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• Nena Ramírez

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP a

MANUAL DEL ESTUDIANTE INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS VICERRECTORÍA ACADÉMICA 2020

UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA EDICIÓN 2019 Creación Lorena Rosas Toro Germán Osses Romano Dirección Alejandro García Miño EDICIÓN 2020 Creación MARÍA VERÓNICA FERNÁNDEZ VÁSQUEZ Validación BERNARDITA PÉREZ URETA Dirección Alejandro García Miño Juan Pablo Vargas Herrera

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UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

PRESENTACIÓN Resolución de Problemas en aritmética y álgebra es una asignatura lectiva que constituye el peldaño inicial de la formación matemática, para estudiantes que ingresan a carreras del ámbito tecnológico. Su propósito fundamental es nivelar a los estudiantes en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante la estrategia de enseñanza-aprendizaje, basada en la Resolución de problemas, acompañada de la solución de ejercicios y el acompañamiento permanente de los docentes de matemáticas. Para ello, este manual busca proveer las herramientas suficientes para el desarrollo de la competencia de resolución de problemas en matemáticas, así como, el desarrollo del razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. El MANUAL DEL ESTUDIANTE “INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA” ofrece una variedad de problemas y ejercicios asociados a los objetivos de aprendizaje presentes en la unidad “introducción a la aritmética y el álgebra” presente en el programa de la asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el trabajo del estudiante, dentro y fuera del aula de clase. Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el estudiante como para el docente.

Éxito en esta etapa de la asignatura

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS VICERRECTORÍA ACADÉMICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – 2020

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UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

UNIDAD INTRODUCCIÓN LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

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UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA. La necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos, artísticos o matemáticos ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros. Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones, plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución. La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras, aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias, como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las estrategias matemáticas para su solución. La aritmética corresponde a la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos tales como adición, resta, multiplicación y división. De igual manera que en otras áreas de la Matemática, como la mayoría de las ciencias y sus áreas la Aritmética ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias. Trabajaremos sobre distintos conjuntos observando y analizando las operaciones que podemos realizar en cada uno de estos y las propiedades que se pueden tener. El conocimiento adecuado de la aritmética permitirá cimentar la base para los cursos y contenidos de mayor nivel. El estudio del álgebra no puede restringirse al dominio de las reglas de manipulación algebraicas. De la misma forma en que el uso y sentido de las palabras precede al estudio sistemático de la sintaxis del lenguaje natural, el álgebra requiere la comprensión adecuada del lenguaje algebraico antes de adentrarse en las técnicas de manipulación algebraicas. El álgebra elemental estudia determinados objetos a través del lenguaje simbólico, las letras son símbolos que admiten distintos usos y significados. Para que el álgebra elemental sea una herramienta útil para describir y resolver problemas de todo tipo, es necesario seas capaz de expresar simbólicamente relaciones y procesos de carácter general. 5

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Es importante señalar que no se puede sostener el estudio de esta materia en abstracto, obviando o postergando la razón de ser del álgebra elemental. El álgebra elemental es una herramienta que permite modelar y resolver problemas de otras áreas de la matemática, o de otros ámbitos en general. Muchos de los problemas que se nos presentan no requieren, ni tampoco se justifica la utilización de álgebra en su solución. Sin embargo, en la medida en que se avanza en el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones, los métodos aritméticos ya no son suficientes, la memoria ya no puede procesar toda la información, se requiere un medio para expresarla y trabajar con ella. Se hace necesaria una traducción al lenguaje algebraico, que generaliza, resume y simboliza toda la información y las relaciones contenidas en el problema. El presente manual contiene los siguientes elementos: 1.

Descripción de la unidad: proviene del descriptor de la asignatura y presenta los elementos característicos de la unidad que se abordará.

2. Formalización de Contenidos: Se basa en un abstract general de los contenidos que se espera aborde el docente en el proceso de formalización, se deja libertad para profundizar o no en cada uno de los mismos, de acuerdo con el desarrollo matemático que tengan los estudiantes de cada sección. 3. Ejercicios resueltos y propuestos: actividades matemáticas rutinarias y algorítmicas que permitan al estudiante un trabajo autónomo y conciso fuera del aula de clases, relativo a los conocimientos matemáticos que se van abordando en cada sesión de clases. 4. Problemas propuestos: Actividades Matemáticas no rutinarias que buscan que el estudiante practique fuera del aula de clase con las herramientas, competencias y conocimientos desarrollados dentro del aula.

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DESCRIPCIÓN DE LA UNIDAD

APRENDIZAJES ESPERADOS 1.1.- Resuelve problemas matemáticos que permita la construcción de conocimiento basal para el aprendizaje del álgebra y las funciones. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas). CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1.1.1.- Determinar los conceptos teóricos y estrategias que permitan llegar a la o las soluciones. 1.1.2.- Aplicar las operaciones/estrategias necesarias para resolver el problema. 1.1.3.- Analizar los resultados obtenidos, valorando la eficiencia de la estrategia utilizada. 1.1.4.- Comunicar los resultados o conclusiones, fundamentándolos mediante la argumentación (datos, justificación, estrategia). 1.1.5.- Modelar múltiples situaciones, mediante la generalización de estrategias en problemas similares. 1.1.6.- Analizar situaciones problemáticas establecidas. CONTENIDOS • • • • • • •

Introducción al ACERPA. Habilidades matemáticas fundamentales. Elementos básicos de aritmética. Elementos básicos de potencias. Regularidades lineales, cuadráticas y exponenciales. Área y perímetro de figuras rectangulares. Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución de problemas genéricos.

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FORMALIZACIÓN DE CONTENIDOS

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Elementos básicos de aritmética Conjuntos numéricos Conjunto de los Números Naturales (ℕ): está formado por todos los números que utilizamos para contar. ℕ = {𝟏𝟏, 𝟐𝟐, 𝟑𝟑, 𝟒𝟒, 𝟓𝟓, … }

Conjunto de los Números Enteros (ℤ): está formado por la unión de los números naturales, el cero, más los naturales con el signo menos. ℤ = {… , −𝟑𝟑, −𝟐𝟐, −𝟏𝟏, 𝟎𝟎, 𝟏𝟏, 𝟐𝟐, 𝟑𝟑, … }

Conjunto de los Números Racionales (ℚ): está formado por todos los números que se puede expresar como fracción como, por ejemplo: 0 1 2 1

0 (entre otras posibilidades). 200 6 o (entre otras posibilidades). 3 5 15 − o − (entre otras posibilidades). 1 3 1 8 o (entre otras posibilidades). 2 16 1 3 o (entre otras posibilidades). 3 9

•

0

ya que se puede expresar como o

•

2

ya que se puede expresar como

•

-5

ya que se puede expresar como

•

0,5

ya que se puede expresar como

•

0, 3�

ya que se puede expresar como

De lo que se puede concluir que, todo número natural es también racional y que todo número entero es también un racional. Conjunto de los Números Irracionales (ℚ∗ ): está formado por todos los números que NO se pueden expresar como fracción como, por ejemplo: √2 √3, −√5

𝜋𝜋 𝜑𝜑 ℮

Informalmente, se puede decir que todos estos números tienen desarrollo decimal infinito sin periodo. √4 no es un irracional, ya que es igual a 2 y como se muestra en los ejemplos de los números racionales, es posible expresarlo como fracción, así que podemos decir que: √4 = 2 =

2 1 9

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Observación: los conjuntos de los números racionales e irracionales son conjuntos disjuntos, lo que quiere decir que, no poseen elementos en común. Conjunto de los Números Reales (ℝ): corresponde a la unión de los racionales e irracionales. ℝ = ℚ ∪ ℚ∗

Podemos resumir la contención de un conjunto numérico en otro, por medio del siguiente diagrama:

Operatoria Números Enteros Adición: se distinguen dos casos:  

Adición de dos números de igual signo, se suma y conserva el signo. Adición de dos números de diferente signo, se restan sus valores absolutos y el signo del resultado será del mayor de los sumandos en valor absoluto.

Sustracción: la sustracción de dos números enteros se define como la suma del primer término por el inverso aditivo

del segundo, es decir: 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + (−𝑏𝑏)

Una vez escrita la sustracción como adición, se opera de acuerdo con las reglas del punto anterior. Multiplicación y división:

El producto y división se realiza de igual forma que en los números naturales y para determinar el signo del resultado se debe considerar los siguiente: El resultado de un producto o división de dos números de signos iguales es positivo.  El resultado del producto o división de números de signos distintos es negativo



Teorema Fundamental de la Aritmética Todo entero positivo puede descomponerse de manera única como un producto de primos.

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Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor El mínimo común múltiplo (M.C.M) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes. El máximo común divisor (M.C.D) es el número más grande por el cual dos o más número se podrán dividir en forma exacta. Para realizar el calculo del MCM o MCD sin tener que determinar todos los múltiplos o divisores, respectivamente de cada uno de los números, se debe realizar la descomposición prima de los números. El MCM corresponderá al producto de los factores primos comunes elevados al mayor exponente y de los comunes de los no comunes de los números que se analizan. Por ejemplo: MCM (120, 36) = 23 · 32 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32

El MCD corresponderá solo al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente de los números que se analizan. Por ejemplo: MCM (120, 36) = 22 · 3 = 4 · 3 = 12 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32

Números Racionales

Adición y sustracción: para sumar o restar fracciones primero se deben determinar fracciones equivalente de manera que todas las fracciones tengan el mismo denominador, en los casos que corresponda, para lo cual se utiliza determinar el MCM entre los denominadores.

Multiplicación:

𝒂𝒂

División:

𝒂𝒂

𝒄𝒄

∙ =

𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒃𝒃

𝒄𝒄

𝒂𝒂 𝒄𝒄 𝒂𝒂 ∙ 𝒅𝒅 𝒄𝒄 ∙ 𝒃𝒃 𝒂𝒂 ∙ 𝒅𝒅 ± 𝒄𝒄 ∙ 𝒃𝒃 ± = ± = 𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅

𝒂𝒂∙𝒄𝒄

𝒃𝒃∙𝒅𝒅

𝒂𝒂 𝒅𝒅

÷ = ∙ = 𝒅𝒅

𝒃𝒃

𝒄𝒄

𝒂𝒂∙𝒅𝒅 𝒃𝒃∙𝒄𝒄

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Propiedades de las operatorias

Conmutatividad Para la adición: Para la multiplicación: Asociatividad Para la adición: Para la multiplicación: Elemento neutro Aditivo: Multiplicativo: Inverso Aditivo: Multiplicativo:

∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑎𝑎

∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏) ∙ 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ∙ (𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐)

∃0 ∈ ℝ, ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 + 0 = 0 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∃1 ∈ ℝ, ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ, ∃(−𝑎𝑎) ∈ ℝ, 𝑎𝑎 + (−𝑎𝑎) = 0

∀𝑎𝑎 ∈ ℝ − {0}, ∃𝑎𝑎−1 ∈ ℝ, 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎−1 = 1 Observación: 𝑎𝑎 −1

Distributividad de la multiplicación sobre la adición

=

1

𝑎𝑎

∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ∙ (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐

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Elementos básicos de potencias. Concepto de Potencia

Si 𝒂𝒂 es un número real y n es un número natural, entonces, 𝒂𝒂𝒏𝒏 corresponde al producto del número real 𝒂𝒂 multiplicado 𝒏𝒏 veces por sí mismo. La expresión 𝒂𝒂𝒏𝒏 se lee “𝒂𝒂 a la n-ésima potencia-

Por ejemplo: 45 = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 1024

𝑛𝑛

𝒏𝒏 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝒂𝒂

�� 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∙� 𝑎𝑎��� ∙ 𝑎𝑎 ∙.�.�� .∙ 𝑎𝑎

Si la base es un número negativo, hay que tener en cuenta que:

• Si el exponente es par, el resultado será positivo, como, por ejemplo: (−2)4 = −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = 16 • Si el exponente es impar, el resultado será negativo, como, por ejemplo: (−2)5 = −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = −32 Observación: (−2)4 ≠ −24 , ya que, en el primer caso, la base es -2 y en el segundo la base es 2. −24 = −(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) = −16

Si 𝑎𝑎 es un número real, entonces

𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎

Por ejemplo: a)

31 = 3

b) −51 = −5

c) 01 = 0

Si 𝑎𝑎 es un número real distinto de cero, entonces,

𝑎𝑎0 = 1

Por ejemplo: a)

80 = 1

b) (−5)0 = 1

c) −50 = −1

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Potencias de exponente negativo En el caso que 𝑎𝑎 es un número real distinto de cero y n es un número natural, entonces, Por ejemplo:

a)

8−1 =

b) 3−2 =

1 81

1 32

c) −3−2 = d)

=

=

1 −32

e) 54 =

1 5−4

1 9

=

1 −9

=−

=

1 9

1 9

Si 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 son números reales distintos de cero, entonces, Por ejemplo:

3 −1

a) �4�

2 −3

b) �5�

1 𝑎𝑎 𝑛𝑛

1 8

1 (−3)2

(−3)−2 =

𝑎𝑎−𝑛𝑛 =

4 1 3

=� � = 5 3 2

4 3

5 5 5 2 2 2

=� � = ∙ ∙ =

𝑎𝑎 −𝑛𝑛 𝑏𝑏

� �

𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑎𝑎

=� �

125 8

Potencias de igual base Si 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 son números reales y 𝑛𝑛 y 𝑚𝑚 números enteros se tienen las siguientes propiedades: Por ejemplo:

𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑛𝑛 ÷ 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚 , 𝑎𝑎 ≠ 0

a) 32 ∙ 34 = 32+4 = 36 esto también se puede analizar de la siguiente forma, aplicando la definición de potencia: b) 412 ∙ 443 = 412+43 = 445

3 2 ∙ 3 4 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 36

c) 𝑎𝑎22 ∙ 𝑎𝑎31 ∙ 𝑎𝑎80 = 𝑎𝑎22+31+80 = 𝑎𝑎133

Potencias de igual exponente Por ejemplo:

𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)𝑛𝑛

a) 28 ∙ 38 = (2 ∙ 3)8 = 68

𝑎𝑎𝑛𝑛 ÷ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏)𝑛𝑛 , b ≠ 0

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UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

1 8 5

1 8 5

b) 38 ∙ (−4)8 ∙ � � = �3 ∙ −4 ∙ � = �− es positiva, �−

12 8 � 5

12 8 5

=� �

c) (𝑎𝑎𝑎𝑎)15 = (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)15 = 𝑎𝑎15 ∙ 𝑏𝑏15

12 8 � 5

y como el resultado de toda potencia de exponente par

(aquí un ejemplo en que puede ser necesario usarla en sentido contrario)

Potencias de una potencia Por ejemplo: a) (58 )9 = 58∙9 = 872

(𝑎𝑎𝑛𝑛 )𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛∙𝑚𝑚

b) ((𝑥𝑥 4 )2 )3 = 𝑥𝑥 4∙2∙3 = 𝑥𝑥 24

c) (35 )8 ∙ 35 = 35∙8 ∙ 35 = 340 ∙ 35 = 340+5 = 345

Cuadro resumen con las propiedades Definición 𝒏𝒏 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝒂𝒂

𝑎𝑎𝑛𝑛 = �� 𝑎𝑎 ∙ � 𝑎𝑎��� ∙ 𝑎𝑎 ∙.�.�� .∙ 𝑎𝑎 Potencias de base entera y exponente negativo

𝑎𝑎

−𝑛𝑛

1 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎

Potencia de exponente 1

Potencia de exponente 0

𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎

𝑎𝑎0 = 1

Potencias de base fraccionaria y exponente negativo

𝑎𝑎 −𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑛𝑛 � � =� � 𝑏𝑏 𝑎𝑎

Multiplicación de potencias de igual base

División de potencias de igual base

Multiplicación de potencias de igual exponente

División de potencias de igual exponente

𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛 ÷ 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚 , 𝑎𝑎 ≠

𝑎𝑎𝑛𝑛 ÷ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏)𝑛𝑛 , b ≠ 0

Potencia de una potencia

(𝑎𝑎𝑛𝑛 )𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛∙𝑚𝑚

Potencias de base negativa • Elevado a exponente par, el resultado será positivo • Elevada a exponente impar, el resultado será negativo Potencia de una potencia

(𝑎𝑎𝑛𝑛 )𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛∙𝑚𝑚

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Elementos básicos de raíces. Raíces 𝒏𝒏

Sí 𝒂𝒂 es un número real, √𝒂𝒂 se lee “raíz n- ésima de 𝒂𝒂”, en dónde el resultado de la raíz elevado a 𝒏𝒏 es igual a 𝒂𝒂. Observaciones:

2

En el caso que el índice sea 2, este no se escribe en la raíz: √a = √a

•

√𝑎𝑎 se lee “raíz cuadrada de 𝒂𝒂”

• •

El resultado de la raíz cuadrada debe ser único y por definición siempre positiva. Lo mismo para todas las raíces de índice par.

Por ejemplo: a) √25 = 5

ya que, 52 = 25

b) √0,01 = 0,1 c)

ya que, 0,12 = 0,01

3

ya que, 23 = 8

√8 = 2

3

d) √−8 = −2

ya que, (-2)3 = - 8

4

e) √256 = 4

ya que, 44 = 256

Potencias de exponente racional y raíces Las potencias de exponente racional representan una raíz

𝒎𝒎

𝒏𝒏

𝒂𝒂 𝒏𝒏 = √𝒂𝒂𝒎𝒎

Donde: 𝒏𝒏 es un número natural mayor que uno, llamado índice.

𝒂𝒂 es la cantidad sub-radical o radicando y 𝒎𝒎 es su exponente.

Por ejemplo: 3

4

a) 54 = √53 1

3

b) 123 = √12 5

7

c) √37 = 35 8

8

8

d) √256 = √28 = 28 = 21 = 2

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Propiedades Las siguientes propiedades son válidas, cuando todas las raíces involucradas existen. 𝒏𝒏

𝒏𝒏

Multiplicación de raíces de igual índice:

𝒏𝒏

División de raíces de igual índice:

𝒏𝒏

Raíz de una raíz:

𝒎𝒎 𝒏𝒏

Exponente igual al índice de la raíz:

� √𝒂𝒂� = �𝒂𝒂𝒏𝒏 � = 𝒂𝒂𝒏𝒏∙𝒏𝒏 = 𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝒂

√𝒂𝒂 ∙ √𝒃𝒃 = √𝒂𝒂 ∙ 𝒃𝒃 √𝒂𝒂 √𝒃𝒃

𝒏𝒏

𝒏𝒏

𝒂𝒂

= �𝒃𝒃

� √𝒂𝒂 = 𝒏𝒏

𝒏𝒏

Entonces:

𝒎𝒎∙𝒏𝒏

√𝒂𝒂 𝟏𝟏

𝒃𝒃 ≠ 𝟎𝟎

𝒏𝒏

𝒏𝒏

𝟏𝟏

𝒏𝒏

𝒏𝒏

� √𝒂𝒂� = 𝒂𝒂

Recordatorio del Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto a este mismo ángulo, hipotenusa.

𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝟐𝟐 = (𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒂𝒂 )𝟐𝟐 + (𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒃𝒃 )𝟐𝟐

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Rectángulo

Área y perímetro.

Perímetro = 2 · base + 2 · altura Área: base · altura Cuadrado

Perímetro = 4 · lados Área: lado2

Triángulo

Perímetro: suma de la medida de los tres lados Área:

𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏∙𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2

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Uso de la Calculadora

En la plataforma de matemáticas encontrarás los siguientes videos que te permitirán reforzar el uso de la calculadora.  Correcciones en la calculadora científica: https://www.youtube.com/watch?time_continue=61&v=UsQpAFG7ynk&feature=emb_logo

 Operaciones con fracciones: https://www.youtube.com/watch?v=oRttTwt-Chc&feature=emb_logo  Potencias y uso de paréntesis: https://www.youtube.com/watch?v=uHRMRPWANkw&feature=emb_logo  Modos de la calculadora: https://www.youtube.com/watch?v=9NblOVMqS6o&feature=emb_logo  Cálculo de raíces: https://www.youtube.com/watch?v=M5O-TYoPJCI&feature=emb_logo Si aún no tienes calculadora científica, puedes descargar un emulador en tu computador mientras adquieres una para tus clases y así practicar: Para el modelo Fx-570  https://edu.casio.com/freetrial/es/freetrial_form.php

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EJERCICIOS RESUELTOS

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Ejemplo 1. Problema de las centenas Un número de 3 cifras cumple que la multiplicación de sus dígitos es 126 y la suma de sus últimas dos cifras (decena y unidad) es 11. ¿Cuál es el dígito de las centenas? Para que la suma de decena y unidad sea igual a 11, tenemos las siguientes posibilidades: 2 + 9 = 11 3 + 8 = 11 4 + 7 = 11 5 + 6 = 11 Tenemos cuatro combinaciones posibles, ahora debemos determinar la centena: c · 2 · 9 = 126 18 · c = 126  c = 126/18 = 7 por lo tanto la centena puede ser 7 c · 3 · 8 = 126 24 · c = 126  c = 126/24 = 5,25 la centena no puede ser decimal c · 4 · 7 = 126 28 · c = 126  c = 126/28 = 4,5 la centena no puede ser decimal c · 5 · 6 = 126 30 · c = 126  c = 126/30 = 4,2 la centena no puede ser decimal Del análisis de los diferentes casos, tenemos que unidad y decena pueden ser 2 o 9 y la centena 7, por lo tanto, los números que se pueden formar son: 729 o bien 792. En ambos casos la centena es la misma. Respuesta: El dígito de las centenas es 7 Ejemplo 2. Cuadrado mágico. Sabiendo que en un cuadrado mágico todas las filas, columnas y diagonales deben sumar lo mismo, completa el siguiente cuadrado mágico: 16 c 9 b

a 10 d 15

2 f 7 14

13 g e 1

Datos:  La suma de cada fila, cada columna y cada diagonal debe dar la misma suma. Plan de solución:  Identificar la fila, columna o diagonal que posea todos los valores, para calcular el número mágico.  Identificar la fila columna o diagonal en la que falte un único número, sumar los que se tienen y hacer la diferencia con el número mágico para determinar el valor faltante. Desarrollo:  En la diagonal que se destaca, no falta ningún valor, por lo tanto, es posible determinar el número mágico 16 + 10 + 7 + 1 = 34  NÚMERO MÁGICO = 34  Primera fila: 16 + a + 2 + 13 = 34 a=3  Cuarta fila: b + 15 + 14 + 1 = 34 b=4  Primera columna: 16 + c + 9 + 4 = 34 c=5  Segunda columna: 3 + 10 + d + 15 = 34 d=6  Tercera fila: 9 + 6 + 7 + e = 34  e = 12  Tercera columna: 2 + f + 7 + 14 = 34  f = 11  Cuarta columna: 13 + g + 12 + 1 = 34 g=8

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Respuesta: El cuadrado mágico completo es:

16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

13 8 12 1

Comprobación:  Primera fila: 16 + 3 + 2 + 13 = 34 

Segunda fila: 5 + 10 + 11 + 8 = 34



Tercera fila: 9 + 6 + 7 + 12 = 34



Cuarta fila: 4 + 15 + 14 + 1 = 34



Primera columna: 16 + 5 + 9 + 4 = 34



Segunda columna: 3 + 10 + 6 + 15 = 34



Tercera columna: 2 + 11 + 7 + 14 = 34



Cuarta columna: 13 + 8 + 12 + 1 = 34



Diagonal principal: 4 + 6 + 11 + 13 = 34



Diagonal secundaria: 16 + 10 + 7 + 1 = 34

Ejemplo 3. Problema con fracciones

Daniel tiene un terreno en la playa de 270 m2. Un tercio lo dejó para construir una casa para él. Del resto del terreno les dio ¼ a cada uno de sus hijos. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada hijo?

1 270 ⋅ = 90 m 2 del terreno son de Daniel. 3 1 3

Se multiplica por para determinar el tercio que deja para construir.

270 − 90 = 180 m 2 son para los hijos.

1 180 m 2 ⋅ = 45 m 2 4 1 4

Se multiplica por , porque se indica que le dio ¼ a cada uno de sus hijos. Respuesta: A cada uno de los hijos le corresponderá 45 m2.

22

UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

Ejemplo 4. 1 MCM

Dos personas trabajan por turnos en un mismo lugar, la primera tiene turno de noche cada 8 días y la segunda cada 6 días. Sí partieron trabajando jutas el mismo día, ¿En cuántos días más se encontrarán nuevamente en el turno de noche? Y ¿En cuántos días más se encontrarán nuevamente? Se necesita determinar los múltiplos comunes entre 6 y 8 para determinar cuándo se volverán a encontrar. M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, …} Los múltiplos comunes son 24, 48, 72, etc, (Notar que, estos son todos los múltiplos de 24). Respuesta: Se encontrarán en 24 y 48 días Otra forma de calcular el MCM es realizando la descomposición en factores primos, lo que se realiza de la siguiente forma: Descomposición prima de cada uno de los números: 6 = 21 · 31 8 = 2 · 2 · 2 = 23 Los factores comunes y no comunes de la descomposición son: 2 y 3, de cada uno de estos se debe seleccionar el mayor exponente, obteniendo: MCM(6, 8) = 23 · 31 = 8 · 3 = 24 Ejemplo 4.2 MCD

Un comerciante desea poner en cajas 240 manzanas, 210 naranjas y 180 peras, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas o de peras y además el mayor número posible de ellas. Hallar el número de naranjas, de manzanas y de peras de cada caja e indicar cuántas cajas de cada fruta necesita el comerciante. Para determinar el mismo número necesitamos determinar los divisores comunes D(240) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240} D(210) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210} D(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 60, 90, 180} Los divisores comunes diferentes de 1 son, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. El mayor es 30, lo que permitirá colocar el mayor número posible. 240 = 30 · 8

210 = 30 · 7

180 = 30 · 6

Respuesta: Se necesitarán 30 cajas y cada caja contendrá 8 manzanas, 7 naranjas y 6 peras.

23

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Otra forma de calcular el MCD es realizando la descomposición en factores primos, lo que se realiza de la siguiente forma: Descomposición prima de cada uno de los números lo podemos realizar de la siguiente forma por ser los números más grandes que en el ejemplo 4.1: 240 Se comienza realizando la división por el primer primo que es divisible 240 : 2 = 120 120 : 2 = 60 60 : 2 = 30 30 : 2 = 15 Ya no es divisible por 2, así que continuamos con el siguiente divisor primo 15 : 3 = 5 Ya no es posible dividir por 3, continuamos con el siguiente primo. 5:5=1 Todos los números destacados en rojo corresponderán a los factores. 240 = 24 · 3 · 5

210 Se comienza realizando la división por el primer primo que es divisible 210 : 2 = 105 Ya no es divisible por 2, así que continuamos con el siguiente divisor primo 105 : 3 = 35 Ya no es posible dividir por 3, continuamos con el siguiente: 35 : 5 = 7 Ya no es posible dividir por 5, continuamos con el siguiente: 7:7=1

180 Se comienza realizando la división por el primer primo que es divisible 180 : 2 = 90 90 : 2 = 45 Ya no es divisible por 2, así que continuamos con el siguiente: 45 : 3 = 15 15 : 3 = 5 Ya no es posible dividir por 3, continuamos con el siguiente: 5:5=1

Todos los números destacados en rojo corresponderán a los factores. 210 = 2 · 3 · 5 · 7

Todos los números destacados en rojo corresponderán a los factores. 180 = 22 · 32 · 5

Los factores comunes de la descomposición son: 2, 3 y 5, de cada uno de estos se debe seleccionar el menor exponente, obteniendo: MCM(240, 210, 180) = 2 · 3 · 5 = 30 Ejemplo 5. Ejercicios de operatoria con aplicación de propiedades de los números reales

a)

3 4 3 − + − ⋅4 = 2 3 8 3 4 3 =− + − ⋅ 4/ 1 = ( se ha simplificado la última fracción) 2 3 8/ 2 Por lo que se obtiene:

3 4 3 =− + − = 2 3 2 Ahora, para poder sumar es necesario que todas las fracciones tengan el mismo denominador, para lo cual se amplificará para que todas tengan denominador igual a 6 (ya que corresponde al MCM entre 2 y 3).

24

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3⋅3 4 ⋅ 2 3⋅3 = − + − = 2 ⋅3 3⋅ 2 2 ⋅3 9 8 9 =− + − = 6 6 6 10 = − = ( Simplificando el resulado) 6 = −

5 3

 2  1  −2  −2  ⋅   ÷ 4 =  3  3   2  1 =  ⋅ 32  ÷ 2 = 3  4 1 b)=  2 ⋅ 9/ 3  ÷ =    3/ ´1  16 1 = 16 =6 ⋅16 = =6 ÷ 96 Ejemplo 6. Potencias

( 0, 2 )

−2

−2

−3

−1 3 0 1 +   − ( 0,1) + ( −2 ) − 3 ⋅ ( 4 ÷ −2 + 15 ) = 2 −3

−1

3  2 1 1 =   +   −   + ( −2 ) −= 3 ⋅1  10  2  10  −2

−3

( Simplificar cada fracción)

−1

3 1 1 1 =   +   −   + ( −2 ) −= 3 ⋅1 5 2  10 

a)

(expresar decimales como fracción)

(P otencias de exp onente negativo)

= 52 + 23 − 101 + ( −2 ) − 3 ⋅1=

(Calcular cada potencia )

= 25 + 8 − 10 + − 8 − 3 =

( Sumar y restar )

3

= 12

25

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334 ⋅ 512 = 340 ⋅ 320 334 ⋅ 512 = = 360 b) = 3−26 ⋅ 512 = =

( Multiplicación de potencias de igual base) (División de potencias de igual base entre 334 y 360 ) ( Potencias de exp onente negativo)

512 326

Ejemplo 7. Raíces a) Si los lados de un rectángulo miden 5 cm y 8 cm, determina la medida de la diagonal de este rectángulo. De acuerdo con los datos, se tiene lo siguiente:

Para determinar la medida de la diagonal podemos aplicar el teorema de Pitágoras. 𝑑𝑑 2 = 52 + 82

𝑑𝑑 2 = 25 + 64 𝑑𝑑 2 = 89

𝑑𝑑 = √89 ≈ 9,4

Respuesta: la diagonal mide √89 𝑐𝑐𝑐𝑐 lo que es aproximadamente 9,4 cm b) Determina la cuanto mide la diagonal de un prisma recto de base rectangular cuyas aristas miden 4 cm, 5 cm y 8 cm De acuerdo con los datos del enunciado, tenemos:

La medida de la diagonal solicitada es que está en azul en la imagen, para determinar su medida debemos determinar la diagonal de la base ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 , la cual ya fue calculada en el ejercicio anterior:

26

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𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴𝐴𝐴) = √89 ≈ 9,4

Si analizamos el prisma, con su altura, diagonal de la base y diagonal del prisma se forma un triángulo rectángulo en ���� . el cual conocemos las medidas de sus catetos y aplicando Pitágoras podemos calcular su hipotenusa 𝐶𝐶𝐶𝐶

2

𝐷𝐷2 = 42 + √89 𝐷𝐷2 = 16 + 89 𝐷𝐷 2 = 105

𝐷𝐷 = √105 ≈ 10,2

Respuesta: la diagonal ���� 𝐶𝐶𝐶𝐶 mide √105 𝑐𝑐𝑐𝑐 lo que es aproximadamente 10,2 cm

Ejemplo 8. Regularidades Ejemplo 8.1: Observa la siguiente secuencia de círculos:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 8? b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 56? c) ¿Qué figura tiene 289 puntos? 27

UNIDAD INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

Tenemos tres figuras, en cada una hay:  F1 : 4 círculos  F2: 7 círculos  F3: 10 círculos. A cada figura siguiente, se le agrega un círculo a cada extremo, es decir en total 3 círculos. La secuencia numérica que se forma es: 4, 7, 10, … y continúa aumentando de 3 en 3 por lo descrito anterior.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 F1: 1 + 3 F2: 1 + 3 + 3 F3: 1 + 3 + 3 + 3 Fn: 1 + 3n F8: 1 + 3*8 = 25 F56: 1 + 3*56 = 169 289 = 1 + 3n 288 = 3n n = 96 Respuesta: a) La figura 8 tendrá 25 círculos. b) La figura 56 tendrá 169 círculos. c) La figura que tiene 289 círculos es la de lugar 96.       

Comprobación: Como la fórmula encontrada es Fn = 1 + 3n, se validará con los valores extraído en datos. • F1 = 1 + 3*1 = 4 Corresponde a la cantidad de círculos de la figura 1. • F2 = 1 + 3*2 = 7 Corresponde a la cantidad de círculos de la figura 2. • F2 = 1 + 3*3 = 10 Corresponde a la cantidad de círculos de la figura 3.

28

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Ejemplo 8.2: Observa la siguiente secuencia

a)

Determine una expresión que permita calcular el número de cuadrados de la figura de lugar “n”. Explica cómo determinaste la respuesta. b) Comprueba la validez de tu expresión (fórmula). c) Determine la cantidad de cuadrados de la figura de lugar 3.451

Desarrollo:

a)

El cuadrado encerrado con un círculo se mantiene constante en todas las figuras, el resto de la figura es de forma rectángulos con dos columnas y el número de filas varía según el lugar de la figura, en la primera hay una fila, en la segunda dos filas, en la tercera hay tres filas, etc. Por lo tanto: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 + 1 Columnas lugar de la figura (número de filas)

Cuadrado constante

b) Comprueba la validez de tu expresión (fórmula). 𝐹𝐹1 = 2 ∙ 1 + 1 = 3

𝐹𝐹2 = 2 ∙ 2 + 1 = 5 𝐹𝐹3 = 2 ∙ 3 + 1 = 7 𝐹𝐹4 = 2 ∙ 4 + 1 = 9

Todos los resultados coinciden con el número de cuadrados de cada una de ellas. c)

Determine la cantidad de cuadrados de la figura de lugar 3.451 𝐹𝐹3451 = 2 ∙ 3451 + 1 = 6903 La figura de lugar 3451 tiene 6903 cuadrados.

29

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Ejemplo 8.3: Observa la siguiente secuencia:

¿Cuántos puntos tiene la figura de lugar “n”? En este caso, analizaremos diferentes estrategias que podrían aplicar. Estrategia 1: Identificar un punto en la base que se mantiene constante y los de los costados se duplica:

La cantidad que se duplica depende de la posición, si está en la primera se duplica el 1, en la segunda se duplica el 2, etc, por lo tanto, la cantidad de puntos de la figura de lugar “n” está dada por: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 + 1 En donde vemos que 𝟐𝟐𝟐𝟐 representa la cantidad de puntos que va aumentando de dos en dos en cada figura(variable) y el 𝟏𝟏 es el punto (constante) que siempre queda en la base de la figura.

Estrategia 2: Consideran los tres puntos iniciales constantes y observan los que se van agregando, es decir: 𝐹𝐹1 = 3 (Figura de lugar 1 tiene 0 sumando 2) (Figura de lugar 2 tiene 1 sumando 2) 𝐹𝐹2 = 3 + 2 (Figura de lugar 3 tiene 2 sumando 2) 𝐹𝐹3 = 3 + 2 + 2 (Figura de lugar 4 tiene 3 sumando 2) 𝐹𝐹4 = 3 + 2 + 2 + 2 Por lo tanto, la figura de lugar 𝒏𝒏 tendrá un sumandos 2 menos, es decir, tendrá (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏) veces el 2 como sumando. Como la cantidad de 2 es uno menos que el lugar de la figura, se obtiene: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 3 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 2

A diferencia de la estrategia anterior, los tres puntos iniciales se visualizan y mantienen constantes.

Estrategia 3: Descomponer en dos partes la figura, sin dejar constante ninguno de sus puntos:

De donde se concluye que la formación es la siguiente: 𝐹𝐹1 = 1 + 2 𝐹𝐹2 = 2 + 3 𝐹𝐹3 = 3 + 4 𝐹𝐹4 = 4 + 5 El primer sumando corresponde al lugar de la figura y el segundo al sucesor del primero, por lo tanto: 30

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𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + (𝑛𝑛 + 1) En esta estrategia, no hay constantes, cada una de las figuras contiene dos sumandos que varían dependiendo del lugar de la figura. Estrategia 4: Determinar la sucesión numérica asociada al número de puntos de cada figura: 3, 5, 7, 9, … y observar que son todos valores impares consecutivos, si conoce la generalización de los números impares, obtendrá: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 + 1 Observación: Es importante tener claro que independiente la estrategia, las expresiones obtenidas son equivalente: Estrategia 1: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏

Estrategia 2: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 3 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 2 = 3 + 2𝑛𝑛 − 2 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 Estrategia 3: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + (𝑛𝑛 + 1) = 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 1 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 Estrategia 4: 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏

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EJERCICIOS PROPUESTOS

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1. Realice las siguientes operaciones usando calculadora. a) 5 ⋅ (22 − (−8)) − (3 − 25) b) c)

−35 − (−22 + 10) − 3 ⋅ (−24)

56 ÷ (−7) + 23 − 2 ⋅ (55 − 10)

d) 2 ⋅ (−(−7) + 3 − 5) + 21 − 3 ⋅ �62 ÷ (−2) + 2 ⋅ (−5 − 9)� = e) f)

3 2 + 2 3 2 2 + 7 5 1 7

g) � − h) i) j)

2 5 − 7 2 2 5

1 5

− = −

5 12

=

1 11

2 5

+ +

17 5 − 6 3

2⋅�

=

1 3

1 2 �⋅� 10 5

−

3 1 + � 10 6

=

+ 3� = 1 3

�2 − � �2 + � =

2. Calcula aplicando propiedades de los reales: a) 26 =

e) (−2)4 = i)

3

√−27 =

1 3 5

c)

b) �− � = 2 −3 3

f)

�− �

j)

5

1 � 32

3−3 =

d) −24 =

g) = 0,2−1

3

h) √512 =

k) 0,04−0,5

=

l)

1

(−0,008)3

3. Expresa como potencia de base 2 a) 32 =

b) 2 =

c)

1=

4. Expresa las siguientes potencias como raíces. 1

a) 52 =

1

b) (−27)5 =

d)

1 32

e) 0,125

=

−4

19 7 25

c) � �

= 33

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5. Aplica propiedades y expresa el resultado en una sola potencia: 32 ∙ 3−3 ∙ 34 =

a)

c) 3−4 ÷ 15−4 = e)

5 4 ÷ 57 =

b)

3 −3 4

d) � �

0 5 1

5 −3 9

∙� �

=

24 ÷ 8−4 =

f)

�� � � = ���0, 5

8 −3 5

∙� �

6. Resuelve aplicando propiedades de raíces. 5

a) 2√3 ∙ √2 ∙ 4√2 =

5

5

b) √8 ∙ √−2 ∙ √2 = e)

3 d) � √25 =

4√6 2√2

=

4 4 c) � √8 ∙ √32 =

f)

7. Calcule el valor de cada expresión, reduciendo al máximo la expresión

3

3

√32 ÷ √4 =

a) √27 − √50 + √12 + √8 = b) √9 + 2√3 − √27 =

c) �√3 + √2��√3 − √2� =

8. Aplica propiedades de los números reales para reducir al máximo las siguientes expresiones: 3𝑒𝑒 𝑥𝑥 +𝑒𝑒 2𝑥𝑥

a) �

3+𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑥𝑥

b)

2√6

3

c)4√2 +

𝑒𝑒 𝑥𝑥

3

52

𝑒𝑒 𝑥𝑥

+ 32 + 33 =

√3 3

√5

d)

4

� = =

∙ 53 =

1 −5 1 −3 � ∙�2−9 �3 2 1 − 1 −8 1 18 6 �� � � ÷�22 � 2

�� �

e)

3

�35 +35 +35

f) √36

+36 +36 +36

=

= 34

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9. Un cuadrado mágico consiste en una distribución de números en filas y columnas, formando un cuadrado, de manera que los números de cada fila, columna y diagonal sumen lo mismo, también existen variantes en que el producto de los números de cada fila, columna o diagonal sea el mismo. Resuelve los siguientes cuadrados mágicos: CUADRADO MÁGICOS ADITIVOS

16

14 17

𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏

-8 -12

14

18

-3

𝟏𝟏 𝟔𝟔

𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏 𝟓𝟓

10

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑

6

9

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 5

CUADRADO MÁGICOS MULTIPLICATIVOS

1

-5

1 1

10 -1

4 -50

2

2

-4

-2 4

2

-4

-1

4 -2

1

1

-1

3

3

-1

-1 -4

-3

CUADRADO MÁGICOS MULTIPLICATIVOS CON POTENCIAS

5−4

1 5−1

52

70

7

72 7−2

103 0,001

𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏

100

𝟑𝟑−𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟖𝟖

𝟏𝟏 𝟑𝟑

𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟕𝟕

𝟑𝟑𝟐𝟐

𝟑𝟑−𝟓𝟓

𝟑𝟑𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟑𝟑−𝟓𝟓

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10. Los números de tres cifras: ¿Qué números de tres cifras cumplen que la multiplicación de sus dígitos es 280 y la suma de sus últimas dos cifras (decena y unidad) es 13?

11. Un panel luminoso está conformado por 9 ampolletas numeradas que están programadas para prenderse de manera intermitente según los divisores de su numeración, por ejemplo: la ampolleta 10 se enciende a los 1, 2, 5 y 10 segundos. Cuando el panel se enciende, todas las ampolletas se prenden en el segundo 1 (dado que el número 1 divide a cualquier número). Posteriormente, los paneles tienen un sistema de seguridad que, al momento de prenderse nuevamente todas las ampolletas al mismo tiempo, el panel se desactiva y se apaga. a) ¿A los cuántos segundos se desactiva el panel? b) ¿A los cuántos segundos se encienden únicamente los tres vértices simultáneamente?

12. Este año lograste emprender una miniempresa, junto a 3 de tus compañeros, dedicada a la venta de accesorios para Smartphone. En los primeros meses, han vendido 14 cargadores a $18.000 cada uno, con una pérdida de $2.000 en cada artículo; 20 carcasas a $4.000 cada una con una ganancia de $1.000 por unidad, y 7 protectores de pantalla a $15.000 cada uno con una ganancia de $3.000 por protector, si la empresa en estos meses vendió todo lo que compró ¿Cuál fue el costo de toda la mercadería vendida? ¿Logró su empresa tener ganancias en sus primeros meses?

13. Calcule el costo de un viaje de estudio que durará 8 días, si participan 28 estudiantes y 3 profesores acompañantes y contempla el traslado en avión, más un traslado en bus, ambos ida y vuelta donde el costo de cada pasaje en avión es US$ 340 (ida y vuelta). El costo de cada pasaje en bus es de US$ 22 (sólo ida), además se incluye alimentación de US$ 23 diarios por persona. Realice el cálculo del viaje de estudios para el total de personas en dólares y pesos chilenos (considere el dólar a 785 pesos chilenos).

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14. Se quiere dibujar un rectángulo de área 230 [u2]. Si el segmento que une los puntos A y B es la base del rectángulo, a) ¿Dónde se podrían ubicar los otros vértices? b) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

15. Un automóvil tarda 2 minutos en dar una vuelta a una pista, una bicicleta tarda 6 minutos y una persona 20 minutos. Si los tres salen al mismo tiempo. ¿Después de cuánto tiempo coinciden los tres y cuántas vueltas habrá dado cada uno? 16. Una lata de bebida tiene una capacidad de 350 cc de líquido. Si se vierte el contenido de una de estas latas y alcanza sólo para llenar un vaso cuya capacidad es de 200 cc ¿Qué parte del total de la capacidad de la lata quedó con líquido?

17. Uno de los mayores premios que ha entregado el juego de azar “LOTO” alcanza a la suma de 8400 millones

2 del total se lo adjudicaron 4 3 ganadores que recibieron partes iguales y lo restante se dividió entre 112 personas que revieron montos iguales ¿Cuánto recibió cada persona? de pesos, cuando se sorteó ese premio este se dividió de la siguiente forma

18. María gana como secretaria $480.000 líquido. Gasta la cuarta parte en alimentarse;

4 del resto en arriendo, 5

1 de lo que sobra lo gasta en pasajes y vestuario, el resto lo gasta en pago de deudas. ¿Cuánto dinero gasta 2 en cada una de las cosas mencionadas? 1

2

19. Se reparten 36 caramelos entre 4 jóvenes, de tal manera que: 3 de los caramelos se los lleva Juan; 9 de los 4

caramelos se los lleva Luis, 12 del total se los lleva Mercedes y Pedro se lleva el resto. ¿Cuántos caramelos se

lleva cada uno?

20. En una casa ferretera, deben ayudar a un cliente que necesita aflojar una tuerca de la rueda de su auto, él no logra explicar la medida de la llave que necesita para aflojar la tuerca. Para ayudarlo un empleado utiliza una llave de

1 2

pulgada que le queda chica, luego decide utilizar una llave de

3 4

pulgada que le queda grande,

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entonces, se da cuenta que la medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores. ¿De cuántas pulgadas es la llave que necesita el cliente? 21. Pedro desea determinar el grosor de las hojas de su cuaderno de 80 hojas, para esto mide el alto y determina que mide 0,7 cm. a) ¿Cuál es el grosor aproximado de una hoja del mismo cuaderno? b) ¿Cuál será el alto aproximado de un cuaderno del mismo tipo y marca de 100 hojas? 22. Una compañía que proporciona internet ofrece un plan, en el cual durante los 3 primeros gigas de tráfico se cobra un valor fijo de $6000 y luego de los 3 gigas se cobra $1,8 el mega de tráfico. a) ¿Qué valor tendrá una cuenta que considera un tráfico de 4,6 gigas? b) Si la cuenta es de $10.4320 ¿Cuántos gigas ha consumido? 23. Para una campaña pro-defensa de los bosques Milenarios, un grupo ecológico desarrolló como estrategia de difusión que cada uno de sus 50 miembros enviara una carta a 4 amigos. En ella se daba a conocer la situación real de los bosques y se pedía a su vez que cada uno repitiera la misma acción enviando copias de la carta a 4 personas más. Si se consideran los envíos de los miembros del primer grupo a sus amigos como etapa 1 y los envíos de sus amigos a otras personas como etapa 2, y así sucesivamente. a) ¿Cuántas cartas son enviadas en cada una de las etapas: 1, 2, 3, 4, 5? b) ¿Cuántas cartas son enviadas en total durante la campaña? 24. Una persona decide ahorrar mes a mes parte con un ahorro inicial de $100.000 pero cada mes se le hace más difícil y deposita la mitad de lo que deposita el mes anterior. a) ¿Durante cuantos meses puede la persona realizar esta rutina? b) ¿Cuál es la restricción que existe? c) Exprese usando potencias el ahorro para el décimo mes. 25. Pablo, un niño con mucha curiosidad, decide doblar una hoja de papel en 2 partes, al ver esto, se percata que ahora la hoja es el doble de gruesa, por lo que vuelve a repetir el proceso. a) Si Pablo realiza 4 dobles. ¿Cuál es el nuevo grosor de la hoja? b) Si Pablo fuera capaz de darle 10 dobles. ¿Cuál sería el grosor obtenido? c) Si la hoja que comenzó a doblar tenía un grosor de 0,1 milímetro. ¿Cuál es el grosor que tendrá después de 15 dobles? 26. En un teatro la distribución de las butacas tiene igual número de filas que de columnas. Si en la función de la tarde se venden todas las entradas recaudando $675.000, sabiendo que cada entrada cuesta $3.000, ¿cuántas filas de butacas tiene el teatro? 38

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27. En un Triángulo equilátero de lado 10 cm, se dibuja otro triángulo equilátero en uno de sus costados, midiendo este lado exactamente la tercera parte. (ver imagen) se repite este proceso 6 veces. ¿Cuánto mide el triángulo más pequeño? Expresa el resultado como potencia. 28. Las cuatro paredes de un cuarto de baño son cuadradas y para cubrirlas se necesitan en total 324 azulejos cuadrados. Si cada azulejo es de forma cuadrada cuya superficie mide 625 cm2. a) ¿cuánto mide la altura de cada pared? b) Si cada caja contiene 2 m2 de azulejos. ¿Cuántas cajas se necesitan para cubrir todo el baño? c) Si el metro cuadrado de azulejo cuesta $3990, ¿Cuánto dinero se necesita invertir en azulejos? 29. Se requiere de una caja cubica para envolver un regalo. a) ¿Cuál es el volumen de la caja si se sabe que el área total de su superficie es de 2400 cm2 ? b) Si el pliego de papel de regalo mide 100 cm de largo por 70 cm de ancho, ¿es posible envolver la caja? Justifica tu respuesta. c) Cuál es la medida máxima de la arista del cubo para que sea posible envolverlo en el pliego de papel de 100 cm de largo y 70 cm de ancho. 30. El área de un círculo mide 324𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑐𝑐2 . Indica la medida de su radio. (𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜋𝜋 ∙ 𝑟𝑟 2 )

31. Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3,5 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 80 centímetros de ésta. 32. Un gasfíter lleva sus herramientas en un maletín de 40 cm de largo, 30 cm de alto y 15 cm de ancho. Para terminar un trabajo necesita llevar una cañería de cobre de 55 cm de largo. ¿Es posible que pueda llevar la cañería en su maletín? Justifica tu respuesta.

33. En un cuadrado se dibuja otro cuadrado dentro, formado por los puntos medios, dentro de este, otro cuadrado, formado nuevamente por los puntos medios, si este procedimiento se repite 1. a) Si se sabe que el lado del cuadrado negro (exterior) mide √32 cm ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado rojo (cuadrado interior más pequeño)? ¿Cuánto mide su área? b) Si el área del cuadrado rojo es 5 cm, ¿cuánto mide el lado del cuadrado negro (cuadrado exterior)?

1

Problema adaptado de https://www.iesalandalus.com/joomla3/images/matematicas/eso/1eso/tema14.pdf 39

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34. Observa las siguientes secuencias 2: Secuencia

Preguntas Determine una expresión que permita calcular el número de palitos de la figura de lugar “n” b) Comprueba la validez de su expresión (fórmula). c) Con la fórmula determine la cantidad de palitos de la figura de lugar 451 d) Determine una expresión que permita calcular el número de palitos de la figura de lugar “n” e) Comprueba la validez de su expresión (fórmula). f) Con la fórmula determine la cantidad de palitos de la figura de lugar 834 a)

g)

Determine una expresión que permita calcular el número de cuadrados de la figura de lugar “n” h) Comprueba la validez de su expresión (fórmula). i) Con la fórmula determine la cantidad de cuadraditos de la figura de lugar 763 j) k) l)

Determine una expresión que permita calcular el número de cuadrados de la figura de lugar “n” Comprueba la validez de su expresión (fórmula). Con la fórmula determine la cantidad de cuadraditos de la figura de lugar 363

m) Determine una expresión que permita calcular el número de cuadrados de la figura de lugar “n” n) Comprueba la validez de su expresión (fórmula). o) Con la fórmula determine la cantidad de cuadraditos de la figura de lugar 63 p) Determine una expresión que permita calcular el número de cuadrados de la figura de lugar “n” q) Comprueba la validez de su expresión (fórmula). r) Con la fórmula determine la cantidad de cuadraditos de la figura de lugar 83 s)

3

2 3

Determine una expresión que permita calcular el número de cubos de la figura de lugar “n” t) Comprueba la validez de su expresión (fórmula). u) Con la fórmula determine la cantidad de cubitos de la figura de lugar 71

Secuencias tomadas del libro Didáctica del Álgebra de Godino. Imagen obtenida desde: https://i.ytimg.com/vi/blxfFYSRKSo/maxresdefault.jpg 40

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Soluciones

1.

a) 172 b) 49

2.

a) 64

k) 5 3. a) 25

b) −

l) −

c) -75

1 125

1 5

59 30

d) 208 e)

c)

1 27

b) 21

229 385

f)

e) 16

c) 20

d) 2−5

7

−4

19 c) � � �

6. a) 16√3

b) -2

d) √25

8. a) 𝑒𝑒 4𝑥𝑥

b)

5. 33

5

b) 5−3

7. a) 5√3 − 3√2

12𝑒𝑒 𝑥𝑥

c) 54

6

c) 2

b) 3 − √3 c)

27

9. Cuadrados mágicos

19 315

d) -16

b) √−27

4. a) √5

g)

25

3 3 2

d) � �

155 28

i)

27 8

g) 5

h) − f) −

25 3

j)

35 9

h) 8

i) -3

j)

1 2

e) 2−3

e) 1 e) 2√3

f) 2

d) 25

e) 2-19

f) 216

c) 1

5√3 6

f)

1 6

CUADRADO MÁGICOS ADITIVOS

16

21

14

5

6

-8

15

17

19

-12

1

14

20

13

18

10

-4

-3

𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑

𝟏𝟏 𝟓𝟓

𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏 𝟔𝟔

𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟑𝟑

10

𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 6

7 9

8

9 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟑 10

5

CUADRADO MÁGICOS MULTIPLICATIVOS

41

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-1

1

-1

-2

100

-5

1

1

1

25

10

4

-1

1

-1

-20

1

-50

2

-4

2

-2

-3

3

1

1

-4

-1

-2

-4

-1

-1

-1

3

-2

4

4

-1

1

-1

3

1

2

2

-2

-4

-3

-1

3

-1

CUADRADO MÁGICOS MULTIPLICATIVOS CON POTENCIAS

5−4 53

5−2

5

1

5−1

5−5

5−3

52

74

7−3

72

70

75

7−2

7−1

7

3

103 0,001

𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏

10−4

10

1

100

104

10−3

𝟑𝟑−𝟒𝟒

36

𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑

33

3−2

𝟑𝟑𝟒𝟒

3−6

𝟑𝟑−𝟓𝟓

𝟏𝟏 𝟑𝟑−𝟓𝟓

10. 758 y 785 11. a) A los 7 segundos.

𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟕𝟕

𝟏𝟏 𝟑𝟑

3

𝟑𝟑𝟖𝟖

37

𝟑𝟑𝟐𝟐

1

b) A los 6 y a los 42 segundos.

12. El costo de la mercadería fue de $424.000 y la empresa logró una ganancia de $13.000 13. El costo total del viaje es de US$17.608 o de CLP$ 13.822.280 14. a) Los otros dos vértices podrían ser (-12, -55) y (34, -55), o bien, (-12, -65) y (34, -65). b) El área del rectángulo en cualquiera de los dos casos será de 102[u] 15. Los tres coinciden por primera vez a los 60 segundos. El automóvil habrá dado 30 vueltas, la bicicleta 10 vueltas y la persona habrá dado 3 vueltas. 16. 3/7 de la lata quedaron con líquido. 17. Cada uno de los 4 ganadores se adjudicó $1400 millones y cada una de las 112 personas recibió 25 millones cada una. 18. María gasta $120.000 en alimentación, $288.000 en arriendo, $36.000 en pasajes y vestuario y los $36.000 restantes en deudas. 19. Juan y Mercedes se llevan 12 caramelos cada uno, Luis se lleva 8 caramelos, Pedro se lleva 4 caramelos. 42

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20. La llave que necesita el cliente es de 5/8 pulgadas. 21. a) Cada hoja tiene un grosor aproximado de 0,00875 cm alto aproximado de 0,9 cm 22. a) La cuenta es de $8.880 por 4,6 GB de tráfico.

b) Un cuaderno de 100 hojas tendrá un

b) Ha consumido 5,4 GB

23. a) Etapa 1: 50·4 envíos, Etapa 2: 50·42 envíos, Etapa 3: 50·43 envíos, Etapa 4: 50·44 envíos y Etapa 5: 50·45 envíos. b) Son enviadas 68.200 cartas en total. 24. a) Durante 16 meses. b) La restricción consiste en que el monto a depositar debe ser mayor o igual a $1 y en el mes 17 sería menor. 1 10 2

c) El ahorro para el décimo mes sería de $100.000 ∙ � �

25. a) El nuevo grosor de la hoja es 16 (24) veces más gruesa. b) El nuevo grosor sería de 1024 (210) veces más gruesa). C) El nuevo grosor sería de 3,3 cm aproximadamente. (0,1 [mm] ·215). 26. El teatro tiene 15 filas de butacas. 1 3 2

27. El lado más pequeño mide 10 ∙ � � cm.

28. a) La altura de la pared es de 2,25 metros. b) Se necesitan 25 cajas. $87.780 en azulejos (cada caja cuesta $7980, se necesitan 11 cajas).

c)

Necesita

invertir

29. a) El volumen de la caja es de 8.000 cm3 b) Si es posible, porque la red del cubo tendría 80 cm de largo y 60 cm de ancho. C) La arista puede mejor como máximo 23,3 cm (70/3). 30. La medida del radio es de 18 cm 31. Aproximadamente 3 metros con 40 cm 32. Si, es posible, ya que la llave puede medir como máximo 52 cm por ser esta la medida de la diagonal de la caja. 33. a) El lado del cuadrado rojo mide √2 cm y su área es igual a 2 cm2 20 cm. 34.

Secuencia

b) El lado del cuadro negro mide

Preguntas a) Número de palitos: 3n + 1, donde n es el lugar de la figura. b) Figura 1: 3·1+1 = 4 (la figura efectivamente tiene 4 palitos) Figura 2: 3·2+1 = 7 (la figura efectivamente tiene 7 palitos) Figura 3: 3·3+1 = 0 (la figura efectivamente tiene 10 palitos) 43

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c) Figura 351 tendrá 1354 palitos (3·451+1) d) Número de palitos de la figura n: 8n – 5 , en donde n es el lugar de la figura. e) Realizar el proceso análogo a la sucesión anterior. f) Figura 834: Número de cuadrados de la figura n: 3n + 1, en donde n es el lugar de la figura. h) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión. i) Figura 763 tiene 2290 cuadraditos. g)

j) k) l)

Número de cuadrados de la figura n: n2 + 4n + 5, en donde n es el lugar de la figura. Realizar el proceso análogo a la primera sucesión. Figura 363 tiene 133.226 cuadraditos

m) Número de cuadrados de la figura n: n2 + 4n + 5, en donde n es el lugar de la figura. n) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión. o) Figura 63 tiene 4226 cuadraditos p) Número de cuadrados de la figura n: n2 + 4n + 5 en donde n es el lugar de la figura. q) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión. r) Figura 83 tiene 7226 cuadraditos.

Número de cubos de la figura n: n3 en donde n es el lugar de la figura. t) Realizar el proceso análogo a la primera sucesión. u) Figura 71 tendrá 357.911 cubitos. s)

4

4

Imagen obtenida desde: https://i.ytimg.com/vi/blxfFYSRKSo/maxresdefault.jpg 44

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Problemas no rutinarios

1. El triángulo de Pascal: seguro has visto muchas veces este triángulo de números

En la fila 103 ¿Cuál es el segundo número? Y ¿Hay algún número que no se repita? 2. Los discos: En la imagen tienes dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito un número, en la otra cara de cada uno hay otro número. Si sumamos dos de los valores que tienen, podemos obtener los siguientes resultados: 11, 12, 16 y 17. ¿Qué número están escritos en la cara oculta de cada disco?

Si ahora con los siguientes tres discos se pueden obtener: 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22 y 23. ¿Qué números están escritos en la cara oculta?

3. Vigilancia: Imagina una ciudad cuyas calles forman una red cuadrada, en las que cada manzana tiene una longitud de 100 metro. Supón que un guardia colocado en una esquina puede ver a un sospechoso a 100 metros; por lo tanto, puede vigilar un máximo de 400 metros de calle así: Si tenemos un bloque de casas, con cuatro Para dos bloques alineados necesitamos 3 esquinas, necesitamos dos guardias: guardias:

¿Cuántos guardias son necesarias para un grupo de bloques que formen un cuadrado?

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Referencias

Díaz Godino, J., & Font, V. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros. Granada. Fernández, S., Basarrate, A., & Fouz, F. (1991). La Resolución de Problemas. Sigma, nº10, 1-88.

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