m kg s-2 m-1 kg s-2

Joule

J

Nm

m2 kg s-2

Watt

W

J s-1

m2 kg s-3

Coulomb

C

Volt

V

W A-1

m2 kg s-3 A-1

Ω F Wb T H

V A-1 C V-1 Vs Wb m2 Wb A-1

m2 kg s-3 A-2 m-2 kg-1 s4 A2 m2 kg s-2 A-1 kg s-2 A1 m2 kg s-2 A-2

Ohm Farad Weber Tesla Henry

sA

Unidad de frecuencia

Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo.

Unidad de fuerza

Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.

Unidad de presión

Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

Unidad de energía, trabajo, cantidad de calor

Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.

206

Manual de Laboratorio de Física General

Unidad de potencia, flujo radiante

Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.

Unidad de cantidad de electricidad, carga eléctrica

Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.

Unidad de eléctrico, electromotriz

Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt.

potencial fuerza

Unidad eléctrica

de

resistencia

Unidad eléctrica

de

capacidad

Un ohm (Ω) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor. Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.

Unidad de flujo magnético

Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.

Unidad de magnética

Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.

inducción

Unidad de inductancia

Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.

Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales Magnitud Viscosidad dinámica Entropía Capacidad térmica másica Conductividad térmica Intensidad del campo eléctrico

Nombre pascal segundo joule por kelvin joule por kilogramo kelvin watt por metro kelvin volt por metro

207

Símbolo Pa s J/K J(kg K) W(m K) V/m

Expresión en unidades SI básicas m-1 kg s-1 m2 kg s-2 K-1 m2 s-2 K-1 m kg s-3 K-1 m kg s-3 A-1

Manual de Laboratorio de Física General

Unidad de dinámica

viscosidad

Un pascal segundo (Pa s) es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia.

Unidad de entropía

Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible.

Unidad de capacidad térmica másica

Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg K) es la capacidad térmica másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin.

Unidad de conductividad térmica

Un watt por metro kelvin (W m/K) es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt.

Unidad de intensidad del campo eléctrico

Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb.

Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades Magnitud

Nombre

Ángulo plano

Vuelta Grado minuto de ángulo segundo de ángulo Minuto Hora Día

Tiempo

208

Símbolo

Relación

º ' " min h d

1 vuelta= 2 π rad (π/180) rad (π /10800) rad (π /648000) rad 60 s 3600 s 86400 s

Manual de Laboratorio de Física General

Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente Magnitud Masa Energía

Nombre unidad de masa atómica Electronvolt

Símbolo

Valor en unidades SI

u eV

1,6605402 10-27 kg 1,60217733 10-19 J

“Hablamos de matar el tiempo como si no fuera el tiempo el que nos mata a nosotros.” Alphonse Allais

209

Manual de Laboratorio de Física General

APENDICE C: CONSTANTES FISICAS CONSTANTES FÍSICAS CON ALTA DEFINICIÓN DECIMAL Y ALGUNAS EQUIVALENCIAS

R = 8.314 m3 Pa/ mol K = 0.08314 litro bar / mol K = 0.08206 litro atm / mol K = 62.36 litro mmHg / mol K CONSTANTE DE LOS GASES (R)

= 0.7302 ft3 atm / lb-mol ºR = 10.73 ft3 psia / lb-mol ºR = 8.314 J / mol K = 1.987 cal / mol K = 1.987 BTU / lb-mol ºR

ACELERACIÓN NORMAL DE LA GRAVEDAD

g = 9.80665 (m / s2) = 1.27094 E8 (m / h2) = 32.174 (ft / s2) = 4.16975 E8 (ft / h2)

FACTOR DE CONVERSIÓN DE LA LEY DE NEWTON (gc)

gc = 9.80665 (kg m / kgf s2) = 32.174 (lb ft / lbf s2)

EQUIVALENTE MECÁNICO DE CALOR

J = 4.1840 J / cal = 0.23901 cal / J = 426.63 kgf m / cal = 777.67 lbf ft / BTU

NÚMERO DE AVOGRADO

NA = 6.023 E23 moléculas / mol-g

CONSTANTE DE BOLTZMANN

K = 1.3805 E-16 erg / molec K

CONSTANTE DE PLANCK

h = 6.6242 E-27 erg s

CONSTANTE DE FARADAY

F = 96520 coulomb / equiv-g

CONSTANTE DE RADIACIÓN DE STEFAN-BOLTZMANN

4.878 E-8 (kcal / h m2 K) = 0.1712 E-8 (BTU / h ft2 ºR)

211

Manual de Laboratorio de Física General

CARGA DEL ELECTRÓN

e = 1.602 E-19 coul

VELOCIDAD DE LA LUZ

c = 2.99793 E-10 cm / s

VOLUMEN MOLAR EN C.N.

V = 22.415 m3 / mol-kg

CERO ABSOLUTO DE TEMPERATURA

-273.16 ºC = -459.69 ºF

CONSTANTES FÍSICAS MAS USADAS

de permitividad: de Planck: de proporcionalidad: solar

g = 9,8 [m/s2] e = -1,60×10-19 [C] k = 1,38×10-23 [J/°K] G = 6,67×10-11 [N-m2/kg2] μ0 = 4π×10-7 [H/m] = 1,26×10-6 [H/m] ε0 = 8,85×10-12 [F/m] h = 6,63×10-34 [J-s] K = 9×109 [N-m2/C2] = 1340 [W/m2]

Constante universal de los gases ideales:

R = 0,082 [atm-A/mol-°K]

Aceleración de gravedad (valor promedio): Carga del electrón: Constante de Boltzmann: Constante de gravitación universal: Constante de permeabilidad: Constante Constante Constante Constante

Densidad del aire seco a 0°C y 1 [atm] Densidad máxima del agua ( a 3,98°C y 1 [atm] ) Densidad media de la Tierra

= 1,98 [cal/mol-°K] = 8,32 [J/mol-°K] = 1,293 [kg/m3] = 1 [g/ml] = 5522 [kg/m3] = 5,522 [kg/A]

Equivalente mecánico del calor: J = 4,19 [J/cal] Longitud de onda del electrón según Compton: λe = 2,43×10-12 [m] Masa de la Tierra = 5,983×1024 [kg] Masa del electrón en reposo: me = 9,11×10-31 [kg] Masa del neutrón en reposo: mn = 1,67×10-27 [kg] Masa del protón en reposo: mp = 1,67×10-27 [kg] Momento del dipolo magnético terrestre = 6,4×1021 [A-m2] Momento magnético del electrón = 9,28×10-32 [J-m2/Wb] Número de Avogadro: No = 6,02×1023 [mol-1] Punto de congelación del agua = 273,15 [°K]

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Manual de Laboratorio de Física General Punto de ebullición del agua = 373,15 [°K] Punto triple del agua = 273,16 [°K] Radio de la primera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno: a0 = 5,29×10-11 [m] Radio ecuatorial de la Tierra = 6,378×106 [m] Radio polar de la Tierra = 6,357×106 [m] Radio promedio de la Tierra = 6,371×106 [m] Relación masa-energía = 8,99×1016 [m2/s2] Velocidad angular media de rotación de la Tierra = 7,29×10-5 [s-1] Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00×108 [m/s] Velocidad del sonido en el aire seco a 0 [°C] y 1 [atm] = 331,4 [m/s] Velocidad orbital media de la Tierra = 29.770 [m/s] Volumen de la Tierra = 1,087×1021 [m3] Volumen patrón de los gases ideales a 0 [°C] y 1 [atm] = 0,0224 [m3] = 22,4 [A]

“La esperanza es el sueño de un hombre despierto.” Aristóteles

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Manual de Laboratorio de Física General

APENDICE D: DATOS GRAFICOS CENTRO DE GRAVEDAD DE ALGUNAS FIGURAS

G

Octoedro

Cubo

G G

Cilindro Aro

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Manual de Laboratorio de Física General

G G

Lámina Plana Triangular Esfera

G h

G

h/4

Lámina Plana Rectangular Cono

El centro de gravedad de sólidos simétricos coincide con su centro de simetría

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Manual de Laboratorio de Física General FIGURAS DE EQUIPOS DE LABORATORIO

217

Manual de Laboratorio de Física General

INSTALACIÓN DEL CARRIL

INSTALACIÓN DEL GIROSCOPIO

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Manual de Laboratorio de Física General

FIGURAS DE SENSORES E INTERFACE DE LABORATORIO

219

Manual de Laboratorio de Física General

220

Manual de Laboratorio de Física General

221

Manual de Laboratorio de Física General

“El ignorante afirma, el sabio duda y reflexiona.” Aristóteles

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Manual de Laboratorio de Física General

APENDICE E: USO DEL SOFTWARE LOGGER PRO (En una experiencia de laboratorio)

INTERFASE LABPRO Instalación Física: 1. 2. 3. 4.

La interfase requiere de una fuente de alimentación a 6 VDC o 4 pilas tipo AA. Una conexión a la PC mediante el puerto USB o el puerto Serie (una vez instalada, la interfase es reconocida automáticamentepor el Logger Pro) Sensores analógicos (lado izquierdo de la interfase – máximo 4), y/o Sensores digitales (lado derecho de la interfase – máximo 2)

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Manual de Laboratorio de Física General PROCEDIMIENTO: PRIMERO: Instalar y Conectar el (los) sensor (es) + interfase + Pc, para que el software reconozca automáticamente los equipos instalados. SEGUNDO: En el Escritorio del monitor del computador haga Click en el icono . Luego, podrá observar en la pantalla la Logger Pro 3.4.2 Español presentación del software y automáticamente la tabla de datos (variables a tomar). TOMA DE DATOS TERCERO: Se inicia la toma de datos haciendo Click en finalizar la toma de datos hacer Click en

, luego para

.

La toma de datos se realizará de forma automática por el sensor, llevando la información a la computadora; donde la tabla de datos será llenada y estos datos serán graficados inmediatamente, lo cual se podrá visualizar en la pantalla en tiempo real. CUARTO: Si no se observa la grafica cómodamente, haga Click sobre ella y luego pulse las teclas Control + J al mismo tiempo, esta acción permite ampliar (auto escala) la grafica para su mejor observación. QUINTO: Si desea conservar los datos adquiridos y realizar otra toma de datos, ubicar el puntero del Mouse sobre: Experimento Æ Almacenar la última serie., luego, haga Click sobre el. Sugerencia: Los datos se guardaran no se borraran. PROCESANDO LOS DATOS SEXTO: Identificar la grafica (función) obtenida por el software, luego hacer el ajuste curvas (no se preocupe! el software lo hará por usted). Con el puntero del Mouse sobre la curva (grafica) seleccionar el área de interés a analizar;

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Manual de Laboratorio de Física General haciendo Click en una extremo del área seleccionada y arrastrando sin dejar de presionar el botón izquierdo del Mouse hacia el extremo opuesto, de esta manera quedara sombreada el área seleccionada. Luego, dirigirse al menú principal (textual o de gráficos) y luego haga Click sobre la sentencia o icono de AJUSTE LINEAL

si fuera el caso que sea una función lineal, o dirigirse a

AJUSTE DE CURVAS función.

, si la curva fuera una función polinomial u otra

Ejemplo Nº 1: Si el área seleccionada contuviese una curva descrita por una función cuadrática, entonces procederemos de la siguiente manera en este orden:

225

Manual de Laboratorio de Física General

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Manual de Laboratorio de Física General Ejemplo Nº 2: Demostración de datos Seleccione la región de interés

Muestra de Graficas y Tablas 227

Manual de Laboratorio de Física General USO DEL SENSOR DE MOVIMIENTO Y FORMA DE TRABAJAR EN EL ALBORATORIO DE FISICA

“Que la comida sea tu alimento y el alimento tu medicina.” Hipócrates

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Manual de Laboratorio de Física General

APENDICE F: GLOSARIO Ciencia; es un conjunto de conocimientos ordenados, sistematizados con una metodología propia. Colisión; encuentro entre dos partículas subatómicas incluyendo los fotones. Compresión; esta fuerza aparece en el interior de los cuerpos, cuando fuerzas exteriores tratan de comprimirlo. Desplazamiento; sentido vectorial que define la posición final de un móvil respecto a su origen o punto de partida. Diagrama de Cuerpo Libre; (DCL) es el dibujo aislado de uno de los cuerpos de un sistema, en el cual se grafican todas las fuerzas externas aplicadas sobre él. Dinámica; parte de la Mecánica de Sólidos que estudia el movimiento teniendo en cuenta las causas que lo producen. Electrón voltio; eV, unidad de energía equivalente a la energía ganada por un electrón al pasar por una diferencia de potencial, V. Emisión termoiónica; emisión de electrones a partir de una superficie caliente. Energía; es la capacidad que tiene un cuerpo para poder realizar trabajo, esta medida en joulio, [J]. Espectro electromagnético; continuo de energía, fotones x, gamma y los otros tipos de radiación no ionizante. Espacio recorrido; es la longitud de la trayectoria que describe un móvil. Estática; estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo, sobre el cual actúan fuerzas o cuplas, o cuplas y fuerzas a la vez, quede en equilibrio. Excitación; la adición de energía al sistema, transfiriendo energía del estado base a un estado excitado. Física; ciencia cuyo objetivo es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas. En función de estas interacciones el científico explica las propiedades de la materia en conjunto, así como los otros fenómenos que observamos en la naturaleza. Fotón; cuanto de energía electromagnética.

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Manual de Laboratorio de Física General Frecuencia; (f) es el tiempo empleado por un móvil en dar una vuelta completa sobre una trayectoria circular. Fricción; se llama rozamiento o fricción a aquella fuerza que aparece en la superficie de contacto de dos cuerpos diferentes en movimiento relativo, oponiéndose siempre a dicho movimiento. Fuerza; magnitud física que viene a ser el resultado de la interacción entre las diferentes formas de movimiento de la materia. Se tiene: fuerza gravitacionales, fuerzas electromagnéticas, fuerzas mecánicas, fuerzas nucleares, etc. Gravedad; (g) es la atracción que la tierra ejerce sobre los demás cuerpos. También se le llama "aceleración gravitatoria terrestre". Ella determina el peso de los cuerpos.. Interacción; fenómeno, por el cual puede o no existir variación en la dirección y/o cambios en la energía de las partículas. Ion; partícula con carga eléctrica. Ionización; quitar un electrón de un átomo. Isóbaros; átomos que tienen el mismo número de nucleones, pero distinto número de protones y neutrones. Isótonos; átomos con el mismo número de neutrones. Isótopos; átomos con el mismo número de protones. Isotrópico; con la misma intensidad en todas direcciones. Ley de La Inercia; una partícula libre se mueve siempre con velocidad constante, o (lo que es lo mismo) sin aceleración. Longitud de onda; distancia entre puntos similares de una onda senoidal; longitud de un ciclo. Masa; magnitud física escalar que mide la cantidad de materia que posee un cuerpo, esta dada en kilogramos, [kg]. Materia; cualquier cosa que ocupa un lugar y tiene forma y tamaño. Medir; es comparar una magnitud con otra de su misma especie asumida en forma arbitraria como unidad. Monoenergético; fotón de una sola energía.

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Manual de Laboratorio de Física General Móvil; cuerpo o partícula que se mueve. Movimiento Circular; es aquel movimiento cuya trayectoria es una circunferencia. Movimiento Relativo; cuando las características físicas de las partículas (tales como velocidad, aceleración, trayectoria, etc.), se refieren a ejes móviles o son medidos desde sistemas coordenados en movimiento. Nucleón; protón o neutrón. Periodo; (T) es el tiempo empleado por un móvil en una vuelta completa sobre una trayectoria circula. Peso; es la fuerza con la que la tierra atrae a un cuerpo. Es una magnitud vectorial como toda fuerza, y su dirección es vertical dirigida hacia el centro de la tierra. Radiación; energía emitida y transferida a través de la materia. Radiación electromagnética; radiación x o gamma y algunas radiaciones no ionizantes. Radiactividad; propiedad de ciertos núcleos de emitir partículas o fotones (x o gamma) espontáneamente. Sistema Internacional (SI); En la X Conferencia de Pesas y Medidas (1954) se establecieron las unidades y magnitudes fundamentales de SI. Este sistema fue complementado en la XIV Conferencia, (realizado en Francia en 1971). Dicho sistema también es conocido como sistema "GIORGI". Tensión; es aquella fuerza interna que aparece en el interior de los cuerpos flexibles (cuerdas, cables) o barras (en este caso se denomina "tracción"), tratando de evitar su posible estiramiento. Actúan a lo largo de estos cuerpos manteniendo constante su valor, excepto en los puntos donde haya contacto con otros cuerpos. Trayectoria; línea que resulta de unir todas las posiciones sucesivas ocupadas por un móvil durante su movimiento. Vector; segmento de recta orientado (comúnmente llamado flecha), que sirve para representar las magnitudes vectoriales. Velocidad; es una magnitud vectorial cuyo módulo mide la rapidez con que el móvil cambia de posición. "La que llamamos "casualidad" no es más qua la ignorancia de las causas físicas." LEIBNITZ

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Manual de Laboratorio de Física General MODELO DE ESTRUCTURA DE INFORMES

* Carátula * Resumen

Conciso, coherente, mencionar resultados importantes * Índice o contenido * Introducción

Marco referencial de la importancia del trabajo Breve descripción de los capítulos del trabajo o puntos más importantes del trabajo * Teoría del Tema

Fundamento detallado en que se basa el trabajo * Parte Experimental o Cálculos ƒ Experimental

- Descripción experimental del trabajo - Descripción del Equipo: Marca, principales, Calibración de los equipos. - Mediciones o Toma de datos

Modelos,

ƒ Cálculos

- Modelos Físico - matemáticos - Métodos numéricos utilizados - Metodología del procesamiento de los cálculos * Análisis y Discusión de Resultados

- Limitaciones encontradas en los modelos, teorías, etc. - Comparación de resultados con otros de referencia - Errores

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Características

Manual de Laboratorio de Física General

* Resultados

Resultados en tablas y gráficos con descripción sucinta pero muy consistente * Conclusiones

Conclusiones básicamente de los resultados del trabajo * Sugerencias y Observaciones

Referidas al trabajo para mejoras futuras

* Bibliografía

Bien escrita Ejemplo: [1] DAHL, R.E., YOSHIKAWA, H.H., Neutron spectra calculations for radiation damage studies, Nucl. Sci. Eng. 17 (1963) 389-403. * Apéndices o Anexos

Temas especiales que complementan el trabajo y no es conveniente ubicarlo dentro del contenido principal del trabajo. Ejemplo: Modelos teóricos especiales, listado de programas de cálculo, etc.

“Cuando asumí el cargo, sólo los físicos energéticos había oído hablar de la World Wide Web. Ahora hasta mi gato tiene su propia página.” Bill Clinton

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Manual de Laboratorio de Física General

REGLAMENTO INTERNO LABORATORIO DE FISICA DE LOS USUARIOS Son usuarios del Laboratorio de Física: ¾ ¾ ¾

Todo el personal directivo y docente de todas las facultades. Toda persona que tenga la debida autorización del Vicerrectorado Académico. Alumnos del área de Ingeniería.

DE LOS SERVICIOS El Laboratorio de Física ofrece los siguientes servicios a los usuarios: ¾ ¾ ¾ ¾

Préstamo de equipos y materiales a usar en el laboratorio para el desarrollo de prácticas, proyectos e investigaciones que tengan que ver con la carrera del usuario. Préstamo de material bibliográfico (Hojas técnicas, catálogos) para consulta dentro del laboratorio. Orientación a todos los usuarios en cuanto a la utilización de los recursos del laboratorio. Asesoría y orientación en los cursos de Física.

DE LOS REQUISITOS PARA UTILIZAR EL LABORATORIO DE FISICA Los usuarios del Laboratorio de Física deben de cumplir con los siguientes requisitos para poder hacer uso de los recursos: ¾ ¾ ¾ ¾

Los estudiantes deben tener su carné actualizado. Presentar el carné y la ficha de solicitud al encargado del laboratorio; el carné le será devuelto cuando se haga la devolución del equipo en buen estado. El uso del carné es personal e intransferible; el mal uso que se haga de éste es responsabilidad única del usuario. En caso de recuperación de laboratorio, gestionar con anticipación dicha recuperación vía escuela académica.

DEL COMPORTAMIENTO DENTRO DEL LABORATORIO Dentro del laboratorio se deben guardar las siguientes normas de comportamiento: ¾ ¾ ¾

No se permite el ingreso de comestibles o bebidas al laboratorio. Está terminantemente prohibido realizar prácticas ajenas a la carrera a la cual pertenece el usuario. El laboratorio tiene asignados horarios de prácticas para algunas asignaturas; cuando éstas se estén efectuando se prohibe el ingreso de estudiantes que no pertenezcan a estos grupos. (los horarios serán publicados en cartelera y deberán ser respetados).

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Manual de Laboratorio de Física General ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

La hora de entrada tiene una tolerancia máxima de cinco (05) minutos, después de eso el alumno perderá la práctica de laboratorio. No interrumpir mientras el profesor este dictando su clase de laboratorio. El alumno debe anotarse en la lista de asistencia del Laboratorio de Física para sus archivos. Cada mesa de trabajo tendrá un máximo de cuatro (04) alumnos que formaran un grupo de trabajo. Se prohibe estar paseando de mesa en mesa, si se requiere realizar alguna consulta, tendrá que levantar la mano y esperar que el profesor lo atienda. Deberá respetar las prácticas realizadas en los ambientes junto al laboratorio. Deberá guardar cordura y respeto hacia el profesor y sus compañeros. Las parejas evitaran mostrarse en el laboratorio de Física. OBS: Para el desarrollo de las experiencias de laboratorio, la asistencia a las prácticas es condición necesaria para aprobar la asignatura.

DE LOS PRESTAMOS DE EQUIPOS DE LABORATORIO Y MATERIALES ¾

¾

¾

En el formato de préstamo deben ir registrados todos los nombres de las personas que integran el grupo de trabajo; además, los equipos, materiales, hojas técnicas que se deseen utilizar. La solicitud de préstamo debe ir acompañada del carné del responsable de mesa. Una vez le sean entregados los equipos al usuario, éste es responsable de ellos; por tal razón, se recomienda verificar su estado y notificar al encargado si existe alguna falla antes de iniciar su práctica. Cuando no esté seguro del manejo de un equipo, solicite ayuda a su profesor o al encargado del laboratorio; también puede consultar los manuales de usuario de los equipos que se encuentran en el laboratorio. Los manuales de diseño y catálogos no podrán retirarse para consulta fuera del laboratorio y deben ser entregados antes de terminar la hora asignada.

RECOMENDACION: Para el buen éxito de sus trabajos en el laboratorio es importante el buen manejo que usted haga de los equipos, manuales y componentes; el buen trato de éstos alarga su vida útil. DE LAS SANCIONES Serán causales de sanción para el usuario del laboratorio las siguientes: ¾ ¾ ¾

Daño o deterioro de elementos o equipos de laboratorio. Comportamiento que aténte contra las normas establecidas en el reglamento del laboratorio. Extravío o pérdida definitiva de elementos que le sean prestados.

Art. 1. El usuario que sin previa autorización retire material del laboratorio (manuales o elementos) perderá el derecho a usar el laboratorio durante una semana si los elementos son devueltos el mismo día; por cada día de retraso, recibirá una semana sin servicios de cualquier tipo en el laboratorio. Art. 2. Las personas que por mal manejo o descuido dañen total o parcialmente un equipo (instrumento de laboratorio) deberán reponerlo con uno de las mismas características en un período no mayor a un mes o, en su defecto, pagará el costo de reparación. Adicionalmente, se le sancionara adecuadamente. 236

Manual de Laboratorio de Física General

Art. 3. El material y equipo prestado en forma excepcional deberá ser devuelto en el plazo fijado. El incumplimiento a esta norma será sancionado con una amonestación por escrito, con copia a la facultad que pertenece y a Vice Presidencia Académica, además se le suspenderá del servicio de préstamo por un período prefijado. Art. 4. Toda persona que viole las normas de comportamiento dentro del Laboratorio de Física tendrá una sanción disciplinaria y le será suspendido el servicio por un período indeterminado. Art. 5. A la persona que intencionalmente maltrate y malogre un equipo o material de laboratorio se le suspenderá todos los servicios de laboratorio por un período de un mes. DE LOS PAZ Y SALVOS El Laboratorio de Física retendrá las fichas para matrícula o certificados de graduación a todas las personas que tengan deudas con el laboratorio al final del semestre académico.

Este reglamento empezará a regir a partir de su fecha de expedición: Febrero del 2001 ADVERTENCIA: Al hacer uso de cualquier equipo o implemento del Laboratorio, el usuario declara haber leído, entendido y aceptado el presente reglamento antes de hacer uso del (de los) mismo(s).

LABORATORIO DE FÍSICA

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