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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ACAYUCAN

INGENIERÍA SISTEMAS COMPUTACIONALES

MATERIA: MATEMÁTICAS III

TEMA: LÍMITES Y CONTINUIDAD

DOCENTE: ING. HENRY IZQUIERDO RAMIREZ

ALUMNO: JOSE ANDRES GOMEZ MARTINEZ

AULA D9

LÍMITES Y CONTINUIDAD Sea f un función de dos variables y consideremos f(x, y) cuando (x, y) varia dentro del dominio D de f. Como un ejemplo físico, supongamos que una lámina de metal plana tiene la forma de la región D y en la siguiente figura.

A cada punto (x, y) de la lamina le corresponde una temperatura f(x, y) se mide como un termómetro y se representa en el eje w. Cuando el punto (x, y) se mueve dentro de la lamina la temperatura aumenta, disminuye o permanece constante y por lo tanto, el punto en el eje w correspondiente a f(x, y), se mueve en la dirección positiva, en la dirección negativa o permanece quieto, según el caso. Si la temperatura f(x, y) se aproxima cada vez más a un punto fijo (a, b) entonces esto se denota como sigue:

Esto puede leerse: “El límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a,b) es L”. Para definir límite de manera matemáticamente precisa, procedemos como sigue. Para todo ε > 0, considérese el intervalo abierto (L – ε, L + ε) en el eje w, como se ilustra en la siguiente figura.

Si límite se satisface, entonces existe un δ > 0 tal que para todo punto (x, y) dentro del circulo de radio δ con centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b)

a) mismo, el valor de la función f(x,y) está en el intervalo (L – ε, L + ε). Esto equivale al siguiente enunciado: Si

Entonces | (

)

|

ε

Por lo tanto tenemos lo siguiente. Teorema de límite: Sea f una función de dos variables definidas en todo el interior de un circulo con centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b) mismo. El enunciado:

Significa que para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si Entonces | (

)

|

ε

Si se considera la gráfica de f ilustrada en la siguiente figura, entonces (intuitivamente) la definición anterior significa que cuando el punto (x, y , 0) tiende a ( a , b , 0) en el plano x, y , el punto correspondiente ( x , y , f ( x , y ) ) en la gráfica S de f tiende a ( a , b , L ) (que puede estar o no en S ) . Es posible demostrar que s i e l l í m i t e L e x i s t e , e n t o n c e s e s ú n i c o . Si f y g son funciones de dos variables, entonces f + g , f - g , f g y f / g se definen de la manera acostumbrada y puede generalizarse a este caso a los teoremas referentes de sumas, productos y cocientes de límites. Por ejemplo, si f y g tienen limite cuando (x, y) tiende a (a, b), entonces:

Regla de las dos trayectorias: Si dos trayectorias que llevan a un punto P(a, b) producen dos valores limites diferentes para f, entonces no existe.

CONTINUIDAD Una función f de dos variables es continua en un punto interior (a, b) de la región R si f(a, b) existe, f(x, y) tiene un límite cuando (x, y) tiende a (a, b)y ( ) ( ) (

) (

)

Este concepto se puede generalizar para puntos (a, b) en la frontera de R aplicando las restricciones mencionadas para los límites en puntos de la frontera. Si R está contenida en el dominio D de f, entonces f es continua en R si es continua en todo par (a, b) de R. Si f es continua en R, entonces un cambio pequeño en (x, y) produce un cambio pequeño en f(x, y). Haciendo referencia a la gráfica S de f, si (x, y) está cerca de (a, b), el punto (x, y, f(x, y)) en S está cerca de (a, b, f(a, b)). Por lo tanto, en la gráfica de una función continua de dos variables no hay hoyos ni saltos verticales. Se pueden demostrar teoremas sobre la continuidad de las funciones de dos variables que son análogos a los de las funciones de una variable. En particular, los polinomios son funciones continuas en todas partes y las funciones racionales son continuas excepto en los puntos donde el denominador es cero. La discusión anterior sobre límites y continuidad puede generalizarse al caso de funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables, se tiene la siguiente definición: