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FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES, EDUCACIÓN Y COMUNICACIÓN

TEMA 1: LÓGICA PROPOSICIONAL OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el estudiante estará en la capacidad de: • Distinguir una proposición de un enunciado abierto. • Definir con precisión las proposiciones lógicas. • Distinguir correctamente las variables y operadores proposicionales. • Diferenciar una proposición simple de una proposición compuesta. • Aplicar correctamente las reglas de simbolización para la formalización de proposiciones. El análisis de un sujeto sobre la realidad y los pensamientos se ven favorecidos con la posibilidad de hacer diversas clasificaciones de las expresiones del pensamiento a través del lenguaje esto nos permite tener cierto grado de libertad para considerar aquella que mejor se adapte a las necesidades de nuestro análisis. Un razonamiento correcto, ya sea en matemáticas, física, o en la conversación casual, es válido en virtud de su forma lógica. Debe recordarse que el tema central de la lógica proposicional es el análisis formal de los razonamientos, esto es, establecer si la conclusión se deriva lógicamente de las premisas. Por lo tanto, la tarea de la lógica es estudiar la validez o no-validez de las inferencias. 1. Inferencia.- Es una estructura de proposiciones en donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se obtiene otra que es la conclusión. Ejemplo:
Si dos es mayor que uno y uno es mayor que cero, entonces dos es mayor que cero.
Si el barco no trae piratas, entonces el capitán ha muerto o

Aritmética 13

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está prisionero. Pero, el capitán no ha muerto ni está prisionero. En consecuencia, el barco trae piratas. 2. Proposición.- Son aquellas enunciados a las que se les asigna exactamente uno de los valores falso o verdadero pero no ambos, estos valores son conocidos como “valores de la verdad” o “valores de la certeza”. Las oraciones aseverativas, también son proposiciones; es decir, su característica principal es ser Verdadera (V) o Falsa (F), generalmente se expresan como oraciones declarativas, además, cumplen una función informativa señalando acontecimiento, hechos que se dan en la realidad objetiva. Ejemplos: • • • • • • • • • •

La tierra es un satélite. (F) César Vallejo no fue literato (F) (a- b)2 = a2 – 2ab + b2 (V) ¿Quieres ser mi enamorado? (No es proposición) ¡Ayúdame! (No es proposición) Supermán fue mi enamorado (No es proposición) X + Y = Z (No es proposición) Más vale pájaro en mano que ciento volando. (No es proposición). 5 > 3 (V) PV = nRT (Ley de Gases) (V)

•

Son proposiciones Las oraciones aseverativas. Las leyes Científicas

•

Las

•

Aritmética 14

fórmulas

• • •

No son Proposiciones Los hechos o personajes literarios Los proverbios, modismos y refranes, Creencias religiosas,

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11) Si la nota aprobatoria es 11 ¿Qué porcentaje de alumnos desaprobados existe?

Si se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4. Determinar la suma h5 + h2

a) 72% d) 78%

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2 d) 1/5 e) ¾

b) 74% c) 76% e) 80%

12) Determinar la clase en la cual se encuentra el mayor porcentaje de alumnos y hallar dicho porcentaje. a) 1ra; 20% c) 3era; 44% e) 3era; 32%

b) 16

[ 0, 20 ; 0, 40 >

0,10

b) 4To; 32% d) 4to; 76%

13) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores que 8? a) 15 e) 11

15) Dada la siguiente tabla: Calcular el máximo valor de (h2; h3); Ii hi

c) 13

fi 4

[ 20 ; 40 > [ 40 ; 50 >

m 4

[ 50 ; 70 > [ 70 ; 80 >

n g

media

d) 12

14) Dada en la siguiente distribución de frecuencias.

Ii [10 ; 20 >

sabiendo que la aritmética es 0,61. a) 0,30 c) 0,50 e) 0,70

b) 0,40 d) 0,60

100

Aritmética 335

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Fi

e) 9,71

• 06) Calcular la mediana (para los datos sin agrupar) a) 9,5 c) 9 e) 10,5

b) 9,8 d) 10

b) 9,8 d) 10,0

08) Calcular la moda (para los datos sin agrupar) a) 7 c) 9 e) 11

•

8

•

3

Ii

07) Calcular la mediana (para los datos ya agrupados) a) 9,2 c) 10,1 e) 9,83

25 22 16

b) 8 d) 10

a) 10; 4, 125; 5,2 b) 25; 4, 125; 5,2 c) 25; 4,125; 1,2 d) 25; 5, 125; 5,2 e) 25; 5, 125; 1,2

Dado el tablero incompleto de la distribución de la frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.

Aritmética 334

x i Fi

Fi

x i fi

[ ; >

15

[;6 > [ ; >

20 14

[ ; > 10) A partir de la siguiente grafica: Calcular el tamaño; la mediana y la moda de la muestra.

• • •

Las órdenes. Las interjecciones. Los deseos, dudas y súplicas.

•

En casos muy excepcionales, las admiraciones pueden ser proposiciones.

preguntas

o

y

Ejemplo: • ¿Acaso el ordenador usa el sistema binario? • ¡El ornitorrinco había sido capaz de poner huevos!! 3.

11 8

[ ; > [ ; >

22

Clasificación de las Proposiciones

3.1. Simples, Atómicas o Elementales: Son aquellas que carecen de enlaces lógicos o conjunciones gramaticales y también del adverbio de negación: ; esto hace que no se puedan dividir en enunciados más simples.


Ii b) 9,83 d) 10,17




•

supersticiones y mitos Enunciados abiertos indefinidos Las interrogaciones.

Enunciado:

09) Calcular la moda (para los datos ya agrupados) a) 10,28 c) 9,87 e) 10,21

matemáticas. Fórmulas y/o esquemas lógicos Los enunciados cerrados o definidos Las definiciones

Predicativas.- Son aquellas que atribuyen o afirman una característica respecto del sujeto, presentan la siguiente forma:

“S” es “P” Ejemplos: • La física

es

una ciencia

25 Sujeto

Verbo

Predicado

Aritmética 15

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•


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Ella es perseverante.

PROBLEMAS PARA LA CASA

Relacionales.- Aquellas que establecen un nexo entre dos o más sujetos. Este nexo no puede eliminarse razón por la cual un sujeto dependerá del otro necesariamente; las relaciones pueden ser por afinidad, ubicación o grado. Presentan la siguiente forma.

Enunciado: Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística recogiéndose los siguientes datos:

“A” relación “B” • 3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15. • 7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14.

Ejemplos: •

Pedro A

esta al lado Relación Por ubicación

01) Agrupe los datos en intervalos de ancho común igual a 4 y complete la siguiente tabla.

tuyo B

Raúl y Carmen se aman. A B Relación por afinidad •

Ii

Mi padre fue tu contemporáneo. Relación de Grado

Proposiciones Compuestas o Moleculares (o coligativas): Son aquellas que están formadas por 2 o más proposiciones simples que se unen mediante enlaces o conectivos lógicos (“y”, “o”, “entonces”, etc.); además el adverbio de negación “NO” que afecta a una proposición simple formará una proposición compleja Ejemplos: Conectivo Lógico

Aritmética 16

[0; > [ ;> [ ;> [ ;> [ ;>

Xi fi Fi hi Hi Xi .fi

a) 1 c) 3 e) 1,4

b) 2 d) 1,71

03) ¿Cuántos obtuvieron notas superiores o iguales a 15? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos (en datos originales y en datos agrupados) a) 1,25 c) 0,75 e) 0,25

b) 0,5 d) 1,75

04) Calcular la media (para datos sin agrupar)

• Dar como respuesta: H4 + X2. f2 a) 38; 70 c) 99; 40 e) 76; 70

datos agrupados? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos? (Nota aprobatoria igual a 10)

F3 +

b) 43; 40 d) 38; 95

02) ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso; según los datos originales y según los

a) 10,5 c) 9,5 e) 12,7

b) 10,2 d) 10,31

05) Calcular la media (para datos agrupados) a) 9,8 c) 10,7

b) 11,3 d) 10,3

Aritmética 333

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Enunciado:

Grasas

La siguiente información representa la composición de una dieta alimenticia.

Carbohidratos Proteínas

Gramos 500 100

Calorías 2050 410

100

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930

20) ¿Qué porcentaje del total de calorías de la dieta se debe a las proteínas. Rpta:




Pizarro es jugador profesional Proposición Simple




No es cierto que no ingresé.

y

yo un postulante. Proposición Simple

3.2.1. Clasificación de las Proposiciones Compuestas: La conectiva principal da nombre a cada una de éstas proposiciones. a. Conjuntiva ( ∧ ): Son las que están formadas por un conector Binario o diádico (enlaza proposiciones simples que desempeña el papel de compatibilizador de dos proposiciones verdaderas. Símbolos usados: p ∧ q , p & q , Sus formas gramaticales son: p y q p pero q p aunque q p sin embargo q p incluso q p es compatible con q p así como q p también q p sino q p vemos que también q p empero q El punto seguido

p.q.

p también q p del mismo modo q p de la misma forma q P tal como q p al igual que q Tanto p como, cuanto q Siempre ambos p con q p a la vez q p con q p igualmente q p no obstante q p tanto como q

Ejemplo: Yo soy padre de familia p

Aritmética 332

y

∧

tú eres universitario q

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Juan es estudioso sin embargo no ingresa a la universidad ∧ q p TABLA DE VERDAD p q p V V V F F V F F

∧ q V F F F

La conjunción es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas y en cualquier otro caso es falsa. b. Disyunción débil o inclusiva ( ∨ ) Son las formadas por el operador binario disyuntor débil o incluyente, se da la posibilidad de que se den ambas proposiciones a la vez. Símbolos usados: p ∨ q , p + q . Sus formas gramaticales son las siguientes: p o q P a menos que q P salvo que q P o también q A menos que p, q p o incluso q p excepto que q p y bien, o también q p ya bien q

Aritmética 18

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Enunciado:

Enunciado:

La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 30 paquetes en un determinado producto.

A partir de los siguientes datos:

Peso (g) ni [10; 14] K / 2 [15; 19] 0,17

[20; 24] [25; 29] [30; 35]

2K K 0;13

14) ¿Cuántos paquetes tienen pesos que van desde 15 hasta 29 gramos?

2 4 5 8 3

8 9

3 1

3 10

9 4

5 8 1 0 10 10

4 3

0 10 12

2

7

8

9

4

2

9

4

6

5

1

6

9

3

11

9

9

6

2

5

7

3

2

7

4

10

17) ¿Calcular la media de los datos agrupados? Rpta: 18) ¿Calcular la mediana para los datos agrupados?

Rpta: Rpta: 15) ¿Cuántos paquetes tiene 22 gramos a más?

19) ¿Calcular la moda para los datos agrupados?

Rpta: Rpta: 16) ¿Cuántos paquetes tiene 27 gramos o menos? Rpta:

Aritmética 331

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8 millones de soles; que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2. Con ésta información resolver los problemas 5; 6; 7; 8 y 9. 05) ¿Qué porcentaje de compañías invierten menos de 40 millones de soles? Rpta:

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Enunciado:

Ejemplo

Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias relativas de 300 empleados según su edad.

El actual canciller peruano habla inglés o p ∨ Ingresaré, salvo que me enamore. p ∨ q

Edades

[19; 21] [22; 24] [25; 27] [28; 30] [31; 33]

habla francés q

ni 0,15 0,25 0,40 0,10 0,10

TABLA DE VERDAD p q p V V V F F V F F

∨ q V V V F

06) ¿Qué porcentaje de compañías invierten 24 millones como mínimo? Rpta:

10) ¿Cuántos empleados tienen edades de 22 a 33 años? Rpta:

La disyunción inclusiva es falsa solo si sus componentes son falsas, en otros casos será verdadera

07) Hallar la inversión promedio (en millones de soles) Rpta:

11) ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 25 años a más? Rpta:

08) Hallar la mediana de los datos clasificados. (en millones de soles) Rpta:

12) ¿Cuántos empleados tienen 27 años o menos? Rpta:

c. Disyunción Fuerte o Exclusiva ( ∆ ) Estas proposiciones estan unidas por un disyuntor fuerte o excluyente, este es un operador binario que excluye la posibilidad de que se den ambas proposiciones a la vez. También se llaman contravalorador por ser la negación del biimplicador o equivalorador

09) Hallar la moda de los datos agrupados. (en millones de soles) Rpta:

13) ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 24 años o menos? Rpta:

Aritmética 330

Símbolos usados: p

↔q

, p

≡ q,p ∆ q

Sus formas gramaticales son las siguientes: o po q O bien p o bien q p o solamente q p o solo q p o únicamente q p no es equivalente a q

Aritmética 19

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No es equivalente p con q p o q en sentidos excluyentes p no biimplicador a q Ejemplo: O eres serrano p

o Δ

Nací en Huaraz o p Δ TABLA DE VERDAD p q p V V V F F V F F

eres costeño q en Caraz q

∆ q F V V F

La disyunción exclusiva es verdadera sólo si sus componentes tienen valores diferentes, caso contrario será falsa. d. Condicionales ( → ) Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el operador binario que conecta, enlaza a una proposición que es el antecedente con otra proposición que es el consecuente o conclusión. Símbolos usados: p → q , p Ω q, Sus formas gramaticales son las siguientes: Si p entonces q Ya que p bien se ve que q Cuando p así pues q Siempre que p por

Aritmética 20

Toda vez que p en consecuencia q Dado p por eso q En la medida que p de allí q En cuanto p por tanto q

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PROBLEMAS EN CLASE Enunciado:

Enunciado:

Dada la siguiente distribución de frecuencias según el mismo número de empleados por empresa.

En esta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores; con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes:

Numero de Frecuencia (fi ) Empleados [0; 10 > 5 [10; 20 > 20 [20; 30 > 35 [30; 40 > 40 [ 40; 60 > 50 [60;80 > 30 [80; 100 > [100; 140 > [140; 180 > [180; 200 ] TOTAL

20 20 15 15 250

01) Determinar el porcentaje de empresas que tienen un número de empleados entre 50 y 90. Rpta: 02) Determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35. Rpta:

22 34 60 33 32 30 47 37 61 38 30 34 47 41 55 67 32 49 46 48 42 42 46 43 53 48 46 26 51 23 55 41 57 44 45 67 31 51 47 52

03) ¿Cuántos trabajadores tienen por lo menos 49 años y que porcentaje representan? Rpta: 04) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene de 39 a 58 años? Rpta: Enunciado: Se clasifico la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de distribución de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de soles; que la amplitud de los intervalos es de

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Moda: (Mo) Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos.

 d1 Mo = Lo + Wo  d1 + d 2

   

Lo : Limite, inferior de la clase modal. Wo : ancho de la clase modal. d1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente

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consiguiente q Con tal de que p es obvio q Como quiera que p por lo cual q En el caso de que p en tal sentido q De p inmediatamente q Cada vez que p consiguientemente q p impone q p implica q

De p deviene q En el caso que p en este caso q De p derivamos q De p deducimos q p es condición suficiente para q Ya que p es evidente q Ya que p es evidente q

Ejemplo: Pedro viajará a Lima si ingresa a la universidad.


La proposición condicional consta de 2 elementos, el antecedente y el consecuente. Si

un cuerpo se calienta entonces se dilata

Término Implicador

ANTECEDENTE (CAUSA)

Término CONSECUENTE implicador

l

VARIABLE INDEPENDIENTE

VARIABLE DEPENDIENTE

HIPÓTESIS TABLA DE VERDAD p q V V V F F V F F

(EFECTO)

CONCLUSIÓN

p

→q V F V V

La condicional es falsa solo si su antecedente es verdadero y su consecuente es falsa, en otros casos será verdadera

Aritmética 328

Aritmética 21

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Los casos especiales de formalización de las condicionales (implicación) se dan cuando la operación de implicación está desordenada (en el lenguaje común, natural o científico). Es decir cuando primero está el consecuente y luego el antecedente. Transpiro CONSECUENTE

por que implicador

juego fulbito ANTECEDENTE.

hi: Frecuencia relativa de clase i. Xi: marca de clase i. m: número de clases.

Mediana (Xm) Para “n” datos no clasificados.

Transpiro, CONSECUENTE

si juego implicador

fulbito ANTECEDENTE.

Transpirar es condición necesaria para jugar fulbito. CONSECUENTE implicador ANTECEDENTE.

 X  n + 1 ; n impar   2     Xm =  X  x  + X  n   + 1   2  2  ; n par  2 

Todos estos casos por ejemplo, se deben formalizar utilizando el REPLICADOR. p ← q o también en el sentido del implicador q → p e.

Bicondicionales (↔ ↔) Son proposiciones que usan el biimplicador o equivalorador que es un operador binario que desempeña la función a doble implicador, es decir es la conjunción de la condicional: (p → q) y su reciproca ( q → p) . Es decir que: p ↔ q = (p → q) ∧ ( q → p) Símbolos usados: p ↔ q , p ≡ q. Sus formas gramaticales son las siguientes: p si y solo si q p es equivalente a q p se define como q p siempre y cuando q p siempre que y sólo cuando q

Aritmética 22

p es lo mismo que q p si de la forma que q p es idéntico a q p igualmente q p cada vez que y solo si q

Para datos clasificados: • Se define la mediana como la primera cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o excede ala mitad del total de datos:

•

X m = L m + Wm

n   2 − Fm − 1   fm    

Donde: Lm Wn Fm – 1 clase

: Limite de la clase mediana. : Ancho de clase de la clase mediana. : Frecuencia absoluta acumulada de la clase que procede a la mediana.

Aritmética 327

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Fi 40 38 35 34 27

Osiva

Diagrama Escalonado

12 2 4 6 8 10 12

Medidas de Posición: Una medida de posición es un valor que se calcula para un grupo de datos que se utiliza para describirlos de alguna manera. Media Aritmética

( x ) : Para “m” datos di no clasificados:

m

∑ ( di )

•

p es condición necesaria y suficiente para q p igualmente entonces a q

Ejemplos Pedro construirá su casa si y sólo si obtiene un préstamo del Banco p ↔ q p↔ q

TABLA DE VERDAD p q p↔ q V V V V F F F V F F F V La bicondicional es verdadera sólo si los valores de sus componentes son iguales en caso contrario es falso f . Negación ( ~ ) Son aquellas donde el adverbio negativo “no” o sus expresiones equivalentes afectan a una o más proposiciones.

i =1

m

Para datos clasificados:

X =

p se define lógicamente como q p por lo cual y según lo cual q

Simbolización:

Ii

X =

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TABLA DE VERDAD p ~p V F F V

m

∑ (h i )

i=1

Xi

Aritmética 326

Aritmética 23

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Sus formas gramaticales son las siguientes: No p Jamás p Es inconcebible que p No es cierto que p No es verdad que p No es innegable que p No acaece que p No es que p No siempre que p En modo alguno p No es inobjetablemente que p

Nunca q Es absurdo que p No ocurre que p Es imposible que p Es mentira que p Es inadmisible que p Es erróneo que p Es incierto que p Es incorrecto que p En forma alguna p

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REPRESENTACION GRÁFICA Histograma: Son diagramas de barras o rectángulos cuyas bases representan los intervalos de clases y las alturas son las frecuencias absolutas o relativas.

Fi Polígono de Frecuencias

15 13 12

Histogramas

La negación es una proposición cuyo valor es opuesto a de la proposición original. •

Negación Ligada (Simple) Cuando afecta proposiciones simples, utilizando la forma gramatical: “NO” Ejemplo: Lucía no es varón ~ p Simbolización: ~ p

•

Aritmética 24

Negación Libre (Compuesta): Cuando afecta a proposiciones compuestas. En tal sentido, al simbolizarse, deberá anteceder a signos de agrupación. Sus formas gramaticales más usuales son: “es falso que”, “no es cierto que”, “es absurdo que”, “no se da el caso que”, “no es posible que”, ..., etc.

3 2

Ii 2 4 6 8 10 12 13

Diagrama Escalonado: Son diagramas similares al histograma con la diferencia de que las alturas son frecuencias absolutas o relativas; acumuladoras.

Aritmética 325

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FRECUENCIA ABSOLUTA.- Es la cantidad de datos que caen dentro de una clase.

Ejemplo:

Intervalo de clase

Conteo

•

fi 9 15

[ 4; 6 >

ll/ll llll / llll l/lll l/lll ll/ll ll/ll ll

[6; 8 > [6;10 >

ll/ll lll l/lll

8 6

> [2;4 >

fi n

∧

~

(p

No es el caso que

trabajes

12

~ •

FRECUENCIA RELATIVA. (h).- Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra. ni =

No es cierto que seas varón y mujer q)

Frecuencia Absoluta

Ii

[0; 2

•

Ademas :

( p

∨

o estudies q)

Binegación: Es la negación conjuntiva, es decir, una conjunción de negaciones, su forma gramatical es representada por el término “NI”. Se simboliza como (~ p ∧ ~q ) Ejemplo: • Ni estudio ni trabajo

o ≤ hi ≤ 1

~

p

∧~

q

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULDADA. (Hi)


Es la acumulación de cada frecuencia relativa. Se obtiene de manera análoga a la frecuencia absoluta acumulada.

Hi = h1 + h 2 + ..... + hi =

i

∑ hj

j =1

Casos especiales de negación: Seguidamente se presentan algunos ejemplos para ser analizados :

No es cierto que la luna no tenga atmósfera En este caso la proposición afirmativa es: p : La luna tiene atmósfera ; que está afectada por dos negaciones. Simbólicamente se expresa como sigue:

~ (~ p ) V F V F V F.


Aritmética 324

Se ha introducido (M.N. Sheffer ) el signo ↓ como la negación conjuntiva, que se lee por : “ ni ....... ni..........”;

Aritmética 25

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y es verdadero solamente cuando sus dos componentes son falsos, siendo falsa en cualquiera de los demás casos. Ni Sócrates es egipcio ni Pitágoras es romano. p : Sócrates es egipcio q : Pitágoras es romano p ↓ V F V F F F F V


q ≡ ~p∧~q V F V F

De igual manera Sheffer ha introducido el signo | como la negación disyuntiva, que se lee por “ no ...... o no ......”, y para que sea verdadera basta que uno de sus componentes sea falso, resultando falsa solamente cuando los dos componentes son verdaderos.

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TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS • Estas tablas de Distribución se elaboran a partir de los siguientes elementos: •

n = 50

p V V F F

| F V V V

q ≡~p∨ ~q V F V F

Como se ha observado las proposiciones están formadas con conectores lógicos cuya jerarquía de mayor a menor se usa cuando no hay símbolos auxiliares de agrupación.

Aritmética 26

→ dato arbitrario

• Alcance (A): Intervalo cerrado que tiene por límites a los datos de menor y mayor valor. A = [0; 10]

→ dato arbitrario

• Rango (R): Llamado también amplitud; es la diferencia de los datos de menor y mayor valor de la muestra. • Número de clases (K): es la cantidad de grupos o intervalos en que se pueden dividir los datos y depende del criterio aunque es usual utilizar como un primer valor aproximado al obtenido por la regla de Sturges. En cual viene dada por la siguiente relación:

Hipócrates no es filósofo o no es geómetra. p : Hipócrates es filósofo. q : Hipócrates es geómetra.

Tamaño (n): cantidad de datos recogidos.

K = 1 + 3,3 Log (n) . •

Si tomamos los datos arbitrarios tendremos: K = 1 + 3,3 . Log (50) ⇒ K = 6,6. K puede tomar valores enteros: 5; 6 o 7; ⇒ K = 5 → (ASUMIENDO)

• Ancho de Clase (W): En la longitud de una clase. Si deseamos anchos de clase iguales, utilizamos: W =

10 R → En el ejemplo; W = ⇒ W=2 K 5

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TEMA 21: ESTADÍSTICA OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Conocer los métodos estadísticos y las características de la población y la muestra. • Organizar datos usando criterios estadísticos. • Interpretar correctamente la información estadística proveniente de hechos reales. • Definir las principales medidas de tendencia central. • Realizar diversos gráficos de comportamientos estadísticos. • Conocer algunas medidas de dispersión. Definiciones Básicas Población: Es el conjunto de elementos o datos que presenta una característica particular al ser analizada o estudiada y de la cual se desea obtener información. Muestra: Es un subconjunto de elementos seleccionados convenientemente de la población de tal manera que puede hacerse “deducciones” de ella respecto a la población completa. Variables: Es una característica que puede tomar varios valores. Es un “Dato” que sufre variación dentro de una escala, recorrido o intervalo. Una variable puede ser: • Discreta: Son aquellos que surgen por el procedimiento de conteo; es decir solo pueden tomar algunos valores del intervalo considerado. • Continua: Son aquellos que pueden tomar cualquier valor del intervalo considerado.

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1º Biimplicador. 2º Disyuntor fuerte. 3º Implicador y Replicador. 4º Conjuntor y Disyuntor débil. 5º Negador. 3.2.2. Procedimiento para formalizar proposiciones lógicas Seguidamente se plantea la metodología para la formalización correcta de las proposiciones lógicas: I. Paso: Detectar los Conectores Lógicos. II Paso: Darle variables a cada proposiciones simple (no olvidar que de punto a punto siempre hay una proposición simple o compuesta). III Paso: Agrupar Ordenadamente las proposiciones con ayuda de los símbolos auxiliares como: paréntesis, corchetes y llaves. Ejemplo: Formalizar: Thales de Mileto fue matemático tal como filósofo. Calvino fue protestante si y solo si no se sometió a la ortodoxia católica. En consecuencia Thales de Mileto fue matemático salvo que Calvino fue protestante. I Paso: Detectar los conectores lógicos: Tal como = ∧ . (punto) = ∧ Si y solamente si = ↔ No = ~ En consecuencia = → Salvo que = ∨ II Paso: Darle variables a cada proposición simple: p : Thales de Mileto fue matemático.

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q : Thales de Mileto fue filósofo. r : Calvino fue protestante. s : Calvino se sometió a la ortodoxia católica. III Paso: Agrupar ordenadamente las proposiciones con ayuda de los símbolos auxiliares. ( p ∧ q) ∧ ( r ↔ ~ s ) →

( p ∨ q)

La proposición formalizada por tanto es implicativa.

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13) ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique? a) 15 años b) 20 c) 10 d) 30 e) N.A 14) Tres personas imponen sus capitales que suman 101 100 u.m. a las tasas del 4; 3; 5% respectivamente, cobrando el

primero una renta anual de 94 u.m. mas que el segundo y el tercero, una renta anual de 120 u.m. mas que el primero. Calcular la diferencia de capitales entre los 2 primeros. a) 6 700 b) 8 800 c) 9 900 d) 7 700 e) 7 800

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7) Darío impone un capital al 6%. Cuatro años y 3 meses después se retira el capital más los intereses y todo se impone al 8%. ¿Cuál fue el capital inicial si la renta anual actual es de 200, 80 soles? Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 2 b) 7 c) 9 d) 3 e) 1 8) El 30% de un capital es impuesto al 3% anual, el 25% al 4% anual y el 35% del total, al 6% anual. ¿A qué porcentaje se deberá imponer el resto para obtener en un año un monto igual a 105% del capital? a) 12% b) 8% c) 14% d) 10% e) 9% 9) Entre dos capitales, uno de S/.250 000 y el otro de 336 000 soles producen anualmente 36 450 soles. Calcular la renta de cada uno de ellos, y las tasas de interés, sabiendo que éstas están en la relación de 3 a 5. a) S/.11 250 y 25 200; 3% y 7% b) S/.10 520 y 22 500; 4,5% y 7,5%. c) S/.11 250 y 25 200; 4,5% y 7,5%. d) S/.11 250 y 22 500; 4 y 6,5%. e) N.A.

10) Los 5/7 de un capital colocado al 3% dan anualmente

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S/.420 más que el resto colocado al 4%. ¿Cuál es el valor del capital? a) 41 000 c) 40 000 b) 45 000 d) 42 000 e) 43 000 11) Un capital de 40 000 soles estuvo impuesto durante cierto número de años, meses y días. Por los años se cobró el 5% anual, por los meses el 4% y por los días, el 3%. Calcular la utilidad producida por dicho capital, sabiendo que ha producido S/.3 840 más que si se hubiese colocado al 3% todo el tiempo. a) 8 350 c) 9 260 d) 9520

b) 7 360 e) 10 500

12) Se impone un capital a cierta tasa y en 8 meses produce un interés que es el 40% del monto. ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho dinero para que a la misma tasa de interés genere una renta igual al 80% del monto? a) 4 años b) 2 años c) 3 años d) 3,5 años e) 3 años 8 meses

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PROBLEMAS EN CLASE 01) Señale la alternativa que muestra una proposición. A) Te deseo lo mejor. B) ¿Cuantos años tienes? C) Si: a = 8 y b = -3

( a+b )

2

=a2 +2ab+b2

D) El lapicero esta cansado. E) Responde correctamente 02) Indique la expresión que muestra una proposición simple. A) Tengo claros mis objetivos, lograré mis metas. B) Nunca digas mentiras. C) Roberto es descuidado. D) El triángulo es isósceles. E) El verano es ingrato. 03)

Señale la proposición condicional directa. A) Ya que tengo hambre, buscaré comida. B) Busco comida si tengo hambre. C) No tengo hambre y busco comida. D) Busco comida ya tengo hambre.

D) Tengo hambre y no busco comida. 04) Indique la expresión que muestra una disyuntiva exclusiva. A)Tomo jugo o un refresco. B)Tengo sed. C) O tomo jugo o refresco. D)Si tomo jugo, no tomo refresco. E)Tomo refresco y no tomo jugo. 05)Formalizar las siguientes proposiciones: A) Lima es la capital del Perú y Huaraz es la capital de Ancash. a) El método científico es arbitrario o el conocimiento objetivo es incompleto. b) Si los niños jugaron en el billar entonces la policía los capturó. c) Carla viajará al extranjero si y solo si obtiene su visa.

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d) Los fenómenos de la naturaleza no son estáticos. e) Carlos usa las lanzas como picos aunque también como jabalina. f) Heráclito dice la verdad si la materia no es estática. g) Arturo trabaja en ministerio, además un líder estudiantil estudia en universidad.

el es si la

h) Si el oro vale mucho dinero, o es un metal escaso o es un metal precioso. i)

j)

Si no es el caso que Jorge sea un comerciante o un próspero industrial, entonces es director de una compañía de teatro. O Emilio es un ingeniero y profesor de matemáticas, o es un mecánico y dueño de una firma automotriz.

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k) Es falso que si Cristina no estudiaba abogacía no podría contraer matrimonio, dado que Cristina es experta en política financiera. l)

Colón descubrió América y Pizarro conquistó el Perú, si y sólo si, o Pizarro fue un hábil guerrero o Colón fue un intrépido navegante.

m) O las leyes de la mecánica son un conocimiento “a priori” si el conocimiento del espacio físico es “ a priori” , o la ley de la gravitación es un conocimiento empírico si el conocimiento del espacio físico no es “a priori”. n) La sociedad está desconcertada si y solo si no hay cambio social, pero si la sociedad está contenta, o hay revolución espiritual o hay cambio social.

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PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Tres capitales impuestos separadamente al 12,5% semestral; 4% bimestral y 5% trimestral, respectivamente, generan la misma renta. Hallar la suma de los 3 capitales sabiendo que el menor de los montos producidos en un año es 30000 soles. a) 75 000 d) 79 000

b) 72 000 e) 84 000

c) 81 000

2) Hace 8 meses se impuso cierto capital y actualmente su monto es de S/.4 650, si dentro de un año el monto será de S/.4 875. ¿Cuál fue el crédito en porcentaje a que fue impuesto dicho capital? a) 5% b) 8% c) 10% d) 7% e) 12% 3) Se tienen 2 capitales tales que los ¾ del primero igualan a los 4/5 del segundo. Si colocan al 9% trimestral durante 4 meses los 2/3 del primero y la mitad del segundo, se obtendría 11 336 como renta total. Hállese el capital menor. a) 68 mil b) 76 200 c) 80 200 d) 78 mil e) 81 400

4) Un capital se impone a determinada tasa de interés y en 6 meses produce un interés que es el 20% del monto producido. ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho capital para que a la misma tasa produzca un interés igual a 60% del monto?. a) 5 años b) 4 c) 3 d) 7 e) 9 5) Dos capitales diferentes se depositan en el Banco de Crédito, ganando interés simple. El capital mayor, al 4% y el menor, al 6%, luego de 3 años, los montos de ambos son iguales. Hallar el capital menor si es menor en S/.300 que el otro capital. a) 4 000 b) 4 700 c) 5600 d) 4 400 e) 6 000 6) Dos capitales son entre sí como 4 es a 5, se colocan a interés simple, uno al 50% y el otro al 20%. ¿Luego de qué tiempo la relación de los montos es la inversa de la relación original de sus capitales? a) 2 años b) 3 años c) 1 año d) 4 años e) 5 años

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15) Se impone un capital a cierta tasa y en 8 meses produce un interés que es el 40% del monto. ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho dinero para que a la misma tasa de interés genere una renta igual al 80% del monto. Rpta.: 16) Se impone un capital de S/.90 000 a interés simple por cierto número de años, meses y días. Por los años se cobró 80% anual; por los meses, 60% y por los días 50%. Determinar la ganancia producida por el capital sabiendo que si se hubiera impuesto todo el tiempo al 80% hubiese producido 127 mil 500 soles más de interés que con 50% anual durante todo el tiempo. Rpta.: 17) Un capital que se impone a interés simple se divide en 3 partes:  el 25% al 40% anual  el 30% al 30% semestral.  El resto al 20% trimestral. ¿A cabo de cuánto tiempo se habrá triplicado el capital? Rpta.:

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18) Se prestó un capital por un año y el monto fue 5 500 soles. Si se hubiese prestado dicho capital durante 2 años, el monto sería 6 000 soles. ¿Cuál fue la tasa? Rpta.: 19) Después de largas conversaciones: A, B y C deciden invertir en un negocio cuyos capitales impuestos por ellos suman 4 800 soles. Dichos capitales colocados a interés simple durante 2 años se convierten en 4 000, 2 400 y 1 280 soles, respectivamente. Determinar ¿En cuánto se habría convertido el mayor capital en 3 años, si se hubiera colocado al 35% de interés simple? Rpta.: 20) Entre 2 hermanos disponen de 45 mil soles, el mayor coloca su capital al 14 por ciento semestral y el menor al 17% anual, igualando sus dineros al cabo de 20 meses. ¿Con cuanto dinero inició el hermano mayor? Rpta.:

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06) La Formalización correcta de la proposición “No es verdad que sea falso que Bernoulli sea físico es: A) ∼ p

B) p ∨∼p

C) ∼ (∼p )

D) ∼ p & ∼ p E) ∼ ( p ). 07) La Formalización correcta de la proposición “O los mamíferos son vertebrados o invertebrados. Pero, es absurdo que los voladores sean bípedos” Se formaliza: A) ( p ∨ q ) & r B) ( p ∨ q) →r C) (p ∨ q) → p

D) (p ∆ q) &∼r

E) ( p ∨ q) & ∼ r. 08) El argumento: “No es cierto que si es verano hace calor. Así como, si es verdad que si llueve es obvio que es invierno”. Se formaliza: A) ∼ p → q & r→ s B) ∼ (p) & q C) ∼ p → q & r D) ∼ ( p & q ) & r → s E) ∼ ( p → q ) & ( r → s).

09) El Argumento: “Estudio a menos que sea irresponsable. Juego porque soy deportista. Por tanto, estudio y juego” se formaliza. A) p&q & r & s B) ( p ∨∼ q) & r C) ( p & q)

D) p∨q& r & s

E) NA. 10) La traducción incorrecta de: ( p → q ↔ r ) es : A) Sale el sol por que es de día y sólo si es verano. B) Sale el sol, si es de día siempre que sea verano. C) Si sale el sol entonces es de día si y solo si es verano. D) Todas E) Ninguna. 11) Formalizar en sentido lógico la proposición siguiente: “Son deportistas. Si juegan fútbol, además compiten básquet” A) q ∧ r → p C) p → r ∨ q E) p ∧ q → r

B) p ∨ q → r D) r ∧ p ∧ q

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12) La traducción correcta de la formulación lógica: ( r ∧ s ∧ t ) → ( p ∨ q ) es :

cuanto tiempo debe prestarse dicho dinero para que la tasa de interés genera una renta del 80% del monto? Rpta.:

I.

Son tiranos excepto que dictadores. Si imponen así como coacciones y dominan. II. Son músicos o cantores: Si Pedro, Lucho y María cantan. III. Son vertebrado salvo, que mamíferos por que su estructura es ósea, tienen pelos y sangre caliente. IV. Ellos son músicos a menos que cantores. Si Pedro canta, Lucho canta y María canta. V. Son tiranos o dictadores por que dominan, coaccionan e imponen. Es mentira que no son falsas:

A) I,II, III. D) I. III, V.

B) II, III, IV. C) III, IV, V. E) Ninguna de las anteriores.

13) Dado el siguiente párrafo: “El Perú es una nación subdesarrollada por que tiene atraso tecnológico tal como científico. Podemos salir de este atraso siempre que desarrollemos nuestra conciencia así como nos esforcemos, por que no se da el caso que el desarrollo se alcance con buenas intenciones o deseos. Por lo tanto, o el Perú supera sus problemas o sigue siendo una nación subdesarrollada”. Su formalización correcta es: A) B) C)) D) E)

│[ p → q ∧ r ] ∧ [~ ( r ∨ w) → s ↔ t ∧ u] │ → x ↔ p (p →q ∧r)∧ [s ↔ t∧u] ~(r∨w) → x∆p [ p → q ] ∧ (~ ( u ∨ y )) → s ↔ t → w ∨ x. │[q ∧ r → p ] ∧ [~ (x ∨ w ) → ( s ↔ t ∧ u ) ] │ → y ∆ p

Ninguna de las anteriores.

14) Si ( m2 = 4 si y solo si m=2 v m=- 2 ) su formalización es: A) p ∆ q B) ~( ~ p) → ~ (~ q ) C) p ↔ q D) p → q ∧ q → p E) Existen dos respuestas correctas.

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9) Los capitales impuestos por 2 hermanos en un mismo negocio suman 27 mil soles, si la primera impone su capital al 4% y la 2º al 5% anual obteniendo el mismo interés en el mismo tiempo. ¿Cuál fue el capital menor? Rpta.: 10) Un capital está impuesto al 30% anual y el segundo capital al 50%. La suma de dichos capitales es de 28 mil soles. Si el interés anual que produce el primero es al interés cuatrianual que produce el segundo como 5 es a 4, hallar el menor capital. Rpta.: 11) La directora del COCIAP divide su capital en 3 partes iguales y las impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral, respectivamente, logrando una renta anual de 10 000 soles. ¿Cuál es ese capital? Rpta.:

12) Dos amigos imponen sus capitales al interés simple, uno de ellos al 24% y el otro, al 20% de tal manera que el primer capital esté en relación de 5 a 7 con el segundo. Si el segundo capital produce un interés anual de 3 620 soles más que el otro, calcular el capital menor. Rpta.: 13) Una suma de 10 mil soles se ha impuesto a interés simple. Si hubiera estado 30 días mas, el interés total habría aumentado en 50 soles y si el tanto por ciento se hubiera disminuido en 0,8% los intereses habrían disminuido en 150 soles. Hallar el tiempo que dura la imposición. Rpta.: 14) Manolo, influenciado por su amigo Mily, coloca 2 capitales a interés simple durante el mismo tiempo: el primero, al 8% y el 2º al 11%. El primero ha producido 728 soles y el segundo, que excede al primero en 4 800 soles, ha producido unos 1 309 soles. Hallar el tiempo de aporte. Rpta.:

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PROBLEMAS EN CLASE 1) Se divide un millón de soles en 2 partes, tal que al ser impuestas una de ellas al 7% y la otra al 9% anual, producen el mismo interés. ¿Cuáles son las partes? Rpta.: 2) Pedro de las Casas participa en un negocio con un capital que, impuesto al 12% trimestral, ha producido en 5 meses 1 770 soles menos que si el capital fuera impuesto al 18% cuatrimestral durante 16 días. ¿Cuál fue ese capital? Rpta.: 3) Carmen impone los 4/7 de su capital al 4% y el resto al 5% y resulta ser un interés anual de S/.3 100. ¿Cuál es la suma impuesta al 4%? Rpta.: 4) Los S/.9 de un capital al 5% mensual, en un mes producen S/.45 más que el resto al 4% mensual durante el mismo periodo de tiempo. Hallar el capital. Rpta.:

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5) Mi primo, inversionista en bienes raíces, posee S/.10 000 de los cuales una parte la coloca al 5% y la otra al 6%, obteniendo en total en un año S/.560 de renta. ¿Cuál es la menor de las partes? Rpta.: 6) ¿Qué capital es aquél que, impuesto al 4% anual durante 5 meses produce S/.1 100 menos que si se impusiera al 4% mensual durante ese mismo periodo de tiempo? Rpta.: 7) En la UNASAM, los alumnos de la facultad de Administración invirtieron, en un negocio, un determinado capital, de tal manera que el monto producido por éste durante 6 meses, a interés simple, es de S/.50 000; más luego de 8 meses será de 55 mil soles. ¿Cuál fue la tasa de interés? Rpta.: 8) Se impone un capital a cierta tasa y, en 8 meses, produce un interés que es el 40% del monto. ¿Durante

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. De las siguientes oraciones, son proposiciones lógicas: 1) Einstein es el creador de la Física Clásica. 2) Rocinante es el caballo de Don Quijote de la Mancha. 3) CPU UNASAM es una academia de aptitud académica. 4) Ingresaré a la Universidad. 5) Ningun número par es divisible por dos. a) b) c) d) e)

1,2 y 3 2,3 y 5 1,3 y 5 2,3 y 4 3,4 y 5

2. De las siguientes oraciones, son proposiciones lógicas: 1) Mi deseo es trabajar por el Perú. 2) El Perú es un país del hemisferio norte 3) Pienso que debemos salir de la crisis. 4) Los filósofos son grandes pensadores.

5) La amistad es verdadera. a) b) c) d) e)

1,2 y 3 2,3 y 5 3,4 y 5 2y4 3y5

3. De las siguientes oraciones, son proposiciones lógicas: 1) ¡hoy es un día maravilloso! 2) En tus ojos veo mi futuro. 3) Abre la puerta, inmediatamente. 4) Toda revista tiene páginas bellas. 5) A grandes males, grandes remedios. Son correctas: a) 1,2 y 3. b) 2,3 y 4. c) ninguna. d) todas. e) 3,4 y 5.

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4. De las siguientes oraciones, son proposiciones lógicas:

6) Si en la transacción no se expresa unidad de tiempo alguna, se asume que la tasa de interés es anual.

1. ¿Donde nació Tupac Amaru II? 2. A caballo regalado no se le mira los dientes. 3. Tarzán y Superman son mitos. 4. Algún día seré profesional. 5. El neutrino es una partícula. a) b) c) d) e)

1,2 2,3 3,4 y 5 3,5 2,4

a) b) c) d) e)

1) Platón es un filósofo materialista. 2) La lógica es una disciplina de la filosofía. 3) El carbono 14 es un método arqueológico. 4) El Tungsteno, es obra de Vallejo. 5) Los vegetales son heterótrofos.

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Cálculo del interés en función del monto: Si M = C + I; como: I = C + r ⇒ C = 100I 100

6. Son proposiciones simples: 1.

2. 3.

4. 5.

5. De las siguientes afirmaciones, son no proposiciones lógicas:

1,2 y 3 2,3 y 4 3,4 y 5 Todas N.A

a) b) c) d) e)

La radio es un medio de comunicación y distracción. El protón o antiprotón son partículas atómicas. El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro. La historia es una ciencia fáctica. Todas las aves son vertebrados.

tr

Reemplazando: M = I + 100 I ; ∴ I = tr

Mtr 100 + tr

Donde: I = interés M = monto r = tasa de interés t = tiempo

1,2. 2,3. 3,4 y 5. 4,5. Todas.

7. Son proposiciones moleculares: 1.

El domingo se descansa. El lunes se trabaja.

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3) La tasa “R” porcentual que interviene en fórmula debe ser anual, si estuviese expresado en otro periodo de tiempo, se debe considerar su tasa anualmente de modo equivalente. Ejemplo: • Si se presta una cantidad 25% anual, entonces la tasa es 25%. • Si se presta una cantidad al 20% semestral, entonces la tasa es 2(20) = 40%. • Si se presta una cantidad al 15% trimestral, entonces la tasa es 15(4) = 60% 4) El monto representa la suma del capital con el interés: M = C + I; M = C(1 + Et); Donde: C = Capital; t = tiempo I = interés M = monto E = tasa de interés Ejemplo: Hallar el interés que gana 4000 dólares en 11 meses al 15% trimestral. Solución: C = 4000; T = 11 meses r = 15% Trim r = 60% anual I=

4000 − 1160 ctr =I= 1200 6200

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2. Bolivia limita con Perú también con chile. 3. Si hay verano entonces habrá invierno 4. Transpiro si y solo si corro. 5. El corazón y el cerebro son órganos. a) b) c) d) e)

1,2. 2,3. 3,4. 4,5. Todas.

c) Yungay pertenece a la región Chavín. d) Adolfo Bécquer fue un científico. e) Ninguna anterior. 10. Son proposiciones moleculares: 1.

2. 3.

8. Es proposición simple: 4. a) El electrón tiene carga negativa. b) Te amaré siempre. c) La luna es satélite de la tierra. d) Vivir, morir es la ley de la vida. e) La materia es finita e infinita.

5.

a) b) c) d) e)

Dejar hacer, dejar pasar el mundo, camina solo. Científico, Filósofo es Bertrand Russel. Pensamos, entonces existimos. Colón fue descubridor o conquistador. Don Quijote y Sancho fueron locos. 1,2 y 3. 2,3 y 4. 3,4 y 5. Todas. N.A.

∴ I = 2200 y M = 6200 9. Es proposición molecular: 5) Si el préstamo está expresado en el Denominador: Años  100 (indicador del % del interés) Meses  1200 (12 meses) (100) Días  36000 (360 días) (100)

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a) Romeo y Julieta se amaron mucho. b) El Huascarán es un nevado.

11. La expresión: “la paz sea contigo” es: 1. 2. 3. 4.

Una proposición. No es una proposición. Oración imperativa. Oración expresiva.

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5. Oración desiderativa.

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Tasa (tasa de interés) es el interés o ganancia que se obtiene de cada 100 unidades de capital.

Son correctas: a) 1,2 y 3. c) 3,4 y 5. e) N.A

b) 2,3 y 4. d) 2,4 y 5.

12. Son proposiciones falsas. 1. 2. 3. 4. 5.

Estoy orgulloso de ser estudiante. Los cetáceos son animales terrestres. Todos los peces viven en el mar. La libertad es un valor maravilloso. Te estimo tanto aunque tú no lo creas.

Son ciertas: a) b) c) d) e)

1,2 y 3. 2,3 y 4. 3,4 y 5. 2 y 3. 2.

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Fórmulas para hallar el interés simple: • Deducción: Sabiendo que un capital de S/.100 prestado durante un año produce “r” soles de interés, hallar el interés que produce un capital “c” al cabo de “T” años. Considerando que el interés es DP al capital y al tiempo. Causa Capital 100 C

Circunstancia Tiempo (años)

1 t

Efecto Interés R I

DP DP  100 – 1 – I = C.T.r Fórmula general:

∴I =

C.T .r 100

Donde: I = interés o rédito C = capital (el valor que siempre se invierte en una transacción). r = tasa o tasa de interés (en %). T = tiempo en que permaneció el capital constante (el número de periodos que permanece un capital en el negocio, expresado en años). Observaciones: 1) La fórmula de cálculo del interés no es estática; el denominador varía de acuerdo a cómo está expresado el tiempo. 2) Se considera que: • 1 años solar 365 días 4 horas. • 1 año común 365 días. • 1 año bisiesto 366 días. • 1 año comercial 360 días (12 meses con 30 días cada uno). • 1 mes comercial 30 días.

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TEMA 20: INTERÉS SIMPLE OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Comprender la necesidad del estudio de la regla de interés. • Reconocer los elementos que intervienen en el cálculo del interés y el descuento. • Analizar las relaciones existentes entre los elementos de la regla de interés. • Aplicar las relaciones matemáticas que se obtienen entre los elementos de la regla de interés. Introducción: Una persona puede tomar de otra, a préstamo, una cantidad determinada de dinero y comprometerse, a cambio, a pagarle una indemnización o alquiler del capital colocado. Esta indemnización se llama “interés”, el cual varía con la importancia del capital y el tiempo que éste está colocado en toda transacción comercial. El interés se ha creado para mantener siempre a un valor constante un monto – en su valor real – a pesar de la variación inexorable del tiempo, por dicha razón existe la convención de admitir que el interés varía de un modo directamente proporcional al capital colocado y al tiempo en que dicho capital fue colocado en la transacción comercial. La persona que otorga el préstamo se llama “prestamista” y el que lo recibe, “prestatario”; la suma del capital con su interés respectivo es conocido como “monto”. Definiciones: Interés o rédito es la suma (ganancia, utilidad, renta o beneficio producido por un capital prestado durante cierto tiempo, según una tasa fijada porcentualmente. En el interés simple, cuando los intereses se retiran, se considera como constante al capital abonado en toda operación de comercio.

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TEMA 2: LÓGICA NOTABLE OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Confeccionar y dominar la tabla de verdad en base a los conectivos lógicos. • Dado el valor de verdad de una proposición compuesta, hallar el valor de verdad de las variables proposicionales y/o proposiciones compuestas. • Aplicar las leyes lógicas notables para hallar las equivalencias de una proposición • Utilizar adecuadamente las leyes del álgebra proposicional para la simplificación de proposiciones compuestas. Estas leyes son usadas en el análisis proposicional para poder realizar las operaciones entre proposiciones a fin de determinar su valor de la verdad. 1.- PRINCIPIO DE IDENTIDAD. p ↔ p Según este principio, una proposición sólo es idéntica a sí misma 2.- PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN. ~ ( p ∧ ~ p) Según este principio, es imposible que una proposición sea verdadera y falsa a la vez. 3.- PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUIDO. p ∨ ~ p

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Según este principio, una proposición o es verdadera o es falsa; no hay una tercera posibilidad. Estas Tautologías no son las únicas, dado que el número de tautologías es infinito. Las leyes notables o equivalencias notables son leyes lógicas para transformar esquemas o proposiciones y obtener sus respectivas equivalencias, esto implica que uno de los equivalentes se deduce lógicamente del otro.

4.- LEY DE INVOLUCIÓN (doble negación) ~ ( ~p) ≡ p “No, no p, equivale a p” Según esta ley dos negaciones de igual alcance equivalen a una afirmación. Ejemplos: No es el caso que no todos los hombres sean racionales equivale todos los hombres son racionales ~ ( ~ p) ≡ p Es falso que ATUSPARIA no sea Ancashino equivale a ATUSPARIA es Ancashino.

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puesto que la segunda la piensa pagar con un mes de anticipación le harán un descuento del 18%. ¿Cuánto dinero tuvo que pagar? a) S/.82 100 b) 80 000 c) 100 000 d) 95 600 e) 81 200 12) El Banco Continental le hace llegar a Jorge Luis una notificación de que le recargaron en 18% la deuda que tenía con ellos por morosidad. Un mes después le llega otra notificación de que afectaron su deuda con otro 20% de recarga. Cuando Jorge Luis se acerca a pagar a una sucursal del banco le dicen que su deuda es de S/.1 416. ¿Cuánto debía inicialmente? a) S/.12 000 b) S/.10 000 c) S/. 14 000 d) S/.9 000 e) S/. 9 750 13) Si el descuento que se realiza a un producto es el 10%

del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de venta es el precio de lista? a) 111% b) 110% c) 114% d) 108% e) N.A. 14) Si consideramos que el precio de lista de cierto producto es de S/.180 y el precio de compra del mismo es S/.68. ¿Cuánto debe sumar la ganancia más el descuento ofrecido? a) S/.116 b) S/.114 c) S/.120 d) S/.112 e) S/.118 15) Si el descuento de un producto es de S/.72 y la perdida por vender lo más barato de lo que costó es S/.42. ¿Cuál es la diferencia del precio de lista y el precio de compra? a) S/. 40 b) S/. 20 c) S/. 10 d) S/. 50

e) S/. 30

5.- LEY DE IDEMPOTENCIA: p∧p ≡ p p∨p ≡ p Las variables redundantes en una cadena de conjunciones o también, en una cadena de disyunciones, se eliminan.

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de descuento. ¿Quién me ofrece el tocadisco más barato? a) Antonio b) José c) Da igual d) Faltan datos 7) Se vendieron 3 cafeteras de diferentes marcas en S/.100 cada una. La primera se vendió ganando el 30%; la segunda se vendió perdiendo el 15% y la última se vendió perdiendo el 10% del precio de costo. ¿Se ganó o se perdió? ¿Cuánto dinero se ganó o perdió? a) Se ganó S/. 17,48 b) Se perdió S/. 17,48 c) Se ganó S/. 20,49 d) Se ganó S/. 48,17. e) N.A. 8) Cada vez que Arturo vende alguno de sus libros gana 15 soles y cada uno de ellos le costó S/.60. Si con ese mismo porcentaje de ganancia vendiera 7 bicicletas que le costó S/.200 cada una. ¿Cuánto dinero ganaría? a) S/.250 b) S/.350 c) S/.400 d) S/. 500 e) S/. 275 9) Debido a la inflación, el precio de los combustibles subieron en 10%, 8%, 5% y 12%,

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sucesivamente. ¿A qué aumento único corresponde ésto? Si el precio del combustible era S/.10.80 por galón. ¿Cuánto cuesta ahora un galón? a) 39,7% y S/. 15,08 b) 42,1% y S/. 10,9 c) 64,1% y S/. 20,10 d) 67,1% y S/. 18,04 e) N.A. 10) En una fábrica de zapatillas el costo de producir un par de zapatillas es de S/.100. Si han decidido vender a los distribuidores cada par haciéndoles inicialmente un descuento de 20%, sabiendo que de todas maneras ganarán el 35% del costo. ¿Cuál debe ser el precio de catálogo? a) S/. 168,75 b) S/. 144,80 c) S/. 155,90 d) S/. 164,75 e) N.A. 11) Juan Carlos debe al Banco Sudamericano 2 letras de S/.10 000 y S/.85 000 respectivamente. Cuando se acerca a la ventanilla a pagarlas le dicen que a la primera le van a hacer un recargo del 15% porque ésta ya ha vencido. En cambio,

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Ejemplos: “Pedro estudia y trabaja, y Pedro trabaja y estudia”, Equivale a “Pedro estudia y trabaja” p∧p ≡ p “Pedro trabajo o Pedro estudia, o Pedro trabaja o estudia”, equivale a “Pedro estudia o trabaja”. p∨p ≡ p 6.- LEYES CONMUTATIVAS p ∧ q ≡ q ∧ p (Conjunción) p ∨ q ≡ q ∨ p (Disyunción) p ↔ q ≡ q ↔ p (Bicondicional) Según estas leyes, si en las proposiciones conjuntivas, disyuntivas y bicondicionales se permutan sus respectivos componentes, sus equivalentes significan lo mismo Ejemplos: La pizarra es negra y la tiza es blanca equivale a la tiza es blanca y la pizarra es negra. p∧q ≡q∧p “Estas preocupado o estás enfermo”, equivale a “estás enfermo o estás preocupado”. p∨q ≡q∨p “Daniel obtiene 180 puntos si y solo si razona lógicamente” equivale a “Daniel razona lógicamente si y solo si obtiene 180 puntos” p↔q≡ q ↔p

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7.- LEYES ASOCIATIVAS

PROBLEMAS PARA LA CASA

p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r (Conjunción) p ∨ (q∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r (Disyunción) p ↔ (q ↔ r) ≡ (p ↔ q) ↔ r (Bicondicional) La ley asociativa del esquema conjuntivo indica que si en un esquema hay más de una conjunción con igual jerarquía, ellas pueden agruparse indistintamente. p→q∧ r ∨ s ∧ ~ p ∨ s En este esquema hay dos conjunciones con la misma jerarquía. Pueden agruparse como sigue: p→q∧( r ∨ s ∧

~ p ∨ s)

También: ( p→q∧ r ∨ s)∧ ~ p ∨ s La asociatividad es la misma en el caso de los esquemas disyuntivos y bicondicional. 8.- LEYES DISTRIBUTIVAS p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r) Según estas leyes: p ∧ (q∨ ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Es la distribución del esquema conjuntivo, que consiste en que uno de los miembros del esquema conjuntivo se distribuye a cada

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1) Alejandro es un médico cirujano plástico de prestigio. José es amigo de Alejandro y le pide que le diga cuánto le costaría hacerse algunas cirugías. Alejandro le dijo que si se hacía dos le haría un descuento del 25%, pero si se hacía 3, le haría un descuento del 40%. Si todas las cirugías cuestan igual y por 2 pagó $700 ¿Cuánto le hubiera costado 3? a) S/.960 b) S/.820 c) S/. 840 d) S/. 380 e) S/. 880 2) Un equipo de sonido cuesta S/.1800. Si se vente ganando el 40% de lo que costó. ¿Cuál es su precio de venta?. Si se vendiera perdiendo el 15%. ¿Cuál sería su precio? a) 2 520 y 1 530 b) 1 530 y 2 520 c) 5 220 y 1 130 d) 1 130 y 5 220 e) N.A. 3) Cuando falta poco para que termine su día de trabajo, un frutero decide rematar su mercadería, por lo que pierde S/.8. Si vendió toda la

mercadería a S/.80. ¿Qué porcentaje de lo que le costó sus frutas perdió? a) 9.00% d) 9.18%

b) 8.09% e) 9.09%

c) 7.5%

4) El número de estampillas para cartas que se puede comprar con una cantidad fija de dinero aumentaría en 15 si se disminuyese en un 60% el precio de cada estampilla. ¿Cuál sería el número de estampillas si se hiciese la rebaja? a) 35 b) 45 c) 25 d) 18 e) 55 5) ¿En qué porcentaje se debe aumentar de una mochila, de tal manera que haciendo un descuento del 25% del precio fijado aún se gane el 50% del costo? a) 70% b) 75% c) 80% d) 90% e) 100% 6) Antonio me ofrece hacer una descuento del 10% más otro del 20% al precio de su tocadisco. José me ofrece otro tocadisco al mismo precio original de Antonio, sólo que con un 25%

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20) Por cada S/.5 que se aumenta al precio de venta, Andrés recibe S/.2,50. Si por vender un televisor cuyo precio de venta original es de S/.500, Andrés recibió S/.12,50 de comisión. ¿Cuál era el precio de lista?

Rpta.:

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miembro del disyuntivo. El equivalente es una disyunción de conjunciones. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) : Es la distribución del esquema disyuntivo al conjuntivo que consiste en que cada miembro del esquema disyuntivo se distribuye en cada miembro del conjuntivo. El equivalente es una conjunción de disyunciones. p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r): Es la distribución del esquema condicional al conjuntivo, donde el antecedente del esquema condicional se distribuye en cada miembro del conjunto que está en el consecuente. El equivalente es una conjunción de condicionales. p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r): Es la distribución del esquema condicional al disyuntivo donde el antecedente del esquema condicional se distribuye a cada miembro del disyuntivo que está en el consecuente. El equivalente es una disyunción de condicionales. 9.- LEYES BICONDICIONALES ( p ↔ q ) ≡

(q → p) ∧ ( q → p )

( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ (~p ∧ ~q ) ( p ↔ q ) ≡ (q → p) ∧ ( q → p ): Indica que un esquema bicondicional puede transformarse en dos condicionales donde uno de los miembros implica al otro y viceversa. Ejemplo:

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Una figura geométrica tiene tres ángulos si solo si es un triángulo, equivale a. Si una figura geométrica tiene tres ángulos entonces es un triángulo, y si es un triángulo entonces es una figura geométrica que tiene tres ángulos. ( p ↔ q ) ≡ ( p → q ) ∧ (q → p) ( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ (~p ∧ ~q ): Indica que un esquema bicondicional puede transformarse en una disyunción de conjunciones afirmando los dos componentes conjuntamente, o negando los dos componentes también conjuntivamente. “Un número es positivo si y solo si es mayor que cero”, equivale a “un número es positivo y es mayor que cero, o un número no es positivo y no es mayor que cero” ( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ (~p ∧ ~q ):

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a la SUNAT y pagó 2 facturas: por la primera pagó S/.845 000 luego que le hicieron un descuento del 35%, como la segunda factura ya había vencido mucho tiempo antes, le recargaron un 12%, por lo que tuvo que pagar S/.1 400 000 por ésta. ¿Cuánto ahorró o pagó de recargo en total?

Rpta.: 14) Un vendedor mayorista de calzado deportivo vende su lote de la siguiente manera: los 2/5 de su mercancía la vende con 6% de pérdida, la mitad del resto con un 2% de ganancia. ¿Cuánto debe ganar en la venta del resto para ganar el 9% sobre el total de las mercancías?

10.- LEYES DE DE MORGAN

Rpta.:

~ ( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones. ~ (p∨ q ) ≡ ~p ∧ ~q La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de negaciones

15) Una fábrica de productos lácteos decide aumentar en un 20% el precio de venta de sus artículos debido a que aumentó el precio de la leche. ¿En que porcentaje disminuyen sus ventas si sus ingresos se incrementaron en un 8%?

p ∧ q ≡ ~ (~ p∨ ~ q) p ∨ q ≡ ~ (~ p ∧ ~ q) Se obtienen los equivalentes por las leyes de De Morgan negando las proposiciones conjuntivas o disyuntivas y cambiando la

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Rpta.: 16) Juan es un confeccionista de zapatos al cual le cuesta S/.80 producir un par de zapatos. ¿Cuál debe ser el precio a que debe

fijarlo para que, haciendo un descuento del 20% de este precio a sus clientes, aun gane el 30% de su costo?

Rpta.: 17) Jorge decide incursionar en el negocio de los cosméticos. Decide entonces aumentar el precio de su lote en un 20%, pero luego de 2 días rebaja este precio en un 10% y al día siguiente nuevamente aumenta el precio recién establecido en un 40%, decidiendo a los 3 días rebajarlo finalmente en un 20%. ¿Está ganando o está perdiendo? ¿En que porcentaje?

Rpta.: 18) Si cuando Pedro vende uno de sus CD’s gana 8 soles. ¿Cuál es el tanto por ciento de la ganancia si le costó $8? (1 dólar ($) = S/.3,50).

Rpta.: 19) Si cuando Ana entra a una tienda de libros, con el objetivo de que ella compre uno, la vendedora le ofrece dos descuentos consecutivos del 15% y del 12%, por lo que Ana compra un libro a S/.104,72. ¿Cuál será el precio de lista?

Rpta.:

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7) Se vende una mercadería en 10K soles ganando el x% de su costo. ¿Qué tanto por ciento se hubiera ganado si la mercadería se hubiese vendido en 11K soles?

10) Una tienda vende con descuento sobre el precio marcado del 15% más el 15% y otra tienda con el 30% de descuento respectivamente. El precio marcado es el mismo en ambas tiendas. ¿Qué tienda vende más barato? ¿Cuál será el tanto por ciento de diferencia?

Rpta.:

Rpta.:

8) El vendedor de una tienda de artefactos electrodomésticos tiene una estrategia para vender los televisores; realiza 3 descuentos sucesivos sobre el precio de litas para que así los posibles compradores lleven al menos un televisor. Si debe vender cada televisor en al menos S/.2 346, ¿Cuál debe ser el precio de lista si va a realizar 3 descuentos sucesivos de 20%, 15% y 8%?

11) En qué porcentaje se debe aumentar el costo de un producto, de tal manera que aun haciendo un descuento del 20% del precio fijado se gane el 40% del costo?

artículo. ¿Cuál es el número de artículos iniciales?

Rpta.:

Rpta.: 9) Un bodeguero vende un artículo con un recargo del 15%. Inicialmente el bodeguero pensaba ganar el 20% del precio de costo más el 25% del precio de venta. Al final el bodeguero ganó S/.252. Hallar el importe por el recargo impuesto.

Rpta.:

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Rpta.: 12) Se vendió 4 productos en S/.9.10 cada uno, en el primero se ganó el 30% del costo, en el segundo se perdió el 30% del precio de venta, en la tercera se ganó el 30% del precio de venta y en el último, se perdió el 30% del costo. ¿Se ganó o se perdió? ¿Cuánto?

Rpta.: 13) Una gran empresa recibe una notificación de la SUNAT en el que le comunican que deben de acercarse a pagar una multa grande aprovechando que hay descuentos tributarios. El contador de la empresa se acerca

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conjunción a disyunción, o la disyunción a conjunción, y negando cada uno de los componentes. Ejemplos:





“En invierno nieva y hace frío”, equivale a “no es el caso que en invierno no nieve o no haga frío”. “Hace calor o sofoca” equivale a “no es el caso que no haga calor y no sofoque”. “No es el caso que Luis estudie y trabaje”, equivale a “Luis no estudia o no trabaja”. “No es el caso que viajes Caraz o te quedes en la Capital Huaraz” equivales a” no viajas a Caraz y no te quedas en la capital Huaraz”.

Cuando se va a operar con formulas aplicando las leyes de De Morgan se deben tener en cuenta los siguientes pasos:





Cambiar ∧ por ∨ o cambiar ∨ por ∧. Negar cada componente de la conjunción o de la disyunción. Negar toda la fórmula. Mantener la jerarquía de los operadores (conectores).

Ejemplos:


~ p∨ ~ q equivale a ~ (~ ~ p ∧ ~ ~ q) y por Ley de De Morgan se tiene: ~ ( p ∧ q ).

11.- LEYES CONDICIONALES p → q ≡ ~ p∨ q ~ (p → q) ≡ p ∧ ~ q p → q ≡ ~ q → ~ p p → q ≡ ~ (p ∧~ q)

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Es la definición del esquema condicional por medio del disyuntivo. Según esta ley, se niega el antecedente y el condicional se cambia por el disyuntivo. Ejemplo: Si Juan es un filosofo entonces es idealista, equivale a o Juan no es un Filósofo o es un idealista

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PROBLEMAS EN CLASE 1) María es una vendedora mayorista de telas. Ella compara cada metro de tela de la fábrica a S/.10. ¿A que precio debe vender 175 metros de tela, si ella quiere ganar el 15% de lo que le cuesta?

p → q ≡ ( p ∧ ~ q)

Rpta.:

Es la definición del esquema condicional por medio del conjuntivo. Según esta ley, se niega toda la expresión y el esquema condicional se cambia por el conjuntivo a la vez que se niega el consecuente.

2) Un vendedor de una tienda de artefactos electrodomésticos se da cuenta que cuando le queda media hora para cerrar su establecimiento, aun le quedan 2 hornos microondas de distintas marcas. Como le queda poco tiempo para cerrar decide venderlos a S/.297 cada uno. Si en el primero ganó el 10% de lo que le costó y en el segundo perdió la décima parte. Ganó o perdió el vendedor? ¿Cuánto ganó o perdió?

Ejemplo: “Si Juan es diplomático entonces habla más de un idioma”, equivale a , “no es el caso que Juan sea un diplomático y no hable más de un idioma”. 12.- LEY DE LA DEFINICIÓN DEL DISYUNTIVO EXCLUIDO. p

∆ q ≡ ( p∨ q) ∧ ~ ( p ∧ q)

Un disyuntivo fuerte o exclusivo es equivalente a una expresión donde se interpreta solamente la verdad de uno de sus miembros, pero nunca de los dos a la vez. Ejemplo : “O Juan es un próspero industrial o es un obrero idealista”, equivale a, “Juan es un próspero industrial o es un obrero idealista, pero no es el caso que sea un próspero industrial y un obrero idealista”.

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Rpta.: 3) Luis y Juan trabajan en una tienda de ropa para mujeres. Luis le vendió un vestido a una señora y Juan, que sabía que el vestido les había costado S/.3 500, le preguntó a Luis a cuánto lo había vendido. Luis le respondió así: “lo he vendido a un precio con el cual hemos ganado el 14% del precio que nos costó más el 5% del

precio al cual se lo hemos vendido”. ¿A cuánto vendieron el vestido?

Rpta.: 4) Un televisor nuevo cuesta S/.1 500. Si se vende ganando el 30% de lo que costó. ¿Cuál es su preció de venta? Si se vendiera perdiendo el 20% de lo que costó. ¿A cuánto se vendería?

Rpta.: 5) Andrés es un mecánico exitoso. Diariamente recibe muchos automóviles para reparar. Un día se da cuenta que le falta un repuesto, por lo que va a preguntar por el precio de este. Entra a una tienda, le dan el precio de venta y él pide una rebaja, por lo que le ofrecen un descuento de 20%. Va a otra tienda y compra el mismo repuesto con un descuento del 25%, ahorrándose así 35 soles respecto a la oferta anterior. ¿Cuánto costaba el repuesto?

Rpta.: 6) El número de artículos de escritorio que se puede comprar con una suma de dinero determinada aumentaría en 5 si se variase en 20% el precio de cada

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6) Pérdida: Viene a ser el monto de dinero que el negociante pierde por realizar una transacción comercial de venta. Se obtiene restando el precio de venta menos el precio de comprar, siendo el resultado siempre un número negativo.

13.- LEYES DE p p p p

7) Precio de lista: También llamado precio de catálogo o precio fijado, viene a ser el precio que inicialmente el negociante ofrece su bien o servicio. Es usualmente usado para hacer creer a la gente que se le está realizando una rebaja (descuento) especial. 8) Descuento: Viene a ser una rebaja en el precio del bien o servicio que se le otorga al cliente (comprador) con el objetivo de que lo adquiera. Relaciones financieras: Pv = Pc + G Pv = Pc – P Pv = PL – D GT = n x P Donde: Pv: precio de venta Pc: precio de compra PL: precio de lista G: ganancia P: pérdida D: descuento GT: gasto total n: número de unidades vendidas. PU: precio unitario de cada producto.

ABSORCIÓN. ≡ ∧ ( p∨ q ) ∧ (~ p∨ q ) ≡ ∨ ( p ∧ q ) ≡ ∨ (~ p ∧ q ) ≡

p p ∧ q p p ∨ q

Están orientadas a los esquemas conjuntivos al disyuntivo.; uno de los miembros del esquema conjuntivo, que es una variable o una cadena de conjunciones, es el esquema absorbente, y el otro miembro, que es una disyunción o una cadena de disyunciones, es el esquema que se absorbe. La operación para deducir el equivalente consiste en aplicar lo siguiente: A. Si una de las variables del esquema absorbente se repite idénticamente en la disyunción o en la cadena de disyunciones, se absorbe toda la disyunción o la cadena de disyunciones. B.

Si una de las variables del esquema absorbente se repite en la disyunción o en la cadena de disyunciones, pero ya no igual si no afirmada o negada, entonces se absorbe solamente la variable que está en la disyunción o en la cadena de disyunciones.

Ejemplos : I .- p ∧ ( q ∨ p). Aplicando A se tiene : p II.- ~ p ∧ (~ p∨ ~ r) Aplicando A, se obtiene el equivalente : ~ p . III.- (q∨ ~ r ∨ s) ∧ ( p ∧ ~ t ∧ ~ r ) También se aplicando A se tiene: p∨ ~ t ∧ ~ r IV.- ~ p ∧ (q ∨ p)

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Aplicando B se obtiene el equivalente a: ~ p ∧ q. V.- ( p ∧ q ∧ ~ r ) ∧ (s ∨ q) ∧ (~ p ∨ ~ t). Al efectuar la absorción se obtiene: p∧q ∧~ r ∧~ t Aquí se ha aplicado A y B a la vez. 14.- LEY DE LA EXPANSIÓN. p ≡ p ∧ (q ∨ ~ q) p ≡ p ∨ ( q ∧ ~ q) p → q ≡ p ↔ ( p ∧ q) Esta ley indica que se puede expandir un esquema con el conjuntivo y un tercio excluido, y según se expande con el disyuntivo y una contradicción 15.- ELEMENTO NEUTRO p ∧ V ≡ p p ∨ F ≡ p 16.- LEYES DE TRANSPOSICIÓN (p → q ) ≡ ~ q → ~ p (p ↔ q ) ≡ (~ q ↔ ~ p ) Ejemplo: “Si María viene de visita entonces se quedará a cenar”, equivale a , “si María no se queda a cenar entonces no viene de visita”. 17.- DISYUNCIÓN FUERTE p ∆ q ≡ ~(p ↔ q )

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Ahora, podemos decir que los asuntos comerciales tratan de las ganancias (o pérdidas) originadas por vender (comerciar) algún bien o servicio. Conceptos básicos: Para entender mejor este tema es necesario conocer algunas definiciones fundamentales. 1) Bien: Viene a ser cualquier producto (objeto material), el cual puede ofrecerse en venta. Ejemplo: fideos, libros, casas, aviones, etc. 2) Servicio: Viene a ser cualquier acción que se hace en beneficio de alguna persona. Puede ser gratuito o remunerado, pero en este tema trataremos de los servicios remunerados. Ejemplo: la atención médica, la educación que te brinda el colegio, etc. 3) Precio de venta: Viene a ser el precio al cual el negociante (por ejemplo el bodeguero) está dispuesto a recibir a cambio de su(s) producto(s). 4) Precio de compra: Viene a ser el precio que le costó al negociante producir o comprar el bien o servicio que oferta. También se llama precio de costo. 5) Ganancia: Viene a ser el monto de dinero que el negociante gana por realizar una transacción comercial de venta. Se obtiene restando el precio de venta menos el precio de compra, siendo el resultado siempre un número positivo.

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TEMA 19: ASUNTOS COMERCIALES

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18.- LEYES LÓGICAS ADICIONALES:

OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Reconocer los elementos que intervienen en cálculo de interés y descuento. • Analizar las relaciones existentes entre los elementos de la regla de interés, asi como también de la regla de descuentos. • Aplicar las relaciones matemáticas en la resolución de problemas de la regla de interés como de la regla de descuento.




Introducción: Diariamente todas las personas realizan operaciones o asuntos comerciales. Incluso nosotros, a nuestra corta edad, las realizamos: pagamos al bodeguero para que nos venda las golosinas o el mandado que nos hace nuestros padres y varios casos más. Pero ¿alguna vez te has preguntado a cuánto nos deben vender lo que compramos para que el comerciante gane dinero? Bueno, en este capítulo abordaremos este tema.




Asuntos Comerciales. El bodeguero que nos vendió, por ejemplo, el kilogramo de fideos que nos mandó a comprar nuestra madre, no nos lo puede vender al precio al cual él lo compró al vendedor mayorista porque no ganaría dinero, y su objetivo es justamente ganarlo. Mucho menos podrá venderlo a un precio menor al cual lo compró porque encima estaría perdiendo dinero. Por esto, el bodeguero nos lo vende a un precio un poco mayor al cual se lo vende. A esta pequeña diferencia se le conoce como margen de ganancia y es lo que realmente está ganando el bodeguero por vendernos los fideos. Es decir, si al bodeguero le costó S/.1.80, él nos lo venderá a S/.2.30, para que de este modo él pueda ganar 2.30 – 1.80 = S/.0.50 por vendernos los fideos.

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~ p ∨ q ≡ ~ p ∨ ( p∧ q) ~ p ∧q ≡ ~ p ∧ ( p ∨ q) p∆q≡(p∧~q)∨(q∧~p) p∆q≡(p∨ q)∧~(p∧q) p∧F≡F p∧V≡p p ∧ (~ p ) ≡ F p∨F ≡p p ∨ V ≡ V. p ∨ (~ p ) ≡ V p ∧ (~ p ∨ q ) ≡ p ∧ q p ∨ (~ p ∧ q ) ≡ p ∨ q.

Como se puede observar, con las leyes lógicas hasta aquí citadas se pueden efectuar una serie de operaciones lógicas, en especial deducir equivalencias. En particular se usan muchas de estas leyes para transformar esquemas moleculares y obtener otros equivalentes que obedecen a ciertos modelos de esquemas. Estos esquemas se llaman formas normales. 1. Formas Normales. Las formas normales son ciertos modelos de esquemas moleculares formadas por esquemas básicos o fundamentales. Los esquemas básicos o fundamentales pueden ser solamente disyunciones con componentes afirmados o negados. En estos modelos se pueden apreciar las tautologías y las no tautologías sin la necesidad de la tabla de la verdad, además, todo esquema molecular puede transformarse en uno de estos modelos, lo que implica que puede decidirse su validez o invalidez. Cada una de

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estas formas toma el nombre de forma Normal conjuntiva o Forma Normal Disyuntiva. 2. La Forma Normal Conjuntiva. Un esquema molecular está en forma normal conjuntiva cuando está formado por una disyunción básica, o por la conjunción de disyunciones básicas. Una disyunción básica es un esquema compuesto solamente por disyunciones cuyos componentes pueden estar afirmados o negados. Estos esquemas también se llaman disyunciones puras o disyunciones fundamentales. A continuación se tiene el modelo de una disyunción básica

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disminuye en 40%. ¿Qué pasa con el área? a) Dismin. a 84% b) No varía c) Diminuye en 15% d) Aumenta a 16% e) Aumenta a 126% 14) En 1980 la población aumenta en 7% con respecto a 1978. Los hombres aumentaron en 15% y las mujeres disminuyeron en 8%. Hallar la

razón entre hombres y mujeres en 1978. a) 7/9 b) 15/8 c) 8/15 d) 9/13 e) 15/17 15) Tengo cierta cantidad de dinero y gano el 25% del resto, pierdo el 28%. En total pierdo S/.720. ¿Cuánto tenía desde un comienzo? a) S/. 3 400 b) 7 200 c) 2 700 d) 2 800

e) 5 600


p ∨ q ∨ ~ r ∨ ..... ∨ n

y luego el modelo de una conjunción de disyunciones básicas.


p ∨ ~ q ∨ r ∧ s ∨ ~ t ∨ ~ p ∨ q .......N* ( N* = SE INTERPRETA COMO UNA DISYUNCIÓN BÁSICA)

Como el objetivo de la forma normal conjuntiva es determinar si un esquema molecular es válido o no, vamos a indicar cuándo una disyunción básica es una tautología


Una disyunción básica es una tautología cuando contiene el principio del tercio excluido. Como el tercio excluido por si solo es una disyunción básica, y si añadimos (disyuntivamente) a este principio cualquier otra disyunción básica, el equivalente siempre será una tautología.

Aritmética 48

Aritmética 301

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resto a su hermano menor y lo restante al asilo “Buena muerte”. ¿Cuánto le corresponde al asilo? a) 7600 b) 6970 c) 7800 d) 9200 e) 8000

3. La Forma Normal Disyuntiva. A diferencia de la forma normal conjuntiva es una conjunción básica o una disyunción de conjunciones básicas. Una conjunción básica es un esquema compuesto solamente de conjunciones con sus componentes afirmados o negados. A continuación se tiene los modelos de una conjunción básica y de una disyunción de conjunciones básicas.

7) Manuel reparte su fortuna de la siguiente manera: a Rosa le dio el 24%, a Valentín el 20% y a Consuelo los 112 soles restantes. ¿Quién tuvo mas dinero? a) Rosa b) Valentín c) Consuelo d) Manuel e) N.A. 8) Mi hermana va a la bodega de la esquina, al comprar cierto número de naranjas le regalan un 5% de las que compró, obteniéndose de esta manera 420 naranjas ¿Cuántas compró? a) 200 b) 300 c) 400 d) 360 e) N.A. 9) ¿Qué tanto por ciento del 15% del 8% de 600 es el 20% del 0,5% de 1440? a) 50% b) 40% c) 30% d) 20%

Aritmética 300

e) 10% 10) En la figura mostrada:

¿Qué parte del área sombreada es el área no sombreada? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 11) Manuel va a visitar a Rosa que vive a 40Km de su casa y a una velocidad de 5km/h, luego de 5hrs. ¿Qué porcentaje le falta recorrer? a) 37% b) 37,5% c) 40% d) 25,5% e) N.A. 12) En una reunión el 40% son niños y el resto niñas. Si se retira la mitad de los niños. ¿Cuál será el nuevo porcentaje de niñas? a) 80% b) 70% c) 65% d) 75% e) 60%





p ∧ ~ q ∧ r ∧ ........∧ n ( p ∧ q ∧ ~ r ) ∨ ( s ∧ ~ p ∧ ~ t ) ∨ ...... ∨ N.

Lo que se quiere mostrar con la forma normal disyuntiva es, negando un esquema molecular, si es o no inconsistente. Será inconsistente si en cada conjunción básica aparece la contradicción ( p ∧ ~ p). Esta contradicción hace que la conjunción básica sea contradictoria. 4. Las Implicaciones Notables. Las implicaciones notables son leyes lógicas que indican las formas de pasar lógicamente de las premisas a la conclusión. a) Modus Ponendo Ponens Según esta ley, si se afirma el antecedente de una premisa condicional, se concluye en la afirmación del consecuente. p →q p ---------------Por lo tanto q

13) Si el lado mayor de un rectángulo se le aumenta en 40% y el lado menor se

Aritmética 49

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Ejemplo: Si llueve la pista esta mojada. Llueve. Luego, la pista mojada.

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PROBLEMAS PARA LA CASA está

La misma ley se aplica si el antecedente y el consecuente son proposiciones compuestas, y de este modo se derivan conclusiones complejas cada vez más del sentido simplemente trivial. Ejemplo: Si los militares valientes se cansan y los políticos no son buenos soldados, entonces o los militares valientes no están entrenados o los políticos no conocen la estrategia de la guerra. Los militares valientes se cansan y los políticos no son buenos soldados. Por lo tanto, o los militares valientes no están entrenados o los políticos no conocen la estrategia de la guerra.

1) En una prueba de selección donde es requisito aprobar los 4 exámenes programados, sólo el 15% de los postulantes podía ser admitido. Si sólo se exigiera aprobar 3 de los exámenes, el número de postulantes a admitir aumentaría en un 60% del número anterior y totalizarían 900 integrantes. ¿Cuántos son los postulantes? a) 3 900 b) 3 750 c) 4 000 d) 4 500 e) 4 850

b) Modus Tollendo Tollens. Según esta ley, si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en la negación del antecedente. p →q ~q ------------Por lo tanto ~p Ejemplo: Si Luisa gana el concurso de literatura entonces viajará a Cuzco. Pero Luisa no viajará Cuzco. Luego, no ganó el concurso de literatura.

Aritmética 50

2) Lucía, Patricio y José tienen juntos un número de unidades monetarias entre 70 y 80. Si el 20% de lo que tiene José es lo que tiene Lucía y el dinero de ella aumentado en su 80% es el dinero de José ¿Cuánto tiene Lucía?. a) 2 b) 10 c) 61 d) 12 e) 15 3) Una felpa se encoge por culpa del lavado 10% en el ancho y 20% en el largo. ¿Qué longitud debe comprarse si se requieren 36m2 de felpa después de lavada?.

a) 32m d) 18m

b) 25m e) 20m

c) 22m

4) La mano de obra y las indemnizaciones suman el 40% del valor total de la obra si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano de obra. ¿Qué tanto por ciento del valor de la obra importa solo la mano de obra? a) 27% b) 22% c) 28% d) 20% e) 25% 5) Una compañía adquiere una propiedad de 1800 caballerías de este modo: el 22% de la finca lo paga a S/.2000 la caballería; el 56% a S/.800 la caballería y el resto a S/.500 la caballería. ¿Cuánto importa la compra? Dar como respuesta la cifra de las centenas. a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 6) Un hombre al morir dispone en su testamento que su fortuna, la cual asciende a S/.20 000 se reparta de la siguiente forma: el 35% a su hermano mayor, el 40% del

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16) De una finca de 50 hectáreas se vende el 16% y se alquila el 14%. ¿Cuántas hectáreas quedan? Rpta.: 17) En una sesión de materias se vio que el 65% trabaja en colegios estatales, 220 en colegios privados y 20% en ambos ¿Cuántos eran en total? Rpta.: 18) Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de losetas circulares para cierta pared. Si todas las losetas a usarse son de las mismas dimensiones. ¿Cuál es el máximo porcentaje de área de la pared que puede ser cubierto por dichas losetas? Rpta.:

19) Si se incrementa en un 60% la profundidad de una piscina circular ¿Cuál será el porcentaje en el que hay que aumentar al radio de la piscina para que su volumen aumente en un 150%. Rpta.: 20) En la UNASAM, el departamento de servicio social decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar en un 30% al resto. Si el monto total de las personas queda disminuido en un 10% con esta política. ¿Qué porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de bajos recursos económicos? Rpta.:

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c) Silogismo Disyuntivo. Si negamos uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miembro.. p∨q ~p -------------q

p∨q ~q -------------p

Ejemplo: Jorge pasará sus vacaciones en Huaraz o en Caraz. Jorge no pasará sus vacaciones en Huaraz. Por lo tanto, pasará sus vacaciones en Caraz. Ejemplo: O hace frío y llueve, o el festival se celebrará al aire libre. El festival no se celebrará al aire libre. Luego, hace frío y llueve. d) Simplificación. Según esta ley, de una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus miembros. p∧ q p ∧ q --------------------------p q Ejemplo: Chemo del Solar fue volante y Centro delantero. Por lo tanto Chemo del Solar fue volante. e) Adición. Una disyunción implica por cualquiera de sus miembros. p --------------p∨q

Aritmética 298

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Ejemplo: Napoleón fue deportado a la isla de Santa Elena. Por lo tanto fue deportado a la isla de Santa Elena o fue derrotado por los ingleses. f) Conjunción. De dos premisas se puede concluir en la conjunción de ellas. p q -------------p∧q Ejemplo: Cubillas nació en el Perú. Maradona nació en argentina. Luego, Cubillas nació en Perú y Maradona en Argentina. g) Silogismo Hipotético (Implicancia) [ (p → q ) ∧ (q → r)]→ (p → r) (Transitividad) Ejemplo: - Si estudias mucho entonces ingresarás. - Si ingresas entonces te obsequiaré un auto del año. p : estudias mucho q : ingresarás. r : te obsequiaré un auto del año. Simbología: (p → q ) ∧ (q → r) Conclusión: p → r Se lee: “Si estudias mucho entonces te obsequiaré un auto del año”.

Aritmética 52

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manera consecutiva para que su efectividad sea de 85%. Rpta.: 10) Si de cierta cantidad de dinero se pierde el 40%, del resto se gana el 30%; si de esta operación se pierde 88 soles respecto al número inicial, hallar ese número. 11) Gerardo quiere vender un objeto aumentando su precio en un 20%, pero luego de unos días rebaja este precio en un 10%, y a la semana nuevamente aumenta el nuevo precio en un 25%, decidiendo al día siguiente rebajar un 20% de este último precio. El comerciante, ¿gana o pierde? ¿y cuánto? Rpta.: 12) Un tonel tiene líquido en un 60% de su capacidad. Si se le extrae una cantidad de líquido igual al 40% de la parte vacía ¿Qué parte de lo que queda se debe aumentar para tener el recipiente lleno en un 66% de su capacidad? Rpta.:

13) A un tonel que contiene cierta cantidad de vino se le adiciona 480L de agua, luego se extrae el 20% de la mezcla y se reemplaza totalmente con agua y resulta que la cantidad de vino de la nueva mezcla constituye el 16% de la mezcla ¿Cuántos litros de vino tenía el recipiente? Rpta.: 14) En un recipiente hay agua y alcohol. Si se extrae el 20% de alcohol quedarían partes iguales de agua y alcohol respecto de la capacidad del recipiente. Si de lo que quedase se extrae el 30% de agua ¿Qué porcentaje es la cantidad final de mezcla respecto a la original? Rpta.: 15) Para confeccionar 1000 buzos se requieren 50Kg de materia prima y se pierde un 8% en la fabricación. De un buzo se desperdicia un 20% al utilizarla. Si reunimos los desperdicios al utilizar los 1000 buzos y se usan como materia prima. ¿Cuántos buzos se podrían hacer? Rpta.:

Aritmética 297

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PROBLEMAS EN CLASE 1) Si el lado mayor de un rectángulo aumenta en un 30% y el lado menor disminuye en un 30%. ¿Qué pasa con su área? Rpta.: 2) Una caja contiene bolas rojas, blancas y azules. El 12% de ellas son rojas, el 36% son blancas y las 156 azules son las restantes. Hallar el total de bolas. Rpta.: 3) Si el lado de una figura cuadrada se reduce a la mitad. ¿En qué porcentaje disminuye su área? Rpta.: 4) Una mezcladora de concreto sufre una depreciación anual del 10%, respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de 4 años su precio es de S/.13122, entonces el costo real de la mezcladora fue de: Rpta.: 5) Mela gasta el 26% de su dinero, con ello, lo que le queda

Aritmética 296

excede a lo gastado en S/.240. ¿Cuánto tenía inicialmente?. Rpta.: 6) Si “m” es el 40% de la suma de “n” y “p”; además “n” representa el 25% de la suma de “m” y “p”. Calcular n/m. Rpta.:

PROBLEMAS EN CLASE 01) Si la proposición compuesta:

( p ∧ q) → (r ∨ t) es falsa. Indica las proposiciones que son verdaderas. A) p y r D) q y t

9) Universitario de Deportes ha vencido sus últimos 17 encuentros ¿Cuántos encuentros debe perder de

C) r y t

02) Si se sabe que: p ∧ ~ r es falsa r → q es verdadera q ∨ t es falsa

7) En una cervecería, el 70% de las cervezas son de marca cristal, si se ha vendido el 60% de cerveza cristal ¿En qué porcentaje ha disminuido la cantidad inicial de cervezas?. Rpta.: 8) Un ladrillo es introducido en el agua al sacarla y pesarla, se observó que el peso aumentó en 60%. Si se saca la tercera parte del ladrillo del agua. ¿En qué porcentaje disminuirá el peso del ladrillo? Rpta.:

B) p y q E) p y t

Determine los valores de verdad de p, q, r y t. A) VVVV D) FVFF

B) VVFF C) VFVF E) FFFF

04) Hallar el valor de la verdad de: [(p → ~q) ∧ (r∆ ~p)] ∨ (~r → q)

Si p ≡ V , q ≡ F A) V D) V ∨ F

B) F E) NA.

C) V ∧ F

05) Por medio de la tabla de los valores, determine si es consistente, tautológico o contradictorio cada uno de los siguientes esquemas moleculares. a) ( p ∧ q ) → p b) p → ( q ∨ ~ p) c) ~ p → ( q ∨ ~ p )

03) Si la proposición “No es cierto que estudiemos y no aprobemos”, es verdadera, entonces podemos afirmar: A) B) C) D) E)

Aprobamos y no estudiamos. Estudiamos y no aprobamos. Estudiamos o no aprobamos. Aprobamos o no estudiamos. Estudiamos y aprobamos.

d) (~ p ∧ q ) → (~ q ∨ p ). e)

~ (p ∨ q ) ↔ (~ q → p)

f) [ p →(q∧ r) ↔ ~(r∨ p)] g) [~p → ~(q ∧r)]∆ [(r →~q) ∨ p] h)~[~(p∨q)↔~(q∆r)]→[~q→(p∨r)] i ) [(p∆~q)∧~(r∧q)]↔~[(p∆~q) → (q∧r)]. j)

~{~[~(~[~p∧q] ≡ ~r) → ~ r → ~(~ r ∨ ~ q ) ]↔[ p∧~( r ↔q)]}

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O6) La proposición “Viajas a Huaraz a menos que no vayas al Cuzco”, es falsa si. A) No viajas a Huaraz ni al Cuzco. B) Viajas a Huaraz y al Cuzco. C) Viajas a Huaraz y no al Cuzco. D) No viajas a Huaraz y si al Cuzco. E) No se puede precisar.

2) Si se realiza dos descuentos sucesivos de P% y Q%, el descuento único será:

2) Ya que la materia es transformable bien se ve que no es destructible. 3) La materia no es destructible a menos que sea transformable. 4) La materia no es transformable o no es destructible. 5) Si la materia es destructible, no es transformable. 07) La proposición: “Si no tomas Son correctas: en serio las cosas tendrás problemas para ingresar o no A) 1, 2, 3 B) 4, 5, 2 serás profesional”, es falsa. C) 5, 3, 1 D) 4, 2, 3 ¿Qué valor de verdad asume la E) Todos proposición; “No tienes problemas para ingresar”? 09) Dadas las proposiciones: A) Verdadero p : Juan aprueba sus cursos B) Falso q : Juan va a la fiesta C) Contradictorio r : Juan estudia para su examen. D) Indeterminado E) Ninguna anterior Formalizar: “Si Juan va a la fiesta entonces 08) La proposición: no estudiará para su examen, “De ninguna forma, la materia es pero no es el caso que vaya a la destructible tal como es fiesta y apruebe sus cursos. De transformable” ahí que Juan estudia para su Equivale a: examen”. 1) Si la materia no es destructible en consecuencia A) [(q → r) ∧ ~(q ∧p)] → r no es transformable. B) [(q → ~r) ∧ ~ (q ∧p)] → r C) [(q → r) ∨ ~ (q ∧p)] → ~ r D) [(q → r) ∧ ~ (q ∧p)] → ~ r

Aritmética 54

Descuento único

 

= P + Q −

P×Q  % 100 

Aritmética 295

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Cada parte será: 100% = 25% 4 1 Es decir = = 25% 4 Por lo que se concluye que para invertir la fracción a porcentaje se multiplica la fracción por 100%. También, para convertir de porcentaje a fracción se divide el número sin el símbolo “%” entre 100. De fracción a tanto por ciento:

E) [(q → r) ∨ ~ (q ∧p)] → r

1 × 100% = 25% 4 1 × 100% = 20% 5 De tanto por ciento a fracción:

25 1 = 100 4 20 1 = 20% = 100 5

25% =

Operaciones sucesivas: En porcentajes (tanto por ciento) hay situaciones en los que se realizan aumentos o descuentos sobre una cantidad, tomando como referencia la nueva cantidad obtenida. Casos particulares: (sólo para 2 descuentos o aumentos) 1) Si se realiza dos aumentos sucesivos del P% y Q%, el aumento único será. Aumento único =

P×Q   P + Q + % 100  

Aritmética 294

10) Hallar la tabla de verdad de: ( p ∨ q)) ↔(p∨ ~q) A) VFVF B) VVVV C) FFFF D) VFFV E) FFFV

A) Sólo I C) I y III E) Sólo III

B) Solo II D) II y III

14) La proposición: ~p →(q∨ ~ r) es falsa la proposición s es verdadera ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son 11) Si: (p ∧ ~ q) → r es falsa, verdaderas? determinar el valor de p, q y r • p→q • (p ∧ ~ q) ∨ ~ r A) VVV B) FFF C) VFF • ~ s ↔(~ p ∧ r) D) VVF E) VFV • (~ p ∨ q ) → r 12) Si la proposición compuesta: ~ [(p ∧ ~ r ) → (r ∆ ~ q)]

A) 3 4

B) 2

C) 1

D) 0

E)

Es verdadera, hallar el valor de 15) Sabiendo que la proposición p verdad de las proposiciones r, p y es verdadera, ¿en cuáles de los q respectivamente siguientes casos es suficiente dicha información para A) VVF B) FVV C) VFV determinar el valor de verdad de D) FVF E) FFV las siguientes proposiciones 13) Si la proposición p → (r ∧ s) es falsa, entonces se puede afirmar que: I. “p” es necesariamente verdadera. II. “r” es necesariamente verdadera. III. “s” puede ser verdadera.

I. ( p ∨ q ) ↔ (~ p ∧ ~ q) II. ( p ∧ q ) →( p ∨ r ) III. ( p →q ) →r A) Sólo I C) I y III E) Todas

B) Sólo II D) I y III

Aritmética 55

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D) Ve un gato negro si tiene 16) Formalizar: mala suerte “Si luchas por triunfar, entonces triunfarás, sin embargo no luchas E) N. A. por triunfar”. 20) No es buen deportista pero A) p → (q ∧ r) sus notas son excelentes. Es B) p → (q ∧ r) equivalente a: C) (p → q) ∧ ~ p A) No es cierto que, sea un buen D) (p → q) ∧ (p ∨ q) deportista o sus notas no E) (p → q) ∨ ~ q sean excelentes. B) No es cierto que, sea un buen 17) Simplificar: deportista o sus notas sean ~ ( ~p ∧ ~ q) excelentes C) No es cierto que, no sea un A) p B) q C) ~ p ∧ q buen deportista o sus notas D) q → p E) p → q no sean excelentes. D) No es cierto que, no sea un 18) Simplificar: buen deportista o sus notas ~ ( p ∨ ~ r) → (p ∨ ~ p) sean excelentes. E) No es cierto que, es un buen A) p B) q C) p ∧ q D) F E) V deportista y sus notas no son

Propiedades: 1) Toda cantidad representa el 100% de sí misma.  a = 100% a

19) Hallar el equivalente a; “Es falso que si Ud., ve un gato negro, entonces tendrá mala suerte” A) Ve un gato negro y tiene mala suerte B) No tiene mala suerte si ve un gato negro. C) Ve un gato negro y no tiene mala suerte

Aritmética 56

excelentes. Hallar en cada caso La

2) Los porcentajes se pueden sumar o restar, siempre que sean respecto a una misma cantidad. a% N + b% N – c% N = (a + b - c) % N. Por ejemplo se podría pedir: Aumentar M en su 70%: M + 70%M = 100%M + 70% M

= (100 + 70)% M = 170% M Disminuir M en su 40%: M – 40%M = 100M – 40% M = (100 – 40)%M = 60% M Tanto por ciento del tanto por ciento: Se llama así al cálculo del porcentaje sobre otro porcentaje. Por ejemplo, calcular el 8% del 20% de 10000.

8 20 × × 10000 = 160 100 100 Relaciones entre las fracciones y el tanto por ciento: Observamos lo siguiente: Si una cantidad la dividimos en 4 partes iguales, se tendrá:

proposición equivalente: 1. No es cierto que estudiemos y no aprobemos. A) Aprobamos

y

no

estudiamos.

Aritmética 293

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B) Estudiamos o aprobamos.

TEMA 18: TANTO POR CIENTO OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Establecer una relación entre parte y todo. • Determinar el tanto por ciento de una cantidad. • Realizar operaciones con porcentajes • Resolver problemas de aumentos y descuentos sucesivos de una cantidad. Definición: Se llama PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO a una determinada cantidad con relación a 100 unidades. Ejemplo: Se ha determinado que el 82% de los alumnos del COCIAP practican algún tipo de deporte. Esto quiere decir que de cada 100 alumnos del colegio, 82 practican algún tipo de deporte. Lo que significa que si en el colegio hay 400 alumnos, se tendrá: 4 x 82 = 328 alumnos que practican algún deporte. Notación: El “a” por ciento de “b” se representa como a% de b Que es:

a ×b 100

100

no

o

no

aprobamos. D) Aprobamos

Lucía es feliz, si lee cuentos.

A) No es cierto que Lucía lea

estudiamos. E) Estudiamos y aprobamos.

cuentos y sea feliz. B) No es cierto que Lucía sea feliz o no lea cuentos. C) No es cierto que Lucía lea

2.

No es brillante pero se ve su esfuerzo.

A) No es cierto que sea brillante y no se vea su esfuerzo.

cuentos y no sea feliz. D) No es cierto que Lucía no lea cuentos y no sea feliz. E) N.A.

A) No es cierto que se vea su esfuerzo y no sea brillante. B) No es cierto que sea brillante

5. Vas a trabajar, si no estás enfermo.

o no se vea su esfuerzo. C) No es cierto que se vea su esfuerzo o no sea brillante. D) N.A.

A) No vas a trabajar, si estás enfermo. B) No estás enfermo, si no vas a trabajar.

3. Irene mejorará su letra, si A) Irene practica a diario o mejora su letra. B) Irene mejora su letra o no

C) Estás enfermo, si vas a trabajar. D) Estás enfermo, si no vas a trabajar. E) N.A.

practica a diario.

Representación general: P = a % b

Aritmética 292

o

practica a diario.

Donde el símbolo “%” se lee “por ciento” y representa (1/100). Ejemplo: Hallar el 30% de 500: 30% de 500 = 30 x 500 = 150

Porcentaje o tanto por tanto por ciento ciento deseado

C) Estudiamos

4.

Cantidad total

C) Irene no mejora su letra y no practica a diario. D) Irene no practica a diario y

6. Comes levantas

cebiche, tarde

si

te el

domingo.

no mejora su letra. E) N.A.

Aritmética 57

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A) Si no comiste cebiche, no 8.

Sabiendo que:

te levantaste tarde el

-

Si A ocurre, B ocurre.

domingo.

-

Si C ocurre, A ocurre.

-

B ocurre, si D ocurre.

B) Si no comiste cebiche, te levantaste

tarde

el

domingo. C) Si

son verdaderas: I. Si B no ocurre, C no

comiste

cebiche,

ocurre.

entonces no te levantaste

II. Si A ocurre, D no ocurre.

tarde el domingo.

III.A no ocurre, si B no

D) Si

comiste

entonces

te

cebiche,

ocurre.

levantaste

tarde el domingo.

A) Sólo I y II B) Sólo I y III

E) N.A.

C) Sólo II y III D) Todas E) Sólo una de ellas

7.

De

las

siguientes

afirmaciones: -

Si

eres

9. De las siguientes premisas: inteligente,

-

entiendes rápido. -

Estudias

menos,

Si hace calor y no llueve, iremos a la playa.

si

-

entiendes rápido. se deduce válidamente que:

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a) 2a - 1 d) 2a + 1

b) a2 – 1 c) a + 1 e) a - 1

13) Por 691 500 soles se han comprado cantidades iguales de 3 clases distintas de ladrillos. La primera a razón de 655 soles el ciento, la segunda a 7500 soles el millar y la tercera a 90 mil soles los 10 millares. ¿Cuántos ladrillos se compraron? a) 120 millones b) 80 c) 100 d) 90 e) 150 14) 25 obreros hacen S/. 8 de una obra en 10 días. A partir de ese momento, se contratan “n” obreros mas cada día,

terminándose 2 días antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros si hubieran continuado ellos solos. Hallar “n” a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 15) 300 pantalones de doble costura puede ser cocidos por 24 hombres o 32 mujeres en 20 días trabajando 9 horas diarias. ¿Cuántas mujeres deben reforzar a 21 hombres, que van a coser 200 pantalones de triple costura en 18 días trabajando 8 horas diarias? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Iremos a la playa, si tenemos movilidad.

-

No vamos a la playa.

es verdad que: A) No estudias menos, si eres inteligente. B) Si

eres

inteligente,

I. Llueve. II. No tenemos movilidad. III.No hace calor.

estudias menos. C) Si no eres inteligente, no estudias menos.

A) Sólo I B) Sólo III C) N.A. D) Sólo II E) Sólo I y III

D) Si estudias menos, eres inteligente. E) N.A.

Aritmética 58

Aritmética 291

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¿Cuántas moneas de 5 soles se pueden añadir para que por cada 20 monedas de 5 soles haya una de 1 sol? (1 de un sol) a) 260 b) 250 c) 240 d) 200 e) 220

10. Sabiendo que:

08) Una brigada de 30 obreros se comprometen hacer 30 m. de una zanja en 30 días; a los 5 días de empezado el trabajo se aumenta 5 obreros y 10 días después se aumenta 5 obreros mas. ¿Cuál es el tiempo empleado en hacer la obra? a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 09) Se sabe que 10 obreros producen 80 chompas en 5 días, se quiere producir con dichos obreros 800 chompas, pero se les da un plazo de 20 días para la entrega, por lo que se decide contratar una cantidad adicional de obreros que trabajaran desde el noveno día hasta 2 días antes del día de entrega. Calcular el número de obreros que se contrataron. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Aritmética 290

10) Dos albañiles, de los cuales el segundo comienza a trabajar un día después que el primero, terminan de construir una pared, trabajando juntos 7 días después que el primero inicio el trabajo. Para hacer este trabajo cada uno solo el primer albañil requiere 2 días más que el segundo. ¿Qué tiempo demora cada albañil en construir una pared? a) 8 y 10 b) 8 y 11 c) 9 y 12 d) 10 y 12 e) 12 y 14 11) Para hacer mil tizas se necesitan 25 kg de materia prima, perdiéndose 8% en la fabricación; en una tiza se desperdicia el 20% al utilizarse. Si reunimos los desperdicios de 1 000 tizas y las empleamos como materia prima. ¿Cuántas tizas podremos hacer?

C)

“Si ella dice la verdad, hará

No

estudié

con

dedicación.

felices a sus amigos, sin

D) Veo TV.

embargo, ella no es feliz pero

E) Más de una es correcta.

dice la verdad. Además, hará felices a sus amigos si ella es

12. Se sabe que:

feliz”.

-

es cierto que:

Si no te abrigas, te vas a resfriar.

A) Ella hará felices a sus amigos.

Si te abrigas vas a la fiesta.

Pero, no vas a la fiesta.

B) Ella no hará felices a sus

Luego, ....

amigos. C) Ella es feliz.

A) No te resfrías.

D) Ella no dice la verdad.

B) Te abrigas.

E) N.A.

C) No te abrigas y vas a la fiesta.

11.

Sabiendo que: -

No

D) Si te resfrías vas a la

estudio

con

dedicación dado que, o veo TV o escucho música. -

Ingresaré

a

fiesta. E) No vas a la fiesta y no te abrigas.

la

Universidad siempre que a) 184 b) 115 c) 125 d) 150 e) 160 12) Si el trabajo hecho por (x - 1) hombres en (x + 1) días es el trabajo hecho por (x + 2) hombres en (x - 1) días, como “a” es a (a + 1). Hallar x en función de “a”.

estudie con dedicación. -

No ingresé.

es cierto que: A) O

veo

TV

o

escucho

música. B) Escucho música.

Aritmética 59

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PROBLEMAS PARA LA CASA

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

Sabiendo que: p ∨ ∼ q ≡ F.

6. Hallar el valor de verdad

Hallar los valores de p y q.

de:

A) VV

B) FV

I. F ∨ p

D) VF

E) N.A.

C) FF

II. V ∧ q

A) pq

B) Fq

C) pV

D) FV

E) N.A.

2. Sabiendo que: ∼ p→∼q ≡ F, 7. Hallar el valor de verdad

hallar p y q. A) FF

B) VF

C) FV

D) VV

E) N.A.

de: I. p ∨ ∼ p

3. Si ∼ p→q ≡ F, hallar p y q. A) VV

B) VF

D) FF

E) N.A.

II. p ↔ ∼ p

A) VV

B) VF

C) FV

D) FF

E) N.A.

C) FV 8. Hallar el valor de verdad de:

4. Sabiendo que: p → ∼ q ≡ F. Hallar

los

valores

de

verdad de p y q. A) VV

B) VF

D) FF

E) N.A.

I. ∼ p ∧ p

II. ∼ p ↔ p

A) VV

B) FF

C) VF

D) FV

E) N.A.

C) FV 9. Hallar el valor de verdad de:

5. Hallar el valor de verdad de: I. ∼ p ∧ F

II. ∼ q ∨ V

A) VV

B) FF

D) FV

E) N.A.

Aritmética 60

C) VF

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I. ∼ p → V

II. F → ∼ q

A) VV

B) FF

D) FV

E) N.A.

C) VF

01) Se tiene 50 cuadernos de los cuales 15 son rayados y el resto cuadriculados. ¿Cuántos cuadernos rayados se deben añadir para que por cada 40 cuadernos rayados y hayan 5 cuadernos cuadriculados? a) 280 b) 265 c) 256 d) 275 e) 295 02) Un auto, a 60 km/h cubre la distancia de Lima a Tumbes en 16 horas, ¿A que velocidad debe recorrer para cubrir dicha distancia en la mitad de tiempo? a) 30 km/h b) 38 km/h c) 60 km/h d) 120 km/h e) N.A. 03) Para recorrer un trayecto un excursionista que camina 4,25 km/h ha empleado 6 horas. ¿Cuánto tiempo habría empleado si hubiera andado 850 metros más por hora? a) 5 h b) 4 h c) 3 h d) 8 h e) N.A. 04) Un obrero tarda en hacer un cubo compacto de concreto de 30 cm. De arista unos 50 minutos. ¿Qué tiempo

tardará en hacer 9 cubos, cada uno con 50 cm. de arista? a) 34 h b) 34 18/13 c) 34 13/18 h d) 35 h e) N.A. 05) Un caño puede llenar un cilindro de agua de 120 litros en 30 min.; mientras que otro llena el mismo cilindro en 5 minutos menos. ¿Qué capacidad tendrá una tina que es llenada por 2 caños en 3 horas, 30 minutos? a) 1 488 L b) 1 500 L c) 1 800 L d) 1 740 L e) 1 848 L 06) Un burro atado a una cuerda de 10 m. de longitud puede comer la hierba que esta a su alcance en 2 días. La hierba tiene una pareja uniforme, y devoraría todo lo que estuviese a su alcance en…, si la longitud de la cuerda fuera de 25 metros y la altura de la hierba, de 0,6 m. a) 14 días b) 15 días c) 16 días d) 17 días e) 18 días 07) Se tiene 200 monedas, de las cuales 60 son de un nuevo sol y los restantes de 5 soles.

Aritmética 289

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18) Un reloj se atrasa 10 minutos cada día. ¿Dentro de cuantos días volverá a marcar la hora exacta? Rpta.:

10. Hallar el valor de verdad

19) La rapidez de A es igual a 3 veces la rapidez de B y este es a su vez, 4 veces la rapidez de C. si A hace 9 minutos 15 segundos de trabajo. ¿En que tiempo C lo haría? Rpta.:

Rpta.: 20) Un individuo recorre 48 km en 7 ½ horas dando 54 000 pasos. Si sus pasos son todos dd la misma longitud. ¿Cuántos pasos dará en 12 horas para recorrer 60 km? Rpta.:

de: I. p → F

II. V → q

A) FVVV

B) VVFV

C) VFVV

D) FVFV

E) FVVF

A) p, q B) ∼p, q B) ∼p, ∼q D) p, ∼q E) N.A.

14. Si la siguiente proposición compuesta:

11. Si: p = V ; q ≡ F

(p ∧ ∼ q) ∨ (p → r) es falsa

Los valores de:

son ciertas:

p → q, ∼ p ∨ ∼ q ; ∼ p ∧ t

I. p ∨ q es falsa

son en ese orden:

II. ∼

A) FFF

B) VVF

D) FVF

E) FVV

C) VVV

(∼

q

∧

p)

es

→

q

es

verdadera III.

r

verdadera 12. Si: q ≡ V ; p ≡ ∼ q

A) I y II

C) II y III

Los valores de: (∼p→q)∨r

B) I y III

D) Todas

; ∼ q ∧ ∼ p ; p → q son en

E) N.A.

ese orden: A) FFV

C) FFF

B) FVF

D) VFV

15. De

I. (p → q) ↔ (p ∧ ∼ q) II. (p → q) ↔ (∼ p ∧ q)

la

proposición

compuesta: es falsa, hallar los valores q,

p,

r

respectivamente.

Aritmética 288

y

III. [ (p ∧ ∼ q) ∨ q ] ∧ ∼ p IV. [ (p ∨ q) → q ] ∆ [ (q ∧ p) ∆ q]

(p ∧ ∼ q) → (r → ∼ s) de:

siguientes

proposiciones:

E) VVV

13. Si

las

s

son contingencias.: A) Sólo I y II B) Sólo III C) Sólo II y III

Aritmética 61

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D) Sólo I

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18. Si [ (p ∆ q) → ((q ∆ p) ∆ r) ] es

E) Sólo III y IV

falsa, podemos afirmar: A) p es falsa.

16. Si la siguiente proposición:

B) q es falsa.

(p ∧ ∼ q) → (q → r)

C) r es verdadera.

es falsa, es verdad que:

D) p y q son verdaderas.

I. (p ∨ q) es falsa.

E) p es verdadera y q es falsa.

II. (r → q) es verdadera. III.(∼ q ∧ p) es verdadera. A) Sólo I y II B) Todas C) Sólo I y III D) N.A. E) Sólo II y III 17. De

las

siguientes

relaciones: I. p → (q → r) ≡ (p → q) →r

1.

“Si

toma

su

A) Si

Pepe

toma

su

medicina, mejorará. B) Si Pepe no mejora, no toma su medicina. C) Pepe toma su medicina

→ r)

o mejora. D) Pepe

IV. p → (q → r) ≡ (p → r)

C) Sólo III

toma

su

mejora. E) Pepe toma su medicina ya que mejora.

→q son correctas:

no

medicina ya que no

p → (q → r) ≡

∼ r → (p → ∼ q)

A) Sólo I

no

equivalente a:

II. p → (q → r) ≡ q → (p III.

Pepe

medicina, no mejorará”, es

2. La

negación

estudia

“Ni

Pepe

Aptitud

B) Sólo II D) Todas

Matemática ni atiende a la

E) Sólo II y III

clase” es:

Aritmética 62

¿Cuántos obreros del grupo que trabajaba tres horas diarias se deben unir al grupo a 10 obreros que trabajan 2 horas diarias para terminar la obra en los 30 diarias siguientes a lo que realizado parte de la obra? Rpta.: 12) Se desea construir un tramo de carretera Huaraz-Casma contratando 42 trabajadores que deben finalizar la obra en 20 días. Sucede, sin embargo, que al cabo de 9 días solo se han hecho 3/11 del tramo; por lo que el capataz decide reforzar con 60 obreros más el contingente, pero con una eficiencia que es la mitad de los anteriores ¿Se entrega la obra a tiempo? Rpta.: 13) Si podemos hacer una obra en 30 días con “p” maquinarias y con “p + 4” se hace una obra del doble de dificultad que la anterior en 40 días. ¿En cuanto tiempo harán “p + 2” máquinas una obra de igual dificultad que la inicial? Rpta.:

días recibe 40 soldados con víveres para 36 días a razón de 4 raciones diarias; si se juntan los víveres y consumen a razón de 2 raciones diarias. Calcular para cuantos días alcanza los víveres. Rpta.: 15) En una granja, el 20% del total de aves son patos, el 45% gallinas y el 35% pavos. Si el número de patos fuera el triple. ¿Qué porcentaje del total serian los pavos? Rpta.: 16) Si se vende un artículo con un descuento del 12% se obtendrá una ganancia de S/. 80 pero, si se vende dicho artículo con un descuento del 30% se hubiera perdido el 12,5% del costo. Hallar el precio de lista (el costo) del artículo. Rpta.:

17) Al fijar el precio en un artículo, se aumento su costo en n%, al momento de venderlo se hizo un descuento del 10%. Si la ganancia obtenida representa el 17 por 117 del precio de venta, encontrar el valor de “N”. 14) Un regimiento de 200 hombres Rpta.: tienen víveres para 40 días a razón de 3 raciones diarias; al cabo 20

Aritmética 287

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representa el 40% del volumen de esta. Rpta.: 06) Las capacidades de 2 hornos son entre si como 5 es a 2, la potencia calorífica del Coke es a la de la hulla como 8 es a 11. en el horno mayor se quema Coke en la proporción de 175 kg por cada 4100 kg de fundición sabiendo que el rendimiento de este horno es de 36000 kg de fundición por día a horas 12 de trabajo calcular: la cantidad de fundición que produce el horno menor a 18 horas de trabajo por día. Rpta.:

Rpta.:

A) No es cierto que Pepe estudie

09) Una cuadrilla de 40 obreros ha hecho 400 m de una carretera durante un cierto número de días, trabajando 8 hrs diarias; otra cuadrilla de 60 obreros ha hacho 675 m de la carretera; trabajando solamente 6 hrs diarias, durante un cierto tiempo, si los tiempos que han demorado las 2 cuadrillas en hacer sus obrar suman 25 días. ¿Qué tiempo emplea cada cuadrilla en hacer su obra? Rpta.:

10) Una obra fue realizada por 4 hombres; 6 mujeres y 3 niños trabajando 8; 6 y 5 horas diarias; 07) La cantidad de hulla necesaria respectivamente, durante 20 días. para esta operación (en el problema Calcular en ¿Cuántos días más anterior) es: terminará la obra, si trabajan solo Rpta.: los hombres y estos disminuyen en 3 horas diarias su trabajo; si las 08) Se tiene en 3 prados: A; B y C eficiencias entre hombres, mujeres cuyas superficies son 3; 4 y 6 Has, y niños son proporcionales a 30; 20 y respectivamente. La hierba crece en 10 respectivamente? todos los prados con igual rapidez y Rpta.: espesura. Noventa vacas comen la hierba del prado A en 12 días, 60 11) Las 2/3 partes de una obra las vacas comen la del prado B en 30 días. realiza un grupo de 10 obreros que Se desea saber, a cuantos días 30 de trabajan 3 horas diarias con otro las vacas se comentan la hierba del grupo de 15 obreros que trabajan 2 prado “C”. horas diarias durante 20 días.

Aritmética 286

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Aptitud

Matemática. estudia

Aptitud

Matemática. o

no

Dirección de Finanzas entonces

es

economista.

C) Pepe no atiende a la clase

es economista. D) Si Pepe trabaja en la

B) Pepe atiende a la clase y

Finanzas entonces no

estudia

Aptitud Matemática.

E) Pepe

trabaja

en

la

Dirección de Finanzas y no es economista.

D) Pepe atiende a la clase o no estudia Aptitud Matemática.

gordo,

E) Pepe atiende a la clase o

estudia

4. La negación de “Martín es dado

que

come

demasiado” es:

Aptitud

Matemática.

A) Martín no es gordo y come demasiado.

3. “Si Pepe es economista entonces trabaja en la Dirección de Finanzas”, es equivalente a:

B) Martín

come

demasiado y es gordo. C) No

es

cierto

Martín

no

que come

demasiado dado que no A) Si Pepe no trabaja en la

Dirección

es gordo.

de

D) Solo A y C.

Finanzas entonces es

E) Solo A y B.

economista. B) Si Pepe trabaja en la

5. Dadas

las

siguientes

Dirección de Finanzas

proposiciones:

entonces

M : Llueve o no hace sol.

no

es

economista.

N : No es cierto que haga

C) Si Pepe no trabaja en la

Dirección

de

sol y no llueva. L : Si hace sol, llueve.

Aritmética 63

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son equivalentes:

I.

A) M y N

B) N y L

C) M y L

D) Todas

o

II. Hay luz, y no es cierto que hoy vea televisión

come, porque come o ve

o estudie. III.Hay luz, o no es cierto que hoy vea televisión

televisión” es:

o estudie.

A) Aldo come, porque no come

y

no

ve

televisión. B) No es cierto que Aldo y

no

A) Sólo I y III C) Sólo I B) Sólo II D) Sólo II y III E) Todas

vea

televisión, o come. C) Aldo come y no ve televisión, puesto que come.

8. De

televisión,

dado

que

come. Aldo

come,

entonces no come o no

-

Si te gusta sembrar ensaladas.

-

Serás jardinero, si te gustan las plantas.

-

No

te

gustan

las

ensaladas si no eres vegetariano.

7. ¿Cuáles de las siguientes son

equivalentes a: “Hoy no veo televisión ni estudio, puesto que no hay luz”?

siguientes

tomates, te gustan las

ve televisión.

afirmaciones

las

proposiciones:

D) Aldo no come y no ve

Aritmética 64

televisión

estudio.

6. El equivalente de: “Aldo no

E) Si

Hay luz, dado que hoy veo

E) Ninguna

coma

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-

Si

no

tomates jardinero.

siembras no

eres

PROBLEMAS EN CLASE 01) Dos cronometristas midieron el tiempo que duro una competencia discrepando en un décimo de minuto. Se sabe que un de los cronómetros adelantan ½ segundo en una hora mientras que el otro retrasa ½ segundo en 2 horas. ¿Que tiempo duro la competencia? Rpta.:

habilidad de estos comparada con los anteriores? Rpta.:

04) Un grupo de 15 obreros se han comprometido a realizar una obra en 18 días; trabajan juntos 10 días, al término de los cuales se retiran 5, no encontrándose su reemplazo hasta después de 3 días en que se 02) Se tiene dos depósitos con incorpora una cantidad adecuada de líquidos de la misma naturaleza, pero obreros para terminar la obra en el de precios diferentes, el primero plazo fijado. Si a los obreros que se contiene “A” litros y el segundo “B” incorporan les pagan 50% mas que litros. Se saca de cada uno la misma los otros. ¿Cuánto es el jornal de cantidad y se echa en el primero lo cada obrero antiguo, si el último día que se saca del segundo y, se pago S/. 660 en jornales? recíprocamente. ¿Qué cantidad ha Rpta.: pasado de un depósito al otro si el contenido de los 2 ha resultado de 05) Se ha fabricado 60 m3 de la misma cantidad? Observación: mortero formado por arena y pasta MH(a ; b) = Media Armónica; de cal. Calcular el peso de la cal viva, el volumen de la arena y los MA(a ; b) = Media Aritmética. hectolitros de agua que han entrado Rpta.: en dicha fabricación. Los volúmenes de arena y cal viva están en relación 03) Se contrataron 10 obreros para de 5 a 4 y 1 m3 de cal viva pesa 600 embaldosar, pero estos se retiraron kg y necesita 2 m3 de agua para luego de trabajar 4 días, pero solo formar pasta; 60 kg de cal viva faltaba embaldosar un cuadrado de producen, con el agua; 0,360 m3 de 4m de lado. Se encontraron pasta. La pasta debe rellenar los entonces 2 obreros que terminaron restos (huecos) de la arena, que el trabajo en 2 días. ¿Cuál es la

Aritmética 285

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Ejemplo:

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se

deduce

válidamente

-

que: En el problema anterior (comparando con la columna donde esta la x) Si la magnitud es DP → se multiplica usándose su inversa. Si la magnitud es IP → se multiplica tal como aparece.

A) Si

a la fiesta. te

gustan

las

Luego, ......

las plantas.

A) no vas al casino.

tomates,

serás

jardinero. C) Te

gustan

las

si

te

gustan

plantas,

las eres

vegetariano. E) Si no eres jardinero, no eres jardinero. 9. Se sabe que:

E) Más

de

una

es

correcta. 11. Si se sabe que la siguiente afirmación es falsa: “Si

no

como

o

bebo,

entonces no leo” es cierto que: A) Leo. C) Bebo. E) N.A. B) Como. D) Como y leo.

Estudio dado que quiero ingresar y, no voy al cine por que estudio. Pero no estudio. Luego ......

12. Si A es pesado, B es ligero. Si C es ligero, D es ligero o pesado. Pero, A es pesado a la vez que D es

A) voy al cine.

ligero. Por lo tanto:

B) no voy al cine.

I.

C) quiero ingresar. D) no quiero ingresar. E) N.A.

B es ligero.

II. C

no

es

ligero

ni

pesado. III.C es ligero.

10. Si se sabe que: Si

C) no pierdes tu dinero.

eres

vegetariano. D) Si

B) vas al casino. D) pierdes tu dinero.

ensaladas,

vas

Son ciertas: al

casino,

pierdes tu dinero.

Aritmética 284

Pero, no vas a la fiesta.

ensaladas, te gustan B) Si te gusta sembrar

-

Si no vas al casino, vas

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

Aritmética 65

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TEMA 3: TEORÍA DE CONJUNTOS OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Establecer correctamente la noción de conjunto y su notación. • Representar los conjuntos en forma gráfica y simbólica. • Clasificar los conjuntos usando propiedades. • Aplicar las leyes del algebra de conjuntos en la solución de problemas. 1. CONCEPTO: El término conjunto es aceptado en matemáticas como un concepto primitivo; es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un conjunto es una colección o agrupación de objetos llamados elementos con características comunes. Ejemplo: i) El conjunto de los días de la semana. ii) El conjunto de los números naturales. 2. NOTACIÓN: Generalmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, C,...,Z, y los elementos usualmente por letras minúsculas, u otros símbolos, separados por coma o punto y coma encerrado entre llaves. Ejemplos: A = {lunes, miércoles, viernes, domingo} B = {2; 5; 12; 18} 3. RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈ ∈): Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “∈” y en el caso de no estarlo por “∉”. Ejemplo: Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8} Entonces tenemos: 2∈A 4∉A 7∈A

Aritmética 66

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2) Método de los signos: Consiste en colocar signos (+ / -) a las cantidades, según su relación proporcional; teniendo en cuenta que el otro término debe tener el signo cambiado (*) Si la magnitud es DP ⇒ abajo (+); arriba (-) (**) Si la magnitud es IP ⇒ arriba (+); abajo (-) (apuesto de la incógnita) tiene siempre signo (+) ∴ La magnitud se obtiene así:

 Pr oducto de magnitudes (+)  x = a1    Pr oducto de magnitudes (−)  a1 = término de la comparación de la magnitud Ejemplo: 10 personas vacían una piscina durante 3 meses, 8 hrs/día. ¿Cuántas personas vacían la piscina si emplean para ello 2 meses y 14 horas al día? + 10 x -

+ 3 meses 2 meses ⇒ x=

+ 8 hrs 14 hrs -

10(3)(08) ⇒ x = 9 personas 2(14)

3) Método de las Magnitudes Proporcionales: Consiste en formar con los datos razones geométricas y comparar su relación de proporcionalidad con aquella razón que contenga la incógnita, luego, se procede de modo similar como el método de signos (multiplicándose las razones IP y las inversas de la razones DP) para dar con la incógnita.

Aritmética 283

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a1

a2

a3… an → Datos

x

B2

B3… Bn → Preguntas

Forma general: Se cumple:

Incógnitas

magnitudes

Magnitud de comparación x = TEN/DO Donde: T = Tiempo empleado E = eficiencia N = número de obreros Métodos de Solución

d = dificultad en la obra O = obra humana

1) Método de Reducción a la unidad: Consiste en comparar las magnitudes del dato con magnitudes de un solo elemento; para luego comparar esos datos con las magnitudes que esta definida el problema. Ejemplo.: S = 12 obreros hacen una obra en 15 días, ¿En cuántos días se demoran en hacer la obra 35 obreros? 12 obreros

15 días + ⇒ x’ =

1 obrero

1 obrero

x’

180 días

+ 35 obreros

Aritmética 282

x días

12 (15 ) ⋅ 10 ⇒ 180 = x ' 10

180 ; ∴ x = 5,14 -⇒x = 35

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4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: Existen usualmente dos formas de determinar un conjunto: 4.1) POR EXTENSIÓN O FORMA TABULAR: Cuando se nombran uno a uno todos los elementos que conforman el conjunto. Ejemplos: A = {a, e, i, o , u} B = {6, 8, 10, 12, 14} 4.2) POR COMPRENSIÓN O FORMA CONSTRUCTIVA: Cuando se conocen una o más características comunes a todos los elementos del conjunto. Ejemplos: A = {x/x es una vocal} B ={x/5 < x < 18 ∧ x es par} 5.

CLASES DE CONJUNTOS: Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos: 5.1) CONJUNTO FINITO: Si posee una cantidad limitada de elementos, es decir, el proceso de contar sus diferentes elementos termina en cualquier momento. Ejemplo: A = {2, 4, 6, 8} 5.2) CONJUNTO INFINITO: Si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir, el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. Ejemplo: N = {1, 2, 3, … }

Aritmética 67

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6.

CONJUNTOS ESPECIALES:

6.1) CONJUNTO VACÍO O NULO: Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se le denota por: φ ó { }. Ejemplos: A={ } B = {x/ 4 < x < 6 ∧ x < 8} 6.2) CONJUNTO UNITARIO: Es aquel conjunto que tiene sólo un elemento. Ejemplos: A = {3} B = {x/x ∈ N ∧ 6 < x < 8} 6.3) CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto que se toma como referencia, para una situación determinada, en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se denota literalmente por U. Ejemplos: A = {2; 6; 10; 12} B = {x + 3/x es impar ∧ 0 < x < 10} 7.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:

7.1) IGUALDAD (=): Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por A = B Ejemplos: A = {x/x es una vocal} B = {a, e, i, o, u}

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⇒ b1 =

a1A a < > A 1 etc. B B

Supuesto y Pregunta En toda Regla de 3 hay 2 filas de términos o números. El supuesto formado por 2 términos conocidos del problema, va generalmente en la parte superior. La pregunta formada por los términos que contienen a la pregunta (incógnita) de todo problema, va en la parte inferior. Regla General 1)

A→a 

1 Regla de 3 Simple Directa. Si B → b  b1 = Ba 1/A 1

*

Donde: b1 = Incógnita del problema 2)

A→a

 Regla de 3 Simple Inversa: Si B → b 1  b 1 = Aa 1/B 1

∀ A; B;

a1; b1 ∈ Z+ OBSERVACIÓN: En la formación de proporciones geométricas indicamos que el producto de la primera razón geométrica con el tercer término no se altera si se aplica una Regla de 3 Simple Inversa y se multiplica el 3° término con la inversa de la 1° razón geométrica si es Regla de 3 Simple Directa. Regla de tres compuesta (R3C) Es la comparación entre distintas magnitudes proporcionales – mayores a 2 -; usándose para ellos los criterios de la Regla de Tres Simple.

7.2) INCLUSIÓN (⊂): Se dice que un conjunto A esta incluido (⊂) en otro conjunto B, si todos los elementos de A están en B; en caso contrario; se dirá que no está incluido (⊄).

Aritmética 68

Aritmética 281

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Cantidad

Se denota por: A ⊂ B Ejemplos: Dados los conjuntos A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} y C = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces se tiene que: A ⊂ B y A ⊄ C

A

a1

B

b1

±

∀

Magnitud

±

Cantidad (A; B; …) DP Magnitud (a1; b1; …)

⇒ Ab1 = Ba1 ⇒ b1 =

Ba1 a  < >B  1  A1 A

A B = a1 b1 Inversas

2) Inversa Cantidad A

a1

B

b1

±

∀

Magnitud

∓

Cantidad (A; B; …) IP Magnitud (a1; b1; …)

⇒ Ab1 = a1B < > a1A = b1B

a1 b1 = B A

Aritmética 280

Propiedades: i) A ⊂ A ∀ A (∀ A: para todo conjunto A) ii) A⊂B y B⊂CA⊂C iii) φ ⊂ A, ∀ A 8. CONJUNTOS COMPARABLES: Se dice que dos conjuntos son comparables cuando solo uno de ellos está incluído en el otro. Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {3, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, C = {2, 4, 6, 7} y D = {4, 7}, luego son comparables A y B; B y C; B y D; C y D 9. CONJUNTO DISJUNTO: Dos conjuntos son disjuntos, o se excluyen mutuamente, cuando no tienen elementos comunes. Ejemplos: Si A = {3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, entonces A y B son disjuntos. Si A = {a, b, c, d}, B = {e, b, g, d}, entonces A y B no son disjuntos, puesto que el elemento b está en ambos conjuntos. 10. CONJUNTOS COORDINABLES O EQUIPOTENTES: Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de esto se tiene que los cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos).

Aritmética 69

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Ejemplo: Dado los conjuntos: A= {Lima, Caracas, Bogota, Santiago}, B = {Perú, Venezuela, Colombia, Chile}, se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca “… es capital de …”. De ahí que A y B son coordinables y n(A) = n(B). 11. CONJUNTO DE CONJUNTOS: También se le denomina familia de conjuntos o clase de conjuntos, es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplos: Dados los conjuntos: A= {{2, 3}, {a}, {6, b},φ}, B = {{a, b, c}, a, {6, b},φ}, se observa que: A es familia de conjuntos B no es familia de conjuntos. 12. CONJUNTO POTENCIA: Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de A y se denota por P(A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Si A = {1, 2}; entonces todos los subconjuntos de A son: φ; {1}; {2}; {1, 2}. Entonces el conjunto potencia es: P(A) = {
;{1};{2};{1;2}} Número de subconjuntos de A: n[P(A)]=2n(A) Número de subconjuntos propios de A: n[P(A)]=2n(A) - 1 Subconjunto propio: Si el conjunto A es subconjunto del conjunto B, y por lo menos un elemento de B no pertenece a A, entonces se dice que A es subconjunto propio de B. Obs: No se considera el mismo conjunto A

Aritmética 70

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TEMA 17: REGLA DE TRES OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: Realizar aplicaciones aritméticas de la proporcionalidad. • Aplicar los métodos de resolución de una regla de tres simple directa, inversa y compuesta. • Aplicar estrategias prácticas en la resolución de problemas de regla de tres simple y compuesta. •

Directa (R3SD) - Simple (R3S) Regla de 3 - Compuesta (R3C)

Inversa (R3SI) Método de Reducción a 1 Método de signos Método de las proporciones

Concepto La Regla de Tres es una operación que tiene por objeto, dados dos o mas pares de cantidades proporcionales enteras, hallar el valor de una tercera cantidad entera desconocida o incógnita. La Regla de Tres simple puede ser: - Simple: Cuando intervienen 2 pares de cantidades proporcionales. - Compuesta: cuando intervienen 2 o más pares de cantidades proporcionales.

Regla de 3 Simple 1) Directa:

Aritmética 279

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12) Calcular el de los PH términos de la sucesión: 2; 6; 12; 20;…; 992. a) 30 c) 32 e) 34

b) 31 d) 33

13) Un número irreductible x = p q

racional tiene las

14) El promedio de 30 números es 40. A cada uno de 10 de ellos se les aumenta 5 unidades y del resto se escoge una cierta cantidad. A modo de los cuales a cada uno se le aumenta 10 unidades, con lo cual el nuevo promedio de los números aumenta en la décima parte. Determinar cuantos números han variado su valor.

siguientes características: A. (3/5) < x < (4/5) B. Si se divide el intervalo [3/5 ; 4/5] en 5 partes iguales, el punto x esta en el punto medio del tercer intervalo. Hallar p + q a) 5 c) 17 e) 49

b) 12 d) 25

a) 13 c) 15 e) 17

b) 14 d) 16

15) El promedio de las edades de 4 hombres es de 45 años; ninguno de ellos es menor de 40 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? a) 55 c) 57 e) 65

b) 60 d) 54

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Propiedades: 1) φ∈ ∈ P(A), puesto que φ ⊂ A 2) A∈ ∈ P(A), puesto que A ⊂ A 3) P(φ)={
} 4) A⊂ B ↔ P(A) ⊂ P(B) 5) A=B ↔ P(A) = P(B) 6) P(A) ∪ P(B) = P(A∪B) 7) P(A) ∩ P(B) = P(A∩B) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS: Diagrama de Venn – Euler: Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región del plano limitado por una figura cerrada y en cuyo interior se indican los elementos que forman el conjunto. Ejemplo: Dado A= {a, e, i}, su representación gráfica está dado por: e i

A a

Diagrama de Carroll: Se usa generalmente para representar conjuntos disjuntos Ejemplo: Para dos conjuntos cualesquiera: A: puede representar los varones B: puede representar las mujeres Su representación gráfica será: A

Aritmética 278

B

Aritmética 71

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: 1. UNIÓN (∪ ∪) Dados los conjuntos: A y B. La unión está formado por los elementos de A, B o de ambos a la vez. Notación: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} (∨ : se lee “o”) Ejemplo: Dados A = {1, 2} y B = {2, 4, 5}, entonces A ∪ B = {1, 2, 4, 5}

de “Perú 21” a S/. 2 soles cada uno. ¿Cuál es el precio promedio de los diarios emitidos?

a) 72 km/h c) 60 km/h e) 64 km/h

a) S/. 2,50 c) S/. 2,30 e) S/. 2,80

09) El promedio de los pasos de 60 objetos es 50 kilogramos. Cada uno de los objetos pesa un número entero de kilogramos. ¿Cuánto debe pesar como máximo uno de ellos si ninguna pesa menos de 48 Kg? a) 160 Kg. b) 168 Kg. c) 169 Kg. d) 161 Kg. e) 165 Kg.

07) El promedio de las edades 3 personas es igual a “x”. si agrega una cuarta persona, promedio disminuye en 2. puede afirmar que:

Casos posibles de la representación gráfica: A

B

A U

B

A

B

U

2. INTERSECCIÓN (∩) Dados los conjuntos A y B. La intersección es el conjunto formado por los elementos que están en A y B a la vez. A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B} (∧: se lee “y”) Ejemplo: Dados A = {1; 2; 3; 6} y B = {2; 4; 6; 7; 8}, entonces A ∩ B = {2; 6} Casos posibles de la representación gráfica: B

A U

Aritmética 72

B U

de se el se

U

Propiedades: i) A∪B=B∪A ii) A∪A=A iii) A∪∅=A iv) A∪U=U

A

b) S/. 2,40 d) S/. 2,60

A

B U

b) 49 km/h d) 52,5 km/h

i) La edad del cuarto es mayor que el promedio. ii) La edad del cuarto es menor que el promedio. iii) Por lo menos una persona es mayor que el cuarto.

10) El promedio aritmético de 3 números es 14, el promedio geométrico es par e igual a uno de ellos y su promedio armónico es 72/7. hallar el número menor.

a) Solo i c) solo iii e) i y ii

a) 8 c) 24 e) 4

b) solo ii d) ii y iii

08) Un auto viaja de la ciudad A a la ciudad B que dista 280 km del siguiente modo: Los primeros 120 km los recorrió a 40 km por hora, los siguientes 80 km los recorrió a 60 km/h y el resto viajó a 80 km/h. Hallar la velocidad promedio del viaje.

b) 6 d) 30

11) La MH y la MA de 2 enteros están en relación de 48 a 49. hallar los números sabiendo que el mayor esta comprendido entre 41 y 47. a) 44 y 23 c) 46 y 25 e) 44 y 33

b) 45 y 30 d) 44 y 13

Aritmética 277

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PROBLEMAS PARA LA CASA 01) El promedio de 30 números es 28. Siendo 40 y 44 de los números, eliminando estos 2 números, el promedio de los restantes es: a) 27 b) 28 c) 26 d) 26ó 26.5 e) 25 ó 25.5 02) El promedio de 50 números es 62, 10 se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuanto varia el promedio?

tiene mas de la media y Luis tiene menos de la media. Si a las notas de ambos se les resta la tercera parte de la menor, entonces la diferencia mayor es 3 veces la diferencia menor. Hallar la nota mayor. a) 13 c) 15 e) 17

b) 14 d) 16

03) El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es de 14 años. Calcular el promedio del salón.

05) Las distancias Chosica – Ticlio; Ticlio - La Oroya son de 90 km y 60 km, respectivamente; un tren pasa por La Oroya y a las 10:20 a.m y debe pasar por Chosica a las 2:05 si el camino hacia Ticlio lo recorrió a velocidad promedio de 30 km/h. ¿A que velocidad promedio (aproximadamente) debe ir luego para cumplir con el itinerario?

a) 15 c) 15,2 e) 16,1

a) 51,4 km/h c) 30 e) 45

a) 5 c) 4,9 e) 3,9

b) 4,7 d) 5,7

b) 16,2 d) 15,1

04) En una escuela las notas se califican de 0 a 20 (todas las notas son números enteros) Juan

Aritmética 276

b) 62,1 d) 20

06) Si se vendieron 100 ejemplares de “El Comercio” a S/. 3 cada uno y 150 ejemplares

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Propiedades: i) A ∩ B = B ∩ A. ii) A∩A=A iii) A∩∅=∅ iv) A∩U=A 3. DIFERENCIA (-) Dados los conjuntos A y B. La diferencia es el conjunto formado por todos los elementos de A y que no están en B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que solo pertenecen a A. A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B} Ejemplo: Dados A = {1, 2, 3, 6} y B = {2, 4, 6, 7, 8}, entonces A – B = {1; 3} Casos posibles de la representación gráfica: A

B

A

U

B U

A

B U

Propiedades: i) A – A = ∅ ii) A - ∅ = A iii) ∅ - A = ∅ iv) A – B ≠ B – A ∀ A ≠ B 4. DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆ ∆) Dados los conjuntos A y B. La diferencia simétrica es el conjunto cuyos elementos pertenecen solamente a A o a B, pero no a ambos. A ∆ B = {x/x ∈ (A-B) ∨ x ∈ (B-A)} O equivalentemente: A ∆ B = {x/x ∈ (A∪B) ∧ x ∉ (A∩B)} Ejemplo: Dados A = {3, 5, 7, 11} y B = {4, 5, 6, 7}, entonces:

Aritmética 73

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A ∆ B = {3; 11} ∪ {4; 6} A ∆ B = {3; 4; 6; 11}

15) Dado un conjunto de “n”

Casos posibles de la representación gráfica: A

B

A

U

B

A

B U

U

5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (‘) Dado un conjunto A que está incluido en el universo ∪; Decimos el complemento del conjunto A, a todos los elementos que están fuera de A; pero dentro del universo. A’ = Ac = U-A = {x/x ∈ ∪ ∧ x ∉ A} Ejemplo: Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} y A = {1, 3, 4, 7, 8}, luego: A’ = Ac = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} - {1, 3, 4, 7, 8} = {2, 5, 6}

A U

Aritmética 74

16) La

MG de números es 6 2 . Sabiendo que su MH y MA son dos enteros

consecutivos, se pide encontrar el mayor de dichos números. Rpta.: 17) Si la MH y la MA de 2 cantidades están en la relación de 4 a 9. ¿En que relación se

Representación gráfica:

Propiedades: i) (A’)’ = A ii) ∅’ = U iii) U’ = ∅ iv) A ∪ A’ = U v) A ∩ A’ = A’∩ A = ∅

números cuyo PA es “P”. Si a la tercera parte de ellos se les aumenta “a” unidades cada uno, a los 3/5 de resto se les aumenta “b” a cada uno y a los restantes “c” a cada uno. ¿En cuanto varia el promedio? Rpta.:

encuentra la Rpta.:

19) Para 2 números se cumple que:

MA • MG • MH = 212 ⋅ 318. ¿Cuántos pares de números distintos cumplen con esa condición? Rpta.: 20) Sea “S” una lista de enteros positivos (no necesariamente diferentes) entre las cuales se encuentra el número 68. el PA de los números de “S” es 56. sin embargo si 68 es eliminado de la lista el PA de los números que quedan bajan a 55 ¿Cuál es el número máximo que pude aparecer n la lista “S”? Rpta.:

MG y la MH ?

18) Durante un recorrido de 120 km, un auto utiliza 6 llantas para su desplazamiento (2 de repuesto). Si el conductor quiere que todas sus llantas se desgasten igualmente. ¿Cuál es el recorrido de cada llanta? Rpta.:

Aritmética 275

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07) El promedio armónico de 40 números es 16 y el promedio armónico de otros 30 es 72.

11) Para 2 números a y b cuya diferencia de cuadrados es 144, se cumple que la relación entre

PH de los 70

su PH y su PA es equivalente a 15/16. hallar el mayor de los números. Rpta.:

calcular el números. Rpta.:

08) El salario mensual pagados a todos los trabajadores de una compañía fue de S/. 576. los salarios medios mensuales pagados a hombres y a mujeres de la compañía fueron S/. 600 y S/. 480 respectivamente. Si el número de trabajadores hombres aumenta en un 25% y el de las mujeres aumenta en un 40 % serian en total 480 trabajadores. Calcule el número inicial de hombres. Rpta.: 09) El PG de 4 números enteros y positivos diferentes entre si es 2 2 . Hallar el de dichos números. Rpta.:

PA

10) La MG de los cuadrados de 2 números enteros consecutivos es 30. La números es:

MH

Aritmética 274

de

dichos

12) Si se sabe que:

MG (a

; b)

=6 2

MG (a

; b)

=6

MG (a

; b)

=3 2

Hallar la Rpta.:

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Leyes de De Morgan: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ ALGUNAS APRECIACIONES CONJUNTISTAS:

1.

PARA 2 CONJUNTOS

A

B

MH de A, B, C.

13) Una línea de microbuses tiene un cierto recorrido el cual forma un triángulo equilátero en una cierta ciudad. Si un lado lo recorre a 100 km/h, el segundo a 75 km/h y el tercero a 50 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio de los microbuses al efectuar un recorrido completo; esta ubicado en uno de los vértices del triángulo? Rpta.: 14) La edad promedio de “n” hombres es “a” años y ninguno de ellos es menor a “m” años. ¿Cuál es la edad máxima que puede tener uno de ellos? Rpta.:

a

b

c

d

U ⇒

LA ZONA

2.

REPRESENTA

a

⇒

Sólo “A” ó n( A – B ) = a

b

⇒

“A” y “B” ó n( A ∩ B ) = b

c

⇒

Sólo “B” o n(B – A ) = c

d

⇒

Ni “A”, Ni “B” ó n[(A ∪ B)’] = d

PARA TRES CONJUNTOS A

B b

a d

e g

c f h

C U

Aritmética 75

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LA ZONA

3.

⇒

REPRESENTA

a

⇒

Sólo “A” ó n[A – (B ∪ C)] = a

b

⇒

Sólo “A” y “B” ó n[(A ∩ B) – C]=b

c

⇒

Sólo “B” o n[B – (A∪C)] = C

d

⇒

Sólo “A” y “C” ó n[(A ∩C)-B] = d

e

⇒

“A, “B” y “C” ó n[A∩B∩C] = e

f

⇒

Sólo “B” y “C” ó n[(B∩C)–A] = f

g

⇒

Sólo “C” ó n[C-(A∪B)] = g

h

⇒

Ni “A”, ni “B”, ni “C” ó n[(A∪B∪C)’] = h

PARA CONJUNTOS DISJUNTOS 2 a 2 Ejm: Hombres y mujeres, provincianos y no provincianos.

Hombres Provincianos No Provincianos

a

b

c

d

⇒

REPRESENTA

a

⇒

Hombres Provincianos

b

⇒

Mujeres Provincianas

c

⇒

Hombres no provincianas

d

⇒

Mujeres no provincianas

LA ZONA

Aritmética 76

Mujeres

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PROBLEMAS EN CLASE 01) El promedio de 100 números pares consecutivos es 129. Entonces, la diferencia entre el mayor y el menor de dichos número es: Rpta.:

04) El promedio de las edades de 5 señoras es de 42 años, ninguna de ellas es menor de 36 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener una de ellas? Rpta.:

02) La décima parte de la carretera entre las ciudades A y B se desarrolla a través de poblados y el resto en campo abierto. Si la velocidad límite en los poblados es de 30 km/h y en campo abierto es de 90 km/h. ¿Cuál es la máxima velocidad promedio a que puede conducirse un vehículo entre A y B sin exceder la velocidad límite? Rpta.:

05) Una compañía de 100 empleados en sus 3 secciones: “A” con 70 trabajadores que ganan S/. 2,50 por hora, “B” con 20 trabajadores que ganan S/. 3,25 por hora y “C” con 10 trabajadores. El promedio de ganancia de los trabajadores de las secciones “B” y “C” es de S/. 3,50 por hora. Sea “m” el promedio que ganan los 100 trabajadores y “n” el promedio que ganan los trabajadores de la sección “C”. Hallar m + n. Rpta.:

03) El ingreso promedio del sector obrero en una empresa es de S/. 3 000 mensuales. En un mes en curso hay un incremento de haberes del 10 % del haber anterior mas una bonificación general de S/. 600, pero se decreta un descuento del 5% del haber actualizado pro-fondos en reconstrucción. El promedio actual es:

06) En un grupo de 30 personas: el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio d los restantes es 28. si el promedio de los 10 mayores es 45 y el promedio de los 10 menores es 22. ¿Cuál es el promedio de los otros 10? Rpta.:

Aritmética 273

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2) Solo para 2 números:

MA( a ; b ) =

a+b 2ab ; MG ( a ; b ) = ab ; MH( a ; b ) = 2 a+b

Además:

MG ( a

3)

; b)

= MA ( a ; b ) • MG ( a

MA ( a ; b ) − MG ( a

; b)

=

Analógamente:

MA ( a

; b)

+ MG ( a ; b ) =

; b)

(Solo para 2 cantidades)

(a − b )2

4(MA ( a ; b ) + MG ( a ; b ) )

(a − b)2

4(MA ( a ; b ) − MG ( a ; b ) )

OBSERVACIÓN: 1) Para los problemas, se asume como promedio al promedio aritmético. 2) La Media Geométrica de un grupo de números es también la media Geométrica de la Media Aritmética y la Media Armónica y la Media Armónica del mismo grupo de número.

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PROBLEMAS EN CLASE 1) Si A = {0; {∅}; 1; {1}} y dados las proposiciones: I) ∅ ⊂ A II) {∅} ∈ A III) ∅ ∈ A IV) {{0}, {1}} ⊂ A V) {{1}} ⊂ A ¿Cuáles son verdaderas? Rpta.: ............... 2) Si L = {Ana, Karen, Brenda, Memo} y dadas las proposiciones: I) Brenda ⊂ L II) Karen ∉ L III) Memo ⊂ {Ana, Karen, Brenda, Memo} IV) María ∈ L V) {Ana} ⊂ L ¿Cuáles son falsas? Rpta.: ............... 3) Si se tiene el conjunto: S = {x+2 / x = 4m-2; m ∈ N; 0 < m ≤ 2} Entonces la suma de todos los elementos de S es: Rpta.: ............... 4) Sea P = {x/x ∈ N; 0 < x2 < 35} y sea M = {x/x ∈ N, 5 < x + 4 < 14} Hallar la suma de los elementos de P ∩ M. Rpta.: ...............

Aritmética 272

5) Dado K = {3, 4, 5, 6}. ¿Cuáles de los siguientes son verdaderas? I) ∃ x ∈ M; 2x – 5 ≥ 1 II) ∀ x ∈ M; 2x < 11 III) ∃ x ∈ M; ∀ y ∈ M; x+y>6 IV) ∀ x ∈ M; ∀ y ∈ M; x3 + y3 > 16 Rpta.: ............... 6) De 50 alumnos que llevan los cursos de aritmética y álgebra, se sabe que 30 llevan aritmética y 13 llevan aritmética y álgebra. ¿Cuántos llevan solo álgebra? Rpta.: ............... 7) En un mercado fueron encuestados 80 señores sobre el consumo de pollo, pescado y carne de res; con el siguiente resultado; 40 consumen pollo; 26 consumen pescado y 45 consumen carne de res; además 8 señores afirman que consumen los 3 tipos de carne. ¿Cuántos señores consumen solo 2 tipos de carne? Rpta.: ...............

Aritmética 77

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8) Dados los conjuntos: A = {x ∈ N / 0 < 0 x ≤ 4 ∧ x es Nº par}

B = { x ∈ Z / 0 < 3 ∨ x > 7} C = {x ∈ N / x ≥ 2 ∧ 0 < x ≤ 8} Determine M = [(A ∪ C) ∩ B]

Rpta.: ............... 9) En el COCIAP, 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40 aprobaron el primer examen, 39 aprobaron el segundo examen y 48 el tercer examen. Aprobaron los 3 exámenes 10 alumnos; 21 no aprobaron examen alguno; 9 no aprobaron los dos últimos pero si el primero; 19 no aprobaron los 2 primeros; pero sí el tercero. Entonces, el número de alumnos que aprobaron solo uno de los exámenes es: Rpta.: ............... 10) Sea U = {x ∈ N / 0 < x < 11} y A = {1; 3; 5; 7} B = {2; 4; 6; 8} A ∩ C = {1; 3} A ∪ C = {1; 2; 3; 5; 7; 9}  n(B ∪ C) + n(A ∪ C) es: Rpta.: ...............

Aritmética 78

11) En una competencia atlética con 12 pruebas participaron 42 atletas, siendo los resultados; 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce; 6 de oro y plata; 8 de plata y bronce; 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas? Rpta.: ............... 12) Una persona come pan con mantequilla o mermelada cada mañana durante el mes de febrero; si 22 días comió pan con mermelada. ¿Cuántos días comió pan con mermelada y mantequilla? Rpta.: ............... 13) De un grupo de 100 estudiantes se obtuvo la siguiente información; 28 estudian inglés; 30 estudian alemán, 42 estudian francés, 8 inglés y alemán y 10 inglés y francés; 5 alemán y francés y 3 los idiomas inglés, francés y alemán. ¿Cuántos estudiantes no estudian ningún idioma? Rpta.: ...............

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES, EDUCACIÓN Y COMUNICACIÓN 1

PH (a 1 ; a 2 ;.... ; a n )

n

1 1 1 1 1 1 1 n ⋅ a1a 2a 3 ...a n = + + + ... + = + + ... + = a1 a 2 a 3 a n a1 a 2 a n a1 + a 2 + ...a n n

(PP) :

IV) Promedio Ponderado

es el promedio originado por una

sucesión donde cada uno de sus términos (o por lo menos uno de ellos) se repiten un número entero de veces mayor de uno. a.

Promedio Ponderado Aritmético

PPA =

b.

Promedio Ponderado Geométrico

PPG = c.

a1x + a 2 y + ...a n λ x + y + ... + λ

x + y + ...+ λ

x

y

a1 a 2 ...a n

(PPG ) :

λ

Promedio Ponderado Armónico

PPH =

(PPA):

(PPH)

x + y + z + ... + λ 1 (x ) + 1 (y ) + ... 1 (λ ) a1 a2 an

Donde: n = número de términos de la sucesión. a1; a2; a3; … ; an = términos de la sucesión. x; y; … ; λ = número de veces en que se repite cada término de la sucesión. Algunas propiedades generales 1) Se cumple: MA ≥ MG ≥ MH (mayor si los términos son distintos entre sí; igual si los términos son iguales entre sí).

Aritmética 271

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TEMA 16: PROMEDIOS OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Recopilar datos en forma ordenada. • Analizar los datos recopilados y determinar el representante más adecuado de estos. • Aplicar los promedios más importantes en la resolución de problemas. • Aplicar las propiedades de los promedios en la resolución de problemas. Concepto: Es un valor que equilibra y sintetiza el valor de cada uno de los términos de un conjunto solución, y además puede o no pertenecer a dicho conjunto inicial (la sucesión de números). También se le conoce como “Media”. Notación: a1; a2; a3; … ; an = {an} valor de la sucesión.

(P) (a ; a ; a ; … ; a )

Promedio de {an} = Donde: a1 ≤

PA (a 1 ; a 2 ;....;a n ) = II) Promedio

2

3

n

(P) (a ; a ; a ; … ; a ) ≤ an / a ≠ a

Clases I) Promedio

1

Aritmético:

1

2

3

n

1

2≠

a3 ≠ … ≠ an

(PA) ; (MA) :

a1 +a 2 +...a n n Geométrico:

(PG ) ; (MG ) :

PG(a1 ; a 2 ;.... ;a n ) = n (a1 )(a 2 ) ... (a n )

(PH) ; (MH) : es la inversa de la suma de los recíprocos de cada término de la sucesión que origina al (PA ) .

III)

Promedio Armónico:

Aritmética 270

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14) Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; B = {5, 6, 7, 8, 9} y C = {4, 5} Determinar el conjunto cuya representación gráfica es la región sombreada mostrada:

inglés 47, 35 el alemán y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas no conocen ni el inglés ni el alemán? Rpta.: ............... 18) Dados unitarios.

los

conjuntos

P = {x + y, 8}; Q = {y + z, 10} y

Rpta.: ...............

S = {x + z, 12}. Calcular: (x + 4y – z) Rpta.: ...............

15) De 76 alumnos; 46 no estudian 19) De un grupo de 100 personas: lenguaje; 44 no estudian historia 40 son mujeres; 73 estudian y 28 no estudian ni lenguaje ni historia, 12 mujeres no historia. ¿Cuántos alumnos estudian historia. ¿Cuántos estudian lenguaje e historia? hombres no estudian historia? Rpta.: ............... Rpta.: ............... 16) En una clase (15 + n) aprobaron matemáticas e historia y (40 + n) aprobaron matemáticas. ¿Cuántos aprobaron solamente historia? Si en total habían (70 + n) alumnos; de los cuales solo aprobaron 5? Rpta.: ............... 17) En el centro de Idiomas de la UNASAM trabajan 67 personas. De éstas saben

20) Dados los conjuntos: A = {x / (8x + 1) ∈ Z; 0 ≤ x < 1} B = {2x + 1 / x ∈ N; 1 < x ≤ 5} C = {3x + 1 / 2 ≤ x < 3}

Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) n(A) = 3 II) n(A) + n(B) = 16 III) C = [7, 10> IV) C = {7} V) n(A ∩ B) = 0

Rpta.: ...............

Aritmética 79

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PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Dadas las proposiciones: I) {{0}; 1, 2} ⊂ {0, 1, 2} II) {1/2; 1, 2} = {2-1; 2º,

3

8}

III) {1, 2, 3} y {a, b, c} son conjuntos disjuntos IV) { { {∅}; ∅} } tiene 2 elementos. Son verdaderos: a) Ninguno b) Solo III c) Solo II d) II y III e) N.A. 2) Dado el conjunto M = {x/3 ≤ x < 6; x ∈ N} Hallar el producto de los elementos del conjunto M. a) 65 d) 20

b) 60 e) 80

c) 12

3) Dados los conjuntos: A = ∅; B = {∅} y C = {0}. ¿Cuál es correcto? a) A = B b) A = C c) A ⊄ B d) A ⊂ B e) B ⊂ A

4) Si A = {a; b; c} y B = {a; b}; y se afirma que: I) (A ∩ B) tiene un solo elemento. II) ∅ ∈ (A ∪ B) III) A ∩ ∅ = A

Aritmética 80

IV) (A – B) es un conjunto unitario. V) ∅ ⊂ (A ∩ B) La verdad o falsedad de las proposiciones es: a) FVVVV b) FFFVV c) FFFFF d) FFVFV e) FVFFV

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a) S/. 140 c) S/. 170 e) S/. 180

b) S/. 160 d) S/. 150

15) Se constituye una industria farmacéutica por 2 socios con un capital de S/. 24 000, de los cuales el primero coloca S/.14 000 y el segundo, el capital restante. El negocio dura unos 2

años. El primero, a los 8 meses retira S/.8 000 y el 2º, a los 7 meses retira S/.5 000. Si hay una ganancia neta de S/.2 700. ¿Cuánto corresponde a cada uno? a) 2 100; 600 b) 1 800; 900 c) 1 788 4/17; 911 18/17 d) 1 950; 750 e) 1 600; 1100

5) Sean A, B y C conjuntos; tales que: n(A ∪ B) = 20 n(A) = 14 y n(B) = 10 Entonces hallar: n(A ∩ B ∩ C); si se sabe que: (A ∪ B) y C son disjuntos. a) No se puede determinar b) 6 c) 4 d) 10 e) 3 6) Ciertos datos obtenidos del estudio de un grupo de 1 057 empleados en una fábrica textil atendiendo a su raza, sexo estado civil como sigue: 525 individuos de color, 312 hombres, 42 hyombres de color, 147 individuos casados de color, 36 hombres casados, 25 hombres de color casados. ¿Cuántos son solo hombres casados y cuántas son mujeres de color solteras?

Aritmética 269

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a) b) c) d) e)

115; 115; 116; 117; 117;

123; 104 119; 104 120; 102 120; 103 121; 104

10) Andrei emprende un negocio con S/.3 000 a los 3 meses admite de socio a Belami con 3 meses; y 3 meses mas tarde Carlos entra al negocio con S/.3 000. Si hay un beneficio de S/.2 700 al cabo de 1 año de emprender Andrei el negocio. ¿Cuánto recibe cada uno? Dar como respuesta la cifra de unidades del menor. a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 11) En una factoría en que se han impuesto sumas iguales, 3 personas han permanecido en el negocio: el primero, 8 meses, el segundo, los ¾ del tiempo que estuvo el anterior y el tercero, los 7/6 del tiempo del segundo. ¿Cuánto pierde cada uno si hay una pérdida total de S/.490. Dar como respuesta la pérdida del primero. b) 140 c) 1631/3 a) 1862/3 d) 165 e) 187

Aritmética 268

12) Dos tipos explotan un negocio invirtiendo S/.8 500. El primero impone S/.6 000 por 2 años y el segundo, el resto durante 3 años. ¿Cuánto le corresponde perder a cada uno si la pérdida total es de 1 365 soles? a) S/. 700; 665 b) S/. 900; 465 c) S/. 600; 765 d) S/. 840; 525 e) N.A. 13) Dos viejos amigos deciden emprender un negocio que ha durado 2 años, el primero impone el principio 1 500 soles y, al año y medio, retira S/.500; el segundo empezó con S/.2 000 y a los 8 meses retiró S/.500. De una pérdida de S/.511 soles ¿Cuánto pierde el segundo?. a) S/. 280 b) S/. 251 c) S/. 200 d) S/. 311 e) S/. 320 14) Dos hermanos emprenden una empresa durante un año. El primero empieza con S/.500 y 7 meses después añade S/.200; el segundo empieza con S/.600 y, 3 meses después, añade 300. ¿Cuánto corresponde al primero de una ganancia igual a S/.338?

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a) 30 d) 17

b) 32 e) 20

c) 18

7) En una aula de 50 alumnos aprueban matemáticas 30 de ellos; física 30; lenguaje 35; matemática y física 18; física y lenguaje 19; matemática y lenguaje 20; y 10 alumnos aprueban los 3 cursos; se deduce que: a) 2 alumnos no aprueban ninguno de los 3 cursos. b) 8 aprueban matemática y lenguaje pero no física. c) 2 aprueban matemática pero no aprueban física ni lenguaje. d) 6 aprueban matemática y física pero no aprueban lenguaje. e) Ninguna de las anteriores. 8) En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol; 55 basket y 75 natación. Si 20 alumnos practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican un solo deporte? a) 50 b) 53 c) 60 d) 70 e) 65

9) En una clase de 27 alumnos cada uno de estos está inscrito en uno por lo menos, de los 2 clubes siguientes: “Club de natación”, “Cine club”, el número de alumnos inscritos en los 2 clubes es 7 y el “Cine club” tiene registrados los 2/3 del total de alumnos. ¿Cuántos miembros tiene el “Club de natación?. a) 20 b) 16 c) 11 d) 9 e) N.A. 10) El conjunto A tiene 3 elementos menos que el conjunto B; que por cierto posee 7168 subconjuntos más que A. El máximo número de elementos de (A ∪ B) es: a) 30 d) 23

b) 11 e) 16

c) 13

11) En un salón del CPUUNASAM hay 58 alumnos; 36 piensan seguir ingeniería; 24 piensan seguir ciencias y sólo 13 piensan estudiar letras; el número que piensa ser ingeniero y científico es: a) 13 b) 15 c) 17 d) 8 e) 19

Aritmética 81

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12) De un grupo formado por 180 alumnos de la UNASAM; el número de los que estudian matemática es el doble de los que estudian estadística. El número de alumnos que estudian ambas carreras a la vez es el doble de los que estudian solo estadística e igual a los que no estudian alguno de esas carreras. ¿Cuántos alumnos estudian sólo matemáticas?. a) 20 b) 40 c) 80 d) 120 e) 140

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Entonces es cierto: a) B = C b) A = B ∪ C c) A = B ∩ C d) A = C e) B ∩ A = A ∩ C 15) De 70 alumnos del COCIAP; 46 no estudian lenguaje (L); 44 no estudian historia (H) y 28 no estudian ni lenguaje ni historia. Entonces ¿Cuántos alumnos estudian lenguaje e historia?. a) 18 b) 16 c) 14 d) 20 e) N.A. 16) ¿Qué operación representa

13) Si el 5% de los pobladores de Nicrupampa consumen 3 tipos de pescado; A, B y C, el 15% consumen los tipos de pescado A y B; el B%. Consumen B y C; el 14 % consumen A y C. ¿Cuál es el porcentaje de personas que consume solamente 2 tipos de pescado?. a) 15% d) 23%

b) 37% e) 25%

c) 22%

14) Sean los conjuntos: A = {x ∈ Z / x = (-1)n; n ∈ Z} B = {y ∈ Z / y2 = (9-3)2 – 3} C ={z ∈ Z / 3 z + 3 = 2z + 7 } 2 2

Aritmética 82

el siguiente diagrama? a) A ∩ B b) (A – C) ∩ B

A

B

c) A ∆ B d) (B – A) ∩ C

C

e) A ∩ B ∩ C 17) La

parte

sombreada

corresponde a: A

B

C

a) (A – B) ∪ [C – (A ∪ B)]

tercero la mitad de lo que puso el cuarto y este impuso 3 000 soles. Si hay que afrontar una pérdida de S/.3 400 ¿Cuánto perderá cada uno? Dar como respuesta la del primero. a) S/. 920 b) S/. 450 c) S/. 700 d) S/. 750 e) S/. 1 500 6) Anselmo emprende un negocio con S/.2 000. Seis meses después entra como socio Bernabé con S/.2 000 y 11 meses más tarde entra como socio Carmelo con S/.2 000. Si a los 2 años de comenzar Anselmo su negocio hay un beneficio de S/.630. ¿Cuánto recibe de ganancia cada uno? Dar como respuesta las partes enteras. a) S/. 312; 233; 92 b) S/. 309; 228; 90 c) S/. 309; 92; 100 d) S/. 310; 229; 95 e) S/. 308; 231; 90 7) En una sociedad formada por 3 individuos se han hecho las siguientes imposiciones: el 1º S/.500 por 2 años; el segundo S/.400 por 4 años y el tercero S/.300 por 5 años. ¿Cuánto corresponde a cada uno si hay

una ganancia de S/.1 230? Dar como respuesta la suma de cifras del 2º. a) 8 b) 12 c) 7 d) 9 e) 3 8) En una industria, tres socios han impuesto: el primero: 6 000 soles más que el segundo, el segundo 3 000 más que el tercero y éste 8 000. El primero permaneció en la industria por un año, el segundo por año y medio y el tercero por 2 años y medio. ¿Cuánto corresponde de un beneficio de S/.5 885? Dar como respuesta las sumas de las cifras de cada uno. a) 15; 14; 8 b) 16; 15; 4 c) 13; 9; 4 d) 10; 8; 14 e) 8; 14; 17 9) ¿Cuánto ganará cada uno de los socios (3) que, explotando la industria minera, imponen a su negocio: el primero; S/.3 000 mas que el segundo; éste S/.850 y el tercero S/.200 menos que el segundo, sabiendo que el primero estuvo en el negocio por 5 meses, el segundo, 2 meses más que el primero y el tercero 3 meses más que el primero, si el beneficio total es de S/. 338?

Aritmética 267

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PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Un ingeniero industrial con estudios en Japón empezó hace poco un negocio, a los 9 meses admitió un socio y, 3 meses después, entró un tercer socio. Cada uno de ellos aportó en el negocio la misma cantidad. Si el negocio duró 16 meses al cabo de los cuales la utilidad fue de 8 100 soles. ¿Cuánto le tocó a cada uno? a) 48 mil, 21 mil, 12 mil. b) 40 mil, 29 mil, 12 mil. c) 45 mil, 24 mil, 12 mil. d) 50 mil, 19 mil, 12 mil e) 50 mil, 15 mil, 16 mil 2) Tres amigos efectúan un negocio imponiendo: El 1º), S/.500; el 2º), S/.600 y el 3º), S/.800. Un año después tienen un beneficio de S/.350 y venden el negocio por S/.2 500 soles ¿Cuánto gana uno de los socios? a) 500 b) 400 c) 800 d) 600 e) 700 3) Tres invertido primero;

socios que habían 25 000 soles el 24 000 soles el

Aritmética 266

segundo; y 16 000 soles el tercero, tienen que repartirse una pérdida de 19 500 soles. ¿Cuánto queda a cada uno? Dar como respuesta la suma de las cifras del segundo. a) 11 b) 14 c) 12 d) 15 e) 13 4) Cuatro amigos han ganado, en los 3 años que explotaron la industria cafetera lo siguiente: el primero S/.5 000; el segundo los 2/5 de lo que ganó el primero; el tercero, los ¾ de lo que ganó el segundo y el cuarto, los 5/8 de lo que ganó el tercero. Si el capital social del negocio era de S/.44 000 ¿Con cuánto contribuyó cada uno? Dar como respuesta la contribución del cuarto. a) 10 000 d) 18 000 b) 20 000 e) 6 000 c) 4 000 5) En una industria pesquera chimbotana que trabajó durante 4 años y medio, cuatro socios impusieron: el primero S/.500 mas que el segundo, el segundo S/.600 menos que el tercero; el

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b) (A – C) ∩ (B – C)

II. (A ∆ B)´∩ C

c) (C – B) ∪ (C – A)

III. C ∪ (A ∩ B)

d) [(A∩B)–C] ∪ [C – (A ∪ B)]

IV. (C ∪ A) ∩ (C ∪ B)

e) N.A.

V. [(A ∪ B)´ ∩ C] ∪ (A ∩B)

18) De un grupo de músicos que tocan flauta, quena o tuba se sabe que la octava parte toca solo flauta, la séptima parte solo toca quena, la diferencia

a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5 20) Si las regiones sombreadas representan a 3 conjuntos: P

R

Q

de los que tocan solo flauta y los que tocan solo quena es

El gráfico que corresponde

igual a la cantidad de músicos

a la operación:

que

tocan

además

80

solo

tuba.

Si

por

lo

tocan

(P – R) ∪ [ Q – (R ∩ P)] es:

menos 2 de los instrumentos mencionados. ¿Cuántos tocan solo quena? a) 15

b) 16

d) 18

e) 19

a)

b)

c)

d) e) NA

c) 17 21) ¿Qué representa la región sombreada?

19) ¿Cuántas de las siguientes expresiones describen a la región

sombreada

A

B

del C

diagrama?

a) (A – B) ∪ (A – C) C

A

b) A – (B ∩ C) c) (A – B) – (A – C)

B

I. C´ ∩ (A ∩ B)´

d) A ∩ (C – B) e) Más de una es verdadera

Aritmética 83

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TEMA 4: NUMERACIÓN OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Representar los números naturales en una determinada base del sistema posicional de numeración. • Descomponer polinómicamente cualquier numeral de un sistema posicional de numeración. • Realizar cambios de base. • Efectuar las operaciones elementales de la Aritmética Concepto de Numeración Es la parte de la Aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números. Número Es la primera y básica abstracción de los conceptos matemáticos y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. Numeral Es la representación simbólica del número. Ejemplo: 15, XV, 24 – 1 SISTEMA DE NUMERACIÓN Concepto Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales Principios: • Del Orden Toda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se cuenta de derecha a izquierda.

Aritmética 84

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industria durante año y medio, el 2º por 1¾ años, el 3º por 2½ años y el 4º por 2¾. Si hay que repartir una ganancia de S/.4 350. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Rpta.: 16) Tres socios que laboran en sus puestos del prestigioso Centro Comercial “El Hueco” decidieron formar una sociedad, aportando; el 1º S/.5 000 por 9 meses; el 2º los 2/5 que impuso el primero durante 7/6 de año; el 3º los 9/8 de lo que impuso el segundo por año y medio. Si el beneficio total fue de S/.3 405. ¿Cuál es el beneficio de cada uno? Rpta.: 17) Tres profesores del COCIAP reúnen S/.25 000, de los cuales el primero ha6,impuesto VI, 22 + S/.8 2, 32 000; –3 el segundo, S/.3 000 más que el primero y el tercero, lo restante. El primero estuvo en el negocio por 8 meses, el segundo por 3 meses y el tercero por 3 meses. Si hay que afrontar una pérdida de 1 143 soles, determinar la pérdida de cada profesor. Rpta.:

18) Para explotar una industria minera, tres catedráticos de la Facultad de Minas y Geología de la UNASAM deciden formar una alianza estratégica entre ellos, imponiendo: el primero, S/.300, el segundo S/.200 más que el primero y el tercero S/.100 menos que los dos anteriores juntos. Si el primero estuvo en el negocio durante 3 años, el segundo por 4 años y el tercero por 5 años. ¿Cuánto de beneficio le corresponde a cada uno?. El beneficio fue se S/.448? Rpta.: 19) Tres empresarios reunieron 9 000 soles para la explotación de un negocio y ganaron; el primero, S/.1 000; el segundo, S/.600 y el tercero, S/.800 ¿Cuánto impuso cada uno?. Rpta.: 20) Tres personas se juntan aportando: la primera 2 000 soles durante 6 meses; la 2º, 4 000 soles durante 8 meses y la 3º, 6 000 soles durante 10 meses. Al finalizar la operación obtuvieron una ganancia de S/.5 200. ¿Cuánto le corresponde a cada socio? Rpta.:

Aritmética 265

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cuarto, año y medio. Si la ganancia neta fue de 6 930 soles. ¿Cuánto le toca a cada uno? Rpta.:

Representación Gráfica:

11) Se ha realizado un beneficio de S/.5 610 soles en un negocio en el que han intervenido dos individuos, ingenieros empresariales por la Pontificia Católica del Perú y Universidad Mayor de San Marcos de Lima. El negocia ha durado unos 3 años. El primero de ellos comienza con un capital de 8 000 soles, a los 7 meses retira la mitad de su capital y, 2 meses mas tarde, agrega S/.2 000. El segundo, que empezó con S/.6 000, al año dobló su capital y, 5 meses mas tarde, retiró 4 000 soles. ¿Cuál es la ganancia de ambos? Rpta.: 12) Dos individuos emprenden un negocio durante un año. El primero empieza con S/.500 y, 7 meses después, añade S/.200; el segundo empieza con S/.600 y, 3 meses después añade 300 soles. ¿Cuánto corresponde a cada uno, de un beneficio de S/.338?

Aritmética 264

13) Cinco amigos desde la infancia, que estudiaron juntos y trabajaron durante 6 años en la misma empresa, deciden poner un negocio. El primero impone S/.2 000 por 2 años 4 meses; el segundo S/.2 500 por los 3/7 del tiempo anterior, el tercero, S/.3 000 por los 5/6 del tiempo del segundo, el cuarto por ¾ de año. Habiendo S/.9 100 de utilidad. ¿Cuánto ganará cada uno?. Rpta.: 14) De los tres parientes que constituyen una sociedad, el primero permaneció en la misma durante un año; el 2º, durante 7 meses más que el primero y el tercero, durante 8 meses más que el segundo. El primero puso S/. 800; el segundo, S/200 más que el primero y, el tercero, S/.400 menos que el segundo. Si hay una pérdida de S/.224 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Rpta.: 15) Cuatro comerciantes asociados una industria han impuesto el 1º) S/.300 más que el tercero, el 2º S/.400 mas que el cuarto; el 3º) 500 soles más que le segundo y el 4º) 2 000 soles. El primero permaneció en la

6

5

4

3

2

1

Numeral:

2

7

3

9

7

5

Lugar (Lectura)

1

2

3

4

5

6

← Orden

• De la Base Es un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración. Ejemplo 342 n → base “Indica que se agrupará de “n” en “n” en dicho sistema” La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2. La base mínima es: n= 2 Ejemplos: Representación gráfica del número 16 en base 3

O sea que: 16 = 121(3) Representar el número 17 en base 5

Aritmética 85

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• De las cifras: Las cifras cumplen las siguientes condiciones Pertenecen a Z (cifras ∈ Z) Son menores que la base (cifras < n) La cifra máxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1) Toman valores enteros menores que la base. Si la base “n”; se pueden utilizar en las cifras 0, 1, 2, 3, 4, ............., (n – 1) máxima cifra

años, la ganancia obtenida en la explotación maderera fue de S/.500 000 ¿Cuánto le toca a cada uno? Rpta.:

cifra significativa cifra no significativa • Principales sistemas de numeración Base

Sistema de Numeración

Cifras

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Binario o Dual Ternario Cuartenario Quinario Senario y Sexanario Heptanario Octanario Nonario Decimal o Decuplo Undecimal

12

Duodecimal

0,1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, ........... 5 0, ..........., 6 0, ..........., 7 0, ...........; 8 0, ..........., 9 0, ..........., 9, (10) 0, ..........., 9(10), (11)

Con frecuencia se utilizan los siguientes símbolos literales para denotar algunas cifras: Alfa α ≡ 10 Beta β ≡ 11

Aritmética 86

7) Pauling y Dahl eran 2 amigos suecos desde la infancia que no se habían visto en 14 años. Cuando se reencuentran, deseosos de poner en práctica sus conocimientos adquiridos en la universidad y un instituto comercial, respectivamente, deciden poner un negocio en el cual, entre el año 2 000 y 2 001, ganaron ambos S/.1 200 cada año, siendo Pauling el dueño de las ¾ partes del negocio, en el 2 000, y Dahl, del resto, a pesar de que, en el año 2 001, Pauling era dueño de los 2/6 del negocio y Dahl del resto, porque el primero vendió al 2do una parte del negocio. Si el negocio tuvo buena administración por ambos durante el tiempo donde este se dio, hallar la ganancia total de cada socio en los dos años. Rpta.:

S/.900, S./800 y S/.750. Si al cabo de un año, el primero de los mencionados recibe como ganancia S/.180. ¿Cuánto han ganado los otros dos? Rpta.: 9) Reuniendo un capital inicial de S/.10 000 por partes iguales, tres socios estratégicos, empleados de IBM; Backus y la corporación Graña y Montero, deciden luego de largas negociaciones poner un negocio independiente durante 2 años. El primero de ellos se retira a los 3 meses, el segundo, a los 8 meses y 20 días de iniciada la sociedad; y el tercero permaneció todo el tiempo. Si hay una pérdida total de S/.3 210, determinar la pérdida correspondiente a cada socio. Rpta.:

10) Abelardo, Belisario, Carlos y Dionisio deciden emprender una sociedad durante 4 años; para ello estos 4 comerciantes y exportadores de ropa debieron reunir 24 mil soles por partes 8) Tres parientes entre sí iguales. El primero ha estado en el negocio durante 3 años; el poner un negocio Gammadeciden γ≡2 Epsilon ε ≡ 14 imponiendo, respectivamente, segundo, durante 2 años 7 meses, Delta δ ≡ 13 el tercero, durante 14 meses y el

Aritmética 263

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PROBLEMAS EN CLASE 1) Tres personas aportan S/.60 000 por partes iguales en un negocio de 2 años de duración. El primero añade 1 500 soles al año siguiente de iniciada la operación y cuatro meses después retiró S/.5 000; el segundo a los 8 meses añadió S/.4 000 y 5 meses después, otros S/.2 000 y el tercero: A los 14 meses retiró S/.5 600. Si la pérdida total surgida del negocio es de S/.7 240. ¿Cuánto pierde cada uno? Rpta.: 2) Cuatro socios imponen 2 500; 3 000; 4 500 y 6 000 soles, respectivamente, en un negocio, el cual duró 5 años. Si el negocio registra una pérdida de S/.1 200. ¿Cuánto le corresponde perder a cada uno? Rpta.: 3) Dos socios imponen S/.500 y S/.350, respectivamente, a un negocio que dura unos 4 años. ¿Cuánto corresponde a cada uno de una ganancia total de S/.250? Rpta.: 4) Tres amigos se asocian imponiendo: el 1º) S/.2 500, el

Aritmética 262

2º) la mitad de lo que puso el primero mas S/.600; el tercero, 400 soles menos que los dos anteriores juntos. Al cabo de 3 años ellos se reparten un beneficio de 16 600 soles. ¿Cuánto le toca a cada uno?. Rpta.: 5) Cinco comerciantes del emporio comercial de Gamarra decidieron unir sus negocios y forjaron una sociedad en donde el primero de ellos impone S/.500; el 2º) S/.200 más que el primero; el 3º) S/.200 más que el segundo y así, sucesivamente, los demás. Si la pérdida total de la sociedad fue de S/.600. ¿Cuánto pierde cada uno? Rpta.: 6) Los cuatro miembros de la empresa comercializadora “Carlo” deciden explotar la industria maderera colocando una sucursal en Rioja (provincia del dpto. de San Martín) durante 4 años, logrando reunir 10 000 soles; de los cuales el 1º pone S/.3 500; el 2º, 2 500 soles; el 3º, la mitad de lo que puso el primero; y el 4º lo restante. Si al final de los 4

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• Representación Literal de Numerales: - Numeral de 3 cifras de base “n” : abc(n ) -

Numeral de 4 cifras de base “n” : abcd (n )

-

ab : numeral de 2 cifras: (10, 11, 12, ................ 98, 99) abc : numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999) aaa : numeral de 3 cifras iguales:(111, 222, 333, ..........., 999) 18 ab : numeral de 4 cifras que empiezan en 18.

-

(1800, 1811, 1812, .......) a(a + 1)(a + 2) Numeral de tres cifras consecutivas. (123;

456; 567.....) OBSERVACIONES: 1. LA PRIMERA CIFRA DE UN NUMERAL DEBERÁ SER SIGNIFICATIVA (DIFERENTE DE CERO) 2. TODO AQUELLO QUE ESTÉ ENTRE PARÉNTESIS EN EL LUGAR DE LAS CIFRAS, REPRESENTA UNA DE ELLAS 3. SE DENOMINA NUMERAL CAPICÚA A AQUEL QUE LEÍDO DE IZQUIERDA A DERECHA O VICEVERSA SE LEE IGUAL. EJEMPLO: 33; 454; 777: 7887

aa , aba , abba

CAMBIOS DE BASE EN Z: Caso N° 1: De base “n” a base 10 existen tres métodos: Ruffini Descomposición polinómica Práctico: sube y baja. A. Método de Ruffini: Ejemplos: Convertir 215(6) a base 10

28

Aritmética 87

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Resolución:

Aporte de C = S/.49 500 por un mes. a=

500 × 72 000 = 72 000 + 90 000 + 49 500

b=

500 × 9 000 36 = Sl . 212 72 000 + 90 000 + 49 500 47

c=

500 × 49 500 1 = Sl . 117 72 000 + 90 000 + 49 500 47

O sea que: 215(6) = 83 Convertir 127(8) a base 10. Resolución:

500 × 72 000 10 = S . 170 211 500 47

Reparto de la pérdida (S/.500) en partes DP a las sumas de cada uno. Por lo tanto: El primero pierde S/.17010/47; el segundo, S/.21236/47; y el tercero, S/.1171/47. O sea que: 127(8) = 87 B. Descomposición Polinómica Ejemplos: Convertir 324(6) a base 10 Resolución 324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4 = 108 + 12 + 4 = 124 O sea que: 324(6) = 124

Observación: El capital impuesto por cada socio, dentro de una operación comercial, es variable (diferente) por lo tanto, el reparto de la ganancia y/o pérdida es DP al producto del capital aportado por cada socio en el tiempo que ha durado dicha imposición (que también es distinto para cada socio de la transacción) capital ganancia DP.  capital aportado   tiempo de    ×   : var iable (o perdida)  por cada socio   aportacion 

Convertir 542(7) a base 10 Resolución: 542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2 = 245 + 28 + 2 = 275 O sea que: 542(7) = 275 C. Método Práctico: Sube y Baja Ejemplos: Convertir 215(6) en base 10.

Aritmética 88

Aritmética 261

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b=

10 000 × 96 000 = Sl . 3 200 180 000 + 96 000 + 24 000

c=

10 000 × 24 000 = Sl . 800 180 000 + 96 000 + 24 000

Por lo tanto, la ganancia se distribuye así: el primero recibe S/.6 000; el segundo, S/.3 200 y el tercero S/.800. * Caso especial de la regla de compañía en que los capitales son variables.En este caso el capital impuesto permanece constante solo por un tiempo, puesto que a dicho capital se le ejercen aumentos o descuentos que lo varían y que permanecen en una transacción comercial durante un tiempo. Ejemplo: • A; B y C se asocian para un negocio que dura 2 años. A impone 2 000 soles y, 8 meses después, abona 1 500 soles más. El segundo aporta al negocio 5 000 soles, y al cabo de un año saca la mitad de su aporte. El tercero coloca al inicio unos 2 500 soles, pero pasados 5 meses extrae 1 000 de su aporte y, 2 meses después, agrega 500 soles. Si el negocio registra una pérdida de 500 soles ¿Cuánto pierde cada uno? Solución: * Caso de A: 2 000 (8 meses) = 16 000 soles por un mes. 3 500 (16 meses) = 56 000 soles por un mes. 2 000 soles del inicio + 1500 mas de aporte. Luego, el aporte de A será: S/.16 000 + S/.56 000 al mes = 72 000 soles. * Caso de B: S/.5 000 (12 meses) = 60 000 soles por un mes. S/.2 500 (12 meses) = 30 000 por un mes. Aporte de B = 90 000 soles por un mes. * Caso de C: S/.2 500 (5 meses) = 12 500 soles por un mes. S/.1 500 (2 meses) = 3 000 soles por un mes. S/.2 000 (17 meses) = S/.34 000 por un mes.

Aritmética 260

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Resolución:

O sea que: 215(6)= 83 Convertir 542(7) en base 10 Resolución:

O sea que: 542(7)= 245

Caso N° 2: De la base 10 a base “n” El único método es el de divisiones sucesivas Ejemplos: Convertir 1234 a base 5 Resolución:

Aritmética 89

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Convertir 341 a base 4

B) Capitales iguales: En este caso el capital que debe invertir cada socio es el mismo para cada uno de ellos (capital constante). Por lo tanto el reparto de la ganancia (o pérdida) de la sociedad se realiza de una forma directamente proporcional al tiempo en que cada socio invierte su capital. Capitales Ganancia D.P. Tiempo Iguales

Resolución:

Convertir 500 a base 9. Resolución:

Caso N° 03: De base “n” a base “m” Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeración undecimal Resolución: A. Convertir 152(7) a base 10

Osea 152(7) = 86 Comvertir el número 86 de convertir a la base 11 a través de divisiones sucesivas. Resolución:

2) Regla de compañía compuesta: Es aquella en la que los capitales o los tiempos de inversión son DIFERENTES (variables). En este caso se reparte la ganancia (o pérdida) en partes directamente proporcionales a los productos de los capitales por los tiempos. Observación: Se debe tener cuidado con las unidades en que se expresa el tiempo. Si se encuentra en años, todas deben estar en años; si están en meses, todas deben estar en meses, etc. Ejemplo: Tres amigos de la universidad se asocian para crear un negocio. El primero invierte S/.5 000 durante 3 años; el segundo, S/.4 000 durante 2 años y el tercero invierte S/.3 000 por 8 meses. Si hay una ganancia de S/.10 000. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Solución: S/.5 000 x 36 meses = S/.180 000 por un mes. S/.4 000 x 24 meses = S/.96 000 por un mes S/. 3 000 x 8 meses = S/. 24 000 por un mes

B.

Ahora se reparte el beneficio (ganancia) de S/.10 000 en partes directamente proporcionales a estos productos. a=

Aritmética 90

10 000 × 180 000 = Sl . 6 000 180 000 + 96 000 + 24 000

Aritmética 259

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1) Regla de compañía simple: Es aquella en la que los capitales o los tiempos de inversión son iguales (constantes). Se pueden considerar, por lo tanto, dos casos:

Ejemplo: Convertir 401(6) a base 4

A) Tiempos iguales: En este caso el tiempo en que los socios deben invertir su capital es el mismo para cada uno de ellos (tiempo constante). Por este motivo, el reparto de la ganancia (o pérdida) de la sociedad se realiza de una forma directamente proporcional al capital invertido por cada uno de los socios. Ganancia D.P. Tiempo Tiempos Iguales Ganancia DP capital

Ejemplo: Tres socios forman un negocio (sociedad) por 4 años. El primero invierte S/.700; el segundo S/.500 y el tercero, S/.600. Transcurrido ese tiempo obtuvieron S/.5400 de ganancia. ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos?. Solución: Como el tiempo es igual para cada socio, se trata de un caso de compañía simple a tiempos iguales, por lo tanto se repartirá D.P. al capital que invirtió cada uno. a=

5 400 × 700 = S / .2 100 700 + 500 + 600

b=

5 400 × 500 = S / .1 500 700 + 500 + 600

Resolución: A) Pasando a base 10.

B)

Pasando a base 4. 145 4 25 36 1 0

4 9 1

4 2

Luego: 401(6) ≡ 2101(4) RESUMEN: DE BASE “N” A BASE “M” PASO A: DONDE “N” A BASE “10” PASO B: DE BASE 10 A BASE M (DIVISIONES SUCESIVAS)

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: c=

5 400 × 600 = S /.2 100 700 + 500 + 600

Rpta.: El primero gana S/.2 100; el segundo, S/.1 500 y el tercero gana S/.1 800.

Aritmética 258

Dado: abc (n ) = pqr ( m ) Si: abc > pqr → n < m Si: abc < pqr → n > m

Aritmética 91

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Ejemplo 1: Hallar “a” siendo: abc (4 ) = 2pr ( 5 ) Resolución: abc (4 ) = 2pr ( 5 )

a>2 ∧ a y c) x = y e) y < 0

b) y > x d) x > 0

02. La fracción completa 7/15 al sumarla con 2/3 es: a) 9/18 c) -5/12 e) N.A.

b) 3/15 d) -1/5

03. La dirección del COCIAP ha efectuado compras de dos tipos de tizas en iguales cantidades. Los profesores usan en clase 5/6 de un tipo y los ¾ del otro tipo. ¿Qué fracción de la cantidad total quedó sin usar? a) 7/24 c) 1/12 e) 1/24

04. Tres S/.12000

b) 5/12 d) 5/24

hermanos heredan en los siguientes

Aritmética 188

términos. Pedro recibe 1/3, Juana 2/5 y Ricardo el resto que corresponde a: a) S/.3 200 c) S/. 4 000 e) S/.5 800

b) S/.2 800 d) S/.4 800

05. En una fábrica de zapatos se hace una competencia de producción entre operarios y operarias. De los 3 000 pares de zapatos, las damas fabricaron 3/5 y ganaron el concurso. Los pares que fabricaron los varones son: a) 1 800 c) 1 200 e) 800

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El M.C.D. por descomposición en factores primos: Cuando los números son muy grandes, el procedimiento anterior resulta sumamente laborioso; por eso es preciso buscar otro camino que simplifique los cálculos, y por ello se emplea lo siguiente: Regla: Para hallar el M.C.D. de dos o más números, se les descomponen en sus factores primos y se multiplican los factores comunes afectados de sus menores exponentes. Ejemplo: 1. Hallar el M.C.D. 2 520; 720 y 540 2520 1260 630 315 105 35 7 1

b) 1 500 d) 1 750

2520 720 ∴

06. Manolo le dice a Pedro: “Yo 3 comeré   5

2 2 2 3 3 5 7

720 360 180 90 45 15 5 1 = =

2 2 2 2 3 3 5

540 270 135 45 15 5 1

2 2 3 3 3 5

23 x 32 x 5 x 7 24 x 32 x 4

540 = 22 x 33 x 5 . 2 2 M.C.D. 2 x 3 x 5 = 180

3

de la torta y tú: 11

 7  2  2   1  3    −   −    .  5   5   5    ¿Qué fracción de la torta quedará disponible si eso se cumple?

El M.C.D. por el método abreviado: Para hallar el M.C.D. de varios números, puede emplearse el método abreviado que consiste en dividir todos los números por el menor factor primo hasta que los cocientes sean primos entre sí. El producto de los diversos factores primos empleados será el M.C.D. Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 60 y 90.

Aritmética 161

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Solución:

19. Se tiene fracciones:

60 – 90 30 – 45 10 – 15 2–3

2 ⇒ Se divide a 60 y 90 entre dos. 3 ⇒ Se divide a 30 y 45 entre 3. 5 ⇒ Se divide a 10 y 15 entre 5.

las

Si: 3

Como los cocientes 2 y 3 son primos entre sí, el M.C.D. de 60 y 90 es: 2 x 3 x 5 = 30. ∴ M.C.D. (60; 90) = 30 El M.C.D. por Divisiones Sucesivas: Este procedimiento práctico conviene emplearlo cuando los números no se pueden factorizar fácilmente en sus factores primos.

 2 1  12  A =  +  x  3 4  121 2

3 2 B =   +  2 3

C =3 Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 615 y 225

225 2

⇒

A R

20. Un contratista dispone una obra para hacer un trabajo en 9 días con tres operarios. Al realizar el trabajo lo hace solo con dos, haciéndolos quedar 1 hora más diaria, y termina así la obra en 12 días. ¿Cuántas horas habrán trabajado diariamente?.

2

Rpta.:

27 3 x 48 4

Hallar “E” si:

Solución: Divido : 615 por 225 y hallo 2 de cociente y 165 de residuo. 615 165

siguientes

B C

E=

A B.C

Rpta.:

Divido : 225 165 ⇒ B R 60 1 R1 C1 Divido: 165 por 60; hallo 2 de cociente y 45 de residuo. 165 45

60 2

⇒

R R2

R1 C2

Divido: 60 por 45 y hallo 1 de cociente y 15 de residuo. 60 15

Aritmética 162

45 1

⇒

R1 R3

R2 C3

Aritmética 187

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11. Dadas las fracciones: 36 48 ; s= − ; r= 120 160 54 T= − 180 su relación de orden es:

15. Calcular el número que debe agregarse a los términos de la fracción 2/7, para hacerla 2 equivalente a . 3 Rpta.:

Divido: 45 por 15 y hallo 3 de cociente y cero de residuo.

16. ¿Cuál es el quebrado cuyo valor es mayor que 1/7 pero menor que 1/6, sabiendo que su denominador es 84?

La disposición de las operaciones sería: C3 C4  Cocientes Sucesivos C C1 C2 R2 A R R3  Divisores Sucesivos B R1 R  Residuos Sucesivos R1 R2 R3 R4=0

Rpta.: 12. A un alambre se le hacen dos partes, de modo que cada pedazo sea igual al anterior, aumentado en su mitad. ¿Qué fracción del alambre es el pedazo más grande?. Rpta.: 13. Un jugador en su primer juego pierde la mitad de su dinero; en el segundo juego pierde un cuarto de lo que le quedaba y en el tercer juego pierde 1/7 del nuevo resto. ¿Qué fracción del dinero inicial le ha quedado?. Rpta.: 14. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 60/84 tienen como términos a números pares de dos cifras? Rpta.:

Aritmética 186

Rpta.: 17. Hallar dos fracciones respectivamente iguales a 2/5 y 4/7 y tal es que la suma de sus términos sea la misma. Rpta.: 18. Dos técnicos de diferente especialidad deciden ir juntos al extranjero a trabajar. El primero gana por día 1/3 más que el segundo. Alrededor de un cierto tiempo, el 1ro, que ha trabajado 5 días más que el 2do, ha recibido 1200 dólares mientras que el otro ha recibido 720 dólares. ¿Cuánto gana cada uno por día; si trabajaban juntos en una misma empresa?. Rpta.:

45 0

15 3

⇒

R2 R4=0

R3 C4

Luego el M.C.D. de 615 y 225 es 15.

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 6 y 18 Solución: 18 6 ⇒ Como el residuo es cero, el número menor 6, es el M.C.D. .0 3 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) Definición: El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números es el menor número (distinto de cero) que es múltiplo de común de ambos números. Este concepto se aplica, en la adición o sustracción de números fraccionarios, al tener que buscar un denominador común para dos o más fracciones. Ejemplo:

1 1 + 6 8

Aritmética 163

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A. Podemos tomar como denominador común a 48, éste número contiene a los números 6 y 8.

PROBLEMAS EN CLASE 01. Si: n = -2/3 entonces:

1 1 8 6 14 + = + = 6 8 48 48 48 B.

2

Podemos tomar como denominador común a 24, éste número contiene a los números 6 y 8.

1 1 4 3 7 + = + = 6 8 24 24 24 Métodos para calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.): Por factorización en sus factores primos: El m.c.m. de dos o más números factorizados es el producto de sus factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

n – 2n es : Rpta.:

se obtiene:

3 de la mitad de una 4 torta equivalen a la fracción de: Rpta.: 03. El inverso multiplicativo de 2 sumado con el inverso aditivo 3 es igual a: Rpta.:

Ejemplo : Hallar el m.c.m. de 160 y 240 Solución: Factorizamos cada número en sus factores primos así: 160 80 40 20 10 5 1

2 2 2 2 2 5

160 = 25 x 5

240 120 60 30 15 5 1

2 2 2 2 3 5

04. Luisa ha bordado ya 1/12 de una cinta en color amarillo 2/3 de color verde y 1/6 de color rojo le quedan para bordar 8 cm. de cinta. La longitud total de la cinta es:

05. El valor de: 3

 2  −1   −   ; es:  3     Rpta.:

Aritmética 164

Rpta.: 07. En una tienda se han vendido la sexta parte, la quinta parte y la décima parte de una pieza de tela, quedando un saldo de 120m. ¿Cuántos metros tenía la pieza completa?. Rpta.: 08. La diferencia entre  1 1  1 1  −  y  −  es: 3 6 6 4 Rpta.: 09. La mitad de

1 1 de 1 es: 4 3

Rpta.:

Rpta.: 240 = 24 x 3 x5

2

1  1 1   − 2  . 1  . ; 2    5 3

02. Los

a)

06. Al multiplicar:

10. Hallar el valor de “x”, si: 2 x = 3 1− 1 3− 3 Rpta.:

Aritmética 185

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De donde:

Radicación de Fracciones

m.cm. (160 y 240) = 25 x 5 x 3 = 480 Sea: n

a a a = x ⇒ xn = a ; n = y ⇒ yn = ; b ≠ 0 b b

Donde:

b)

a ; se llama radicando y es un número racional b n ; se llama índice; (n > 2) y ; se llama raíz

Ejemplo: Hallar el m.c.m. de: 42 y 56.

; se llama operador radical

42 – 56 21 – 28 21 – 14 21 – 7 7–7 1–1

Ejemplo:

64 = 9

64

=

9

4 9 x = 16 25

8 3

4 9 2 3 6 3 x = x = = 16 25 4 5 20 10

Método Abreviado para hallar el M.C.M.: Este método abreviado consiste en dividir cada uno de los números por el menor divisor primo posible, hasta que los cocientes sean igual a la unidad.

c)

2 2 2 3 7

⇒ m.c.m. = 23 x 3 x 7 = 8 x 21 = 168

Por el Máximo Común Divisor (M.C.D.): El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números es igual a su producto dividido entre su máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Hallar el m.c.m. de: 70 y 84

Solución: Primero, hallamos el M.C.D. de 70 y 84, por medio de divisiones sucesivas, así: 84 14

Aritmética 184

1 70 0

5 14

* El M.C.D. = 14.

Aritmética 165

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Luego:

a axd a c b ∵ ÷ = = c b d bxc d

Producto de los números m.c.m.= M.C.D. de dichos números

de donde:

De donde:

m.c.m. =

84 x 70 = 420 14

Aplicaciones al Cálculo de Fracciones - Mínimo Común Denominador: Para reducir fracciones a mínimo común denominador (m.c.d.), se toma como tal el m.c.m. de los denominadores y se multiplica cada numerador por el cociente de dividir el denominador común por el denominador respectivo.

a y d: se llaman términos extremos. b y c : se llaman términos medios.

Potenciación de Fracciones: 4



Ejemplo: Sean las fracciones:  1 ; 5 ; 4  2 6 9



El m.c.m. de los denominadores es: 2-6-9 1-3-9 1-1-3 1-1-1

2 3 3

- Fracciones Irreductibles: Una fracción es irreductible si su denominador y numerador son primos entre sí: Ejemplo:

4 ⇒ Es una fracción irreductible porque 4 y 7 son 7 números primos entre sí o primos relativos porque tienen como divisor común a la unidad.

 2 3   5

2

 17  =   5

2



⇒ m.c.m. = 18

2 2 2 2 2 4 16 2   = x x x ó 4 = 3 3 3 3 3 81 3

3 2   +  4 5

2

2

=

289 25

=

32 4

2

+

22 5

2

=

9 4 + 16 25

(n

≠ 1)

Recuerde: n

n

a c  ≠  +   b d

n

m

x ≠   y

a c  i)   +   b    d

x x ii)   +   y   y

n

m+n

5 11 24 ; ; ⇒ Son fracciones irreductibles. 9 16 5

Aritmética 166

Aritmética 183

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Multiplicación de Fracciones:

- Simplificar una fracción: Significa hallar la fracción irreductible equivalente a la fracción dada.

La multiplicación con fracciones tienen la misma finalidad que la multiplicación con números enteros. Ejemplo: a)

2 3 2x3 6 x = = 7 5 7x5 35

4 2 4 2 8 b) de = x = 3 5 3 5 15 6 8 1 6 x 8 x 1 48 = c) x x = 5 3 2 5x3x2 30

d)

2 2 x 10 20 x 10 = = 5 5 5

3 2 11 37 407 e) 2 x 5 = x = 4 7 4 7 28 407 15 = 14 28 28

División de Fracciones Como la división es la operación inversa a la multiplicación lo haremos de modo inverso. Así pues, para dividir dos fracciones se multiplica la “fracción dividendo” por la “fracción divisor” invertida.

Ejemplo: Simplificar la fracción:

8 24

Solución:

8 24

Sacamos la mitad a cada término.

4 12

Sacamos la mitad a cada término.

2 6

Sacamos la mitad a cada término.

Luego:

8 1 = 24 3

Ejemplo:

12 8 12 4 ÷ ⇔ x 3 4 3 8 se invierte

∵

12 4 48 x = = 2 3 8 24

* Sea: dos fracciones a c y b d

Aritmética 182

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PROBLEMAS EN CLASE 01. ¿Cuántos divisores tiene el número 120? Rpta.: 02. La menor distancia que se puede medir indistintamente utilizando una cinta métrica de 4;10 o 16 metros de largo es:

06. La mayor cifra de M.C.D. de los números 1 825; 2 625 y 3 650; es: Rpta.: 07. Si el número de divisores de los números 300n y 16.90n son iguales. Hallar “n”. Rpta.

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Ejemplo: - Efectuar: 3

2 3 +5 7 7

Solución:

3+5 = 8 *

⇔ 3

2 3 5 +5 = 8 7 7 7

2 3 5 + = 7 7 7 Adición de Números Enteros y Fraccionarios

Rpta. 03. ¿Cuál es la mayor longitud de una medida con la que se pueden medir exactamente tres dimensiones 280; 1120 y 1600 metros. Rpta.: 04. Hallar el M.C.D. de: A = 24 . 37 . 5 ∧ B = 26 . 32 . 72

Dar como respuesta el valor de su última cifra. Rpta.: 05. La suma de cifras del mínimo común múltiplo de los números 144, 256 y 225 es: Rpta.:

08. Tres amigos parten regularmente de la misma ciudad cada 8; 12 y 16 días, respectivamente. La última vez que salieron juntos fue el 16 de octubre de 1998 con la promesa de reunirse los tres en la primera oportunidad para intercambiar información sobre las carreras profesionales a seguir: ¿En qué fecha se produce el encuentro?

Efectuar: 2 3+ 5 ↓ 3 x5 2 3 x 5 + 2 17 + = = 5 5 5 5 Sustracción de Fracciones Definida la adición de dos números fraccionarios, definiremos la sustracción como la operación inversa, diciendo que: la sustracción de dos fracciones α y β (α > β) llamadas respectivamente, minuendo y sustraendo. Tienen por objeto hallar otra fracción llamada diferencia, tal que:

Rpta.: 09. Si el M.C.M. de A = 45.60n y B = 45n . 60; es igual a 12 veces su M.C.D. Hallar “n”.

β+γ=α⇒ α-β=γ . Ejemplo:

9 3 18 3 15 − = − = 4 8 8 8 8

Rpta.:

Aritmética 168

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b)

6 8 6+8 14 −7 + = = = −4 −4 −4 −4 2

c)

4 −2 5 4 + ( −2) + 5 7 + + = = 3 3 3 3 3

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10. El mínimo común múltiplo de dos números es 240 y su M.C.D. es 2; si uno de los números es 16. ¿Cuál es el otro?. Rpta.:

Adición de Fracciones con distintos denominadores (Fracciones Heterogéneas) Cuando las fracciones son heterogéneas, para poder sumarlas hay que convertirla en fracciones homogéneas, dándoles un común denominador. Ejemplos: Sumar:

Rpta.:

1 5 3 ; y 3 6 7

12. Si tenemos 2 números A y B tal que:

Solución Damos común denominador. 3–6–7 3–3–7 1–1–7 1–1–1

11. De las 178 clases de matemáticas al año, un alumno asistió a un número de ellas que es múltiplo de 4; 12; 13. ¿A cuántas clases asistió y a cuántas clases faltó?

2 3 7

A = 22(46)n B = 22n.46 2 x 3 x 7 = 42

1 5 3 14 + 35 + 18 67 = ∴ + + = 3 6 7 42 42 Adición de Números Mixtos: 1ro Se suman las partes enteras, siendo el resultado la parte entera de la suma. 2do Se suman las partes fraccionarias, siendo el resultado la parte fraccionaria de la suma.

14. SI: M.C.D. es 28 de dos números, y su suma es 140. Hallar los números. Rpta.: 15. Se dan los números A y B. (A > B) y D(A; B) = 127. Si A = 1524. Hallar B, Rpta.: 16. Hallar dos números A y B sabiendo que:

A+B A xB = 8 y = 840 D( A . B) D( A . B) Rpta.: 17. Si abc - cba = 5du . ¿Qué valor debe tener la cifra b para que D( abc , cba ) = 18?

¿En qué cifra termina el máximo común divisor?. Para “n” un entero positivo mínimo. Rpta. 13. Si: A = 122 . 183 B = 182 . 123 ¿Cuántos divisores tienen en común?

Rpta.: 18. Al calcular el M.C.D. de dos números primos entre sí por el algoritmo de Euclides, se encuentra por cocientes sucesivos 3, 9, 4, 3 y 5. Calcular el mayor de dichos números. Rpta.:

Rpta.:

Aritmética 180

Aritmética 169

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19. Al calcular el M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas el primer cociente es 1 y el primer residuo 111, el segundo cociente es 4 y el segundo residuo 42. Entonces la suma de los cocientes residuos y M.C.D., obtenidos es:

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Ejemplo:

Rpta.:

4

20. ¿Cuántos números menores que 80 tienen con 360 el M.C.D. 4?

9

7 9

4 7 < 9 9

Rpta.: 2da: Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

3 3 < > 4 6 3 4

3

6

3ra : Si dos fracciones tienen distintos numeradores y denominadores se reducen a común denominador y se aplica la regla ya antes mencionada. Operaciones con Fracciones: - Adición de Fracciones: En la adición de fracciones pueden darse dos casos: Adición de Fracciones con igual denominador (Fracciones Homogéneas) En este caso se suman los numeradores, y a esta suma se le pone el mismo denominador. Ejemplos: a)

Aritmética 170

4 5 4+5 9 + = = 7 7 7 7

Aritmética 179

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1 x 4 x 3 3 x 2 x 3 2 x 2 x 4 1 3 2 12 18 16 : ; ; ; ⇒ ; ; = 2 x 4 x 3 4 x 2 x 3 3 x 2 x 4 2 4 3 24 24 24       12 24

18 24

16 24

Otro procedimiento muy empleado es el del mínimo común denominador, asi tenemos: Ejemplo:

2 1 5 Reducir a común denominador ; ; 3 4 6 1º)

Se halla el m.c.m. de los denominadores.

3–4–6 3–2–3 3–1–3 1–1–1

2 2 3

m.c.m. ( 3 , 4 y 6) = 2 x 2 x 3 = 12

2º)

2 1 5 4x 2 3 x 1 2 x 5 ; ; = ; ; 3 4 6 12 12 12 ↓ ↓ ↓ 8 3 10 12 12 12 Comparación de Fracciones: Las fracciones no son otra cosa que cocientes indicados. A veces nos interesa saber “a simple vista” cuál de varias fracciones tienen mayor o menor valor, sin necesidad de realizar la división. Para ello conviene aplicar las siguientes reglas: 1era: Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor es la que tiene mayor numerador.

Aritmética 178

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PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el M.C.D. de A = 22. 33 . 7 y B = 34 . 52 . 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

05. Si el M.C.D. de los números 1ab y 2cd es (c + 2)b . Luego el

valor de 2cd y 2(1ab ) es: a) 12 d) 18 02. Si:

b) 16 e) 14

N =

M2 − 1 8

(N;M) = 3720. Hallar: a) 2 d) 6

b) 3 e) 4

c) 15 a) 0 d) 35 y

M.C.M.

N M−1 c) 5

03. Un número “N” posee 10 divisores y D (N; 450) = 18. Calcular la suma de cifras de N. a) 12 d) 6

b) 3 e) 4

c) 5

04. Sí: D =  x1y8; x9 y0  = 88. La   suma (x + y) es igual a: a) 9 d) 11

b) 10 e) 14

c) 8

b) 45 e) 25

c) 15

06. El producto de dos números es 7 007 y su M.C.D. es 7. Uno de los dos números “no” es: a) 91 d) 123

b) 7 c) 77 e) 1 001

07. Calcular la menor diferencia que puede existir entre dos números, cuya suma es 168 y su M.C.D. es 14. a) 12 d) 18

b) 14 e) 16

c) 28

08. Hallar la menor diferencia que puede existir entre dos números enteros, sabiendo que el producto de los números dividido entre el M.C.D. es 60, siendo la suma de los cocientes al dividir cada uno de ellos por el M.C.D. igual a 7. a) 7 b) 18 c) 12 d) 4 e) 5

Aritmética 171

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9. Existen dos números que son entre sí como 30 es a 48 y cuyo M.C.D. será 21. Uno de ellos es: a) 103 d) 168

b) 167 e) 106

c) 104

11. El M.C.D. de un número formando por 180 nueves; otro formado por 200 nueves y otro de 300 nueves, es otro número formado por: a) 18 nueves c) 18 unos e) N.A.

b) 20 nueves d) 20 unos

a) 1 924 d) 1 530

b) 3 150 c) 2 430 e) 2 250

13. El M.C.D. de dos números es 18. Uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores. Hallar la suma de dichos números. a) 162 d) 414

b) 576 e) 396

Aritmética 172

Ejemplos: 14. Un negociante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas de modo que cada caja contenga el mayor número posible de éstas manzanas y naranjas. ¿Cuántas cajas de naranjas más que de manzanas hay? a) 4 d) 7

b) 5 e) 9

c) 6

15. El M.C.D. de A y B es 126, si: A = a(ab ) b( 4c )

12. La diferencia de los menores números que tienen como M.C.D.; 90 que tienen 24 y 30 divisores respectivamente es:

c) 738

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24 8 12 15 =4 b) =3 c) = 5 d) = 6 3 4 2 4 - Fracción Inversa o Recíproca: Dos fracciones son inversas cuando el numerador de una de ellas es el denominador de la otra y recíprocamente. a)

Ejemplos:

17 40 12 5 y y d) 5 12 40 17 Un número recíproco de un entero es una fracción cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es dicho número. a)

5 4 y 4 5

b)

7 9 y 9 7

c)

Ejemplos:

B = coa(2b) Determinar: a + b + c. a) 6 d) 7

b) 5 e) 8

c) 4

16. ¿Cuál puede ser el M.C.D. de cuatro números enteros positivos aumentados a cada uno en 8 unidades 2?. Si el M.C.D. de éstos 4 enteros sin aumentar es 48. a) 18 b) 10 c) 12 d) 14 e) 8

1 1 es el recíproco de 6; es el recíproco de 18. 6 18 - Reducción de Fracciones a común denominador: Reducir fracciones a común denominador es hallar otras fracciones equivalentes a las dadas, pero teniendo todas el mismo denominador. - Para ello se multiplica el numerador y denominador, de cada una por los denominadores de las demás. Ejemplo: Reducir a común denominador:

1 3 2 ; y 2 4 3

Aritmética 177

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- Fracción Propia: Fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que el denominador: también puede decir que fracción propia es aquella que es menor que la UNIDAD. Ejemplo:

2

3 5

3 8

3 2 3

1

3 8

1

3 5

1

- Fracción Impropia: Fracción Impropia es la que tiene el numerador mayor que el denominador. Su valor es superior al de la unidad.

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TEMA 10: NÚMEROS FRACCIONARIOS OBJETIVOS Al finalizar el presente tema el alumno estará en la capacidad de: • Construir el conjunto de los números racionales a partir de la relación de equivalencia. • Identificar e interpretar los números fraccionarios. • Simplicar y amplificar las fraciones. • Clasificar a las fracciones aplicando sus propiedades.

UNIDAD FRACCIONARIA: La unidad fraccionaria es cada una de las partes iguales en que se ha dividido la unidad principal. La unidad fraccionaria se representa por medio de dos números separados por una rayita horizontal; encima de la rayita se escribe el número 1.

Ejemplo: Ejm:

1 1 ; 8 6

Concepto de Fracción: Dividimos un terreno en siete partes iguales. A la persona “E” le corresponde cuatro partes y a la persona “F”, tres partes.

1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 7 7 7 7 7 7 7

- Fracción Impura: Fracción Impura es aquella cuyo numerador es múltiplo del denominador. Éstas fracciones son equivalentes a un número entero.

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E F

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La unidad fraccionaria es: 1/7. La parte de la persona “E” se representa por 4/7 porque tiene 4 unidades fraccionarias, y la parte de la persona “F”, por 3/7, porque tiene 3 unidades fraccionarias. - Las expresiones 4/7 y 3/7 se denominan números fraccionarios; también se puede llamar números quebrados. Escritura y Lectura de Números Fraccionarios

4 2 3 1 = ; = 6 3 12 4 De lo dicho se deduce que si se multiplican o dividen el numerador y el denominador por un mismo número, la fracción que resulta es equivalente, o lo que es lo mismo, el valor de la fracción no varía. En General:

a a.m a a:m = ; = b b.m b b :m

Sea el número fraccionario: Clase de Fracciones:

4 → Numerador 7 → Denominado r

Se lee: cuatro séptimos.

- Fracción Irreductible: Fracción Irreductible es lo que no se puede simplificar, por no existir ningún número exactamente a sus dos términos.

Fracciones Equivalentes: Son las que representan el mismo valor, pero con términos diferentes.

El numerador y el denominador de una fracción irreductible son primos entre sí. Ejemplo:

Ejemplo:

Convertir en irreductible:

2 4 6 8 ; ; ; ; ... 3 6 9 12

120 180

Hallamos el M.C.D. (120 y 180): siendo este 60, luego:

Graficando: 2

4

3

6

120 120 : 60 2 = = 180 180 : 60 3 Atención: Convertir una fracción en irreductible es simplificarla todo lo posible.

Simplificación de Fracciones: Simplificar una fracción es hallar otra fracción equivalente cuyos términos sean más pequeños.

Aritmética 174

Aritmética 175