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OS To

•

Otti;

abili ad OBJETIVOS Al terminar este capitulo podia:

UNO Definir lo que as probabilidad.

Sr DOS

Describir los enfogues.clasico, empiricb y subjetitio• de la .

.probabilidad.

-

TRES

Entender Ins torrninos: experiment°, evento, resultado, permutaciones y combinaciones.

•

. CUATRO Detinir los conceptos

•

probabilidad condicional y probabilidad conjunta. . EA 1111 .'1111d10 e

gut n

tarn sitios hi:toricos en

tit los IiiiisLis ipi viiiiarci[

011111

de ei.la ciudad. CLiarvill poi t Li I :2; 11

isito iaiito Bcijinz coiiio a. lgti .11 . 1u4;u: probabuidaddcqI1ekJi1LklriSa1i.1iIdIhlI J IllelluS 111110 d Hot ilflS .

CINCO Calcular probabilidades aplicando las rep/as be adicion y las rep/as de multiplicacion.

iVer . oliktin 5 y ciercicii) B2..1

SEIS Utilizar un diagrama de .arbol pars organizer y evalOar . probabilidades.

•• • 0

SIETE .

Calcular una probabilidad utilizando of teorema de _Bayes.

150

Capitulo 5

Introduccion Los capitulos 2 al 4 se centraron en la estadistica descriptiva. En el capitulo 2, los precios de 80 vehiculos que se vendieron 0 mes pasado en la agencia Whitner Pontiac, se organizaron en una distribuciOn de frecuencias para mostrar los precios de yenta mas bajos y mas altos, y dOnde se presenta la mayor concentracion be datos. En los capitulos 3 y 4 se utilizaron medidas de tendencia central y de dispersi6n para establecer el precio de yenta tipico [aproximadamente $20 000 (dolares)] y para examinar la dispersion de los datos. La dispersi6n de los precios de yenta se describio empleando medidas de dispersion como la amplitud de va, riacian y la desviacion estandar. Por tanto, la estadistica descriptiva se ocupa de describir algo que ya ha ocurrido. Por ejemplo, los precios de yenta de los vehiculos en la agenda Whitner Pontiac, el mes pasado. Ahora la atenciOn se dirigird al estudio de la segunda faceta be la estadistica, que es el calculo de la posibilidad de que algo.ocurra en el futuro. Esta parte de la estadistica se denomina estadfstica inferencial o bien, inferencia estadfstica. En muy pocas ocasiones el encargado de tomar decisiones dispone de informaci6n cornpieta a partir de la cual pueda realizar una determinaciOn. Por ejemplo: • Toys & Things, un fabficante de juguetes y rompecabezas, ha desarrollado un nuevo juego basado en una trivia deportiva, y desea saber silos aficionados al deporte compraran o no dicho juego. Dos be los posibles nombres son "Slam Dunk" y "Home Run". Una for- . ma de minimizar S riesgo be una decisiOn equivocada consiste en contratar a una empresa de encuestas para que tome una muestra de, por ejemplo, 2 000 personas de la poblaciOn, y pregunte a cada una coma reaccionaria ante el nuevo juego y los titulos, propuestos. • El departamento de control de calidad de la empresa Bethlehem Steel debe asegurar a la gerencia respectiva que el alambre de un cuarto de pulgada de grosor que se esta produciendo, tiene una resistencia aceptable a la tension. Es obvio que no todo el alambre producido se puede probar para determinar su resistencia a la tension mecanica, pues prueba requiere que se eetire hasta romperlo, destruyendolo. De manera que se selecciona una muestra aleatoria de 10 piezas y se prueba. Con bEse en los resultados del ensayo, todo el alambre producido se consk . derara satisfactorio o no satisfactorio. • Otras cuestiones relacio'nadas con la incerticlumbre son: LDebe discontinuarse de inmedia' to la telenovela Days of Our Lives'? iDeberja el equipo Gigantes de Nueva York seleccionar, en la primera ronda de contrataciones a Sammy Uwea o a Clint Murray para las ligas colegiales de beisbol? L,Producira ganancias un nuevo cereal con sabor a menta al ser introducido al mercado? 1,Debe el casarse con Jean? j,Deberia comprar On Rolls Royce nuevo? 6Debemos votar por Charles Linden como representante de la ciudad donde vivo? La inferencia estadistica se ocupa de obtener conclusiones acerCa de una poblaciOn basandose en una muestra tomada de aquella. (Las poblaciones en los ejemplos anteriores son: todos los consumidores a los que les gustan los juegos de trivias deportivas, todo el alambre de acero be un 1/4 de pulgada que se fabric& todos los televidentes aficionados a las telenovelas, la totalidad de los jugadores de futbol americano colegial que seran contratados por los equipos profesionales, y asi sucesivamente.) Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomar decisiones, resulta importante que se evaluen en forma cientifica todos los riesgos implicitos conocidos. Es de gran ayuda en esta evaluacion a teoda de /a probabilidad:a a que frecuentemente se denomina "ciencia de la incertidumbre". El empleo de la teoria de la probabilidad permite -a quien toma decisiones con informaciOn limitada- analizar los riesgos y minimizar el azar inherente. Por ejemplo, al lanzar al mercado un nuevo producto o aceptar un embarque recien Ilegado que puede contener piezas defectuosas.

a 41

151

Revision de algunos conceptos de probabilidad

Como los conceptos de probabilidad son tan importantes en el campo de la inferencia estadistica (cuyo analisis se ipiciara en el capitulo 8), en este capitulo se presenta el lenguaje basic° de la probabilidad, que comprende terminos comb experiniento, evento, probabilidad subjetiva y as reglas de adicion y multiplicaciOn.

zQue es una probabilidad? Sin duda alguna el lector este familiarizando con terminos tales como dad y azar. Con frecuencia se utilizan indistintamente. El prongstico del servicio meteorolOgico anuncia que hay 70% de posibilidades de Iluvia para el doming° en el que se realize el juego del SOper Tazon en el futbol de EUA. Mediante una encuesta a consumidores que probaron un nuevo peOinillo con sabor a platen°, la probabilidad de que si se lanza at mercado sea un exit° financiero, es 0.03. (Esto significa que la posibilidad de que el nuevo pepinillo con sabor a platano sea aceptado por el alio°, es mas bien remota). i,Que es una probebilidad? En general, es un Tinnier° que evalua la posibilidad de que algo suceda. desde cero haste upo, Probabilidad Valor . dad relativa de clue ocurra un

describe

s

En el estudio de la probabilidad se utilizan tres palabras cave: experiment°, resultado y evento. Estos terminos se emplean en el habla cotidiana, pero en estadistica tienen significados especificos. xp-extmento Proceso que, conduce a que ocurra,una (y seri/aciones=jooaibls: Esta definicion es mas general que la que se utilize en las ciencias fisicas, donde es facil imaginar a una persona manipulando microscopios o:tubos de ensayo. En probabilidad, un experimento tiene dos o mas resultados posibles, y es incierto cual es el que ocurrird. Resultadopit suceso particular provenisn i te de undIx6erirriepto.

.

Por ejemplo, lanzar uria moneda at aire es un experiment°. Se 60ede observer el lanzamiento de la moneda, pero no se sabe si caera "care" (anverso) o "cruz" (reverso). De forma semejante, preguntar a 500 universitarios si oomprarian o no la nileva computadora Dell a un precio determinado, seria un experimento. Si la moneda , se tira al aire, un resultado particular es "cara". El resultado alternativo es "cruz". En el experiment° de la compra de una cornputadora, un restated° posible es que 273 estudiantes indiquen que 51 la comprarian. Otro resultado puede ser que 317 alumnos si adquiririan a rnaquipa. Otro resultado mas es que 423 estudiantes digan que si la adquiririan. Cuando se obServan •uno o mas de los resultados de un experimento, esto se conoce como un evento. • vent° Coojuoto de unoo mas resultadoi de un experiMento.r:/ En las siguientes paginas se presentan algunos ejemplos para aclarar las definiciones de los terminos experiment°, fesultado y evento en la ciencia estadistica. En el experimento de lanzar un dado existen seis resuttados posibles, pero hay muchos eventos posibles. Si se cuenta el nOmero de miembros del consejo directivo mayores de 60 anos, en las 500 companies presentadas en la revista Fortune, el nOrnero de resultados posibles puede estar entre cero y la cantidad total de miembros. En este experimento hay un gran nOmero de eventos posibles.

152

Capitulo 5

Ob.tariprni.cm:erp -oktplpyrnbro eP:29:(1sejo;dir:Oclic/qm: e9,1ad:6 ,111 P-r}es ?'15fee.8tab.d§*ri- F,cfri,gicia,

Uya[edad .,es 'superior a .

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atic

-uno tiene,rnaada,6 no ,tiene Mas do60 os tienen ma's de

tieheti mas de 60

48 tienen mas de 60 Algunoedventos posibles

Obtener un nümoro Par :Obtener un tuner° mayor que 4

Mas de 13 tienen mas de 60 Menos de 20 tienen mds de 60

Obtener un nOrMero igual o inferior a 3

Una probabilidad se express como una fracciOn decimal, tal como, 0.70, 0.270 bien 0.50. Iambi& puede indicarse como una fraccion comOn; por ejemplo, 7/10, 27/100 o 1/2. Una , probabilidacipuede asumir cualquier valor desde 0 hasta 1, inclusive. De modo que Si una ,. Compailia tiene solo cinco regiones de yentas y el nombre o nOrnero de cada una se escribe en un troici de papel; y luego tales datos se colocan en Lin sombrero, la probabilidad de seleccionar una•de las cinco zonas es 1. La probabilidad de sacar del sombrero un trozo de pap'el que diga.."Acereros de Pittsburgh" Jun equip° deportivo), es 0. De esta forma, la , probabificlad 1 repr.esenta algo que seguramente vs a suceder, y la probabilidad 0 corresponde a alga que no puede oCurrir. . . • ., Cuanto masse aproxime a 0 una probabilidad, es mas improbable quo ocurra or evento respectiyo. Cuanto Inaé se acerque a 1„tanto mas seguro es, que suceda. La relaciOn se inuestra en el diagrama siguiente, junto con algunas creencias personales. Sin embargo, otro lector de este libro tal vez le asigne una probabilidad diferente a quo gane el caballo Slo Poke en el Derby de Kentucky, o a quo haya un aumento en los impuestos federales.

No puede suceder

• lndudablemente sucede

I

I

I

0.00 0.10 0.20 0.30 Probabilidad Probabilidad de de quo el Sol quo Slo Poke desaparezca gene en el Derby 'este alio de Kentucky

I

I

I

I

I

0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 • t Probabilidad Probabilidad de quo S lanzar de aumento una moneda caiga on los una cara' al impuestos tirade urn vez federales ,

I 0.90

1.00

Probabilidad de quo llueva este an° on Florida

0

Revision de algunos conceptos de probabilidad

Autai;ththeri

153

Se ha desarrollado un nueVo juego de video. 80 jugadores veteranbs de este tipo de atraccio-. neS Van a probar su potencial de mercado: , :a) , LCual es ellexperiatentb?. ,, , .„ b),'LCual e`s 'un resultado, posible? uponga que 65 jugadores pro aron el nuevo iuego y a irmaron qUe les gusto. 1,Es 65 c La iirobabilidad de qui el nthvb juego de video:sea un oxlip se calcula que ea -1. )'/Que le indica eato?.... • ,,, Eseacifique Lin eVento . posible:

e,Que funci6n tiene la probabilidad en la toma de decisiones? Esta pregunta puede contestarse citando dos casos que se analizaran en capitulos posteriores.

Caso 1 Con base en la experiencia, una empresa editorial determine que al menos 20% de cierto grupo, como el de musicos, debe suscribirse a una revista mensual para que esta sea un exito financiero. La empresa esta considerando una publicacion mensual para aficionados a observer ayes. Se diseho un flamer° especial y se envie a una muestra de 1 . 000 aficionados. En respuesta, 190 de 1 000, es decir 19%, afirmaron que se suscribirian a la revista siesta se publicara. L,Debe afirmarse que esta proporcion es menor ,que 20%, y decidir inmediatti mente que no se va a publicar la revista? tO podria atribuirse la diferencia entre el porcenta- je necesario (20) y el porcentaje muestral (19) al muestreo, es decir, al azar? La probabihdad ayuda a tomar una decision en este tipo de situaciones, que se analizaran en el capitulo 10.

Caso 2 En un gran proyecto de construccion se requieren miles de bloquth de concrete. Las especificaciones indican que estos deben soportar, en promedio, presiont de 1 050 libras por pulgada cuadrada (Ib/pulg 2 , o psi). Dos empresas:que.fabrican . estoe bloques presentaron muestras para probarlos. La resistencia de los bloques de lalima Strong Block Co. tuvo un valor medio de 1 070 psi; los de la Taylor Company tuvierofi una resistencia de 1 062 psi. La Strong Block Co. considera que se le .debe otorgar el contrato porque sus bloques tienen una resistencia media mayor. La compaiiia Taylor no este de acuerdo,'ya que sefiala qui la diferencia de solo 8 psi podria deberse al muestreo (al azar).,Si la afirmaci6n de Strong Block es correcta, se le debe otorgar el contrato: Si la aseVeracion de Taylor tambien es correcta, el contrato se dividira entre IS dos .companias. La probabifidad ayudara a tomar una decisi6n en un caso como este, como se vera en el capitulo 11. . .

•• •• •• •

••

Enfoques de la probabilidad Se analizaran dos enfoques del analisis probabilistico, especificamente, los puntos de vista objetivo isiibjetivo. La probabilidad objetiva puede subdividirse en: (1) probabihdad ca y (2) probabilidad empirica.

Probabilidad clasica La probabilidad clasica se bath en la consideracion de que los resultados de un experimento son. igualmente posibles. Empleando el punto de vista clasicb, a probabilidad de que sucede un evento se calcula dividiendo el flamer° de resultados favorables entre el flamer° total de resultados posibles:

154

Capitulo 5 DEFINICION bE, Lk: PR O B A BILI bA DI:C LA§ la Probabilidad.de un evento =

umero de resultados favorables , Omen) total de resultados posibles

EJEMPLO

Considerese el experimento de lanzar un dado comOn. 6Cual es la probabilidad del evento "cae un nOrnero par"?

soLuciON

Los resultados posibles son:

1 41 Hay tres resultados "favorables" (un "dos", un "cuatro" y un "seis") en el conjunto de seis resultados,posibles igualmente probables. Por tanto: NOmero de resultados favorables

Probabilidad de un numero par — 3

6

NOmero total de resultados posibles

= 0.5

Si sato uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice que los eventos son mu-

tuamente excluyentes. titilaniente , excuStentC.:;iLilia`CUrraildikiburreventO ,..i .,.

otros eVentOS:puedeitacuM(41.misthotie'rnoo:-

En el experimento de tirar un dado, los eventos "un nOmero par" y "un nOrnero impar" son mutuamente excluyentes. Si cae un nOmero par, no puede caer un nOmero impar al mismo tiempo. Si un experimento tiene un conjunto de eventos que comprende a tbdos los resultado's posibles, tales como los eventos "cae un miner° par" y "cae un niimero irnpar" cuando se lanza un dado,.entonces el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo. pOlaCtitaykOitejeXhanstiYO.p.be.:::to

Suma de probabilidades =1.

En el experimento de tirar un dado, cada resultado sera un nOmero par o impar. Por tan, to, el conjunto es colectivamente exhaustiyo. Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamente excluyentes, la sums de las probabilidades es 1. En el experimento donde se lanza una moneda: Probabilidad Evento: Cara Evento Cruz Total

0.5 0.5 1.0

• Para que. se pueda aplicar el enfoque clasico, los eventos deben tener a misma posibilidad de ocurrir (a lo que se denomina eventos igualmente posibles.) Ademas, el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo.

•

Revision de algunos conceptos de probabilidad

155

Desde un punto de vista histOrico, el enfoque clasico de la probabinclad se desarrollo y aplica en los siglos XVII y )NIII a juegos de azar, coma el de cartes y el de dados. Observese que es innecesario realizar un experimento para determinar la probabilidad de que ocurra un evento cuatido se utilize el enfoque clasico. Par ejemplo, se puede Ilegar en forma logica a la probabilidad de obtener "cruz" en el lanzamiento de una moneda, o bien tres "cares" cuando se lanzan al aire tres monedas. De la misma forma, tampoco se tiene que realizar un experiment° para determinar la probabilidad de que su declaraciOn de impuestos fiscales sea sometida a una auditoria, si hay 2 millones de declaraciones que se envian a la oficina fiscal de recaudacian de su distrito y se va a realizar una auditoria sal° a 2 400. Suponiendo que todas as declaraciones tengan la misma probabilidad de ser auditadas, a probabilidad de que lo auditaran seria 0.0012, qua se obtiene al dividir 2 400 entre 2 millones. Es obvio que la probabilidad de que su declaraciOn sea sometida a una auditoria es muy pequefia (o remota.)

Concepto empirico Otro modo de definir la probabilidad es basandose en las frecuencias relatives. La probebilidad de que un evento ocurra se determina observando en qua fraccion de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. Utilizando una fOrmula: Probabilidad de que suceda un evento - !ginner° de veces que °curd° el evento en el pasado !liner° total de observaciones

EAMPLO

tSOLUCION

Se efectuo un estudio con 751 egresados de la carrera de administracion de empresas, en la Universidad de Toledo (EUA). Este experimento revelo que 383 de los 751 egresados no estaban empleados de acuerdo con su principal area de estudio. Par ejemplo, un egresado especializado en contaduria, ahora es gerehte de mercadotecnia en una empresa empacadora de tomates. 6Cual es la probabilidad de qrie un egresado de administraci6n labore en una area distinta a la de sus estudios universitarios? Probabilidad de que suceda un evento-= Ninnero de veces que °curio el evento en el pasado !ginner° total de observaciones •

383 751 = 0.51 P(A) = — Para simplificar,-se pueden utilizer letras o nrimeros; P corresponde a probabilidad, y en este caso P(A) indicala probabilidad de que un graduado,no tabore en el area principal de sus estudios universitarios, evento A. , • • Puesto que 383 de los 751 egresados, es decir, 0.51 en terminos de probabilidad, estan en un campo laboral diferente al de,su area de estudio, se puede emplear esto como una estimacion de la probabinclad. En otras palabras, con base en la experiencia, existe una probabilidad de 0.51 de que un graduado en administracion labore en un camp0 distinto del de al area de estudios.

Probabilidad sub jetiva Si existe poca o ninguna experiencia en la cual se pueda basar una probabilidad, puede determinarse una probabilidad en forma subjetiva. Fundamentalmente, esto significa evaluar las opiniones disponibles y otra informed& para despues estimar o asignar la probabilidad. Atinadamente, a este concepto se le denomina probabilidad subjetiva. prebabilidad Es la po sibilidad (probabilidad) de qu esuce-... „ , subteliva ,• J, „‘ , , r. • • da un evento especifico, que es asignada por una , persona basandose en cualquier in, ,• -e• forrhacion que este'disponible:,

Colicepto.

e‘j

•

156

4 4 4

Capitulo 5 Son ejemplos de probabilidad subjetiva: 1. Estimar la posibilidad dé que el equipo de los Patriotas de Nueva Inglaterra participen en el juego del SCiper Taz6n de futbol americano para:el pr6ximo alto en (EUA). 2. Evaluar la probabilidad de que a empresa General Motors Corp. pierda su lugar mknero 1 en el total de unidades vendidaS; frente a la Ford Motor Co., o a la Chrysler Corp., en un lapso de dos anos. 3. Estimar la posibilidad de que usted obtenga una calificacion de 10 en este curso.

4

En resumen, hay dos puntos de vista con respecto a la probabilidad: el objetivo y el subjetivo. Se observe que una expresiOn probabilistica siempre constituye la estimacion de un valor desconocido que regira un evento,que aim no sucede. Desde luego, hay una extensiOn considerable en el grado de inpertidumbre que rodea a tar estimacion, el cual se basa principalmente en el conocimiento que posea la persona quo analiza el proceso en cuestion. El individuo sabe lo suficiente acerca del lanzamiento de un dado normal, y puede indicar quo la probabilidad de que caiga un "uno" al lanzarlo, es 1/6. Pero conoce muy poco acerca de la aceptaciOn en el mercado de un nuevo producto todavia no probado. Por ejemplo, aunque una directora de investigacien de mercado pruebe un producto nuevo en 40 supermercados, e indique que hay 70% de probabilidad de que el producto tenga yentas de mas de un ml116n de unidades, sabe muy poco acerca de la forma en que reaccionaran los consumidores cuando el producto se introduzca en el mercado nacional. En ambos casos (cuando se Ianza un dado y en la prueba de un producto nuevo) una persona asigna un valor de probabilidad a un evento de interes, y solo existe diferencia en la confianza del pronOstico en cuanto a la precision de la estimacion. Sin embargo, sea cual fuere el punto de vista, se aplicaran las ,.mismas leyes de probabilidad (que se exponen en las siguientes secciones.)

utoexamett5.2 -

Se via seleccionar al azar una carta-de una baraja ,arnericana de 52 naipes. , LCual es la „ robabilidadde,que la carte 'elegida sea -una reinaZtiQUO enfeque -rde, la probabilided utiii, zO paracontestar a este riregUnta., _ El Centro Nacional de Estadisticas de Salud.cle:EstadOS Unidos, inform6,que.de ,Oada883 decesos, 24 se debieron a 'aCcidentes autornoviliaticos, 182 al Canber,'y 333,a enfermedades, del corazon. tgual es la probabilidad, de que una mtierte espeoffica sa(deba a un . ac-,. c.c idueahlte:sdea aut omo vili.,?&: egiise e. ren.eef, lopd,ruoem:de i-pla:'nprob.ac:bilideafo nd - ug , tue ilizo Para Oontastar - a esta ' pregunta? d de que Industrial Dow Jon brepase el ye-LT lor de 12 000 antes ue de'es'(Pipj) s° babilidad u t'lizo , eit c p,.i!gunta? Tercer Milenio? c'ara`contestar a

Ejeteicio5 1. Algunas personas en (EUA) estan a favor de la reduccion en los•beneficios del Seguro Social, a fin de lograr un presupuesto equilibrado, en tanto que otras estan en contra. Se seleccionaron dos personas y se registraron sus opiniones. Mencione los resultados posibles. 2. Un inspectorde control de calidad eligio una pieza fabricada para probarla. Posteriormente se establece si la parte se acepta, se repara, o se desecha. Despues se prueba otra. Mencione todos los posibles resultados de este experimento. 3. Una encuesta en un grupo de 34 estudiantes de una escuela de administraciOn, revelo la siguiente selecciOn de carreras profesionales: Contaduria Fi'nenzas Sistemas de informaciOn 'Administracion Mercadotecnia

10 5 •6 10

• •

Revision de algunos conceptos de probabilidad

157

Suponga que selecciona un estudiante y se considera su eleccian profesional. a) &Cual es la probabihdad de que 61 o ella estudie a carrera de administracian? b) &Quo concepto de probabifidad utiliza para hacer tal estimacion? 4. Una empresa grande planea contratar a un nuevo presidente y ha preparado una lista final de cinco candidatos, todos igualmente capacitados. Dosson miembros de un grupo de minoria social. La empresa decide seleccionar al presidente mediante un sorteo. a) tCual es la probabilidad de que contraten a un integrante de la minoria? b) &Quo concepto de probabilidad utilize) para Ilegar a tal conclusion? 5. El departamento de via pliblica, en la ciudad de Whitehouse, Illinois, esta considerando ampliar la Avenida Indiana a tres carriles. Antes de tomar una decision, se pregunto a 500 ciuda, danos si apoyaban la ampliacion.. a) 6Cual es el ,experimento? b) LCuales son algunos de los eventos posibles? c) Mencione dos resultados posibles. 6. El presidente del comite directly° de la empresa Rudd Industries pronunciard manana un discurso ante los accionistas de la compania, explicando su opinion en lo concerniente a que dicha oorporacion debt fusionarse con la empresa Zimmerman Plastics. Ha recibido seis cartes • por correo respecto a este asunto, y este interesado en conocer el ruiner° de remitentes ex• ternOs que estan de acuerdo con el. a) &Cud' es el experimento? • b) LCuales son algunos de los posibles eventos? c) Mencione dos resultados posibles. - 7. En cada uno de los casos siguientes indique si se utilize . la probabilidad clasica, empirica o subjetiva. a) Una jugadora de basquetbol realize 30 canastas (o encestes) en 50 tiros por faltas. La probabilidad de que efecthe bien el siguiente tiro es 0.6. b) Se forma un comite de alumnos integrado por ,siete miernbros pera estudiar asuntos bientales. 6Cual es la probabilidad de que uno de ellos sea elegido como el vocero? Considere que usted compra uno de los 5 millones de billetes que se vendierori en el sorteo de loteria. LCual es la probabihdad de que gane el premio:mayor de un millon de dolares? d) La probabilidad de que ocurra un sismo en el norte daCalifornia en los proximos 10 &los; es 0.80. 8. Una empresa concedera un ascenso a dos empleados de urigrupo de seis hombres y ties mu. .. , • jeres. a) Mencione los resultados de 'este experiment .° si hay interes especial relacionado con la igualdad de Oiler() sexual. b) iQue concept° de probabilidad utilizaria para calcular Sas probabilidades? , 9. Hay 52 cartes en una baraja americana. . a) 6Cual es la probabilidad de que la primera °arta que se segue sea una de espadas? b) L,Cual es Is probabilidad de que la primera carte seleccionada Sea el sota de espadas? 1,Que concepto de probabilidad ilustran los incisoSa b? . • 10. Se lanza un solo dado. • a) 1,Cual es la probabilidad de que caiga un "dos"? b) &Qua concepto de probabilidad se ilustra con esto? LLos resuttados para los nOrneros del "1" al "6!-son iguelmente probables y mutuamente excluyentes? Explique. 11. Se selecciono una muestra de 40 ejecutivos para que respondieran a un cuestionario de prueba. Una pregunta relacionada con aspectos ambientales requiere una respuesta de si o no. • a) LCual es el experimento? b) Mencione un evento posible. c) Diez de los 40 ejecutivoi respondieron "si". Con base en las respuestas de la muestra, tcual es la probabilidad de que la respuesta de un ejecutivo sea afirrnativa? 1,Que concept° de probabilidad 'lustre esto? cii e) &Cada uno de los resultados posibles son igualmente probables y mutuamente excluyentes? 12. Una muestra de 2 000 conductores con licencia revela la siguiente informacian relacionada - con el ntimero de infracciones de.transito.

158

Capitulo 5

Ntimero de infracciones

Winter° de conductores

0 1 2 3 4 5 omas Total

1 910 46 18 12 9 5 2 000

a) tDe que experimento se trate? b) Mencione un evento posible: c) tCual es la probabilidad de que un conductor especifico haya cometido,exactamente dos infracciones? cl /Qua concepto de probabilidad ilustra esto? . • 13. En la actualidad los clientes bancarios seleccionan su propia nrimero de identificacion personal (NIP) de cuatro digitos, para utilizarlo en los cajeros automaticos. a) Considere esto como un experimento y mencione cuatro resultados posibles. b) /Coal es la probabilidad de que el senor Jones y la senora Smith seleccioneh el mismo NIP? • tQue concepto de probabilidad utilizO para contestar a la pregunta anterior? 14. Un inversionista compra 100 acciones de AT&T y registra el cambio diario de precio. a) Mencione los eventos posibles para este experimento. Calcule Ia probabilidad para cada evento que consider6 en el inciso anterior. c) tQue concepto de probabilidad utiliz6 en el inciso b?

Algunas reglas de probabilidad • Ahora que se ha definido a probabilidad y se ban descrito los diferentes enfoques de la mismacse examinaran las combinaciones de eventos mediante a aplicaciOn de las reglas de adiciOn y de multiplicacion.

Reglas de adici6n

REGLA ESPECIAL DE ADICIGN

B)= P(A) P(B)

Para tres eventos mutuamente excluyentes, representados por A, B y C, la regla se expresa como:

P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C)

EJEMPLO

i; Una maquina autornatica Shaw Ilena bolsas de plastic° con una 'mezcla de frijoles, bra coils y otras legumbres. La mayor parte de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a ligeras variaciones en el tamano de las verduras, un paquete puede tener un peso

D•

Dos eventos mutuamente 'Regla especial de adiciOn Para aplicar la regla Special de adici6n, los eventos deben de excluyentes no pueden ‘sef mutuamente excluyentes. Recuardese que mutuamente excluyente ignifica que cuando ocurnr al mismo fiempo. ocurre un'evento, ninguno de los otros puede suceder al mismo tiempo. Un ejemplo de event:is mutuarnente excluyentes es el experimento de tirar un solo dado, con los eventos "el niimero 40 mayor" y "el n(imero 2 o uno menor". Si el resultado se encuentra en el primer gruloo {4, 5 y 6) no puede estar tambien en el segundo grupo 11 y 2). Y un producto industrial que sale de una linea de ensamble no puede ser defectuoso y satisfactorio al mismo tiempo. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adiciOn indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades. Esta regla se expresa en la formula siguiente:

Revision de algunos conceptos de probabilidad

159

ligerarnente menor o mayor. Una verificacion de 4 000 paquetes que se llenaron el mes pasado revelo to siguiente:

Evento

Peso Manor Satisfactorio Mayor

A

Winer° de paquetes

Probabilidad de ocurrencia

100 3 600

0.025 0.900

300

0.075

4 000

1.000

00d Fij:taaSi

LCual es la probabilidad de que un determinado paquete tenga un peso menor o mayor? El resultado "peso menor" es el evento A. El resulted° "peso mayor" es el evento C. Apli' cando la regla especial de adiciOn:

P(A o C)= P(A) + P(C) = 0.025 + 0.075 = 0.10 Observe que los eventos son mutuarriente ekluyentes, lo cual significa que un paquete con legumbres mixtas no puede tener peso meta, peso satisfactorio y peso mayor, al mismo tiempo. Estos eventos son tambien colectivamente exhaustivos, lo que significa que un deterrninado paquete debera tener un . peso Tenor, un peso satisfactorio o un peso mayor.

diagrama de Venn es :run merlin Otil para repreffr :‘ , sentar la regla de adicion la de multiplicacion.

El expert° en lOgica,. de nacionalidad iriglesa, J. Venn (1835-1888) ide6 un diagrama pare representar graficamente el resultado de un experimento. El Concept° mutuamente excluyente y otras reglas diversas para combinar probabilidades pueden visualizarse empleando este recurso. Para'elaborar un diagrama de Venn, primero se delimita un espacio en un plano que representara todos los eesultados posibles. Este espacio generalmente tiene forma de rectangulo. Un evento se representa mediante un circulo; cuya area es proporcional a la probabilidad del evento, y se dibuja dent° del rectangulo. Elsiguiente diegrama de Venn representa el concepto mutuamente excluyente. Los eventos no se sobreponen, lo cual indica que son mutuamente excluyentes.

La probabilidad de que una bolsa de legumbres mixtastenga menos peso, P(A), mas probabilidad de que no sea una bolsa con peso menor, que se indica PEA) y se lee "no A", debe ser logicamente igual a 1. Esto se expresa como sigue:

9A) + P(-A).= 1. Lo anterior puede expresarse con la regla del complemento: •

•

REGLA DELCOMPLEMENTOE. "

•

'=.1.- P(

Esta es la regla del complemento Observe que los eventos A y -A son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. . La regla del complemento se utilize para determiner. la probabilidad de que ocurra un evento restando de 1 a probabilidad de que el evento no ocurra. Un diagrama de Venn que 'lustre la regla del complement6seria:

160

Capitulo 5

EJEMPLO

Cabe recordar que la probabilidad.de que una bolsa con.verduras mixtas tenga menos peso es 0.025, y que a probabilidad de que tenga mas peso es 0.075. Aplique la regla del complemento para dembstrar que la probabilidad de que una bolsa tenga el peso correcto es 0.900.1lustre la solucion utilizando un diagrama de Venn.

SOLUCION

La probabilidad de que el peso de la bolsa de legumbres no sea el correcto es igual a la probabilidad de que su pes6 sea mayor, mas la. probabilidad de que au peso sea menor. Esto es, P(A o C) = P(A)+ P(C) , 0.025 + 0.075 = alop. El pesb dela bolsa es satisfactorio si no es menor ni mayor, por tanto P(B)= 1 — [P(A)) + [P(C)] = 1 [0.025 + 0.075] =0.900, El diagrama de Venn que 'lustre esta situacion es: . —

, .La regla del complemento es importante en el estudio de la probabindad. En muchos ca• ips es mas facil calcular a probabilidad de que ocurra un evento determinando primero ,la probabilidad de que no suceda, y restando luego de 1 el resultado.

Autoexamen 5. ,

Seva 6 .0firister,Uri druposelecto de,eMpleadon de labompania VVorldiride Enterprises con ,respecto'a Urtnue.VO plan dé'p'énsiónes. Se .eteotrieian enirevistai detalladaS a cada'uno de lea •emp.leados eelecciohad6S'enla niestra: Esids S'e - dlasifidaron Como -

; Numero de

ea de trabajo Evento, :empleados S upervision;" . -:Mantenineento. ,

-

Produccien i .Gerencia . Secretarial

120 , 50 • 1 450.

Lqual es la probabilidad de qUata primers persona selebcionadai (i) sea ernpleado deiniantenintientOo uni secretaria? (ii) no sea miernbro de la gerenCiati Elabore un diegrama de Venn rhostrando sus . respuestas del inciso a). . e,Los eventos de la parte a) (i) son coMplementarios, mutuamente excluyentes, o bien, de ambas biases?' '

• • • •• ••

161

Revishin de algunos conceptos de probabilidad

resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes. Par ejemplo, suponga - que la Cords& de Turismo de Florida selecciona una aim. La encuesta revel() que 120 muestra de 200 turistas que visitaron ese estado durante fueron a Disney World, y 100, a Busch Gardens, cerca de Tampa. iCual es la probabilidad de que una persona seleccionada-haya visitado Disney World o Busch Gardens? Si se emplea la regla especial de adici6n, la probabilidad de seleccionar un turista que fue a Disney World es 0.60, que se obtiene de 120/200. De manera similar, la probabilidad de que un turista haya ido a Busch Gardens es 0.50. La suma de estas probabilidades es 1.10. Sin embargo, se sabe que esta probabilidad no puede ser mayor que 1. jLa explicaciOn es que muchos turistas visitaron ambas atracciones y se estan contando dos yeses! Una verificacion de as resisuestas de la encuesta level6 que 60 de las 200 personas de la muestra en realidad asistieron a ambos lugares. - - • Para contestar a la pregunta: %Cudl es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens?" (1) se'suma la probabilidad de que el turista . haya visitado Disney World y la probabilidad de que haya ido a Busch Gardens, y (2) se resta la probabilidad de visitar ambas atracciones. De esta forma:

Regla general de' adiciOn

Los

el

La estadistica en accion spArca-

U my CO 110 11CC ad

rltellArflairitato,; Si hay 30 individuos en dad de tallcdie'es 0,li0C`Si: hale 661-12,,

p(Disney o Busch) = P(Disney) + P(Busch) - P(Disney y Busch) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80 . Cuando dos eventos ocurren simuttaneamente, a la probabilidad respectiva se la denomina probabilidad conjunta.. La probabilidad de que un turista visite ambas atracciones (0.30) es un .ejemplo de probabilidad conjunta..

probabilidad cleco`e al

n-rehos dos personas dia`de„eufhplearieS . ,es/. 994: Idelusl o con solo: -

bilidades son ignales, leito es 0,50, de clue al inenoi dos icersollas - . curnplan aims en la naisrna ceche

r.

••• •

• ••"•'•••••

—

En resumen, la regla general de adiciOn se refiere a los eventos.que no son mutuamente excluyentes. Esta regla para dos eventos, indicados por A B, se escribe: y

REGLA GENERAL DE.'ADICIOR6E,':'...

162

Capitulo 5

En la expresiOn P(A 0 8), la palabra "o" indica que puede ocurrir A, o bien quo puede rrir B. Esto incluye asimismo a posibilidad de quo ocurran A y B. A este use de la "o" a v& x, cos se le llama inclusivo. Dicho de otra forma, quiza uno Vera con agrado quo ocurran: ambos, A y B, o bien quo suceda cualquiera de los dos.

EJEMPLO SOLUCIoN

6Cual es la probabilidad de que una carta elegida al azar de una baraja americana sea un rey o una reina de corazones?

I

• Uno puede pensar en sumar la probabilidad de quo salga un rey y la probabilidad de quo se tenga una carta de corazones. Pero esto crea un problema. Si se hiciera asi, el rey de corazones se contarla con los reyes y tambien con as cartas de corazones. En consecuencia, si solamente se suma la probabilidad de un rey (hay 4 en la baraja de 52 naipes) a la probabilidad de una carta de corazones (hay 13 en una baraja de 52 naipes) y se indica quo 17 de las 52 cartas satisfacen el requisito, se habra contado dos veces al rey de corazones. Se necesita restar 1 carta de las 17 para quo el rey de corazones se considere una sola vez. Por tanto, hay 16 cartas quo son de corazones, o de rey. En consecuencia la probabilidad es 16/52 -- 0.3077. Carta Rey - Corazones Rey de corazones

Probabilidad P(A) P(B) P(A y B)

•= 4/52 = 13/52 = 1/52

Explicacion Hay 4 reyes en la baraja de 52 cartas Hay 13 carts de corazones en la baraja de 52 naipes Hay 1 rey de corazones en la baraja de 52 cartas

•Utilizando la formula (5.4):' P(A o 8) = P(A) + P(B) — P(A y B)

= 4/52 + 13/52 — 1/52 = 16/52, o bien 0.3077 Un diagrama de Venn presenta estos resultados quo no son mutuamente excluyentes.

•

163

Revision de algunos conceptos de probabilidad

omo Ohb'

ede:ur);OrTOdrarna de ,sery . icid;de salud para„. loS. eMpleadoSdete

empresa. 9enseraL exameries fiSiCOSCie'rOtirre:Se.desCiibripcjue 8 0/05: de,10&aMil::

8%,".reciOarianr:.-. 'correctivos corn° ‘un.trabajo dental maYor.2.- a) CUaI es a probabilidad do quo Un ennPleade seledebridclOal azar necesite calzadocorrec-,,, t iv.:3-a,iii.trabajo,:,dentai.porisidOtable?,

ividestre eta situacion con un diagrams de Venn.,

Ejercicios

•

15. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Supongase quo P(A) = 0.30 y P(B) = 0.20. LCual es la probabilidad de que ocurra A o B? &CA es la probabilidad de quo no suceda ni • ' A ni B? 16. Los eventos X y Y son mutuamente excluyentes. Supongase quo P(X) = 0.05 y P(Y) = 0.02. - • LCual es la probabilidad de quo ocurra X o Y? LCual Gala probabilidad de que no suceda X ni 17. Un estudio en 200 cadenas de tiendas de comestibles revelo estos ingresos (en &dares), despues del pago de impuestos: Ingres° (en Mares) despots de impuestos

Unclad de empresas

Menos de 1 mill& Del millon a 20 millones De 20 millones a mas

102 61 37

a) iCual es la probabilidad de quo una cadena determinada tongs menos de 1 millon (de dolares) de ingresos despues de pagar impuestos? b) tCual es la probabilidad de quo una cadena de tiendas seleccionada al azar tenga un ingres6entre 1 rfiillOn y 20 millones, o un ingreso de 20 millones o mas? tQue regla de probabilidad se apricot? 3 18. Un estudio de las opiniones de disefiadores on lo referente al color primario mas conveniente para aplicar en oficinas ejecutivas indice: Color primula

Rojo Naranja

Amarillo Verde

Numero de opiniones

92 86

Awl indigo Violets

:46 . 91

Color primario

Nurnero de opiniones

37 46 2

'

a) &alai es el experimento? • • iCual es un eyento posible? O &Ca es la probabilidad de seleccionar una respuesta especifica y descubrir quo el disenador prefiere rojo o verde? • tCual es la probabilidad de quo un disenador no prefiera el amarillo? 19. El presidente de una Junta de Directores dice: "Hay 50% de posibilidad de quo esta compafiia -tenga utilidades, 30% de ride quede a nivel, y 20% de quo pierda diner° el siguiente trimestre." a) Utilice la regla de adicion pars encontrar la probabilidad de quo no se pierda dinero el proximo trimestre. b) Use la regla del complement° pars encontrar is probabilidad de quo no pierda dinero el prOximo trimestre. 20. Suponga quo la probabilidad de quo usted obtenga una calificacion de A on el curso de esta materia es 0.25, y la de quo tenga una B, es 0.50. LCual es la probabilidad de quo su calificaclan sea mayor quo una de C?

164

Capitalo 5

4

21. Se tira un solo dada El evento A es "sale un 4", el evento B es "sale un numero par", y el even' to C corresponde a "sale un nOmero impar". Considere todas las parejas posibles de estos eventos e indique si son mutuamente excluyentes. Despues identifique si son complementarias.1 22. Se lanzan dos monedas al aire. Si A es el evento "caen dos cares" y 8 es el evento "caen dos; cruces , , Lson A y B mutuamente excluyentes? tSon eventos complementarios? 23. Las probabilidades de los eventos A yB son 0.20 y 0.30, respectivamente. La probabilidad de quo tanto A como B ocurran es 0.15. iCual es la probabilidad de quo suceda A o B? 24. Sea P(X)= 0.55 y P(Y) = 0.35. Sup6ngase quo la probabilidad de que ambos ocurran es 0.20. iCual es h probabilidad de que ocurran X o Y? 25. SupOngase quo los dos eventos A y B son mutuamente excluyentes. e:,Cual es la probabilidad • de su ocurrencia conjunta? 26. Un estudiante esta tomando dos cursos, Historia y.Maternaticas. La probabilidad de quo apruebe el curso de Historia es 0.60, y la de que apruebe el curso de Matematicas, es 0.70. La probabilidad de quo apruebe ambos es 0.50. iCual es la probabilidad de quo pase al menos uno? 27. Una encuesta a ejecutivos de alto nivel en EUA, revel6 quo 35% leen con regularidad la revista Time, 20% leen News-week, y 40% leen U.S. News & World Report. Un 10% lee tanto Time

como U.S. News & World Report. a) 6Cu5l es le probabilidad de quo un ejecutivo determinado lea Time, o bien, U.S. News & World Report con regularidad? b) LCOmo se denomina a h probabilidad con valor de 0.10? c) LLos eventos son mutuamente excluyentes? Explique h respuesta. 28. Un estudio realizado por el Servicio de Parques Nacionales (de Estados linidos) revelO que 50% de los vacacionistas que viajan a la regi6n de las Montafias Rocosas van al Parque Yellowstone, 40% visitan Tetons, y 35% van a ambos sitios. a) &CAI es h probabilidad de quo un vacacionista visite al menos una de estas atracciones? b) 1,Como se denomina a la probabilidad 0.35? c) &Los eventos son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta.

.Reglas de multiplicacion • Regla especial de multiplicacion La regla especial de la multiplicaciOn requiere quo dos • eventos A yR sean independientee. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera . a piobabilidad do quo suceda el otro. De manera quo silos eventos A y B son independientes, la ocurrencia de A no altera la probabilidad de B. rid:tiehe'iefebiti :eh' la' p1rObabilidad :de. la, rr lettP.:„7 11:9714.111'ge)14;t.:C 9. ;11-:11.atci:91;9;r';:.1.9.7t-TCi', ...;;IVI?:':?' • Sidos eventos A y 8 son independientes, la probabilidad de quo ocurran A yR se obtiene multiplicando las dos probabilidades. Esta es la regla especial de multiplicacion, quo expresada en forma simbolica es:

..e.i.A.OpEe.14:p.q..01,01p.pdr acai •

. Esta regla para combinar probabilidades supone que un segundo evento no se ye afectado por el primero. Para ilustrar lo quo significa independencia de eventos, suponga quo se lanzan al aire dos monedas. El resultado de una (cara o cruz) no save afectado por el resultado de la otra moneda (cara o cruz.) Puesto de otra forma, dos eventos son independientes si el resultado de un segundo evento no depende del resultado del primero. Para ties eventos independientes A, 8, C, la regla especial de multiplicacion quo se utili•za para determinar la probabildad de quo ocurran los tres eventos es: P(A y y C) = P(A)P(B)P(C)

4

SO

41

165

Revision de algunos conceptos de probabilidad

tJEMPLO

En una encuesta realizada par la American Automobile Association (MA) (Asociacion Au. tomovilistica de EUA) ,encontrO que 60% de sus sodas hicieron alguna reservacion en una linea aerea el atio pasado. Se toman dos integrantes al azar. LCual es Is probabilidad de que ambos hayan hecho una reservacion en alguna linea aerea? La probabilidad de que el primer socio haya hecho . una reservacion en alguna linea aérea as 0.60, que se ascribe P(R1)= 0.60 donde Fri se refiere al hecho de que el primer so010 haya hecho una reservaciOn. La probabilidad de que el segundo soda que se saleccion6 hays hecho una reservaciOn es tambien 0.50, de manera que P(R 2) = 0.60. Como el minim de sodas de la MA es muy grande, se puede suponer qua R 1 y R2 son independientes. Por tanto, uSando la formula 55, la probabifidad de que ambos hayan hecho una reservacion es 0.36, que se obtiene de: • •

P(Ri y R2)= R(R1 )P(R2)= (0.60)(0.60) , 0.36 Todos los resultados posibles se pueden mostrar coma sigue: significa se hizo una reservacidin y NR indica no se hizo ninguna reservaci6n.

,ALit6exanien 5.

Debido a sularga experiencia," en la cornpania Teton Tire se sabeque a probabilidad . de, " we su neumatico X8-70 dure 60 000 millas - antes de perderel dibujo o fallar, es 0.130' Set. ace tin ajuste para el caso de cualquier Ilanta que no resists dicho recorndo. - Usted compra sustr9 neuniallsos XS -72-"i,CYal. es la propapilidad de quelos cuatro-neumattcos.duren por,lo menosso opo SegOn se mencionoen un ejernplo"enterior, una niaquina-autoniatica Shaw Ilene bolsas de ; plastic° con' una rnezpla de leguinbres. , La,expieriencia iridicaclue algunbe paepetes tuvie-,-: ron menos peso, y algunos, peso de rads per° la mayoria tiene 'tin peso satisfactorio. Peso de paquete Probabilidad Insuficiente Satisfacteri6t-, Excedido

'0.025. -.,61900 6.075 -(-

, a), tpual es la probabilidad de seleccionar \ hoy tres paquetes de la lined de procedamien- : , , , ro de alimentos, y encontrar que a los tres les falta peso? ' r b) LQue significa este probabilidad? ,

Si dos eventos no son independientes, se dice obviamente que son dependientes. Para ilustrar la dependencia, suponga qua hay diez rollos de pelicula fotografica en una caja y que se sabe que tres estan defectuosos. Se selecciona uno. Es obvio qua la probabilidad de escoger un rollo con defectos es 3/10, y la probabilidad de seleccionar uno satisfactorio es 7/10. Despues se elige tin •segundo rollo de la caja sin devolver el primero a esta. La proba-

t

166

Capitulo 5 bilidad de que sea defectuoso depende de Si el primer roll() seleccionado no fue aceptable. La probabilidad de que tambien el segundo rollo tenga defectos es: 2/9, si el primer rollo seleccionado fue defectuoso. (Quedarian'sOlo dos rollos defectuosos en la caja, que contiene nueve piezas.) 3/9, Si el primer rollo seleccionado fue bueno. (Los tres rollos defectuosos siguen estando en la caja que contiene nueve rollos.) A la freed& 2/9 (o bien, a la 3/9) se le denomina apropiadamente probabilidad condiclonal porque su valor esta condicionado por (depende de) que el primer rollo que se sac() de la caja haya sido defectuoso o no.

Prohabilidad condicionall Es la'probabilidad de ,que ocurra un evento e mi a nO, dado gne'otro eyentd:ya'haya sucedido. Regla general de multiplicacion La regla general de multiplicacion se utiliza para determinor la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos, coma seleccionar dos rollos fotograficos defectuosos de una caja con diez rollos, uno despues del otro. En general, la regla establece que dados dos eventos A y B, a probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda el evento A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B. De manera simbolica, la probabilidad conjunta P(A y B) se obtiene como sigue:

A y B) = P(A)P(BIA)

‘±- REGLA GENERAL DE MULTIPLICACION

donde P(BA) expresa la probabilidad de que ocurra B dada que ya sucedi6 A. La raya vertical simboliza "dado que".

EJEMPLO

Para mostrar el uso de la formula, se considerara de nuevo el ejemplo anterior de as diez rollos de pelidula en una caja, tres de los cuales estan defectuosos. Se van a seleccionar dos, uno despues del otro. LCual es la probabilidad de escoger un rollo con defectos seguido de afro tambien defectuoso?

SOLUCION

El prirner rollo seleccionado de b caja, que result() con defectos, es el evento A. De mado que P(A)= 3/10 porque tres de los diez rollos tenian defectos. El segundo rollo seleccionado, qua iambi& era defectuoso, es el evento B. Por tanto, P(BIA) = 2/9, porque despues que el primer objeto seleccionado fue un rollo con defectos, sOlo quedaron dos rollos "defectuosos" en la caja que contenb nueve. La probabilidad de dos rollos defectuosos es [aplicando la fOrmula (5.6)]: 3 2 )(—) 10 9

P(A y B) = P(A)P(B I A) = (-

90 '

0 0

• •

aprox. 0.07

Se supone que este experimento se realize) sin reposici6n (o reemplazo); es decir, el primer rollo defectuoso de pelicula no se devolvi6 a la caja antes de seleccionar el siguien• te rollo. Tomb& debe observarse que a regla general de multiplicaciOn puede ampliarse a mas de doS'eventos. Para el caso de tres eventos: A, By C, a formula seria:

P(A y B y C) = P(A)P(B I A)P(C I A y B) Como ejemplo, la probabilidad de que los primeros tres rollos seleccionados de la caja sean todos defectuosos es 0.00833, que resulta de calcular:

3 P(A y B y ,C) = P(4)P3 I A)P(C I A y B) — (-

2 1 6 10 )(9 X 8 ) 720 = 0.00833 tw:pmx"rxrismantrmtvnrem

•

Ii 167

Revision de algunos conceptos de probabilidad

E,. l c. on s ejo directivo de Ia empresa Tarbeli Industrie s" t' -i ntegrado

Cirri' res y'c bactro.; eae ' . .' ' ' . ' -," . 'az . ar paralecornendapt ' '' ' ' , , mwre. . ,.,S seec 4, _.... , al' . ,azar. .' ..' un comite integrantea al ' l6briarA " ' -dacuatro A— e a comparna.,,,;.,.: _ ...„ . . , ,.. _ , Mujefes los cuatro, .integrantes del.cornite'de y,,ir e,940ye:§:1,3,rol:;$46411idaddefqiie‘.s'etab r-• --,,, ' .r.--;.-4:4-•vestigacian?::,..- ‘..7: ‘4,Crual esia prbbabilicild cietlue los cuatro integrantes sean h " b es.1 9 Ex- . i,La , taurna de as probabilidades:de IOS'exientOS deSOritos 'en lb S'inciic, siy -

plique SU resOliestaci

-x

A continuacion Se presenta otra apficaciOn de la regla general de multiplicacion. Una encuesta a ejecutivos de enfoc6 a su lealtad a la empress. Una de las preguntas planteadas fue: "tSi otra compania le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor que la de su puesto actual, perrinaneceria con la empresa 6 tornaria el Otro empleo?" Las'respuestas de los 200 ejecutivos de la aricuesta se clasificaron en forma cruzada Con su tiempo de servicio en la compalila. Nea la tabla 5.1.) Al tipo de tabla clue resulta, se le,denomina .tabla de contingencias. TABLA 5.1

Lealtad de los ejecutivos y tiempo de servieio en la empresa. Tlempo de servicio Leaned Si permaneceria No permaneceria

Menos de 1 a5 alias 1 alio .... 10

30

25

15

6 a 10 altos 5 10 .

"",

Massie 10 altos • 75 • 30

Total ,

120 80 200

t-E4EMPLO . •SOLUCION

6Cual es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que sea leal a la empresa (se quedaria) y que tenga mas de 10 anos de servicio? ObsOrvese que ocurren dos eventos al mismo tiempo:sel ejecutivo permaneceria en la empress y tiene mas de 10 arms de servicio. .• 1. El evento A ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar permaneciera en la empresa a pesar de que otra compania le hiciera una oferta igual ô ligeramente mejor. Para endontrar Ia probabilidad de qUeSUceda el evento consulte la tabla 5.1. Se observa que hay 120 ejecutivos, de los 200 que participarOn en la ancuesta, que permanecerian con su empresa actual, de manera que PO) = 120/200, o 0.60. 2. El event° 84 6curre i un ejecutivo seleccionado al azar tiene mas de 10 atios de servicio en la empresa De esta forma, P(BIA) es la probabifidad condicional de que un ejecutivo con mas de 10 anos de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otra compania le haga una oferta igual o ligeramente mejor. Al consultar a table de contingencies,. tabla 5.1, 75 de los 120 ejecutives ciiie se. quedarian tienen mas de 10 afios de servicio, de manera que P(8 4 1A) = 75/120. La probabilidad de que un ejecutivo seleccionado al azar sea, uno de los que se quedarian en la compailia y de los que tienen mas de diez anos de servicio, se determina utilizando la regla•general de multiplicacion que indica la formula (5.6):

V.

••

•

• P(A y B4 ) = P(4)P(B4 I A)

( 121 75 9 000 .= 200 120 )24 000 7 0.375

168

Capitulo 5 :42,r

,:•4 •

Autoexanien

, Refierase.a . , la tabla'5.1: Utilliandoc la regla general d e I I t ' manta tin Ajecutivo'que no permanecena con la empresa yr quelenga. ,

Diagramas de arbol Un ,diagrama de arbol es una representaciOn grafica Otil para organizar calculos que abarcan varias etapas. Cada segmento en el arbol es una etapa del problema. Las probabilida-

Pasos para elaborar un diagram de arbor.

des escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento. Para mostrar la 'elaboracion de un diagrama de arbol utilizaremos los datos de la tabla 5.1. 1. La elaboracion de un diagrama de arbol comienza trazando un pequerio punto a la iz• quierda, el cual representa la raiz del arbol (yea el diagrama 5.1)

la5anos

6 a10 anos

30 80 ,

Mas de 10 anos

" 8°

X ` 15

0.075

80 200

10 80

0.050

x • 200

o

•

'.3/11; n141

••“4W•4%,

_ 30 = 0.150 80

totarriebo sumart 00' DIAGRAMA 5.1

Diagrama de arbol que indica la lealtad y los tiempos de servicio de ejeeutivos de una empresa.

lt,e•L

169

Revision de algunos conceptos de probabilidad •

2. En este problema salen dos ramas principales de la raiz, la superior representa a opcion "se quedarian" y la inferior la de "no se quedarian". Las probabilidades se indican en las ramas, especificamente 120/200y 80/200. Se simbolizan.por P(A) y PEA). 3. Cuatro ramas secundarias "se desprenden" de cada rama principal,- y corresponden a los , tiempos de servicio: menos de 1 alio, 1 a 5'afios, 6 a 10 alms y mas de 10'ari6s. Las probabilidades condicionales para la rama superior del arbol, —a saber, 10/120, 30/120, 5/120, etc.— se indican sobre las ramas correspondientes. Se trata de las probabilidades P(81 I A), P(82 I A), P(83 1 A) y P(B4 IA), donde B 1 se refiere a menos de 1 aft° de servicio, 82 corresponde a 1 a 5 anos; B3 es para 6 a 10 Mos, y 54 a mas de 10 ahos. A continuaci6n se escriben IS probabilidades condicionales de la rama inferior 4. Por Ultimo, las probabilidades conjuntas de que los eventos A yB ocurran al mismo tiempo, se muestran en el lado derecho. Por ejemplo, la probabindad conjunta de seleccionar al azar un ejecutivo que perrrianeceria en la empresa y que tiene menos de un alio de seryjcio es:utilizando la formula (5.6):

PA y 81 ) = P(A)P(8 IA) =

200 X 120

) = 0.05

Debido a que las probabilidades conjuntas representan a todas las selecciones posibles (se quedarian, 6 a 10 atios de servicio; no se quedarian, mas de 10 ahos de servicio; etc.), deben sumar 1.00 (yea el diagrama 5.1.)•

HefieraSe al conteniclo del 'diagrama 5.1. Explique que ruta seguiria para encontrar la proliabilidad Conjuhta de seleccionaf un ejecutivo al azar, que tenga de 6 a 10'afios de servicioy que no perinaneceria en la erApresa al recibir dna oferta igualp ligerarnente mejor, de parte de otra con-par:11a. , 2.-= Se selecciono una mueStra al azar de los empleados de la empresa Hardware Manufactude haber cumplido 65,afios. Los ring CO: para determiner sus planes de jubilabien despues , , selecdionados en la muestra se dividieroen rt las areas de gerencia y produccion. Los resultados fue'ron: Planes despues de los 65 anos Empleado

Se retire No se rebra

Total

Serene's Produceinn ,

-e) L,COrrio se `denornina esta table?. , Elabore un diagi-arna de arbol y determine las probabilidades conjuntas. c), LEstas probabilidades conjuntas suman 1.00? LPor que? '

Ejercicios

•

29. Suponga que 9A) = 0.40 y P(B IA) = 0.30. j,Cual es la probabilidad conjunta de A y B? 30. Considere que P(X1 ) = 0.75 y P(Y2 I Xi ) = 0.40. e:,Cual es la probabilidad conjunta de X 1 y Y2 ? 31. Un banco local reporta que 80% de sus clientes tienen una cuenta de cheques, 60% una cuenta de ahorros, y 50% tienen ambas. Si se selecciona un cliente al azar, Lcual es la probebilidad de que este tenga una cuenta de cheques o una de ahorros? LCual es la probabilidad de que el cliente no tenga ninguna de las dos? 32. La empresa All Seasons Plumbing cuenta con dos camiones de servicio que se descomponen frecuentemente. Si la probabilidad de que el primer carnien este disponible es 0.75, la de que el segundo camien tambien lo este es 0.50, y la probabilidad de que ambos camiones esten disponibles es 0.30, Lad es la probabilidad de que ningOn vehiculo este disponible?

170

Capitulo 5 33. Considere la siguiente table.

Primer evento k

43

Total

2

1 _2

3 _1

6 4

3

3

4

10

Segundo evento B, I;

Total

• a) Determine P(4 1 ). b) Establezca P(81 I Ad. c) Determine P(82 y A3). 34. Cleanbrush Products envie) por accidente a una farmacia tres cepillos dentales electricos, que estaban defectuosos, junto con 17 en buen estado. a) , iCual es la probabilidad de que Ins primeros dos cepillos vendidos se devuelvan a la farmacia por tener defectos?; • b) LOA es la probabilidad de que los primeros dos cepillos vendidos no tengan defectos? 35. Cada vendedor en la negociaciOn Stiles-Compton . se .califica como "abajo del promedio", "pro- medio" o "arriba del promedio", con respecto a su aptitud para las yentas. Adernas, cada uno se clasifica respecto de su posibilidad de promocion en: regular, bien, o excelente. En la table que Sigue se presenta la clasificacion cruzada respecto a estos conceptos, de los 500 vendedores. Posibilidad de promocion Aptitud en yentas

Abajo del promedio Promedio • Arriba del promedio •

•

Regular Buena Excelente

16 45 93

12 60 72

22 , • 45 13.5

a) &Como setlenomina esta table? 'b) LCual es la probabilidad de que un vendedor seleccionado al azar tenga aptitud para las yentas por encima del promedio y excelente posibilidad de promocion?' c) Trace un diagrama de arbol que muestre las probabilidades normales, condicionalek.y.,66n

. juntas. Un inversionista poses tres acciones comunes. Cada accion, independientemente de las °ties, tiene las mismas posibilidades de que (1) aumente su valor, (2) disminuya su valor, o (3) per manezca sin cambio. Mencione todos los posibles resultados de este experiment°. Calcule la probabilidad de que al menos dos de las acciones aumenten de valor. 37. El comite directly° de una empresa pequefia esta integrado por cinco personas. Tres son "Ifderes pertes'l. Si aceptan un proyecto, lo aprobaran todos los demas miembros del comite.. _Los otros integrantes, "lideres debiles", no tienen influencia alguna. Se programa que tras yendedoree haran presentaciones de yentas, uno despues de otrO, ante un miembro del comite, elegido por el vendedor. Los representantes de yentas son convincentes, pero no saben quienes son los "lideres fuertes". Sin embargo, sabran a quien se dirigi6 el representante de yentas anterior. El primer yendedor que descubra a uno de.los lideres ,fuertes genera la cuenta.. tLos tres vendedores tienen la misma probabilidad - de obtenerla? De lo contrario, evalUe sus probabilidades respectivas de ganar dicha cuenta. 38: .51 en la universidad usted pregunta a tres personas desconocidas, Lcual es la probabilidad de que: (a) todas hayan nacido en On dia miercoles? (b) todas hayan nacido en dias de la semana diferentes? (c) ninguna haya nacido en sabado?

Teorema de Bayes En el siglo X1/111 el reverendo Thomas Bayes, ministro presbiteriano inglés, planteo la siguiente pregunta: tRealmente existe Dios? Ya que estaba interesado en las derides matematicas,

Revision de algunos conceptos de probabilidad

171

intentO desarrollar una formula para Ilegar a evaluar la probabilidad de que Dios exista, con base en la evidencia de la que el disponia aqui en la Tierra. Mas adelante, Laplace afino el trabajo de Bayes y le dio el nombre de "teorema de Bayes". En forma manejable, el teorema de Bayes se expresa asi:

estadistica 'en accion

Pue sto de sresirritaSenel's , triforinlasp robabi Iiilades z

oeele.baloncesto „ewe eatuelalllegue forst resso?iril,sprg len

ottairaaat

En la fOrmula 5.7 se supone que los eventos A 1 y A2 son mutuarnente excluyentes y colectivamente exhaustivos, y que Ai representa cualquiera de los .eventos A1 o A2 .E1 significado de los simbolos usados se ilustra en el ejemplo siguiente. Sdponga que 5%,' de la poblacion de Umen,.un pals ficticio del Tercer Mundo, padece una enfermedad que es originaria de ese lugar. Sea Ai el evento "tiene la enfermedad", y A2 el evento "no tiene a enfermedad". Par tanto sabemos que si seleccionamos al azar a un habitante de Umen, la probabifidad de que el elegido tenga el padecimiento es 0.05, o bien p(A i) = 0.05. Esta probabilidad, P(A i) = P(tiene la enferrnedad) = 0.05, se denomina probabilidad a priori. Se le da este nombre porque la probabilidad se asigna antes de haber obtenido datos empiricos. tObabil1dad:ia,prnir 6:,14::: pMPS12111padIMOia1OoabuSe. en efIniV.61I'actiaV'delnfor+ti • •• • tnabfori* ,•• • • La probabilidad a priori de que una persona no padezca el trastorno es, par tanto, igual a 0.95, o bien P(A 2) = 0.95, que se obtiene de 1 - 0.05.. Existe una Monica de diagnastico para detectar la enfermedad, pero no es muy exacta. Sea B el evento "la prueba indica que la enfermedad esta presente". Considere que la evidencia historica muestra que si una persona realmente padece la enfermedad, a probabilidad de que a prueba indique a presencia de tal dolencia es 0.90. Utilizando las definiciones de probabilidad condicional desarrolladas anteriormente en este capitulo, tal afirmacion se expmsa como: PP I A i ) = 0.90 Considem que la probabilidad de que en una persona que en realidad no padece la enfermedad, la prueba indique que a enfermedad esta presente, es 0.15. 13(3 I A2) = 0.15 ,.

Uprobabilidad det ■-

.1ti"-}Y.; r/

aalogoprchque

GOr Si usted friera ugador rclaraiste -Sti Ulti uhiseisitarip; las lprobarnlida‘de.s llga'S a set trite, grante C uriequija.el profesional, .:C. Serrari aproxithaCia :. mente de 1 en

Se selecciona en forma aleatoria a un habitante de:Urfien, al que se le aplica la prueba. Los resultados indican que la enfermedad esta presente. tCual es la probabilidad de que la persona realmente tenga dicho padecimiento? En forma simbalica, se desea determinar P(Ai I 8), que Se interpreta como: P(se tiene la enfermedad) 1 . (Los resultados de la prueba son positivos). La probabilidacide P(A., I B) se denomina probabilidad a posteriori.

---••••••••••••-•••

Es.•:una,probabilitladIreVISada,IcOrt: baSe.' en informaciOn

r

• •

Con a ayuda del teorema de Bayes, formula (5.7), es posible.determinar la probabilidad a posteriori.

P(A., B)=

P(Ai )P(B I A1) P(A i )P(B 1k) + 9 4 2)9B 1 A2 ) (0.05)(0.90) (0.05)(0.90) + (0.95)(0.15)

. 0.0450 0.1875

024

172

Capftuio 5

Por tanto, la probabilidad de ,que una persona tenga la enfermedad,' dado que la prueba result() positiva, es 0.24. LCOnio se interpreta este resultado? Si una persona se selecciona al azar de la poblacion, Is probabilidad de que padezca la enfermedad es 0.05. Si se aplica t-; prueba a la persona y resulta positiva, la posibilidad de que en realidad tenga la enfermedad aumenta aproxinnadamente binco veces, de 0.05 a 0.24. En el problema anterior se tenian solamente dos eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, los eventos A 1 y A2 . Si hay n eventos de este tipo, A l , A2,...An, • formula del teorema de Bayes (5.7) se convierte en: P(A)P(B P(A '

IA,)

P(A i )P(B I A 1 ) + P(A2)P(B A2) + • • • + P(An)P(B I A n)

Utilizando la anotadion anterior, los calculos para el problema en Umen se pueden resumir en la siguiente tabla.

Evento, A,

Ilene la enfermedad, No tiene la enfermedad, /12

Probabilidad Probabilidad a prori, condicional, P(BI A,) P(A,) 0.05 0,95

Probabilidad conjunta, P(Ai y 8)

Probabilidad posteriori, P(A,IB)

0.0450 0.1425

0.0450/0.1875 = 0.24 0.1425/0.1875 = 0.76

F(B) = 0.1875

1.00

0.90 0.15

A continuacion se presenta otro ejemplo que muestra el uso del teorema de Bayes.

EJEMPLO

SO LU CI ON

Un fabricante de videograbadoras (VCR) compra un circuito integrado, el LS-24, de tres •proveedores. Un 30% de los circuitos LS-24 se compran a Hall Electronics, 20% a Schuller Sales, y el 50% restante a Crawford Components. El fabricante •tiene historiales extensos acerca de los tres proveedores, y sabe que 3% de los circuitos LS-24 de Hall Electronics resultan defectuo,sos, que 5% de los circuitos de Schuller Sales son no aceptables, y 4% de los de Crawford Components tienen defectos. Cuando los circuitos integrados LS-24 Ilegan al fabricante, se colocan directamente en un contenedor, y no son inspeccionados o identificados de algOn modo por el proveedor..Un trabajador selecciona uno para su instalacion en und VCR, y lo encuentra defectuoso. tCual es la probabilidad de que haya sido fabricado por Schuller Sales? Como un primer paso, se resume enseguida parte de la informacion dada en el enunciado.del problema. • Existen ties eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, que son los tres proveedores: A1 El circuito LS-24 se compro a Hall Electronics

Revision de algunos conceptos de probabilidad

173

circuito LS-24 se compro a Schuller Sales A3 El circuito L3-24 se compre a Crawford Components

•

Las probabilidades a priori son: po i ) = 0.30 La probabilidad de que el circuito haya sido fabricado por Hall Electronics po2) =- 0.20 La probabilidaci de que el circuit° provenga de Schuller Sales 9,4 3) at 0.50 La probabilidad de que el circuito haya sido fabricado por Crawford Components - La informaciOn adicional puede ser B1 que el circuito LS-24 sea defectuoso. 82 que at circuito LS-24 no sea defectuosd

•

•

AcontinuaciOn se indican las siguientes probabilidades condicionales: P(Bi I A1 ) = 0.03 La probabilidad de que un circuito LS-24 producido por Hall Electronics sea defectuoso 0.05 La probabilidad de.que un circuito LS-24 producido por Schuller 1= P(Bi 42 Sales sea defectuoso po3 I A3r) = 0.04 La probabilidad de que un circuito procedente de Crawford Components sea defectuoso Se tome un circuit° del contenedor. Como los circuitos integrados no ester) identificados segOn el proveedor, no se sabe Con exactitud cual de los proveedores lo fabric6. - Se desea determiner la•probabilidad de qua el circuit° defectuoso sea de los comprados a Schuller Sales. Este probabilidad se expresa como P(4 2 i133).

• Observe el informe respecto a la calidad de los productos de Schuller. Es el peor de • los tres proveedores. Ahora qua se ha encontrado un circuito integrado L8-24 defectuoso, se sospecha que P(4 2 I 83) sea mayor que Esto es; se espera que la probabili' dad revisada sea mayor qua 0.20. Pero, Lcuarito mayor? El teorema de Bayes puede dar la respuesta. Como primer paso, ,consideremos el diagrama de &tool presentado en el , diagrama 5.2. Los eventos son depen,dientes, asi que la probabilidad a nori en la primera rama se multiplica por la probabilidad condcional en la segurida; pare obtener a probabihdad •conjunta. Esta probabilidad conjunta se indica en la 61timacolumna del diagrama 5.2. Para elaborar el diagrama de arbol de dicha ilustraciOn, se utilize una secuencia de tiempos que va desde el proveedor hasta a determinaci6n de si el circuito fue aceptable o Inaceptable. • Lo que se requiere hacer es invertir el proceso de tiempo. Esto es, en vez de ir de izquierda a derecha en el diagrama 5.2, se necesita ir de derecha a izquierda en tar grafi, co. Se tiene un circuito defectuoso y se desea determiner la probabilidad de que sea de los comprados a Schuller Sales. e:,C6mo se logra eso? PriMero se observan las probabi• lidades conjuntas como frecuencias 'relatives respecto•al 000 casos. For ejemplo, probabilidad de que un circuit° LS-24 defectuoso haya sido producido por Hall Electronics es 0.009. Por tanto, en 1 000 casos se esperaria hallar nueve circuitos con defectos producidos . por Hall Electronics. Se observe que en 39 del 000 casos el circuito seleccionado para su montaje sera defectuoso, lo que se obtiene de 9 + 10 + 20. De estos 39 circuitos defectuosos, 10 fueron producidos por Schuller Sales. De esta forma, la proba-, bilidad de que el circuit° defectuoso haya sido de los comprados a Schuller Sales es 10/39 = 0.2564. Se ha determinado ahora la probabilidad revisada de P(42 I 8). Antes de hallar el circuito defectuoso, la probabifidad de que hubiera sido de Schuller Sales era de 0.20. Esta probabilidad aumento a 0.2564.

174

Capitulo 5

Probabilidad corieliaiOna

•rolSabilidad conitinta,

B 1 = Deg

Proliabilida:da priori

,

30f..(0.03) .1e.: to /3 (4 - y/8)

=e (A1)..P.P201 (0. 30). (0.9.7) 40. 2 Pr (A2 Y '7=P (42) P ik42) el (0.20) (0.05) = 0.010'

2).

„ (Ath) = 0.20

, ' cellar s P (A 2 ) B2) =P(A)P(B(4) = (0.20) (0.95) = a190

= Defectuoso =P (A3) P (B i lA3)

= (0.50) (0.04) = 0.020 82 = Aceptable

P (A3 Y B2) =P ( 4 3) P (821A3)

= (0.50) (0.96) = 0.480 Total 1.000

DIAGRAM 52

Diagrama de arbol path el problema de fabrieacion de videograbadoras.

La informacion anterior se resume en la siguiente tabla.

• Evento, Hall

Schuller Crawford.

Probabilidad Probabilidad Probabilidad a prod, condicional, conjunta, P(Ai ) P(81 I Ai) P(Ai y 8 1 ) 0.30 0.20 0.50

0.03 0.05 0.04

0.009

Probabilidad posteriori,

P(Ai I B 1)

0.020

0.009/0.039 = 0 2308 0.010/0.039 = 0.2564 0.020/0.039 = 0.5128

P(81 ),= 0.039

1.0000

0.010

La probabilidad de quo el circuito LS-24 defectuoso provenga de Schuller Sales se puede encontrar aplicando'el teorema de Bayes. Se deeea calcular P(A 2 I B1 ), donde A2 se refiere' a Schuller Sales, y B al hecho de quo el circuito integrado seleccionado fue defectuoso.

P(A3)P(a1 I A2) P(A2 I al) P(A i )P(B i I A 1 ) + P(A2)P(B1 I A2) + 9A3)98 1 I A3) (0.20)(0.05)

0.010

(0.30)(0.03) + (0.20)(0.05) + (0.50)(0.04)

0.039

—0.2564

Este es el mismo resultado quo el obtenido a partir del diagram 5.2 y de la table de probabilidad condicional.

175

Revision de algunos conceptos de probabilidad

Autoe2camen, 5

Refierasparejertipld.y soluci6n.anteripree2. ,:;9by,e(19a:ucn. a zfOrrin rula para deterrninarle probabibdadde que la- parte seleccioa da p ,j9): ge; de"Crawford Conioonents1,dad:o,q_ue,Se ‘trata-'delun'io,' ir‘Ouito.int(e'grado'aCe'pntatle:P-7,t9?c ; ,utilizando el teorerna de 'Bayesi . Calcuei'prObd

Ejercicios 39. P(A.i ) = 0.60, P(A2) = 0.40, P(8 1 f%1 1) = 0.05 y P(8 1 1 A) , 0.10. Emplee el teorema de Bayes para determiner P(4 1 I B). 40. P(4 1 ) = 0.20, P(A2) = 0.40 y P(A) = 0.40. 9B 1 1A1) = 0.25. P(81 I'2)= 0.05 y P(8 1 1A)= 0.10. • Utilice el teorema de Bayes para determinar P(A 3 1 B). 41. El equipo de beisbol Ludlow Wildcats, un equip° de liga menor de1a organizaci6n de los Indios de Cleveland, juega 70% . de sus partidos por la noche, y 30% durante el dia. El equip° gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los diurnos. De acuerdo con un diario del dia de boy, los Ludlow Wildcats ganaron ayer. LCual es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la noche? 42. La doctora Stallter ha ensenando estadistica basica durante muchos ands. Ella sabe que 80% • de los estudiantes hacen todos los problemas asignados. Tarnbien determin6 que de los alumnos que hacen su tarea, 90% aprobara el curso. De aquellos estudiantes que no hacen todos los problemas asignados, 60% sera promovido. Miguel Sanchez curs6 estadistica el semestre pasado con la profesora Stalltery obtuvo una calificacion aprobatoria. tCual es la probabilidad de que si haya hecho todos los problemas asignados? 43. El departamento de credit° de letienda departamental Lion's, en Anaheim, California, inform6 que 30% de sus yentas son en efectivo, 30% son pagadas con cheque en el momento de la compra y 40% son a credit°. Se tiene que 20% de las compras en efectivo, 90% de las cornpras pagadas con cheque,.y 60% de as compras a credito, son por mas de $50 (delares.) La senora Tina Stevens acaba de comprar un yestido nuevo que cuesta $120. LCual es la probebilidad de que haya pagado en efectivo? 44. Una cuarta parte de los residentes del fraccionamiento Burnin Ridge dejan abiertas las puertas de su cochera cuando salen de su case El jefe de la policia local calCula Oue en 5% de las cocheras cuyas puertas se dejan abiertas se roban algun objeto, pero solamente en 1% de las cocheras cuyas puertas se quedan cerradas se han robado algo. Si los delincuentes roban una oochera, 6cual es la probabilidad de que sus puertas se hayan dejado abiertas?

Principios de conteo Si el nUmero de resultados posibles de un experimento es pequeno, resulta relativamente fadl contarlos. Por ejemplo, hay seis resultados posibles cuando se lanza un dado, especifica. mente: %.

le •

te •

:: 0

0•0 • 00

Sin embargo, si existe un gran nOrnero de resultados posibles, como podria ser el ninero de ninos y nines en families con 10 hijos, resultaria tedioso contar todas as posibilidades. Pueden tener solo ninos, un nifio y nueve nines, dos ninos y ocho nines, y as( sucesivamente. Para facilitar el conteo, se examinaran tres formulas: la formula de la multiplicacion (no se debe confundir con la regla de multiplicacion descrita con anterioridad en este capitulo), la formula de la permutacion, y la formula de la combinaci6n.

Formula de la multiplicacion Formula de la mulbplicacion „Si hey fp formes de hàdSr,une cosa, y :•.'hecer otra; existiren m x n formes de ['lacer 'arnbae.'

176

•

Capitulo 5 Eipresado con una formu/a:

■

RMU,IS'DEcLkM,U,LTIPpC 80101.....;NCIiiierolotal:i46:arreglth: . :=4:07)(0).1'.

[543

Lo anterior puede extenderse a rinds de dos eventos. Para tres eventos m, n, o: . Minter° total de arreglos = (m)(6)(o)

EJEMPLO

SOLUCION

Un vendedor de automoviles desea anunciar que por $29 999 (Mares) usted puede comprar un auto convertible, un sedan de dos puertas, o un modelo de cuatro puertas, y edemas puede elegir si desea que los rines sean solidos o deportivos. e.,Cuantos erreglos diferentes de modelos y rifles puede ofrecer el comerciante? . Desde luego, el vendedor pbdria determinar e1 nnmero total de• arreglos esquematizandolos sicontandoloa: HaY seis arreglos. Convertible con rifles deportivos

Convertible con rifles solidos

Sedan de 2 puertas con rifles deportivos

Sedan de 2 puertas con rifles solidos

- —Sedan de 4 puertas con rines deportivos

Sedan de 4 puertas con rifles solidos

Poderhos utilizer la formula de la multiplicaciOn pare verificar (donde m es el rinmero de modelos y n el tipo de rin). Aplicando a formula (5.8): Total de arreglos posibles = (m)(n)= (3)(2) = 6

En este ejemplo no fue dificil contar todas.las posibles combinaciones de rines y modelas de autos.'Sin embargo, suponga que el vendedor decide ofrecer ocho modelos y seis ti05 de rines. Resultaria tedioso dibujar y contar todas as opciones posibles. En vez de esto, puede utilizarse la formula de la multiplicaciOn. En este caso hay, (m)(n)= (8)(6) = 48 arreglos posibles. Observe en las aplicaciones anteriores de la formula de la multiplicaciOn, que habla dos o mas grupos de donde hader una elecciOn. For ejemplo, el vendedor de automoviles of recia una variedad de modelos y otra de rines. Si un constructor de inmuebles ofreciera cuatro estilos de exteriores para una casa, y tres estilos para el interior, la formula de la multiplicaclan se utilizaria Para determinat cuantos arreglos diferentes se pueden tener.

0 0

:0 '5

•

177

Revision de aigunos conceptos de probabilided

La presa Stitfirt:Lstnp atro panth ? •\ li s.••dcilfiledce°-n bases jl•pantatla•se pueden .2 , ethrn inter 'y ,P.,l epsio•intereeran.t „s•lar.rie,g, ° -' • • • ;"1 in a. fabc). ca t res MOdelos pdrodomp L •c . .°d,eit..e.raddisincoesste_reofolisoss,. dos de•re,:ePt:rals9 tres _ ductores . cto ree ian de cinta, •°, . , nompaotoss:iCsiLeamtlda?.,-..-iy, ''' 'ntee-compatibles se'venden, juntas forman unf ecer9' los c intrn: tipoS °n diatinfos Peegle °-frecel'-esta ernpre tCuantos e„ ".ist• e•, 111• as •

Formula de la permutacion SegOn se observ6, la formula de la multiplicaciOn se aplica para encontrar el numero de erreglos posibles, dados dos o mas grupos. La formula de la permuted& se utilizaparadeter- • minarel(*posbdgcuanolhjrpdebtos.Cmjpl' de este tipo de problema: •

Se van a ensamblar tres partes electrOnicas en una unidad modular para un receptor de television. Las panes se pueden ensamblar en cualquier orden. La pregunta relacionada con conteo es: iDe cuantos modos diferentes pueden ensambiarse as tres partes? Un operario debe realizar cuatro verificaciones de seguridad antes de activar su maquina. No importa en que orden las realice. LIDe cuantas formas distintas puede realizar las verificaciones?

•

• Un orden para a primera ilustracion podria ser: el transistor primero, en segundo lugar los diodos emisores luz (LED), y en tercero el sintetizador. A este arreglo se le denomina una permutacion.

Observe que los arreglos a, b, c, y el b,. a, p, son permutaciones diferentes. La formula que se utilize para contar el minter° total de permutaciones distintas es:

IFORMULA DELAPERMUTACION donde:

n es el n6mero de total de objetos r es - el numero de objetos seleccionados Antes de resolver los dos problemas de ejemplo debe observarse que las permutaciones y combinaciones (que se analizaran mas adelante) utilizan una notaci6n quo se expresa como factorial n. Se escribe n!, y significa el producto n(n 1)(n — 2)(n — 3)...(1). Por ejemplo, pa ra factorial se tiene: 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120. • . , • Como se muestra a continuacign, se pueden canceler nfirneros cuando se tienen las mismas cifras en numerador y denominador: —

62! H 4!

ce • Av.

= 180

Por definicion, el factorial cero, represented° por 0!, es igual a 1. Es decir, 0! = 1.

178

Capitulo 5

EJEMPLO

Con referencia al grupo de tres partes electronicas que deben ensamblarse en cualquier orden, vie cuantas maneras diferentes se pueden ensamblar?

SOLUCION

Se tiene que n = 3, porque hay tres partes por ensamblar, y tambien r = 3 porque las tres • partes se varra colocar en la unidad modular. Utilizando la formula (5.9): n

n!

Pr =

3! (3 — 3)!

3! 1

3! 0!

-

6

Se puede reatar una verificacion del numero de permutaciones obtenidas utilizando la formula de la permutaci6n. Pam verificar esto, solo hay que determinar cuantos "espacios" deben Ilenarse, asi como as posibilidades para cada ",espacio", y despues se aplica la formula de la multiplicaciOn. En el problema relacionado con las tres partes electronicas, hay tres lugares en la unidad modular pars las tres panes. Existen tres posibilidades para el primer lugar, dos para el segundo (ya se utiliz6 una) y una para el tercero, como se indica a continuacion: (3)(2)(1) = 6 permutaciones

•

,410.• •

Las seis formas en qua se pueden disponer las tres pales electronicas, denotadas por A, B, C, son: ABC RAC CAB ACB RCA

CBA

• En el ejemplo anterio se seleccionaron y se ordenaron todos los objetos, es decir, n = r. En muchos casos, solo se seleccionan y ordenan algunos de los n objetos posibles. En el siguiente ejemplo se explica esto en detalle. La empresa Betts Machine Shop, Inc. tiene ocho tornos pero solo hay disponibles tres .espacios en la zona de produccion. tEn cuantas formas diferentes se pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles? Hay ocho posibilidades para el primer espacio disponible en la zona de producciOn, siete posibilidades para el segundo espacio (ya se ha Utilizado un espacio), y seis pard eI . tercero. Eritonces: (8)(7)(6) = 336. Es decir, hay un total de 336 acomodos diferentes. Esto Iambi& podria haberse encontrado usando la f&mula 5.9: Si n = 8 maquinas y r = 3 espacios disponibles, la formula nos Ilava a P n

r

=

n! (n — r)!

8! (8 — 3)!

8! . (8)(7 (6)5 ! = 336 5! 5!

Formula de la combinaciOn Si el orden en los objetos seleccionados no es importante, a cualquier selecciOn se le llama una combinaciOn. La formula para contar el numero de combinaciones de r objetos de un conjunto de n objetos es: •

FORMULA OE LA COMBINAOION r‘,

,

"r1(n'-- r)!

[5.10]

•

Revision de algunos conceptos de probabilidad

179

Por ejemplo, silos ejecutivoe Abel, Baez y Chauncy han de ser elegidos como un comite para negociar una fusion de empresas, solo existe una combinacion posible de estos fres.' El comite forrnado por Abel, Baez y Chauncy equivale at integrado pot Baez, Chauncy y Abel. Utilizando la formula de la combinacien: nC r

r

n! 321 — r)! — 3 • 2 • 1(1)

1

EJEMPLO

A un departamento de mercadotecnia se le ha solicitado que disene cOdigos de colores para . las 42 limas de discos compactos (CD) que comercializa a empresa Goody Records. Se van a utilizer tres .colores en cada linea de CD,'pero una combinacion de tres colOres que se utilizan en . una lima no puede reordenarSe y utilizarse para identificar a otra linea diferente. Esto significa que si se usaran los .colores verde, amarillo y violeta para senalar una linea, entonces amarillo, verde y violeta (o cualquier otra combinacien de estos tres colores) no se podria emplear para identificar otra thee. 1,Seran adecuados siete colores tomados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 knees?

SOLUCION

Aplicando la formula (5.10), existen 35 combinaciones, que se obtienen al calcular

C=

n!

7!

=

7! 3141

1'

— 35

Los siete colores de los que se toman tres cada vez (esto es, tres colores para cada linea) no sedan suficientes para codificar par color las 42 lineas diferentes de discos cornpactos, porque selo permiten 35 combinaciones. Ocho colores tomados de tres en tres darian 56 combinaciones distintas. Esto sena mas que syficiente para codificar cromaticamente las 42 Meas.

• Autoeitameit

Un musico desea escnbir una partitura - basada solamente en cinco notas: si bernol, do re % mr y so!. Sin embargo, solo tres de las moo se utilizaran en.sucesion, como do, , si bemol . ymi.NoseptranciomSbel,s.rnai a) LCUentas permutaciones de las'cinco nOtas,)tomadas trestada vez: - eon poSibles? b) Utiliiando a formula (5.9), -LcuantaS perrnutaciones son posibles ahore? Recuerde gue un operand de taller debe hacer cuatro verificaciones - de seguridad antes de 'activar su rnaquine, y no irnporta en que orden lae realice.'e,De cuantos modes puede ha: cer las venficaciones el mecantco operador? Se van a utilizar los 10 nUrneros del 0 al 9; para crest un dedigo decuatro digitos e ' fiear un articula de rope. El 1 083 podria identifiCar una blusa azul, talla mediana. El 2 031; unos pantalones, talla 18; y asi sucesivamente. No se permiten repeticiones de los nameres. Es decir, el mismo nUmero no puede ser utilizado dos,veces (o mas) en una eecuencia. Pt:1r 010,0-00, 2 256; 2 562 0 5 5 59 00 Se riermitirian, tCyantes eadigos diferentes se pue- , 'denstablcr? % , . ' 4. En id solucion del ejemplo anterior de los discos convactos, se dijo que ocho colores tomedos de tres'en tres, darian 56combinaciones diferentes. , , a) Use la formula (5.10) para rnostrar que este es cierb. b) Como un plan alternativo para codificar con colores las 42 lineas, - se sugirie que' se coloCaran sole dos colores en cads disco. (..,Serian suficientes 10,colores pare codificar las'42 lineas? (Nuevamente, un'a cornbinacieh de dos colores solo puede utilizarse una , vez; es decir, si pare unos discos el cedigo es rosa y aid,' el grupo azul y rosa no puede usarse pare identificar una linea diferente.) r

• •

180

Capitulo 5

Ejercicios 45. Obtenga el valor de lo siguiente: a) 40!/35! b)

?Li

•

c) 5 0 2 46. EvalOe lo siguiente: a) 201171 b) gP 3 c) 7 02 . 47. Un entrevistador selecciono al azar 4 de 10 personas disponibles. LCuantos grupos diferentes de 4 se pueden hacer? 48. Un nOrnero telefonico esta integrado por siete digitos, y los tres primeros representan la zone. LCuantos numeros telefonicos distintos son posibles dentro del area zonal 537? 49. Una empresa de mensajeria nocturne rapida debe abarcar cinco ciudades an su recorrido. tCuantas rutas diferentes se pueden hacer, suponiendo qua no importa el orden en qua se visiten as ciudades an el recorrido? 50. Un representante de Is Agenda de Proteccion Ambiental (EPA de Environmental Protection . Agency) de Estados Unidos, desea seleccionar muestras de 10 rellenos sanitarios, y se dispone de 15 de ellos para obtenerlas. 6Cuantas muestras diferentes se pueden obtener? 51. Una organizacion nacional de encuestas ha elaborado 15 preguntas destinadas a evaluar la actuacion del presidentetle Estados Unidos. El entrevistador seleccionard 10 de as pregun. tas...6De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar las 10 preguntas seleccionadas? 52. Una empress esta creando .tres divisiones nuevas, y hay siete gerentes disponibles para dirigir una division. 6De cuantos modos se pueden nombrar los tres nuevos dirigentes? 0

Una probabifidad ea un valor qua videsde 0 haste 1 iriclueive, quetepresenta is posibilidad de qua °cure un evento en particular.' A. ,Un experiment° as Is observacion de alguna actividad o el,acto de efec uar una medicion B. Un reaUltado es el valor 'particular de un experirnen .to' C. Un eyento as el conjunto'de uno o mita reiultados,de tin thipenmento. ,Existen tres definicioneS de probabilidad. , A. La definicion,clasica se aplica cuandO hay n resultados igualmente probable § de On expe:‘ La,ddfinicion emprica ocurrecuando el numero de veces en que sucede unevento , , se dividé antre la cantidad total de observaciones. C. Una probabilidad subjetiva se bass an cualquier inforniacion disponible. II Dos eventos saleirni.ituamente excluyentes'si; en Virtud de Is ocurrencia de 'Uno el ctro no puede suceger. , IV. Los eventos son „independientes si la ocurrencia .de uno no afecta a ocurrencia del otro. V. Las reglas de adicion se aplican a la union de eventos. A. Laregla especial de la adicion se ernplea cuando los eventos son mutuamente excluyentes ..

P(A o 8) P(A) +.,P(B)

[5.2]

B. La regla general de la adicion . es

, [5.4] ' P(A o B)= P(A) F'(19) P(A y B) „C. La regla del complemento sirve' pera deternHinar la probabilided de qua ocurra un evento, restanddde 1 le Probabilidad de que ese events) no ocurre. P(A) = 1 H: P(4) Vt. Las „ reglas de

[5.3]

ultiplicacion se refieren al product° de eventos.

••

Revision de a Icitmos conceptos de probObilidad

• I SI.

. A. La regla especied de mulfipLeacion se refiere a ¥tas que son independientes. PjA y B)= P(A)P(B)

• • • [5.5] B. La regla general de multiplicac!on sc reftere a eVentos que no son independentes.... P(AyB)PiAjP(:A) 8

[5.6] C. Una probabirdad conjunta es [a positAidad de quo dos o mas eventos ocurrari al mismo fiernpo. • D.. Una probabiiidad condiconal as la posibfidad La quo ocurra un event°. dada que otro ya • ha ocurrido. • . . E. El te,cremade Bayes es un matodd para revisar una probabWdad, dado clue se ha obtenido informacion adicional. Para dos eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos: • Pi.A, iP(B. I AO

6) -

'A

• • P(A2)P(B A 2) • .

.

[5.7]

VII. Hay trcs reglas'Oe conteo que Son Utiles eara determinar el nOmero total de rasultados de un eXperimentc. A. La regia de multiplicacion establece que Si hayni forams en que Un eventobuede ocurrir yn. formas en qice otro evento•Puede suceder, entonces hay mn fonnas en que los dos • eventos pueden cork •

•

Nanieto La arreglos = OM)

•

(5,13] B. Una permutation 'es un arreplo en el cual es importante el order. de los cbjelos seleccio- . • • nados de.un . ocniunto deternfinado de . objetos.. • •

-

tics:de

nd;;.11.

el :quire. :

Iiihdnd

II.

• Jr! • [5.9] . .

• nil r!(n 7f)!.

c.r:e

[5.10]

•Simbologia II

:1 III.

SIMBOLO PA) •

SIGNIFICADO Probabilidad de A

Fi -A) •

Probabilidad de no A

P de no A •

P(.4 y B)

Probabilidad de A y B.

PdeA yB

P(.4 o

Probabilidad de A o B

PdeiloB '

Pct I 8)

Probabirdad as A dado q ue B is sucedido

P de A dado B

Permutacbn de n elemontos selecclonando r a la vez

Pnr

FORMA EXpRESIVA kdeA ,

CoMbinacion de n elementos selecciorando r a la lie:

Ejercicios del capita) 53. El dePartamento do r

jacion ue noe 'rt.ado.de la empresa Vernors plane rearizar una encuesta a adolescentes a(eica da sds reacciones ante ; una bebida suave de reciente Saharacion. Se les pedira que Is comparen con sLi refresco favorito. a) (,,Cual es el experimento?, tr) tCual es un evento posibie?

•• •

•

C. Una comoinacion es un arreglo en ei clue no es importante el . oraen do los objetos seleccionados de on gropo . especifico de ellos.

3 Cr. :■ S

:

• '

Capihilo 5 Off

54. El so:eller° de veces give sucedia credo evento en el pasado se divide entre el ruarnero total de •5,4 ccurrencias, aConto se Is denomina a este enfoque de is probabiliciad? 55. Se considero gue is orobabillaad de cue In cause y Ia curacion det cancer so descabrieran antes del and 2010 era 0.20. aQue panto de vista de la probabillied se ilustraidoP este afirmacion? 56. Si es verdad jgue no Sate ninguna posibilidsd de qua line persona se recupere despite> do recibir 50 herldas de bats. Lie probabilidad asignada a este event° es —1.60? aPor qua? 57. Al nrar un dado. j ocuj al es la proPabilided de due cabe Lri "uric,'" (i) Lin "dos .. urn tseis"? aCtie definician de probabilidad se otilida? 58. El restaurante Sardine's fehilren Factory bens vanes sucursales an el area de Hilton Head, El Carona del Sur. 'En las solicitudes de empleo pare disOntos Fiestas, el dueno desearia •una pregunta acerca del valor de la propina, per cuenta. gue puede esperar °mar vi camarero. Un estudio de las.no as recientes - indica qua el camarero obtuvo las sieuientes propinas. import° de la propina

Nemero de veces

$ 0 haste $ 5

200 100 75 75 50

Shasta 10 hastaj 20 20 liasta 50 50 o Tins Total j

500

a) tCuál es is probabilidad de due una propina sea ideal 0 superior a $50? b) LSe consideran mut lament° exciayentes las categories SO a S.5, $5 a S10: etcetera? c) Si se sun aran las probabilidades correspondientes a cada unajae las categories, Lcuanto daria este sums? LCual es la probabilidad da qua Ulla pmpina sea mayor que . $10? e) LCual as la crobabilidad de qua una propice sea inferior a $50? 59. Derma cads uno de los siguientes terminos: •ar Probabilidad condicional. .• b) Evento, . c) Probabilidad conjunta. 60. La primers carts seleccionada de una bareja 'americana de 52 naipes tue an rev. a) Si se devuelve Is catta a IS baraja complete. jacual es la probabilidad de qua sable rey en j • lasegunda tome? a j ctial as is probabilidad de qua apareica im•rey en la segunb) Si no se repone dicha cads. .. j cia Ionia ? c) Lad es la probabilided de gue salga urn ray en Is primers tonna y Otra en la seciuncia (cons siderando que el primer rey no se reprisal? 61. Armco, ti fabr cants de sistemas de semaforos. determine qua 'pejo pruebas.aceleradas jde auracion, 95 2 5 de los sistemas recien desarrollados duraba tres anchs. antes de empezar a faller en el cambia adecuado de las senales. a) Si una ciudad adguirje cluatro de estos erste:nab conies is probabildad Se qua los 6ua.tto operen adecuadamente j por lo mencs des anos? aQue reale de probabilidad ilustra este? c) Utilizando letras pare representsr los cadtro sistemas. esiablezca una ecuacion due maes-

tt:

tro is forma en la qua obtuvo is respuesta del Teats° al.

62. Considers el diagrama sidulen e.

a) :Coma se denomica tat represenfacion? b)

Out reola de crab:el:Aida-I ilusti a?

••

•

pevisiOnde algunos concertos de probabilidad c) Se tlene que B representa ci evento be eleair tints lani,La goo recta pagos de senor° social. 6A quo es igual P(B) +.P(-B)? • 63. En un programs be enpaeitacion ba.ra el personal del area adininistrativa en la empresa Claremont Enterprises, 80% be los capacitados son mujeres, y 200h varones. El 90% de las mojeres asIstia a ona universidad. y78% de los Verones tambien. a) Una persona doe participa en el programa se selecaona al a.zar. trLial es la prababilidad de quo sea una majer.que no asistia a la universidad? b) Elabore un diagrarna be arbol quo muestre todas as probabilipaclest comones, las probabiliclades condicionales 7 las probabilidadeslconjuntas. c) - 5La sumide las probabillciades soniuntas es 1.00? 4Por doe? • 64. Supongase goo la posibiliclad de que on vuelo de American Airlines se retrase 15 minutes con • respect° a la hora be Ilegacla estipolada es 0.90. Se seieecionan cuatro de los vuelos de ayer. a) &COI es la .posibilidad de que los cuatro \males ele .gidos Ileguen con on retrace de 15 minutos con respecto a la hora progiamada? b) 5Cual es la posibiliclad be god ningono be los vuelos eleoidos [[egos con on retraso de 15 minutes? c) /Cual es la posibilidad de clue per !a menos ono de los satelas elegidos liegue con on retraso superior a 15 minutes? 65. Hay 100 . emPleados en la empresa Kiddie Cats International. de esos. 57 son he produccion. 40 son supervisores, 2 son secretarias, y ci emgleado restante cc el director general. Sunken : ga cue se seleeciona un empleaclo de ese grope: • a) ,Cual es la probabIlidad be clue la persona elegida laboraen produesion? b). &Cual es la probabilidad he goo el empleade seteccienado sea de produccion o on supervisor? • c) 6Son los eventos del inciso bJ mutuamente excloyentes? d) 5Coal es la probabilidad be quo ei empleado elegida no scads produccion ni on supervisor? 66. Todd Helton, del equip° be beisbal Colorado Rockies. y Nom% Garciaparra. del equipo Boston Red Sox, ampataron al obtener ci Indies rr,as alto de bateo en la ternporada de lafiga mayor be balsbol de 2000. Cada uno obtuvo on prqmedio de 0.372. Supengase que ambos fienen ona prebabilidad be 0.372 de anotar un hit sada vez quo batean. Stipangase quo on un determinado juego antics batean tres veces. a) tQue tipe de probabilidad ilostra este ejemblo? b) . Sual es la probabilidad de que logren tres hits en on determinado judge? z,cual es la probabilidad de no obtener• ning,Un hit en midi:ego? • d) iCual es la probablliciad do quo obtengan par le menes on hit en on encuentro? 67. La probabilidad de que on avian bembarciero acierte Cii su objetivo en una misiOn ea 0.80. Se . enyian cuatro bombandecos hacia el 11151110 objetiva tCual es la probabilldad .d6 quo: • a) • todos den en el blanco? b) ninguno acierte al objetivo? c) . el menos ono aciepte en el blance? 68. En esta primavera egresaran 90 estadiantes de la preparatoria Lima Shawnee. Co las 90 alumnos, 50 planean continuar los estudies universaarlos. Se eligen al azar dos estudiantes para llev.ar el banderin en la cerenfenia be fin de curses. L,Cual es la probabilidad be quo los dos estucliantes elegidos planeen centinuar sus esti.° digs universitarios? b) „Cod es la probabilIdad de due uno be los estudiantes elegiclos pianee continuer sus estudios universitarics? I

69, La eiepresa de seguros Brooks quiere ofrecer segures be vide para hombres cuya edad e,s be 60 arias, a Waves de Internet. Las . tablas de mottalided indican quo la posibllidad de Tie on yaron de 60 anos viva on ano mas, es 0.93. Si se ofrece la poliza a cinco hombres be 60 anos: aCual es la probabilidad de que loccinco vivan un aria mac? .,' • b) Cual es la probabilidad de quo por lo menos uno no sobreviva un ano mas? 70. Se tiene pas 40% be [as cases construidas en ci Area de Quail Creek tlenen on sistema de seauridad. Se eligen al lazar tres he esas casas. 4 uCual es la probabilidad be goo las tres cases elegidas tengan un sistema be segoridad?

latt

Capitulo 5

b) oCual as la pirobabiliclad de due ninguna cie Ins fres tenga un sistema segundaci? c) &Cual as la probadlidad cie due per lo manes . una de [as ties cases seleccionaclas iencra un Stems da seguridad? d) 25 Considera que los eventos son dependientes 0 inciedendientes? 71. Refierase al elercicio 70, pero considere que hay 10 casas y solo coatra de adds tienen sada-ma Se seguridad. Se eligen al azar des cases. s. teual as la probabiUdaci de clue las tries casas eiegidas tormaan un sistema de neguridad? . ti) icuai as la probabilidad de qua dm-tuns, de [as ties Gangs teriga dada sistema? c) LCual as la probabilidad cia qua poi lo memos tins cie alias terma un sistema cia seguridad? d) tSe considera due los eventos son depenclionfes o indepenoientes? 72. Un malabarista trete una balsa due contiene tied pelotas verdes. dos arnarillas. una raja y cuetro soules. El malabarista toms una pelota al agar, despues sin volifer a CObear ia primers en la bolsa tome Una sedunds palate. j Cuai es ra probabilidao de due la primers, pelota sea amay la segunda. azul? 73. El cons* dries -Uric de Saner Automatic Door Co. esti formado Par 12 integrantes, 3 da los h-F-1 41"

cuales son mujeres. Sc as a redactar un nuevo manual de politicas y procedlmentos para empress. Debe seleccionarsa un comite de 3 miembros, en forma aldatoria. del personal del Consejo, paraque redaden el manual. a) LCual es la probabiiidal de qua todos los itedrantes del conalte sean yariones? iCual as probablidad de clue al manes 1 element° del cited° comite sea una rnujer? 74. Una enouesta a las estudiantes de licenciatura cle esauels de administration de empresas. revere lo siguie ate con respect° al genera iy area de especializacion de los conical:sides: Especialidad Administracion

GOners

Contaduria

Masculino

100

150

Femenino

_a 00 200

20']

Total

Finanzas

Total

50 • 50 1du

300 200 500

I

• a) tCua! as la probabilidad de seleccionar una alumna? b) tCual es la embabilidad da seleccicnar a slot:Jen due Tanga Pomo area de especralizaobia finanzas o cot itacluria? .L.Cual es: la probabilidad de seleccionat tam esutoirante a alguien due tenga interos en contaddria? tOue iegla de la adicion se apiic seleccionar alguien CaP 0 Httaa es sea contaduria, dado glue La d) taial es la probabridad • persona s'eleccionacla as de sexo masculino?• e) Suponga qua se seleasionaq °as estudiantes Li naer pars asistir a Lill almuerzO ccin el pre: sldente la Oniversicisd. tarsi as la probabilstacl de qua ambas seloccionadosTengan co:no 'area principal de lnteres la contaddria? 75. El comisario 'de la poileia de Wood County claslfica los delitos cia acuerdo COR là edad (en saisisr del distersibian y si el crimen acorn° con yiolencia, o sin ella Como se mueStra a conti: suaimidn, al comisand le repo dal on un total de 1.50a-teritos comencias Ora:rite el pasado ano.

a9

•

Edo4 (en arias) Tipo do delito

Gnu yofunria "sa (10;rrura

Menos de 20 20 a 40 27 12

41 34'

400 mae, Total I 14: ; • 22

82 68

:

1 "GU Lu

a) 0Cual es la probabilidad de seleccionar un easo para analizarlo y encontra- r qua fue un de- . , lito con violencia? • qua el delito lo y descubnr la probabilidad de seleccionar un caso paraenalizarlo b) LCuales. cometio alguien coil menos de 40 alms de edad?-: c) Cue as Is probabilidad de seleccionar un caso•y qua el erimen hays sido cornetido con violencia o que el delincuente tenga menos de 20 arms? Lae regla de adicion se aplico?

.•

•

•

Revision de algunos conceptos de probabilidad

I Sr,

d) Dade clue se seleccjona para analisis en deft° con vielencia, ,re.ucel es la probabilidad de que lo haya cometido una persona menor de 20 anus? r e) Un juez seleeciono dos casos para reviser-los. LCual as la probabilidad de que ambos sean crimenes cometidoS con violencia? 76. El senors la senora \i‘fillmelms estan retirados y \riven en Arizona, en una coniunidad de personas jubiladas. Suponua gee la probabilidad de que en hombre retirado viva 10 anos mas es . 0.60. yEa probabilidad de que una mujer retirada viva pros 10 afros es 0.70. a). iCual es la probabilidad de que Tanta el senor come la senora Wilhelms vivan despues de 10 alias.? 6) anal es la probabilidacl de que dentro be 10 afros el senor Wilhelms no viva y la senora lcialhelms si? tCual es la probabilidad be que dentro be 10 ones al menus Lino be los dos viva? 77. La empresa Flashner Marketing Research se especializa en proporeionar evaluaciones de sus perspectives a tiendas de sopa pare dame en centres comerciales. Albert Flashner. el director, informa que evalrea las postalidades como buenas. regulares dmalas. Los registros be las eyaluacrones anterieres lnclican qua en 60% be los cases, las perspectives son buenas. en 309? son regulares, y en 10% son malas. De las evaluadas como buenas. 80%. dieron utilidades durante el [primer alio; y de las evaluadas coma regulares. 60% produjeron utilidades el primer aria; y be las clasificadas coma malas. 20% arrojaroPbenefigros durante el primer ono. Connie's Apparel fue uno be los clientes de Flashner qua obtuve utilidades el ano pasado. as la probabilidad be qua se le haya dada una clasiticasien inicral be mate? 78. Hay 406 empleados en la empresa G.G. Greene Manufacturing Co., y 100 de ellos• fuman. Cuenta tambien con 250 trabajadores (hombres), 75 be los cuales fuman. LCual es la probebilidad de que un empleado seleccionado al agar:

a) sea hombre? b) fume? c) . sea hombre y fume?

d) sea hombre o fume? 79. Con cads compra be una pizza grande en Tony's Pizza, el cliente recibe un capon para raspan lo y ver si esta premiado. La probabilidad be ganar en refresco gratis es 1 an 10. y la be obtener gratis una pizza grande es 1 en 50. El lector plane& almorzar en Tony's el dia be mancna. te Cual es la Orobabilidad be que: a) gene una pizza grand° o un refresco? b) no obtenga en prernio? c) no aane un pr emio en tres visrtas consecutivas a Tony's? d) reciba por lo menos en premio en aria de sus tree visitas preximas al establecimiento? 80. En el1uego be la loteria d:aria en Illinois. los oaricipantes seleccionan ti-es digitos entre 0 y 9. No se puede eregir un nOmera más de una vez, be mod° que un billets ire boletol ganador podria ser, per etemplo. 307. La sompra be en borer-) da la oportunidad be selecciorar un conjunto be reremeros. Las cifras ganadcras cc anuncian an un programa noctUrno be ielevisien.. a) LCuantos resultados diferentes (de fres digitos) son posibles? b) Si comprare un bolete parc el jueao de esta noche, cuaI sena Is probabilidad de qua gareara? c) Sr:pence qua adquiere tres holetos pars cijtrecre be esta noche y selecciona un numero diferente pars cada arta aCud as la probabilidad be que no game con ningeno be los be- . letos?

81. Lin nuevo he:abate consiste en ensamblar cuatro parties cliferentes. Las cuatro trenen distintes cedides be color y puereen crnirse en cualgMer - orden. El deject-temente; be producciOn desea determiner la forma aces ericrente be ensamblar los °craft° elernentos. Los supervisoree reali:gran clamps experimentos pars resolver el problems. Ferrero, planean emir las partes en asto orders verde. negro. aniarillo y azul, y registrar el tiempe. Despues se realizara ensemble en tin orden dlferente. 7De cuantos modes distintos se pueden ersambrar las cuatro plazas?' 32. Se hallo quo 60% de los turistas qua van a China yrs:Ilan la Ciudad Prohibida. el Temple del . • &Tele, Is Gran Muralla y otros otos I -este:rheas en Feirrng (Percin) o cPrca de ahi. Un 40% visits Xnan. con sits fragrances escultrras de coldados. vat -rallies v earmajes, hechos'en terracota.

Capitulo 5

goo bellies estado sepubados or rnas de 2 000 anos. Lin 3076 de los turlstas van a Beijing y a Vas tOiLial es la priobabilidaci de quo on turista visite por lo [series ores de esos [scares? 83. So recibleron dos cajaa de camisas Old Navy para hombre. provenientes de la tabrica, La ca- , 1 conteia 25 CaCTILS3S deporevas y 15 de. vestir. En la can 2 hahia sO deo-go:pas y 10 de vestle Se selecciono al azar una de [as cajas y de esa se eligio, tambien aieatcriamente, una camisa para. inspeccionarla. La prenda era deportiya. Dada esta informacien. acual.es is pro - • •babilided de sue della camisa provenga de la caja 12 84. Los escargadcs del reslaurante Riccardo's anuncian quo Senen on gran numero do seiecciee e nes de comidal Ofrecen 4 sopas. 3 ensaladas, 12 platillos principales, 6do leciumbres y 5 pos. ties. 1,Cuantos menus diferentes ofrecen? Tal establedmento tiene ademes, una promocion eSpecial, el "pajaro madruciador - , Se puede ornitir cualquier platillo de una comida, except° Ce los Principales4 pagar on precio reducido. tCuantos mem:is .distintos tienen para los clientes • de b promocitin • tpararo .madrugadors ? 85. Hace algunos altos la ernpresa Wendy's Hamburgers anungra que tenia 256 tonnac de preps. rar una hamburguesa. Usted puede. elegir. u omitir, cualquier cornbinacion de b siguiente pare" so hamburoussar mostaza; salsa de tomate, cebbila, pepinilios. tomate en rehanadas, aderezo, •• mayonesa y lechuga. tEs cierto lo quo dice el anuncio? Indigo° corno obtovo so respuesta. 86..La compania constructors Reynolds ha acordado gue 'codas [as cases quo se van a edificar on • .un fraccionamiento tendran una aparrencia diferente : A los potenciales compradores de casa se les ofrecen cinco disenos de exterior. La construatora ha estanclarizacio ties planes oars in- exterioreS. tDe :mantas teriosqupdncraeoulgdSmiseno distintas pueden ofrecerse a los posibles compracicres de case. lad combinaciones de formas -

•

-

Critirir 11.7.41c1-7,

:0 tci •rt,ti%. •

•

exteriores e interiores? 37. dod empresa pequenta quo fabrica alfornbras ha decidido user siete colores compatibles en su nueva linea de productos. Sin embargo, al tejer una aliornbra solo se pueden utilizer cinco husos. En ill pUblicidad desen indicar el numero de diferentes papas de colores disbonibles pare la venta;6Cuantos grupos cromaticos hay disponibles on los que se pueden utilizar los siete cooresagrupendo de cinco en cinco? (Esto supone quo cinco colores distirdos entran on Cada alfombra: es decir, no hay repeticiones de color) 88. Se considera organlzar un torneo do tutbol ansericano "Sniper Biel'. Los 10 eguipos • ads importantes del pals, de actrerdo con sus puntuaciones, serian [Os narticipantes on el fornon. C oda equipo jugaria con cada uno de los demas on esa justa deportiya, durante is temperada: El equip° ganaddr de mas juegos seria declarado Canipeon Nacional. tCuantos por ejemjuesos tendrra quo programar el comisionado del tome° cads ante? lRecuerde . plo. el equip° de Oklahoma contra el de Michigan es lo mismo quo el equico de Michigan contra el de Oklahoma.) 89. Se ha elaborado una nueya gums de mascar• quo ayuda.a qujenes desean dear de tr rmar. Si Ciso'r? de las personas quo usan la•gcma tienen exit°, obual es la probabilidad Lie quo en un • po do cuatro fumadores, por lo menos uno deje de fumar? • 90. En el estado de Maryland. on Estados Uncles, las parcas de licencla pars automayiles tlersen • tres nurneros, seguidos par tres letras. L,Cuantos nLimeros de place bier:antes son ocisbles? 91. Un nuevo model° de auto deputy() presenta fallas on su sistensa de frenado 15% de las yecos, y defectqs en el a-recoil-list-so de direocion 500 de as veces. SupOngase (yes de esperan quo estos•problernas se presentan on forma inaependiente. Sr ocurren uno u otro de tales prodenies, al auto se le denomina una "estate". Si se tienen ansbos problernas, el vaniculo os ring • ."amenaza". Un profesor compro uno de esoS automoviles el dia de ayer. /Aral es Is arotrabilidad do cue le'resulte: a) una - estate"? b) una "amenazan? 92. Tim Bleckre es el propletario de ma cornpuria de inversiones y bienes raicas. La orb -spa:Ora cow° recienternente cuatrc terrenos en Holly Farms Estates. y sets an Nei:kith's] Viroods. Los terrenos i tienen 01 rsismo atractivo y se crenden aptoximadamente al inismo piscio. a) ,Cual es la probablidad do quo los pronimos dos tenersos cue yenda sean do LLei.ebsoa Woods? 6) ,:Cu-al es la probal•lidad de que on los guano precias siguientes quo verde. por lo merles uno sea de Holly Farms? c) tEstos eyentos son irsdeporyinusters o clependlentes?

•

13r,

Revialos de algunos conceptos de probabilidad

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93. Htly..coatro personas goose consIderan parcel puesto be president° y ejecutivo en jefe JCEO, be Chief Executive Officer), en la empresa Dalton Enterprises. Tres be los aspirantes tienen Fans be 60 arios. Dos son mujeres, be las oodles solo una es mayor be 60. a) tCual es la probabilidad be qua un candidata sea mayor be 60 y mujer? Dado que el candidate es hombre, j,cual es la probabilidad de qua tenga merles be 60 anos? c) Dado . que la persona es mayor be 60, tcual es la•probabilidad be qua sea mujer? 94. Una cola con 24•latcs contiene uric que esta contamlnada Se van a elegir al azar ties lataa para so prueba. a) iCuentas combinaciones dterentes de 3 latas se podrian seleccionar? b) LCual as la probabilidad be qua Ia ata contaminada sea seleccionada pare la prueba? 95. Una cave de acceso (password) esta integrada por cuatro caracteres. Estos pueden sir cualquiera de las 26 letras del alfabeto. Cada caracter se puede usar varies veces. a.Cuantas . cla; yes de aeceso diferentes as posible obtener? 96. La empresa Honvege Electronics, Inc. adquiere cinescopios para teleyisores con cuatro pro',ieedores. Tyson.Wholesale proporciona 20% de los tubes be imager); Fuji 'Importers. 30%; Kirkpatricks. 25%; y Parts, Inc., 25%: El proveedor Tyson Wholesale tiende . a dar la major cal- • . !dad, ya qua solo 3% be sus procluctos son defectuosos. Los de Fuji Importers tienen 4% de' . no aceptables; los be Kirkpatrioks, 7%, y los be Pads, Inc.. 6.5% be d .etectuosos. a) LCual es el porcentaje total (promedio) de oinesooplos defectuosos?. • 5) En la Ultima remesa se descubne on cinescopic con defectos..2,Cuel as is probabilidad be. quo lo hays enviado Tyson Wholesale? c) (:,Gue, es la probabi/idad be qua el equip° detectooso provenga be Fuji Importers? aO he Kirkpatricks? 10 hien. be Parts. Inc.? 97. En al siguiente diagrams se representa on sistema be dos comoonentes, A y B. qua estan "en • serie,":(Estar an serie significa qua para que el sistema opere, deben trabajar tanto el .componente A borne el E.) Suponga etre la probabilidad be due A foncione as 0.90, y la de qua B tan)bien lc haga as 0.90. Gonsidere qua ambos componentes son independiontes. i,Cual es la probabilidad he qua opera el sistema?

98. Considers ci diagrama del sistema anterior, pew suponea qua funciona Belo si . A.o B operan (U110 solankantek Sual as la probahlildad be quo el sistema trabaie secnn estas condiciones? • 99. Un acertijo an on diarlo presenta un problema be arreglo por pares : Los nombres de 10 Presiclentes be Estados Unidos se presentan an una cohcsnna:, y sus vicepneSidentes se cruncian al • . azar en la segunda calumna. El acertljo pide al lector unir cede ; presidente con so vloepresi. dente respectiva Sr se realizan as asociaciones . a! azarc i,cuantos pares son posibles? j,Coal • es is probacilidael de qua los 10 . pares sean correctos? 100. Pareieduch los robos, !a compels Meredeth nace pasar a tocios sus emptaados por una parebacon detector de mentiras, el gue Se sabe funciona correctamente 9016 be las yegeoltanto para sujetos dulpables come inecentest George Meredetn clenicie despedir a todos los trabajadores qua fallen an la prueba. Suponga qua 516 be los eropleados son oulpables be robo. a) Lai° proporcion be los trabajadores sera despediga? b) Da los despedrdos. Love propercion es realmente culpable? c) De los no despedidos. ,!,queproporclon as culpable? • d) . ',Due opina . ei lector oe ia politics be George? 101. Peterson's Vitamins. un aronciante en la racism Healthy Living,esiima que lkt he los so. scriptares comprarat sus artaminas. Asimismo. censidera qua 0.5% do los no suscriptores adquirt • ran el producto, y clue existe 1 posiblkdad en 20 be que one persona sea on suscriptor. a) Encuentre la probabiliclad de qua uhra persona seteccionaoc al czar co.mprare Ins vnamlnas. b) Si una persona adquiere las '-.'Famines. tcual es la probabllidad cie quo este, suscnto a la eyista Healthy LI ;lir? c) Si una persona no compra el product°, ci.cha.I as la probabilida.° be tree este succrita a es° .. publicaci60? .

Capitulo 5 102 La Aseguraeora da Autos ABC clasifica a [as coridgetores ccmo i li tuenos”. tregulares", o "males". Los autommalistas gue solicitan on seguro entran . en estos tres . grupOs en jas proporciones: 30%, 503ri, y 20%. respectiegmente. La probabilidad de qua on conductor "bueno" tendra on accidente. es 0.01; la de qua no conductor trnedianot tendra ur accidente es 0.03: y ia de que uno "roalo" tenga no accidehte es 0.10. La companio le vende al senor Bores una noliza deSeruid y este tuvo un acciciente. gCual as la probabilidad de qua el senor Bores sea: a) no conductor i "bueno"? b) on conductor "mediono"? on conductor "mato"?

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ejercicios.com

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, 103. En el decenia de 1970 el programa de concurs° Lets Make a Deal tuyo on gran exits) en la television. Los concureantes tenian qua elegir una de ties puerias, detras de :ma de as cuales . se encontraha un prernio. Las otras dos ptiertas contenian algiin regale de broma. Despues de. .. quo, el concursante elegia una de [as puertas, el conductor del programa le revelaba loque babia detras de una de [as puentas qua no eligio, y le preountalsa al coricumante si cleseaba cons [liar la puerta elegida por una de [as otras dos. iDeberia el concursanie cambia la pUerta •, elegida? ej,Aumentan las posibilidades ae ganar al carnbiar de .puerta? Vaya al siguiente sitio de la Red (Website). qua es administiacio pore[ Deoadamento de Estadistice de la Universidad de Carolina del Sur ben ELSA), y pruebe SIJ propie estrategia: http//www.stat.sc.edu/-west/applets/LetsMakeaDeal.html . Vaye a la siguiente pagina de la Red y lea ace,rca de las poSibilidades del juego: http://www. statsc.echiswestijavahtmlletsMakeaDeal.html. gFrie correcta su estrateijia?

• • •

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III • II . • i •

Ejenicios con datos para computadora 104. Ccnsidere el coniJnto de dates de Canes raices (Real State) incluido en el apendica, que da intormacion acerca de las casas vendidao en el area de Venice. Florida. durante el arm pasoda . a) Organice Cs dales en tina tabla qua muestre el memene de casas que tienen piscine. en , comparacion.con la cantidad de casas que no la tienen, en cada uno de los . cinco mun,sl-• pios (townships'.) Si se seiecciona al azar un innaueble, calcule la siguiente probabiiidad: 1) . Que ia case este en el municipio 1, o tenga piscina. 2) Dada qua esti en el inunicioie 3. que tenga piscina 3) QUe tenga piscina y este en el municipio 3. b) 'Organice los dates en una tibia quo muestre la cant ided de cages que gegen car:hem. comparadas con [as qua no la tienen, en cada Lino de [as cinc75 municiplos. Si se setecciona tine casa al azar, calcule [as siquientes prebabilicJades: 1) Due la casa tengatorthera. 2) Dado que este en el municipio 5. no tenga cochera. . 3) 'ale la rasa tenga cochiera y este en el municipio 3. •.. . 4) Quo no tenga cocilmera o este en el municipio 2. 105. Consiclere•el conjunto de dabs de beisbol (Baseballi, qua Eta informacion acerca de los 30 ego-, pas Sc beishel de la Lad Mayor en la tersiaorada 2000 (611 . Est:dos Uniclos.) Establezca una ',Kaliable que divide los equines en dos at duos. los que tuvieran tlf13 temporada exitosa y los.que no le tuvieron. Es deck, establezca una variable para . rota, los equipas qua reanaroin 81 juegos a inas. y [as que triunfaron en 80 o menos. Ltiego establezca otra variable nueva para la asistencia del public°, utitzancto tres categorlas: asistencia menor a 1 500 000 ,(que se indica en los datos come 1.5);asistercla de 1.5 a . 2.5 millones. y asistencia de 2 ..5 millones o mas. a) El:More una to,bla que muestre el numero de equipos con ma teniporada exitosa compa- i rado con los que tihaercn tina temporada coil fracas°, segiin as tres:categorias de asistencia. Si sa . selxciona On equip° al azah calcute las sigeientes probabilidades: 1) Quo haya tenido una1emparacia ganadora. . 2) Cue hoya logrado [ma temporada exitosa o mitt asistessa de mis de 2.5 millones de especteclores.

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0 • 5.4

Revision do algunos conceptos de probabilidad :3) Que havy a terado una asistenda superior a 2.5 millories. y una temporada exitosa. 4) Que . haya tenido tine temporada con fracas.° y una asistencia inferior a 1.5 milloqes. b) Elabore una table qua maestro el nOrnero de eiquipaq quo Megan en cameos con cesped artificial, y en cairpos con crasser) natural. indicando el numero de juegos ganados y perMdcs. El se selecciona un equlbo 4 agar caleule las siggientes probabilidades: 1) Seleccionar an equipo con campo local dotado be cesped artificial. 2) ;.,Es la posibilidad ee seleccionar an equipo con record de triunfos, mayor pare equipos con campos de ce'seed naiural o de cesped artificial? 3) Miler un record ganadoc o jugar en an campo: de cesped 106. Cons:dere el•conjunto de datos be escuelas iSchools) clue se tienen on el apendice, el cual se yefiere a los 94 distriios escolares situados en ei neroeste de Ohio. a) Agrupe los distrifbs basandose en el porcentaje de estudiantes quo reciben ayuda "Liaia" (menos de . 5%); "moderada" (entre 5 y 10%, Inclusive), y "alta"•(mas de 10%.) 1) Se selecciona un .distrito escolar al azar. Despues se elige un alumno que se . hafle en coo ciistrito. Dial es la probabilidad de quo el estudiante pace el examen de conoci- . mientos?Sagrc1:Euelpontaj.rdiqueblxamnyste.valorcnpbidaroFexmn.• • 2) Si es on distrito con ayudarsocial "baja". Lodel es la probabliiciad de que el alumni) pacool examen? 3) ,Cual es la probabiliciad be que ei alumna provenga dean distrito con ayuda social "a!y apruebe el examen? 4) Obtenga Is probabilidad de quo an estudiante sea dean distrito con ayuda social "macieradat ono pase el examen. .o) Andra Clasifique los distrites por tamano: "pequenor (con menos de 1 000 estudiantes), nciediano" (entre 1 000 y 3 090 aluomos)..o "grande" (coh mas de 3 000 escolares). 1). tQue porcentafe de los distritos es "gequeno”? .2) . Si un distrito es - hermetic", caicule la probabilidacl de que sea uno con avuda social - baja". 3) LQue porcentaie de los distritos es tanto "pequeing”. come de "baja" ayuda social? 4) ,?,Que porcentaje es "pequeno" o de "baja" ayuda 5) Si se eligen tres cfistritos al azar, icual es la probabilidad de quo todos sean de taniano - medianec?

Capitulo 5 5.1

Respuestas al autoexamen

a) Prober el rsuevo mega de comOuradma. b) A setenta y ties jugadores res•ciusto ci juego. c) No. La probabilidad no puede son mayor que 1. La probabilidad de quo el juego. al ser Ianzado. al rnercado. tenga exito. es 55/80, o 0.8125. d) No puede ser manor quo 0. Tal sea hubo an error aritmetico. e) A nias de lainitad de las personas quo prueban dish° juego. les agrado. pesde igego. hay otras resheestas positOsi 1.

tqf reicas on la baraia) (52 cartas on total)

4 7 = 0.769 32

Clasico. 2.

= 0.027 Empiric°. . 083 3. El autor de este libro considera quo la posibill•dadlde que el indice Dow Jones i . DJIA) suba 12000, es 0.25. El lector puede ser rnas o monos ostimista. Subjetivo. 5.3

a) (i)

'50 t 68 1

2 000

-

0.059

30 9 (ii) 1 • - 0.849 • 2 000 .

Capitulo 5

190

-

MA y

B)• a800

a) Table de contingencies:

2.

b) .

•.

.

Planes ;

s Empieado

°() • Retiro

c) No. son • coniplementarids, sine . mutUamentd .•• . . • • thcluyentes. a) La necesidad de zapatoSespeciales es el evento2lAl La necesidad demn arreglo dental es el •'• • • •eve &o • ..

. • b)

Gerencia

• - 0.08. ff- 0.15- 0.63

.80

en

100

0

300

5

2600 2 400

loo.!t.soi -

-00 •

3 000'

Produccion . • •

so oi 5 q . No r.e.tiro %Tab:id°. 80

•

0

0.50

8 000

c) Si: se incluyen . todas las pesibilldadeS.

.

.

• Gonjunta : . . 5 .• • . 100 • :• 7 aci5 20; 2 000 IWO .

• f" . 20

• ( 20 ;051 15 - 1. • - I - No retiro , 100.A20: 20. 1 • • 80 .'130 ..• 1 30 iFietir8

20. 100

PIA B) RA) P(B) • P(A B) •

0.05 .

-- 1,?0())( so) 7 is 000

Una pcisibilideq 5.9

•.P(A.R0 . . 2 !A.,).

a) FA,' ) -

• P(4-)P(821A:) .. •

IRS,.

. 0.5(0 961 • (0.30';(027) 4 (0.20;Rr.).95) (0.5CK0.26',

T1.96I

•• - • . • 5.6 I. (0.50)(0.80)(0.80)(0.80) = 0.4096. 2. a) 0.0000156, obtenldo por: (0.025)(0.025)(0.025). • b) La posibllidad de seleccionar Ares bolsas y • .. encontrar que a todas les falta peso, es muy • l

• 5.6

a) 0.002, qua se.obtiene. de: •

. .• . • • . 2•V1).L' • 24 . . - 002 • -1 1 880 0• ... • • .1,121 1,,11 .A10) 1t9) . ", • .. 6) 0 ."I 4. 'clue Se otsiene 0e: . i 8 V 7. V 6 V5‘i ..: .. 1 680. _ 0.1414 19). 11880... • .Al21000 • . . . .... . . ... . c) No, porqueexisten otras posibiiidades, como la de tres lilnujeiesy•un hombre. • .. 5..7 • ,. AO y p) 7 P(A)P(B , Aj. .

. .

5.10 1. Hay 20. que resulta de (5)(4). . . 2. Hay 72, que•se obtiene de (3)(2)(4)(3): 5711 . 1. a) 60, quo se obfiene de (5)(4)(3). • 12) 60, resultante.de:

• . • 5.8... 1. 'Salir del tranco de arbol por la rams inferior. "no • . Sequederia".. La probabilidadde ese event° es • 80/200, Sigulendo por el mismo camino, se en- .. . cuentra la wile ton el •ratulo 1. 6-10 anos". 1.2 probabilidad condicional as 10/80. Para obte• ner la probabilidad conjunta:

.

2:. 24. valor resultante de:

: ( . 4 •113 \i (

( 86 .1i25‘.• • - 0.125 • - .,200 %80! • .

."

5!• 5 - 4 .3 .2 .2 4, . • •I5 - 3)!•

. .

4! • . • 41 . 41 . (4. - 4) 1... 01.. 1

4321 1

-

.

. 3. 5 040, que se evalaa . Oor: . .

•.

. . 10 9 8 .7 •6 5- 4 3 0.-. 1 110! • • 6-'6 ...4-. 3--2 4 . . (10-4)!

a) 56 es correct° y,proViene de: •

. .... • . 8! • n1 • . 56 = C= 8 3 . On - 01- 3!(8 3)! . •

. Si. Hay 45 combinaciones quo se obtienen . b) • evaluando: • . • • 10! .. - -- • 45 fi! •. t 1(n - 6! -• 21(10 - 2)!

.