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I

  

SUMA Y DIFERENCIA DE ARCOS

Demostrar las identidades de suma y diferencia de arcos. Dominar el desarrollo de suma de arcos. Aplicar las identidades fundamentales

SUMA Y DIFERENCIA DE ARCOS OBJETIVO Desarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos; para luego aplicarlos en diversos problemas que no son únicamente para reducir expresiones, sino también para el cálculo de valores numéricos de funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, así como también en la solución de problemas geométricos. FÓRMULAS

1.

P

Simplifique:

sen 15º    cos   cos 15º    sen cos  cos 15º    sen  sen 15º   

sen       sen  cos  sen  cos

A)

2 cos       cos cos – sen  sen 

D)

1

3

tg      

tg  tg 1 – tg tg

4

sen   –    sen  cos – sen  cos

5

cos   –    cos cos  sen  sen 

6

tg   –   

tg – tg 1  tg tg

2 3

B)

2 3

C)

2 3

3 3 E) 6 2

RESOLUCIÓN

sen 15º       



P



P



P  2 3

cos     15º   

sen 15º  tg15º cos 15º

RPTA.: B 2.

Siendo:

tg 3x  2y   4  tg 2x  3y   5





Halle: “ tg x  y ”

1 21 1 D)  21 A)

B) -1 E)



C)

1 10

1 10 pág. 75

RESOLUCIÓN Datos:

3 4  cos asenb  5 5 1 cos asenb  5

tg(3x  2y)  4  tg   4

*

“”

Se pide:

sen(a  b)  senacosb  cos asenb 3 1 2 sen(a  b)    5 5 5

tg(2x  3y)  5  tg   5

*



“ ” Piden:

RPTA.: B

tg  x  y   ?  tg      = ? “   ” tg   tg  45 tg        1  tg  tg  1  4 5 1 tg        21

*

 

5.

cos 23º

Resolver:

E

tg 89º tg 1º tg 88º

A) 0,5 D) 1

B) 2 E) 0

E  cos 13º 2 sen 18º sen 5º

A) sen 7º C) 2 sen 22º

B) cos 22º D) cos 23º

E  cos 18º  5º  2 sen 18º sen 5º

 RPTA.: D

E  cos 18º cos 5º  sen 18º sen 5º E  cos 23º

C) -1

RESOLUCIÓN

tg 89º tg 1º tg 88º tg89º tg1º E tg 89º 1º E

tg 89º tg 1º tg 89º tg 1º 1  tg 89º tg 1º E  1  tg 89º tg 1º E  1  tg 89º ctg 89º E

E2

 4.

NIVEL I 1. Calcular: "sen15º"

a)

“1” RPTA.: B

6 2 2

b)

6 2 2

6 2 4

d)

6 2 4

c) e) N.A.

2. Calcular: "sen16º"

Si:

sen  a+b  

4 3  sen acosb  5 5

Halle: sen (a – b)

2 5 1 E) 6

1 5 4 D) 5 A)

B)

C)

3 5

a) 0,22 d) 0,28

b) 0,32 e) 0,36

c) 0,45

3. Reducir: sen( x  y)  sen y cos x E cos y

RESOLUCIÓN Como: pág. 76

senacosb  cos asenb 

4 5

E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: D 3.

A qué es igual:

a) 1 d) tgx

b) senx e) ctgx

c) cosx

2

4. Reducir: sen( x  y)  sen( x  y) E cos x cos y

"sen(a + b)" 6 2 4

a) a) 2 d) 2tgx

b) tgx e) 2tgy

c) tgy

5. Demostrar que: tg   tg  

c) e) N.A.

sen(   ) cos  cos 

"cos( + β)"

sen(   ) cos  cos 

7. Calcular: "cos8º"

a) 0,7Ö

2 b) 0,5Ö 2 c) 0,3Ö 2 d) 0,9Ö 2 e) N.A.

a)

6 2 4

b)

c)

2 6 4

d)

e)

3 1 4

3.

Si:sena = ; cosb = ; 

8. Calcular: E

a) b) 1

3 2

d)

e)

c)

3

1 7

d) 

2 3

9. Reducir: E

a) 1 b) 2 c) -2 d) 2ctgx ctgy e) -2ctgx ctgy 10. Calcular: "tg8º"

1 3 1 e) 7 b)

NIVEL II

1 ;  Є IIC 2 1 cosb = ; β Є IVC 2

1. Si:sena =

calcular:

 Î IIC

4 β Î IIIC 17

1 7 3 e)  13 b) 

1 13

5 11 7 d) 11 a)

1 2 1 d) 6

( 6  2) 4

c)

1 13

4. Con los datos anteriores; calcular: "tg(β -)"

cos( x  y)  cos( x  y) sen x sen y

a)

1 10

6 2 4

calcular: "tg( +β)"

cos( 60ºx)  cos( 60ºx) cos x

a) 2

d)

( 6  2) 4

2. Con los datos anteriores; calcular:

6. Demostrar que: tg   tg  

b)

2 6 4

6 2 4

b) 

5 11

c)

7 11

e) N.A.

5. Reducir:

c)

1 5

E

tg x  tg y  tg x tg y tg( x  y)

a) 1 d) ctgx

b) tgx e) ctgy

c) tgy

6. Reducir: tg x  tg y E  tg x tg y tg( x  y) a) 1 d) ctgx

b) tgx e) ctgy

c) tgy

7. Si: pág. 77

B

x + y = 45º; tgx = 2 calcular: "tgy" a)

1 4

d) 



b)

1 3

e)

1 4

c)

x

1 3

A

2 3

d)

1 8

b)

D

E 1

b) 3 e) 6

c) 4

4. Del gráfico; calcular "tgθ" C 45º D

1 5

c)

1 7

E A

e) 7

b) 20º e) 50º

B

1 11 4 d) 11

9. Hallar "x" si: senx cos10º + sen10º cosx = sen50º a) 10º d) 40º

2

a) 2 d) 5

8. Si: tg(x + y) = 3 tgx = 2 hallar: "tgy" a) 1

C

2 11 5 e) 11

a)

c) 30º

b)

5. Del gráfico, calcular "tgx" si: AB  BC

10. Hallar "x" si:

cosxcos(x+10º)-senxsen(x+10º)=cos40º a) 5º d) 20º

b) 10º e) 25º

c) 15º

NIVEL III 1. Reducir: sen( x  y) E  tg y cos x cos y a) 1 a) tgx d) cscx

b) ctgx e) N.A.

c) secx

2. Si: x + y = 45º calcular: E = tgx + tgy + tgx tgy a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

3. Si: ABCD es un cuadrado; calcular: "tgx"

pág. 78

c) 3

d)

1 3

b) 2 e)

c) 3

1 2

c)

3 11

ARCO DOBLE II

  

Reconocer las relaciones de arco doble. Aplicar las identidades de arco doble. Deduce las identidades de arco doble.

ARCO DOBLE OBJETIVO Desarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones trigonométricas de un ángulo que es el doble del otro. FORMULAS BÁSICAS

1.

• cos40º = __________________

• cos6x = __________________

• senx =

__________________

• cosx =

__________________

• tgx =

__________________

OBSERVACIONES

b.

1 - cos2x = 2sen2x 1 + cos2x = 2cos2x

c. d.

1  cos2x  tg 2 x 1  cos2x (senx + cosx)2 = 1 + sen2x

a.

*

En la medida que apliquemos correctamente las fórmulas, adquiriremos mayores criterios de solución para problemas de este capítulo.

5

1 2 3 B)  C)  5 5 5 5 4 D)  E) 8 5

• sen6x = __________________

__________________

1

A) 

__________________

• tg6x =

sen x  cos x 

Halle: H  sen 2x

• sen40º = __________________

• tg40º =

Si:

RESOLUCIÒN 2

 1  2 sen x  cos x      5 1 1+sen2 x  5 4 sen2x   5



2.

RPTA.: D

1 3 c os 2 ” Halle: “ Si:

tg  

1 5 4 D) 5

A)

2 5 5 E) 12 B)

C)

3 5

pág. 79

1 sen 180º 12º 1  sen12º 1   8 sen12º 8 sen12º 8 M  0,125 

RESOLUCIÒN

M

1 tg   3 1  tg2  c os 2  1  tg2 

RPTA.: C

2

1 1  1 3  c os 2   2 1 1 1  3 4 c os 2   5 3.

Si:

1 8 9  9 1 10 9 9

B)

1 8

sen x cos3 x  sen3x cos x 





H  2 sen  8 30º  2 sen240º  3 H  2   sen60º   2    2   

1 8

H 3

1 8

RPTA.: D 6.

1 2 4



1  cos 4   sen 4 1  cos 4   sen 4 

tg 

D) ctg2

B) E)

tg2 

C) tg2

2

ctg 2 

RESOLUCIÒN

1  cos 4   sen 4 1  cos 4   sen 4  2 c os2 2   2 sen2  cos 2 A  2 sen2 2  2 sen2 cos 2 2 cos 2   cos 2  sen2   2 sen2  sen2  cos 2  A

RPTA.: B

cos 2 sen2  A  ctg2

A

D) -0,625

RESOLUCIÒN

sen2 a 2 sena sen24º sen48º sen96º sen192º M 2 sen12º 2 sen24º 2 sen48 2 sen96º pág. 80

Reducir: A

A)

M  cos12 cos 24 cos 48 cos 96

Como:

3 2

H  2  sen8   H  2 sen8 

Calcule:

B) 0,625



H  2 2 sen 4  cos 4

1 .2 8

1 sen 4x  2 2 E  sen 4x  1 1 5 E   1E  4 4

A) 0,125 C) -0,125 E) -0,0625

E)

1 2

H  2 222 sen  cos  cos 2 cos 4

5 8

sen x cos x cos2 x  sen2x 

4.

 3



RESOLUCIÒN

RESOLUCIÒN

2 sen2 x cos 2x 

C)

RPTA.: D

C)

2 sen x cos x cos 2x 

B) 2

H  2 2 2 sen2  cos 2  cos 4

5 4 2 E) 5

1 4 3 D) 4



A) 1

H  sen2 4x  1

A)

 6 H  16 sen  cos  cos 2  cos 4 

Si:

D)

sen x cos3 x  sen3x cos x 

Halle:

5.

RPTA.: D

cos a 

7.

Reducir

G  tg10  2 tg20  4 ctg 40

A)

tg 50º

B) ctg 10º

C) tg 20º

D) ctg 20º

E) 1

1 8 tg2  2  tg2  15 15 16 8 x 1 32    x 1 15 4 15 17 x 15

RESOLUCIÒN

G  tg10º 2 tg20º 2 2 ctg 40º G G G G G

tg10º 2 tg20º 2 ctg20º  tg20º tg10º 2 tg20º  2 ctg20º  2 tg20º tg10º 2 tg20º tg10º  ctg10º tg10º ctg10º



RPTA.: A

RPTA.: B 8.

Reducir:

H

cos 2  sen 4  1  cos 2  1  cos 4  C) ctg 

A) tg  B) tg2 D) 1

E)

tg2 

RESOLUCIÒN

E E

cos 2 sen 4  1  cos 2 1  cos 4 

cos 2 2 sen2   cos 2  

2 cos 2 cos 2

2

2



sen2 2 sen  cos   2 2 cos  2 cos  cos  E  tg  E

NIVEL I

1. Demostrar que: sen2x = 2senx cosx

2. Demostrar que: cos2x = cos2x - sen2x RPTA.: A

9.

Halle “x” x

3. Demostrar que: 1 - cos2x = 2sen2x



1



17 1 8 B) 4 C) 15 15 15 5 4 D) E) 15 18

A)

4. Demostrar que: 1 + cos2x = 2cos2x

RESOLUCIÒN

x







4 2 tg tg2  1  tg2  1 2  4 tg2  2 1 1  4

5.

Demostrar que : (senx + cosx)2 = 1+ sen2x

1 6. Demostrar que: 2 tg x 1  tg 2 x

 sen 2x

7. Demostrar que: 1  tg 2 x 1  tg 2 x

 cos 2x

pág. 81

5. Si: cosθ = 8. Demostrar que: 1 sen x cos x  sen 2x 2

1 ; 3

calcular: "cos4θ "

1 9 6 d)  7 a) 

9. Demostrar que: cos4x - sen4x = cos2x

2 9 7 e)  9

c) 

b) 

4 9

6. Reducir: E = 4senx cosx cos2x 10. Demostrar que: (1 - tg2x) (1 - tg22x) tg4x = 4tgx

a) sen2x d) cos2x

b) sen4x e) cos4x

c) sen8x

NIVEL II 7. Reducir:

1 sen   ;  IC 3 1. Si: calcular: "sen2θ"

2 9 4 2 d) 9 a)

b) e)

2 3 2 6

E = 4senx cos3x - 4sen3x cosx

c)

2 2 9

a) senx d) 4senx

b) sen2x e) sen4x

c) 2sen2x

8. Reducir: E = tgx cos2x + ctgx sen2x

sen  

1 ;  IC 3

2. Si: calcular: "cos2θ "

b) 2sen2x

1 SEN 2 X c) 2

d)

1 COS 2 X 2

e) cos2x

1 3 7 e) 9

1 9 5 d) 9 a)

a) sen2x

b)

c)

1 7

9. Reducir: E = (senx + cosx)2 - 1

3. Si: tg θ = 2; calcular "tg2θ " a)

4 3

d) 

a) sen2x b) 

3 4

4 3

c)

3 4

1 sen 2x 2

c) e) cos2x

b) 2sen2x 1

d) 2

cos 2x

e) N.A. 10. Reducir: E = (senx + cosx + 1) (senx + cosx - 1)

4. Si: tgθ = 3; θ ÎIC calcular: "sen2θ " a) 0,2 d) 0,8

pág. 82

b) 0,4 e) 1

c) 0,6

a) 1 d) 2sen2x

b) -1 e) N.A.

c) sen2x

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

III

  

Reconoce el plano cartesiano. Identifica la identidad de reducción al primer cuadrante. Resuelve ejercicios de reducción al primer cuadrante.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Sistema formado por dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en su origen. A la recta horizontal se le denomina eje de abscisas(X), mientras que a la recta vertical se le denomina eje de las ordenadas (Y) .El punto de intersección de dichos ejes se denomina origen de coordenadas, y el plano formado por los ejes se llama plano de coordenadas o plano cartesiano.

Y

X

-135º

Y 3

Segundo Cuadrante (II C)

El ángulo -135º se encuentra en el III Cuadrante.

Primer Cuadrante (I C)

2

Y

1

-3

-2

-1

O

1

2

3

X

-1 Tercer Cuadrante (III C)

Cuarto cuadrante (IV C)

-2 -3

X

320º

El ángulo 320º se encuentra en el IV Cuadrante.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EN POSICIÓN NORMAL a) Ángulos que pertenecen a algún cuadrante Un ángulo pertenece al IC, IIC, IIIC o IVC si solo dichos ángulos se encuentran en posición normal y su lado final en el IC, IIC, III C o IVC respectivamente. Ejemplo 1

b) Ángulos Cuadrantales Los ángulos cuadrantales en posición normal cuyo lado final coincide con algún eje del plano cartesiano, son denominados ángulos cuadrantales.

Y

480º X

El ángulo 480º se encuentra en el II Cuadrante. pág. 83

al eje de coordenadas FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS POSITIVOS MENORES QUE 360º

Si un determinado ángulo trigonométrico lo hacemos rotar en sentido antihorario y horario, determinamos las funciones de () y ( ) en el gráfico:

r   r

Aquí se vera como podemos hallar el equivalente de un R.T. que se encuentra en el segundo , tercer o cuarto cuadrante a uno que se encuentre en el primer cuadrante. R.T.  90º      CO R.T.   

y

R.T.  270º      CO R.T.   

x

R.T.  180º     R.T.   

-y

R.T.  360º     R.T.   

Luego de compararlos tenemos:

Tener en cuenta que los signos  del segundo miembro se eligen de acuerdo al cuadrante donde se encuentre el ángulo que se está reduciendo y la función trigonométrica que se le esta aplicando. Considerar “  ” ángulo agudo con el fin de ubicar con facilidad el cuadrante.

sen(  )   sen cos(  )  cos  tan(  )   tan 

Conclusión: * Si el ángulo cuadrantal es 90º ó 270º la razón trigonométrica equivalente es su corrazón.

cot(  )   cot  sec(  )  sec  csc(  )   csc 

* Si el ángulo cuadrantal es 180º ó 360º la razón trigonométrica equivalente es la misma

OBSERVACIÓN: a) Funciones Pares: Entre ellos tenemos al coseno y secante, donde se cumple

Ejemplo: F.T.(  )  F.T.()

*

sen 300º  sen  360º 60º 

F.T. : Función trigonométrica

si g

no

3 sen  360º 60º    sen 60º   2 Cuarto

Ejemplo:

cos  19º   cos19º sec  23º   sec23º

cuadrante

b) Funciones Impares: Entre ellos tenemos al seno, cosecante, tangente y cotangente, donde se cumple El signo será negativo, esto porque en el cuarto cuadrante seno es negativo.

F.T.( )   F.T.( ) F.T. : Función trigonométrica

Ejemplo:

sen  53º    sen53º csc  55º    csc 55 º tan  43º    tan 43º cot 73º   cot 73º

*

sec 300º  sec  270º 30º  si g

no

sec  270º  30º    csc 30º  2 Cuarto cuadrante

Observación: * La grafica de las funciones pares son simétricas respecto al eje “Y”. * La grafica de las funciones impares son simétricas respecto pág. 84

El signo será positivo, esto porque en el cuarto cuadrante secante es positivo.

ÁNGULOS MAYORES QUE 360º Si el ángulo a reducir es mayor a 360º ó 2 rad , lo que se debe hacer es dividir el ángulo que se desea reducir entre 360º ó 2 rad y a continuación se toma la misma función trigonométrica al residuo, así:

R.T.  n  360º     R.T.     ; n  R.T.  n  2     R.T.     ; n 

a) 0 b) 0,5 c) 0,25 d) 1 e) 1,25 Solución: Reemplazando los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales: R R

R

Ejemplo:

2 2 a  1  2ab  1  b   1

 a  b  2  1  4ab 2

a  2ab  b

2

 a 2  2ab  b 2   4ab 2

2

2

2

a  2ab  b a  2ab  b

 R 1

tan  1845º 

*

2.

1845º 360º 1800º 5 vueltas 45º

El equivalente de: Sec 345º  Sec 525º , es:

a) 2 2

Trabajamos con el resto tan  1845º   tan 45º  1

2 3 2Sec 25º 2Sec15º 0

Solución: Restamos el número de vueltas que contiene 525º : " 525º 360º  165º " Luego:

sec  1657º 

*

b) c) d) e)

1657º 360º 1440º 4 vueltas 217º

Sec 345º  Sec165º

Por reducción al primer cuadrante:

  Sec15º     Sec15º   2Sec15º

Trabajamos con el resto sec  1657º   sec 217º  sec  180º 37º  si g

no

5 sec  180º+37º    sec 37º   4 Tercer cuadrante

El signo será negativo, esto porque en el tercer cuadrante secante es negativo.

3.

Si: tan  

 k 2k  1 y cot      2  2 3

el valor de "k" es: a)  2 / 7 b) 7 / 2 c)  7 / 2 d) 3 / 7 e) 7 / 3 Solución: Por reducción al primer cuadrante: tan  

2k  1 k y  tan   3 2 2k  1 k   3 2 4k  2  3k

 k

4. 1.

Reducir la siguiente expresión: 2

R

 3 2  2abCos0  b Sen 2 2  a  b  2 Cos720º  4ab

a Sen



2 7

Encontrar el valor de la siguiente expresión: F

Sen150º  Tg225º  Cos  210º  Sen  120º   Cos  315º   Tg300º

pág. 85

1 6

a) b) 

6 6

c) 

2 6

d)  6 e)

6 NIVEL I

Solución: Recordemos que:

1.

Sen      Sen 

F

Sen150º  Tg225º  Cos 210º  Sen120º  Cos315º  Tg300º

F

  Sen30º    Tg45º    Cos30º     Sen60º   Cos 45º    Tg60º 

F

a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3 2.

Calcular el valor de:



6



6 6

a) –1 b) –2 c) –3 d) 1 e) 4 3.

Simplificar:

Calcula el valor de:

s en 270º  s en  270º  a   cosa cot  270º a   tan a  tan 30º

Z

a) 3 b) c) d) e)

 3 2

a)

 2 1

b) 

6 6

c) 

2 6

Solución: Por reducción al primer cuadrante: 1   c os a   c os a M

  tan a   tan a  1

d)

1 1

1 6

6

4.

3

 M

Calcular el valor de: F

 3

a) 0 b) 1 c) –1 d) 1/2 e) –1/2

pág. 86

s en150º tan 225º c os  210º  s en   120º  c os  315º  tan 300º

e)  6

3

Operando: M 

3 Tg120º

1

 F

M

s en 240º tan120º s ec 300º c os 480º cot 570º csc660º

U  2 Sen 210º 6 Cos  240º  

3 2   3 2 2

5.

L

Cos     Cos 

Entonces:

1 3  1 2 2

Calcular:

c os   288º  cot 72º  tan18º tan   162º  s en108º

5.

Calcular: E  tan100º tan120º tan160º tan250º tan350º

a) 1 b) 1 c) 3 d)  3 e) 

3 3

6.

Reducir: L  cot 425º cot 352º tan352º tan605º

a)  b)

1 2

3 2

a) 0,96 b) 0,291 c) 3,429 d) 1,041 e) 1,412

3 3

b)

3 4

c)

3 12

d)

3 24

e)

2 16

Simplificar:

a) b) c) d) e)

tan x cot x senx 0 1

4.

8. Si: sen  180º    0,8 ; 90º    180º Determinar: Z  c os  270º   a) 0,6 b) –0,6 c) 0,7 d) 0,8 e) –0,8

Simplificar:    3  s en   x  tan    x  s ec   x 2   2  V  3     c os  x   cot  x    csc  x   2 2   

a) b) c) d) e) 5.

Calcular:

c sc x tan x  tan x 1 1

Si:     270º , además: Sen  

A  tan1500º  sec2040º csc  2670º 

a)

3 3

e) 

2 3

 Cos  

x 2x  7

Calcular "x". a) 1 b) 2 c) –1 d) –2 e) –3

3

b)  3 c) 1 d)

a)

2 Cos  270º  x  Cos  90º  x   Sen x  2 Cos  270º  x  Cos  90º  x   Sen  180º  x 

7 Sabiendo que: s en16º  , calcular: 25 M  tan 2954º

9.

2.

3.

3 2 d) 1 e) 1

c) 

7.

33 23 41 c os tan 4 3 6 Calcular: I  19 23 11 cot s ec csc 6 6 3 s en

3 3

NIVEL II 1. El valor de: N

a)  b)

3c os

10  14   tan    3 3  

3 2

3 2

c)

3 1 d)  2 1 e) 2

pág. 87

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

V

  

Identificar las principales transformaciones trigonométricas Utilizar las identidades trigonométricas fundamentales. Dominar el desarrollo de las transformaciones trigonométricas.

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS En ocasiones se nos presentan ejercicios en las que se nos pide reducir o simplificar como por ejemplo:

E = (Sen20° + Sen20°) Sec10°

Observando

quizás

la

necesidad

de

pasar

NIVEL I

Sen( 40  Sen20) a un producto de funciones debe   Suma de Funciones

1.

decir: Suma Funciones

de

Producto Funciones

Transformación (Fórmula)

de

Reducir: E = Sen70° + Sen20°

a) 2

b) 2 Sen25°

c) 2 Cos25°

d)

2.

Reducir: E = (Cos70° + Cos50°) Sec10°

siguientes identidades:

I.

SenA  SenB  2Sen(

II.

SenA – SenB  2Sen(

IV.

CosA  CosB  2Cos(

AB 2 A–B 2

AB

CosA – CosB  –2Sen(

2

) Cos(

) Cos(

) Cos(

A–B 2

AB 2

A–B 2

a) 1 d) 3/2

) )

3.

Reducir:

b) 1/2 e) 1/3

c) 2

E = (Sen70° + Cos70°) Sec25°

)

b) 2

a) 1

AB A–B ) Sen( ) 2 2

d) 4.

1

Simplificar:

a) 1 d)

c)

2 2

e) 2

2

E

pág. 88

2

e) – 2

Esto puede lograrse mediante el uso correcto de las

III.

2

Sen40 – Sen20 Cos80

c) 3

b) 2 3 2

e)

2 2

5.

E

Simplificar:

Cos7 x  Cos3x

a) Tgx d) Tg4x

b) Tg2x e) Tg5x

Simplificar: E

a) Tgx d) Ctg2x 7.

E

9.

3

b) 1/2 e) Cos10°

Reducir: E

2Cos4x Cosx

a) 1 d) Tgx 6.

Sen70  Sen10

b) 2 e) Ctgx

Reducir: E

Cos10 – Cos70

c)

3

3

c) Senx

Sen17 – Sen3 2Sen7Sen10

a) 1 d) Ctg10°

3

c) 1

Sen5x – Sen3x

Sen2x

b) 2 e) Tg3°

c) Tg10°

2

7.

Reducir: E

E  Cos100  Cos20  Cos40 Cos50  Cos30

b) Cos10° e) Ctg10°

b) 1 e) -1

a) 1 d) Sen2x

c) Csc10°

10. Calcular: E = Cos20° + Cos100° + Cos140° a) 0 d) Cos10°

Sen40  Sen20

a) 1 d) 2Sen10°

c) Tg2x

Simplificar:

a) Sen10° d) Sec10°

c) 3

Cos10

Cosx – Cos3x

e)

3

Reducir:

Cos3x  Cosx

b) – 3

a) 3 d) –

4.

b) -Senx c) 2Senx e) Cos2x

Reducir:

b) 2 e) 5

c) Tg3x

5.

Simplificar: E

8.

a) 1 d) 4

Sen3x – Senx

b) Ctgx e) 2

a) Senx d) –2Senx

Sen3xCosx

Sen7 x  Sen3x

E

6.

Sen4x  Sen2x

8.

Cos2x Cosx

b) 2 e) Cosx

Reducir:

c) Sen3x

Cos4x – Cos2x

E

c) Sen10°

Cos3x  Cosx

Sen3xSenx

a) 1 d) –2

b) –1 e) Senx

c) 2

NIVEL II 1.

Simplificar: E

a) Tgx d) Tg4x 2.

E

c) Tg3x

Cos10 – Cos6 – 2Sen8Cos2

a) 1 d) Ctg2°

b) 2 e) Sen2°

10. Simplificar: E

3.

Reducir:

Cosx  Cos3x  Cos5x

b) Tg2x e) Tg5x

Reducir:

a) Tg2x d) Tg5x

9. Senx  Sen3x  Sen5x

Sen2x  Sen4x  Sen6x

E

Cos2x  Cos4x  Cos6x

b) Tg3x e) Tg6x

c) Tg4x

a) Senx d) –2Senx

c) Tg2°

Cosx – Cos3x Sen2x

b) –Senx c) 2Senx e) Cos2x

Reducir: pág. 89

RELACIONES FUNDAMENTALES

V

  

Reconoce la ley de senos. Identifica la ley de cosenos. Resuelve ejercicios de triángulos oblicuángulos.

TEOREMA DE LOS SENOS (LEY DE SENOS) En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. B c

b

En todo triángulo, la diferencia de dos lados es a su suma, como la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a estos lados es a la tangente de la semisuma de estos ángulos.

• a = 2R sen A • b = 2R sen B • c = 2R sen C

a O

A

TEOREMA DE TANGENTES (LEY DE TANGENTES)

R

𝐴−𝐵 𝑎 − 𝑏 𝑡𝑎𝑛 ( 2 ) = 𝑎 + 𝑏 𝑡𝑎𝑛 (𝐴 + 𝐵 ) 2

C

a b c = = = 2R sen A sen B sen C

TEOREMA DE LOS COSENOS (LEY DE COSENOS) En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos , menos , menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman : 1.

En

un

triángulo

b  4 7;

B

ABC,

si:

A

=

60°;

c 6 7.

Halle el lado “a”

a

c

A) 7

A A

b

C

2

2

c = a + b – 2 ab cos C

pág. 90

C) 13

D) 14

RESOLUCIÓN De la ley de cosenos:

a2  b2  c2  2bc cos A

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .......... (1) b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B .......... (2) 2

B) 10 E) 20

.......... (3)



a2  4 7



RPTA.: D

  6 7  2

a2  196 a  14

2





2 4 7 6 7



cos 600

2.

Los lados de un triángulo son proporcionales a los

números 3;5 y 7. Siendo “  ” la medida de su menor ángulo interno; halle

RESOLUCIÓN

" s ec  " .

B 45º

7 14 13 13 6 A) 13 B) 13 C) 7 D) 13 E) 14

6

1

5 sec   ?  cos 

3 menor

senC 

ángulo  



7

En un triángulo ABC, se conoce que: A = 120°, b = 7 cm y c = 8 cm. Halle la longitud del lado a.

3  5  7  2 5  7  cos  2

2

13 14 14 s ec   13 c os  





RPTA.: D 3.

A) 13 m C) 1,3 m E) 0,013 m

B) 130 m D) 0,13 m

RESOLUCIÓN

En un triángulo ABC, la expresión:

W

3 2

C = 60º ó 120º

RPTA.: E 5.

Ley de cosenos: 2

B

b sen B  C  c  b cos A

a 8

es equivalente a: A) tg B

C

A 2 62  sen45 senC

RESOLUCIÓN

B) ctg B C) 1

D) 2

E) 1/2

120º C

7

A

RESOLUCIÓN

a2  72  82  2  7   8  cos 120

* *

a  13 cm  0,13m

 ABC  A  B  C  180  B  C  180  A Ley de proyecciones:

c  a cosB  b cos A  c  b cos A  a cosB W

b sen 180  A 



b sen A a cosB

a cosB 2RsenB senA W  tgB 2RsenA cosB



 RPTA.: A 4.

En un triángulo ABC, se conoce que: B = 45°; b = 2 y

A) sólo 30° C) sólo 60° E) 60° ó 120°

c  6 . Indicar la medida del ángulo C.

B) sólo 45º D) 30° ó 150°

pág. 91

e) 4.

8 Calcular “m” B

5

m 45º

37º C

A

NIVEL I 1.

Calcular “x” B

x

2√2

a) b) c) d) e)

2 3 3√2 4 5

5.

Calcular “m” B

30º

45º

A

C

a) b) c) d) e) 2.

60º A

B

3√2

x

30º

5

m

3 4 5 6 7 Calcular “x”

45º C

A

C

8

a) b) c) d) e)

6 7 8 9 10

6.

Calcular “m” B

a) b) c) d) e)

5 6 7 8 9

37º A

3.

Calcular “m”

30º

5

53º C

A

a) b) c) d) pág. 92

4 5 6 7

8

a) b) c) d) e)

B

m

5

m

5 6 7 8 9

C

7.

Del gráfico. Calcule el coseno del ángulo mayor interno:

10. Si los lados consecutivos de un cuadrilátero son 4, 6, 3 y 5 respectivamente, y el ángulo comprendido entre los lados 3 y 5 mide 120º; calcular el coseno del ángulo comprendido entre los otros lados. a. 1/16 b. 3/16 c. 5/16 d. 1/2 e. 1/4 (EXAMEN CEPRE UNA- 18 de enero 2012)

B

7m

5m

A

C

8m

a) b) c) d) e)

1/5 1/7 2/7 3/5 3/7

8.

Los lados de un triángulo son proporcionales a los números 5, 6 y 7.Calcular el coseno del mayor ángulo del triángulo. 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

a) b) c) d) e) 9.

NIVEL II

1.

Se tiene el triángulo ABC, si a=10m , b=20 m , y A=30º .Determine el valor del ángulo C. B

Halle el lado “a” del siguiente triángulo.

C

c 10 m

A C

20 m

a. 120º b. 45º c. 30º d. 60º e. 90º (Examen Cepre-UNA- enero 2005)

40º

2.

b =120m a

43º B

a.

𝑎=

b.

𝑎=

c.

𝑎=

d.

𝑎=

e.

𝑎=

c = 105 m

A

(𝑐𝑡𝑔120°)𝑥43° 120° (𝑠𝑒𝑛43°)𝑥120 𝑠𝑒𝑛97° (𝑠𝑒𝑛120°)𝑥43° 𝑐𝑜𝑠97° (𝑐𝑜𝑠43°)𝑥120 𝑠𝑒𝑛97° (𝑡𝑔43°)𝑥120 𝑐𝑠𝑐47°

Los lados de un triángulo miden 𝑥, 𝑎𝑥, 𝑦 2𝑎𝑥.Calcule el valor de 𝑎, sabiendo que el ángulo opuesto a x, mide 120º. a. √7⁄7 b. √7⁄5 c. √7⁄3 d. √7⁄6 e. √7⁄4 (Cepre-UNA- Marzo 2013) 3.

En un triángulo ABC, se tiene que: 𝑎 = 25, 𝑏 = 31 𝑦 𝑐 = 7√2. Determine la medida del ángulo “A”. a. 60º b. 45º c. 30º d. 15º e. 75º (EXAMEN GENERAL UNA- 18 de agosto 2013-SOC)

(EXAMEN CEPRE UNA- 18 de enero 2012)

pág. 93

4.

Calcular “x” si :

9.

Del gráfico. Calcule el coseno del ángulo mayor interno:

10sen 

7m

5m 37° 

8m a. b. c. 5.

5 6 7

a. b. c.

2/7 1/7 N.A.

Halle AD en función de 𝜃 10. Calcular “x” si : a) b) c) d) e)

B 𝜃

𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 1

B 5 3m

D 𝜃 A

6.

60°

C

2

A

En un triángulo ABC se sabe que 𝑎+𝑐 ∡𝐴 = 45° 𝑦 ∡𝐵 = 60°. Hallar : 𝐸 =

a. b. c.

𝑐

a) b) c) d) e)

C

𝑎

A 7.

√6 √7 √2 √3 √5

a) a

b) b

d) 0

e) 2ª

B m

A

a. b. c.

c) c

b) a

d) 1

e) c

3u

C

6 7 8

senC

a) 0

D

8u

12. De la figura ,calcule el valor de 𝐵𝐶 + 𝑐𝑜𝑠(1234𝜋), si 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶

Simplificar: E = b  c  senB

a) b) c) d) e)

B c) b

5 A

pág. 94

m 5u

En un ABC . c

C

√57 6 N.A.

B

𝑐

30° D

11. Calcular “m” si :

En un ABC Calcular : E = bsenC – csenB

8.

8m

8

3

C

5 8 9 7 11