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Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.1 LÍMITE EN UN PUNTO El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, la derivada y la integral definida son conceptos basados en límites. Conceptualizar límite determinando el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio del análisis de los límites.

1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra intención y el estudio de los límites va a permitir esto. Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección concluir y tener una idea del concepto de límite. Ejemplo 1

f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en

.c om

Veamos como se comporta la función la cercanía de x = 2 .

ic a1

Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :

y = 2x +1

1.90

4.80

1.95 1.99

4.90 4.98

"

"

ww

w.

M

at

em

at

x

2.01

5.02

2.05

5.10

2.10

5.20

En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: lím (2 x + 1) = 5

x→2

Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:

2

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia f ( x) =

x 2 + 5x − 6 , en la cercanía de x = 1 . x −1

Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:

x 0.90 0.95

y=

x2 + 5x − 6 x −1 6.90 6.95

0.99

6.99

" 1.01

" 7.01

1.05 1.10

7.05 7.10

Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x x 2 + 5x − 6 =7. x →1 x −1

.c om

se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím

Por

otro

lado,

la

regla

de

at ic a1

Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación. correspondencia

f ( x) =

x 2 + 5x − 6 x −1

es

equivalente

a

m

f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?).

ww w.

M

at e

Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica:

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición:

3

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Una función f tiene límite L en un punto x0 , si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable independiente x se aproxima a tomar el valor x0 . Lo que se denota como:

lím f ( x) = L

x→ x0

Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.

.c om

1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL

x + 5x − 6 = 7. x −1 2

lím

Para

esto,

debemos

x →2

garantizar

formalmente

el

m

x →1

at ic a1

Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que

ww w.

M

at e

acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para cualquier función. Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente: PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que x toma valores próximos a un punto x0 (que x está en torno a x0 ), bastará con considerarla perteneciente a un intervalo o vecindad, centrado en cual denotaremos con la letra griega

x0 ,

de semiamplitud muy pequeña, la

∂ (delta). Es decir:

x0 − ∂ < x < x 0 + ∂ Transformando la expresión anterior tenemos: x0 − ∂
0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − x x → x0

0

< δ ⇒ f ( x) − L < ε

La definición indica que para asegurar que una función tiene límite deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε . Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:

5

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales. Ejemplo 1 Demostrar formalmente que lím (2 x + 1) = 5 .

.c om

x→2

SOLUCIÓN:

at

ic

a1

Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando reemplacemos la x por cualquier número cercano a 2 el valor de y correspondiente es un números cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2 la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en

2 x + 1 con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos

em

fijemos.

M

at

Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con y = 2 x + 1 , tanto como nos propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:

ww w.

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 2 < δ

⇒

(2 x + 1) − 5 < ε

En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir:

0< x−2 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 1 < δ

x 2 + 5x − 6 −7 0, ∀x[0 < x + 3 < δ ⇒ f ( x) < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x) + 1 < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < −3 − x < δ ⇒ f ( x) − 2 < ε

f (−3) = f (2 ) = 0 y f (0) = 5

Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes: • Dom f = R • • • • • •

f es creciente en ( −∞,0 ) ∪ ( 0,3) f decreciente en (3, ∞ )

[ ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x < δ ⇒ f ( x) < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 3 < δ ⇒ f ( x) − 5 < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < − x < δ ⇒ f ( x) − 3 < ε

f (−3) = f (3) = f (6) = 0 y f (0) = 2

19

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE

Sean f y

g funciones con límite en x0 ;

es decir, suponga que

lím f ( x) = L

x→ x0

y

lím g ( x) = M . Entonces:

x→ x0

1. lím k = k , ∀k ∈ R x → x0

2. lím x = x0 x → x0

3. lím kf ( x) = k lím f ( x) = kL , ∀k ∈ R x → x0

x → x0

0

ic a1

0

.c om

4. lím [ f ( x) + g ( x)] = lím f ( x) + lím g ( x) = L + M x→ x x→ x x→ x 0

5. lím [ f ( x) − g ( x)] = lím f ( x) − lím g ( x) = L − M x→ x x→ x x→ x 0

0

at

0

em

6. lím [ f ( x) g ( x)] = lím f ( x) lím g ( x) = LM x → x0

x → x0

at

x → x0

;siempre que lím g ( x) ≠ 0 x → x0

ww

w.

M

f ( x) L ⎡ f ( x) ⎤ xlím → x0 = = 7. lím ⎢ x → x0 g ( x ) ⎥ g ( x) M ⎣ ⎦ xlím →x 0

n

8. lím [ f ( x)] = ⎢⎡ lím f ( x) ⎥⎤ = Ln , x → x0 ⎣ x→ x0 ⎦ n

∀n ∈ N

9. lím n f ( x) = n lím f ( x) = n L x → x0

x → x0

siempre que

lím f ( x) ≥ 0 cuando n es par.

x → x0

Demostraciones 1.

( lím k = k ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x

< ∂ ⇒ k −k 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x x → x0

0

Si ∂ = ε la proposición es verdadera siempre.

20

0

< ∂ ⇒ x − x0 < ε

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

3.

( lím kf ( x) = kL ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x

0

x → x0

Observe

el

consecuente,

la

< ∂ ⇒ kf ( x) − kL < ε

kf ( x) − kL < ε

expresión

es

equivalente

a

k ( f ( x) − L ) < ε . Por hipótesis, en la cercanía de x 0 , f se aproxima a L , por tanto kf se aproximará a kL .

4. Debemos demostrar que si lím f ( x) = L lím g ( x) = M entonces x → x0

x → x0

lím [ f ( x) + g ( x)] = L + M

x → x0

lím f ( x) = L significa que:

Asegurar que

x → x0

∀ε 1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 1 ⇒ f ( x) − L < ε 1 lím g ( x ) = M significa que:

Y asegurar que

x → x0

∀ε 2 > 0, ∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 2 ⇒ g ( x ) − M < ε 2 Lo cual quiere decir si tomamos ε 1 = ε 2 =

ε 2

y ∂ = min{∂1,∂ 2 } tenemos:

ic a1

.c o

m

ε ⎧ f ( x) − L < ⎪⎪ 2 ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ ⎪ g ( x) − M < ε 2 ⎩⎪ Sumando término a término la desigualdad resulta: f ( x) − L + g ( x) − M < Y por la desigualdad triangular

2

+

ε 2

f ( x) − L + g ( x) − M

at

( f ( x ) + g ( x ) ) − (L + M ) < ε

em

Por lo tanto

( f ( x) − L ) + (g ( x) − M ) ≤

ε

Finalmente, se observar que:

∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ( f ( x) + g ( x) ) − (L + M ) < ε

at

lím [ f ( x) + g ( x)] = L + M

x → x0

ww w.

M

lo que nos asegura que

El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector. Observe que el recíproco del teorema anterior es falso. Ejemplo ⎧1 ; x > 0 Suponga que se tiene f ( x ) = ⎨ ⎩0 ; x ≤ 0

y

⎧0 ; x ≥ 0 g ( x) = ⎨ ⎩1 ; x < 0

⎧1 ; x ≠ 0 entonces ( f + g )( x) = ⎨ ⎩0 ; x = 0 Observe que: lím f ( x) no existe y que lím g ( x) tampoco existe, sin embargo lím ( f + g ) ( x) = 1 x →0

(existe). Es decir, “ Si

(f

asegurar que

también tienen límite en ese punto”

f

y

g

+ g)

x →0

x →0

es una función con límite en un punto, entonces no podemos

21

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones. Ejemplo

(

Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2

)

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:

(

)

lim x 2 + 3x − 2 = lim x 2 + lim 3x − lim 2 (inciso 4 y 5)

x→2

x→2

x→2

x→2

2

= ⎛⎜ lim x ⎞⎟ + 3 lim x − 2 (inciso 8, 3 y 1) x→2 ⎝ x→2 ⎠ = 2 2 + 3(2) − 2 =8

at ic a1

.c om

Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.

1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN

at e

m

Sea f una función polinomial o una función racional, entonces lím f ( x) = f ( x0 ) x→ x0

M

siempre que f ( x0 ) esté definida y que el ww w.

denominador no sea cero para el caso de una función racional. De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de sustitución. Ejemplo

(

Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2

)

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:

(

)

lim x 2 + 3x − 2 = 2 2 + 3(2) − 2 = 8

x→2

Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en ciertas situaciones.

22

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO

Sean f , g y h funciones tales que g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) para toda x próxima a " x0 " con la posible excepción de " x0 ". Si y

lím g ( x) = L

x→ x0

lím h( x) = L

x→ x0

entonces

lím f ( x) = L .

x→ x0

DEMOSTRACIÓN. Tenemos tres hipótesis:

H2 :

x → x0

1

1

x → x0

2

2

0

1

0

2

1

2

∃∂ 3 > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ 3 ⇒ g ( x ) ≤ f ( x) ≤ h( x)

at ic a1

H3 :

( lím g ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ g ( x) − L < ε ( lím h( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ h(x) − L < ε .c om

H1 :

Ahora, suponiendo que ε 1 = ε 2 = ε y tomando ∂ = min{∂1, ∂ 2 , ∂ 3} , tenemos:

ww w.

M

at e

m

⎧ g ( x) − L < ε ⎪⎪ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ h( x) − L < ε ⎪ ⎪⎩ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) ⎧ L − ε < g ( x) < L + ε ⎪ que quiere decir que: ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ L − ε < h( x) < L + ε ⎪ g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ⎩

lo cual significa que: L − ε < g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) < L + ε , y de manera simplificada se podría decir que: L − ε < f ( x) < L + ε Por lo tanto ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) − L < ε , que no es otra cosa que

lím f ( x) = L

x → x0

L.Q.Q.D.

Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado Ejemplo 1 Sea 1 − x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + 1 para toda x próxima a 0, excepto en 0. Hallar lím f ( x ) . x→ 0

SOLUCIÓN: Llamemos g ( x) = 1 − x 2 y h( x) = x 2 + 1 . Calculando límites tenemos: lím g ( x) = lím (1 − x 2 ) = 1 x →0

x →0

y

lím h( x) = lím ( x 2 + 1) = 1 . x →0

x →0

23

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Y como g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) en la vecindad de x = 0 , por el teorema del emparedado se concluye que: lím f ( x) = 1 x →0

(

)

(

)

2 2 O más simplemente: lím 1 − x ≤ lím f ( x) ≤ lím x + 1

x →0

x →0

x →0

1 ≤ lím f ( x) ≤ 1 x →0

por lo tanto lím f ( x) = 1 x →0

Ejemplo 2 ⎛1⎞ ⎝x⎠

Use el teorema del emparedado para demostrar que: lím x sen⎜ ⎟ = 0 x →0

SOLUCIÓN:

.c o

ic a1

⎛1⎞ Al multiplicar por x tenemos: x 0 ≤ x sen⎜ ⎟ ≤ x 1 ; ⎝ x⎠

m

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a que lím ⎢sen ⎜ ⎟ ⎥ no existe. x →0 ⎣ ⎝ x ⎠⎦ También hacerlo en término de ∂ − ε , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro mecanismo. ⎛1⎞ ⎛1⎞ La función f ( x) = sen⎜ ⎟ es acotada, es decir que 0 ≤ sen⎜ ⎟ ≤ 1 . x ⎝x⎠ ⎝ ⎠

em at

⎛1⎞ ⎛1⎞ luego tomando límite resulta lím 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ lím x , que equivale a 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ 0 x →0 x→0 x → 0 x → 0 x ⎝ ⎠ ⎝ x⎠

Hallar lím

x →0

ww w.

Ejemplo 3

M at

⎛1⎞ y llegamos a lo que queríamos, es decir: lím x sen⎜ ⎟ = 0 . x →0 ⎝x⎠

Senx x

SOLUCIÓN: Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función f ( x) =

Senx x

R1 tg x

1 sen x

x

R3

cos x

1

24

R2

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Del gráfico tenemos que: AreaR1 =

(tg x )(1) 2

Observe que AR1 ≥ AR2 ≥ AR3 , entonces

, AR2 =

(cos x )(sen x) (1) 2 (x ) , AR3 = 2 2

(tg x )(1) ≥ (1)2 (x ) ≥ cos x sen x 2

2

2

+

PRIMERO: Si x → 0 . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 2(tg x )(1) 2(x ) 2 cos x sen x ≥ ≥ 2 sen x 2 sen x 2 sen x 1 x ≥ ≥ cos x cos x sen x sen x 1 que es lo mismo que cos x ≤ ≤ x cos x sen x 1 tomando límite lím cos x ≤ lím ≤ lím x →0 + x →0 + x x → 0 + cos x sen x sen x entonces lím 1 ≤ lím ≤1 =1 x →0 + x x →0 + x

x →0

sen x =1 x

ww w.

Observe la gráfica

M at

Finalmente lím

em at

ic a1

.c o

m

SEGUNDO: En cambio, si x → 0 − . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 1 x ≤ ≤ cos x (Se invierte el sentido de la desigualdad porque sen x < 0 cos x sen x sen x 1 que es lo mismo que: cos x ≤ ≤ x cos x sen x 1 tomando límite: lím cos x ≤ lím ≤ lím x →0 − x →0 − x x →0 − cos x sen x sen x entonces 1 ≤ lím ≤1 lím =1 x →0 − x x →0 − x

y=

sen x x

Note que en su gráfica se observa la conclusión anterior.

25

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios Propuestos 1.3 1.

Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de límite.

2.

Use el teorema del emparedado para demostrar que:

lím x 4 Sen 2

a.

x→ 0

⎡ lím ⎢(x − 1)2 sen

b.

1 ⎤ ⎥=0 x −1 ⎦

x →1+ ⎣

Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa dé un contraejemplo.

lím ( f ( x ) ) = L ⇒

a.

lím ( f ( x ) − L ) = 0

x → x0

x → x0

b.

Si lím ( f ( x ) − g ( x) ) existe, entonces también existen lím f ( x ) y lím g ( x)

c.

Si g (x ) + 5 ≤ 3(4 − x ) , entonces lím g (x ) = −5

d.

Si f ( x0 ) no está definida, entonces el lím f ( x ) no existe

e.

Si f ( x0 ) existe, entonces lím f ( x ) existe

f.

Suponga que g es una función tal que lím g ( x) = 0 . Si f es una función cualquiera,

x → x0

x → x0

x →4

x → x0

x → x0

x→0

ic a1

entonces lím ( fg )( x) = 0 x →0

Si f ( x) ≠ g ( x) para toda x , entonces el lím f ( x ) ≠ lím g ( x ) x → x0

x → x0

em

at

g.

x → x0

2

.c om

3.

1 =0 x

at

1.4 CALCULO DE LÍMITES

ww

w.

M

En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar. Ejemplo 1

Calcular lím+ ( x − a x b) x →1

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución:

lím ( x − a x b) = 1 − ced1+ fhg = 1 − 1 = 0 (El entero mayor de números ligeramente mayores que 1 es igual a 1)

x →1+

Ejemplo 2 Calcular lím− ( x − a x b) x →1

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución

lím ( x − a x b) = 1 − ced1− fhg = 1 − 0 = 1

x →1−

26

(El entero mayor de números ligeramente menores que 1 es igual a 0)

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 3 Calcular lím− (a 2 x − 1b + Sgn ( x − 1) ) x →1

SOLUCIÓN:

Aplicando el teorema principal de límites y el teorema de sustitución:

lím (a 2 x − 1b + Sng ( x − 1) ) = lím− (a 2 x − 1b) + lím− ( Sng ( x − 1) )

x →1−

x →1

x →1

= ced 2(1− ) − 1fhg + sng (1− − 1) = ced1− fhg + sng ( 0− ) = 0 −1 = −1

Ejercicios Propuestos 1.4 Calcular:

4.

x →3+

3− x

9.

6.

c x 2 f − a x b2 ed hg lím x →1+ x2 − 1

10.

2

lím + ced cos ( x + π2 )fhg

x →−

π

2

lím ⎡⎣ μ ( x + 5 ) + μ ( x − 1) − μ ( x − 3) ⎤⎦

x → 5+

ww w.

M

at em at

5.

x −1 lím x → 0+ a x b + 1

π

om

x→

a xb − 3 lím 3− x

μ ( x)

lím asen x b

8.

x →0

x →3

a tan x b + Sgn ( x 2 )

x →0

x − 4 −1

lím+ ( x − 2Sgnx ) +

lím+

.c

3.

lím

7.

a1

2.

lím 2 x − 6 − 4

x →4+

ic

1.

En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma: 0 0 ∞ ∞ ∞−∞ 0•∞ 1∞ 00 ∞0

27

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos suponga que sea igual a una constante

0 =c 0

c , es decir

entonces

0 , 0

0 = 0c

c . Analice el resto de indeterminaciones.

sería verdadera para todo

Ejemplo 1 Calcular lím x →1

x2 + 5x − 6 x −1

SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución tenemos

lím x →1

2 x 2 + 5 x − 6 1 + 5 (1) − 6 0 = = 1−1 0 x −1

indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando:

( x + 6 )( x − 1) x2 + 5x − 6 = lím = lím ( x + 6 ) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: lím ( x + 6 ) = 1 + 6 = 7

Ejemplo 2

at e

x 2 − 7 x + 10 x →2 x−2 SOLUCIÓN:

m

at ic a1

x →1

.c om

lím

ww w.

M

Calcular lím

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

2 2 − 7(2) + 10 0 = (Indeterminación) 2−2 0

Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:

lím x →2

( x − 2 )( x − 5 ) x 2 − 7 x + 10 = lím = lím( x − 5) x→2 x→2 x−2 ( x − 2)

Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:

lím( x − 5) = 2 − 5 = 3 x →2

Ejemplo 3 Calcular lím

x + 5 x − 14

x →4

x −2

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

4 + 5 4 − 14 4 −2

=

0 (Indeterminación) 0

Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:

28

una

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

lím

x + 5 x − 14 x −2

x →4

= lím

(

x +7

)(

x −2

x −2

x →4

) = lím x→2

(

x +7

)

Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:

lím x →4

(

)

x +7 = 4 +7 =9

SEGUNDO METODO: Podemos hacer un Cambio de Variable: x = u 2 . Este caso u = x , y cuando x → 4 , u → 2 Por tanto el límite en la nueva variable sería:

u 2 + 5u − 14 u →2 u−2

lím

Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución:

( u + 7 )( u − 2 ) u 2 + 5u − 14 = lím = lím ( u + 7 ) = 9 2 u →2 u → u →2 u−2 u−2

lím

Ejemplo 4

.c o

x →1

m

x −1 x −1

Calcular lím

ic a1

SOLUCIÓN:

1 −1 0 = (Indeterminación) 1 −1 0

em at

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Racionalizando el numerador y simplificando:

⎡ x −1 x + 1⎤ x −1 • = lím lím ⎢ ⎥ = lím x →1 x → 1 x + 1⎦ ( x − 1) x + 1 x →1 ⎣ x −1

Calcular lím

M at

)

(

)

x +1

=

1 2

ww w.

Ejemplo 5

(

1

x →1 3

x −1 x −1

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 −1 1 −1

3

=

0 (Indeterminación) 0

Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos:

PRIMER METODO:

Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:

⎡ x −1 x +1 lím ⎢ 3 • • x →1 ⎢ x −1 x +1 ⎢⎣

( x − 1) lím x →1

((

3

x

( x − 1) (

)

2

( x) ( x) 3

3

) = (( 1) +

+ 3 x +1

)

x +1

+ 3 x + 1⎤ ⎥ 2 ⎥ 3 + x + 1⎥ ⎦ 2

2

3

(

3

)=3

1 +1

)

1 +1

2

29

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

SEGUNDO METODO: Cambio de Variable: x = u 6 . Entonces Si x → 1 ⇒ u → 1

u6 −1

Reemplazando tenemos: lím

u →1 3

u6 −1

u3 −1 u →1 u 2 − 1

= lím

( u − 1) ( u 2 + u + 1) ( u 2 + u + 1) = (12 + 1 + 1) = 3 = lím u →1 u →1 2 ( u − 1)( u + 1) ( u + 1) (1 + 1)

Y factorizando: lím

Ejemplo 6

a3 x − 2 b

Calcular lím−

2− x

x2 − 4

x→2

SOLUCIÓN:

(

) ⎛⎝

Aplicando el teorema principal de límite consideramos lím− a3 x − 2b ⎜ lím−

(

x→2

)

x→2

2− x ⎞ ⎟ x2 − 4 ⎠

Entonces, para el primer límite tenemos: lím− a3 x − 2b = 3 ¿Por qué? x→2

2−x

= lím−

x − 4 x →2 x − 4 −1 1 lím =− x →2 − ( x + 2 ) 4 Por lo tanto lím−

a3 x − 2 b

2

2− x

x −4 2

x →2

− (x − 2 ) 2− x = lím− = (x − 2)(x + 2) x→2 (x − 2)(x + 2)

3 ⎛ 1⎞ = (3) ⎜ − ⎟ = − 4 ⎝ 4⎠

em

x→2

= lím−

at

x →2

2

m

2− x

ic a1

lím−

.c o

Y para el segundo límite, resulta:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

30

M

ww w.

Calcular:

at

Ejercicios Propuestos 1.5 x2 − 9 x →3 x − 3 2− x lím x→2 x2 − 4 lím

x3 − 8 x→2 x − 2 x 2 − 9 x + 20 lim 2 x → 4 x − 3x − 4 3x 2 − x − 10 lim 2 x → 2 x + 5 x − 14 x3 + x 2 − 5 x + 3 lim 3 x →1 x + 2 x 2 − 7 x + 4 2 x 3 + x 2 − x + 10 lim x →−2 x 3 + 2 x 2 − 2 x − 4 lím

8.

x −2 lím x→4 x − 4

9.

lim x→2

x −1 −1 x−2

3

10.

lím

x →8

x −2 x −8 3

11.

lím

12.

lím

13.

14.

15. 16.

x →1

x −1

x +x−2 2

x 2 − (1 + a )x + a x →1 x −1 ⎛ 3 x2 − 2 3 x +1⎞ ⎟ lim ⎜ 2 ⎟ x →1⎜ ( ) − x 1 ⎝ ⎠ ⎛ 3 2 ⎞ ⎟⎟ lím⎜⎜ − x →1⎝ 1 − x 1− 3 x ⎠ lím

x →8

lím

x → 2+

7+3 x −3 x −8

a3 x − 2 b x2 − 4

2− x

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

sen x = 1 que en forma x →0 x

Otros límites se calculan empleando la expresión lím

sen u = 1; donde u = u ( x) u →0 u

generalizada sería: lím

Ejemplo 1 sen ( kx )

Calcular lím x →0

x

SOLUCIÓN:

sen ( k ( 0 ) )

0 (Indeterminación) 0 0 Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y luego aplicamos el Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

teorema principal de límites: lím k x →0

=

sen ( kx ) sen kx = k lím = k (1) = k x →0 kx kx  

lím

sen ( k u )

u →0

u

M

x →0

at e

sen 3x sen 5 x SOLUCIÓN: Calcular lím

k ∈\

m

Ejemplo 2

=k;

at ic a1

Se podría decir que

.c om

1

ww w.

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

sen ( 3 ( 0 ) )

sen ( 5 ( 0 ) )

=

0 (Indeterminación) 0

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el numerador y el denominador entre x , y luego aplicamos el teorema principal de límites y la formula anterior: 3

  sen 3x sen 3 x lím sen 3x x →0 x =3 = lím x = lím x → 0 sen 5 x x → 0 sen 5 x sen 5 x 5 lím x →0 x x

  5

Ejemplo 3 1 − cos x x2 SOLUCIÓN:

Calcular lím x →0

1 P 1 − cos 0 0 = (Indeterminación) Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 02 0

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:

31

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

x

sen   1 − cos 2 x ⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤ • = lím lím ⎢ 2 x →0 1 + cos x ⎥⎦ x → 0 x 2 (1 + cos x ) ⎣ x 2

= lím x →0

⎛ sen 2 x sen 2 x ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⎜ lím 2 ⎟ ⎜ lím ⎟ x (1 + cos x) ⎝ x → 0 x ⎠ ⎝ x → 0 1 + cos x ⎠ 2

2

sen x ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ = ⎜ lím ⎟ ⎜ ⎟= x →0 x ⎠ ⎝2⎠ 2 ⎝

Ejemplo 4 Calcular lím

1 − cos ( kx ) x2

x →0

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 − cos ( k 0 ) 0

2

=

1 − cos ( 0 ) 0

=

1−1 0 = (Indeterminación) 0 0

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: sen ( kx )

 1 − cos 2 ( kx )

.c om

2

at ic

a1

⎡1 − cos ( kx ) 1 + cos ( kx ) ⎤ • lím ⎢ ⎥ = lím x →0 1 + cos ( kx ) ⎥⎦ x → 0 x 2 (1 + cos ( kx ) ) x2 ⎢⎣

= lím

⎛ ⎞ sen 2 ( kx ) ⎞ ⎛ 1 = lím ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ lím ⎟⎟ 2 2 ⎜ x → x → 0 0 1 + cos ( kx ) ⎠ x (1 + cos ( kx )) ⎝ x ⎠⎝

⎛ sen ( kx ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ k 2 = ⎜ lím ⎟ ⎜ ⎟= x →0 x ⎝2⎠ 2 ⎝  

⎠ 2

k

w.

M

at

em

x →0

sen 2 ( kx )

1 − cos ( k u )

ww

Se puede decir que lím u →0

u2

k2 = 2

Ejemplo 5 1 − cos x x SOLUCIÓN:

Calcular lím x →0

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 − cos 0 0 = (Indeterminación) 0 0

Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:

1 − cos 2 x ⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤ lím ⎢ • = lím ⎥ x →0 1 + cos x ⎦ x → 0 x (1 + cos x ) ⎣ x lím x →0

32

sen 2 x sen x sen x lím = lím x(1 + cos x ) x → 0 x x → 0 1 + cos x 0 ⎞ ⎛ ⎞⎛ P sen x ⎟ ⎜ sen 0 ⎟ 0 ⎜ = ⎜ lím ⎟= =0 x →0 x ⎟⎟ ⎜⎜ 1 + cos N0 ⎟ 2   ⎜ 1 ⎝ ⎠⎝ 1 ⎠

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Se puede decir que lím

1 − cos ( k u )

u →0

u

=0

Ejemplo 6 Calcular lím x→a

sen x − sen a x−a

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

sen a − sen a 0 = (Indeterminación) a−a 0

PRIMER MÉTODO:

Cambiando variable u = x − a . Entonces si x → a , u → 0 y además x = u + a Reemplazando y simplificando tenemos:

lím

sen ( u + a ) − sen a = lím u →0 u

u

   sen u cos a + cos u sen a − sen a = lím u →0 u sen u cos a + ( cos u − 1) sen a = lím u →0 u ( cos u − 1) sen a sen u cos a = lím + lím u →0 u →0 u u ⎡ ( cos u − 1) ⎤ sen u ⎤ ⎡ m = cos a ⎢lím ⎥ ⎥ + sen a ⎢lí u →0 u →0 u u ⎣ ⎦ ⎣ 

 ⎦

em at

ic a1

.c o

m

u →0

sen ( u + a )

  ( sen u cos a + cos u sen a ) − sen a

1

0

M at

= cos a (1) + sena (0) = cos a

SEGUNDO MÉTODO:

⎛x+a⎞ ⎛ x−a⎞ ⎟ sen ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛x+a⎞ ⎛ x−a⎞ 2cos ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ sen x − sen a 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ lím = lím x→a x→a x−a x−a Al denominador lo dividimos y multiplicamos por 2, y luego separamos los límites aplicando el teorema principal de límites (el límite del producto es el producto de los límites) ⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ ⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ 2cos ⎜ 2cos ⎜ sen ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎠ = lím lím lím x→a x→a x → a x−a x − a 2 2 2 2

 

ww w.

Empleando la identidad: sen x − sen a = 2cos ⎜

1

= cos a

Ejemplo 7 Calcular lím x →1

1 + sen ( 32π x )

( x − 1)

2

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 + sen ( 32π )

(1 − 1)

2

=

1−1 0 = (Indeterminación) 0 0

33

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Haciendo cambio de variable: u = x − 1 entonces x = u + 1 y si x → 1 entonces u → 0 Reemplazando y simplificando:

lím x →1

1 + sen ( 32π x )

( x − 1)

2

= lím

1 + sen ( 32π ( u + 1) ) u2

u →0

= lím

1 + sen ( 32π u + 32π ) u2

u →0

= lím

1 + sen ( 32π u ) cos ( 32π ) + cos ( 32π u ) sen ( 32π )

u →0

= lím

1 + sen (

3π 2

u2 u ) ( 0 ) + cos ( 32π u ) ( −1)

u →0

= lím

1 − cos ( 32π u )

u2

u2

u →0

El último límite se lo puede calcular directamente con la formula lím

1 − cos ( k u )

u →0

u2

=

k2 2

.c o

m

k ⎛P ⎞ 1 − cos ⎜ 32π u ⎟ ⎜ ⎟ ( 3π )2 9π 2 9π 2 ⎝ ⎠= 2 = 4 = lím u →0 u2 2 2 8

ic a1

El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico. Multiplicando por el conjugado y simplificando:

em at

⎡1 − cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ 1 − cos 2 ( 32π u ) = lím ⎣ lím u →0 u → 0 u 2 ⎡1 + cos 3π u ⎤ u 2 ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ ( 2 )⎦ ⎣ = lím

ww w.

M at

u →0

Multiplicando y dividiendo por

sen 2 ( 32π u )

u 2 ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦

⎡ sen ( 32π u ) ⎤ 1 = lím ⎢ ⎥ lím 0 u →0 u → u ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 2

3π y obteniendo límite: 2

⎡ 3π sen ( 3π u ) ⎤ 1 lím ⎢ 2 3π 2 ⎥ lím 0 u →0 u → ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 u 2

⎡ sen ( 3π u ) ⎤ 2 1 = ( 32π ) lím ⎢ 3π 2 ⎥ lím u →0 u →0 ⎡ u ⎤ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎢1 + cos ( 32π u ) ⎥

⎥ ⎢   ⎣ ⎦ 1 2

⎛ 3π ⎞ ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ 9π 2 = 8 2

34

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 8 x

Calcular lím−

1 − cos x

x →0

SOLUCIÓN: 0−

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 − cos 0

=

0− (Indeterminación) 0

Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando: x 1 + cos x x 1 + cos x lím = lím− 0 x → 0− 1 − cos x x → 1 + cos x 1 − cos 2 x = lím−

x 1 + cos x

x→0

sen 2 x 1 + cos x

= lím− x→0

sen 2 x x 1 + cos x = lím− x→0 sen 2 x

1

=− 2

at

em

at

ic a1

.c o

m

x 1 + cos x = lím− sen x x→0 − x 1 + cos 0 N 1 = sen x − x N

ww w.

M

Ejercicios propuestos 1.6 Calcular:

1. 2. 3.

4. 5.

6.

lím

x → 0+

sen 2 x + tan 3x x

x sen x lím x →0 2 − 2 cos x 1 + sen 3 x lím x → π2 x − π 2 2

7.

3

+

(

)

8.

lím (1 − x ) tan π2 x

9.

tan (π x )

10.

x →1

lím

x →−2

x+2

π⎞ ⎛ sen ⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝ lím π 1 − 2cos x x→ ⎛π ⎞ cot ⎜ − x ⎟ 2 ⎝ ⎠ lím x →0 tan ( 2 x ) arcsen x x arctan 2 x lím x → 0 sen 3 x lím x→0

⎛π ⎞ cos ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ lím x →1 1 − x

35

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Otro tipo de límite interesante, cuyo resultado nos va ha resultar útil en el 1 cálculo de otros límites, es el de f ( x) = (1 + x ) x cuando x tiende a “ 0 ”. Hagamos una tabla de valores: x − 0.10

y = (1 + x ) x 2.86797

− 0.05

2.7895

− 0.01

2.7319

7 0.01

7 2.7048

0.05

2.65329

0.10

2.5937

1

Se observa que: lím (1 + x ) x = e ¡HAY QUE DEMOSTRARLO! x →0 1

e

1

x

ww w.

M

at

em

at ic a1

.c om

y = (1 + x )

Más generalmente tenemos que lím (1 + u ) u →0

1

u

= e donde u = u ( x) .

Ejemplo 1 Calcular lím (1 + sen x )

1

x

x →0

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos

(1 + sen 0) 10

= 1∞ (Indeterminación)

Para calcular el valor de esta indeterminación utilizamos lím (1 + u ) u →0

1

u

=e.

Si consideramos u = sen x , notamos que necesitamos en el exponente el recíproco de esta expresión, por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos por sen x :

(

lím 1 + sen x x →0

36

)

sen x ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ sen x ⎝ x ⎠

⎛ ⎞ 1 = lím ⎜ (1 + sen x ) sen x ⎟ x → 0 ⎜   

⎟ e ⎝ ⎠

1

 sen x x

= e1 = e

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2 Calcular lím ( cos x )

1

x

x →0

SOLUCIÓN: ∞

Note que la expresión dada es una indeterminación de la forma 1 . Para utilizar lím (1 + u )

1

u

u →0

= e primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener: lím (1 + (cos x − 1))

x →0

1

x

luego consideramos u = cos x − 1 y multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresión:

⎡ ⎤ ⎥ lím ⎢(1 + ( cos x − 1) ) x → 0 ⎢  

⎥ e ⎣ ⎦ cos x−1 x

cos x−1 x

0

   lím

= e x →0

cos x −1 x

Por tanto:

lím ( cos x )

1

x

= e0 = 1 .

.c o

m

x →0

x 2 + x +1 x2 − x

em at

⎛ 2 ⎞ Calcular lím ⎜ ⎟ x →1 x + 1 ⎝ ⎠ SOLUCIÓN:

ic a1

Ejemplo 3

M at

⎛ 2 ⎞ Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ⎜ ⎟ ⎝1+1⎠

12 +1+1 12 −1

3

∞ ⎛ 2 ⎞0 = ⎜ ⎟ = (1) (Indeterminación) ⎝2⎠

ww w.

Sumamos y restamos 1 a la base:

⎛ 2 ⎞ lím ⎜ ⎟ x →1 x + 1 ⎝ ⎠

x 2 + x +1 x2 − x

⎛ ⎛ 2 ⎞⎞ = lím ⎜1 + ⎜ − 1⎟ ⎟ x →1 x + 1 ⎠⎠ ⎝ ⎝

x 2 + x +1 x2 − x

⎛ ⎛ 2 − ( x + 1) ⎞ ⎞ = lím ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ x →1 ⎜ ⎝ ⎝ x +1 ⎠⎠ ⎛ ⎛1− x ⎞⎞ = lím ⎜1 + ⎜ ⎟⎟ x →1 ⎝ ⎝ x +1⎠⎠

x 2 + x +1 x2 − x

x 2 + x +1 x2 − x

⎛ 1− x ⎞ ⎟: ⎝ x +1⎠

Multiplicamos y dividimos el exponente por ⎜

2 ⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 2 x − x ⎟⎠

1 ⎡ ⎤ ⎝ x +1 ⎠⎜⎝ ⎛ ⎛ 1 − x ⎞ ⎞ 1− x ⎥ ⎢ lím ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟ x +1 x →1 ⎢ ⎝ x +1⎠ ⎠ ⎥ ⎝ ⎢⎣ ⎦⎥

=e

=e

2 ⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ lím ⎜ ⎟ ⎟⎜ x →1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x 2 − x ⎟ ⎝ ⎠

⎛ − ( x −1) ⎞ ⎛ x 2 + x +1 ⎞ lím ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ x→1 ⎝ x +1 ⎠⎝ x ( x −1) ⎠

=e =e

2 ⎛ −1 ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ lím ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ x→1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x ⎝ ⎠ 2 ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 +1+1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1+1 ⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠

=e

−

3 2

37

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 4 3x ⎞ ⎛ Calcular lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝ SOLUCIÓN:

⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝

⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

3k ⎞ ⎛ = ⎜4− ⎟ k ⎠ ⎝

⎛πk ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

= ( 4 − 3)

⎛π ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝2⎠

= 1∞ (Indeterminación)

Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el término que necesitamos:

3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝

⎛πx⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

3x ⎞ ⎛ = lím ⎜ 1 + 3 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝

⎛π x⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

⎛ 3x ⎞ ⎛ π x ⎞ ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ 2k ⎠

⎡ 1 ⎤⎝ ⎢⎛ ⎛ 3x ⎞ ⎞ 3− 3 x ⎥ = lím ⎢⎜1 + ⎜ 3 − ⎟ ⎟ k ⎥ x →k k ⎠⎠ ⎝   ⎢⎝

⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ e

m

=e

π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 3− 3 x ⎟ tan ⎜ x ⎟ k ⎟⎠⎟ ⎜⎝ 2 k ⎟⎠

lím ⎜⎜

x→k ⎝

x = u + k y si

de donde

ic a1

.c o

Dediquémonos al exponente. Hagamos el cambio de variable u = x − k x → k entonces u → 0 .

ww w.

M at

em at

⎛ 3 (u + k ) ⎞ ⎛ π (u + k ) ⎞ 3x ⎞ ⎛ ⎛πx ⎞ lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎜3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ ⎟ = lím x →k u →0 2 k k k ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2k ⎠ 3u + 3k ⎞ ⎛ ⎛ πu + π k ⎞ = lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ u →0 k ⎠ ⎝ ⎝ 2k ⎠ π⎞ ⎛ 3k − 3u − 3k ⎞ ⎛π = lím ⎜ ⎟ tan ⎜ u + ⎟ u →0 2⎠ k ⎝ ⎠ ⎝ 2k

π⎞ ⎛π sen ⎜ u + ⎟ 2 2⎠ k ⎛ −3u ⎞ ⎝ = lím ⎜ ⎟ u →0 ⎝ k ⎠ cos ⎛ π u + π ⎞ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2k 0 1 P P π π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sen ⎜ u ⎟ cos + cos ⎜ u ⎟ sen 3 2k ⎠ 2 2k ⎠ 2 ⎝ ⎝ = − lím ( u ) π π k u →0 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos ⎜ u ⎟ cos − sen ⎜ u ⎟ sen 2 2 ⎝ 2k ⎠ N ⎝ 2k ⎠ N 0

⎛π ⎞ cos ⎜ u ⎟ 3 ⎝ 2k ⎠ = − lím ( u ) k u →0 ⎛π ⎞ − sen ⎜ u ⎟ ⎝ 2k ⎠ 1

  ⎛ π P0 ⎞ ⎛ ⎞ cos ⎜ u ⎟ ⎜ 2k ⎟ 3 3⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ = lím ( u ) = ⎜ ⎟ k u →0 ⎛ ⎛ π ⎞⎞ k ⎜ π ⎟ sen ⎜ u ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 2k ⎠ π ⎜ ⎝ 2k ⎠ ⎟ u π 2k ⎜ ⎟ u ⎟ ⎜ 2k ⎝  

⎠ 1

3x ⎞ ⎛ ⎛πx ⎞ 6 lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟= x →k k ⎠ ⎝ ⎝ 2k ⎠ π

Finalmente:

38

3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝

⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠

6

= eπ

1

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 5 a kx − 1 x →0 x SOLUCIÓN:

Calcular lím

Sustituyendo tenemos

a k ( 0) − 1 0 = . 0 0

Considerando u = a kx − 1 , entonces x =

1 ln k ln a

(u + 1)

y si x → 0 también u → 0

Haciendo cambio de variable, tenemos:

lím

u →0 1 k ln a

⎛ ⎞ u u u = lím k ln a = k ln a ⎜⎜ lím ⎟ u → 0 ln ( u + 1) ⎟ ln ( u + 1) u → 0 ln ( u + 1) ⎝ ⎠

Multiplicando, numerador y denominador por

1 , resulta: u

ic a1

.c o

m

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎛ ⎞ ( )u 1 1 1 ⎜ ⎟ k ln a ⎜ lím 1 u k a = = k ln a = k ln a = k ln a ln lím 1 ⎜ u →0 ⎡ ⎜ u → 0 ln ( u + 1) ⎟⎟ u ⎤ ⎟ e ln 1 ln ( u + 1) ⎟ u ⎝ ⎠ ⎜ ⎣ ⎦   

⎜ ⎟ e ⎝ ⎠

ak u −1 = k ln a puede ser utilizado para calcular otros límites. u →0 x

em at

El resultado lím

Ejemplo 4

ww w.

M at

32 x − 1 x →0 x SOLUCIÓN:

Calcular lím

Empleando el resultado anterior:

32 x − 1 = 2 ln 3 x →0 x

lím

Ejemplo 5 32 x − 54 x x →0 x SOLUCIÓN:

Calcular lím

Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los límites:

32 x − 54 x 32 x − 1 − 54 x + 1 = lím x →0 x →0 x x 2x 3 − 1 − ( 54 x − 1) = lím x →0 x 2x 3 −1 54 x − 1 = lím − lím x →0 x →0 x x 2x 4x 3 −5 = 2 ln 3 − 4 ln 5 lím x →0 x lím

39

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios Propuestos 1.7 Calcular: 1.

lím (1 + tan x )

2.

lím (1 + cos x )

e3 x − 1 x →0 x

csc x

8. lím

x →0

x→

csc x

π

9.

2

3.

lím ( cos x )

4.

lím ( sen x )

1

x2

x →0

x →π

10.

tan x

2

11.

x2 + x + 2

⎛ 4 ⎞ x2 − 2 x −3 lím ⎜ ⎟ x →3 x + 1 ⎝ ⎠

5.

12.

x2 + 2 x + 6

6.

⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2 lím ⎜ ⎟ x→2 x + 1 ⎝ ⎠

7.

lím ( 4 − 3x ) x →1

⎛π ⎞ tan ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠

e ax − e bx x →0 sen 3 x e 2 x − e3 x lím x →0 tan x lím

2 ax − 2 bx x →0 x x+h a + a x − h − 2a x lím ;a > 0 h →0 h lím

13.

lím ( x + e x )

14.

lím

x →0

x →0

1

x

ln ( cos ( ax ) ) ln ( cos ( bx ) )

Demuestre que lím

n

1+ k x −1

x →0

x

=

k n

m

SOLUCIÓN:

at ic a1

.c om

Para otros tipos de límites habrá que extremarse con el uso de los recursos algebraicos. Ejemplo 1

(

at e

Por producto notable se puede decir que:

)(

)

(

) ( ) (

n −1 n−2 1 n + n 1 + kx 1 + kx − n 1 ⎡ n 1 + kx 1 + ⎢⎣ n −1 n−2 = n 1 + kx − 1 ⎡ n 1 + kx + n 1 + kx + " + 1⎤ ⎢⎣ ⎥   ⎦

ww w.

(

n

M

⎡⎣(1 + kx ) − 1⎤⎦ =

)(

)

(

n

1 + kx

) ( 1) n−3

n

)

n términos

Entonces, multiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calculando el límite: 1+ k x −1 lím = lím x →0 x →0 x n

= lím x →0

= lím x →0

= lím x →0

=

(

n

(

n

) • ⎡⎣⎢( ⎡ ( ⎣⎢

1+ k x −1 x

(

)

(

)

n −1

(

n

+

(

) +(

n

1 + kx

1 + k ( 0)

n veces

lím x→0

40

1+ k x −1 k = x n

+

(

n

1 + kx

n −1

n −1

( +( +

n

n

) 1 + kx ) 1 + kx

)

n −2

+ " + 1⎤ ⎦⎥

)

n −2

+ " + 1⎤ ⎦⎥

kx x ⎡ n 1 + kx ⎣⎢

k = +1+ 1 "+ 

1 n

n

) 1 + kx ) 1 + kx

(1 + k x − 1)

n −1

x ⎡ n 1 + kx ⎣⎢

n

)

n −1

+

(

n

1 + kx

k n

1 + kx

)

n −2

k

n −1

1 + k ( 0)

)

+"+1

n −2

+" +1

+ " + 1⎤ ⎦⎥ n −2 + " + 1⎤ ⎦⎥ n −2

2

+"+

( 1) n

n −1

⎤ ⎥⎦

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

⎡ n 1 + k u − 1⎤ k El resultado anterior puesto de forma general lím ⎢ ⎥ = puede u →0 u ⎢⎣ ⎥⎦ n ser utilizado para calcular rápidamente otros límites. Ejemplo 2 Calcular lím

3

27 − x − 3

x →0

x

SOLUCIÓN:

Aunque este límite se lo puede calcular empleando el factor racionalizante para diferencia de cubos (no deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior.

27 ( 27 − x ) −3 27 x x 3 27 3 1 − −3 27 = lím x →0 x

27 − x − 3 lím = lím x →0 x →0 x 3

3

.c om

⎛ 1 ⎞ 3 3 1+ ⎜− ⎟ x − 3 ⎝ 27 ⎠ = lím x →0 x ⎛ 1 ⎞ 1 + ⎜ − ⎟ x −1 27 ⎠ ⎝

at ic a1 Pn 3

= 3lím x →0

k

x

ww w.

M

at e

m

1 − 27 − x − 3 1 27 lím =3 =− x →0 3 27 x 3

Ejemplo 3 Calcular lím

5

x →30

x+2 −2 x − 30

SOLUCIÓN: Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero, para poder utilizar la formula. Hagamos u = x − 30 de donde x = u + 30 y u → 0 . Reemplazando, simplificando y calculando el límite:

41

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

5

lím

x → 30

5 x+2 −2 u + 30 + 2 − 2 = lím 0 u → x − 30 u + 30 − 30 5 u + 32 − 2 = lím u →0 u

32 ( u + 32 ) −2 32 = lím u →0 u u 32 3 32 5 + −2 32 32 = lím u →0 u 5

2 5 1+ = lím u →0

5

⎛ ⎞ 1 2 ⎜⎜ 5 1 + u − 1⎟⎟ 32 ⎠ = lím ⎝ u →0 u 1 5 1+ u −1 32 = 2 lím u →0 u ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 x+2 −2 = 2 ⎜ 32 ⎟ = x − 30 ⎜⎜ 5 ⎟⎟ 80 ⎝ ⎠

m

lím

1 u −2 32 u

ic a1

.c o

x → 30

em at

Ejemplo 4

SOLUCIÓN:

M at

⎛ 4 1 + 2 x − 1 − 3x ⎞ Calcular lim ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x →0 1− x −1 ⎝ ⎠

ww w.

Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos para x y luego separaramos los límites: 4

lim x →0

4 1 + 2 x − 1 − 3x 1 + 2 x − 1 − 1 − 3x + 1 = lim 3 3 x →0 1− x −1 1− x −1 4

= lim x →0

3

42

(

)

1 − 3x − 1

1− x −1

1 + 2x −1 1 − 3x − 1 − x x = lim 3 x →0 1− x −1 x 4 1 + 2x −1 1 − 3x − 1 − lim lim x →0 x→0 x x = 3 1− x −1 lim x →0 x 2 ⎛ 3⎞ − − 4 1 + 2 x − 1 − 3 x ⎞ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = = −6 ⎟ 3 ⎟ 1 1− x −1 ⎠ − 3 4

⎛ lim ⎜⎜ x →0 ⎝

1 + 2x −1 −

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 5 ⎛ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3x ⎞ Calcular lim ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x →1 2 − x −1 ⎝ ⎠

SOLUCIÓN: Aquí u = x − 1 de donde x = u + 1 y u → 0 . Reemplazando, simplificando y calcular el límite: 4

lim x→1

4 14 + 2 ( u + 1) − 2 4 − 3 ( u + 1) 14 + 2 x − 2 4 − 3 x = lim 3 u → 0 3 2 − ( u + 1) − 1 2 − x −1

= lim

4

14 + 2u + 2 − 2 4 − 3u − 3 3 2 − u −1 −1

4

16 + 2u − 2 1 − 3u 3 1− u −1

u →0

= lim u →0

16 (16 + 2u ) − 2 1 − 3u 16 = lim 3 u →0 1 − u −1 4

u − 2 1 − 3u 8 3 1− u −1

2 4 1+ = lim u →0

ic a1

.c o

m

⎛ ⎞ u 2 ⎜⎜ 4 1 + − 1 − 3u ⎟⎟ 8 ⎠ = lim ⎝ 3 u →0 1− u −1 4

= 2lim

em at

u →0

u − 1 − 3u 8 3 1− u −1

1+

4

1+

= 2lim

M at

u →0

u − 1 − 1 − 3u + 1 8 3 1− u −1

u −1 ⎛ 1 − 3u − 1 ⎞ 8 − ⎜⎜ ⎟⎟ u u ⎝ ⎠ = 2lim 3 u →0 1− u −1 u u 4 1+ −1 ⎛ 1 − 3u − 1 ⎞ 8 − lim ⎜⎜ lim ⎟⎟ u →0 u → 0 u u ⎝ ⎠ =2 3 1− u −1 lim u →0 u 1 1 3 8 − ⎛ −3 ⎞ + ⎜ ⎟ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3 x 4 ⎝ 2 ⎠ 32 2 = −6 ⎛ 49 ⎞ = − 147 = = lim 2 2 ⎜ ⎟ 3 x→1 −1 1 16 2 − x −1 ⎝ 32 ⎠ − 3 3 1+

ww w.

4

Ejercicios Propuestos 1.8 Calcular: 3

1. 2.

lím

x →6

x+2 − x−2 x+3 −3

⎛ 3 x + 26 − 4 80 + x ⎞ ⎟ lím⎜⎜ ⎟ x →1 x+8 −3 ⎝ ⎠

3.

⎛ x + 2 − 3 x + 20 ⎞ ⎟ lím⎜⎜ ⎟ 4 x →7 x+9 −2 ⎠ ⎝

4.

lím+

x →2

3x − 2 − 3 3x + 2 4 − x2

43

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.5 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al infinito. Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x ) = L x →∞

ww

w.

M

at

em

at

ic a1

.c om

Ejemplo 1

Formalmente sería:

Decir que lím f ( x) = L significa que x→∞

f

puede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda estarlo ( ∀ε > 0 ), para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x, ∃N (una cantidad muy grande), que lo garantice. Es decir:

( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 x →∞

44

tal que

x > N ⇒ f ( x) − L < ε

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2

Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x) = L . x →−∞

ww

w.

M

at em at

ic a

1.c

om

Ejemplo 1

Formalmente sería:

Decir que lím f ( x) = L significa que f x→−∞

puede estar tan cerca de L , tanto como se pretenda estarlo, ∀ε > 0 , para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x , ∃N (una cantidad muy grande), que lo garantice. Es decir:

( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 x →−∞

tal que

x < − N ⇒ f ( x) − L < ε

45

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2

.c om

Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal y = L .

at ic a1

Aquí también podemos hacer demostraciones formales Ejemplo

1 =0 x →∞ x

at e

SOLUCIÓN:

m

Demostrar formalmente que lím Empleando la definición tenemos:

ww w.

M

1 ⎛ ⎞ ⎜ lím = 0 ⎟ ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 tal que x → ∞ x ⎝ ⎠ Transformando el antecedente:

x>N⇒

1 −0 N 1 1 < x N

Se observa que tomando N =

1

ε

Por ejemplo si se quisiera que y =

aseguraríamos el acercamiento. 1 1 esté a menos de ε = 0.01 de 0, bastaría con tomar a x > 0.01 x

es decir x > 100 .

Para calcular límites al infinito, usualmente un recurso útil es dividir para x de mayor exponente si se trata de funciones racionales.

46

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 2 x 2 + 3x − 1 x →∞ 5 x 2 + x − 1

Calcular lím

SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación:

∞ ∞

Dividiendo numerador y denominador para x 2 , tenemos:

2 x 2 3x 1 3 1 + 2− 2 2+ − 2 2 x x x x x = 2 (No olvide que = lím lím 2 x →∞ 5 x x →∞ 1 1 x 1 5+ − 2 5 + 2− 2 2 x x x x x Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =

2 x 2 + 3x − 1 5x2 + x − 1

k ≈ 0 ;k ∈\ ∞

)

tiene una asíntota horizontal

y=

2 5

Ejemplo 2 x −1

Calcular lím

x →+∞

x + x +1

SOLUCIÓN:

∞ ∞

em at

Aquí se presenta la indeterminación:

ic a1

.c o

m

2

Dividiendo numerador y denominador para x : lím

M at

x →+∞

x −1 x x2 + x + 1 x

ww w.

Al introducir la x dentro del radical quedará como x 2 :

lím

x →+∞

x 1 1 − 1− x x x = lím =1 2 x →+∞ 1 1 x x 1 1+ + 2 + + x x x2 x2 x2

Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =

x −1 x2 + x + 1

tiene una asíntota horizontal

y =1

en el

infinito positivo.

Ejemplo 3 Calcular lím

x →−∞

x −1 x + x +1 2

SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación:

−∞ ∞

Aquí hay que dividir numerador y denominador para − x : lím

x →∞

x −1 −x x2 + x + 1 −x

47

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Al introducir la − x dentro del radical quedará como x 2 :

x 1 1 − −1 + x = −1 −x −x = lím 2 x →−∞ 1 1 x x 1 1+ + 2 + 2+ 2 2 x x x x x

lím

x →−∞

x −1

Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =

tiene una asíntota horizontal

x2 + x + 1

y = −1

en el

infinito negativo.

Ejemplo 4 Calcular lim

x →+∞

(

x2 + x + 1 − x2 − x − 1

)

SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación: ∞ − ∞ . Vamos primero a racionalizarla y luego dividimos para el x con mayor exponente:

x →+∞

(

= lim

)

x2 + x + 1 + x2 − x − 1

x2 + x + 1 − x2 − x − 1 ⋅

(x

+ x + 1) − ( x 2 − x − 1)

2

x2 + x + 1 + x2 − x − 1

.c om

lim

= lim

2 ( x + 1)

x + x +1 + x − x −1 x + x + 1 + x2 − x − 1 1 1+ ⎛1⎞ x = 2 lim = 2⎜ ⎟ = 1 x → +∞ 1 1 1 1 ⎝2⎠ 1+ + 2 + 1− − 2 x x x x x → +∞

2

x → +∞

2

M

at e

m

at ic a1

2

En otros ejercicios de cálculo de límite al infinito se puede requerir emplear la u →∞

1 u

)

u

= e ¡DEMUÉSTRELA!

ww w.

identidad: lím (1 +

Ejemplo Calcular lím (1 + 2x ) . x

x→∞

Solución: Para utilizar la forma anterior, transformamos el límite:

( )

⎡ lím ⎢ 1 + x →∞ ⎣

Se puede concluir que: lím (1 + u →∞

48

)

k u u

1 x 2

= ek

x 2

2

⎤ 2 ⎥ =e ⎦

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios propuestos 1.9 1. Demostrar formalmente que lím

x → −∞

1 =0 x

2. Calcular:

(2 x + 3) (3x − 2) 3

5.

lím

15.

x+3 x

16.

x →∞

x

lím

x →∞

x+ x+ x

x +1 x →∞ x +1 ( 2 x − 3)( 3x + 5)( 4 x − 6 ) lím x →∞ 3x3 + x − 1 x sen (x!) lím 2 x→∞ x + 1 3x − 3 lím x →∞ x2 + 1

9.

10.

lím

18.

lím

x →−∞

lím

12.

lím

5x x−2

3x3 + 2 x 2 − x + 1 x3 − 8

M

11.

lím

x →−∞

lím

x →−∞

lím

5 x3 − 1 2 + x6

lím x 2 + x − x x →∞

(

lím x x 2 − 1 − x

x → +∞

)

( x + x +1 − x − x ) lím ( x − x − x + 2 )

20.

22.

x2 − 1

x →−∞

lím

21.

x2 + 2 3x + 1

2

2

x →∞

2

x →+∞

lím

x →+∞

x

4

(

2

x+3− x+2

⎛ x −1⎞ lím ⎜ ⎟ x +1⎠

)

x

x →∞⎝

x+2

23.

⎛ x −1 ⎞ lím ⎜ ⎟ x →∞ x + 3 ⎝ ⎠

24.

⎡ ⎛ x + 2 ⎞⎤ lím ⎢ x ln ⎜ ⎟⎥ x →∞ ⎝ x − 5 ⎠⎦ ⎣

x2 + 1 x

ww

w.

x →∞

x →−∞

19.

a1

8.

2

at ic

7.

17.

2x2 −1 3x x−5

lím

2

x5 + 5 (2 x + 3)

3

6.

14.

em

4.

lím

x →∞

at

3.

13.

om

2.

5 x3 − 3x 2 + 4 x − 3 x →∞ x3 + 3x + 1 3x lím x →−∞ 2 x 2 − 5 x + 1

lím

.c

1.

x →−∞

49

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.6 LÍMITES INFINITOS Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir

lím f ( x) = ∞ . Diremos, en este caso, que f crece sin límite o que f no x→ x 0

tiene límite en x0 .

Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces lím f ( x) = ∞ significa que cuando x→ x0

a x está próxima a " x0 “, a una distancia no mayor de ∂ ( 0 < x − x0 < ∂ ), f

será

mayor que M. Es decir:

ic a1

.c om

⎛ ⎞ ⎜ lím f ( x) = ∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) > M ⎝ x → x0 ⎠

ww

w.

M

at

em

at

Ejemplo

Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes negativos; es decir lím f ( x) = −∞ . Diremos, en este caso, que f decrece sin x → x0

límite o que f no tiene límite en x0 . Es decir:

50

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces: ⎛ ⎞ ⎜ lím f ( x) = −∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ⎝ x→ x0 ⎠

M

at e

m

at ic a1

.c om

Ejemplo

ww w.

Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores próximos a un punto x 0 , sólo por su derecha, f toma valores muy grandes; es decir lím+ f ( x) = ∞ . Lo cual significa: x → x0

Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces: lím f ( x) = ∞

x → x0 +

≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x ) > M

51

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo

om

Observe que este comportamiento significa que la gráfica tiene una asíntota vertical x = x0 .

x →1

a1

1

( x − 1)

at ic

Calcular lim

.c

Ejemplo 1 2

SOLUCIÓN:

1

M

La gráfica de f ( x ) =

at

em

Empleando el teorema de sustitución: 1 1 1 = = = +∞ (No existe) lim 2 2 x →1 ( x − 1) (1 − 1) 0 tiene una asíntota vertical x = 1 y tanto por izquierda como por derecha la grafica

w.

2

ww

crece sin límite.

( x − 1)

Ejemplo 2 Calcular lim+ x→2

x+3 x−2

SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución:

lim+

x→2

x + 3 2 + + 3 5+ = = = +∞ (No existe) x − 2 2+ − 2 0+

x+3 La gráfica de f ( x ) = tiene una asíntota vertical x = 2 y por su derecha la grafica crece sin límite. x−2 PREGUNTA: ¿Qué ocurre a la izquierda?.

Se pueden describir otros comportamientos.

52

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.7 OTROS LÍMITES. Para decir lím f ( x ) = ∞ , f x →∞

toma valores muy grandes positivos cada vez

que la x toma valores también grandes positivos; debemos asegurar que: ∀M > 0, ∃N > 0 tal que

x > N ⇒ f ( x) > M

em

at

ic a1

.c om

Ejemplo

Defina formalmente y describa gráficamente: a) lím f ( x) = −∞

M

1.

at

Ejercicios Propuestos 1.10

w.

x → x0 +

lím f ( x) = ∞

ww

b)

x → x0 −

lím f ( x) = −∞

c)

x → x0 −

lím f ( x) = −∞

d)

x →∞

lím f ( x) = ∞

e)

x → −∞

lím f ( x) = −∞

f) 2.

x → −∞

Demuestre formalmente que:

1 = +∞ x 1 lím = −∞ x →0 − x

a)

lím

x →0 +

b) 3.

Calcular:

⎡

1 ⎤

1. lim+ ⎢1 + x →1 ⎣ x − 1 ⎥⎦

⎡ x ⎤

2. lim− ⎢ x →1 ⎣ x − 1 ⎥ ⎦ 3. lim− x →3

x+3 x2 − 9

x6 x →−∞ x + 1 6 − 4 x 2 + x3 7. lim x →∞ 4 + 5 x − 7 x 2

6. lim

5

8. lim 2 x x →∞

53

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

4. lim− x →−7

x→4

1 − 2x

10. lim

1 + x5 x

x →−∞

x →∞

Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • Dom f = −∞,−2 ∪ −1,1 ∪ 2,+∞

) [

(

] (

)

f ( x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1

•

∀N > 0, ∃∂ > 0 [0 < −2 − x < ∂ ⇒ f ( x ) > N ]

• •

∀N > 0, ∃∂ > 0 [0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) > N ]

•

∀ε > 0, ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε

•

[ ∀ε > 0, ∃M > 0 [x < − M ⇒

•

f ( 0) = 1

]

f ( x) − 1 < ε

]

Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: • ∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 1 < ε

•

f (0) = 0

•

ic a1

•

m

•

[ ] ∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x[0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε ] ∀ε > 0 ∃N > 0, ∀x[ x > N ⇒ f ( x) < ε ] ∀M > 0 ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x ) > M ] .c o

5.

9. lim

x 2 − 49 x 2 − 16 4− x

5. lim+

4.

x2 + 1

Misceláneos

1.

Si

2.

Si

em at

Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente.

f ( x) − 5 = 3 , entonces lím f ( x) = 0 x→2 x−2 f y g son funciones tales que lím f ( x) = 1

lím x→2+

M at

1.

lím f ( x)

3.

Sea

y

x →0+

lím g ( x) = ∞ , entonces x →0+

=1

ww w.

x →0 +

g ( x)

+

f una función de variable real tal que lím f ( x) existe y lím x→a +

x→a +

x−a = 1 . Entonces f ( x)

lím f ( x) = 0 . x→a +

4.

lím

x→a +

5.

f y g funciones tales que lím f ( x) = ∞

Sean

x→a +

lím g ( x) = ∞ . Entonces el

y

x→a +

f ( x) no existe. g ( x)

Sean

f y g funciones tales que lím g ( x) = e y f ( x) = ln (g ( x) ) . Entonces x→a +

lím ( f D g )( x) = 1

x→a +

6.

Si lím

x →0 +

7.

Si

8.

Si

f ( x) = 1 entonces lím f ( x) = 0 x x →0 +

[ f ( x) + g ( x)] existe, entonces existen lím lím f ( x) y lím g (x ) x→a x→ a x→ a f ( x) ≠ g (x ) para toda x , entonces lím f ( x) ≠ lím g (x ) x→a x→a

⎡ f ( x) ⎤ lím f ( x) = 0 entonces lím g ( x) = 0 ⎥ existe y lím x→a ⎢ x→a x→a ⎣ g ( x) ⎦ 10. Si f y g son funciones definidas en IR entonces:

9.

Si

(

(

∀a ∈ IR lím f ( g ( x)) = f lím g ( x) x→a x→a

54

))

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

11. Si

lím

x2 − x − a − a2

existe entonces

x−a

x→a +

a = 0.

12. Si

[ f ( x) g ( x)] existe y lím lím f ( x) existe entonces lím g ( x) existe. x→ a x→ a x→ a

13. Si

lím f ( x) = +∞ entonces xlím f ( x) = −∞ x→a →− a

14.

(lím (3x − 1) = 2) ⇔ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x − 1 < ∂ ⇒ (3x − 1) − 2 < ε ⎤⎦ x →1

15. Si lím f ( x) = 0 y lím g ( x) = ∞ entonces lím f ( x) g ( x ) = 0 . x →0 +

x →0 +

16. Existen dos funciones de variable real

lím

x →0 +

x →0 +

lím f ( x ) = lím g ( x ) = 0 y

f y g tales que

x →0 +

x →0+

f ( x) =e g ( x) ⎛ f ( x) ⎞ g ( x) = 0 ⎟ = 2 entonces lím x →∞ ⎝ g ( x) ⎠

17. Si lím f ( x) = 0 y lím ⎜ x →∞ x →∞

18. No existen dos funciones f y g tales que lím f ( x) = 0 , lím g ( x ) = 0 y lím x →0

x→0

f ( x) + g ( x) − 1

19. Si lím f ( x) = 3 , lím g ( x) = −2 , entonces lím

x→a 3

x →a

f ( x) + g ( x) − 1

f ( x) =5 g ( x)

=1

Empleando la definición de límite, demuestre que:

x⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ = 2 x→4 2⎠ ⎝ 2 x −4 lím = −4 x → −2 x+2

4.

+

em at

lím x − 1 = 2 x →5 +

5.

lím x − 3 = 0

+

x →3+

Determine 1.

lím cde x 2 + 2 x fgh

ww w.

3.

x →1

M at

3.

2x2 − x − 1 =3 x −1

lím+

1. 2.

ic a1

2.

.c o

m

x→a

x →0

x → 3+

e − cos 2 x sen 4 x cos x − cos 3x lím x →0 x2 3x

2.

3.

4.

lím x →0+

6.

⎛

⎣

⎝

21. lím+

⎡ 2x + 3 ⎤ lím ⎥ x → +∞ ⎢ ⎣ 2x − 5 ⎦

3x

lím

x →1+

xe − e x −1

x −1

x →1

x −1

πx

7.

8.

⎡ π − 2arctan x ⎤ ⎥ lím ⎢ 3 x →∞ ⎢ ⎥ x e −1 ⎣ ⎦

9.

lím+ ( sen 2 x ) π

4

23.

⎛ arcsen x − arcsen 12 lím1 ⎜⎜ x − 12 x→ 2⎝

x →1

2x − x 2 −1

⎞ ⎟⎟ ⎠

sen x x

25. lím+ ⎡⎣Sgn( x) (a x + 1b + μ ( x − 1) ) ⎤⎦ x →0

3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x → 2+ ⎝ 2 ⎠

x→

lím

x →0

2

tan

22.

24. lím+

⎛ cos x ⎞ ⎟ lím ⎜ π + π ⎜ x− 2 ⎟ ⎝ ⎠ x→

⎤ 1⎞ ⎟ − sen x ⎥ x⎠ ⎦

arctan ( x 2 ) − arctan1

+

x2

5.

⎡

20. lím ⎢sen⎜ x + x →∞

4

tan 2 2 x

26.

lím x →0+

sen (sen x ) x

(a xb + a− xb) 28. lím (π − x ) tan ( ) π 27. lím x→0

x→

x 2

x2 + 2 x + 5

⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2 29. lím ⎜ ⎟ x→2 x + 1 ⎝ ⎠

55

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

lím →

10.

x

0

e 2 x − cos 3x sen 5 x

3 30. lím ⎡ x 2

x →+∞

⎡ ⎛ x lím ⎢arctan ⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ 1+ x

x →−∞

(

13.

ln 1 + e x x → +∞ x

14.

lím

lím

x→ 6

⎞⎤ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦

33. lím (1 + 2 x ) 2ln x 1

x →+∞

x 2 − x −1 −1

15. lím+ (1 + cot x )

x → 64

1

⎛ 1 + 5x ⎞ 2 x ⎟ ⎝ 1 − 3x ⎠ 36. lím (1 − cos x ) cot x

sec x

35. lím ⎜ x →0

π

2

16. lím f ( x)

x →0

x →0

⎛ xe −5 x − cos 2 x − x + 1 ⎞ ⎟ x →0 x2 ⎝ ⎠

donde

37. lím ⎜

⎧1 − cos3 x ;x < 0 ⎪ x2 ⎪ 5 ;x = 0 f ( x) = ⎨ ⎪ sen10 x − tan x ⎪ ;x > 0 sen 2 x ⎩

⎛ e3 x − cos 2 x ⎞ ⎟ x →0 ⎝ sen 5 x − x ⎠

38. lím ⎜

⎛

x ⎞ ⎟ ⎝ 1− x − 1+ x ⎠

39. lím ⎜ x →0

m

e 2 x − e7 x x → 0 sen 2 x + tan 9 x ⎡ 1 1 ⎤ − 18. lím ⎢ ⎥ + x →1 ⎢ ⎣ x − 1 x − 1 ⎥⎦ ⎛ x sen 3 x ⎞ 19. lím ⎜ ⎟ + x → 0 ⎝ 1 − cos 2 x ⎠

.c o

17. lím+

x →∞

(

3

x +1 − 3 x

⎛ x+a⎞ ⎟ ⎝ x−a⎠

41. lím ⎜ x →∞

em at

ic a1

40. lím

lím f ( x) si

f ( x) < 1 para x ≠ 0 x

Calcular

5.

Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • ∀ε > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε

M at

4.

6.

ww w.

x →0+

•

∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x + 3 < ∂ ⇒ f ( x) > N

•

∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < −3 − x < ∂ ⇒ f ( x ) < − N

•

∀ε > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε

•

∀ε > 0, ∃M > 0 : x < − M ⇒ f ( x) < ε

Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • Dom f = ( −∞, −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ )

• •

[

∀ε > 0, ∃∂ > 0 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < ε

]

∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ]

•

∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]

•

∀M > 0, ∃∂ > 0 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M

•

∀ε > 0, ∃N > 0 x > N ⇒ f ( x) + 1 < ε

•

56

⎛ x −8⎞ ⎜ 3 x − 4 ⎟⎟ ⎝ ⎠

34. lím ⎜

x 2 −1

x →1+

x→

)

)

x3 + 1 − x3 − 1 ⎤ ⎦⎥

31. límπ ⎜

x →+∞

12.

(

⎛ sen ( x − π6 ) ⎞ ⎜ 3 − cos x ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ 1 − cos x 2 32. lím 2 x → 0 x sen x 2

lím ⎣⎡ln ( 2 x + 1) − ln ( x + 2 ) ⎤⎦

11.

⎣⎢

[

[ ∀ε > 0, ∃N > 0 [x < − N ⇒

f ( x) < ε

]

]

]

x

)