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• Luis Filio

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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

TEMA 1: OPERACIONES COMBINADAS I ORDEN DE LAS OPERACIONES Y SIGNOS DE COLECCIÓN Mi hermano menor me pidió que lo ayudara a completar un álbum de Pokemon, empecé con 12 figuritas, durante 3 días reuní 6 diarias, además un amigo me regalo la mitad de sus 18 figuritas que tenía repetidas, hice una operación para saber la cantidad de figuritas reunidas y obtuve los siguiente resultados. 12  3  6 

18  99 2

Siguiente la orientación de mi profesor de verificar siempre la respuesta, resolví el problema al revés y cual fue mi sorpresa: 18  6  3  12  57 2 Me encontraba en un verdadero problema y decidí entrar a la era de la computación, apoyándome en la misma introduje la operación y el resultado fue 54. Evidentemente algo estaba pasando, no podía creer que las matemáticas fueran tan inapropiadas para tan sencillo problema, conté las figuritas una por una y para mi sorpresa no era 99, 57, las volví a contar para rectificar y era 39. ¿Qué sucedió con las matemáticas? ¿Hice mal alguna Operación? La computadora ¿También resolvió mal la operación? ¿Puedes ayudarme entonces a encontrar el error? Comenta esta situación y analiza con tus compañeros. 18 una expresión como 12 + 3 x 6 + requiere una interpretación y debemos 2 establecer el cálculo de acuerdo a una jerarquía operatoria. El orden es el siguiente: 1. Signos de colección: ( ),  ,   2. Multiplicación y división: x ,  3. Suma y resta: +, -

Aritmética

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EJERCICIOS RESUELTOS 1- Efectuar: M =  18  2 x 4 -  ( 24 – 6 )  3 + 2   + 12  4 Solución:   M   18    2  4      M  9  4  

=



M

=

28

M

=

31



  12  4 

   18    3  2   3    

  M   36   6   

M

   24  6   3  2         

  2  3  

36

-

+

8 

+

3

3

2. Calcular: A =  24 x 2  8 +  2 + 6 x 3 – 5   3  x 2 – 10 Solución:  A   24    2  8    A   48    8   





   26   3  5  3  2  10      2   18 5  3  2  10   

  A   6  15    3  2  10  

A   6  5  2  10

A  11   2  10

A  22  10

A  12

EJERCICIOS

1. Efectuar las siguientes operaciones: A) 12  3 x 4 + 2  2

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B) 8 x 3  2 - 6 x 2  3 C) 4 x 16  8 - 6 x 4  2 2. Calcular: M = 24 x 3  6 – 2 x 4 x 6  2 3. Reducir: A = 16 x 2  3 + 25 x 3  15 – 2 4. Simplificar: B = 40  2  2 + 62  2 x 2 – 18 x 3  9 5. Efectuar: M = 12 – (6  3 + 6 x 2)  7 6. Operar: A = 18 +  2  3  5  6  2 - (2 – 1) x 3 7. Calcular: I = ( 6 – 2 ) x 3 + 2  ( 4 – 12  4 ) + 3 x  5 + ( 3 – 2 ) 8. Determinar: E =  6 x 3  2 +  (15 – 12) x 2 – 3  + 6 x 3 9. Determinar: E = 6 x 3  2 +  ( 15 – 12 ) x 2 – 3   + 6 x 3 10. Operar: B = ( 16 – 12 )   15 + 16  8 – 5 x ( 6 – 9 3 ) + A Donde: A = 12 + 6 + 4 x 2 + ( 12 – 5 ) x 4  2 - 17 + (6  3) x (18 9)  11. Calcular: A = (24 – (25  (17–12) + 14 - 12 – 6x2 + 15)  4 – 2 x 2 – (6 – 5) Dar como respuesta la suma de cifras.

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12. Hallar A + B A = 12– (6 x 3  2 x 4 – 12 x 5 - 2  2)  6 B = 16 x 12  2– 15 x 18  6 + 2 x (10 - 5x2) 2A  B 4 A = 27  (18 + 3 X 4  2- 14  2 x 3 )

13. Calcular: E =

B = 10 x 3  15 + 6 x 8  (12 – 4 x 2) 14. El día domingo repartí S/. 120 entre mis cuatro hijos, en partes iguales, luego les di a cada uno la tercera parte de S/.24, pero mi hijo mayor tuvo que gastar el doble de S/. 15. ¿Cuánto es lo que tiene mi hijo mayor? solución:

15. Pepe y Lucho jugaban a realizar cálculos mentales. Pepe le dice a Lucho: “Multiplica 5 y 3 luego divídelo entre la resta de 6 y 1. Al resultado súmale el producto de 18 con la diferencia de 5 y 3” ¿Cuánto obtuvo Lucho?

16. Juanito recibe 12 caramelos pero come “x”, luego su primo le da el doble de la diferencia entre 2 y 10, después de una hora su papá le regala la cuarta parte de 24 y ahora tiene 27 caramelos. Calcular “x”. solución:

solución:

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TAREA DOMICILIARIA 1. Efectuar las siguientes operaciones: A) 6 x 4  3 + 2 x 8  4 B) 12 x 3  2 – 15 x 3  9 C) 15 x 3  5 + 18 x 9  6 2. Calcular: A = 16 x 4  8 – 2 x 2 x 2 x 2  4 3. Reducir: B = 4 x 3 x 4  2 + 16 x 2  4 x 2 – 1 4. Simplificar: C = 42  2 x 3  7 + 35 x 2  10 – 18  6 x 3  9 5. Oscar colecciona estampillas, hasta el momento tiene el doble de 18 pero se le pierde la mitad de 12. Luego recibe 10 estampillas de regalo y ahora tiene: 6. Calcular: A + B A = 8 x 3 + 16  2 – 1 x 3 B = 12  4 – 6  3 + 3 x 2 7. Reducir: A =  18 x ( 5 – 3)  4 + ( 2 + 5 x 3  ( 6 – 1)  5  + 16 Dar como respuesta la suma de cifras. 8. Calcular: M = (12–4) x 42+18x3  9 11 – 2 9. Operar: N = 15  5 x 6  ( 10 - 1) + 12 x ( 6 - 14 – 4 x5 - 2)

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10. Un comerciante compra 6 cajas de cuadernos de 12 cuadernos cada caja y los reparte equitativamente entre 8 personas, pero cada una de ellas ya tenía la mitad de 10, entonces ¿Cuántos cuadernos tiene cada una de estas personas? solución:

11. Hallar: M = (12 – 9) x  18 x 4  (12 – 6) – 15  5 x 2  (16 - 13) + 7

12. Indicar el producto de las cifras del resultado de:  15  3 + 8x (3 + 2 x 6) -10  - 6 + 9 x 4  3 - 2

13. Determinar: A =  24  6 x (18 - 6 + 18  6 x 3) -2 x (12 – 18  2

14. Cinco amigos van de compras y piensan gastar S/. 100 cada uno de ellos. Si los dos primeros gastaron S/. 10 más y los dos últimos gastan S/. 30 menos. ¿Cuánto gastó el quinto amigo si el gasto total fue de S/. 40 más?

15. Si mi sueldo fuera S/.420 más podría gastar S/. 500 en alimentos, S/. 520 en alquiler, S/. 610 en ropa y S/. 600 en movilidad, quedándome de ahorro S/. 480 ¿Cuál es mi sueldo?

solución:

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solución:

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TEMA 2: OPERACIONES COMBINADAS II En esta parte de las operaciones combinadas consideraremos la potenciación y la radicación para lo cual se establece otra jerarquía operatoria. El orden se resume a continuación: 1. 2. 3. 4.

Signos de colección: ( ), ,  m Potencias y radicales:   ; n Multiplicación y División: x ;  Suma y resta: + ; -

OJO:

20  1

3 

2 0

12 0  1

 90  1

“Todo número natural que está elevado a la cero da por resultado…”

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Simplificar: A   3 2  3  5  2 3   2  4 2  5  3  25



Solución:





 A  (3 2  3  5 )  23   2  



42  5  3 

A    9  15   8  2  16  15  5



A   24  8   2  36 A   3    2  6



 

25  



A  38 A  24

2. Reducir: E  42 

Solución: E  42  E  16  E  16  E  16 

12  18  2  18

2

2



0

 2  9  1010  14  144  5 0



0

 2  9  1010  14  144  50

 2  324  2  9  101   2  648  9  10  25  2  72  10  5

14  12  1

E  16  64  5 E  16  8  5 E  19

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“Ahora lo que necesitas para resolver los problemas, es mucha paciencia y voluntad, ¡Vamos no te desanimes! Tú puedes….

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EJERCICIOS 1. Efectuar: A) 32  50 + 6 x 11 B) 18  9 x 22 – 62  32 C) 24 x 2  24 + 52  5 2. Reducir:





E = 2 2  3  3  4 2  2 4  3  50  2 3. Operar: A  10 2  3  2  3 2  2  6

4. Simplificar: M 

7

18  7  2 2

5. Juan García compró 12 cajas de leche en las cuales había 7 latas en cada caja, si el precio de cada lata es igual al número de latas que tiene cada caja. Calcular el valor total de las latas de leche. solución: 6. Reducir: B  17  32  2  10  60  5  3  8  5  130

7. Simplificar: A    3  3  5  9  2 



4 2  5  3  2  54  5



8. Calcular Ele producto de las cifras del resultado: M  100  8 6  14  2  5  23  20  4 2  2  2 3

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9. Encontrar el valor de restar “A” de “B”, si:

A  3 500  4  20  10  50  5  2 4





B  16  3  2  5  2 2  3



10. En una granja para cercar con 5 hileras un corral cuadrangular se usaron de alambre. Hallar el área del cuadrado.

620 m

Solución:

11. Hallar M:







M  17  2  18  2  6  2 2  3  2  3  A Si: A  12  3  2 2  



14  16  12



12. Determinar: E  12  62  32 

52 

16  25  3  32  A 2  12

13. Tenemos cestas que contienen huevos, en unas cestas hay huevos de gallina, en las otras cestas hay de pato. Su número está indicado en cada cesta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. “Si vendo esta cesta –meditaba- me quedará el doble de huevos de gallina que de pato”. ¿A qué cesta se refiere el vendedor? solución:

14. ¿Cómo expresar la unidad, empleando al mismo tiempo las diez primeras cifras? solución:

15. Intenta 4 maneras distintas de formar el número 23 usando sólo el 2 y el 5 y las cuatro operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Por ejemplo: 23 = 5 x 5 – 2 solución:

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TAREA DOMICILIARIA 1. Efectuar:





A) 2 3  2 2  2 4  16  2





B) 3  3 4  3 C) 21  3 x 6 + 150 3

2. Reducir:





A  33  4  16  5  4  2  5

3. Operar:





M  13  2 16  3 4  3 37

4. Simplificar: N  2 2  16  8  3 2  6  2  3 16  4

5. Un recipiente lleno de un reactivo químico cuesta S/. 12 000, pero cuando se retiran 6 litros, solo cuesta S/. 10 000. ¿Cuántos litros tiene el recipiente lleno? solución: 6. Calcular:









R  3  4 2  36  2  2 3  3 8  5 2  5  14 7. Efectuar: I  23  9  6  23  6  2  7  8  2  5  2 2  5  3

8. Operar e indicar el producto de cifras del resultado:









M  6  23  2 2  2  1  32  4  16  5  2 2  2  5

9. Hallar: C  3  100  3 16 

4  100 0 

3 9

10. Por dos procedimientos, exprese el número 100 de cuatro modos distintos, empleando cinco cifras iguales.

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solución: 11. Calcular: P

5 21 

2  14 

262 

34 

25  1

12. Reducir: E  46  2 





100  2  2 3  2 2  2  14

13. Calcular: Q



6 36  3



2

 2 13  144

14. En una escuela de 7 grados, para el almuerzo de 246 alumnos, se abona diariamente S/. 1722 al concesionario del comedor. A partir de las vacaciones de invierno, éste decide premiar a los cuatro mejores alumnos de cada grado, con un descuento del 50%. ¿Cuánto se abonará diariamente a partir de agosto? solución: 15. En una granja para cercar con 5 hileras un corral triangular, se usarán 525m. de alambre. El triángulo, que es isósceles, tiene dos lados iguales que miden, cada uno, el triple de lo que mide el tercer lado. Hallar La longitud de cada lado del corral. solución:

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TEMA: VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA El valor absoluto de una cifra es el valor que tiene la cifra, es decir, sin tener en cuenta el orden que ocupa dentro de un número. Ejemplo: Sea 472568 Valor absoluto de 7 es 7, es decir: V.A(7)=7 Valor absoluto de 2 es 2, es decir: V.A(2)=2 El valor relativo de una cifra es el valor que tiene dicha cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un número. Ejemplo:

Sea 12460256

Valor relativo de 4 es 400 000, es decir: V.R(4) = 400 000 Valor Relativo de 1 es 10 000 000, es decir: V.A(1) = 10 000 000

RERESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Un número de una cifra: a ó x…etc (1; 2; 3; 4;…………; 9) (Cualquier letra)

Un número de dos cifras: ab ó xy ó mn...etc (10; 11; 12;……; 99) Un número de tres cifras: abc (100; 101; 102;………; 999)

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EJERCICIOS RESUELTOS 1) Si:

a + b + c = 18. Calcular:

Colocamos columnas:

los

números

en

M  cba  acb  bac cba + acb bac

Solución:

 M = 1998

2) Si a un número de dos cifras se resta 54; se obtiene otro número que tiene las cifras invertidas, si el dígito de las decenas es el triple de la cifra de las unidades ¿Cual es el número? solución: Planteamiento: ab  54  ba Luego nos piden que el número tenga como dígitos de las decenas el triple de la cifra de las unidades, veamos posibilidades: ab  31;62;93

Ahora probemos: 31 – 54 = No se puede porque: 31 < 54 62 – 54 = 8 ¡No! 93 – 54 = 39 ¡Sí!  El número es 93.

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EJERCICIOS Si: (a + b + c)2 = 196 1. Calcular: U = a 2b  bca  cac  3b 4 2. Hallar: V  aa  bb  cc 3. Determinar el valor absoluto de la cifra de las decenas de x: x  abc  bca  cab

4. Hugo tenía ab dólares y luego en un “trabajito” recibió ba dólares. ¿Cuánto tiene al final, si a + b = 14? 5. Lucho “El lechero” tenía xy litros de leche y luego compró yx litros. ¿Cuántos litros de leche tiene para vender, si x + y = 12? Si:

abc 5

6. Hallar: M = 3a 29  3b72  7c 41 7. Si: P = 456a  648b  312c; dar como respuesta el valor absoluto de la cifra de decena de millar de P. 8. Hallar: N = a 4b3  c5ab  b3ca  1c 9. Escribiendo un cero a la derecha de un número natural, se ha aumentado este número es 729. Dar como respuesta la suma de cifras del número original. 10. Escribiendo dos ceros a la derecha de un número natural, se ha aumentado este número en 1386. Dar como respuesta l suma de las cifras del número original. 11. Si a un número de dos cifras se resta 27, se obtiene otro número que tiene las cifras invertidas, si el dígito de las decenas es el cuádruple de la cifra de las unidades ¿Cuál es el número? 12. La edad de Alberto es ab años y la de Julio es bc años, además entre los dos suman 96 años. ¿Cuántos años deben pasar para que Julio tenga cc años, si a + b + c = 14?

TAREA DOMICILIARIA

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Si: (a + b + c)2 = 225; calcular: 1. A = 2a 65  4b52  6c 02 2. M = 78c  a  932b 3. N = cb  ac  ba  2451 4. P = 36a  1249b  24c  a  b  c 5. Papelucho tenía xx dólares y luego de un juego ganó yy dólares. ¿Cuánto tiene al final, si x + y = 11? Si:

abc  4

6. Hallar: A = 43a 2  65b3  11c 4 7. Hallar: B = 124a  438b  217c 8. Hallar: C = a 251  b763  c 202 y dar como respuesta el valor absoluto de la cifra de unidades de millar de C. 9. Escribiendo un cero a la derecha de un número natural, se ha aumentado este número en 1008. Dar como respuesta la suma de cifras el número original. 10. Escribiendo dos ceros a la derecha de un número natural, se ha aumentado este número en 3465. Dar como respuesta la suma de las cifras del número original. 11. Si a un número de dos cifras se resta 36, se obtiene otro número que tiene las cifras invertidas. Además el dígito de las decenas es el doble de la cifra de las unidades ¿Cuál es el número? 12. La edad de Inés es ax años y la de Ximena xy años, además entre las dos suman 81 años. ¿Cuántos años deben pasar para que Ximena tenga yy años, si a + x + y = 14? 13. A una fiesta asistieron ab varones y 2a mujeres. Si el total fue 91 personas. Calcular ab. 15. Se sabe que:

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ab 14  . Hallar “b” ba 63

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TEMA 4: CUATRO OPERACIONES I ADICIÓN Es una operación directa que consiste en acumular términos llamados “sumandos” en una sola cantidad llamada “total”. Se dice que el signo (+) posiblemente fue usado por los mercaderes fenicios. Cuando llegaban los víveres a los puertos; y en los sacos existía un excedente de peso; se indicaba este exceso con la marca (+). Los problemas que trataremos a continuación deberán ser analizados con mucho cuidado ya que no existen procedimientos establecidos y solo requiere de ingenio y razonamiento para encontrar su solución.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta.

1

1 9  1

1  2 1

 9 1

+

Solución: Unidades: 2 + 9 =…1 = 11 (Pongo 1 llevo 1) Decenas: 1 + 8 + 2 =…1=11 (Pongo 1 llevo 1) Centenas: 1

+ 9

+ 1 = …..1 = 11 (Pongo 1 llevo 1)

 Las cifras son las encontradas. 2. Calcular la cifra de centenas del resultado: 7 + 77 777 7777 . . . 77…7 7 7 7 ……… x y z

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12 sumandos

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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Solución:

  7  7  84 Unidades: 7  7 7  ..... 12 veces

 z=4

(Pongo 4 y llevo 8)

  7  7  85 Decenas: 8  7  7 ..... 11veces

 y=5

(Pongo 5 y llevo 8)

  7  7  78 Centena: 8  7  7 ..... 10 veces

(Pongo 8 y llevo 7) 

 x=8

La cifra de centenas es 8.

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EJERCICIOS Hallar las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta:

1.

5

 1 3

3.



+



6

3



6

4. 2  2 +

+

2 5



11 4 3

5

+

2 3

 2 3

5.



7

2

 

9

2.

 4 +  



9 1

y en:  +  2 

6. Calcular

7 6

7. ¿Qué valor toma  en la siguiente suma: 1



 8

7 1 6

2 8

4

+

  8

8. ¿Qué valor toma  en la siguiente suma: 32 

+



8 +

142

=



2



9. Calcular las dos últimas cifras de la siguiente suma: 5 + 55 555 5555 . . . 55………5 5 5 5

Aritmética

14 sumandos

22

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

10. Hallar la suma de las dos últimas cifras del resultado de la suma: 2 + 33 222 3333 . . . ______________

12 sumandos

11. Calcular “m” si: mmmm  64nm  294  npqr 4

12. El matemático alemán Widma, nació en 1479 y murió en 15ab a la edad de 5a años. Diga Ud. El valor de a + b. solución:

13. Calcular: “x + y + z” si: 1x  2 x  ........  7 x  yz8

14. Clifor tenía 59c dólares y después de vender su auto cobró ca1 dólares, si en total tiene 1ab dólares. Calcular a + b + c. solución:

15. Justo tiene S/. 848 y se da cuenta que le falta S/. aba para comprar un repuesto de su carro que cuesta S/. cdc . Hallar “c + a” solución:

Aritmética

23

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

TAREA DOMICILIARIA Hallar las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta. 1.

3

 



2

9

 2 3

5

6

9

2

  

3.



5.

+

2.

+

5

7

4. 2

  4

  3 9 

4 3 4 5

 1

3 2 1

4 9 7 8

2

 

6 1



1

9

+

+

6.

1 +

Calcular:







+



+

Si:

4 5 5

6





solución:

5 1 5

7

3

+

8

  1

6

solución:

7. ¿Qué mismo número debe ir en todos los recuadros para que la suma sea correcta?



solución:

Si:

    1 7 5  4

Aritmética

1

0

3



5

4

1

8. Calcular: 2 + 2

+

24

7

3 7 5

  2

 2 9

2



+

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

solución: 9. Calcular las dos últimas cifras de la siguiente suma: 7 77 777 .

+ 19 sumandos

. . 77………7 7 7 solución:

10. Determinar la suma de las dos últimas cifras del resultado de sumar: 4 + 77 444 7777 18 sumandos . . . _____________

11. Calcular “m” si: 363  mmm  2498  xnp 6

solución:

12. El gran Napoleón Bonaparte nació en 17a9 y murió en 18b1 a la edad de 5b años. Calcular: a + b solución:

Aritmética

25

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

13. Calcular: a + x + y Si: 2a  3a  4a  .....  9a  xy 6 solución:

14. Donato tenía S/. mn 2 y después de recibir S/. 45n de préstamo tiene S/. 8 p 7 . ¿Cuánto le falta para comprar un T.V que cuesta S/. 1mn9 ? solución:

15. Ricardo tiene S/. ab7 y nota que le faltan S/. m 25 para comprar una colección de libros que cuesta S/. 87 m ¿Cuánto tiene? solución:

Aritmética

26

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

TEMA 5: CUATRO OPERACIONES II SUSTRACCIÓN Es una operación inversa a la adición mediante la cual conociendo dos términos llamados minuendo y sustraendo se determina un tercero llamado diferencia. Se dice que el signo (-) en primera instancia fue usado como una simple marca que indicaba faltas de peso por los mercaderes portuarios fenicios. Los problemas que trataremos a continuación deberán ser realizados con mucho cuidado para ser resueltos con razonamiento.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular:

-

Si: 7



5

  4

-

1

 

Solución:

Unidades: Centenas: -1 =

7-

3 ó 2 ( Se deduce de las centenas)

3 ó 2 (Sería “2” en el caso que “7” preste)

Probando con “3”: 7

5

3

3

2

1

4

3

Aritmética

-

=4

 

=3 =2

2

27

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 

-

= 3 -2 = 1

2. Calcular el valor de “a”: Si: 2ab7  122b  12c7

Solución: 2ab 7  122b

12c7

Unidades: b = 0 Decenas: Nos prestamos de las centenas y formamos: 10

-

2 c

= c = 8

Centenas: a = 5 (Para que preste y luego restemos)

Aritmética

28

6to Grado de Primaria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

EJERCICIOS Hallar las cifras que debemos escribir en cada figura en blanco:



1.

1

3

3

4

3

7



9



7

-

Dar como respuesta la suma de cifras halladas. 2.



2



2

0

7



5

3

4

 9

6

8

6

5 2

-

Dar como respuesta la mayor cifra encontrada.



2  0 4 2 3 8  6 7

3.

-

Calcular la suma de cifras de la diferencia. 4 Si:

ab92  2c 7 159d

Indicar la suma de las cifras halladas. solución: 5. La mamá de Juan Luis va de compras a “Wong” con S/. b6c y gasta S/. 2c9 Quedándole S/. aa 4 . Calcular a + b +c. Determinar las cifras que debemos escribir en lugar de las letras. solución: 6. Si:

a 2b6c 1d 346 61918 Dar el producto de cifras del minuendo.

solución:

Aritmética

29

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 7.

a 2a 77 1c 294 675ab

6to Grado de Primaria

-

Indicar la mayor cifra hallada. solución:

8.

a 23a 6 1b72c 64d 66

-

Indicar la diferencia entre la mayor y la menor cifra encontrada. solución:

9.

13a3ba 45c 26 c 7777

-

Indicar la suma de cifras del sustraendo. solución:

10. De 42abb socios de un club votaron c3392 en las últimas elecciones, quedándose sin votar d 574 socios. ¿Cuántos socios no votaron? solución:

11. Calcular el valor de “a” si: 2ab7  172b  12c7

solución:

12. Si: 7 aa3  4cb1  dbba Calcular: “a + b + c + d” solución: 13. Si: 6 x 4 y  y 2 xy  ym70 Calcular el valor de “x + y + m”

Aritmética

30

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

solución:

14. Kike recibió S/. 5aaa de indemnización pero invirtió S/. b 4b3 en un negocio y le quedo S/. dc89 . ¿Cuánto invirtió en el negocio? solución:

15. Fui a comprar a “METRO” con S/. 1000 e hice compras por un monto de S/. a83 Quedándome al final con S/. 3bc . ¿Cuánto me quedó al final? solución:

Aritmética

31

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

TAREA DOMICILIARIA Hallar las cifras que debemos escribir en cada figura en blanco: 

1.

1 6 5

1

4 2 

 8

7

-

Dar como respuesta la mayor cifra encontrada. solución:

2.

 5 1

4 

3 1 1

2 7  6  9 6 0 4

Dar como respuesta la suma de cifras halladas. solución: 

3.

7

6 3

 4 8 1  9 3

Indicar la suma de las cifras halladas. solución: 4. Si:

xy 67  3m6

378n

Calcular la suma de cifras de la diferencia. solución:

5. Richard vende huevos en el mercado. Tenía m2 p huevos y vende 3 p 7 , quedándole nn3 huevos. ¿Cuántos huevos vendió? Determinar las cifras que debemos escribir en lugar de las letras. solución:

Aritmética

32

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Aritmética

33

6to Grado de Primaria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6.

Si:

6to Grado de Primaria

a2b7c  3c 696 9876

Indicar la mayor cifra hallada. solución:

7.

Si:

24a5bc  138a 29

1c 7898

Indicar la diferencia entre la mayor y la menor cifra encontrada. solución:

8.

Si:

a 62b 2  3b52c

21c15

Calcular el producto de cifras del minuendo. solución:

9.

6a 45b  38c 27

d 8925

Indicar la mayor cifra hallada. solución:

Aritmética

34

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

10. De 61mnn personas que asistieron a un espectáculo, se retiran 1m685 personas. Los que se quedaron hasta el final fueron p 4037 personas. ¿Cuántos se retiraron? solución:

11. Calcular el valor de “a”, si: 4bc 7  24b 2  2a5b

solución:

12. Si: abc  cba  mn2 Calcular: m + n solución:

13. Si: aab.  bba  mn 4 Calcular: m x n solución:

14. Don Chuma recibió S/. 13ab 2 de su jubilación pero tuvo que pagar una deuda de S/. c49 d y le quedó S/. c1956 . Calcular a + b + c + d. solución:

15. Fui a “Santa Isabel” con S/. 1000 y realicé compras pro un monto de S/. ab5 quedándome al final con S/. 2c . ¿Cuánto gasté? solución:

Aritmética

35

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

TEMA 6: CUATRO OPERACIONES III MULTIPLICACIÓN Es una operación directa que consiste en abreviar la suma, es decir: A    A  A .........    A  A   A  B  P veces

Donde: A  multiplicando B  multiplicador P  producto Se dice que en la antigüedad se mandaba a hacer con los esclavos las multiplicaciones, para lo cual tenían que sumar varias veces la misma cantidad en lugar de multiplicar.

Gottfried Wihelm Von Leibniz, matemático alemán, alucinando que el aspa (x) se confundía con la letra equis, introdujo el punto como el signo de la multiplicación. René Descartes, genial matemático francés en 1637 suprimió todo signo para indicar la multiplicación y sólo colocaba los factores unos a continuación del otro.

Aritmética

36

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

EJERCICIOS 1. Calcular:

4





+





3

6



 6 2

3

X

2. Calcular el multiplicando en: a

b

c

d

2 1 1

1

0

e X 9 4

Dar como respuesta la suma de sus cifras.

3. Calcular: a + b Si:

3ab 2 5 19360

X

4. Calcular la suma de cifras del multiplicando en: mnpq

X

7 17227

5. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de 6 soldados cada uno, pero observa que le faltaría 4 soldados, entonces los forma en 4 filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora?

6. Si: 4

2

8 a _______________ M N 4 0

X

Dar como respuesta la suma de cifras del producto.

Aritmética

37

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

7. Giancarlo compró 6 camisas y Diego la mitad de las que compró Piero que fueron el doble de los que Giancarlo. ¿Cuántas camisas compraron en total?

8. Si: abc  9  m042 Calcular: a + b + c

9. Si: abcd  3  m 2519 Calcular: a + b + c + d

10. Si: abc  99  ........357 Calcular: a2 + b2 + c2

11. Se tiene una multiplicación de dos factores. Si se duplica uno de ellos y se triplica el otro. ¿En cuánto varía el producto inicial?

12. ¿En que cifra termina el resultado de multiplicar? E = 8754 x 73 x 428 x 9001 x 39

Aritmética

38

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

TAREA DOMICILIARIA 1.

Si:  4 6 4

 3 5

Hallar:  2.

Si:

X



28 x mp = 1484

Calcular el multiplicador. 3.

Calcular la suma de cifras del producto. 493 X a mnpa

4.

Si: ab 7 a 03

X

Indicar: a + b

5.

Indicar la suma de las cifras del multiplicando: aba 6 m968

X

6.

Un profesor quiere formar a sus alumnos en 7 filas de 6 cada fila, pero observa que le faltarían 3 alumnos, entonces los forma en 4 filas de 8. ¿Cuántos le sobran ahora?

7.

Si: abc5  9  mpppp Hallar: a + b + c

Aritmética

39

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 8.

6to Grado de Primaria

Sabiendo que: ab  23  m66 Calcular: a x b

9.

Carmen va de compras y gasta el triple de lo que gastó Ingrid más 10 soles. Si Ingrid gastó 20 soles. ¿Cuánto gastó Carmen? solución:

10. Entre Renzo y Ned tienen S/. 400. Si la cantidad que tiene Renzo es 19 veces la que tiene Ned. ¿Cuánto más tiene Renzo que Ned? solución: 11. Si: mn3  7  p 451 Calcular el valor de p. solución: 12. 37 x

ab = ………..54

Calcular: a + b solución: 13. Si: mnp  99  ......407 Calcular: m + n + p solución: 14. Se tiene una multiplicación de dos factores. Si se triplica uno de ellos y se cuadriplica el otro. ¿En cuanto varía el producto inicial? solución: 15. ¿En que cifra termina el resultado de multiplicar: M = 4767 x 93 x 1249 x 642 x 736 solución:

Aritmética

40

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

TEORIA DE CONJUNTOS ¿Qué es un conjunto? En sentido corriente, un conjunto es una colección de objetos de cualquier clase, que tiene en común una propiedad cualquiera.

C o n ju n t o A = { 1, 2, 3 }

A

E le m e n t o s

2

Cada uno de los componentes de un conjunto recibe el nombre de elemento.

1 3

C o n ju n to d e N ú m e r o s En una empresa, el conjunto de las personas que trabajan en ella es el personal de la misma. Este conjunto esta integrado por elementos que son los trabajadores de la empresa. Es costumbre designar los conjuntos con letras mayúsculas y los elementos con minúsculas. PERTENENCIA E L E M E N T O S

A 2

1 3

Diremos que un elemento pertenece a un conjunto si dicho elemento se encuentra dentro de ese conjunto; en caso contrario, si el elemento no esta dentro del conjunto, diremos que ese elemento no pertenece a dicho conjunto. Sea formando por los números 1, 2, 3.

dice que 1 pertenece a A y se escribe 1 que 4 no pertenece a A y se escribe 4

A

el

conjunto

1 es un elemento de A; se A. 4 no es un elemento de A; se dice A.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Un conjunto estará bien definido si tenemos un criterio claro para decidir si un objeto es o no, elemento de este conjunto. Para determinar los elementos de un conjunto se puede hacer de dos formas. Por extensión: Consiste en nombrar uno por uno los elementos. Se escriben entre dos llaves y separados por comas. El conjunto. A = {1, 4, 5, 10, 11} esta formando por los elementos 1, 4, 5, 10 y 11. Por comprensión: Consiste en dar una propiedad que caracteriza los elementos de forma única.

Aritmética

41

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

A = { x/x es par } es el conjunto de los números x tales que x es par. Ejemplo: Determinar el siguiente conjunto: Por comprension:

P

a

e u

i

P = { x/x es ____________________ }

o Por extensión: P = { __________________________ }

Si definimos por comprensión el conjunto B de los días de la semana escribiremos. B = { x / x es un día de la semana } Este conjunto definido por extensión es: B = { lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sábado, domingo } Cuando un conjunto tiene un número ilimitado de elementos es imposible definirlo por extensión. Entonces sólo puede definirse por comprensión; por ejemplo; el conjunto N de los números naturales. CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Los elementos de un conjunto pueden poner en cualquier orden. Los conjuntos formados por las letras de las palabras monja y jamón son iguales porque tienen las mismas letras. A = { m, o, n, j, a } B = { j, a, m, o, n }

A = B Un mismo elemento cuando está repetido no se tiene en cuenta nada más que una vez. Sea

A = { s, a, l, m, n, c } y B = { x / x es una letra de la palabra Salamanca }

Aritmética

42

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

La a aparece 4 veces en la palabra Salamanca, pero es el elemento a. Luego A = B, porque tienen los mismos elementos.

Aritmética

43

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA CLASE Determinar por comprensión los siguiente conjuntos: 01. A = {Ámerica, Asia, Europa, África, Oceanía } 02. E = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo } 03. B = { c, a, r, l, o, s, v, i, d} 04. F = { a, e, i, o, u } 05. C = { rojo, blanco } 06. G = { primavera, verano, otoño, invierno } 07. D = { monera, protista, fungi, plantae, animalia } 08. R = { 3, 4, 5, 6, 7, 8} Determinar por extensión: 09. K = { 2x – 3/2 < x < 7; x 10. L = { x/1 < x < 5; x

N}

N}

11. M = { 3x + 1 / x < 5; x

N}

12. N = { 5x / 4 < x < 9; x

N}

13. H = { 5x + 2 / 9 < x < 15; x es par } 14. P = { x2 / 2 < x < 10; x 15. I = { x3 / 3 < x < 5; x

N} N}

16. J = { x / x es una moneda del Perú } 17. Guiándote de la figura, coloca

o

según corresponda:

C 1 7

6 5

B

Aritmética

A

10

44

3

2 8 9

4

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

7 _________ B

10 ________ A

6 _________ A

10 ________ B

2 _________ A

2 ________ A

9 _________ C

2 ________ B

2 _________ C

8 ________ C

9 _________ A

1 ________ C

6to Grado de Primaria

18. De acuerdo a las afirmaciones, coloca los elementos en sus respectivos conjuntos. P Q

R 9

R

8

R

8

Q

2

P

5

Q

7

R

9

Q

2

Q

7

Q

5

Q

Aritmética

45

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA CASA Determine los siguientes conjuntos por comprensión: 01. A = { p, a, b, l, o } 02. B = { 11, 12, 13, 14, 15 } 03. C = { poder legislativo, poder ejecutivo, poder judicial} 04. D = { cabeza, tronco, extremidades } 05. E = { costa, sierra, selva } 06. F = { sólido, líquido, gaseoso } Determinar los siguientes conjuntos por extensión: 07. G = { x/x es un planeta del sistema solar } 08. H = { 9x/5 < x < 10; x

N}

09. J = { 10x – 5 / 1 < x < 4; x

N}

10. K = { x / x es una letra de la palabra calavera } 11. L = { x / x es un sentido del ser humano } 12. M = { x2 / 10 < x < 10; x

N}

13. N = { x3 -1 / 1 < x < 5; x

N}

14. De acuerdo al gráfico completa con V o F según corresponda

A

1

2

7

10 9

6 C

Aritmética

3

8

46

B 11

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO a) 5

A

f)

8

A

b) 9

C

g) 2

C

c) 5

B

h) 12

C

d) 13

A

i)

4

A

e) 4

B

j) 12

C

6to Grado de Primaria

15. De acuerdo a la afirmaciones, coloca los elementos en sus respectivos conjuntos. P Q

R e

P

e

Q

a

P

d

R

a

Q

c

Q

b

Q

f

P

b

R

b

P

d

P

f

R

c

P

a

R

a

Q

d

Q

e

R

c

R

Aritmética

47

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

CLASES DE CONJUNTOS De acuerdo al número de elementos se clasifican en: a. Conjunto Vacío o Nulo Es aquel que no tiene elementos, se denota por la letra griega también se denota por “{ }”.

(fi),

Ejemplo: A = { x/x es virrey actual del Perú} A= { } ó A= { } M = {x/x es un perro que habla} M= ó M={ } b. Conjunto Unitario Es aquel que tiene uno y sólo un elemento. Ejemplo: B = {x/x es capital del Perú} B = { Lima } c. Conjunto Finito Es aquel que tiene una cantidad determina de elementos. Ejemplo: C = { x/x es una letra del abecedario } C = { a, b, c, d, e, f, g, h, … , x, y, z } d. Conjunto Infinito Es aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos y cuyo último elemento no se puede señalar. Ejemplo: D = { x/x es una estrella del cielo } e. Conjuntos Iguales Un conjunto “A” es igual a un conunto “B”, si es que ambos conjuntos tienen los mismos elementos. Es decir: A=BA

B

B

A

E=FE

F

F

E

Ejemplo: E = { 3, 5, 8 } F = { 8, 5, 3 }

Aritmética

48

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

(pues tiene los mismos elementos) f. Conjuntos Disjuntos Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Ejemplos: H = {1, 3, 5, 7 } J = {2, 4, 6, 8} g. Conjunto Universal (U) Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos; se le simboliza por la letra U y gráficamente se le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice (cualquiera) se coloca la letra U. Ejemplo: H = { 1, 3, 5, 7 } J = { 2, 4, 6, 8 } U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN CONJUNTO A. DIAGRAMA DE VENN - EULER Consiste en representar el Conjunto Universal mediante un rectángulo y los otros conjuntos mediante círculos, triángulo o cualquier figura plana.

U

B

A

B. DIAGRAMAS LINEALES Sirven para representar las relaciones de inclusión de 2 o más conjuntos. Se representa por medio de segmentos verticales. A

A B C B

Aritmética

49

C

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

SUBCONJUNTOS RELACIÓN DE INCLUSIÓN B Un conjunto A es subconjunto o parte de otro conjunto B cuando todos los elemenetos de A pertenecen a B.

A

Para expresar que A es subconjunto de B se utiliza el simbolo y se escribe. Sea B el conjunto de los números pares y A el de los pares menores que 10. B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … }

A = { 2, 4, 6, 8}

Observamos que todo elemento de A también lo es de B, por lo tanto A B SÍMBOLO

B.

A Significa que B no es Subconjunto de A.

SIGNIFICADO Incluído en Contenido en No incluido en No contenido en

EJEMPLO A

El conjunto P = { a, b, c, l } no es subconjunto de H = { a, b, c, d },

B

ya que: P tiene un elemento (l) P

H

que no esta en H.

CONJUNTO POTENCIA Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado, si el conjunto dado es “A”, el Conjunto Potencia de “A” se denota por P(A); u se lee: “P” de “A”. Ejemplo: Si el conjunto “A” tiene “n” elementos: P(A) = 2 n subconjuntos. A = { a, b } P(A) = {{a} ; {b}; {a, b}; P(A) tiene 4 subconjuntos. P(A) = 22 = 4

}

B = { 1, 2, 3 } P(B) = {{1} ; {2}; {3}; {1, 2}; {2,3}; {1, 3}; {1,2,3} ; P(B) tiene 8 subconjuntos P(B) = 23 = 8

PROBLEMAS PARA LA CLASE

Aritmética

50

}

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

01. Dados los conjuntos: A = { x / 7 < x < 9; “x” es número natural } B = { x / x + 5 = 11; “x” es número natural } De ellos cuál o cuáles son unitarios. a) A

b) B

c) A y B

d) Nulos

e) N.A.

02. Si: A = { x / “x” es número natural mayor que 2 } B = { x / “x” es un país } C = { x / “x” es una fruta } De ellos cuál es un conjunto (escribe V) y cuál no (escribe F) a) VFV

b) VFF

c) VVV

d) FFF

e) FFV

03. Dado el diagrama: B A 1

2

5

3

4 7

6

C Y las proposiciones: i) 1 A iii) 6 C v) 5 B a) VVVFVF

Aritmética

ii) 4 iv) 2 vi) 7 b) VVFFVV

B C A c) VVVVVF

51

d) FFVVFV

e) VVVVFV

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

04. Si A = {{a} ; {b}, {d}; {a, b}} cuál de las siguientes relaciones es verdadera. a) {a}

A

b) d

A

c) a

a

d) {b}

A

e) a

{a, b}

05. Observa el diagrama. Luego indica cuál es la respuesta correcta: N

M

4

3 2

1

5

9 8

a) M = {1,2,3,4,8,9} d) M = {2.3.4.8.9}

6

P

7

b) N = {3,4,5,6,7,8,9} e) Ninguna

c) P = {2,5,6,9}

06. Dado el diagrama y las proposiciones: A

B

C

I) D II) B III) C

D

C A A

Decir cual o cuales es verdadera o verdaderas. a) Sólo I 

b) Sólo II

c) I y II

Determinar por extensión en cada caso.

07. P = { x/x es una letra de la palabra lápiz} 08. Q = {x/5 < x < 9; x

Aritmética

N}

52

d) Las tres

e) N.A.

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

09. R = { las primeras 5 consonantes del alfabeto } 10. S = { x/x es una vocal de la palabra colegio} 11. T = { 3x / 5 < x < 7; x 12. V = { x2 / x < 1; x

N}

N}

Representa mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos: 13. A = { x/4 < x < 8; x N} B = { 2x / 2 < x < 4; x N} C = { 4, 5, 6,7, 8, 9, 10 } 14. D = { x / x es una letra de la palabra Ana } E = { x / x es una vocal } F = { x / x es una letra de la palabra enano } 15. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? A B

C D

C A D B

Aritmética

D B B A

C B C D

B C A B

53

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Indica que conjunto es unitario A = { x / x es un satélite natural de la tierra } B = { x / 5x – 7 = 13; x N} C = { x / 8 < x < 10; x N} a) A

b) C

c) B

d) B y C

e) A y B

d) E y F

e) D y E

02. Indica que conjunto es vacio. D = { x / x es una vocal de la palabra sol } E = { x / 8 < x < 9; x N } F = { x / 2x = 1; x N } a) D

b) F

c) E

Hallar el conjunto potencia de: 03. G = { x / x es una letra de la palabra JUAN } 04. H = { x / 9x – 12 = 15; x 05. I = { x2 / x < 4; x

N}

N}

06. J = { x / x es una vocal de la palabra camino } Representa los siguientes conjuntos mediante diagramas de Venn:

 M  {c, a, s, i, o } 07.   N  {s, a, c, o }

08.

 P  {1, 2, 3, 4, 5}   Q  {4, 5, 6, 7}

 R  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 

Aritmética

54

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Aritmética

55

6to Grado de Primaria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

09. Dado el diagrama, escriba los elementos de los conjuntos: A

B

1 3

2 C

6

4

5

A = { ________________________ } B = { ________________________ } C = { ________________________ } 10. Coloca V ó F según correspona: A

A B C B B

B C A A A

B

( ( ( ( (

C

) ) ) ) )

11. Indica la respuesta correcta: B 3 A

1 2

5 7

6

4 C a) A = {1, 2, 5} c) B = {3, 6} e) A = {1, 2, 5, 7}

Aritmética

b) C = {4, 5, 6} d) C = {3, 4, 5, 6, 7}

56

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

12. Dado el diagrama y las proposiciones. A B C

D

I) B

C

II) D

A

III) C

A

IV) B

A

V) D

C

¿Cuáles son verdaderas? a) II y IV

b) II

c) IV y V

d) II, IV y V

e) Todas menos II

13. Si: M = {{m}; n ; m ; {m, n}} ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera? a) {m, n}

M

b) m

{m, n}

c) {m}

M

d) {m}

14. Coloca los elementos en el conjunto que corresponden: M

N

P 2

M

3

N

4

P

6

M

2

N

4

N

4

M

3

P

2

P

6

N

3

M

6

P

Aritmética

57

m

e) n

M

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. REUNIÓN DE CONJUNTOS La reunión o unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto que tiene por elementos a los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B o a ambos. Dicho conjunto se designa A U B Dados los conjuntos

A 2

A = { 1, 2, 3, 5, 6} y B = {4, 6, 8, 10, 12 }

5

1 3

El conjunto unión se obtiene reuniendo los elementos de A en los de B.

B

6

4 12

10 8

En forma simbólica se denota: AUB={x/x

Aó x

A U

B}

Ejemplo 01:

B

Gráficamente

Sean los conjuntos: A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 6, 7, 8, 9, 10 } A U B = { …………………………. } 2. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene por elementos los que pertenecen simultáneamente al conjunto A y también al conjunto B. Este conjunto se designa por A En forma simbólica se denota: A

B = { x / x cAy x

B.

B} D (9 )

Ejemplo 02:

3

D (9 ) D(9)

Aritmética

D(15) = { 1, 3 }

58

D (1 5 )

1

Consideremos el conjunto formado por los divisores de 9: D(9) = {1, 3, 9) y también el conjunto formado por los divisores de 15: D(15) = {1, 3, 5,1 5}

D (1 5 )

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplo 03:

6to Grado de Primaria Gráficamente

Sean los conjuntos: P = { a, b, c, d, e } Q = { a, t, u, d, z } P

Q = { ……………………………. }

3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se denota por: A – B y se lee: “A menos B”. En forma simbólica se denota: A – B = { x / x

A

Ejemplo 04:

B

Ay x

A

B}

B

Gráficamente

Sean los conjuntos: A = { a, b, c, d } B = { a, e, i, o, u } A – B = { ………………………………… } B – A = { ………………………………… } 4. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS Dado los conjuntos A y B, definimos el “diferencia simétrica de A y B”, denotado por A B, al conjunto ( A – B) U (B – A)

Aritmética

59

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

Es decir. A

B = (A – B) U (B – A) ó A A

B = (A U B) – (A

B)

B A

B

Ejemplo 04: Sean los conjuntos: A = {1, 3, 5, 6 } B = { 3, 5, 7, 8 } A B = { ………………………………….} 5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Es lo que le falta al conjunto para ser igual al Conjunto Universal (U) si el conjunto es A su complemento se denota A’, también se usan las notaciones:

En forma simbólica se denota: A’ = U – A = { x / x Representación gráfica: A A U

Aritmética

60

Uyx

A}

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6to Grado de Primaria

ACTIVIDADES PARA EL AULA 01. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y los conjuntos: B = { x U / 4 < x < 8 } y C = { 2, 4, 6, 8, 10 }. Hallar: a) A’ e) A

b) B’ f) A – B

B

c) C’ g) B – A

d) A U B h) (A U B)’

02. En cada caso halla los elementos del conjunto intersección: a) A = { x / x es una letra de la palabra puerta} B = { x / es una letra de la palabra pintura} b) M = { x / 6 < x < 10; x N = { x / 6 < x < 10; x c) C = { x D={x

N} N}

N / 18 < x < 25 } N / 16 < x < 22 }

03. Sean lo conjuntos: P = { 1, 3, 5, 7 } Q = { 2, 9, 6, 8 }

R = { 5, 6, 7, 8 }

Hallar: a) ( P U Q) – R = b) (Q

R) – P =

c) R – (P

Q) =

d) R – (P U Q) = e) P U Q U R = f) P

Q

R=

g) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto R – P? h) Número de elementos de P – R i) Número de elementos de P

Aritmética

Q

61

A = {1, 3, 5, 7};

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA 01. Sean los conjuntos: A = { a, b, c, g } ; a) A

B

b) B

C

B = {b, c, e, f } y C = {a, b, d, e, h}. Hallar:

c) A U B

d) (A U B) – C

e) (A – B) U (C

B)

02. Sean los conjuntos: U = { a, b, c, d, e, l, p, t, o } A = { x / x es una letra de la palabra plato } B = { x / x es una letra de la palabra cadete } a) A’

b) (A U B)’

c) (A

B)’

03. Sean los conjuntos: A = {a, b, c, g } a) A

B

B = { b, c, e, f } b) B

C

C = {a, b, d, e, h }. Hallar.

c) A U B

04. Del problema anterior, los elemenos del conjunto (A U B) – C es: a) {a, b, c, g, e, f} d) {c, g, f } e) N.A.

b) {e, g, f, h }

c) {c, g, e, f}

05. Dados los conjuntos: P = { x N / 6 < x < 20 } y Q = { x ¿Cuántos elementos tiene el conjunto P Q? a) 9

b) 10

c) 11

N / 8 < x < 18}

d) 12

e) N.A.

06. Sea el conjunto R = { x / x es una letra de la palabra cuadrilátero} entonces, el conjunto R tiene _______________ elementos. a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) N.A.

07. Dados los conjuntos: U = { 0, 2, 4, 6, 8 } y A = {4, 8}; B = { 2, 6} Determinar: (A’ B) U (B’ A) a) {a, 6 }

Aritmética

b) {4, 8 }

c) {2, 4, 6 }

62

d) { 4, 6, 8}

e) {3, 4, 6, 8 }

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6to Grado de Primaria

PROBLEMAS CON CONJUNTOS 01. De 42 personas que viajan a EE.UU., 28 hablan inglés y 16 hablan francés; 8 no hablan ni inglés ni francés. ¿Cuántas personas hablan inglés y francés? a) 6

b) 8

c) 10

d) 13

e) N.A.

02. De un grupo de 85 personas, 40 estudian, 50 trabajan; 10 estudian y trabajan; ¿Cuántos no estudian ni trabajan?. a) 30

b) 40

c) 80

d) 5

e) 10

03. A una peña criolla asistieron 150 personas, de las cuales 80 cantan, 60 bailan, 30 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?. a) 30

b) 10

c) 20

d) 120

e) N.A.

04. De los 50 alumnos de un aula: 30 tienen libro de RM, 25 tienen libro de RV; 5 no tienen ninguno de éstos libros. ¿Cuántos alumnos tienen solamente libros de RM? a) 13

b) 10

c) 15

d) 45

e) 57

05. 550 alumnos se presentaron a un simulacro de examen de admisión. Si 310 aprobaron la parte de ciencias y 280 aprobaron la parte de letras. ¿Cuántos alumnos aprobaron ciencias y letras? Se sabe que 20 alumnos no aprobaron ni ciencias ni letras. a) 40

b) 50

c) 60

d) 70

e) 80

06. En una reunión de deportistas; 8 practican futbol y natación; 6 no practican estos deportes; 32 practican solamente natación y 23 practican fútbol. ¿Cuántos deportistas había en la reunión? a) 55

b) 60

c) 61

d) 62

e) 59

07. En una reunión de amigos había 12 que bailaban salsa y huayno, 15 bailaban sólo huayno, 20 bailaban salsa y 5 no bailaban ni salsa ni huayno. ¿Cuántos amigos había en la reunión? a) 38

Aritmética

b) 40

c) 45

63

d) 35

e) 52

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6to Grado de Primaria

08. De 34 turistas encuestados: 6 conocen Arequipa y Puno; 2 no conocen ninguna de éstas ciudades; 16 no conocen Puno. ¿Cuántos no conocen Arequipa?. a) 8

b) 10

c) 9

d) 11

e) 12

09. De 42 señoritas: a 8 les gusta el color rosado y el celeste; a 6 no les gusta ninguno de estos colores y a 18 no les gusta el color rosado. ¿A cuántas señoritas no les gusta el color celeste? a) 10

b) 8

c) 12

d) 9

e) 11

10. A una reunión asistieron 68 turistas de los cuales: 20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el número de los que conocen Tacna es igual al número de los que conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen sólo Arequipa?. a) 12

b) 4

c) 14

d) 7

e) N.A.

11. De un grupo de 30 personas, 5 gustan de café y de leche; 15 gustan de café. ¿Cuántos toman sólo leche? a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

e) N.A.

12. Lucho salió a pasear con Martha y Verónica ciertos días durante el mes de Mayo. Si 23 días salio con Martha y 16 días salio con Verónica. ¿Cuántos días salió con ambas a la vez sabiendo que un día solo salió con Enrique? a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 13

13. De un grupo de 200 pacientes examinados en una clinica se encontró que 100 no tenían cáncer; 80 no tenían diabetes y 25 no tenían ninguna de estas enfermedades. ¿Cuántas tenían ambas? a) 5

b) 75

c) 95

d) 15

e) N.A.

14. De un grupo de 120 personas, 45 no estudian ni trabajan, 30 estudian, 9 estudian y trabajan. ¿Cuántas personas trabajan solamente? a) 60

b) 55

c) 50

d) 45

e) N.A.

15. De 60 solicitantes de beca se conoce: 20 tienen televisor, 52 radio y 3 no tienen radio ni televisor. ¿Cuántos tiene solamente televisor? a) 4

Aritmética

b) 3

c) 7

64

d) 5

e) N.A.